Circuito De Chua Reporte.docx

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS “UPIITA” MODELADO Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS MECATRÓNICOS

GRUPO: 3MM1 PRÁCTICA 1 MODELADO Y SIMULACIÓN DE UN SISTEMA CAÓTICO EN SIMULINK

1/03/2019

ALUMNOS: CORTEZ CONDE ALEXANDER

PROFESORA LOZADA CASTILLO NORMA BEATRIZ.

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Contenido Teoría del caos .............................................................................................................................. 2 Sistemas dinámicos ....................................................................................................................... 4 Circuito de Chua ............................................................................................................................ 7 Modelado y simulación del Circuito de Chua en Matlab- Simulink .............................................. 8 Conclusiones: .............................................................................................................................. 15 Fuentes: ....................................................................................................................................... 15

“Nadie puede perturbar una flor sin perturbar una estrella”

Teoría del caos Definición

La teoría del caos es la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo. A grandes rasgos, podemos decir que explica que el resultado de algo depende de distintas variables y que es imposible de predecir. Historia

Ilustración 1 Lorentz

El primer investigador del caos fue un meteorólogo llamado Edward Lorentz. En 1960 utilizaba un modelo matemático para predecir el tiempo, que consistía en un 296 Tema 10 Sistemas dinámicos discretos sistema de 12 ecuaciones no lineales. La simulación se realizaba con un ordenador, que daba como respuesta un comportamiento probable de la atmósfera. En cierta ocasión, quiso repetir de nuevo los cálculos anteriores, para ello volvió a introducir los números en el ordenador, pero para ahorrar papel y tiempo, solo utilizo 3 números decimales en vez de 6. Lo sorprendente fue que el resultado encontrado era totalmente diferente a los obtenidos en la vez anterior. Del análisis de esta situación surgió una nueva teoría que se 2

conoce con el nombre de la teoría del caos. Lo verdaderamente interesante era que diferencias muy pequeñas en las condiciones iniciales tenían una gran influencia en la resolución final del problema. A este efecto que tienen las pequeñas diferencias iniciales después se le dio el nombre de efecto mariposa. Este descubrimiento causó en Lorentz un gran impacto, ya que, según esta nueva hipótesis, no sería posible predecir con exactitud el comportamiento de cualquier sistema, pues todas las medidas se ven afectadas por los errores de calibración de los instrumentos. Es imposible, por tanto, conocer las condiciones iniciales exactas de la mayoría de los sistemas dinámicos. Afortunadamente, Lorentz se dio cuenta de que las soluciones del sistema que parecían tener un comportamiento hecho totalmente al azar, después de verlas representadas en una gráfica sucedía algo sorprendente. El resultado siempre ocupaba una determinada región del espacio, y tenía forma de una espiral doble. Antes de la aparición de esta nueva teoría, solo había dos tipos de comportamientos conocidos para un sistema dinámico: un estado fijo, donde los variables nunca cambian, y el comportamiento periódico, donde el sistema está en un “circuito cerrado” y se repite infinitamente. Las soluciones del sistema de Lorentz son definitivamente ordenadas (siguen una espiral). Nunca se paran en un punto, ni se repiten, ni son periódicas. A su representación gráfica se la conoce con el nombre Atractor de Lorentz. Estas gráficas deben cumplir otra condición: no puede cortarse a sí misma ya que, si así fuese, habría dos curvas diferentes a partir de ese punto de corte, lo cual significaría dos realidades simultáneas y diferentes.

Ilustración 2 Atractor de Lorentz

Una curva de estas características no puede estar contenida en un plano, y por supuesto su dimensión es fraccionaria. Este tipo de atractores reciben el nombre de atractores extraños, ya que su representación gráfica es un fractal. La idea fundamental que encierra el concepto de atractor es la siguiente: mientras es casi imposible predecir exactamente el estado futuro de un sistema, es posible, y aún más, muchas veces es fácil modelar el comportamiento general del sistema. Resumidamente algunos de los rasgos característicos de los sistemas caóticos son los siguientes:

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



Son muy sensitivos a las condiciones iniciales. Unos cambios muy pequeños en los datos iniciales dan lugar a resultados totalmente diferentes. Parecen un desorden, o hechos al azar, pero no lo son, hay reglas que determinan su comportamiento. Los sistemas hechos al azar no son caóticos.

Sistemas dinámicos Son modelos matemáticos de sistemas que varían a lo largo del tiempo. Se describen mediante una serie de variables (cuyo valor en un instante determina el estado del sistema), y un conjunto determinista de reglas que establecen cómo será el siguiente estado futuro a partir del actual (por ejemplo, mediante un sistema de ecuaciones diferenciales de las variables que describen el sistema dinámico). Se utiliza software de simulación para simular el comportamiento de sistemas representados por modelos matemáticos. La evolución en el tiempo de un sistema dinámico se simula calculando los valores de los estados del sistema dinámico en cada paso de la simulación mediante la utilización de algoritmos de resolución numéricos basados en tiempo o en eventos. El software de simulación normalmente incluye herramientas de visualización para examinar la evolución de los estados del sistema dinámico durante la ejecución de la simulación. Esto se verá más adelante en el apartado simulación. Su estudio puede dividirse en 3 subdisciplinas:

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Dinámica aplicada

Estudio Matemáticas de la dinámica

Dinámica experimental

Ilustración 3 Subdisciplinas de estudio

Además, los podemos clasificar de la siguiente manera

Sistemas dinámicos Estables

Inestables

Caóticos

Dos soluciones con condiciones iniciales suficientemente cercanas siguen siendo cercanas a lo largo del tiempo.

Dos soluciones con condiciones iniciales diferentes acaban divergiendo por pequeñas que sean las condiciones iniciales

El sistema no es inestable y las soluciones se mueven en torno al atractor de manera irregular y pasado el tiempo ambas soluciones no son cercanas.

Ilustración 4 Clasificación de los sistemas dinámicos

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Nosotros nos enfocaremos en los sistemas caóticos.

Sistemas Caóticos

La investigación matemática en caos se remonta por lo menos hasta 1890, cuando Potincaré estudió la estabilidad del sistema solar y revolucionó el estudio de las ecuaciones diferenciales no-lineales introduciendo técnicas cualitativas geométricas en lugar de los estrictos métodos analíticos para discutir las propiedades globales de las soluciones de estos sistemas. Poincaré hizo el primer descubrimiento de caos en el movimiento orbital de tres cuerpos los cuales mutuamente ejercían fuerzas gravitacionales sobre los otros. Una importante continuación fue el trabajo de los matemáticos franceses Fatou y Julia en los 1920's sobre las dinámicas de los mapeos analíticos complejos. Ellos también vieron conducta caótica, esta vez en lo que llamamos ahora Julia set, y se dieron cuenta de que tan tremendamente intrincados pueden ser estos, a pesar de que no tenían gráficas por computadora disponibles para ver esos conjuntos. En los 1960's, el matemático americano Smale había formulado un plan para clasificar todos los tipos típicos de comportamiento dinámico. Dentro de la vista global de Smale, el caos encontró un lugar como un fenómeno completamente natural con conducta tan regular como los ciclos periódicos. La técnica que él utilizó para analizar esto es llamada dinámica simbólica. Al mismo tiempo el meteorólogo americano Lorenz, usando una rústica computadora, descubrió que ecuaciones diferenciales muy simples podrían exhibir el tipo de caos que Poincaré descubrió. Lorenz observó que sus modelos meteorológicos simples exhibían lo que ahora es llamado dependencia sensitiva a las condiciones iniciales. Para él, esto significaba que la predicción del clima a largo plazo era imposible y mostró que el tópico matemático de caos era importante en otras áreas de la ciencia.

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1890

1960

Poincaré estudia la estabilidad del sistema solar y revoluciona el estudio de las ecuaciones diferenciales no-lineales

Smale formula un plan para clasificar todos los tipos típicos de comportamiento dinámico

1920

1960

Fatou y Julia trabajan en la dinámica de los mapeos analíticos complejos y establecen lo que ahora conocemos como Julia sets

Lorenz, usando una rústica computadora, descubrie las ecuaciones diferenciales que podrían exhibir el tipo de caos que Poincaré descubrió.

Ilustración 5 Línea temporal

Aplicaciones

Las aplicaciones de la teoría del caos son múltiples y en campos muy diversos, en Biología, en Economía, en Medicina, etc. En los últimos años, en el campo de la Medicina, las investigaciones actuales, nos ofrecen esperanzas de “domesticar” el caos. Edward Ott, Ceslo Grebogi (físicos) y James A. Yorke (matemático) han elaborado un algoritmo matemático que permite convertir un determinado tipo de caos en un proceso periódico sencillo. La idea que encierra el algoritmo, es que no es necesario comprender todo el movimiento caótico para poderlo regular. Por otro lado, el profesor A. Garfinkel de la Universidad de California, ha conseguido transformar el movimiento caótico de un corazón sacado a un conejo en un movimiento regular.

Circuito de Chua Leon Ong Chua (Filipinas, 1936) es un ingeniero eléctrico filipino-estadounidense y es considerado el padre de la teoría de circuitos no lineales y de las redes neurales celulares. Ideó el circuito de Chua. Postuló la existencia del elemento memristor, resistencia con memoria, que sería descubierto 37 años más tarde.

Ha desarrollado las redes neurales celulares e ideado el circuito de Chua, así denominado en reconocimiento a su autor, que es el único circuito físico capaz de reproducir el fenómeno del caos en los sistemas dinámicos no–lineales. Se trata de un circuito electrónico que presenta numerosos atractores dinámicos recordando las formas geométricas repetidas en muchos de los cuadros de Gustav Klimt. Una de sus aplicaciones la encontramos en los sistemas de cifrado que permiten ocultar la identificación de un teléfono protegiendo la conversación. 7

En 1971 Leon Ong Chua postuló la teoría de un tipo de circuito de estado sólido, que es como una resistencia con memoria, al que denominó memristor, el elemento de circuito perdido que debía encontrarse para completar la relación de los tres elementos pasivos clásicos: resistencia, inductancia y capacidad. Treinta y siete años después un equipo de investigadores de Hewlett Packard, liderado por Stan Williams, demostró que el memristor existe. Los memristores tienen muchas aplicaciones en la miniaturización de los circuitos electrónicos permitiendo conservar los datos y la capacidad de emular el comportamiento del cerebro humano. El oscilador de Chua, es una realización de un circuito no lineal de comportamiento caótico, el cual se ha vuelto un paradigma de la teoría del caos, debido a la variedad de comportamientos que eventualmente pueden conducir a procesos de bifurcación. El oscilador de Chua está descrito por las siguientes ecuaciones:

𝑥̇ = 𝛼(𝑦 − 𝑥 − 𝑓(𝑥)) 𝑦̇ = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 𝑧̇ = −𝛽(𝑦 + 𝛾𝑧) Donde 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 + 0.5(𝑎 − 𝑏)(|𝑥 + 1| − |𝑥 − 1|) y 𝛼, 𝛾, 𝛽 a y b son parámetros

Circuito de Chua

Es el circuito electrónico más simple que satisface los criterios de comportamiento caótico. puede ser modelado a través de un sistema de tres ecuaciones lineal diferenciales con las variables x (t), y (t), z (t), que representan las Ilustración 6 Circuito de Chua tensiones en los condensadores C1 y C2, y la intensidad de la corriente eléctrica en la bobina L1, respectivamente.

Modelado y simulación del Circuito de Chua en Matlab- Simulink

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Haremos uso de una de las herramientas más populares de Matlab, Simulink, en donde por medio de bloques, simularemos las ecuaciones anteriormente mencionadas, estableciendo parámetros y observando como la modificación de parámetros iniciales influye en el resultado final.

Procedimiento:

Ingresamos a la ventana de Simulink, donde se nos abrirá una ventana con una lista de los bloques disponibles, haremos uso de los más básicos entre otros. Teniendo el siguiente sistema de ecuaciones, hacemos uso de los siguientes bloques Bloque

Símbolo

Ubicación

Ganancia

Math Operations

Sum

Math Operations

From

Signal Routing

Goto

Signal Routing

Integrator

Continuous

Product

Math Operations

Constant

Commonly used blocks

Out1

Sinks

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Subsystem

Ports and Subsystems

Sine Wave

Sources

Scope

Sinks

Ilustración 7 Bloques usados

El sistema que modelaremos es el siguiente:

𝑥̇ = (25𝛼 + 10)(𝑦 − 𝑥) 𝑦̇ = (28 − 35𝛼 − 𝑧)𝑥 + (29𝛼 − 1) 8+𝛼 𝑧̇ = 𝑥𝑦 − ( ) 3 Hacemos uso de los diagramas mostrados anteriormente

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Una vez terminado de armar lo anterior, tenemos que hacer algunas configuraciones. Hacemos click en el engrane llamado Model Configuration Parameters donde establecemos lo siguiente

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Uno de los parámetros más importantes es el paso de integración fijo y el método numérico el Runge-Kutta, pero ¿por qué? Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Además, establecimos un paso de integración pequeño

Creación de Subsistemas

Podemos hacer uso de la herramienta de subsistema, para reducir el circuito y que se vea más ordenado, una vez obtenido, esto, podemos regresar a donde hemos creado los circuitos mediante la flecha apuntando hacia abajo que se encuentra en la parte inferior izquierda del bloque.

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Podemos presionar sobre el mismo bloque para acceder a los parámetros x,y,z y alpha en sus valores iniciales, además podemos modificarlos desde ahí Una vez realizado todo lo anterior, podemos ejecutar la simulación siempre y cuando hayamos dado a alpha un valor de 1 (por ejemplo) en el script de Matlab.

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Cuando corremos el programa, obtenemos la siguiente gráfica Con los siguientes valores x0 0.1

yo 0.1

zo 0.1

alpha 0.1

Ahora, podemos cambiar los valores x0 0.1

yo 0.1

zo 0.1

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alpha 0.1

x0 0.2

yo 0.3

zo 0.4

alpha 5

Conclusiones: Pudimos observar el comportamiento de un sistema caótico como lo es el circuito de Chua, además de que, al simularlo, observamos la doble hélice que se debe de formar. Los sistemas caóticos me parecen una de las cosas más interesantes e importantes que podemos estudiar.

Fuentes: UJUAN. (2011). Teoría del caos. febrero 28,2019, de UJUAEN Sitio web: http://ucua.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/matriciales/sistemas%2 0dinamicos%20caos.pdf Anónimo. (2018). Sistemas caóticos y teoría del caos, una breve introducción. febrero 28,2019, de NUSGREM Sitio web: https://nusgrem.es/sistemascaoticos-y-teoria-del-caos/ National Geographic. (2018). Efecto mariposa: ¿el aleteo de una mariposa en Sri Lanka pueda provocar un huracán en EE.UU?. febrero 28, 2019, de National Geographic Sitio web: https://www.nationalgeographic.es/ciencia/2017/11/el-efecto-mariposa http://www.chuacircuits.com/links.php

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