Cilindro De Pared Gruesa

CILINDRO DE PARED GRUESA Para resolver el problema propuesto, se usa un método característico de la teoría matemática de la elasticidad. Consideremos un cilindro largo con extremos axialmente restringidos cuya sección transversal tiene las dimensiones mostradas en la figura. El radio interno de este cilindro es “r”; el radio externo es “ro”. Sean “pi”, la presión interna en el cilindro y “Po” la presión externa. Se buscan los esfuerzos en la pared del cilindro causados por esas presiones.

Un elemento infinitesimal de espesor unitario está definido por dos radios,

r

r +dr

y

y un ángulo

dθ , como se muestra en la figura. Si

el esfuerzo normal radial que actúa sobre el elemento infinitesimal a una distancia

r

distancia

r +dr

σr

del centro del cilindro es será equivalente a

σr

, este esfuerzo variable a una

+ (d σ r /

dr )

dr .

El elemento escogido debe estar en equilibrio estático. El área sobre el cual actúa

(r +dr )dθ

σr

es 1 x r dθ , sobre la que actúa

σt

y cada área sobre el cual actúa

σ r + dr

es 1 x

es igual a 1 x

dr .

Considerando una sumatoria de fuerzas igual a cero y teniendo en cuenta que

σt

está inclinado ½

dθ

con respecto al eje radial tenemos:

σ r rd θ+ 2 σ t dr

( d2θ )−( σ + dσ ) ( r +dr ) dθ=0 r

r

1

Simplificando y sin tomar en cuenta los infinitesimales de orden superior nos queda:

dσ r σ r−σ t + =0 dr r

2

Esta ecuación tiene dos esfuerzos desconocidos

σr

y

σt .

Compatibilidad Geométrica Si

r ,

u

representa el movimiento de una superficie cilíndrica de radio

u+du

es el movimiento de la superficie adyacente de radio

r +dr .

Por consiguiente, la deformación unitaria ε r , de un elemento en la dirección radial es: 3

u+du−u du = dr dr

εr =

Considerando la longitud de la superficie cilíndrica deformada como

2 π (r+ u)

y la no deformada como

2 πr , la deformación unitaria

εt

2 π ( r +u )−2 πr u = 2 πr r

εt =

es:

4

Propiedades de los materiales De la ley de Hooke generalizada tenemos:

Sin

εr =

1 (σ −ν σ t −ν σ x ) E r

5

εt =

1 (σ −ν σ r−ν σ x ) E t

6

1 ε x = (σ x −ν σ r −ν σ t ) E

7

embargo,

axialmente restringido, por lo que que

σ x =ν (σ r + σ t )

nuestro

cilindro

es

ε x = 0 ; de ésta ecuación deducimos

, introduciendo este resultado en las ecuaciones 6 y 7 y

resolviéndolas simultáneamente obtenemos expresiones para

σr

σt

y

en función de deformaciones unitarias.

σr=

E [ (1−ν ) ε r + ν ε t ] (1+ ν)(1−2 ν)

8

σt=

E [ ( 1−ν ) ε t +ν ε r ] (1+ ν)(1−2 ν)

9

Formulación de la ecuación diferencial Ahora, sustituyendo las ecuaciones 3 y 4 en las 8 y 9 tenemos los esfuerzos radial y tangencial expresados en términos del desplazamiento

u .

σr=

E du u [ (1−ν ) + ν ] dr r (1+ ν)(1−2 ν)

10

σt =

E u du [ ( 1−ν ) + ν ] r dr (1+ ν)(1−2 ν)

11

Luego reemplazando las ecuaciones 10 y 11 en la ecuación 2 obtenemos la ecuación diferencial gobernante deseada. 2

d u 1 du u + − 2 =0 2 dr r d r r

12

Al resolver la ecuación 12 obtenemos ecuaciones generales para los esfuerzos radial y tangencial respectivamente.

σ r =C 1− σ t =C 1+ 2

1=¿ y

C2 r

13

2

14

C2 r

2 2

2

pi ri − po r o Donde 2 2 r o −r i C¿

2=¿

( pi −p o)r o r i 2 2 r o −r i C¿

2