Clase12-estadistica1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS CURSO: ESTADISTICA

DISTRUCION DE PROBABILIDADES

Ing. Eli Teobaldo Caro Meza

HUANCAYO 2015 I

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD IMPORTANTES

INTRODUCCION • En muchas tareas o análisis de aplicación estadística, se busca determinar una distribución de probabilidad o modelo de probabilidad que satisfaga un conjunto de supuestos, para estudiar los resultados observados de un experimento aleatorio • Se puede definir muchas distribuciones de probabilidad tanto de variables aleatoria discreta como de variable aleatoria continua, pero no todos son modelos importantes.

DISTRIBUCIONES IMPORTANTES DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 1) DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI. DEFINICION: Se denomina prueba o ensayo de Bernoulli a todo experimento aleatorio que consiste de solo dos resultados posibles mutuamente excluyentes, generalmente llamados: éxito (E) y fracaso (F). El espacio muestral asociado al experimento aleatorio de Bernoulli se puede escribir como el conjunto: Ω = {E, F}

DEFINICION: La variable aleatoria X definida en Ω de manera que atribuye a E el valor 1 y a F el valor 0, se denomina variable aleatoria de Bernoulli. DEFINICION: Si al éxito E se asigna la probabilidad p = P[X = 1] donde 0
x=0

x=1

f(x) = P[X = x]

1–p

p

• En forma resumida por la ecuación o modelo (donde usamos por comodidad q = 1 – p) f(x) = P[X = x] = pxq1-x, donde: x = 0, 1 • La función de distribución acumulativa de Bernoulli es definida en la siguiente tabla: X

x<0

0≤x<1

x≥1

f(x) = P[X = x]

0

1–p

1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Definición La v.a.d. X binomial es el número de éxitos en n pruebas independientes con dos resultados posibles (éxito y fracaso) con probabilidad constante π de éxitos y (1–π) de fracasos. Función de probabilidad

n x f ( x)  f ( x; n,  )     (1   ) n  x ; x  0, 1, 2, ..., n  x X es B(n, π)

Medidas de resumen: Media:  = np Varianza: 2 = np(1–p)

Aplicaciones de la distribución binomial • Representación de variables discretas con RX = {0, 1, 2, …, n} • Pruebas de hipótesis sobre una proporción con muestras pequeñas.

• Validez a través de juicio de expertos.

Propiedades de la distribución binomial • Es simétrica cuando π = 0,5. • Es asimétrica positiva cuando π < 0,5.

• Es asimétrica negativa cuando π > 0,5.

Ejemplo 1: Distribución binomial B(10; 0,6)

(n = 10 y π = 0,6)

Función de probabilidad

10  x 10 x f ( x)  f ( x; 10; 0,6)    0,6 0, 4 ; x  0, 1, 2, ..., 10 x  X es B(10; 0,6) Medidas de resumen:

 = 6; 2 = 2,4;  = 1,5492; CV = 25,82%

Funciones de probabilidad y de distribución f(x) 0,0001 0,0016 0,0106 0,0425 0,1115 0,2007 0,2508 0,2150 0,1209 0,0403 0,0060

Fa(x) 0,0001 0,0017 0,0123 0,0548 0,1662 0,3669 0,6177 0,8327 0,9536 0,9940 1,0000

Función de probabilidad de la distribución B(10; 0,6) 0,2508

0,25

0,215 0,2007

0,20

0,15

f(x)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,10

0,05

0,0425

0,0001 0,0016

0,00

0

1

Otras medidas de resumen Me = 6; Mo = 6

0,1209

0,1115

0,0403

0,0106

2

0,006

3

4

5

6 x

7

8

9

10

Cálculo de probabilidades 1) P(X ≤ 5) = Fa(5) = 0,3669 2) P(2 < X ≤ 7) = Fa(7) – Fa(2) = 0,8204 3) P(3 ≤ X < 6) = Fa(5) – Fa(2) = 0,3546 4) P(X > 5) = 1 – Fa(5) = 0,6331 5) P(X ≤ 15) = 1

6) P(X  20) = 0

Ejemplo 2: La probabilidad de que cualquier pieza producida por una maquina pase con éxito una prueba de control es 0,9. Si se controlan 10 de tales piezas y si X denota el numero de piezas que no pasan la prueba de control de los 10 escogidos al azar: a) Defina el modelo de probabilidad de X. ¿Qué numero de piezas es mas probable que no pase el control? b) Calcule el numero de piezas que se espera no pasen el control. ¿Es cierto que la distribución estándar de la distribución de X es menor que 0,9? c) Determine la función de distribución acumulativa F(x) de X y aplicando esta, calcule la probabilidad de que mas de 7 piezas pero no mas de 9, no pasen la prueba de control.

Ejemplo 3: • En una tienda de alquiler de automóviles, cada vez que un cliente alquile un automóvil debe pagar como mínimo $4. Además, si alquila un auto tipo A debe pagar $15 mas, y si alquila un auto tipo no A debe pagar $5 mas. La probabilidad de que cualquier cliente alquile un auto tipo A es constante e igual a 0,7. Si cada uno de 5 clientes alquila un auto en esta tienda: a) Determine la distribución de probabilidades del numero de clientes que alquilen automóviles tipo A b) Defina la función utilidad y calcule la utilidad que espera la tienda si cada vez alquila 5 automóviles.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON • Básicamente un experimento aleatorio de POISSON es un proceso que consiste en observar un numero X de veces que ocurre un evento en una unidad de longitud dada. • Por ejemplo, observar el numero de llamadas xi que recibe un celular en periodos de 1 hora como se muestra: x1

x2

…

etc.

Tiempo

Definición La v.a.d. X de Poisson es el número de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo, en una región plana o en un volumen (con un promedio dado).

Función de probabilidad

X es P()

Medidas de resumen: Media:  =  Varianza: 2 = 

Aplicaciones de la distribución de Poisson Representación de variables discretas con RX = {0, 1, 2, …}  Número de llamadas por minuto.  Número de accidentes por día.  Número de clientes por hora.  Número de bacterias en un m2.

 Número de bacterias en un vaso de agua.

Propiedades de la distribución de Poisson La media y la varianza son iguales.

Ejemplo 1: Distribución de Poisson P(1)

( = 1)

Función de probabilidad

e11x f ( x)  f ( x; 1)  ; x  0, 1, 2, ... x! X es P(1) Medidas de resumen:

 = 1; 2 = 1;  = 1; CV = 100%

Funciones de probabilidad y de distribución Función de probabilidad de la distribución P(1)

f(x) 0,3679 0,3679 0,1839 0,0613 0,0153 0,0031 0,0005 0,0001

Fa(x) 0,3679 0,7358 0,9197 0,9810 0,9963 0,9994 0,9991 1,0000

0,4

0,3679

0,3679

0,3

f(x)

x 0 1 2 3 4 5 6 7

0,2

0,1839

0,1 0,0613 0,0153

0,0

0

1

2

Otras medidas de resumen Me = 1; Mo = 0 y 1

3

4 x

0,0031

0,0005

0,0001

5

6

7

Cálculo de probabilidades 1) P(X ≤ 4) = Fa(4) = 0,9963 2) P(1 < X ≤ 4) = Fa(4) – Fa(1) = 0,2605 3) P(2 ≤ X < 4) = Fa(3) – Fa(1) = 0,2452 4) P(X > 5) = 1 – Fa(5) = 0,0006 5) P(X ≤ 10) = 1 6) P(X  15) = 0

Ejemplo 2: Suponga que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefónica con un promedio de tres llamadas en intervalos de un minuto. a) Calcule la probabilidad de que en cualquier periodo de un minuto: i. No ocurra llamada alguna ii. Ocurran al menos 4 llamadas

b) Si cada llamada cuesta S/.0,50 ¿Cuánto es el costo esperado por llamada?

NOTA:

(Extensión o reducción intervalo unitario)

del

• La probabilidad de que ocurra k eventos de Poisson en un intervalo de tiempo (o en una región de tamaño) t es:

Donde:  : es el numero promedio de ocurrencias por unidad de periodo o región t: es el numero promedio de ocurrencias de eventos en el periodo (o región) de tamaño t

Ejemplo 3: • La empresa “T&C” produce un tipo de tela en rollos de 100 metros. El numero de defectos que se puede encontrar al desenrollar la tela es una variable aleatoria de Poisson con un promedio de 4 defectos por cada 20 metros de tela. a) ¿Qué probabilidad hay de que al desenrollar un rollo de tela cualquiera se encuentre menos de tres defectos en los primeros 50 metros? b) Calcule la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentre defectos en el primer segmento de 5 metros de tela. c) Si se desenrollan 5 rollos de tela escogidos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no se encuentre defectos en el primer segmento de 5 metros de tela en al menos dos de ellos?