Dinamika Kisi Kristal

BAB I PEMBAHASAN A. Pendahuluan Dalam bab yang lalu, telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom-atom yang “diam” pada posisinya di titik kisi. Sesungguhnya, atom-atom tersebut tidaklah diam , tetapi bergetar pada posisi kesetim bangannya. Getaran atom-atom pada suhu ruang adalah sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dim iliki atomatom pada suhu tersebut. Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pedekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam

keadaan ini, gelombang akan “melihat” kristal sebagai

tersusun oleh atom-atom yang diskrit; sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.

B. Gelombang Elastik Zat padat tersusun dari atom-atom yang terpisah dan pisahan ini harus di perhitungkan dalam dinamika kisi ketika panjang gelombang zat padat dapat diberlakukan dalam medium tak hingga. Dinamika seperti ini dinamakan gelombang elastik.

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

1

Dalam pendekatan gelombang panjang, tinjau sebuah batang berpenampang A dengan rapat massa ρ, yang dirambati gelombang mekanik ke arah memanjang batang x. Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan

panjang u (x) sebagai akibat

adanya tegangan σ(x) dari gelombang, lihat gambar

Gambar 2.1 Dapat dituliskan regangan pada batang :

karena tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut :

Dengan E menyatakan Modulus elastik atau Modulus Young. Selanjutnya, menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar : {

}

akan menyebabkan massa elemen batang tersebut

mendapatkan percepatan

sebesar

Sehingga {

}

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

2

Perhatikan lebih lanjut ruas kanan persamaan (2.4), dapat dijabarkan :

(

)

Masukkan kembali hasil (2.5) ke persamaan semula (2.4) memberikan :

yang dapat disederhanakan menjadi: ( ) yaitu persamaan gelombang elastik. Dan bila dibandingkan dengan persamaan gelombang umum : (

)

akan diperoleh ungkapan bagi kecepatan gelombang elastik : ( ) Jelas bahwa kecepatan gelombang mekanik dalam batang (secara umum pada zat padat) bergantung pada “besaran elastik” bahan tersebut, yakni modulus Young. Karena perambatan gelombang tersebut bergantung pada besaran elastik maka gelombang yang bersangkutan disebut gelombang elastik.

C. Konsep Fonon Dalam analisisnya, Debye memandang padatan sebagai kumpulan phonon karena perambatan suara dalam padatan merupakan gejala gelombang elastis. Spektrum frekuensi Debye yang dinyatakan pada persamaan (3.1) sering disebut

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

3

spektrum phonon. Phonon adalah kuantum energi elastik analog dengan photon yang merupakan kuantum energi elektromagnetik. Adapun persamaannyan adalah :

3Nhf E  3NE  hf E / k T E e B 1

(3.1)

Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik (bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut dapat menyebabkan getaran kisi. Untuk selanjutnya, paket-paket energi getaran kisi disebut fonon. Fonon dapat dipandang sebagai “kuasi partikel” seperti halnya foton pada gelombang cahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme partikel-gelombang” ini, rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon. Tabel 3.1. Beberapa konsep dualisme gelombang-pertikel GELOMBANG

3.1.

PARTIKEL

Gelombang elektromagnetik

Foton

Gelombang elastik/kisi Kristal

Fonon

Gelombang elektron kolektif

Plasmon

Gelombang magnetisasi

Magnon

Gelombang electron+deformasi elastik

Polaron

Gelombang polarisasi

Eksiton

Momentum Fonon Sebuah fonon dari vektor gelombang K akan berinteraksi dengan foton neutron, dan seolah-olah memiliki

K . Bagaimanapun, fonon tidak membawa

momentum fisik. PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

4

Alasan bahwa fonon dalam satu kisi tidak membawa momentum adalah bahwa koordinat fonon melibatkan koordinat relatif dari atom. Sehingga dalam molekul H2 koordinat getaran molekul terletak di r1-r2, yang merupakan koordinat relatif dan tidak membawa momentum linier, koordinat pusat massa ½ (r1 + r2) sesuai dengan mode K = 0 dan dapat membawa momentum linier. Momentum fisik dari kristal adalah d p  M   u s  dt 

(3.2)

ketika kristal membawa Fonon K,

 du  M  1  expiNKa  dt  du  p  M   expisKa     1  expiKa  dt  s

(3.3)

dimana s berjalan di atas N atom. Digunakanlah deret N 1

x s 0

s



1  x  s

(3.4)

1  x 

Telah ditemukan bahwa nilai, K  

2r dimana r adalah integer. Sehingga Na

exp iNKa  i 2r   0, dan momentum kristal bernilai nol.  du  p  M   exp isKa   0  dt  s

(3.5)

Semua sama, untuk tujuan praktik fonon bertindak seolah-olah momentum adalah K , dimana hal ini disebut momentum kristal. Dalam kristal terdapat aturan seleksi vektor gelombang untuk memperbolehkan transisi antara keadaan kuantum. Hamburan elastis dari foton sinar x oleh kristal diatur oleh aturan seleksi vektor gelombang.

k'  k  G

(3.6)

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

5

Dimana G adalah vektor dalam kisi timbal balik, k adalah vektor gelombang dari foton yang diamati, dan k’ adalah vektor gelombang dari foton tersebar. Dalam proses refleksi kristal semua akan mengalami momentum  G , tetapi ini jarang dianggap secara eksplisit. Gelombang vektor total yang merupakan interaksi gelombang bersifat kekal dalam kisi periodik, dengan penambahan yang mungkin dari vektor kisi resiprokal G. Momentum keseluruhan selalu dijaga. Jika hamburan foton bersifat inelastis, dengan membuat fonon dari vektor gelombang K, maka aturan seleksi vektor gelombang menjadi

k ' K  k  G Jika foton K yang diserap dalam proses, didapatkan persamaan

k'  k  K  G 3.2.

(3.7)

Penghamburan Fonon Tak-Elastik Hubungan dispersi fonon sering dijelaskan dengan hamburan tak elastik dari neutron dengan emisi atau absorpsi proton. Lebar sudut dari berkas neutron yang tersebar memberi informasi tentang waktu hidup fonon. Sebuah neutron berada pada kisi kristal akibat interaksi inti atom. Hamburan kinematik neutron pada kisi kristal menggambarkan aturan seleksi vektor gelombang secara umum.

k  G  k ' K

(3.8)

Dengan persyaratan konservasi energi. K merupakan vektor gelombang dari foton yang dilepas (+) atau diserap (-) dalam suatu proses, dan G adalah vektor kisi resiprokal. Untuk fonon, G sama seperti k, berada di zona Brillouin pertama.

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

6

Energi kinetik interaksi neutron adalah

p2 , dimana M n adalah massa 2M n

neutron. Momentum p diberikan oleh k , dimana k adalah vektor gelombang dari neutron. Energi kinetik dari interaksi neutron adalah

2k 2 . Jika k’ adalah vektor 2M n

gelombang dari hasil interaksi neutron, maka energinya adalah

 2 k '2 . Persamaan 2M n

konservasi energi adalah

 2 k 2  2 k '2    2M n 2M n

(3.9)

dimana  adalah energi fonon yang dilepaskan (+) atau diserap (-) selama proses berlangsung.

D. Dinamika Kisi Monoatomik Perhatikan kisi eka-atom (hanya tersusun oleh satu jenis atom) satu dimensi seperti ditunjukkan oleh gambar 2.5. Pada keadaan seimbang atom-atom secara ratarata menduduk ititik kisi. Kemudian, atom-atom akan menyimpang dengan simpangan sebesar ….un-1, un, un +1, ............dst.

Gambar 4.1. Kisi eka-atom satu dimensi dalam keadaan seimbang (atas) dan dirambati gelombang longitudinal (bawah). PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

7

Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak atom ke-n dapat diungkapkan sebagai berikut :

(4.1) m massa atom, C tetapan elastik ikatan antar atom (semacam tetapan pegas), dan t menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian berbentuk : (4.2) A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke-n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang dan dapat dituliskan :

n bilangan bulat dan a tetapan kisi. Masukkan solusi (4.2) ke dalam persamaan gerak (4.1), dan memiliki ketergantungan terhadap waktu ) [

]

) )

(4.3)

dimana, (4.4) maka, )

(4.5) dan dengan menggunakan hubungan Euler :

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

8

sehingga, ( (1(1Turunkan ,

jadi,

⁄

Diperoleh solusi

: (4.6)

Dengan, ⁄

Hasil (4.6) menyatakan hubungan antara ω dan q, jadi jelas bahwa persamaan tersebut menyatakan hubungan dispersi yang dalam kasus ini berbentuk/bersifat sinusoida. Dalam pembahasan di atas secara implisit telah digunakan pendekatan gelombang pendek, karena medium “tampak” sebagai deretan atom-atom diskrit. Dari hasil dapat dikatakan bahwa untuk kisi diskrit atau pendekatan gelombang pendek, hubungan dispersinya sinusoida (tidak linier); lihat gambar 4.2.

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

9

Gambar 4.2. Hubungan dispersi, ω vs q, sinusoida dari kisi diskrit (pendekatan gelombang pendek).

E. Dinamika Kisi Dwiatomik Kisi dwi atom 1 dimensi merupakan kisi yang tersusun oleh dua atom dengan massa berbeda yang diperlihatkan dalam satu dimensi. Massa M1 bisa dianggap berada pada titik kisi sedangkan massa 2 atau M2 berada pada titik tengah suatu sel satuan. Sehingga simpangan akibat adanya getaran yang menyebabkan atom-atom ini bergerak dapat terukur dalam jangka waktu tertentu. Berikut gambar pergerakan atom dalam kisi

Gambar 5.1: posisi atom pada sel primitive yang tersusun atas 2 atom, (a) posisi atom setimbang, (b) perpindahan kontinyu

Gambar di atas menunjukkan apabila kisi dirambati gelombang maka atom-atom akan menyimpang sejauh …

dan seterusnya. Kita dapat menganggap atom-

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

10

atom yang berdekatan atau tetangga terdekat akan dipengaruhi oleh

potensial

tetangganya masing- masing sehingga Energi potensial yang dialami oleh atom-atom dapat digambarkan secara matematis,yaitu: ∑

∑

Untuk mempermudah perhitungan kita dapat menganggap atom dengan massa lebih kecil(m) bernomor ganjil sedangkan atom bermassa lebih besar (M) bernomor genap maka

Gambar 5.2 Dari gambar diatas terlihat bahwa atom-atom baik itu atom bermassa kecil maupun lebih besar akan memiliki perpindahan sebagai berikut: Sesuai dengan hokum II Newton

Namun, karena massa dan pergerakan kedua atom ini berbeda sehingga kita harus menuliskannya secara terpisah.  Persamaan perpindahan untuk atom bermassa lebih besar

(M) atau

atom

bernomor ganjil.

 Persamaan perpindahan untuk atom bermassa lebih kecil (m) atau atom bernomor genap

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

11

Dengan adanya persamaan posisi ini maka kita harus mampumenyatakan persamaan tersebut dalam bentuk persamaan gelombang yang mengandung q sebagai bilangan gelombang dan

sebagai frekuensi sudut gelombang.

Sehingga fungsi gelombangnya yaitu [

] [

]

Masuukkan ke persamaan posisi

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: [

][

]

Persamaan ini akan bernilai tidaknoljika determinan matriks di atas sama dengan nol. Jadi, |

|

(

(

4

)=0

4

Sehingga nilai frekuensi menjadi

(

)

[(

)

]

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

12

Dimana persamaan ini menghasilkan dua penyelesaian yaitu:

(

)

[(

)

]

Persamaan ini disebut persamaan frekuensi cabang optic karena apabila dihitung, frekuensi ini berada dibawah frekuensi gelombang inframerah atau optic.

(

)

[(

)

]

Persamaan kedua ini disebut persamaan gelombang frekuensi cabang akustik karena karakteristiknya mirip seperti

gelombang bunyi yang mana apabila

meningkat

maka q juga meningkat begitu pula sebaliknya. Berikut pola gerakan atom akibat getaran yang terjadi di lihat dari Amplitudo baik itu Amplitudo atom bernomor ganjil maupun genap.

Yang didapat dari persamaan

berikut [

] [

]

Gambar 5.3. Dapat dilihat pada gambar bahwa cabang akustik untuk sedangkan untuk cabang optic tidak sefase

dan

sefase

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

13

. Gambar 5.4. Daerah frekuensi dan dispersi

Jika kita lihat dari gambar 5.4 bahwa daerah antara yaitu daerah dengan interval –

dan

disebut celah frekuensi

karena pada interval ini tidak ada

gelombang maka kisi dwi atomik tidak merambatkan gelombang tetapi meredamnya. Hal ini

memungkinkan kisi menjadi tapis lolos yakni mampu meredam maupun

merambatkan frekuensi tertentu.

F. Zone Brilouin Pertama Konsep zona Brillouin dikembangkan oleh Léon Brillouin (1889-1969), seorang fisikawan Perancis. Dalam matematika dan fisika zat padat, zona Brillouin adalah sel satuan primitif dalam kisi resiprok. Batas-batas sel ini diberikan oleh bidang yang berhubungan dengan titik pada kisi resiprokal. Sebuah zona Brillouin didefinisikan sebagai sel Wigner-Seitz di kisi resiprokal. Garis yang menghubungkan titik asal kisi ke titik-titik kisi tetangga sekarang merupakan vektor kisi resiprokal G (Gambar 6.1). Daerah terkecil yang ditutupi oleh sel Weigner-Seitz (kuning) juga dikenal sebagai zona Brillouin pertama.

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

14

Gambar 6.1. Zona Brillouin pertama

Ada juga zona Brillouin kedua, ketiga, dll, , berhubungan dengan rangkaian daerah yang memisah (semua dengan volume yang sama) untuk meningkatkan jarak terdekat dari asal, tetapi ini lebih jarang digunakan. Sehingga, zona Brillouin pertama sering disebut sebagai zona Brillouin saja (Secara umum, zona Brillouin-n terdiri dari himpunan titik-titik yang dapat dihubungkan dari asal dengan melintasi n-1 bidang Bragg yang berbeda). Sebuah konsep yang terkait bahwa dari zona Brillouin dapat diminimalkan, yang merupakan zona Brillouin pertama dikurangi dengan semua simetri dalam kelompok titik kisi.

6.1. Zona Brillouin Kisi Satu Dimensi Zona Brillouin juga dikatakan sebagai representasi tiga dimensi dari nilai k, k adalah vektor bilangan gelombang yang searah dengan rambatan gelombang. Nilai kritis bilangan gelombang k tergantung dari sudut antara datangnya elektron dengan bidang kristal, θ. Oleh karena itu dalam kristal tiga dimensi kkritis tergantung dari arah gerakan elektron relatif terhadap kisi kristal, dan kemungkinan adanya susunan bidang kristal yang berbeda. Jika jarak antar ion PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

15

dalam padatan adalah

, maka dari persamaan | |

, kita dapatkan

nilai kritis bilangan gelombang untuk kasus satu dimensi adalah

Daerah antara –k1 dan +k1 disebut zona Brillouin pertama. Gambar 6.2 memperlihatkan situasi satu dimensi yang menggambarkan zona yang pertama.

Gambar 6.2. Gambaran satu dimensi Zona Brillouin pertama.

6.2. Zona Brillouin Kisi Dua Dimensi Pada kasus dua dimensi kita melihat gambaran nilai-nilai batas k pada sumbu koordinat x-y pada Gambar 6.3. Karena baik bidang vertikal maupun horizontal dapat memantulkan elektron, maka kita memiliki hubungan

Gambar 6.3. Gambaran dua dimensi zona Brillouin pertama.

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

16

6.3. Zona Brillouin Kisi Tiga Dimensi Pada kasus tiga dimensi, kita melihat satu contoh Zona Brillouin untuk kisi kristal kubus sederhana. Untuk kasus ini hubungannya (8.16) berubah menjadi

Gambar 6.4. memperlihatkan gambaran tiga dimensi zona Brillouin pertama pada kisi kristal kubus sederhana.

Gambar 6.4. Zona Brillouin pertama kisi kristal kubus sederhana

Untuk BCC, kisi resiproknya adalah kisi FCC. Bekerja pada garis yang sama dapat ditemukan bahwa kisi resiprokal dari kisi bcc adalah kisi yang facecentred dan sesuai zona Brillouin pertama adalah berbentuk belah ketupat dodecahedron.

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

17

Gambar 6.5. Zona Brillouin BCC Untuk FCC, kisi resiproknya adalah kisi BCC. Kisi resiprokal dari kisi fcc adalah kisi yang body-centred dan sesuai zona Brillouin pertama adalah segi delapan.

Gambar 6.6. Zona Brillouin FCC PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

18

BAB II SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Apa yang dimaksud dengan pendekatan kisi diskrit? Penyelesaian Pendekatan kisi diskrit adalah kata lain dari pendekatan gelombang pendek yakni apabila gelombang yang digunakan dalam Kristal memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Ketika suatu keadaan saat gelombang melihat kristal sebagai sesuatu yang tersusun oleh atom-atom yang diskrit; sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit.

2. Apa yang anda ketahui tentang gelombang elastik? Penyelesaian Gelombang elastik adalah dinamika kisi ketika panjang gelombang zat padat dapat diberlakukan dalam medium tak hingga karena zat padat tersusun dari atom-atom yang terpisah dan pisahan ini harus di perhitungkan. Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik (bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut dapat menyebabkan getaran kisi.

3. Sebutkan perbedaan dari fonon dan foton! Penyelesaian  Fonon : (1) rambatan getaran kisi dalam zat padat (2) Termasuk gelombang elastik

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

19

 Foton Foton adalah partikel elementer dalam fenomena elektromagnetik. Biasanya foton dianggap sebagai pembawa radiasi elektromagnetik, seperti cahaya, gelombang radio, dan Sinar-X. Foton memiliki baik sifat gelombang maupun partikel ("dualisme gelombang-partikel"). 

Sebagai gelombang, satu foton tunggal tersebar di seluruh ruang dan menunjukkan fenomena gelombang seperti pembiasan oleh lensa dan interferensi

destruktif

ketika

gelombang

terpantulkan

saling

memusnahkan satu sama lain. 

Sebagai partikel, foton hanya dapat berinteraksi dengan materi dengan memindahkan energi

4. Cari dan gambarkan persamaan (hubungan) dispersi antara ω dan q untuk kristal berbasis satu atom (monoatomik) menurut hukum kedua Newton, dimana persamaan gerak atom ke-n sebagai berikut :

Penyelesaian, Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak atom ke-n dapat diungkapkan sebagai berikut :

(4.1) m massa atom, C tetapan elastik ikatan antar atom (semacam tetapan pegas), dan t menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian berbentuk : (4.2)

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

20

A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke-n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang dan dapat dituliskan :

n bilangan bulat dan a tetapan kisi. Masukkan solusi (4.2) ke dalam persamaan gerak (4.1), dan memiliki ketergantungan terhadap waktu ) [

]

) )

(4.3)

dimana, (4.4) maka, )

(4.5) dan dengan menggunakan hubungan Euler :

sehingga, ( (1(1Turunkan ,

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

21

jadi,

⁄

Diperoleh solusi

: (4.6)

Dengan, ⁄

Sehingga hubungan dispersi antara ω dan q pada kristal berbasis satu atom (monoatomik) dapat digambarkan sebagai berikut:

5. Turunkan persamaan disperse hubungan antara

dan q pada kisi dwi atom.

Jawaan:

Dengan PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

22

[

] [

]

Sehingga

Atau dalam bentuk matriks [

][

]

Akan memiliki penyelesaian jika determinan matriks sama dengan 0 |

|

(

(

4

)=0

4

Dapat diselesaikan dengan √ Dengan √

√ [

]

√[

]

[

]

√

(

)

[(

)

]

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

23

DAFTAR PUSTAKA

Solyo, Jeno. 2007. Fundamental Of The Physics Of Solids. Germany: Springer. Kittel, C. 1996. Introduction to Solid State Physics Seventh Editio. United States Of America: John Willey & Sons. Parno. 1999. Pendahuluan Fisika Zat Padat: Dinamika Kisi. Diakses melalui http://elearning.unsri.ac.id/ pada tanggal 23 Mei 2013. Sudaryatno, S dan Ning Utari S. 2012. Mengenal Sifat Material. Bandung: Darpublic. Huang, Yuan Ming. - . Solid State Physics. Diakses melalui http://www.lcstcn.org/Solid%20State%20Physics/Ch24.html pada tanggal 25 Mei 2013.

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL

24