Controle De Processos Quimicos

CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ENG – 009

Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] Revisora: Enga Grazziela Gomes Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI Departamento de Engenharia Química - DEQ Escola Politécnica - EP Universidade Federal da Bahia – UFBA Salvador, junho de 2004.

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ÍNDICE GERAL CAPÍTULO 1.

INTRODUÇÃO

CAPÍTULO 2.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

CAPÍTULO 3.

ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS

CAPÍTULO 4.

IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS

CAPÍTULO 5.

INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE

CAPÍTULO 6.

SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS

CAPÍTULO 7.

ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES

CAPÍTULO 8.

ESTRATÉGIAS DE CONTROLE

CAPÍTULO 9.

CONTROLE AVANÇADO

CAPÍTULO 10.

TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS

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ÍNDICE CAPÍTULO 1.

INTRODUÇÃO

1-2

1.1.

MOTIVAÇÃO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE

1-2

1.2.

NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAÇÃO

1-6

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1-1: Estratégias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado.

1-5

Tabela 1-2: Sinais padrão de transmissão de informações.

1-7

Tabela 1-3: Exemplo de identificação de instrumento.

1-9

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1: Exemplo de controle de processo.

1-3

Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitação.

1-4

Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback.

1-5

Figura 1-4: Símbolos gerais para instrumento ou função programada.

1-7

Figura 1-5: Letras de identificação de instrumento ou função programada.

1-8

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CAPÍTULO 1.

INTRODUÇÃO

A finalidade do controle de processos é manter as variáveis de processo nas condições desejadas com um mínimo custo operacional. Variáveis de processo são as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou substância. Como exemplos de variáveis de processo temos: • Temperatura; • Pressão; • Vazão; • Composição; • Viscosidade; • Granulometria; • Radioatividade; • Condutividade; • Dureza; • Maleabilidade; • Cor; • Aroma; • Sabor; etc.

1.1.

Motivação para implantar um sistema da controle

Mudança nas condições de alimentação do processo e no ambiente (perturbações) estão sempre acontecendo e se nenhuma ação for tomada importantes variáveis do processo não alcançarão as condições desejadas. Porém, esta ação deve ser estabelecida de modo que:

1. A segurança dos equipamentos e dos trabalhadores, 2. A qualidade do produto; e 3. A produção sejam asseguradas com um mínimo custo de investimento e/ou operacional.

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√

Exemplo 01

Figura 1-1: Exemplo de controle de processo.

√

Exemplo 02 Seja um tanque agitado, aquecido pela condensação do vapor d’água, conforme mostra a

Figura 1-2. O objetivo deste processo é aquecer uma corrente de vazão w e temperatura T1 até alcançar a temperatura T2.

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T1(t), w

T2(t), w vapor

condensado

Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitação.

Vamos considerar duas perguntas: Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao líquido no interior do tanque para que atinja a temperatura desejada T2? Considerando o tanque bem agitado não existem gradientes internos de temperatura e as propriedades do fluido na saída do tanque são as mesmas do interior do tanque (tanque perfeitamente agitado). O balanço de energia em estado estacionário no tanque indica qual a quantidade de calor que deve ser transferida é: Equação 1-1

Qss = wss . c p . (T z , ss − T1, ss )

Mas nas condições de projeto T2 é a temperatura de referência Tr ou temperatura desejada (set point), então podemos escrever a equação de projeto para o aquecedor: Equação 1-2

Q ss = wss . c p . (TSP − T1, ss )

Pergunta 2: Mas se as condições mudarem (a vazão de líquido aumentar ou diminuir, a temperatura da alimentação oscilar ou se desejarmos uma temperatura na saída maior ou menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a temperatura na saída do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ? Existem algumas possibilidades, uma delas é medir a temperatura no interior do tanque (T), comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a válvula de controle para que esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou não a Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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transferência de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratégia denomina-se controle por retroalimentação (Feedback Control).

T1(t), w1(t)

TT

T

T2(t), w2(t) TC

condensado vapor

Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback.

Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratégias de controle para este processo. Tabela 1-1: Estratégias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado.

Método

Variável Medida

Variável manipulada

Classificação

01

T

Q

Feedback

02

T1

Q

Feedforward

03

T

w

Feedback

04

T1

w

Feedforward

05

T1 e T

Q

Feedback / feedforward

06

T1 e T

w

Feedback / feedforward

Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para diminuir ou eliminar a oscilação na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior de modo a diminuir a oscilação na temperatura de saída T. Uma vez estabelecida a estratégia de controle é necessário determinar qual a lei ou algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade é utilizar o controlador proporcional, no qual a mudança no fluxo de calor é proporcional à diferença entre a temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)): Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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[

Q (t ) = Q ss + K c . T SP (t ) − T (t )

Equação 1-3

]

Onde Kc é denominado ganho do controlador, este parâmetro é ajustável e define a intensidade da correção a ser realizada sobre o processo. Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle é necessário: (1)

Conhecer o comportamento no estado estacionário do processo que desejamos controlar;

(2)

Conhecer o comportamento dinâmico do processo que desejamos controlar;

(3)

Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser mantidas o mais próximo possível dos valores desejados (set point), denomina-se de variáveis controladas;

(4)

Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser monitoradas (variáveis medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variáveis controladas ou das variáveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbações).

(5)

Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que deverão ser modificados (variáveis manipuladas) para manterem as variáveis controladas nos seus set point.

(6)

Escolher e dimensionar os instrumentos necessários para o funcionamento do sistema de controle: (a)

Sensores das variáveis de processo envolvidas ou elementos primários de medição,

(b)

Transmissores e / ou conversores de sinais,

(c)

Indicadores e / ou registradores de sinais,

(d)

Controladores,

(e)

Elementos finais de controle (válvulas).

Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer seu comportamento dinâmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto que é tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes.

1.2.

Normas Utilizadas em Instrumentação

A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas e procedimentos para especificação e instalação de instrumentos para controle de processos, Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja “Standards and Recommended Pratices for Instrumentation and Control” editado pela ISA).

2.1.1.

Sinais de Transmissão

Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmissão de sinais em sistemas de controle: Tabela 1-2: Sinais padrão de transmissão de informações.

Tipo de sinal

Valores

Representação representado por

Sinal pneumático

3 a 15 psig    6 a 30 psig  3 a 27 psig   

representado por

Sinal elétrico ou eletrônico

4 a 20 mA    1 a 5 V  0 a 10 V   

Sinal digital ou discreto ou binário

, binário elétrico , binário pneumático

As próximas páginas têm um pequeno resumo da simbologia empregada na confecção de fluxogramas para instrumentação e controle de processos.

Figura 1-4: Símbolos gerais para instrumento ou função programada.

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Figura 1-5: Letras de identificação de instrumento ou função programada. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Tabela 1-3: Exemplo de identificação de instrumento.

T

RC

210

02

A

Variável

Função

Área de atividades

Nº seqüencial da malha

Sufixo

Identificação funcional

Identificação da malha Identificação do instrumento

Onde: T

Variável medida ou iniciadora: temperatura;

R

Função passiva ou de informação: registrador;

C

Função ativa ou de saída: controlador;

210

Área de atividades, onde o instrumento ou função programada atua;

02

Número seqüencial da malha;

A

Sufixo.

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ÍNDICE CAPÍTULO 2.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

2-2

2.1.

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

2-3

2.2.

NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA

2-5

2.3.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA COM ENTRADAS E SAÍDAS MÚLTIPLAS

2-7

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência.

2-6

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1: Diagrama de blocos 01.

2-3

Figura 2-2: Diagrama de blocos 02.

2-4

Figura 2-3: Diagrama de blocos 03.

2-4

Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica.

2-6

Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante].

2-7

Figura 2-6: Diagrama de blocos 04.

2-7

Figura 2-7: Diagrama de blocos 05.

2-8

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CAPÍTULO 2.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

“... proporciona uma relação direta entre as entradas (distúrbios, variáveis manipuladas) e as saídas (variáveis controladas) do processo.” George Stephanoupolos Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variáveis desvio:

Y(t) = Y(t) - Y(0) = Y(t) - Yss  X(t) = X(t) - X(0) = X(t) - X ss

Equação 2-1

Generalizando, as equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes são da forma: n

Equação 2-2

∑ ai . i= 0

Equação 2-3

di Y dt i

onde

= an .

m

∑ b j. j= 0

dn Y dt n dj X dt

j

+ an −1 .

= bm .

dn −1 Y dt n −1

dm X dt

m

+ ... + a1 .

+ am−1 .

m dY dj X + a0 . Y = ∑ b j . j dt dt j= 0

dm −1 X dt

m −1

+ ... + b1 .

dX + b0 . X dt

Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 são constantes. Em sistemas fisicamente exeqüíveis n ≥ m. Assumindo que inicialmente o sistema está relaxado:

dk Y

Equação 2-4

dt k

t =0

=0

k = 0,..., n − 1

,

e

dl X

Equação 2-5

dt l

t =0

=0

Ou seja, o termo relativo às condições iniciais I é nulo: I = 0 Equação transformada:

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,

l = 0,..., n − 1

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∑ (a .s .Y .(s))= ∑ (b .s . X .(s))⇒ ∑ (a .s ).Y (s) = ∑ (b .s ). X (s) n

Equação 2-6

i =0

m

i

i

j =0

j

j

n

i =0

m

i

i

j

j

j =0

m

Y ( s) ⇒ G ( s) = = X ( s)

Equação 2-7

∑ b .s j =0

j

j

n

∑ a .s i =0

+ I (= 0 ) i

i

G(s) é chamada de função de transferência e é obtida apenas se I = 0.

G ( s) =

Equação 2-8

Transformada de Laplace da saída , em forma de desvio Transformada de Laplace da entrada, em forma de desvio

Em diagrama de blocos:

Y(s)

X(s) G(s)

Figura 2-1: Diagrama de blocos 01.

Em geral a função de transferência pode ser representada por uma divisão entre dois polinômios em s:

G(s) =

Equação 2-9

2.1.

Q(s) P(s)

Propriedades da Função de Transferência

P1. Descreve as características dinâmicas de um sistema. Se adotarmos uma função perturbação X(t) na entrada, cuja transformada é X(s), a resposta do sistema é Y(s) dada por:

Y ( s ) = G ( s ). X ( s )

Equação 2-10

P2. Se a função de transferência é a resposta do sistema a perturbação impulso unitário: X(t) = δ(t), então X(s) = L{δ (t)} = 1, logo:

Y ( s ) = G ( s ). X ( s ) = G ( s )

Equação 2-11

P3. A equação diferencial do sistema pode ser obtida da função de transferência substituindo s pelo operador diferencial D ≡ d/dt. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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ex. : G ( s ) =

Equação 2-12

2.s + 1  2.D + 1  ⇒ Y (t ) =  2 . X (t ) s + s +1  D + D + 1 2

Ou, Equação 2-13

D 2 Y + DY + Y = 2.D X + X

Equação 2-14

⇒ Y " ' ( t ) + Y " ( t ) + Y( t ) = 2.X ( t ) + X( t )

"

P4. O princípio da superposição é válido (operador linear) para: Equação 2-15

X (s) = X 1 (s) + X 2 (s)

Equação 2-16

Y ( s ) = G ( s ). X ( s ) = G ( s ). X 1 ( s ) + G ( s ). X 2 ( s ) = Y1 ( s ) + Y2 ( s )

Em diagrama de blocos:

X1(t) Y(t) PROCESSO

X2(t) Figura 2-2: Diagrama de blocos 02.

X1(s)

G(s)

Y1(s)

+ + X2(s)

G(s)

Y(s)

Y2(s)

Figura 2-3: Diagrama de blocos 03.

P5. O denominador de G(s) igualado a zero é denominado de equação característica. A estabilidade de um sistema linear invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as raízes da equação característica: se todas as raízes têm partes reais negativas o sistema é estável, caso alguma raiz tenha parte real positiva o sistema é instável. Exemplo: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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G ( s) =

Equação 2-17

s +1 B C = + s − 2.s + 5 s − (1 + 2.j) s − (1 − 2. j) 2

Equação característica:

s 2 − 2s + 5 = 0

Equação 2-18

Raízes da equação característica: Equação 2-19

r1 = +(1 + 2. j )

Equação 2-20

r2 = −(1 + 2. j )

Portanto, o sistema é instável pois as raízes do denominador da função de transferência tem parte real positiva. P6. As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os zeros do sistema. Quando o número de zeros (nz) é menor que o número de pólos (np), diz-se que existem (nz – np) zeros no infinito; a recíproca é válida. Para a Equação 2-17:

pólos : P1 = 1 + 2.j e P2 = 1 2.j

Equação 2-21

zeros : z 1 = - 1

Equação 2-22

e zz = ∞

P7. Em sistemas físicos exeqüíveis: nz ≤ np.

2.2. Natureza Sistema

Qualitativa

das

Respostas

de

um

Freqüentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema, uma forma simples e adequada para os propósitos de controle de processos é encontrar as raízes do denominador da função de transferência (pólos do sistema) e verificar sua localização no plano complexo. Seja G(s) uma função de transferência que pode ser escrita por uma razão de dois polinômios Q(s) e P(s): Equação 2-23

Y ( s ) = G ( s ). X ( s ) ⇒ G ( s ) =

Q( s) = P( s)

Q( s) n

n (s − p )

i =0

i

Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuições da função transferência para as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposição das raízes da equação característica no plano complexo. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência.

Raízes

Características

Termos em ƒ (t) para t ≥ 0

p1 p2, p2* p3, p3* p4, p4* p5 p6

Real, < 0 Complexa, Re < 0 Complexa, Re = 0 Complexa, Re > 0 Real, > 0 Real, = 0

C1. e-p1.t e [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)] C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t) a4.t E [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)] C1 ep5.t C1 -az.t

Observações: 1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., são constantes positivas. 2. Se algumas dessas raízes são repetidas o termo referente a essa raiz é multiplicado por uma série de potências de t: K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.tr-1, onde r é o número de repetições. 3. C1 + C2 + K1 + K2, ... + KR são obtidas a partir das condições iniciais. Na Figura 2-4 vemos a disposição dos pólos no plano complexo. Observe que as raízes reais geram respostas não oscilatórias amortecidas (p1), não oscilatórias não amortecidas (p6) e não oscilatórias com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instável; enquanto que as raízes complexas originam respostas oscilatórias amortecidas (p2, p2*), não amortecidas (p3, p3*) e com amplitudes crescentes (p4, p4*), isto é, a saída do sistema é instável. Em outras palavras as raízes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instáveis. Eixo imaginário

p4 p3

p2

p6

p5

p1 p*2

Eixo real

p*3 p*4

Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica.

À esquerda do eixo Im:

f(t) decresce exponencialmente com t

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À direita do eixo Im:

f(t) cresce exponencialmente com t

Sejam raízes múltiplas: Na origem: f(t) = tn, cte. para n = 0, crescente para n > 0.

Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante].

2.3. Função de Transferência com Entradas e Saídas Múltiplas Considere a Figura 2-6: Y1(t)

X1(t) PROCESSO

X2(t)

Y2(t)

Figura 2-6: Diagrama de blocos 04.

Equação 2-24

X 1 (t ) ENTRADAS  X 2 (t )

Y1 (t ) SAÍDAS  Y2 (t )

MODELO MATEMÁTICO (variáveis desvio ou sistema relaxado): Equação 2-25

dY1 = a11.Y1 + a12 .Y2 + b11X1 + b12 .X2 dt

Equação 2-26

dY2 = a 21.Y1 + a22 .Y2 + b 21X1 + b22 .X 2 dt

Condições iniciais: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Y1 (0) = Y2 (0) = 0

Equação 2-27

Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s): Equação 2-28

Y1 (s) =

[(s − a 22 )b11 + a 12 b 21 ] [(s − a 22 )b12 + a 12 b 22 ] X 1 (s) + X 2 (s) P(s) P(s)

Equação 2-29

Y2 (s) =

[(s − a 11 )b 21 + a 21 b11 ] [(s − a 11 )b 22 + a 21 b 22 ] X 1 (s) + X 2 (s) P(s) P(s)

Onde P(s) é a equação característica dada por: Equação 2-30

P(s) = s 2 − (a11 + a 22 ).s − (a12 a 21 − a11 a 22 )

Equação 2-31

Y1 ( s ) = G11 ( s ). X 1 ( s ) + G12 ( s ). X 2 ( s ) ⇒ Y 2( s ) = G21 ( s ). X 1 ( s ) + G22 ( s ). X 2 ( s )

Ou em notação matricial:

Y1 ( s )  G11 ( s ) G12 ( s )   X 1 ( s )  Y ( s ) = G ( s ) G ( s ) .  X ( s ) 22  2   21   2 

Equação 2-32

O sistema de Equação 2-32 é denominado Matriz das Funções de Transferência. Em diagramas de blocos: X1(s)

+ +

G11(s)

Y1(s)

G21(s)

X2(s) G12(s)

G22(s)

+ +

Figura 2-7: Diagrama de blocos 05.

Os sistemas podem ser: SISO – Single Input Single Output SIMO – Single Input Multiple Output MISO - Multiple Input Single Output Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Y2(s)

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MIMO - Multiple Input Multiple Output Obs.: Os processos químicos são, na sua maioria, MIMO-NL.

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ÍNDICE CAPÍTULO 3.

ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS

3-3

3.1.

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

3-6

3.2.

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS

3-22

3.3.

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

3-25

3.4.

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANÇO

3-45

3.5.

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO

3-48

3.6.

EXERCÍCIOS

3-55

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição.

3-6

Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema Y (t ) A.K P .

3-11

Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema Y (t ) A.K P .

3-15

Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem.

3-27

Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação.

3-40

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar.

3-3

Figura 3-2: Diagrama de blocos 01.

3-6

Figura 3-3: Diagrama de blocos 02.

3-8

Figura 3-4: Diagrama de blocos 03.

3-8

Figura 3-5: Função degrau de amplitude A.

3-10

Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau.

3-12

Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc).

3-13

Figura 3-8: Função impulso de amplitude A.

3-14

Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

3-15

Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

3-16

Figura 3-11: Função pulso de amplitude A.

3-17

Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A.

3-19

Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T.

3-20

Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w.

3-22

Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo.

3-23

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Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante.

3-23

Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbação degrau de amplitude A.

3-25

Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem.

3-26

Figura 3-19: Resposta do sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau.

3-28

Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau.

3-29

Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamortecido, submetido a perturbação de amplitude A.

3-30

Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de amplitude A.

3-32

Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

3-34

Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série.

3-35

Figura 3-25: Dois tanques interativos em série.

3-38

Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A.

3-40

Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação.

3-41

Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184).

3-47

Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do zero.

3-47

Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero.

3-48

Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão.

3-49

Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b) Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem para e

−τ m s

.

3-51

Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo.

3-52

Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta completa; (b) detalhe nos instantes iniciais.

3-55

Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão.

3-55

Figura 3-36: Tanque não interativos em série.

3-57

Figura 3-37: Tanque de aquecimento.

3-60

Figura 3-38: Gráfico exercício (7).

3-60

Figura 3-39: Gráfico para exercício (9).

3-62

Figura 3-40: Gráfico do exercício (10).

3-63

Figura 3-41: Gráfico do exercício (11).

3-63

Figura 3-42: Gráfico do exercício (12).

3-64

Figura 3-43: Esquema do exercício (13).

3-64

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CAPÍTULO 3. PROCESSOS

ANÁLISE

DA

DINÂMICA

DE

No capítulo anterior, verificamos que a modelagem matemática de processos conduz a sistemas de equações diferenciais. Estas equações podem ser resolvidas pelo método da Transformada de Laplace que conduz às suas respectivas funções de transferência. Neste capítulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funções de transferência (1ª ordem e 2ª ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbações (degrau, rampa, impulso, pulso, seno). Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema físico de interesse no controle de processos químicos. Elementos de medição, linhas de transmissão e elementos finais de controle introduzem atrasos (lag) dinâmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar (thermocouple) inserido em poço de termopar (termopoço, termowell) de massa m e calor específico C. Termopar

Fluido a temperatura T(t)

Termopoço

Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar.

O atraso dinâmico introduzido pela combinação termopar/termopoço pode ser estimado se assumimos algumas hipóteses simplificadoras: a.

O termopar e o termopoço estão sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser

diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poço; b.

Não existe perda de calor pela extremidade do poço exposta ao meio ambiente;

c.

A resistência à transferência de calor é determinada pelo inverso do coeficiente global

de troca térmica R = 1/(UG.A); d.

Toda capacidade térmica se concentra na massa de metal que compõe o poço.

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Balanço de Energia no Poço1

{acumula} = {entra} − {sai}

Equação 3-1

{acumula} = m.C . d [Tm (t )] dt

Equação 3-2 Equação 3-3

{entra}− {sai}= {convecção}+ {condução}+ {radiação}

Equação 3-4

{entra} − {sai} = UG . A[T (t ) − Tm (t )]

Onde,

1 = UG

Equação 3-5

1

∑h

i

+

1 ∑ R [=] J / (º C.S .m ) 2

i

Substituindo a Equação 3-2 e a Equação 3-4 na Equação 3-1, obtemos

m.C . Equação 3-6

d [Tm (t )] = UG . A[T (t ) − Tm (t )] dt

ou

τT

Equação 3-7

d [Tm (t )] + Tm (t ) = T (t ) dt

Onde τT é a constante de tempo do termopoço no estado estacionário.

τT = Equação 3-8

m .C [=] s → d [Tm (0)] = 0 UG . A dt

⇒

Equação 3-9

Tm,ss = Tss

Subtraindo a Equação 3-7 da Equação 3-9:

τT .

Equação 3-10

d [Tm (t ) − Tm,ss ] + Tm (t ) − Tm,ss = T (t ) − Tss dt

Definindo as variáveis desvio: 1

Devido às hipóteses adotadas este modelo denomina-se Modelo de Parâmetros

Concentrados, um modelo mais preciso conduziria a um Sistema de Equações Diferenciais Parciais (SEDP). Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Tm (t ) = Tm (t ) − Tm,ss

Equação 3-11

e

T (t ) = T (t ) − Tss

Equação 3-12

Então:

τT . .

Equação 3-13

[

]

d Tm (t ) + Tm (t ) = T (t ) dt

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-13:

τ T . s .Tm (s ) − Tm (0) + Tm s = T (s )

Equação 3-14

Mas,

Tm (0) = Tm (0 ) − Tm,ss = Tm,ss − Tm,ss = 0

Equação 3-15

Então:

Tm (s ) T (s )

Equação 3-16

=

1 τT .s + 1

Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais próximo possível da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto termopar/termopoço deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitância térmica dos sistema (m . C ) deve ser mínima, enquanto a facilidade à transferência de calor (UG*A) deve ser máxima (resistência mínima). A Equação 3-16 define a função transferência de primeira ordem de ganho unitário e constante de tempo τT, entre a entrada do sistema – temperatura do fluido, perturbação T(t) – e a saída do sistema – temperatura medida Tm(t). Podemos representar a função de transferência (da Equação 3-16) através de um diagrama de bloco:

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Tm(s)

T(s)

1/ τTs + 1

Figura 3-2: Diagrama de blocos 01.

Na Tabela 3-1 vemos valores típicos de constantes de tempo de alguns elementos primários de medição. Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição.

Tipo

Ordem de τm

Termômetro de vidro

Minutos

Termômetro bimetálico

< 1 minuto

Termômetro a expansão

Minutos

Termopar em bainha

Segundos

Termopar com poço

Minutos

Termômetro a resistência

Segundos a minutos

Transmissão pressão absoluta

0.2 - 1.7 segundos

Transmissão pressão diferencial

0.2 - 1.7 segundos

Turbina

0.03 segundos

Vortex

2.5 segundos

Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medição e transmissão devem ser menores que um décimo da constante de tempo do processo.

3.1. Estudo do Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem Genericamente, um sistema de 1ª ordem2 é definido pela seguinte situação diferencial:

a1 .

Equação 3-17

d [ y(t )] + aο . y(t ) = b. x (t ) dt

Se ao ≠ 0, então podemos dividir a Equação 3-17 por ao e obtemos:

2

A literatura também denomina o sistema de 1ª ordem de atraso de primeira ordem (first

order lag) ou atraso linear (linear lag). Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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τP.

Equação 3-18

d [ y(t )] + y(t ) = K P .xΧ (t ) dt

onde

τP =

a1 aο

KP =

b ao

Equação 3-19 Equação 3-20

Observe que aplicando a Equação 3-18 no estado estacionário:

Yss = K P . Χ ss

Equação 3-21

E substituindo as variáveis desvio:

Y (t ) = Y (t ) − Yss   X (t ) = X (t ) − X ss

Equação 3-22

Obtemos:

τP.

Equação 3-23

[ ]

d Y (t ) + Y (t ) = K P . Χ (t ) dt

O novo estado estacionário alcançado após o sistema sofrer a perturbação X(t) será:

Y ∞ = K p .Χ ∞

Equação 3-24

logo

Κp = Equação 3-25

Y∞ Y (∞ ) − Y (0 ) Y ∞ − Y ss = = Χ ∞ - Χ ss Χ ∞ Χ (∞ ) − Χ (0 )

ou

Κp = Equação 3-26

∆ estados estacionários saída ∆ estados estacionários entrada

Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionário que o sistema irá atingir após sofrer uma perturbação. Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-23.

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τ p . s .Y (s ) − Y (s ) = Κ p . Χ (s )

Equação 3-27

mas

Y (0 ) = Y (0 ) − Yss = Yss − Yss = 0

Equação 3-28

Então a função de transferência de um sistema de 1ª ordem é dada por:

G (s ) = Equação 3-29

y (s )

Χ (s )

=

Κp

τ p .s + 1

E a resposta do sistema Y (s ) a uma perturbação X (s ) é

Y (s ) = G (s ). Χ (s ) = Equação 3-30

Κp

τ p .s + 1

. Χ (s )

Em diagramas de blocos:

Y (s )

X (s ) G(s)

Figura 3-3: Diagrama de blocos 02.

ou

X (s )

Κp

Y (s )

τ p .s + 1 Figura 3-4: Diagrama de blocos 03.

√

Resistência e Capacitância Os sistemas de 1ª ordem são caracterizados pelo ganho KP, que estabelece o seu estado

estacionário, e pela sua constante de tempo τP, que determina o seu comportamento transitório. A constante de tempo pode ser obtida se identificamos a capacitância C e a resistência R do processo de 1ª ordem. Por definição estas propriedades são:

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C=

variação da capacidade do processo variação do força motriz do processo

R =

variação da força motriz do processo variação do fluxo resultante

Equação 3-31

Equação 3-32

Por definição, a constante de tempo de um processo de 1ª ordem é o produto da capacitância do processo vezes sua resistência:

τp = C . R

Equação 3-33

Nos exemplos estudados: ƒ

Nível de um tanque

dh , mas q = f (h ) ⇒ h = g (q ) dq h para escoamento la min ar q = ⇒ h = R. q R dh = R [=] s / m 2 dq dv d A . h C= = = A [=] m 2 dh dh τ p = C . R = A . R [=] s R=

ƒ

Tanque de aquecimento

dH d  Hº + = dT dT 

J m . C p dT  = m. C p = ρ . V . C p [=]  Tº ºC dT 1 [=] º C ∆Η ' = ρ . q . C p .(T − T º ) ⇒ R = = dH ' ρ . q . C p J .s

C=

τT = C . R =

∫

T

ρ .V . C p V = [=] s q ρ . q .C p

J dQ m . C . dΤ = = m . C [=] dΤ ºC dΤ dΤ 1 [=] º C ∆Q ' = U G . A . dΤ ⇒ R = = dQ ' U G . A J .s

C=

τ Τ = C. R =

m .C [=] s UG. A

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3.1.1. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbação Degrau A função degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

X (t − tο ) = X ss + A .u (t - t ο )

Equação 3-34

Onde, A

Amplitude de perturbação

u(t – to)

Função degrau unitário

X (t ) = X ss + A .u tο (t )

Equação 3-35

Onde, uto(t) ≡ u(t – to)

, para t p t o  X ss ,o X (t ) =   X ss ,o + A = X ss ,∞ , para t ≥ t o

Equação 3-36

Graficamente a função degrau corresponde a Figura 3-5:

Figura 3-5: Função degrau de amplitude A.

Aplicando a variável desvio

X (t ) = X (t ) − X ss na Equação 3-34 e em seguida a

transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

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X (s ) = Equação 3-37

A (− t ο .s ) .e s

Substituindo a Equação 3-37 na Equação 3-30:

Y (s ) = Equação 3-38

ΚP A . Κ P τ P (− t ο . s ) A . . e (− t ο . s ) = .e s τ P .s + 1  1 s . s +   τ 

Expandindo em frações parciais:

     A . Κ P  τ P τP  . e (− t ο . s ) Y (s ) =  −  .  1   τP   s  s +  τ P    

Equação 3-39

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

  t − tο Y (t ) = A . Κ P 1 − exp −  τP 

Equação 3-40

   . u (t - t o ) 

Ou

  t − tο   Y (t ) = Yss + A . Κ P 1 − exp −   . u (t - t o )  τ P  

Equação 3-41

Calculando a razão Y (t ) A.K P para alguns valores de τP construímos a Tabela 3-2: Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema

t – to

0.0

τP

τP

τP

10

5

2

Y (t ) A .Κ p

0.000

0.095

0.181

0.394

Y (t ) A.K P

.

τP

2*τP

3*τP

4*τP

∞

0.632

0.865

0.950

0.982

1.000

A partir da curva t τ P versus Y (t ) A.K P , conforme a Figura 3-6, concluímos que todo sistema de 1ª ordem é caracterizado por: (a) O sistema alcança 63.2% do valor do estado estacionário após decorrer o espaço de tempo de uma constante de tempo τP, isto é: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Y (τ p ) A .Κ p

Equação 3-42

= 0.632

(b) No instante inicial a inclinação da curva é unitária, isto é:

d  Y (t )    dt  A . Κ p 

Equação 3-43

= 1 .0 t =0

(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no estado estacionário acontece no ponto (1.0, τP). (d) Para fins práticos, admite-se que o estado estacionário foi atingido quando um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo τP.

Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau.

Observação: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) resposta Y(t).

Comparando a resposta de um termopar sem e com poço, verificamos que o poço introduz um atraso dinâmico que, a depender do sistema em estudo, não pode ser negligenciado. Veja Figura 3-7.

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Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc).

Observação: Curva A perturbação; Curva B termopar sem poço Tm’s(t); Curva C termopar com poço Tm’c(t).

3.1.2. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbação Impulso A função impulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas: Equação 3-44

X (t ) = X ss + A . δ to (t ) = X ss + A . δ (t - t ο )

Onde A é a amplitude da perturbação e δ(t) é denominada Função Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac.

Equação 3-45

 X ss ,o , para t < t o  X (t ) =  X ss ,o + A = X ss ,∞ , para t ≥ t o X , para t > t o  ss ,o

Graficamente a função impulso correspondente ao Figura 3-8:

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Figura 3-8: Função impulso de amplitude A.

Aplicando a variável desvio

X (t ) = X (t ) − X ss na Equação 3-44 e em seguida a

Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

X (s ) = A.e (− to s )

Equação 3-46

Substituindo a Equação 3-46 na Equação 3-30:

Y (s ) = A .

Equação 3-47

A . Κ P τ P (− t ο .s ) ΚP . e (− t ο .s ) = .e τ P .s + 1  1 s . s +   τP 

Expandindo em frações parciais:

Equação 3-48

     A . Κ p  τ p τ p  (− t ο . s ) Y (s ) =   . − .e   τ p   s 1  s +    τ p    

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

Equação 3-49

 A . Κp   t − tο  Y (t ) =   . exp−  . u (t - t o ) τ τ  p p    

e Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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A . Κp   t − tο  Y (t ) = Yss +   . exp −  . u (t - t o ) τp   τp  

Equação 3-50

Calculando a razão Y (t ) A.K P para alguns valores de τP, construímos a Tabela 3-3: Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema

t – to

0.0

τP

τP

τP

10

5

2

Y (t ) A .Κ p

0.0

0.905

0.819

0.606

Y (t ) A.K P

.

τP

2*τP

3*τP

4*τP

∞

0.368

0.135

0.050

0.018

0.0

A partir da curva t τ P versus Y (t ) A.K P , conforme a Figura 3-9, concluímos que todo sistema de 1ª ordem, quando submetido a uma perturbação tipo impulso tem uma resposta inicial muito rápida, mas decorrido um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes, sua constante de tempo retorna ao estado estacionário anterior à perturbação.

Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

Porém, um sistema físico real responderá a uma perturbação impulso conforme mostra a Figura 3-10, pois é impossível que ele saia do seu estado de repouso Xss e alcance instantaneamente o valor A.

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Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

3.1.3. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbação Pulso A função pulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equação 3-51

 X ss ,o , para t < t o  X (t ) =  X ss ,o + A = X ss ,∞ , para t o ≤ t ≤ t 1 X , para t > t 1  ss ,o

[

]

[

]

Equação 3-52

X(t ) = Xss + A . ut o (t ) − ut1 (t )

Equação 3-53

X(t ) = Xss + A . ut o (t ) − ut1 (t )

Graficamente a função impulso correspondente a Figura 3-11:

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Figura 3-11: Função pulso de amplitude A.

Aplicando a variável desvio

X (t ) = X (t ) − X ss na Equação 3-54 e em seguida a

Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

X (s ) = A . L{u (t - t ο ) − u (t - t1 )}

Equação 3-54

ou

X (s ) = A . [L{u (t - t ο ) }− {u (t - t1 )} ]

Equação 3-55

[

X (s ) = A . L{u (t ) }. e (−tο . s ) − L {u (t )}. e (−tο . s )

Equação 3-56

]

 e (− tο . s ) e (− t1 . s )  X (s ) = A .   s   s

Equação 3-57

Substituindo a Equação 3-57 na Equação 3-30:

X (s ) = A . Equação 3-58

 e (− tο . s ) e (− t1 . s )    τ p . s +1  s s  Κp

Expedindo em frações parciais:

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Equação 3-59

    τ p  (−tο . s ) τ p  A . Κ p   − −  .e Y (s ) =    s  1  s +    τ p    τ p     (−t1 . s ) e

      τp   τ p  s − .     1  s+      τ p      

Ou

Equação 3-60

     1  (−tο . s ) 1 − A . Κ p  −  .e Y (s ) =  s  1  τp  s +     τ p     (−t1 . s ) e

    1  1 s −   1    s +      τ p      

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

Equação 3-61

    t − to   t − t1   1 − exp −   . u (t - t o ) − 1 − exp −   u (t - t o ) Y (t ) = A . Κ p    τ p    τ p       

ou

Equação

    t − to   t − t1   1 − exp −   .u (t - t o ) − 1 − exp −   u (t - t o ) Y (t ) = Yss + A . Κ p    τ p    τ p        3-62

Na Figura 3-12, t τ P versus Y (t ) A.K P , observamos o comportamento dinâmico de um sistema de 1ª ordem quando submetido a uma perturbação tipo pulso de amplitude A:

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Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A.

3.1.4. Comportamento de um Sistema de Primeira Ordem a Perturbação Senoidal A função seno pode ser descrita matematicamente da seguinte forma: Equação 3-63

X(t ) = Xss + A . sen (ω. (t - t ο )) . u (t - t ο )

Onde, ω = 2πƒ. Graficamente a função seno correspondente a Figura 3-13:

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Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T.

Aplicando a variável desvio

X (t ) = X (t ) − X ss na Equação 3-63 e em seguida a

Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

X (s ) = Equação 3-64

A .ω s + ω2 2

Substituindo a Equação 3-64 na Equação 3-30, expandindo em frações parciais e aplicando a Transformada Inversa de Laplace L-1:

Y (t ) = Equação 3-65

[ω τ +1

A.K p

τ .ω 2 p

2

p

e

(− (t − to ) τ p )

]

− ω .τ p cos (ω (t - t o ) ) + sen (ω (t - t o )) u (t - t o )

Lembrando da seguinte identidade trigonométrica: Equação 3-66

p . sen (ω . t ) + q . cos (ω . t ) = r . sen (ω . t + θ)

onde

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Equação 3-67

r = p 2 + q 2 e θ = arcig (p q )

Equação 3-68

 A K p ω.τ p . e (−(t − to ) τ p )  A .Κ p Y (t ) =  sen (ω (t - t o ) + θ ) u (t - t o ) + 2 2 2 2 τ p .ω + 1 τ p .ω + 1  

Equação 3-69

θ = arcig (- ω . t )

Ou

Y (t ) = Ydin (t ) + Yest (t )

Equação 3-70

Onde,

Ydin (t ) = Κ p .

A . ω . τp . e

(−(t − t o ) τp )

τp2 . ω2 + 1

Equação 3-71

. u (t - t o )

E,

Yest (t ) = Equação 3-72

A. K p .

τp2 . ω2 + 1

. sen (ω . (t - t o ) + θ) . u (t - t o )

Observe que a resposta à perturbação seno é composta de duas partes: uma diminui a medida que o tempo aumenta Ydin(t) e a outra é uma função periódica Yest(t). Portanto, no estado estacionário a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma perturbação seno é uma função periódica, veja Figura 3-14, dada por: Perturbação:

X(t ) = Xss + A . sen (ω . t ) . u (t )

Equação 3-73

Resposta ( t → ∞ )

Y (t ) = Yss + Equação 3-74

A. K p .

τp2

. ω2 + 1

. [sen (ω . t + θ)]

Comparando Equação 3-63 com Equação 3-74, veja Figura 3-14, concluímos que: (a) A amplitude da resposta do sistema é menor que a amplitude da perturbação, ou seja, o sistema amortece a entrada; (b) A resposta do sistema é uma onda senoidal com a mesma freqüência de entrada;

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(c) A resposta está defasada de um ângulo de fase θ em relação ao estímulo, neste caso está atrasada pois θ é menor que zero.

Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w.

3.2. Estudo do Comportamento Dinâmico de Sistemas Capacitivos Puros Se a constante ao da Equação 3-17 for zero, então:

Equação 3-75

a1 .

d dt

[Y(t )] = b .x(t )

Dividindo por a1:

Equação 3-76

d [Y(t )] = b . X(t ) = K′. X(t ) dt a1

Onde Processos definidos pela Equação 3-75 são denominados capacitivos ou integradores. Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-76:

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s .Y (s ) = Κ ′ . X (s )

Equação 3-77

Então a função de transferência de um sistema capacitivo é dada por:

G (s ) = Equação 3-78

Y (s ) Κ ′ = X (s ) s

Em diagramas de blocos:

X (s )

Y (s )

Κ' s

Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo.

√

Exemplo de um processador integrador: Seja um tanque aberto no qual sua descarga é dada por uma bomba dosadora que mantém

a vazão constante, conforme a Figura 3-16:

q1(t)

h(t)

q2 = cte.

Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante.

Realizando o balanço de massa no tanque, obtemos:

A. Equação 3-79

d [h(t )] = q1(t ) − q2 dt

No estado estacionário:

q1 (0) − q 2 = 0

Equação 3-80

⇒

q1,ss = q 2, ss = q 2

Utilizando as variáveis desvio:

A. Equação 3-81

Aplicando a Transformada de Laplace e rearranjando: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

[ ]

d h(t ) = q1 (t ) dt

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G (s ) = Equação 3-82

3.2.1. Comportamento Perturbação Degrau

de

um

Sistema

h(s ) Κ′ 1 = = s q1 (s ) A . s Capacitivo

a

Função de Transferência:

G (s ) = Equação 3-83

Y (s ) Κ ′ = X (s ) s

Função Perturbação:

X (s ) = Equação 3-84

A −tο . s .e s

Resposta:

Equação 3-85

A . Κ ′ −t Ο . s .e s2

Equação 3-86

Y (t ) = Yss + A . Κ ′ . (t - t Ο ) . u (t - t Ο )

Y (s ) =

Analisando a Equação 3-86 observamos que o sistema tende para +∞ se a amplitude da perturbação for positiva (A > 0), ou tende para -∞ se a amplitude da perturbação for negativa (A < 0). Na Figura 3-17 está plotado o comportamento dinâmico do processo capacitivo a perturbação degrau.

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Figura 3-17: Processo capaciti vo submetido a perturbação degrau de amplitude A.

Podemos constatar que: (a) Processos integradores são instáveis e de difícil controle e são não auto-regulados (enquanto que os sistemas de 1ª ordem são auto-regulados); (b) No exemplo, pequenas diferenças entre vazões da alimentação q1(t) e da descarga q2(t), levarão o tanque a transbordar ou secar.

3.3. Estudo do Comportamento Dinâmico de Sistemas de Segunda Ordem Genericamente, um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte equação diferencial:

aZ .

Equação 3-87

d2 [Y (t )]+ a1 . d [Y (t )]+ aΟ .Y (t ) = b . X (t ) 2 dt dt

Se ao ≠ 0 então podemos dividir a Equação 3-87 por ao e obtemos:

τ2 . Equação 3-88

d2 dt

[y(t )] + 2

2.τ.ζ .

d [Y(t )] + Y(t ) = Κ p . X(t ) dt

Onde,

τ=

a2 ao

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ζ

Fator de amortecimento (Damping Factor)

ΚP =

b aΟ

2.τ ζ = e

Ganho do processo

a1 aΟ

Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-88, obtemos a função de transferência do sistema de 2ª ordem:

ΚP Y (s ) = 2 2 X (s ) τ . s + 2 .τ .ζ . s + 1

G (s ) = Equação 3-89

Sistemas de 2ª ordem podem surgir devido a: (1) Processos multiplicativos (sistemas de 1ª ordem em série), por exemplo: 2 tanques em série; (2) Sistemas intrinsecamente de 2ª ordem (raros em processos químicos), por exemplo: válvula de controle; (3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1ª ordem com controlador P + I. A resposta do sistema Y (s ) a uma perturbação X (s ) é:

Y (s ) = G (s ). X (s ) = Equação 3-90

ΚP . X (s ) τ . s + 2 .τ .ζ . s + 1 2

2

Em diagramas de blocos:

X (s )

ΚP 2 2 τ s + 2.τ .ζs + 1

Y (s )

Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem.

Logo:

Y (s ) = Equação 3-91

KP τ 2 . X (s ) (s − p1 ). (s − p 2 )

Onde p1 e p2 são as raízes da função de transferência, pólos do sistema:

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− Equação 3-92

p1 =

2 .ζ

τ

+

4 .ζ 2

τ

2

−

4

τ

2

−

2

e

2 .ζ

p2 =

τ

−

4 .ζ 2

τ

2

−

4

τ2

2

Os parâmetros KP e τ tem o mesmos significados dos sistemas de 1ª ordem: KP é o ganho do processo, enquanto que τ determina a velocidade da resposta dos sistema. A Tabela 3-4 mostra a classificação dos sistemas de 2ª ordem a depender dos valores do fator de amortecimento ζ. Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem.

Fator de amortecimento

Pólos p1 e p 2

Classificação

ζ>1

Reais e distintos parte real negativa

Superamortecido

ζ=1

Reais iguais parte real negativa

Criticamente amortecido

0<ζ>1

Complexos conjugados parte real negativa

Subamortecido

ζ=0

Complexas iguais parte real nula

Oscilatório com amplitude cte.

ζ<0

Complexos conjugados parte real positiva

instável

3.3.1. Comportamento de um Sistema de Segunda Ordem a Perturbação Degrau Função degrau de amplitude A

X(t ) = X ss + A . u (t - t Ο )

Equação 3-93

Transformada de Laplace da função perturbação utilizando variáveis desvio:

X (s ) = Equação 3-94

Substituindo a Equação 3-94 na Equação 3-91:

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A −tΟ . s .e s

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Y (s ) = Equação 3-95

KP τ 2 A . . e − tΟ . s (s − p1 ). (s − p 2 ) s

Expandindo em frações parciais a Equação 3-95 e aplicando a Transformada Inversa de Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ. √

Perturbação Degrau de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1

ζ .t*  −  Y (t ) = A Κ P 1 − e τ  Equação 3-96

  ζ 2 −1  cos h t*  +   τ    

 ζ 2 − 1   . senh t *    u (t - t Ο ) 2   τ ζ −1   

ζ

onde, Equação 3-97

t* = t - to

Na Figura 3-19, t τ P versus Y (t ) A.K P observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem superamortecido a uma perturbação degrau é semelhante a resposta do sistema de 1ª ordem, mas note que existe um ponto de inflexão em ti e que a resposta inicialmente é lenta (derivada pequena), depois aumenta de velocidade derivada máxima no ponto de inflexão, ou segunda derivada igual a zero) e então o sistema reage como se fosse de 1ª ordem.

Figura 3-19: degrau.

Resposta

do

sistema

de

2ª

ordem

superamortecido

a

perturbação

No Figura 3-20, t τ P versus Y (t ) A.K P observamos que a medida que o fator de amortecimento ζ aumenta, o sistema torna-se mais lento, isto é, o parâmetro ζ determina a suavidade e rapidez da resposta do sistema a perturbação; percebemos também que, a medida que o período natural de oscilação τ diminui, a resposta fica mais rápida.

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Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau.

Observação: Curva A – perturbação; Curva B - τ = 1.0 e ζ = 1.0; Curva C - τ = 1.5 e ζ = 1.0; Curva D - τ = 1.0 e ζ = 1.5.

√

Perturbação Degrau e Sistema Criticamente Amortecido ζ = 1

  t*  − t* Y (t ) = A . Κ p . 1 − 1 +  .e τ   

Equação 3-98

τ

  . u (t - t Ο ) 

Veja na Figura 3-20 a resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido a perturbação degrau de amplitude A.

√

Perturbação Degrau e Sistema Superamortecido 0 < ζ < 1

Equação 3-99

 *  Y (t ) = A Κ p 1 − e −t τ 

  1 - ζ cos  τ   

2

 t*  + 

ζ 1−ζ

2

 1 - ζ sen  τ 

Uma amostra mais conveniente de escrever a Equação 3-99 é:

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2

   t *    u (t - t Ο )    

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ζ .t*  − 1 . e τ . sen ω . t * + θ Y (t ) = A . Κ P . 1 − 2  1−ζ

(

Equação 3-100



) . u (t - t ) 

Ο

Onde,

ω = Equação 3-101

1 − ζ2 τ

e

 1 - ζ2   θ = arcig   ζ   

Equação 3-102

Portanto, observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem subamortecido a perturbação degrau é uma senoide de amplitude decrescente (devido ao termo exponencial eζ.t/τ), de freqüência ω e ângulo de fase θ. Na Figura 3-21, t τ P versus Y (t ) A.K P observamos que a resposta desse sistema perturbação degrau é uma curva oscilatória que gradativamente tende a atingir A.KP, diminuindo a amplitude da oscilação. Através da Figura 3-21 percebemos que a medida que o amortecimento diminui, isto é, ζ diminui, a oscilação aumenta, porém a rapidez da resposta também (maior derivada da curva no ponto de inflexão, e este acontece em um menor intervalo de tempo).

Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamorte cido, submetido a perturbação de am plitude A.

Algumas características importantes devem ser observadas nos sistemas subamortecidos submetidos a perturbação degrau: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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C1. Tempo de ascensão (Rise Time) tr: Tempo necessário para atingir pela primeira vez o novo estado estacionário. C2. Tempo do Primeiro Pico (Time to First Peak) tp: Tempo requerido para atingir o primeiro máximo da curva. C3. Tempo de resposta (Setting Time) ts: Tempo decorrido até que a saída oscilatória do sistema esteja dentro da faixa de +/- 5% do estado estacionário. Também se utiliza o valor ±1% para determinar o ts. C4. Sobre-elevação (Overshoot) OS: Razão entre o valor da função no pico máximo e o valor do novo estado estacionário:

 Π .ζ  a a  = exp 0S = = b A .Κ P  1 - ζ 2 

Equação 3-103

C5. Razão de Decaimento (Decay Ratio) DR: razão entre o valor do segundo pico e do primeiro pico:

 2.Π .ζ  c  DR = 0 S = = exp a  1 - ζ2    2

Equação 3-104

C6. Período de oscilação (Period of oscilation) T1: Período de tempo transcorrido entre dois máximos:

T1 = Equação 3-105

2.Π .τ 1 − ζ2

Lembre que em uma senoide a freqüência em ciclos por unidade de tempo ft é dada por:

ft = Equação 3-106

ω 2.Π

E que o período de oscilação é o inverso da freqüência:

Τt = Equação 3-107

1 2.Π = ft ω

Onde a freqüência angular ω é dada pela Equação 3-101. C7. Período Natural de Oscilação (Natural Period of oscilation) τ: período do sistema quando o amortecimento é nulo, isto é, ζ = 0:

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τ = Equação 3-108

Τn 1 1 = = 2.Π ωn 2 . Π . fn

Onde ωn é a freqüência natural de oscilação do sistema não amortecido ζ = 0. Veja na Figura 3-22 a indicação das características discutidas anteriormente.

Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de amplitude A.

Quando um sistema refere uma perturbação o desejável é ter uma resposta sem oscilações que atinja rapidamente o novo estado estacionário. Porém, estes objetivos são excludentes entre si, pois para garantir uma resposta não oscilatória ζ ≥ 1 temos que sacrificar a rapidez da resposta; por outro lado, se desejarmos uma resposta muito rápida, não podemos escolher um fator de amortecimento muito pequeno, pois a mesma seria muito oscilatória com uma sobreelevação grande. Os projetistas de sistemas de controle, freqüentemente, trabalham com um fator de amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8, isto é, 0.4 ≥ ζ ≤ 0.8, desta forma, consegue-se um compromisso entre velocidade de resposta, sobre-elevação, tempo de resposta e oscilação adequado para a maioria dos casos.

3.3.2. Comportamento de um Sistema de Segunda Ordem a Perturbação Impulso A função impulso pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:

X(t ) = Xss + A . δ (t − t Ο )

Equação 3-109

Ou em variável no domínio de Laplace:

X (s ) = A . e - t Ο . s

Equação 3-110

Substituindo a Equação 3-110 na Equação 3-91: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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X (s ) = Equação 3-111

ΚP τ 2 . A .e- tΟ . s (s − p1 ). (s − p 2 )

Expandindo em frações parciais a Equação 3-111 e aplicando a Transformada Inversa de Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.

√

Perturbação Impulso de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1

Y (t ) = A . Κ P . Equação 3-112

√

1

τ

1

ζ 2 −1

.e

 ζ 2 −1  senh  t*  u t*  τ 

( )

Perturbação Impulso e Sistema Criticamente amortecido ζ = 1:

Y (t ) = A . Κ P .

Equação 3-113

√

ζ .t* τ

−

t*

τ

2

.e

−

t*

τ

( )

. u t*

Perturbação Impulso e Sistema Subamortecido 0 < ζ < 1:

Equação 3-114

− 1 1 Y (t ) = A . Κ p . . .e τ 1 − ζ2

ζ . t* τ

  1 − ζ2 . sen  . t*  . u t * τ    

()

Na Figura 3-23 vemos a resposta do sistema de 2ª ordem a perturbação impulso. Observe que o sistema retorna ao antigo estado estacionário depois de decorrido algum tempo (processo auto-regulado). As características observadas para a perturbação degrau também são aplicáveis para perturbação impulso (tp, ts, OS, DR).

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Figura 3-23: amplitude A.

Respostas

dos

3.3.3. Processos Segunda Ordem

sistemas

de

2ª

ordem

Multicapacitivos

a

perturbação

como

impulso

Sistemas

de

de

Processos de ordem superior podem ser o resultado da associação em série de processos de primeira ordem. Por exemplo, dois tanques (cada tanque é um sistema de 1ª ordem) em série constituem um sistema de 2ª ordem, que podem ser não-interativos ou interativos. Outro exemplo de sistemas multiplicativos são: ƒ Tanque de aquecimento com agitação no qual a vazão e temperatura da corrente de alimentação variam: o balanço de massa constitui um sistema de 1ª ordem, mas o balanço de energia é de 2ª ordem em relação a vazão e de 1ª ordem em relação a temperatura de alimentação; ƒ Torre de destilação, pois cada prato acumula massa e energia, constituindo, segundo um modelo de parâmetros concentrados, cada um deles um tanque agitado; ƒ Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variação na composição e temperatura de alimentação: as duas equações diferenciais (balanço molar e de energia), constituem um sistema de equações diferenciais interativas. Estudaremos neste item os tanques em série e o reator CSTR.

√

Tanques não interativos em série

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Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao escoamento uma resistência R1 e R2. q1(t)

Tanque 1

q2(t)

h1(t) R1

h2(t)

Tanque 2

q3(t) R2

Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série.

Realizando o balanço de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar, obtemos: 1º tanque

Equação 3-115

τ P1 .

d [h1 (t )]+ h1 (t ) = Κ P1 . q1 (t ) dt

2º tanque

Equação 3-116

τ P2 .

d [h2 (t )]+ h2 (t ) = Κ P1 . q 2 (t ) dt

Onde Equação 3-117

τ P1 = A1 . R1

,

Κ P1 = R1

Equação 3-118

τ P 2 = A2 . R2

,

Κ P 2 = R2

e

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q2 (t ) = Equação 3-119

h1 (t ) R1

Substituindo a Equação 3-119 na Equação 3-116 e utilizando variáveis desvio, temos:

τ P1 .

Equação 3-120

τ P2 . Equação 3-121

[ ]

d h1 (t ) + h1 (t ) = Κ P1 . q 1 (t ) dt

d h1 (t ) h 2 (t ) + h 2 (t ) = Κ P1 . dt R1

[

]

Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funções de transferências:

G1 (s ) =

Κ P1 h 1 (s ) = q 1 (s ) τ P1 . s + 1

G 2 (s ) =

Κ P2 h 2 (s ) = q 2 (s ) τ P 2 . s + 1

Equação 3-122

Equação 3-123

Mas,

q 2 (s ) = Equação 3-124

h 1 (s ) R1

Então,

G2* (s ) = Equação 3-125

K P 2 R1 K K h 2 (s ) = = P 2 P1 h 1 (s ) τ P 2 . s + 1 τ P 2 . s + 1

Podemos escrever a função da transferência global do sistema Gg(s), isto é, com a saída do processo (h2(t)) varia com a perturbação inicial (q1(t)):

G g (s ) = G1 (s ). G2* (s ) = Equação 3-126

G g (s ) = Equação 3-127

h1 (s ) h 2 (s ) h 2 (s ) . = q 1 (s ) h1 (s ) q 1 (s )

Κ P1 Κ P 2 Κ P1 Κ P2 . = (τ P1 . s + 1) (τ P 2 . s + 1) (τ P1 . s + 1) . (τ P 2 . s + 1)

Ou

G g (s ) = Equação 3-128

ΚP h 2 (s ) = q 1 (s ) τ 2 . s 2 + 2 .τ . ζ . s + 1

Onde, Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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KP = KP2 = R2

ζ =

τ = τ P1 .τ P 2 e

(τ P1 + τ P 2 ) 2 τ P1 .τ P 2

Portanto, da Equação 3-126 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de 2ª ordem. Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série não-interativa: (a) Os sistemas são sempre criticamente amortecidos ζ = 1 (quando τP1 = τP2) ou superamortecidos ζ ≥ 0 (quando τP1 ≠ τP2) pois:

ζ = Equação 3-129

(τ P1 + τ P 2 ) ≥ 1 ⇒ (τ P1 + τ P 2 )

2 . τ P1 .τ P 2

≥ 2 . τ P1 .τ P 2

Elevando ambos os membros da Equação 3-129 ao quadrado: Equação 3-130

τ P21 + 2 .τ P1 .τ P 2 + τ P2 2 ≥ 4.τ P1 .τ P 2

Equação 3-131

τ P21 − 2 .τ P1 .τ P 2 + τ P2 2 ≥ 0

(τ P1 −τ P 2 )2

Equação 3-132

≥0

Conforme queríamos demonstrar: (b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série. (c) Devido ao fato do sistema ser não-interativo, podemos resolver primeiro a Equação 3-120, conhecer o comportamento do nível do 1º tanque (h1(t)) a perturbação (q1(t)) e então utilizar este resultado para resolver a Equação 3-121, obtendo a variação de h2(t) com h1(t),

√

Tanques interativos em série Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o

segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impões ao escoamento uma resistência R1 e R2, porém ao contrário do sistema não interativo, o nível de segundo tanque influência no nível do primeiro.

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q1(t)

Tanque 1

h1(t)

h2(t)

Tanque 2

q2(t) R1

q3(t) R2

Figura 3-25: Dois tanques interativos em série.

Realizando os balanços de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar, obtemos: 1º tanque

A1 .

Equação 3-133

d [h1(t )] = q1(t ) . q2 (t ) dt

2º tanque

A2 .

Equação 3-134

d [h2 (t )] = q3 (t ) . q2 (t ) dt

Mas,

q2 (t ) = Equação 3-135

h1(t ) − h2 (t ) R1

E,

q3 (t ) = Equação 3-136

h2 (t ) R2

Substituindo a Equação 3-135 e Equação 3-136 na Equação 3-133 e Equação 3-134 e rearranjando:

A1 . R1 .

Equação 3-137

A 2 . R2 . Equação 3-138

d [h1(t )] + h1(t ) = R1 . q1 (t ) + h2 (t ) dt

  d [h2 (t )] + 1 + R2  h2 (t ) = . R2 . h1(t ) R1 dt  R1 

Observe que a Equação 3-137 e a Equação 3-138 dependem ao mesmo tempo de h1(t) e h2(t) portanto, temos que resolvê-las simultaneamente, utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace, obtemos: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Equação 3-139

A1 . R1 . s . h1 (s ) + h1 s − h 2 (s ) = R1 . q1 (t )

Equação 3-140

 R  R A2 . R2 . s . h 2 (s ) + 1 + 2  . h 2 (s ) = 2 . h1 (s ) R1  R1 

Definindo τ1 = A1R1 e τ2 = A2R2 e resolvendo para h1 (s ) e h2 (s ) :

h 1 (s ) = Equação 3-141

h 2 (s ) = Equação 3-142

τ 2 . R1 . s + R1 + R2 q 1 (s ) τ 1 .τ 2 . s 2 + (τ 1 + τ 2 + A1 . R2 ). s + 1 R2

τ 1 .τ 2 . s + (τ 1 + τ 2 + A1 . R2 ). s + 1 2

q 1 (s )

Observe que τ1 e τ2 não são constantes de tempo, embora possuam unidade de tempo. Escrevendo as funções de transferência:

G1 (s ) =

h1 (s ) τ 2 . R1 . s + R1 + R2 = 2 2 q 1 (s ) τ . s + 2 .τ .ζ . s + 1

G2 (s ) =

R2 h 2 (s ) = 2 2 q 1 (s ) τ . s + 2 .τ .ζ . s + 1

Equação 3-143

Equação 3-144

Onde,

τ=

Equação 3-145

τ1 . τ2

E,

ζ = Equação 3-146

(τ1 +

τ2 + A1 .R 2 ) 2 . τ1 . τ2

Portanto, da Equação 3-143 e da Equação 3-144 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de 2ª ordem e que os denominadores das funções de transferências são os mesmos. Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série interativa: (a) Os sistemas são sempre superamortecidos ζ > 1, pois:

se Equação 3-147

(τ1

+ τ2 ) ≥1 2 . τ1 . τ2

⇒

(τ1

+ τ2 + A1 . R 2 ) >1 2 . τ1 . τ2

(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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(c) “Sistemas capacitivos interativos são sempre superamortecidos, exceto quando ocorre produção de substâncias ou absorção/liberação de energia”.

Da Tabela 3-5, concluímos que o amortecimento nos sistemas interativos é maior do que nos não interativos, pois o produto A1*R2 denominado fator de interação é sempre maior que 1, quanto maior A1*R2 mais intensa é a interação. Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação.

τ ζ

Não-interativo

Interativo

τ P1 . τ P 2

τ1 . τ2

(τ P1 + τ P 2 )

(τ1 +

τ2 + A1 R 2 ) 2 . τ1 . τ2

2 τ P1 .τ P 2

h 1 (s ) q 1 (s )

ΚP (τ P1 . s + 1)

τ 1 .τ 2 s + (τ 1 + τ 2 + A1 + R2 ) s + 1

h 2 (s ) q 1 (s )

Κ P2 τ P1 .τ P 2 . s + (τ P1 + τ P 2 ). s + 1

τ R2 τ 1 .τ 2 . s + (τ 1 + τ 2 + A1 + R2 ). s + 1

2

τ 2 . R1 . s + R1 + R2

2

2

Da Figura 3-26, concluímos que a associação de capacitâncias torna a resposta do sistema mais lenta e que os sistemas interativos são mais amortecidos que os não interativos.

Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. Observação: Curva A – tanque; Curva B – 2 tanques não interativos; Curva C – 2 tanques interativos; Curva D – 4 tanques não interativos.

√

Reator de Mistura Perfeita Uma configuração de reator bastante utilizada em processos químicos é o reator de mistura

perfeita (Continuos Stirred Tank Reacion) ou CSTR. O estudo desse sistema é interessante Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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pois este reator submetido a uma perturbação na carga, isto é, na composição e temperatura da alimentação constitui um sistema multiplicativo de 2ª ordem. Seja um CSTR adiabático, conforme a Figura 3-27, no entanto acontece uma reação de isomerização irreversível e exotérmica:

→

A

Equação 3-148

B

Com equação da taxa:

Γ(t ) = ℜ(t ) . C A (t )

Equação 3-149

Onde,

ℜ(t ) = ℜΟ . e − E (Rg . T (t ))

Equação 3-150

q1 T1(t) CA1(t) q2 T2(t) CA2(t)

h = cte.

CA(t) T(t)

Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação.

Balanço molar no reator:

V. Equação 3-151

dC A (t ) = q1 . C A1(t ) − q2 . C A 2 (t ) + V . ΓA (t ) dt

Onde,

ΓA (t ) = v A . Γ = − Γ = − ℜ(t ) . C A (t )

Equação 3-152

Balanço de energia no reator:

Equação 3-153

ρ .V . C p .

dT (t ) = ρ . q1 . Cp1 T1 (t ) − T ° − ρ . q 2 . Cp 2 T2 (t ) − T ° − ∆Η rV .Γ(t ) dt

(

)

(

Por hipótese:

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)

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q 1 = q 2 = q = cte

Equação 3-154

E

C p 1 = C p 2 = C p = cte

Equação 3-155

Substituindo a Equação 3-154 e a Equação 3-155 na Equação 3-153 e rearranjando:

ρ .V . C p .

Equação 3-156

dT (t ) = ρ . q . C p . (T1 (t ) − T2 (t )) − ∆Η r .V . Γ(t ) dt

Onde

Γ(t ) = ℜΟ . e− E (Rg . T (t )) . C A (t )

Equação 3-157

Lembrando que o reator está perfeitamente agitado [CA2(t) = CA(t) e T2(t) = T(t)], então:

V. Equação 3-158

dC A (t ) = q . C A1(t ) − q . C A (t ) − V . ℜΟ . e − E (Rg . T (t )) . C A (t ) dt

E

Equação 3-159

ρ .V . C p .

dT (t ) = ρ . q . C p .T1 (t ) − ρ . q. C p .T (t ) − ∆Η r .V .ℜ Ο . e − E ( Rg .T (t )) . C A (t ) dt

A Equação 3-158 e a Equação 3-159 constituem um sistema de equações diferenciais nãolineares interativas. Portanto, antes de aplicar a Transformada de Laplace, devemos linearizar os termos não-lineares:

e − E (Rg . T (t )) . C A (t )

Equação 3-160

Expandindo a Equação 3-160 em série de Taylor e truncando no segundo termo:

e − E ( Rg .T (t )) . C A (t ) ≅

e−

. C A, ss + e E ( Rg .TSS ) . (C A (t ) − C A, ss ) +

E ( Rg . TSS )

E . e − E ( Rg .TSS ) . C A, ss. (T (t ) − Tss ) 2 Rg . Tss

Equação 3-161

Substituindo a Equação 3-161 na Equação 3-158 e na Equação 3-159 e rearranjando:

V.

dC A (t ) = q. C A1 (t ) − q. C A (t ) −V . ℜο e − dt − Vℜο e −

Equação 3-162

E ( Rg . Tss )

(C (t ) − C ) − Vℜο A

A, ss

E ( Rg . TSS )

. C A,ss +

E e − E ( Rg .TSS )C A,ss (T (t ) − Tss ) Rg . Tss2

e Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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dT (t ) = ρ . q . C p .T1 (t ) − ρ . q . C p .T (t ) + dt − ∆Η rV ℜ Ο . e − E ( Rg .TSS )C A, ss − ∆Η rV ℜ Ο . e − E ( Rg .TSS ) (C A (t ) − C A, ss ) +

ρ .V . C p .

Equação 3-163

− V . ℜ Ο . e − E ( Rg .TSS )C A, ss (T (t ) − Tss )

Utilizando as variáveis desvio:

V

Equação 3-164

d C A (t ) + q + V . ℜ Ο e − E ( Rg .Tss ) C A (t ) = q. C A1 (t ) + dt E − V .ℜΟ . e − E ( Rg .Tss ) . C A, ss T (t ) Rg .Tss2

[

]

e

Equação 3-165

d T (t ) + dt

  E e − E ( Rg .Tss )C A, ss T (t ) =  ρ . q . C p + ∆Η r .V . ℜ Ο 2 Rg .Tss   E ρ . q . C p .T 1 (t ) − ∆Η r .V . ℜ Ο . . e − E ( Rg .Tss ) . C A (t ) 2 Rg .Tss

ρ .V . C p

Definindo os seguintes ganhos e constantes de tempo:

τc =

V q + V . ℜ Ο . e − E ( Rg . Tss )

Κ CC =

q q + V . ℜ Ο . e − E ( Rg . Tss )

Equação 3-166

Equação 3-167

E . e − E ( Rg . Tss ) 2 Rg .Tss q + V . ℜ Ο . e − E ( Rg . Tss )

V .ℜΟ . Κ CT = Equação 3-168

e

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τT =

ρ .V . C p ρ . q . C p + ∆Η r .V . ℜ Ο .

Equação 3-169

Κ TT =

ρ .V . C p ρ . q . C p + ∆Η r .V . ℜ Ο

Equação 3-170

Κ TC =

E . e − E ( Rg . Tss ) . C A, ss 2 Rg .Tss

E e − E ( Rg . TSS ) . C A,ss 2 Rg .Tss

(− ∆Η r ).V . ℜ Ο . e − E ( Rg . T

ss

ρ . q . C p + ∆Η r .V . ℜ Ο

Equação 3-171

)

E e − E ( Rg . TSS ) . C A,ss 2 Rg .Tss

Substituindo da Equação 3-166 a Equação 3-171 na Equação 3-164 e na Equação 3-165:

Equação 3-172

Equação 3-173

τc .

d C A (t ) + C A (t ) = Κ CC . C A1(t ) − Κ CT . T(t ) dt

τT .

d C A (t ) + T(t ) = Κ TT . T1 (t ) + Κ TC . C A (t ) dt

A Equação 3-172 e a Equação 3-173 constituem um sistema de equações interativas lineares. Aplicando a transformada de Laplace na Equação 3-172 e na Equação 3-173 e rearranjando obtemos:

C A (s ) =

Κ CT Κ CC . C A1 (s ) − . T (s ) (τ C . s . + 1) (τ C . s . + 1)

T (s ) =

Κ CT Κ TT .T 1 (s ) + . C (s ) (τ T . s . + 1) (τ C . s . + 1) A

Equação 3-174

Equação 3-175

Resolvendo o sistema da Equação 3-174 e da Equação 3-175 para CA(s) e T(s), obtemos:

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C A (s ) =

Κ CC . (τ T . s . + 1) . C (s ) + (τ C . s . + 1). (τ T . s + 1) + Κ CT . Κ TC A1

−

Κ CT . Κ TT . T 1 (s ) (τ C . s . + 1). (τ T . s + 1) + Κ CT . Κ TC

Equação 3-176

T (s ) =

Κ TT . (τ C . s . + 1) .T 1 (s ) + (τ C . s . + 1). (τ T . s + 1) + Κ CT . Κ TC +

Equação 3-177

Κ CT . Κ TT . C (s ) (τ C . s . + 1). (τ T . s + 1) + Κ CT . Κ TC A1

A Equação 3-176 e a Equação 3-177 são de 2ª ordem Definindo as funções de transferência para as perturbações e respostas:

GCC =

C A (s )

C A1 (s )

=

Κ CC . (τ T . s . + 1) (τ C . s . + 1). (τ T . s + 1) + Κ CT . Κ TC

Equação 3-178

GCT = Equação 3-179

C A (s ) T1 (s )

GTT = Equação 3-180

=

T (s )

T1 (s )

Κ CT . Κ TT . (τ C . s . + 1). (τ T . s + 1) + Κ CT . Κ TC =

Κ TT . (τ C s . + 1) (τ C . s . + 1)(τ T . s + 1) + Κ CT . Κ TC

Obtemos: Equação 3-181

C A (s ) = GCC . C A1 (S ) − GCT .T 1 (S )

Equação 3-182

T (s ) = GTT .T 1 (s ) + GTC .C A1 (s )

As funções de transferência cujos denominadores tem zeros finitos, a Equação 3-178 e a Equação 3-180, originam sistemas denominados atraso-avanço, que serão estudados no item 3.4.

3.4. Comportamento Atraso-Avanço

Dinâmico

de

Processos

Seja o seguinte sistema:

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Tipo

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τι . Equação 3-183

dY (t ) dX(t )   + Y (t ) = K . τα . + X(t ) dt dt  

A função de transferência associada a Equação 3-183 é:

G (s ) = K . Equação 3-184

(τ α . s + 1) (τ ι . s + 1)

A resposta deste sistema à perturbação degrau de amplitude A é:

Y (s ) = A . K . Equação 3-185

Equação 3-186

1 τ − τ ι  (τ α . s + 1) = A . K.  + α  s . (τ ι . s + 1)  s τ ι . s + 1

 Y (t ) = A . K 1 − 

 τ α  −t 1 − e τ ι  

tι

  u (t ) 

A Figura 3-28 mostra a resposta deste sistema para τℓ e diferentes valores de τα: Equação 3-187

0 < τι < τα

Equação 3-188

0 < τα < τι

Equação 3-189

τα < 0 < τι

A Figura 3-29 mostra a localização do pólo e do zero do sistema s = -1/τα, para cada caso. Se τℓ = τα, a função de transferência simplifica-se para K como o resultado do cancelamento do numerador e do denominador, isto é, ocorre o cancelamento pólo-zero.

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Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184).

Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do zero.

Seja um sistema de 2ª ordem superamortecido com um zero diferente de infinito, representado pela função de transferência da Equação 3-190:

G (s ) = K . Equação 3-190

(τ

α

s +1 )

(τ 1 s + 1) (τ 2 s + 1)

Este sistema sofre uma perturbação degrau de amplitude A, então a resposta no domínio do tempo será para τ1 ≠ τ2:

 τ α − τ1 −t Y (t ) = A . K 1 + e  τ1 − τ 2

Equação 3-191

τ

1

+

τ α − τ 2 −t τ  e  τ 2 − τ1  1

Após algumas análises matemáticas da Equação 3-191, concluímos que três tipos de respostas podem acontecer: Equação 3-192

(a)

Equação 3-193

(b)

Equação 3-194

0 < τα ≤ τ1 (c)

Na Figura 3-30 vemos a representação dessas possibilidades. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

τα < τ1

τα < 0

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Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero.

No caso (a) ocorre a sobreelevação pois o avanço (lead) provoca uma rápida reação do sistema. No caso (b), o sistema reage como sendo de 2ª ordem superamortecido. Porém, no caso (c) acontece uma resposta inusitada: inicialmente o sistema reage no sentido inverso ao da perturbação, após decorrido um certo intervalo de tempo a resposta toma o sentido da força motriz. Este tipo de resposta denomina-se resposta inversa (inverse response) e pode ser encontrado em alguns processos químicos, como por exemplo: ƒ O nível de uma caldeira pode diminuir quando ocorre um aumento repentino na vazão de água, pois a maior quantidade de água numa temperatura inferior a temperatura do vapor que está sendo formado provoca a implosão das bolhas de vapor, diminuindo o nível aparente monitorado pelo elemento de medição, mas após algum tempo o sistema reage no sentido de aumentar o nível, pois a brusca perturbação inicial diminui de intensidade; ƒ Em um reator tubular, no qual acontece uma reação exotérmica, o aumento súbito da temperatura da alimentação pode provocar uma diminuição da temperatura na saída do reator, pois maiores temperaturas na entrada do reator significa maiores taxas de reação e maiores conversões, conseqüentemente, decremento da quantidade de reagente nas seções posteriores do reator e diminuição das taxas de reação e menor temperatura na saída do mesmo (existe resfriamento do reator), mas decorrido algum tempo o sistema responde da maneira esperada, isto é, maiores temperaturas na entrada provocam maiores temperaturas na saída. Na verdade, a resposta inversa ou a sobreelevação acontecem devido a diferença da dinâmica dos vários fenômenos físicos envolvido em um processo.

3.5. Comportamento Tempo Morto

Dinâmico

de

Processos

com

Quando material ou energia é transferido em uma planta industrial existe um tempo morto associado a este movimento. Por exemplo, em uma tubulação, conforme Figura 3-31, por onde Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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é transportado um fluido em escoamento pistão (plug flow) o tempo transcorrido entre o ponto inicial (1) e o final (2) é τm:

τm = Equação 3-195

compriment o da tubulação volume da tubulação = velocidade do fluido vazão volumétric a

V1(t)

V2(t)

q1(t)

D

q2(t) 2

1

L Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão.

Para estabelecer o modelo matemático deste processo temos que assumir que o fluido seja incompreensível, garantindo que a velocidade do mesmo não varie na direção axial, o escoamento pistão. Então:

Π . D2 . L 4 L V V τm (t ) = = = = V1 (t ) q1 (t ) q1 (t ) q2 (t )

Equação 3-196

Portanto, se a temperatura ou composição variam no ponto (1) este sinal demorará τm para ser percebido no ponto (2), ou seja:

t < τm 0 Y (t ) =   x(t − τ m ) , t ≥ τ m

Equação 3-197

Ou

Y (t ) = X(t − τm ) . u (t − τm )

Equação 3-198

A saída dos sistema Y(t) é o mesmo sinal de entrada X(t) defasado (atrasado) por um intervalo de tempo igual a τm. A função de transferência deste sistema é:

G (s ) = Equação 3-199

Y (s ) −τ s =e m X (s )

Podemos combinar funções de transferência no intuito de melhor representar a dinâmica de um processo. Por exemplo, um sistema de 1ª ordem mais tempo morto tem a seguinte função de transferência: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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G (s ) = Equação 3-200

Κp Y (s ) −τ . s = .e m X (s ) τ p . s + 1

A presença do tempo morto é um elemento dinâmico que dificulta o controle de processos, pois as informações do estado do sistema ficam defasadas, provocando as reações do estado do sistema de controle a uma situação ocorrida a τm atrás. Podemos aproximar o tempo morto por uma razão de dois polinômios. Uma expansão adequada é a aproximação de Padé: Aproximação de Padé de 1ª ordem:

e

−τ ,m s

≈

1− 1+

Equação 3-201

τm 2

τm 2

s s

Aproximação de Padé de 2ª ordem:

e

−τ ,m s

Equação 3-202

≈

1−

τm 2

s+

τ m2 s 2

12 τ τ 2 s2 1+ m s + m 2 12

Estas aproximações são mais precisas quanto maior a diferença entre o tempo morto τm e a constante de tempo do processo τP, isto é, τm << τP, como na maioria das vezes isto acontece, podemos utilizar a aproximação de Padé. A Figura 3-32a ilustra a resposta da aproximação de 1ª ordem e de 2ª ordem a entrada degrau. Verificamos que a aproximação de ordem maior é mais precisa. A Figura 3-32b, mostra que a aproximação de Padé é satisfatória para um sistema de 2ª ordem mais tempo morto, submetido a perturbação degrau pois quando τm =0.25τP.

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Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b) Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem para

√

e −τ m s .

Exemplo: Reator com reciclo O reator de leito gotejante mostrado na Figura 3-33 utiliza o reciclo para obter uma operação

satisfatória. O uso de um reciclo muito intenso elimina a necessidade de agitação mecânica. A concentração do reagente é medida no ponto onde a corrente deixa o sistema reacional. A reação é de 1ª ordem. Sob condições normais de operação as seguintes hipóteses podem ser assumidas: H.01. O reator opera isotermicamente; H.02. As vazões de alimentação q e de reciclo α.q são constantes; H.03. Não ocorre reação na tubulação e a dinâmica envolvida nos tubos pode ser aproximada por atrasos devido apenas ao tempo morto τm1 e τm2, conforme indicado na Figura 3-33; H.04. Devido a grande taxa de reciclo a mistura do reator é completa. Pede-se: (a) A função de transferência

C1 (s ) / C i (s )

;

(b) Utilizando as informações a seguir, calcule C1(t ) para a mudança em Ci (t ) de 2,000Kg/m3. V = 5.0 m3

α = 12

q = 0.005 m3/min

τm1 = 0.9 min

ℜ = 0.004 min-1

τm2 = 1.1 min

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Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo.

Solução: (a) Realizando o balanço molar para o reagente A em torno do reator (volume de controle indicado pela superfície pontilhada).

V. Equação 3-203

dC (t ) = q . Ci (t ) + α . q . C2 (t ) − (1 + α ) . q . C (t ) − V . ℜ . C(t ) dt

Onde a concentração da espécie é denotada por C(t) omitindo o subscrito A por conveniência. A Equação 3-203 é linear com coeficientes constantes, subtraindo do seu valor no estado estacionário e substituindo as variáveis desvio, obtemos:

V. Equação 3-204

dC (t ) = q . Ci (t ) + α . q . C2 (t ) − (1 + α ) . q . C (t ) − V . ℜ . C(t ) dt

Relações adicionais são necessárias para conhecermos Ci (t ) e C(t ) . Estas podem ser obtidas da hipótese H03 que determina que a dinâmica das tubulações é determinada apenas por elementos do tempo morto: Equação 3-205

C1(t ) = C(t − θ1 )

Equação 3-206

C2 (t ) = C1(t − θ2 ) = C(t − (θ1 + θ2 ))

A Equação 3-204 a Equação 3-206 representam o modelo matemático deste processo. Aplicando a Transformada de Laplace, obtemos:

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Equação 3-207

V . s . C (s ) = q . Ci (s ) + α . q . C 2 (s ) − (1 + α ). q . C (s ) − V . ℜ . C (s )

Equação 3-208

C1 (s ) = e − τ1 . s . C (s )

Equação 3-209

C 2 (s ) = e − τ 2 s C1 (s ) = e − (τ1 + τ 2 ) s C (s ) = e −τ a . s C (s )

Substituindo a Equação 3-209 na Equação 3-207 e resolvendo para C (s ) :

C (s ) = Equação 3-210

q

V . s −α.q .e

−τ 3 s

+ (1 + α ). q + V . ℜ

C i (s )

Dividindo a Equação 3-210 por (q + V.ℜ) e rearranjando:

C (s ) = Equação 3-211

K C i (s ) τ s + 1 + α . K . 1 − e −τ 3 . s

(

)

Onde, Equação 3-212

Κ = q (q + V . ℜ )

Equação 3-213

τ = v (q + V . ℜ )

Note que, no limite quando τ3 → 0, e-τ3s → 1, e

C (s ) = Equação 3-214

K C i (s ) τ s +1

Assim, K e τ podem ser interpretados como sendo o ganho e a constante de tempo do processo, respectivamente, de um reator de reciclo sem tempo morto nas linhas de reciclo. Combinando a Equação 3-208 e a Equação 3-211, concluímos que a função da transferência

C1 (s ) / C i (s )

é:

C1 (s ) Equação 3-215

Κ . e −τ1 . s = τ s + 1 + α . Κ . 1 − e −τ1 . s C i (s )

(

)

3 (a) Para encontrar C(t ) quando Ci (t ) = 2000 . Kg / m , nós multiplicaremos a Equação

3-215 por 2,000/s.

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C1 (s ) = Equação 3-216

2000 . Κ . e − τ1 . s s . τs + 1 + α . Κ . 1 − e −τ a . s

[

(

)]

O termo exponencial no numerador não causa nenhum problema, porém, não existe nas tabelas de Transformada de Laplace a inversa de termos com exponenciais no denominador. Para obter a expressão analítica da solução no domínio do tempo temos que eliminar o termo exponencial do denominador através de uma aproximação polinomial, por exemplo, aproximação de Padé de 1ª ordem

e

− τ m1 . s

≈

1− 1+

Equação 3-217

τ ma 2

τ ma 2

.s .s

Substituindo a Equação 3-217 na Equação 3-216 e rearranjando, obtemos:

τ  2000 . Κ .  ma . s + 1 . e −τ m1 . s  2  C1 (s ) =  τ ma 2  τ na   s . τ . . s + τ + + α . Κ .τ ma  . s + 1 2    2 

Equação 3-218

A Equação 3-218 pode ser descrita da seguinte forma:

C1 (s ) = Equação 3-219

2000 . Κ .(τ a . s + 1). e −τ m1 . s s .(τ 1 . s + 1).(τ 2 . s + 1)

Onde τα = τm3 e τ1 e τ2 são obtidos pela fatoração do denominador da Equação 3-218, neste caso são reais e distintos pois o termo α.K.τm3 é sempre positivo. Calculando os valores dos parâmetros:

Κ= Equação 3-220

0.05 q = = 0.2 q + V . ℜ 0.05 + (5)(0.04)

Equação 3-221

τ 5 = = 20 min q + V . ℜ 0.05 + (5)(0.04)

Equação 3-222

τ ma = τ m1 + τ m 2 = 0.9 + 1.1 = 20 min

τ=

Substituindo-os na Equação 3-219:

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C1 (s ) = Equação 3-223

(2000) (0.2)(s + 1) e −τ . s 400 (s + 1) e −τ s = s [20 s 2 + (20 + 1 + (12)(0.2)(2 ) s + 1 )] s (25 s + 1)(0 . 8 s + 1) m1

m1

Invertendo obtemos:

[

]

C1 (t ) = 400 1 − 0.9917 e − (t − 0.9 ) 25 − 0.0826 e − (t − 0.9 ) 0.8 u (t - 0.9)

Equação 3-224

O qual está plotada na Figura 3-34. Note que não foi necessário aproximar o numerador, assim o termo (t - 0.9) que aparece na solução do sistema é exato.

Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta completa; (b) detalhe nos instantes iniciais.

3.6. (1)

Exercícios O tanque mostrado na Figura 3-35 é colocado na linha para suavizar a variação

da pressão Pi(t), amortecendo a variação da pressão Po(t). No estado estacionário, a vazão de alimentação e as pressões são: qi, ss

=

25.0 Kgmoles/s

Pi, ss

=

2,000 KN/m2

Pss

=

1,800 KN/m2

Po, ss

=

1,600 KN/m2

pi(t)

po(t)

p(t) qi(t)

V

T

qo(t)

Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão.

O volume do tanque é V = 10m3. Um balanço molar no tanque assumindo comportamento ideal para o gás e temperatura de 400 K, é dado por:

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V dP (t ) = qi (t ) − q Ο (t ) Rg . Τ dt

Equação 3-225

Onde Rg = 8,314 Nm/(kgmol.K). As vazões de entrada e saída são dadas por:

q i (t ) = Κ i . Pi (t ) . [Pi (t ) − P (t )]

Equação 3-226

q o (t ) = Κ o . P (t ) . [P (t ) − Po (t )]

Equação 3-227

Onde Ki e Ko são constantes. Pede-se: a) Linearize a equação diferencial. b) Obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de entrada, com a pressão de saída constante. c) obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de saída, com a pressão de entrada constante. Use o método da Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial.

(2)

Encontre Y(t) da seguinte equação diferencial utilizando o método da

transformada de Laplace. O sistema é inicialmente relaxado. Esboce os gráficos e comente os resultados.

d 2Y (t ) dY (t ) + 9. + 9 .Y (t ) = X (t ) 2 dt dt

Equação 3-228

a) Para X(t) = U(t). b) Para X(t) = e-3t. Obs: Analise estabilidade; super, sub ou criticamente amortecimento, comportamento no tempo t = 0 e t = ∞, etc.

(3)

Considere o processo mostrado na Figura 3-36. A vazão do líquido através dos

tanques, q, é constante e igual a 110 kg/min. A densidade do líquido pode ser assumida constante e igual a 800 kg/m3. A capacidade calorífica do fluido também é constante e igual a 1.3 kcal/KgºC. O volume de cada tanque é 0.3 m3. A perda de calor para as vizinhanças é negligenciável e a agitação é perfeita. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Obtenha as funções de transferência, com os valores numéricos e as unidades dos seus parâmetros, que relacionam: a) T3 com To. Sugestão: Considere, neste caso, a taxa de transferência de calor Q constante. b) T3 com Q. Sugestão: Considere, neste caso, que a temperatura na entrada To é constante.

T1(t), q To(t), q

T2(t), q

Q(t) condensado vapor

T3(t), q

Figura 3-36: Tanque não interativos em série.

(4)

Considere um reator de mistura perfeita. Uma reação isotérmica acontece no

reator. A vazão volumétrica é constante. A

→

B

Com a equação da taxa: (-rA) = kCA. O balanço da massa no reator é :

dC A (t ) qi = . [C Ai (t ) − C A (t ) − C A (t )] + ΓA dt V

Equação 3-229

Onde: qi

Vazão volumétrica de alimentação

[ = ] m3/s

CAi

Concentração molar de A na alimentação

[ = ] mol/m3

Identifique e comente sobre: a)

Função perturbação Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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b)

Função de transferência

c)

Pólos de função de transferência

d)

Resposta a perturbação degrau de amplitude W

e)

Se (-rA) = kCA2. qual seria a função de transferência

(5)

Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação isotérmica

de 1ª ordem. O processo pode ser perturbado pela vazão e/ou concentração na corrente de alimentação. Dados: Reação:

A

→

B

Equação da taxa de reação: (-rA) = kCA(t) Escoamento turbulento na saída do reator. Massa específica constante. CAi é a concentração molar de A na alimentação [ = ] mol/m3

Pede-se: a)

Função(s) de transferência, indicando qual a ordem da(s) mesma(s)

b)

Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e

unidades).

(6)

Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação isotérmica

de 2ª ordem. O processo pode ser perturbado simultaneamente pela vazão e pela concentração da corrente de alimentação. Dados: Reação:

A

→

B

Equação da taxa de reação: (-rA) = kCA2(t) Escoamento laminar na saída do reator Massa específica constante

Pede-se: a)

Função(s) de transferência, indicando qual a ordem da(s) mesma(s) Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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b)

Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e

unidades).

(7)

Considere um tanque de aquecimento, conforme a Figura 3-37. A vazão

volumétrica q1(t) e temperatura T1(t) da alimentação são variáveis com o tempo. A densidade e capacidade calorífica do líquido pode ser assumida constante. A transferência de calor pela serpentina é constante e igual a qss. A perda de calor para as vizinhanças é dada por:

QL (t ) = A ext . UG (t ) . (T (t ) − Tamb )

Equação 3-230

e

UG (t ) = Uo + α . v (t )

Equação 3-231

Onde: QL

Calor perdido para o meio ambiente

[ = ] J/s

UG(t)

Coeficiente global de troca térmica

[ = ] J/(m2.ºC.s)

Uo

Constante

[ = ] J/(m2.ºC.s)

Aext

Área externa do tanque disponível para troca com o meio ambiente [ = ] m2

α

Constante

[ = ] J/(m3.ºC)

v(t)

Velocidade do vento

[ = ] m/s

T(t)

Temperatura do fluido no tanque

[ = ] ºC

Tamb

Temperatura do meio ambiente

[ = ] ºC

Assuma que a pressão do vapor é constante.

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T1(t), q1(t)

Motor

v(t)

h(t)

Tamb

R

T2(t) q2(t)

Qst(t) condensado vapor saturado

Figura 3-37: Tanque de aquecimento.

Pede-se: a)

O modelo matemático que representa este processo

b)

As funções de transferência que relacionam as saídas [h(t) e T(t)] com as perturbações

[q1(t), T1(t) e v(t)]. c)

A resposta deste processo a perturbação em v(t) conforme a Figura 3-38.

Figura 3-38: Gráfico exercício (7).

Obs: Caso necessário acrescente outras hipóteses, justificando-as.

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(8)

Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação

exotérmica de 1ª ordem. O processo pode ser perturbado pela vazão q1(t), temperatura T1(t) e/ou concentração CA1(t) da corrente de alimentação. Dados: Reação:

A

→

B

Equação da taxa de reação:

Γ(t ) = k o e

(−

E ) RgT ( t )

C A (t )

Escoamento turbulento na saída do reator Massa específica constante Capacidade calorífica constante Entalpia da reação constante

Pede-se: a)

Funções de transferência entre as respostas do sistema T(t), CA(t), h(t) com as

perturbações q1(t), CA1(t) e T1(t), indicando qual a ordem da(s) mesma(s). b)

Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e

unidades).

(9)

Um sistema integrador com tempo morto é submetido a uma perturbação

conforme a Figura 3-39.

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Figura 3-39: Gráfico para exercício (9).

Obtenha a resposta no tempo.

(10)

Assuma que a seguinte equação é a descrição de um certo processo

Y (s ) 3. e − 0.5 . s = X (s ) 5 .s + 0.2

Equação 3-232

a)

Obtenha o ganho no estado estacionário, a constante de tempo e o tempo morto.

b)

A condição inicial da variável y é y(0) = 2. Para uma força motriz (perturbação) como

mostrada na Figura 3-40, qual o valor final e a expressão de y(t) ?

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Figura 3-40: Gráfico do exercício (10).

(11)

Um sistema de 1ª ordem com tempo morto é submetido a uma perturbação

pulso, conforme a Figura 3-41.

Figura 3-41: Gráfico do exercício (11).

Obtenha a resposta no tempo.

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(12)

Um sistema de 1ª ordem com tempo morto é submetido a uma perturbação

conforme a Figura 3-42.

Figura 3-42: Gráfico do exercício (12).

(13)

Considere o processo mostrado na Figura 3-43. qA(t) ρ A puro

qo ρ CAo(t)

PR

2

h1(t)

Tanque de mistura

3 4

1

Bomba centrífuga

hR

h2(t)

CA5(t)

L

5

Reator

Figura 3-43: Esquema do exercício (13).

q0

Vazão da corrente de alimentação com concentração CA0, constante [ = ] m3/s

CAi(t)

Concentração de A na seção i

[ = ] Kgmol/m3

ρ

Massa específica, constante

[ = ] Kg/m3

hi(t)

Altura do nível do líquido no equipamento i

[=]m

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hR

Altura da entrada do reator em relação à saída do mesmo

[=]m

PR

Pressão na copa do reator

[ = ] kPa

L

Comprimento

[=]m

AT

Área da seção transversal do tanque

[ = ] m2

AR

Área da seção transversal do reator

[ = ] m2

As seguintes informações são conhecidas sobre este processo: a)

A massa específica de todas as correntes são aproximadamente constantes, e iguais.

b)

O fluxo através da bomba de velocidade constante é dado pela Equação 3-233 em [ = ]

m3/s

{

qb (t ) = A . 1 + B . [P1 (t ) − P2 (t )]2

Equação 3-233

c)

}

A tubulação entre os pontos 2 e 3 é longa, com comprimento L (em m). O fluxo através

da tubulação é muito turbulento (plug flow). O diâmetro do tubo é D (em m). A queda de pressão ∆P entre estes dois pontos pode ser considerada constante. d)

Podemos assumir que os efeitos associados à reação são negligenciáveis,

conseqüentemente, a reação ocorre à temperatura constante. A taxa de reação (A → B)é dada por

ΓA (t ) = k . C A (t )

Equação 3-234

e)

[=]

Kg mol m 3 .s

O fluxo através da válvula é dado por

qv (t ) = Cv . VP(t ) . h2 (t )

Equação 3-235

Onde VP é a posição onde se encontra a válvula. Obtenha: a)

O modelo matemático que representa este processo.

b)

As frações de transferência que relacionam as funções perturbação CAo(t), e qA(t) com

h1(t), h2(t) e CA5(t).

Sugestão: Trabalhe com o balanço de massa global e/ou com o balanço de massa para o componente A.

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ÍNDICE CAPÍTULO 4.

IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS

4-3

4.1.

CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 1ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU

4-3

4.2.

CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 2ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU

4-6

4.3.

REGRESSÃO LINEAR

4-10

4.4.

SISTEMAS DE ORDEM SUPERIORES

4-15

4.5.

OBSERVAÇÕES E CONCLUSÕES SOBRE IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS

4-16

4.6.

EXERCÍCIOS

4-17

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 4-1: Dados para Identificação de Processos.

4-14

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 4-1: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. Curva A entrada X(t) e curva B resposta do sistema Y(t).

4-4

Figura 4-2: POMTM ajuste pelo Método 1.

4-5

Figura 4-3: POMTM ajuste pelo Método 2.

4-5

Figura 4-4: POMTM ajuste pelo Método 3.

4-6

Figura 4-5: Resposta de um sistema de 2ª ordem a perturbação degrau: Curva A - entrada X(t); Curva B resposta Y(t) de um sistema super-amortecido; Curva C - resposta Y(t) de um sistema sub-amortecido. 4-7 Figura 4-6: Resposta de vários SOMTM a perturbação degrau.

4-8

Figura 4-7: Gráfico do Método de Harriot para (t

τ 1 + τ 2 ) = 0.5 .

4-8

Figura 4-8: Gráfico do Método de Smith, relação entre τ, ζ, t20 e t60.

4-10

Figura 4-9: Função contínua.

4-11

Figura 4-10: Aproximação de um sistema de 5ª ordem por uma função de transferência de 1ª ordem mais tempo morto.

4-16

Figura 4-11: Etapas para identificação de processo.

4-17

Figura 4-12: Gráfico do exercício (1).

4-18

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Figura 4-13: Fornalha.

4-19

Figura 4-14: Curva de reação da fornalha para uma perturbação na saída do controlador.

4-19

Figura 4-15: Curva de reação para uma perturbação na saída do controlador.

4-20

Figura 4-16: Curva de reação para uma perturbação na umidade da alimentação

4-21

Figura 4-17: Secador de grãos.

4-21

Figura 4-18: Curva de reação para uma perturbação na vazão da corrente de alimentação.

4-22

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CAPÍTULO 4. PROCESSOS

IDENTIFICAÇÃO

DA

DINÂMICA

DE

Nos capítulos anteriores, estudamos o comportamento dinâmico de vários sistemas (1ª, 2ª ordem, tempo morto, etc.). A identificação do sistema foi realizada através da modelagem matemática dos fenômenos físicos envolvidos. Porém, nem sempre é possível obter um modelo fenomenológico que represente satisfatoriamente o comportamento dinâmico de um processo. Nestes casos, são realizados experimentos no intuito de identificar o comportamento dinâmico do processo em estudo. Esses experimentos têm o seguinte procedimento: 1. Tentamos eliminar todas as causas de distúrbios ao sistema; 2. Escolhemos uma fonte de distúrbio e aplicamos a perturbação, por exemplo, degrau de amplitude A; 3. Monitoramos a perturbação e a resposta do sistema até atingir o estado estacionário; 4. Com os dados das etapas 2 e 3 ajustamos um modelo matemático o mais fidedigno possível aos dados experimentais. Neste capítulo, estudaremos alguns métodos de identificação de processos: (a) Ajuste pela curva de resposta a perturbação degrau; (b) Método de Harriot e Método de Smith; (c) Regressão linear e não-linear (aproximação por diferenças finitas).

4.1. Curva de Resposta Perturbação Degrau

de

Sistema

de

1ª

Ordem

a

Um sistema de Primeira Ordem Mais Tempo Morto (POMTM) é descrito pela seguinte equação diferencial.

Equação 4-1

τ P.

d [Y (t )] + Y (t ) = K P . X (t − τ m ) dt

Dos estudos anteriores, sabemos que quando um POMTM esta submetido a uma perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)], a resposta do mesmo é dado pela Figura 4-1.

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Figura 4-1: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. Curva A entrada X(t) e curva B resposta do sistema Y(t).

Ou seja: (a) O sistema atinge 63.2% do valor final após transcorrido um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo, descontado o tempo morto:

Y (τ P ) = 0.632 A.K P

Equação 4-2

(b) No instante inicial da resposta a inclinação da curva é unitária e a maior possível, isto é:

d  Y (t )    = 1 .0 dt  A.K P  t =0

Equação 4-3

(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no estado estacionário acontece no ponto (1.0; τP), descontado o tempo morto. Portanto, podemos utilizar essas características do POMTM para obter os parâmetros do sistema (τP, KP e τm).

4.1.1.

Método 1

(

)

Localizamos no gráfico Y (t ) A.K P versus t , o instante no qual a inclinação da curva é máxima. Prolongamos esta reta até atingir o eixo do tempo, esse ponto determina o tempo morto τm. O prolongamento desta reta até intersectar o prolongamento da reta do estado Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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estacionário alcançado defini a constante de tempo τp, pois o valor da abscissa neste ponto descontado do tempo morto é τp. Veja Figura 4-2.

Figura 4-2: POMTM ajuste pelo Método 1.

4.1.2.

Método 2

Neste método, τm é determinado da mesma maneira do Método 1, porém a constante de tempo é obtida no ponto em que o sistema atinge 63.2% do estado estacionário alcançado, descontando o tempo morto (vide Figura 4-3). Este procedimento tem maior exatidão que o anterior e as constantes de tempo obtidas são, em geral, menores que as obtidas através do Método 1.

Figura 4-3: POMTM ajuste pelo Método 2.

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4.1.3.

Método 3

Os dois métodos vistos até aqui dependiam da localização da tangente da curva no ponto de maior inclinação, por isso esses métodos têm incerteza elevada. Uma alternativa que evita essa dependência é descrita a seguir: (a) Obtenha o tempo necessário para o sistema atingir 63.2% e 28.3% do estado estacionário, t2 e t1, respectivamente; (b) Resolva o seguinte sistema de equação algébricas:

τ m + τ P = t 2   1 τ m + 3 τ P = t1

Equação 4-4

Ou seja,

3  τ m = .(t 2 − t1 ) 2  τ m = t 2 −τ P

Equação 4-5

Dos três procedimentos este é, geralmente, o mais exato, portanto mais recomendado.

Figura 4-4: POMTM ajuste pelo Método 3.

4.2. Curva de Resposta Perturbação Degrau

de

Sistema

de

2ª

Ordem

a

Um sistema de Segunda Ordem Mais Tempo Morto (SOMTM) é descrito pela seguinte equação diferencial

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2

τ . Equação 4-6

d2 dt

2

[Y( t )] + τ.ξ. d .[Y( t )] + Y( t ) = Kp .X( t − τm ) dt

Dos estudos anteriores sabemos que quando um SOMTM esta submetido a uma perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)] a resposta do mesmo é dada pela Figura 4-5.

Figura 4-5: Resposta de um sistema de 2ª ordem a perturbação degrau: Curva A entrada X(t); Curva B - resposta Y(t) de um sistema super-amortecido; Curva C resposta Y(t) de um sistema sub-amortecido.

Descrevemos dois métodos de identificação de SOMTM: (a) Método de Harriott, válido para sistema superamortecidos; (b) Método de Smith, válido para sistema super ou subamortecidos. Nesses dois procedimentos o tempo morto τm deve ser identificado visualmente através do gráfico da curva de resposta.

4.2.1.

Método de Harriot

Este método está baseado na seguinte função de transferência:

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G(s) = Equação 4-7

(

KP (τ 1 .s + 1)(. τ 1 .s + 1)

)

Harriot percebeu que o gráfico Y (t ) A.K P x(t τ 1 + τ 2 ) para várias funções de transferência se interceptavam em torno de 73% (intervalo real entre 0.7275 e 0.7326) do valor final do estado estacionário, correspondendo a 1.3 na abscissa, conforme Figura 4-6.

Figura 4-6: Resposta de vários SOMTM a perturbação degrau.

Harriott notou, também, que o ponto que as curvas da Figura 4-6 mais se afastam acontece

(t τ 1 + τ 2 ) = 0.5 , então (t τ 1 + τ 2 ) = 0.5 , veja Figura 4-7.

quando

ele construiu o gráfico de

Figura 4-7: Gráfico do Método de Harriot para

(Y (t ) A.K P )x(t τ 1 + τ 2 )

para

(t τ 1 + τ 2 ) = 0.5 .

O procedimento para identificação dos parâmetros do modelo é o seguinte: (a) Determine o tempo morto e trabalhe com o sistema de segunda ordem sem τm, depois de identificado KP, τ1 e τ2, acrescente ao modelo o tempo morto; (b) Determine o ganho do sistema KP: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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KP = Equação 4-8

Y (∞) − Y (0) X (∞) − X (0)

(c) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, obtenha o tempo transcorrido até o sistema atingir 73% do valor final, isto é, obtenha t73, assim esta determina a primeira equação:

τ 1 + τ 2 = t 73 1.3

Equação 4-9

(d) Calcule o tempo que satisfaça a equação

t 0.5 = 0.5(τ 1 + τ 2 )

Equação 4-10

(

)

(e) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, leia o valor de Y (t ) A.K P para

(

t0.5, isto é, Y (t ) A.K P

) t = 0. 5 ; (

(f) Com o valor de Y (t ) A.K P

) t = 0. 5

obtenha na Figura 4-7 o valor de τ 0.5 = τ 1 (τ 1 + τ 2 ) ,

determinando a segunda equação; (g) Ao resolver o sistema algébrico (Equação 4-11) e com os valores do tempo morto τm e do ganho K determinados anteriormente, identificamos o SOMTM.

τ 1 + τ 2 = t 73 1.3   τ1  (τ + τ ) = τ 0.5 2  1

Equação 4-11

O Método de Harriot só é válido para sistemas de segunda ordem superamortecidos com

(

0.2 < Y (t ) A.K P

)

< 0.39, para valores fora dessa faixa o sistema é geralmente de ordem

superior a 2 ou então subamortecido.

4.2.2.

Método de Smith

Este método está baseado na seguinte função de transferência: Equação 4-12

G ( s) =

KP

τ 2 .s 2 + 2.τ .ς .s + 1

Onde ζ determina se o sistema será sub, criti ou superamortecido. O procedimento para identificação dos parâmetros do modelo é o seguinte:

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(a) Determine o tempo morto e trabalhe com o sistema de segunda ordem sem τm, depois de identificado K, τ e ζ, acrescente ao modelo o tempo morto; (b) Determine o ganho do sistema Kp:

KP = Equação 4-13

Y (∞ ) − Y (0) X (∞ ) − X (0)

(c) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, obtenha os tempos transcorridos para o sistema atingir 20% e 60% do valor final, isto é, obtenha t20 e t60; (d) Calcule a razão t 20 t 60 ; (e) Da Figura 4-8 leia os valores de t 60 τ e ζ;

Figura 4-8: Gráfico do Método de Smith, relação entre τ, ζ, t20 e t60.

(f) Com o valor de t 60 τ calcule τ, que esta identificando SOMTM pois conhecemos τm (passo (a)) e K (passo (b)), τ e ζ (passos (c) a (e)).

4.3.

Regressão Linear

O modelo dinâmico de um processo é descrito por um sistema de equações diferenciais que pode ser aproximado por um sistema de equações de diferenças finitas, cujos parâmetros são obtidos através de métodos de regressão.

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4.3.1.

Método das Diferenças Finitas

Dada a função contínua:

Figura 4-9: Função contínua.

Onde, ∆t = tj

Equação 4-14

+ 1

- tj

Ou, ∆t = tj - tj

Equação 4-15

- 1

Expandindo Y(t) em série de Taylor, ou seja: Conheço Yj e quero conhecer Y(j + 1) Ou conheço Yj e quero conhecer Y(j - 1)

Y( j + 1) = Yj +

dY 1 d2 Y 1 d3Y ∆t + . ∆t 2 + . ∆t 3 + ... dt j 2! dt 2 3! dt 3 j j

Y( j − 1) = Yj −

dY 1 d2 Y 1 d3Y ∆t + . ∆t 2 − . ∆t 3 + ... 2 3 dt j 2! dt 3! dt j j

Equação 4-16

ou

Equação 4-17

Da Equação 4-16, obtém-se:

Y( j + 1) − Yj Equação 4-18

∆t

= Yj′ +

1 1 . Y′′ . ∆t + . Y′′′. ∆t 2 + ... 2! 3!

E

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Y( j − 1) − Yj

= Yj′ −

∆t

Equação 4-19

1 1 . Y′′ . ∆t + . Y′′′. ∆t 2 + ... 2! 3!

Truncando no 1º termo e da Equação 4-18, encontra-se

dY dt

= Y j′ =

Y( j + 1) − Y j ∆t

tj

Equação 4-20

 Fórmula   + ord (∆t ) → diferença finita   para a frente 

Da Equação 4-19, encontra-se:

dY dt

= Y j′ =

Y j − Y( j − 1) ∆t

tj

Equação 4-21

 Fórmula   + ord (∆t ) → diferença finita   para trás 

Subtraindo a Equação 4-19 da Equação 4-18:

dY dt

=

Y( j + 1) − Y( j − 1)

2 . ∆t

tj

( )

 Fórmula   → diferença finita  central 

( )

 Fórmula   → diferença finita  central 

+ ord ∆t

2

Equação 4-22

Somando a Equação 4-18 e a Equação 4-19:

d 2Y dt 2 Equação 4-23

Y j′′ = tj

Y( j − 1) − 2 .Y j + Y( j + 1)

(∆t )2

+ ord ∆t

2

Consideremos agora um processo no qual os fenômenos físicos ou químicos que ocorrerem são pouco conhecidos ou que os vários parâmetros que o descrevem são incertos. Podemos então aproximar o modelo do processo pela seguinte equação linear das diferenças finitas de ordem k. Equação 4-24

Yn = a1 Yn − 1 + a 2 Yn − 2 + ... + a K Yn − K + b1 X n −1 + b2 X n − 2 + ... + bK X n − K

Onde Yi e Xi são os valores de saída e entrada, respectivamente, no instante ï” de amostragem e a1, az, ..., ak; b1, bz, ..., bk são parâmetros constantes e desconhecidos do processo. Para obtermos os valores dos parâmetros usaremos o Método dos Mínimos Quadrados; encontrando os melhores valores para os parâmetros a partir da minimização do erro, ou seja, os melhores valores serão aqueles que apresentem o menor valor para o erra entre o valor experimental e o teórico. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Introduzimos no processo uma série de perturbações e obtemos os valores de resposta; ~

onde Xn será o valor medido da perturbação e Ỹn será o valor medido da resposta do processo à perturbação, no n-ésimo instante de amostragem com n = 1, 2, 3, ... Comparando os valores computados das variáveis de resposta do modelo postulado, Equação 4-24, com os valores de resposta medidos, teremos o erro:

Equação 4-25

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  a n Yn − 1 + a 2 Yn − 2 + ... + a K Yn − K + b1 X n − 1 + b2 X n − 2 ε n = Yn − Yn = Yn −  + ... + b X~ + ... + b X~ K n−2 K n−K 

   

No Método dos Mínimos Quadrados minimiza-se o quadrado do erro, afim de garantir que os erros não sejam compensados, calcula-se, então o somatório P.

P = Equação 4-26

1 N 2 ∑ εn N n =1

Para que P seja um ponto de mínimo temos que satisfazer as seguintes equações algébricas, cuja condição necessária é que a derivada de P em relação aos parâmetros seja igual a zero:

∂Ρ ∂Ρ ∂Ρ ∂Ρ ∂Ρ ∂Ρ = = ... = = = = ... = =0 ∂a1 ∂a2 ∂ak ∂b1 ∂b2 ∂bK

Equação 4-27

Resolvendo o sistema de equação acima encontramos os parâmetros desejados a1, az, ..., ak; b1, bz, ..., bk que tornam o erro mínimo.

Exemplo: Identificação da ordem e dos parâmetros de um processo. Considere um processo com a dinâmica pouco conhecida de modo que não temos uma boa estimativa da ordem do processo. Inicialmente, consideraremos um processo de 1ª ordem; então pela Equação 4-24: Equação 4-28

Yn = a1Yn–1 + b1Xn–1

Usando o Método dos Mínimos Quadrados:

P = Equação 4-29

(

)

1 N ~ ~ ~ yn − a1 Yn − 1 − b1 Xn − 1 2 ∑ N n =1

Os valores ótimos para os parâmetros deve satisfazer a condição necessária para um ponto mínimo: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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(

)(

)

(

)(

)

Equação 4-30

∂P 1 N ~ ~ = 2 . ~yn − a1 Yn − 1 − b1 Xn − 1 − ~y n − 1 = 0 ∑ ∂b1 N n = 1

Equação 4-31

∂P 1 N ~ ~ ~ = 2 . ~yn − a1 Yn − 1 − b1 Xn − 1 − X n − 1 = 0 ∑ ∂b1 N n = 1

Resolvendo a Equação 4-30 e a Equação 4-31 para a1 e b1, sendo a Tabela 4-1 dos valores ~

~

(n = 1, 2, ..., 15 ) chegaremos ao sistema de equações abaixo: Y X medidos para n −1, n −1, 0.5884a1 + 0.0881b1 = 0.5541  0.0881a1 + 0.1947b1 = 0.1866

Equação 4-32

Onde a1 = 0.8562 e b1 = 0.5710. Calculando o valor do mínimo erro pela Equação 4-29 temos que P = 0.00161. Este mesmo raciocínio desenvolvido para um sistema de 1ª ordem pode ser estendido para sistemas de ordem superiores. Tabela 4-1: Dados para Identificação de Processos.

Instante de Amostragem n

Variável Perturbação Xn

Variável Resposta Yn

n<0

0.00

0.000

0

1.00

0.000

1

0.60

0.500

2

0.30

0.900

3

0.10

0.910

4

0.00

0.866

5

0.00

0.732

6

0.00

0.612

7

0.00

0.519

8

0.00

0.430

9

0.00

0.361

10

0.00

0.302

11

0.00

0.253

12

0.00

0.212

13

0.00

0.178

14

0.00

0.149

15

0.00

0.125

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Seguindo o mesmo processo para um sistema de 2ª ordem, o modelo postulado terá a seguinte forma:

Yn = a1 Yn− 1 + a2 . Yn − 2 + b1 . Xn −1 + b2 . Xn − 2

Equação 4-33

Então, linearizando pelo Método dos Mínimos Quadrados e resolvendo as condições necessárias:

(

)

Equação 4-34

1 N ~ ~ ~ ~ ~ yn − a1 Yn − 1 − a 2 Yn − 2 − b1 Xn − 1 − b2 Xn − 2 2 ∑ N n =1

Equação 4-35

∂Ρ ∂Ρ ∂Ρ ∂Ρ = = = =0 ∂a1 ∂a2 ∂b1 ∂b2

P =

Encontramos a1 = 0.6, az = 0.2, b1 = 0.5, b2 = 0.3; donde estes valores levam a um erro mínimo com P = 0. Então podemos concluir que o modelo postulado de 2ª ordem descreve exatamente a dinâmica do processo e o modelo que pode ser usado no projeto de controladores é: Equação 4-36

4.4.

Yn = 0.6 Yn − 1 + 0.2 Yn − 2 + 0.5 Xn − 1 + 0.3 Xn − 2

Sistemas de Ordem Superiores

Para os propósitos de controle de processos muitas vezes podemos aproximar a dinâmica dos sistemas por um ou combinação das seguintes funções de transferências: 1ª ordem:

G1 (s ) = Equação 4-37

KP τ P . s +1

2ª ordem:

G 2 (s ) = Equação 4-38

Tempo Morto:

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KP τ . s + 2 .τ .ζ . s + 1 2

2

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Gm (s ) = e −τ m . s

Equação 4-39

Na Figura 4-10 observamos que um sistema de 5ª ordem é aproximado adequadamente por um sistema de 1ª ordem mais tempo morto.

Figura 4-10: Aproximação de um sistema transferência de 1ª ordem mais tempo morto.

de

5ª

ordem

por

uma

função

de

4.5. Observações e Conclusões sobre Identificação de Processos Neste capítulo discutimos diversos métodos de identificação de processos, alguns bastantes simples, que utilizam dados experimentais para ajustar os parâmetros de uma dada função transferência. Procedimentos mais complexas de identificação existem e continuam sendo estudos pois os processos reais estão submetidos a condições que complicam e prejudicam a identificação, tais como: (1) É impossível impor a um sistema químico uma perturbação degrau perfeita, pois os equipamentos dos processos não podem mudar de estado instantaneamente, portanto a análise dos dados fica comprometida quando assumimos degrau ideal; (2) Os processos não são de 1ª, 2ª ordem ou lineares, apenas processos demasiadamente simples se aproximam desses modelos; (3) Os dados monitorados estão sempre sujeitos a ruídos, seja devido ao processo, aos instrumentos de medição ou a outros elementos do sistema de controle, este ruído prejudica a análise pois não há como isolar este efeito dos dados levantados;

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(4) Em processos reais é impossível evitar que outras perturbações, além da que esta sendo monitorada, atuem simultaneamente sobre o mesmo; (5) Processos reais são, na sua grande maioria, sistema de múltiplas variáveis não lineares (MIMO-NL), requerendo modelos matemáticos complexos e/ou técnicas de identificação sofisticadas para determinação do modelo dinâmico do processo. Uma boa ferramenta auxiliar na caracterização da dinâmica de processos é o software MATLAB, com sua extensão apropriada para identificação MATIDENT. Neste encontramos algumas técnicas sofisticadas de identificação e uma ambiente computacional adequado para o desenvolvimento das tarefas necessárias para a identificação da dinâmica de processos. INÍCIO

DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS

PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO NÃO OK ? SIM COLETA DE DADOS

VALIDAÇÃO DOS DADOS COLETADOS NÃO OK ? SIM ESCOLHA DO MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO

IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

VALIDAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA NÃO OK ? SIM FIM

Figura 4-11: Etapas para identificação de processo.

4.6. (1)

Exercícios Um processo responde a uma perturbação degrau conforme a Figura 4-12. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Figura 4-12: Gráfico do exercício (1).

Pede-se (a) Modelo matemático que melhor representa este processo. Identifique, se existir, os seguintes parâmetros: KP

Ganho do processo

τP

Constante de tempo do processo (para sistema de 1ª ordem)

τm

Tempo morto do processo

τ

Período natural de oscilação (para sistema de 2ª ordem)

ζ

Fator de amortecimento

(b) Identifique a ordem do sistema e se o sistema é sub, criti ou superamortecido (se estes conceitos forem aplicáveis). (c) trace no diagrama pólo-zero os pólos e zeros deste sistema.

(2)

Considere uma fornalha, mostrada na Figura 4-13, usada para aquecer o ar de

um regenerador de catalisador. O transmissor de temperatura está calibrado para uma faixa de 300 ~ 500ºF. A curva de reação deste sistema foi obtida para uma variação de + 5% (ou + 0.8 mA) na saída do controlador (neste teste o controlador foi posto em manual).

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ar vazão constante TT

TC

I/P

Gás combustível

TW

Figura 4-13: Fornalha.

Figura 4-14: controlador.

Curva

de

reação

da

fornalha

para

uma

perturbação

na

saída

do

Pede-se para identificar a função de transferência que associa a saída do controlador com a temperatura na saída do forno. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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(3)

Considere um secador, mostrado na Figura 4-17. A secagem dos grãos é devida

ao contrato direto das pelotas com os gases de combustão. A umidade dos grãos deve ser controlada cuidadosamente pois, se secarem demais ocorrem muitas perdas, se ficarem muito úmidos durante a armazenagem formam aglomerados não aproveitados. A umidade dos grãos na entrada do secador esta em torno de 14% e na saída 3%. O controle é realizado através da manipulação da velocidade de mesa de alimentação que determina o tempo de residência dos grãos dentro do secador. O transmissor de umidade esta calibrado para uma faixa de 1 a 6% de umidade. Um importante distúrbio neste processo é a umidade dos grãos na alimentação. A Figura 4-15 foi obtida para uma variação de +1.0 mA na saída do controlador (neste teste o controlador foi posto em manual). A Figura 4-16 mostra a resposta do sistema em malha aberta quando ocorre uma variação de +2% na umidade da corrente de alimentação.

Figura 4-15: Curva de reação para uma perturbação na saída do controlador.

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Figura 4-16: Curva de reação para uma perturbação na umidade da alimentação

Pede-se para identificar as funções de transferência que associam a saída do controlador e a umidade dos grãos na alimentação com a umidade dos grãos na saída do secador.

Figura 4-17: Secador de grãos.

(4)

O resultado de uma perturbação degrau aplicada a um reator químico é

mostrado na Figura 4-18. Esses dados foram obtidos através do aumento súbito da vazão da corrente do reagente puro, do seu valor normal de 2.72 para 2.95 kgmoles/min.

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Figura 4-18: alimentação.

Curva

de

reação

para

uma

perturbação

na

vazão

da

corrente

de

Encontram-se instalados os seguintes instrumentos: (a) Uma válvula de controle, cuja vazão de descarga varia de 0 a 6.81 kgmoles/min de reagente à medida que a pressão no diagrama varia de 1.02 a 0.20 atm. A válvula tem constante de tempo de 20 segundos. (b) Um dispositivo de medida de concentração, cuja saída elétrica varia de 0.15 a 2.0 mV, à medida em que a fração molar do produto varia de 0.5 a 0.8 na corrente de saída, levando 12 min para processar cada amostra. (c) Um transmissor que modifica sua saída de 4 a 20 mA à medida em que a entrada elétrica varia de 0.05 a 3 mV. (d) Um conversor que modifica sua saída de 0 a 1 (fração molar) à medida que a entrada varia de 4 a 20 mA. Utilizando os instrumentos supracitados, desenvolva o fluxograma de controle deste processo e identifique as funções de transferência entre o sinal pneumático da válvula de controle de reagente (entrada) e a fração molar dos produtos na saída do reator (saída).

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ÍNDICE CAPÍTULO 5.

INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE

5-2

5.1.

SELEÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO

5-4

5.2.

AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL

5-7

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão.

5-3

Tabela 5-2: Etapas evolutivas dos sistemas de controle industriais.

5-7

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I

5-5

Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II.

5-5

Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III.

5-5

Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV.

5-6

Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V.

5-6

Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI.

5-6

Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII.

5-7

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CAPÍTULO 5. CONTROLE

INSTRUMENTAÇÃO

E

VÁLVULAS

DE

A instrumentação industrial e um tema que por si só requer profissionais altamente qualificados e especializados, principalmente para instrumentação analítica. Ao lado da teoria é necessário um elevado conhecimento das normas utilizadas para dimensionar, aferir, calibrar, montar e instalar os instrumentos. O tema instrumentação industrial justifica um curso de graduação de 75 horas, no qual seria abordado desde o projeto (dimensionamento) do instrumento até o conhecimento da documentação necessária para compra e instalação do elemento primário de medição. Uma boa referência sobre a documentação envolvida em projetos de sistemas de controle é a monografia elaborada por Cayubi Alves da Costa: O Projeto de Controle e Instrumentação para Processos Industriais. A experiência e conhecimento prático também são fatores chaves para a formação de um engenheiro de instrumentação com elevada qualificação técnica. Embora formalmente não exista o curso de engenheiro de instrumentação, pode-se definir claramente esta categoria entre as várias modalidades de engenharias. Nesta área atuam engenheiros (de todas as formações), físicos, químicos, matemáticos, etc. As referências citadas no início desta publicação cita as principais fontes de consulta para o projeto, dimensionamento, instalação, calibração e aferição de instrumentos. Medidores de canal aberto - A expressão "canal aberto" refere-se a qualquer elemento condutor no qual o líquido flui com superfície areada. Dentro dos métodos mais comuns para obter-se a vazão encontra-se o de profundidade. Existem diferentes desenhos de canais. O método mais moderno de medição de altura é o ultra-sônico. Na Tabela 5-1 estão as principais características dos instrumentos de medição de vazão:

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Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão.

Elementos de Medição

Serviço recomendado

Rangeabilidade

Perda de carga

Incerteza normal %

Orifício

Fluidos limpos e com sol; alguns efluentes, vapor

4:1

Média

+ 2a +4F.E.

10 e 30 D

Alto

Wedge

Efluentes e fluidos viscosos

3:1

Baixa e Média

+ 0.5a + 2F.E.

10 e 30 D

Baixa

Tubo Ventum

Fluidos limpos com sólidos e viscosos e alguns efluentes

4:1

Baixa

+ 1FE

5 e 20 D

Alta

Bocal de fluxo

Fluidos limpos e com sólidos

4:1

Média

+ 1a + 2F.E.

10 e 30 D

Alta

Tubo Pitor

Líquidos limpos

3:1

Muito baixa

+ 3a +5F.E.

20 e 30 D

Baixa

Elbow Meter

Líquidos limpos com sólidos e alguns efluentes.

3:1

Muito baixa

+ 5a + 10F.E.

30 D

Baixa

Target

Líquido limpos com sólidos viscosos e alguns efluentes

10:1

Média

+ 1a +5F.E.

10 e 30 D

Média

Área variável

Líquidos limpos com sólidos viscosos

10:1

Média

+ 1a +10F.E.

Nenhum

Média

Deslocamento Positivo

Líquidos limpos e viscosos

10:1

Alta

+ 0.5 de vazão

Nenhum

Alto

5 e 10 D

Alto

Trecho reto Efeito de recomendado viscosidade

Turbinas

Fluidos limpos e viscosos

20:1

Média

+ 0.5%F.E. para líquido + 1.0% F.E. para gases

Nortex

Fluidos limpos e viscosos

10:1

Média

+ 1 de vazão

10 e 20 D

Médio

Eletromagnético

Líquidos condutivos limpos com sólidos e efluentes ind.

30:1

Nenhum

+ 1.0

5D

Nenhum

Ultrasônico (doppler)

Líquido com sólidos viscosos e efluentes

10:1

Nenhum

+ 5F.E.

5 e 30 D

Nenhum

Ultrasônico (tempo de viagem)

Líquidos limpos e viscosos

20:1

Nenhum

+ 1a +5F.E.

5 e 30 D

Nenhum

Mássico (Coriolis)

Limpos, com sólidos viscosos, alguns efluentes

10:1

Baixa

+ 0.4 de vazão

Nenhum

Nenhum

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Elementos de Medição

Serviço recomendado

Rangeabilidade

Perda de carga

Incerteza normal %

Mássico (térmico)

Limpos, com sólidos viscosos, alguns efluentes

10:1

Baixa

+ 1F.E.

Nenhum

Nenhum

Weir (VNotch)

Líquidos limpos e com sólidos

100:1

Muito baixa

+ 2a +5F.E.

Nenhum

Muito Baixo

Calha (Parshall)

Líquidos limpos e com sólidos

50:1

Muito baixa

+ 2a +10F.E.

Nenhum

Muito Baixo

Trecho reto Efeito de recomendado viscosidade

Nota: Os valores da incerteza indicados são médios, podendo haver variações em função de fabricantes e/ou inovações tecnológicas.

5.1.

Seleção de um Medidor de Vazão

O primeiro e mais importante passo é saber exatamente o que o instrumento deverá fazer. Por exemplo: se a medição é para controle de processo ou para compra e venda. Que tipo de sinal é requerido (proporcional ou fechamento de contato), ou apenas leitura local. Se o produto a ser medido é viscoso, limpo ou sujo, eletricamente condutivo etc. Levantados os dados, devemos avaliar os seguintes pontos, contra as características de performance de cada tipo de medidor para selecionarmos a melhor opção: a) Checar os tipos que têm condições de suportar as condições de operação: pressão, temperatura, corrosão, classificação da área. b)

Verificar quais atendem aos requisitos de exatidão nas condições de processo.

c)

Verificar o (custo de aquisição + instalação) versus orçamento.

d) Avaliar os requisitos de faturas manutenções: freqüência, custos, durabilidade, recalibrações. e) Perda de carga causada pelo medidor e nível de pulsação ou turbulência que possa causar. f) Adaptabilidade para futuras necessidades e facilidade de interfaceamento com o equipamento existente.

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PLANTA

SINAL ANALÓGICO

OPERADOR

CAMPO

Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I

PLANTA

SINAL PNEUMATICO

CONTROLADOR ANALÓGICO 1 CONTROLADOR ANALÓGICO 2

CAMPO

Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II.

CONTROLADOR ANALÓGICO 1

PLANTA

SINAL PNEUMATICO

CONTROLADOR ANALÓGICO 2 CAMPO

SALA DE CONTROLE

Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III.

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C O N V E R S O R

PLANTA

CAMPO

CONTROLADOR ANALÓGICO 1

SINAL ELETRICO

CONTROLADOR ANALÓGICO 2 SALA DE CONTROLE

I\P

Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV.

C O N V E R S O R

PLANTA

CAMPO

SINAL ELETRICO

I\P

C O N V E R S O R

COMPUTADOR CENTRAL (DDC)

I/D

SALA DE CONTROLE

Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V.

PLANTA

CAMPO

C O N V E R S O R I\P

SINAL ELETRICO

C O N V E R S O R I\D

CONTROLADOR DIGITAL 1 CONTROLADOR DIGITAL 2 SALA DE CONTROLE

Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI.

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Controlador digital 1

PLANTA

Controlador digital 2

CAMPO

M U L T I P L E X A D O R

REDE FIELDBUS

ESTAÇÃO DE OPERAÇÃO E/OU COMPUTADOR DE PROCESSO SALA DE CONTROLE

Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII.

Tabela 5-2: Etapas e volutivas dos sistemas de controle industriais.

5.2.

Funções Controladores geograficame geograficame nte nte

Etapa

Controle

Tipo de sinal

Observação

I

Manual

Distribuídas

Não existiam

Analógicopneumático

Indicadores locais

II

Automático

Distribuídas

Distribuídos

Analógicopneumático

Controladores de campo

III

Automático

Distribuídas

Concentrados

Analógicopneumático

Sala de controle

IV

Automático

Distribuídas

Concentrados

Analógico – elétrico

Sala de controle

V

Automático

Concentradas Concentrados

Analógicodigitalanalógico

DDC (controle digital direto)

VI

Automático

Distribuídas

Concentrados

Analógicodigitalanalógico

SDCD sem field bus

VII

Automático

Distribuídas

Distribuídos

Basicamentedigital

SDCD com field bus

Automação Industrial

Multidisciplinar: (1) Engenharia de processos (engenheiro químico, mecânico, eletricista, sanitarista, de minas, etc.) (2) Controle de processos (3) Engenharia de software * Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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(4) Simulação e otimização de processos (5) Engenharia de “hardware” * (6) Instrumentação industrial (7) Inteligência artificial * (8) Informática * (9) Redes industriais *

* Intervenção dos profissionais de processamento de dados.

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Página 6-1 de 66

ÍNDICE CAPÍTULO 6.

SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS

6-4

6.1.

DEFINIÇÕES

6-5

6.2.

EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE: TANQUE DE AQUECIMENTO

6-6

6.3.

TERMINOLOGIA

6-7

6.4.

DIAGRAMA DE BLOCOS

6-7

6.5.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA

6-14

6.6.

ÁLGEBRA DE DIAGRAMA LINEAR DE BLOCOS

6-17

6.7.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE VÁLVULAS DE CONTROLE

6-19

6.8.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES IDEAIS

6-20

6.9.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES INDUSTRIAIS

6-21

6.10.

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM SISTEMA CONTROLE FEEDBACK

6-23

6.11.

AÇÃO DIRETA E AÇÃO REVERSA DO CONTROLADOR

6-35

6.12.

PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK

6-37

6.13.

EXERCÍCIOS

6-53

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 6-1: Operações com diagramas de bloco.

6-18

Tabela 6-2: Ação Direta do Controlador.

6-35

Tabela 6-3: Ação Reversa do Controlador.

6-35

Tabela 6-4: Características dinâmicas de variáveis de processo.

6-44

Tabela 6-5: Critério de Sintonia de Cohen & Coon.

6-46

Tabela 6-6: Valores típicos dos parâmetros de controladores.

6-47

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 6-1: Divisão do controle de processo.

6-4

Figura 6-2: Partes de um sistema 01.

6-6

Figura 6-3: Partes de um sistema 02.

6-6

Figura 6-4: Tanque de aquecimento.

6-7

Figura 6-5: Diagrama de blocos.

6-8

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Figura 6-6: Tanque com aquecimento 02.

6-9

Figura 6-7: Diagrama de bloco do processo 01.

6-12

Figura 6-8: Diagrama de bloco do processo 02.

6-12

Figura 6-9: Diagrama de bloco do processo 03.

6-12

Figura 6-10: Diagrama de bloco do elemento primário de medição.

6-13

Figura 6-11: Diagrama de bloco do transmissor.

6-13

Figura 6-12: Diagrama de bloco do controlador proporcional.

6-13

Figura 6-13: Diagrama de bloco do conversor I/P.

6-14

Figura 6-14: Diagrama de bloco da válvula de controle.

6-14

Figura 6-15: Diagrama de blocos completo para o sistema de controle.

6-14

Figura 6-16: Mecanismo do controlador.

6-15

Figura 6-17: Diagrama de bloco para servomecanismo.

6-15

Figura 6-18: Diagrama de bloco para sistemas reguladores.

6-16

Figura 6-19: Redução de diagrama de blocos: (a) Diagrama original; (b) Primeira redução; (c) Diagrama final com bloco único.

6-19

Figura 6-20: Diagrama de bloco da válvula de controle.

6-20

Figura 6-21: Mecanismo do controlador feedback.

6-23

Figura 6-22: Resposta em malha fechada de um sistema de 1ª ordem com controlador proporcional: (a) perturbação no set point; (b) perturbação na carga.

6-25

Figura 6-23: Efeito do ganho do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com controlador proporcional.

6-27

Figura 6-24: Efeito do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com apenas ação integral.

6-29

Figura 6-25: Efeitos do controlador PID (Sistema regulador e perturbação em degrau).

6-31

Figura 6-26: Tanque com vazão de saída constante.

6-32

Figura 6-27: Diagrama de bloco para tanque com vazão de descarga constante.

6-33

Figura 6-28: Exemplo 01 – Ação do controlador de temperatura de aquecedores de correntes através da manipulação da vazão de vapor para o trocador.

6-36

Figura 6-29: Exemplo 02 – Ação do controlador de temperatura de reatores (reação exotérmica) através da manipulação da vazão de fluido refrigerante.

6-37

Figura 6-30: Exemplo 03 – Controle de vazão de uma corrente cujo elemento final de controle seja uma válvula NA.

6-37

Figura 6-31: Tanque de aquecimento com agitação.

6-39

Figura 6-32: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação.

6-40

Figura 6-33: Processo com multiplicidade de estados estacionários.

6-41

Figura 6-34: Controladores PI: Ganho.

6-48

Figura 6-35: Controladores PI: Integral.

6-49

Figura 6-36: Controladores PID: Ganho proporcional.

6-50

Figura 6-37: Controladores PID: Ação integral.

6-51

Figura 6-38: Controladores PID: Ação Derivativa.

6-52

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Figura 6-39: Tanques não interativos em série.

6-54

Figura 6-40: Tanque de aquecimento com agitação.

6-55

Figura 6-41: Tanque não interativos com aquecimento.

6-56

Figura 6-42: Tanque pulmão.

6-57

Figura 6-43: Diagrama de blocos a.

6-58

Figura 6-44: Diagrama de blocos b.

6-58

Figura 6-45: Tanques em séries com controle de nível.

6-59

Figura 6-46: Tanques em série com aquecimento.

6-60

Figura 6-47: Tanque de aquecimento com agitação.

6-62

Figura 6-48: Diagrama de blocos exercício (11).

6-62

Figura 6-49: Tanque de mistura.

6-64

Figura 6-50: Diagrama de blocos para sistema de controle feedforward.

6-64

Figura 6-51: Diagrama de blocos.

6-65

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CAPÍTULO 6. FECHADAS

SISTEMAS

LINEARES

EM

MALHAS

Processos físicos e/ou químicos estão sujeitos a influências as mais diversas e imprevisíveis. Ex.: Reator químico ƒ

Mudança da composição da alimentação

ƒ

Desativação do catalisador

ƒ

Lote de catalisador diferente

Ex.: Torre de destilação ƒ

Mudança da vazão, temperatura ou composição da alimentação

Controle de processos visa: ƒ

Produtos mais uniformes;

ƒ

Aumento da qualidade dos produtos;

ƒ

Aumento da segurança para equipamentos e pessoas;

ƒ

Diminuição do consumo de energia;

ƒ

Aumento do lucro.

CONTROLE DE PROCESSO

MANUAL

AUTOMÁTICO

PROCESSO SIMPLES

PROCESSOS MUITO RÁPIDOS OU COMPLEXOS REGIÕES REMOTAS OPERAÇÕES PERIGOSAS OPERAÇÕES ROTINEIRAS

MAIS EFICIENTE MAIOR INVESTIMENTO INICIAL MAIOR TAXA DE RETORNO

Figura 6-1: Divisão do controle de processo.

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6.1.

Definições

Sistema: ƒ

“Qualquer conjunto de unidades, entre as quais existem relações”

ƒ Um sistema é constituído de partes que formam um todo complexo, mas organizado e que se inter-relacionam de tal maneira que o todo adquire características próprias, diferente da simples soma das características de suas partes. Exemplos: Sistema do mundo físico: ƒ

Sistema solar

Sistema do mundo social: ƒ

Sistema político de um país

ƒ

Sistema de trânsito de uma cidade

Sistemas do mundo tecnológico: ƒ

Sistema de computação eletrônica

ƒ

Sistema de produção de amônia

ƒ

Sistema de controle de processos

Partes de um sistema: 1.

Entrada ou “input”: aporte do meio externo para o sistema

2. Processo: série de operações ou transformações efetuadas no interior do sistema sobre as entradas. 3. Saída ou “output”: resultado da ação do sistema sobre as entradas, é o aporte do processo para o meio.

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ENTRADA ESTÍMULO "INPUT

PROCESSO

SAÍDA RESPOSTA "OUTPUT"

Figura 6-2: Partes de um sistema 01.

SISTEMA (META OU SUPRASISTEMA)

SUBSISTEMA 1

SUBSISTEMA 2

SUBSISTEMA 3

Figura 6-3: Partes de um sistema 02.

Sistema de controle: “Disposição de componentes físicos, conectados ou relacionados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas.” ƒ

Feedforward: A ação de controle é independente da saída (controle antecipatório)

ƒ

Feedback: A ação de controle depende, de algum modo, da saída (realimentação)

CASCATA :  RELAÇÃO ADAPTATIVO REALIMENTAÇÃO   TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE SUPERVISÓRIO → DIGITAL DIRETO ANTECIPATÓRIO   DIGITAL DISTRIBUÍDO  DESACOPLAMENTO

6.2. Exemplo de um Sistema de Controle: Tanque de Aquecimento Procedimento possível: 1.

Medir a variável a ser controlada (T);

2.

Comparar t com o valor desejado (TSP);

3.

Ligar ou desligar o aquecedor a depender da diferença TSP(t) – T(t).

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T1(t), w1(t)

TT

T2(t), w2(t) wst(t)

TC

condensado vapor

Figura 6-4: Tanque de aquecimento.

6.3.

Terminologia

Variável Controlada:

Variável a ser mantida no valor de referência, por

exemplo: temperatura T(t) Variável Manipulada:

Variável que recebe a ação do controlador, variável

que se modifica pela ação do elemento final de controle, ex.: vazão de vapor wst(t) Distúrbio:

Variável que interfere na variável controlada, ex.:

vazão w1(t) ou temperatura T1(t) da água fria ou vazão da água aquecida w2(t) – demanda do processo ou vazão de vapor wst(t). Variável Medida:

Variável que é medida e serve como fonte de

informação para malha de controle, ex.: temperatura dentro ou na saída do tanque. Elemento Final de Controle:

Dispositivo físico que executa a ação de controle,

ex.: válvula de controle ou resistência elétrica. Elemento Primário de Medição:

Dispositivo físico que mensura as variáveis de

processo.

6.4.

Diagrama de Blocos

ƒ

Apresenta visão global das relações entre as variáveis;

ƒ

O sentido do fluxo de informações; Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Função de cada uma das partes.

ƒ

Diagrama de blocos:

T1 (s )

TSP (s )

Erro

Σ

+

Controlador

-

Sala de controle

Aquecedor

Tm (s )

Fluxo térmico

T (s ) TANQUE

T (s ) Termopar

Figura 6-5: Diagrama de blocos.

Convenções: Segmentos de reta:

Representam sinais, que podem ser fluxos de informações, de

massa ou de energia.

Junção circular:

Soma algébrica dos sinais afluentes à junção (+ ou -).

A

A+B B

Ponto de ramificação:

Reta que se ramifica em outra: divisão de um sinal em mais de um

canal sem sofrer modificação. A

A A

Retângulos:

Representam uma modificação dos sinais efluentes e são usados

para simbolizar os elementos do sistema. Normalmente contêm as notações que descrevem as

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ÍNDICE CAPÍTULO 7.

ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES

7-2

7.1.

CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE

7-3

7.2.

CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ PARA ESTABILIDADE

7-4

7.3.

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA

7-7

7.4.

MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES

7-8

7.5.

EXERCÍCIOS

7-10

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 7-1: Teste de estabilidade de Routh.

7-6

Tabela 7-2: Raízes da equação característica (Equação 7-37).

7-9

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 7-1: Diagrama de blocos de um sistema de controle.

7-2

Figura 7-2: Diagrama de blocos de um sistema de controle.

7-3

Figura 7-3: Diagrama de blocos para Exemplo (2).

7-6

Figura 7-4: Diagrama do lugar das raízes para Equação 7-37.

7-10

Figura 7-5: Exercício (3) – Tanque pulmão.

7-11

Figura 7-6: Diagrama de bloco do Exercício (4).

7-12

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CAPÍTULO 7. LINEARES

ESTABILIDADE

DE

SISTEMAS

Exemplo (1) Seja um processo representado pela sua função de transferência C(s):

C ( s) =

Equação 7-1

10 5 .M ( s ) + .D( s ) s −1 s −1

Como o pólo da função de transferência é +1, portanto com parte real positiva, este processo é instável. Vamos submeter este processo a um controle feedback com controlador proporcional. Veja o diagrama de blocos na Figura 7-1.

D(s)

5 s −1 +

R (s ) +

KC

Σ

M(s)

10 s −1

+

Σ

C(s)

-

1 Figura 7-1: Diagrama de blocos de um sistema de controle.

Então a resposta do sistema em malha fechada será:

C ( s) =

Equação 7-2

10.K c 5 .D ( s ) .R ( s ) + s − (1 − 10.K c ) s − (1 − 10.K c )

Para este sistema ser estável implica que,

(1 - 10.K C ) < 0

Equação 7-3

Então,

K C > 0.1

Equação 7-4

Portanto, KC > 0.1 o sistema será estável em malha fechada, apesar do processo ser instável em malha aberta. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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7.1.

Critério Geral de Estabilidade

“Um sistema dinâmico é considerado estável se para toda entrada limitada o resultado é uma saída limitada, qualquer que seja a condição inicial.”

U R +

Erro

Σ

GC

G1

M

-

+

Σ +

G2

C

B H Figura 7-2: Diagrama de blocos de um sistema de controle.

C=

Equação 7-5

Gc .G1.G2 G2 G G2 .R + .U = .R + .U 1 + Gc .G1.G .H 1 + Gc .G1.G .H 1 + G .H 1 + G .H

Onde, G = GC.G1.G2 G.H

≡

Função de Transferência de Malha Aberta

1+G.H=0

≡

Equação Característica

Observações: 1.

Os demonstradores dos termos são os mesmos;

2.

As raízes da equação característica determinam, após aplicar a transformada inversa, a

forma da solução no tempo; 3.

Como o estímulo é limitado a estabilidade do sistema depende apenas das raízes da

equação característica; 4.

Como já vimos, se alguma raiz da equação característica estiver no semi-plano direito

ou sobre o eixo imaginário o sistema é instável; 5.

Para processos capacitivos puros entradas limitadas podem provocar saídas ilimitadas,

por exemplo para perturbação degrau.

“A estabilidade de um sistema de controle é determinada apenas pela sua função de transferência na malha aberta através das raízes da equação característica.” Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Exemplo a: Equação 7-6

H = 1, G C = K C , G 1 = 1, G2 =

10 s −1

Equação 7-7

1 + G.H = 1 + G C .G 1 .G 2 .H = 1 + K C .

10 s −1

s – 1 + 10 . KC = 0

→

P1 = 1 – 10.KC (raiz da equação característica )

Se P1 ≥ 0

→

Sistema Instável

Então KC > 0.1

→

Sistema Estável

Exemplo b:

 1  H = 1, GC = K C .1 +  , G1 = 1  τ 1 .s 

Equação 7-8

G2 =

Equação 7-9

1 s + 2.s + 2 2

 1  1 . 2 1 + G.H = 1 + K C .1 + =0  τ 1 .s  s + 2.s + 2

Equação 7-10

Para KC = 100 e τ1 = 0.1:

Equação 7-11

- 7.185  s + 2.s + 102.s + 1000 = 0 →  2.290 + j.11.5  2.29 − j.11.5  3

2

→ O sistema é instável pois a parte real de alguma das raízes é positiva.

7.2.

Critério de Routh-Hurwitz para Estabilidade

Equação 7-12

1 + G.H = a o .s n + ... + n a -1.s + n a = 0,

Onde ao > 0

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1.

Se algum coeficiente a1, ..., na é negativo, existe ao menos uma raiz da equação

característica com parte real positiva, portanto o sistema é instável. 2.

Se todos os coeficientes são positivos, forme o seguinte arranjo: Coluna

1

ao

a2

a4

a6

...

2

a1

a3

a5

a7

...

3

A1

A2

A3

...

...

4

B1

B2

B3

...

...

5

C1

C2

C3

...

...

...

...

...

...

...

...

n+1

W1

W2

W3

...

...

Onde,

Equação 7-13

A1 =

a1a 2 − ao a3 a1

A2 =

a1a 4 − a o a5 a a − ao a7 .... A3 = 1 6 a1 a1

B1 =

A1a3 − a1 A2 A1

B2 =

A1a5 − a1 A3 A1

...

C1 =

B A − A1 B3 B1 A2 − A1 B2 C2 = 1 3 B1 B1

....

(a) Se alguma dos elementos da primeira coluna for negativo, temos ao menos uma raiz do lado direito do eixo imaginário e o sistema é instável. (b) O número de trocas de sinais entre esses elementos é igual ao número de raízes do lado direito do eixo imaginário. Este critério permite avaliar as condições críticas de estabilidade de um sistema: quais os valores de KC, τI, τP que tornam um sistema instável, ou seja, permite avaliar a estabilidade absoluta do sistema. Exemplo (2) Seja um processo descrito pela seguinte função de transferência:

GP ( s) =

Equação 7-14

1 1 = s 2 + 2.s + 2 ( s − (−1 + i ).( s − (−1 + j )

Portanto, estável pois os pólos têm parte real negativa. Submetendo este processo a um sistema de controle feedback com controlador PI, assumindo todas as demais funções de transferência do sistema iguais a 1, obtemos o seguinte diagrama de blocos: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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R(s) +

Σ -

1 s 2 + 2s + 2

 1   K C 1 + τ s  I 

C

Figura 7-3: Diagrama de blocos para Exemplo (2).

A estabilidade deste sistema é dada pela equação característica:

1 + G(s).H(s) = 0

Equação 7-15

Ou seja,

 1  1  . 2 1 + K c . 1 + =0  τ 1 .s  s + 2.s + 2

Equação 7-16

Logo,

(τ 1 .s(s 2 + 2.s + 2) + K C . (τ 1 .s + 1) = 0

Equação 7-17

Ou melhor,

τ 1 .s 3 + 2τ 1 s 2 + (2τ 1 + K Cτ 1 ) s + K C = 0

Equação 7-18

A depender dos valores ajustados para os parâmetros do controlador este sistema pode ser estável ou instável, pois diferentes KC e τ1 implica em diferentes coeficientes da equação característica podendo ocorrer raízes com parte real positiva. Aplicando o teste de estabilidade de Routh: Tabela 7-1: Teste de estabilidade de Routh.

2. τ1+ KC.τ1

1

τ1

2

2.τ1

KC

3

( 2.τ1 ).( 2.τ1 + K c .τ1 ) − ( τ1 ).( K c ) 2.τ1

0

4

KC

Como KC e τ1 são sempre positivos então para este sistema ser estável Equação 7-19

(2.τ 1 ).(2.τ 1 + K c .τ 1 ) − (τ 1 ).( K c ) >0 2.τ 1

Ou seja, Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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4.τ I 2 + 2.τ I 2 .K c − τ I .K c > 0

Equação 7-20

Dividindo por τ1(pois, τ1 ≠ 0) e re-arrumando:

4.τ I + (2.τ 1 − 1).K c > 0

Equação 7-21

Desta equação concluímos que para valores de τ ≥ 0.5, o sistema é sempre estável, qualquer que seja o valor do ganho do controlador, porém para valores de τ < 0.5 o ganho do controlador é limitado pela seguinte restrição:

Kc <

Equação 7-22

2 1 −1 2.τ1

Com este exemplo demonstramos a utilidade do Critério de Routh para sintonia de controladores.

7.3.

Método da Substituição Direta

O eixo imaginário divide o plano complexo em uma região estável (à esquerda da ordenada) e outra instável (à direita do eixo vertical), isto é, a localização das raízes da equação característica determina a estabilidade de um sistema de controle: se as raízes forem menor que zero o sistema é estável, se forem maior que zero o sistema é instável. Portanto, o eixo imaginário, quando a parte real da(s) raiz(es) da equação característica é igual a zero delimita a região de estabilidade do sistema, logo fazendo:

s = j.w

Equação 7-23

Em,

1 + G(s).H(s) = 0

Equação 7-24

Obtemos expressões que delimitam a estabilidade do sistema. Exemplo (3) Seja o diagrama de blocos mostrado na Figura 7-2, utilizando o Método de Substituição Direta determine o valor máximo que o ganho do controlador pode assumir. Dados:

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Gc = k c , G1 = Gv =

Equação 7-25

G2 = G p =

Equação 7-26

1 2.s + 1

1 1 ∴ H= 5.s + 1 s +1

Solução: a equação característica deste sistema é:

1 + G.H = 1 + K c .

Equação 7-27

1 1 1 . . 2.s + 1 5.s + 1 s + 1

10.s 2 + 7.s + K c + 1 = 0

Equação 7-28

Fazendo s = j.w, obtemos

(1 + K

Equação 7-29

c

) (

− 17.w 2 + j 8.w − 10.w 3 = 0

)

Portanto,

1 + K c − 17.w 2

Equação 7-30

E,

8.w - 10.w 3 = 0

Equação 7-31

Então da Equação 7-31,

w = ±0.894

Equação 7-32

E da Equação 7-30,

K c p 12.6

Equação 7-33

Para que o sistema seja estável.

7.4.

Método do Lugar das Raízes

“Lugar das Raízes é um procedimento gráfico de busca das raízes da equação característica, à medida que os parâmetros de G.H variam continuamente.”

1 + G.H = 0

Equação 7-34

Exemplo (4)

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Seja o diagrama de blocos da Figura 7-2. No plano complexo assinale as raízes da equação característica à medida que o ganho do controlador aumenta. Onde GC = KC (controlador proporcional puro)

G1 =

Equação 7-35

1 1 G2 = τ 1 .s + 1 (τ 2 .s + 1)2

H=

1 τ H .s + 1

Portanto, a equação característica deste processo é:

1 + G.H = 1 + Gc .G1 .G2 .H = 1 + K c .

Equação 7-36

1 1 1 =0 . . 2 τ 1 .s + 1 (τ 2 .s + 1) τ H .s + 1

Que pode ser escrita da seguinte forma:

(s − p1 )(. s − p 2 )2 .(s − p H ) +

Equação 7-37

KC =0 τ 1 .τ 23 .τ H

Onde,

p1 = −1 / τ 1

Equação 7-38

p 2 = −1 / τ 2

p H = −1 / τ H

Para,

p1 = −1.45

Equação 7-39

p 2a = p 2b = − 2.85

p H = − 4.35

Variando o valor de KC, podemos construir o Lugar das Raízes, veja a Tabela 7-2 que corresponde à Figura 7-4. Tabela 7-2: Raízes da equação característica (Equação 7-37).

KC

p1

pa2

pb2

pH

0.0

-1.45

-2.85

-2.85

-4.35

1.0

-1.71

-2.30 + j(0.90)

-2.30 + j(0.90)

-4.74

5.0

-1.98

-1.71 + j(1.83)

-1.71 + j(1.83)

-5.87

20.0

-2.15

-1.09 + j(3.12)

-1.09 + j(3.12)

-7.20

50.0

-2.20

-0.48 + j(4.35)

-0.48 + j(4.35)

-8.61

100.0

-2.24

+0.35 + j(5.40)

+0.35 + j(5.40)

-9.75

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Figura 7-4: Diagrama do lugar das raízes para Equação 7-37.

7.5.

Exercícios

(1)

Examine os efeitos que valores diferentes do ganho do elemento de medição Km

irá produzir na resposta em malha fechada de um processo que tem a seguinte função de transferência:

GP ( s) =

Equação 7-40

1 ( s + 1)(2 s + 1)

Assuma que, H = Km, Gv = 1, e que o controlador é proporcional com KC = 1. Demonstre que este sistema é sempre estável.

(2)

Discuta as seguintes afirmações:

(a) um sistema em instável em malha aberta não pode ser controlado. (b) Um sistema em malha fechada (feedback) de 1ª ordem com tempo morto é mais estável que um sistema feedback de 2ª ordem. Observações: Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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ƒ

Justifique e demonstre suas conclusões

ƒ

As afirmações podem ser falsas.

(3)

Um tanque pulmão de produtos intermediários, conforme figura abaixo está

instalado num processo. Acontecerá a ampliação da planta de modo que a vazão deste produto intermediário duplicará. Pede-se: (a) qual o ponto (nível no estado estacionário) do tanque quando qs = 0.2 m3/min, para R1 e R2; (b) para qs =0.4 m3/min, há necessidade de trocar o tanque? Faça para R1 e R2, discuta os resultados; (c) para controlador PI, qual os valores do ganho proporcional (KC) que tornam o sistema instável? (faça para R1 e R2);

qi(t)

LY

LC

LT

h(t)

R

qo(t)

Figura 7-5: Exercício (3) – Tanque pulmão.

Dados: qs

Vazão em estado estacionário antes da duplicação

=

0.2 m3/min

A

Área da seção transversal do tanque

=

0.8 m2

Hmax

Altura máxima do tanque

=

1.25 m

R1

Resistência ao fluxo de saída

=

1.25m/(m3/min)

R2

Resistência ao fluxo de saída

=

2.5 m/(m3/min)

q01(t)

Fluxo de saída

=

h(t ) R1

q01(t)

Fluxo de saída

=

h(t ) R2

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τI

Tempo integral

Kv

Ganho da válvula unitário. Não há atraso na resposta da válvula

Km

Ganho do elemento de medição

=

1.0

τm

Constante de tempo do elemento de medição

=

0.2 min

(4)

=

5.0 min

Considere um sistema de controle cujo diagrama de blocos é dado na Figura

7-6. Obtenha a relação entre KC e τm que torna o sistema estável. Dados: ƒ

Controlador é proporcional puro, com ganho Kc

ƒ

O ganho da válvula de controle é unitário

ƒ

A constante de tempo da válvula é τv = 2

ƒ

O ganho do transmissor é unitário

ƒ

A constante de tempo do transmissor é τT = 1

ƒ

A função de transferência Gp1 é caracterizado por ter apenas tempo morto τm;

ƒ A função de transferência Gpz é caracterizado por ter ganho 10.5 e constantes de tempo τP1 = 2.3, τP2 = 7.9 e τP3 = 15.0

GP2

R (s ) +

+

GC

Σ

GV

+

Σ

-

Gm Figura 7-6: Diagrama de bloco do Exercício (4).

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GP1

C(s)

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ÍNDICE CAPÍTULO 8.

ESTRATÉGIAS DE CONTROLE

8-3

8.1.

CONTROLE EM CASCATA

8-3

8.2.

CONTROLE POR RELAÇÃO

8-5

8.3.

COMBINAÇÃO DE CONTROLE EM CASCATA E POR RELAÇÃO

8-7

8.4.

CONTROLE ANTECIPATÓRIO

8-8

8.5.

COMBINAÇÃO DE CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO E ANTECIPATÓRIO

8-10

8.6.

CONTROLE POR INTERVALO DIVIDIDO (SPLIT-RANGE)

8-12

8.7.

CONTROLE SELETIVO

8-13

8.8.

CONTROLE COM BANDA MORTA E GANHO NÃO-LINEAR

8-14

8.9.

COMPENSAÇÃO DO TEMPO MORTO

8-15

8.10.

DESACOPLAMENTO

8-17

8.11.

CONTROLE ADAPTATIVO

8-20

8.12.

GANHO PROGRAMADO (GAIN SCHEDULING)

8-22

8.13.

CONTROLE INFERENCIAL

8-22

8.14.

EXERCÍCIOS

8-25

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 8-1: Sistema de controle em cascata.

8-3

Figura 8-2: Controle de temperatura da camisa de um CSTR. (a) convencional; (b) cascata.

8-4

Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata.

8-5

Figura 8-4: Controle por relação.

8-5

Figura 8-5: Sistema de controle por relação.

8-7

Figura 8-6: Combinação de controle em cascata com controle relação.

8-8

Figura 8-7: Mistura de duas correntes.

8-8

Figura 8-8: Controle feedback/feedforward.

8-9

Figura 8-9: Combinação de controle feedback/feedforward.

8-11

Figura 8-10: Diagrama de bloco para controle feedback.

8-12

Figura 8-11: Diagrama de bloco para controle feedforward.

8-12

Figura 8-12: Controle split-range.

8-13

Figura 8-13: Controle split-rante.

8-13

Figura 8-14: Exemplo de sistema com controle seletivo.

8-14

Figura 8-15: Diagrama esquemático do compensador de tempo morto.

8-16

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Figura 8-16: Diagrama de blocos para o Preditor de Smith.

8-16

Figura 8-17: Diagrama de bloco para sistema MIMO.

8-18

Figura 8-18: Função de transferência em s de um sistema MIMO 2x2.

8-19

Figura 8-19: Sistema MIMO 2x2 com desacoplamento no domínio s.

8-19

Figura 8-20: Controlador adaptativo.

8-21

Figura 8-21: Controle adaptativo por ganho programado.

8-22

Figura 8-22: Diagrama de blocos de sistema 2x2 em malha aberta.

8-23

Figura 8-23: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial.

8-24

Figura 8-24: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial com atualização do modelo.

8-25

Figura 8-25: Fluxograma para exercício (1).

8-26

Figura 8-26: Fluxograma para o exercício (2).

8-28

Figura 8-27: Fluxograma para o exercício (3).

8-29

Figura 8-28: Fluxograma para o exercício (4).

8-30

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Página 8-3 de 30

CAPÍTULO 8. 8.1.

ESTRATÉGIAS DE CONTROLE

Controle em Cascata

Uma das aplicações do controle em cascata é evitar que aconteçam perturbações não desejadas na variável manipulada. Por exemplo, no sistema de resfriamento de um reator a vazão para a camisa é a variável manipulada, porém pode acontecer, devido a mudança na pressão a montante ou a jusante da válvula de controle que esta vazão se modifique, apesar da saída do controlador se manter constante. Neste caso, é aconselhável acrescentar um controlador de vazão de líquido refrigerante, sendo que o set point deste controlador é a saída do controlador de temperatura do reator (vide Figura 8-1).

Controlador secundário

FC 2

TI 2

FC 4

FY 2

FT 2

FY 4

reagente A

TI 3

reagente B

AC 1

FT 4

catalisador

C+D FT 3

FY 3 FC 3

fluido refrigerante FT 1

TT 1

FY 1 FC 1

TI 5

TC 1

Figura 8-1: Sistema de controle em cascata.

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AI 1

Controlador primário

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Figura 8-2: Controle de temperatura da camisa de um CSTR. (a) convencional; (b) cascata.

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Página 8-5 de 30

Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata.

8.2.

Controle por Relação

Quando se deseja manter a razão entre duas vazões constantes é interessante utilizar o controle por relação. Por exemplo, deseja-se manter constante a composição de uma determinada corrente, para tanto, modula-se a vazão de uma segunda corrente: q1(t), CA1(t), CB1(t) FT 2

FFC 2

Estação de razão

CA3 - Variável controlada q2 - Variável manipulada

FY 1 FY 1 FT 1

q2(t), CA2(t), CB2(t)

q3(t), CA3(t), CB3(t)

Figura 8-4: Controle por relação.

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Página 8-6 de 30

√

Balanço de massa global

dm = q1 (t ) + q2 (t ) − q3 (t ) dt

Equação 8-1

√

Balanço do molar por componente

Equação 8-2

dm A = q1 (t ) . C A1 (t ) + q2 (t ) . C A 2 − q3 (t ) .C A 3 (t ) dt

Equação 8-3

dmB = q1 (t ) . CB1 (t ) + q2 (t ) . CB2 − q3 (t ) .CB3 (t ) dt

√

Estado estacionário

Equação 8-4

q3,ss = q1,ss + q2,ss

Equação 8-5

q3,ss . C A 3,ss = (q1,ss + q2,ss ) . C A 3,ss = q1,ss . C A1,ss + q2,ss . C A 2,ss

Equação 8-6

q3,ss . CB3,ss = q1,ss . CB1,ss + q2,ss . CB2,ss

Admitindo que a variável manipulada não contém A, então CA2 = 0 e da Equação 8-5, obtemos:

C AB =

Equação 8-7

q1 . C A1 q1 + q2

Obs: Para simplificar omitimos o subscrito ss. Se, Equação 8-8

q2 >> q1

⇒

C AB ≅

q1 . C A1 q2

Então para CA1 constante, manipulando a razão q1 q 2 controla-se a composição na saída do processo. Portanto, se a vazão q1(t) mudar a estação de razão, que tem a incumbência de atender a relação q1 q 2 , modificará a vazão q2(t).

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TI 2

FFC 2 TI 3

FT 2

FC 2

FC 4

FY 2

FY 4

FT 4

reagente A

catalisador

reagente B

C+D FT 3

AI 1

FY 3 FC 3

fluido refrigerante

FT 1

TT 1

FY 1 FC 1

TI 5

TC 1

Figura 8-5: Sistema de controle por relação.

8.3. Combinação Relação

de

Controle

em

Cascata

e

por

O sistema de controle dos processos industriais são, freqüentemente, a combinação de diversas estratégias de controle, por exemplo, combinação de controle em cascata com controle por relação. Esta combinação de sinais podem ser de diversas maneiras, por exemplo, pode ser uma média ponderada (OUT) de sinais vindo da malha feedback (FB) e da malha por relação (FF).

OUT = ℜ . FB + (1 − ℜ ) . FF

Equação 8-9

Se ℜ = 0

⇒

Controle por relação

Se ℜ = 1

⇒

Controle em cascata

Se 0 < ℜ < 1

⇒

Combinação cascata/relação

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FC 4

FC 2

TI 2

FY 4

FY 2

FT 2

FT 4

reagente A FFC 2

FF

TI 3 FX 1

reagente B

FB

AC 1

AI 1

catalisador

C+D FT 3

FY 3 FC 3

OUT fluido refrigerante FT 1

FC 1

TI 5

TT 1

FY 1 TC 1

Figura 8-6: Combinação de controle em cascata com controle relação.

A FT 102

A

2

A

B B2 FT 101

B A

FY 102A FY 101A

B

FY 102B Estação de razão B/A

SP FIC 101 FY 101B

B Figura 8-7: Mistura de duas correntes.

8.4.

Controle Antecipatório

Quando o processo está submetido à grandes perturbações na carga ou quando não permite muitas oscilações o emprego do controle antecipatório pode melhorar o desempenho do processo. Na Figura 8-8 vemos a representação em diagramas de blocos do controle feedforward. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Página 8-9 de 30

U GFF

GP3 FF

R +

E

Σ -

GC

FB +

+ Σ

OUT

GV

Q

+ GP1

+

Σ

GP2

C

Gm Figura 8-8: Controle feedback/feedforward.

A resposta desse sistema de controle C a uma perturbação na carga U e no set point R é dada por: Equação 8-10

C=

GC GV GP1GP 2 G G G G + G P 3G P 2 R + FF V P1 P 2 U 1+ GC GV GP1GP 2 Gm 1+ GC GV GP1GP 2 Gm

O ideal é o que o sistema não sinta o efeito da perturbação na carga: Equação 8-11

C =0 U

⇒

GFF .GV .GP1 GP 2 + GP 3 .GP 2 = 0

Então,

GFF =

Equação 8-12

GP 3 GV .GP1

Se,

Gv = K v

Equação 8-13

Se, Equação 8-14

Equação 8-15

G P1 =

GP3 =

Então,

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Κ P1 . e − s .τ m1 τ P1 . s + 1

Κ P3 . e −s .τ τ P3 . s + 1

m3

Página 8-10 de 30

GFF = −

Equação 8-16

K P3 (τ . s + 1) .e − s (τ . P1 KV . K P1 (τ P 3 . s + 1)

m3

− τ m1 )

Para que a Equação 8-15 seja fisicamente exeqüível, é necessário que: Se,

τ

Equação 8-17

m3

≥ τ m1

Assumindo

GP1 =

Equação 8-18

Κ P1 . e − s .τ (τ P1 . s + 1).(τ P 2 . s + 1)

m1

Então,

GFF = −

Equação 8-19

K P3 (τ . s + 1).(τ P 2 . s + 1) .e − s (τ . P1 (τ P 3 . s + 1) KV . K P1

m3

− τ m1 )

Que não é fisicamente exeqüível, pois o grau do numerador é maior que o grau do denominador, nesses casos temos que fazer aproximações, por exemplo, utilizando o lead-lag. A constante de tempo de lead é:

τ ld = τ P1 + τ P 2

Equação 8-20

Então, a constante de tempo do lag é:

τ lg = τ P 3

Equação 8-21

√

Aproximação utilizando o LEAD-LAG A Equação 8-15 pode ser aproximada através do uso do lead-lag com tempo morto:

G FF = − K FF .

Equação 8-22

8.5. Combinação Antecipatório

de

Controle

por

(τ ld . s + 1)

(τ

lg

. s + 1)

.e

− s .τ m . FF

Realimentação

e

Semelhante a combinação cascata/relação podemos combinar o feedforward com o feedback ou com o controle em cascata. Por exemplo, na Figura 8-8 o sinal que vai para a válvula de controle é a soma do sinal feedback (FB) com feedforward (FF): OUT = FB + FF Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Podemos implementar o controle (S) feedforward em combinação com feedback no sistema de controle da Figura 8-1: Cálculo da quantidade de catalisador

FF FX 1

FB

OUT

TT 2

TT 3

FT 2

FC 2

FC 4

FY 2

FY 4

AC 1 FT 4

reagente A

catalisador

reagente B

C+D FT 3

AT 1

FY 3 FC 3

fluido refrigerante

Cálculo da carga de processo

FT 1

TT 1

FY 1 FC 1

TI 5

TC 1

Figura 8-9: Combinação de controle feedback/feedforward.

Novamente o sinal combinado do feedback com o feedforward pode ser uma média ponderada:

OUT = ℜ . FB + (1 − ℜ ) . FF

Equação 8-23

Se ℜ = 0

⇒

Controle antecipatório

Se ℜ = 1

⇒

Controle por realimentação

Se 0 < ℜ = < 1

⇒

Combinação feedback/feedforward

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Página 8-12 de 30

Figura 8-10: Diagrama de bloco para controle feedback.

Figura 8-11: Diagrama de bloco para controle feedforward.

8.6.

Controle por Intervalo Dividido (Split-range)

Algumas vezes se faz necessário o emprego de duas válvulas de controle para uma mesma malha. Nestes casos, podemos reduzir o custo ou simplificar a implantação da estratégia utilizando uma técnica denominada controle por intervalo dividido (split-range).

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√

Exemplo: Dois trocadores de calor em série. Vapor

Vapor posicionador

NF 3 a 9 psi

TC

NF 9 a 15 psi

Ação reversa TT

SP Condensado

PV OUT

Condensado

Figura 8-12: Controle split-range.

√

Exemplo: Controle de pressão em um vaso PC

Ação direta NA 3 a 9 psi

NF 9 a 15 psi

N2

SP

PV OUT

PT

Figura 8-13: Controle split-rante.

8.7.

Controle Seletivo

As vezes é conveniente selecionar entre vários sinais disponíveis qual o melhor ou qual o mais crítico para a segurança do planeta. Por exemplo, em reatores catalíticos de tubulares submetidos a reações exotérmicas o ponto onde a temperatura mais alta acontece muda de lugar a depender da atividade/estabilidade do catalisador. Neste caso, é conveniente espalhar Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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alguns elementos primários de medição e escolher a temperatura mais crítica (mais alta) como sinal de controle (veja Figura 8-14). Cálculo da quantidade de catalisador

FF FX 1

FB

OUT

TT 2

TT 3

FT 2

FC 2

FC 4

FY 2

FY 4

AC 1 FT 4

reagente A

catalisador

reagente B

C+D FT 3

AT 1

FY 3 FC 3

fluido refrigerante FT 1

Cálculo da carga de processo

TT 1A

FY 1

FC 1

TC 2

TT 1C

TT 1B

TC 1

TI 5

HS 1

Figura 8-14: Exemplo de sistema com controle seletivo.

8.8.

Controle com Banda Morta e Ganho Não-Linear

Freqüentemente, o controle de nível de tanques não é rígido, isto é, permite-se a existência de desvio permanente, também denominado erro estacionário ou offset, aliás, é até recomendado esse comportamento, pois o tanque funciona como amortecedor de perturbações (filtro passa baixa). A implementação de uma função de controle que comporte essa característica pode ser feita de várias maneiras. (a) Controlador Feedback proporcional puro: Este controlador, Equação 8-24 permite o offset para distúrbios na carga, mas elimina-o para perturbações no set point. Equação 8-24

OUT (t ) = BIAS (t ) + K c . [SP (t ) − PV (t )]

Alguns fabricantes preferem trabalhar com o conceito de Banda Proporcional (PB – Proporcional Band) em lugar de ganho do controlador, a Equação 8-25 define a relação entre esses conceitos. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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PB =

Equação 8-25

100 ΚC

(b) Controlador com banda morta: Neste caso divide-se o nível em duas regiões, dentro da faixa mais interna o nível é deixado, por exemplo, controle apenas proporcional, fora dessa faixa, muda-se a função de controle para, por exemplo, proporcional mais integral com o intuito de forçar o nível a atingir valores mais próximos do valor desejado. A função de controle será: Dentro da banda morta:

OUT (t ) = BIAS (t ) + K c . [SP (t ) − PV (t )]

Equação 8-26

Fora da banda morta:

  1 OUT (t ) = BIAS (t ) + K c . E (t ) + . ∫ E (t ) dt  τI  

Equação 8-27

Onde,

E (t ) = SP (t ) − PV (t )

Equação 8-28

(c) Controlador com ganho não linear: Outra possibilidade para tornar variável a função de controle com o erro é o controlador com ganho não-linear. Neste caso, o ganho é modificado continuamente de forma a ser proporcional à magnitude do erro, Equação 8-29. Controlador com ganho não-linear:

OUT (t ) = BIAS (t ) + [K c + K c . K NL . E (t ) ].E (t )

Equação 8-29

Onde,

E (t ) é o módulo do erro Podemos, ainda combinar essas possibilidades ou modificá-las de forma a atender exigências específicas de uma planta. Os valores dos controladores (KC, KNL, banda morta, etc.) devem ser de forma a satisfazer um determinado critério, ou seja, o controlador deve ser sintonizado.

8.9.

Compensação do Tempo Morto

A presença de tempo morto é um fator que prejudica o desempenho dos sistemas de controle, particularmente um grande tempo morto pode instabilizar um processo, por isso, o Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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projeto do processo deve procurar eliminar ou pelo menos diminuir o tempo morto, contudo, às vezes é impossível removê-lo do processo, portanto, nesses casos temos que conviver com ele. Uma alternativa que pode melhorar o desempenho do sistema é considerar o tempo morto na função de controle, compensando, assim, o seu efeito. A idéia básica do compensador de tempo morto calculado na implementação do sistema de controle, conforme pode ser visualizado na Figura 8-15.

Compensador tempo morto

R +

-

E

Σ

+

-

E'

Σ B

Controlador

M

Processo

C

Sensor

Figura 8-15: Diagrama esquemático do compensador de tempo morto.

Ao implementar o compensador de Smith a estabilidade do sistema é melhorada pois elimina-se da equação característica o tempo morto. Seja G(s) a função de transferência do processo que relaciona a variável controlada C com a variável manipulada M. Separe de G(s) a parte sem tempo morto G*(s). O preditor de Smith é implementado conforme a Figura 8-16.

U(s) *

(

G 1 − e −τ

R + Σ -

-

E Σ +

m

.s

)

GU(s)

+ E'

GC(s)

M

G(s)

Figura 8-16: Diagrama de blocos para o Preditor de Smith.

Onde, Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

+

Σ

C

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A Equação 8-30 é a função de transferência real:

G (s ) = G * (s ). e −τ m . s

Equação 8-30

E a Equação 8-31 é o modelo função de transferência:

G (s ). e − τ m . s *

Equação 8-31

As funções de transferência que relacionam C com U e R são:

Equação 8-32

[

]

[

GU (s ) . 1 + Gc (s ) . G (s ) . 1 − e − τ m . s C = U 1 + G (s ) . G (s ) + G (s ). G * (s ) − G (s ). G * (s ). e − τ m . s c c c *

Gc (s ) .G * (s ). e −τ . s C = R 1+ G (s ) . G (s ) + G (s ).G * (s ) − G (s ). G * (s ). e −τ c c c m

Equação 8-33

m

.s

Assumindo que o modelo do processo é perfeito, isto é:

G (s ) = G * (s ). e − τ m . s = G (s ). e − τ m . s *

Equação 8-34

Substituindo Equação 8-34 na Equação 8-32 e re-arranjando, obtemos:

[

[

C GU (s ) . 1 + Gc (s ) . G (s ) . 1 − e − τ m . s = U 1 + Gc (s ) . G * (s )

Equação 8-35

*

]

C Gc (s ) . G * (s ). e − τ m . s = R 1 + Gc (s ) . G * (s )

Equação 8-36

Observando a Equação 8-35 e a Equação 8-36 verificamos que o tempo morto não foi eliminado da equação característica, conseqüentemente o sistema torna-se mais estável.

8.10. Desacoplamento Os processos químicos são sistemas multivariáveis, conseqüentemente, é necessário implementar várias malhas de controle num mesmo equipamento. Devido à interferência de uma variável manipulada em mais de uma variável controlada, as malhas de controle interagem entre si, resultando em um controle de baixo desempenho. No evaporador, por exemplo, as malhas de controle de pressão e de composição interferem uma na outra. Outro exemplo típico de interação entre malhas é o controle simultâneo das composições de topo e fundo de colunas de destilação. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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8.10.1. Função de transferência em s de sistemas MIMO com desacoplamento Considere Figura 8-17.

X1(t)

Y1(t) PROCESSO

X2(t)

Y2(t)

Figura 8-17: Diagrama de bloco para sistema MIMO.

 X 1 (t ) Y1 (t ) ∴ SAÍDAS  ENTRADAS   X 2 (t ) Y2 (t )

Equação 8-37

MODELO MATEMÁTICO (Variáveis desvio ou sistema relaxado): Equação 8-38

dY1 = a11 . Y1 + a12 . Y2 + b11 . X1 + b12 . X2 dt

Equação 8-39

dY2 = a21 . Y1 + a22 . Y2 + b21 . X1 + b 22 . X2 dt

Condições iniciais:

Y1 (0 ) = Y2 (0 ) = 0

Equação 8-40

Aplicando a transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):

[(s − a 22 )b11 + a12 . b21 ] . X (s ) + [(s − a 22 ). b12 + a12 b22 ] X (s ) 1 2 P (s ) P (s )

Equação 8-41

Y1 (s ) =

Equação 8-42

Y2 (s ) =

[(s − a11 )b21 + a 21 . b11 ] . X (s ) + [(s − a11 ). b22 + a 21 b12 ] X (s ) 1 2 P (s ) P (s )

Onde P(s) é o denominador da função de transferência dada por: Equação 8-43

P (s ) = s 2 − (a11 + a 22 ) s − (a12 a 21 − a11 .a 22 )

Equação 8-44

Y1 (s ) = G11 (s ). X 1 (s ) + G12 (s ). X 2 (s )  Y2 (s ) = G21 (s ). X 1 (s ) + G22 (s ). X 2 (s )

Ou em notação matricial:

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Y1 (s )  G11 (s ) Y (s ) = G (s )  2   21

Equação 8-45

G12 (s )   X 1 (s )  . G22 (s )  X 2 (s )

O sistema de Equação 8-45 é denominado Matriz das Funções de Transferência. Em diagrama de blocos:

X1(s)

Σ

G11(s)

Y1(s)

G21(s)

G12(s) X2(s)

Σ

G22(s)

Y2(s)

Figura 8-18: Função de transferência em s de um sistema MIMO 2x2.

O desacoplamento é implementado, conforme a Figura 8-19:

U1(s)

Σ D21(s)

X1(s)

U12

U21

U2(s)

D12(s) Σ

X2(s)

Σ

G11(s)

Y1(s)

G21(s)

G12(s) G22(s)

Σ

Figura 8-19: Sistema MIMO 2x2 com desacoplamento no domínio s.

Os desacopladores D12(s) e D21(s) são descritos por:

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Y2(s)

Página 8-20 de 30

Equação 8-46

D12 (s ) = −

G12 (s ) G11 (s )

Equação 8-47

D21 (s ) = −

G21 (s ) G22 (s )

8.11. Controle Adaptativo Os processos químicos são não-lineares e alguns são também não-variantes com o tempo. Nas duas situações, e mais ainda na última, a sintonia dos controladores PID só são válidas quando o processo encontra-se próximo do estado no qual foi realizado o ajuste dos parâmetros do controlador. Portanto, quando o processo sofre uma grande perturbação, o desempenho do controlador fica comprometido, a menos que seja ajustada uma nova função de controle, neste caso é recomendado que seja implementado um procedimento automático para sintonia/adaptação automática dos controladores. Esse controlador é denominado de adaptativo pois se modifica, adequando-se às novas condições de processo. O livro de Karl Johan Åström e Björn Wittenmark, Adaptativr Control, editado pela AddisonWesley Publisng Company, é uma excelente referência para iniciar os estudos sobre controladores adaptativos. Um controlador adaptativo segue as seguintes etapas de atuação: (a) Monitoramento das entradas e saídas do processo; (b) Estimativa das saídas a partir de um modelo de referência; (c) Comparação das saídas calculadas com as medidas; (d) Adaptação do modelo às novas condições de processo; (e) Sintonia do controlador a partir do modelo adaptado. Na Figura 8-20 vemos, em diagramas de blocos, o esquema de um controlador adaptativo.

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Algoritmo de sintonia Novos parâmetros

SP +

E

Σ

Controlador

Algoritmo estimador

Processo

C

-

Figura 8-20: Controlador adaptativo.

Existem basicamente 5 tipos de controladores adaptativos: (1) Ganho programado Em Inglês:

Gain Scheduling

(2) Controlador Robusto de Ganho Constante e Elevado Em inglês:

Robust High-gain Control

(3) Sistema Adaptativo Auto Oscilante Em Inglês:

SOAS – Self Oscillating Adaptative Systems

(4) Controle Adaptativo por Modelo de Referência Em Inglês:

MRAC – Model Reference Adaptative Control ou MRAS – Model-Reference Adaptative Systems

(5) Controladores Auto Sintonizados Em Inglês:

STR – Self-Tuning Regulators

A diferença entre estes algoritmos reside nos procedimentos utilizados na implementação das diversas etapas do controlador adaptativo. Neste curso apresentaremos controlador de ganho programado. Os demais algoritmos requerem um aprofundamento maior em teoria de controle que foge ao escopo e ao tempo disponível para este curso.

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Página 8-22 de 30

8.12. Ganho Programado (Gain Scheduling) Neste tipo de controlador o ganho do controlador é modificado conforme for o valor de alguma variável de processo, vide Figura 8-21.

Tabela de ganhos

Condição operacional

Novo ganho

SP +

E

Σ

Controlador

Processo

C

-

Figura 8-21: Controle adaptativo por ganho programado.

O ganho do controlador (KC) pode ser alterado continuamente de forma que seu produto com o ganho do processo (KP) seja constante (Kg):

Κ C .Κ P = Κ g

Equação 8-48

Assim, de acordo com a Equação 8-48 se o ganho do processo se modifica, o ganho do controlador deve ser alterado para manter o ganho global constante. Um procedimento para implementar um controlador programado é visto abaixo: (a) Determine o ganho em malha aberta do processo no ponto de operação desejado à sua volta. (b) Obtenha o valor apropriado do ganho do controlador para o ponto de operação desejado. Calcule neste ponto o ganho global da malha. (c) Obtenha uma função que defina a variação do ganho do controlador com alguma variável do processo.

8.13. Controle Inferencial Freqüentemente, a variável que se deseja controlar não pode ser medida diretamente, conseqüentemente, não é possível implementar um sistema de controle feedback ou qualquer outra estratégia de controle que necessite a medição da variável controlada. Se os distúrbios Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Página 8-23 de 30

que perturbem o processo forem mensurados, podemos instalar controladores feedforward para manter a saída do sistema próxima do valor desejado. Porém, quando não for possível medir as perturbações, ou quando o modelo disponível não for adequado, a única alternativa é inferir o valor da variável controlada a partir de outras medições e utilizar esta informação para realimentar a malha de controle. A esta técnica dá-se o nome de Controle Inferencial. Considere o diagrama de blocos de um sistema em malha aberta conforme a Figura 8-22.

U

GD1 M

GP1

GD2 C

Σ

GP2

Y

Σ

Figura 8-22: Diagrama de blocos de sistema 2x2 em malha aberta.

Da Figura 8-22 obtemos o modelo entrada-saída: Equação 8-49

C = GP1 . M + GD1 .U

Equação 8-50

Y = GP 2 . M + GD 2 .U

O intuito é encontrar uma equação que forneça o valor da variável controlada (C) a partir do conhecimento da oura saída do sistema (Y). Para tanto, da Equação 8-50 vamos isolar o valor de U:

U=

Equação 8-51

G 1 .Y − P 2 . M GD 2 GD 2

Substituindo a Equação 8-51 na Equação 8-49 e re-arranjando, obtemos:

 G G ~  C = GP1 − D1 .GP 2  . M + D1 .Y GD 2 GD 2  

Equação 8-52

A equação fornece a estimativa da variável controlada a partir da variável manipulada (M) e da outra saída do processo (Y). Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

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Implementando a Equação 8-52 numa malha feedback obtemos o diagrama de blocos mostrado na Figura 8-23. U

GD1 CSP

Σ

GC

M

~ C

C

Σ

GP1

Σ

GP2 GP1 −

GD2

Y

GD1 GP2 GD2

Σ

GD1 GD 2

Figura 8-23: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial.

Como o controle inferencial requer um bom modelo matemático, o que raramente está disponível, deve-se implementar algum procedimento para ajuste do inferenciador. Por exemplo, no controle inferencial de malhas de composição, o modelo matemático pode ser corrigido a partir das análises realizadas off-line, assim o sistema de controle estaria periodicamente sendo “adaptado” às novas condições operacionais do processo, mantendo seu bom desempenho. Na Figura 8-24 observamos a forma como o modelo do inferenciador é atualizado.

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U

GD1 CSP

Σ

GC

M

GD2 C

Σ

GP1

Σ

GP2 G P1 −

~ C

Y

G D1 GP2 GD2

Σ

GD1 GD 2

Correção do ganho de GP1

Σ

C + MED

Figura 8-24: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial com atualização do modelo.

8.14. Exercícios (1)

Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-25.

O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção de fracionamento de uma refinaria. O combustível é um sub-produto dessa unidade (gás natural), estando disponível em grande quantidade. A pressão da corrente de gás natural é constante. O combustível é o ar atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores.

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Página 8-26 de 30

FC 2

FY 2 AT 1

FT 2

AC 1

TI 1

Produto

TE 5 AC 1

TI 5

ar FFC 3

gás natural

FY 3 FT 3

TC 5 FY 4

FE 3

FE 4

FC 4 FT 4

Figura 8-25: Fluxograma para exercício (1).

Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle deste forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação.

(2)

Seja uma coluna de destilação e seu sistema de controle, conforme a Figura

8-26. O objetivo deste processo é separar os componentes leves (D) leves de uma mistura, retirando pela base da coluna os componentes mais pesados (B). Não há limitações quanto a quantidade de utilidades necessárias a este processo (vapor e fluido refrigerante). Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle deste forno foi perdida, restando apenas um fotocópia em controle deste forno foi perdida, restando apenas uma fotocópia em péssimo estado de conservação de fluxograma de engenharia deste processo, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que o engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação, complementando uma já existente. Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha: (a) Válvulas de controle: normal aberta ou normal fechada

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(b) Controladores (qual o modo – P, PI ou PID – e ação de controle mais recomendados – direta ou reversa) (c) Localiza os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o controlador secundário (slave). (d) Localize os controles de razão e feedforward presentes, indique os computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam. Descreva o sistema de controle indicando cada malha: (a) Variável (s) controlada (s), justificando por que o projetista a (s) a (s) escolheu: (b) Variável (s) manipulada (s), justificando por que o projetista a (s) escolheu; (c) Variável (s) medida (s), justificando por que o projetista as escolheu; (d) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado); (e) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado); (f) Transmissores e/ou transdutores (indique tipo de sinal de entrada e de saída); (g) Controladores (qual o modo de controle mais recomendado); (h) Localize os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o controlador secundário (slave). (i)

No fluxograma está presente um controlador de razão (o sinal de saída do controlador

depende da razão entre dois sinais de entrada), porque há necessidade deste tipo de estratégia de controle? Justifique sua resposta.

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PT 4

PC 4

D ÷

F/D

AC 5

AT 5

f (t )

LC 3

f (t )

F

FC 3

FT 6

×

LT 3

FT 3

F

V/F

D FC 2 FT 2

÷ FC 7 FT 7

D

TDT 7

LT 1

AC 8

LC 1

AT 8

Figura 8-26: Fluxograma para o exercício (2).

(3)

Seja um sistema reacional e seu sistema de controle, conforme a Figura 8-27. O

objetivo deste processo é produzir os compostos C e D a partir da reação de A com B. A depender das condições mercadológicas, se maximiza a obtenção de C ou de D, alterando a vazão de A e B na alimentação. A conversão dos reagentes é determinada pela quantidade de catalisador admitida no sistema, que deve ser a menor possível para evitar a ocorrência de reações indesejadas. Todas as reações que ocorrem são altamente exotérmicas. Não há limitações quanto à quantidade de matérias-primas e utilidades necessárias a este processo (fluido refrigerante). Devido à negligência do setor de documentação, a descrição dos sistemas de controle deste processo foi perdida, restando apenas um esboço do fluxograma de engenharia deste processo. Havendo necessidade de descrição do sistema de controle, pede-se que o engenheiro de controle elabore tal documentação. Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha: (a) Variáveis medidas, manipuladas e controladas; Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Página 8-29 de 30

(b) Localize, se existirem, os controladores em cascata indicando o controlador primário, o controlador secundário, o terciário, etc. (c) Localize, se existirem, os controles de razão e feedforward presentes, indique os computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam; (d) Localize, se existirem, os controles tipo split-range e seletivo, descrevendo seu modo de funcionamento. Cálculo da quantidade de catalisador

TT 2

TT 3

FT 2

FX 1

FC 2

FC 4

FY 2

FY 4

AC 1 FT 4

reagente A

catalisador

reagente B

C+D FT 3

AT 1

FY 3 FC 3

fluido refrigerante FT 1

Cálculo da carga de processo

TT 1A

FY 1

FC 1

TC 2

TT 1C

TT 1B

TC 1

TI 5

HS 1

Figura 8-27: Fluxograma para o exercício (3).

(4)

Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-28.

O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção de fracionamento de uma refinaria. Um dos combustíveis é um sub-produto dessa unidade (gás natural), o outro é o óleo combustível utilizado na quantidade necessária à complementação de carga térmica. A pressão da corrente de gás natural é constante. O comburente é o ar atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores. Devido à negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle desse forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que o engenheiro de controle (Vossa Senhoria) elabore tal documentação. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Página 8-30 de 30

Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha: (a) Localize, se existirem, os controles em cascata indicando o controlador primário, o controlador secundário, o terciário, etc., indique também qual a variável controlada mais importante; (b) Localize, se existirem, o(s) controle(s) de razão, indique os computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam, indique também qual a variável controlada mais importante; (c) Localize, se existirem, o(s) controle(s) e feedforward presentes, indique os computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam; o(s) modelo(s) utilizado(s) no(s) possível(is) feedforward existente(s) é (são) estacionário(s) ou transiente(s)? Justifique sua resposta.

SP de O2

AX 1

AIC 1

O2

TI 1

AR 1

tO ts

TY 1

FT 1

FY 1

w

TC 2

I/P

X TY 2

FC 1

TI 3

Wp ∆T = ts - te

x FY 2

ar

óleo

gás

SP = K3X + K4qS

SP = Ry + b FY 3

FFC 3

I/P

FT 3

y = k1wg + k2wo FY 3

FY 2

FT 4

AR 4

FC 2 I/P

AR 2

FT 2

WO

ho

hg

w

TY 4

qc = hgwg + howo

WO qp = W pCp∆T

Figura 8-28: Fluxograma para o exercício (4).

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qs = qp - qc

TY 3

Página 9-1 de 5

ÍNDICE CAPÍTULO 9.

CONTROLE AVANÇADO

9-2

9.1.

OBJETIVOS DO CONTROLE AVANÇADO

9-3

9.2.

ATRATIVOS PARA IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLE AVANÇADO

9-3

9.3.

BENEFÍCIOS TRAZIDOS PELO CONTROLE AVANÇADO

9-4

9.4.

ESTRATÉGIAS AVANÇADAS DE CONTROLE

9-5

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 9-1: Objetivos do controle avançado.

9-3

Tabela 9-2: Estratégias de controle avançado.

9-5

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 9-1: Diagrama de bloco de controle feedback.

9-2

Figura 9-2: Pirâmide do controle avançado.

9-3

Figura 9-3: Benefícios do controle avançado.

9-4

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Página 9-2 de 5

CAPÍTULO 9.

CONTROLE AVANÇADO

Principais problemas dos sistemas de controle de processos industriais: • Substanciais capacitâncias (atrasos de 1ª ordem) e tempo morto na resposta dinâmica dos processos, que são variáveis com o tempo e/ou porto de operação do processo. • Não medição em linha das variáveis controladas • Resposta dinâmica não linear • Modelos dinâmicos empíricos e aproximados • Variáveis controladas e manipuladas sujeitas a restrições • Significativa interação entre as malhas de controle • Substanciais distúrbios externos não estacionários

Solução mais empregada (quando empregada!): Controle Feedback.

U

Mecanismo do controlador

R +

E

Σ

GC

G1

-

B

+

M +

Σ

H

Figura 9-1: Diagrama de bloco de controle feedback.

OBS: Todas as variáveis são desvios no domínio de Laplace.

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G2

C

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9.1.

Objetivos do Controle Avançado

Tabela 9-1: Objetivos do controle a vançado.

OPERACIONAIS

COMERCIAIS

Aumento da segurança

Maximizar o rendimento

Incrementar a flexibilidade

Maximizar a produção

Atender as especificações de qualidade

Incrementar os tempos de campanha

Operar em estado estacionário

Reduzir consumo energia

Atender às restrições ambientais

Reduzir estoques de produtos intermediários Reduzir custos variáveis

SEGURANÇA e MEIO AMBIENTE

CONTROLE FEEDBACK

CONTROLE AVANÇADO

QUANTIDADE

QUALIDADE Figura 9-2: Pirâmide do controle avançado.

9.2. Atrativos Avançado √

para

Implementação

Mudanças freqüentes: • Vazão de alimentação Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

de

Controle

Página 9-4 de 5

• Composição da alimentação • Demanda de produção • Abastecimento de energia √

Grande consumo de energia por unidade de produção;

√

Larga diferença entre os valores dos produtos;

√

Projeto altamente integrado;

√

Muitos controladores em manual;

√

Longos períodos entre a análise das correntes;

√

Resposta dinâmica lenta.

9.3.

Benefícios trazidos pelo Controle Avançado

LIMITE ESPECIFICADO

CONTROLE PREDITIVO SETPOINT

MULTIVARIÁVEL

CONTROLE REGULATÓRIO BÁSICO / AVANÇADO

OPERAÇÃO NORMAL

REDUÇÃO DAS VARIAÇÕES

OPERAÇÃO MAIS PRÓXIMA DO LIMITE

Figura 9-3: Benefícios do controle avançado.

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Página 9-5 de 5

9.4.

Estratégias Avançadas de Controle

Tabela 9-2: Estratégias de controle avançado.

PROBLEMA

SOLUÇÃO

Mudanças na alimentação

Controle feedforward1 Controle preditivo multivariável

Elevado tempo morto

Compensação do tempo morto Controle preditivo multivariável

Ruído na medição

Filtros passa-baixa

Variáveis não medidas

Controle inferencial Controle preditivo multivariável

Interação

Controle preditivo multivariável

Não linearidades

Controle adaptativo Controle preditivo multivariável

Dinâmica difícil

Controle preditivo multivariável

Restrições

Controle com restrição Controle preditivo multivariável

Distúrbios de baixa freqüência

Controle estatístico

Conseqüência econômica

Otimização on-line

Modificação nas estratégias de controle

Sistemas especialistas

1

Alguns autores não classificam o feedforward como controle avançado, mas estamos nos referindo ao controle antecipatório baseado nos modelos fenomenológicos dos processos. Controle de Processos - Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Página 10-1 de 2

ÍNDICE CAPÍTULO 10.

TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE

ESTADOS

10-2

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 10-1: Controle Clássico x Controle Moderno.

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10-2

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CAPÍTULO 10. TEORIA DE CONTROLE ABORDAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS

MODERNO:

Neste momento, faremos uma breve comparação entre a Teoria Clássica de Controle (o que acabamos de estudar) e a denominada Teoria Moderna de Controle.

Tabela 10-1: Controle Clássico x Controle Moderno.

Controle Clássico

Controle Moderno

Sistemas lineares

Sistemas lineares ou não lineares

SISO ou MIMO linear

SISO ou MIMO não linear

Transformada de Laplace

Equações diferenciais

Transformada Z

Equações de diferenças finitas

Critério de Routh, Lugar das raízes, Critério de Bode e de Nyquist

Autovalores e autovetores Planos de fases Funções e critério de Liapunov

Multiplicidade de estados estacionários não é observada

Multiplicidade de estados estacionários é observada

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ABREVIATURAS a, b

Constantes arbitrárias

A

Amplitude de perturbação

A

Área da seção transversal

B

Variável produzida pelo elemento de medida

BIAS

Saída do controlador no estado estacionário

C

Capacitância

C

Concentração molar

C

Variável de saída – controlada – não medida

cp

Capacidade calorífica a pressão constante

D

Carga do sistema (distúrbio externo)

E

Erro

G

Função de transferência

h

[=]

m2

[=]

kgmol/m3

[=]

kcal/(kg.K)

Altura

[=]

m

H

Entalpia

[=]

Kcal

H

Função de transferência do elemento de medida

K

Ganho do processo

L

Comprimento da tubulação

[=]

m

m

Massa

[=]

kg

M

Sinal de saída da válvula

MV

Variável manipulada

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Página 2 de 3

OUT

Sinal de saída do controlador

[ = ] mA

PV

Variável de processo (process variable)

q

Vazão volumétrica

[=]

m3/s

Q

Calor trocado

[=]

kcal/h

R

Ponto de referência ou valor desejado

R

Resistência

Rg

Constante universal dos gases

[=]

J.mol-1

SP

Valor desejado (set point)

t

Tempo

[=]

h, min ou s

T

Temperatura absoluta

[=]

K (graus Kelvin)

T

Temperatura

[=]

ºC

U

Variável de carga ou perturbação

UG

Coeficiente global de troca térmica

[=]

kcal/m2. h.K

V

Volume

[=]

m3

w

Vazão mássica

[=]

kg/h

X

Função entrada ou perturbação do sistema

Y

Função saída ou resposta dos sistema

Símbolos gregos

9 ν

Coeficiente estequiométrico da substância

τ

Constante de tempo para sistema de 1ª ordem

τ

Período natural de oscilação para sistema de 2ª ordem

τD

Tempo derivativo

[=]

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min ou s

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τI

Tempo integral

τm

Tempo morto do processo

ζ

Fator de amortecimento

ƒ

[=]

min ou s

Freqüência

[=]

rpm

ρ

Massa específica

[=]

kg/m3

ℜ

Constante da reação

[=]

s-1

ℜo

Fator de freqüência

[=]

s-1

ω

Freqüência angula da senoide

[=]

rad/s

Γ

Taxa de consumo ou de reação

[=]

mol/m3.s

Sobrescrito

9 -

9

Variável em desvio

Subscrito C

Controlador

P

Processo

SP

Set point

ss

Referente ao estado estacionário

st

Referente à corrente de vapor (stream)

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