Conceptos Y Ecuaciones Fundamentales Del Movimiento De Los Fluidos

UNIDAD IV CONCEPTOS Y ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS Alcances            

Introducción al movimiento de los fluidos Definición y clasificación de los flujos Línea de corriente Tubo de corriente Volumen de control Ecuaciones fundamentales de forma integral para un volumen de control Ecuación de continuidad Ecuación de Bernoulli interpretación de la ecuación de Bernoulli Aplicación de la ecuación de Bernoulli Problemas resueltos Referencias

4.1 INTRODUCCIÓN La aplicación de los conocimientos de la mecánica de los fluidos, en el desarrollo profesional es muy común que el estudiante de la carrera de Ingeniería Mecánica se enfrente a problemas que tienen que ver con el flujo de fluidos, el cual puede estar fluyendo con régimen de flujo laminar o turbulento, pero el flujo puede ser con diferentes características, mismas que le dan su nombre o tipo de flujo y así encontramos flujos ideales (en los cuales no se consideran los efectos de la viscosidad), flujos reales (considerando el efecto de la viscosidad), flujos permanentes, flujos compresibles (de un fluido compresible), flujos incompresibles (de un fluido incompresible) etc. El flujo de un fluido considerando los efectos de la viscosidad, la compresibilidad y en un sistema tridimensional es muy complejo, pocas veces se obtienen resultados satisfactorios solo con el análisis matemático, por lo que en la mayoría de los casos se tiene que recurrir a la experimentación en los laboratorios hidráulicos y/o haciendo suposiciones que nos ayuden a simplificar el problema; como por ejemplo suponer que el flujo se mueve en una sola dirección (flujo unidimensional), despreciar los efectos de la viscosidad y considerar que el flujo no varía con el paso del tiempo. Las herramientas con que cuenta el estudiante para resolver este tipo de problemas es conocer los conceptos y las ecuaciones fundamentales del movimiento de los fluidos, a saber: tubo de corriente, línea de corriente, volumen de control, la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli.

En esta unidad nos enfocaremos al estudio y comprensión de estos conceptos, así como a la aplicación de las ecuaciones en problemas prácticos, que para su solución consideramos el flujo unidimensional, fluido incompresible y donde no predominan los efectos de la viscosidad del fluido.

4.2 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS. DEFINICIÓN DE FLUJO. Cuando una masa pequeña de un cuerpo solido o de una sustancia se mueve de un punto a otro con una velocidad dada en cierto intervalo de tiempo, normalmente decimos que se desplazó, o se deslizo pero cuando mucho de esa masa o sustancia se desplaza o desliza de un punto a otro, normalmente se dice que se tiene un flujo, de esta manera si se trata de muchos vehículos decimos flujo vehicular, si se trata de la sangre que sale por la nariz decimos flujo sanguíneo nasal, y cuando se trata de un fluido decimos flujo de fluido, por lo tanto el flujo de un fluido es el movimiento de las partículas de un fluido que corre ya sea por un ducto cerrado o abierto de un punto a otro. El movimiento del fluido puede llevarse a cabo en un régimen de flujo laminar o turbulento que se distinguen por el movimiento en forma de láminas paralelas de las partículas del fluido o de manera caótica, cualquier tipo de flujo que se tenga puede darse en régimen de flujo laminar o turbulento. CLASIFICACION DE LOS FLUJOS. La clasificación de los flujos la podemos hacer en base a las variaciones que puede sufrir el flujo y el fluido en su paso a través de un conducto, así tenemos: De acuerdo al cambio de densidad: FLUJO INCOMPRESIBLE. Es el flujo de un fluido en el que no hay variación de la densidad de un punto a otro con respecto al tiempo y que el fluido se analice dentro del mismo campo de flujo, es decir:

𝑝 =0  𝑡 Lo anterior no exige que la densidad sea constante en todos los puntos. Si la densidad es constante, obviamente el fluido es incompresible, pero sería una condición más restrictiva. FLUJO COMPRESIBLE.

Es el flujo de un fluido en el que si hay variaciones de la densidad de un punto a otro con respecto al tiempo, es decir:

𝑝 ≠0 𝑡 De acuerdo a la variación de la velocidad con respecto al tiempo FLUJO PERMANENTE. En un flujo permanente las variables del flujo (densidad, temperatura, presión, velocidad) en ningún punto del flujo cambian con el tiempo, es decir, el flujo recorre distancias iguales en tiempos iguales. A lo que es lo mismo en cualquier punto de un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión, temperatura o velocidad con el tiempo, es decir:

𝜌 =0 𝑡

 𝑇 =0 𝑡

𝑝 =0 𝑡

𝑣 =0 𝑡

La ecuación anterior indica que las variables permanecen constantes con respecto al tiempo. FLUJO NO PERMANENTE. En un flujo no permanente las variables del flujo (densidad, temperatura, presión, velocidad o la concentración C) en cualquier punto del flujo cambian con el tiempo, es decir, el flujo recorre distancias iguales en tiempos diferentes.

𝜌 ≠0 𝑡

𝑇 ≠0 𝑡

𝑝 ≠0 𝑡

𝑣 ≠0 𝑡

𝐶 ≠0 𝑡

La ecuación anterior indica que las variables no permanecen constantes con respecto al tiempo. De acuerdo a la magnitud y dirección de la velocidad del fluido FLUJO UNIFORME. Este flujo presenta la característica particular que el vector velocidad o cualquier otra variable del fluido, en cualquier punto del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en dirección para un tiempo determinado, expresado matemáticamente se tiene  𝑠/ 𝑣 =  𝑡 , si la velocidad 𝑣 y la distancia recorrida 𝑠 son iguales entonces 𝑡 es un instante dado y se mantiene constante. Gráficamente es como se muestra en la figura 4.1, donde tanto la magnitud de la velocidad como la dirección son iguales.

Figura 4.1 Flujo uniforme.

FLUJO NO UNIFORME. Este flujo presenta la característica particular de que el vector velocidad o cualquier otra variable del fluido, en cualquier punto del escurrimiento es diferente en magnitud, pero con la misma dirección para un tiempo determinado, expresado matemáticamente se tiene ( 𝑠 / 𝑣 ≠  𝑡), como se observa en la figura 4.2

Figura 4.2 flujo no uniforme.

Por efectos del vector velocidad, cuando gira FLUJO ROTACIONAL. Se presenta cuando las partículas de un fluido dentro de un flujo tienen una rotación alrededor de un eje cualesquiera con una velocidad angular dada y que puede ser provocada por una frontera sólida. FLUJO IRROTACIONAL. Si el fluido dentro de una zona del flujo no tiene una rotación alrededor de un eje cualesquiera y la velocidad angular es cero, entonces el flujo es irrotacional Por efectos de la temperatura.

FLUJO ADIABÁTICO. Es cuando se tiene un flujo sin transferencia de calor, es decir, no hay transferencia de calor hacia el fluido o desde el fluido a la frontera solida o viceversa. FLUJO ISENTRÓPICO. Se presenta cuando el flujo es adiabático reversible o adiabático sin fricción (no se genera calor). Por los efectos de la viscosidad FLUJO NO VISCOSO (FLUJO IDEAL). Es un flujo reversible, libre de pérdidas por fricción por despreciar los efectos de la viscosidad. FLUJO VISCOSO (FLUJO REAL). Es un flujo irreversible en el que se toman en cuenta las pérdidas por fricción y los efectos de la viscosidad cinemática. Según el espacio en el que se analiza FLUJO UNIDIMENSIONAL. En la mayoría de los problemas que se presentan en el flujo de un fluido en una tubería recta de grandes dimensiones, el análisis se hace por simplicidad en una dimensión, en la dirección del flujo, de las variables como la velocidad, la presión, la viscosidad, cuyas variaciones en la dirección perpendicular a la dirección principal del flujo se desprecian, la figura 4.3 muestra un flujo de un fluido en una tubería horizontal en donde la velocidad y la presión están en la misma dirección que el flujo.

Figura 4.3 flujo unidimensional.

FLUJO BIDIMENSIONAL. Un flujo bidimensional depende de dos coordenadas espaciales, el plano horizontal y el plano vertical, este flujo lo podemos encontrar en las descargas de los vertedores, en las olas del mar, en los cambios de dirección de una tubería con cambio de sección transversal, en estos ejemplos se tienen componentes de la velocidad y de la presión en ambos planos, tal y como se muestra en la figura 4.4.

Figura 4.4 flujo bidimensional.

FLUJO TRIDIMENSIONAL. Un flujo tridimensional depende de tres coordenadas espaciales mutuamente perpendiculares, por lo que el vector velocidad se representa en los tres ejes (𝑥, 𝑦, 𝑧) y es función del tiempo, es el caso más complicado de analizar desde el punto de vista matemático, como ejemplos representativos tenemos el flujo de aire alrededor de un perfil de ala, el escurrimiento de un fluido a través de un orificio de arista curva, en los que las partículas tienen las componentes de la velocidad en los tres ejes, la figura 4.5 muestra ejemplos de flujos tridimensionales.

Figura 4.5 flujo tridimensional.

Según el régimen de flujo REGIMEN DE FLUJO LAMINAR. Como su nombre lo indica es un flujo en el que las partículas del fluido forman delgadas laminas adyacentes desplazándose una sobre la otra, de manera ordenada y suavemente, cuando el flujo es a través de una tubería de sección circular la lámina del centro de la tubería es la que tiene mayor velocidad y conforme las láminas se acercan a la frontera solida la velocidad se va reduciendo tendiendo a cero, como se muestra en la figura 4.6.

Figura 4.6 Régimen de flujo laminar.

El régimen de flujo laminar está gobernado por la ley de newton de la viscosidad que relaciona el esfuerzo cortante al que se somete el fluido y la rapidez de deformación angular de las capas adyacentes del fluido, en donde la acción de la viscosidad amortigua cualquier tendencia a la transición de flujo laminar a turbulento. (Ecuación 1.4). Si el fluido es de baja viscosidad y se somete a alta velocidad o grandes caudales el régimen de flujo laminar se transformará en régimen de flujo turbulento. REGIMEN DE FLUJO TURBULENTO.

Como ya se mencionó anteriormente el régimen de flujo turbulento se genera cuando se tiene un fluido de baja viscosidad moviéndose con velocidad alta o en grandes caudales, este es el flujo que más se presenta en la práctica de la ingeniería hidráulica, en el transporte de fluidos en ductos cerrado o en canales abiertos. Si se tiene un fluido circulando a través de una tubería en régimen de flujo turbulento, las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias caóticas, formando remolinos como se observa en la figura 4.7.

Figura 4.7 Régimen de flujo turbulento.

En un flujo turbulento se desarrollan mayores esfuerzos cortantes en el fluido, lo que hace que las irreversibilidades o pérdidas por fricción aumenten y como consecuencia las pérdidas de energía mecánica también aumentan con una potencia que va de 1.7 a 2 de la velocidad. 1 La ley de Newton de la viscosidad también es aplicable para determinar el esfuerzo cortante al que se somete el fluido en el flujo turbulento La ecuación para el flujo turbulento se puede escribir de una forma análoga a la ley de Newton de la viscosidad: 𝜏= 

𝑑𝑢 𝑑𝑦

Dónde:

 Se conoce como la viscosidad del remolino. La viscosidad del remolino no es una propiedad del fluido, sino que varía tanto en el tiempo como en el espacio, por lo tanto debe ser parametrizada para cada campo de flujo en un laboratorio adecuado, (ver capítulo 6 de Mecánica de fluidos Victor L Streeter novena

edición). El esfuerzo cortante se debe determinar sumando la viscosidad dinámica del fluido y la viscosidad parametrizada del remolino. 𝜏 = (𝜇 + )

𝛿𝑢 𝛿𝑦

4.2.1 LÍNEA DE CORRIENTE. Para la descripción del movimiento de fluidos es necesario tener presente conceptos geométricos que nos permitan la visualización del campo de flujo, conceptos como línea de corriente, línea de trayectoria y línea de filamentos. Se tienen dos enfoques básicos para la descripción del movimiento de un fluido, el enfoque lagrangiano utilizado en la mecánica de sólidos (Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813) pero que se puede aplicar a un sistema fluido en reposo para representar por medio de un diagrama de cuerpo libre (DCL) las fuerzas que actúan sobre la masa fija del fluido, (como se vio en la unidad II “Estática de los fluidos). Y el enfoque euleriano (Leonhard Euler, 1707-1783) 2 con el cual podemos trabajar la mayoría de los análisis de la mecánica de fluidos. Este enfoque considera un volumen de control fijo (véase el punto 4.2.3), o un punto fijo en el espacio ocupado por un fluido para deducir las ecuaciones de cambios de masa, momento, energía, velocidades a medida que el fluido pasa de un punto a otro en el volumen de control o punto fijo. Bajo este enfoque, una línea de corriente es una línea continua que se traza en dirección del flujo y debe tener la misma dirección que el vector velocidad en cada punto, como se muestra en la figura 4.8, en la cual se observa que la velocidad es tangente a la curva que tiene la línea de corriente.

Figura 4.8 Líneas de corriente.

4.2.2 TUBO DE CORRIENTE. A partir del concepto de línea de corriente se puede definir para flujos laminares permanentes el concepto de tubo de corriente el cual está conformado por todas las líneas de corriente que pasan a través de una curva cerrada, de igual manera se considera como tubo de corriente al espacio que existe entre las líneas de corriente, como se muestra en la figura 4.9.

Figura 4.9 Sección de un tubo de corriente en flujo laminar uniforme.

4.2.3 VOLUMEN DE CONTROL. Una forma objetiva de analizar el flujo de un fluido sería por medio de un volumen que es fijado en el espacio a través de cuyos límites tanto materia como masa, momento, energías, presiones y lo que se requiera pueda fluir y representarse, este volumen comúnmente se llama volumen de control (v𝑐) y su límite es una superficie de control (𝑠𝑐). La forma y tamaño del volumen de control usualmente puede ser finita o infinitesimal pero la superficie de control debe ser cerrado en su límite y permanecen constantes con el tiempo, es decir no cambian de forma, tamaño o posición. La figura 4.10 muestra tanto el volumen de control como la superficie de control en la bifurcación de una tubería horizontal, por el fluye un fluido con un gasto de entrada 𝑄1 y dos caudales de salida 𝑄2 y 𝑄3 , con sus respectivas velocidades y presiones.

Figura 4.10 Volumen de control y superficie de control para el interior de una tubería.

4.3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE FORMA INTEGRAL PARA UN VOLUMEN DE CONTROL. Las propiedades extensivas son aquellas que dependen de la cantidad de sustancia presente y las propiedades intensivas son aquellas cuya medida es independiente de la cantidad de sustancia presente. El peso, el momento, la energía son ejemplos de propiedades extensivas, en ellas al cambiar la cantidad de masa cambia directamente la medida de estas propiedades, las propiedades extensivas están directamente asociadas con el material en sí. La densidad, la presión, la temperatura son ejemplos de propiedades intensivas, por su naturaleza independiente de la masa. 3 El volumen de control se aplica específicamente para obtener las ecuaciones de continuidad, energía y momento lineal, aquí consideraremos las situaciones generales de flujo en un volumen de control. La figura 4.11(a) muestra un sistema en movimiento en donde la velocidad del flujo está dada con respecto a un sistema de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧). En el instante 𝑡 se tiene cierta masa de fluido contenida dentro del sistema, con frontera representada con la línea punteada; también se tiene un volumen de control fijo que coincide con el sistema en el tiempo 𝑡. Las partículas de la masa se mueven a una velocidad asociada con su posición en el tiempo 𝑡 + 𝛥𝑡.

Figura 4.11 Sistema y volumen de control en movimiento.

Las líneas de corriente marcan el tiempo 𝑡, el volumen del espacio ocupado por el sistema en el tiempo 𝑡 es un volumen de control fijo en (𝑥, 𝑦, 𝑧). Sea 𝑁 la cantidad total de alguna propiedad extensiva dentro del sistema en el tiempo 𝑡 y 𝜂 la cantidad de esta propiedad extensiva por unidad de masa del fluido. El incremento de 𝑁 para el sistema se da ahora en términos de volumen de control (𝑐𝑣). En el tiempo transcurrido de 𝑡 + 𝛥𝑡, el sistema abarca los volúmenes  y , en el instante 𝑡 el sistema ocupa el volumen  (ver figura 4.11 a y 4.11 b), el incremento en la propiedad extensiva 𝑁 en el sistema y en el tiempo 𝛥𝑡 esta dado por: 𝑁𝑠𝑖𝑠(𝑡+∆𝑡) = 𝑁𝑠𝑖𝑠(𝑡) [∫ 𝑑𝑉 + ∫ 𝑑𝑉 ]

(𝑡+∆𝑡)

− [∫ 𝑑𝑉 ]

(4.1)

𝑡

En donde 𝑑𝑉 es el elemento de volumen [∫ 𝜌𝑑𝑉 ] 1

(t+∆t)

En la derecha y luego dividiendo todo entre 𝛿𝑡 se obtiene: 𝑁𝑆𝐼𝑆1+𝛿1 − 𝑁𝑆𝐼𝑆1 𝛿𝑡

=

(∫𝐼𝐼 𝜌𝑑𝑉+ ∫𝐼 𝜌𝑑𝑉) 𝛿𝑡

𝑡+𝛿𝑡

− (∫𝐼𝐼 𝜌𝑑𝑉)

𝑡

+

(∫𝐼𝐼𝐼 𝜌𝑑𝑉) 𝛿𝑡

𝑡+𝛿𝑡

−

(∫𝐼𝐼𝐼 𝜌𝑑𝑉) 𝛿𝑡

𝑡+𝛿𝑡

(4.2)

El miembro de la izquierda de la ecuación es el incremento temporal promedio de 𝑁 dentro del sistema en el tiempo 𝛥𝑡. En el límite cuando 𝛥𝑡 tiende a cero, se 𝑑𝑁 convierte en 𝑑𝑡 . Si se toma el límite a medida que 𝛥𝑡 tiende a cero en el primer término de lado derecho de la ecuación, la suma de las dos integrales dentro del paréntesis son la cantidad de 𝑁 en el volumen de control en el tiempo 𝑡, por lo tanto el límite es: lim =

𝛿𝑡→0

 ∫ 𝜌𝑑𝑉  𝑡 𝑣𝑐

El siguiente término es el incremento temporal del flujo de 𝑁 hacia fuera de (𝑣𝑐) en el límite y resulta: lim (

(∫𝐼𝐼𝐼 𝜌𝑑𝑉)

𝑡+𝛿𝑡

𝛿𝑡

𝛿𝑡→0

) = ∫á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝜌𝑣 ∙ 𝑑𝐴 = ∫𝑆𝐶 𝜌 cos 𝛼 𝑑𝐴

(4.3)

De la fig. 4.11 c, 𝑑𝐴 es el vector que representa un elemento de área, del área de salida del flujo,  es el ángulo formado por el vector de la velocidad del flujo y el vector del área elemental. El último término de la ecuación (4.2) es el incremento del flujo de 𝑁 hacia adentro del (𝑣𝑐), cuyo límite es igual a: lim (

(∫𝐼𝐼𝐼 𝜌𝑑𝑉)

𝛿𝑡→0

𝛿𝑡

𝑡+𝛿𝑡

) = ∫á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑓𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜌𝑣 ∙ 𝑑𝐴 = ∫𝑆𝐶 𝜌 cos 𝛼 𝑑𝐴

(4.4)

El signo negativo es debido a que (𝑐𝑜𝑠) es negativo para el flujo a la entrada (ver fig 4.11 d). Los dos últimos términos de la ecuación (4.2) se pueden igualar con las ecuaciones (4.3) y (4.4) resultando un término único que es una integral sobre toda la superficie del volumen de control (𝑣𝑐): lim (

𝛿𝑡→0

(∫𝐼𝐼𝐼 𝜌𝑑𝑉 )

𝑡+𝛿𝑡

𝛿𝑡

−

(∫𝐼 𝜌𝑑𝑉 )

𝑡+𝛿𝑡

𝛿𝑡

) = ∫ 𝜌𝑣 ∙ 𝑑𝐴 = ∫ 𝜌 cos 𝛼 𝑑𝐴 𝑆𝐶

𝑆𝐶

Si no existe flujo de entrada o salida 𝑣. 𝑑𝐴 = 0 por consiguiente la ecuación puede evaluarse sobre toda la superficie de control (𝑠𝑐), por lo que se tiene: 𝑑𝑁 𝑑𝑡

=

 ∫ 𝜌𝑑𝑉  𝑡 𝑉𝐶

+ ∫𝑆𝐶 𝜌𝑣 ∙ 𝑑𝐴

(4.5)

La ecuación (4.5) establece que el incremento temporal de 𝑁 dentro de un sistema es igual al incremento temporal de 𝑁 dentro del volumen de control más el incremento neto de flujo de 𝑁 a través de la frontera del volumen de control, esta ecuación se conoce como ecuación de transporte de Reynolds. 4

4.4 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. La ecuación de continuidad es una de las ecuaciones de Euler de conservación de la masa, para su deducción nos vamos a basar en la ecuación de transporte de Reynolds, (ecu.4.5) en donde la propiedad extensiva 𝑁 es 𝑀 la masa de un

sistema fluido, es decir, 𝑁 = 𝑀, por lo tanto 𝜂 = 1 porque es igual a la masa por unidad de masa, la ecuación (4.5) se puede escribir de la siguiente forma: 𝜕 ∫ 𝜌𝑑∀ 𝜕𝑡 𝑉𝐶

+ ∫𝑆𝐶 𝜌𝑣 ∙ 𝑑𝐴 = 0

(4.6)

Esta ecuación establece que la cantidad temporal de cambio de la masa en el volumen de control, más la cantidad neta de masa que sale del volumen de control a través de su superficie es igual a cero ya que la masa que entra al volumen de control es igual a la masa que sale del volumen de control. Consideremos que un flujo entra en el tubo de la figura 4.12a en la sección 1, llenando todo el volumen de control y sale en la sección 2 sin importar si el flujo es laminar o turbulento, permanente o no permanente, la conservación de la masa se cumple, de esta manera si el flujo es permanente, la ecuación (4.6) se reduce quedando: 0 = ∫𝑆𝐶 𝜌𝑣 ∙ 𝑑𝐴

(4.7)

Figuras 4.12 (a) Volumen de control a la entrada y salida (b)

La ecuación (4.7) debe aplicarse en las superficies de control de entrada y salida de la masa (fig. 12b) quedando: ∫𝑠𝑐1 𝜌1 𝑣1 ∙ 𝑑𝐴1 + ∫𝑆𝐶2 𝜌2 𝑣2 ∙ 𝑑𝐴2 = 0

(4.8)

Como los vectores de velocidad a la entrada y a la salida son perpendiculares a sus respectivas áreas, entonces en la salida la integral del producto punto (fig. 4.11 c y d) se determina como 2 𝑣2 𝑑𝑨2 = 2 𝑣2 𝑑𝑨2 y en la entrada, 1 𝑣1 𝑑𝐴1 = −1 𝑣1 𝑑𝑨1 de esta manera se obtiene: ∫𝑠𝑐 𝜌1 𝑣1 𝑑𝐴1 = ∫𝑠𝑐 𝜌2 𝑣2 𝑑𝐴2 1

(4.9)

2

Si 1 y 2 permanecen constantes en las secciones 1 y 2, la ecu. (4.9) se puede escribir de la siguiente forma: 𝜌1 ∫ 𝑣1 𝑑𝐴1 = 𝜌2 ∫ 𝑣2 𝑑𝐴2 𝑠𝑐1

𝑠𝑐2

Si las velocidades en la sección 1 y 2 no varían y se trabaja con velocidades promedio espacial para reducir el problema a un flujo unidimensional se tiene:

𝑣1 𝐴1 = 𝜌1 ∫ 𝑣1 𝑑𝐴1

𝑣2 𝐴2 = 𝜌2 ∫ 𝑣2 𝑑𝐴2

𝑠𝑐1

𝑠𝑐2

Por lo tanto: 𝜌1 𝑣1 𝐴1 = 𝜌2 𝑣2 𝐴2 = 𝑚̇

(4.10)

Donde 𝑚̇ es el gasto másico dado en unidades de masa por segundo (𝑘𝑔⁄𝑠 0 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠⁄𝑠), la ecuación (4.10) es la ecuación de continuidad y nos dice que el gasto másico que pasa por la sección transversal 1 es igual al gasto másico que pasa por la sección transversal 2. El gasto volumétrico (𝑄) se define como la cantidad de volumen de una sustancia que pasa por una sección transversal en unidad de tiempo, matemáticamente se escribe: 𝑄 = 𝑣𝐴 La ecuación de continuidad (4.10) toma la siguiente forma: 𝑚̇ = 1 𝑄1 = 2 𝑄2 Cuando el fluido que pasa por las secciones 1 y 2 es incompresible, es decir, 1 = 2 y el flujo es permanente, la ecuación de continuidad para el gasto volumétrico es: 𝑄 = 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2

(4.11)

Donde 𝑄 = Es el gasto volumétrico en 𝑚3 ⁄𝑠 𝑜 𝑓𝑡 3 ⁄𝑠 𝑣 = Es la velocidad del fluido en 𝑚⁄𝑠 𝑜 𝑓𝑡⁄𝑠 𝐴 = Es el área de la sección transversal por donde pasa el fluido en 𝑚2 0 𝑓𝑡 2

4.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI. En los problemas que se presentan en el desarrollo profesional de la hidráulica para el flujo en tuberías la ecuación de Bernoulli es de gran utilidad ya que es una aplicación del principio de la ley de conservación de la energía la cual afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema físico aislado, permanece constante con el tiempo aun cuando dicha energía puede transformarse en otra forma de energía, así tenemos por ejemplo: en un sistema de bombeo donde una fuente de energía motriz (eléctrica o de combustión interna) transmite energía mecánica a la flecha de una bomba hidráulica, en la cual está montado el impulsor de la bomba y esta energía mecánica es convertida en energía hidráulica por el impulsor, de esta manera podemos elevar el fluido de un tanque bajo a un tanque alto, llevándose a cabo una suma de tres energías (la energía de presión, la energía cinética y la energía geodésica) estos son los términos que integran la ecuación de Bernoulli, se puede obtener en términos de la primera ley de la termodinámica 5, también puede ser obtenida como la integración de la ecuación de la energía de Euler 6. La deducción siguiente es en función del principio de conservación de la energía de manera práctica y simplificada. 7 La figura 4.13 representa las energías mencionadas anteriormente, la ecuación de Bernoulli se deduce de la siguiente forma:

Figura 4.13 Elementos de fluido en las secciones 1 y 2 de la ecuación de Bernoulli.

En primera instancia debemos entender lo que es la energía de Flujo o de presión ( 𝐸f), también llamada altura de presión en realidad es el trabajo necesario para desplazar el fluido a través de la tubería teniendo que vencer la presión (𝑝) de la columna de fluido, la energía de fluido 𝐸f se determina de la siguiente manera.

La fig. 4.13 muestra al elemento de fluido desplazado la distancia 𝐿 por la fuerza ejercida sobre el elemento 𝐹1 = 𝑝1 𝐴1 , por lo tanto, el trabajo realizado es (fuerza por distancia) 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑝𝐴𝐿 = 𝑝𝑉 Donde V es el volumen del segmento de fluido, cuyo peso es: 𝑊 =𝑉 Por lo tanto el volumen del segmento de fluido es: 𝑉 = 𝑊/ Y el trabajo es 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑝𝑉 = 𝑝𝑊/𝛾 La energía de flujo es el trabajo realizado para desplazar el segmento de fluido la distancia 𝐿, es decir: 𝐸f = 𝑊𝑝/𝛾 En donde: 𝑊 = Es el peso del segmento de fluido. 𝑝 = Es la presión a la que está sometido el segmento del fluido. 𝛾 = Es el peso específico del fluido. Energía cinética (𝐸𝑐), esta energía se obtiene de la velocidad que alcanza el segmento de fluido en el interior de tubo al recorrer la distancia 𝐿: 𝐸𝑐 = 𝑊𝑣 2 /2𝑔 Energía potencial. Esta energía se debe a la elevación o posición del segmento de fluido con relación al nivel de referencia, como se indica en la fig. 4.13 por las cotas de 𝑧1 𝑦 𝑧2 𝐸𝑝 = 𝑊𝑧 La energía total que posee el segmento de fluido es la suma de las tres energías 𝐸𝑇 . 𝐸𝑇 = 𝐸f + 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 𝐸𝑇 =

𝑊𝑝



+

𝑊𝑣 2 2𝑔

+ 𝑊𝑧

(4.12)

Cada término de la ecuación (4.12) se expresa en unidades de energía como el Newton-metro (𝑁 ∗ 𝑚) en el SI, y ft-libra (f𝑡 − 𝑙𝑏) en el Sistema inglés. El segmento de fluido se mueve de la sección 1 a la sección 2 como se muestra en la figura 4.13, los valores de la presión, la velocidad y la altura geodésica para

cada punto son constantes pero diferentes en las dos secciones esto es: Para la sección 1: 𝐸1 =

𝑊𝑝1



+

𝑊𝑣12 + 𝑊𝑧1 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑔

En la sección 2, la energía total es: 𝐸2 =

𝑊𝑣22 + + 𝑊𝑧2 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒  2𝑔

𝑊𝑝2

Si no hay energía que se agregue o pierda en el fluido entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía establece que: 𝐸1 = 𝐸2 𝑊𝑣12 𝑊𝑝2 𝑊𝑣22 + + 𝑊𝑧1 = + + 𝑊𝑧2  2𝑔  2𝑔

𝑊𝑝1

El peso del elemento 𝑊 es común a todos los términos y se elimina al dividir entre él. Así, la ecuación se convierte en: 𝑝1



+

𝑣12 2𝑔

+ 𝑧1 =

𝑝2



+

𝑣22 2𝑔

+ 𝑧2

(4.13)

La ecuación (4.13) es conocida como ecuación de Bernoulli de forma ideal ya que no incluye las pérdidas de carga por fricción.

4.5.1 INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. Los términos de la ecuación de Bernoulli de forma ideal (ecuación 4.13) resulta de dividir la expresión de energía (trabajo realizado) en unidades de fuerza por longitud entre el peso del segmento de fluido en las mismas unidades, es decir, en 𝑁. 𝑚⁄𝑁. Obsérvese que las unidades de fuerza se pueden omitir en la práctica, quedando solo la dimensión de longitud, por lo que se interpreta como una altura cuya cota va desde el nivel de referencia hasta el punto donde se encuentran acotadas las secciones 1 y 2, estas alturas o elevaciones en el ámbito profesional se conocen como cargas, de esta manera se tiene los siguientes nombres para cada término de la ecuación de Bernoulli: 𝑝 / = Es la energía de presión o carga de presión, o altura de presión. 𝑧 = Es la energía de posición o la carga de elevación, o la altura geodésica. 𝑣 2 / 2𝑔 = Es la energía cinética, o la carga de velocidad o altura de velocidad. La suma de estos tres términos se le llama carga total, o energía total. La figura 4.14, nos muestra las cotas de cada una de las energías que intervienen en la ecuación de Bernoulli.

Figura 4.14 Cargas de presión, velocidad, de elevación y total. De la figura 14 se obtiene el siguiente análisis, el fluido al pasar de la sección 1 a la 2 por ser de diferentes diámetros, la magnitud de cada término cambia de valor, si la sección fuera constante el fluido no perdería ni ganaría energía, la carga total permanece constante cuando no se tienen cambios de sección y de nivel. La ecuación de Bernoulli nos sirve para determinar las caídas de presión, de velocidad y las diferencias de elevación si la agrupamos de la siguiente manera: 𝑝1



−

𝑝2



=

𝑣22 𝑣12 − + 𝑧2 − 𝑧1 2𝑔 2𝑔

De esta manera

𝑝1 − 𝑝2

 Es la diferencia de presiones expresada como altura de presión.

𝑣22 − 𝑣12 2𝑔 Es la diferencia de velocidades entre las secciones 1 y 2 expresada como altura de velocidad. 𝑧2 − 𝑧1 Es la diferencia de alturas geodésicas o de posición entre el punto 1 y 2 Si aplicamos la ecuación de continuidad en las secciones 1 y 2 podemos observar el cambio de velocidad debido al cambio de sección, esto es: 𝑄 = 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 De donde: 𝑣1 = 𝑣2 (

𝐴2 ) 𝐴1

Como 𝐴1 < 𝐴2 entonces 𝑣2 es menor que 𝑣1 . Para la aplicación de la ecuación de Bernoulli en la solución de problemas prácticos es necesario homologar las dimensiones de los términos que en ella intervienen, de esta manera la presión debe ser expresada en los dos puntos como presión absoluta o manométrica, jamás una diferente de la otra. La ecuación de Bernoulli de forma ideal se aplica para la solución de problemas en el que el fluido es incompresible, de esta manera el peso específico del fluido es el mismo. En este caso no debe haber dispositivos mecánicos que transmitan o reciban energía del fluido, ya que la ecuación establece que la energía del fluido permanece constante. Los resultados obtenidos para ejemplos prácticos con la ecuación de Bernoulli de forma ideal en la que no se consideran las pérdidas por fricción en las tuberías y tampoco se considera la transferencia de calor del sistema, son con márgenes de error muy pequeños. 8

4.5.2 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. La ecuación de Bernoulli de forma ideal nos ayuda a resolver problemas en los que se desee conocer alguna de las formas de energía que intervienen como son la energía de presión, la energía de velocidad o la energía de posición, también nos ayuda a resolver problemas de flujo de fluidos en los que se requiera conocer el gasto que pasa por una tubería, conociendo la diferencia de presión en los puntos 1 y 2 o determinándola por medio de manómetros diferénciales y con apoyo de la ecuación de continuidad. Se pueden incluso determinar las potencias de bombas o turbinas sin considerar la pérdida de carga por fricción en la tubería de conducción del fluido, para lo cual se utiliza la expresión de la ecuación de Bernoulli, (ecuación 4.14). En Hidráulica es muy común encontrar elementos (máquinas) que suministran o sustraen energía al fluido, pero en los cuales el intercambio de calor es despreciable. Cuando la máquina suministra energía al fluido se trata de una bomba y cuando el

fluido suministra energía a la máquina se trata de una turbina. Para ambos casos la ecuación de Bernoulli se debe completar agregando el término que indique entre las secciones 1 y 2 la cantidad de energía mecánica o hidráulica recibida o transmitida por unidad de peso del fluido circulante (𝐻𝑚 ) positiva si se trata de una bomba y negativa si es una turbina. 𝑝1 𝛾

𝑣2

+ 2𝑔1 + 𝑧1  𝐻𝑚 =

𝑝2 𝛾

𝑣2

+ 2𝑔2 + 𝑧2

(4.14)

Otro término que también se debe incluir en la ecuación de Bernoulli es el que incluye las pérdidas de carga por fricción generadas en las tuberías de conducción del fluido, de esta manera se tiene la ecuación general de Bernoulli. 𝑝1 𝛾

𝑣2

+ 2𝑔1 + 𝑧1  𝐻𝑚 − 𝐻𝑓1−2 =

𝑝2 𝛾

𝑣2

+ 2𝑔2 + 𝑧2

(4.15)

Esta ecuación general de Bernoulli incluye todas las incógnitas que puedan intervenir en un problema práctico de flujo de fluidos con la cual podemos determinar la altura manométrica de la bomba o de la turbina considerando también las pérdidas de carga por fricción en la tubería desde el punto 1 (que puede ser la succión de la bomba, pichancha) hasta el punto 2 (que sería en la descarga de la bomba, tanque alto).

𝐻𝑓1−2 Representa las pérdidas de carga por fricción en la tubería y se calculan por separado, ya que se tienen que determinar las pérdidas de superficie y de forma (Unida VI) La potencia hidráulica que requiere la bomba para bombear al fluido o la potencia hidráulica que el fluido transmite a la turbina se determina por medio de la ecuación 3.5, se considera el efecto de la fuerza gravitacional, por lo tanto se obtiene: 𝑃𝐻 = 𝑄 𝐻𝑚

(4.16)

𝑃𝐻 = Es la potencia hidráulica en watts 𝑄 = Es el gasto del fluido de trabajo en 𝑚3 /𝑠.

 = Es el peso específico del fluido de trabajo en 𝑁/ 𝑚3 𝐻𝑚 = Es la altura o carga manométrica que requiere la bomba o la turbina en 𝑚. 9

REFERENCIAS. [1] Victor

L. Streeter. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág.107.).

[2] Victor L. Streeter. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág.103.). [3] Irving H. Shames. Mecánica de fluidos. (pág.122). Mac Graw Hill. [4] Victor L. Streeter. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág 113-115).

[5] Victor L. Streeter. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág.216). [6] Victor L. Streeter. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág. 149). [7] Roberto L. Mott. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág 127). [8] Roberto L. Mott. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág 128). [9] Roberto L. Mott. Mecánica de fluidos. (Novena ed., pág 129).