Derivada Direccional Y Vector Gradiente

Derivada direccional y vector gradiente

Figura 1 En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de curvas de nivel de la función temperatura T ( x, y) para los estados de California y Nevada a las 3 pm de un día de octubre. Las curvas de nivel unen localidades con la misma temperatura. La derivada parcial Tx en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia si viaja hacia el este desde Reno; Ty es la razón de cambio de la temperatura si viaja hacia el norte. Pero ¿Qué sucede si queremos saber la razón de cambio de la temperatura cuando viaja al sureste? En esta sección se estudia un tipo de derivada, que se denomina derivada direccional, que permite calcular la razón de cambio de una función de dos o más variables en cualquier dirección. La derivada direccional de f : D  Rn  R en el punto x  D y en la dirección de u

vector

n

unitario de R denotada por D u f ( x) se define por

D u f ( x)  lim

h0

f ( x  hu )  f ( x) , h

Siempre que exista. A esta definición la podemos particularizar considerando a D  R2 y deseamos encontrar la razón de cambio de z  f ( x, y) en ( x0 , y0 ) en la dirección de un vector unitario u  (a, b) . Para hacer esto considere la superficie S cuya ecuación es z  f ( x, y) , y z0  f ( x0 , y0 ) . Entonces el punto P( x0 , y0 , z0 ) queda en S. El plano vertical que pasa por P en la dirección de u corta a S en una

1

curva C (véase figura 2). La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de u.

Figura 2 Luego, para este caso, la definición de derivada direccional de f en ( x0 , y0 ) en la dirección de un vector unitario u  (a, b) es D u f ( x0 , y0 )  lim

h0

f ( x0  ha, y0  hb)  f ( x0 , y0 ) h

Si existe este límite. Los teoremas dados a continuación nos ayudaran a evitar el uso del límite. Teorema Si f : D  calcula por la fórmula:

n



es una función diferenciable, entonces la derivada direccional se

Du f ( x1 ,...xn ) 

f f f u 1 u2  ......  un x1 x2 xn

…………. (1)

Teorema Si z  f ( x, y) es una función diferenciable de x, y , y u = cos i  sen j es un vector unitario, entonces

Du f ( x, y) 

f f cos   sen  x y

donde  es el ángulo formado por el vector u con el eje OX .

2

Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la función f ( x, y)  x2  3xy 2 en el punto P(1,2) en la dirección que va desde el origen hacia este punto.

Solución f x

 2x  3y2

( 1,2)

 14 ;

( 1,2)

f y

 6 xy

( 1, 2)

 12 ; además u 

(1,2)

 1 2  v (1, 2)   , . 2 2 v  5 5 1 2

 1   2  38 Por lo tanto D u f (1, 2)  14  .   12   5  5  5

Ejemplo 2 Hallar la derivada de la función f ( x, y )  x3  xy  2 y 2 en el punto P( 1, 2 ) y en la dirección que va desde este punto al punto N( 4,6 ) Solución Sea a  PN  N  P  (4,6)  (1,2)  (3,4)  a  5 . El vector unitario es   f x

 3x 2  y ( 1,2)

( 1,2)

1;

f y

 x  4 y

( 1, 2)

a

3 4  ( , ), 5 5 a

 9 . Por lo tanto

(1,2)

33  3  4 D u f (1, 2)  1   9     . 5 5  5

Ejemplo 3 Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x,y) cerca de un aeropuerto está dado por 1 f ( x, y )  7400  4 x  9 y  (0.03) xy  180 (con las distancias x y y medidas en kilómetros). Suponga que su avión despega del aeropuerto en la ubicación P(200,200) y se sigue al noreste en la dirección especificada por el vector v  (3,4) ¿Cuál es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observará?

Solución Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo como uno que sí lo sea y que este en la misma dirección: v (3, 4) 3 4 u  ( , ). 2 2 v 5 5 3 4 Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce

3

4 1  3  1 Du f ( x, y )     4  (0.03) y      9  (0.03) x  .   5  180   5  180  Cuando se sustituye x  y  200 , se encuentra que

18  3  1   4  15  Du f ( P)      0.1       180  5  180   5  180  Esta tasa instantánea de cambio -0.10C/Km significa que se observará en un inicio una disminución de 0.10C en la temperatura por cada kilómetro que se viaje.

Ejemplo 4 Del ejemplo anterior haciendo 1 w  f ( x, y )  7400  4 x  9 y  (0.03) xy  , 180 (Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros) observamos que la derivada direccional de la función temperatura es 0 dw C  Du f ( P)  0.1 ds km En el punto P(200,200) en dirección del vector u  (3,4) . Si un avión sale del aeropuerto en P y vuela en dirección de u con velocidad v  ds dt  5 km/min, entonces, la ecuación (1) proporciona

0 0 dw dw ds  C   km  C  .   0.1   5   0.5 .  dt ds dt  km   min  min

Así, se observa una tasa inicial de disminución de medio grado de temperatura por minuto.

4

Gradiente de una función Si f : D  Rn  R es una función diferenciable, entonces el gradiente de f es el vector definido por  f f f  f ( x)   , ,......,  xn   x1 x2

Interpretación del vector gradiente El vector gradiente f tiene una interpretación importante que involucra el máximo valor posible de la derivada direccional de la función f derivable en un punto P dado. Si  es el ángulo entre f ( P) y el vector unitario u (como se muestra en la figura),

f

u



entonces la ecuación (1) da

Du f ( P)  f ( P).u  f ( P) u cos   f ( P) cos  porque u  1 . El valor máximo posible de cos  es 1, y esto se consigue cuando   0 . Es decir, cuando u es el vector unitario particular m  f ( p) f ( p) , que apunta en dirección del vector gradiente f ( p) la derivada direccional alcanza su máximo valor. En este caso la fórmula anterior lleva a

max Du f ( P)  f ( p) El cual representa el valor máximo de la derivada direccional.

Resumen: 1.

Du f ( x1 ,...x n )  f ( x1 , x2 ,...., x n )(u 1, u2 ......u n)

5

2. El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado, mientras que el gradiente cambiado el signo señala la dirección de máxima disminución. 3. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo es decir f ( x)  max Du f ( x) . 4. El valor mínimo de la derivada direccional es  f ( x) y ocurre cuando u y f ( x) tienen direcciones opuestas (cuando cos   1 ). 2

Ejemplo 5 Dada la función f ( x, y )  x  y

2

a) Calcula D u f ( x) en el punto P (1,2) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con el sentido positivo del eje OX. b)

Calcula máx. D u f ( x) Solución 1

f 3  ; además x 2 2 

a) u  (cos 60,sin 60)   ,

 2x

( 1,2)

 2;

( 1,2)

f y

 2y

( 1,2)

 4 , luego

( 1,2)

1 3 Du f ( x)   2, 4   ,   1  2 3 . 2 2 

b) f (1,2)  (2,4)  max D u f ( x)  f ( x)  22  42  2 5 . Ejemplo 6 Ahora suponga que la función de temperatura del ejemplo 4 se reemplaza con 1 w  f ( x, y, z )  7400  4 x  9 y  (0.03) xy   2 z 180 El término adicional -2z corresponde a una disminución de 20C en la temperatura por kilometro de altitud z. Suponga que un halcón esta inmóvil en el aire, en el punto P (200, 200,5) y sobre el aeropuerto desciende en forma súbita a la velocidad de 3km/min en la dirección especificada por el vector (3,4,-12). ¿Cuál es la tasa de cambio instantánea que experimenta el ave? Solución El vector unitario en la dirección del vector (3, 4,-12) es

u

(3, 4, 12)

3 4 12 ( , , ) 13 13 13 32  42  (12)2

El vector gradiente de temperatura

6

f ( P)  

1 1 [4  (0.03) y]i  [9  (0.03) x] j  2k 180 180

Tiene el valor f ( P)  

10 15 i j  2k 180 180

En la posición inicial del halcón, P(200,200,5) . Por lo tanto, la tasa de cambio de la temperatura para el ave respecto a la distancia es: 0 dw 10 3 15 4 12 C  Du f ( P)  f ( P).u  ( )( )  ( )( )  (2)( )  1.808 . ds 180 13 180 13 13 km ds  3km / min , por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura que dt experimenta el halcón es

Su velocidad es de

0 0 dw dw ds  C   km  C  .  1.808  5.424 .  5  dt ds dt  km   min  min

Así, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto conforme desciende hacia la tierra.

Ejemplo 7 Del ejemplo anterior, sabemos que la función de temperatura es

w  f ( x, y, z ) 

1 7400  4 x  9 y  (0.03) xy   2 z 180

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros). ¿En qué dirección debe descender un halcón que comienza en el punto P(200,200,5) a una altitud de 5 Km, afín de calentarse lo más rápido? ¿Qué tan rápido subirá su temperatura conforme el ave baje a una velocidad de 3 km/min? ¿Cuál será la dirección de la brújula y el ángulo de descenso conforme vuele en esa dirección particular? (Tarea)

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En cada ejercicio calcular la derivada direccional de f en el punto P para el cual  es un vector unitario en la dirección de PQ . a)

f ( x, y)  e x cos y  e y sen x P(1, 0) , Q(3, 2) . 7

b)

f ( x, y)  x 2  xy  y 3 . P(1, 2) , Q(1,3) .

c)

f ( x, y)  e x arctg y. P(0, 2) , Q(2,5) .

2. Calcula en cada caso, el gradiente y el valor máximo de la derivada direccional de la función en el punto que se indica: a) f ( x, y ) 

y en el punto (1,1) 2 x  y2

c) f ( x, y, z )  ze x cos y en el punto (0,

3. Dada la función

b) f ( x, y ) 

 ,1) 4

x2 en el punto (2,1) x y

d) f ( x, y)  x 2  y 2 en el punto (2,1)

f ( x, y, z)  ( x  1)2  2( y  1)2  3( z  2)2  6 , encontrar la derivada

direccional de la función en el punto (2, 0,1) en la dirección del vector i  j  2k . 4. Hallar la derivada de la función  

1 , donde r 2  x 2  y 2  z 2 , en la dirección del gradiente. r

5. Calcular la derivada de la función z  x 2  y 2 en el punto M (1,1) en la dirección del vector que forma un ángulo de 600 con el sentido positivo del eje x . 6. Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de f ( x, y)  ye xy en el punto

(0, 2) tiene el valor 1. 7. Encuentra la dirección y sentido en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo más rápidamente posible en el punto P indicado en cada caso, y encuentra la razón de decrecimiento en esa dirección. a) f ( x, y)  20  x2  y 2 ;

P  (1, 3)

c) f ( x, y)  cos(3x  y);

P( , ) 6 4

 

b) f ( x, y)  e xy ; P(2,3) d)

f ( x, y ) 

x y ; P  (3,1) x y

8. En una montaña la elevación z por sobre el punto  x, y  en el plano XY horizontal al nivel del mar es de z  2000  2 x2  4 y 2 pies. El eje positivo de las abscisas apunta al este y el eje positivo de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en el punto (20, 5,1100). a) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el oeste, ¿subirá o bajara? ¿Con que rapidez? b) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el noreste, ¿subirá o bajara? ¿Con que rapidez? c) ¿Qué dirección ha de marcar la brújula para que el alpinista avance en el mismo nivel?

8

9. La temperatura en un punto  x, y  de una placa metálica en el plano XY es T ( x, y ) 

xy 1  x2  y 2

grados Celsius. a) Encuentra la razón de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la dirección y sentido del vector (2,-1). b) b) Una hormiga que está en el punto (1,1) quiere caminar en la dirección y sentido en que la temperatura disminuye más rápidamente. Encuentra un vector unitario en esta dirección y sentido. 10. Investigación Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo y D  250  30 x 2  50sen , 0 x 2 , 0 y 2 2 donde D es la profundidad en metros, y x y y son las distancias en kilómetros. a) Utilizar un sistema computacional para representar gráficamente la superficie. b) Como la gráfica del apartado a) da la profundidad, no es un mapa del fondo del océano. ¿Cómo podría modificarse el modelo para que se pudiera obtener una gráfica del fondo del oceano? c) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las coordenadas x  1 y y  0.5 ? d) Determina la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el barco. e) Determina la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo en el punto donde se encuentra el barco. 11. Temperatura La temperatura en el punto ( x, y) de una placa metálica se modela mediante T ( x, y)  400e( x  y ) 2 , 0  x , 0  y a) Utilizar un sistema computacional para graficar la función de distribución de temperatura. b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el calor. c) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3,5) . 2

12. En las cercanías de una boya, la profundidad de un lago en el punto de coordenadas ( x, y) es

z  200  0.02 x2  0.001y3 , donde x, y y z se miden en metros. Un pescador en un bote pequeño parte del punto (80,60) y se dirige hacia la boya, la cual se ubica en el punto (0,0) . ¿El agua bajo el bote se hace más somera o más profunda cuando el pescador parte? Explique. 13. La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1,2,2) es 1200 .

9

a) Determine la razón de cambio de T en (1,2,2) en la dirección hacia el punto (2,1,3) . b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la dirección de incremento más grande de temperatura está definido por un vector que señala hacia el origen. 14. La temperatura es T

T ( x, y, z )  a)

grados en cualquier punto

( x, y, z ) en el espacio

R3 y

60 , la distancia se mide en pulgadas. x  y  z2  3 2

2

Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3, 2, 2) en la dirección del vector 2i  3 j  6k .

b)

Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en (3, 2, 2) .

15. La función f ( x, y, z ) tiene en el punto P(2, 3,5) las derivadas direccionales

1 en la dirección 3

3 5

1 en la dirección al punto 4 C (4, 2, 7) . Calcular la derivada direccional de f en la dirección al punto D(1,3, 6) .

al punto A(0,1,9) ,  en la dirección al punto B(5, 3,1) y

10