Contoh Soal Mdof

Analisa Dinamika Struktur  

SOAL 3

 

q3

   

h3

 

q2

    h2

 

q1

     

h1

    L DIKETAHUI :  Struktur pada gambar di atas dengan data sebagai berikut : L

=6m

q1

= 3 t/m

g

= 980 cm / detik2

h1

=6m

q2

= 3 t/m

k1

= 5 x 103 kg/cm

h2

=5m

q3

= 2,5 t/m

k2

= 4 x 103 kg/cm

h3

=4m

k3

= 3 x 103 kg/cm

DIMINTA : Tentukan Respon struktur tersebut diatas akibat gempa El Centro

 

Analisa Dinamika Struktur  

PENYELESAIAN : Perhitungan Massa : ω 1 = q1 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg ω 2 = q2 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg ω 3 = q3 . L = ( 2,5 x 103 ) x 6 = 15.000 kg

m1 

m2 

m3 

1 g

2 g

3 g



18000  18 ,367 kg det 2 / cm 980



18000  18 ,367 kg det 2 / cm 980  



15000  15 ,306 kg det 2 / cm 980  

Model Matematik

 

Analisa Dinamika Struktur  

Free Body

Berdasarkan keseimbangan gaya – gaya pada freebody diagram, maka dapat disusun PD (Persamaan Differensial ) gerakan sebagai berikut : m1 . y1 + k1 . y1 – k2 ( y2 – y1 )

=0___________(1)

m2 . y2 + k2 ( y2 – y1 ) – k3 ( y3 – y2 ) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) m3 . y3 + k3 ( y3 – y2 )

=0___________(3)

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi : m1 . y1 + ( k1 + k2 ) y1 – k2 . y2

=0___________(4)

m2 . y2 – ( k2 . y1 ) + ( k2 + k3 ) y2 – k3 . y3

=0___________(5)

m3 . y3 – k3 . y2 + k3 . y3

=0___________(6)

Atau bila ditulis dalam bentuk matriks menjadi :

 m1  0   0

0 m2 0

0   y1   k 1  k 2 0   y 2     k 2 m 3   y 3   0

 k2 ( k 2  k 3)  k3

0   y1   0   k 3   y 2    0  k 3   y 3   0   

________(7)

Jika dipakai unit massa m = 10 kg det2 / cm dan unit kekakuan k = 1000 kg / cm maka matriks massa dan matriks kekakuan struktur 3 DOF diatas adalah :

1,8367 m    0  0

0 1,8367 0

 0  _ _ _ _ _ _ _ _ ( 8 ) 1, 5306    0

 

Analisa Dinamika Struktur  

 9k k     4 k  0

 4k

0   3 k  _ _ _ _ _ _ _ _ ( 9 ) 3 k   

7k  3k

Persamaan Eigen Problem yang dapat diperoleh dari matriks [ m ] dan matriks [ k ] adalah :

 9 k  1,8367 m  2   4k   0 

 4k 7 k  1,8367 m  2  3k

  _ _ _ _ _ _ _ _ ( 10 )  3 k  1,5306 m  2    0  3k

Sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi :

 9 k  1,8367  2  k  m    4k    0  

 4k 7 k  1,8367  2 k m  3k

  0    1   0       0  _ _ _ _ _ _ _ _ ( 11 )  3k  2       3   0  3 k  1, 5306  2   k  m

Penyederhanaan persamaan ( 11 ), menjadi : ( 9 – 1,8367 λ ) ø1 - 4 ø2

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 12 )

-4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 13 )

-3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 14 )

Dengan mengambil nilai ø1 = 1, maka pada persamaan ( 12 ) dan persamaan ( 13 ) akan menjadi: 

Persamaan ( 12 ) ( 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4

ø2

=0

( 9 – 1,8367 λ ) 1 – 4 ø2

=0

9 – 1,8367 λ – 4 ø2

=0 4 ø2

= 9 – 1,8367 λ

ø2

= 2,25 – 0,4592 λ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 15 )

 

Analisa Dinamika Struktur  





Persamaan ( 13 ) -4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3

=0

-4 x 1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ( 2,25 – 0,4592 λ ) – 3 ø3

=0

-4 + 15,75 – 4,1326 λ – 3,2144 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3

=0

11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3

=0

3 ø3

= 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2

ø3

= 3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 16 )

Substitusi Persamaan ( 15 ) dan persamaan ( 16 ) ke dalam persamaan ( 14 ) -3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3

=0

-3 (2,25 – 0,4592 λ ) + (3 – 1,5306 λ ) (3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 ) = 0 -6,75 + 1,3776 λ + 11,7501 – 7,347 λ + 0,8433 λ2 – 5,995 λ + 3,748 λ2 – 0,4302 λ3 = 0 5,001 – 11,9644 λ + 4,5913 λ2 – 0,4302 λ3

= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 17 )

Cara paling sederhana mencari nilai λ adalah dengan cara coba – coba dan diperoleh :

1  0 , 781   1 

5000  14 ,581 rad / det 18 ,367

0 , 781 

 2  4 ,125   2 

4 ,125 

 3  7 , 447   3 

, 447 

 

4000  29 , 972 rad / det 18 ,367  

3000  38 , 205 rad / det 15 ,306  

 

 

Analisa Dinamika Struktur  

Nilai Fungsi øi

Nilai Fungsi øi

No

Mode I = 0,781

Mode II = 4,125

Mode III = 7,447

1

ø1 = 1

ø11 = 1

ø12 = 1

ø13 = 1

2

ø2 = 2,25 – 0,4592 λ

ø21 = 1,891

ø22 = 0,3558

ø23 = -1,1696

3

ø3 = 3,9167–2,449λ + 0,2811 λ2

ø31 = 2,1755

ø32 = -1,4023

ø33 = 1,2682

Ø31

Ø32

Ø33

Ø21

Ø22

Ø11

Mode I

Ø23

Ø12

Mode II

Ø13

Mode III

Gambar Normal Mode