Determine La Mediana Y Los Valores Correspondientes Al Primer Y Tercer Cuartiles En Los Siguientes Datos

EJERCICIO 12: Determine la mediana y los valores correspondientes al primer y tercer cuartiles en los siguientes datos.

• El primer paso para resolver este problema es ordenar todos los datos. Dando una inspección rápida al cuadro presentado podemos observar que los datos ya están ordenando de manera ascendente. 5.24

6.02

6.67

7.3

7.59

7.99

8.09

8.35

8.81

9.45

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9.61

10.37

10.39

11.86

12.22

12.71

13.07

13.59

13.89

15.42

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

• El segundo paso es determinar las posiciones del primer y tercer cuartil con la siguiente formula: 𝐿𝑝 = (𝑛 + 1) ∗

(𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒) 100

• La cantidad total de datos es (n): 20 • Para el primer cuartil: 𝐿1 = (20 + 1) ∗

(25) = 5.26 100

• Para el tercer cuartil: 𝐿3 = (20 + 1) ∗

(75) = 15.75 100

• Para calcular el valor de cuartil deseado, usamos: 𝑄𝑋 = 𝐴 + (𝐵 − 𝐴) ∗

(𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒) 100

A: Valor de la primera posición B: Valor de la segunda posición • Ahora el primer cuartil está en la posición 5.26, es decir entre 7.59 y 7.99, entonces 𝑄1 = 7.59 + (7.99 − 7.59) ∗

(25) = 7.69 100

• Ahora el tercer cuartil está en la posición 15.75, es decir entre 12.22 y 12.71, entonces 𝑄3 = 12.22 + (12.71 − 12.22) ∗

(75) = 12.34 100

• Interpretación para el 𝑄1: El 25% de los datos observados son menores que 7.69 y el otro 75% son mayores a dicho número. • Interpretación para el 𝑄3 : El 75% de los datos observados son menores que 12.34 y el otro 25% son mayores a dicho número. EJERCICIO 14: Kevin Horn es el gerente nacional de ventas de National Textbooks, Inc. Cuenta con un personal de ventas conformado por 40 personas, las cuales hacen visitas a profesores universitarios en todo Estados Unidos. Cada sábado por la mañana solicita a su personal que le envíe un informe, que debe incluir, entre otras cosas, la cantidad de profesores que visitaron la semana anterior. En la lista de abajo, en orden de menor a mayor, aparece la cantidad de visitas de la semana pasada.

a) Determine la cantidad mediana de visitas. b) Determine el primer y tercer cuartiles. c) Determine el primero y el noveno deciles. d) Determine el 33o.percentil Solución a): 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =

40 = 20 2

Cuando hallamos determinado la posición, ubicamos qué dato(s) está(n) en dicha posición, pero como se trata de una cantidad par de datos de considera la posición 20 y 21. Entones: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =

57 + 59 = 58 2

Solución b):

• Usamos el mismo proceso que el problema 12). • Para el primer cuartil: 𝐿1 = (40 + 1) ∗

(25) = 10.25 100

• Para el tercer cuartil: 𝐿3 = (40 + 1) ∗

(75) = 30.75 100

• Ahora el primer cuartil está en la posición 10.25 es decir entre 51 y 52, entonces 𝑄1 = 51 + (52 − 51) ∗

(25) = 51.25 100

• Ahora el tercer cuartil está en la posición 30.75, es decir entre 66 y 66, entonces 𝑄3 = 66 + (66 − 66) ∗

(75) = 66 100

• Interpretación para el 𝑄1: El 25% de los datos observados son menores que 51.25 y el otro %75 son mayores a dicho número. • Interpretación para el 𝑄3 : El 75% de los datos observados son menores que 66 y el otro 25% son mayores a dicho número.

Solución c):

• Para el primer decil: 𝐷1 = (40 + 1) ∗

(10) = 4.1 100

• Para el noveno decil: 𝐷9 = (40 + 1) ∗

(90) = 36.9 100

• Ahora el primer decil está en la posición 4.1 es decir entre 45 y 48, entonces 𝐷1 = 45 + (48 − 45) ∗

(10) = 45.3 100

• Ahora el noveno decil está en la posición 36.9, es decir entre 71 y 77, entonces 𝐷9 = 71 + (77 − 71) ∗

(90) = 76.4 100

• Interpretación para el 𝐷1 : El 10% de los datos observados son menores que 45.3 y el otro %90 son mayores a dicho número. • Interpretación para el 𝐷9 : El 90% de los datos observados son menores que 76.4 y el otro 10% son mayores a dicho número.

Solución d):

Para este caso, se usan otras reglas para calcular el percentil, esta es: 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =

𝑖 ∗ (𝑛 + 1) 100

i: percentil n: número de elementos de la muestra • El resultado de realizar esta operación es un número real con parte entera E y parte decimal D. Teniendo en cuenta estos dos valores, aplicamos la siguiente función: Si D=0 (resultado entero), entonces el percentil es: 𝑃𝑖 = (𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎) Si la D≠0 (resultado decimal), el percentil es: 𝑃𝑖 = 𝐴 + (𝐵 − 𝐴) ∗ (𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙) A: Valor de la primera posición B: Valor de la segunda posición • Entonces determinamos la posición: 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =

33 ∗ (40 + 1) = 13.53 100

• Ahora observamos que el resultado está conformado por una parte entera y decimal: E=13, D=2; y está en la posición 13.53 es decir entre 53 y 54; por lo tanto, aplicando las condiciones que se nos presenta: 𝑃33 = 53 + (54 − 53) ∗ 0.53 = 53.53

• Interpretación: El 33% de los datos observados son menores de 53.53, mientras que el 67% son mayores a dicho valor. EJERCICIO 16: El diagrama de caja muestra el cargo interestatal de crédito por hora para carreras de cuatro años de estudiantes graduados en universidades públicas

a) Calcule la mediana. b) Calcule el primer y tercer cuartiles. c) Determine el rango intercuartil. d) ¿Más allá de qué punto se considera dato atípico un valor? e) Identifique cualesquiera datos atípicos y calcule su valor. f) ¿La distribución es simétrica, o tiene sesgo positivo o negativo?

Solución a): Por simple inspección el valor de la mediana es de 450; Solución b): El primer cuartil es de 300, y el tercer cuartil es de 700. Solución c): El rango intercuartil es de 400 (700-300). Solución d): Un valor más de 1.5 veces la amplitud del rango intercuartil más pequeño que Q1, o mayor que Q3. En este caso más allá de 1300 Solución e): El dato atípico es de 1500, lo marca con (*) Solución f): No es simétrica la distribución, y tiene sesgo positivo

EJERCICIO 18: Una muestra de 28 departamentos de tiempo compartido en el área de Orlando, Florida, reveló las siguientes tarifas diarias de una suite con una recámara. Por comodidad, los datos se encuentran ordenados de menor a mayor. Construya un diagrama de caja para representar los datos. Haga algún comentario sobre la distribución. Identifique el primer y tercer cuartiles, y la mediana.

Necesitamos solo 5 datos: 1.- Valor mínimo: 116 2.- Valor máximo: 353 3.- Primer cuartil: 𝐿1 = (28 + 1) ∗

(25) = 7.25 100

• Ahora el primer cuartil está en la posición 7.25 es decir entre 209 y 229, entonces 𝑄1 = 209 + (229 − 209) ∗

(25) = 214 100

𝑄1 = 214 4.- Tercer cuartil: 𝐿3 = (28 + 1) ∗

(75) = 21.75 100

• Ahora el tercer cuartil está en la posición 21.75, es decir entre 296 y 307, entonces 𝑄3 = 296 + (307 − 296) ∗

(75) = 304.25 100

𝑄3 = 304.25 5.- Mediana 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =

28 = 14 2

Cuando hallamos determinado la posición, ubicamos qué dato(s) está(n) en dicha posición, pero como se trata de una cantidad par de datos de considera la posición 14 y 15. Entones:

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =

246 + 260 = 253 2

Con esos datos ya podemos realizar nuestro diagrama de caja:

El primer cuartil es 214, la mediana es de 253 y el tercer cuartil es de 304.3. Observaciones: • Presenta un sesgo negativo. • La mediana no está centrada. • Los datos menores que el primer cuartil están más dispersos que los datos mayores a partir del tercer cuartil