Deber 3

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA Nombres: Jonnathan Lema Franklin Pilco Romina Zhindon Temas: Análisis de estado senoidal permanente, Análisis de potencia en circuitos de corriente alterna. Docente: Ing. Diego Chacón Fecha: 22 de enero de 2020

Realizar los siguientes ejercicios del capítulo 10; 25, 31, 38, 43, 47, 53, 78. 25.- Transforme cada una de las siguientes expresiones en forma fasorial: (a) 75.928 cos(110.1t); (b) 5 cos (55t − 42°); (c) −sen (8 000t + 14°); (d) 3 cos 10t − 8 cos (10t + 80°). a) Forma fasorial de 75.928 cos(110.1t) Forma del fasor es= magnitud∠∅ Magnitud=75.928 ∅=0 75.928∠0° b) Para 5 cos(55𝑡 − 42°) Magnitud=5 ∅ = −42° 5∠ − 42° c) 𝑃𝑎𝑟𝑎 − 𝑠𝑖𝑛(8000𝑡 + 14) − sin(8000𝑡 + 14°) = cos(8000𝑡 + 14° + 90°) = cos(8000𝑡 + 104°) 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑=1 ∅ = 104 1∠104° d)

3 𝑐𝑜𝑠 10𝑡 − 8 𝑐𝑜𝑠 (10𝑡 + 80°).

−8𝑠𝑒𝑛(80°) 3 cos 10𝑡 − 8 cos(10𝑡 + 80°) = √(−8)2 + 32 + 2(−8)(3) cos(80) cos (10𝑡 + 𝑡𝑎𝑛−1 [ ]) −8 𝑐𝑜𝑠(80°) + 2 = 8.04 cos(10𝑡 − 78.4°) 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑= 8.04 ∅ = −78.4° 8.04∠ − 78.4° 31.- Considerando la convención del signo pasivo y una frecuencia de operación de 5 rad/s, calcule la tensión fasorial que se genera entre las terminales de los siguientes elementos cuando circula la corriente fasorial I = 2 ∟0° mA: (a) una resistencia de 1 kΩ; (b) un capacitor de 1 mF; (c) un inductor de 1 nH. a) 𝑣 = 𝑖 ∗ 𝑅 𝑣 = 2𝑥10−3 ∗ 1000 𝑣 = 2∠0°[𝑉] b) 𝑣 = 𝑖 ∗ 𝑅 𝑅=−

1 = −𝑗0.4Ω 𝑗2𝜋 ∗ 𝑓𝑐

𝑣 = 0.002 ∗ (−𝑗0.4) 𝑣 = 0.4∠ − 89.71°[𝑉] c) 𝑣 = 𝑖 ∗ 𝑅 𝑅 = 𝑗2𝜋 ∗ 𝑓𝑙 = 𝑗10Ω 𝑣 = 0.002 ∗ (𝑗10) 𝑣 = 10∠89.98°[𝜇𝑉] 38.- (a) Obtenga una expresión para la impedancia equivalente Zeq de una resistencia de 1 𝛀 en serie con un capacitor de 10 mF como una función de ω.

𝑍𝑅 = 𝑅 𝑍𝑅 = 1Ω

1 𝑗𝜛𝐶 𝑗100 𝑍𝐶 = − Ω 𝜛 100 𝑍𝑒𝑞 = 1 − 𝑗 Ω 𝜛 𝑍𝐶 =

(b) Grafique la magnitud de Zeq como una función de ω en el intervalo 1 < ω < 100 krad/s (use escala logarítmica para el eje de frecuencia). 2

|𝑍𝑒𝑞 | = √𝑅𝑒(𝑍𝑒𝑞 ) + 𝐼𝑚(𝑍𝑒𝑞 ) |𝑍𝑒𝑞 | = √12 + (−

2

100 2 ) 𝜛

c) Grafique el Angulo (en grados) de Zeq como una función de ω en el intervalo 1 < ω < 100 krad/s (use escala logarítmica para el eje de frecuencia). [Pista: semilogx() de MATLAB es una función útil de graficación.]

𝑍𝑒𝑞 = tan−1 (

𝐼𝑚 (𝑍𝑒𝑞 ) ) 𝑅𝑒(𝑍𝑒𝑞 )

𝑍𝑒𝑞 = tan−1 (−

100 ) 𝜛

43.- Calcule la impedancia equivalente vista desde las terminales a circuito abierto que se muestra en la figura 10.56 si f es igual a (a) 1 Hz; (b) 1 kHz; (c) 1 MHz; (d) 1 GHz; (e) 1 THz.

Primero pasamos el capacitor y el inductor en impedancias 𝑧𝑐 = =

1 𝑗𝜔𝐶

1 𝑗(2𝜋𝑓)(𝐶)

=

1 𝑗(2𝜋)(1)(30𝑥10−6 )

= −𝑗5305.2 𝑧𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 𝑧𝐿 = 𝑗(2 ∗ 𝜋 ∗ 1)(10𝑥10−3 ) 𝑧𝐿 = 𝑗0.06 Hacemos paralelos el Z1 con la resistencia de 60 Ω (60)(−𝑗5305.2)

𝑧𝐸𝑞 = (60)+(−𝑗5305.2) 𝑧𝐸𝑞 =

(60 − 𝑗5305.2) (60) + (−𝑗5305.2)

𝑧𝐸𝑞 =

(60 − 𝑗5305.2) (60) + (5305.2 < −90)

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(−𝑗0.06) (60)(−𝑗0.06)

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(−𝑗0.06) (60 < 0)(0.06 < 90)

Ahora hacemos Serie las 2 Zeq 𝑧𝐸 =

(60 − 𝑗5305.2) (60)(−𝑗0.06) + (60) + (5305.2 < −90) (60 < 0)(0.06 < 90)

𝑧𝐸 =

(60 − 𝑗5305.2) (60)(−𝑗0.06) + (60) + (5305.2 < −90) (60 < 0)(0.06 < 90)

𝑧𝐸 =

38197.44 − 𝑗19098504 3918.312 − 𝑗318308.4

Después de esto debemos hacer paralelo con la resistencia faltante

38197.44 − 𝑗19098504 3918.312 − 𝑗318308.4 ∗ 60 𝑧𝐸 = 38197.44 − 𝑗19098504 3918.312 − 𝑗318308.4 + 60 38197.44 − 𝑗19098504 ∗ 60 3918.312 − 𝑗318308.4 𝑧𝐸 = 38197.44 − 𝑗19098504 3918.312 − 𝑗318308.4 + 60 𝑧𝐸 =

2.2𝑥106 − 𝑗1.1459𝑥109 273296.16 − 𝑗38197008

𝑧𝐸 =

4.377𝑥1016 − 𝑗2.257𝑥1014 1.459𝑥1015

𝑧𝐸 = 30 − 𝑗0.155[Ω] Después de saber cómo se resuelve los ejercicios debemos repetir los mismos pasos para todos

Para 1kHz 𝑧𝑐 =

1 𝑗𝜔𝐶

=

1 𝑗(2𝜋𝑓)(𝐶)

=

1 𝑗(2𝜋)(1000)(30𝑥10−6 )

= −𝑗5.305[Ω] 𝑧𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 𝑧𝐿 = 𝑗(2 ∗ 𝜋 ∗ 1000)(10𝑥10−3 ) 𝑧𝐿 = 𝑗62.83[Ω] 𝑧𝐸𝑞 =

(60)(−𝑗5.305) (60) + (−𝑗5.305)

𝑧𝐸𝑞 =

(60 − 𝑗5.305) (60) + (−𝑗5.305)

𝑧𝐸𝑞 =

(60 − 𝑗5305.2) (60) + (5305.2 < −90)

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(−𝑗0.06) (60)(−𝑗0.06)

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(−𝑗0.06) (60 < 0)(0.06 < 90)

𝑧𝐸 =

(60)(−𝑗0.06) (60 − 𝑗5305.2) + (60 < 0)(0.06 < 90) (60) + (5305.2 < −90)

𝑧𝐸 = (0.465 − 𝑗5.264) + (31.38 + 𝑗29.97) 𝑧𝐸 = (31.84 + 𝑗24.7) 𝑧𝐸 =

(31.84 + 𝑗24.7) + 60 (31.84 + 𝑗24.7) + 60

𝑧𝐸 = 23.45 + 𝑗9.83[Ω] Para 1MHz 𝑧𝑐 =

1 𝑗𝜔𝐶

=

1 𝑗(2𝜋𝑓)(𝐶)

=

1 𝑗(2𝜋)(1000000)(30𝑥10−6 )

= −𝑗1.59𝑥10−7 [Ω] 𝑧𝐿 = 𝑗𝜔𝐿

𝑧𝐿 = 𝑗(2 ∗ 𝜋 ∗ 1000000)(10𝑥10−3 ) 𝑧𝐿 = 𝑗62.83𝑥103 [Ω] 𝑧𝐸𝑞1 = 𝑧𝐸𝑞1

(60)(−𝑗1.59𝑥10−7 ) (60) + (−𝑗1.59𝑥10−7 )

(60 − 𝑗1.59𝑥10−7 ) = (60) + (1.59𝑥10−7 < −90)

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(𝑗62.83𝑥103 ) (60) + (𝑗62.83𝑥103 )

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(𝑗62.83𝑥103 ) (60) + (62830 < 90)

𝑧𝐸 =

(60)(𝑗62.83𝑥103 ) (60 − 𝑗1.59𝑥10−7 ) + (60) + (62830 < 90) (60) + (1.59𝑥10−7 < −90)

𝑧𝐸 =

1.19 + 𝑗226.18𝑥106 3600 + 𝑗3769800

1.19 + 𝑗226.18𝑥106 ( 3600 + 𝑗3769800 )(60) 𝑧𝐸 = 1.19 + 𝑗226.18𝑥106 ( 3600 + 𝑗3769800 ) + (60) 𝑧𝐸 =

71.94 + 𝑗1.357𝑥1010 216001.199 + 𝑗452.376𝑥106

𝑧𝐸 = 30 + 𝑗0.014[Ω] Para 1GHz 𝑧𝑐 =

1 𝑗𝜔𝐶

=

1 𝑗(2𝜋𝑓)(𝐶)

=

1 𝑗(2𝜋)(1𝑥109 )(30𝑥10−6 )

= −𝑗5.305𝑥10−6 [Ω] 𝑧𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 𝑧𝐿 = 𝑗(2 ∗ 𝜋 ∗ 1𝑥109 )(10𝑥10−3 ) 𝑧𝐿 = 𝑗62.83𝑥106 [Ω] 𝑧𝐸𝑞1 =

(60)(−𝑗5.305𝑥10−6 ) (60) + (−𝑗5.305𝑥10−6 )

𝑧𝐸𝑞1 =

(60)(−𝑗5.305𝑥10−6 ) (60) + (5.305𝑥10−6 < −90)

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(𝑗62.83𝑥106 ) (60) + (𝑗62.83𝑥106 )

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(𝑗62.83𝑥106 ) (60) + (62830000 < 90)

𝑧𝐸 =

(60)(−𝑗5.305𝑥10−6 ) (60)(𝑗62.83𝑥106 ) + (60) + (5.305𝑥10−6 < −90) (60) + (62830000 < 90)

𝑧𝐸 =

40𝑥103 + 𝑗2.26𝑥1011 3933.3 + 𝑗3.7698𝑥109

40𝑥103 + 𝑗2.26𝑥1011 ( )(60) 3933.3 + 𝑗3.7698𝑥109 𝑧𝐸 = 40𝑥103 + 𝑗2.26𝑥1011 ( ) + (60) 3933.3 + 𝑗3.7698𝑥109 𝑧𝐸 =

2.4𝑥106 + 𝑗1.36𝑥1013 276𝑥103 + 𝑗4.524𝑥1011

𝑧𝐸 = 30 + 𝑗1.3𝑥10−5 [Ω] Para 1 THz 𝑧𝑐 = = =

1 𝑗𝜔𝐶

1 𝑗(2𝜋𝑓)(𝐶) 1 𝑗(2𝜋)(1𝑥1012 )(30𝑥10−6 )

= −𝑗5.305𝑥10−9 𝑧𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 𝑧𝐿 = 𝑗(2 ∗ 𝜋 ∗ 1𝑥1012 )(10𝑥10−3 ) 𝑧𝐿 = 𝑗6.283𝑥1010 [Ω] 𝑧𝐸𝑞1

(60)(−𝑗5.305𝑥10−9 ) = (60) + (−𝑗5.305𝑥10−9 )

𝑧𝐸𝑞1 =

(60)(−𝑗5.305𝑥10−9 ) (60) + (5.305𝑥10−9 < −90)

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(𝑗6.283𝑥1010 ) (60) + (𝑗6.283𝑥1010 )

𝑧𝐸𝑞2 =

(60)(𝑗6.283𝑥1010 ) (60) + (6.283𝑥1010 < 90)

𝑧𝐸 =

(60)(𝑗6.283𝑥1010 ) (60)(−𝑗5.305𝑥10−9 ) + (60) + (6.283𝑥1010 < 90) (60) + (5.305𝑥10−9 < −90)

𝑧𝐸 =

40𝑥103 + 𝑗2.262𝑥1011 3933.3 + 𝑗3.7698𝑥109

40𝑥103 + 𝑗2.262𝑥1011 (60)( ) 3933.3 + 𝑗3.7698𝑥109 𝑧𝐸 = 40𝑥103 + 𝑗2.262𝑥1011 (60) + ( ) 3933.3 + 𝑗3.7698𝑥109 𝑧𝐸 =

2.4𝑥106 + 𝑗1.36𝑥1013 276𝑥103 + 𝑗4.524𝑥1011

𝑧𝐸 = 30 + 𝑗1.3𝑥10−5 [Ω] RESULTADOS Con 1Hz 𝑧𝐸 = 30 − 𝑗0.155[Ω] Con 1KHz 𝑧𝐸𝑞 = 23.45 + 𝑗9.83[Ω] Con 1MHz 𝑧𝐸 = 30 + 𝑗0.014[Ω] Con 1GHz 𝑧𝐸 = 30 + 𝑗1.3𝑥10−5 [Ω] Con 1THz 𝑧𝐸 = 30 + 𝑗1.3𝑥10−5 [Ω] 47.- Para el circuito que se representa en la figura 10.58, (a)vuelva a dibujar con los fasores adecuados y las impedancias marcadas; (b) use análisis nodal para determinar las dos tensiones de nodo vi(t) y v2(t).

a) 𝜔 = 2𝜋𝑓 Corriente 1:

Corriente 2:

100 = 2𝜋𝑓

80 = 2𝜋𝑓

𝑓 = 15.915

𝑓 = 12.732

Inductor 10mH 𝑋𝐿 = 2𝜋 ∗ 15.915 ∗ 0.010 = +𝑗1 Capacitor 2.2 mF

𝑋𝐶 =

1 = −𝐽5 2𝜋 ∗ 15.915 ∗ 0.002

Capacitor 4.4 mF 𝑋𝐶 =

1 = −𝐽2.5 2𝜋 ∗ 12.732 ∗ 0.005

b)

V2

V1

TRANSFORMANDO A POLAR 𝑍1 =

2 ∗ 1𝜃 90 2𝜃 90 = = 2 + 𝐽1 2.236𝜃 26.565

𝟏𝜽 𝟔𝟑. 𝟒𝟑𝟓 𝑍2 =

3 ∗ 5𝜃 − 90 15𝜃 − 90 = = 𝟑∠ − 𝟑𝟎. 𝟗𝟔𝟒° 3 − 𝐽5 5.830𝜃 − 59.036

𝑍3 =

5 ∗ 2.5𝜃 − 90 12.5𝜃 − 90 = = 𝟐. 𝟕𝟕𝟐∠ − 𝟔𝟑. 𝟒𝟑𝟓° 5 − 𝐽2.5 5.590𝜃 − 26.565

REDIBUJANDO V1

V2 I3

I1 I2

Ecuación de nodo V1 ∑ 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛 = ∑ Corrientes salen 3𝜃 62 = 𝐼1 + 𝐼2 3𝜃 62 =

𝑉1 𝑉1 − 𝑉2 + 𝑍1 𝑍2

3𝜃 62 =

𝑉1 𝑉1 − 𝑉2 + 1𝜃 63.435 3𝜃 − 30.964

3𝜃 62 =

𝑉1 𝑉1 𝑉2 + − 1𝜃 63.435 3𝜃 − 30.964 3𝜃 − 30.964

3𝜃 62 =

(3∠ − 30.964°)𝑉1 + (1∠ 63.435°)𝑉1 − (1∠63.435°)𝑉2 3∠32.381°

3𝜃 62 =

(2.572 − 𝐽 1.543)𝑉1 + (0.447 + 𝐽 0.894)𝑉1 − (1∠63.435°)𝑉2 3∠32.381°

3𝜃 62 =

(3.019 − 𝐽 0.649)𝑉1 − (1∠63.435°)𝑉2 3∠32.381°

ECUACIÓN Nro. 1 𝑉1 =

9∠ 94.381° + (1∠ 63.435°)𝑉2 3.087∠ − 12.132°

Ecuación nodo V2 ∑ 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛 = ∑ Corrientes salen 𝐼2 = 𝐼3 + 2∠0° 𝑉1 − 𝑉2 𝑉2 = + 2∠0° 𝑍2 𝑍3 𝑉1 − 𝑉2 𝑉2 = + 2∠0° 3∠ − 30.964° 2.772∠ − 63.435° 𝑉1 𝑉2 𝑉2 − = + 2∠0° 3∠ − 30.964° 3∠ − 30.964° 2.772∠ − 63.435° 𝑉1 𝑉2 𝑉2 = + + 2∠0° 3∠ − 30.964° 2.772∠ − 63.435° 3∠ − 30.964° (3∠ − 30.964°)𝑉2 + (2.772∠ − 63.435°)𝑉2 + 16.632∠ − 94.399° 𝑉1 = 3∠ − 30.964° 8.316∠ − 94.399° (2.572 − 𝐽 1.543)𝑉2 + (1.239 − 𝐽 2.473)𝑉2 + 16.632∠ − 94.399° 𝑉1 = 3∠ − 30.964° 8.316∠ − 94.399° (3.811 − 𝐽 4.016)𝑉2 + 16.632∠ − 94.399° 𝑉1 = 3∠ − 30.964° 8.316∠ − 94.399° ECUACIÓN Nro. 2 (5.536∠ − 46.500°)𝑉2 + 16.632∠ − 94.399° 𝑉1 = 3∠ − 30.964° 8.316∠ − 94.399° Reemplazando 1 en 2 para obtener V2 9∠ 94.381° + (1∠ 63.435°)𝑉2 (5.536∠ − 46.500°)𝑉2 + 16.632∠ − 94.399° 3.087∠ − 12.132° = 3∠ − 30.964° 8.316∠ − 94.399° 9∠94.381° + (1∠63.435°)𝑉2 (5.536∠ − 46.500°)𝑉2 + 16.632∠ − 94.399° = 9.261∠ − 43.096° 8.316∠ − 94.399° 74.844∠. −0.018° + (8.316∠ − 30.964°)𝑉2 = (51.268∠ − 89.596°)𝑉2 + 154.028∠ − 137.495°

Pasando a coordenadas rectangulares para la suma obtenemos: 74.843 − 𝐽 0.023 + (7.130 − 𝐽 4.278)𝑉2 = (0.361 − 𝐽 51.266)𝑉2 + (−113.552 − 𝐽104.069) (7.130 − 𝐽 4.278)𝑉2 − ((0.361 − 𝐽 51.266)𝑉2) = (−113.552 − 𝐽104.069) − (74.843 − 𝐽 0.023) (6.769 + 𝐽 46.988)𝑉2 = (−188.395 − 𝐽104.046) (47.473𝜃 81.802)𝑉2 = (215.216∠ − 151.089°) 𝑉2 =

(215.216∠ − 151.089°) (47.473𝜃∠81.802°)

𝑉2 = 4.533∠ − 232.891°[𝑉] Reemplazando V2 en la ecuación 1 para obtener V1 𝑉1 =

9∠94.381° + (1∠ 63.435°) ∗ (4.533∠ − 232.891°) 3.087∠ − 12.132°

𝑉1 =

9∠94.381° + (4.533∠ − 169.456° ) 3.087∠ − 12.132°

𝑉1 =

−0.687 + 𝐽 8.973 + (−4.456 − 𝐽 0.829 ) 3.087∠ − 12.132°

𝑉1 =

−5.143 + 𝐽 8.144 9.631∠ 122.272° = 3.087∠ − 12.132° 3.087∠ − 12.132°

𝑉1 = 3.119∠134.404°[𝑉] Pasando al dominio del tiempo: 𝑉1 = 3.119 cos(100𝑡 + 134.404 )[V] 𝑉2 = 4.533 cos(80𝑡 − −232.891 )[V] 53.- Determine IB en el circuito de la figura 10.62 si I1 = 5∠ −18° A e I2 = 2∠ 5° A.

Utilizamos la superposición Primero, apagamos la fuente derecha (I2). Llamemos al componente IB que nos queda con IB1. El componente de I1 que fluye a través de la resistencia de 2 se llamara IA 𝐼𝐴 = 𝐼1 ∙

𝑗2 (−𝑗4)(1 + 𝑗3.8) 𝑗2 + (2 + ) 1 + 𝑗3.8 − 𝑗4

7 113 𝐼𝐴 = 𝐼1 ∙ ( )+𝑗( ) 986 986 𝐼𝐴 = 0.211 + 𝑗0.534 [𝐴] 𝐼𝐵1 = −𝐼𝐴 ∙

𝑗2 1 + 𝑗3.8 − 𝑗4

𝐼𝐵1 = −2.216 + 𝑗0.4 [𝐴] De una manera similar realizamos lo siguiente 𝐼𝐵 = 𝐼2 ∙

2 (−𝑗4)(1 + 𝑗3.8) 2 + (𝑗2 + 1 + 𝑗3.8 − 𝑗4 )

223 7 𝐼𝐵 = 𝐼2 ∙ ( )−𝑗( ) 986 986 𝐼𝐵 = 0.2296 + 𝑗5.8321 [𝐴] 𝐼𝐵2 = −𝐼𝐵 ∙

−𝑗4 1 + 𝑗3.8 − 𝑗4

𝐼𝐵2 = −0.199 + 𝑗0.8785 [𝐴] Ahora calculamos IB 𝐼𝐵 = 𝐼𝐵1 + 𝐼𝐵1 𝐼𝐵 = −2.216 + 𝑗0.4 [𝐴] + −0.199 + 𝑗0.8785 [𝐴] 𝐼𝐵 = 2.73∠152° [𝐴] 78.- Para el circuito que se muestra en la figura 10.80, (a) dibuje la representación fasorial correspondiente; (b) obtenga una expresión para Vo/Vs; (c) grafique |Vo/Vs|, la magnitud de la relación de las tensiones fasoriales, como una función de la frecuencia ω dentro del intervalo 0.01 ≤ ω ≤ 100 rad/s (use un eje x logarítmico). (d) ¿El circuito transfiere bajas frecuencias o altas frecuencias más eficazmente a la salida?

a. La impedancia del inductor 1H viene dada por: 𝑍𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 𝑍𝐿 = 𝑗𝜔Ω El circuito de dominio fasorial se muestra a continuación en la Figura 1.

Figura 1. b. El voltaje Vo se puede obtener usando la división de voltaje 𝑉𝑂 = 𝑉𝑆

𝑗𝜔 𝑗𝜔 + 1

Dividiendo por Vs: 𝑉𝑂 𝑗𝜔 = 𝑉𝑆 1 + 𝑗𝜔 𝑉

c. La magnitud de 𝑉𝑂 se obtiene de la siguiente manera 𝑆

|

𝑉𝑂 𝜔 |= 𝑉𝑆 √𝜔 2 + 1

Figura 2. d. De la Figura 2, se observa que la magnitud de la salida es mayor a frecuencias más altas. Por lo tanto, el circuito transfiere altas frecuencias de manera más efectiva a la salida.

Realizar los siguientes ejercicios del capítulo 11; 14, 19, 31, 36, 43, 47. 14.- Con referencia al circuito de dos mallas representado en la figura 11.29, determine la potencia promedio absorbida por cada elemento pasivo y la potencia promedio suministrada por cada fuente, y verifique que la potencia promedio total suministrada sea igual a la potencia promedio total absorbida. Malla 𝐼1 . 79∠ − 40° = 𝑗5𝐼1 + 𝑗7(𝐼1 − 𝐼2 ) 𝑗12𝐼1 − 𝑗7𝐼2 = 79∠ − 40° Malla 𝐼2 .

𝑗7(𝐼1 − 𝐼2 ) − 𝑗3,1𝐼2 + 152∠0° = 0 −𝑗7𝐼1 − 𝑗3,9𝐼2 = −152∠0° Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos que: 𝐼1 = 386,98∠ − 76,5° 𝐼2 = 656,73∠ − 75,8° La potencia promedio absorbida por cualquier elemento reactivo (inductor o condensador) es igual a cero. 𝑃𝑗5 Ω = 0 𝑊 𝑃𝑗7 Ω = 0 𝑊 𝑃−𝑗3,1 Ω = 0 𝑊 Como ya conocemos la potencia promedio es: 1 𝑃 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(𝜃 − 𝜙) 2 La corriente a través de la fuente de voltaje situada a la izquierda 𝑉 = 79∠ − 40° Así, 𝑉𝑚 = 79, 𝜃 = −40°, 𝐼𝑚 = 386,98; ∅ = −76,5°. Su potencia promedio suministrada es,

es

𝐼1 .

1 𝑃1 = (79)(386,98) cos(−40° + 76,5°) 2 𝑃1 = 12287,5 [𝑊] La corriente a través de la fuente de voltaje a la derecha Así, 𝑉𝑚 = 152, 𝜃 = 0°, 𝐼𝑚 = 656,73; ∅ = 104,2°. Su potencia promedio suministrada es,

𝑉 = 152∠0°

es

−𝐼2.

1 𝑃2 = (152)(656,73) cos(0° − 104,2°) 2 𝑃2 = −12247,7 [𝑊] Como todos los elementos pasivos son reactivos y su potencia promedio es cero, la potencia promedio absorbida total es cero. La potencia promedio total suministrada es, 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃1 + 𝑃2 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 12287,5 + 12243,7 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 43,8 [𝑊] Si se consideran todos los errores de redondeo, y el hecho de que la diferencia entre las dos fuentes (43.8) es un pequeño porcentaje de sus valores (≈ 12250), es aceptable considerar que la potencia promedio total suministrada es cero. Así, 𝐿𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑖𝑑𝑎 = 𝐿𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎.

19.- (a) Calcule la potencia promedio suministrada a cada elemento pasivo en el circuito de la figura 11.33. (b) Determine la potencia suministrada por cada fuente. (c) Reemplace la carga resistiva de 8 􏰀 con una impedancia capaz de tomar máxima potencia promedio del resto del circuito. (d) Verifique su solución mediante una simulación PSpice.

Supermalla: Resolución:

Ecuación 1: −𝑗9.6 = 𝐼1 (𝑗1.92 + 4.8) + 𝐼2 (8) Ecuación 2: 𝐼1 = −𝐼𝑥 Ecuación 3:

𝐼1 +1.6𝐼𝑥 −𝐼2 = 0

De la Ecuación 1, 2 y 3: −𝑗9.6 = −4.8𝐼𝑥 − 𝑗1.92𝐼𝑥 + 4.81𝐼𝑥 𝐼𝑥 =

9.6 1.92

𝐼𝑥 = 5 [𝐴] 𝐼2 = 0.65 𝐼2 = 3[𝐴] a) Potencia promedio en cada elemento pasivo: La potencia promedio que se entrega a cada elemento reactivo es cero en el estado permanente senoidal. Eso quiere decir que en el inductor la potencia promedio es cero y solo hallaremos la potencia en las resistencias. En la resistencia de 4.8 𝜴 : 𝐼 = 5 + 𝑗2 → 5.385< 21.8° 1

1

𝑃𝑝 = 2 𝐼 2 𝑚 × 𝑅 = 2 𝑥(5.385)2 𝑥4.8 = 69.6 [𝑊] En la resistencia de 8 𝜴 : 1

1

𝑃𝑝 = 2 𝐼 2 × 𝑅 = 2 𝑥32 𝑥8 = 36 [𝑊] b) La Potencia suministrada por cada fuente. En la Fuente dependiente: 𝑉 = (0.6𝑥5)8 = 24 [𝑉] 1

𝑃𝑝 = 2 𝑥24𝑥1.6𝑥5 = 96 [𝑊] En la fuente independiente:

𝑉 = 25.848 < 21.8° 𝐼 = −𝑗2 → 2 < −90° 1

𝑃𝑝 = 2 25.848𝑥2𝑥𝑐𝑜𝑠(21.848° − (−90)) = 9.6 [𝑊] 1

1

𝑃𝑝 = 2 𝐼 2 × 𝑅 = 2 𝑥32 𝑥8 = 36 [𝑊] c) Reemplace la carga resistiva de 8 con una impedancia capaz de tomar potencia máxima promedio del resto del circuito. Encontramos el voltaje de Thevenin en AB

𝐼𝑥 = 1.6𝐼𝑥 𝐼𝑥 = 0 Entonces el voltaje de Thevenin será: 𝑉𝑡ℎ = (−𝑗2)(4.8) 𝑉𝑡ℎ = −𝑗9.6 [𝑉] Hallando la corriente de Norton: −𝑗9.6 = 𝐼1 (𝑗1.92 + 4.8) 𝐼1 =

−𝑗9.6 𝑗1.92 + 4.8

𝐼1 = 1.86 < −111.8°[𝐴] En el nodo “P”: 1.6𝐼𝑥 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑁 = 0 𝐼𝑁 = 0.6𝐼𝑥 𝐼𝑁 = −1.86 < −111.8° [𝐴] Por máxima transferencia de potencia →𝑍=

𝑉𝑡ℎ 𝐼𝑁

−𝑗9.6

= 1.86<−111.8° = 5.16 < 21.8° → 4.79+1.92j

d) Verifique su solución mediante una simulación PSpice. En la resistencia de 4.8 𝜴:

La potencia promedio es la media del resultado obtenido en el vatímetro.

𝑃𝑝 =

123.873 = 61.93 [𝑊] 2

En nuestro calculo obtuvimos que la 𝑃𝑝 = 69.6 [𝑊] En la resistencia de 8 𝜴: 𝑃𝑝 =

74.2 = 37.1 [𝑊] 2

En nuestro calculo obtuvimos que la 𝑃𝑝 = 36 [𝑊]

En la fuente independiente:

𝑃𝑝 =

191.992 2

En la fuente dependiente:

= 95.99 [𝑊] En nuestro calculo obtuvimos que la 𝑃𝑝 = 96 [𝑊]

31.- Calcule la potencia promedio suministrada a cada carga, la potencia aparente suministrada por la fuente y el factor de potencia de la carga combinada si (a) 𝒁𝟏 = 𝟏𝟒∠𝟑𝟐°𝜴 y 𝒁𝟐 = 𝟐𝟐 𝜴 ; (b) 𝒁𝟏 = 𝟐∠𝟎°𝜴 𝒚 𝒁𝟏 = 𝟔 − 𝒋 𝜴; (c) 𝒁𝟏 = 𝟏𝟎𝟎∠𝟕𝟎°𝜴 y 𝒁𝟐 = 𝟕𝟓∠𝟗𝟎°𝜴. CIRCUITO I

Impedancia 𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 = 14∠32° + 22 ∠0° 𝑍𝑇 = 34.6756∠12.35°[𝛺] Corriente

𝐼𝑒𝑓 =

𝑉𝑒𝑓 119∠3° = 𝑍𝑇 34.6756∠12.35°

𝐼𝑒𝑓 = 3.4318∠ − 9.35° [𝐴] Voltaje 𝑉𝑍1 = 𝐼𝑒𝑓 ∗ 𝑍1 = 3.4318∠ − 9.35° ∗ 14∠32° 𝑉𝑍1 = 48.0452∠22.65° [𝑉] 𝑉𝑍2 = 𝐼𝑒𝑓 ∗ 𝑍2 = 3.4318∠ − 9.35° ∗ 22∠0° 𝑉𝑍2 = 75.4996∠ − 9.35° [𝑉] Potencia promedio 𝑃𝑇 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑) = 119 ∗ 3.4318 ∗ 𝑐𝑜𝑠(3 − (−9.35)) 𝑃𝑇 = 398.934[𝑊] 𝑃𝑍1 = 𝑉𝑍1 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑) = 48.0452 ∗ 3.4318 ∗ 𝑐𝑜𝑠(22.65 − (−9.35)) 𝑃𝑍1 = 139.827 [𝑊] 𝑃𝑍2 = 𝑉𝑍2 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑) = 75.4996 ∗ 3.4318 ∗ 𝑐𝑜𝑠(−9.35 − (−9.35)) 𝑃𝑍2 = 259.084 [𝑊] Factor de potencia carga combinada 𝑆𝑇 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 ∠𝜃 − 𝜑 = 119 ∗ 3.4318∠3 − (−9.35) 𝑆𝑇 = 408.384∠12.35 [𝑉𝐴] 𝐹𝑃𝑇 =

𝑃𝑇 398.934 = 𝑆𝑇 408.384

𝐹𝑃𝑇 = 0.9768 CIRCUITO II

Impedancia 𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 = 2∠0° + 6 − 𝑗 𝑍𝑇 = 8.06226∠ − 7.1250°[𝛺] Corriente 𝐼𝑒𝑓 =

𝑉𝑒𝑓 119∠3° = 𝑍𝑇 8.06226∠ − 7.1250°

𝐼𝑒𝑓 = 14.7601∠10.125° [𝐴]

Voltaje 𝑉𝑍1 = 𝐼𝑒𝑓 ∗ 𝑍1 = 14.7601∠10.125° ∗ 2∠0° 𝑉𝑍1 = 29.5202∠10.125° [𝑉] 𝑉𝑍2 = 𝐼𝑒𝑓 ∗ 𝑍2 = 14.7601∠10.125° ∗ 6 − 𝑗 𝑉𝑍2 = 89.7822∠0.6626° [𝑉] Potencia promedio 𝑃𝑇 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜃 − 𝜑) = 119 ∗ 14.7601 ∗ cos(3 − 10.125) 𝑃𝑇 = 1742.89 [𝑊] 𝑃𝑍1 = 𝑉𝑍1 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑) = 29.5202 ∗ 14.7601 ∗ 𝑐𝑜𝑠(10.125 − 10.125) 𝑃𝑍1 = 435.721 [𝑊] 𝑃𝑍2 = 𝑉𝑍2 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑) = 89.7822 ∗ 14.7601 ∗ 𝑐𝑜𝑠(0.6626 − 10.125) 𝑃𝑍2 = 1307.16 [𝑊] Factor de potencia carga combinada 𝑆𝑇 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 ∠𝜃 − 𝜑 = 119 ∗ 14.7601∠3 − 10.125° 𝑆𝑇 = 1756.45∠ − 7.125 °[𝑉𝐴] 𝐹𝑃𝑇 =

𝑃𝑇 1742.89 = 𝑆𝑇 1756.45

𝐹𝑃𝑇 = 0.9922 CIRCUITO III

Impedancia 𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 = 100∠70° + 75∠90° 𝑍𝑇 = 172.396∠78.557°[𝛺] Corriente 𝐼𝑒𝑓 =

𝑉𝑒𝑓 119∠3° = 𝑍𝑇 172.396∠78.557°

𝐼𝑒𝑓 = 0.6902∠ − 75.557° [𝐴] Voltaje 𝑉𝑍1 = 𝐼𝑒𝑓 ∗ 𝑍1 = 0.6902∠ − 75.557° ∗ 100∠70° 𝑉𝑍1 = 69.02∠ − 5.557° [𝑉]

𝑉𝑍2 = 𝐼𝑒𝑓 ∗ 𝑍2 = 0.6902∠ − 75.557° ∗ 75∠90° 𝑉𝑍2 = 51.765∠14.443° [𝑉] Potencia promedio 𝑃𝑇 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 cos(𝜃 − 𝜑) = 119 ∗ 0.6902 ∗ cos(3 − (−75.557)) 𝑃𝑇 = 16.2948 [𝑊] 𝑃𝑍1 = 𝑉𝑍1 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑) = 69.02 ∗ 0.6902 ∗ 𝑐𝑜𝑠(−5.557 − (−75.557)) 𝑃𝑍1 = 16.293 [𝑊] 𝑃𝑍2 = 𝑉𝑍2 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜑) = 51.765 ∗ 0.6902 ∗ 𝑐𝑜𝑠(14.443 − (−75.557)) 𝑃𝑍2 = 0 [𝑊] Factor de potencia carga combinada 𝑆𝑇 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 ∠𝜃 − 𝜑 = 119 ∗ 0.6902∠3 − (−75.557) 𝑆𝑇 = 82.1338∠78.557 [𝑉𝐴] 𝐹𝑃𝑇 =

𝑃𝑇 16.2943 = 𝑆𝑇 82.1338

𝐹𝑃𝑇 = 0.1983 36.- Suponiendo una frecuencia de operación de 40 rad/s para el circuito que se muestra en la figura 11.40 y una impedancia de carga de 50∠−100°Ω, calcule (a) la potencia instantánea suministrada individualmente a la carga y a la resistencia en puente de 1 kΩ en t = 20 ms; (b) la potencia promedio suministrada tanto a ambos elementos pasivos; (c) la potencia aparente suministrada a la carga; (d) el factor de potencia al cual opera la fuente.

Utilizamos las Ecuaciones de Resolución de Nodos 𝑉 𝑉 + = 275𝑥10−3 ∠20° 3 1𝑥10 50∠ − 100° (1𝑥103 ) + (5∠ − 100°) 𝑉( ) = 275𝑥10−3 ∠20° (1𝑥103 )(50∠ − 100°) Resolviendo V: (1𝑥103 ) + (5∠ − 100°) 𝑉 = 275𝑥10−3 ∠20°( ) (1𝑥103 )(50∠ − 100°) 𝑉 = 13.85∠ − 77.2° [𝑉] Utilizamos la Ley de Ohm para encontrar la corriente en la Resistencia

𝐼=

𝑉 𝑅

𝐼=

13.85∠ − 77.2° 1000

𝐼 = 13.85∠ − 77.2°[𝑚𝐴] Encontramos la Corriente 𝐼𝐿 utilizando la misma ley de Ohm 𝐼𝐿 =

13.85∠ − 77.2° 50∠ − 100°

𝐼𝐿 = 277∠22.8°[𝑚𝐴] Transformamos las Corrientes y Voltajes en Fasores que dependan del tiempo 𝐼𝑆 → 𝑖𝑠 (𝑡) = 275 cos(40𝑡 + 20°) 𝑚𝐴 𝐼 → 𝑖(𝑡) = 13.85 cos(40𝑡 − 77.2°) 𝑚𝐴 𝐼𝐿 → 𝑖𝐿 (𝑡) = 277 cos(40𝑡 + 22.8°) 𝑚𝐴 𝑉 → 𝑣(𝑡) = 13.85 cos(40𝑡 − 77.2°) 𝑉 Calculamos la Potencia Instantánea utilizando la siguiente Formula 𝑝𝐿 (𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑖𝐿 (𝑡) 𝑝𝐿 (𝑡) = 277𝑥10−3 cos(40𝑡 + 22.8°)𝑥13.85 cos(40𝑡 − 77.2°) 𝑝𝐿 (𝑡) = 3.84 cos(40𝑡 + 22.8°) cos(40𝑡 − 77.2°) Evaluamos cuando 𝑡 = 20 𝑚𝑠 𝑝𝐿 (20 𝑚𝑠) = 1.195 [𝑊] Calculamos la Potencia Instantánea en la resistencia utilizando 𝑝𝑅 (𝑡) = 𝑖 2 𝑅 𝑝𝑅 (𝑡) = (1 3.85 𝑥10−3 cos(40𝑡 − 77.2°))2 (1000) 𝑝𝑅 (𝑡) = 0.192𝑐𝑜𝑠 2 (40𝑡 − 77.2°)𝑊 Evaluamos cuando 𝑡 = 20 𝑚𝑠 𝑝𝑅 (20 𝑚𝑠) = 140 [𝑚𝑊] Recordamos que la potencia promedio entregada a una carga viene dada por 1 𝑃𝐿 = 𝑉𝑚 𝐼𝐿𝑚 cos(𝜃 − ∅) 2 1 𝑃𝐿 = (277𝑥10−3 )(13.85)cos(−77.2° − 22.8°) 2 𝑃𝐿 = −333.1 [𝑚𝑊] La potencia promedio entregada a la resistencia 1 𝑃𝑅 = 𝐼𝑚 2 𝑅 2

1 𝑃𝑅 = (13.85𝑥10−3 )2 (1000) 2 𝑃𝑅 = 95.9 [𝑚𝑊] Recordamos que la potencia aparente entregada a una carga viene dada por 1 𝑃𝐿,𝑎𝑝 = 𝑉𝑚 𝐼𝐿𝑚 2 1 𝑃𝐿,𝑎𝑝 = (277𝑥10−3 )(13.85) 2 𝑃𝐿,𝑎𝑝 = 1.92 [𝑉𝐴] Encontramos el Factor de Potencia 𝐹𝑃 = cos(𝜃𝑠 − ∅𝑠 ) 𝐹𝑃 = cos(−77.21° − 20°) 𝐹𝑃 = −0.125 43.- Con referencia a la red representada en la figura 11.21, si el motor toma una potencia compleja de 150/24° VA, (a) determine el FP con el que opera la fuente; (b) determine la impedancia del dispositivo correctivo necesario para cambiar el FP de la fuente a 0.98 en atraso. (c) ¿Es físicamente posible obtener un FP adelantado para la fuente? Explique.

La potencia compleja que se suministra al motor de inducción debe tener una parte real de 150 kW y un ángulo de 𝑐𝑜𝑠 −1 (0.914) o 24°. Por consiguiente, 𝑆1 =

150/24° = 164.114/24° 0.914

𝑆1 = 150 + 𝑗66.751 [𝐾𝑉𝐴] Para alcanzar un FP de 0.98, la potencia compleja total debe convertirse en 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 =

150 /𝑐𝑜𝑠 −1 (0.98) = 153.061/11.478° 0.98

𝑆 = 150 + 𝑗30.458 [𝐾𝑉𝐴] Por lo tanto, la potencia compleja consumida por la carga correctiva se obtiene mediante 𝑆2 = 𝑆 − 𝑆1 𝑆2 = 150 + 𝑗30.458 − (150 + 𝑗30.458) 𝑆2 = −𝑗36.293 [𝐾𝑉𝐴]

La impedancia de carga necesaria Z2 se determinaría con varios pasos sencillos. Elegimos el ángulo de fase de 0° para la fuente de tensión, y por lo tanto la corriente que atraviesa Z2 es 𝑰∗𝟐 =

𝑆2 −𝑗36293 = = −𝑗157.796 𝐴 𝑽 230

o 𝑰2 = 𝑗157.796 [𝐴] En consecuencia, 𝒁2 =

𝑽 230 = = 1.458/−90° 𝑰2 𝑗157.796

𝒁2 = −𝑗1.458 Si la frecuencia de operación es de 60 Hz, a esta carga se le puede proveer de un capacitor de 1 819 µF conectado en paralelo con el motor. Sin embargo, su costo inicial, mantenimiento y depreciación deben solventarse mediante la reducción del recibo de pago de consumo eléctrico. 47.- Calcule la potencia compleja suministrada a cada componente pasivo del circuito que semuestra en la figura 11.45, y determine el factor de potencia de la fuente. 𝑍1 = 15 − 𝑗25 𝑍1 = 29.155∠ − 59.036°[Ω]

𝑍2 =

𝑍2 =

(29.155∠ − 59.036°) ∗ (10) (15 − 𝑗25) + 10

𝑍2 =

(291.55∠ − 59.036°) (25 − 𝑗25)

(291.5∠ − 59.036°) (35,355∠ − 45°)

𝑍2 = 8,246∠ − 14.036°[Ω] 𝑍2 = 8 − j2 𝑍(𝑒𝑞𝑢𝑖) = (8 − j2) + j30 𝑍(𝑒𝑞𝑢𝑖) = 8 + 𝑗28 𝑍(𝑒𝑞𝑢𝑖) = 29.12∠74.055°[Ω] 𝐼(𝑒𝑞𝑢𝑖) =

50∠ − 17° 29.12∠74.055°

𝐼(𝑒𝑞𝑢𝑖) = 1.717∠ − 91.055°[𝐴] 𝑉 = (1.717∠ − 91.055°) ∗ (8,246∠ − 14.036°) 𝑉 = 14.158∠ − 105.086°[𝑉] 𝑉𝑗30 = (30∠90°) ∗ (1.717∠ − 91.055°)

𝑉𝑗30 = 51.51∠ − 1.055° 𝑆𝑗30 = (51.51) ∗ (1.717)∠(−1.055 + 91.055)° 𝑆𝑗30 = 88.443∠90° 𝐼(15) =

14.158∠ − 105.086° 15

𝐼(15) = 0.944∠ − 105.086°[𝐴] 𝑆15 = (14.158) ∗ (0.944)∠ − 105.086 + 105.086 𝑆15 = 13.365∠0° 𝐼10 =

14.158∠ − 105.086° 10

𝐼10 = 1.416∠ − 105.086°[𝐴] 𝑆10 = (14.158) ∗ (1.416)∠ − 105.086 + 105.086° 𝑆10 = 20.048∠0° 𝐼−𝐽25 =

14.158∠ − 105.086° 25∠ − 90°

𝐼−𝐽25 = 0.566∠ − 15.086°[𝐴] 𝑆−𝑗25 = (0.566) ∗ (14.158)∠ − 105.086 + 15.086° 𝑆−𝑗25 = 8.013∠ − 90°