Contraste De Hipotesis

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez Núcleo- Barquisimeto

CONSTRASTE DE HIPOTESIS

Barquisimeto 14 de abril de 2018

Contrastes de hipótesis Una hipótesis estadística es una asunción relativa a una o varias poblaciones, que puede ser cierta o no. Las hipótesis estadísticas se pueden contrastar con la información extraída de las muestras y tanto si se aceptan como si se rechazan se puede cometer un error. La hipótesis formulada con intención de rechazarla se llama hipótesis nula y se representa por H0. Rechazar H0 implica aceptar una hipótesis alternativa (H1). La situación se puede esquematizar:  

H0 cierta

H0 falsa H1 cierta

H0 rechazada

Error tipo I (a)

Decisión correcta (*)

H0 no rechazada

Decisión correcta

Error tipo II (B )

(*) Decisión correcta que se busca a = p (rechazar H0|H0 cierta)  b = p (aceptar H0|H0 falsa)  Potencia =1-b = p (rechazar H0|H0 falsa Detalles a tener en cuenta 1 a y b están inversamente relacionadas. 2 Sólo pueden disminuirse las dos, aumentando n. Los pasos necesarios para realizar un contraste relativo a un parámetro 0 son: 1. Establecer la hipótesis nula en términos de igualdad

2. Establecer la hipótesis alternativa, que puede hacerse de tres maneras, dependiendo del interés del investigador

En el primer caso se habla de contraste bilateral o de dos colas, y en los otros dos de lateral (derecho en el 2º caso, o izquierdo en el 3º) o una cola. 3. Elegir un nivel de significación: nivel crítico para  4. Elegir un estadístico de contraste: estadístico cuya distribución muestral se conozca en

H0 y que esté relacionado con  y establecer, en base a dicha distribución, la región crítica: región en la que el estadístico tiene una probabilidad menor que  si H0 fuera cierta y, en consecuencia, si el estadístico cayera en la misma, se rechazaría H0. Obsérvese que, de esta manera, se está más seguro cuando se rechaza una hipótesis que cuando no. Por eso se fija como H0 lo que se quiere rechazar. Cuando no se rechaza, no se ha demostrado nada, simplemente no se ha podido rechazar. Por otro lado, la decisión se toma en base a la distribución muestral en H0, por eso es necesario que tenga la igualdad. 5. Calcular el estadístico para una muestra aleatoria y compararlo con la región crítica, o equivalentemente, calcular el "valor p" del estadístico (probabilidad de obtener ese valor, u otro más alejado de la H0, si H0 fuera cierta) y compararlo con . Ejemplo: Estamos estudiando el efecto del estrés sobre la presión arterial. Nuestra hipótesis es que la presión sistólica media en varones jóvenes estresados es mayor que 18 cm de Hg. Estudiamos una muestra de 36 sujetos y encontramos

1. Se trata de un contraste sobre medias. La hipótesis nula (lo que queremos rechazar) es:

2. la hipótesis alternativa

Es un contraste lateral derecho. 3. Fijamos "a priori" el nivel de significación en 0,05 (el habitual en Biología). 4. El estadístico para el contraste es

Y la región crítica T>t Si el contraste hubiera sido lateral izquierdo, la región crítica sería Tt /2  En este ejemplo t (35)0,05=1,69. 5. Calculamos el valor de t en la muestra 

No está en la región crítica (no es mayor que 1,69), por tanto no rechazamos H0. Otra manera equivalente de hacer lo mismo (lo que hacen los paquetes estadísticos) es buscar en las tablas el "valor p" que corresponde a T=0,833, que para 35 g.l. es aproximadamente 0,20. Es decir, si H0 fuera cierta, la probabilidad de encontrar un valor de T como el que hemos encontrado o mayor (¿por qué mayor? Porque la H1 es que es mayor, lo que produciría una media muestral mayor y por tanto mayor valor de t) es 0,20, dicho de otra manera la probabilidad de equivocarnos si rechazamos H0 es 0,20, como la frontera se establece en 0,05 no la rechazamos. Este valor crítico de 0,05 es arbitrario pero es la convención habitual. ¿Cuán razonable es? Problema al respecto: en la hipótesis de que un mazo de cartas esté bien barajado, la probabilidad de que al sacar dos cartas sean, p.e.:1 el as de oros y 2 el rey de bastos es 1/40 x 1/39=0,000833. Si hacemos la experiencia y obtenemos ese resultado ¿rechazaríamos la hipótesis de que el mazo está bien barajado? ¿Cuánto se parece esto a la lógica del contraste de hipótesis? Volvamos al problema del estrés. Como no se rechaza H0, se puede cometer un error tipo II. ¿Cuál es  ?. De hecho, sería la información relevante a comunicar en este estudio (la probabilidad del error que se pude cometer en él). Habitualmente, sin embargo, no se da porque los paquetes estadísticos no la calculan.  Para calcularla se debe concretar H1, p.e. = 20 (el criterio para este valor no es estadístico)

 =p (aceptar H0|H1 cierta)

Supongamos que el tamaño muestral sea suficientemente grande para poder aproximar t a z. ¿Cuándo se acepta H0? si z <01,69

es decir, se acepta H0 si  ¿Qué probabilidad hay de encontrar  hipótesis lo que se distribuye como una z es

si  = 20 (zona verde del gráfico)? En esta

Hipótesis Nula

Una hipótesis nula es una suposición que se utiliza para negar o afirmar un suceso en relación a algún o algunos parámetros de una población o muestra. Siempre que se llega a una conclusión acerca un experimento, el investigador debe establecer dos hipótesis, la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) se refiere a la afirmación contraria a la que ha llegado el investigador. Es la hipótesis que el investigador pretender rechazar. Si tiene la evidencia suficiente para ello, podrá probar que lo contrario es cierto. Por lo tanto, la hipótesis alternativa (H1) es la conclusión a la que el investigador ha llegado a través de su investigación. La afirmación de la hipótesis nula no se puede rechazar a no ser que los datos de la muestra parezcan demostrar que ésta es falsa. Por lo general la hipótesis nula incluye un no (o un desigual a) en su enunciado. Ejemplo de formulación de hipótesis nula Supongamos que un investigador ha realizado una investigación acerca del salario medio mensual por habitante en un determinado barrio de una ciudad. Imaginemos que el investigador ha encuestado a 1.000 personas, llegando a la conclusión de que el salario medio mensual por habitante es de 1.500 u.m. Por tanto el investigador quiere contrastar, si ese salario medio mensual por habitante es igual a 1.500 u.m. (conclusión del estudio y por ende hipótesis alternativa) o si por el contrario el salario medio mensual por habitante es distinto a 1.500 u.m. (conclusión contraria a la del estudio que se pretende negar y por ende hipótesis nula).

El contraste a realizar sería el siguiente:

H0: El salario medio mensual es distinto a 1.500 u.m. H1: El salario mensual es igual a 1.500 u.m.

Como resultado, tenemos la formulación de las dos hipótesis que el investigador pretende contrastar. Es importante darse cuenta (como se comentó en el segundo párrafo de la explicación) que la hipótesis nula, se refiere justo a la idea contraría a la que se ha llegado con la investigación. Como regla nemotécnica para saber cómo establecer la hipótesis nula, siempre hay que pensar en que necesitamos para validar la conclusión de nuestra investigación. Si nuestra investigación concluye que el salario medio mensual es igual a 1.500 u.m. ¿Qué necesitamos para validar la conclusión de nuestra investigación? Necesitamos rechazar lo contrario. Esto es que el salario medio mensual sea distinto a 1.500 u.m. (H0). De esta manera podríamos afirmar que el salario medio mensual es igual a 1.500 u.m. (H1). Hipótesis Alternativa Se entiende por hipótesis alternativa a la suposición alternativa a la hipótesis nula formulada en un experimento y/o investigación. Esta surge como resultado de una determinada investigación realizada sobre una población o muestra.  Entendida de manera sencilla, la hipótesis alternativa representa la conclusión que el investigador quiere demostrar o afirmar tras su estudio. Esta se expresa con la expresión “H1” y va a representar, por lo general, lo contrario a la hipótesis nula. El método científico, al contrario de lo que podría pensarse, no trata de demostrar la hipótesis alternativa (conclusión alcanzada a través de la investigación). Lo que pretende el método científico, es demostrar que lo contrario a la hipótesis alternativa (hipótesis nula), no es cierto. De esta manera, quedaría demostrada la hipótesis alternativa. Ejemplo del contraste de hipótesis Supongamos que un investigador ha realizado una investigación acerca del salario medio mensual en un determinado barrio de una ciudad. Imaginemos que de la población de ese barrio, el investigador ha encuestado a 1.000 personas llegando a la conclusión de que el salario medio mensual por habitante es de 1.500 u.m. Por tanto el investigador quiere contrastar, si ese salario medio mensual es igual a 1.500 u.m. (conclusión del estudio y por ende hipótesis alternativa) o si por el contrario el salario

medio mensual es distinto a 1.500 u.m. (conclusión contraria a la del estudio que se pretende negar y por ende hipótesis nula) El contraste a realizar sería el siguiente: H0: El salario medio mensual es distinto a 1.500 u.m. H1: El salario mensual es igual a 1.500 u.m.

Como vemos, la hipótesis alternativa (H1), es la conclusión alcanzada por el investigador. Para demostrarla el investigador va a tratar de probar que lo contrario a su hipótesis alternativa (hipótesis nula, H0), no es cierto. Como conclusión, podemos deducir que la formulación de la hipótesis alternativa, es la que nos va a conducir a la formulación de la hipótesis nula. Conclusiones del contraste de hipótesis del ejemplo Tras el contraste realizado el investigador podrá rechazar o no, la hipótesis nula (probando así que la hipótesis alternativa es cierta). Lo correcto para comentar el resultado de un contraste de hipótesis, es siempre hablar en términos de la hipótesis nula. En caso de haber rechazado la hipótesis se puede utilizar la siguiente afirmación, “a la luz de los datos y tras el resultado obtenido a través del contraste de hipótesis realizado, se dispone de evidencia suficiente para poder rechazar la hipótesis nula”. Por tanto, la conclusión sería que el salario medio mensual es igual a 1.500 u.m. Por el contrario, si no hemos podido rechazar la hipótesis del contraste realizado, se podría utilizar la siguiente afirmación, “a la luz de los datos y tras el resultado obtenido a través del contraste de hipótesis realizado, no se dispone de evidencia suficiente para poder rechazar hipótesis nula”. De ser así, la conclusión sería que el salario medio mensual no es igual a 1.500 u.m. Decisión correcta de tipo A y B: Una decisión correcta tipo A, cuando la hipótesis nula es verdadera y se decide a favor de ella Una decisión correcta tipo B, cuando la hipótesis nula es falsa y la decisión tomada es contraria a esta hipótesis

Error de tipo I y II:

Ninguna prueba de hipótesis es 100% cierta. Puesto que la prueba se basa en probabilidades, siempre existe la posibilidad de llegar a una conclusión incorrecta. Cuando usted realiza una prueba de hipótesis, puede cometer dos tipos de error: tipo I y tipo II. Los riesgos de estos dos errores están inversamente relacionados y se determinan según el nivel de significancia y la potencia de la prueba. Por lo tanto, usted debe determinar qué error tiene consecuencias más graves para su situación antes de definir los riesgos. Error de tipo I Si usted rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera, comete un error de tipo I. La probabilidad de cometer un error de tipo I es α, que es el nivel de significancia que usted establece para su prueba de hipótesis. Un α de 0.05 indica que usted está dispuesto a aceptar una probabilidad de 5% de estar equivocado al rechazar la hipótesis nula. Para reducir este riesgo, debe utilizar un valor menor para α. Sin embargo, usar un valor menor para alfa significa que usted tendrá menos probabilidad de detectar una diferencia si está realmente existe. Error de tipo II Cuando la hipótesis nula es falsa y usted no la rechaza, comete un error de tipo II. La probabilidad de cometer un error de tipo II es β, que depende de la potencia de la prueba. Puede reducir el riesgo de cometer un error de tipo II al asegurarse de que la prueba tenga suficiente potencia. Para ello, asegúrese de que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande como para detectar una diferencia práctica cuando está realmente exista. La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa es igual a 1–β. Este valor es la potencia de la prueba  

Verdad acerca de la población

Decisión basada en la muestra

H0 es verdadera

No rechazar H0

Decisión correcta (probabilidad = 1 Error tipo II - no rechazar - α) H0 cuando es falsa (probabilidad = β)

Rechazar H0

Error tipo I - rechazar H0 cuando es verdadera (probabilidad = α)

H0 es falsa

Decisión correcta (probabilidad = 1 - β)

Ejemplo de error de tipo I y tipo II

Para entender la interrelación entre los errores de tipo I y tipo II, y para determinar cuál error tiene consecuencias más graves para su situación, considere el siguiente ejemplo. Un investigador médico desea comparar la efectividad de dos medicamentos. Las hipótesis nula y alternativa son: Hipótesis nula (H0): μ1= μ2 Los dos medicamentos tienen la misma eficacia. Hipótesis alternativa (H1): μ1≠ μ2 Los dos medicamentos no tienen la misma eficacia. Un error de tipo I se produce si el investigador rechaza la hipótesis nula y concluye que los dos medicamentos son diferentes cuando, en realidad, no lo son. Si los medicamentos tienen la misma eficacia, el investigador podría considerar que este error no es muy grave, porque de todos modos los pacientes se beneficiarían con el mismo nivel de eficacia independientemente del medicamento que tomen. Sin embargo, si se produce un error de tipo II, el investigador no rechaza la hipótesis nula cuando debe rechazarla. Es decir, el investigador concluye que los medicamentos son iguales cuando en realidad son diferentes. Este error puede poner en riesgo la vida de los pacientes si se pone en venta el medicamento menos efectivo en lugar del medicamento más efectivo. Cuando realice las pruebas de hipótesis, considere los riesgos de cometer errores de tipo I y tipo II. Si las consecuencias de cometer un tipo de error son más graves o costosas que cometer el otro tipo de error, entonces elija un nivel de significancia y una potencia para la prueba que reflejen la gravedad relativa de esas consecuencias. Potencia de contraste Potencia de un contraste: Es la probabilidad de decidir H1 cuando ésta es cierta P [ decidirH_1 / H_1 es cierta]=1-β El concepto de potencia se utiliza para medir la bondad de un contraste de hipótesis. Cuanto más lejana se encuentra la hipótesis H1 de H0 menor es la probabilidad de incurrir en un error tipo II y, por consiguiente, la potencia tomará valores más próximos a 1 Si la potencia en un contraste es siempre muy próxima a 1 entonces se dice que el estadístico de contraste es muy potente para contrastar H0 ya que en ese caso las muestras serán, con alta probabilidad, incompatibles con H0 cuando H1 sea cierta. Por tanto puede interpretarse la potencia de un contraste como su sensibilidad o capacidad para detectar una hipótesis alternativa. La potencia de un contraste cuantifica la capacidad

del criterio utilizado para rechazar H0 cuando esta hipótesis sea falsa Es deseable en un contraste de hipótesis que las probabilidades de ambos tipos de error fueran tan pequeñas como fuera posible. Sin embargo, con una muestra de tamaño prefijado, disminuir la probabilidad del error de tipo I, α, conduce a incrementar la probabilidad del error de tipo II, β. El recurso para aumentar la potencia del contraste, esto es, disminuir la probabilidad de error de tipo II, es aumentar el tamaño muestral lo que en la práctica conlleva un incremento de los costes del estudio que se quiere realizar El concepto de potencia nos permite valorar cual entre dos contrastes con la misma probabilidad de error de tipo I, α, es preferible. Se trata de escoger entre todos los contrastes posibles con α prefijado aquel que tiene mayor potencia, esto es, menor probabilidad β de incurrir en el error de tipo II. En este caso el Lema de Neyman-Pearson garantiza la existencia de un contraste de máxima potencia y determina cómo construirlo. Concepto de p-valor. Definimos el p-valor como la probabilidad de que, suponiendo cierta H0, el estadístico de contraste tome un valor al menos tan extremo como el que se obtiene a partir de las observaciones muestrales, i.e., el p-valor es el área de la cola de la distribución (o colas si el test es bilateral) definida a partir del estadístico de contraste: 1. El p-valor sólo puede calcularse una vez tomada la muestra, obteniéndose niveles críticos distintos para cada muestra. 2. El p-valor puede interpretarse como un nivel mínimo de significación en el sentido de que niveles de significación α, iguales o superiores al p - valor llevarán a rechazar la hipótesis nula. Por tanto, cuanto menor sea el p - valor mayor es el grado de incompatibilidad de la muestra con H0, lo que lleva a rechazar H0. 3. El cálculo del p-valor no proporciona de modo sistemático una decisión entre H0 y H1. Esta forma de abordar los tests, nos permite una visión más amplia, por cuanto nos da información de para qué niveles de significación puede rechazarse la hipótesis nula, y para cuales no se puede. Para lo que sigue, tendremos en cuenta la siguiente propiedad: Supuesto: X se distribuye según una normal.

Nivel de significación.

A la probabilidad de cometer un error de tipo I la denominaremos nivel de significación y la denotaremos con  es un umbral que permite determinar si el resultado de un estudio se puede considerar estadísticamente significativo después de realizar las pruebas estadísticas planificadas. 

Como regla general, el nivel de significancia (o alfa) se establece comúnmente como 0,05, lo que significa que la probabilidad de observar las diferencias en los datos al azar es de solo el 5 %.



Un nivel de confianza más alto (y, por lo tanto, un valor p más bajo) significa que los resultados son más significativos.



Si quieres una mayor confianza en tus datos, establece el valor p a 0,01. Los valores p más bajos generalmente se usan en la manufactura al detectar defectos en productos. Es muy importante tener una confianza alta en que todas las partes funcionarán exactamente como deben.



Para la mayoría de los experimentos impulsados por hipótesis, un nivel de significancia de 0,05 es aceptable. Uso del p-valor en los contrastes sobre µ con σ conocida Dada una población X (que sigue una distribución cualquiera), con media µ (desconocida) y desviación estándar σ conocida, se trata de contrastar alguno de los tres tests siguientes: :

El p-valor nos proporciona el grado de credibilidad de la hipótesis nula: si el valor de p fuese “muy pequeño” (inferior a 0,001), significaría que la hipótesis nula es del todo increíble (en base a las observaciones obtenidas), y por tanto la descartaríamos; si el valor de p oscilase entre 0,05 y 0,001 significaría que hay fuertes evidencias en contra de la hipótesis nula, por lo que la rechazaríamos o no en función del valor que hubiésemos asignado (a priori) a α. Finalmente, si el valor de p es “grande” (superior a 0,05), no habría motivos suficientes como para descartar la hipótesis nula, por lo que la tomaríamos como cierta. Criterio de decisión: Descartaremos H0 si p-valor ≤ α (normalmente α = 0,05). En caso contrario aceptaremos H0 (p-valor > α) Ejemplos utilizando la tabla de la normal Utilización de las tablas de una distribución normal N (0, 1) Ejemplo 1: Calcular P (Z ≤ 1,28)

Esta probabilidad se puede encontrar directamente en la tabla. Buscamos en la tabla la

intersección de la fila que comienza por 1,2 y la columna correspondiente a 0,08. Y obtenemos P (Z ≤ 1,28) = 0,8997. Puede decirse que aproximadamente el 89,97% de los valores de la variable están distribuidos entre -∞ y 1,28.

Ejemplo 2: Calcular P (Z ≥ 0,65)

Esta probabilidad no se puede encontrar directamente en la tabla, tenemos que calcularla utilizando la probabilidad del suceso contrario. P (Z ≥ 0,65) = 1 – P (Z ≤0,65) Buscamos en la tabla la intersección de la fila que comienza por 0,6 y la columna correspondiente a 0,05. Y obtenemos P (Z ≤ 0,65) = 0,7422. P (Z ≥ 0,65) = 1 – P (Z ≤0,65) = 1 - 0,7422 = 0,2578 Puede decirse que aproximadamente el 25,78% de los valores de la variable están distribuidos entre 0,65 y +∞.

Uso del p-valor en los contrastes sobre µ con σ desconocida Dada una población X (que sigue una distribución cualquiera), con media µ y desviación estándar σ desconocidas, se trata de contrastar alguno de los tres tests siguientes:

Criteri o de decisión: Descartaremos H0 si p-valor ≤ α (normalmente α = 0,05). Distribución T de Students. Tiene características similares a la distribución normal, su diferencia principal radica en las áreas de los extremos las cuales son más amplias, como consecuencia de que usualmente se trabaja con muestras pequeñas. La directora del departamento de personal de una importante corporación está reclutando un gran número de empleados para un puesto en el extranjero. Durante el proceso de selección, la administración le pregunta cómo van las cosas, y ella responde que cree que la puntuación promedio en la prueba de aptitudes será de aproximadamente 90 puntos. Cuando la administración revisa 19 de los resultados de la prueba compilados, encuentra que la puntuación media es 83,24 y la desviación estándar de esta puntuación es 11. Si la administración desea probar la hipótesis: 90 H0 µ = vs : µ ≠ 90 Ha al nivel de significación del 10%, ¿Cuál es el valor del estadístico de contraste y su p-valor?

Suponemos que la población de resultados de todos los candidatos sigue una distribución normal. X ≈ N (µ;σ ) y entonces la distribución muestral de cada media muestral de cada muestra de cada población seguirá también una normal :

Como no se conocen las desviaciones estándar de las dos poblaciones, tendremos que utilizar la distribución de la t-student como distribución del estadístico de contraste.

Si calculamos el estadístico t de contraste nos queda:

Como los grados de libertad son 18, entonces como tenemos un contraste de dos colas, es decir en la hipótesis alternativa aparece el distinto, es decir: 90 H0 µ = : 90 H1 µ ≠ ; entonces el p-valor de t = -2,6747 será la probabilidad de estar por encima de 2,6747 más la probabilidad de estar por debajo de t =-2,6747. Cuando no aparece en la tabla de la t-student el valor exacto del estadístico del cual se quiere calcular su p-valor, se toma como referencia el valor más cercano, en este caso t=2,5524. Por tanto el p-valor = P(t>2,5524)+P(t<- 2,5524)=0,01+0,01=2*0,01=0,02, porque a la derecha de 2,5524 hay la misma probabilidad que a la izquierda de -2,5524 Así que el p-valor de t=-2,6747 será menor a 0,02 porque a mayor valor del estadístico menor área por encima como se puede ver en la tabla. Cuando los grados de libertad no aparezcan en la tabla de la t-student, se toma los grados de libertad más cercanos al cual se quiere tener en cuenta. Si el contraste hubiese sido de una cola, bien por la derecha o bien por la izquierda, H1 : µ > 90 ó H1 : µ < 90 , entonces el p– valor del estadístico (supongamos que el estadístico es t = 2,6747) si el contraste es de cola derecha, es decir (mayor que), sería la probabilidad de estar por encima de t = 2,5524 que sería 0,01, por lo que el p-valor de t= 2,6747 sería menor que 0,01. Si es por la cola izquierda (es decir menor que), el p-valor del estadístico (supongamos que el estadístico vale t= -2,6747) sería la probabilidad de estar por debajo de t = -2,5524 que sería 0,01, por lo que el p-valor de t= - 2,6747 sería menor que 0,01.

Referencias Bibliograficas http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2007/test-1.pdf http://wpd.ugr.es/~bioestad/wp-content/uploads/potencia_contrastes.html https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/statistics/basicstatistics/supporting-topics/basics/type-i-and-type-ii-error/ http://www.hrc.es/bioest/Introducion_ch.html http://economipedia.com/definiciones/hipotesis-nula.html http://economipedia.com/definiciones/hipotesis-alternativa.html https://www.uoc.edu/in3/emath/docs/CH_1Pob.pdf https://www.fisterra.com/mbe/investiga/signi_estadi/signi_estadisti2.pdf