Desarrollo

Desarrollo

Primera parte (punto 1 al 4). Halle el área S de la superficie de revolución que se forma 𝑥2

1

al girar la gráfica de 𝑓(𝑥) = ( 2 ) + 2 sobre el intervalo cerrado [0, 1] alrededor del eje Y. Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en Geogebra.

Dado que la formula para calcular el area de superficie es: 𝑏

𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥)√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎 1

𝑥2 1 𝑥2 1 𝑆 = 2𝜋 ∫ (( ) + ) √1 + 𝑓 ′ (( ) + ) 𝑑𝑥 2 2 2 2 0

De forma tal que: 1 𝑥2 1 𝑥2 𝑆 = 2𝜋 ∫ (( ) + ) √1 + 𝑓 ′ (( )) 𝑑𝑥 2 2 2 0 1 𝑥2 1 𝑆 = 2𝜋 ∫ (( ) + ) √1 + 𝑥 𝑑𝑥 2 2 0

Se integra 1 𝑥2 1 ∫ (( ) + ) √1 + 𝑥 𝑑𝑥 2 2 0

𝑆 = 2𝜋 (

3 ln(√𝑥 2 + 1 + 𝑥) + √(𝑥 2 + 1)(2𝑥 3 + 5𝑥) 1 ) 0 16 𝑆 = 2𝜋 (

3 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ(1) + 7√2 ) 16

3 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ(1) + 7√2 𝑆=𝜋 ( ) 8 𝑆 = 4.93

Por tanto, el área superficial es igual a 4.93 unidades de superficie.

Segunda parte (punto 5 al 8). Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución utilizando diferentes técnicas, momentos y centros de masa.

8. Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de 𝑦 + 𝑥 2 = 6 y 𝑦 + 2𝑥 − 3 = 0 Considere las fórmulas del centroide de la región en el plano: b

__

Ce( x )  x 

My A



 x[ f ( x)  g ( x)]dx a b

;

 [ f ( x)  g ( x)]dx a

b

__

Ce( y )  y 

Mx  A

1 [ f 2 ( x)  g 2 ( x)]dx  2a b

 [ f ( x)  g ( x)]dx a

Regiones acotadas 𝑦 + 𝑥2 = 6 𝑦 = 6 − 𝑥 2 (1) 𝑦 + 2𝑥 − 3 = 0 𝑦 = 3 − 2𝑥 (2)

Ya que las coordenadas del centroide vienen dadas por:

𝑏

𝐶𝑒(𝑥)

𝐶𝑒(𝑦)

𝑀𝑦 ∫𝑎 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑥̅ = = 𝑏 𝐴 ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥

1 𝑏 2 2 𝑀𝑥 2 ∫𝑎 [𝑓 (𝑥) − 𝑔 (𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑦̅ = = 𝑏 𝐴 ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

Primero se debe determinar A, por lo que:

𝑏

𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 𝑏

𝐴 = ∫ (6 − 𝑥 2 ) − (3 − 2𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Se encuentra los valores en los que las regiones se interceptan y para ello: 6 − 𝑥 2 = 3 − 2𝑥 6 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 −𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 3 Con lo que a = -1 y b = 3 3

𝐴 = ∫ (6 − 𝑥 2 ) − (3 − 2𝑥)𝑑𝑥 −1 3

3

3

3

𝐴 = ∫ 6𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥𝑑𝑥 −1

−1

3

−1

3

−1 3

3

2

𝐴 = 6 ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 −1

−1

𝐴 = 6𝑥 −

−1

−1

𝑥3 𝑥2 − 3𝑥 + 2 ( ) 3 2

𝐴 = 10.67

Ahora calculamos 𝑀𝑦 : 𝑏

𝑀𝑦 = ∫ 𝑥(6 − 𝑥 2 ) − 𝑥(3 − 2𝑥)𝑑𝑥 𝑎 3

𝑀𝑦 = ∫ 𝑥(6 − 𝑥 2 ) − 𝑥(3 − 2𝑥)𝑑𝑥 −1 3

𝑀𝑦 = ∫ 6𝑥 − 𝑥 3 − 3𝑥 + 2𝑥 2 𝑑𝑥 −1

𝑀𝑦 = 6 (

𝑥2 𝑥4 𝑥2 𝑥3 ) − ( ) − 3( ) +2( ) 2 4 2 3

𝑥4 𝑥2 𝑥3 𝑀𝑦 = 3𝑥 − ( ) − 3 ( ) + 2 ( ) 4 2 3 2

𝑀𝑦 = 10.67 Ahora calculamos 𝑀𝑥 : 1 𝑏 𝑀𝑥 = ∫ [𝑓 2 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)]𝑑𝑥 2 𝑎 1 3 𝑀𝑥 = ∫ (6 − 𝑥 2 )2 − (3 − 2𝑥)2 𝑑𝑥 2 −1 1 3 𝑀𝑥 = ∫ 36 − 12𝑥 2 − 𝑥 4 − (9 − 12𝑥 − 4𝑥 2 )𝑑𝑥 2 −1 1 𝑥 5 16𝑥 3 𝑀𝑥 = ( − + 6𝑥 2 + 27𝑥) 2 5 3 𝑀𝑥 =

416 = 27.73 15

Ahora calculamos los puntos del centroide: 𝐶𝑒(𝑥) = 𝑥̅ = 𝐶𝑒(𝑥) =

𝑀𝑦 𝐴

10.67 ≈1 10.67

𝐶𝑒(𝑦) = 𝑦̅ = 𝐶𝑒(𝑦) = 𝑦̅ =

𝑀𝑥 𝐴

27.73 ≈ 2.60 10.67

Por lo que el centroide se encuentra en 𝐶𝑒 = (1, 2.60)

Tercera parte (punto 9 al 12). Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.

12. El costo marginal de un artículo cuando se producen x unidades es de −2𝑥 2 + 70𝑥 + 8500 pesos por cada unidad, si el costo total de producción de las 7 primeras es $50000. ¿cuál es el costo total de producción de las 30 primeras unidades?

Dada que la función para evaluar el costo margina es: 𝐶𝑡 = ∫ −2𝑥 2 + 70𝑥 + 8500 𝑑𝑥

Integramos y tenemos que: 𝐶𝑡 = (−

2𝑥 3 ) + 35𝑥 2 + 8500𝑥 + 𝐶 3

Dado que conocemos el valor para las primeras 7 semanas, sabemos el costo total el cual se usará para determinar el valor de la constante C:

2 50000 = (− ) 𝑥 3 + 35𝑥 2 + 8500𝑥 + 𝐶 3

Dado que este es el valor de las primeras 7 semanas: 2 50000 = (− ) (7)3 + 35(7)2 + 8500(7) + 𝐶 3 𝐶 = −10986.33

Teniendo la constante, reemplazamos en la formula del costo marginal 𝐶𝑡 = (−

2𝑥 3 ) + 35𝑥 2 + 8500𝑥 − 10986.33 3

Dado que buscamos el calor cuanto x = 30, entonces:

2(30)3 𝐶𝑡(30) = (− ) + 35(30)2 + 8500(30) − 10986.33 3

𝐶𝑡(30) = $257513.67

Por lo que el costo para las primeras 30 semanas es de: $257513.67