Ciclo Limite

NL 7.- Ciclos límite

7.0.- Ciclos límite. Introducción. • Un ciclo límite es una trayectoria cerrada aislada. Son trayectorias inherentemente no lineales.

7.1.- Ejemplos. • Sencillo usando coordenadas polares:

r& = r (1 − r 2 ) θ& = 1

• Oscilador de van der Pol: 2 &x& + µ ( x − 1) x& + x = 0 1

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7.2.- Sistemas sin órbitas cerradas • Sistemas gradiente: Si un sistema puede ser escrito como dx/dt=-∇V con (V(x)) una función escalar univaluada y continuamente diferenciable), es llamado sistema gradiente con función potencial V. Teorema: un sistema gradiente no posee órbitas cerradas. Prueba / 2D vs. 1D / ejemplos: (dx/dt=sin y , dy/dt=x cos y) ; (d2x/dt2+(dx/dt)3+x=0)

• Funciones de Liapunov: Sea el sistema dx/dt=f(x) con un punto fijo en x*. Supongamos que podemos encontrar una función de Liapunov; esto es, una función V(x) de variable real y continuamente diferenciable con las siguientes propiedades: (i) V(x)>0 para todo x ≠x*, y V(x*)=0 (es decir, es definida positiva). (ii) dV/dt<0 para todo x≠x* (todas las trayectorias fluyen “colina abajo” hacia x*). Entonces x* es global y asintóticamente estable. Por lo tanto para todas las condiciones iniciales x(t) → x* cuando t → ∞ ; en particular, no posee órbitas cerradas. Intuición / ejemplos (dx/dt=-x+4y , dy/dt=-x-y3)

• Criterio de Dulac: Sea dx/dt=f(x) un campo vectorial continuamente diferenciable definido en un subconjunto simple conexo R del plano. Si existe una función de variable real g(x) continuamente diferenciable tal que ∇(g dx/dt) tiene un signo en R, entonces no existen órbitas cerradas contenidas enteramente en R. 2 Prueba (basada en el teorema de Green) / ejemplos (dx/dt=x(2-x-y) , dy/dt=y(4x-x2-3) en x,y>0) ; (dx/dt=y, dy/dt=-x-y+x2+y2)

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7.3.- Teorema de Poincaré-Bendixson •

Supongamos que:

(1) R es un subconjunto cerrado y acotado del plano; (2) dx/dt=f(x) es un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto contenido en R; (3) R no contiene punto fijo alguno; y (4) existe una trayectoria C que está confinada en R (si comienza en R, permanece en R para todo tiempo futuro). Entonces C es una órbita cerrada, o gira en espiral hacia una órbita cerrada cuando t → ∞. En cualquier caso, R contiene una órbita cerrada.

Prueba / región de confinamiento / ejemplos

•

No es posible el caos en el plano 3

NL 7.- Ciclos límite • Ejemplo 1:

r& = r (1 − r 2 ) + µr cosθ θ& = 1

• Ejemplo 2: Proceso de glicolisis

x& = − x + ay + x 2 y y& = b − ay − x 2 y

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7.4.- Sistemas de Liénard • Ecuación de Liénard:

(una masa unidad sometida a un amortiguamiento no lineal f(x) y una fuerza recuperadora no lineal g(x))

x&& + f ( x ) x& + g ( x ) = 0

Teorema de Liénard: Si f(x) y g(x) satisfacen las siguientes propiedades; (1) f(x) y g(x) son continuamente diferenciables para todo x. (2) g(-x)=-g(x) para todo x (i.e., g(x) es una función impar). (3) g(x)>0 para todo x>0 (4) f(-x)=f(x) para todo x (i.e., f(x) es una función par) X

(5) la función impar F(x)=∫0 f(u)du tiene exactamente un cero positivo en x=a, es negativa para 0<xa, y F(x) → ∞. cuando x → ∞. Entonces el sistema tiene un único ciclo límite estable en torno al origen del plano de fases. Ejemplo: mostrar que el oscilador de van der Pol tiene un único ciclo límite estable.

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7.5.- Oscilaciones de relajación • A partir de ahora vamos a preguntarnos sobre la forma y periodo de las oscilaciones. Un caso típico es el de una dinámica con dos bien diferenciadas escalas de tiempo, una asociada a una “acumulación” lenta y otra a una subsiguiente descarga rápida de dicha acumulación. Estas oscilaciones las podemos llamar oscilaciones de relajación (relaxation oscillations); la tensión acumulada durante cierto tiempo se libera en una rápida descarga a la cual sigue un nuevo periodo de acumulación. Ejemplo: estudio del oscilador de van der Pol para µ>>1.

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7.6.- Osciladores débilmente no lineales • Vamos a estudiar sistemas de la forma:

x&& + x + εh( x , x& ) = 0 Con 0≤ε<<1, y h(x,x’) una función suave arbitraria. Tales ecuaciones representan pequeñas perturbaciones sobre el oscilador lineal. Dos ejemplos fundamentales son la ecuación de van der Pol (ahora en el límite de nolinealidad débil) 2 &x& + x + ε ( x − 1) x& = 0

Y la ecuación de Duffing 3 &x& + x + εx = 0 8

NL 7.- Ciclos límite • La técnica o teoría de las perturbaciones regulares “y su fallo” Como primera aproximación buscamos soluciones del oscilador débilmente no lineal en forma de desarrollo en serie de potencias de ε. Aís, sea x(t,ε) una solución, la desarrollamos como:

x ( t , ε ) = x0 ( t ) + εx1 ( t ) + ε 2 x 2 ( t ) + ... Donde las funciones incógnita xk(t) han de ser determinadas. La esperanza es que la ínformación relevante de la solución pueda ser capturada por los primeros términos. Este método de perturbaciones regulares funciona en cierta clase de problemas pero da lugar a dificultades en otros. Ejemplo:

x&& + 2εx& + x = 0, x (0) = 0, x& (0) = 1 1.- La verdadera solución exhibe dos escalas de tiempo, una lenta (oscilaciones sinusoidales) y una rápida (decaimiento de la amplitud) 2.- La frecuencia real de oscilación es ligeramente diferente de la obtenida, error que se acumula a 9 tiempos largos (tercera “super-lenta” escala de tiempo)

NL 7.- Ciclos límite • Método de las dos escalas temporales Sea τ=t la escala rápida y T=εt la lenta. La idea es tratar ambas variables como independientes. Además las funciones de la escala lenta podrán ser consideradas constantes a tiempos del orden de la escala rápida. x ( t , ε ) = x0 (τ , T ) + εx1 (τ , T ) + O (ε 2 ) Ahora

x& =

y tras substituir y

dx ∂x ∂x ∂T ∂x ∂x = + = +ε = ∂ τ x + ε∂ T x dt ∂τ ∂T ∂t ∂τ ∂T x& = ∂τ x0 + ε (∂ T x0 + ∂τ x1 ) + O(ε 2 ) 2 &x& = ∂ττ x0 + ε ( 2∂ Tτ x0 + ∂ττ x1 ) + O (ε )

Ejemplo: (i) Aplicar el método al problema anterior (ii) Usando el método de dos escala temporales mostrar que el oscilador de van der Pol tiene un ciclo límite estable que es casi circular, de radio=2+O(ε) y frecuencia ω=1+O(ε2).

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NL 7.- Ciclos límite • Ecuaciones promediadas Dado un oscilador débilmente no lineal

&x& + x + εh( x , x& ) = 0

las substituciones habituales del método de dos escalas temporales dan: O (1) : ∂ττ x0 + x0 = 0

O (ε ) : ∂ττ x1 + x1 = −2∂τT x0 − h Con h=h(x0,∂τx0). La solución de la primera ecuación es

x0 = r (T ) cos(τ + φ (T )) Y pretendemos derivar ecuaciones diferenciales para r y φ. Finalmente (θ=τ+φ) obtenemos:

1 2π r' = h(θ ) sinθ dθ = h sinθ ∫ 0 2π 1 2π rφ ' = h(θ ) cosθ dθ = h cosθ ∫ 0 2π 11

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Ejemplos: (i)

Considerar el oscilador de van der Pol x’’+x+ε(x2-1)=0, sujeto a las condiciones iniciales x(0)=0 y x’(0)=0. Encontrar las ecuaciones promediadas y resolverlas para obtener una fórmula aproximada para x(t,ε). Comparar con la resolución numérica para ε =0.1.

(ii) Encontrar una relación aproximada entre la amplitud y la frecuencia del oscilador de Duffing x’’+x+εx3=0, donde e tiene un signo cualquiera. Interpretar el resultado físicamente.

• Consideraciones sobre la validez del método de dos escalas temporales.

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