Columnas Con Carga Concentrica

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COLUMNAS CON CARGA CONCENTRICA COLUMNAS Una columna es un elemento cargado axialmente, sometido a compresión, el cual tiene su sección transversal muy pequeña comparada con su longitud, por lo que al aplicársele una carga, fallara primero por pandeo, antes que por aplastamiento. Las cargas que puede soportar una columna pueden ser concéntricas, cuando se aplican sobre su centroide, o excéntricas, cuando se aplican a cierta distancia de su eje centroidal. Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el pre dimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría, lo cuales influyen en el tipo de falla. Las columnas se dividen en: Columnas Largas: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se mayor igual a 100. Columnas Intermedias: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 10 veces lamenor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentre entre 30 y 100.En algunos casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación(se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 10 veces lamenor dimensión transversal).La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento,las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo, y las columnas cortas, por aplastamiento.

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La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas para valores de P bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crítica. Los factores que influyen la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna, las condiciones de los extremos y la sección transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez el cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna. De esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro más grande posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico kL /rmin

Donde: k= Coeficiente relacionado con el tipo de apoyo. L= Longitud de la columna. rmin= Radio de giro mínimo de la sección.

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CRITERIO DE EULER La fórmula de Euler es válida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como "carga critica de pandeo", esta es la última carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso. La columna articulada en sus extremos, inicialmente recta homogénea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta elásticamente. Puede tener dos posiciones de equilibrio: recta o ligeramente deformada. Se aplica una fuerza horizontal Q para y de esto podemos inferir lo siguiente:

De la ecuación de la elástica

Se obtiene:

Se escribe: Orden cuya solución es

Haciendo que:

Es una ecuación diferencial de segundo

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Aplicando las condiciones de frontera tenemos que, x=0, y=0

Que sustituyendo Para x=L, y=0 por lo tanto

en

la

ecuación

B no puede ser 0 así que, sen KL = 0

La solución general seria:

Donde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n = 1, resultando la fórmula:

Limitaciones de la fórmula de Euler

Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de l en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo elástico. Por este motivo. Dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga crítica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo módulo elástico. Así, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible

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el momento dc inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible. Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia (por Ar2, donde A es el área dc la sección recta y r el radio de giro mínimo.

Para el caso fundamental se tiene

El valor P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad.

La relación L/r se llama esbeltez mecánica o simplemente esbeltez, de la columna. Como una columna cargada axialmente tiende a pandearse respecto del eje I mínimo, para hallar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta. Por conveniencia, se definen como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de aplicación de La fórmula dc Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos de límite de proporcionalidad y del módulo elástico de cada material. Así, pues, el límite mínimo de La esbeltez varía con el material y también con los diferentes tipos dentro de cada material

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Por debajo de este valor, como se indica en la figura, en la parte punteada de La curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler excederla al límite de proporcionalidad, por Lo que para L/r < 100 la fórmula de Euler no es aplicable, y hay que considerar corno esfuerzo crítico el [imite de proporcionalidad. La curva muestra también que el esfuerzo critico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea la menor posible. Finalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga de trabajo. Por ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 2 a 3 según el material y las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible.

CRITERIOS DE AISC El American Institute of Steel Construction (AISC) en sus especificaciones establece las fórmulas siguientes para los esfuerzos admisibles en miembros a compresión cargados axialmente. El esfuerzo admisible en la sección transversal de miembros a compresión cargados axialmente, cuando K (L/r) (la mayor relación de esbeltez efectiva de una longitud de columna sin arriostrar) es menor que Cc, está dado por:

7 Para evitar un pandeo prematuro, usualmente se limita la relación de ancho a espesor. Las especificaciones AISC estipulan valores para varios casos de restricción de borde, como se muestra en la Figura t en la tabla.

Tipos de restricción en el borde.

Si un elemento en compresión esta libre para pandearse en cualquier dirección, es evidente que una sección tubular será la más económica, ya que tiene el mismo valor de r en todas las direcciones y tiene una alta resistencia al pandeo local. Una barra sólida redonda tiene un r mucho

8 menor que un tubo con la misma área transversal y, por consiguiente, es menos económica, pero resulta mejor que una sección rectangular delgada, la cual tiene un r muy pequeño en el sentido de su dimensión menor.

La longitud sin soporte L de un miembro en compresión puede reducirse suministrando soportes intermedios, permitiendo así el uso de una sección más pequeña que trabaje a un esfuerzo promedio más alto. Algunas veces es posible suministrar el soporte en una dirección solamente (Figura); entonces, el valor de L será diferente en las dos direcciones, y puede resultar económico usar secciones con radios de giro diferentes en las dos direcciones, para obtener valores de L/r aproximadamente iguales.

Columnas con soporte intermedio

Los tubos se usan para miembros en compresión que soportan cargas pequeñas y medianas, se adaptan mejor a la construcción soldada. En

9 armaduras pequeñas y en contra venteos se usan miembros formados por ángulos, los de lados iguales son los más convenientes. Las canales sencillas (perfiles en C), así como las secciones en I, rara vez se usan como miembros en compresión, debido al valor pequeño de su r con respecto al eje paralelo al alma; pero si se suministran soportes adicionales en la dirección débil, pueden volverse secciones económicas. Para edificios de acero, el tipo de sección más común para columnas es el perfil WF, HEA y HEB. Su conexión a las vigas es relativamente fácil. Los radios de giro con respecto a los dos ejes son aproximadamente iguales. Ocasionalmente pueden realizarse perfiles armados mediante soldadura; se utilizan cuando no se dispone de los perfiles laminados requeridos.

Columnas armadas

FORMULAS Y ESPECIFICACIONES DEL AISC PARA COLUMNAS:

El AISC especifica que la relación de esbeltez de partes a compresión sea menor de 200. La ecuación es la fórmula de diseño para las columnas cortas e intermedias, mientras que la ecuación se aplica a las columnas largas (de Euler). El factor de seguridad para la ecuación varía desde 1.67 (para columnas con pequeñas relaciones de esbeltez, hasta 1.92 para L/r = C c). Este factor de seguridad variable toma en cuenta el hecho de que las columnas cortas fallan por aplastamiento y las columnas largas por pandeo y procura hacer más consistente las resistencias de las columnas en el intervalo de L/r usado.

10 La fórmula AISC para esfuerzo permisible, Fa, para columnas esbeltas se basa en la carga de pandeo elástico de Euler con un factor de seguridad de 23/12 = 1.92. Las columnas esbeltas son aquellas que tienen una relación de esbeltez O mayor. La constante Cc corresponde al esfuerzo crítico Fcr en la carga de Euler igual a la mitad del esfuerzo de fluencia del acero Fyp.

La fórmula para columnas largas cuando (Kl / r) > Cc es:

Donde Kl / r es longitud efectiva de columna y r es el radio de giro mínimo del área dela sección transversal. No se permite que las columnas excedan un Kl / r de 200. Para una relación Kl / r menor que Cc el AISC específica una formula parabólica:

Donde F.S. es el factor de seguridad y se define como:

11 Esfuerzo permisibles para columnas cargadas axialmente

Note que F.S. varia, siendo más conservador para las mayores relaciones de Kl/r. La ecuación escogida para el F.S. se aproxima a un cuarto de una curva seno con el valor de 1.67 en KL/r igual a cero y de 1.92 en Cc. Una razón esfuerzo permisible ver su relación de esbeltez para columnas cargadas axialmente de varios tipos de aceros estructurales se muestra en la figura. La restricción ideal de los extremos de las columnas, no puede ser siempre confiable, el AISC especifica conservadoramente una modificación de las longitudes efectivas como sigue: Para columnas empotradas en ambos extremos: Kl = 0.65 L Para columnas empotradas en un extremo y articuladas en el otro: Kl = 0.80 L Para columnas empotradas en un extremo y libres en el otro: Kl = 2.10 L Ninguna modificación tiene que hacerse para columnas articuladas en ambos extremos, donde Kl = L.

CRITERIO DE JB JOHNSON El análisis de las partes a comprensión en máquinas sigue los mismos principios descritos en las secciones anteriores. Por supuesto las fórmulas de columnas usadas dependen del material y de la función de la parte. Una de las fórmulas para las columnas intermedias más ampliamente usada en diseño de máquina en la fórmula de J.B. Johnson se da en la ecuación. La fórmula de Euler, se usa para columnas largas. La demarcación entre las dos es el valor de L/r dado por la ecuación. Si la razón de esbeltez efectiva real de una columna, L r e, es menor que el valor de transición Cc, la fórmula de Euler predice una carga crítica exorbitante. Una fórmula recomendada para el diseño de máquinas en el intervalo de L r e menor que Cc es la fórmula de J. B. Johnson, la cual se presenta a continuación:

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Donde: A = área de sección transversal σ f = resistencia a la cedencia Le = longitud efectiva, teniendo en cuenta la manera de fijar los extremos (observe que Le = KL) r = radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna E = módulo de elasticidad

Ésta es una forma de un conjunto de ecuaciones llamadas ecuaciones parabólicas, y que concuerda bien con el comportamiento de columnas de acero para maquinaria. La fórmula de Johnson da el mismo resultado que la fórmula de Euler de la carga crítica a la razón de esbeltez de transición Cc . Entonces, en el caso de columnas cortas, la carga crítica se aproxima a la pronosticada por la ecuación del esfuerzo de compresión directo, σ = P A. Por consiguiente, se puede decir que la fórmula de Johnson se aplica mejor a columnas de longitud intermedia.

Se puede observar que la fórmula de Johnson para diseño de máquinas y la fórmula del AISC para diseño de acero estructural, ecuación son idénticas, excepto en lo que se refiere al factor de seguridad. En diseño de aceros para edificios se considera que las condiciones de servicio están más estandarizadas que en diseño de máquinas; por este motivo se justifica un factor de seguridad consistente 1.67 hasta 1.92. Es más difícil estandarizar el factor de seguridad en diseño de máquinas debido al carácter variable de las condiciones ambientales y de servicio; sin embargo para condiciones generalmente constante y para materiales promedio, puede usarse un factor de seguridad de 2 a 2.5, valores razonables.

COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE (ecuación de la secante)

Excentricidad.

Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es excéntrica genera un momento adicional que disminuye

13 la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga no actúe en el centroide de la columna. Esta relación del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de distancia según la propiedad del momento, la distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequeña la flexión es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión sobre la columna. e= M / P

Donde: e= Excentricidad. M= Momento extremo. P=Carga axial.

La figura a continuación muestra la elástica de la línea media de una columna que soporta una carga P con una excentricidad e y que tiene una longitud L. Si se prolonga la columna como indica la línea de trazos, se transforma en una columna articulada de longitud. El valor indicado de P es la carga crítica para esta longitud desconocida. De aquí parte el análisis para deducir la ecuación de la secante. Columna excéntricamente cargada

Se puede obtener una expresión teóricamente correcta para las columnas excéntricamente cargadas, generalizando el análisis de Euler se obtiene la ecuación de la secante

Para obtener la carga admisible o de trabajo, hay que sustituir P por siendo el coeficiente de seguridad, y tomar como el esfuerzo de cedencia. En estas condiciones, la ecuación se transforma en:

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Para aplicar estas ecuaciones hay que proceder por tanteos. Se facilita su aplicación hallando los valores de la esbeltez L/r para una serie de valores de P/A, y con distintos valores de la relación de excentricidad ec/r2 tales como 0.2, 0.4, etc., 1.0. Es interesante observar que cuando la esbeltez se aproxima a cero el valor de la secante en la ecuación tiende a la unidad y, por tanto, la ecuación se transforma, en el límite,

Que es la ecuación para cargas excéntricas en elementos cortos. Y la máxima deflexión transversal es:

Curvas de diseño para formula de la secante con un factor de seguridad de 2.5.

CONCLUSIÓN Con esta investigación realizada aprendimos como aplicar los criterios utilizados en el análisis de columnas para determinar cargas críticas. Determinar las ecuaciones correspondientes para cada aplicación mostrada y entender cómo aplicarlas según sea el caso necesario y conocer los tipos de materiales que se deben utilizar en estructuras como columnas. Estas pueden ser aplicadas simultáneamente agravando o mejorando el estado del esfuerzo.

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BIBLIOGRAFIA Fitzgerald Robert W. Mecánica de Materiales. Ed. Alfaomega 2. Beer & Johnston. Mecánica de Materiales. Ed. Mc Graw Hill Mott Robert. Resistencia de Materiales Aplicada. Ed. Prentice Hall. Singer Ferdinand. Resistencia de materiales. Ed. Harl. Fuentes electrónicas: http://www.itmexicali.edu.mx/departamentos/cinformacion/database.html http://www.academia.edu/