Cv Del Angel Hernandez Marcelo T5

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

ALUMNO: DEL ANGEL HERNANDEZ MARCELO.

NO. DE COTROL: 17500133.

SEMESTRE: 2°.

CARRERA: INGENIERIA CIVIL.

GRUPO: 1.

DOCENTE: ING. JOSE VICTOR TRINIDAD PUENTE.

MATERIA: CALCULO VECTORIAL.

TRABAJO: RESUMEN DE LA UNIDAD 5. INTEGRALES.

INDICE TEMA 5 INTEGRALES 5.1 INTRODUCCION……………………………………………………………….3 5.2 INTEGRAL DE LINEA…………………………………………………………6 5.3 INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES…………………………..9 5.4 APLICACIONES A ÁREAS Y SOLUCION DE PROBLEMAS…………….11 5.5 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES…………………….15 5.6 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS …………………………21 5.7 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS……………………………….27 CONCLUSION……………………………………………………………………..29 BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………….30

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5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, en cuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti-derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibnize Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral. es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas. Primer ejemplo.- Estamos interesados en el estudio de una poblaci´on de una especie determinada en cierto h´abitat. Conocemos (aproximadamente) la velocidad a la que var´ıa el n´umero de ejemplares de esta poblaci´on a lo largo del tiempo. Disponiendo de esta informaci´on, ¿seremos capaces de decir (aproximadamente) cu´al es la diferencia de poblaci´on entre dos instantes determinados? La integral definida ser´a la herramienta que nos permitir´a dar respuesta a este problema. Segundo ejemplo.- Estamos interesados en el estudio de una part´ıcula en movimiento a lo largo de un eje. Conocemos 3

(aproximadamente) la velocidad a la que se mueve esta part´ıcula. Disponiendo de esta informaci´on, ¿seremos capaces de decir (aproximadamente) cu´al es la diferencia de posici´on de la part´ıcula entre dos instantes determinados? Nuevamente, la integral definida ser´a la herramienta que nos permitir´a dar respuesta a este problema. En la siguiente secci´on, se introducir´a el concepto de integral definida. Una vez que hayamos presentado este concepto, tendremos que enfrentarnos al problema de c´omo calcular las integrales definidas. El cálculo de integrales definidas se puede abordar de dos maneras. En primer lugar, podemos recurrir al concepto de primitiva que nos permite calcular las integrales definidas de manera exacta; en la Sección 3 se repasaran algunos métodos sencillos para obtener primitivas. En segundo lugar, podemos recurrir a métodos sencillos para calcular, de forma aproximada, las integrales definidas: la regla del trapecio y la regla de Simpson (Sección 4). En la Sección 5, se explicará brevemente el empleo del programa de ordenador R para poder aplicar con facilidad la regla del trapecio y la regla de Simpson. Finalmente, en la Sección 6, veremos algunas de las aplicaciones de la integral definida, que son nuestro objetivo fundamental Vamos a introducir el concepto de integral definida a partir del problema del cálculo de ´áreas ya que, este tipo de enfoque, permite una presentación gráfica muy sencilla de comprender. Consideramos una función de una variable, y = f(x), definida sobre el intervalo [a, b], y queremos calcular el ´área comprendida entre la curva y = f(x), el eje de abscisas, y los valores X = a y X = b (ver Figura 1). El problema se aborda, desde un punto de vista teórico, mediante las sumas inferiores y superiores, que utilizan rectángulos con bases cada vez más estrechas y que, intuitivamente, van aproximando el ´área requerida cada vez con mayor precisión.

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Definición. - Consideramos una función continua y = f(x) definida sobre el intervalo [a, b]. En este caso, se puede probar que el supremo de las sumas inferiores coincide con el ´ınfimo de las sumas superiores, y este n´umero com´un recibe el nombre de integral definida de y = f(x) sobre el intervalo [a, b]. Se representa por Zb a f(x)dx • Las funciones con las que habitualmente se trabaja en las Ciencias Experimentales son funciones continuas y, por tanto, tendrá sentido hablar de su integral definida. Si la función y = f(x) toma valores positivos sobre [a, b], esta integral definida proporciona el ´área encerrada entre la curva y = f(x), el eje de abscisas, y los valores X = a y X = b. Cuando la función sea positiva en unos trozos y negativa en otros habrá que tener un poco de cuidado para calcular ´áreas, ya que la integral definida considera que las regiones situadas por debajo del eje de abscisas tienen un ´área negativa. Volveremos sobre esto más adelante.

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5.2 Integral de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva. El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales. Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

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Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de línea

\que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

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El cálculo de la longitud de una curva en el espacio; El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva; Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Una función vectorial definida en diferenciable y acotada en la parametrización de una trayectoria enSe llama integral de línea de F sobre a la integral:

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

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5.3 Integrales iteradas dobles y triples Integrales iteradas triples. Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3:

R = [a, b] × [c, d] × [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d, e ≤z ≤h}

Donde a < b, c < d, e < h son números reales fijos. Sean: D1 _ [a, b] × [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que ≤(x, y) ≤ (x, y) para todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el rectángulo [a, b] × [c, d] del plano x, y. Hágase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 está en el plano “horizontal” z = 0 y proyectándose sobre ´el, en el espacio, están las gráficas de las funciones ≤(x, y) y (x, y). Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] ×[c, d] × [e, h] definido como: D = {(x, y) 2 D1, ≤(x, y) ≤ z ≤ (x, y)} (1)

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En el dibujo realizado antes D es el sólido comprendido entre las gráficas de las funciones ≤ y , que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y. Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastón ) vertical _(x, y) ≤ z ≤ (x, y) está contenido en el sólido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastón vertical “barre” el sólido D. Definición El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple Respecto de x, y, si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama Dominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es Simple respecto de y. El análisis del solido D a continuación debe seguirse con figuras tridimensionales, como la Explicada antes de la definición 3.1.1: Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x. Entonces, Por la definición 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, y Adquiere la forma siguiente: D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ μ(x), _(x, y) _ z _ (x, y)} (1b) Se puede mirar a D de la forma que describimos más abajo, en vez de verlo como generado por 10

Bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para Cada x = x0 2 [a, b] fijo, la intersección del solido D con el plano vertical x = x0 (este plano es Perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, “tajada o feta” del solido D al cortarlo con un Plano vertical, que tiene por ecuación: D \ {x = x0} = {(y, z) : _(x0) _ y _ μ(x0), _(x0, y) _ z _ (x0, y)} (1c).

5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema. Aplicaciones a áreas y solución de problema Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico. Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido. Resolución de problemas de suma de vectores

Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.

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Calcular:

¿Cuál es la diferencia total que recorren? ¿Cuál es su desplazamiento?

Solución:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada

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y su dirección se determina por el ángulo que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solución por método grafico

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Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N. Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.

Solución por método analítico Calculo de Fy: Sen 30º = cateto opuesto = Fy Hipotenusa F Despejemos Fy:

Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N

Calculo de Fx:

Cos 30º = cateto adyacente = Fx

Hipotenusa F

Despejemos Fx:

Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N

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Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión

5.5 Integral doble en coordenadas polares Hasta el momento hemos tratado con integrales en regiones cartesianas o rectangulares. Ahora veremos las integrales dobles las cuales se van a evaluar en regiones circulares o regiones comprendidas entre dos círculos o una parte de estos círculos. Por ejemplo:

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Si nos piden la integral doble del circulo sombreado en marrón entonces tendremos que hallar los límites de integración los cuales como vemos en la figura van de -a≤x≤a. Hallando los limites de integración y formulándolos en la integral nos quedaría:

Nos encontramos con una integral la cual no resulta tan sencilla de integrar, para facilitar esta integral podemos recurrir a una región polar reduciéndonos la dificultad del cálculo.

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Para ello se tiene que tener en cuenta que la región circular se obtiene al hacer rotar un segmento de recta en torno al origen del sistema

Para poder realizar la conversión a coordenadas polares deberemos recordar:

Entonces, tomando pequeños diferenciales los cuales se aproximan a una región rectangular nos quedaría la siguiente integral:

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Por lo tanto para encontrar una integral en coordenadas polares se debe.

1. Expresar la región en el sistema polar, y determinar los limites de

Integración.

2. Sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su

equivalente en coordenadas polares.

3. Reemplazar el diferencial de área por su equivalente en coordenadas polares

4. Evaluar la integral resultante. 18

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a

hipervolúmenes

de

dimensiones cada vez

superiores. La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha: Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Definición

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el 19

plano x1×2 es igual a algúna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones. Si se toma un punto (x1i,x2i,…,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i…Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,…,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de: Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones: Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,…,xni) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

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siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T. 5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas

En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

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Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que P≥ 0 0≤φ≤ π El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esféricas Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado , donde:

1.- es la distancia de P al origen, .

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para .

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto . Existen diferentes sistemas coordenados que se utilizan para diferentes aplicaciones. Lo que tienen en común es que pueden facilitar operaciones de cálculo, pues si bien las variables cambian, las expresiones algebraicas pueden llegar a simplificarse bastante. 22

Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la variable z, x o y. La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.

El nombre de estas coordenadas proviene de la idea de que cada punto en el espacio es un punto de la superficie de una infinita cantidad de cilindros circulares, todos con un radio arbitrario de valor r. Las integrales triples en este sistema de coordenadas se designan de la siguiente manera:

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En caso de empezar con una función en coordenadas cartesianas, estas se pueden convertir a coordenadas polares:

Nuevamente se hace énfasis en que el sistema puede cambiar. Por ejemplo, r puede depender de y y de z siendo x la variable que no cambia. Todo depende de la superficie con la que se trabaja. Por ejemplo se pide encontrar el volumen del primer octante del cono cuya ecuación es la siguiente, junto con otras restricciones:

El cono abre hacia el eje z, así que la región plana que se usa para obtener el volumen está en el plano xy, y corresponde a una circunferencia de radio 1. Por lo tanto, la integral se plantea así:

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La integral se calcula igual que en cualquier integral común, respetando el orden de integración.

Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas:

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Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la distancia que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje z y la proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que en coordenadas cilíndricas, el sistema de referencia puede cambiar.

A la inversa, es posible pasar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas:

oda integral en coordenadas esféricas se representa de la siguiente manera:

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5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que recordemos la conexión entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas y coordenadas

polares

,

entonces

,

de

la

figura,

,

Teorema de Fubini Sea f una función continua en una región D. Donde son funciones continuas en sus dominios. Entonces: Ejemplo: Hallar la integral triple de f (x,y,z) = z, extendida a la región D, limitada por los planos y = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 y el cilindro Teorema de Fubini Sea f una función continua en una región D. Donde son funciones continuas en sus dominios. Entonces: Ejemplo:

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Hallar la integral triple de f (x,y,z) = z, extendida a la región D, limitada por los planos y = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 y el cilindro Muchas regiones comunes, como esferas, elipsoides, conos o paraboloides, dan lugara integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares por lo que hay que convertirlas en coordenadas cilíndricas. x = r cos y = r sen z = zPara obtener la expresión en coordenadas cilíndricas de una integral triple, supongamos que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el plano xy puede describirse en coordenadas polares. Esto es: y Si f es una función continua sobre el sólido Q, podemos escribir la integral triple de f sobre Q como:Donde la integral doble sobre R se calcula en polares. Es decir, R es una región planar-simple o . Si R es r-simple, la forma iterada de la integral triple en forma cilíndrica es:Nota: Este es sólo uno de los posibles seis órdenes de integración. Los otros cinco son Ejemplo:Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera y el cilindro Sea R la proyección del sólido sobre el plano L as cotas de R son Por lo que Q es: Las integrales triples que involucran esferas o conos suelen ser más fáciles de calcular en coordenadas esféricas.Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas son:En este sistema de coordenadas la región más simple es un bloque esférico determinado por:Donde La integral triple en coordenadas esféricas para una función continúa f definida sobre el sólido Q: Del mismo modo que en las cilíndricas, las integrales triples en coordenadas esféricasse calculan mediante integrales iteradas. Nota: la letra griega es utilizada en coordenadas esféricas no tiene nada que ver con la densidad. No es sino el análogo tridimensional de la r usada en polares. Ejemplo: Calcular el volumen de la región sólida Q acotada por abajo por la hoja superior del cono y por arriba por la esfera.

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CONCLUSION La idea de este apartado es realizar un análisis crítico del cálculo vectorial discreto que aquí se propone, así como de los resultados que hemos obtenido. Podríamos empezar diciendo que, en cuanto a su concepción teórica, el cálculo vectorial discreto tiene un desarrollo impecable. Yo diría incluso magnífico, pues nos permite trabajar de forma análoga al continuo siguiendo un proceso natural. Los conceptos pueden ser más o menos abstractos, y las ecuaciones más o menos complejas, pero al fin y al cabo trabajamos con matrices y vectores. Esto significa que a pesar de los formalismos necesarios para que la estructura matemática sea rigurosa, la teoría es simple en su concepción. Y este es uno de los puntos fuertes del método. De forma sencilla somos capaces de obtener con suficiente precisión soluciones a los problemas diferenciales elípticos más importantes de la física e ingeniería. Otros métodos, por ejemplo, incluyen cálculos y técnicas sofisticadas que oscurecen en algunas ocasiones las soluciones que queremos encontrar.

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BIBLIOGRAFIA https://es.vbook.pub.com/doc/45507268/4-1-Definicion-de-una-funcion-de-variasvariables

https://es.vbook.pub.com/doc/45507493/4-2-Grafica-de-una-funcion-de-variasvariables

https://www.scoop.it/t/calculo-vectorial/p/3709004040/2012/12/14/4-3-curvas-ysuperficies-de-nivel https://www.edificacion.upm.es/personales/redondas/docencia/fundamentos/objeto s/derivadas_parciales.pdf https://www.scoop.it/t/calculo-vectorial https://es.vbook.pub.com/doc/45510739/4-8-Derivacion-parcial-implicita https://es.slideshare.net/wilsonnoba/informe-de-trabajo-final

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