Dinamica De Estructuras - Rayw. Clough (traducido)

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Dinámica de las estructuras

{0}Tercera edición, 1971.{/0} {0} {/0}

Dinámica de las estructuras

Ray W. Clough

Profesor de Ingeniería Civil

Universidad de California, Berkeley

Joseph Penzien

Ingeniería Civil Internacional

Consultants, Inc.

{0}Tercera edición, 1971.{/0} {0} {/0}

Computadoras y Estructuras, Inc.

1995 University Ave.

Berkeley, CA 94710

EE.UU.

Dinámica de las estructuras

Derechos de autor (c) 2003 por Computers & Structures, Inc. Todos los derechos reservados. Impreso en los EEUU A  excepción de lo permitido por

la Ley de Derechos de Autor de Estados Unidos de 1976, ninguna parte de esta publicación puede ser  reproducida o distribuida en cualquier forma o por cualquier medio, o almacenado en un sistema de base de  datos o recuperación de información, sin el consentimiento previo por escrito del editor.

Datos de la obra en el catálogo de la Librería del Congreso

Clough, Ray W., (fecha).

Dinámica de las estructuras / Ray W. Clough, Joseph Penzien. pag. cm.

Incluye índice.

1 . dinámica estructural. I. Penzien, José II. Título. AVC

CONTENIDO



1­1

{0}1 ­ 2{/0 } {1} {/1}

1­3

Prólogo

XV

Lista de símbolos

xvi

Visión general de Dinámica Estructural



Objetivo fundamental de Análisis Dinámica Estructural



Tipos de Cargas prescritas

Características esenciales de un problema dinámico

. . . . . . . . .  .2



1­4

1­5

1)

Los métodos de discretización



Lumped­Masa Procedimiento



Los desplazamientos generalizados



El concepto de elementos finitos

7

Formulación de las ecuaciones de movimiento

[9]

El equilibrado directa utilizando dŠAlembertŠs Principio

[9]

Principio de desplazamientos virtuales

10

Enfoque variacional

10

Organización del texto

[11

SISTEMAS DE PARTE I solo grado de libertad

. . . . . . .  . . .2

2­1

1)

Análisis de vibraciones libres

15

Los componentes del sistema básico dinámico

15

La ecuación de movimiento del sistema básico dinámico

[16]

2­3

En influencia de fuerzas gravitacionales

[17]

2­4

En uencia de Soporte de excitación

[18]

2­5

Análisis de vibraciones libres no amortiguadas

20

2­6

Amortiguada libre de vibraciones

25

Críticamente amortiguado Sistemas

[26]

Undercritically con amortiguación de Sistemas

27]

Overcritically con amortiguación de Sistemas

[32]

Problemas.

[32]

contr

vi

ÍNDICE



3­1

Respuesta a la carga de armónicos

[33]

Sistema amortiguado

[33]

solución complementaria

[33]

Solución particular

[33]

Solución general

3­2

1)

3­4

A determinar

1)

Sistema con amortiguamiento viscoso

Respuesta de resonancia

Acelerómetros y medidores de desplazamiento

El aislamiento de vibraciones

Evaluación de amortiguamiento viscoso­Ratio

Sin vibraciones Método Decay

3­7

Problemas.

[34]

[36]

42

[45]

46

............................................ 52

............................................ 52

Método de resonancia de amplificación

[53]

De media potencia (Ancho de Banda) Método

[54]

La pérdida de energía de resonancia según Método de  Ciclo

[56]

Complejo­rigidez del amortiguador

58

[61]



Respuesta a la Periódica Loading

4

Expresiones de Fourier de la serie de Periódica Cargando

Forma trigonométrica

Forma exponencial

4­2

Respuesta a la carga de la serie de Fourier

4­3

Análisis preliminar del dominio de la frecuencia

Problemas.



sesenta y cinco

sesenta y cinco

sesenta y cinco

[66]

6

69

[71]

Respuesta a la impulsiva Cargando

73

5­1

La naturaleza general de impulsivo Cargando

73

5.2

Sine­impulso de onda

5­3

Impulso rectangular

77

5­4

Impulso triangular

78

5­5

Shock o Espectros de Respuesta

79

5­6

Análisis aproximado de respuesta impulsiva­Load

Problemas.

[74]

[82]

84



6­1

Respuesta a la dinámica general Carga: Métodos de  Superposición

[87]

Análisis Mediante el dominio del tiempo

[87]

Formulación de Respuesta Integral

[87]

La evaluación numérica de Respuesta Integral 89

6­2.

Análisis a través del dominio de la frecuencia

Respuesta integral de Fourier

Transformadas de Fourier discretas (DVF)

7

[98]

[100]

CONTENID O

Las transformaciones rápidas de Fourier (FFT)

Evaluación de la respuesta dinámica

6­3

VII.

[102]

106

Relación entre el tiempo y dominio de la frecuencia

Funciones de transferencia

109

Problemas.

7

11080

1)

7­3



7­5

109

Respuesta al general la carga dinámica: Paso a paso Métodos

[111]

Conceptos generales

[111]

A trozos método exacto

[112]

Procedimientos de aproximación numérica Comentarios generales

116

En segundo lugar Formulación diferencia central

117

Métodos de integración

12

Procedimiento Euler­Gauss

12

Métodos Beta Newmark

121

La conversión a una formulación explícita

123

7­5

Formulación incremental para el análisis no lineal

12

7­7

Resumen del Procedimiento de aceleración lineal

[127]

Problemas.

8

[132]

Sistemas de libertad solo grado de generalizado

1

8­1

Comentarios generales sobre los sistemas de un grado de libertad

1

8­2

Propiedades generalizadas: Ensamblajes de cuerpos rígidos

134

......14 0

25)

Propiedades generalizadas: Flexibilidad Distribuido

25)

Expresiones de las propiedades Sistema Generalizado

75

8­5

Análisis de vibraciones por RayleighŠs Método

149

Selección de la Forma de Rayleigh de la vibración

152

Método de Rayleigh mejorado

156

4

25)

Problemas.

16

SISTEMAS II de varios grados de libertad PARTE

[9]

Formulación de las ecuaciones de movimiento MDOF

169

25)

La selección de los grados de libertad

169

9 ­2

El equilibrio dinámico­Estado

171

9­3

Efectos axial­Force

173

Evaluación de matrices estructurales en la propiedad

175

Propiedades elásticas

175

Flexibilidad

175

Rigidez

176

Conceptos básicos estructurales

177

10

25)

La rigidez de elementos finitos

.

VIII.Horar io de  finalizaciónCONTENIDO

25)

Propiedades de masa

Lumped­masa de matriz

Matriz consistente por Massachusetts

1000100 

25)

1)

184

184

18

Propiedades de amortiguación

Pájaros, peces y estrecho

Cargando externa

Pájaros, peces y estrecho

Resultantes estáticas

190

Las cargas nodales consistentes

190

La rigidez geométrica

191

Aproximación lineal

191

La rigidez geométrica consistente

194

1)

Elección de la Propiedad Formulación

Problemas.

[11

11080

196

1

No amortiguada libre de vibraciones

24.01.201 1 BORRAR

Análisis de vibración Frecuencias

24.01.201 1 BORRAR

25)

Análisis de modo de vibración Formas

204

25)

La flexibilidad de formulación de Análisis de Vibraciones

208

En influencia de las fuerzas axiales

208

11080

Vibraciones libres

208

carga de pandeo

209

Pandeo con excitación armónica

25)

1)

Condiciones de ortogonalidad

211

Condiciones básicas

211

Las relaciones adicionales

212

La normalización

214

extensión 215

Problemas.

12 

Análisis de dinámica mediante superposición

219

25)

Coordenadas normales

219

25)

Las ecuaciones desacopladas de movimiento no amortiguado:

221

25)

Las ecuaciones de movimiento: desacoplados de  amortiguamiento viscoso

25)

Análisis de la respuesta por la modalidad de desplazamiento de  REVISIO superposición N

amortiguamiento viscoso

Complejo­rigidez del amortiguador

25)

Construcción de Matrices proporcionales amortiguamiento  viscoso

amortiguación de Rayleigh

Amortiguación extendida Rayleigh

1)

REVISIO N

230

234­235).

234­235).

25)

Formulación alternativa

1)

Construcción de matrices no proporcionales amortiguación

1)

1)

Análisis de la respuesta utilizando las ecuaciones acopladas de  Movimiento

Dominio del tiempo

245

CONTENID O

Dominio de la frecuencia

25)

245

ix

246

Relación entre tiempo y frecuencia de dominio

Funciones de transferencia

24

4

Procedimiento práctico para la resolución de ecuaciones acopladas de  Movimiento

25

4

Procedimiento de interpolación para la generación de funciones de  transferencia

254

Problemas.

[13]

2

Análisis de vibraciones por Matrix iteración

25

25)

Comentarios preliminares

25

25)

Análisis modo fundamental

25)

25)

Prueba de Convergencia

229

4

Análisis de modos superiores

231

Análisis de segunda Modo

231

Análisis de tercera y superior Modos

235

Análisis de Modo de Alta

236

25)

Análisis de pandeo por Matrix iteración

2

25)

La iteración inversa el procedimiento preferido

1)

25)

La iteración inversa con los cambios

1)

Temas especiales eigenproblema

1)

1)

expansión Eigenproperty

Forma simétrica de Matrix dinámico

Análisis de estructuras sin restricciones

Problemas.

14Exterio r

25)

1)

11080

290

1)

Selección de los grados de libertad dinámicos

1)

De elementos finitos grados de libertad

1)

Elementos unidimensional

1)

Dos y elementos tridimensionales

1)

25)

1)

11080

1)

25)

1)

Las restricciones cinemáticas

1)

La condensación estática

1)

Método de Rayleigh en discretos Coordenadas

Rayleigh­Ritz Método

299

subespacio iteración

1)

Reducción de errores de truncamiento modales

1)

Comentarios generales sobre la Reducción de coordenadas

1)

modales Aportes

1)

Procedimiento de corrección estática

Modo método de aceleración

25)

1,119,29 8

311

1)

Los vectores derivados de Ritz

314

Comentarios preliminares

314

derivación detalles

Contenidos X

1)

Tridiagonales Ecuaciones de movimiento

La pérdida de ortogonalidad

Requerido número de vectores

Problemas.

1)

25)

1)

25)

25)

Análisis de MDOF Respuesta Dinámica: Paso a paso Métodos

325

25)

Comentarios preliminares

325

1)

4

Las ecuaciones del movimiento incrementales

1)

Paso a Paso Integración: Constante Método Promedio Aceleración

1)

1)

Paso a Paso Integración: Lineal Método de aceleración

1)

Estrategias para el Análisis de Sistemas Acoplados MDOF

[16]

1)

11080

25)

1)

No linealidad localizada

1)

Efectos acoplados tratados como pseudo­Forces

1)

Variacional Formulación de las ecuaciones de movimiento

1)

Coordenadas generalizadas

1)

Principio HamiltonŠs

1)

11080

LagrangeŠs Ecuaciones de movimiento

1)

25)

Derivación de las ecuaciones generales del movimiento para  sistemas lineales

1)

25)

Limitaciones y multiplicadores de Lagrange

1)

Problemas.

17/1/

PARTE III SISTEMAS DE­parámetros distribuidos

[17]

25)

11080

Ecuaciones diferenciales parciales de Movimiento

Las 24 horas, 7 días a la semana , 365 días al año.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ­ Conocer la función e importancia del establecimiento de planes de acción en caso de emergencia. ­  Aprender a comprender y elaborar un PAE (Plan de Acción de  Emergencia) ­ Profundizar en los pasos de respuesta a la  emergencia: entrenamiento previo, evacuación,traslado, conteo y  contacto con familiares. ­ Analizar importancia de la relación que  existe entre la organización y las autoridades así como con los  Las 24 medios de comunicación. ­ Entender la importancia del  horas, 7 entrenamiento y la actualización al momento de crear y seguir un  días a la PAE. Palabras clave: plan de acción de emergencia (PAE), OSHA,  semana, desastre, emergencia, Planificación, evacuación, rutas de escape, de  365 días planta, Comunicación, Sistema de notificación  al año.

Brazo de flexión: Caso Primaria

1)

25)

Brazo de flexión: Incluyendo Efectos Axial­Force

1)

25)

Brazo de flexión: La inclusión de amortiguamiento viscoso

1)

25)

Brazo de flexión: Generalizada excitaciones de soporte

25)

Las deformaciones axiales: no amortiguado

1)

25)

Problemas.

[18]

1)

25)

Análisis de vibraciones libres no amortiguadas

377

Brazo de flexión: Caso Primaria

377

25)

Brazo de flexión: Incluyendo Efectos Axial­Force

1)

1)

Brazo de flexión: con soporte elástico Distribuido

11080

1)

Brazo de flexión: La ortogonalidad de modo de vibración Formas

1)

1)

Las vibraciones libres en la deformación axial

1)

4

Ortogonalidad de los modos de vibración axial

392

Problemas.

1)

CONTENID O

[19]

4

1)

xi

Análisis de Respuesta Dinámica

25)

Coordenadas normales

1)

Las ecuaciones no acoplados a la flexión de movimiento no 

400

amortiguado: Caso

1)

Las ecuaciones no acoplados a la flexión de movimiento amortiguado:  Caso

1)

1)

Las ecuaciones desacopladas axiales de movimiento no amortiguado:  Caso

1)

25)

Análisis de la propagación de ondas

Básico Escuadra­Wave­Propagación Ecuación

411

411

El examen de las condiciones de frontera

1)

Discontinuidad en Propiedades de la barra

1)

Problemas.

1)

PARTE IV AZAR VIBRACIONES

20

Teoría de probabilidad

1)

1)

Variable aleatoria individual

1)

11080

Promedios importantes de una variable aleatoria individual

1)

11080

Unidimensional paseo aleatorio

25)

Dos variables aleatorias

442

Promedios importantes de dos variables aleatorias

451

25)

11080

1)

11080

Diagrama de dispersión y correlación de dos variables aleatorias

1)

Los ejes principales de la función de probabilidad conjunta Densidad

1)

25)

Rayleigh función de densidad de probabilidad

461

25)

m variables aleatorias

463

1)

Transformaciones lineales de variables aleatorias distribuidas  normalmente

Problemas.

[21]

25)

465­466).

466

Los procesos aleatorios

471

Definición 2.

471

1)

Procesos estacionarios y ergódica

1)

Función de autocorrelación para procesos estacionarios

478

Densidad espectral de potencia Función de procesos estacionarios

484

25)

11080

Relación entre la densidad espectral de potencia y Autocorrelación

Funciones

11080

1)

1)

Densidad Espectral de Potencia y autocorrelación Funciones para  Derivados

de Procesos

488

11080

490

1)

Los procesos estacionarios gaussianos: una variable independiente

1)

1)

Estacionaria White Noise

1)

25)

1)

11080

1)

ÍNDICE

Superposición de procesos estacionarios

Distribución de probabilidad para Maxima

Entre 501 y 1.000 empleados

Distribución de probabilidad para los valores extremos

1)

Los procesos no estacionarios gaussianos

51

Plataforma de Gauss: Dos o más variables independientes

1)

xii

Problemas.

[

11080

1)

Respuesta estocástica de un grado de libertad lineales Sistemas

5 1 7 / 2010

Funciones de transferencia

5 1 7 / 2010

25)

Relación entre la entrada y salida de funciones de autocorrelación

25)

Relación entre la entrada y la salida espectral de potencia

25)

funciones de densidad de

25)

11080

Características de respuesta de los sistemas de banda estrecha

Las predicciones de fatiga para los sistemas de banda estrecha

Problemas.

[23]

11080

1)

Respuesta no estacionario Mean Square Como resultado de cero  inicial

Condiciones

1)

25)

25)

1)

1)

Respuesta estocástica de sistemas lineales MDOF

1)

Respuesta dominio del tiempo para sistemas lineales usando los  modos normales

1)

25)

Respuesta de frecuencia­dominio para sistemas lineales usando los modos  normales 541

25)

Modo normal función de forzamiento debido al discretos Cargas

25)

Modo normal función de forzamiento debido a cargas distribuidas

25)

Respuesta de frecuencia­dominio para sistemas lineales que tienen  Frecuencia­

Parámetros dependientes y / o Normal Los modos acoplados

Problemas.

5

54

5

1)

PARTE V Ingeniería Sísmica

24.

Antecedentes Sismológico

555

25)

Nota introductoria

555

25)

sismicidad

1)

11080

Fallas sísmicas y Ondas

1)

11080

Estructura de la Tierra

1)

11080

Placas tectónicas

1)

1)

Teoría elástica­Rebote de los Temblores

1)

Medidas del terremoto Tamaño

1)

25

De campo libre de movimientos del terreno en superficie

1)

25)

Fourier y Espectros de Respuesta

1)

25)

Factores en uir en Espectros de Respuesta

1)

Diseño de los espectros de respuesta

1)

11080

567

Estrategia dual de diseño sísmico

1)

Aceleraciones pico

1)

1108 0

Formas de respuesta del espectro

Uniforme­Peligro sitio especí­c Espectros de Respuesta

1)

Dos componentes horizontales del movimiento

597

CONTENID O

11080

11080

1)

25)

diseño acelerogramas

XIII

597

Espectro de Respuesta Acelerogramas compatibles

LUNE S 27  598

Los ejes principales de Movimiento

1)

Las mociones espacialmente correlacionadas

25)

Determinista terremoto Respuesta: Sistemas de rígido Foundations613

Tipos de excitación del terremoto

1)

Respuesta a excitaciones rígido­Suelo

11080

Lumped un grado de libertad elástica Systems, traslacional  Excitación

Generalizado­Coordinar un grado de libertad elástica Systems, 

1)

traslacional

25)

Problemas.

Excitación

1)

Lumped MDOF elástico Systems, traslacional Excitación

1)

La comparación con ATC­3 Disposiciones del Código  recomendados

63

Distribuido­Parámetro elástico Systems, traslacional Excitación

640

Lumped MDOF elástico Systems, excitación rotacional

25)

Lumped MDOF elástico Systems, excitación múltiple

1)

Lumped un grado de libertad Sistemas elástico­plástico,  traslacional de Excitación

1)

La combinación de respuestas máximas modales

650

Respuesta media cuadrada de un modo individual

650

Covarianza de respuesta producida por Dos modos

1)

SRSS y Combinación de respuestas modales CQC

1)

La combinación de las respuestas de dos componentes de  excitación

1)

1)

27]

1)

Determinista respuesta al terremoto: La inclusión de suelo­ estructura

Interacción social

1)

La interacción suelo­estructura mediante el análisis directo

1)

La interacción cinemática de Conversión de excitación; el efecto  Tau $ 670

La inclusión directa de una capa de suelo acotada

25)

1)

[28]

Análisis de la Respuesta Subestructura SSI

1)

1)

Sistemas de parámetros concentrados en un grado de libertad  Fundación rígido Mat

1)

Sistema General de MDOF con excitación Apoyo Múltiple

1)

Generación de impedancias de frontera

1)

Respuesta de estructuras subterráneas

1)

Sin tierra del campo mociones debido a ondas que se propagan  Plane

1)

Las deformaciones trasiego de las secciones de la Cruz

1)

En general axial y de flexión Deformaciones

1)

En uencia de Juntas Transversales de deformaciones axiales

1)

Respuesta estructural estocástico

711

11080

xiv

Modelización de movimientos intensos

711

CONTENIDO

25)

Respuesta estocástica de sistemas lineales

711

Sistemas de un grado de libertad

711

Sistemas MDOF

25)

Respuesta de extrema valor de los sistemas no lineales

+39) 0543 712 659

1)

Sistemas de un grado de libertad

1)

Sistemas MDOF

1)

11080

Consideraciones en el diseño

25)

11080

Permisible demanda de ductilidad Versus La ductilidad de la  capacidad

1)

Índice

1)

PRÓLOGO

Desde la edición de este primer libro se publicó en 1975, los principales avances se han hecho en el tema "dinámica de las estructuras." Aunque sería imposible dar un tratamiento integral de todos esos cambios en esta segunda edición, los que se consideran de significación más práctica están incluidos.

La organización general del material de texto se mantiene sin cambios desde la primera edición. Se progresa lógicamente de un tratamiento de sistemas de un solo grado de libertad a la multi­grados de libertad sistemas discretos de parámetros y luego a los sistemas de ntinuous co nita grados de libertad.El concepto de equilibrio de fuerzas, que forma la base del análisis estático de estructuras, se retiene de forma que el ingeniero con experiencia puede   fácilmente   hacer   la   transición   a   la   realización   de   un   análisis   dinámico.   Es   esencial,   por   tanto,   que   la abolladura de Stu dinámica estructural tiene una sólida formación en las teorías de la estática de las estructuras, incluyendo los métodos de la matriz, y se supone que los lectores de este texto tienen tal preparación.

El tratamiento teórico de las Partes I, II y III es ic determinista en la naturaleza, ya que hace uso de las cargas dinámicas que se integran totalmente prescriben apesar de que pueden ser muy irregular y transitorio con respecto al tiempo.El tratamiento de las vibraciones aleatorias en la Parte IV es sin embargo estocástico (al azar) en forma de carga desde los Ings considerados pueden caracterizarse únicamente de manera estadística.Por lo tanto, una comprensión de la teoría básica de probabilidad es un requisito esencial para el estudio de este tema. Antes de continuar con este estudio, se recomienda que el estudiante tome un curso completo en la teoría de la probabilidad; Sin embargo, si esto no se ha hecho, el tratamiento breve de los conceptos de probabilidad dada en el Capítulo 20 puede servir como una preparación mínima.

La   solución   de   un   problema   típico   de   la   dinámica   estructural   es   considerablemente   más ed   complicat   que   su contraparte estática debido a la adición de la inercia y de amortiguación de las fuerzas elásticas de resistencia y debido a la dependencia del tiempo de todas las cantidades de fuerza.Para situaciones más prácticas, la solución por lo general sólo es

posible mediante el uso de un ordenador digital hig h velocidades, que se ha convertido en la herramienta estándar de la dinamicista estructural.Sin embargo, la mayor parte de los problemas en el texto, que están destinados para enseñar los fundamentos de la dinámica, son bastante simple en su forma de permitir que sus soluciones para obtener usando una calculadora de mano.Sin embargo, el estudiante de la dinámica de la estruc­turas debería haber estudiado previamente las técnicas   de   codificación   informática   y   los   procedimientos   analíticos   asociados.   Dicho   fondo   permitirá   una   pronta transición de la dinámica solv­ing proble ms por una calculadora de mano para resolverlos en un ordenador PC con programas especialmente desarrollados para este propósito.El programa CAL­91, desarrollado por el profesor EL Wilson, de la Universidad de California, Berkeley, es un programa de este tipo que se ha utilizado muy efectuar vamente en la enseñanza incluso el primer curso en la dinámica de las estructuras.Se anima a los instructores que utilicen este libro para implementar  este  tipo de soluciones informáticas PC en sus cursos para que los problemas más realistas pueden ser consideradas.

XV

PREFACIO

xvi

Un gran número de ejemplos de problemas se han resuelto en el texto para ayudar al lector en la comprensión de la materia sujeto. Para dominar completamente las técnicas de análisis, es esencial que el estudiante a resolver muchos de los problemas de la tarea que se presentan en la s final de los capítulos.Ellos deben ser asignados sin embargo con moderación ya que los análisis de respuesta dinámica son notoriamente tiempo. Los autores han encontrado que de uno a cuatro problemas pueden constituir una asignación semanal adecuada, dependiendo de la materia un tipo nd de solución requerida.Sobre esta base, el libro incluye muchos más problemas de los que se le pueda asignar una secuencia de un año de cursos sobre dinámica estructural.

El objeto de este texto puede servir como la base de una serie de posgrado es cours.El curso primero podría cubrir el material en la parte I y parte de que, en la segunda parte. El alcance total de esta cobertura dependerá, por supuesto, de si el curso es del trimestre o semestre de duración. Si la duración del trimestre, la cobertura de material en las artes P I y II es ciente para proporcionar la base de una secuencia de dos cursos de trimestre y un poco de material de la Parte III también podría incluirse en el segundo curso.

En general, ahora se espera que casi todos los estudiantes Masters grados en ingeniería estructural deberían haber tenido al menos el primer curso básico en la dinámica de las estructuras y se recomienda que el avanzado (de cuarto año de nivel) estudiante de grado se proporciona en oportunidad de tomar un curso similar, Aun cuando su cobertura material puede reducirse algo.

El material en la Parte IV puede servir como la materia de un curso básico de vibración aleatoria que se necesita en una cabal comprensión de las aplicaciones prácticas de los métodos estocásticos en diversos campos tales   como   la   ingeniería   sísmica,   ingeniería   eólica, y   la   ingeniería   oceánica.Muchas   de   esas   aplicaciones   se presentan en la Parte V, que trata el tema general de la ingeniería sísmica. Sin embargo, un curso separado es necesaria para cubrir completamente el material en la Parte V. Los estudiantes de tomar cualquiera de estos dos últimos cursos SH Ould tener una buena formación en análisis dinámico de estructuras determinista y una madurez razonable en matemáticas.

Este libro ha sido escrito para servir no sólo como un libro de texto para estudiantes de colegios y universidades, sino   para   servir   como   un   libro   de   referencia   para   los ingenieros   ticing   cas   también.Las   formulaciones   y   técnicas presentadas pueden servir efectivamente como base para el desarrollo continuo de nuevos programas informáticos de análisis para ser utilizados por el ingeniero de diseño y análisis de estructuras que funcionan en entornos dinámicos.

Para concluir, los autores desean expresar su sincero agradecimiento a las muchas personas (estudiantes, miembros de la facultad, y los ingenieros en ejercicio) que tienen tanto directa como indirectamente contribuyeron con el contenido de este libro. El nu mbre de tales contribuyentes es demasiado grande sin embargo al intentar enumerarlos por su nombre.

Una persona más merecedora de un reconocimiento especial es la Sra Huey­Shu Ni que escribe el texto completo y, con la ayuda de su personal en Dibujo y Servicios de edición, Ltd. en Taipei, Taiwán, preparado todas las figuras.Su forma paciente y amable, que siempre estuvo presente durante los muchos años de preparación del libro, es para ser admirado.   Los   autores   expresan   a   ella   su   profundo   reconocimiento   y   agradecimiento   por   un   trabajo   hecho magníficamente.

Ray W. Clough

Joseph Penzien

LISTA DE SÍMBOLOS

A distancia. Fourier coe ciente, la frecuencia 

"Un adimensional

/tutor legal cientes de Fourier cientes, constantes

UN

zona, constante

A 1, A 2

constantes

distancia, número entero

segundo b 0, b n

Coe cientes de Fourier constantes

segundo

do

constante

coeficiente de amortiguación

C generalizada coeficiente de amortiguación

Copia : amortiguamiento crítico coeficiente c

ij

amortiguamiento en los coeficientes uir

modo normal generalizada de amortiguación 

Cneo coeficientes

CQC combinación cuadrática completa

re

factor de la dinámica de cationes Magni

re dinámica   de   matriz   = k discreta DRV deriva del vector Ritz e desplazamiento axial

1

m DFT transformada   de   Fourier

  El módulo, la liberación de energía de E Young E matriz dinámico D

e.

1

valor esperado, media de  conjunto

amortiguamiento pérdida de 

Ed) energía / ciclo Ed)

E:-< i'

distancia epicentral

la rigidez a la flexión

F

la frecuencia cíclica naturales

xvi

xviii

LISTA DE SÍMBOLOS

1)

f

f I, f D, F

ij

flexibilidad en los coeficientes uir

S

inercial, amortiguación, y la primavera  fuerzas, respectivamente

FD

profundidad focal

%.1f ft

g

la transformada rápida de Fourier

aceleración de la gravedad

función de impedancia límite

condición geológica

altura, espesor de la chapa, intervalo de tiempo

h ij (t), h (t)

funciones de respuesta de impulso unitario

funciones de respuesta de frecuencia compleja

500Hz

yo

Hertz (frecuencia en ciclos / segundo)

Entero

l

impulso, sección transversal momento de  inercia

l

matriz de identidad

)

función de impedancia

I

ij

(i!

(Es decir: 2040, 2045)

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

la eficacia de aislamiento

imaginario

// ­ 1.5.8 constantes

GI,G

R

constantes reales

G

longitud del vector

g:i a GC

h

H

ij

funciones de onda de estrés

(i!), ¡Hola!)

g/l G

gg.

módulo de corte, constante compleja

{0}J. {/0} {1}{/1}

k, k

i

número entero, momento de inercia

constantes de resorte

constante de elasticidad generalizada

k

k

rigidez generalizada combinado

^

k

la rigidez compleja

rigideces eficaces

25)

k c,

d

k

k

ij

rigidez en los coeficientes uir

jj

k

rigidez combinada de coeficientes uir

Kg

la rigidez geométrica

Kg

la rigidez geométrica generalizada

k

G ij

0,25 kn (€ 0,03)

la rigidez geométrica en coeficientes uir

rigidez generalizada de n-ésimo modo normal

rigidez complejo de n-ésimo modo normal

^

0,25 kn (€ 0,03) ¡A

longitud

¡A

factor de terremotos de excitación

me

masa, número entero

LISTA DE SÍMBOLOS

My

MISA

m

en masa en los coeficientes uir

ij

me

de masa generalizada

me

masa uniforme / unidad de longitud

L

la magnitud de Richter, número  entero

L

matriz de masa para los modos  normales

xix

M4N M (t), M (x; t)

de masa generalizada de n-ésimo  modo normal

momento interno

MDOF

varios grados de libertad

£M (/0}£F

factor de cationes Magni

MM

modi escala de Mercalli

"n"

número entero, constante

norte

número de incrementos de tiempo, el número de grados de libertad,

Entero

norte

carga axial

N cr carga axial crítica

fuerza axial interna (invariante en  N (x) el tiempo)

N (x, t)

fuerza axial interna (variable en el tiempo)

P2P/ De usuario a usuario cargar

pag

p

carga uniforme / unidad de longitud

ef

carga efectiva

Pt.C/O Tinnitus bilateral

carga aplicada

Pt.C/O Tinnitus bilateral vector de carga en el dominio del tiempo Pt.C/O Tinnitus bilateral

carga generalizada

128px

la función de densidad de probabilidad

p (x; y)

función de densidad de probabilidad conjunta

p (XJY) función de densidad de probabilidad condicional

p (x 1; x

2;:::;

x m) función de densidad de probabilidad multivariada

PAG alimentacion

Pi ) vector de carga en el dominio de frecuencia función de distribución de probabilidad

128px

P/N amplitud compleja coe ciente carga generalizada de n-ésimo modo normal en el dominio  P n (t) del tiempo

PA G

n

(i!

carga generalizada de n-ésimo modo normal en el dominio  ) de frecuencia

PGA valor máximo de aceleración

RR-PP Probabilidad

P (X), P (X; Y) funciones de densidad de probabilidad

q o, q

xx

i

constantes, las coordenadas generalizadas

LISTA DE SÍMBOLOS

q (x; t)

carga axial aplicada

Q i (t)

i ª función de fuerza generalizada

r

R

R (t)

Receta:

R

xy

()

..porqu e todo va a cambiar . tan pronto como ella

ij

real

relación de respuesta

función de autocorrelación

función de correlación cruzada

Mantener la

Sáb.

respuesta de aceleración espectral  absoluta

S/D

respuesta de desplazamiento relativa  espectral

S ii (i! )

S

Radio de giro

funciones de densidad de potencia  espectral

(¡yo! )

funciones de densidad espectral cruzada

Spa

respuesta espectral pseudo­aceleración

S pv ( ; !)

pseudo­velocidad de respuesta espectral

S

v

( ; !)

#%

respuesta de velocidad relativa espectral

de primer modo de matriz de barrido

SC

condiciones del suelo

un grado de libertad

solo grado de libertad

¡Yes!

SM

SRSS

t, t

i

T06

intensidad espectro de Housner

mecanismo de la fuente

raíz cuadrada de la suma de cuadrados

hora

duración del impulso

J

período de vibración, la energía cinética

J

matriz de vectores propios ortonormales

8 th

período de n-ésimo modo normal

TP

período de movimiento

TR

transmisibilidad

u2713

desplazamiento en dirección x x

S

energía de deformación

contr

y desplazamiento en dirección x

contr

desplazamiento dinámico

VT

desplazamiento total

VT

desplazamiento en el dominio del  tiempo

vg,V

0 g

v • g (t)

desplazamiento del terreno

aceleración del terreno en el dominio  del tiempo



V

g

v

(i!)

aceleración del terreno en el dominio de la frecuencia

st

desplazamiento estático

LISTA DE SÍMBOLOS

xxi

V

Energía potencial

desplazamiento en dominio de la  ) frecuencia

VI.

V (x, t) fuerza cortante interna

12V / 1,5A velocidad de la onda aparente

C

V, V p,

s

V velocidades de las ondas

V ff

de libre velocidad de la onda de  campo

V n constante compleja

₩233,259,995, 000 z desplazamiento en dirección x

W

W nc

el trabajo, el peso

el trabajo de las fuerzas no  conservativas

Wn`' el trabajo de carga axial N

x

espacio de coordenadas, variable aleatoria

x

valor de x significa

incógnit x (t)

incógnit

y

valor cuadrático medio de x

proceso aleatorio

espacio de coordenadas, variable  aleatoria

espacio de coordenadas

y (t)

proceso aleatorio

Y

variable aleatoria, espacio de coordenadas

Y n (t) generalizarse desplazamiento de n-ésimo modo normal en el dominio del tiempo Y (i!)desplazamiento generalizado de n-ésimo modo normal en la frecuencia

dominio

z

espacio de coordenadas

n

z (t) generaliza coordinar la respuesta en el dominio Z de tiempo, Z n, Z generalizadas

0

coordenadas 

Z (i!)     coordinar la respuesta generalizada de dominio de la frecuencia

, Relación de frecuencia parámetro constante de tiempo adimensional  enteros,   masa   /   unidad   de   área,   unidad   de   peso coherencia

ij

(i!)funciones   de

decremento, variación, residual e, v, desplazamientos virtuales log z

WI 12- trabajo virtual  03 interno Nosotros trabajo virtual  somos externo

Avanzar 

st? desplazamiento estático PD 200 Valor mínimo de la carga  0 efectiva M

{

intervalo de tiempo

xxii

LISTA DE SÍMBOLOS

11080intervalo de frecuencia

cepa normales 

función de tiempo, con histéresis coef amortiguación longitud de onda ciente 

G

yo

"n"

factor de carga  axial

multiplicador de  Lagrange

n º valor propio

ángulo de fase, pendiente, factor de rotación de la ductilidad 

1. El Estado deberaa pagar el 65 por ciento de la porcion no federal de los costos de sueldos y el Condado pagaraa el 35 porciento de la porcion no federal de los costos de sueldo.

covarianzas

el coeficiente de Poisson

No amortiguamiento relaciones la amplitud del vector, la masa de  volumen / unidad

(X 0; Y 0).

ciente de correlación coef

estrés normal

xff

Desviacion Estandar(±)

incógnit Varianza hora 

ángulo de fase 

1. El Estado deberaa pagar el 65 por ciento de la porcion no federal de los costos de sueldos y el Condado pagaraa el 35 porciento de la porcion no federal de los costos de sueldo.

n,

n

(x)

desplazamiento modal

n º forma del modo

matriz de forma modal

No "n "

funciones de desplazamiento generalizadas

generalizada vector de desplazamiento

matriz de formas hechas asumidos

1)"n"

¡2D

dn

¡

(x)

sin amortiguar las frecuencias naturales  circulares

amortiguadas frecuencias circulares naturales

frecuencia circular de función de fuerza  armónica

distribución de la carga

capitulo



ASPECTOS GENERALES DE Estructural {0/}{1/} {2}DINÁMICA{/2}

1­1 objetivo fundamental de la dinámica estructural ANÁLISIS

El   propósito   principal   de   este   libro   es   presentar   métodos   para   el   análisis   de   las   tensiones   y   de   reflexiones desarrolladas en cualquier tipo dado de la estructura cuando se somete a una carga dinámica arbitraria. En un sentido, este

objetivo puede ser considerado como un extensio n de métodos estándar de análisis estructural, que en general tienen que ver con solamente la carga estática, para permitir la consideración de la carga dinámica también.En este contexto, la condición   de   carga   estática   puede   ser   considerada   simplemente   como   una   forma   especial   de   l oading   dinámico.Sin embargo, en el análisis de una estructura lineal, es conveniente distinguir entre la estática y los componentes dinámicos de la carga aplicada, para evaluar la respuesta a cada tipo de carga por separado, y luego superponer los dos componentes de respuesta para   obtener   su   efecto   total   .Cuando   se   tratan   thusly,   los   métodos   estáticos   y   dinámicos   de   análisis   son fundamentalmente diferentes en carácter.

A los efectos de esta presentación, la dinámica término puede ser de nida simplemente como variable en el tiempo; por lo tanto una carga dinámica es cualquier carga de que su magnitud, dirección, y / o la posición varía con el tiempo.Del mismo modo, la respuesta estructural a una carga dinámica, es decir, las tensiones resultantes y DE reflexiones, es también de tiempo varían Ing, o dinámica.



2

Dinámica de las estructuras

Dos enfoques básicamente diferentes están disponibles para la evaluación estructural de re­respuesta a las cargas dinámicas: deterministas y no deterministas. La elección del método a utilizar en cada caso depende de cómo se de ne la carga.Si la variación de momento de la carga se conoce por completo, a pesar de que puede ser altamente oscilatoria o ir­regular en carácter, se denomina en este documento como una carga dinámica prescrito; y el análisis e ª de la respuesta de cualquier sistema estructural especificado a una carga dinámica prescrita se de ne como un análisis determinista.Por otro lado, si la variación en el tiempo no se conoce completamente, pero puede ser de ne en un sentido estadístico, la carga se te rmó una carga dinámica al azar; y su correspondiente análisis de la respuesta se de ne como un análisis no determinista.El énfasis principal en este texto se coloca en el desarrollo de métodos de análisis dinámico determinista; Sin embargo, la cuarta parte está dedicada a preparar una introducción a los métodos de análisis no determinista y la Quinta Parte contiene un capítulo que trata de la aplicación de métodos de análisis no determinista en el campo de la ingeniería sísmica.

En   general,   la   respuesta   estructural   a   cualquier   carga   dinámica   se   expresa,   básicamente,   en   términos   de   los desplazamientos de la estructura. Por lo tanto, un análisis determinista conduce directamente al desplazamiento tiempo­ historia que corresponden a la historia de carga prescrita; cantidades respuesta relacionada r Othe, tales como tensiones, deformaciones, fuerzas internas, etc., se obtienen generalmente como una fase secundaria del análisis.Por otra parte, un

análisis no determinista proporciona sólo información estadística sobre el ng desplazamientos resultadoi de   la   carga estadísticamente de Ned; la información correspondiente sobre las cantidades de respuesta relacionados a continuación, se genera utilizando los procedimientos de análisis no determinista independientes.

1­2 TIPOS DE CARGAS PRESCRITAS

Casi cualquier tipo de sistema estructural puede ser sometido a una u otra forma de carga dinámica durante su vida  útil.Desde un punto de vista analítico, es conveniente dividir las cargas prescritas o deterministas en dos categorías básicas, periódicas y no periódicas. Algunas formas típicas de cargas y ejemplos de situaciones en las que se podrían desarrollar este tipo de cargas prescritas se muestran en la Fig. 1­1.

Como se indica en esta figura, una carga periódica exhibe la misma variación de tiempo sucesivamente para un gran número de ciclos. El más simple de carga h periódica como la variación sinusoidal se muestra en la Fig. 1­1 una, que se denomina armónico simple; cargas de este tipo son características de efectos desequilibrada­masa en maquinaria rotativa.Otras formas de carga periódica, por ejemplo, las causadas por las presiones hidrodinámico géneros   ted   por   una   hélice   en   la   popa   de   un   buque   o   por   los   efectos   de   inercia   en   movimiento   alternativo maquinaria, con frecuencia son más complejas.Sin embargo, por medio de un análisis de Fourier cualquier carga periódica se puede representar como la suma de una serie de componentes armónicos simples, por lo que, en principio, el análisis de respuesta a cualquier carga periódica sigue el mismo procedimiento general.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural  Dynamics

3

Periódicas

rotación desequilibrada

"Un

máquina en la construcción

Rotación de la hélice en

N popa del buque

No PERIODICO

Bomba de presión de la  explosión de

C

contruyéndo

Terremoto del agua

2D

Tanque

Cargando historias

ejemplos típicos

Figura 26.

Características y fuentes de cargas dinámicas típicas: (a) armónico simple; (B) compleja; (C) impulsiva; (D) de larga duración.

Cargas no periódicas pueden ser tanto las cargas impulsivas de corta duración o formas generales de larga duración de las cargas.Una explosión o explosión es una fuente típica de una carga impulsiva; para este tipo de carga de corta duración, formas especiales simplificados de análisis pueden ser em pleados­. Por otro lado, una, a largo duración de la carga   general,   como   podría   ser   el   resultado   de   un   terremoto   puede   ser   tratada   únicamente   por   procedimientos completamente generales de análisis dinámico.

1­3 características esenciales de un problema dinámico

Un problema estructural dinámica se diferencia de su contraparte de carga estática en dos aspectos importantes. La diferencia en primer lugar a tener en cuenta, por de nición, es la naturaleza variable en el tiempo del problema dinámico. Debido a que tanto la carga y la respuesta varían con el tiempo, es evidente que un problema dinámico no tiene una solución única, como un problema estático

4

Dinámica de las estructuras

hace; En cambio, el analista debe establecer una serie de soluciones que corresponden a todas las épocas de interés en la historia de respuesta. Así, un análisis dinámico es claramente más compleja y requiere mucho tiempo de un análisis estático.

La segunda y más fundamental d istinction entre Prob­blemas estáticas y dinámicas se ilustra en la Fig. 1­2.Si una viga simple es sometida a una carga estática p,  como se muestra en la Fig. 1­2 a,  sus momentos internos y cizallas y la forma des reflejada dependen sólo esta carga y pueden ser calculados por los principios establecidos de equilibrio de fuerzas.Por otra parte, si se aplica dinámicamente la carga p (t), como se muestra en la Fig. B 1­2, los cementos Visualizaciones Las resultantes de la viga depende no sólo de esta carga, sino también de las fuerzas de inercia que se oponen a las aceleraciones que los producen.Así, la corresponden­ing momentos internos y cizallas en el haz debe equilibrar no sólo la fuerza aplicada externamente p (t), sino también las fuerzas de inercia resultantes de las aceleraciones de la viga.

Las fuerzas de inercia que se resisten a las aceleraciones de la estructura de esta forma son la característica distintiva más importante de un problema de dinámica estructural. En general, si las fuerzas de Al Inerti representan una porción significativa de la carga total, equilibrada por las fuerzas elásticas internas de la estructura, entonces el carácter dinámico del problema debe tenerse en cuenta en su solución.Por otro lado, si los movimientos son tan lento que las fuerzas de inercia son insignificantemente pequeño, el análisis de la respuesta para cualquier instante de tiempo deseado puede ser hecho por procedimientos de análisis estructural estáticas a pesar de que la carga y la respuesta puede ser variable en el tiempo.

1­4 MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN

Lumped­Masa Procedimiento

Un análisis del sistema dinámico en la Fig. 1­2 b se hace obviamente complica por el hecho de que las fuerzas de inercia son el resultado de desplazamientos variables en el tiempo estructurales que a su vez están en influido por las magnitudes de las fuerzas de inercia.Thi s ciclo cerrado de causa y efecto puede ser atacado directamente sólo mediante la formulación del problema en términos de ecuaciones diferenciales.Además, debido a que la masa de la viga se distribuye

Pt.C/O Tinnitus bilateral

p

Las fuerzas de inercia

"Un

N

Figura 26.

Diferencia básica entre las cargas estáticas y dinámicas: (a) la carga estática; (B) la carga dinámica.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

5

continuamente a lo largo de su longitud, los desplazamientos y aceleraciones deben ser de nidas para cada punto a lo largo del eje si las fuerzas de inercia son desconectar completamente definido. En este c aso, el análisis debe ser formulada en términos de ecuaciones diferenciales parciales porque la posición a lo largo del lapso de tiempo, así como deben ser tomadas como variables independientes.

Sin embargo, si se supone la masa de la viga que se concentra en puntos discretos, como se muestra en la Fig. 1­3, el problema se convierte en analítica ed enormemente simplificado debido a las fuerzas de inercia se desarrollan sólo en estos puntos masivos. En este caso, es necesario de nir los desplazamientos y aceleraciones solamente en estos lugares discretos.

El número de componentes de desplazamiento que debe ser considerado con el fin de representar los efectos de todas las fuerzas de inercia significativa de una estructura que puede denominarse el número de grados de libertad   dinámicos de   la   estructura.Por   ejemplo,   si   las   tres   masas   en   el   sistema   de   la   fig.   1­3   son   totalmente concentrado y se ven limitados por lo que los puntos de masa correspondientes traducen sólo en una dirección vertical, esto se llama un sistema de tres grados de libertad (DOF 3).Por otro lado, si estas masas no están totalmente concentrados para que dispongan de inercia de rotación infinita, los desplazamientos giratorios de los tres puntos serán también tienen que ser considerados, en cuyo caso el sistema cuenta con 6 GDL. Si orciones natu dist axiales de la viga son significativo, los desplazamientos de traducción paralelo con el eje del haz también resultará dando al sistema 9 DOF. Más generalmente, si la estructura se puede deformar en el espacio de tres dimensiones, cada masa tendrá 6 DOF; a continuación, el sistema tendrá 18 DOF. Sin embargo, si las masas están totalmente concentrados para que no inercia de rotación está presente, el sistema de tres dimensiones tendrá entonces 9 DOF. Sobre la base de estas consideraciones, es evidente que un sistema con distribuye de forma continua en masa, como en la Fig. 1­2 b, tiene una noche en el número de grados de libertad.

Los desplazamientos generalizados

La idealización agrupado­masa se ha descrito anteriormente proporciona un medio simple de limitar el número de grados de libertad que deben ser considerados en la realización de un análisis dinámico de un sistema estructural arbitraria.El procedimiento de formación de grumos es más eficaz en el tratamiento de sistemas en los que una gran proporción de la masa total de hecho se concentra en unos pocos puntos discretos.A continuación, la masa de la estructura que soporta estas concentraciones puede ser incluido en los grumos, lo que permite la estructura en sí para ser considerado peso.

Sin embargo, en casos en los que la masa del sistema está bastante uniformemente distribuida

Pt.C/O Tinnitus bilateral (C) 3M 2016 .

(C) 3M 2016.

(C) 3M 2016. Figura 26.

idealización de masas concentradas de un simple

Ej:

Ej:

Ej:

viga

6

Dinámica de las estructuras

a lo largo de, un enfoque alternativo para limitar el número de grados de libertad puede ser preferible. Este procedimiento se basa en el supuesto de que la forma reflejada de de la estructura se puede expresar como la suma de una serie de patrones de desplazamiento ed específicos; estos patrones se convierten entonces en el desplazamiento coordenadas de la estructura.Un simple ejemplo de este enfoque es la representación de la serie trigonométrica de la de reflexión de un haz simple. En este caso, la reflexión de forma puede ser expresado como la suma de las contribuciones de onda senoidal ependent ind, como se muestra en la Fig. 1-4, o en forma matemática,

1

nx v (x) = b n pecado ¡A

1)

incógnit

No

En general, cualquier forma arbitraria compatible con las condiciones de apoyo prescritos de la viga simple puede ser representado por este en serie infinita de componentes de onda sinusoidal. Las amplitudes de las formas de onda senoidal pueden ser considerados como los TES desplazamiento coordina La del sistema, y el número infinito de grados de libertad del haz real están representados por la noche en número de términos incluidos en la serie.La ventaja de este enfoque es que una buena aproximación a la forma real de la viga se puede lograr ya b truncado serie de componentes de onda sinusoidal; por tanto, una aproximación de 3 DOF contendría sólo tres términos de la serie, etc.

Vx-1

incógnit

L'

b sen

x

11080 ¡A



2xb

2

pecado 

¡A



3x

b3

¡A

pecado 





Figura 26.

representación­serie de senos de una simple desviación del rayo.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

7

Este   concepto   se  puede   generalizar   más  al   reconocer   que   las   formas   de   onda   senoidal   usados  como   los patrones de desplazamiento asumidos eran una elección arbitraria en este ejemplo. En general, cualquier forma n (x), que son compatibles con las condiciones geométricas de apoyo reglamentarias y que mantengan la necesaria continuidad de los desplazamientos internos puede ser asumido.Por lo tanto una expresión generalizada para los desplazamientos de cualquier estructura unidimensional podría ser writt en

incógnit v (x) =

Z

nn

(x)

"n"

Para cualquier conjunto asumido las funciones de desplazamiento (x), la forma resultante de

(1­2)

la estructura depende de los términos de amplitud Z n,  que se hará referencia a las coordenadas generalizadas como.El número de patrones de forma asumidos repre senta el número de grados de libertad considerados en esta forma de idealización.En general, una mayor precisión se puede lograr en un análisis dinámico para un número dado de GEIESE d de libertad usando el método de la función de forma de idealización en lugar del enfoque agrupado­ masa.Sin embargo, también debe reconocerse que se requiere un mayor esfuerzo de cálculo para cada grado de libertad cuando se emplean

tales coordenadas generalizadas.

El concepto de elementos finitos

Un tercer método o f expresar los desplazamientos de cualquier estructura dada en términos de un número finito de desplazamiento discreto coordenadas, que combina ciertas características tanto de la masa concentrada y los procedimientos generalizado coordenada, ahora se ha convertido en popular.Este enfoque, que es la base del método Nite­elemento de análisis de continua estructural, proporciona una idealización conveniente y fiable del sistema y es particularmente eficaz en los análisis digital ordenador.

El tipo de elemento finito­de idealización es aplicable a estructuras de todo tipo: estructuras enmarcadas, que comprenden los conjuntos de los miembros de una dimensión (vigas, columnas, etc.); avión de estrés, estructuras Plate   y   de   tipo   concha,   que   se   componen   de   componentes   bidimensionales;   y   las identificaciones   de   sol tridimensionales   generales.Para   simplificar,   sólo   el   tipo   unidimensional   de   componentes   estructurales   será considerado   en   la   presente   discusión,   pero   la   extensión   del   concepto   de   dos   y   tres   dimensiones   elementos estructurales es sencillo.

La etapa primera de la noche­eleme nt idealización de cualquier estructura, por ejemplo, la viga de la figura. 1­5, consiste en dividir en un número apropiado de segmentos o elementos, como se muestra.Sus tamaños son arbitrarias; es decir, pueden ser todos del mismo tamaño o todas diferentes. Los extremos de los padres segm, en las que están interconectados, son llamados puntos nodales.Los desplazamientos de estos puntos nodales se convierten entonces en la generalizarse coordenadas de la estructura.

8

Dinámica de las estructuras

un



|

d (ej  enero : 01)

C

. . . .  . . . .  . .2



{





N , V.

C  

, V.

, V.  

N

C

1108 0



25)

3

  = (d   dx v) =

3

1

f



7

Figura 26.

Típica del haz de elementos finitos coordina.

La   forma   de   reflexión   de   la   estructura   completa   ahora   se   puede   expresar   en   términos   de   estos es   coordinat generalizadas por medio de un conjunto apropiado de funciones dis­colocación asumidos, utilizando una expresión similar a la ecuación.1) En este caso, sin embargo, las funciones de desplazamiento se denominan funciones de interpolación, ya que de nen las formas producidas por especificado dis nodales colocaciones.Por ejemplo, la Fig. 1­5 se muestran las funciones   de   interpolación   asociados   con   dos   grados   de   libertad   de   punto   nodal   3,   que   producen   desplazamientos transversales en el plano de la figura. En principio, cada función Interpo­mento podría ser cualquier curva whic h es continua  internamente,  y que satisface  la  condición de desplazamiento it geométrica impuesta  por  el desplazamiento nodal.Para   los   elementos   de   una   dimensión   que   es   cómodo   de   usar   las   formas   que   se   producen   por   estos   mismos desplazamientos nodales en un bea uniforme m.Se muestra más adelante en el capítulo 10 de que estas funciones de interpolación son polinomios hermitianos cúbicos.

Debido a que las cciones diversión de interpolación utilizados en este procedimiento satisfacen las requerir­ mentos indicados en el apartado anterior, debe ser evidente que las coordenadas utilizado en el método finito de elementos son sólo formas especiales de coordenadas generalizadas.Las ventajas de este procedimiento especial son los siguientes:

(1) El   número   deseado   de   coordenadas   generalizadas   se   puede   introducir   simplemente   dividiendo   la estructura en un número apropiado de segmentos.   (2) Dado que las funciones de interpolación elegidos para cada segmento pueden ser idénticos, los cálculos se simplificado.   (3) Las ecuaciones que son desarrollados por este enfoque son en gran parte no acoplada porque cada desplazamiento   nodal   sólo   afecta   a   los   elementos   vecinos;   por   lo   tanto   el   proceso   de   solución   es   ed enormemente simplificado.

En general, el enfoque infinito de elementos proporciona el procedimiento ciente para expresar la mayoría de los desplazamientos arbitrarios con guraciones estructurales por medio de un conjunto discreto de coordenadas.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

9

1­5 Formulación de las ecuaciones de movimiento

Como   se   mencionó   anteriormente,   el   objetivo   principal   de   un   análisis   estructural­dinámica   determinista   es   la evaluación del desplazamiento de tiempo historias de una estructura dada sub­proyectada a una carga variable en el tiempo dado. En la mayoría de los casos, un análisis aproximado en volvi­ng sólo un número limitado de grados de libertad proporcionen exactitud ciente; Por lo tanto, el problema puede ser reducido a la determinación de los tiempos de historias de estos componentes de desplazamiento se-leccionado.Las expresiones matemáticas de nir los ele­ displac dinámicos se llaman las ecuaciones de movimiento de la estructura, y la solución de estas ecuaciones de movimiento de desplazamiento proporciona los tiempo­historia requeridos.

La   formulación   de   las   ecuaciones   de   movimiento   de   un   sistema   dinámico   es   posiblemente   la fase   más importante, ya veces el más difíciles, de todo el procedimiento de análisis.En este texto, se emplearán tres métodos diferentes para la formulación de estas ecuaciones, cada uno con ventajas en el estudio de las clases especiales de problemas.   El   s   concepto   fundamental asociado   con   cada   uno   de   estos   métodos   se   describen   en   los   párrafos siguientes.

El equilibrado directa usando el principio de D'Alembert

Las ecuaciones de movimiento de cualquier sistema dinámico representan expresiones de la segunda ley de Nueva toneladas de movimiento, lo que indica que la tasa de cambio del momento de cualquier partícula de masa m es igual a la fuerza que actúa sobre él.Esta relación se puede expresar matemáticamente por la ecuación diferencial

d (ej enero : 01)

Pt.C/O Tinnitus bilateral dt

D V m e dt

1)

donde p (t) es el vector de la fuerza aplicada y v (t) es el vector de posición de la masa de partículas m.Para la mayoría de los problemas de la dinámica estructural se puede suponer que la masa no lo hace variar con el tiempo, en cuyo caso la ecuación. (1­3) se puede escribir

D V

p (t) = metro

dt 2

m • v (t)

"Un

donde los puntos representan la diferenciación con respecto al tiempo. La ecuación (1­3a), indicat­ción que la fuerza es igual al producto de la masa y la aceleración, también puede escribirse en la forma

p (t)    m • v (t) = 0

N

en cuyo caso, el segundo término m • v (t) se llama la fuerza de inercia resistiendo la ACELER­ación de la masa.

El concepto de que una masa se desarrolla una fuerza inercial proporcional a su aceleración y oponiéndose a que se conoce como el principio de D'Alembert.Es un dispositivo muy conveniente en problemas de dinámica estructural, ya que permite que las ecuaciones de movimiento para ser

10

dinámica de las estructuras

expresado como ecuaciones de equilibrio dinámico. La fuerza p (t) se puede considerar para incluir muchos tipos de fuerzas que actúan sobre la masa: fijaciones elásticas que se oponen a los desplazamientos, las fuerzas viscosas que resisten velocidades y cargas de forma independiente de los ex­terno nidas.Así, si se introduce una fuerza de inercia que se resiste a la aceleración, la ecuación de movimiento es simplemente una expresión de equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre la masa.En muchos problemas sencillos, la forma más directa y conveniente de formular las ecuaciones de movimiento es por medio de tales equilibraciones directos.

Principio de desplazamientos virtuales

Sin   embargo,   si   el   sistema   estructural   es   bastante   complejo   que   implica   una   serie   de   puntos   de   masa interconectadas o cuerpos de tamaño finito, el equilibrado directa de todas las fuerzas que actúan en el sistema puede ser culto dif. Con frecuencia, L a diversas fuerzas involucradas pueden fácilmente ser expresada en términos de los grados de libertad de desplazamiento, pero sus relaciones de equilibrio puede ser oscuro.En este caso, el principio de desplazamientos virtuales se puede utilizar para formular las ecuaciones de movimiento sustituto sa para las relaciones de equilibrio directos.

El   principio  de   desplazamientos  virtuales  puede   expresarse  de   la   siguiente   manera.   Si  un  sistema  que  está   en equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas aplicadas externamente se somete a un desplazamiento virtual, es decir, un patrón de desplazamiento compatible con las limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el conjunto de fuerzas será cero.Con este principio, es evidente que la desaparición del trabajo realizado durante un desplazamiento virtual es equivalente a una declaración d e equilibrio.Por lo tanto, las ecuaciones de respuesta de un sistema dinámico se pueden establecer por primera identificación de todas las fuerzas que actúan sobre las masas del sistema, incluidas las fuerzas de inercia de nidos de acuerdo con el principio de D'Alembert. Entonces, las ecuaciones de la moti sobre se obtienen mediante la introducción de un patrón separado desplazamiento virtual correspondiente a cada grado de libertad e igualando el trabajo realizado a cero.Una ventaja importante de este enfoque es que las contribuciones del trabajo virtual son cantidades escalares y se pueden añadir algebraicamente, mientras que las fuerzas que actúan sobre la estructura son vectorial y sólo pueden superponerse vectorialmente.

Enfoque variacional

Otra forma de evitar los problemas de establecer las ecuaciones vectoriales de brium equili es hacer uso de cantidades escalares en una forma variacional conocido como el principio de Hamilton.Las fuerzas de inercia y elásticos no están implicados de forma explícita en este principio; En su lugar, se utilizan las variaciones de los términos de energía cinética y potencial. Este formulati sobre tiene la ventaja de tratar solamente con las cantidades de energía puramente escalares, mientras que las fuerzas y desplazamientos utilizados para representar los efectos correspondientes en el procedimiento del trabajo virtual son todos vectorial en carácter, a pesar de que los términos de trabajo en sí son escalares.

Es de interés señalar que el principio de Hamilton también se puede aplicar a la estática

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

11

de problemas. En este caso, se reduce con el principio bien conocido de la energía potencial mínima tan amplio utilizado Ly en los análisis estáticos.

Se ha demostrado que la ecuación de movimiento de un sistema dinámico puede ser formulado por cualquiera de tres  procedimientos  distintos.  El enfoque  más sencillo  es establecer directamente  el equilibrio  dinámico de todas las fuerzas de la actina G en el sistema, teniendo en cuenta los efectos de la inercia mediante el principio de D'Alembert.En los sistemas más complejos, sin embargo, especialmente los que implican la masa y elasticidad distribuida sobre regiones finitos, una equilibración vectorial directa puede ser culto DIF, y wo rk o formulaciones de energía que implican sólo cantidades   escalares   puede   ser   más   conveniente.La   más   directa   de   estos   procedimientos   se   basa   en   el   principio   de desplazamientos virtuales, en las que se evalúan de forma explícita las fuerzas que actúan sobre el sistema, pero los ns equatio de   movimiento   se   derivan   de   la   consideración   del   trabajo   realizado   durante   los   desplazamientos   virtuales correspondientes.Por otra parte, la formulación de energía alternativa, que se basa en el principio de Hamilton, no hace uso directo de las fuerzas de inercia o conservadores un nexión en el sistema; los efectos de estas fuerzas están representadas no por variaciones de las energías cinética y potencial del sistema.Se debe reconocer que los tres procedimientos son completamente equivalentes y conducen a ecuaciones idénticas de movimiento. El método para ser utilizado en cualquier caso dado es en gran parte una cuestión de conveniencia y preferencia personal; la elección generalmente dependerá de la naturaleza del sistema dinámico en consideración.

ORGANIZACIÓN 1­6 DEL TEXTO

Este libro, "Dinámica de Estructuras," se ha escrito en cinco partes.Primera Parte presenta un amplio tratamiento del sistema de un solo grado de libertad (un grado de libertad) que tiene coordenadas sólo un desplazamiento independiente. Este   sistema  es  estudiado  en gran  detalle  por dos  razones: (1)  t él comportamiento  dinámico  de muchas  estructuras prácticas   se   pueden   expresar   en   términos   de   una   sola   coordenada,   de   modo   que   este   tratamiento   SDOF   se   aplica directamente en esos casos, y (2) la respuesta de estructuras lineales complejas se pueden expresar como la suma de las respuestas o serie fa de los sistemas de un grado de libertad de manera que este mismo tratamiento una vez más se aplica a cada sistema en la serie.Por lo tanto, las técnicas de análisis SDOF proporcionan la base para el tratamiento de la gran mayoría de los problemas estructurales dinámicos.

Sistemas  de  la   segunda   parte   se  trata   de  parámetros  discretos  de  varios   grados  de  libertad   (MDOF),  es   decir, sistemas para los cuales sus respuestas dinámicas pueden expresarse en términos de un número limitado de coordenadas de desplazamiento.Para el análisis de los sistemas linealmente elásticas, se presentan los procedimientos para la evaluación de sus ropiedades p en un estado libre de vibraciones, es decir, para evaluar formas de los modos normales y las frecuencias correspondientes.Entonces, dos métodos generales para el cálculo de las  respuestas  dinámicas  de estos sistemas para arbitrariamente se dan cargas especificada: (1) haciendo uso de superposición mode­ en el que la respuesta total se expresa como la suma de las respuestas individuales en los diversos modos normales de vibración, cada uno de los cuales se puede determinar mediante procedimientos de análisis del sistema de SDOF, y

12

dinámica de las estructuras

(2) resolver directamente las ecuaciones de movimiento MDOF  en su forma original, acoplada. Por  último, la formulación variacional del problema estructural dinámico se presenta y paso a paso las técnicas de integración numérica se formulan para resolver urgentemente ctly tanto un grado de libertad y las ecuaciones de movimiento que representan MDOF ya sea sistemas lineales o no lineales.

Linealmente sistemas dinámicos que tienen propiedades elásticas distribuidos de forma continua se consideran en la tercera parte.Tales sistemas tienen un número finito de grados de libertad que requieren que sus ecuaciones de movimiento   escribirse   en   forma   de   ecuaciones   diferenciales   parciales.   Sin   embargo,   se   sh   propietario   que   el procedimiento de modo de superposición es todavía aplicable a estos sistemas y que las soluciones prácticas se puede obtener teniendo en cuenta sólo un número limitado de los modos más bajos de la vibración.

Cuarta parte cubre el tema general de las vibraciones aleatorias de Li cerca de los sistemas de un grado de libertad   y   MDOF.Dado   que   las   cargas   consideradas   pueden   caracterizarse   sólo   en   un   sentido   estadístico,   las respuestas correspondientes se caracterizan de manera similar. Para proporcionar una base para el tratamiento de estos sistemas, se dan introducciones a la teoría de la probabilidad y procesos estocásticos.

ingeniería sísmica, con un enfoque especial en la respuesta estructural y perfor­mance, es el tema de la quinta parte. Se da una muy breve reseña de sismología sobre las causas y características de los terremotos, junto con un análisis de los movimientos del suelo que producen.Los métodos se dan a continuación, para evaluar la respuesta de las estructuras de estos movimientos utilizando procedimientos tanto deterministas y no deterministas.

PARTE

l SISTEMAS solo grado de libertad

capitulo

. . . . . . .  . . .2 Analysis DE LIBRE

VIBRACIONES

2­1 COMPONENTES DEL SISTEMA dinámica básica

Las propiedades físicas esenciales de cualquier sistema hanical estructural o mec elástico lineal sometido a una fuente externa de excitación o la carga dinámica son su masa, las propiedades elásticas (exibilidad o rigidez), y el mecanismo de pérdida de energía o de amortiguación.En el modelo más simple de un sistema de SDOF, cada una de estas propiedades se supone a concentrarse en un único elemento físico.Un bosquejo de un sistema de este tipo se muestra en la Fig. 2­1 a.

Toda la masa m de este sistema está incluido en el bloque rígido que es con­tensado por los rodillos de modo que puede moverse sólo en la traducción sencilla; por lo tanto, la única de coordenadas de desplazamiento v (t) por completo de ne su posición.La resistencia elástica al desplazamiento es proporcionada por el resorte pesar tless de rigidez k,  mientras que el mecanismo de pérdida de energía está representado por el amortiguador c.La carga dinámica externa producción de la respuesta de este sistema es la fuerza p variable en el tiempo (t).

VT

VT

C

f

me

D

(t)

estirar

Pt.C/O Tinnitus bilateral

f

S

Pt.C/O Tinnitus bilateral

(T)

k

"Un

N

Figura 26.

Sistema de un grado de libertad idealizada: (a) los componentes básicos; (B) las fuerzas en equilibrio.

15

16

dinámica de las estructuras

2­2 ecuación de movimiento del sistema básico DINÁMICO

La ecuación de movimiento para el  sencillo sistema de la Fig. 2­1 a es más fácilmente para­formularse expresando   directamente   el   equilibrio   de   todas   las   fuerzas   que   actúan   sobre   la   masa   usando   el   principio   de D'Alembert.Como se muestra en la Fig. 2­1 b, las fuerzas que actúan en la dirección del grado de desplazamiento de la libertad se la carga p (t) y las tres fuerzas de resistencia que resultan de la moción, es decir, la fuerza de inercia f (t),  la fuerza de amortiguación F aplicada D (t),  y la fuerza de resorte f simplemente una expresión del equilibrio de estas fuerzas como dado por

f I (t) + f

D

(t) + f S (t) = p (t)

S

I

(t).La ecuación de movimiento es

25)

Cada una de las fuerzas representadas en el lado izquierdo de esta ecuación es una función del desplazamiento v (t) o uno de sus derivados de tiempo.El sentido positivo de estas fuerzas ha sido elegido deliberadamente para que se corresponda con el sentido negativo de desplazamiento de manera que se oponen a una carga aplicada positivo.

De conformidad con el principio de D'Alembert, la fuerza de inercia es el producto de la masa y la aceleración

f I (t) = • mv (t)

"Un

Suponiendo   un   mecanismo   de   amortiguamiento   viscoso,   la   fuerza   de   amortiguación   es   el   producto   de   la amortiguación c constante y la velocidad

f

D

(t) = CV (t)

N

Por último, la fuerza elástica es el producto de la rigidez del resorte y el desplazamiento

f

S

(t) = kv (t)

C

Cuando las ecuaciones. (2­2) se introducen en la ecuación. (2­1), la ecuación de movimiento para este sistema de un grado de libertad se encuentra para ser

mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

25)

Establecer un procedimiento de formulación alternativa, es instructivo para desarrollar esta misma ecuación de movimiento por un enfoque de trabajo virtual. Si se da la masa un desplazamiento virtual v compatible con las limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el sistema de equilibrio de fuerzas en la Fig. 2­1 b debe ser igual a cero, como se muestra por

f I (t) v f D (t) v f S (t) v + p (t) v = 0

11080

en   la   que   los   signos   negativos   resultan   del   hecho   de   que   las   fuerzas   asociadas   actúan   opuesto   al   sentido   del desplazamiento virtual. Sustituyendo las Ecs. (2­2) en la Ec. (2­4) y factorizar v conduce a

25)

• mv (t) cv (t) kv (t) + p (t) v = 0

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

17

Desde v es distinto de cero, la cantidad soporte en esta ecuación debe ser igual a cero, dando así a la misma ecuación de movimiento como se muestra por la ecuación.11080 Mientras que una formulación del trabajo virtual no tiene ninguna ventaja de este sistema simple, será encontrado muy útil para los tipos más generales de los sistemas de un grado de libertad tratados posteriormente.

2­3 Influencia de las fuerzas gravitacionales

Consideremos ahora el sistema mostrado en la Fig. 2­2 a, que es el sistema de la fig. 2­1 una gira a través de 90 de modo que la fuerza de la gravedad actúa en la dirección del desplazamiento.En este caso, el sistema de fuerzas que actúan en la dirección del grado de desplazamiento de la libertad es ese conjunto se muestra en la Fig. 2­2 b.Usando las ecuaciones. (2­2), el equilibrio de estas fuerzas está dada por

mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t) + W

25)

donde W es el peso del bloque rígido.

Sin embargo, si el desplazamiento total v (t) se expresa como la suma del desplazamiento estático 4 st causada por el peso W más la dinámica de desplazamiento v adicional (t) como se muestra en la Fig. 2­2 c, es decir,

v (t) = 4 + st contr(t)

25)

a continuación, la fuerza del resorte está dada por

f

S

(t) = kv (t) = k + 4 st k

contr (t)

25)

La introducción de la ecuación. (2­8) (2­6) en los rendimientos

• mv (t) + cv (t) + k + 4 st k

k

C

contr (T) = p (t) + W

1)

me

₩233,259,995,000

VT

Pt.C/O Tinnitus bilateral

"Un

f

S

(T) f

D

(t)

estirar

₩233,259,995,000

VT

Pt.C/O Tinnitus bilateral

N

f

S

(T) f

D

(t)

estirar

Estático ₩233,259,995,0 00



st

=

desplazamiento



Pt.C/O Tinnitus bilateral

VT

C

Figura 26.

Influencia de la gravedad en el equilibrio del grado de libertad.

18

dinámica de las estructuras

y observando que k 4 st = Conduce a W

mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

11080

Ahora diferenciando la Ec. (2­7) y observando que 4 st no varía con el tiempo, es

Part e



evidente que v • (t) = v (t) y v (t) = v (t) de modo que la ecuación. (2­10) puede escribirse



Part e

11080

mv (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

La   comparación   de   las   ecuaciones.   (2­11)   y   (2­3)   demuestra   que   la   ecuación   de   movimiento   ex­presiona   con referencia a la posición de equilibrio estático del sistema dinámico no se ve afectada por las fuerzas de gravedad. Por esta razón, los desplazamientos en todos los futuros discus­siones Wil l ser referenciados desde la posición de equilibrio estático y se denotarán v (t) (es decir, sin la barra superior); los desplazamientos que se determinan representarán respuesta dinámica.Por lo tanto, el total de reflexiones, las tensiones, etc. se obtienen sumando las cantidades corres encharcamiento estáticas a los resultados del análisis dinámico.

2­4 INFLUENCIA DE SOPORTE DE EXCITACIÓN

Esfuerzos dinámicos y de reflexiones pueden ser inducidas en una estructura no sólo por una carga aplicada variable en el tiempo, como se indica en las Figs. 2­1 y 2­2, pero también por los movimientos de sus puntos de apoyo.Ejemplos importantes de tales excitación son los movimientos de los cimientos de un edificio causado por un terremoto o movimientos del soporte de base de una pieza del equipo debido a las vibraciones del edificio en el que se aloja. Un modelo

e d simplificado del problema terremoto­excitación se muestra en la Fig. 2­3, en el que el

movimiento horizontal del suelo causada por el evento está indicada por el desplazamiento v estructura con respecto al eje de referencia fijo.

g

(t) de la base de la

La viga horizontal en este marco se supone que es rígida y que incluya toda la masa en movimiento de la estructura. Las columnas verticales se supone que son sin peso y inextensible en la dirección vertical (axial), y la resistencia al desplazamiento de la viga proporcionada por cada columna está representada por su constante de resorte k = 2.Así pues, la masa tiene un solo grado de libertad, v (t), que se asocia con exure columna; el amortiguador c proporciona una resistencia a la velocidad proporcional al movimiento en esta coordenada.

Como se muestra en la Fig. 2­3 b, el equilibrio de fuerzas para este sistema se puede escribir

como

f I (t) + f

D

(t) + f S (t) = 0

1)

en el que la amortiguación y las fuerzas elásticas pueden expresarse como en las ecuaciones. 25) Sin embargo, la fuerza de inercia en este caso se da por

f (t) = mv •

l

T

(t)

25)

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

v

t

19

(t)

VT Eje me

Fixedreference

k

k





. . . . . . . . . .2

. .  . .  . .  . .  . . 2

v

g

C

(t)

"Un

estirar

f

f

S

(T)

f

D

(T)

S

(T)





. . . .  . . . .  . .2

. . . . .  . . . . . 2

N

Figura 26.

Influencia de la excitación de apoyo en el equilibrio del grado de libertad: (a) el movimiento del sistema; (B) fuerzas de  equilibrio.

t

donde v (t) representa el desplazamiento total de la masa del eje de referencia fijo.Sustituyendo la inercia, de amortiguación, y las fuerzas elásticas en la ecuación. (2­12) los rendimientos

mv •

T

(t) + cv (t) + kv (t) = 0

11080

Antes de esta ecuación se puede resolver, todas las fuerzas se expresan en términos de una sola variable, que se puede lograr haciendo notar que el movimiento total de la masa se puede expresar como la suma del movimiento del suelo y que debido a la distorsión de columna, es decir, ,

t

v (t) = v (t) + v

g

(t)

1)

Expresando la fuerza de inercia en términos de los dos componentes de aceleración obtenidos por doble diferenciación de la ecuación. (2­15) y sustituyendo el resultado en la ecuación. (2­14) los rendimientos

• mv (t) + mv •

g

(t) + cv (t) + kv (t) = 0

25)

o, ya que la aceleración del suelo representa la entrada dinámica especificado a la estructura, la misma ecuación de movimiento puede más convenientemente ser escrito

• mv (t) + cv (t) + kv (t) = mv •

g

(t) p eff (t)

11080

En esta ecuación, p eff (t) denota la carga efectiva de apoyo de excitación; en otras palabras, las deformaciones estructurales causados por aceleración del suelo v • g (t) son exactamente los mismos que los que sería producida por una carga externa p (t) igual a mv • g (t).El signo negativo en este efectiva carga de definición indica que la fuerza efectiva se opone al sentido de la aceleración del suelo. En la práctica, esto tiene poca significación en la medida en

20

dinámica de las estructuras

como el ingeniero es por lo general sólo está interesado en el valor absoluto máximo de v (t); en este caso, el signo menos puede ser retirado de la expresión de carga eficaz.

Una forma alternativa de la ecuación de movimiento se puede obtener mediante el uso de la ecuación. (2­15) y t la expresión de la ecuación. (2­14) en términos de v (t) y sus derivados, en lugar de en términos de v (t) y sus derivados, dando

mv •

T

t

t

(t) + cv (t) + kv (t) = CV

g

(t) + kv g (t)

25)

En esta formulación, la carga efectiva que se muestra en el lado derecho de la ecuación depende de la velocidad y el desplazamiento   del   movimiento   sísmico,   y   la   respuesta   obtenida   mediante   la   resolución   de   la   ecuación   es   el desplazamiento   total   de   la   masa   de   un NCE   refere   fijo   en   lugar   de   desplazamiento   relativo   a   la   base móvil.Soluciones rara vez se obtienen de esta manera, sin embargo, porque el movimiento terremoto generalmente se mide en términos de las aceleraciones y el registro sísmico tendría que ser integrada una vez y dos veces para evaluar las contribuciones efectivas de carga debido a la velocidad y el desplazamiento de la tierra.

2­5 ANÁLISIS DE VIBRACIONES no amortiguado GRATIS

Se ha demostrado en las secciones anteriores que la ecuación de movimiento de un sistema simple de masa y resorte con amortiguación se puede expresar como

mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

1)

en la que v (t) representa la respuesta dinámica (es decir, el desplazamiento desde la posición de equilibrio estático) y p (t) representa la carga efectiva que actúa sobre el sistema, ya sea aplicados directamente o como resultado de movimientos de apoyo.

La solución de la ecuación. (2­19) se obtiene considerando rst forma homogénea con el lado derecho igual a cero, es decir,

25)

• mv (t) + cv (t) + kv (t) = 0

Movimientos que tienen lugar sin la fuerza aplicada se denominan vibraciones libres, y es la respuesta libre de la vibración del sistema que ahora se examina.

La respuesta libre de vibraciones que se obtiene como la solución de la ecuación. (2­20) se puede expresar de la siguiente forma:

11080

v (t) = G exp (st)

donde G es una constante compleja arbitraria y exp (st) e a menudo será conveniente utilizar números complejos

st

denota la función exponencial.En las discusiones posteriores

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

21

en la expresión de las cargas dinámicas y respuestas; por lo tanto es útil ahora que brie y revisar el concepto de número complejo.

Teniendo   en   cuenta   RST   constante   compleja G,  esto   puede   representarse   como   un   vector   representa gráficamente en el plano complejo, como se muestra en la Fig. 2­4.Este sketc h demuestra que el vector se puede expresar en términos de sus componentes cartesianos real e imaginaria:

G=G

R

+iG

I

"Un

o, alternativamente, que puede ser expresada en coordenadas polares utilizando su valor G absoluta (la longitud del vector) y su ángulo, medido en sentido contrario de lo real eje:

N

G = G exp (i)

Además, a partir de las relaciones trigonométricas que se muestran en el dibujo, está claro que la ecuación. (2­22a) también puede escribirse

C G = G + i cos G pecado

El uso de esta expresión y observando que cos = sen

25) por i

.. .. .. .. .. 2

y el pecado + = cos

tiene el efecto de girar

es fácil demostrar que la multiplicación de un  vector

en sentido antihorario en el plano complejo a través de un  ángulo de

radianes o 90 grados.

.... .... . .2

Del mismo modo se puede ver que la multiplicación por i gira el vector 90 en sentido horario.Ahora igualando la ecuación. (2­22c) a la ecuación. (2­22b), y también señalar que un componente imaginario negativo estaría asociado con un ángulo de vector negativo, conduce a la par de ecuaciones que sirven para transformar de trigonométrica a las funciones exponenciales de Euler: ) exp (i) = cos + i pecado

"Un exp (i) = cos

es en

Además, las Ecs. (2­23a) puede resolverse simultáneamente para obtener la forma inversa de ecuaciones de Euler:

G = G

R

+ i G I o



G = G exp (i )

. exp (i) + exp (i)

N

y o

yo

pecado pecar

exp (i)

Exposició n

.... .... Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

. .2



G



G

i G i I = g sen 





R

)

G

R

= G cos 

Figura 26.

representación constante compleja en el plano complejo.

22

dinámica de las estructuras

Para deducir una expresión respuesta sin vibraciones, la Ec. (2­21) se sustituye en la ecuación. (2­20), que conduce a

(ms

2

+ cs + k) G exp (st) = 0

y después de dividir por mG exp (st) y la introducción de la notación

¡

..

...

k

25)

m e

... . .2

esta expresión se convierte

C

#%

#%25)

1)

m e

Los dos valores de s que satisfacen esta expresión cuadrática dependen del valor de c con respecto a los valores de k y m; Así, el tipo de movimiento dado por la ecuación. (2­21) depende de la cantidad de amortiguación en el sistema.

Considerando ahora el sistema no amortiguado para los que c = 0, es evidente que los dos valores de s dado por la solución de la Ec. (2­25) son

¡Yes!

1)

Por lo tanto la respuesta total incluye dos términos de la forma de la ecuación. (2­21), como sigue:

v (t) = G

1

exp (i!t) + G

2

exp (i!t)

1)

en el que los dos términos exponenciales son el resultado de los dos valores de s, y los complejos constantes G G 2 representan el (todavía) amplitudes arbitrarias de los términos de vibración correspondientes.

1

y

Ahora establecemos la relación entre estas constantes mediante la expresión de cada uno de ellos en términos de sus componentes real e imaginaria:

G=G

11R

+iG

;

1I

G=G

22R

+iG

2I

y mediante la transformación de los términos exponenciales al formulario utilizando las ecuaciones trigonométricas. (2­23a), de modo que la ecuación. (2­27) se convierte

v (t) = G

1 R

+iG

cos!t + i sen!t + G

1 I

2 R

+iG

cos!t i sen!M

2 I

o después de simplificar

v (t) = (G

1R

+G

h

2 R)

I + (G Tiberio

cos!t (G

1I

+G

2 I)

1

G

2 I I)

el pecado!M

cos!t + (G

1

G

R 2 R)

pecado! 25)

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

23

Sin embargo, esta respuesta sin vibraciones debe ser real, por lo que el término imaginario (que se muestra entre corchetes) debe ser cero para todos los valores de t, y esta condición requiere que

G

1

G=

A partir de este se ve que G

G

1

G

I2I

G=

1

yG

R

2

+iG

G

I

1 R

=G

2 R

G

R

son un par conjugado complejo:

G

I

2

G=RiG

I

y con estos Eq. (2­27) se convierte finalmente

v (t) = (G

R

+iG

I)

exp (i!t) + exp (G

R

IG

I)

(i!t)

11080

La respuesta dada por el término de la primera ecuación. (2­29), se representa en la Fig. 2­5 como un vector que representa   el   complejo G constante

1

que   gira   en   la   dirección   hacia   la   izquierda   con   la   velocidad  angular!;

También se muestran sus constantes reales e imaginarios. Será sin ted que el vector de respuesta resultante (G

R

+i

G I ) Exp (i!t) conduce vector G R exp (i!t) por el ángulo de fase; Por otra parte, es evidente que la respuesta también   se   puede   expresar   en   términos   de   valor   absoluto, G,  y   el   ángulo   combinado (!T06El examen del segundo término de la ecuación. (2-29) muestra que la respuesta asociada a ella es completamente equivalente a la que se muestra en la Fig. 2-5 excepto que el vector resultante G exp [ yo(!t +)] está girando en la dirección de las agujas del reloj y el ángulo de fase por la que se conduce la exp componente G R (i!t) también está en la dirección hacia la derecha.

Los dos vectores de contra­rotación de G i exp [(!t +)] Y G exp [ yo(!t +)] Que representan la respuesta total sin vibraciones dada por la ecuación. (2­29) se muestran en la Fig. 2­6;

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a  ofrecerlo tan pronto.  Nos acabamos de  conocer"

(G

R

+ i G I) exp (i  t)



G = exp [i   t +)]



G..... G..... ! ! donde G = E

l

T06 G

R

exp (i  t)

 = ángulo de  fase

T06 R

i G

I

exp (i  t)

Solo estoy sorprendido  que estés dispuesto a  ofrecerlo tan pronto. Nos  acabamos de conocer"

Exp (G

R

+ i G I) (i  t)



G = exp [i   t +)]

 



G R exp (i  t)

2 cos (G  t )

T06 R

T06 G R exp (i   t)



(G

R

 i G I) exp  yo  t)



G = exp  i   t +)]

Figura 26.

Representación de la primer término de la ecuación. 25)

Figura 26.

respuesta total sin vibraciones.

24

dinámica de las estructuras

es evidente aquí que los componentes imaginarios de los dos vectores se anulan entre sí dejando sólo el movimiento vibratorio de bienes

11080

v (t) = 2 cos G (!T06

Una alternativa para esta expresión movimiento real puede derivarse mediante la aplicación de la ecuación de Euler transformación. (2­23a) a la ecuación. (2­29), con el resultado de

v (t) = A cos!sen B t +!M

en la que A = 2G

R

25)

y B = 2G I.Los valores de estos dos constantes se pueden determinar a partir de las condiciones

v (0) y la velocidad v (0) en el tiempo t = 0 cuando la vibración libre se puso en marcha.Sustituyendo estos en Eq. (2­31) y su derivada en el tiempo primero, respectivamente, es fácil demostrar que iniciales, es decir, el desplazamiento

, V.

v (0) = A = 2G

R

¡

= B = I 2G

25)

Por lo tanto la ecuación. (2­31) se convierte

v (t) = v (0) cos!T06 , V. pecado pecarM

11080

¡

Esta solución representa un movimiento armónico simple (MAS) y es Retrato del yed gráficamente en la Fig. 2­ 7.La cantidad!, Que hemos identificado previamente como la velocidad angular (medido en radianes por unidad de tiempo) de los vectores de rotación en el plano complejo, también se conoce como la frecuencia circular.La frecuencia cíclica, usua refiere LLY a medida que la frecuencia de movimiento, se da por

¡ 3.075.0 00

11080

..... ..... 2

su recíproco

1 =

.... .... . .2 T06

¡

f

VT . . . . . . . . . .2

1)

T06 .

, V.

, V.

T06

25)

M

Figura 26.

respuesta de vibración libre no amortiguada.

¡

, V.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

25

Es el tiempo necesario para completar un ciclo y que se llama el periodo del movimiento. Por lo general, para los sistemas estructurales y mecánicas del período T se mide en segundos y la frecuencia se mide en ciclos por segundo, comúnmente conocida como Hertz (Hz).

El movimiento representado por la ecuación. (2­33) y se representa en la figura. 2­7 puede ser también

interpretado en términos de un par de vectores,

v (0)

y

girando en sentido antihorario en

el  plano  complejo con  velocidad angular!,  como se muestra en  la Fig. 2­8.El  uso de  las relaciones  indicadas anteriormente entre las constantes de libre de vibraciones y las condiciones iniciales, se puede observar que la Fig. 2­8 es equivalente a la Fig. 2­5, pero con el doble tud ampli y con un ángulo de fase negativa que se correspondan con las condiciones iniciales positivos.En consecuencia, la amplitud = 2G, y como se muestra por la ecuación. (2­ 30) la vibración libre puede ser expresado como

v (t) = cos (!T06

en el que la amplitud es dada por

y (0) o

. . . . . . . . . . 2

contr

;'+rv*

Humira ¡

y el ángulo de fase por

Canela

, V.

¡ , V.

2­6 AMORTIGUADO GRATIS VIBRACIONES

25)

25)

1)

Si la amortiguación está presente en el sistema, la solución de la ecuación. (2­25), que de ne la

respuesta es

C

#%

(C) 3M 201 r 6.

C

(C) 3M 201 6.

.. .. .. .. .. 2

......

¡

. . . .2

11080

Tres tipos de movimiento están representados por esta expresión, en función de si la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada   es   positiva,   negativa   o   cero.   Es   conveniente   analizar   primero   el   caso   en   que   el   término   radical   se desvanece, que se llama el crítico­d condición amplificado.

Solo estoy  sorprendido  que estés  dispuesto a  ofrecerlo tan  pronto. Nos  acabamos de  conocer"

, V.





T0 6 T06 R

T06 , V. 



Figura 26.

Rotación de representación vectorial de la vibración libre no amortiguada.

26

dinámica de las estructuras

Críticamente amortiguado Sistemas

Si el término radical en la ecuación. (2­39) se fija igual a cero, es evidente que c = 2m = !; Por lo tanto, el valor crítico de la coeficiente de amortiguación, c c, es

{0/} C33/C33M - 13{/2

1)

A continuación, los dos valores de s dado por la Ec. (2­39) son los mismos, es decir,

Copia :

%1$s, %2$s

(C) 3M 2016. 25)

25)

La solución de la ecuación. (2­20) en este caso especial debe ahora ser de la forma

v (t) = exp (G 1 + G 2 t) (!t)

11080

en la que el segundo término debe contener t desde las dos raíces de la ecuación. (2­25) son idénticos.Debido a que el término exponencial exp ( !t) es una función real, las constantes G 1 y G 2 también debe ser real.

Usando las condiciones v inicial (0) y v (0), estas constantes pueden ser evaluados

Lo que le acredita a: VT

, V.t) + v (0) t

Caduc.: %@;t)

25)

la cual es presentada gráficamente en la Fig. 2­9 para valores positivos de v (0) y v (0).Tenga en cuenta que esta respuesta libre de un sistema críticamente amortiguado no incluye oscilación alrededor de la posición cero-de reflexión; En su lugar, simplemente vuelve a cero asintóticamente de acuerdo con el término exponencial de la ecuación. 1) Sin embargo, un solo cero-disp lacement cruce se produciría si las señales de la velocidad inicial y el desplazamiento eran diferentes uno del otro.A muy  útil de definición de la

condición   de   amortiguamiento   crítico   descrito   anteriormente   es   que   representa   la   cantidad   más   pequeña   de amortiguación para los que no se produce la oscilación en la respuesta libre de vibraciones.

VT



, V.

, V.

T06

Figura 26.

respuesta libre de vibraciones, con amortiguamiento crítico.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

27

Undercritically con amortiguación de Sistemas

Si la amortiguación es menor que crítico, es decir, si c
C

Copia :

C

1)

(C) 3M 201 = 6.

La introducción de la ecuación. (2­44) en la Ec. (2­39) conduce a

#%yoD.

25)

donde

¡2D

p

25)

11080

es la frecuencia de la vibración libre del sistema amortiguado. Haciendo uso de la ecuación. (2­21) y los dos valores de s dado por la ecuación. (2­45), la respuesta sin vibraciones se convierte

v (t) = G

1

exp (i!D t) + G

2

exp (i!D t) exp (!t)

1)

en el que las constantes de G 1 y G 2 deben ser pares conjugados complejos para la respuesta v (t) a ser real, es decir, G = G 1 R + i G I y G 2 G = R i G I similar a la no amortiguada caso que se muestra por la ecuación.11080

La respuesta dada por la ecuación. (2­47) pueden ser representados por vectores en el plano complejo similares a los mostrados en la Fig. 2­6 para el caso no amortiguado; la única diferencia es que la frecuencia circular amortiguado!D debe ser sustituida por la frecuencia circular no  amortiguada! y las magnitudes de los vectores deben ser forzados a decaer exponencialmente con el tiempo de acuerdo con el exterior plazo de los soportes, exp ( !T06

Siguiendo el mismo procedimiento que se utiliza para llegar a la ecuación. (2­31), la Ec. (2­47) también puede expresarse en la forma trigonométrica equi valente

v (t) = A cos!D sen B t +!D t exp (!t)

donde A = 2G conduce a

R

25)

y B = 2G I.Usando las condiciones iniciales v (0) y v (0), las constantes A y B se pueden evaluar

, V.

, V.

v (t) = v (0) cos!Fecha:

31/ 05/2013.

¡D.

pecado pecarD t exp (!t)

25)

Alternativamente, esta respuesta se puede escribir en la forma

v (t) = cos (!D + t) exp (!t)

25)

28

dinámica de las estructuras

en el cual

, V.

... ... ... .2

1108 0

, V.

, V.

¡D.

11080

, V. contr

Canela

¡DV

1)

Tenga en cuenta que para valores bajos de amortiguación que son típicas de la mayoría de las estructuras prácticas, <20%, la proporción de frecuencia!2D según lo dado por la Ec. (2­46) es casi igual a la unidad. La relación entre la relación de coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia se puede representar gráficamente como un círculo de radio unidad como se muestra en la Fig. 2­10.

Un gráfico de la respuesta de un sistema amortiguado undercritically­sometido a un desplazamiento inicial v (0) pero a partir de zer o la velocidad se muestra en la Fig. 2­11.Es de interés señalar que el sistema subamortiguado oscila alrededor de la posición neutra, con una frecuencia circular  constante!2D La representación de rotaciónvector de la ecuación. (2-47) es equivalente a la Fig. 2-6 excepto que! se sustituye  por!D y las longitudes de los vectores disminuyen exponencialmente a medida que la respuesta amortigua.

D.





Círculo

Figura 26.

0

Relación entre la relación de frecuencia y factor de  amortiguamiento.



VT e.

M



, V. , V.

D.

, V. , V.







, V. D.

, V.

D.

M

. . . . . . . . . . 2



D.

Figura 26.





D.

respuesta libre de vibraciones del sistema de amortiguación undercritically.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

29

Las verdaderas características de amortiguación de los sistemas estructurales típicos son muy complejas y dif culto de nir. Sin embargo, es práctica común para expresar la amortiguación de tales sistemas reales en términos de relaciones de amortiguación viscosos equivalentes que muestran las tasas de descomposición similares bajo condiciones de libre vibración.Por lo tanto, ahora vamos a relacionar con más detalle la relación de amortiguamiento viscoso para la respuesta sin vibraciones se muestra en la Fig. 2­11.

Considere dos picos positivos sucesivos, tales como v

... ... ... .2

a veces n

n

yv

n1

que se producen

... ... ... .2

y respectivamente. Utilizando la ecuación. (2­50), la relación de estos dos

y (n + 1)

¡D.

¡D.

Los valores viene dada por

sucesivo

v=n

+1

= exp v n (2!%2D

11080

Tomando el logaritmo natural (ln) de ambos lados de esta ecuación y sustituyendo!

2,

¡ 1  se obtiene el llamado decremento logarítmico de amortiguación, de Ned por

PD - 2000

v

v En

..... ..... 2

n

1108 =p 0

n + 1

1)

Para valores bajos de amortiguamiento, la ecuación. (2­54), se puede aproximar por

:

1)

25)

:

= Representa "aproximadamente igual", por  donde el símbolo lo tanto,

v

v

n

n +1

:

= Exp () = exp (2) = 1 + 2 +

11080

25)

1) +

ciente exactitud se obtiene mediante la retención de sólo los dos primeros términos en desarrollo en serie de Taylor en el lado derecho, en cuyo caso

v

v

:n

n +

1

25)

= 2v

n +1

Para ilustrar la exactitud de la ecuación. (2­57), la relación entre el valor exacto de como dado por la ecuación. (2­ 54) para el valor aproximado dado por la Ec. (2­57) se representa en función del valor aproximado en la Fig. 2­12. Este gráfico permite a uno para corregir el factor de amortiguamiento obta ined por el método aproximado.

Exacto 25)

aproximadamente

1108 0

0.75

Figura 26.

0,50 0

15) ­­­

factor de corrección de relación de amortiguación que  debe aplicarse a

Aproximadamente

30.

Por amplitud

reducepeak cyclesto No

Dinámica de las estructuras

Resultado obtenido de la ecuación. 25)



5

4

3

[2



1108 0

0,05

0.10

0.15 

factor de amortiguamiento

0.20

Figura 26.

Coeficiente de amortiguamiento en función del número de ciclos necesarios para reducir la amplitud de pico de 50 por ciento.

Para   los   sistemas   ligeramente   amortiguadas,   una   mayor   precisión   en   la   evaluación   del   factor   de amortiguamiento se puede obtener considerando los picos de respuesta que son varios ciclos de diferencia, dicen los ciclos m; entonces

v

n

(C) 3M 2016.

E vn+ n =p m

1)

11080

que puede ser simplificado para la baja amortiguación a una relación aproximada equivalente a la ecuación. 1)

:v n

v

n +

11080

m

= 2mv

n+

m

Cuando se observan vibraciones libres amortiguadas experimentalmente, un método conveniente para estimar el coeficiente de amortiguamiento es contar el número de ciclos necesarios para dar una reducción de 50 por ciento en la amplitud. La relación para ser utilizado en este caso se presenta el gráfico camente en la Fig. 2­13.Como regla rápida, es conveniente recordar que para porcentajes de amortiguamiento crítico igual a 10, 5 y 2,5, las amplitudes correspondientes se reducen en un 50 por ciento aproximadamente en uno, dos y cuatro ciclos, respectivamente.

Ejemplo E2­1. Un edificio de un piso es idealizado como una viga rígida sup­portado por columnas sin peso, como se muestra en la Fig. E2­1. Con el fin de evaluar las propiedades dinámicas de esta estructura, se realiza una prueba libre de vibración, en el que el sistema de techo (rígido girde r) se desplaza lateralmente por un gato hidráulico y luego se libera de repente.Durante la operación de elevación, se observa que una fuerza de 20 kips [9; 072 kg] se requiere para desplazar la viga doce y veinte en [0: 508 cm].Después la liberación instantánea   de   este   desplazamiento   inicial,   la   máxima   desplazar­ment   en   el   columpio   primera   vuelta   es solamente doce y dieciséis en [0: 406 cm] y el período de este ciclo de desplazamiento es T = 01:40 sec.

A partir de estos datos, las siguientes propiedades de comportamiento dinámico se disuadir­minadas:

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

31

Peso W = mg

contr

p = fuerza de  hinca

C

k



. . . . . . . . . .2

k



. . . . . . . . . .2

Figura E2­1

Prueba de vibración de un edificio sencillo.

(1) A partir del peso de la viga:

T06 . . .. .. ..

#%

₩233,259,995, 60secg 000

.. 2

¡

GK

Por lo tanto

1108 0

.... ₩233,259,995, . . . . 000 . .2

.. .. .. .. .. 2

20 386 = 1; 920 kips [870: 9 10

GK = 0: 0496

kg]

1)

donde la aceleración de la gravedad se toma como g = 386 en =

(2) la frecuencia de la vibración no amortiguada de:

1 1 3.075.0 00

3

= J 1108

500Hz

2

seg

¡=F=

2 rad = 4:48 seg

(3 propiedades de amortiguación:

0:2 0 11080

decremento logarítmico:

= ln

11080

:

.. .. .. .. .. = 2

Coeficiente de  amortiguamiento:

11080

25) Coeficiente de amortiguación: C

{0/} C33/C33M - 13{/225)

1)

1)

= 1: 584 kips en sec =

[282: 9 kg seg = cm]

la frecuencia  amortiguada: :

¡2D

P = 0,000125)

( 4  ) Amplitud después de seis ciclos:

4

, V.

, V.

32

, V.

6

6

, V.

5

13/16 pulg.

14 cm

dinámica de las estructuras

Overcritically con amortiguación de Sistemas

A pesar de que es muy inusual en condiciones normales cuenten con sistemas estructurales amortiguadas overcritically­, que a veces ocurren como sistemas mecánicos; por lo tanto, es útil para llevar a cabo el análisis de la respuesta de un sistema amortiguado overcritically­para hacer esta presentación completa.En este caso tiene c = c > 1, es conveniente para escribir la ecuación. (2­39) en la forma

#%

p

1)

25)^

1)

en el cual

p

1)

c

¡25)11080

La sustitución de los dos valores de s dado por la ecuación. (2­60) en la Ec. (2­21) y la simplificación de los cables, finalmente, a

v (t) = [A senh!t ^ + B cosh!t ^] exp (!t)

25)

en la que el constantes reales A y B se pueden evaluar usando las condiciones v inicial (0) y v (0).Se muestra fácilmente de la forma de la ecuación. (2-62) que la respuesta de una sistema amortiguado overcritically­es similar al movimiento de un sistema críticamente amortiguado como se muestra en la Fig. 2­9; sin embargo, el rendimiento   asintótico   a   la   posición   cero   de   desplazamiento   es   más   lento   dependiendo   de   la   cantidad   de amortiguación.

PROBLEMAS

11080 El peso W del edificio de la Fig. E2­1 es 200 kips y el edificio se pone en sin vibraciones mediante la liberación de ella (en el tiempo t = 0) a partir de un desplazamiento de 1:20 en.Si el desplazamiento máximo en el columpio de retorno es 0:86 en en el tiempo t = 0:64 seg, determinar:

(A) la rigidez del resorte k lateral (b) el coeficiente de  amortiguamiento

(C) la amortiguación coe ciente C

2

1) Suponga que la masa y la rigidez de la estructura de la fig. 2­1 una son como sigue: m = 2 seg kips = en, k = 40 kips = en.Si el sistema se pone en vibración libre con las condiciones inicial v (0) = 0: 7 y v (0) = 5: 6 en = sec, determinar el desplazamiento y la velocidad en t = 1: 0 seg, suponiendo:

(A) c = 0 (sistema no amortiguado) (b) c = 2: 8 sec = kips en

2

1) Suponga que la masa y la rigidez del sistema de la Fig. 2­1 una son metro = 5 kips sec = en y k = 20 kips = en, y que está no amortiguada.Si el desplazamiento inicial es v (0) = 1: 8 en, y el desplazamiento en t = 1: 2 seg es también 1: 8 en, determinar:

(A) el desplazamiento en t = 2: 4 sec (b) la amplitud de la vibración libre

capitulo

3  DE LA DIRECCIÓN A armónica CARGANDO

3­1 SISTEMA no amortiguado

solución complementaria

Suponga que el sistema de la Fig. 2­1 se somete a una p armónicamente carga variable (t) de la forma de onda   sinusoidal   que   tiene   una p o amplitud y la frecuencia  circular! como   se   muestra   por   la   ecuación   de movimiento

• mv (t) + cv (t) + kv (t) = f pecado

o

¡M

11080

Antes de considerar este caso viscoso amortiguado, es instructivo examinar el comportamiento de un sistema no amortiguado controlado por

• mv (t) + kv (t) = f

o

pecado

¡M

1)

que tiene una solución complementaria de la forma libre de la vibración de la  ecuación. 25)

c

v (t) = A cos!sen B t +!M

1)

Solución particular

La solución general debe incluir también la solución particular que depende de la forma de la carga dinámica. En este caso de la carga de armónicos, es razonable suponer que el movimiento correspondiente es armónico y en fase con la carga; Por lo tanto, la solución de p articular es

v

p

(t) = C

pecado

[33]

34

dinámica de las estructuras

¡M

11080

en el que la amplitud C se va a evaluar.

Sustituyendo la Ec. (3­4) en la Ec. (3­2) da

11080 2

C

pecad ¡t + k C pecado!t = p me ¡o M

o

pecado!

2,

Dividiendo por el pecado !t (que es distinto de cero en general) y por k y observando que k = m =!  se obtiene después de algún reordenamiento

p

1

0

C

1108 0 yo k h

25)

en el que se de ne como la relación de la frecuencia de la carga aplicada a la frecuencia de la vibración libre natural, es decir,

¡

1)

11080

Solución general

La solución general de la ecuación. (3­2) se obtiene de forma mediante la combinación de las soluciones comple­mentarios y particulares y haciendo uso de la ecuación. (3­6); por lo tanto, se obtiene

p

1

0

v (t) = v

c

(t) + v

p

Código ISIN:

(t) = A cos!sen B t +!T06 k h

25) [●]

T06

En esta ecuación, los valores de A y B dependen de las condiciones con las que se inició la respuesta.Para el sistema partiendo del reposo, es decir, v (0) = v (0) = 0, es fácil demostrar que

p

1

0

"Un

N

k h

25) yo

11080

en cuyo caso la respuesta de la ecuación. (3­8) se convierte

p

VT

0

1

h

25)

25)

k

Código ISIN: [●]tsin!t)

donde p o = k = v st es el desplazamiento que se produce por la carga p o aplicada estáticamente y 1 = (1 2) es el factor de cationes Magni (MF) que representa el efecto de amplificación de la carga aplicada armónicamente.En esta ecuación, el pecado !t representa el componente de respuesta a la frecuencia de la carga aplicada; se llama la respuesta de estado estacionario y es dir cesados directamente relacionado con la carga.también pecado !t es la componente de respuesta a la frecuencia de vibración natural y es el efecto de libre vibración controlada por las condiciones iniciales.Ya

se denomina la respuesta transitoria.Para que este sistema no amortiguado hipotética, sin embargo, este término no amortiguar pero continuará infinitamente inde. que en un caso práctico, la amortiguación hará que el último término a desaparecer con el tiempo,

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

35

Ratio de respuesta ­ Una medida conveniente de la en influencia de la carga dinámica se proporciona por la relación de la respuesta de desplazamiento dinámico para el desplazamiento producido por aplicación estática de carga p

o, es decir,

R (t)

VT

VT

v

f

o

st = = k

25)

De la ecuación. (3­10), es evidente que la relación de respuesta resultante de la carga de onda sinusoidal de un sistema no amortiguado partiendo del reposo se

1 R (t) =

h

1)

Código ISIN: [●]tsin!t)

11080

Es informativo para examinar este comportamiento de respuesta con más detalle por referencia a la Fig. 3­1.Figura 3­1 a representa el componente de estado estacionario de la respuesta mientras que la Fig. 3­1 b representa la denominada respuesta transitoria.En este ejemplo, se supone que = 2 = 3, es decir, la frecuencia de carga aplicado es de dos tercios de la libre de vibraciones frecuencia.La respuesta total R (t), es decir, la suma de los dos   tipos   de   respuesta,   se   muestra   en   la   Fig.   3­1 c.Dos   puntos   son   de   interés:   (1)   la   tendencia   de   los   dos componentes

R

p

(T)

£M (/0}£F

"Un

M

TP



R

s

(T)

£M (/0}£F

N

M

. . . . . . . . . .2

T06



R (t)

C

M

. . . . . . . . . .2

proporción de  frecuencia







Figura 26.

Relación de respuesta producida por la excitación de onda sinusoidal a partir de las condiciones iniciales de reposo: (a) el estado  de equilibrio; (B) transitoria; (C) total en I (t).

36

dinámica de las estructuras

para entrar en fase y luego fuera de fase de nuevo, causando un efecto de "latido" en la respuesta total; y (2) la pendiente cero de la respuesta total en el momento t = 0, lo que demuestra que la velocidad inicial de la respuesta transitoria es sólo ciente para cancelar la velocidad inicial de la respuesta de estado estacionario; por lo tanto, se satisface la it especificado condición inicial v (0) = 0.

3­2 SISTEMA CON amortiguamiento viscoso

Volviendo a la ecuación de movimiento de división por m, y observando que c = m = 2 !

incluyendo amortiguamiento viscoso, Eq. (3­1), conduce a

Cas i

1) pecad o pecar ¡M

VT VTVT me

La solución complementaria de esta ecuación es la respuesta amortiguada sin vibraciones dada por la ecuación. (2­ 48), es decir,

c

v (t) = A cos!D sen B t +!Fecha:

31/ 05/2013.

Caduc.: %@; t)

4

La solución particular a la ecuación. (3­13) es de la forma

v

p

cos

(t) = G

1

¡t + G

2

sen!M

11080

en el que se requiere el término coseno, así como el término sine porque, en general, la respuesta de un sistema amortiguado no está en fase con la carga.

Sustituyendo la Ec. (3­15) en la Ec. (3­13) y la separación de los múltiplos de cos !t desde los múltiplos de pecado !t conduce a

G.....!G.....!25) G.....!.M

. . . . . . . . . . 2

. . . . . . . . . . 2

Cas i

Código

G..... HG6024 ! ¡ 25) G.....!

¡

me

ISIN: [●]T06

11080

Con el fin de satisfacer esta ecuación para todos los valores de t, es necesario que cada una de las dos cantidades soporte de cuadrados igual a cero; por lo tanto, se obtiene

gg. 1)

. . . . . . . . . .2

G.....! G.....! 25)

Casi

k

en la que es la relación de frecuencia dada por la ecuación. 25) Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente rendimientos

Cas i G

.......... 2

=

1

25)

k

25)

1)

p

0

G..... !k

1)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

37

La introducción de estas expresiones en la ecuación. (3­15) y la combinación de los resultados con la solución com­ plementario de la ecuación. (3­14), se obtiene la respuesta total en la forma

v (t) = A cos p!

Fecha: 31/ 05/2013.

Caduc .: sen B! M %@; ¡t)

1

D.

.... ....

. .2

0

+k

25)

pecado pecart 2cos!M

Humira

yo

11080

El término primera en el lado derecho de esta ecuación representa la respuesta transitoria, que amortigua a cabo de acuerdo   con exp ( !t), mientras que el segundo término representa la respuesta armónica de estado estacionario, que continuará infinitamente inde.Las constantes A y B se   pueden   evaluar   por   cualquier condiciones iniciales dadas, v (0) y v (0).Sin embargo, ya que la respuesta transitoria amortigua rápidamente, por lo general es de poco interés; Por lo tanto, la evaluación de las constantes A y B no se llevará a cabo aquí.

En estado estable armónica Respuesta ­ De gran interés, sin embargo, es la respuesta armónica de estado estacionario propuesta por el segundo término de la ecuación.25)

p

1

... ... ... .2

0

v

p

(t) = k

25)

pecado pecart

Humira 2cos!M

yo

25)

Este comportamiento de desplazamiento en estado estacionario se puede interpretar fácilmente por el trazado de dos correspondientes vectores en rotación en el plano complejo, como se muestra en la Fig. 3­2, donde sus componentes a lo largo del eje real son idénticos a los dos términos de la ecuación. 25) El verdadero mponent co del vector resultante, i i exp [(!t )], Da la respuesta en estado estacionario en forma

v

p

(t) = sin (

11080

¡t)

que tiene una amplitud

Cas i

=

1108 k h0

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. 2

. 2

2

) 11080

1108 0

y o

11080

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de  conocer"

R



Cas i

11080

T0 6 

Cas i

. . . . . . . . . .2

)







k

. .  . .  . .  . .  . . . . . . . . . . . .2 2

 

 exp (i  t)]

. . . .  . . . .  . .2

1)



1108 0 25) )





k

T0 6

i exp [i (



25)

t)]

1)

Figura 26.

El estado estacionario respuesta de desplazamiento.

38

 i exp (i  t)]

dinámica de las estructuras

y un ángulo de fase, por el que la respuesta está por detrás de la carga  aplicada

1)

..... ..... 2

Canela

1)

1)

Se debe entender que este ángulo de fase está limitada al rango de 0 << 180.

La relación de la amplitud de la respuesta armónica resultante al desplazamiento estática que sería producida por la fuerza de p

o

se llamará el catión Magni dinámico

el factor D; así

D = (1 2)

2

+ (2)

21 = 2

(3­24) p o = k

Se ve que tanto la dinámica Magni factor de catión D y el ángulo de fase varían con la relación de frecuencia y el factor de amortiguamiento.Parcelas de D vs. y vs. se muestra en las Figs. 3­3 y 3­4, respectivamente, para valores discretos de coeficiente de amortiguamiento,.

En este punto es instructivo para resolver la respuesta armónica de estado estacionario una vez más el uso de una forma exponencial de la solución.Considere el caso general de armónicos





2D     1   

1)

180.8

ANG Fase ULO

$  270,000.9 0

1)

incógnit  

1) 

25) 

25)

11080 Figura 26.



2



Variación del factor de ampliación  3  dinámico

con amortiguación y la frecuencia.

incógnit 

11080 

11080  1)

Figura 26.



2

Relación de frecuencias, 



Variación del ángulo de  fase con

amortiguamiento y la  frecuencia.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

39

la carga expresada en forma exponencial:

Cas i i exp [( ¡T06

VT VTVT

25)

me

donde es un ángulo de fase arbitraria en la función de carga de armónicos. Al tratar con cargas armónicas general Y COMPLETEL, especialmente para el caso de carga periódica, donde la excitación se expresa como una serie de términos armónicos, es esencial de nir el ángulo de fase de entrada para cada armónico; sin embargo, esto por lo general se lleva a cabo más convenientemente mediante la expresión de la entrada en forma de número complejo en lugar de por el ángulo de amplitud y fase.En este capítulo sólo se considerará un único término de carga armónica; por lo tanto, su ángulo de fase se toma arbitrariamente como cero por simplicidad, por lo que no tiene que ser yo ncluded en la expresión de carga.

La solución particular de la ecuación. (3­25) y sus derivados primeros y segundos de tiempo son

v

p

(t) = G exp (i!t)

v

p

v•

1)

(t) = i ¡G exp (i!t)

p

2

(t) = ¡ G exp (i!t)

donde G es una constante compleja.Para evaluar G,  sustituir las ecuaciones. (3­26) en la Ec. (3­25), en modo 2 alguno  la cantidad de exp (i!t) común a cada  término, k = sustituto! para my  para!=!,  Y resolver  para G produciendo

Cas i

Cas i

1

G..... !

yo

=

k

yo

k

25)

11080

Sustituyendo este valor complejo de G en la primera de las ecuaciones. (3­26) y el trazado de los dos vectores resultantes en el plano complejo, se obtiene la representación se muestra en la Fig. 3­5.Tenga en cuenta que estos dos vectores y su resultante, junto con el ángulo de fase

Solo estoy  sorprendido  que estés  dispuesto a  ofrecerlo tan  pronto. Nos  acabamos de  conocer"

p

1) 

0





k

exp (i  t)

25)



T06 R  

 exp [i  t )]



T06 Cas

11080



Figura 26.

i 

k

40



 i exp i  t]

respuesta en estado estacionario mediante  amortiguamiento viscoso.

11080

dinámica de las estructuras

son idénticas a las cantidades correspondientes en la Fig. 3­2, excepto que ahora el conjunto de vectores se ha girado en sentido antihorario a través de 90 grados. Esta diferencia en las figuras corresponde a la diferencia de ángulo de fase entre las excitaciones armónicas i (p

= m) exp (i!t) y P

o

= m) exp ((i!t) la producción de los resultados de

las Figs. 3­2 y 3­5, respectivamente.Tenga en cuenta que (p = T06

O

m) sen !t es la parte real de i (p =

o

O

m) exp (i!

Es de interés tener en cuenta el equilibrio de fuerzas que actúan sobre la masa bajo el estado de equilibrio por encima de la condición de armónicos por el que la respuesta total, como se muestra en la Fig. 3­5, es

v

p

(t) = exp [i ( ¡T06

11080

que tiene una amplitud dada por la ec. 4 equilibrio de fuerzas requiere que la suma de la inercia, de amortiguación, y fuerzas de resorte es igual a la carga aplicada

11080

p (t) = f

o

exp (i!t)

Utilizando la ecuación. (3­28), estas fuerzas son

I

f

D

p

(t) = cv

f

S

p

(t) = kv p (t) = k exp [i ( ¡T06

p

(t) = mv •

p

p

(t) = m ¡

2

f

exp [i ( ¡T06

(t) = ic ¡ i exp [( ¡T06

25)

que junto con la carga aplicada se muestran como vectores en el plano complejo de la Fig. 3­6. También se muestra el polígono cerrado de fuerzas necesarias para el equilibrio de acuerdo con la Ec. 25) Tenga en cuenta que aunque los, amortiguamiento  y las  fuerzas  inerciales  de  primavera  como en GIV en  las  ecuaciones.  (3­30) están en  fase  con la aceleración, velocidad y desplazamiento

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

25)

11080

f Dp = Wr ic exp i (w t [- q )]

25)

p (t) = f

o

exp (i w t)

1)

PesoWT -2000 o

R

25)

f Ip = Mw

1)

2

r exp [ yo (W t - Q)]

1)

f

"Un

Figura 26.

Sp

K = r exp i (w t [- q )]

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

f

f

Sp

Dp

Pt.C/O Tinnitus bilateral

1)

PesoW T-2000 f

o

Ip

R

f Ip F + Dp + F Sp - P (t) = 0

N

fuerzas armónicas en estado estacionario utilizando amortiguamiento viscoso: (a) Representación plano complejo; (B) obligar a cerrar la representación poligonal.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

41

movimientos,   respectivamente,   que   en   realidad   se   oponen   a   sus   movimientos   correspondientes   de   acuerdo   con   la Convención de signos de la Fig. B 2­1 que fue aprobado en la ecuación.25)

Ejemplo E3­1. Una máquina de armónicos de carga portátil proporciona un medio efectivo para la evaluación de las propiedades dinámicas de las estructuras sobre el terreno.Al operar la máquina en dos frecuencias diferentes y midiendo la relación de amplitud y fase de respuesta estructural resultante en cada caso, es posible determinar la masa, de amortiguación, y la rigidez de una estructura SDOF.En una prueba de este tipo en un edificio de una sola planta, el agitador se hizo funcionar a fre­cuencias de!1 = 16 rad = s, y!2 = 25 rad = seg, con una amplitud de fuerza de 500 lb [226: 8 kg] en cada caso.La resp Onse amplitudes y las relaciones de fase medido en los dos casos eran

1

1

13/16 pulg. 11080

14 cm

.

25)

pecado

25)

pecar

.. .. .. .. .. 2

13/16 pulg.

14 cm

.

11080

.. .. .. ..

pecado pecar

.. 2 25)

1)

Para evaluar las propiedades dinámicas de estos datos, es conveniente volver a escribir la ecuación. (3­ 22) como

1) p

1

1

p

0

0

"Un

=

=

(k)

.

11080

(k)

donde   la   función   trigonométrica   se   ha   derivado   de   la   ecuación.   1)   Con   más   de   cationes   simplificación algebraica esto se convierte

Kk2 metro =

p

o

cos

A continuación, la introducción de los dos conjuntos de datos de prueba conduce a la ecuación matricial

. . . . . . . . .

1108 0

. 2

1 [16]

#"

"

1)

k

1) lb

metro

#

1)

= 500

"

#

3

1) que puede ser resuelto para  dar

k = 100 10 =

3

m = 128: 5 lb seg = en

KG, CM

lb en

2

[22:95 kg seg =

2

cm]

Y en consecuencia.

W = mg = 49: 6 10

42

3

libras [22: 5 10

3

kg]

dinámica de las estructuras

La frecuencia natural está dada por

k

r m = 27: 9 rad = 1 ) × e sec ¡-

Para determinar el coeficiente de amortiguación, dos expresiones para cos se pueden derivar de las  ecuaciones. (a) y (3­23).La equiparación de éstos y despejando el amortiguamiento relación conduce a

= P = p

Así, con los datos de la primera prueba

o

pecado

o

el pecado 2 kc c!

= 1; 125 lb sec = en [200: 9 kg sec = cm]

25)

Cc

25)

10

1 )

y el mismo resultado (dentro de la precisión de ingeniería) viene dada por los datos de la segunda prueba. Por  tanto, el coeficiente de amortiguamiento es

C

=

(k)

1)

=

11080

25)

3­3 respuesta resonante

De la ecuación. (3­12), es evidente que la amplitud de la respuesta de estado estacionario de un sistema no amortiguado tiende hacia en nidad como la relación de frecuencia aproxima a la unidad; esta tendencia se puede ver en la Fig. 3­3 para el caso de = 0.Para valores bajos de amortiguación, se observa en esta misma figura que la amplitud máxima respuesta de estado estacionario se produce a una relación de frecuencia ligeramente menor que la unidad. Aun así, la condición que resulta cuando la relación de frecuencia es igual a la unidad, es decir, cuando el frequenc y de la carga aplicada es igual a la frecuencia de vibración

natural no amortiguada, se llama resonancia.De la ecuación. (3­24) se ve que el factor de cationes Magni dinámico bajo esta condición (= 1) es

1

2D

1)

.. .. .. .. .. 2

Para   hallar   el   valor   máximo   o   pico   del   factor   de   cationes   Magni   dinámico,   uno   debe   ser   diferente­renciar   la ecuación. (3­24) con respecto a y resolver la expresión resultante para la obtención de p

Top

(que da valores reales positivos para la amortiguación de las proporciones < 1 = de la relación de frecuencias de nuevo en la ecuación. (3­24) dando

1

P= %1$1d 0,000 MAX! 1 1)

1108 0

= 1)D.

p

2), y luego sustituir este valor

11080

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

43

Para valores típicos de amortiguamiento estructural, por ejemplo < Doce y diez, la diferencia entre la Ec. (3­33) y la más simple ecuación. (3­31) es pequeño, siendo la diferencia de la mitad de 1 por ciento para = 0:10 y 2 por ciento para = doce y veinte.

Para una comprensión más completa de la naturaleza de la respuesta de resonancia de una estructura para ADing lo armónico, es necesario tener en cuenta la ecuación de respuesta general. (3­19), que incluye el término transitorio, así como el término de estado estacionario.En la frecuencia de excitación resonante (= 1), esta ecuación se convierte

p

.M 11080

0

... ... ... k .2

v (t) = (A cos!D sen B t +!D t) exp (!t)

Suponiendo que el sistema parte del reposo [v (0) = v (0) = 0], las constantes  son

p 1

"Un

0

(k)

p

N

¡

0

k 1)D.

p

=

1

0

k

p

..

25)

11080

.. .. .. .. 2

Por lo tanto la ecuación. (3­34) se convierte

1

p

0

VT

. . . . . . . . . .2

25)

k

pecado pecarCos t +

D!D

1)

t exp (!t) cos!M

p

Para las cantidades de amortiguación que se espera en los sistemas estructurales, el término unidad; en este caso, esta ecuación se puede escribir en la forma aproximada

VT

1

.. .. .. .. fo .. n R (t) = = k = 2 exp (!T06

.t + exp (!t) sen!A

11080

p

1

2

es casi igual a la

Para  la amortiguación  de  cero,  esta  ecuación aproximada  es  indeterminado;  pero  cuando  se  aplica  la  regla  de L'hospital, la relación de respuesta para el sistema no amortiguado se encuentra para ser

:1

. . . . . . . . . . R (t) = 2 pecado pecarT06t cos!t)

11080

Los gráficos de estas ecuaciones se muestran en la Fig. 3­7. Tenga en cuenta que el pecado porque los términos que contiene!T contribuyen poco a la respuesta, los valores máximos en esta Gure acumulan linealmente para el caso no amortiguado, el cambio en una cantidad en cada ciclo; Sin embargo, se acumulan de acuerdo con (1 = 2) [exp ( !t) 1] para el caso amortiguado.Esta función envolvente de este último se representa frente a la frecuencia en la Fig. 3­8 para los valores discretos de amortiguación. Se ve que la tasa de acumulación hacia el nivel de estado estacionario 1 = 2 aumenta con la amortiguación y que la acumulación de casi el estado estable nivel se produce en un número relativamente pequeño de ciclos de valores de amortiguación en el intervalo práctico de interés; por ejemplo, 14 ciclos trae la respuesta muy cerca del nivel de estado estacionario para un caso que tiene de 5 por ciento de amortiguación crítica.

[44

Responseratio, R (t) Dinámica de las estructuras

R (t)

25)

t

R (t) 1  

1)

t

sistema amortiguado

sistema no amortiguado

Figura 26.

Respuesta a la carga de resonancia  = 1 para las condiciones iniciales de reposo.

Responseratioenvelope 1 



1) 11080

25)

11080

1  

11080

Número de  ciclos, Hz

. . . . . . . . . . 2

4



8

10

12 

1)

1)

1)

1)

1)

1)

0

1)



Duración de la  carga,

T06

Figura 26.

Tasa de acumulación de respuesta resonante desde el reposo.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

45

3­4 acelerómetros y medidores de desplazamiento

En este punto es conveniente analizar los principios fundamentales en que se basa el funcionamiento de una importante   clase   de   dispositivos   de   medición   dinámica.   Estos   son   instrumentos   sísmicos,   que   consisten esencialmente de un oscilador amortiguado viscoso tal como se muestra en la Fig. 3­9.El sistema está montado en un alojamiento que puede estar unido a la superficie donde el movimiento se va a medir. La respuesta se mide en términos del movimiento v (t) de la masa con respecto a la carcasa.

La ecuación de movimiento para este sistema ya se ha mostrado en la ecuación. (2­17) a

ser • mv (t) + cv (t) + kv (t) = mv •

donde v •

g

g

(t) p eff (t)

(t) es la aceleración vertical del soporte de la vivienda.Teniendo en cuenta un armónico

soporte para la aceleración de la forma v • g (t) = v • g 0 pecado !t, de modo que p eff (t) = • mv 0 g pecado !t, la dinámica amplitud de la respuesta de estado estacionario de movimiento v (t) viene dada por la ec.1)

(Es decir: 2040, 2045)

• mv 0g

=

D.

11080

k

en la que D dada por la ec. (3­24) se presenta gráficamente en la Fig. 3­3.El examen de esta figura muestra que, para un coeficiente de amortiguamiento = 0: 7, el valor de D es casi constante sobre el rango de frecuencia 0 << 0: 6.Así, es claro a partir de la ecuación. (3-39) que la respuesta indicada por   este   instrumento   es   casi directamente proporcional

a   la   amplitud   de   soporte­aceleración   para   las   frecuencias aplicadas de hasta aproximadamente seis décimas p

la   frecuencia   natural   del   instrumento  (! %.2f km;Por lo tanto, este tipo de instrumento cuando está debidamente amortiguado servirá eficazmente como un acelerómetro para frecuencias relativamente bajas; su gama de aplicabilidad se ampliará mediante el aumento de su frecuencia natural en relación con la frecuencia de excitación, es decir, mediante el

aumento de la rigidez del muelle y / o la disminución de la masa.Calibración de un acelerómetro se lleva a cabo fácilmente colocando primero el instrumento con su eje de sensibilidad verticalmente y luego

v t (T)

k

Salida proporcional a

me desplazamiento relativa v (t)

C

v

t

(T) = v (t)  v (t)

g

v ¨

g

(T) = v

¨

g 0

pecado



t (Movimiento de entrada de la base)

Figura 26.

Diagrama esquemático de un sismómetro típico.

46

dinámica de las estructuras

D. 3 

. . . . . . . . . . 2

11080

25) 1 

25)  6 

amplitud

. . . . . . . . . . 2



1)  . .  D.  .  .  .  .  .  .  .  . 2





1)

. . . . . . . . . .2

Respuesta



1)

0

1

Relación de frecuencias, 

Figura 26.

Respuesta de sismómetro al desplazamiento de base armónica.

2



girando el instrumento al revés y registrando el cambio resultante de la respuesta que corresponde a una aceleración el doble que la de la gravedad.

Consideremos   ahora   la   respuesta   del   instrumento   se   ha   descrito   anteriormente   se   somete   a   un   soporte   de desplazamiento v

g

Har­mónico (t) = v

0 g

y   la   carga   efectiva   es p ef = m!v 0 respuesta-desplazamiento relativo es

pecado !T06En este caso, v •

g

g

2

(t) = ! v

0 g

pecado !M

pecado !T06De acuerdo con la Ec. (3-22), la amplitud de la

m e ¡VG D=v

=

0g

2

D

25)

k

2

2

Una gráfica de la función de respuesta D se presenta en la Fig. 3­10.En este caso, es evidente que D es esencialmente constante en relaciones de  frecuencia> 1 para un coeficiente de amortiguamiento = 0: 5.Por lo tanto, la respuesta de un instrumento adecuadamente amortiguada es esencialmente proporcional a la amplitud de base de desplazamiento para los movimientos de soporte de alta frecuencia; es decir, que servirá como un medidor de desplazamiento en la medición de dichos movimientos. Su gama de aplicabilidad para TH es   el   propósito   se   ampliará   mediante   la   reducción   de   la   frecuencia   natural,   es   decir, mediante la reducción de la rigidez del resorte y / o el aumento de la masa.

AISLAMIENTO 3­5 VIBRACIONES

Aunque el tema de aislamiento de vibración es demasiado amplia para ser discutido thor­a fondo aquí, los principios básicos involucrados se presentarán en que se refieren a dos tipos de problemas:  (1) prevención de vibraciones perjudiciales en estructuras de soporte debido a las fuerzas oscilatorias producidas por operativo equipo y (2) la prevención de vibraciones perjudiciales en instrumentos sensibles debido a las vibraciones de sus estructuras de soporte.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA



p (t) = f

o

pecado t

VT

me

C k

k





47

. . .  . . .  . . .  .2

. . . . . .  . . . .2

Figura 26.

f=f

S

F



D

sistema de vibración­aislamiento de un grado de  libertad (carga aplicada).

La situación RST se ilustra en la Fig. 3­11, donde una máquina rotativa produce una fuerza vertical oscilatorio p o pecado !t debido al desbalance en sus piezas giratorias.Si la máquina está montada sobre un sistema de soporte de muelle­amortiguador SDOF como se muestra, su estado de equilibrio de respuesta relativa de desplazamiento está dado por

Cas i

v

p

(t) = k

D sen (!t)

25)

donde D es de nida por la Ec.1) Este resultado supone, por supuesto, que el movimiento de la ayuda inducida por el total de la fuerza de reacción F (t) es insignificante en comparación con el movimiento del sistema con respecto al soporte.

Utilizando la ecuación. (3­41) y su derivada en el tiempo primero, las fuerzas de reacción del resorte de amortiguación y se vuelven

f

S

(t) = kv (t) = f

o

D sin (!T06

1)

cp D o!

f

D

(t) = CV (t) =

.t) = 2p o D cos (!t)

k

Puesto que estas dos fuerzas son 90 fuera de fase entre sí, es evidente que la amplitud de la fuerza de reacción de base total está dada por

f max (t) = [f S, máx (t)

2

+ f D, max (t) 2]

=1

=

2

m

o

D+1

h

(2)

2

i=12

(3­43)

Por lo tanto, la relación de la fuerza de base máxima a la amplitud de la fuerza aplicada, que se conoce como la transmisibilidad (TR) del sistema de soporte, se convierte

f max (t)

(re)

{2} [10 p.] Casi {/2} 11080

TR

11080

El   segundo   tipo   de   situación   en   la   que   el   aislamiento   de   vibraciones   es importante es ilus trado en Fig. 3­12, en el que el soporte armónico movimiento v relativa de desplazamiento en estado estacionario

v p (t) = v sen (

48

0g

dinámica de las estructuras

t

v (T)

t

me

v (T) = v (t)  v (t)

2

D ¡t)

1)

g

(t) obliga a una respuesta

g

k

v C



Figura 26.



k

g



(T) = v g 0 pecado  t

Un grado de libertad del sistema de  vibración­aislamiento (apoyo

. . . . .  . . . . . 2

. . . . . . . . . .2

excitación).



1)



 

1) 5 



f

max

. .  . .  . .  . .  . . 2

 

1)



1) Casi





TR

1108 0 3 

t

v max

1) VG



0



0



1)

. . . . . . . . . .2

Relación de frecuencias, 

Figura 26.



relación de las vibraciones de transmisibilidad (aplicado carga o soporte de excitación).

de acuerdo con las Ecs. (3­21) y (3­40). La adición de este movimiento vectorialmente al soporte de movimiento v (t) = v 0 g pecado !t, la respuesta total de estado estacionario de la masa m está dado por

g

P = 0,0001

t

v (t) = v

0g

+ 1 (2)

2

D sen (!T06

en   el   que   el   ángulo  de   fase   es   de   ningún   interés   particular   en   la   presente   discusión.   Por  lo   tanto,  si   la transmisibilidad en esta situación se de ne como la relación de la amplitud de movimiento total de la masa a la corresp onding amplitud de base de movimiento, se ve que esta expresión para transmisibilidad es idéntica a la dada por la ecuación. (3­44), es decir,

Nota

v•

t

v max

t

max

TR

que esta transmisibilidad

v•

g

máx

porque v •

t

max = ¡

VG

(re)

[10 p.]

relación también se aplica a la

2

t

v max y v •

máx =

g

¡VG

11080

relación de aceleración

Puesto que las relaciones de transmisibilidad dadas por las ecuaciones. (3­44) y (3­47) son idénticos, la relación común   expresa   la   transmisibilidad   de   los   sistemas   de   vibración­aislamiento   para   ambas   situaciones   descritas anteriormente. Esta relación se representa como una función de la frecuencia r atio

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

49

en la Fig. 3­13 para valores discretos de amortiguación. Tenga en cuenta que todas las curvas pasan por el mismo p punto en una relación de frecuencia de = 2.Es evidente que debido a esta característica, el aumento de la p amortiguación cuando

2 disminuye   lap  eficacia.Dado   que   los   valores   de   transmisibilidad  de> P2 son generalmente mucho más bajos que los de < 2, uno debe tomar ventaja de operar en el rango de frecuencia más alta cuando es práctico hacerlo.Esto no siempre es posible, sin embargo, porque en muchos casos el sistema debe p operar   por  debajo = 2 para  algunos   intervalos  de   tiempo,   y  en  algunos  casos   incluso  operar  cerca  de   la condición resonante = 1.El siguiente ejemplo ilustra esta condición:

Ejemplo E3­2. De exiones a veces desarrollan en vigas de puentes de hormigón debido a la fluencia, y si el puente se compone de una larga serie de tramos idénticos, estas deformaciones serán causar una excitación armónica   en   un   vehículo   que   viaja   por   el   puente   a   velocidad   constante.Por   supuesto,   los   muelles   y amortiguadores   de  los  coches  están   destinados  t o  proporcionar  un  sistema   de  vibración­aislamiento   que limitará los movimientos verticales transmitidas desde el camino de los ocupantes.

Figura E3­1 muestra un modelo altamente idealizada de este tipo de sistema, en la que el peso del vehículo es 4; 000 lb [1; 814 kg] y su rigidez del resorte es de nida por una prueba que demostró que la adición   de 100 lb [45:36 kg] causó   una   de   reflejo   de 0:08 en [0: 203 cm].El puente pro le está representado por una curva sinusoidal que tiene una longitud de onda (SPAN viga) de 40 pie [12: 2 m] y una amplitud (individual) de 1: 2 en [03:05 cm].A partir de estos datos que se desea para predecir el estado de equilibrio vertical de movimientos en el coche cuando se viaja a una velocidad de 45 mph [72: 4 km = hr], suponiendo que la amortiguación es 40 por ciento de crítico.

La transmisibilidad para este caso se da por la ecuación. (3­47); de ahí el ampli­tud de movimiento vertical es

1108 0

v

t

max

VG

W = 4,000 lb

v (T)

t

k

11080 Velocidad = 45 mph

k

C



. . . . . . . . . . 2

superficie del puente

. . . . . . . . . .2

13/16 pulg.

I-F1

Figura E3­1

idealizada vehículo que viaja a través de una cubierta del puente desigual.

50

dinámica de las estructuras

Cuando el coche está viajando a 45 mph = 66 ft = sec, el período de excitación es

m2 T

p

= 66 ft = s = 0: 606 seg

mientras que el periodo natural del vehículo es

.. .. .. .. .. 2

T06 ¡

₩233,259,995, 000

#%

Kg

60secg

Por lo tanto = T = Tp = 0: 572 = 0: 606 = 0: 944, y con = 0: 4 es la amplitud de la respuesta

t

v max = 1: 2 (1: 642) = 1:97 en [05:00 cm]

También es de interés observar que si no hubiera amortiguación en el vehículo (= 0), la amplitud sería

v

1

1)

25) =

0: 2 1/2 pulg./6.35 cm.

t

max

VG

Esto está más allá del rango de resorte, por supuesto, y por lo tanto tiene poco significado, pero demuestra la importante función de los amortiguadores en la limitación de los movimientos resultantes de la ondulación de la superficie de la carretera.

Al   diseñar   un   sistema   de   vibración­aislamiento   que   operará   en   frecuencias   por   encima   del   valor   crítico

p

representados por = 2, es conveniente expresar el comportamiento del sistema SDOF en términos de eficacia de aislamiento (IE) en lugar de transmisibilidad.Esta cantidad se de ne por

IE [1 TR]

11080

en el que IE = 1 representa el aislamiento completo accesible sólo como!1 y el IE = 0 representa la ausencia de

p

aislamiento que tiene lugar en = 2.Para los valores de a continuación este valor crítico, de amplificación del movimiento de la masa se lleva a cabo; Por lo tanto, el aislamiento de vibración real sólo puede tener lugar cuando

p

el sistema funciona a valores de mayor que 2.En este caso el sistema de aislamiento debe tener tan poco como sea posible de amortiguación.

Para la pequeña amortiguación, la transmisibilidad dada por la ecuación. (3­44) o la ec. (3­47), después de la sustitución de la ecuación. (3­24), se puede expresar por la relación aproximada

:

TR.

25)

en cuyo caso la eficacia de aislamiento se convierte

(Es decir: 2040, 2045)1)

25)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

51

2,

La solución de esta relación para  se obtiene su forma inversa

2

= (2 IE) (1 IE)

1)

1)1)2: 1-11; Marcos

2 Tomando nota de que 2 = ! (W = kg) = !2 (4 st = g), donde g es la aceleración de la gravedad y 4 st es la estática de reflexión producida por el peso muerto

W en su montaje primavera, la Ec. (3­51) se puede expresar en la forma

1 ..porqu g h .

(Es 

e todo va a cambia r. tan pronto como ella

¡ = 3.075.0 00

. . . . . . . . . .2

. . . . . . . . . 2

4

2

st?

1

decir: 2040, 2045 )

0
25)

(Es decir: 2040, 2045)

yo

Frecuencia f mide en hercios (ciclos = seg), como se deriva de esta expresión, se representa frente a la estática de reflexión 4 st en la Fig. 3­14 para valores discretos de aislamiento La eficiencia IE. Conociendo la frecuencia de impresionado de excitación f,  se puede determinar directamente a partir de las curvas en esta figura el apoyo­pad de reflexión 4 st requiere para alcanzar cualquier nivel deseado de vibración aislamiento La eficiencia (IE), suponiendo, por supuesto, que el sistema de aislamiento tiene poca amortiguación.Es evidente que cualquier sistema de aislamiento debe ser ve ry flexible para ser eficaz.

Deflexión estática  st cm

2. 1.

1)

1)

25)

(Es  decir:  2040,  2045)

40 500Hz

35

0.98

1)

1)

1)



3.075.000

96

30.



Frecuencia

[94]

25



90

20



85



Entrada

80



75 pag 511

15

0,65



[50]

10 0



1)

0,05 0.10 0.15  0.20

0.25 0,30

0.35 0.40  0.45 0,50

1108 0 0,60

Deflexión estática  st, en

Figura 26.

Vibración­aislamiento tabla de diseño.

Ejemplo

e.

Una máquina de movimiento alternativo de pesaje 20; 000 lb [9; 072 kg]

es  el  conocida desarrollarla.

52

una fuerza armónica orientado verticalmente de la amplitud

dinámica de las estructuras

500 lb [226: 8 kg] en su velocidad de funcionamiento de 40 Hz.  Con el fin de limitar las vi­braciones excitados en el edificio en el que esta máquina se va a instalar, que debe ser apoyado por un resorte en cada esquina de su base rectangular.El de­firmante quiere saber lo que la rigidez de soporte se requiere de eac h primavera para limitar la fuerza armónica total transmitida desde la máquina hasta que el edificio

1 lb (0.4 kg)

La transmisibilidad en este caso es TR = 80 = 500 = doce y dieciséis, que corre­ponde a una La eficiencia aislamiento de IE = 1 TR = 0:84.De la Fig. 3-14 para f = 40 Hz y el IE = 0:84, uno de NDS que 4 st es aproximadamente 0: 045 en [0: 114 cm]; Por lo tanto, la rigidez k requerida de cada muelle es

₩233,259,995, 000

(k)

st?

20

=

= 111 kips = en [19; 823 kg = 25) cm]

3­6 EVALUACIÓN DE LA RELACIÓN viscoso de amortiguación

En la discusión anterior de la respuesta dinámica de los sistemas de un grado de libertad, se ha supuesto que las propiedades físicas consistentes en masa, rigidez y amortiguamiento viscoso son conocidos. Mientras que en la mayoría   de   los   casos,   la   masa   y   la   rigidez   pueden   ser   evaluados   con   bastante   facilidad   U SO   simples consideraciones físicas o expresiones generalizadas como se discutió en el Capítulo 8, normalmente no es factible determinar el coeficiente de amortiguación por medios similares debido a que los mecanismos básicos de la pérdida de energía en la mayoría de los sistemas prácticos rara vez son plenamente enten­ ONU.De hecho, es probable que los mecanismos reales de pérdida de energía son mucho más complicada que la fuerza de amortiguación viscosa sencilla (velocidad proporcional) que se ha asumido en la formulación de la ecuación de un grado de libertad de movimiento.   Pero   generalmente   es   posible   determinar   una   propiedad   de   amortiguación   viscoso   equivalente apropiado   por   métodos   experimentales.Un   breve   tratamiento   de   los   métodos   comúnmente   usados  para   este propósito se presenta en las siguientes secciones:

Sin vibraciones Método Decay

Este es el método más simple y más fre utilizado consiguiente de Nding la relación viscoso de amortiguación a través de mediciones experimentales.Cuando el sistema ha sido puesto en vibración libre por cualquier medio, el coeficiente de amortiguamiento puede determinarse a partir de la relación de dos desplazamientos de pico medidos en m ciclos consecutiv e.Como se muestra en el capítulo 2, el coeficiente de amortiguamiento puede ser evaluada utilizando

me

=

(C) 3M 2016. %2D

: me

1)

(C) 3M 2016 = .

donde m ln (v v = n n + m) representa el decremento logarítmico sobre ciclos y m!%@, las frecuencias circulares no amortiguado y amortiguadas, respectivamente.para baja

%@ y %@ re son 

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

53

Los valores de amortiguación, la relación aproximada de la ecuación. (3­53) se puede utilizar, que es sólo un 2 por ciento en el error cuando = 0: 2.Una ventaja importante de este método libre de vibración es que el equipo de instrumentación y requisitos son mínimos; las vibraciones se pueden iniciar por cualquier método conveniente y sólo las amplitudes relativas de desplazamiento necesitan ser medidos. Si la amortiguación i es realmente de la forma viscosa lineal como se suponía anteriormente, cualquier conjunto de m ciclos  consecutivos producirá  el  mismo  coeficiente  de  amortiguamiento a  través  del  uso  de  la  ecuación.11080 Desafortunadamente, sin embargo, el coeficiente de amortiguamiento así obtenido a menudo se encuentra que es de amplitud dependiente, es decir, m ciclos consecutivos en la parte anterior de la respuesta de alta amplitud sin vibraciones rendirán un coeficiente de amortiguamiento diferente de m ciclos consecutivos en una etapa posterior de respuesta mucho menor.Por lo general, se encuentra en tales casos que la amortiguación ses relación decrea con amplitud decreciente de la respuesta libre de vibraciones.Se debe tener precaución en el uso de estas relaciones de amortiguación dependiente de la amplitud para predecir la respuesta dinámica.

Método de resonancia de amplificación

Este método de determinación de la relación viscoso de amortiguación se basa en la medición de las amplitudes de estado estacionario de respuesta de desplazamiento relativo producido por cargas armónicas separadas de amplitud p o en valores discretos de frecuencia de  excitación! en un amplio rango i ncluding la frecuencia natural.Trazado de estas amplitudes medidas de la frecuencia proporciona una curva de respuesta en frecuencia del tipo mostrado en la Fig. 3­15.

Desde el pico de la curva de respuesta en frecuencia de una estructura típica amortiguado baja es bastante estrecha, i es generalmente necesario acortar los intervalos de las frecuencias discretas

1) amplitud,



1)

respuesta Armónico

1)

0

1) Maxma

11080

Maxma 



25)

25)

Figura 26.

. . .  . . .  . . .  .2

1)

curva de respuesta en frecuencia de  forma moderada Relación de  frecuencias, 

54

sistema amortiguado.

dinámica de las estructuras

en la zona del pico con el fin de obtener una buena resolución de su forma. Como se muestra por las ecuaciones. (3­ 32) y (3­33), el factor de cationes real dinámica máxima Magni

D max max =

0

se produce a la frecuencia de excitación

¡

1108 0

11080

y se le da

... ... ...

por D

25)

1

.2

; sin embargo, para la amortiguación de valores en el intervalo práctico de

máximo

:

interés, se puede utilizar la relación aproximada D

máximo

p

2D El

p

factor de amortiguamiento puede ser determinada a partir de los datos experimentales  usando

:

Maxma

1)

Este método de determinación de la relación de amortiguación sólo requiere instrumentación simple de medir las amplitudes de respuesta dinámica en valores discretos de frecuencia y equipo de carga dinámica bastante simple; Sin embargo,  obtener  el   desplazamiento  estático 0 puede   prese nt   un  problema  porque  el  sistema   típico   de  carga armónica no puede producir una carga en la frecuencia cero.Como se ha señalado anteriormente, el coeficiente de amortiguamiento para los sistemas prácticos es a menudo amplitud dependiente. En este caso, el valor de obtenerse a través de la ecuación. (3­54) depende de la amplitud d e p o de la carga aplicada armónica.Esta dependencia debe ser tomado en consideración cuando se especifica un valor apropiado para los propósitos de análisis dinámico.

De media potencia (Ancho de Banda) Método

Es evidente a partir de la ecuación. (3­22), en el que (p o = k) 0, de que la función de la curva de respuesta en frecuencia se muestra en la Fig. 3­15 tiene una forma que es controlado por la cantidad de amortiguación en el sistema; Por lo tanto, es posible derivar el factor de amortiguamiento de muchas propiedades diferentes de la curva.Uno de los más conveniente de éstas es el método de media potencia o anchura de banda por el que el coeficiente de amortiguamiento se determina a partir de las frecuencias a las que la amplitud de la respuesta se reduce al nivel 1 = pico

p

2 veces su valor de

Maxma La relación de frecuencia de control se obtiene por ajuste de la amplitud de la respuesta en la ecuación. (3­22) igual a 1=

P

2 veces su valor máximo dado por la ecuación. (3­33), es decir, mediante el establecimiento de

P2P/ De usuario a usuario

Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación y resolviendo la ecuación cuadrática resultante para

p

2

da

25)

que, para valores pequeños de amortiguación en el intervalo práctico de interés, se obtiene la

relaciones de frecuencia

25)

:

P = 0,0001

Restando

1

de 2, se obtiene

:

P = 0,0001

11080

1)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

mientras que la adición de 1 y

2

55

da

. . . . . . . . . .2

25) 25)

:

25)

11080

Combinando las ecuaciones. (3­58) y (3­ 59) los rendimientos

... ... ... .2

3.075.00 0 3.075.000

1

=

1)

= .. .. .. ..

3.075.00 0 3.075.000

.. 2 25)

donde f

1

y f

2

son las frecuencias a las que las amplitudes de respuesta igual 1 =

p

2

veces la amplitud máxima.El uso de cualquiera de la ecuación. (3­58) o la ec. (3­60) en la evaluación del factor de

P

amortiguamiento se ilustra en la Fig. 3­15, donde una línea horizontal se ha elaborado a través de la curva en 1 = 2 veces su valor máximo.Es evidente que este método de obt aining el coeficiente de amortiguamiento evita la necesidad de obtener el desplazamiento estático 0; Sin embargo, sí requiere que se obtiene la curva de respuesta en frecuencia con precisión en su apogeo y en el nivel máximo = 2 p.

Para   aclarar   por   qué   el   método   anterior   se   denomina   comúnmente   como   el   método   de   media   potencia, considere la entrada de potencia promediado en el tiempo proporcionada por la carga aplicada, que debe ser igual a la tasa media correspondiente de la disipación de energía causada por la fuerza de amortiguación F D (t) = CV (t).Bajo la condición de armónicos en estado estacionario a frecuencia! donde la amplitud de respuesta de desplazamiento es, la tasa media de disipación de energía es

1108 0

11080

C

¡

.. .. .. .. .. P avg = 2 Z

VT dt = c

0

. . . . . . . . . . ¡2

2

Z

v (t) dt =

2

25)

m!

¡

0

lo que demuestra que la potencia de entrada media correspondiente es proporcional a el

1

de =

2

= pico =

p

2, las entradas de potencia media en relaciones de frecuencia

.. .. .. .. .. 2

P

.....

.. .. .. .. .. 2

1

y

2

2;

2

por lo tanto, desde son

P

.....

P= 0,0001

1

pico

Top

... ... ... .2

2

P= 0,0001

Top

pico

... ... ... .2

25)

donde el pico viene dada por la Ec.11080 Mientras que la entrada de energía promedio en de la entrada de potencia pico y la potencia de entrada media en 2 es algo

1

es algo menor que la mitad

mayor, el valor medio de estas dos entradas promediados está muy cerca de la mitad de la entrada de potencia de pico media.

Ejemplo E3­4. Los datos de un ensayo de respuesta en frecuencia de un sistema de SDOF se han trazado en la Fig. E3­2.Se muestran los datos pertinentes para la evaluación del factor de amortiguamiento. La secuencia de pasos en el análisis después de la curva se representó fueron los siguientes:

2

2

(1) Determinar la respuesta del pico = 5:67 10    en    [14: 4 10    cm].

56

dinámica de las estructuras



Respuesta de pico = 5,67  10

1) 5 

1) 25 )

Posición

4



en

en 

3.075.00

1108

13/16 pulg.

amplitud,

0

0



f

ff.

f

1)

. . . . . . . . . .2



Respuesta

1) 11080

. . .  . . .  . . .  .2



f

res

3.075.00 0

 

0,87



11080

ff.

1)

11080

. . . . . . . .

f . .2

25)

25)

2



0

[16]

17

18

19

20

21

Emocionante frecuencia f, Hz

22

23

24.

25

Figura E3­2

experimento de respuesta en frecuencia para determinar coeficiente de amortiguamiento.

(2)

Construir una línea horizontal a 1

p

= 2 veces el nivel de pico.

  (3) Determine las dos frecuencias a las que esta línea horizontal corta la curva de re­respuesta; f 19:55, f2 = 20:42 Hz.   (4)

El coeficiente de amortiguamiento es dada por

=

F

2

f

1

= 0: 022 f2 + f1

mostrando 2,2 por ciento de amortiguación crítica en el sistema.

1

=

La pérdida de energía de resonancia según Método de Ciclo

Si   instrumentación  está   disponible   para  medir  la   relación  de  fase  entre  la   fuerza   de   entrada  y  la   respuesta   de desplazamiento resultante, el coeficiente de amortiguamiento puede ser evaluada a partir de una prueba de armónicos en

11080Este procedimiento implica el establecimiento de la resonancia mediante el ajuste de la frecuencia de entrada hasta que la respuesta de desplazamiento es 90 fuera de fase con la carga aplicada.Como se muestra en la Fig. 3­6 para estado   estacionario   realizado   solamente   en   la   resonancia: =

!

= 90, la carga aplicada es equilibrar exactamente la fuerza de amortiguación de manera tha t si la relación entre la carga aplicada y el desplazamiento resultante se representa durante un ciclo de carga como se muestra en la Fig. 3­16, el resultado   se   puede   interpretar   como   la   fuerza   de   amortiguación   vs.   diagrama   de   desplazamientos.Si   el   sistema verdaderamente posee visco lineal nos amortiguación, este diagrama será una elipse como se muestra por la línea de trazos en esta figura.En

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

f

D

(= P en la resonancia)

Elipse (amortiguamiento viscoso)

(Área equivalente =

Zona

D.

2D

Casi contr

Figura 26.

57

amortiguamiento real y  equivalente

Velocidad máxima:

de energía por ciclo.

este caso, TH E ratio de amortiguación se puede dete rmined directamente de la fuerza de amortiguación máxima y la velocidad ma ximo utilizando la re lación

V & Ll

0

= Cv max = 2 m!v max = 2 m!

. . . . . . . . . .2

1)

%1$1 d MAX !

o

Casi (C) 3M 2016. . . . . . . . . . .2

25)

Si la amortiguación no es de la forma viscoso lineal previamente asumido pero es de una forma viscosa  no lineal, la forma de  el  diagrama de  fuerza  aplicada  /  desplazamiento obtenido por el  procedimiento anterior no será elíptica; más bien, será de una forma diferente como ilus trado por la línea continua en la Fig. 3­ 16.En este caso, la respuesta de v (t) será un armónico distorsionada, a pesar de que la carga aplicada se mantiene

un armónico puro.Sin embargo, la entrada de energía por ciclo, que es igual a la pérdida de energía por ciclo de amortiguación E D,  puede b e obtenida como el área bajo la / diagrama de fuerza aplicada desplazamiento.Esto permite que uno para evaluar una relación de amortiguamiento viscoso equivalente para la correspondiente amplitud de desplazamiento, que cuando se utiliza en la forma viscosa lineal se disipará la misma cantidad de energía por ciclo como en el caso experimental real.Este factor de amortiguamiento equivalente se asocia con un diagrama de fuerza aplicada / desplazamiento elíptica tiene la misma área E uso de la ecuación. (3­61), esta equiv alence

D

como el diagrama nonelliptical medido.Haciendo

la energía que requiere

Ed)P avg = (2 =!)( eq m!25)

11080

o

eq = E D = (2    m!

2 2)

= E D = (2    k   2)

25)

Esta última forma de la ecuación. (3­66) es más conveniente aquí porque la rigidez de la estructura se puede medir por la misma instrumentación usada para obtener la pérdida de energía por ciclo, simplemente haciendo funcionar el sistema muy lentamente en condiciones esencialmente estáticos. El  diagrama de fuerza­desplazamiento estática obtenida de esta manera será de la forma mostrada en la Fig. 3­17, si la estructura es linealmente elástico. La rigidez se obtiene como la pendiente de la curva de línea recta.

58

dinámica de las estructuras

FS10



k

k

Zona

= f

S máx

..porque  todo va a  cambiar.  tan pronto  como ella

contr

Velocidad máxima:

Figura 26.

rigidez elástica y energía de deformación.

3­7 COMPL EX­RIGIDEZ DAM PING

La amortiguación de la forma viscosa lineal descrito anteriormente se usa comúnmente, ya que conduce a una forma conveniente de la ecuación de movimiento. Tiene una grave deficiencia de, sin embargo; como se ve desde la Ec. (3­61), la pérdida de energía por ciclo

) P avg = 2m!

Ed)

¡ . . . . . . . . . .2

25)

a una amplitud fija es dependiente de la frecuencia de excitación (o respuesta)!.Esta dependencia está en desacuerdo con una gran cantidad de evidencia que indica que la prueba t que la pérdida de energía por ciclo es esencialmente independiente de la frecuencia.Por tanto, es deseable para modelar la fuerza de amortiguación con el fin de eliminar esta   dependencia   de   la   frecuencia.   Esto   se   puede   lograr   mediante   el   uso   de   la   forma   llamada   "histéresis"   de amortiguación en lugar de visco nos amortiguación.amortiguamiento de histéresis puede ser de ne como una fuerza de amortiguación proporcional a la amplitud de desplazamiento pero en fase con la velocidad, y para el caso de movimiento armónico puede ser expresado como

f

D

(t) = i kV (t)

25)

donde es el factor de amortiguamiento de histéresis que de ne la fuerza de amortiguación en función de la fuerza de rigidez elástica, y la constante imaginaria i pone la fuerza en fase con la velocidad.Es conveniente combinar la resistencia elástica y la amortiguación en el

^

complejo rigidez de ne como k

^

1)

k = k (1 + i)

que conduce a la siguiente ecuación vibración forzada armónico de movimiento:

^

• mv (t) + kv (t) = f

o

exp (i!t)

1)

La solución particular (o estado de equilibrio) de la ecuación. (3­70) es

v

p

(t) = G exp (i!t)

1)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

en la que G es una constante compleja, y la aceleración correspondiente está dada por

59

v•

p

(t) =

¡

2

G exp (i!t)

La sustitución de estas expresiones en la ecuación. (3­ 70) se obtiene

me

2

¡

^

k + G exp (i!¿T.L.O.?

exp (i!t)

de que el valor de G se encuentra para ser

p

p

=

0

1

0

G..... ! me

k

k

h

¡yo

k

o en una forma más conveniente complejo

GRAMO = p

yo

o

"

#

1)

(1 2) + yo yo

k

25)

1)

11080

Sustituyendo esto en la ecuación. (3­71) finalmente da la siguiente expresión para la respuesta de estado estacionario con amortiguación de histéresis

Cas i

1)

yo

contrT06

p

exp (i!t)

"

k

1)

25)

1)

#

Esta respuesta se representa gráficamente por sus dos vectores ortogonales representados gráficamente en el plano complejo de la fig. 3­18. La resultante de estos dos vectores da la respuesta en términos de un vector de una sola amplitud, es decir,

v

Solo estoy  sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan  pronto. Nos  acabamos de 

p

(t) =

Exp yoM

11080

conocer"

1108 1 0 )

p



0





k

1)

25)

exp (i  t)

25)



T06 R



 







 exp [i  t ]

1)

T06

Cas i



Figura 26.



El estado estacionario respuesta de 



k

60



11080

1)

desplazamiento utilizando

 i exp (i  t)]

1108 0

amortiguación rigidez complejo.

dinámica de las estructuras

en el cual

Cas i

=

. . . . . . . . . . 25) 2 2

k

. . . . . . . . . . 2

25)

11080

) +

y el ángulo de fase de respuesta es

Canela

"

#

1)

1)

1)

La comparación de estas tres ecuaciones con las ecuaciones. (3­28), (3­22), y (3­23), respectivamente, es evidente que   la   respuesta   de   estado   estacionario   proporcionada   por   amortiguamiento   de   histéresis   es   idéntica   a   la   de amortiguación si el factor de amortiguamiento de histéresis tiene el valor viscoso

1)

25)

En este caso, la pérdida de energía por ciclo a una amplitud fija es dependiente de la frecuencia de  excitación! exactamente como en el caso de amortiguamiento viscoso. Como se verá posteriormente, esta dependencia de la frecuencia se puede quitar haciendo que la frecuencia de factor de presa de ping histéresis independiente.De este modo, es conveniente utilizar la ecuación. (3­78) y la adopción de un factor determinado en la resonancia para los que = 1; por lo tanto el factor de amortiguamiento de histéresis recomendada es = 2, y el complejo de rigidez coef ciente dada por la ecuación. (3­69) se convierte

1) 1)

k = k [1 + i 2]

A continuación, como se muestra por las ecuaciones. (3­76) y (3­77), el ángulo de amplitud de la respuesta y la fase, respectivamente, son

1)

P = 11080 0,000 1

1)

1)

k

1)

Canela

25)

1)

Esta respuesta con amortiguamiento de histéresis es idéntica a la respuesta de amortiguamiento viscoso si el sistema es excitado a la resonancia (= 1).Sin embargo, cuando = 6 1, las dos amplitudes difieren de acuerdo con las Ecs. (3­22) y (3­80) y los ángulos de fase correspondientes difieren de acuerdo con las Ecs. (3­23) y (3­81).

Cuando el complejo de la rigidez se de ne, de acuerdo con la Ec. (3­69) y cuando = 2, se da la componente de la fuerza de amortiguación bajo excitación armónica de estado estacionario

por

f

D

(t) = 2 i k

h

exp (i!Tiberio

11080

y   la   pérdida   de   energía   por   ciclo   de   amortiguación, E

D, 

integración de la pérdida de potencia instan­táneo

P (t) = f k

D

(t) v

p

(t) = 2

2

h

exp (i!M

yo

25)

se   puede   obtener   mediante   la

¡

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

61

más de un ciclo, con el resultado  final

(C) 3M 2016. D

......

. . . .2

.. .. .. .. .. 2

1)

D.

Es evidente que esta pérdida de energía por ciclo en amplitud fija es independiente de la frecuencia de excitación, por  lo que  es consistente  con el  comportamiento independiente de  la frecuencia  deseada!;  por esta  razón,  se recomienda que esta forma de histéresis de amortiguación (amortiguación rigidez complejo) ser utilizado en la mayoría de los casos para los propósitos generales de análisis de respuesta de armónicos.

PROBLEMAS

3.1 Considere la estructura básica de la fig. 2­1 una con cero amortiguación y sometidos a excitación armónica en la relación de frecuencia = 0: 8.Incluyendo tanto en estado estacionario y los efectos transitorios, representar gráficamente la relación de respuesta R (t).Evaluar la respuesta a incrementos!4t = 80 y continuar el análisis de 10 incrementos.

3.2 Considere el sistema básico de la figura. 2­1 una con las siguientes propiedades: metro = 2 kips seg =

2

25)a partir de "en reposo" condiciones, determinar el valor de la relación de respuesta R (t) después de y k = 20 kips = en.Si este sistema se somete a resonantes carga armónica (! cuatro ciclos (!t = 8), suponiendo:

(A) c = 0 [Ec uso.1)

(B) c = 0: 5 sec = kips en [utilizar la Ec. (3­37)] (c) c = 2: 0 sec = kips en [utilizar la Ec.25)

3.3 Considere la misma estructura del vehículo y el puente del Ejemplo E3­2, excepto con los tramos de viga reducido a L = 36 pieDeterminar:

(A) la velocidad del vehículo requerida para inducir resonancia en el sistema de resorte vehículo. (B) la  amplitud total de movimiento vertical, v max

t

en la resonancia.

(C) la amplitud total de movimiento vertical v max

t

a la velocidad de 45 mph.

3.4  Una consola de control que contiene delicada instrumentación es que se encuentra en la suelo de un laboratorio de prueba donde se ha determinado que la losa de suelo está vibrando verticalmente con una amplitud de 0:03 en al 20 Hz.  Si el peso de la consola es 800 lb,  determinar la rigidez del sistema de aislamiento de vibración necesaria para reducir la amplitud vertical de movimiento de la consola a 0: 005 en.

1)  Una máquina de tamizado pesa 6; 500 lb,  y cuando se opera a plena capacidad, que ejerce una fuerza armónica en sus soportes de 700 lb amplitud a las 12 Hz. Después de montar la máquina en los aisladores de vibración de tipo resorte, se encontró que la fuerza armónica ejercida sobre los soportes se había reducido a un 50 lb amplitud.Determinar la rigidez del resorte k del sistema de aislamiento.

62

dinámica de las estructuras

25) La estructura de la fig. P3­1 una puede ser idealizada por el sistema equivalente de la figura. B P3­1.Con el fin de determinar los valores de c y k para este modelo matemático, la columna de hormigón se sometió a una prueba de carga de armónicos, como se muestra en la Fig. C P3­1.Cuando se opera a una frecuencia de prueba de! = 10 rad = s, la reflexión (histéresis) la curva de la fuerza de la Fig. Se obtuvo P3­1 d.De estos datos:

(A) determinar la constante k.

(B) suponiendo un mecanismo de amortiguamiento viscoso, determinar la aparente razón de  amortiguamiento viscoso y amortiguación coe ciente c.

(C) suponiendo un mecanismo de amortiguamiento de histéresis, determinar la hys­ aparente

Rígida masa m

C

k

me

1 puntal

Concreta

Columna

N

Pt.C/O Tinnitus bilateral

"Un

E

D

= 26 lb en 

13/16 pulg.

70.16 lbs.

VT 

p (t) = p t

0

pecado 

contr

E

Concreta

= 29 lb en 

13/16 pulg.

Columna

C

S

2D

FIGURA P3­1

factor de amortiguación teretic.

1) Supongamos que la prueba del problema. 3­6 se repitieron, utilizando una frecuencia de prueba ! = 20 rads = seg, y que se encontró la curva de reflexión de­force (Fig. P3­1 d) estar sin alterar.En este caso

(A) determinar los valores de amortiguación y c aparente viscoso. (B) determinar la  aparente factor de amortiguamiento de histéresis. (C) Sobre la base de estas dos pruebas (! %@, %@ y %@ = 20 rad = seg), el tipo de amortiguación  mecanismo parece más razonable ­ viscoso o de histéresis?

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

63

1)  Si   el   amortiguamiento   del   sistema   del   problema.   3­6   realidad   fueron   proporcionados   por   una   viscosa amortiguador como se indica en la figura. P3­1 b, ¿cuál sería el valor de E en! = 20 rad = seg?

D

obtenida en un ensayo realizado


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