Diseno De Vigas Por Flexion Y Corte Norma Aci 318 14

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

INDICE Pág. 1. 1. INTRODUCCIÓN 1.1 1.1 VIGAS 1.2 1.2TIPOS DE VIGAS

2 2 2

2.

2. ANÁLISIS DE VIGAS

3

3. 4. 5.

3. METODOS DE DISEÑO 3.1 PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO POR RESISTENCIA 3.1.1 MÉTODO DE DISEÑO POR RESISTENCIA 3.1.2 RESISTENCIA REQUERIDA 3.1.3 RESISTENCIA DE DISEÑO 3.1.4 HIPOTESIS DE DISEÑO 3.1.5 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES 3.2 DISEÑO POR FLEXIÓN 3.2.1 ALTURA MÍNIMA DE LA VIGA 3.2.2 ACERO MÍNIMO 3.2.3 SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE REFORZADAS 3.2.4 SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS 3.2.5 SECCIONES CON PATÍN

6. 7. 8.

4 5 5 7 8 10 13 23 23 23 24 25 27

9. 4. COMPORTAMIENTO DE CORTE EN VIGAS 10. 4.1 INTRODUCCIÓN 11. 4.2 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGON 12. 4.3 COMPORTAMIENTO Y MODOS DE FALLA 13. 4.3.1 ELEMENTOS SIN REFUERZO EN EL ALMA 14. 4.4 DISEÑO POR CORTANTE 15. 4.4.1 RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO 16. 4.4.2 RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL REFUERZO DE CORTANTE. 17. 4.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL REFUERZO POR CORTANTE. 18. 19. 5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN 20. 5.1 DISEÑO A FLEXIÓN 21. 5.2 DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA 22. 5.3 DISEÑO DE UNA SECCIÓN CON PATÍN (VIGA EN T) 23. 5.4 DISEÑO A CORTANTE 24. 25. 6. BIBLIOGRAFÍA

30 30 31 31 32 33 35 36 37 39 39 42 45 47 52

1

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

DISEÑO DE VIGAS POR FLEXION Y CORTE NORMA ACI 318-14 1. INTRODUCCIÓN.1.1. VIGAS.En ingeniería se denomina viga, a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico. Las vigas de entrepiso son los elementos estructurales que transmiten las cargas del piso a los elementos verticales resistentes. Las vigas de entrepiso se dividen en principales y secundarias. Las vigas principales forman parte del sistema resistente a cargas laterales, reciben la carga tributaria de las losas y de vigas secundarias y las transmiten directamente a las columnas, a las cuales se conectan a través de las “uniones”. Las vigas secundarias reciben las cargas tributarias de las losas y la transmiten a vigas primarias. Las cargas que actúan sobre las vigas son transversales al eje longitudinal de las mismas, generándose principalmente esfuerzos de flexión y cortante. Generalmente no se generan esfuerzos axiales de tensión o compresión que sean significativos, por lo que comúnmente son despreciados en el diseño. Los efectos 2

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

de torsión toman importancia en las vigas de borde de los tableros de entrepisos, o en vigas interiores cuando las cargas de los tableros adyacentes son bastante diferentes por lo que no están balanceadas. En esta sección se presentan las disposiciones del código ACI para el diseño por flexión, cortante, y torsión de vigas. Además las consideraciones acerca del control de agrietamiento y deflexiones en condiciones de servicio. 1.2. TIPOS DE VIGAS: Viguetas. Las viguetas son las vigas que están colocadas de forma cercana entre ellas para soportar el techo y el piso de un edificio. Dado que frecuentemente corren a lo largo del exterior de un edificio (junto con el interior, como es estructuralmente necesario) son las vigas que la gente seguramente observa en un edificio sin terminar. Dinteles. Los dinteles son las vigas que se pueden ver sobre las aberturas en una pared de mampostería, tales como ventanas y puertas. Vigas de tímpano. Las vigas de tímpano soportan las paredes exteriores de un edificio y también pueden soportar parte del techo en los pasillos. Por ejemplo, éstas son las vigas que corren hacia arriba a través del núcleo hueco que hacen los ladrillos en una pared, añadiendo soporte adicional y estabilidad al mortero y manteniendo los ladrillos juntos. Vigas de piso. Al contrario de los largueros, las vigas de piso corren perpendiculares al camino, completando el patrón en forma de cruz que ves cuando observas debajo de un puente. Las vigas de piso funcionan para transferir la tensión de los largueros a las armaduras que soportan el puente.

3

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

2. ANALISIS DE VIGAS. Las estructuras de concreto reforzado representan, en general, estructuras monolíticas o continuas. Por tanto, una carga aplicada en cualquier sitio de la estructura produce deformaciones y esfuerzos sobre todos los elementos que conforman la estructura. La determinación de las fuerzas y momentos flectores en cada punto de la estructura debido a las cargas externas, se fundamenta por lo general en las teorías del análisis elástico. Sin embargo, antes de la falla, las secciones de concreto reforzado en general son capaces de soportar una rotación inelástica considerable para un momento constante; esto permite una redistribución de momentos elásticos y ofrece las bases para el análisis plástico de vigas, marcos y losas. Los métodos de análisis elásticos suponen que el material es elástico y obedece a la Ley de Hook en todos los puntos, en el intervalo de carga considerado. Por el contrario, el análisis inelástico considera que el material no es elástico y que la relación entre deformaciones y esfuerzos es no lineal para el estado de cargas considerado. Se han desarrollado diversos métodos a lo largo de muchos años para el análisis elástico de vigas y marcos continuos. Durante muchos años el método de distribución de momentos (Hardy Cross, 1932) conformó la herramienta analítica básica para el análisis de estructuras continuas. Sin embargo, la introducción de los métodos matriciales de análisis en los años 1950 – 1960, en combinación con la disponibilidad creciente de computadores, produjo cambios revolucionarios en la práctica de la ingeniería estructural. La utilización de la teoría matricial hace posible reducir las operaciones numéricas detalladas que se requieren en el análisis de una estructura indeterminada, a procesos sistemáticos de manipulación de matrices que pueden llevarse a cabo automática y rápidamente mediante computadores. El uso de los métodos matriciales posibilitó el análisis de marcos tridimensionales. La mayor parte de estructuras de concreto reforzado se diseñan para momentos, cortantes y fuerzas axiales encontrados mediante la teoría elástica. Sin embargo, el dimensionamiento real de los elementos se lleva a cabo con modelos de resistencia que reconocen que se tendría una respuesta inelástica de la sección y del elemento para estados de sobrecarga. Así, las cargas factorizadas se utilizan 4

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

en el análisis elástico para determinar los momentos de viga continua después de lo cual las secciones críticas de viga se diseñan con el conocimiento que el acero estaría muy dentro del intervalo de fluencia y que la distribución de esfuerzos en el concreto sería no lineal antes del colapso final. Es evidente que este planteamiento es inconsistente dentro del proceso total de análisis y diseño, aunque se ha demostrado que es seguro y conservador. Cuando se alcanza la falla por fluencia del acero de refuerzo en una sección, se forma una rótula plástica que permite grandes rotaciones con un momento resistente constante y transfiere la carga a otros sitios a lo largo del elemento donde aún no alcanza la resistencia límite. A medida que la carga se incrementa pueden formarse otras rótulas plásticas en varios sitios a lo largo de la luz, que pueden generar de manera eventual el colapso de la estructura, pero sólo después de que se presente una significativa redistribución de momentos. El reconocimiento de la redistribución de momentos puede ser importante porque permite una aproximación más realista a la capacidad verdadera de una estructura para resistir cargas, lo cual conduce a un aumento en la economía. Tanto el código ACI 318 como la Norma Técnica para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto estipulan que todas las estructuras continuas de concreto reforzado se diseñen para resistir los efectos máximos de las cargas factorizadas determinados por la teoría del análisis elástico. Sin embargo, permiten el análisis de la redistribución de momentos bajo ciertas restricciones. 3. MÉTODOS DE DISEÑO. Desde hace mucho tiempo predominan dos criterios de diseño para el concreto reforzado. El primer método fue el llamado “diseño por esfuerzos de trabajo” utilizado desde principios del siglo XX. Sin embargo, desde la publicación de la edición 1963 del código ACI 318, hubo una rápida transición al otro método, “diseño por resistencia última”, debido a que se consideró como un método más racional y realista en su aplicación a la seguridad de las estructuras. En el diseño por esfuerzos de trabajo, los elementos se dimensionan de manera que los esfuerzos en el acero y en el concreto, resultantes de cargas normales de servicio, estén dentro de unos límites especificados. Estos límites son conocidos como esfuerzos admisibles, y son apenas fracciones de los esfuerzos de falla de los materiales (por ejemplo, para el concreto 𝜎𝑐 = 0.45 𝑓𝑐′, para acero 𝜎𝑠 = 0.6 𝑓𝑦 ). 5

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

En este método todos los tipos de carga se tratan de la misma manera sin importar qué tan diferentes sean su variabilidad individual y su incertidumbre. Asimismo, los esfuerzos se calculan para el rango elástico de deformación. En cuanto a las deflexiones y el agrietamiento, se consideran comúnmente sólo en forma implícita a través de los límites impuestos a los esfuerzos producidos por las cargas de servicio. 3.1. PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO POR RESISTENCIA. 3.1.1. MÉTODO DE DISEÑO POR RESISTENCIA. El método de diseño por resistencia requiere que la resistencia de diseño de un elemento en cualquier sección sea igual o mayor a la resistencia requerida calculada a partir de las combinaciones de carga factorizadas especificadas en las normativas de diseño. En general el criterio básico para el diseño por resistencia se expresa: Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Requerida 𝜙𝑅𝑛 ≥ 𝑈

(ACI 4.6)

La resistencia de diseño es obtenida aplicando un factor de reducción 𝜙 a la resistencia nominal del elemento. La resistencia nominal 𝑅𝑛 se calcula mediante las hipótesis y ecuaciones del diseño por resistencia. La resistencia requerida está basada en la combinación más crítica de las cargas factoradas; esto es, las cargas de servicio especificadas son multiplicadas por los factores de carga apropiados. De esta manera, y en términos específicos, para un elemento sometido a carga axial, momento flector, cortante y momento de torsión: 𝜙𝑃𝑛 ≥ 𝑃𝑢 𝜙𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢 𝜙𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 𝜙𝑇𝑛 ≥ 𝑇𝑢 Donde, los subíndices n indican las resistencias nominales a fuerza axial, flexión, cortante y torsión respectivamente, y los subíndices u indican los efectos 6

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

amplificados de carga axial, momento flector, cortante y momento torsor. Para el cálculo de los efectos de las cargas amplificadas a la derecha de las ecuaciones, los factores de carga pueden aplicarse ya sea a las cargas de servicio directamente o a los efectos internos de las cargas calculados a partir de las cargas de servicio. Las siguientes razones fundamentan la utilización de factores de reducción de resistencia y factores de carga en el método de diseño por resistencia: 1. La reducción en la resistencia de los materiales o elementos es necesaria por: a) La resistencia de los materiales puede diferir de las supuestas en el diseño debido a: 

Variación en la resistencia de los materiales. La resistencia a la compresión del concreto, así como la resistencia a la fluencia y resistencia última del acero de refuerzo son variables.



El efecto de la velocidad de los ensayos. Las resistencias del concreto y del acero son afectadas por la velocidad de aplicación de las cargas.



Resistencia en obra contra resistencia de especímenes. La resistencia del concreto en una estructura es algo diferente que la resistencia del mismo concreto en un espécimen de control.

b) Los elementos pueden variar de los asumidos, debidas a errores de fabricación y construcción. Los siguientes errores son importantes: 

Las tolerancias de laminación y fabricación de las varillas de refuerzo.



Errores en la geometría de las secciones transversales y errores en la ubicación del acero de refuerzo.

c) Las hipótesis y simplificaciones en las ecuaciones de diseño, tales como el uso del bloque rectangular equivalente de esfuerzos y la suposición de máxima deformación unitaria útil del concreto igual a 0.003, introducen tanto errores sistemáticos como aleatorios. 7

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

d) El uso de tamaños nominales de varillas da como resultado variaciones de la capacidad real de los elementos. 2. Los factores de carga son necesarios por la posibilidad de sobrecargas debido a: a) Las magnitudes de las cargas pueden variar de las asumidas. Las cargas muertas pueden variar:  

Variaciones en los tamaños de los elementos Variaciones en la densidad del material



Alteraciones estructurales y no estructurales Las cargas vivas varían de manera considerable en el tiempo y de un edificio a otro.

b) Existen incertidumbres en el cálculo de los efectos de las cargas. Las suposiciones de rigidez, longitudes de claros, etc., y las imprecisiones originadas al modelar las estructuras tridimensionales para el análisis estructural, provocan diferencias entre los esfuerzos que en realidad ocurren en una construcción y los que el diseñador consideró en su análisis. 3. La reducción de la resistencia y el incremento de las cargas también es debido a que las consecuencias de una falla pueden ser graves. Se consideran varios factores: a) El tipo de falla, la advertencia de la misma y la existencia de diferentes condiciones de carga. b) Potencial pérdida de vidas. c) Costos debido a pérdidas de vidas y daños a la propiedad. d) La importancia del elemento en la estructura. e) Costos de reparación de la estructura.

8

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 3.1.2. RESISTENCIA REQUERIDA. -

La resistencia requerida, U, se expresa en términos de cargas factorizadas o de sus fuerzas y momentos internos relacionados. Las cargas factorizadas son las cargas de servicio especificadas en el reglamento general de construcción, multiplicadas por los factores de carga apropiados. La tabla 5.3.1 del código ACI 318-14 prescribe factores de carga para combinaciones específicas de carga. El valor numérico del factor de carga asignado a cada tipo de carga está influido por el grado de precisión con el que la carga normalmente puede ser evaluada, por la variación que se puede esperar en la carga durante la vida de una estructura, y la probabilidad de la ocurrencia simultánea de diferentes tipos de carga. Por lo tanto, las cargas muertas, que normalmente pueden determinarse con mayor precisión y son menos variables, están asociadas con un factor de carga bajo (1.2) a diferencia de las cargas vivas (1.6). También, al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y un nivel máximo controlado, se asocia un factor de 1.2 debido a la menor posibilidad de sobrecarga. Un alto factor de carga (1.6) es requerido para presiones de tierra y de agua subterránea debido a la incertidumbre de su magnitud y variación. Aunque se incluyen la mayoría de las combinaciones usuales, no debe suponerse que todos los casos están cubiertos. Tabla 5.3.1 COD.ACI 318-14— Combinaciones de carga

9

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

3.1.3 RESISTENCIA DE DISEÑO. La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus uniones con otros elementos, y sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, es igual a la resistencia nominal calculada de acuerdo con las disposiciones y suposiciones del método de diseño por resistencia, multiplicadas por un factor de reducción de resistencia 𝜙 que es menor que la unidad. Las reglas para calcular la resistencia nominal se basan en estados límite seleccionados conservadoramente para esfuerzos, deformación unitaria, agrietamiento o deterioro, y se derivan de los resultados de las investigaciones de cada tipo de acción estructural. Tabla 21.2.1 COD. ACI 318-14 — Factores de reducción de resistencia.

10

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

3.1.4. HIPÓTESIS DE DISEÑO. El cálculo de la resistencia de un elemento y de una sección transversal por el Método de Diseño por Resistencia, requiere que se cumplan dos condiciones básicas: (1) El equilibrio estático y (2) la compatibilidad de las deformaciones unitarias. La primera condición requiere que las fuerzas de compresión y las fuerzas de tensión actuando en una sección transversal en la resistencia nominal estén en equilibrio. La segunda condición requiere que la compatibilidad entre las deformaciones en el concreto y el acero de refuerzo en la resistencia nominal sea establecida dentro de las hipótesis de diseño dadas en la sección 22.2 del código ACI 318-14.

3.1.4.1. Hipótesis de diseño para resistencia a flexión y a carga axial 11

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

3.1.4.1.1. Equilibrio y compatibilidad de deformaciones (ACI 22.2.1)  Debe cumplirse con la condición de equilibrio en cada sección.  Las deformaciones unitarias en el concreto y el refuerzo no preesforzado deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. Esta suposición es de primordial importancia en el diseño para determinar la deformación unitaria y el esfuerzo correspondiente en el refuerzo. Numerosos ensayos han confirmado que es razonable suponer una distribución lineal de la deformación unitaria a través de una sección transversal de concreto reforzado (las secciones planas se mantienen planas), aún cerca de la resistencia nominal.

3.1.4.1.2. Suposiciones de diseño para el concreto (ACI 22.2.2) 

La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto debe suponerse igual a 0.003. La máxima deformación unitaria para aplastamiento del concreto por compresión se ha establecido, a través de numerosos ensayos de diferente 12

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

naturaleza, que varía desde 0.003 hasta valores tan altos como 0.008 bajo condiciones especiales. Sin embargo, las deformaciones unitarias a las cuales se desarrolla la resistencia están usualmente entre 0.003 y 0.004 para miembros de dimensiones, materiales y resistencias normales. 

La resistencia a la tracción del concreto debe despreciarse en los cálculos de resistencia a flexión y resistencia axial. La resistencia a la tracción del concreto sometido a flexión (módulo de ruptura) es una propiedad más variable que la resistencia a la compresión y es aproximadamente igual al 10 a 15 por ciento de la resistencia a la compresión. En el cálculo de la resistencia a flexión, conservadoramente la resistencia a la tracción del concreto sometido a flexión no se toma en cuenta. No obstante, la resistencia del concreto en tracción es importante en la evaluación de la fisuración y las deflexiones a nivel de cargas de servicio.



La relación entre los esfuerzos de compresión y la deformación unitaria en el concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que lleve a una predicción de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos representativos. La distribución de los esfuerzos del concreto bajo deformaciones unitarias altas no es lineal (el esfuerzo no es proporcional a la deformación unitaria). La deformación unitaria máxima utilizable para diseño es 0.003. La distribución real del esfuerzo de compresión del concreto dentro de una sección transversal es compleja y, por lo general, no se conoce explícitamente. Sin embargo, las investigaciones han demostrado que las propiedades importantes de la distribución de esfuerzos en el concreto pueden aproximarse adecuadamente si se emplea cualquiera de diferentes suposiciones para la forma de la distribución de los esfuerzos.



La distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto se define por los siguientes puntos: Para diseño, el Reglamento permite el uso de una distribución rectangular equivalente de esfuerzos de comprensión (bloque de esfuerzos) como reemplazo de distribuciones de esfuerzos del concreto más elaboradas. 13

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL -

Se debe suponer un esfuerzo de 0.85 𝑓𝑐′ uniformemente distribuido en una zona de compresión equivalente, limitada por los bordes de la sección transversal y por una línea recta paralela al eje neutro, ubicada a una distancia a de la fibra de deformación unitaria máxima en compresión, tal como se calcula con: 𝑎 = 𝛽1 ∗ 𝑐 (ACI 22.2.2.4.1) La distribución rectangular de esfuerzos equivalente no representa la distribución real de esfuerzos en la zona de comprensión al nivel de resistencia nominal, pero proporciona esencialmente los mismos resultados de las resistencias nominales de flexión y axial que los obtenidos en ensayos (Mattock et al. 1961).

-

La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima al eje neutro, c, se debe medir en dirección perpendicular al eje neutro.

-

Los valores de 𝛽1 deben estar de acuerdo con:

Tabla 22.2.2.4.3 — Valores de 𝛽1 para la distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto. 𝒇′𝒄 [𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 ]

𝜷𝟏

170≤ f c ' ≤280

0.85

280≤ f c ' ≤550

f c ' ≥550

0.85 

0.05( f c '  280) 70

0.65

3.1.4.1.3. Suposiciones de diseño para refuerzo no preesforzado (ACI 22.2.3) -

La relación esfuerzo-deformación unitaria y el módulo de elasticidad para el refuerzo corrugado debe idealizarse de acuerdo con:

14

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

3.1.5. PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES. 3.1.5.1. Resistencia nominal a flexión.La resistencia nominal de un elemento o sección transversal sujeto a flexión o a la acción combinada de flexión y carga axial debe basarse en el equilibrio y en la compatibilidad de las deformaciones, empleando las suposiciones de la sección ACI 22.2. La resistencia nominal de cualquier tipo de sección con cualquier cantidad y distribución del refuerzo se calcula aplicando el equilibrio de fuerza y momento y las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Esto se ilustra a continuación para el caso de una sección rectangular con refuerzo a tensión únicamente, sección con patín (T) con refuerzo a tensión y sección rectangular con refuerzo a tensión y compresión. 3.1.5.1.1. Sección rectangular con refuerzo a tensión (sección simplemente reforzada). Utilizando la distribución rectangular equivalente, y asumiendo que el refuerzo fluye (𝜀𝑠 > 𝜀𝑦 ) antes del aplastamiento en el concreto, la resistencia nominal Mn puede calcularse a través del equilibrio de fuerzas y momentos. A partir del equilibrio de fuerzas: 15

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

𝐶=𝑇 0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦

o, por tanto

𝑎=

𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏

Del equilibrio de momentos: 𝑎 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐶 ó 𝑇) ∗ (𝑑 − ) = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − ) 2 2 y sustituyendo el valor de “a” 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − 0.59

𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 ) 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏

(𝐴𝐶𝐼 22.2)

Tipos de falla en secciones simplemente reforzadas: 

Falla dúctil.-Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el extremo comprimido , o sea cuando en la falla  s   y , donde  y es el valor de la deformación para el cual se inicia la fluencia.



Falla Balanceada.- Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto, es decir cuando en la falla ocurre que  s   y .



Falla Frágil.- Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción, es decir cuando en la falla  s   y

3.1.5.1.2. Sección con patín con refuerzo a tensión únicamente. Cuando el espesor del patín de compresión es igual o mayor que la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos “a”, la resistencia por flexión 𝑀𝑛 se calcula con la 16

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ecuación de una sección rectangular con un ancho igual al ancho del patín. Cuando el espesor del patín de compresión es menor que “a”, la resistencia nominal a la flexión 𝑀𝑛 es: ℎ𝑓 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 ) ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − ) + 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − ) (𝐴𝐶𝐼 22.2) 2 2 Donde 𝐴𝑠𝑓 = área del refuerzo requerido para equilibrar la resistencia a compresión de los patines =0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ (𝑏 − 𝑏𝑤 ) ∗ ℎ𝑓 /𝑓𝑦 a =(𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 ) ∗ 𝑓𝑦 /0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏𝑤 b = ancho efectivo del patín (definido en ACI 318-02, 9.2.4). bw = ancho del alma hf = espesor del patín

Distribución de deformación y esfuerzo para una sección con patín (sección T). 17

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

3.1.5.1.3. Sección rectangular con refuerzo a compresión. Para una sección doblemente reforzada con refuerzo a compresión A’s, pueden darse dos condiciones: 1. El refuerzo a compresión 𝐴′𝑠 fluye: 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 𝑎=

(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ∗ 𝑓𝑦 0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏

La resistencia nominal a flexión es: 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠 ) ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − ) + 𝐴′𝑠 ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − 𝑑′ ) 2

(𝐴𝐶𝐼 22.2)

El refuerzo 𝐴′𝑠 fluye si se satisface la condición: 𝑑′ 𝜀𝑢 −𝜀𝑦 ≤ 𝑐 𝜀𝑢

Distribución de deformación y esfuerzo para una sección rectangular doblemente reforzada.

18

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

2. El refuerzo a compresión 𝐴′𝑠 no fluye: 𝑓𝑠′ = 𝐸𝑠 ∗ 𝜀𝑠′ = 𝐸𝑠 ∗ 𝜀𝑢 ∗ (

𝑐 − 𝑑′ ) < 𝑓𝑦 𝑐

La profundidad del eje neutro “c” se determina a partir de la siguiente ecuación cuadrática: 𝑐2 −

𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐸𝑠 𝜀𝑢 𝐴′𝑠 𝐸𝑠 𝜀𝑢 𝐴′𝑠 𝑑 ′ 𝑐 − =0 0.85𝛽1 𝑓𝑐′ 𝑏 0.85𝛽1 𝑓𝑐′ 𝑏

La resistencia nominal a momento es: 𝑎 𝑀𝑛 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴′𝑠 ∗ 𝑓𝑠′ ∗ (𝑑 − 𝑑′ ) 2

(𝐴𝐶𝐼 22.2)

3.1.5.2. Condición de deformación balanceada. La condición de deformación balanceada en una sección transversal se da cuando la deformación máxima en la fibra extrema a compresión alcanza 𝜀𝑢 = 0.003 al mismo tiempo que el refuerzo a tensión alcanza la primera deformación a la fluencia 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 = 𝑓𝑦 /𝐸𝑠 .

Condición de deformación balanceada en flexión. 19

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

La razón de la profundidad del eje neutro 𝑐𝑏 a la profundidad del refuerzo extremo a tensión 𝑑 para producir una condición de deformación balanceada en una sección con refuerzo a tensión únicamente, se obtiene aplicando las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Con atención a la figura, para la condición de deformación lineal: 𝑐𝑏 𝜀𝑢 0.003 = = 𝑑 𝜀𝑢 + 𝜀𝑦 0.003 + 𝑓𝑦 /𝐸𝑠 Módulo de elasticidad del acero es: Es=2’000.000 kg/cm2 [ACI 22.2.2.2]. Entonces: 𝑓𝑦 𝑓𝑦 = 𝐸𝑠 2 ∗ 106

𝜀𝑦 = Efectuando el reemplazo 𝜀𝑦 tenemos: 𝑐=

6000 𝑑 6000 + 𝑓𝑦

Dónde: c es la distancia del eje neutro a la fibra extrema en compresión en una sección con cuantía balanceada. La resultante de compresión en el hormigón es: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 La relación entre la altura del bloque de compresión y la posición del eje neutro es: 𝑎 = 𝛽1 𝑐 Haciendo el equilibrio, 𝐶𝑐 = 𝑇 y despejando 𝐴𝑠 tenemos: 𝐶𝑐 = 𝑇 0.85𝑓𝑐′ 𝑏𝑎 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 → 𝐴𝑠 =

0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 𝑓𝑦

20

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL Reemplazando “a”: 𝐴𝑠 =

0.85𝑓𝑐′ 𝛽1 𝑐𝑏 𝑓𝑦

Reemplazando “c”: 𝐴𝑠 =

0.85𝑓𝑐′ 𝛽1 𝑏 6000 ( )𝑑 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦

𝐴𝑠 0.85𝑓𝑐′ 𝛽1 6000 𝐴𝑠 = ( ) → 𝑆𝑖: 𝜌𝑏 = 𝑏𝑑 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦 𝑏𝑑 Finalmente: 0.85𝑓𝑐′ 𝛽1 6000 𝜌𝑏 = ( ) 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦

(𝐴𝐶𝐼 20.2.2)

3.1.5.3. Secciones controladas por compresión. Las secciones son controladas por compresión cuando la deformación neta a tensión en el acero extremo a tensión es igual o menor que el límite de deformación controlada por compresión en el momento que el concreto en compresión alcanza su límite de deformación asumido de 0.003. El límite de deformación controlada por compresión es la deformación neta a tensión en el refuerzo en la condición de deformación balanceada. La definición anterior es aplicada tanto a concreto reforzado como a concreto presforzado, por lo que no se dan valores explícitos del valor de límite de deformación controlada por compresión, entendiéndose que para concreto reforzado depende del grado del refuerzo y es igual a 𝜀𝑦 . 3.1.5.4. Refuerzo máximo para elementos en flexión (ACI 9.3.3). El código ACI 318-14 define los límites de refuerzo en términos de la deformación neta a tensión, 𝜀𝑡 en lugar de la razón de refuerzo balanceado 𝜌𝑏 que ha sido utilizado anteriormente. 21

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

El ACI establece que en zonas no afectadas por sismos, o estructuras cuyo efecto sísmico es despreciable, la máxima cuantía de armado permitida es el 75% de la cuantía balanceada. Este criterio asegura que el acero entre en fluencia un poco antes de que el hormigón ingrese en la zona de decrecimiento de capacidad resistente a la compresión, con lo que se logra un cierto nivel de ductilidad de las secciones antes de la falla. La cuantía de armado del 75% de la cuantía balanceada es equivalente a una deformación unitaria mínima del acero de tracción de 0.00367.

Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo el 75% de la cuantía balanceada. Cuando se trabaja con aceros de 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 de fluencia, y se analizan los diagramas momento-curvatura básicos, utilizar el 75 % de la cuantía balanceada es equivalente a incrementar en un 33% la curvatura del hormigón armado antes de la falla, con relación a la falla balanceada. 3.1.5.4.1. Para vigas que disponen de armadura de compresión. Cuando las vigas disponen de armadura de compresión el ACI exige niveles de ductilidad análogos a los analizados para vigas sin armadura de compresión, de modo que en zonas no afectadas por sismos o en elementos en que el efecto del sismo no es importante, la cuantía máxima del acero de tracción es: 22

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75(𝜌𝑏 + 𝜌′ )

Donde:

𝜌𝑏 : Cuantía balanceada de armado a tracción 𝜌′ : Cuantía de armado a compresión

Armadura de tracción y de compresión. Si el acero de compresión se encuentra en fluencia, el nivel de ductilidad será igual al logrado en vigas sin armadura de compresión. Sin embargo, si el acero de compresión no alcanza el esfuerzo de fluencia antes que el hormigón llegue a su máxima deformación (esto ocurre particularmente en vigas de peralte limitado en edificaciones pequeñas), los niveles de ductilidad pueden reducirse en alguna magnitud con relación a las vigas que tienen solamente armadura de tracción, pues el eje neutro deberá descender para compensar la fuerza horizontal de compresión que no puede proveer el acero. 3.1.5.4.2. Cuantías máximas para zonas sísmicas: 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.50𝜌𝑏 Para secciones rectangulares y acero de 4200 Kg/cm2 de fluencia, que es el máximo permitido, el 50% de la cuantía balanceada es equivalente a una deformación unitaria mínima del acero de tracción de 0.007.

23

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo el 50% de la cuantía balanceada. El criterio del 50% de la cuantía balanceada para zonas sísmicas permitía la formación progresiva de articulaciones plásticas en diferentes sectores de las estructuras aporticadas. Cuando se trabaja con aceros de 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 de fluencia, y se analizan los diagramas momento-curvatura básicos, utilizar el 50 % de la cuantía balanceada es equivalente a incrementar en un 133% la curvatura del hormigón armado antes de la falla, con relación a la falla balanceada 3.1.5.4.3. Para vigas que disponen de armadura de compresión. Para secciones con armadura de compresión, el ACI fija la siguiente limitación con criterios de ductilidad análogos a las vigas sin acero para compresión 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.50(𝜌𝑏 + 𝜌′ ) La nueva especificación del código ACI (εt = 0.005), para aceros de 4200 Kg/cm2, se ubica exactamente en el punto medio entre el 50% y el 75% de la cuantía balanceada (ρ= 0.625ρb). En realidad no es un estándar para mejorar la ductilidad de las estructuras, sino una especificación para controlar la disminución de ductilidad que puede causar el uso de armadura de compresión. 24

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

Por estas circunstancias, para vigas rectangulares al menos debería incluirse la deformación mínima de 0.005 del ACI como criterio de ductilidad básica. ε t ≥ 0.005 O más óptimamente se debería limitar la cuantía de armado al 50% de la cuantía balanceada incluido el efecto de la armadura de compresión. 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.50𝜌𝑏 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.50(𝜌𝑏 + 𝜌′ ) Las últimas 2 ecuaciones tienen la ventaja de que no solamente imponen comportamientos adecuados para vigas rectangulares, sino también para vigas T y L, para las que el criterio del ACI (ε t ≥ 0.005) puede ser insuficiente al tratar de asegurar un comportamiento dúctil con deformaciones progresivas. 3.2 DISEÑO POR FLEXIÓN. 3.2.1. ALTURA MÍNIMA DE LA VIGA.Para las vigas no preesforzadas que no soporten ni estén ligadas a particiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes, la altura total de la viga, h, no debe ser menor que los límites dados en la Tabla 9.3.1.1, a menos que se cumplan los límites de las deflexiones. Tabla 9.3.1.1 — Altura mínima de vigas no preesforzadas

Para 𝑓𝑦 distinto de 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 , los valores de la Tabla 9.3.1.1 deben multiplicarse por (0.4 + 𝑓𝑦 /7000) 25

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 3.2.2. ACERO MÍNIMO. -

El código especifica una cantidad de acero mínimo en cualquier sección donde el refuerzo por tensión es requerido por análisis: 𝑎)

𝑏)

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =

0.8√𝑓𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝑓𝑦

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =

14 𝑏 𝑑 𝑓𝑦 𝑤

(𝐴𝐶𝐼 9.6.1.2)

(𝐴𝐶𝐼 9.6.1.2)

Para elementos estáticamente determinados con patín a tensión, el área 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 debe ser igual o mayor que el valor dado en la anterior ecuación con 𝑏𝑤 sustituida por el menor de 2𝑏𝑤 o el ancho del patín. El requisito de acero mínimo anteriores no necesitan aplicarse si en cualquier sección el área de refuerzo a tensión proveído es al menos un tercio mayor que el requerido del análisis. 3.2.3. SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE REFORZADAS. En el diseño de secciones rectangulares con refuerzo a tensión únicamente (ver figura 2.10), las condiciones de equilibrio son:

FIGURA 2.10 Distribución de esfuerzo y deformaciones en una sección rectangular. 26

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 1. Equilibrio de fuerzas:

𝐶=𝑇 0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 = 𝜌𝑏𝑑𝑓𝑦 𝑎=

𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 𝜌𝑑𝑓𝑦 = ′ 0.85 ∗ 𝑓𝑐 ∗ 𝑏 0.85 ∗ 𝑓𝑐′

2. Equilibrio de momentos: 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐶 ó 𝑇) ∗ (𝑑 − ) 2 𝑀𝑛 = 𝜌𝑏𝑑𝑓𝑦 (𝑑 −

0.5𝜌𝑑𝑓𝑦 ) 0.85𝑓𝑐′

Un coeficiente de resistencia nominal Rn se obtiene cuando ambos lados de la ecuación se dividen por 𝑏𝑑2 : 𝑅𝑛 =

0.5𝜌𝑓𝑦 𝑀𝑛 = 𝜌𝑓𝑦 (1 − ) 2 𝑏𝑑 0.85𝑓𝑐′

Cuando b y d se han establecido, 𝜌 es obtenido por solución de la ecuación cuadrática para Rn: 0.85𝑓𝑐′ 2𝑅𝑛 𝜌= (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 0.85𝑓𝑐′ La ecuación puede ser utilizada para determinar el porcentaje de acero 𝜌 dado 𝑀𝑢 o viceversa, si las dimensiones b y d de la sección son conocidas. Sustituyendo 𝑀𝑛 = 𝑀𝑢 /𝜙 en la ecuación y dividiendo cada lado por 𝑓𝑐′ : 𝜌𝑓𝑦 0.5𝜌𝑓𝑦 𝑀𝑢 = ′ (1 − ) ′ 2 𝜙𝑓𝑐 𝑏𝑑 𝑓𝑐 0.85𝑓𝑐′ Definiendo 𝜔=

𝜌𝑓𝑦 𝑓𝑐′ 27

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL Luego

𝑀𝑢 = 𝜔(1 − 0.59𝜔) 𝜙𝑓𝑐′ 𝑏𝑑 2 3.2.4. SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS. Este tipo de sección es necesario cuando por limitaciones arquitectónicas se restrinja el peralte de la viga, y el refuerzo a tensión exceda el máximo permitido. El acero de compresión también es útil para reducir deflexiones. La determinación de acero de compresión utilizado exclusivamente para el control de las deflexiones, depende de los requisitos de deformación que se hayan establecido. Se resume la secuencia de pasos para el diseño de vigas rectangulares (con b y d establecidos) que requieren refuerzo a compresión. 1. Debe chequearse si el refuerzo a compresión es necesario. Para esto determinamos la cuantía que requiere la viga, se verifica que sea mayor que la cuantía máxima (0.75 𝜌𝑏 , ó 0.5𝜌𝑏 para zonas sísmicas). 2. Determinar el momento máximo que resiste la viga en condición de simplemente armada, sin refuerzo a compresión. 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 0.9 ∗ 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑑𝑓𝑦 (𝑑 −

𝜌𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑑𝑓𝑦 ) 1.7 ∗ 𝑓𝑐′ 𝑏

3. Calcular el momento resistido por el refuerzo a compresión 𝑀2 = 𝑀𝑛 − 𝑀𝑚𝑎𝑥 4. Determinar si el acero en compresión fluye 𝑎= 𝑐= 𝜀𝑠′ = (

𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 0.85𝑓𝑐′ 𝑏

𝑎 𝛽1

𝑓𝑦 𝑐 − 𝑑′ ) ∗ 0.003 > 𝑐 𝐸𝑦 28

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 4.1.

Primer caso: El acero en compresión fluye

Se considera: 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 Entonces: 𝐴′𝑠 = 𝐴𝑠2 =

𝑀2 − 𝑑′ )

𝜙𝑓𝑠′ (𝑑

𝐴𝑠 = 𝐴𝑚𝑎𝑥 + 𝐴′𝑠 4.2.

Segundo caso: El acero en compresión no fluye:

𝑓𝑠′ = 𝐸𝑠 ∗ 𝜀𝑠′ = 𝐸𝑠 ∗ 𝜀𝑢 ∗ (

𝑐2 −

𝑐 − 𝑑′ ) < 𝑓𝑦 𝑐

𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐸𝑠 𝜀𝑢 𝐴′𝑠 𝐴𝑠2 𝐸𝑠 𝜀𝑢 𝑑′ 𝑐 − =0 0.85𝛽1 𝑓𝑐′ 𝑏 0.85𝛽1 𝑓𝑐′ 𝑏

𝐴′𝑠 =

𝑀2 − 𝑑′ )

𝜙𝑓𝑠′ (𝑑

3.2.5. SECCIONES CON PATÍN. El ancho del patín que se considera para incluirse con la viga y formar la sección con patín deberá atender los siguientes requisitos (ACI 318-14, 6.3.2): En la construcción de vigas T no preesforzadas, construidas para soportar losas monolíticas o compuestas, el ancho efectivo de la losa usada como ala, 𝑏𝑓 , debe incluir el ancho 𝑏𝑤 del alma de la viga más un ancho sobresaliente efectivo del ala, de acuerdo con la Tabla 6.3.2.1, donde h es el espesor de la losa y 𝑠𝑤 es la distancia libre a la siguiente alma. 29

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

R6.3.2.1 En ACI 318-11, el ancho de la losa efectivo como ala de la viga T estaba limitado a un cuarto de la luz. El Reglamento, ahora, permite un octavo de la luz a cada lado del alma de la viga. Esto se hizo para simplificar la Tabla 6.3.2.1 y tiene un impacto despreciable en los diseños. Tabla 6.3.2.1 - Límites dimensionales del ancho sobresaliente del ala para vigas T

En vigas T no preesforzadas aisladas, en las cuales se utilice la forma T para proporcionar por medio del ala un área adicional de compresión, el ala debe tener un espesor mayor o igual a 0.5𝑏𝑤 y un ancho efectivo del ala menor o igual a 4𝑏𝑤 .

Donde: 𝑏𝑓 : alas del patín (ancho sobresaliente). 𝑏𝑤 : ancho del alma ℎ𝑓 : espesor del patín

A continuación se resume la secuencia de pasos a seguir en el diseño de secciones con patín y refuerzo a tensión: 1. Determinar el ancho efectivo del patín “b”. 30

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

2. Determinar la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzo “a”, asumiendo una sección rectangular de ancho “b” igual al ancho del patín. 𝑎=

𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 𝜌𝑑𝑓𝑦 = = 1.18𝜔𝑑 ′ 0.85 ∗ 𝑓𝑐 ∗ 𝑏 0.85 ∗ 𝑓𝑐′

𝜔 es obtenido asumiendo una sección controlada por tensión 𝜙 = 0.90. Si 𝑎 < ℎ𝑓 , el refuerzo se determina como una sección rectangular simplemente reforzada. Si 𝑎 > ℎ𝑓 , seguir al paso 3. 3. Calcular el refuerzo requerido 𝐴𝑠𝑓 y la resistencia a momento 𝜙𝑀𝑛𝑓 correspondiente a las alas del patín en compresión: 𝐶𝑓 0.85𝑓𝑐′ (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 𝐴𝑠 = = 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝜙𝑀𝑛𝑓 = 𝜙 [𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (𝑑 −

ℎ𝑓 )] 2

4. Calcular la resistencia a momento requerido que resiste el alma de la viga: 𝑀𝑢𝑤 = 𝑀𝑢 − 𝜙𝑀𝑛𝑓 5. Utilizando la ecuación de 𝜔 calcular el refuerzo 𝐴𝑠𝑤 requerido para la resistencia del alma: 𝑀𝑢𝑤 = 𝜔𝑤 (1 − 0.59𝜔𝑤 ) 𝜙𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑2 𝐴𝑠𝑤

𝜔𝑤 𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 = 𝑓𝑦

6. Determinar el refuerzo total requerido: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑓 + 𝐴𝑠𝑤

31

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

7. Revisar si la sección es controlada por tensión, con 𝜙 = 0.90 𝑐=

𝑎𝑤 ; 𝛽1

𝑎𝑤 = 1.18𝜔𝑤 𝑑

Si c / 𝑑𝑡 ≤ 0.375, la sección es controlada por tensión. Si c / 𝑑𝑡 > 0.375, agregar refuerzo por compresión. 8. Revisar la capacidad a momento: 𝜙𝑀𝑛 = 𝜙 [(𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 )𝑓𝑦 (𝑑 −

ℎ𝑓 𝑎𝑤 ) + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (𝑑 − )] ≥ 𝑀𝑢 2 2

Donde 𝐴𝑠𝑓 =

0.85𝑓𝑐′ (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 𝑓𝑦

𝑎𝑤 =

(𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 ) ∗ 𝑓𝑦 0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝑏𝑤

4. COMPORTAMIENTO DE CORTE EN VIGAS 4.1. INTRODUCCIÓN.Las vigas deben tener un margen de seguridad adecuado contra otros tipos de fallas, algunas de las cuales pueden ser más peligrosas que la falla a flexión. Esto se debe a la gran incertidumbre en la predicción de otros modos de colapso o a causa de la naturaleza catastrófica de otros tipos de fallas, cuando éstas ocurren. Un ejemplo de lo anterior es la falla a cortante del concreto reforzado más conocida como falla a tensión diagonal. La falla a cortante es difícil de predecir en forma exacta. A pesar de la investigación experimental llevada a cabo durante muchas décadas y del uso de herramientas analíticas altamente sofisticadas, ésta no se comprende aún completamente. Además, si una viga sin diseño adecuado del refuerzo a cortante se sobrecarga hasta la falla, se puede presentar un colapso por cortante en forma súbita, sin aviso alguno de peligro. Esto está en fuerte contraste con la naturaleza de la falla a flexión. Para vigas comunes sub reforzadas, la falla a flexión se inicia por fluencia gradual del acero a tensión acompañada por 32

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

agrietamiento obvio del concreto y grandes deflexiones, que dan aviso evidente y la oportunidad de tomar medidas correctivas. A causa de estas diferencias en el comportamiento, por lo general se coloca refuerzo a cortante en las vigas de concreto reforzado para garantizar una falla a flexión antes de que ocurra la falla a cortante en caso de que el elemento se sobrecargue en exceso. Es importante comprender que el análisis y el diseño a cortante no están relacionados realmente con el cortante como tal. En la mayor parte de las vigas, los esfuerzos cortantes están muy por debajo de la resistencia a cortante directa del concreto. La verdadera inquietud tiene que ver con el esfuerzo de tensión diagonal, que surge de la combinación de esfuerzos cortantes y de esfuerzos de flexión longitudinal. Primero se estudian los elementos sin refuerzo en el alma con el fin de establecer la localización y orientación de las grietas, y la carga para la cual ocurre el agrietamiento diagonal. En seguida se desarrollan los métodos para el diseño del refuerzo a cortante de acuerdo con el Código actual del ACI, tanto en vigas comunes como en tipos especiales de elementos. 4.2 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGON La fuerza cortante viene a ser el resultado de la acción de fuerzas verticales que actúan en una sección determinada de una viga y tiende a cortar la viga, tal como muestra la figura.

33

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

La fuerza cortante es la resultante de todas las fuerzas verticales que actúan en la viga en una sección considerada, manteniendo el equilibrio en la sección. V=RLW1-W2-W3 La figura muestra la representación gráfica de las trayectorias o isostáticas de tensiones principales para una viga simplemente apoyada y con carga uniforme. Las líneas punteadas representan las isostáticas de compresión y las continuas las de tracción. Ambos juegos de curvas cortan al eje X con una inclinación de 45° y siempre se cruzan perpendicularmente entre si terminando la trayectoria en cada uno de los bordes superior e inferior de la viga. 4.3 COMPORTAMIENTO Y MODOS DE FALLA Se describen el comportamiento bajo carga y los modos de falla de elementos de concreto en los cuales la acción de la fuerza cortante es importante. Para facilitar la exposición se agrupan los elementos en tres tipos distintos, según se muestra en la figura a) Vigas o columnas sin refuerzo transversal en el alma, sujetas a combinaciones de fuerza cortante, momento flexionante y carga axial. b) Vigas o columnas con refuerzo transversal en el alma, mostrado esquemáticamente en la figura por estribos verticales, y sujetas a las mismas combinaciones de carga que los elementos del inciso a. c) Losas y zapatas, reforzadas y apoyadas en las dos direcciones, sujetas a cargas concentradas o a cargas repartidas. Este tipo de elementos está sujeto a flexión en dos direcciones.

34

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

Representación esquemática de los diferentes tipos de falla en elementos en los que predomina la fuerza cortante. 4.3.1 ELEMENTOS SIN REFUERZO EN EL ALMA Secciones rectangulares Considérese un elemento sometido a carga en la forma mostrada en la figura a. En los primeros incrementos de carga no existe diferencia entre el comportamiento de un elemento que falle por efecto de fuerza cortante y el de otro que falle por flexión. Antes de que aparezcan las primeras grietas en la parte inferior, debidas a flexión, el comportamiento del elemento es esencialmente elástico. Al aumentar las cargas, la fuerza cortante puede originar esfuerzos principales que excedan la resistencia a tensión del concreto, produciendo grietas inclinadas a una altura aproximada de medio peralte. Estas grietas pueden aparecer súbitamente en puntos donde no exista una grieta de flexión o, muy frecuentemente, pueden presentarse como continuación de una grieta de flexión que gradualmente cambia de inclinación. 35

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 4.4 DISEÑO POR CORTANTE.

El diseño por cortante está basado en la siguiente expresión: ϕ𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢

𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 9.5.1.1

donde 𝑉𝑢 = fuerza cortante factorizada en la sección considerada ϕ = factor de reducción de resistencia, igual a 0.75 𝑉𝑛 = resistencia nominal al cortante La resistencia nominal a cortante 𝑉𝑛 en una dirección se debe calcular como: 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠

𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 22.5.1.1

donde 𝑉𝑐 es la resistencia nominal a cortante proporcionada por el concreto y 𝑉𝑠 es la resistencia nominal a cortante proporcionada por el refuerzo. Las ecuaciones para la resistencia a cortante del concreto presentadas en el capítulo 22.5 del código ACI son una función de √𝑓𝑐′ , y han sido verificadas experimentalmente en elementos de concreto reforzado con resistencia a la compresión del concreto de hasta 700 kg/cm2. Debido a la falta de pruebas en elementos con 𝑓𝑐′ > 700 kg/cm2, el ACI 22.5.3.1 limita el valor de √𝑓𝑐′ a 26.5 kg/cm2. Sin embargo, el ACI 22.5.3.2 no prohíbe el uso de concretos con 𝑓𝑐′ > 700 kg/cm2, pero conduce al diseñador a no tomar en cuenta resistencias mayores para el cálculo de 𝑉𝑐 , a menos que una cantidad de refuerzo mínimo a cortante sea proporcionada. Las dimensiones de la sección transversal deben seleccionarse para cumplir con la ecuación: Vu ≤ ϕ(𝑉𝑐 + 2.2√fc ′𝑏𝑤 d)

𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 22.5.1.2

Para elementos no presforzados, las secciones localizadas a una distancia menor que “d” (peralte efectivo del elemento) desde la cara del apoyo, se pueden diseñar para el mismo cortante 𝑉𝑢 que el calculado a dicha distancia (sección crítica), siempre que se cumplan las siguientes condiciones (ACI 9.4.3.2): 36

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

a) La reacción en el apoyo en dirección del cortante aplicado introduce compresión en las zonas extremas del elemento. b) Las cargas están aplicadas en o cerca de la parte superior del elemento. c) No ocurre ninguna carga concentrada entre la cara del apoyo y la ubicación de la sección crítica. Las condiciones donde se aplica la disposición ACI 9.4.3.2 se ilustran en las figuras a y b, y las condiciones donde no se aplica en las figuras c, d, e y f.

Fig. R9.4.3.2(a) — Diagramas de cuerpo libre en el extremo de la viga.

37

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

Fig. R9.4.3.2(b) — Ubicación de la sección crítica de cortante en un elemento cargado cerca de su cara inferior.

Fig. R9.4.3.2 (c), (d), (e) y (f) — Condiciones típicas del apoyo para localizar la fuerza cortante mayorada 𝑉𝑢 . 4.4.1. RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO. Para elementos no presforzados sujetos a cortante y flexión solamente, el código ACI permite el cálculo de la resistencia a cortante del concreto 𝑉𝑐 : 

De forma simplificada según ACI 22.5.5.1 Vc = 0.53 λ√fc ′𝑏𝑤 d

𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 22.5.5.1 38

ING CIVIL 

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

De manera detallada, Vc, según la tabla 22.5.5.1 Tabla 22.5.5.1 — Método detallado para calcular Vc Vc El menor de (a),(b)y(c)

(0.5λ√fc ′ + 176ρw

Vu d )b d Mu w

(a)

(0.5λ√fc ′ + 176ρw ) bw d

(b)

0.93λ√fc ′bw d

(c)

4.4.2. RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL REFUERZO DE CORTANTE. El tipo de refuerzo a cortante más común en vigas son los estribos cerrados colocados perpendicularmente al eje del elemento, por lo que es el único tipo a tratar en esta sección. Estos estribos deben cumplir con lo establecido en el ACI 9.7.6.2.2. El espaciamiento de los estribos utilizados como refuerzo a cortante, colocados perpendicularmente al eje del elemento, no debe exceder de: 

d/2 o 60 cm, si 𝜙𝑉𝑠 ≤ 1.1√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑



d/4 o 30 cm, si 1.1√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 < 𝜙𝑉𝑠 ≤ 2.2√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑

El valor de 𝜙𝑉𝑠 no debe exceder de 2.2√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑. Para situaciones en que la resistencia requerida a cortante excede este límite, el tamaño del elemento o la resistencia del concreto debe incrementarse para contar con una mayor resistencia al cortante proporcionada por el concreto. Cuando la fuerza cortante factorizada 𝑉𝑢 excede a la mitad de la resistencia proporcionada por el concreto (𝑉𝑢 > 𝜙𝑉𝑠 /2), una cantidad mínima de refuerzo por cortante debe proporcionarse en elementos sujetos a flexión, excepto para losas y zapatas, viguetas y vigas pachas. Cuando se requiera, la cantidad mínima de refuerzo por cortante para elementos no presforzados, donde sea permitido despreciar los efectos de torsión, según el código ACI 318-14 debe cumplir con la tabla 9.6.3.3 39

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0.20√𝑓𝑐′

𝐴𝑚𝑖𝑛 =

𝑏𝑤 𝑠 𝑓𝑦

3.5 𝑏𝑤 𝑠 𝑓𝑦

𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 9.6.3.3

𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 9.6.3.3

Cuando la fuerza cortante factorizada 𝑉𝑢 excede la resistencia a cortante del concreto 𝜙𝑉𝑢 , refuerzo por cortante debe proporcionarse para resistir el cortante en exceso. El código proporciona una ecuación que define la resistencia a cortante del refuerzo 𝑉𝑠 en términos del área 𝐴𝑣 , resistencia a la fluencia 𝑓𝑦 , y el espaciamiento s del refuerzo por cortante que consiste en estribos perpendiculares al eje del elemento: 𝑉𝑠 =

𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝑠

𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 22.5.10.5.3

Sustituyendo 𝑉𝑠 dentro de ec. (𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 22.5.1.1) y 𝑉𝑛 dentro de ec. (𝐴𝐶𝐼 318 − 14 − 9.5.1.1), se obtiene: 𝜙𝑉𝑐 +

𝜙𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 ≥ 𝑉𝑢 𝑠

4.5. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL REFUERZO POR CORTANTE. El diseño de vigas de concreto reforzado por cortante involucra los siguientes pasos: 1. Determinar la fuerza de cortante factorizada máxima 𝑉𝑢 en las secciones críticas a lo largo del elemento. 2. Determinar la resistencia a cortante proporcionada por el concreto 𝜙𝑉𝑐 de la ec. (ACI 22.5.5.1) con 𝜙 = 0.75. 3. Calcular (𝑉𝑢 - 𝜙𝑉𝑐 ) en la sección crítica. Si (𝑉𝑢 - 𝜙𝑉𝑐 ) > 2.2√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑, incrementar el tamaño de la sección o la resistencia a compresión del concreto 𝑓𝑐′ . 4. Calcular la distancia desde el apoyo a partir de la cual se requiere refuerzo mínimo por cortante (p. ej. donde 𝑉𝑢 = 𝜙𝑉𝑐 ), y la distancia desde el apoyo a partir de la cual el concreto puede resistir el cortante total (p. ej. donde 𝑉𝑢 = 𝜙𝑉𝑐 /2). 40

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

5. Usar la siguiente tabla para determinar el área requerida de estribos verticales 𝐴𝑣 o el espaciamiento s. En donde los estribos son necesarios, es más ventajoso seleccionar un tamaño de varilla y determinar el espaciamiento requerido. Si es posible, no más de tres diferentes espaciamientos de estribos deben especificarse, con el primer estribo localizado a 5 cm de la cara del apoyo.

Los requisitos de resistencia a cortante se ilustran en la figura.

41

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

Requisitos de resistencia a cortante. La expresión para la resistencia a cortante proporcionada por el refuerzo a cortante 𝜙𝑉𝑠 pueden ser asignadas valores específicos de fuerzas para un tamaño de estribo dado y resistencia del refuerzo. La selección del refuerzo y espaciamiento puede ser simplificado si el espaciamiento es expresado como función del peralte efectivo en lugar de un valor numérico. Limites prácticos de espaciamientos de estribos generalmente varían de s = d/2 a d/4, desde que espaciamientos menores de d/4 no son económicos con un espaciamiento intermedio en d/3, un valor especifico de 𝜙𝑉𝑠 puede ser derivado para cada tamaño y espaciamiento de estribos como sigue: Para estribos verticales: 𝜙𝑉𝑠 =

𝜙𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝑠

42

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 5.1 DISEÑO A FLEXIÓN.-

Determinar el refuerzo 𝐴𝑆 en la zona de tracción , con los siguientes datos : Datos 𝑀𝑢 = 7 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 𝑏 = 25 𝑐𝑚 ℎ = 50 𝑐𝑚 𝑓𝑐′ = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐴𝑆 = ?

1. Calculo peralte :

𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐. −∅𝑒𝑠𝑡. −

∅𝑙𝑜𝑛𝑔. 1.2 = 50 − 2.5 − 0.6 − = 46.3 𝑐𝑚 2 2 𝑑 = 46.3 𝑐𝑚

2. Calculo de acero mínimo :

𝐴𝑆𝑚𝑖𝑛 =

0.8 ∗ √𝑓𝑐 ′ ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 𝑓𝑦 𝐴𝑆𝑚𝑖𝑛 =

=

0.8 ∗ √210 ∗ 25 ∗ 46.3 = 3.195 𝑐𝑚2 4200

14 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 14 ∗ 25 ∗ 46.3 = = 3.86 𝑐𝑚2 𝑓𝑦 4200

3. Calculo de cuantia :

𝑀𝑢 = 𝜔 (1 − 0.59𝜔) ∅ ∗ 𝑓𝑐 ′ ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 2 43

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

𝑘𝑢 =

𝑀𝑢 = 𝜔 − 0.59𝜔2 ∅ ∗ 𝑓𝑐 ′ ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 2 𝑘𝑢 =

∴

−0.59𝜔2 + 𝜔 = 𝑘𝑢

𝑀𝑢 700000 = = 0.0691 ∅ ∗ 𝑓𝑐 ′ ∗ 𝑏 ∗ 𝑑2 0.9 ∗ 210 ∗ 25 ∗ 46.32 0.59𝜔2 − 𝜔 + 0.0691 = 0 𝜔1 = 1.623 𝜔2 = 0.0722 𝜌=

𝜔𝑓𝑐 ′ 0.0722 ∗ 210 = = 0.00361 𝑓𝑦 4200

4. Calculo de 𝐴𝑆 : 𝐴𝑆 = 𝜌 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 = 0.00361 ∗ 25 ∗ 46.3 = 4.18 𝑐𝑚2 𝐴𝑆 = 4.18 𝑐𝑚2 5. Calculo de cuantia balanciada :

𝜌𝑏 = 0.85

6000 210 6000 ) = 0.85 ∗ 0.85 ∗ ( ) 𝑓𝑦 𝑓𝑦 + 6000 4200 4200 + 6000 = 0.02125 𝑓𝑐 ′

∗ 𝛽1 ∗ (

𝜌𝑏 = 0.02125 6. Calculo de cuantia maxima zona no sismica :

𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 ∗ 𝜌𝑏 = 0.75 ∗ 0.02125 = 0.0159 7. Calculo de 𝐴𝑚𝑎𝑥 : 𝐴𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0.0159 ∗ 25 ∗ 46.3 = 18.45 𝑐𝑚2 Como : 44

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

𝐴𝑚𝑎𝑥 > 𝐴𝑆 > 𝐴𝑆𝑚𝑖𝑛 𝒖𝒔𝒂𝒓 → 𝑨𝒔 = 𝟒. 𝟏𝟖 𝒄𝒎𝟐 → 𝒖𝒔𝒂𝒓 𝟒∅ 𝟏𝟐𝒎𝒎 (𝑨𝑺 = 𝟒. 𝟓𝟐𝒄𝒎𝟐 )

8. Considerando la estática se pueden revisar los cálculos.

𝑇 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 = 4.18 ∗ 4200 = 17556 𝑘𝑔 𝑎=

𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 17556 = = 3.934 𝑐𝑚 ′ 0.85 ∗ 𝑓𝑐 ∗ 𝑏 0.85 ∗ 210 ∗ 25

Resistencia de momento de diseño: 𝑎 2

∅ 𝑀𝑛 = ∅ [𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 ∗ (𝑑 − )] = 0.9 ∗ [17.556 ∗ (0.463 −

0.03934 )] 2

= 7.0047 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚

∅ 𝑀𝑛 = 7.0047 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 ≅ 𝑀𝑢 = 7 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚

𝑜𝑘

45

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

5.2 DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA.Una sección transversal de una viga está limitada por las dimensiones mostradas. Determine el área de refuerzo requerido para el momento Mu=23 ton m Datos 𝑀𝑢 = 23 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 𝑏 = 20 𝑐𝑚 ℎ = 45 𝑐𝑚 𝑓𝑐′ = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐴𝑆 = ? 𝐴′𝑠 = ? 1.- Determinar si la viga requiere refuerzo a compresión: Cuantía máxima: 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏 𝜌𝑏 = 0.85 ∗

𝑓𝑐′ 6000 ∗ 𝛽1 ∗ ( ) 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦

𝜌𝑏 = 0.02125 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 ∗ 0.02125 = 0.01594 Cuantía necesaria: 𝑀𝑢 = 𝜔(1 − 0.59𝜔) 𝜙𝑓𝑐′ 𝑏𝑑 2 𝜔 = 0.5761 𝜌 = 0.0288 46

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

Como 0.0288 > 0.01594, refuerzo a compresión necesaria 2.- Determinar el momento resistido solo por la viga y refuerzo a tensión: 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 0.9 ∗ 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑑𝑓𝑦 (𝑑 −

𝜌𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑑𝑓𝑦 ) 1.7 ∗ 𝑓𝑐′ 𝑏

𝑀𝑚𝑎𝑥 = 15.663 𝑡𝑜𝑛 𝑚 3.- Determinar el momento que debe resistir el refuerzo a compresión: 𝑀2 = 𝑀𝑛 − 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀2 = 7.337 𝑡𝑜𝑛 𝑚 4.- Determinar si el acero en compresión fluye: 𝑎=

𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 0.85𝑓𝑐′ 𝑏

𝑎 = 15 𝑐𝑚

𝑐=

𝜀𝑠′ = ( 0.00215 > 0.0021

𝑎 𝛽1

𝑐 = 17.647 𝑐𝑚

𝑓𝑦 𝑐 − 𝑑′ ) ∗ 0.003 > 𝑐 𝐸𝑦 →

𝐸𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒

Por lo tanto: 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 = 4200 Entonces: 𝐴′𝑠 = 𝐴𝑠2 =

𝑀2 − 𝑑′ )

𝜙𝑓𝑠′ (𝑑

𝐴′𝑠 = 5.545 𝑐𝑚2 𝐴𝑠 = 𝐴𝑚𝑎𝑥 + 𝐴′𝑠 𝐴𝑠 = 18.3𝑐𝑚2

47

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

𝒖𝒔𝒂𝒓 → 𝑨𝒔 = 𝟏𝟖. 𝟑 𝒄𝒎𝟐 → 𝒖𝒔𝒂𝒓 𝟔∅ 𝟐𝟎𝒎𝒎 (𝑨𝑺 = 𝟏𝟖. 𝟖𝟓𝒄𝒎𝟐 ) 𝒖𝒔𝒂𝒓 → 𝑨′𝒔 = 𝟓. 𝟓𝟒𝟓 𝒄𝒎𝟐 → 𝒖𝒔𝒂𝒓 𝟑∅ 𝟏𝟔𝒎𝒎 (𝑨′𝒔 = 𝟔. 𝟎𝟑𝒄𝒎𝟐 )

48

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

5.3 DISEÑO DE UNA SECCIÓN CON PATÍN (VIGA EN T).Seleccione el refuerzo para la sección T mostrada, para soportar un momento ultimo de Mu=55ton m Datos 𝑀𝑢 = 55 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 𝑏 = 75 𝑐𝑚 ℎ = 50 𝑐𝑚 𝑟 = 2.5 𝑐𝑚 𝑏𝑤 = 25 𝑐𝑚 ℎ𝑓 = 6.25 𝑐𝑚 𝑓𝑐′ = 280 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 1.- Encontrar la profundidad del bloque rectangular equivalente a, como para una sección rectangular: 0.59𝜔2 − 𝜔 +

𝑀𝑛 =0 𝜙𝑓𝑐′ 𝑏𝑑2

𝜔 = 0.1406 𝑎=

𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 𝜌 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦 = = 1.18𝜔𝑑 = 1.18 ∗ 0.1406 ∗ 47.5 = 7.86𝑐𝑚 ′ 0.85 ∗ 𝑓𝑐 ∗ 𝑏 0.85 ∗ 𝑓𝑐′

Como 7.86𝑐𝑚 > 6.25𝑐𝑚 Calcular el refuerzo requerido 𝐴𝑠𝑓 y la resistencia a momento 𝜙𝑀𝑛𝑓 correspondiente a las alas del patín en compresión: 𝐴𝑠 =

𝐶𝑓 0.85𝑓𝑐′ (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 = = 17.708𝑐𝑚2 𝑓𝑦 𝑓𝑦 49

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

𝜙𝑀𝑛𝑓 = 𝜙 [𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (𝑑 −

ℎ𝑓 )] = 33.004𝑡𝑜𝑛 𝑚 2

4. Calcular la resistencia a momento requerido que resiste el alma de la viga: 𝑀𝑢𝑤 = 𝑀𝑢 − 𝜙𝑀𝑛𝑓 = 28.107𝑡𝑜𝑛 𝑚 5. Utilizando la ecuación de 𝜔 calcular el refuerzo 𝐴𝑠𝑤 requerido para la resistencia del alma: 𝑀𝑢𝑤 = 𝜔𝑤 (1 − 0.59𝜔𝑤 ) 𝜙𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑2 𝐴𝑠𝑤 =

𝜔𝑤 𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 = 15.996𝑐𝑚2 𝑓𝑦

6. Determinar el refuerzo total requerido: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑓 + 𝐴𝑠𝑤 = 33.704𝑐𝑚2

𝒖𝒔𝒂𝒓 → 𝑨𝒔 = 𝟑𝟑. 𝟕𝟎𝟒 𝒄𝒎𝟐 → 𝒖𝒔𝒂𝒓 𝟕∅ 𝟐𝟓𝒎𝒎 (𝑨𝑺 = 𝟑𝟒. 𝟑𝟔𝒄𝒎𝟐 )

50

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

5.4 DISEÑO A CORTANTE.Determinar el tamaño requerido y espaciamiento de los estribos verticales, para un claro de 9 𝑚, viga simplemente apoyada. Datos 𝑞𝑢 = 7 𝑡𝑜𝑛/𝑚 Col. 30𝑥30 𝑐𝑚 𝑏𝑤 = 35 𝑐𝑚 ℎ = 35 𝑐𝑚 𝑓𝑐′ = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

51

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL 𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =

𝑞𝑙 7∗9 = = 31.5 𝑡𝑜𝑛 = 31500𝑘𝑔 2 2

Ecuación de 𝑉𝑥 𝑉𝑥 = 31500 − 70 (𝑥) 1. calculo del peralte .

𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐. −∅𝑒𝑠𝑡. −

∅𝑙𝑜𝑛𝑔. 2 = 55 − 2.5 − 0.8 − = 50.7 𝑐𝑚 2 2 𝑑 = 50.7 𝑐𝑚

2. calculo de 𝑉𝑢 . 𝑉𝑢 en el extremo izquierdo: 𝑉𝑢 = 31500 𝑘𝑔 𝑉𝑢 a una distancia 𝑑 de la cara de la columna : 𝑥=𝑑+

𝑐𝑜𝑙. 30 = 50.7 + = 65.7 𝑐𝑚 2 2

𝑉𝑢 = 31500 − 70 (𝑥) 𝑉𝑢 = 31500 − 70 (65.7) = 26901𝑘𝑔

3. Determinar la resistencia a cortante proporcionada por el concreto. 𝜙 𝑉𝑐 = 𝜙0.53 λ√𝑓𝑐 ′𝑏𝑤 ddonde𝜙 = 0.75 , λ=1 𝜙 𝑉𝑐 = 0.75 ∗ 0.53 ∗ 1 ∗ √210 ∗ 35 ∗ 50.7 = 10221.69 𝑘𝑔 = 10.22 𝑡𝑜𝑛 Como : 𝑉𝑢 = 26901𝑘𝑔 > 𝜙 𝑉𝑐 = 10221.69 𝑘𝑔 Debido a esto, el refuerzo por cortante es requerido. 4. Calcular 𝑉𝑢 − 𝜙 𝑉𝑐 en la sección critica. 52

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

𝑉𝑢 − 𝜙 𝑉𝑐 = 26901 − 10221.69 = 16679.31𝑘𝑔 < 2.2 √𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝑉𝑢 − 𝜙 𝑉𝑐 = 16679.31𝑘𝑔 < 2.2 ∗ √210 ∗ 35 ∗ 50.7 𝑉𝑢 − 𝜙 𝑉𝑐 = 16679.31𝑘𝑔 < 56572.88𝑘𝑔

𝑜𝑘

5. Determinar la distancia 𝑥𝑐 desde el apoyo donde el refuerzo mínimo a cortante es requerido( 𝑉𝑢 = 𝜙 𝑉𝑐) : 𝑥𝑐 =

𝑉𝑢 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 − (𝜙 𝑉𝑐 )

=

𝑞𝑢

26901 − 10221.69 = 238.27𝑐𝑚 = 2.38 𝑚 70

Determine la distancia 𝑥𝑚 desde el apoyo donde el concreto puede soportar la fuerza cortante total ( 𝑉𝑢 = 𝜙 𝑉𝑐 /2) :

𝑥𝑚 =

𝑉𝑢 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 − (𝜙 𝑉𝑐 /2 ) 𝑞𝑢 = 3.11 𝑚

10221.69 26901 − ( ) 2 = = 311.29 𝑐𝑚 70

6. Aporte del acero :

𝜙 𝑉𝑠 = 𝑉𝑢 − 𝜙 𝑉𝑐 = 26901 − 10221.69 = 16679.31 𝑘𝑔 7. Determinar el espaciamiento requerido de los estribos verticales: En la sección crítica,𝑉𝑢 = 26901𝑘𝑔 > 𝜙 𝑉𝑐 = 10221.69 𝑘𝑔

𝑠 (𝑟𝑒𝑞. 𝑑) =

𝜙𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑉𝑢 − 𝜙 𝑉𝑐

Asumiendo estribos de 10 mm

𝑠 (𝑟𝑒𝑞. 𝑑) =

0.75 ∗ 2 ∗ 0.79 ∗ 4200 ∗ 50.7 16679.31

= 15.13 𝑐𝑚

Revisar el espaciamiento máximo de los estribos:

𝑠𝑚𝑎𝑥 =

𝑑 50.7 = = 25.35 𝑐𝑚 2 2 53

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

ING CIVIL

𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 60𝑐𝑚, debido a que𝜙 𝑉𝑠 = 16679.31 𝑘𝑔 < 𝜙1.1 √𝑓𝑐 ′𝑏𝑤 d 𝜙 𝑉𝑠 = 16679.31 𝑘𝑔 < 0.75 ∗ 1.1 ∗ √210 ∗ 35 ∗ 50.7 𝜙 𝑉𝑠 = 16679.31 𝑘𝑔 < 21214.83𝑘𝑔

𝑜𝑘

Espaciamientos máximos basados en el refuerzo mínimo a cortante:

𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤

𝐴𝑣 𝑓𝑦 0.2√𝑓𝑐 ′𝑏𝑤

𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤

=

2 ∗ 0.79 ∗ 4200 0.2 ∗ √210 ∗ 35

= 65.42 𝑐𝑚

𝐴𝑣 𝑓𝑦 2 ∗ 0.79 ∗ 4200 = = 54.17 𝑐𝑚 3.5 𝑏𝑤 3.5 ∗ 35

Determiné la distancia 𝑥 desde el apoyo donde los estribos espaciados a 25 cm pueden ser utilizados:

25.35 =

0.75 ∗ 2 ∗ 0.79 ∗ 4200 ∗ 50.7 𝑉𝑢 − 10221.69

Despejando 𝑉𝑢 : 𝑉𝑢 − 10221.69 = 9954 → 𝑉𝑢 = 20175.69 𝑘𝑔 De la ecuación despejamos 𝑥: 𝑉𝑢 = 31500 − 70 (𝑥) 𝑉𝑢 − 31500 = −70 (𝑥)

𝑥 = 𝑥 =

31500−𝑉𝑢 70

31500 − 20175.69 70

= 161.776 𝑐𝑚

𝑥 = 1.62 𝑚 54

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

Diagrama de cortantes al extremo de la viga

Redistribución de estribos en un extremo de la viga.Espaciamiento de los estribos usando estribos de ∅ 10𝑚𝑚:

55

ING CIVIL

DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE

6. BIBLIOGRAFÍA. Aspectos Fundamentales de Concreto Reforzado de Oscar M. Gonzales Cuevas y Francisco Robles-Villegas. Diseño de Estructuras de Concreto de Arthur H. Nilson. Diseño de Concreto Reforzado de Jack C. McCormac-Russell H. Brown Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (Código ACI 318S-14) y comentario a Requisitos de Reglamento para Concreto estructural (ACI 318RSUS14) Diseño de elementos estructurales en edificios de concreto reforzado de la Universidad de Salvador Facultad de ingeniería civil.

56