Dimensi Tiga

  • Uploaded by: Farah Setiari
  • 0
  • 0
  • January 2021
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Dimensi Tiga as PDF for free.

More details

  • Words: 4,669
  • Pages: 18
Loading documents preview...
BAB III GEOMETRI A.

PENGERTIAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

Bangun-bangun yang mempunyai panjang, lebar, dan tinggi disebut bangun-bangun berdimensi tiga atau bangun-bangun ruang. Bangun-bangun yang hanya mempunyai panjang dan lebar tetapi tidak mempunyai tinggi disebut bangun-bangun berdiensi dua atau bangun datar. Begitu juga bangun-bangun yang hanya mempunyai panjang dan tidak mempunyai lebar dan tinggi disebut bangun berdimensi satu atau bangun garis. Setiap bangun, baik berdimensi dua atau tia akan memuat titik, garis atau bidang. Sehingga titik, garis dan bidang merupakan unsur dasar suatu bangun geometri. 1. Titik

A B M Gambar 1

Titik tidak mempunyai ukuran, artinya titik tidak Gambar 1 mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik dilukiskan dengan tanda noktah, kemudian dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik menggunakan huruf (kapital) seperti A, B, C, M, N atau X. 2. Garis

B

C

A Gambar 2 Agar kita memahami pengertian garis dengan baik, maka kita harus mengetahui perbedaan antararuas garis dan garis. Ruas garis AB mempunyai panjang tertentu yakni sebesar jarak antara titik A dan titik B. Akan tetapi garis mempunyai panjang tak hingga sehingga garis itu tidak mungkin dapat digambar seluruhnya, Gambar 2 saja atau yang mewakilinya saja. Dengan demikian garis yang melainkan yang dapat digambar hanya sebagian tergambar masih bisa diperpanjang. Pada gambar 2, ruas garis AB ≠ ruas garis BC, tetapi garis AB = garis BC karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama. 3. Bidang D

C

A

B

Gambar 3

Sama halnya dengan garis, maka di bidang pun kita harus memahami perbedaan antara daerah dan bidang. Daerah mempunyai luas tertentu, tetapi tidak Gambar 3 mempunyai luas tak terbatas sehingga untuk menggambar bidang, kita hanya menggambar sebagian saja sebagai perwakilan bidang tersebut.

68

Pada gambar 3, daerah ABCD ≠ bidang ABCD, tetapi bidang ABC = bidang ABCD karena bila diperluas akan mewakili bidang yang sama. Setelah memahami pengertian titik, garis dan bidang maka selanjutnya kita mempelajari kedudukan titik, garis, dan bidang dalam bangun berdimensi tiga. B.

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Kedudukan Titik terhadap Garis Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap garis, yaitu titik terletak pada garis dan titik di luas garis. a. Titik Terletak pada Garis Sebuah titik dikatakan terletak pada garis jika titik itu dilalui garis tersebut. b. Titik di Luar Garis Sebuah titik berada di luar garis, jika titik tidak dilalui garis. 2. Kedudukan Titik terhadap Bidang a. Titik Terletak pada Bidang Sebuah titik terletak pada bidang, jika titik dapat dilalui bidang. b. Titik di Luar Bidang Sebuah titik berada di luar bidang, jika titik tidak dapat dilalui bidang. Contoh 1 : Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini tentukanlah kedudukan : a. titik A terhadap rusuk AB, AD, dan AE. b. titik C terhadap diagonal AC, AH, dan EH. c. titik F terhadap bidang ABFE, BCHE, dan BDHF. d. titik H terhadap bidang ABCD, BCHE, dan ACGE a. b. c. d.

Penyelesaian : Titik A terletak pada rusuk AB, terletak pada rusuk AD, dan terletak pada rusuk AE. Titik C terletak pada diagoanal AC, terletak di luar diagonal AH, dan terletak pada diagonal CH. Titik F terletak pada bidang ABFE, terletak di luar bidang CDHG, dan terletak pada bidang BDHF. Titik H terletak di luar bidang ABCD, terletak pada bidang BCHE, terletak di luar bidang ACGE. Contoh2 : Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik-titik sudut kubus yang : a. Terletak pada garis EG. b. Berada di luar garis EG. c. Berada pada bidang ABCD. d. Berada di luar bidang ACH. Penyelesaian : a. Titik-titik yang terletak pada garis EG adalah titik E dan titik G. b. Titik-titik yang terletak di luar garis EG adalah titik A,B,C,D,F, dan H. c. Titik-titik yang terletak pada bidang ABCD adalah titik A,B,C, dan D. d. Titik-titik yang terletak di luar bidang ACH adalah B,D,E,f, dan G. 3. Kedudukan Garis terhadap Garis a. Dua Garis Berpotongan Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis terletak pada sebuah bidang memiliki sebuah titik persekutuan atau titik potong.

69

b. Dua Garis Sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar,jika kedua garis terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki titik persekutuan. c. Dua Garis Bersilangan Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika kedua garis tidak terletak pada sebuah bidang yang sama atau dua buah garis dikatakan bersilangan jika tidak dapat dibuat sebuah bidang yang melalui kedua garis tersebut. CATATAN : Kedudukan dua buah garis yang sebidang hanya ada dua kemungkinan yaitu sejajar atau berpotongan.

4. Kedudukan Garis terhadap Bidang Kedudukan garis terhadap sebuah bidang kemungkinannya adalah garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, atau garis menembus (memotong) bidang. a. Garis Terletak pada Bidang Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sedikitnya mempunyai dua titik persekutuan. b. Garis Sejajar Bidang Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak mempunyai satupun titik persekutuan. c. Garis Menembus atau Memotong Bidang Sebuah garis dikatakan menembus atau memotong bidang, jika garis dan bidang itu hanya memiliki satu titik persekutuan dengan titik persekutuan tersebut sebagai titik potong atau titik tembus. 1. 2. 3. 4.

Langkah – langkah menggambar titik tembus garis terhadap bidang : Gambarlah garis dan bidang tembus pada bangun ruang Gambarlah bidang ( bidang 𝛼) yang melalui garis tembus Buatlah garis potong antara bidang 𝛼 dan bidang tembus (garis g) Titik potong garis tembus dan garis g adalah titik tembusnya Contoh : Pada kubus ABCD.EFGH , gambarlah titik tembus AG pada bidang BDHF. Penyelesaian :

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Gambarlah garis AG dan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH Buatlah bidang melalui garis AG yaitu bidang ACGE Titik Q perpotongan AC dan DB ( Q pada bidang ACGE dan BDHF) Dan titik P perpotongan EG han HF ( P pada bidang ACGE dan BDHF) Tarik garis PQ Titik potong PQ dan AG di R Kesimpulan : R adalah titik tembus AG pada bidang BDHF. Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan rusuk-rusuk kubus yang : a. Berpotongan dengan BD, b. Sejajar dengan BC, c. Bersilangan dengan EG, 70

d. Terletak pada bidang ABCD, e. Sejajar dengan bidang ABCD, dan f. Menembus bidang ABCD. Penyelesaian : a. Rusuk yang berpotongan dengan BD adalah AC, BC, AB, AD, BF, dan DH. b. c. d. e. f.

Rusuk yang sejajar dengan BC adalah AD, EH, dan FG. Rusuk yang bersilangan dengan EG adalah DH, BF, AD, BC, AB, dan DC. Rusuk yang teretak pada bidang ABCD adalah AB, AD, BC, dan CD. Rusuk yang sejajar dengan bidang ABCD adalah EF, EH, FG, dan GH. Rusuk yang menembus bidang ABCD adalah AE, BF, CG, dan DH.

Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan kedudukan garis AB terhadap : a. garis AC b. garis AD c. garis EF d. garis AG e. garis EH Penyelesaian : a. Garis AB dengan garis AC berpotongan di titik A. b. Garis AB dan AD berpotongan tegak lurus di titik A. c. Garis AB dengan garis AB sejajar. d. Garis AB dan garis EG bersilangan. e. Garis AB dengan garis EH bersilangan tegak lurus. Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan kedudukan garis-garis EH, dan EFdan FG terhadap bidang BCGF. Penyelesaian : a. Garis EH sejajar dengan bidang BCGF. b. Garis EF berpotongan dengan bidang BCGF. c. Garis FG terletak pada bidang BCGF. 5. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Kedudukan antara dua buah bidang hanya ada tiga kemungkinan, yaitu sejajar, berimpit, atau berpotongan. a. Dua Bidang Sejajar Bidang V dan W dikatakan sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan. b. Dua Bidang Berimpit Bidang V dan W dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang V juga terletak pada bidang W atau sebaliknya. c. Dua Bidang Berpotongan Bidang V dan W dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat satu garis persekutuan yang disebut juga garis potong. Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan kedudukan garis-garis EH, EF dan FG terhadap bidang BCGF. 71

Penyelesaian : a. Garis EH sejajar dengan bidang BCGF. b. Garis EF berpotongan dengan bidang BCGF. c. Garis FG terletak pada bidang BCGF.

Latihan 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH . Titik P terletak pada pertengahan AE , titk Q terletak pada pertengahan DH dan titik L pada pertengahan HB. Tentukan hubungan : a. L dengan bidang CGH b. L dengan bidang DCFE c. L dengan bidang BEG d. L dengan garis AG e. P pada bidang AHB f. Q pada bidang AHD g. AC dengan EG h. AD dengan BG i. AC dengan FP j. FP dengan GP k. GP dengan FQ l. PQ dengan CF m. PL dengan bidang ABGH n. HP dengan bidang ABCD o. QL dengan bidang EFGH p. AE dengan bidang BCGE q. AE dengan bidang ABGH r. Bidang ABCD dan bidang CDEF s. Bidang ABGH dan bidang EFCD t. Bidang PQGF dan bidang ABCD 3. Pada kubus ABCD.EFGH,tentukan : a. bidang yang sejajar garis AE b. garis yang terletak pada bidang ADHE c. garis yang memotong bidang ABFE 4. Pada kubus ABCD.EFGH,lukislah : a. titik tembus BH pada bidang ACF b. titik tembus pada bidang BDHF, jika P adalah titik tengah GH c. titik tembus DP pada bidang ACH,jika P pada BF sehingga PF= 2 BP 5.

Salinlah gambar diatas dan tentukan titik tembus garis dan bidang berikut ! a. Titik tembus AP pada bidang BDT. b. Titik tembus PQ pada bidang TAC. c. Titik tembus PQ pada bidang TAC.

72

C. JARAK PADA BANGUN RUANG Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung kedua bangun itu yang terpendek dan bernilai positif serta tegak lurus di kedua bangun tersebut. 1. Jarak antara Titik dengan Titik Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Pada gambar 7.26 jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ yaitu d. P Q d jarak antara titik P dan Q adalah d. Contoh

:

Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm.tentukan jarak : a. titik A ke titik C

b. titik A ke titik G

Penyelesaian : a.

jarak titik A ke C adalah AC = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 = √62 + 62 cm = √72 =6√2 cm

b. perhatikan ΔACG jarak titik A ke G adalah AG = √𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 = √(6√2)2 + 62= √108 = 6√3 cm. 2.

Jarak antara Titik dengan Garis Jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis itu. Jarak antara titik P dengan garis G adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus terhadap garis g yaitu d.

3.

Jarak antara titik dengan Bidang Jarak antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dan menghubungkan titik tersebut dengan bidang. Jarak antara titik P dan bidang v adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus bidang v yaitu d. Contoh : Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 4 cm, AD = 3 cm, and AE = 5 cm. tentukan jarak titik F ke garis : a. AB Penyelesaian

b. DE

c. DG

:

a. FB tegak lurus AB, maka jarak F ke AB adalah FB = 5 cm. b. FE tegak lurus DE, maka jarak F ke DE adalah FE = 4 cm. c. FG tegak lurus DG, maka jarak F ke DG adalah FG = 3 cm.

73

Contoh : panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 4 cm. tentukan jarak titik F ke garis AC. Penyelesaian : Karena panjang rusuk 4 cm, maka : AC = AF = FC =4 √2 cm

G

H E

1

F

1

AF’ = 2AC = 2x 4 √2 cm =2 √2 cm. FF’ = √𝐴𝐹 2 − (𝐴𝐹′)2 = √(4 √2)2 − 2 √2

2

D

= √32 − 8cm= 2 √6 cm Jadi, jarak titik F ke garis AC adalah 2√6 cm.

A 4.

B

Jarak antara Garis dengan Garis Jarak antara dua sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Jarak antara garis g dan garis h adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus dengan garis g maupun garis h yaitu d. Contoh : panjang rusuk bidang empat beraturanD.ABCD adalah 4 cm. tentukanlah jarak rusuk AB dan CD. Penyelesaian : D

E’

A 2 cm

C E

4 cm B

(1) Bidang CDE adalah bidang melalui CD dan tegak lurus AB. (2) Titik E adalah titik potong garis AB dan bidang CDE. akibatnya

d(AB, CD) = d(E, CD) = EE’ DE = CE = √42 − 22 cm = √12 = 2√3 cm. EE’ = √2√3 − 22 = √8= 2√2 cm. Jadi, jarak garis AB dan CD adalah 2√2 cm. 74

5.

Jarak antara garis dengan Bidang Jarak antara garis dengan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dengan garis dan bidang tersebut. Jarak antara garis g dengan bidang v adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus garis g dan bidang v yaitu d Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH.tunjukan bahwa : a. Garis EA tegak lurus terhadap bidang ABCD, dan b. Garis BD tegak lurus terhadap bidang ACGE.

H

G

E

F D

C B

A

Penyelesaian : a. EA  AB, EA  AD, AB dan AD berpotongan, maka EA tegak lurus terhadap bidang ABCD. b. BD  AC, BD  PQ, AC dan PQ berpotongan, maka BD tegak lurus terhadap bidang ACGE. Contoh : Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm.tentukan jarak garis BD dengan bidang AFH Penyelesaian : Bidang ACGE tegak lurus terhadap bidang AFH. Sebut perpotongan garis BD dengan bidang ACGE adalah titik P.

E

G

H F D

A

B

d(BD, AFH) = d (P, AFH) = d (P, AQ) = PP’ 2 x𝐿∆𝐴𝑃𝑄 = 𝐴𝑄 1 2

2 x x 3√2 x 6

=

3√6

= 2√3

Jadi, jarak garis BD dan bidang AFH adalah 2√3 cm.

75

6.

Jarak antara Bidang dengan Bidang Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut. Jarak antara bidang V dengan bidang W adalah panjang ruas garis PQ yang tegak lurus pada bidang V dan bidang W yaitu d. Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8cm . TItik P,Q , dan R berturut-turut terletak pada pertengahan garis AB , BC , dan bidang ADHE . hitunglah jarak antara : a. Titik P ke titiK R b. Titik Q ke titik R c. Titik H ke garis AC H G

E

F R D

C

S

Q

A

P

B

Jawab : a. Perhatikan bahwa ∆PAR siku-siku di A. 1 AP = 2 𝐴𝐵 = 4𝑐𝑚 1

AR = 2 𝐴𝐻 =

1 √𝐴𝐷 2 + 𝐷𝐻 2 2 1 = 2 √82 + 82

= 4√2

PR = √𝐴𝑃2 + 𝐴𝑅 2 = √42 + ( 4√2 )2 = √48 = 4√3 b. Perhatikan bahwa ∆𝑄𝑅𝑆 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑆. 1 QS = 8cm dan RS = 2 𝐴𝐸 = 4𝑐𝑚 QR = √𝑄𝑆 2 + 𝑅𝑆 2 = √82 + 42 =√80 = 4√5 Jadi , jarak titi Q ke titik R adalah 4√5𝑐𝑚.

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6cm. Titik P dan Q berturut-turut merupakan pusat bidang EFGH dan ABCD . hitunglah jarak antara garis QF dengan DP .

76

Jawab : Perhatikan gambar di samping!

H G P E

F R D

BD = 6√2 𝑐𝑚

C

Q

A 1 = 2 𝐵𝐷

DQ = 3√2 𝑐𝑚 Karena ∆𝐷𝑃𝑄 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑖 𝑄 , 𝑚𝑎𝑘𝑎

B

DP = √𝐷𝑄 2 + 𝑄𝑃2 = √( 3√2 )2 + 62 = √54 = 3 √6 1 Luas ∆𝐷𝑃𝑄 = 2 . 𝐷𝑄 . 𝑃𝑄 = Sehingga

1 2

1 2

. 𝐷𝑃 . 𝑄𝑅

1 . 𝐷𝑃 . 𝑄𝑅 2 𝐷𝑄 . 𝑃𝑄 3 √2 . 6 = 𝐷𝑃 = 3 6 √

. 𝐷𝑄 . 𝑃𝑄 = QR

= 2 √3

Jadi, jarak antara garis QF dengan gais DP adalah Garis QR = 2 √3 Latihan 1. Diketahui ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 10cm . hitunglah jarak antara titik : a. Ake C c. B ke H e. D ke garis BH b. A ke G d. C ke garis BG f. B ke garis EG 2. Diketahui T.ABCD adalah limas tegak beraturan dengan rusuk alas 4cm dan rusuk tegak 6 cm. hitunglah jarak antara titik : a. A ke C c. A ke garis BD b. B ke T d. T ke garis CD 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8cm . Titik P terletak pada garis CG dengan PG = 3cm . lukislah bidang yang sejajar bidang BCHE dan melalui P . Hitunglah jarak kedua bidang tersebut . 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm . Titik P pada pertengahan CG , titik Q pada pertengahan AE , dan titik R pada pertengahan BF . Tentukan jarak antara bidang yang melalui titik H , P , dan Q dan bidang yang melalui R, E , dan G . 5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm . titik K , L , M , dan N berturut-turut terletak pada pertengahan BC, CG , DH , dan AD. Tentukan jarak antara bidang ABGH dan KLMN .

77

7. SUDUT PADA BANGUN RUANG

g

1300

500 H

gambar28 Sudut pada bangun ruang adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh dua garis berpotonga. Jadi, sudut yang dibentuk garis g dan h pada gambar 28 adalah 500 ditulis <(g, h) = 500. Karena sudut-sudut yang akan kita bicarakan di subbab ini adalah sudut dua garis bersilangan, sudut garis dan bidang, dan sudut dua bidang, maka tugas kita adalah melukis sudut dua garis berpotongan yang mewakilisudut-sudut tersebut diatas. Untuk jelasnya, marilah kita bahas sudut-sudut tersebut satu per satu. 1. Sudut antara dua garis bersilangan Jika garis g dan h bersilangan, maka sudut yang mewakili sudut antara garis g dan h adalah sudut yang dibentuk oleh suatu garis dengan h dimana garis tersebut sejajar dengan garis g dan memotong garis h. Langkah-langkah melukis sudut garis g dan h yang bersilangan. a. Lukis garis g’ yang sejajar garis gdan memotong h. b. Akibatnya, sudut (g, h) = sudut (g’, h)

g The g’ observing

h gambar 29 Sudut yang terlukis dapat dihitung dengan memperhatikan segitiga yang memuat sudut terrsebut. Untuk lebih jelasnya marilah perhatikan contoh dibawah ini. Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH. hitunglah besar sudut antara garis AH dan BC. Penyelesaian : garis BG adalah garis yang sejajar dengan garis AH dan memotong garis BC. Karena ΔBCG segitiga siku-siku sama kaki, maka α = 450 Jadi, besar sudut antara garis AH dan BC adalah 450 2. Sudut Antara Garis dan Bidang Sebelum kita membahas cara menentukan besar sudut antara garis dan bidang, kita akan mempelajari terlebih dahulu proyeksi titik dan garis pada suatu bidang.

78

Proyeksi titik A pada bidang 𝛼adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari titik A pada bidang α. Proyeksi A pada bidang α adalah A’

A

AA’ =Jarak titik A terhadap bidang Proyeksi suatu garis pada bidang umumnya berupa garis juga. AA A’ 𝛼 gambar 30 Perhatikan gambar 31 dibawah ini! Proyeksi garis AB pada bidang α, titik A terletak pada bidang α. B

A

B’

Gambar (31)

Pada gambar 31 , proyeksi titik A pada bidang α adalah A sendiri karena A pada bidang α dan proyeksi titik B pada bidang α adalah titik B’, sehingga proyeksi ruas garis AB pada bidang αadalah ruas garis AB’. Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan proyeksi dan panjang proyeksi : a. garis CG pada bidang ABFE. b. Garis HD pada bidang ABCD c. Garis CE pada bidang ABCD d. Garis AH pada bidang BDHF Penyelesaian : a. proyeksi CG pada bidang ABFE adalah BF, panjang BF = 6cm. b. Proyeksi HD pada bidang ABCD adalah titik D, panjangDD = 0 cm. c. Proyeksi CE pada bidang ABCD adalah garis AC, panjangnya = 6√2 cm. d. Perhatikan gambar dibawah!Proyeksi AH pada bidang BDHF adalah OH. Perhatikan segitiga siku-siku AOH

79

H

dalam ΔAOHberlaku :

G FF F

E

𝐴𝐻 2 =AO2+OH2 OH2 = 𝐴𝐻 2 - AO2= (6√2 )2 − (3√2 )2

D

OH = 3√6

C

O A

B

Jadi, panjang proyeksi AH pada bidang BDHF adalah 3√6. Sudut antara garis g dan bidang v adalah sudut terkecil yang dibentukoleh garis g dengan garis lain yang terletak pada bidang v. Agar sudut antara garis g pada bidang v terkecil, maka garis lain tersebut merupakan proyeksi garis g pada bidang v. g A

O

A’

g’

gambar 33

Pilih titik di garis g yaitu titik A, proyeksikan A pada bidang v yaitu A’, hubungkan garis O dan A’ yaitu garis g’ maka proyeksi garis g pada bidang v adalah g’ (gambar 33).Dengan demikian, sudut antara garis g dengan bidang v sama dengan sudut antara garis g dengan g’.ditulis, (g,v)=(g, g’). Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH, hitung sudut antara garis BG dan bidang ABCD. Jawab : Garis BC adalah proyeksi garis BG pada bidang ABCD.  (BG, ABCD) =  (BG, BC) = 450 Jadi, sudut antara garis BH dan didang ABCD adalah 450

3. Sudut Antara Dua Bidang Seperti yang telah kita ketahui bahwa sudut pada dasarnya dibentuk oleh dua garis berpotongan.Dengan demikian, melukis sudut dua bidang berarti melukis garis di masing-masing bidang yang memenuhi syarat tertentu. Untuk jelasnya, berikut ini adalah cara melukis sudut dua bidang.

80

Langkah-langkah melukis sudut u dan v : Lukis garis g yang merupakan perpotongan bidang u dan v. Lukis garis k di u dan l di v yang tegak lurus terhadap garis g. Akibatnya (u,v)=(k, l).

l g

v

vV

k u

gambar 34 Contoh : Diketahui kubus ABCDEFGH. Hitung besar sudut bidang ABGH danABCD! Penyelesaian Garis AB merupakan perpotongan bidang ABGH dan ABCD. Garis GB pada ABGH dan CB pada ABCD yang tegak lurus terhadap AB.  (ABGH, ABCD) =  (GB,CB) = 450 Jadi,sudut antara bidang ABGH dan ABCD adalah 450. Latihan : 1. Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm, maka tentukan panjang proyeksi CG pada bidang BDG 2. Dalam kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut antara garis : a. AF dan BH b. DE dan FH c. AH dan BF d. AH dan FC e. AD dan BG f. CH dan DE 3. Limas bidang empat beraturan T.ABCD, AB = 4 cm dan AT = 8 cm, tentukan : a. Sin <(TA,AB) b. Cos <(TA,AB) c. Tan <(TA,AB) d. Cos <(TA,TB) e. Sin <(TA,TB) 4. Dalam kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut antara : a. garis AH dan bidang ABCD b. Garis AG dan bidang ABCD c. Garis AD dan bidang DBFH 5. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. titik P, Q, dan R berturut-turut adalah titik tengah BF, CD, dan AD. Jika α sudut antara EP dan QR, maka tentukan nilai tan α 6. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm, tentukan besar sudut : a. Sin < (AFH ; EFGH ) b. Cos < (AFH ; ABCD ) c. Sin < (AFH ; AE ) d. Cos < (ACH ; HD ) 7. Diketahui limas segi-6 beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Sudut antara rusuk tegak dan bidang alas adalah α, maka tentukan nilai tan α .

81

UJI KOMPETENSI Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal berikut! 1. Dari sebuah kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a cm, pernyataan di bawah ini benar, kecuali…. a. Bidang-bidang sisinya kongruen b. Jumlah semua rusuk, bidang sisi dan diagonal ruang ada 22 buah c. Kubus adalah paralel epipedum tegak d. Panjang diagonal ruangnya a √3 cm e. Panjang garis AC adalah a √2 cm 2. Pada balok ABCD.EFGH jika dipotong menurut bidang ABGH dan CDEF akan diperoleh…. a. Prisma bidang segitiga b. Dua buah prisma segitiga kongruen c. Empat buah prisma segitiga sama sisi d. Empat buah prisma segitiga e. Prisma segitiga beraturan 3. Garis a tegak lurus pada bidang A dan garis b tegak lurus pada bidang B. Jika c adalah garis potong bidang A dan B, maka…. a. a tegak lurus b b. b tegak lurus c c. c tegak lurus a dan b d. a tegak lurus pada b e. a dan b berpotongan 4. Garis-garis g dan h pada bidang V dengan g tegak lurus h. Garis m tegak lurus V, pernyatan-pernyataan di bawah ini benar, kecuali…. a. Ada bidang melalui m dan sejajar g b. Ada garis memotong m, sejajar V dan tegak lurus g c. g tegak lurus m dan h tegak lurus m d. Ada bidang yang tegak lurus m tegak lurus g e. g tegak lurus m dan h // m 5. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika perpotongan antara garis AC dan BD adalah M, maka perpotongan antara bidang ACGE dan BDG adalah…. a. BD b. GM c. BG d. DG e. MC 6. Diketahui limas T.ABCD dengan P titik tengah TC dan Q titik tengah TD. Perpotongan antara bidang TAC, ABCD, dan ABPQ adalah garis…. a. AC dan AP b. AC dan AQ c. AP dan AQ d. AQ dan PT e. AP 7. Pada kubus ABCD.EFGH, garis AH dan garis BH berpotongan di titik…. a. A b. B c. E d. H e. F 82

8. Pada kubus ABCD.EFGH, bidang ACH membagi kubus menjadi dua bagian dengan perbandingan volume…. a. 1 : 2 b. 3 : 1 c. 2 : √3 d. 1 : 5 e. 4 : 1 9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S adalah…cm. 1 a. √3 a b.

10.

11.

12.

13.

14.

3 1 3 2 6

√6 a

c. √6 a d. √2 a e. √3 a Pada kubus ABCD.EFGH. Panjang rusuk kubus a, titik P pada perpanjangan AB, sehingga BP = 2 a, titik Q pada perpanjangan FG sehingga GQ = a. Jarak PQ adalah…. a. 2a √2 b. 2a √3 c. a √7 d. 3a e. 4a Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika bidang BDHF frontal, AE vertical, sudut surut 30°, dan perbandingan proyeksi 0,5, maka bidang…adalah horizontal. a. ACGE b. ABFE c. EFGH d. ADHE e. BCGF Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 30 cm, skala 1 : 10, ACGE frontal, AC horizontal. Panjang AC = …cm. a. 3 √2 b. 3 √3 c. 30 d. 30 √2 e. 30 √3 Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik potong antara diagonal ruang AG dengan bidang BDE dan bidang CFH terletak pada bidang…. a. ACF b. ACGE c. DBE d. BDHF e. ACH Pada limas tegak T.ABCD alasnya berbentuk persegi panjang dengan AB = 6 cm, BC = 8 cm, dan rusuk tegak 13 cm. Jika sudut antara bidang TAD dan TBC adalah α, maka tan α adalah…. 15 a. 17 b. c. d. e.

3 4 2 3 8 15 8 17

83

15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6√3 cm. Panjang diagonal ruang BH adalah…cm. a. 6 b. 6√3 c. 12√3 d. 18 e. 54 16. Pada bidang empat T.ABC, bidang TAB, TAC, dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 3, AB = AC = √3 dan α adalah sudut antara bidang TBC dan ABC, maka sin α adalah…. 1 a. 7√7 b. c. d. e.

1 √14 7 1 √21 7 2 √7 7 1 √42 7

17. Limas segitiga T.ABCD pada gambar dengan alas segitiga sama sisi. TA tegak lurus bidang alas. Jika sudut antara bidang TBC dan ABC adalah α, maka sin α adalah…. 5 a. √ b. c. d. e.

7 2 √6 6 √10 2 √5 1 √6

18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika besar sudut AHB adalah α, maka nilai cos α adalah…. 1 a. 3√6 b. √6 1 c. √3 6 d. √3 1 e. 2 19. Diketahui ABCD.EFGH adalah sebuah kubus. Jika θ adalah sudut antara diagonal GE dan rusuk AD, maka cos θ = …. 1 1 a. d. √3 2 3 1 e. √3 b. √2 2

c. √2 20. Pada bidang empat T.ABC, bidang ABC merupakan segitiga samasisi, TA tegak lurus pada bidang alas, panjang TA sama dengan 1, dan besar sudut TBA adalah 30°. Jika α sudut antara bidang TBC dan bidang alas maka tan α

a. b. c.

2 3 2√3 3 3 2

d.

√3 √35

e.

√3

84

85

Related Documents

Dimensi Tiga
January 2021 1
Rpp Dimensi Tiga
January 2021 2
Dimensi Moral
March 2021 0

More Documents from "Pramana Hadi Bajuz"