Dx X X R X T Dt T T T T

www.matematiranje.com INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 1.

∫ R(sin x, cos x)dx

Ovo su integrali gde su sinx i cosx bez stepena. Uzimamo smenu:

2dt 2t 1− t2 x tg = t , odavde je dx= , sinx= , cosx= 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 funkcije. Primeri :

2.

∫ R(sin

1

dx

2 − sin x

Posle smene svede se na integral racionalne

dx

∫ sin x dx , ∫ 2 sin x − cos x + 3 , ∫ 2 + cos x dx , ∫ (2 + cos x) sin x

2

x, cos 2 x, sin x cos x)dx .Ovde sinx i cosx imaju stepene. Uzimamo smenu:

1 dt t2 t 2 , sin x= , cos2x= , sinxcosx= 2 2 2 1+ t 1+ t 1+ t 1+ t2 cos x sin 2 x sin x − cos x Primeri: ∫ , dx , ∫ dx ∫ sin 2 x + cos 2 xdx sin x + 2 cos x cos 3 x − sin 3 x

tgx = t , odavde je dx=

3. Integrali u kojima se daje proizvod se rešavaju pomoću sledećih trigonometrijskih formula:

1 [cos(a-b)x – cos(a+b)x] 2 1 sinax cosbx= [sin(a+b)x + sin(a-b)x] 2 1 cosax cosbx= [cos(a+b)x + cos(a-b)x] 2 Primeri: ∫ sin 3x cos 4 xdx , ∫ cos 5 x cos 2 xdx , ∫ sin x sin 7 xdx sinax sinbx=

NEKI TRIKOVI:

Ako je u integralu izraz a2 − x2 =

a 2 − x 2 , onda je zgodno uzeti smenu x=asint jer tako uništavamo koren

a 2 − (a sin x) 2 = a 2 − a 2 (sin x) 2 =a 1 − sin 2 x =a cosx

Ako je u integralu dat izraz x 2 + a 2 = (atgx) 2 + a 2 =

x 2 + a 2 , onda je zgodno uzeti smenu x=a tgt jer tako uništavamo koren

a 2 tg 2 x + a 2 =a tg 2 x + 1 = a

1 sin 2 x +1 = a 2 cos x cos x

www.matematiranje.com