Dinamica Avanzada Tarea 2

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Civil

Tarea 2 CI7213 - Dinámica Avanzada de Estructuras

Alumno: Matías Garrido Gamboa Profesor: Rubén Boroschek K. Fecha de inicio: 18 de mayo de 2018 Fecha de entrega: 12 de julio de 2018 Santiago, Chile

Índice de Contenidos

i

Índice de Contenidos 1. Introducción 1.1. Estructura y distribución de disipadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

2. Marco teórico 2.1. Modelo lineal equivalente . . . . . . . . . 2.2. Disipador lineal viscoso. . . . . . . . . . . 2.3. Disipador con ley triangular constitutiva. 2.4. Disipador friccional puro. . . . . . . . . . 2.5. Disipador con histéresis bilineal. . . . . .

. . . . .

2 2 2 3 3 6

. . . . . .

7 7 8 10 12 14 16

3. Resultados-Conclusiones 3.1. Valores de constantes para la obtención de 3.2. Envolvente de desplazamientos máximos. . 3.3. Deriva entre pisos. . . . . . . . . . . . . . 3.4. Cortante basal. . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Esfuerzos en las columnas. . . . . . . . . . 3.6. Respuesta para un sistema de 1 GDL para

. . . . .

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una razón de amortiguamiento del 8 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . el modelo bilineal y lineal equivalente. .

4. Referencias

19

Lista de Figuras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Tarea 2

Se indican la ubicación de los disipadores y los grados de libertad en los que actúan. Disipador triangular constitutivo, se presenta la respuesta del modelo para un ciclo de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disipador friccional puro, se presenta la respuesta del modelo para un ciclo de carga. Disipador bilineal, se presenta la respuesta del modelo para un ciclo de carga. . . . Razón de amortiguamiento para los 10 primeros modos de la estructura. . . . . . . Desplazamientos máximos para cada torre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se indican los diafragmas rígidos de la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deriva entre pisos torre 1, se muestras los peaks absolutos. . . . . . . . . . . . . . . Deriva entre pisos torre 2, se muestras los peaks absolutos. . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzo basal para cada piso, torre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzo basal para cada piso, torre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se presenta la contribución del corte basal de cada piso que se trasmite a la base. . Se muestran las columnas analizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzos en las cuatro columnas de la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se presenta la respuesta para el modelo no lineal y lineal equivalente para tres materiales distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se presenta la energía disipada y la energía total del sistema para el modelo lineal equivalente y no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4 6 7 8 8 10 11 12 13 14 15 15 16 17

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Lista de Tablas

ii

Lista de Tablas 1

Tarea 2

Se presentan las constantes de cada modelo para la obtención de β = 8 %. . . . . . .

7

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Introducción

1.

1

Introducción

En el presente informe se estudia el modelo lineal equivalente para tres tipos de disipadores de distinto comportamiento. Para ver la influencia de los disipadores se colocan disipadores a la estructura diseñada en cada vano, y se pasa a comparar la respuesta para cada grado de libertad con el algoritmo de Newmark. Se presentan los siguientes resultados: La envolvente de desplazamientos máximos. La deriva entre pisos. Los esfuerzos cortantes basales. Los esfuerzos en las columnas del primer piso.

1.1.

Estructura y distribución de disipadores.

La estructura en estudio se compone de dos edificios tipo marco de 4 pisos, que comparten dos losas en común, tal como se presenta en la Figura 1. Los disipadores se colocan de manera que actúen con los desplazamientos horizontales de cada piso.

Figura 1: Se indican la ubicación de los disipadores y los grados de libertad en los que actúan.

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Marco teórico

2

2.

Marco teórico

2.1.

Modelo lineal equivalente

El modelo lineal equivalente de un disipador consiste en linealizar la fuerza disipativa que ejerce dicho disipador a través de la siguiente ecuación. fˆ(v, v, ˙ z, t) = Ceq v˙ + Keq v

(1)

Para una historia de deformación cualquiera los coeficientes Ceq y Keq son obtenidos a través de la siguiente ecuación. Z 2π/ω

Ceq =

fˆ(v, v, ˙ z, t)v(t)dt ˙

0

(2)

Z 2π/ω

2

v(t) ˙ dt 0

Z 2π/ω

Keq =

fˆ(v, v, ˙ z, t)v(t)dt

0

Z 2π/ω

(3) v(t)2 dt

0

Para una respuesta armónica (sinusoidal) se tiene: Z 2π/ω

Ceq =

fˆ(v, v, ˙ z, t)vo ωcos(ωt)dt

0

Z 2π/ω

Keq =

(4)

πvo2 ω fˆ(v, v, ˙ z, t)vo sin(ωt)dt

0

(5)

πvo2

Al aplicar esta linealización, la ecuación dinámica queda de la siguiente manera. [M ]{¨ v } + [Ceq ]{v} ˙ + ([Keq ] + [K]){v} = −[M ]{r}u¨g

(6)

A continuación se explican los disipadores utilizados y la metodología para obtener los coeficientes del modelo lineal equivalente para varios grados de libertad.

2.2.

Disipador lineal viscoso.

El modelo lineal viscoso relaciona la matriz de coeficientes con una constante de amortiguación “c”, por lo que la fuerza disipativa con la velocidad tiene un comportamiento lineal. ˙ {fˆ} = c · [Ccoef ]{v}

(7)

La matriz de coeficientes ([Ccoef ]) relaciona el movimiento de la estructura con el movimiento de los disipadores. Para construir dicha matriz se aplican velocidades virtuales a cada piso de la estructura (grados de libertad indicados en la Figura 1).

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Marco teórico

2.3.

3

Disipador con ley triangular constitutiva.

Este modelo consiste en una función con dos rectas que representan dos rigideces que actúan dependiendo de la dirección del movimiento del disipador. Los coeficientes del modelo lineal equivalente son: k1 − k2 k1 + k2 Ceq = , Keq = πω 2 Donde ω es la frecuencia que controla la respuesta, k1 y k2 son las rigideces cuando el movimiento tiene dirección positiva y negativa respectivamente. La fuerza disipativa tendrá la siguiente forma: {fˆ} = Ceq · [Ccoef ]{v} ˙ + Keq · [Ccoef ]{v}

(8)

Como se puede ver este modelo influye en la rigidez de la ecuación dinámica, por lo que influirá en la obtención de los periodos fundamentales y los modos de vibrar de la estructura.

f triangular

5

Disipador con ley triangular constitutiva (k 1 =5, k 2 =1, vo max =1) Modelo triangular constitutivo Fuerza lineal equivalente

0

-5 0

1

2

3

4

5

6

tiempo 5

f triangular

f triangular

5

0

-5

0

-5 -1

0

1

-1

0

desplazamiento

1

velocidad

Figura 2: Disipador triangular constitutivo, se presenta la respuesta del modelo para un ciclo de carga.

2.4.

Disipador friccional puro.

El modelo friccional puro consiste en una fuerza constante cualquiera sea el desplazamiento. Los coeficientes de dicho modelo para un grado de libertad se presenta a continuación. Ceq =

4F y , Keq = 0 πvo ω

Donde Fy es la fuerza de roce del disipador, ω es el periodo que controla, y vo es el desplazamiento máximo que tendrá el grado de libertad asociado al disipador. Es importante mencionar que Tarea 2

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Marco teórico

4

inicialmente no se pueden obtener los desplazamientos máximos, por lo tanto para obtener dichos desplazamientos se realiza un procedimiento iterativo hasta alcanzar la convergencia. El algoritmo para varios grados de libertad utilizado se muestra a continuación. Disipador friccional (F y =1, vo max =1)

2

Modelo friccional puro Fuerza lineal equivalente

f friccional

1 0 -1 -2 0

1

2

3

4

5

6

tiempo 2 1

f friccional

f friccional

1

0

0 -1

-1

-2 -1

0

desplazamiento

1

-1

0

1

velocidad

Figura 3: Disipador friccional puro, se presenta la respuesta del modelo para un ciclo de carga.

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Marco teórico

5

Definir 𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖 = 1

𝑛𝑥1

Definir un 𝐹𝑦 arbitrario Calcular la matriz de amortiguamiento equivalente: 4𝐹𝑦 [𝐶𝑒𝑞 ] = ⋅ 𝑑𝑖𝑎𝑔( 𝐶 ⋅ 𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖 ) 𝜋𝑤𝑛1

Cambiar 𝐹𝑦

Calcular la razón de amortiguamiento del primer modo con la siguiente ecuación: 𝜙1′ ⋅ 𝐶𝑒𝑞 ⋅ 𝜙1 𝛽1 = 2 ⋅ 𝑤1 ⋅ 𝜙1′ ⋅ 𝑀 ⋅ 𝜙1

¿ 𝛽1 = 8%?

NO

SI Determinar los nuevos desplazamientos máximos absolutos de cada grado de libertad con el algoritmo de Newmark y definir: 𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖+1 = 𝑚𝑎𝑥 𝑣 𝑖+1 𝑛𝑥1 Definir la tolerancia: Δ = |𝑝𝑟𝑜𝑚(𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖 ) − 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖+1 | NO

Δ < 0,01 SI

Se calculan las razones de amortiguamiento para cada modo: 𝜙′ ⋅ 𝐶𝑒𝑞 ⋅ 𝜙 {𝛽} = 2 ⋅ 𝑤1 ⋅ 𝜙 ′ ⋅ 𝑀 ⋅ 𝜙

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Marco teórico

2.5.

6

Disipador con histéresis bilineal.

Este modelo es utilizado para representar el cambio de rigidez de los materiales luego de pasar la deformación de fluencia. Para esta tarea se pasa a comparar la respuesta del lineal equivalente con la histéresis bilineal. Los coeficientes del modelo lineal equivalente son: Ceq = Keq

vy = vo π

4(k1 − k2 )(vo − vy )vy vo2 ωπ

vo π vo (k1 − k2 ) [( 2 − )A + B)] + (k1 + k2 ) vy 2vy

con:

s

A=2 B=−

(vo − vy )vy vo2

vo vo − 2vy arcsin( ) vy vo

Disipador bilineal (vo max =1, F y =0.25, k1=1, k2=0.1)

0.4

Modelo bi-lineal Fuerza lineal equivalente

0.2

f bilineal

!

0 -0.2 -0.4 0

1

2

3

4

5

6

0.4

0.4

0.2

0.2

f bilineal

f bilineal

tiempo

0 -0.2

0 -0.2

-0.4

-0.4 -1

0

desplazamiento

1

-1

0

1

velocidad

Figura 4: Disipador bilineal, se presenta la respuesta del modelo para un ciclo de carga.

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Resultados-Conclusiones

3.

7

Resultados-Conclusiones

A continuación se presentan los resultados teóricos y sus conclusiones respectivas a cada punto de la tarea.

3.1.

Valores de constantes para la obtención de una razón de amortiguamiento del 8 %. Tabla 1: Se presentan las constantes de cada modelo para la obtención de β = 8 %. Tipo de disipador Parámetro

Viscoso lineal c = 5.40x10−4

Triangular constitutiva k1 = 4.6x10−3 k2 = 2.3x10−3

Fricción pura F y = 1.55x10−4

Razón de amortiguamiento de los 10 primeros modos

9

Viscoso lineal Friccional pura Constitutiva triangular

8 7

[%]

6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Modo

Figura 5: Razón de amortiguamiento para los 10 primeros modos de la estructura. Conclusiones: Se ve que el disipador constitutivo triangular presenta mas amortiguamiento respecto a los demás modelos, esto se debe al hecho que la metodología exige que se aumente la rigidez del sistema a través de la rigidez equivalente (Ke ). Por otro lado los sistemas que menos disipan son el viscoso lineal y el de fricción pura, por el hecho que su procedimiento no implica rigidizar la estructura por la rigidez equivalente (Ke = 0). Finalmente se ve que los disipadores trabajan en el óptimo para los seis primeros modos, ya que desde el séptimo modo las razones de amortiguamientos presentan una menor magnitud de amortiguamiento. Para finalizar el modelo que Tarea 2

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Resultados-Conclusiones

8

más amortiguan en orden decreciente son: Triangular constitutivo, Lineal viscoso, Fricción pura.

3.2.

Envolvente de desplazamientos máximos.

A continuación se presentan las envolventes de desplazamiento máximos para las dos torres que componen la estructura. Junto con ello se indican las losas de la estructura que funcionan como diafragma rígidos.

Torre 1

Torre 2

4

4 VL FP TC

3.5

3

3

2.5

2.5

Piso

Piso

3.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0 0

2

4

x [cm]

6

0

2

4

6

x [cm]

Figura 6: Desplazamientos máximos para cada torre.

Figura 7: Se indican los diafragmas rígidos de la estructura. Tarea 2

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Resultados-Conclusiones

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Conclusiones: En general se ve que el modelo triangular constitutivo amortigua más el desplazamiento máximo en comparación a los otros modelos, lo que concuerda con las conclusiones de la sección anterior donde las razones de amortiguamiento eran mayores para los 6 primeros modos. Por otro lado es interesante ver que para el piso 2 y piso 3, se presentan los mismos desplazamientos máximos. Lo que resulta coherente con la realidad ya que ambas torres se encuentran unidas por losas de madera en estos pisos. La diferencia porcentual entre los modelos viscoso lineal-triangular constitutivo y el friccional puro es del 11 % para el piso 2 y 3, por lo que la elección de disipadores si es importante para controlar desplazamientos.

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Resultados-Conclusiones

3.3.

10

Deriva entre pisos.

Figura 8: Deriva entre pisos torre 1, se muestras los peaks absolutos.

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Resultados-Conclusiones

11

Figura 9: Deriva entre pisos torre 2, se muestras los peaks absolutos. Conclusiones: En general se ve que la envolvente del disipador friccional puro es el que mayor deriva presenta, mientras que la envolvente de los otros modelos tienen respuestas parecidas. Por otro lado es interesante mencionar que en ambas torres las derivas entre los pisos 2 y 3 presentan los mismos peaks para cada torre, por lo que el supuesto de diafragma rígido sigue siendo válido.

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Resultados-Conclusiones

3.4.

12

Cortante basal.

Figura 10: Esfuerzo basal para cada piso, torre 1.

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Resultados-Conclusiones

13

Figura 11: Esfuerzo basal para cada piso, torre 2.

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Resultados-Conclusiones

14

Torre 1

Torre 2

4

4 VL FP TC

3.5

3

3

2.5

2.5

Piso

Piso

3.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0 0

1

2

Q max [kgf]

3 10

8

0

1

2

Q max [kgf]

3 10

8

Figura 12: Se presenta la contribución del corte basal de cada piso que se trasmite a la base. Conclusiones: Se ve que el disipador friccional sigue dominando los peaks de mayor magnitud, pero las respuestas entre los tres modelos presentan poca diferencia. Por otro lado los cortes basales de los pisos 2 y 3 para ambas torres siguen presentando respuestas similares, por el efecto del diafragma rígido. Del corte total en la base se presentan magnitudes y envolventes similares, ya que ésta se calculo superponiendo las respuestas por piso. La diferencia en el corte basal total entre los modelos viscoso lineal-triangular constitutivo y el friccional puro es del 6 %, por lo que para diseño a corte el uso de disipadores no muestra gran diferencia.

3.5.

Esfuerzos en las columnas.

Se presenta un esquema de las columnas analizadas y junto con ello un análisis de historia tiempo para los esfuerzos que reciben durante el sismo.

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Resultados-Conclusiones

15

Figura 13: Se muestran las columnas analizadas.

Figura 14: Esfuerzos en las cuatro columnas de la estructura. Conclusiones: De la Figura 14, se ve que los esfuerzos son bien distribuidos en todas las columnas ya que presentan una envolvente similar para cada modelo de disipador. Por otro lado se ve que las columnas centrales “B” y “C” tienen los mayores peaks de magnitud 8945 [kgf] y 8778 [kgf] respectivamente, por lo que éstos son los que presentan una mayor demanda.

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Resultados-Conclusiones

3.6.

16

Respuesta para un sistema de 1 GDL para el modelo bilineal y lineal equivalente.

Para el estudio del modelo bilineal, se comparan tres materiales con distintas ductilidades. Para esta parte se calcula la respuesta para un sismo (CURICO.N27F).

Figura 15: Se presenta la respuesta para el modelo no lineal y lineal equivalente para tres materiales distintos. A continuación se presenta la energía disipada por cada material y modelo, junto con la energía total calculada para cada oscilador.

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Resultados-Conclusiones

17

Figura 16: Se presenta la energía disipada y la energía total del sistema para el modelo lineal equivalente y no lineal.

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Resultados-Conclusiones

18

Comparación de respuestas: De las respuestas de los osciladores de 1 grado de libertad, se puede ver claramente que los modelos presentan respuestas similares hasta que alcanzan el peak de la respuesta. Ya después de esto, las diferencias entre ambos modelos se hacen mayores. Esto se debe a que el modelo no lineal se plastifica y presenta un comportamiento distinto (cambia de rigidez) al lineal equivalente el cual permanece lineal elástico con pendiente constante durante todo en análisis historia tiempo. Energía disipada y energía total: Es interesante ver que el modelo no lineal disipa más energía que el modelo lineal equivalente y además cuanto mas resistencia a la fluencia presenta el material más energía se disipa. Este hecho se produce porque el material se endurece al pasar la fluencia, por lo que deformarlo requiere más energía y ésta en la práctica es liberada en forma de calor. El comportamiento no lineal se hace más evidente cuando se comparan las energías, ya que para el modelo no lineal, el oscilador queda con energía total (Etotal ) acumulada al final del análisis historia tiempo. Este hecho se explica por las deformaciones permanentes que presenta el material cuando éste se plastifica. Esto es un efecto de la energía potencial elástica, ya que los desplazamientos son cada vez mayores al del modelo lineal equivalente una vez que supera la fluencia del sistema. Por otro lado se sigue cumpliendo la hipótesis que los materiales con mas resistencia a la fluencia requieren más energía. Conclusiones generales: Como conclusiones generales se ve que el modelo lineal equivalente de un disipador es una buena técnica para aproximar la respuesta. Para apoyar esta idea hay que observar el gráfico de disipación de energía, donde se muestra que el modelo no lineal disipa más energía que el lineal equivalente, pero esta diferencia no superan el 5 % de la disipación máxima.

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Referencias

4.

19

Referencias

1. Modelo lineal equivalente, “Dinámica Avanzada de Estructuras Revisión E.7”, R. Boroschek. 2. Linealización del modelo equivalente para el modelo bilineal, página 64, “Trabajo Fin de Máster: Respuesta sísmica de un edificio de estructura metálica con aisladores”, Víctor Gatica L.. 3. Método iterativo para el disipador por fricción pura, “Development of equivalent linear systems for single-degree-of-freedom structures with magneto-rheological dampers for seismic design application”, Yunbyeong Chae, James M Ricles and Richard Sause

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