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Desarrollo
Primera parte (punto 1 al 4). Halle el Γ‘rea S de la superficie de revoluciΓ³n que se forma π₯2
1
al girar la grΓ‘fica de π(π₯) = ( 2 ) + 2 sobre el intervalo cerrado [0, 1] alrededor del eje Y. Interprete el resultado usando la grΓ‘fica del ejercicio generada en Geogebra.
Dado que la formula para calcular el area de superficie es: π
π΄ = 2π β« π (π₯)β1 + [π β² (π₯)]2 ππ₯ π 1
π₯2 1 π₯2 1 π = 2π β« (( ) + ) β1 + π β² (( ) + ) ππ₯ 2 2 2 2 0
De forma tal que: 1 π₯2 1 π₯2 π = 2π β« (( ) + ) β1 + π β² (( )) ππ₯ 2 2 2 0 1 π₯2 1 π = 2π β« (( ) + ) β1 + π₯ ππ₯ 2 2 0
Se integra 1 π₯2 1 β« (( ) + ) β1 + π₯ ππ₯ 2 2 0
π = 2π (
3 ln(βπ₯ 2 + 1 + π₯) + β(π₯ 2 + 1)(2π₯ 3 + 5π₯) 1 ) 0 16 π = 2π (
3 πππ ππβ(1) + 7β2 ) 16
3 πππ ππβ(1) + 7β2 π=π ( ) 8 π = 4.93
Por tanto, el Γ‘rea superficial es igual a 4.93 unidades de superficie.
Segunda parte (punto 5 al 8). Por medio de las integrales podemos hallar volΓΊmenes de sΓ³lidos de revoluciΓ³n utilizando diferentes tΓ©cnicas, momentos y centros de masa.
8. Halle el centroide de la regiΓ³n acotada por las grΓ‘ficas de π¦ + π₯ 2 = 6 y π¦ + 2π₯ β 3 = 0 Considere las fΓ³rmulas del centroide de la regiΓ³n en el plano: b
__
Ce( x ) ο½ x ο½
My A
ο½
ο² x[ f ( x) ο g ( x)]dx a b
;
ο² [ f ( x) ο g ( x)]dx a
b
__
Ce( y ) ο½ y ο½
Mx ο½ A
1 [ f 2 ( x) ο g 2 ( x)]dx ο² 2a b
ο² [ f ( x) ο g ( x)]dx a
Regiones acotadas π¦ + π₯2 = 6 π¦ = 6 β π₯ 2 (1) π¦ + 2π₯ β 3 = 0 π¦ = 3 β 2π₯ (2)
Ya que las coordenadas del centroide vienen dadas por:
π
πΆπ(π₯)
πΆπ(π¦)
ππ¦ β«π π₯[π(π₯) β π(π₯)]ππ₯ = π₯Μ
= = π π΄ β«π [π(π₯) β π(π₯)]ππ₯
1 π 2 2 ππ₯ 2 β«π [π (π₯) β π (π₯)]ππ₯ = π¦Μ
= = π π΄ β« [π(π₯) β π(π₯)]ππ₯ π
Primero se debe determinar A, por lo que:
π
π΄ = β« [π(π₯) β π(π₯)]ππ₯ π π
π΄ = β« (6 β π₯ 2 ) β (3 β 2π₯)ππ₯ π
Se encuentra los valores en los que las regiones se interceptan y para ello: 6 β π₯ 2 = 3 β 2π₯ 6 β π₯ 2 + 2π₯ β 3 = 0 βπ₯ 2 + 2π₯ + 3 = 0 π₯ = β1 π¦ π₯ = 3 Con lo que a = -1 y b = 3 3
π΄ = β« (6 β π₯ 2 ) β (3 β 2π₯)ππ₯ β1 3
3
3
3
π΄ = β« 6ππ₯ β β« π₯ 2 ππ₯ β β« 3ππ₯ + β« 2π₯ππ₯ β1
β1
3
β1
3
β1 3
3
2
π΄ = 6 β« ππ₯ β β« π₯ ππ₯ β 3 β« ππ₯ + 2 β« π₯ππ₯ β1
β1
π΄ = 6π₯ β
β1
β1
π₯3 π₯2 β 3π₯ + 2 ( ) 3 2
π΄ = 10.67
Ahora calculamos ππ¦ : π
ππ¦ = β« π₯(6 β π₯ 2 ) β π₯(3 β 2π₯)ππ₯ π 3
ππ¦ = β« π₯(6 β π₯ 2 ) β π₯(3 β 2π₯)ππ₯ β1 3
ππ¦ = β« 6π₯ β π₯ 3 β 3π₯ + 2π₯ 2 ππ₯ β1
ππ¦ = 6 (
π₯2 π₯4 π₯2 π₯3 ) β ( ) β 3( ) +2( ) 2 4 2 3
π₯4 π₯2 π₯3 ππ¦ = 3π₯ β ( ) β 3 ( ) + 2 ( ) 4 2 3 2
ππ¦ = 10.67 Ahora calculamos ππ₯ : 1 π ππ₯ = β« [π 2 (π₯) β π2 (π₯)]ππ₯ 2 π 1 3 ππ₯ = β« (6 β π₯ 2 )2 β (3 β 2π₯)2 ππ₯ 2 β1 1 3 ππ₯ = β« 36 β 12π₯ 2 β π₯ 4 β (9 β 12π₯ β 4π₯ 2 )ππ₯ 2 β1 1 π₯ 5 16π₯ 3 ππ₯ = ( β + 6π₯ 2 + 27π₯) 2 5 3 ππ₯ =
416 = 27.73 15
Ahora calculamos los puntos del centroide: πΆπ(π₯) = π₯Μ
= πΆπ(π₯) =
ππ¦ π΄
10.67 β1 10.67
πΆπ(π¦) = π¦Μ
= πΆπ(π¦) = π¦Μ
=
ππ₯ π΄
27.73 β 2.60 10.67
Por lo que el centroide se encuentra en πΆπ = (1, 2.60)
Tercera parte (punto 9 al 12). Existen numerosas aplicaciones del cΓ‘lculo integral a las ciencias como en la fΓsica (trabajo y movimiento), en la hidrΓ‘ulica (bombeo de lΓquidos), en la estadΓstica, en la economΓa y en las ciencias sociales.
12. El costo marginal de un artΓculo cuando se producen x unidades es de β2π₯ 2 + 70π₯ + 8500 pesos por cada unidad, si el costo total de producciΓ³n de las 7 primeras es $50000. ΒΏcuΓ‘l es el costo total de producciΓ³n de las 30 primeras unidades?
Dada que la funciΓ³n para evaluar el costo margina es: πΆπ‘ = β« β2π₯ 2 + 70π₯ + 8500 ππ₯
Integramos y tenemos que: πΆπ‘ = (β
2π₯ 3 ) + 35π₯ 2 + 8500π₯ + πΆ 3
Dado que conocemos el valor para las primeras 7 semanas, sabemos el costo total el cual se usarΓ‘ para determinar el valor de la constante C:
2 50000 = (β ) π₯ 3 + 35π₯ 2 + 8500π₯ + πΆ 3
Dado que este es el valor de las primeras 7 semanas: 2 50000 = (β ) (7)3 + 35(7)2 + 8500(7) + πΆ 3 πΆ = β10986.33
Teniendo la constante, reemplazamos en la formula del costo marginal πΆπ‘ = (β
2π₯ 3 ) + 35π₯ 2 + 8500π₯ β 10986.33 3
Dado que buscamos el calor cuanto x = 30, entonces:
2(30)3 πΆπ‘(30) = (β ) + 35(30)2 + 8500(30) β 10986.33 3
πΆπ‘(30) = $257513.67
Por lo que el costo para las primeras 30 semanas es de: $257513.67