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Cuaderno de trabajo

Matemáticas 2

Cuaderno de trabajo

Matemáticas 2 George Thomas Maurice Weir Joel Hass David Lay

Colaboración Humberto Hipólito García Díaz Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Guadalajara

Datos de catalogación bibliográfica THOMAS, GEORGE et al.

Cuaderno de trabajo Matemáticas 2. Primera edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012 ISBN: 978-607-32-0861-1 Área: Matemáticas

Formato: 20 × 25.5 cm

Páginas: 88

Authorized translation from the English language edition, entitleds • Thomas Calculus, Single Variable, 12th Edition, by George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2010. Original ISBN 978-032-16-3742-0. Translation ISBN 978-607-32-0164-3 • Thomas Calculus, Multivariable, 12th Edition, by George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2010. Original ISBN 978-032-16-4369-8. Translation ISBN 978-607-32-0209-1. • Linear Algebra and its applications, 3th Edition, by David C. Lay, published by Pearson Education Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2006. Original ISBN 978-032-12-8713-7. Translation ISBN 978-970-26-0906-3. All rights reserved. Adaptación de la traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulados: • Thomas Calculus, Single Variable, 12a Edición, por George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2010. ISBN Original 978-0321637420. ISBN Traducción 978-607-32-0164-3 • Thomas Calculus, Multivariable, 12th Edición, por George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass, publicada por Pearson Education Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2010. ISBN Original 978-032-16-4369-8. ISBN Traducción 978-607-32-0209-1. • Linear Algebra and its applications, 3th Edición, por David C. Lay, publicada por Pearson Education Inc., publicada como AddisonWesley, Copyright © 2006. ISBN Original 978-032-12-8713-7. ISBN Traducción 978-970-26-0906-3. Todos los derechos reservados. Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de producción:

Carlos Mario Ramírez Torres [email protected] Claudia Silva Morales Enrique Trejo Hernández

PRIMERA EDICIÓN, 2012 D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5º piso Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito de los coeditores. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización de los coeditores o de sus representantes. ISBN 978-607-32-0861-1 ISBN e-book 978-607-32-0862-8 ISBN e-chapter 978-607-32-0863-5 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 15 14 13 12

www.pearsoneducacion.net

ISBN 978-607-32-0861-1

Contenido

Tema 1 Antiderivadas e integral definida

1

Determinación de antiderivadas  1 Integrales indefinidas  1



Tema 2 Teorema fundamental del cálculo



Tema 3 Regla de sustitución

11



Tema 4 Integración por partes

17



Tema 5 Ecuaciones diferenciales

21



Tema 6 Área debajo de la curva

25



7

Área debajo de la gráfica de una función no negativa  25



Tema 7 Área entre curvas

27



Tema 8 Integrales impropias

33



Tema 9 Sistema de coordenadas tridimensionales

37



Sistemas de coordenadas tridimensionales  37

v

vi



Contenido

Tema 10 Superficies cilíndricas





41

Superficies cuádricas  42

Tema 11 Definición de función de varias variables



47

Funciones de varias variables  47



Tema 12 Derivadas parciales

49



Tema 13 Valores extremos y puntos silla

57



Tema 14 Multiplicadores de Lagrange

61



Tema 15 Operaciones entre matrices

65



Tema 16 Solución de sistema de ecuaciones

69



Tema 17 Autovalores y autovectores

73



Tema 18 Sucesiones

75



Tema 19 Series

77



Tema 20 Series de Taylor y Maclaurin

79

Tema 1

Antiderivadas e integral definida Determinación de antiderivadas DEFINICIÓN  Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F′(x) = f(x) para toda x en I. TEOREMA  Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es F(x) + C donde C es una constante arbitraria. Fórmulas para antiderivadas, k es una constante distinta de cero Función x

n

Antiderivada general 1 x n+ 1 + C, n +1

Función

n ≠ −1

Antiderivada general

csc 2 kx

1 − cot kx + C k

sen kx

1 − cos kx + C k

sec kx tan kx

1 sec kx + C k

cos kx

1 sen kx + C k

csc kx cot kx

1 − csc kx + C k

sec 2 kx

1 tan kx + C k

Integrales indefinidas DEFINICIÓN  La colección de todas las antiderivadas de f se denomina la integral indefinida de f con respecto a x, la cual se denota mediante ƒ(x) dx.

El símbolo es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.

1

2

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

En los siguientes ejercicios, determine la antiderivada más general o la integral indefinida. Compruebe sus respuestas mediante diferenciación. t dt 2

• •

3t 2 +

• •

1 1 2 2 − x − 3 dx x

• •

• •

x +

3

x dx

2x(1 − x−3 ) dx

TEMA 1  Antiderivadas e integral definida

θ dθ 3

• •

7 sen

• •

4 + t3

• •

3

t

dt

3 cos 5θ dθ

Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.

x2 sen x + C 2

• a)

x sen x dx =

•

x sen x dx = −x cos x + C

•

x sen x dx = −x cos x + sen x + C

4

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

x2 sen x + C 2

•

x sen x dx =

• b)

x sen x dx = −x cos x + C

•

x sen x dx = −x cos x + sen x + C

•

x sen x dx =

•

x sen x dx = −x cos x + C

• c)

x sen x dx = −x cos x + sen x + C

x2 sen x + C 2

Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta. (2x + 1)3 2 dx = +C • (2x + 1) a) 3

•

3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

•

6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

•

(2x + 1)2 dx =

• b)

3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

•

6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

(2x + 1)3 +C 3

(2x + 1)3 +C 3

•

(2x + 1)2 dx =

•

3(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

• c)

6(2x + 1)2 dx = (2x + 1)3 + C

TEMA 1  Antiderivadas e integral definida

5

Indique si cada fórmula es correcta o incorrecta y dé una breve justificación para cada respuesta.

• a)

2x + 1 dx =

x2 + x + C

•

2x + 1 dx =

x2 + x + C

•

2x + 1 dx =

•

2x + 1 dx =

x2 + x + C

• b)

2x + 1 dx =

x2 + x + C

•

2x + 1 dx =

•

2x + 1 dx =

x2 + x + C

•

2x + 1 dx =

x2 + x + C

• c)

2x + 1 dx =

1 3

1 3

1 3

2x + 1

2x + 1

2x + 1

3

3

3

+C

+C

+C

Tema 2

Teorema fundamental del cálculo TEOREMA  Fundamental del cálculo, parte 1  Si f es continua en [a, b], entonces x F(x) = a ƒ(t) dt es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es f (x):

d dx

F (x) =

x a

ƒ(t) dt = ƒ(x).

TEOREMA  Fundamental del cálculo, parte 2  Si f es continua en todo punto en [a, b] y f es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces b

ƒ(x) dx

F(b)

F(a).

a

TEOREMA  Cuando f y g son integrables en el intervalo [a, b], la integral definida satisface las reglas de la siguiente tabla. Reglas que satisfacen las integrales definidas a

1. Orden de integración: b a

2. Intervalo con ancho cero: a b

3. Múltiplo constante: a

ƒ x dx = −

b

ƒ x dx

Una definición cuando f (a) existe.

ƒ x dx = 0 b

kƒ x dx = k

ƒ x dx

b

5. Aditividad: a

6. Desigualdad máx-mín:

dx =

ƒx ±gx

a

ƒ x dx +

k cualquier constante.

a

b

4. Suma y diferencia:

Una definición.

a

b

b

ƒ x dx ±

a

c b

ƒ x dx =

g x dx a

c

ƒ x dx a

Si f tiene un valor máximo, máx f , y un valor mínimo, mín f , en [a, b], entonces b

mín ƒ

b−a ≤

a

ƒ x dx ≤ máx ƒ

b −a

7. Dominación: b

ƒ x ≥ g x en [a, b]

a

ƒ x dx ≥

b

g x dx a

b

ƒ x ≥ 0 en [a, b]

a

ƒ x dx ≥ 0

(Caso especial).

7

8

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios. • •

• •

• •

• •

0 −2

(2x + 5) dx

2 0

4 0

1 0

x(x − 3) dx

3x −

x2 +

x3 dx 4

x dx

TEMA 2  Teorema fundamental del cálculo 0

• •

2

1 + cos 2t dt 2

1

• •

u7 1 − 5 du 2 u

2

2

• • 1

1

• •

−1

s2 + s2

s

ds

(x2 − 2x + 3) dx

9

10

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2 32

• •

x−6 5 dx

1

• • 0

(1 + cos x) dx

Tema 3

Regla de sustitución TEOREMA  Regla de sustitución  Si u = g(x) es una función derivable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua en I, entonces

ƒ g x g x dx =

ƒ u du.

Evalúe las integrales indefinidas en los siguientes ejercicios; hágalo usando las sustituciones dadas para reducir las integrales a una forma estándar.

u = 3x

•

sen 3x dx,

•

12( y4 + 4y2 + 1)2( y3 + 2y) dy,

•

u = y4 + 4y2 + 1

dx 5x + 8

11

12

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios.

•

4

θ

1 x (1 +

•

•

•

1 − θ 2 dθ

r2

r3 −1 18

x)2

dx

5

sen (2t + 1) cos2 (2t + 1)

dr

dt

TEMA 3  Regla de sustitución

1

•

sen

1

cos

1

cos

•

d

sen2

x

•

(x − 4)3 2

d

dx

Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios.

•

−2 −3

dx x

13

14

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

2y dy

•

2

y − 25

sen t dt 2 − cos t

• 0

8r dr 4r 2 − 5

•

4

• 2

dx x ln x

TEMA 3  Regla de sustitución

Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios. •

e

r

r

dr

2

•

2t e−t dt

•

e1 x dx x2

•

e−1 x dx x3

2

15

16

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

ln

•

2

2e cos e d ln

6

ln

•

2

0

•

2

2x e x cos (e x ) dx

er dr 1 + er

Tema 4

Integración por partes Fórmula de integración por partes

ud = u −

du.

Mediante integración por partes, evalúe las integrales de los siguientes ejercicios. x dx 2

•

x sen

•

θ cos πθ dθ

•

t 2 cos t dt

17

18

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

2

•

x ln x dx 1

e

•

x3 ln x dx

1

•

xe3x dx

•

(x2 − 5x)ex dx

TEMA 4  Integración por partes

•

5 x +x 1 dx e

•

3(ln x) 2 dx

•

4

x ln x 2 dx

19

Tema 5

Ecuaciones diferenciales En los siguientes ejercicios, demuestre que cada función y = f (x) es una solución de la ecuación diferencial que le acompaña.

• 2y + 3y = e−x a) y = e−x

• y a) y

b) y = e−x + e−(3 2)x

c) y = e−x + Ce−(3 2)x

y2 1 x

b) y

1 x +3

c) y

1 x+C

21

22

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación diferencial. dy • 2 xy = 1, x, y > 0 dx

•

dy = x2 dx

•

dy = 3x 2 e−y dx

•

2xy

y,

dy =1 dx

y >0

TEMA 5  Ecuaciones diferenciales

•

x

dy = e y + x, dx

•

dy = 2x dx

•

dy e2x−y = x+y dx e

1 − y2,

x >0

−1 < y < 1

23

Tema 6

Área debajo de la curva Área debajo de la gráfica de una función no negativa DEFINICIÓN  Si y = f (x) es no negativa e integrable en un intervalo cerrado [a, b], entonces el área debajo de la curva y ∙ f (x) en [a, b] es la integral de f de a a b,

A =

b

ƒ(x) dx. a

En los siguientes ejercicios, determine el área total entre la función y el eje x.

• y

x2 − 2x,

• y = 3x2 − 3,

−3 ≤ x ≤ 2

−2 ≤ x ≤ 2

25

26

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• y = x 3 − 3x 2 + 2x,

• y = x1 3 − x,

0 ≤x ≤2

−1 ≤ x ≤ 8

En siguiente ejercicio, determine el área de la región sombreada.

•

y y

1

6

sen x

5 6

x

Tema 7

Área entre curvas DEFINICIÓN  Si f y g son continuas con f(x) − g(x) en todo [a, b], entonces el área de la región entre las curvas y ∙ f(x) y y ∙ g(x) de a a b es la integral de (f − g) de a a b:

A =

b a

[ƒ(x) − g (x)] dx.

En los siguientes ejercicios, determine las áreas totales de las regiones sombreadas. •

y

y

x –2

4

x2 0

2

x

27

28

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• y –

–2

–1

0

x

–1 –2 –3 3(sen x)

y

•

1

cos x

y

1

x

y3 x

0

(1, 1) y2

1

x

28

TEMA 7  Área entre curvas

•

y 1

–1

x2

y

0

1

–2

•

y

y

–2x 4

y

–x2

3x (2, 2)

2 –2

–1

1

y (–2, –10) –10

2x3

x

x

2

x2

5x

29

30

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

•

y (–2, 4)

4

x2

4

y

2

–2 –1

1

x

2 3

–5

y

–x

2

(3, –5)

En los siguientes ejercicios, determine las áreas de las regiones encerradas por las rectas y las curvas. • y = x2 − 2 y y = 2

y = 2x − x2 y y = −3 y = x4 y y = 8x y = x2 − 2x y y = x y = x2 y y = −x2 + 4x y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4 y = x2 − 2 y y = 2 • y = 2x − x2 y y = −3

y = x4 y y = 8x y = x2 − 2x y y = x y = x2 y y = −x2 + 4x y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

y = x2 − 2 y y = 2 y = 2x −

x2

y y = −3

• y = x4 y y = 8x

y = x2 − 2x y y = x y = x2 y y = −x2 + 4x y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

y = x2 − 2 y y = 2 y = 2x − x2 y y = −3 y = x4 y y = 8x • y = x2 − 2x y y = x

y = x2 y y = −x2 + 4x y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

y = x2 − 2 y y = 2 y = 2x − x2 y y = −3 y = x4 y y = 8x y = x2 − 2x y y = x • y = x2 y y = −x2 + 4x

y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

y = x2 − 2 y y = 2 y = 2x − x2 y y = −3 y = x4 y y = 8x y = x2 − 2x y y = x y = x2 y y = −x2 + 4x • y = 7 − 2x2 y y = x2 + 4

TEMA 7  Área entre curvas

31

Tema 8

Integrales impropias DEFINICIÓN  Las integrales con límites de integración infinitos son integrales impropias del tipo I. 1. Si f(x) es continua en [a, q), entonces

ƒ(x) dx = lím b

a

b

ƒ(x) dx . a

2. Si f(x) es continua en (–q, b], entonces b

b

ƒ(x) dx = lím

ƒ(x) dx .

a

a

3. Si f(x) es continua en (–q, q), entonces c

ƒ(x) dx =

ƒ(x) dx +

ƒ(x) dx , c

donde c es cualquier número real. En cada caso, si el límite es finito, decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia diverge. DEFINICIÓN  Las integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto dentro del intervalo de integración son integrales impropias de tipo II.

1. Si f(x) es continua en (a, b] y es discontinua en a, entonces b

ƒ(x) dx = lím+ c

a

a

b

ƒ(x) dx . c

2. Si f(x) es continua en [a, b) y es discontinua en b, entonces b a

ƒ(x) dx = lím c

b

c

ƒ(x) dx . a

3. Si f(x) es discontinua en c, donde a,  c,  b, y es continua en [a, c) ∪ (c, b], entonces b a

ƒ(x) dx =

c a

ƒ(x) dx +

b

ƒ(x) dx . c

33

34

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

En cada caso, si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral diverge. Evalúe las integrales en los siguientes ejercicios sin utilizar tablas. 1

dx x

1

dx

• 0

•

−1

x2 3

2x dx (x + 1)2

•

2

1

• 0

θ +1 θ 2 + 2θ

dθ

TEMA 8  Integrales impropias

dx x1.001

• 1

4

dx

•

4−x

0

1

• 0

•

dr r

0.999

x dx (x + 4)3 2 2

35

Tema 9

Sistema de coordenadas tridimensionales Sistemas de coordenadas tridimensionales z

(0, 0, z)

z = constante (0, y, z)

(x, 0, z) P(x, y, z)

0

(0, y, 0) y

(x, 0, 0) x

y = constante

x = constante

(x, y, 0)

El sistema coordenado cartesiano sigue la convención de la mano derecha.

z plano xz: y

0

plano yz: x plano xy: z

0

0

Origen (0, 0, 0)

y

x

Los planos x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho octantes.

37

38

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

z (0, 0, 5)

(2, 3, 5) 3, z

Recta y

5

Plano z Plano x

2 0

(2, 0, 0)

5

Recta x

2, z

Plano y

3

5

(0, 3, 0) y

x Recta x

2, y

3

Los planos x = 2, y = 3 y z = 5 determinan tres rectas que pasan por el punto (2, 3, 5).

En los siguientes ejercicios describa el conjunto dado con una ecuación o con un par de ecuaciones.

• El plano perpendicular a a) el eje x en (3, 0, 0)

b) el eje y en (0, − 1, 0)

c) el eje z en (0, 0, −2)

TEMA 9  Sistema de coordenadas tridimensionales

• El plano que pasa por el punto (3, −1, 2) perpendicular a a) el eje x

b) el eje y

c) el eje z

• El plano que pasa por el punto (3, −1, 1) paralelo a a) el plano xy

b) el plano yz

c) el plano xz

39

Tema 10

Superficies cilíndricas Cilindros Un cilindro es una superficie que se genera por el movimiento de una línea recta paralela a una recta fija dada a lo largo de una curva plana dada. La curva se llama curva generatriz del cilindro (ver figura). En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son circunferencias, pero ahora permitimos curvas generatrices de cualquier tipo. El cilindro de nuestro primer ejemplo es generado por una parábola.

z

Curva generatriz (en el plano yz)

y

x

Rectas que pasan por la curva generatriz paralelas al eje x

Cilindro y curva generatriz.

41

42

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

z Q0(x0, x02, z) P0(x0, x02, 0) 0 x y R PA

ÁB

x2

OL

y

A

Todos los puntos del cilindro tienen coordenadas de la forma (x0, x02, z). Le llamamos “el cilindro y = x2”.

Superficies cuádricas Una superficie cuádrica es la gráfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x, y y z. Nos enfocaremos en la ecuación general

Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E, donde A, B, C, D y E son constantes. Las superficies cuádricas básicas son los elipsoides, los paraboloides, los conos elípticos y los hiperboloides. Las esferas son casos especiales de los elipsoides. Daremos unos cuantos ejemplos para ilustrar cómo dibujar una superficie cuádrica y luego presentamos una tabla de gráficas en la que se resumen los tipos básicos. Sección transversal elíptica en el plano z z0

z

z c y2

x2 a2 en el plano xy

La elipse

a

y

IPSE

x

EL

La elipse z2 c2

1

en el plano xz

El elipsoide.

1

y

b

ELIPSE

x

x2 a2

b2

ELIPSE

z0

La elipse

y2 b2

en el plano yz

z2 c2

1

TEMA 10  Superficies cilíndricas

43

Formar pares de ecuaciones y superficies En los siguientes ejercicios, forme un par con cada ecuación y la superficie que ésta define. También identifique cada superficie por su tipo (paraboloide, elipsoide, etcétera). Las superficies están listadas de la “a” a la “l”.

• x2 + y2 + 4z2 = 10

• z2 + 4y2 − 4x2 = 4

• 9y 2 + z 2 = 16

• y2 + z2 = x2

44

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• x = y2 − z2

• x = −y 2 − z 2

• x 2 + 2z 2 = 8

• z2 + x2 − y2 = 1

• x = z2 − y2

TEMA 10  Superficies cilíndricas

• z = −4x2 − y2

• x2 + 4z2 = y2

• 9x2 + 4y2 + 2z2 = 36 • b)

z

• a)

z

y

x

x

• c)

d) •

z

x

e) •

y

z

z

x

y

y

x

f• )

z

x

y

y

45

46

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

g) •

h) •

z

y

x

i) •

y

x

y

z

x

•l)

z

x

x

j) •

z

• k)

z

y

y

z

x y

Tema 11

Definición de función de varias variables Funciones de varias variables DEFINICIÓN  Suponga que D es un conjunto de n-adas de números reales (x1, x2,…, xn). Una función de valores reales f en D es una regla que asigna un único número real (individual)

w = f (x1, x2 ,

, xn )

a cada elemento en D. El conjunto D es el dominio de la función. El conjunto de valores w asignados por f es el rango de la función. El símbolo w es la variable dependiente de f, y se dice que f es una función de n variables independientes x1 a xn. También llamamos a las xj variables de entrada de la función y a w la variable de salida de la función. Determinar los valores de las funciones dadas en los puntos indicados.

• g(x, y, z, ) = ex (2y + 3z); g (0, −1, 2)

• g(r, s, t, u ) =

rs 2

t − u2

; h(−3, 3, 5, 4)

47

48

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

Esbozar las siguientes superficies dadas:

• 3x + 6y + 2z = 12

• y+z=1

• z = x2 + y2

• z=

1 − x2 − y2

Tema 12

Derivadas parciales DEFINICIÓN  La derivada parcial de f(x, y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es

f x

(x0, y0)

= lím h

0

f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) , h

si el límite existe. DEFINICIÓN  La derivada parcial de f(x, y) con respecto a y en el punto (x0, y0) es

f y

(x0, y0)

=

d f(x0 , y) dy

y =y0

= lím h

0

f (x0 , y0 + h) − f(x0 , y0 ) , h

siempre que el límite exista. En los siguientes ejercicios, obtenga f/x y f/y. • f(x, y) = 2x2 − 3y − 4

• f(x, y) = x2 − xy + y2

49

50

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• f(x, y) = (x2 − 1)( y + 2)

• f (x, y) = 5xy − 7x 2 − y 2 + 3x − 6y + 2

• f (x, y) = (xy − 1)2

• f (x, y) = (2x − 3y)3

• f (x, y) =

50

x2 + y2

TEMA 12  Derivadas parciales

• f (x, y) = (x3 + ( y 2))2 3

• f (x, y) = 1 (x + y)

• f (x, y) = x (x2 + y2 )

• f (x, y) = (x + y) (xy − 1)

• f (x, y) = e(x+y+1)

51

52

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• f (x, y) = e−x sen (x + y)

• f (x, y) = ln (x + y)

• f (x, y) = e xy ln y

• f (x, y) = sen2 (x − 3y)

• f (x, y) = cos2 (3x − y2 )

TEMA 12  Derivadas parciales

En los siguientes ejercicios, obtenga fx, fy y fz.

• f (x, y, z) = 1 + xy2 − 2z2

• f (x, y, z) = ln (x + 2y + 3z)

• f (x, y, z) = yz ln (xy)

• f (x, y, z) = e−(x

2

+y 2 +z 2 )

53

54

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de las funciones de los siguientes ejercicios.

• f (x, y) = x + y + xy

• f (x, y) = sen xy

• g (x, y) = x 2y + cos y + y sen x

• w = yex

2

y

TEMA 12  Derivadas parciales

• w = x sen (x2y)

• w=

x −y x2 + y

55

Tema 13

Valores extremos y puntos silla DEFINICIÓN  Sea que f(x, y) esté definida en una región R que contiene el punto (a, b).

Entonces,

1. f(a, b) es un valor máximo local de f si f (a, b) ≥ f (x, y) para todos los puntos (x, y) del dominio en un disco abierto con centro en (a, b). 2. f(a, b) es un valor mínimo local de f si f(a, b) ≤ f (x, y) para todos los puntos (x, y) del dominio en un disco abierto con centro en (a, b). TEOREMA  Criterio de la primera derivada para valores extremos locales.

Si f(x, y) tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior (a, b) de su dominio, y si las primeras derivadas parciales existen allí, entonces f x(a, b) = 0 y f y(a, b) = 0. DEFINICIÓN  Un punto interior del dominio de una función f(x, y) donde tanto fx como fy se anulan, o donde alguna de éstas no existe, es un punto crítico de f. DEFINICIÓN  Una función derivable f(x, y) tiene un punto de silla en un punto crítico (a, b) si en cada disco abierto con centro en (a, b) existen puntos del dominio (x, y) donde f(x, y) > f(a, b), y puntos del dominio (x, y) donde f(x, y) < f(a, b). El punto correspondiente (a, b, f(a, b)) sobre la superficie z = f(x, y) se llama punto de silla de la superficie. TEOREMA  Criterio de la segunda derivada para valores extremos locales. Suponga que f(x, y) y sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas en un disco con centro en (a, b), y que f x (a, b) = f y (a, b) = 0. Entonces,   i) ƒ tiene un máximo local en (a, b), si f xx < 0 y f xx f yy − f xy2 > 0 en (a, b). ii) ƒ tiene un mínimo local en (a, b), si f xx > 0 y f xx f yy − f xy2 > 0 en (a, b). iii) ƒ tiene un punto de silla en (a, b), si f xx f yy − f xy2 < 0 en (a, b). iv) El criterio no es concluyente en (a, b), si f xx f yy − f xy2 = 0 en (a, b). En este caso, debemos encontrar otra manera de determinar el comportamiento de f en (a, b).

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58

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

Determine todos los máximos locales, los mínimos locales y los puntos de silla de las funciones de los siguientes ejercicios.

• f (x, y) = x2 + xy + y2 + 3x − 3y + 4

• f (x, y) = 2xy − 5x2 − 2y2 + 4x + 4y − 4

• f (x, y) = x2 + xy + 3x + 2y + 5

• f (x, y) = 5xy − 7x2 + 3x − 6y + 2

• f (x, y) = 2xy − x2 − 2y2 + 3x + 4

TEMA 13  Valores extremos y puntos silla

• f (x, y) = x 2 − 4xy + y 2 + 6y + 2

• f (x, y) = x 3 + 3xy 2 − 15x + y 3 − 15y

• f (x, y) =

1 x2 + y2 − 1

• f (x, y) = e2x cos y

2

2

• f (x, y ) = ex +y −4x

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Tema 14

Multiplicadores de Lagrange El método de multiplicadores de Lagrange Suponga que f(x, y, z) y g(x, y, z) son derivables y que g ≠ 0 cuando g(x, y, z) = 0. Para determinar los valores máximos y mínimos locales de f sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0 (si ésta existe), se obtienen los valores de x, y, z y que satisfacen en forma simultánea las ecuaciones

ƒ =

g

y

g(x, y, z) = 0.

Para funciones de dos variables independientes, la condición es similar, pero sin la variable z. • Extremos en una elipse  Determine los puntos sobre la elipse x2 + 2y2 = 1, donde f(x, y) = xy asume valores extremos.

• Extremos en una circunferencia  Obtenga los valores extremos de f(x, y) = xy sujeta a la restricción g(x, y) = x2 + y2 − 10 = 0.

61

62

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• Máximo en una recta  Determine el valor máximo de f (x, y) = 49 − x2 + y2 sobre la recta x + 3y = 10.

• Extremos sobre una recta  Obtenga los valores extremos locales de f(x, y) = x2y sobre la recta x + y = 3.

• Extremos en una esfera  Obtenga los puntos sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 25, donde f(x, y, z) = x + 2y + 3z tiene sus valores máximos y mínimos.

• Maximizar un producto  Determine el mayor producto que pueden tener los números positivos x, y y z, si x + y + z2 = 16.

62

TEMA 14  Multiplicadores de Lagrange

Resuelva los siguientes ejercicios. • f(x, y) = x2 + 4y2 + 6

• 2x − 8y = 20

• f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

• 2x + y − z = 9

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64

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• f(x, y, z) = xyz2

• x − y + z = 20   (xyz2 no cero)

Tema 15

Operaciones entre matrices En los siguientes ejercicios, calcule cada suma o producto si la matriz está definida, Si alguna expresión no está definida, explique por qué. Sean

A=

2 0 −1 , 4 −5 2

C=

1 −2

• −2A,

• A + 2B,

2 , 1 B − 2A,

3C − E,

B = D =

AC,

CB,

3 −1

7 −5 1 , 1 −4 −3 5 , 4

E =

−5 3

CD

EB

65

66

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• Sean A =

8 2 −3 ,B = 5 −4 6

5 −2 4 . ,yC = 3 1 5

Verifique que AB = AC y que sin embargo B ≠ C.

En los ejercicios, dadas las matrices A, B, C y D efectuar las operaciones indicadas. 4 0

5 −1

A = −1 3

B = 1 −3

0 1 a) 2A + 3B

b) BD

2

4

C=

1

4

0

−1

3

8

D=

1 3 5 −4

TEMA 15  Operaciones entre matrices

c) ( A − B)t

d) 2 D 2 + CA

67

Tema 16

Solución de sistema de ecuaciones En los siguientes ejercicios, encuentre los inversos de las matrices. 1.•

8 5

6 4

2.•

3 7

2 4

3.•

8 5 −7 −5

69

70

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• Use el inverso encontrado en el ejercicio 1 para resolver el sistema 8x 1 +6x 2 = 2 5x 1 + 4x 2 = −1

• Use el inverso encontrado en el ejercicio 3 para resolver el sistema 8x 1 + 5x 2 = −9 −7x 1 − 5x 2 = 11

Use la regla de Cramer para calcular las soluciones a los sistemas de los siguientes ejercicios. •

= 7 2x 1 + x 2 −3x 1 + x 3 = −8 x 2 +2x 3 = −3

TEMA 16  Solución de sistema de ecuaciones

• 2x 1 +x 2 + x 3 = 4 −x 1 + 2x 3 = 2 3x 1 +x 2 +3x 3 = −2

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por cada uno de los métodos. a) Gauss-Jordan b) Cramer c) Inversa de Matriz x + 2y + z = 4

•

3x + z = 2 x−y+z=1

x = 1, y = 1, z = 2

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72

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

x − 6y + 3z = −2

•

2x − 3y + z = −2 3x + 3y − 2z = 2

x = 1, y = 3, z = 5

Tema 17

Autovalores y autovectores 3 2 • ¿ = 2 es un un valor valorpropio propiode de qué no? ? ¿Por qué sí o por qué no? 3 8

• ¿ = −2 es un valor propio de

7 3 ? ¿Por qué sí o por qué no? 3 −1

73

74

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

Encuentre los autovalores y autovectores de las siguientes matrices. •

5 −1

•

1 4 3 −3

• 4 1

2 2

3 2

Tema 18

Sucesiones DEFINICIÓN  Una sucesión infinita es una función cuyo dominio son los números enteros positivos. Encuentre la función correspondiente a la siguiente sucesión y después el vigésimo término. • 2, 4, 6, 8, 10

• 1, 3, 5, 7, 9

• 4, 4, 4, 4, 4

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76

Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• 1, 4, 9, 16, 25

5• )

1 2 3 4 5 , , , , 2 3 4 5 6

• 1, 2, 4, 8, 16, 32

Tema 19

Series TEOREMA  La serie geométrica a + ar + ar2 + … Con a distinta de 0. • Converge y su suma es a∙(1-r) si ∙r∙ < 1. • Diverge si ∙r∙ > 1. Dadas las siguientes series geométricas determine si éstas son convergentes o divergentes. En caso de convergencia calcule la suma. 2 2 2 • 2 + + + +… 5 25 125

7 7 7 • 7 − + − … 4 16 64

• 1 +

(−1) 5

+ …+

−1 5

n−1

+…

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Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• 1 +

e e + …+ 5 5

n−1

• 0.38 + 0038 + 000038 + …

•

∑

3−(n) 4n −1

∑

(−6)n−14− n

∞

n=1

•

∞

n=1

Tema 20

Series de Taylor y Maclaurin DEFINICIÓN

∑

f ( x )  = 

n=0

f (n) (a)(x − a)n n!

Desarrolle las siguientes funciones alrededor de “a” ya sea como serie de Taylor o Maclaurin. • f ( x ) = sen (2 x )

a =0

• f ( x ) = cos( 2 x )

a =0

• f ( x ) = e−2 x

a =0

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Cuaderno de trabajo  Matemáticas 2

• f ( x ) = ln x

a =1

• f ( x ) = 1 (1− x ) a = 0