Comparacion De Medias

7. COMPARACION DE MEDIAS: En el presente experimento existe diferencias entre los promedios de los híbridos hasta con una probabilidad hasta del 99%. Por lo tanto, es necesario aplicar una prueba de comparación de medias para establecer entre que tratamiento existe diferencias o establecer un orden de mérito. Existen varias pruebas de comparación de medias, entre estas las más utilizadas son las siguientes:     

Prueba de “t”. Prueba de Diferencia límite de Significación (DLS). Con su variante de Test de Bonferroni. Prueba de DUNCAN Prueba de TUKEY Prueba de DUNNET

Todas estas pruebas tienen el mismo objetivo, sin embargo, cada una tiene sus propias bondades. Existe una gradación de rigor de comparación entre la Prueba de “t” y el Tukey. La “t” y DLS son pruebas suaves de menor rigor es decir existe más probabilidades de encontrar diferencias entre los promedios, mientras que Duncan y Tukey, son más rigurosas es decir tiende a igualar los promedios. En experimentos agrícolas de invernadero con promedios muy similares y donde la variable respuesta es muy fina, como análisis sobre contenido de proteínas u otros elementos menores, mediciones de materia seca, entre otros similares, es recomendable la Prueba de “t” o DLS, ambos generan el mismo resultado. En experimentos de campo, dende la medición de variables toma valores altos (litros, metros, kilogramos o toneladas), se recomienda Duncan o Tukey. La decisión del tipo de prueba va a depender del criterio del investigador en darle menor o mayor rigor a sus resultados. La prueba de DUNNETT, es una prueba especial en los experimentos demostrativos, que permiten comparar el testigo con los tratamientos nuevos; su nivel de rigor es similar a la de Duncan.

Las pruebas de DUNCAN, TUKEY y DUNNETT, tienen distribuciones probabilistas propias, todas derivadas 0 modificadas a partir de la distribución “t”. La condición indispensable para la aplicación de cualquiera de estas pruebas es que la prueba de F, resulte significativo. De lo contrario esta demás aplicar cualquiera de las pruebas, porque indicará que no hay diferencias entre las medias en estudios.

PRUEBA DE “t”. En la Prueba de “t” las comparaciones de medias se realizan independiente entre cada par de promedios; las comparaciones a realizarse, lo determina cada investigador de conformidad con el interés investigativo. Por lo general se realizan todas las comparaciones directas posibles. Básicamente esta prueba consiste en comparar el valor de un “t” calculado específico para una 1

determinada comparación con el valor teórico de la distribución “t”, para lo cual se siguen los siguientes pasos: 1. Prueba de hipótesis: Se trata de comparar cada par de promedios, para saber si existe diferencias estadísticas entre sus promedios, por lo tanto la hipótesis planteada (Ho) es:

H 0 : 1   2 H a : 1   2 La H0 es de igualdad o bilateral. Para proceder con la prueba de “t” no es necesario establecer el orden de mérito de los promedios sin embargo resulta muy recomendable por que facilita estimaciones y las interpretaciones; no se tendrá diferencias de medias negativas. 2. Estimación de la desviación estándar de diferencia de medias (𝑺𝒅 ̅ ):

𝑆𝑑̅ = 𝑆(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) La desviación estándar de diferencia de medias se estima mediante la siguiente expresión. Sd 

2CMe  S ( x1  x 2 )  r

2CMe r

2CMe Donde: S d  S ( x1  x 2 )  r = Numero de rrepeticiones. CMe = Cuadrado medio del error o varainacia conjunta de los tratamientos.

3. Estimación del “t” calculado (tC) : El valor de “t” calculado proviene de la diferencia de los dos promedios en comparación dividido entre la desviación estándar de diferencia de medias, que quedaría expresado de la siguiente manera.

tc 

x1  x 2 Sd

El modelo aditivo generalmente uso Y para la variable en

estudio por lo tanto se usa también la siguiente expresión: t c 

y1  y2 Sd

Cuando los promedios se comparan sin establecer el OM de medias, entonces es posible tener residuos con signo negativo y se tendría tC con signo negativo, en este caso significa que el segundo promedio es mayor, para las comparaciones no se toma en cuenta en signo. 2

Se estima un tc específico para cada par de promedios en comparación. En la prueba de “t” se puede realizar comparaciones de promedios solo para aquellos que se tiene interés o se puede realizar todas las comparaciones, en este caso el total de comparaciones está dado por: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 =

𝑡 × (𝑡 − 1) 2

Donde: t = tratamientos (en el experimento cinco promedios) 4. Lectura de “t” tabular: En la tabla correspondiente de la distribución “t” de student, se determinará el valor de “t” teórico, o tabular correspondiente. (Los alumnos de la asignatura por el prerrequisito de Experimentación Agrícola, conocen los principios teóricos de la distribución “t” y el manejo de la tabla de “t”).

El valor teórico de “t” se lee en la respectivas tablas con la siguiente expresión: “t” a un nivel  con GLe t  (GLe) = t0.05 (GLe) y/o t0.01 (GLe) Se deberá tomar en cuenta que la hipótesis es bilateral, por lo tanto si se quiere hallar el valor unilateral del lado mayor de deberá leer con  /2 5. Criterio de decisión: La hipótesis en esa prueba se resuelva comparando tC con tt de la siguiente manera: Cuando tC es menor o igual que tt indica que los dos promedios en comparación son estadísticamente iguales entre si al nivel  utilizado; es decir, se acepta la hipótesis planteada. Se interpreta como NS. Cuando tC es mayor que tt significa que entre los dos promedios en comparación existe diferencias estadísticas a nivel  , utilizado. Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta la alternante. Se interpreta como significativo con un  al 95% y dos 2   al 99%. En este caso es necesario tomar en cuenta el interés investigativo. En algunos experimentos el interés es en el promedio de mayor valor absoluto (rendimientos, materia seca, crecimiento y desarrollo, biomasa, etc) y en otros experimentos el interés radica en los promedios más bajos o menores en valor absoluto (como resistencia a plagas y enfermedades, los de menor daño son mejores; efecto de control de los fungicidas e insecticidas, el índice de daño más bajo es el que controla mejor, etc.). 6. Conclusion:

3

APLICACIÓN DE LA PRUEBA DE “t” AL EXPERIMENTO EN DESARROLLO. 1. Hipótesis: La comparación de medias es entre cada dos promedios, sin considerar la comparación inversa. En el presente experimento con cinco tratamientos se tendría 10 hipótesis o 10 comparaciones (5 x (5-1) =10). Promedios: Los cinco híbridos tienen los siguientes promedios de rendimiento de tubérculo por planta: H-1 = 1.894 H-2 = 1.627 H-3 = 2.293 H-4 = 2.845 H-5 = 2.083 La primera hipótesis sería Ho : 1.894 ≤ 1.627 Ha : 1.894 > 1.627 De modo similar se repite las nueve restantes hipótesis. Para no extender los procedimientos, más adelante se presenta todas las comparaciones en un cuadro. 2. Estimación de la desviación estándar de diferencia de medias: Sd 

2CMe  r

2(0.175459)  0.264922 5

3. Estimación de tc para la comparación de H-1 con H-2

( x1  x 2 ) : Sd

(1.894  1.627)  1.008 (Se aproxima a igual número de decimales que 0.264922 los promedios) tc 

4. Lectura “t” teórico en la tabla de Distribución Probabilista de “t” de Student.

t (20)  2.086 tc 0.05 t 0.01 (20)  2.845 5. Criterio de decisión:

tC  tt  N .S

tc  tt    4

t0.05 = 1.008 ≤ 2.086 1.008 > 2.845

N.S N.S

t0.01 = 1.008 ≤ 2.845 NS 1.008 >2.845 NS

6. Conclusión para la primera comparación: Entre el H-1 con un rendimiento promedio de 1,894 kilogramos por planta y el H-2 con un rendimiento promedio de 1.627 kilogramos de tubérculo por planta, no existe diferencias estadísticas con 95% de confianza. La conclusión es la misma al 99% de confianza. En el presente experimento se deberá realizar un total de 10 comparaciones siguiendo el ejemplo anterior para cada comparación. Sin embargo, esto se puede resumir en la siguiente tabla.

Prueba “t” de Comparación de Medias para cinco tratamientos Datos: H-1 = 1.894 H-2 = 1.627 H-3 = 2.293 H-4 = 2.845 H-5 = 2.083 S d = 0.264922 t 0.05(20) = 2.086 t 0.01(20) = 2.845 Comparación de medias según la Prueba de “t” Diferencias Tc

tt 0.01 2.845 2.845 2.845 2.845

Significación 0.05 0.01 NS NS NS NS   NS NS

H1-H2 = 1.894 – 1.627 = 0.267 H1-H3 = 1.894 – 2.293 = -0.399 H1-H4 = 1.894 – 2.845 = -0.951 H1-H5 = 1.894 – 2.083 = -0.189

1.008 1.505 3.589 0.713

0.05 2.086 2.086 2.086 2.086

H2-H3 = 1.267 – 2.293 = -0.666 H2-H4 = 1.267 – 2.845 = -3.511 H2-H5 = 1.267 – 2.083 = -0.456

2.513 13.249 2.060

2.086 2.086 2.086

2.845 2.845 2.845

  NS

NS  NS

H3-H4 = 2.293 – 2.845 = -0.552 H3-H5 = 2.293 – 2.845 = 0.210

2.083 0.792

2.086 2.086

2.845 2.845

NS NS

NS NS

H4-H5 = 2.845 – 2.083 = 0.762

2.875

2.086

2.845





La prueba de “t” no recomienda establecer el orden de mérito, por lo que se ha procedido a comparar las medias con el Orden de Tratamientos establecido en el planeamiento del experimento, esto da jugar a residuos negativos en la diferencia de Medias. Por lo que para aplicar el Criterio de decisión es decir, tC con tt la comparación se realiza en valor absoluto, si el signo es negativo, indica que el segundo promedio es mayor.. 5

Nota: En el proceso de comparación de medias con “t”, es recomendable establecer el orden de mérito de los promedios de mayor a menor para evitar signos negativos en la diferencia de medias. Conclusiones: En la prueba de “t” cada comparación tiene su propia conclusión, por lo que en este experimento según el cuadro anterior se debe tener 10 conclusiones. De acuerdo al ejemplo aplicado para la primera comparación, el estudiante deberá completar todas las conclusiones. A continuación, se tiene tres ejemplos de conclusión: 





La Prueba de “t” para la comparación del H-1 con H-4, permite establecer que existe diferencias estadísticas entre los dos promedios siendo estadísticamente superior el H-4, con un promedio de 2.845 kg de tubérculo por planta, respecto al H-1 que tienen un promedio de 1.894 kg con 99% de confianza. La prueba de “t” para la comparación H-2 con H-3, indica que el H-3 con un rendimiento promedio de 2.293 kg de tubérculo por planta es estadísticamente superior al H-2 que tiene un rendimiento de 1.627 kg., con 95% de confianza. Mientras que al 99% de confianza ambos híbridos son estadísticamente iguales entre sí. De la comparación del H-4 con un rendimiento promedio de 2.845 kg de tubérculo por planta, con el H-5 que alcanza un rendimiento promedio de 2.083 kg por planta, se establece con 99% de probabilidades a favor que el H-4 es mayor al H-5.

PRUEBA DE DLS. Esta prueba utiliza la Distribución “t”. Consiste en estimar un valor de diferencia mínima significativa a un nivel alfa (DLS  ) y comparar con la diferencia de las medias de los tratamientos en comparación. Su aplicación comprende los siguientes pasos: 1. Hipótesis: En esta prueba también como en “t”, cada comparación de promedios es independiente para cada par de promedios. El planteamiento de hipótesis es la siguiente:

H 0 : 1   2 H a : 1   2 2. Estimación de desviación estándar de diferencia de medias( S d )

2𝐶𝑀𝑒 𝑆𝑑̅ = √ 𝑟

6

3. Lectura del valor de “tt”: El valor teórico de “t” se lee en las respectivas tablas con la siguiente expresión:

t  (GLe) = t0.05 (GLe) y/o t0.01 (GLe) Donde: t  = t0.05(20) = 2.086 t0.01(20) = 2.843 4. Estimar el valor de DLS  : El valor del DLS  se estima mediante la siguiente expresión:

𝐷𝐿𝑆 ∝ = 𝑆𝑑̅ . 𝑡∝ DLS(0.05) = (0.264922 x 2.086) = 0.552 DLS(0.01) = (0.264922 x 2.845) = 0.754 5. Criterio de decisión: El criterio de decisión consiste en comparar el valor de la diferencia de medias, con el valor del DLS  Cuando:

( x1  x 2 )  DLS ( x1  x2 )  DLS

Se acepta la hipótesis planteada N.S. Se rechaza la hipótesis planteada  

Para la comparación del H-1 con el H-2, el procedimiento seria: H1 – H2 = 1.894 – 1.627 = 0.267 :  

DLS(0.05) → 0.267 ≤ 0.552 NS DLS(0.01) → 0.267 > 0.754 NS

Como lo señalado en t, cuando se tiene diferencia de medias con signo negativo el criterio de decisión debe aplicarse en valor absoluto. Para la interpretación se toma en cuenta que el segundo promedio es mayor. 6. Conclusión: Entre los promedios de rendimiento de tubérculo del H-1 y el H-2, no existe diferencias estadísticas al 95 y 99% de confianza. EN LA PRUEBA DE DLS no es necesario realizar todas comparaciones, basta con señalar en el cuadro de resultados de promedios, como pie de cuadro los valores de DLS a ambos niveles. El lector se encarga de sacar la diferencia de las medias que quiere comparar y establecer la conclusión comparando con el DLS al nivel que decida. Resultado de rendimiento de tubérculo por planta en kg. Tratamiento Promedios H1 1.894 7

H2 H3 H4 H5

1.627 2.293 2.845 2.083

D.L.S (0.05) = 0.552 D.L.S (0.01) = 0.754 CONCLUSIÓN: En la prueba de DLS de modo similar a la prueba de “t” para cada comparación se estable su propia conclusión. Queda a responsabilidad del estudiante establecer las conclusiones para cada comparación, al nivel que decida.

PRUEBA DE DUNCAN Esta prueba es apropiada para experimentos en los que se requiere diferencias de medias con mayor rigor; por ello es muy recomendable para experimentos en el campo. Esta prueba consiste en estimar el valor de la Amplitud Limite de Significación de Duncan (ALSD  ) y compara con el valor de la diferencia de los promedios en comparación, bajo el criterio de decisión que determina la hipótesis. El procedimiento es el siguiente: 1. Hipótesis: La prueba de DUNCAN es una prueba de comparación múltiple de medias, es decir se comparan todos los promedios y los tratamientos en estudio en un determinado experimento. La prueba de DUNCAN, compara todos contra todos. La hipótesis en este caso es la siguiente:

H 0  1   2   3 ........   n H a  1   2   3 ........   n 2. Lectura de los valores de la Amplitud Estudentizada Significativa de Duncan (AES(D)  ) La prueba de Duncan, se basa en la Distribución Probabilista de Duncan, que es una Distribución de “t” modificad, en el los valores son ligeramente más altos que el valor de “t”. En esta parte no se expone la teoría de la Distribución de Duncan, pero si su manejo. La lectura de los valores de AES(D)  , se presenta en las denominadas tablas de Duncan. La tabla Duncan es un cuadro de triple entrada. En la parte superior de la tabla como encabezamiento de columnas se tiene el número de medias para la amplitud a probarse (p). La doble entrada de filas (las dos primeras columnas) está dada por el número de grados de libertad del error experimental y el nivel de significación  al 0.05 y 0.01. En la intersección de 8

estos valores se encuentra el valor del AES(D)  . En el cuerpo o contenido de la tabla se tienen los valores del AESD. La lectura se realiza mediante la siguiente expresión: AESD  (Amplitud; GLe) = Donde:  = Convencionalmente corresponde a los niveles 0.05 y 0.01 Amplitud = Corresponde a la distancia entre 2 promedios en comparación, en base a un orden de mérito de promedios. GLe = Grados de libertad del error experimental. 3. Estimación del Error Estándar (𝑺𝑿 ̅) : La fórmula general del error estándar, para la comparación de medias en diseños experimentales cambia a la siguiente expresión: En serie simple: S x 

S  n

S2 n

𝑪𝑴𝒆

; En diseños experimentales: 𝑺𝑿̅ = √

𝒓

4. Estimación de la Amplitud Limite de Significación de Duncan para una probabilidad: También se le conoce como la Diferencia Mínima de Significación de Duncan (DMS (D)). Se estima mediante la siguiente expresión:

𝑨𝑳𝑺(𝑫)∝ = 𝑨𝑬𝑺(𝑫)∝ 𝒙 𝑺𝒙̅ 5. Orden de mérito: En esta prueba es condición indispensable establecer el orden de mérito, para realizar la interpretación gráfica. En criterio de decisión para “t” se mencionó respecto al interés investigativo. En la mayoría de los experimentos las variables en estudio los valores son de menor a mayor, en donde el interés es en los valores más altos, como en caso de rendimiento por área, número de macollo, longitud de espiga, número de granos por espiga, rendimiento grano de planta, panoja, etc., y en otros casos como evaluación, resistencia de enfermedades o porcentaje de daño de los insectos, el orden de mérito se establece de menos a más; en este caso el procedimiento de comparación de medias es el mismo, siendo mejor el de menor daño sea en porcentaje o índice de daño. Como se manifestó en hipótesis en esta prueba se compara todos los promedios entre sí en un solo sentido. 6. Criterio de decisión: Esta prueba consiste en comparar la diferencia de dos promedios con el valor de la Amplitud Límite de Significación de Duncan.

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Cuando: 



( X 1  X 2 )  LS ( D ) = Se acepta la hipótesis planteada, es decir, entre los 2 promedios en comparación no hay diferencia estadística lo que se interpreta como no significativo y se simboliza por NS. ( x1  x 2 )  LS ( D ) = Se rechaza la hipótesis planteada, y se acepta la alternante, es decir que existe diferencia estadística bajo cierta probabilidad entre los promedios en comparación. Se interpreta como significativo y se simboliza con un asterisco para cada nivel (  ). 7. Interpretación gráfica: En la prueba de DUNCAN se realiza un resumen mediante una gráfica de los resultados, es decir la comparación de todos contra todos. En la interpretación gráfica se une mediante una barra los promedios que son estadísticamente iguales entre sí, es decir NS. Se puede utilizar letras minúsculas en vez de barras, cada letra se repite para los promedios estadísticamente iguales. 8. Conclusiones: En esta prueba necesariamente se establece conclusiones en base a los grupos de igualdad de la interpretación gráfica. APLICACIÓN PRACTICA DE LA PRUEBA DE DUNCAN. 1. Estimación del error estándar: Sx 

0.1754593  0.187328 5

2. Los valores de AES (D)∝ se pueden ordenar en un cuadro para facilitar los cálculos correspondientes de la siguiente manera: Cuadro de valores de AES (D)∝ p = número de promedios en comparación. AES(D) 2 3 4 5 0.05 2.95 3.10 3.18 3.25 0.01 4.02 4.22 4.33 4.40 0.187328 Sx ALS(D)0.05 0.552 0.581 0.596 0.609 ALS(D)0.01 0.753 0.791 0.811 0.824 La lectura en la Tabla de Duncan para cada amplitud de comparación se realiza de la siguiente manera: 10

   

Para p dos promedios: AES (D) 0.05 (20) = 2.95 y AES (D) 0.01 (20)= 4.02. Para p tres promedios: AES (D) 0.05 (20) = 3.10 y AES (D) 0.01 (20)= 4.22. Para p cuatro promedios: AES (D) 0.05 (20) = 3.18 y AES (D) 0.01 (20)= 4.33 Para p cinco promedios: AES (D) 0.05 (20) = 3.25 y AES (D) 0.01 (20)= 4.40

En la siguiente expresión se reemplaza los valores respectivos para cada amplitud (p)

𝑨𝑳𝑺(𝑫)∝ = 𝑨𝑬𝑺(𝑫)∝ . 𝑺𝒙̅ Para dos promedios (p=2) ALS(D)0.05 = 2.95 x 0.187328 = 0.522 ALS(D)0.01 = 4.02 x 0.187328 = 0.753 Sucesivamente para cada amplitud o (p) Los valores de los ALS en estas estimaciones se aproximan a igual número de decimales que los promedios en comparación. 3. Orden de mérito: En el presente experimento el interés es en los promedios de mayor valor, siendo el orden de mérito el siguiente: Cuadro de orden de merito de rendimiento de tubérculo por planta Orden de Híbridos en Promedios (Kg de mérito evaluación tubérculo por planta I H-4 2.845 II H-3 2.293 III H-5 2.083 IV H-1 1.894 V H-2 1.627 4. Comparación de medias: Cuadro de comparación de medias según la Prueba de Duncan Diferencias ALS(D) 0.05 0.01 H4 – H2 = 2.845 – 1.627 = 1.218 0.609 0.824 H4 – H1 = 2.845 – 1.894 = 0.951 0.596 0.811 H4 – H5 = 2.845 – 2.083 = 0.762 0.581 0.791 H4 – H3 = 2.845 – 2.293 = 0.552 0.552 0.753 H3 – H2 = 2.293 – 1.627 = 0.666 0.596 0.811 H3 – H1 = 2.293 – 1.894 = 0.399 0.581 0.791 H3 – H5 = 2.293 – 2.083 = 0.210 0.552 0.753 H5 – H2 = 2.083 – 1.627 = 0.456 0.581 0.791 H5 – H1 = 2.083 – 1.894 = 0.189 0.552 0.753 H1 – H2 = 1.894 – 1.627 = 0.267 0.552 0.753

SIG.    NS  NS NS NS NS NS

  NS NS NS NS NS NS NS NS

En esta Prueba la primera comparación es entre el promedio del primer orden de mérito con el ultimo orden de mérito; luego el primero con el penúltimo promedio, y así sucesivamente, como se muestra en la columna de diferencias 11

del presente cuadro. Esta prueba se caracteriza por ser una prueba de todos contra todos. 5. Interpretación grafica. Orden de Merito

Promedios 0.05

ALS(D) 0.01

I H4 = 2.845 II H3 = 2.293 III H5 = 2.083 IV H1 = 1.894 V H2 = 1.627 La barra une los tratamientos iguales entre sí (NS). Para cada grupo de comparación una sola barra, en este caso entonces debe haber cuatro barras. Pero la barra entre H-1 y H-2 ya está integrada dentro de la tercera barra, entonces ya no se representa. 6. Conclusiones: Se debe mencionar el coeficiente de variabilidad, como un indicador del nivel de precisión del experimento. En esta prueba se establece una conclusión para cada barra o grupo de igualdad, dentro de cada nivel de significación. Para una conclusión apropiada se debe tomar en cuenta: ¿Para qué tratamientos?; Que variable?; Con que valores?; Con qué nivel de significación? Considerando el 95% de confianza se tiene: 

El hibrido H-4 con un rendimiento promedio de 2.845 kg de tubérculo por planta y el H-3 con un rendimiento promedio de 2.293 kg de tubérculo por planta, son estadísticamente iguales entre sí, con 95% de confianza y a su vez superiores a los híbridos H-5, H-1 y H-2.



El hibrido H-3 con un rendimiento de tubérculo promedio por planta de 2.293 kg; H-5 con un rendimiento promedio de 2.083 kg por planta y H-1 con 1.894 kg rendimiento promedio por planta son estadísticamente iguales entre sí, y superiores al H-1, con 95% de confianza. 

Finalmente se tiene el tercer grupo de igualdad entre los híbridos H-5 con 2.083 kg rendimiento de tubérculo por planta; H-1 con 1.894 kg rendimiento de tubérculo por planta y H-2 con 1.627 kg rendimiento de tubérculo por planta, son iguales entre con 95% de confianza.

Considerando el 99% de confianza se tiene: Los H4 con un rendimiento de 2.845 kg de tubérculo por planta, H 3 con un rendimiento de 2.293 kg de tubérculo por planta; y el H 5 con un rendimiento de 2.083 kg, de tubérculo por planta son estadísticamente iguales entre sí con 99% de confianza y a su vez superior a H1 y H2 .

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PRUEBA DE TUKEY La prueba de TUKEY, se considera como la de mayor rigor por los valores de la Amplitud Studentizada Significativa de TUKEY que son valores superiores a los de DUNCAN, esta prueba se recomienda para todos aquellos experimentos conducidos en el campo donde las variables en estudio están sujetos a la influencia de muchos factores aleatorios, donde la respuesta de promedio presenta altas diferencias. Metodológicamente consiste en calcular una amplitud límite de significación de TUKEY (ALS(T)). Ese valor se compara con la diferencia de promedios. Como en el caso de la prueba de DUNCAN, en esta prueba también se compara todos los promedios entre sí, con la diferencia de que el ALS de TUKEY es un valor único para todas las comparaciones de medias. ALS(T) = AES(T)  𝑺𝒙̅ Procedimiento: 1.- Hipótesis.

H 0  1   2   3 ...........   n Ha  1   2   3 ...........   n

2.- Lectura de Amplitud Studentizada Significativa de TUKEY. La prueba de TUKEY también se fundamenta sobre valores modificados de la Distribución de “t”. Esta prueba se basa en la Distribución Probabilística de TUKEY, que no se expondrá en esta parte. Para la aplicación práctica los valores que presenta esta distribución se denominan Amplitud Studentizada Significativa de TUKEY (AES(T)) las que se presentan en la Tabla de Distribución de TUKEY a partir del cual se obtienen los valores de AES(T) bajo cierta probabilidad, mediante la siguiente expresión: AES(T)  (Número de tratamientos; GLe ) Convencionalmente la Tabla Tukey presenta dos niveles de significación al 0.05 y 0.01. Para la lectura de los valores de la AES(T) se deberá tomar en cuenta el nivel de significación, el número total de tratamientos y los Gle; en una tabla de triple entrada. Comparativamente para cinco tratamientos con cinco repeticiones, los valores de la AES entre Duncan y Tukey tendría las siguientes diferencias: AES (T) 0.05 (5 ; 20) = 3.25 AES (T) 0.01 (5 , 20) = 4.40 13

AES (T) 0.05 (5 ; 20) = 4.23 AES (T) 0.01 (5 , 20) = 5.29 Este valor más alto de Tukey permite comparaciones drásticas y permite comparar con mayor seguridad, de aquí viene la diferencia y las pruebas de DUNCAN Y TUKEY son preferibles para experimentos de campo. 3.- Estimación de Error Estándar: Se estima mediante la siguiente expresión.: CMe Sx  r 4.- Estimación de ALS(T): Esta expresión es conocida como Amplitd Límite de Significación de TUKEY se estima mediante la siguiente expresión.

ALS (T)  = AES (T)  . S x 5.- Orden de Mérito: Establecer el orden de mérito según el interés del investigador (si lo se quiere es valores altos o bajos). 6.- Comparación de Medias: En la prueba de TUKEY se debe comparar todos los promedios entre sí en un solo sentido, la comparación se realiza sucesivamente del primero con el último, luego el primero con el penúltimo y el primero con el antepenúltimo; sucesivamente para cada promedio. En la prueba de TUKEY es opcional realizar la comparación de medias, se puede aplicar la interpretación rápida que será expuesta más adelante. 7. Criterio de Decisión: El criterio de decisión en la prueba de TUKEY es cuando: (𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) ≤ 𝐴𝐿𝑆(𝑇)∝ (𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) > 𝐴𝐿𝑆(𝑇)∝

NS *

8. Interpretación gráfica: En esta prueba como en UNCAN se realiza un resumen mediante una gráfica de los resultados, es decir la comparación de todos contra todos. En la interpretación gráfica se une mediante una barra los promedios que son estadísticamente iguales entre sí, es decir NS. Se puede utilizar letras minúsculas en vez de barras, cada letra se repite para los promedios estadísticamente iguales. 9. Conclusiones:

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APLICACIÓN AL EJERCIO PRACTICO:

1. ALS (T)∝ = AES (T)  x S x AES (T) 0.05 (5 ; 20) = 4.23 AES (T) 0.01 (5 ; 20) = 5.29 Sx 

0.1754593  0.187328 5

ALS (T) 0.05 = 4.23 x 0.187328 = 0.792 ALS (T) 0.01 = 5.29 x 0.187328 = 0.991 2. Orden de mérito: Según interés investigativo. Cuadro de orden de mérito de rendimiento de tubérculo por planta Orden de Híbridos en Promedios (Kg de mérito evaluación tubérculo por planta I H-4 2.845 II H-3 2.293 III H-5 2.083 IV H-1 1.894 V H-2 1.627

3. Comparación de medias: Opcional Cuadro de comparación de medias según TUKEY. Diferencias DLS(T) 0.05 H4 – H2 = 2.845 – 1.627 = 1.218 0.792 H4 – H1 = 2.845 – 1.894 = 0.951 0.792 H4 – H5 = 2.845 – 2.083 = 0.762 0.792 H4 – H3 = 2.845 – 2.293 = 0.552 0.792 H3 – H2 = 2.293 – 1.627 = 0.666 0.792 H3 – H1 = 2.293 – 1.894 = 0.399 0.792 H3 – H5 = 2.293 – 2.083 = 0.210 0.792 H5 – H2 = 2.083 – 1.627 = 0.456 0.792 H5 – H1 = 2.083 – 1.894 = 0.189 0.792 H1 – H2 = 1.894 – 1.627 = 0.267 0.792

SIG 0.01 0.991 0.991 0.991 0.991 0.991 0.991 0.991 0.991 0.991 0.991

  NS NS NS NS NS NS NS NS

 NS NS NS NS NS NS NS NS NS

4. Interpretación rápida: En la Prueba de TUKEY es posible evitar la comparación de medias entre todos los tratamientos, pudiéndose aplicar la denominada interpretación rápida. La interpretación rápida consiste en establecer una diferencia entre el valor que ocupa el primer orden de mérito menos el valor de la ALS (T)  , luego el residuo se busca entre los promedios en OM, determinando el punto se asume que hasta esa posición los promedios 15

son estadísticamente iguales, esto se repite independientemente para cada promedio según su Orden de méritos, siempre empezando por el primero. 4. Interpretación gráfica: Orden de Meritos

Promedios

DLS(T) 0.05

I II III IV V

H4 = 2.845 H3 = 2.293 H5 = 2.083 H1 = 1.894 H2 = 1.627

a a b b b b

0.01 a b b b b

5. Conclusiones: 

A nivel del 95% se tiene que los híbridos H4 con un rendimiento promedio de tubérculos por planta de 2.845 kg y H3 con 2.293 kg de tubérculo por planta son estadísticamente iguales entre sí y superiores a los híbridos H5, H1 Y H2.



Al 99% se tiene que el H4 con un rendimiento promedio de 2.845 kilogramos por planta, es estadísticamente superior a los restantes cuatro híbridos; mientras que el H3 con 2.293, H5 con 2.083, H1 con 1.894 y H2 con 1.627 kilogramos de tubérculo por planta, respectivamente, son estadísticamente iguales entre sí.

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