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Pauta Control 3 Matemáticas Instituto IACC
Ejercicio 1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. Use el método de sustitución:
Respuesta: 1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. 7𝑥 − 4𝑦 = 5 7𝑥 = 4𝑦 + 5 𝑥=
(4𝑦 + 5) 7
2. Sustituimos el valor obtenido de x en la otra ecuación. 9𝑥 − 8𝑦 = 13 4𝑦+5
9∗(
7
) − 8𝑦 = 13
amplifico por 7
9 ∗ (4𝑦 + 5) − 56𝑦 = 91 36𝑦 + 45 − 56𝑦 = 91 −20𝑦 = 46 𝑦=−
46 23 =− 20 10
3. Ahora sustituimos el valor de y en la primera ecuación para obtener el valor de x 𝑥=
(4𝑦 + 5) 7 ((4
𝑥= 𝑥= Por lo tanto,
−23 10
) + 5)
7 (−92 + 50) −42 3 = =− 70 70 5
𝑥=−
3 5
𝑦=−
23 10
Ejercicio 2. Resolver el sistema, aplicando el método de reducción:
Respuesta: Preparamos las ecuaciones para que al sumarlas eliminemos una de las incógnitas, en este caso amplificaremos la primera ecuación por 5 para poder eliminar las y 4𝑥 + 𝑦 = 3 /∗ 5 20𝑥 + 5𝑦 = 15 Nuestro sistema queda de la siguiente forma 20𝑥 + 5𝑦 = 15 2𝑥 − 5𝑦 = 6 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda así 22𝑥 = 21 𝑥=
21 22
Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación inicial 2𝑥 − 5𝑦 = 6 2∗(
21 ) − 5𝑦 = 6 22
42 − 5𝑦 = 6 22
42 − 110𝑦 = 132 −110𝑦 = 90 𝑦=−
90 9 =− 110 11
Ejercicio 3. Resolver el sistema aplicando método de igualación:
Respuesta: Despejamos x en ambas ecuaciones 4𝑥 + 𝑦 = 3 4𝑥 = 3 − 𝑦 𝒙=
𝟑−𝒚 𝟒
3𝑥 − 5𝑦 = 4 3𝑥 = 5𝑦 + 4 𝒙=
𝟓𝒚 + 𝟒 𝟑
Igualamos ambos resultados 3 − 𝑦 5𝑦 + 4 = 4 3 3 ∗ (3 − 𝑦) = 4 ∗ (5𝑦 + 4) 9 − 3𝑦 = 20𝑦 + 16 −23𝑦 = 7 𝑦=−
7 23
Sustituimos el valor de y en alguna de las dos ecuaciones iniciales 4𝑥 + 𝑦 = 3 4𝑥 −
7 =3 23
23 ∗ 4𝑥 − 7 = 3 ∗ 23 92𝑥 − 7 = 69 92𝑥 = 76 𝑥=
76 38 19 = = 92 46 23
Ejercicio 4. Juan tiene 9 años más que su hermano y hace 6 años tenía el doble. ¿Qué edad tiene cada hermano? Respuesta: Sean, X= edad de Juan Y= edad del hermano Entonces: 𝑥−9=𝑦 la edad de Juan y su hermano hace 6 años es 𝑥−6 𝑦−6 Por lo tanto, la segunda ecuación sería 𝑥−6 =𝑦−6 2
𝑦=
𝑥−6 +6 2
𝑥−9=
𝑥−6 +6 2
Igualamos ambas ecuaciones
2𝑥 − 18 = 𝑥 − 6 + 12 𝑥 = 24 Reemplazamos el valor de x en la primera ecuación 𝑥−9=𝑦 𝑦 = 24 − 9 𝑦 = 15 Entonces Juan tiene 24 y su hermano 15
Ejercicio 5. Al comenzar los estudios de ingeniería, se aplica una prueba a los estudiantes de una cierta institución con 30 preguntas en el área de las matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente se asignan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le descuentan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. a)
Plantear el sistema que modela la situación.
b)
Resolver el sistema aplicando el método de igualación y determinar ¿cuántas preguntas
respondió el alumno incorrectamente? c)
Graficar las ecuaciones involucradas en el sistema y mostrar gráficamente la solución.
Respuesta: Total de preguntas:
30
Preguntas correctas:
x
Preguntas incorrectas o no contestada:
y
a) Entonces el sistema que modela la situación, 𝑥 + 𝑦 = 30 5𝑥 − 2𝑦 = 94
b) Resolviendo por igualación 𝑥 = 30 − 𝑦 5𝑥 = 2𝑦 + 94 𝑥=
2𝑦 + 94 5
Igualando las x 30 − 𝑦 =
2𝑦 + 94 5
150 − 5𝑦 = 2𝑦 + 94 56 = 7𝑦 𝑦=8 El alumno respondió 8 preguntas incorrectas
c) Gráfico y solución
El punto de intersección es (22,8), es decir 22 respuestas correctas y 8 incorrectas o no contestadas