Dynamics Of Machinery

‫دینامیک ماشین‬ ‫منابع‬ ‫سينماتيك و ديناميك ماشين ها‬ ‫تاليف جرج ‪.‬اچ ‪.‬مارتين‪ ،‬ترجمه دكتر محمد اسماعيل پازوكي ‪ ،‬نشر آمون‬ ‫ديناميك ماشين‬ ‫تاليف عباس راستگو‪ ،‬انتشارات پوران پژوهش‬ ‫سينماتيك ماشينها‬ ‫‪ ‬درجه آزادی‬ ‫‪ ‬روشهای انتقال حركت‬ ‫‪ ‬مکانيزمهای ميلهای‬ ‫‪ ‬سرعت شناسي و مراكز آني‬ ‫‪ ‬شتاب شناسي‬ ‫‪ ‬چرخدندهها‬ ‫ديناميك ماشينها‬ ‫‪ ‬نيروشناسي‬ ‫‪ ‬نيروهای اينرسي‬ ‫‪ ‬توازن يا باالنس‬ ‫ارزشيابي‬ ‫‪ ‬ميان ترم ‪ 40‬درصد‬ ‫‪ ‬پايان ترم ‪ 60‬درصد‬ ‫‪‬‬

‫تمرين و پروژه ‪ 2‬تا ‪ 3‬نمره‬

‫‪1‬‬

‫تعاريف و خصوصيات حركت‬ ‫مکانیک‬

‫استاتیک‬

‫دینامیک‬

‫سینتیک‬

‫سینماتیک‬

‫استاتيك )‪(Statics‬‬

‫علم بررسی اجسام در حالت سکون یا در حالت تعادل نیروهای وارده‬ ‫ديناميك)‪(Dynamics‬‬

‫دانش بررسی اجسام تحت تاثیر نیروها‬ ‫سينماتيك)‪(Kinematics‬‬

‫دانش بررسی حرکت محض بدون در نظر گرفتن نیروها‬ ‫در سینماتیک هدف حرکت شناسی بدون در نظر گرفتن عامل حرکت است‪ .‬به بیان دیگر سینماتیک ماشینها عبارت از‬ ‫مطالعه و تجزیه و تحلیل مربوط به حرکت نسبی اجزای ماشینها میباشد ‪.‬در این بخش تغییر مکان‪ ،‬سرعت و شتاب اجزای‬ ‫مختلف ماشین بررسی می شود‪.‬‬

‫سينتيك‬ ‫دانش بررسی حرکت اجسام با در نظر گرفتن نیروهای وارده‬ ‫ماشين )‪(Machine‬‬

‫وسیلهای است برای تغییر فرم و انتقال انرژی‬ ‫‪ ‬موتور الکتریکی ⟸ تبدیل انرژی الکتریکی به انرژی مکانیکی‬ ‫‪ ‬ژنراتور ⟸ تبدیل انرژی مکانیکی به انرژی الکتریکی‬

‫سينماتيك ماشين‬ ‫عبارت است از مطالعه حرکت نسبی اجزاء تشکیل دهنده یک ماشین مکانیکی نسبت به یکدیگر مشتمل بر‪:‬‬ ‫‪ ‬تغییر مکان‬ ‫‪ ‬سرعت‬ ‫‪ ‬شتاب‬ ‫‪2‬‬

‫ديناميك ماشين‬ ‫عبارت است از بررسی نیروها و گشتاورهای وارد بر اجزاء تشکیل دهنده یک ماشین مکانیکی‬ ‫ذره مادی‪:‬‬ ‫ذره مادی از نظر هندسی یک نقطه بوده که حجم آن بینهایت کوچک است و دارای جرم نیز می باشد ‪.‬‬ ‫در دینامیک اجسام‪ ،‬آن دسته از مسائلی را که ابعاد جسم در نوع حرکت آن نقشی ندارد می توان ذره در نظر گرفت‪.‬‬

‫∞ ⟶ 𝜌 ⟹ ‪ 𝜗 ⟶ 0‬اگر‬

‫‪,‬‬

‫𝑚‬ ‫𝜗‬

‫=𝜌‬

‫جسم صلب)‪(Rigid link‬‬

‫جسمی است که فاصله هر دو نقطه از آن همواره ثابت باقی میماند‪ ،‬حتی اگر جسم حرکت کند یا تحت تاثیر نیروهای‬ ‫خارجی قرار داشته باشد‪.‬‬ ‫چنین جسمی هیچ گاه تغییر شکل نخواهد داد‪.‬‬ ‫بند )‪(Link‬‬ ‫به مجموعهای از قطعات که با هم حرکت کرده و میتوان آنها را به عنوان یک جسم صلب واحد در نظر گرفت بند گفته میشود‪.‬‬

‫دياگرام سينماتيکي‬ ‫دیاگرام مورد استفاده در مطالعه و بررسی حرکت اجزای تشکیل دهنده یک ماشین‬

‫انواع حركت‪:‬‬

‫حركت صفحهای‪ :‬در حرکت صفحه ای مسیر حرکت تمام ذرات جسم صلب در یک صفحه و یا در صفحات موازی با یکدیگر‬ ‫می باشد‪.‬‬

‫حركت انتقالي‪ :‬در حرکت انتقالی مسیر حرکت تمامی ذرات با هم یکسان است‬ ‫‪ ‬اگر مسیر حرکت ذرات به صورت مستقیم باشد حرکت انتقالی مستقیم الخط است‬ ‫‪ ‬اگر مسیر حرکت ذرات به صورت یک منحنی مشابه باشد‪ ،‬حرکت جسم انتقالی منحنی الخط خواهد بود‪.‬‬ ‫حركت دوراني‪ :‬اگر هر یک از نقاط یک جسم صلب که دارای حرکت صفحهای بوده و از یک محور ثابت (عمود بر صفحه‬ ‫حرکت) فاصله ثابتی داشته باشند‪ ،‬جسم صلب دارای حرکت دورانی است‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫درجه آزادی)‪(Degree of Freedom‬‬

‫تعداد پارامترهای مستقل یا حداقل تعداد پارامترهای الزم برای تبیین یا تعیین وضعیت یک جسم را درجه آزادی گویند‪.‬‬

‫ذره مادی‬ ‫حركت صفحهای (دوبعدی)‬

‫حركت فضايي (سه بعدی)‬

‫)𝑦 ‪(𝑥,‬‬

‫)𝑧 ‪(𝑥, 𝑦,‬‬

‫‪ 2‬درجه آزادی‬

‫‪ 3‬درجه آزادی‬

‫جسم صلب‬ ‫حركت صفحهای (دوبعدی)‬

‫حركت فضايي (سه بعدی)‬

‫) 𝑧𝜃 ‪(𝑥, 𝑦,‬‬

‫) 𝑧𝜃 ‪(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 ,‬‬

‫‪ 3‬درجه آزادی‬

‫‪ 6‬درجه آزادی‬

‫مفهوم‪ :‬درجه آزادی یک سیستم دینامیکی تعداد پارامترهای الزم برای تعیین تمامی مولفههای دینامیکی آن سیستم است‪.‬‬ ‫مثالً در یک مکانیزم یک درجه آزادی با معلوم بودن سرعت زاویهای یک عضو‪ ،‬سرعتها و سرعت زاویهای های بقیه اعضا قابل‬ ‫محاسبه هستند‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝐴‪𝑉𝐵/‬‬

‫⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝐵𝑉‬

‫𝐴⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝑉‬

‫‪ω2‬‬

‫‪  −‬‬ ‫⃗‪= ⃗ +‬‬ ‫𝐴‪𝑉𝐵/‬‬ ‫𝐴𝑉‬

‫راستای سرعتهای ‪ A‬و ‪ B‬مشخص و مقادیر نامعلوم هستند‬

‫‪−‬‬ ‫𝐵⃗‬ ‫𝑉‬

‫درجه آزادی سازوکار صفحهای‬ ‫یک جسم صلب در فضا دارای ‪ 6‬درجه آزادی است‪ 3 ،‬درجه آزادی مربوط به حرکت انتقالی و ‪ 3‬درجه دیگر مربوط به حرکت‬ ‫دورانی است و در صفحه ‪ 3‬درجه آزادی حرکت دارد‪ 2 ،‬درجه آزادی مربوط به حرکت انتقالی و یک درجه آزادی مربوط به‬ ‫دوران می باشد‪.‬‬ ‫نکته ‪ :1‬در اتصاالت ‪ ،𝐽1‬دو عضو متصل دارای یک درجه آزادی نسبت به هم بوده و دو درجه آزادی محدود میشود‪.‬‬

‫نکته ‪ :2‬در اتصاالت ‪ ،𝐽2‬دو عضو متصل دارای دو درجه آزادی نسبت به هم بوده و یک درجه آزادی محدود میشود‪.‬‬

‫‪𝐷𝑂𝐹 = 3(𝑛 − 1) − 2𝑓1 − 𝑓2‬‬

‫رابطه كوتزباخ )‪(Kutzbach‬‬

‫‪ = DOF‬درجه آزادی مکانیزم‬ ‫𝑛 تعداد اعضای مکانیزم (‪ 𝑛 − 1‬تعداد اعضای مکانیزم به جز بند ثابت)‬ ‫‪ 𝑓1‬تعداد اتصاالت یک درجه آزادی ( ‪) 𝐽1‬‬ ‫‪ 𝑓2‬تعداد اتصاالت دو درجه آزادی ( ‪) 𝐽2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪𝐷𝑂𝐹 < 0‬‬

‫نامعین از نظر استاتیکی‬ ‫معین از نظر استاتیکی (سازه)‬ ‫مکانیزم‬ ‫زنجیره سینماتیکی غیرمقید‬

‫‪𝐷𝑂𝐹 = 0‬‬ ‫‪𝐷𝑂𝐹 = 1‬‬ ‫‪𝐷𝑂𝐹 > 1‬‬

‫نکته‪ :‬رابطه کوتزباخ استثنا هم دارد زیرا هیچ گونه اطالعات هندسی در فرمول لحاظ نشده و در مواردی که مکانیزم قفل‬ ‫باشد‪ ،‬جواب نادرست است‪.‬‬

‫اتصاالت سينماتيکي و انواع آن‬ ‫از تماس دو جسم با یکدیگر یک جفت تشکیل میگردد‪.‬‬

‫انواع اتصاالت‬ ‫‪ )1‬اتصاالت مرتبه پايين‪ :‬شامل لوال و لغزنده‬ ‫‪ )2‬اتصاالت مرتبه باال‪ :‬شامل اتصاالت تماس مستقیم (غلتش خالص و غلتش همراه با لغزش) و اتصال پوششی‬

‫يا‬ ‫الف) اتصاالت 𝟏𝑱‪ :‬اتصاالت یک درجه آزادی (محدود کننده دو درجه آزادی)‬ ‫ب) اتصاالت 𝟐𝑱‪ :‬اتصاالت دو درجه آزادی (محدود کننده یک درجه آزادی)‬ ‫اتصاالت مرتبه پايين )‪(lower pairing‬‬

‫هرگاه تماس بین دو عضو یک تماس سطحی باشد اتصال و جفت را مرتبه پايين مینامند (مانند سیلندر – پیستون یا‬ ‫لغزنده)‪.‬‬ ‫اتصاالت مرتبه باال)‪(higher pairing‬‬

‫اگر اتصال در یک نقطه یا در امتداد یک خط صورت پذیرد بدان اتصال مرتبه باال گفته میشود (مانند اتصال نقطهای بین‬ ‫ساچمه و حلقه در بلبرینگ یا اتصال رولرها و حلقه در رولبرینگ)‪.‬‬ ‫اتصال لوال يا مفصلي )‪ :(Revolute‬با عالمت اختصاری ‪ R‬نشان داده میشود‪ .‬از سه درجه آزادی دو درجه را محدود کرده و‬ ‫تنها یک درجه را باقی میگذارد )𝜃∆(‪.‬‬ ‫اتصال لغزنده )‪ :(Sider‬با عالمت اختصاری ‪ S‬نشان داده میشود‪ .‬از سه درجه آزادی دو درجه را محدود کرده و تنها درجه‬ ‫آزادی باقی مانده جابهجایی خطی است )𝑆∆(‪.‬‬ ‫اتصال غلتش خالص )‪ :(Pure Rolling‬با عالمت اختصاری ‪ P.R.‬نشان داده میشود‪ .‬از سه درجه آزادی دو درجه را محدود‬ ‫کرده و تنها درجه آزادی باقی مانده زاویه چرخش 𝜃∆ یا جابجایی روی طول قوس تماس )𝑆∆( است‪ .‬چون این دو پارامتر به‬ ‫هم وابستهاند این اتصال از نوع ‪ 𝐽1‬است‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫اتصال غلتش همراه با لغزش )‪ :(Roll-Slide‬با عالمت اختصاری ‪ R.S.‬نشان داده میشود‪ .‬از سه درجه آزادی یک درجه را‬ ‫محدود کرده و دو درجه آزادی باقی مانده زاویه چرخش 𝜃∆ و جابجایی روی طول قوس تماس )𝑆∆( است‪ .‬چون این دو‬ ‫پارامتر از هم مستقلند این اتصال از نوع ‪ 𝐽2‬است‪.‬‬ ‫اتصال پوششي )‪ :(Wrapping Pair‬با عالمت اختصاری ‪ W.P.‬نشان داده میشود و یک سیم‪ ،‬تسمه‪ ،‬زنجیر یا هر عضو‬ ‫انعطاف پذیر و بدون قابلیت تغییر طول است که دو بند بدون تماس مستقیم را به هم وصل میکند‪ .‬از سه درجه آزادی یک‬ ‫درجه را محدود کرده و دو درجه آزادی باقی مانده چرخش جسم حول محل تماس اتصال 𝜃∆ و انتقال منحنیالخط حول‬ ‫محل دیگر تماس اتصال )𝑆∆( است‪ .‬این اتصال از نوع ‪ 𝐽2‬است‪.‬‬ ‫اتصال مرتبه پايين‬

‫اتصال مرتبه باال‬

‫اتصال غلتشی‪ -‬لغزشی (اتصال دو درجه آزادی)‬

‫اتصال یک درجه آزادی‬

‫جفت چرخشی (اتصال یک درجه آزادی)‬

‫غلتش خالص یا لغزش خالص (‪ 1‬درجه آزادی) غلتش همراه با لغزش ‪ 2‬درجه آزادی‬

‫جفت مارپیچی (یک درجه آزادی)‬

‫جفت لغزشی (یک درجه آزادی)‬

‫جفت سطحی (سه درجه آزادی)‬ ‫اتصال پوششی (اتصال دو درجه آزادی)‬ ‫𝜃∆ و 𝑆∆‬ ‫جفت کروی (سه درجه آزادی)‬ ‫‪7‬‬

‫جدول خالصه اطالعات اتصاالت سینماتیکی صفحهای‬ ‫رديف‬

‫نام اتصال‬

‫مرتبه اتصال‬

‫عالمت اختصاری‬

‫نوع اتصال‬

‫مشخصه اندازه گيری‬

‫‪1‬‬

‫لوال‬

‫پایین‬

‫‪R‬‬

‫‪j1‬‬

‫‪2‬‬

‫لغزنده‬

‫پایین‬

‫‪S‬‬

‫‪j1‬‬

‫𝜃∆‬ ‫𝑆∆‬

‫‪3‬‬

‫غلتش خالص‬

‫باال‬

‫‪P.R.‬‬

‫‪j1‬‬

‫𝑆∆ یا 𝜃∆‬

‫‪4‬‬

‫غلتش با لغزش‬

‫باال‬

‫‪R.S.‬‬

‫‪j2‬‬

‫𝑆∆ و 𝜃∆‬

‫‪5‬‬

‫پوششی‬

‫باال‬

‫‪W.P.‬‬

‫‪j2‬‬

‫𝑆∆ و 𝜃∆‬

‫درجه آزادی سازوكار فضايي‬ ‫‪𝐷𝑂𝐹 = 6(𝑛 − 1) − 5𝑓1 − 4𝑓2 − 3𝑓3 − 2𝑓4 − 𝑓5‬‬

‫‪ = DOF‬درجه آزادی مکانیزم‬ ‫𝑛 تعداد اعضای مکانیزم (‪ 𝑛 − 1‬تعداد اعضای مکانیزم به جز بند ثابت)‬ ‫‪ 𝑓1‬تعداد اتصاالت یک درجه آزادی ( ‪) 𝐽1‬‬ ‫‪ 𝑓2‬تعداد اتصاالت دو درجه آزادی ( ‪) 𝐽2‬‬ ‫‪ 𝑓3‬تعداد اتصاالت سه درجه آزادی ( ‪) 𝐽3‬‬ ‫‪ 𝑓4‬تعداد اتصاالت چهار درجه آزادی ( ‪) 𝐽4‬‬ ‫‪ 𝑓5‬تعداد اتصاالت پنج درجه آزادی ( ‪) 𝐽5‬‬ ‫زنجيره سينماتيکي )‪(Kinematic Chain‬‬

‫عبارتست از تعدادی از اعضای صلب که میتوانند نسبت به هم دارای حرکت نسبی باشند‪.‬‬ ‫اگر یکی از میلهها ثابت بوده و حرکت یکی از میلههای دیگر به وضعیت جدید‪ ،‬موجب حرکت سایر میلهها در وضعیتهای‬

‫مشخص و قابل پیش بینی گردد مجموعه را زنجيره سينماتيکي مقيد)‪ (Constrained kinematic chain‬یا مکانيزم‬ ‫)‪ (Mechanism‬مینامند در غیر اینصورت بدان زنجيره سينماتيکي‬

‫غيرمقيد)‪(unconstrained kinematic chain‬‬

‫گفته میشود‪.‬‬ ‫نکته‪ :‬هر زنجیره سینماتیکی که دارای یک درجه آزادای باشد یک مکانيزم را تشکیل میدهد‪.‬‬ ‫نکته‪ :‬هرگاه درجه آزادی یک مکانیزم مساوی صفر شود مکانیزم را صلب نامیده و به آن سازه )‪ (Structure or Truss‬گفته‬ ‫می شود‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪DOF = 3 × (6 − 1) − 2 × 7 − 0 = 15 – 14 = 1‬‬

‫در شکل باال به ازای هر موقعیت لنگ‪ ،‬پیستون و شاتون دارای موقعیت مشخص و قابل پیش بینی بوده و تشکیل یک زنجیره‬ ‫سینماتیکی مقید یا مکانیزم میدهند‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪DOF = 3 × (5 − 1) − 2 × 5 − 0 = 12 − 10 = 2‬‬

‫در شکل باال با فرض ثابت بودن میله ‪ ،1‬اگر میله ‪ 2‬در موقعیت نشان داده شده باشد میلههای ‪ 4 ،3‬و ‪ 5‬دارای مواضع قابل‬ ‫پیش بینی و مشخص نبوده و زنجیره سینماتیکی غیرمقید است‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪DOF = 0‬‬

‫در شکل باال چون اعضای صلب حرکت نسبی ندارند مکانیزم نبوده و سازه میباشد (استثناء برای رابطه کوتزباخ)‪ .‬دلیل این‬ ‫که در خرپاها از عناصر مثلثی استفاده میشود نیز همین است‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫نکته‪ :‬هر جا در سازوکاری سه میله مطابق شکل به هم لوال شده باشند باید آن را به عنوان یک عضو صلب در نظر گرفت‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫زنجیره سینماتیکی غیرمقید‬

‫مثال‪:‬‬

‫مکانیزم‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪10‬‬

‫زنجیره سینماتیکی غیرمقید‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪𝐷𝑂𝐹 = 3(4 − 1) − 2 × 3 − 2 = 9 − 8 = 1‬‬

‫زنجیره سینماتیکی مقید‬

‫مثال‪:‬‬ ‫‪J1‬‬

‫‪J1‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪J1‬‬

‫‪J1‬‬

‫سازه‬

‫‪DOF=3×(5-1)-2×6-0=12-12= 0‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫‪2J1‬‬

‫‪J1‬‬

‫‪J1‬‬

‫‪2J1‬‬ ‫‪J1‬‬

‫مکانیزم‬

‫‪DOF=3×(6 -1) -2×7-0=15 -14= 1‬‬

‫‪11‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪J1‬‬

‫‪J1‬‬

‫‪J1‬‬

‫‪J1‬‬

‫‪DOF=3×(5 -1)-2×5=12 – 10 = 2‬‬

‫زنجیره سینماتیکی غیرمقید‬

‫برگردان‬ ‫هر مکانیزم به تعداد اعضا برگردان دارد یعنی با تعویض عضو ثابت در زنجیره سینماتیکی مزبور یک مکانیزم جدید حاصل‬ ‫میگردد‪ .‬چهار شکل زیر چهار مکانیزم حاصل از زنجیره لنگ و لغزنده میباشند‪.‬‬ ‫در برگردان یک مکانیزم‪ ،‬حرکت نسبی بین اعضا (بندها) دچار تغییر نمیشود‪ .‬یعنی در شکلهای زیر اگر عضو ‪ 2‬به اندازه ‪θ‬‬ ‫درجه ساعتگرد نسبت به عضو ‪ 1‬دوران کند آنگاه عضو ‪ 4‬در همه مکانیزمها مقدار معینی به سمت راست حرکت میکند‪.‬‬

‫مکانیزم مورد استفاده در موتورهای دیزلی و بنزینی‬

‫مکانیزم مورد استفاده در موتورهای شعاعی هواپیماهای اولیه (با ثابت کردن عضو ‪ 2‬به جای ‪)1‬‬ ‫(لنگ ثابت و محفظه لنگ و سیلندر دوران میکنند)‬ ‫‪12‬‬

‫مکانیزم مورد استفاده در موتورهای بخار اسباب بازی با سیلندر نوسانی (عضو ‪ 3‬ثابت)‬

‫مکانیزم مورد استفاده در پمپها (عضو ‪ 4‬ثابت) مثالً تلمبه دستی قدیمی‬

‫برگردانهای يك مکانيزم چهار ميلهای‬

‫روشهای انتقال حرکت‬ ‫‪ .1‬از طريق رابط )‪ :(Coupler‬در مکانیزمها‪ ،‬عضوی که بدان ورودی اعمال میشود‪ ،‬محرک و عضو خروجی‬ ‫متحرک یا پيرو نامیده میشود‪ .‬معموالً حرکت محرک از طریق رابط به پیرو انتقال می یابد‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫متحرک‬ ‫(پیرو)‬

‫رابط‬ ‫‪ω2‬‬

‫محرک‬

‫‪ .2‬تماس مستقيم‪ :‬اگر محرک و پیرو در تماس مستقیم باشند بدان مکانیزم تماس مستقیم گفته میشود‪ .‬در این‬ ‫مکانیزمها معموالً محرک را بادامک و متحرک را پیرو مینامند‪ .‬دو چرخدنده درگیر مثالی از مکانیزم تماس مستقیم‬ ‫است‪.‬‬

‫‪ 1-2‬تماس لغزشي‬ ‫در یک مکانیزم‪ ،‬تماس لغزشی زمانی اتفاق میافتد که اعضا در امتداد مماس مشترک نقطه تماس دارای حرکت نسبی باشند‪.‬‬ ‫در شکل زیر با توجه به این که دو عضو در راستای قائم مشترک سرعت برابر دارند )𝑆 ‪ (𝑃2 𝑆 = 𝑃3‬اما سرعتها در راستای‬ ‫مماس مشترک متفاوت است )𝑀 ‪ (𝑃2 𝐿 > 𝑃3‬عضو ‪ 2‬بر روی عضو ‪ 3‬میلغزد‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫‪ 2-2‬تماس غلتشي‬ ‫در یک مکانیزم با تماس مستقیم‪ ،‬موقعی غلتش حادث میگردد که لغزش وجود نداشته باشد بنابراین در شکل باال اگر‬ ‫)𝑀 ‪ (𝑃2 𝐿 = 𝑃3‬باشد‪ ،‬آنگاه تماس غلتشی وجود خواهد داشت یعنی عضوهای ‪ 2‬و ‪ 3‬با هم دوران کرده اما روی هم نمیلغزند‪.‬‬

‫تماس مستقیم غلتشی‬

‫تماس مستقیم بین دو چرخدنده‬

‫نکته‪ :‬برای داشتن حرکت غلتشی قرار داشتن نقطه تماس بر روی خط المرکزین ضروری است اما کافی نمیباشد‪ .‬بلکه در‬ ‫این حالت سرعتها نیز باید مساوی باشند‪ .‬در شکل زیر گرچه نقطه تماس روی خط المرکزین است اما به دلیل یکی نبودن‬ ‫سرعت‪ ،‬لغزش هم وجود دارد‪.‬‬

‫تماس مستقیم بین دو چرخدنده (غلتش به همراه لغزش)‬

‫‪ .3‬انتقال حركت به وسيله اتصال انعطاف پذير‪ :‬تسمه يا زنجير‬

‫اتصال منعطف بین دو بادامک‬

‫رانش مثبت‪:‬‬ ‫در یک مکانیزمی که دارای تماس مستقیم است اگر حرکت محرک باعث حرکت پیرو (متحرک) شود اصطالحاً گفته میشود‬ ‫که رانش مثبت در مکانیزم وجود دارد‪.‬‬ ‫برای ایجاد رانش مثبت در مکانیزم الزم است که عمود مشترک سطوح تماس از هیچ یک از مراکز دوران عبور نکند ‪.‬‬ ‫‪15‬‬

‫رانش مثبت‬ ‫مرکز مرده‬ ‫در شکل (الف) اگر دو دیسک بدون اصطکاک باشند حرکت محرک پیرو را به حرکت وا نخواهد داشت‪ .‬اگر اصطکاک وجود‬ ‫داشته باشد دوران دیسک محرک سبب دوران دیسک پیرو خواهد شد که بدان رانش اصطکاکی گفته میشود‪ .‬به عنوان مثال‬ ‫در شکل های (الف) و (ب) شکل ‪ 15‬رانش مثبت وجود نداشته در حالی که در شکل (ج) رانش مثبت وجود دارد‪.‬‬

‫دو دیسک بدون اصطکاک‬ ‫مکانیزمهای میلهای )‪(Linkage‬‬ ‫مکانيزم چهار ميلهای )‪(Four-Bar Linkage‬‬

‫متداولترین و مفیدترین مکانیزم است‪ .‬بیشتر مکانیزمها قابل تعویض با یک مکانیزم چهار میلهای هستند‪.‬‬

‫متحرک (پیرو)‬

‫رابط‬ ‫‪ω2‬‬

‫محرک‬

‫مکانيزم چهار ميلهای با لنگهای موازی )‪(Parallel Crank Four-Bar Linkage‬‬

‫لنگهای ‪ 2‬و‪ 4‬دارای طول مساوی بوده و طول میله رابط برابر خط المرکزین ‪ 𝑂2 𝑂4‬است‪) ω2 = ω4 ( .‬‬ ‫‪𝑂2 𝑂4 = AB‬‬

‫‪16‬‬

‫نکته‪ :‬وقتی پیرو (‪ )4‬با رابط (‪ )3‬در یک امتداد قرار گیرد نقطه مرگ اتفاق میافتد و پیرو ممکن است در خالف جهت‬ ‫محرک دوران کند‪.‬معموالً با کمک اینرسی‪ ،‬فنرها و یا ثقل از حرکت ناخواسته معکوس جلوگیری میشود‪.‬‬

‫مکانيزم چهار ميلهای با لنگهای غيرموازی )‪(Nonparallel Equal Crank Linkage‬‬

‫لنگهای ‪ 2‬و‪ 4‬دارای طول مساوی بوده و طول میله رابط برابر خط المرکزین ‪ 𝑂2 𝑂4‬است‪ .‬لنگها غیرموازی بوده و در خالف‬ ‫جهت هم حرکت میکنند‪.‬‬ ‫‪𝑂2 𝑂4 = AB‬‬

‫‪𝑂2 A = 𝑂4 B,‬‬

‫مکانيزم لنگ – آونگ )‪(Crank and Rocker‬‬

‫حرکت دورانی میله ‪ 2‬سبب حرکت نوسانی عضو ‪ 4‬میشود‪ .‬نقطه ’‪ C‬مربوط به حالتی است که دو عضو ‪ 2‬و‪ 3‬همراستا و هم‬ ‫جهت باشند‪ .‬نقطه ’’‪ C‬مربوط به حالتی است که دو عضو ‪ 2‬و ‪ 3‬همراستا اما در خالف جهت هم باشند که این دو نقطه دامنه‬ ‫نوسان را تعیین میکنند‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫شرط حرکت نوسانی‬

‫مکانيزم با لنگهای دوراني دوبل يا لنگ – لنگ )‪(Drag Link‬‬

‫هر دو عضو ‪ 2‬و ‪ 4‬دوران کامل مینمایند‪ .‬اگر یک لنگ با سرعت ثابت دوران نماید لنگ دیگر با سرعت متغیر ولی هم جهت‬ ‫با لنگ محرک دوران خواهد نمود‪.‬‬

‫شرط حرکت‬ ‫مکانيزم لنگ – لغزنده )‪(Slider – Crank‬‬

‫مورد استفاده در موتورهای دیزلی و بنزینی یا کمپرسور هوا‬

‫نمونه اصالح شده موسوم به مکانیزم خارج از مرکز‬

‫‪18‬‬

‫مکانيزم رفت و برگشتي )‪(Scotch yoke‬‬

‫مورد استفاده در پمپهای رفت و برگشتی‬

‫مکانيزم با برگشت سريع )‪(Quick return mechanisms‬‬

‫مورد استفاده در ماشینهای ابزار صفحه تراش و ارههای الکتریکی‬

‫مکانيزمهای خط مستقيم )‪(Straight-line mechanisms‬‬

‫مکانیزمی که در آن یک نقطه در امتداد خطی مستقیم یا تقریباً مستقیم حرکت میکند‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫مکانيزمهای نوبهای )‪(Intermittent-motion mechanisms‬‬

‫‪ .4‬چرخ ژنوا‪ :‬متحرک به ازای هر دور کامل محرک یکچهارم دور دوران مینماید‪.‬‬ ‫‪ .5‬جغجغهها‪ :‬تبدیل حرکت دورانی و انتقالی به حرکت دورانی و یا انتقالی نوبهای‬

‫جغجغه‬

‫چرخ ژنوا‬

‫‪20‬‬

‫مراکز آنی )‪(Instant Center‬‬ ‫هر عضوی را که در صفحه حرکت کند‪ ،‬میتوان به صورت جسمی در نظر گرفت که به طور لحظهای حول نقطهای در صفحه‬ ‫حرکتش دوران مینماید‪.‬‬

‫تعریف مرکز آنی‬ ‫‪ )1‬مرکز آنی نقطهای واقع بر یک جسم بوده که عضو دیگر به طور دایم یا لحظهای حول آن دوران مینماید‪.‬‬ ‫‪ )2‬مرکز آنی نقطهای مشترک بین دو جسم است که سرعتهای آنها چه از نظر مقدار و چه از نظر امتداد و جهت با‬ ‫یکدیگر یکسان باشند‪.‬‬

‫مرکز آنی در مفصلهای پینی‬ ‫‪ ‬هر مفصل پینی یک مرکز آنی میباشد‪.‬‬ ‫‪ ‬مراکزی را که حین کار مکانیزم ثابت باشند‪ ،‬مراکز ثابت گویند‪.‬‬

‫‪ ‬مراکزی که حین کار مکانیزم نسبت به بدنه متحرک باشند‪ ،‬مراکز متحرک گویند‪.‬‬

‫نکته مهم‪ :‬در شکل زیر ‪ 23‬نقطهای است روی عضو ‪ 2‬که عضو ‪ 3‬حول آن دوران میکند‪ .‬اما نمیتوان گفت که سرعت‬ ‫مطلق نقطه ‪ C‬عمود بر ‪ BC‬است‪ .‬بلکه این سرعت نسبی ‪ C‬نسبت به ‪ B‬است که عمود بر ‪ BC‬است‪.‬‬ ‫نکته مهم‪ :‬چون سرعت همواره نسبت به مرجع ثابت سنجیده میشود‪ ،‬راستای سرعت ‪ C‬عمود بر شعاع دوران حول مرکز‬ ‫آنی ‪ 13‬است‪.‬‬

‫)‪𝑉𝐶 ⊥ (14 − 34‬‬ ‫𝐶𝐵 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐶/‬‬

‫مرکز آنی جسمی که امتداد سرعت دو نقطه آن معلوم باشد‬ ‫هر دو عضوی که نسبت به هم دارای حرکت نسبی باشند‪ ،‬دارای یک مرکز آنی میباشند (به شرطی که دو نقطه بر روی یک‬ ‫خط شعاعی واقع نباشند)‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫مرکز آنی لغزنده‬

‫انتقال حالت خاصی است دوران است که در آن مرکز دوران در بینهایت قرار دارد و شعاع دوران بینهایت میباشد‪.‬‬ ‫𝑉‬ ‫‪𝑉 = 𝑅𝜔,‬‬ ‫=𝑅‬ ‫∞ → 𝑅 ⇒ ‪ ω = 0‬اگر‬ ‫𝜔‬

‫مرکز آنی جسم غلتان‬ ‫در حالتی که لغزش وجود نداشته باشد و فقط غلتش خالص وجود داشته باشد‪ ،‬نقطه تماس غلتشی (‪ )12‬مرکز آنی خواهد‬ ‫بود‪.‬‬

‫‪22‬‬

‫𝑂‪𝑉𝑃 = 𝑉𝑂 + 𝑉𝑃/‬‬

‫غلتش به همراه لغزش‬

‫قضیه کندی‬ ‫بنابر قضیه کندی سه قطعه که نسبت به یکدیگر دارای حرکت نسبی باشند دارای سه مرکز آنی هستند که هر سه در یک‬ ‫راستا قرار دارند‪( .‬اثبات به روش برهان خلف)‬ ‫‪ 12‬مرکز آنی دو عضو ‪ 1‬و ‪2‬‬ ‫‪ 13‬مرکز آنی دو عضو ‪ 1‬و ‪3‬‬ ‫اگر فرض شود که نقطه ‪ P‬مرکز آنی دو عضو ‪ 2‬و ‪ 3‬باشد‪ ،‬سرعتها عمود بر شعاع دوران هستند‪.‬‬ ‫طبق تعریف‪ ،‬در مرکز آنی سرعت خطی چه از نظر مقدار و چه از نظر جهت یکسان باشد پس ‪ P‬مرکز آنی دو عضو ‪2‬و ‪3‬‬ ‫نمیباشد و ضرورتاً باید روی خط ‪ 13 – 12‬قرار داشته باشد‪.‬‬ ‫)𝑃 ‪𝑉𝑃 ⊥ (12 −‬‬ ‫𝑃 روی خط المرکزین ‪} → 12 − 13‬‬ ‫)𝑃 ‪𝑉𝑃 ⊥ (13 −‬‬

‫‪23‬‬

‫مراکز آنی برای مکانیزمهای با تماس مستقیم‬

‫تماس لغزشي‬ ‫شرط آن که دو عضو ‪ 2‬و ‪ 4‬در تماس باقی بمانند آن است که 𝑛‪𝑉𝑃2𝑛 = 𝑉𝑃4‬‬

‫مولفههای مماسی 𝑠‪ 𝑉𝑃2‬و 𝑠‪ 𝑉𝑃4‬است‬ ‫اگر نقطه تماس در امتداد خط المرکزین ‪ 14 – 12‬قرار نداشته باشد 𝑠‪ 𝑉𝑃4𝑠 ≠ 𝑉𝑃2‬و لغزش خواهیم داشت‪.‬‬ ‫بنابراین تنها حرکت نسبی قطعات ‪ 2‬و ‪ 4‬در نقطه تماسشان در امتداد مماس مشترک خواهد بود‬ ‫مرکز دوران نسبی (‪ )24‬باید در امتداد قائم مشترک باشد‬ ‫طبق قضیه کندی (‪ )24‬باید در امتداد خط ‪ 14 – 12‬هم باشد‬

‫‪24‬‬

‫‪ 24‬محل برخورد قائم مشترک و خط‬ ‫المرکزین ‪ 14 - 12‬است‬

‫تماس غلتشی‬ ‫‪ ‬تماس غلتشی تنها در حالتی وجود دارد که در نقطه تماس سرعت برابر باشد‪ .‬این مطلب الزاماً ایجاب میکند که‬ ‫تقطه تماس بر روی خط المرکزین ‪ 14 – 12‬واقع باشد‪.‬‬ ‫‪ ‬طبق تعریف مرکز آنی‪ ،‬نقطهای مشترک بر روی دو قطعه است که سرعتهای خطی آنها یکسان است‬

‫‪‬‬

‫در نتیجه مرکز آنی بر نقطه تماس منطبق است‬

‫تعداد مراکز آنی‬ ‫هر دو میله از یک مکانیزم نسبت به هم دارای حرکت بوده و یک مرکز آنی خواهند داشت‪.‬‬ ‫بنابراین تعداد مراکز آنی برابر تمامی ترکیبهای دوتایی از تمام میلهها میباشد‪.‬‬

‫)‪𝑛(𝑛 − 1‬‬

‫‪2‬‬

‫مراکز آنی اولیه‬ ‫آن دسته از مراکز آنی را که بتوان با یک بررسی اجمالی تعیین نمود‪ ،‬مراکز آنی اولیه گویند‪.‬‬ ‫‪ ‬مراکز آنی میلههایی که به هم لوال شدهاند‬ ‫‪ ‬مرکز آنی لغزنده‬ ‫‪ ‬مرکز آنی جسم غلتان‬ ‫‪ ‬مرکز آنی مکانیزمهای تماس مستقیم‬ ‫‪ ‬تماس لغزشی ‪ ‬نقطه برخورد قائم مشترک و خط المرکزین‬ ‫‪ ‬تماس غلتشی ‪ ‬نقطه تماس‬ ‫نوع اتصال‬

‫محل مركز آني‬

‫لوال‬

‫لوال‬

‫لغزنده‬

‫عمود بر مسیر حرکت (بینهایت در حرکت مستقیم الخط)‬

‫جسم غلتان‬

‫نقطه تماس با سطح‬

‫غلتش خالص‬

‫نقطه تماس غلتشی‬

‫لغزش خالص‬

‫نقطه برخورد قایم مشترک و خط المرکزین‬ ‫‪25‬‬

‫=𝑁‬

‫روش دیاگرام دایره برای تعیین مراکز آنی‬ ‫‪ )1‬ابتدا به تعداد اعضا نقاطی را بر روی محیط یک دایره مشخص میکنیم‬ ‫‪ )2‬خطوط مستقیم که با خط پر ترسیم شدهاند مراکز آنی اولیه مکانیزم را نشان میدهند‬ ‫‪ )3‬مراکز آنی باقیمانده با خط چین نشان داده میشوند‬ ‫‪ ‬باید دنبال دو مثلثی گشت که با یکی از خط چینها تکمیل میگردند (‪ 123‬و ‪ 341‬برای ‪)13‬‬ ‫‪ ‬مراکز ‪ 23 ،12‬و ‪ 13‬از مثلث ‪ 123‬طبق قضیه کندی روی یک خط مستقیم هستند‬ ‫‪ ‬مراکز ‪ 13 . 34 ،14‬از مثلث ‪ 341‬نیز باید روی یک خط باشند‬

‫‪‬‬ ‫‪ 13‬در محل تالقی ‪ 23 – 12‬و ‪ 34 – 14‬قرار دارد‬ ‫‪ )4‬پس از تعیین هر مرکز آنی در دایره‪ ،‬خط چین به خط پر تبدیل میشود‬

‫دیاگرام دایره پس از تعیین مرکز آنی اولیه‬

‫دیاگرام دایره پس از تعیین مرکز آنی ‪13‬‬

‫مثال‪ :‬مطلوبست تعیین مراکز آنی مکانیزم لنگ – لغزنده‬ ‫تعداد طبق فرمول = ‪6‬‬ ‫مراکز آنی اولیه ‪14 ،34 ،23 ،12‬‬

‫‪26‬‬

‫مثال‪ :‬مطلوبست تعیین مراکز آنی مکانیزم (عضو ‪ 5‬چرخ است که روی ‪ 1‬میغلتد)‬ ‫تعداد مراکز آنی طبق فرمول = ‪10‬‬

‫مراکز آنی اولیه ‪،45 ،34 ،13 ،12‬‬ ‫‪ 15‬و ‪( 23‬تقاطع قایم مشترک و‬ ‫خط المرکزین)‬ ‫)‪ 15-54‬و ‪14  (13-34‬‬ ‫)‪ 34-45‬و ‪35  (13-15‬‬ ‫)‪ 23-35‬و ‪25  (12-15‬‬ ‫)‪ 23-34‬و ‪24  (25-45‬‬

‫‪27‬‬

‫تعیین سرعت به روش استفاده از مراکز آنی و مولفهها‬ ‫تعیین سرعت به روش استفاده از مراکز آنی‬ ‫𝜔𝑅 = 𝑉‬

‫)𝑅 ∝ 𝑉( شعاع دوران ∝ سرعت خطی‬ ‫فاصله نقطه تا مرکز آنی دوران = شعاع دوران‬ ‫)𝑅 ⊥ 𝑉(شعاع دوران ⊥ سرعت خطی‬ ‫‪ ‬مرکز آنی نقطهای مشترک بین دو جسم دارای سرعتهای مساوی است‬ ‫مثال‪ :‬با معلوم بودن سرعت زاویهای بند ‪ ،2‬سرعت نقاط ‪ 𝑂4 ،𝑃3 ،B ،A ،𝑂2‬و ‪ 𝑂5‬از مکانیزم را تعیین نمایید‪.‬‬ ‫‪𝑓2 = 1‬‬

‫‪𝑓1 = 5,‬‬

‫‪𝑛 = 5,‬‬

‫‪𝐷𝑂𝐹 = 3(5 − 1) − 2 × 5 − 1 = 1‬‬

‫‪𝑁 = 10‬‬

‫مراکز آنی اولیه (‪:)5‬‬ ‫لوال‪( 15 ،14 ،12 :‬ثابت) و ‪( 34 ،23‬متحرک)‬ ‫مراکز آنی باقیمانده (‪:)5‬‬ ‫مرکز ثابت‪13 :‬‬ ‫مرکز تماس مستقیم لغزشی‪( 35 :‬تقاطع عمود مشترک و خط المرکزین ‪)13 − 15‬‬ ‫مراکز متحرک‪ 25 ،24 :‬و ‪45‬‬

‫‪28‬‬

‫‪𝑉23 = 𝐿12−23 × 𝜔2 → 𝑉23 ‬‬

‫‪𝐿12−23‬‬ ‫= ‪𝑉23 = 𝐿13−23 × 𝜔3 → 𝜔3‬‬ ‫‪× 𝜔2 ‬‬ ‫‪𝐿13−23‬‬ ‫‪𝑉34 = 𝐿13−34 × 𝜔3 → 𝑉34 ‬‬ ‫‪𝐿13−34‬‬ ‫= ‪𝑉34 = 𝐿14−34 × 𝜔4 → 𝜔4‬‬ ‫‪× 𝜔3 ‬‬ ‫‪𝐿14−34‬‬ ‫‪𝑉𝑃3 ⊥ (13 − 𝑃3) → 𝑉𝑃3 = 𝐿13−𝑃3 × 𝜔3 → 𝑉𝑃3 ‬‬

‫برای این که اتصال (لغزشی) باقی بماند‬

‫𝑛 ‪𝑉𝑃3 𝑛 = 𝑉𝑃5‬‬

‫تقاطع عمود بر ‪15 − 𝑃5‬با عمود بر 𝑛 ‪𝑉𝑃5‬‬ ‫‪𝑉𝑃5 ⊥ (15 − 𝑃5) → 𝑉𝑃5 ‬‬ ‫‪𝑉𝑃5 = 𝐿15−𝑃5 × 𝜔5 → 𝜔5 ‬‬

‫اهميت روشهای ترسيمي‪:‬‬ ‫‪ ‬استفاده در کدهای کامپیوتری بدون نیاز به محاسبات ریاضی‬ ‫‪ ‬کمک به درک مفاهیم پایه‬

‫روش گرداندن شعاع‬ ‫در این روش از این قاعده استفاده میشود که سرعتهای خطی نقاط واقع بر یک جسم در حال دوران نسبت مستقیم با‬ ‫شعاع دوران آن نقاط دارند‪.‬‬ ‫𝑅 ∝ 𝑉 → 𝜔𝑅 = 𝑉‬

‫این روش که با گرداندن شعاع آنی یک نقطه و در امتداد قرار دادن آن با شعاع آنی نقطهای دیگر صورت میگیرد تنها موقعی‬ ‫قابل استفاده است که هر دو نقطه مربوط به یک میله باشند یعنی‬ ‫‪ ‬یا دو نقطه روی یک میله واقع باشند‬ ‫‪ ‬یا مرکز آنی دوران آن میله باشند‪.‬‬ ‫𝐸𝐷𝐴 ∆ ~ 𝐶𝐵𝐴 ∆‬ ‫‪AD AE DE‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪AB EC BC‬‬

‫‪29‬‬

‫مثال‪ :‬در شکل زیر سرعت نقطه ‪ B‬معلوم است‪ .‬سرعت نقاط ‪ D‬و ‪ E‬را با استفاده از روش گرداندن شعاع تعیین نمایید‪.‬‬ ‫‪ D‬و ‪ E‬مربوط به عضو ‪ 3‬هستند‪ .‬پس کافیست از 𝐵𝑉 سرعت نقطه ‪ 23‬تعیین شود و از مرکز آنی ‪ 13‬استفاده گردد‪.‬‬ ‫‪𝑉23 = 𝐿12−23 × 𝜔2‬‬

‫‪𝑉23 ⊥ 12 − 23,‬‬

‫نقاط ‪ 12‬و ‪ B‬روی عضو ‪ 2‬قرار دارند‪:‬‬ ‫𝐵𝑉‬ ‫𝐵‪𝐿12−‬‬

‫‪ ‬چون ‪ 23‬روی عضو ‪ 3‬هم هست‪ 𝑉23 ،‬عمود بر ‪ 23-13‬است‬ ‫‪ ‬از ‪ 𝑉23‬برای سرعت ‪ D‬هم استفاده میشود‬

‫=‬

‫‪𝑉23‬‬

‫‪𝐿12−23‬‬

‫)‪𝑉23 = 𝐿13−23 × 𝜔3 ⊥ (13 − 23‬‬ ‫)𝐷 ‪𝑉𝐷 = 𝐿13−𝐷 × 𝜔3 ⊥ (13 −‬‬ ‫‪𝑉23‬‬ ‫𝐷𝑉‬ ‫=‬ ‫𝐷‪𝐿13−23 𝐿13−‬‬

‫‪ ‬از ‪ 13‬به انتهای ‪ 𝑉23‬وصل میکنیم‪.‬‬ ‫‪ ‬اگر نقطه ‪ D‬را دوران دهیم تا ‪ D-13‬بر ‪ 23-13‬منطبق شود رابطه باال بیانگر آن است که مثلثها متشابه هستند‪.‬‬ ‫‪ ‬برای نقطه ‪ E‬هم به همین شیوه میتوان عمل کرد‪.‬‬ ‫در حالت کلی بردار ‪ 𝑉23‬محاسبه و ترسیم میشود‪ .‬سپس نقاط ‪ D‬و ‪ E‬دوران داده میشوند تا شعاعهای دوران بر ‪23-13‬‬ ‫منطبق شود‪ .‬سرعتهای ‪ D‬و ‪ E‬با توجه به تشابه مثلثها قابل محاسبه هستند‪.‬‬

‫مطابق شکل سمت چپ میتوان شعاع دوران ‪ 13 − 23‬را دوران داد تا بر امتداد ‪ 13 − 34‬منطبق گردد‪ .‬برای تعیین سرعت‬ ‫نقطه ‪ D‬کافیست از این نقطه به موازات ‪ 𝑉23′‬خطی ترسیم شود‪ .‬با توجه به این که مثلثها متشابه هستند 𝐷𝑉 از رابطه زیر‬ ‫تعیین میشود‪:‬‬ ‫𝐷 ‪13 −‬‬ ‫= 𝐷𝑉‬ ‫‪𝑉 ′‬‬ ‫‪13 − 23 23‬‬ ‫برای سرعت نقطه ‪ E‬نیزبه روش مشابه عمل میشود‪:‬‬

‫𝐸 ‪13 −‬‬ ‫‪𝑉 ′‬‬ ‫‪13 − 23 23‬‬ ‫‪30‬‬

‫= 𝐸𝑉‬

‫مثال‪ :‬سرعت نقطه ‪ B‬از مکانیزم معلوم است‪ .‬سرعت نقطه ‪ D‬را با استفاده از روش گرداندن شعاع تعیین نمایید‪.‬‬

‫‪𝑉𝐵 = (12 − 𝐵)𝜔2‬‬

‫برای تعیین 𝐷𝑉 بهتر است دنبال مرکز آنی بگردیم که مربوط به دو عضو ‪ 2‬و ‪ 4‬باشد یعنی ‪( 24‬نقطه انتقال)‬ ‫‪ 24‬نقطهای بر روی عضو ‪ 2‬است که حول ‪ 12‬دوران میکند‬ ‫‪ 24‬نقطهای بر روی عضو ‪ 4‬است که حول ‪ 14‬دوران میکند‬ ‫‪ ‬نقطه ‪ B‬را دوران میدهیم تا 𝐵 ‪ 12 −‬بر ‪ 12 − 24‬منطبق شود‬ ‫‪ ‬از مفصل ‪ 12‬به انتهای بردار ‪ 𝑉𝐵′‬وصل میکنیم تا امتداد عمود خارج شده از ‪24‬را قطع کند‪.‬‬ ‫‪ ‬با استفاده از تشابه سرعت نقطه ‪ 24‬محاسبه میشود‪.‬‬ ‫‪12 − 24‬‬ ‫= ‪𝑉24‬‬ ‫𝜔‬ ‫‪12 − 𝐵 2‬‬ ‫‪ ‬از مفصل ‪ 14‬به انتهای بردار ‪ 𝑉24‬وصل میکنیم‪.‬‬ ‫‪ ‬نقطه ‪ D‬را دوران میدهیم تا 𝐷 ‪ 14 −‬بر‪ 14 − 24‬منطبق شود‪.‬‬ ‫‪ ‬عمود خارج شده از ‪ 𝐷′‬راستای سرعت ‪ D‬را مشخص میکند و 𝐷𝑉 با تشابه مثلثها محاسبه میشود‪.‬‬ ‫‪14 − 24‬‬ ‫𝑉‬ ‫‪14 − 𝐷 24‬‬ ‫نکته‪ :‬روش گرداندن شعاع تنها زمانی قابل استفاده است که دو نقطه بر روی يك عضو قرار داشته باشند‪ .‬مثالً در مثال‬ ‫= 𝐷𝑉‬

‫قبل چون دو نقطه بر روی یک عضو نیستند باید ابتدا ‪ 𝑉23‬محاسبه شود و در این مثال ابتدا باید ‪ 𝑉24‬محاسبه شود که به این‬ ‫دو نقطه انتقال گفته میشود‪.‬‬

‫مثال (تمرين ‪:)2-5‬‬ ‫در شکل زیر‪ ،‬اندازه 𝐵𝑉 را یک بردار به طول 𝑚𝑚 ‪ 50‬در نظر بگیرید‪ .‬با استفاده از روش گرداندن شعاع مقادیر 𝐶𝑉 و 𝐷‪ V‬را‬ ‫تعیین نمایید‪ .‬اگر 𝑚𝑝𝑟 ‪ 𝜔2 = 100‬باشد مقادیر 𝐶𝑉 و 𝐷‪ V‬را بر حسب متر بر ثانیه به دست آوردید‪.‬‬

‫‪31‬‬

‫راه حل اول‪:‬‬

‫نقطه ‪ B‬مربوط به عضو ‪ 2‬است‬

‫)𝐵 ‪𝑉𝐵 = (12 − 𝐵)𝜔2 ⊥ (12 −‬‬

‫از آنجا که نقاط ‪ C‬و ‪ D‬مربوط به عضو ‪ 3‬هستند سادهترین راه استفاده از مرکز آنی ‪( 23‬محل تالقی عمود مشترک و خط‬ ‫المرکزین ‪ )12 − 13‬است‪.‬‬ ‫چون مرکز ‪ 23‬مربوط به عضو ‪ 2‬است کافیست سرعت 𝐵𝑉 را دوران دهیم تا 𝐵 ‪ 12 −‬روی ‪ 12 − 23‬منطبق شود‪.‬‬ ‫) ‪∆(12 − 𝐵′ − 𝑉𝐵′ ) ~ ∆(12 − 23 − 𝑉23‬‬ ‫‪[𝑉23 ] 12 − 23‬‬ ‫‪12 − 23‬‬ ‫=‬ ‫= ] ‪→ [𝑉23‬‬ ‫] 𝐵𝑉[ ×‬ ‫] 𝐵𝑉[‬ ‫𝐵 ‪12 −‬‬ ‫𝐵 ‪12 −‬‬ ‫مرکز ‪ 23‬مربوط به عضو ‪ 3‬نیز هست پس میتوان از مثلث ) ‪ ∆(13 − 23 − 𝑉23‬برای تعیین سرعت دیگر نقاط عضو ‪ 3‬نظیر‬ ‫‪ C‬و ‪ D‬استفاده نمود‪.‬‬ ‫اگر شعاع ‪ 13 − C3‬را دوران دهیم تا بر راستای ‪ 13 − 23‬منطبق شود‪:‬‬ ‫‪32‬‬

‫) ‪∆(13 − 𝐶′ 3 − 𝑉𝐶′3 ) ~ ∆(13 − 23 − 𝑉23‬‬ ‫‪[𝑉𝐶 ′ 3 ] 13 − 𝐶3‬‬ ‫‪13 − 𝐶3‬‬ ‫=‬ ‫= ] ‪→ [𝑉𝐶 ′ 3‬‬ ‫] ‪× [𝑉23‬‬ ‫‪[𝑉23 ] 13 − 23‬‬ ‫‪13 − 23‬‬

‫اگر شعاع ‪ 13 − D‬را دوران دهیم تا بر راستای ‪ 13 − 23‬منطبق شود‪:‬‬ ‫) ‪∆(13 − 𝐷′ − 𝑉𝐷′ ) ~ ∆(13 − 23 − 𝑉23‬‬ ‫] ‪[𝑉𝐷′‬‬ ‫𝐷 ‪13 −‬‬ ‫𝐷 ‪13 −‬‬ ‫=‬ ‫= ] ‪→ [𝑉𝐷′‬‬ ‫] ‪× [𝑉23‬‬ ‫‪[𝑉23 ] 13 − 23‬‬ ‫‪13 − 23‬‬ ‫حال باید سرعتهای ‪ 𝑉𝐶 ′3‬و ‪ 𝑉𝐷′‬را دوران دهیم تا به نقاط اصلی خود یعنی ‪ 𝐶3‬و ‪ D‬بازگردند‪.‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝑠‪) = 10⁄472 𝑟𝑎𝑑⁄‬‬ ‫‪60‬‬ ‫𝑠‪|𝑉𝐵 | = (12 − 𝐵)𝜔2 = (41⁄35 × 10−3 ) 10⁄472 = 0⁄433 𝑚⁄‬‬ ‫( ‪𝜔2 = 100 𝑟𝑝𝑚 = 100‬‬

‫𝑚𝑚‪[𝑉𝐶 ′ 3 ] = [𝑉𝐶3 ] = 16/44‬‬ ‫𝑚𝑚‪[𝑉𝐷′ ] = [𝑉𝐷 ] = 9/56‬‬

‫تناسب برای تبدیل طول به سرعت‬ ‫‪0⁄433‬‬ ‫𝑠‪(16⁄44) = 0⁄142 𝑚⁄‬‬ ‫‪50‬‬

‫= | ‪|𝑉𝐶3‬‬

‫| 𝐵𝑉| | 𝐷𝑉|‬ ‫=‬ ‫𝑠‪→ |𝑉𝐷 | = 0⁄0828 𝑚⁄‬‬ ‫] 𝐵𝑉[ ] 𝐷𝑉[‬

‫| 𝐵𝑉|‬ ‫→‬ ‫] 𝐵𝑉[‬

‫=‬

‫| ‪|𝑉𝐶3‬‬ ‫] ‪[𝑉𝐶3‬‬

‫‪[𝑉𝐷 ] = 9/56𝑚𝑚 ,‬‬

‫راه حل دوم‪:‬‬ ‫در روش دیگر بدون استفاده از مرکز آنی ‪ ،23‬ابتدا باید ‪ 12 − 𝐶2‬را دوران داد تا روی راستای 𝐵 ‪ 12 −‬منطبق شود‬ ‫) ‪∆(12 − B − 𝑉B ) ~ ∆(12 − 𝐶′2 − 𝑉𝐶′2‬‬ ‫‪12 − 𝐶2‬‬ ‫‪12 − 𝐶2‬‬ ‫= ] ‪→ [𝑉𝐶2′‬‬ ‫] 𝐵𝑉[ ×‬ ‫𝐵 ‪12 −‬‬ ‫𝐵 ‪12 −‬‬

‫=‬

‫] ‪[𝑉𝐶2′‬‬ ‫] 𝐵𝑉[‬

‫برای این که دو عضو ‪ 2‬و ‪ 3‬با هم دوران نمایند باید مولفههای عمود سرعت نقاط ‪ 𝐶2‬و ‪ 𝐶3‬با یکدیگر برابر باشند‪ .‬از آنجا که‬ ‫‪ 𝑉𝐶3‬عمود بر ‪ 13 − 𝐶3‬است در راستای مماس مشترک مولفه نخواهد داشت‪:‬‬ ‫] 𝑛‪[𝑉𝐶3 ] = [𝑉𝐶3𝑛 ] = [𝑉𝐶2‬‬

‫بنابراین ابتدا باید ‪ 𝑉𝐶2′‬را دوران دهیم تا به نقطه ‪ 𝐶2‬منتقل شود‪ .‬آنگاه مولفه ‪ 𝑉𝐶2‬را در راستای عمود مشترک تعیین نماییم تا‬ ‫اندازه ‪ 𝑉𝐶3‬مشخص شود‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫روش خط موازی‬ ‫𝐸𝐷𝐴 ∆ ~ 𝐶𝐵𝐴 ∆‬ ‫‪AD AB BD‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝐶𝐸 ‪AE AC‬‬

‫این روش نیز مانند روش گرداندن شعاع‪ ،‬مبتنی بر این قاعده است که سرعت خطی نقاط واقع بر یک جسم در حال دوران‬ ‫نسبت مستقیم با شعاع دوران آن نقاط دارد‪.‬‬ ‫همچنین این روش تنها زمانی میتواند برای تعیین سرعت یک نقطه از میلهای به کار رود که سرعت نقاطی دیگر از همان‬ ‫میله معلوم باشد‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫برای مرکز آنی ‪13‬‬

‫رابطه باال زمانی برقرار است که ‪𝐶𝐸 ∥ 𝐶 ′ 𝐸 ′‬‬

‫𝐶𝑉‬ ‫𝐸𝑉‬ ‫=‬ ‫‪𝐶 − 13 𝐸 − 13‬‬ ‫‪𝐶𝐶 ′‬‬ ‫‪𝐸𝐸 ′‬‬ ‫=‬ ‫‪𝐶 − 13 𝐸 − 13‬‬

‫⟹‬

‫| 𝐸𝑉| ‪|𝐶 − 13| − |𝑉𝐶 | |𝐸 − 13| −‬‬ ‫=‬ ‫|‪|𝐶 − 13‬‬ ‫|‪|𝐸 − 13‬‬

‫‪ 𝑉𝐶 -1‬را دوران میدهیم تا بر راستای ‪ C − 13‬منطبق شود ) ‪(𝐶 ′‬‬ ‫| 𝐶𝑉| = | ‪|𝐶𝐶 ′‬‬ ‫‪ -2‬از ‪ 𝐶 ′‬به موازات ‪ CE‬رسم میکنیم تا ‪ 13 − E‬را قطع کند ) ‪(𝐸 ′‬‬ ‫| 𝐸𝑉| = | ‪|𝐸𝐸 ′‬‬ ‫‪ -3‬به دلیل مشابه از ‪ 𝐶 ′‬به موازات ‪ CD‬رسم میکنیم تا ‪ 13 − D‬را قطع کند ) ‪(𝐷′‬‬ ‫| 𝐷𝑉| = | ‪|𝐷𝐷′‬‬

‫‪ -4‬با دوران نقاط ‪ 𝐷′‬و ‪ 𝐸′‬تا انطباق بر راستاهای عمود بر 𝐷 ‪ 14 −‬و 𝐸 ‪ 13 −‬راستای سرعتها مشخص میشود‪.‬‬ ‫‪ -5‬جهت 𝐷𝑉 و 𝐸𝑉 با توجه به جهت 𝐶𝑉 با دوران پادساعتگرد ‪ 90‬درجه حول ‪ D‬و ‪ E‬به راحتی مشخص میشود‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫با معلوم بودن ‪ 𝜔2‬سرعت بقیه اعضای مکانیزم را با استفاده از روش خط موازی تعیین نمایید‪.‬‬ ‫‪𝐷𝑂𝐹 = 3(6 − 1) − 2 × 7 = 1‬‬

‫‪35‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪𝐷𝑂𝐹 = 3(6 − 1) − 2 × 7 − 0 = 1‬‬

‫‪ 𝑉23′‬با دوران ‪ 90‬درجه ‪ 𝑉23‬حول ‪23‬‬

‫‪𝑉23 ⊥ 12 − 23 , |𝑉23′ | = 23 − 23′‬‬

‫‪ 𝑉34‬با دوران ‪ 90‬درجه ‪ 𝑉34′‬حول ‪34‬‬

‫‪|𝑉34′ | = 34 − 34′ ,‬‬

‫‪𝑉34 ⊥ 14 − 34‬‬

‫‪13 − 23‬‬ ‫| ‪× |𝑉23‬‬ ‫‪13 − 34‬‬

‫= | ‪|𝑉34‬‬

‫‪|𝑉34 | 13 − 23‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫‪|𝑉23 | 13 − 34‬‬

‫| ‪|𝑉34" | = 34 − 34" = |𝑉34‬‬

‫"‪ 𝑉34‬با دوران ‪ 90‬درجه ‪ 𝑉34‬حول ‪34‬‬

‫‪|𝑉56′ | = 56 − 56′‬‬ ‫‪𝑉56 ⊥ 15 − 56‬‬

‫‪ 𝑉56‬با دوران ‪ 90‬درجه ‪ 𝑉56′‬حول ‪56‬‬

‫‪15 − 56‬‬ ‫| ‪× |𝑉23‬‬ ‫‪15 − 34‬‬

‫= | ‪|𝑉34‬‬

‫‪|𝑉56 | = |𝑉56′ |,‬‬

‫‪|𝑉56 | 15 − 56‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫‪|𝑉23 | 15 − 34‬‬

‫سرعتها در يك مکانيزم لنگ‬ ‫در حالتی که ‪ 𝜔2‬معلوم باشد و بخواهیم سرعت پیستون را محاسبه کنیم‪:‬‬

‫‪ -1‬با مشخص بودن ‪ 𝑉23 ،𝜔2‬محاسبه میشود‬

‫‪𝑉23 = 𝑅𝜔2 = 𝐿12−23 𝜔2‬‬

‫‪ -2‬بردار ‪ 𝑉23‬با مقیاس دلخواه رسم میشود‪.‬‬ ‫‪ -3‬میله ‪ 3‬و مفاصل ‪ 23‬و ‪ 34‬حول ‪ 13‬دوران میکنند‪ .‬با دوران ‪ 34-13‬حول ‪ 13‬تا انطباق بر راستای ‪ ،23-13‬میتوان‬ ‫‪ 𝑉34′‬را با ترسیم عمود بر این راستا محاسبه نمود‪.‬‬ ‫‪ -4‬چون ‪ 34‬عالوه بر میله ‪ 3‬بر لغزنده ‪ 4‬نیز قرار دارد همان سرعت لغزنده هم میباشد‪.‬‬ ‫لغزنده𝑉 = ‪𝑉34 = 𝑉34′‬‬

‫‪36‬‬

‫سرعتها در مکانيزم بادامکي‬

‫با معلوم بودن ‪ 𝜔2‬میخواهیم سرعت پیرو را محاسبه کنیم‪.‬‬ ‫‪ 3 ‬لغزنده بوده و مرکز آنی آن در بینهایت است (‪.)13‬‬ ‫‪ ‬خط المرکزین از ‪ 12‬به ‪ 13‬امتداد دارد یعنی خطی از ‪ 12‬به بینهایت‬ ‫‪ ‬چون نقطه تماس )‪ (P‬بر روی خط المرکزین نیست پس تماس لغزش خواهد بود‪.‬‬ ‫‪ ‬چون تماس لغزشی است مرکز آنی ‪ 23‬محل تقاطع عمود مشترک از ‪ P‬و خط المرکزین خواهد بود‬ ‫‪𝑉23 ⊥ 12 − 23‬‬ ‫‪ 23 ‬نقطهای است روی عضو ‪ 2‬که حول ‪ 12‬دوران میکند‬ ‫‪𝑉23 = 𝐿12−23 𝜔2‬‬

‫‪ ‬مرکز آنی ‪ 23‬همچنین بر میله ‪ 3‬نیز قرار دارد‪ .‬از آنجا که پیرو حركت انتقالي دارد‪ ،‬تمامی نقاط دارای سرعت‬ ‫يکسان ‪ V23‬هستند‪.‬‬

‫سرعتهای زاويهای‬

‫𝑉‬ ‫𝑅‬ ‫‪𝑉23‬‬

‫= ‪𝜔3‬‬

‫‪𝐿13−23‬‬ ‫‪𝑉23‬‬ ‫=‬ ‫‪𝐿12−23‬‬ ‫‪𝐿13−23‬‬ ‫=‬ ‫‪𝐿12−23‬‬ ‫‪𝐿12−23‬‬ ‫=‬ ‫𝑤𝑐 𝜔‬ ‫‪𝐿13−23 2‬‬ ‫‪𝐿12−24‬‬ ‫=‬ ‫𝑤𝑐𝑐 𝜔‬ ‫‪𝐿14−24 2‬‬

‫‪𝜔2‬‬ ‫‪𝜔2‬‬ ‫‪𝜔3‬‬ ‫‪𝜔3‬‬ ‫‪𝜔4‬‬

‫‪37‬‬

‫=𝜔‬

‫نتیجه‪ :‬روابط باال بیانگر این موضوع هستند که نسبت سرعتهای زاويهای هر دو ميله از یک مکانیزم نسبت معکوس دارد‬

‫با فاصله مراكز آني واقع در بدنه که دو میله حول آنها گردش میکنند تا مركز آني مشترک در دو ميله‬ ‫در حالت كلي‪:‬‬

‫𝑛𝑚𝑉‬ ‫𝑛𝑚 ‪1𝑚 −‬‬

‫= 𝑚𝜔‬

‫𝑛𝑚‪𝜔𝑚 𝐿1𝑛−‬‬ ‫=‬ ‫𝑛𝑚‪𝜔𝑛 𝐿1𝑚−‬‬

‫مثال (تمرين ‪)17-5‬‬ ‫اگر در شکل زیر 𝑚𝑝𝑟 ‪ 𝜔2 = 75‬و پادساعتگرد باشد‪ 𝜔4 ،𝜔3 ،‬و ‪ 𝜔5‬را تعیین نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫‪12‬‬ ‫𝑚𝑚 ‪− 23 = 28⁄6‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫𝑚𝑚 ‪13 − 23 = 81⁄9‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫𝑚𝑚 ‪12 − 24 = 61‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫‪14‬‬ ‫𝑚𝑚 ‪− 24 = 156⁄3‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫𝑚𝑚 ‪12 − 25 = 16⁄48‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫‪15‬‬ ‫𝑚𝑚 ‪− 25 = 81⁄3‬‬

‫‪𝜔3 𝐿12−23‬‬ ‫‪28⁄6‬‬ ‫=‬ ‫= ‪→ 𝜔3‬‬ ‫)𝑤𝑐( 𝑚𝑝𝑟 ‪× 75 = 26⁄19‬‬ ‫‪𝜔2 𝐿13−23‬‬ ‫‪81⁄9‬‬ ‫‪𝜔4 𝐿12−24‬‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫= ‪→ 𝜔4‬‬ ‫)𝑤𝑐𝑐( 𝑚𝑝𝑟 ‪× 75 = 29⁄27‬‬ ‫‪𝜔2 𝐿14−24‬‬ ‫‪156⁄3‬‬ ‫‪𝜔5 𝐿12−25‬‬ ‫‪16⁄48‬‬ ‫=‬ ‫= ‪→ 𝜔5‬‬ ‫)𝑤𝑐( 𝑚𝑝𝑟 ‪× 75 = 15⁄2‬‬ ‫‪𝜔2 𝐿15−25‬‬ ‫‪81⁄3‬‬ ‫‪38‬‬

‫تعیین سرعتها به روش مولفهها‬ ‫عبارتست از تجزيه سرعت به مولفههايي مناسب‪ ،‬به نحوی که بتوان از روی آنها انتقال و دوران میلههای مختلف‬ ‫مکانیزم را بررسی نمود (اصل برهمنهي)‪.‬‬ ‫در شکل زیر اگر 𝐵𝑉 معلوم باشد‪ 𝑉𝐵′ ،‬مولفه آن در راستای ‪ BC‬و "𝐵𝑉 مولفه آن عمود بر ‪ BC‬است‪:‬‬

‫𝐵 ‪𝑉𝐵 ⊥ 𝑂2‬‬ ‫𝐶𝐵 ∥ ‪𝑉𝐵′‬‬

‫عضو ‪ 3‬صلب است‬

‫⇐‬

‫𝐶𝐵 ⊥ "𝐵𝑉‬

‫‪𝑉𝐵′ = 𝑉𝐶′‬‬

‫سطح ∥ 𝑐𝑉‬

‫𝑐𝑉 با تقاطع عمود خارج شده از ‪ 𝑉𝐶′‬و خط موازی سطح محاسبه میشود‪.‬‬ ‫"𝐶𝑉 با معلوم شدن 𝑐𝑉 به راحتی محاسبه میشود‪.‬‬ ‫خط واصل بین نقاط "𝐵𝑉 و "𝐶𝑉 نقطه ‪ P‬را مشخص میکند که در راستای عمود بر ‪ BC‬سرعت ندارد و فقط در راستای ‪BC‬‬ ‫سرعت دارد‪.‬‬

‫همانطور که در شکل (ج) دیده میشود "𝐵𝑉 عمود بر ‪ BC‬و به سمت پايين است در حالی که "𝐶𝑉 عمود بر ‪ BC‬و به سمت‬ ‫باال است‪ .‬از آنجا که سرعت تغيير جهت داده است پس باید نقطهای روی ‪ BC‬باشد که در آن سرعت عمودی صفر باشد‬ ‫(نقطه ‪ .)P‬این نقطه از تقاطع خط واصل بين دو انتهای 𝑩"𝑽 و 𝑪"𝑽 و خط ‪ BC‬به دست میآید‪ .‬چون جسم صلب است پس‬ ‫‪ P‬فقط در راستای ‪ BC‬سرعت دارد‪.‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫(ج)‬

‫(الف)‬

‫(ب)‬

‫‪39‬‬

‫حرکت عضو ‪ 3‬را میتوان ترکیبی از حركت انتقالي در راستای عضو ‪( BC‬شکل ب) و حركت دوراني حول مرکز دوران‬ ‫(شکل ج) در نظر گرفت‪.‬‬ ‫‪𝑉𝑃(⊥𝐵𝐶) =0‬‬

‫نقطه ‪ P‬مانند مركز دوران عضو ‪ 3‬بدون در نظر گرفتن حرکت انتقالی است‪.‬‬

‫‪𝑉𝑃(∥𝐵𝐶) = 𝑉𝐵′‬‬

‫"𝐷𝑉 و "𝐵𝑉 نسبت مستقیم با فاصله از ‪ P‬دارند ⇐ "𝐷𝑉 با دوران ‪ PD‬و انطباق آن با ‪ PB‬به دست میآید‬ ‫عضو ‪ 3‬صلب است‬

‫⇐‬

‫‪𝑉𝐵′ = 𝑉𝐷′‬‬ ‫𝑃‪𝑉𝐷 = 𝑉𝑃 + 𝑉𝐷⁄‬‬ ‫”𝐷𝑉 ‪→ 𝑉𝐷 = 𝑉 ′ 𝐵 +‬‬ ‫𝐵‪𝑉𝑃 = 𝑉′‬‬

‫يا‬ ‫𝐷𝑉 به راحتی قابل محاسبه است برايند‬

‫𝐵 ‪ 𝑉𝐷′ = 𝑉 ′‬و "𝐷𝑉‬

‫مثال‪ :‬سرعت ‪ 𝑉𝐵2‬معلوم است‪ ،‬سرعت نقاط ‪ C‬و ‪ D‬را محاسبه نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪𝑉𝐵2 ⊥ 𝑂2 𝐵2‬‬

‫برای تعیین سرعت ‪ C‬ابتدا باید سرعت نقطهای از میله ‪4‬‬ ‫یعنی ‪ 𝑉𝐵4‬مشخص شود‬ ‫‪ 𝑉𝐵4‬مولفهای از ‪ 𝑉𝐵2‬است که عمود بر میله ‪ 4‬است‬ ‫‪𝑉𝐵4 ⊥ 𝑂4 𝐵4‬‬

‫‪ 𝑉𝐵4‬سرعت نقطهای واقع بر میله ‪ 4‬است پس سرعت نقطه‬ ‫‪ C‬را میتوان به روش تشابه و به کمک ‪ 𝑉𝐵4‬محاسبه نمود‪:‬‬ ‫𝐶𝑉‬ ‫‪𝑂4 𝐵4‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑉𝐵4‬‬ ‫𝐶 ‪𝑂4‬‬

‫حال مولفه 𝐶𝑉 بر روی ‪ CD‬تعیین میشود‪:‬‬ ‫𝐷𝐶 || ‪𝑉𝐶′‬‬

‫چون عضو ‪ 5‬صلب است و ‪ D‬نقطهای از میله ‪ 5‬است‪:‬‬ ‫‪𝑉𝐶′ = 𝑉𝐷′‬‬

‫𝐷𝑉 از تقاطع عمود بر ‪ 𝑉𝐷′‬با راستای به موازات سطح به‬ ‫دست میآید‪:‬‬ ‫سطح || 𝐷𝑉‬

‫‪40‬‬

‫{‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل زیر 𝐵𝑉 معلوم است سرعت پیرو را معلوم نمایید‪:‬‬

‫حل‪:‬‬

‫𝐵 ‪𝑉𝐵 ⊥ 𝑂2‬‬

‫‪ 𝑉𝐵′‬مولفه 𝐵𝑉 در راستای حرکت پیرو است‬ ‫پیرو دارای حرکت انتقالی است‬ ‫چون ‪ 3‬عضو صلب است تمام نقاط آن دارای یک سرعت‬ ‫میباشند‬

‫‪ = 𝑉𝐵′‬پیرو𝑉‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل زیر 𝐵𝑉 معلوم است‪ .‬سرعت نقاط ‪ C‬و ‪ D‬را بیابید‪.‬‬

‫𝐵 ‪𝑉𝐵 ⊥ 𝑂2‬‬ ‫𝐶𝐵 || ‪𝑉𝐵′‬‬

‫‪ 𝑉𝐵′‬مولفه 𝐵𝑉 در راستای ‪ BC‬است‬

‫‪𝑉𝐶′ (3) = 𝑉𝐵′‬‬

‫عضو ‪ 3‬صلب است‬

‫𝐶 ‪𝑉𝐶 ⊥ 𝑂4‬‬

‫𝐶𝑉 از تقاطع عمود بر )‪ 𝑉𝐶′ (3‬با عمود بر 𝐶 ‪ 𝑂4‬مشخص میشود‬ ‫)‪ 𝑉𝐶′ (5‬مولفه 𝐶𝑉 در راستای ‪ CD‬است‪.‬‬

‫𝐷𝐶||)‪𝑉𝐶′ (5‬‬

‫عضو ‪ 5‬صلب است‬

‫‪𝑉𝐶′ (5) = 𝑉𝐷′‬‬

‫𝐷𝑉 از تقاطع عمود بر ‪𝑉𝐷′‬با عمود بر خط موازی سطح مشخص میشود‬ ‫‪41‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫نقاط ‪ 𝑃2‬و ‪ 𝑃3‬در شکل زیر به ترتیب نقاط تماس واقع بر میلههای شماره ‪ 2‬و ‪ 3‬میباشند‪ .‬سرعت ‪ 𝑉𝑃2‬را با برداری به طول‬ ‫‪ 30mm‬نشان دهید‪ .‬بردار 𝐶𝑉 را با استفاده از روش مولفهها تعیین کنید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫دیسک ‪ 2‬بر روی دیسک ‪ 3‬حرکت غلتشی دارد و مرکز آنی ‪ 23‬نقطه تماس دو دیسک است‪.‬‬ ‫چون تماس از نوع غلتشی است سرعت نقاط ‪ 𝑃2‬و ‪ 𝑃3‬با یکدیگر برابر است‪.‬‬ ‫‪42‬‬

‫در تماس غلتشی نقطه تماس باید روی خط المرکزین دو دیسک غلتان (‪ )12 – 13‬قرار داشته باشد‪.‬‬ ‫‪𝑉𝑃2 = 𝑉𝑃3‬‬ ‫‪𝑉𝑃2 ⊥ 𝑂2 𝑃2‬‬

‫‪ 𝑉𝑃2‬برابر با ‪ 𝑉𝑃3‬میباشد (غلتش خالص) که آن را به دو مولفه مماس و عمود بر ‪ P3 C‬تجزیه میکنیم‪.‬‬ ‫مولفه قایم ‪ 𝑉𝑃2‬با مولفه 𝐶𝑉 در راستای ‪ P3 C‬برابر است (جسم صلب)‬

‫‪𝑉𝑃3 ⊥ 13 − 𝑃3‬‬

‫𝑛𝐶𝑉 = 𝑛‪𝑉𝑃2‬‬

‫𝐶𝑉 عمود بر خط ‪ 13 – C‬است‬ ‫𝐶 ‪𝑉C ⊥ 13 −‬‬

‫با معلوم بودن 𝑛𝐶𝑉 و راستای 𝐶𝑉‪ ،‬سرعت نقطه ‪ C‬به راحتی قابل محاسبه است (تقاطع عمود خارج شده از انتهای 𝑛𝐶𝑉 و خط‬ ‫عمود بر 𝐶 ‪)13 −‬‬ ‫𝑚𝑚 ‪𝑉𝑃2 = 30‬‬ ‫𝑚𝑚 ‪𝑉𝐶 = 38⁄78‬‬

‫‪43‬‬

‫تعیین سرعت به روش سرعتهای نسبی‬ ‫‪ ‬در این روش از مفهوم سرعتهای نسبي برای تحلیل مکانیزم استفاده میگردد‪.‬‬

‫‪ ‬از آنجا که در تحليل شتاب مکانيزمهای ميلهای ابتدا باید سرعتهای نسبی تعیین گردند‪ ،‬این روش بهترين‬ ‫روش تعيين سرعت میباشد‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در مکانیزم لنگ زیر با استفاده از رابطه سرعت نسبی‪ ،‬مثلث سرعت را ترسیم نمایید‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪−  −‬‬ ‫𝐵‪𝑉𝐶 = 𝑉𝐵 +𝑉𝐶/‬‬ ‫چون عضو ‪ 3‬صلب است پس 𝐵‪ 𝑉𝐶/‬نمیتواند‬

‫مولفهای در راستای ‪ CB‬داشته باشد‪.‬‬ ‫𝐵𝐶 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐶/‬‬

‫‪ 𝑂2′ ‬نقطهای از مکانیزم است سرعت آن صفر میباشد و بدان قطب گفته میشود‪.‬‬ ‫‪ ‬در روش سرعتهای نسبی‪ ،‬سرعتهای مطلق تمام نقاط از قطب ترسیم میگردند‪.‬‬ ‫‪ ‬از یک مقياس مناسب برای ترسیم سرعتهای معلوم استفاده میشود‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫𝐵𝐶 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐶/‬‬

‫‪‬‬

‫سطح || 𝐶𝑉‬

‫‪ 𝑉𝐶 ‬از تقاطع عمود بر ‪ BC‬و خط موازی سطح تعیین میشود‪.‬‬

‫‪ ‬نوک پيکان بردار تفاضل دو بردار 𝐴 و ⃗𝐵 (یعنی‬

‫𝐶) در انتهای بردار اول (یعنی 𝐴) و نقطه شروع‬ ‫آن در انتهای بردار دوم (یعنی ⃗𝐵) قرار دارد‪.‬‬

‫⃗‬ ‫𝐵 ‪𝐶 = 𝐴−‬‬

‫‪44‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫اگر در مکانیزم زیر 𝑠‪ 𝜔2 = 20 𝑟𝑎𝑑/‬باشد سرعت نقطه ‪ D‬چقدر است؟‬ ‫𝑠‪𝑉𝐵 = (𝑂2 𝐵)𝜔2 = 150 × 20 = 3000 𝑚𝑚/‬‬ ‫𝐵𝑉 از قطب ‪ 𝑂2′‬با مقیاس مناسب ترسیم میشود‬ ‫‪− −  −‬‬ ‫)‪(I‬‬ ‫𝐵‪𝑉𝐷 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝐷/‬‬ ‫𝐷𝐵 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐷/‬‬

‫در رابطه باال ‪ 3‬مجهول داریم‬ ‫)‪(II‬‬

‫‪−  −‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝐵‪𝑉𝐶/‬‬ ‫𝐶𝑉‬ ‫𝐵𝑉‬ ‫𝐶𝐵 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐶/‬‬ ‫𝐶 ‪𝑉𝐶 ⊥ 𝑂4‬‬

‫نقطه ‪ 𝐶 ′‬از تقاطع عمود بر ‪ BC‬از نقطه ‪ 𝐵′‬با امتداد عمود خارج شده از 𝐶 ‪ 𝑂4‬به دست میآید‪.‬‬ ‫جهت 𝐵‪ 𝑉𝐶/‬از ‪ 𝐵′‬به سمت ‪ 𝐶 ′‬است (شکل الف)‬ ‫مقدار 𝐶𝑉 مشخص شده است‪ .‬جهت آن نیز با توجه به رابطه )‪ (II‬تعیین میگردد (از ‪ 𝑂2′‬به ‪)𝐶 ′‬‬

‫‪− −  −‬‬ ‫𝐶‪𝑉𝐷 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝐷/‬‬ ‫‪−  −‬‬ ‫‪(𝐼)=(𝐼𝐼𝐼) +‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝐶‪𝑉𝐷/‬‬ ‫→‬ ‫𝐵‪𝑉𝐵 𝑉𝐷/‬‬ ‫𝐶𝑉‬

‫)‪(III‬‬

‫𝐷𝐵 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐷/‬‬ ‫𝐶𝐵 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐶/‬‬

‫خط رسم شده از ‪ 𝐵′‬و عمود بر ‪ BD‬راستای 𝐵‪ 𝑉𝐷/‬را مشخص میکند‪.‬‬ ‫خط رسم شده از ‪ 𝐶 ′‬و عمود بر ‪ CD‬راستای 𝐶‪ 𝑉𝐷/‬را مشخص میکند‪.‬‬ ‫تقاطع دو راستای 𝐵‪ 𝑉𝐷/‬و 𝐶‪ 𝑉𝐷/‬نقطه ‪ 𝐷′‬را مشخص میکند‪ .‬با توجه به شکل و با رعایت مقیاس‪:‬‬ ‫𝑠‪|𝑉𝐶 | = 𝑂4′ 𝐶 ′ = 2020𝑚𝑚/𝑠, |𝑉𝐷 | = 𝑂4′ 𝐷′ = 1990 𝑚𝑚/‬‬ ‫‪45‬‬

‫نکته‪ :‬خطوط رسم شده از قطب به نقاط واقع بر روی دیاگرام‪ ،‬سرعتهای مطلق نقاط مربوطه را نشان میدهد‪.‬‬ ‫| 𝐵𝑉| = ‪𝑂2′ 𝐵 ′‬‬ ‫| 𝐶𝑉| = ‪𝑂4′ 𝐶 ′‬‬

‫| 𝐷𝑉| = ‪𝑂4′ 𝐷′‬‬

‫نکته‪ :‬خط واصل بين دو نقطه واقع بر روی دیاگرام‪ ،‬سرعت نسبي دو نقطه را نشان میدهد‬ ‫| 𝐵‪𝐵 ′ 𝐶′ = |𝑉𝐶/‬‬ ‫| 𝐷‪𝐷′ 𝐶′ = |𝑉𝐶/‬‬ ‫| 𝐷‪𝐷′𝐵 ′ = |𝑉𝐵/‬‬

‫تصویر سرعت‬ ‫هر میله در دیاگرام سرعت دارای تصویر میباشد‪.‬‬ ‫𝐶𝐵 ⊥ ‪𝐵 ′ 𝐶 ′‬‬ ‫𝐷𝐶𝐵 ∆~ ‪𝐶 ′ 𝐷′ ⊥ 𝐶𝐷 } → ∆ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷′‬‬ ‫𝐷𝐵 ⊥ ‪𝐵 ′ 𝐷′‬‬

‫مثلث ‪ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷′‬مشابه مثلث ‪ BCD‬بوده و تصوير آن نامیده میشود‪.‬‬ ‫𝐵 ‪𝑂2 ′ 𝐵 ′ ⊥ 𝑂2‬‬ ‫𝐶 ‪𝑂4 ′ 𝐶 ′ ⊥ 𝑂4‬‬

‫بنابراین با معلوم بودن سرعت دو نقطه واقع بر يك عضو از مکانيزم در دیاگرام سرعت‪ ،‬سرعت هر نقطه سومي واقع‬ ‫بر اين عضو با رسم تصوير سرعت آن قابل تعیین است‪.‬‬ ‫مثالً اگر در مثال قبل‪ ،‬نقاط ‪ 𝐵′‬و ‪ 𝐶 ′‬تعیین شده باشند با رسم مثلث ‪ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷′‬مشابه مثلث ‪ BCD‬میتوان نقطه ‪ 𝐷′‬را تعیین‬ ‫نمود‪ .‬الزمه این امر آن است که ‪ 𝐶 ′ 𝐷′ ،𝐵′ 𝐶 ′‬و ‪ 𝐵′ 𝐷′‬به ترتیب عمود بر ‪ CD ،BC‬و ‪ BD‬باشند‪.‬‬

‫سرعت زاویهای‬ ‫‪ ‬سرعت زاويهای هر عضو صلب برابر است با سرعت نسبي هر دو نقطه واقع بر آن عضو تقسیم بر فاصله بين‬ ‫آن دو نقطه‪.‬‬ ‫سرعت نسبی‬ ‫فاصله بین دو نقطه‬

‫‪46‬‬

‫=‪ω‬‬

‫‪ ‬چون فاصله بين نقاط يك جسم صلب ثابت است‪ ،‬سرعت نسبي عمود بر امتداد خط واصل بین دو نقطه‬ ‫است‪.‬‬ ‫خط واصل بین دو نقطه ⊥ سرعت نسبی‬

‫‪ ‬حركت نسبي يك نقطه در جسم صلب نسبت به نقطه دیگر یک دوران بوده که شعاع دوران آن برابر فاصله‬ ‫بين دو نقطه است‪.‬‬ ‫در شکل مثال قبل‪:‬‬ ‫𝐷‪𝑉𝐵⁄𝐶 𝑉𝐵⁄𝐷 𝑉𝐶⁄‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝑤𝑐𝑐‬ ‫𝐶𝐵‬ ‫𝐷𝐵‬ ‫𝐷𝐶‬

‫=‬

‫نسبی𝑉‬ ‫𝑅‬

‫= ‪𝜔3‬‬

‫جهت 𝐶𝑉 ‪ 𝑉𝐵⁄𝐶 = 𝑉𝐵 −‬از ‪ 𝐶 ′‬به ‪ 𝐵′‬است ← ‪ B‬نسبت به ‪ C‬به سمت پایین حرکت میکند ← ‪ B‬حول ‪ C‬پادساعتگرد‬ ‫حرکت میکند‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل زیر 𝑠‪ 𝜔2 = 5 𝑟𝑎𝑑/‬و ساعتگرد است‪ .‬سرعت خطی نقطه ‪ D‬و سرعت زاویهای میله ‪ 3‬را محاسبه نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫𝐵 ‪𝑉𝐵 ⊥ 𝑂2‬‬ ‫𝑠‪𝑉𝐵 = 𝑂2 𝐵 × 𝜔2 = 75 × 5 = 375 𝑚𝑚/‬‬

‫مقیاس در دیاگرام سرعت‬

‫‪1 mm = 10/7 mm/s‬‬ ‫‪− −  −‬‬ ‫𝐵‪𝑉𝐷 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝐷/‬‬

‫سرعت ‪ D‬هم از نظر مقدار و هم از نظر امتداد مجهول است‬ ‫ابتدا طول ‪ 𝑂2′ 𝐵′‬که نشان دهنده 𝑩𝑽 است از قطب ‪ 𝑂2′‬رسم میشود‬

‫‪−  −‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝐶𝑉‬ ‫𝐵‪𝑉𝐵 𝑉𝐶/‬‬

‫𝐶𝑉 سرعت مطلق و موازی سطح است که باید از قطب ‪ 𝑂2′‬رسم شود‬ ‫سطح|| 𝐶𝑉‬ ‫𝐶𝐵 ⊥ 𝐵‪𝑉𝐶/‬‬

‫تقاطع خط عمود بر افق از قطب ‪ 𝑂2′‬با امتداد عمود بر ‪ BC‬نقطه ‪ 𝐶 ′‬را‬ ‫معلوم میکند‬ ‫| 𝐶‪O′2 C′ → |V‬‬ ‫‪47‬‬

‫مقدار 𝐵‪ 𝑉𝐷/‬با نوشتن تناسب محاسبه میشود‪:‬‬ ‫چون نقاط ‪ C ،B‬و ‪ D‬بر روی يك ميله واقع هستند نقاط ‪ 𝐶 ′ ،𝐵′‬و ‪ 𝐷′‬میبایست تصوير نقاط ‪ C ،B‬و ‪ D‬مکانیزم در‬ ‫کثیراالضالع سرعت باشند‪.‬‬ ‫‪𝐵 ′ 𝐷′ 𝐵𝐷 220‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪→ 𝐵 ′ 𝐷 ′ = 1/47 𝐵′ 𝐶 ′‬‬ ‫‪𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐵𝐶 150‬‬

‫نقطه ‪ 𝐷′‬با ترسیم ‪ 𝐵′ 𝐷′‬به اندازه ‪ 1/47‬برابر ‪ 𝐵′ 𝐶 ′‬تعیین میشود‪.‬‬ ‫بردار ‪ O′2 D′‬سرعت مطلق نقطه ‪ D‬و بردار ‪ 𝐵′ 𝐷′‬سرعت نسبی نقطه ‪ D‬نسبت به ‪ B‬را نشان میدهد‪.‬‬ ‫𝑠‪|𝑉𝐷 | = 385 𝑚𝑚/‬‬ ‫𝑠‪|𝑉𝐷/𝐵 | = 440 𝑚𝑚/‬‬

‫سرعت زاویهای میله ‪:3‬‬ ‫𝐵‪𝑉𝐶⁄𝐵 𝑉𝐷⁄‬‬ ‫=‬ ‫𝐶𝐵‬ ‫𝐷𝐵‬

‫= ‪𝜔3‬‬

‫‪440‬‬ ‫𝑤𝑐 𝑠‪= 2 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫‪220‬‬

‫= ‪𝜔3‬‬

‫سرعت نقاط واقع بر جسم غلتان‬ ‫‪ P‬مرکز آنی دوران است‬

‫𝜔𝑅 = 𝐶𝑉‬ ‫𝜔)𝑄𝐶( = 𝐶‪𝑉𝑄/‬‬ ‫𝑅 ⊥ 𝐶‪𝑉𝑄/‬‬ ‫𝐶‪𝑉𝑄 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝑄/‬‬ ‫𝑄𝑃 ⊥ 𝑄𝑉‬

‫تقاطع عمود بر ‪ CQ‬از انتهای 𝐶𝑉 با عمود بر ‪ PQ‬بردار 𝑄𝑉 را مشخص میکند‪.‬‬ ‫𝐶‪𝑉𝑃 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝑃/‬‬ ‫𝜔𝑅‪𝑉𝑃/𝐶 = −‬‬ ‫‪𝑉𝑃 = 𝑅𝜔 − 𝑅𝜔 = 0‬‬ ‫‪48‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در مکانیزم برگشت سریع شکل زیر‪ 𝑉𝐵2 ،‬معلوم است‪ .‬سرعت نقطه ‪ D‬و سرعتهای زاویهای میلههای ‪ 4‬و ‪ 5‬را تعیین نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪𝑉𝐵2 ⊥ 𝑂2 𝐵2‬‬

‫بردار ‪ 𝑂2′ 𝐵2′‬در کثیراالضالع سرعت معرف ‪ 𝑉𝐵2‬است‬ ‫‪ 𝐵4‬نقطهای واقع بر میله ‪ 4‬است که در این لحظه بر ‪ 𝐵2‬منطبق است‬ ‫‪𝑉𝐵4 ⊥ 𝑂4 𝐵4‬‬ ‫مقدار ‪ 𝑉𝐵4‬معلوم نبوده اما امتداد آن عمود بر ‪ 𝑂4 𝐵4‬است‪.‬‬ ‫چون ‪ 𝐵4‬نسبت به ‪ 𝐵2‬در امتداد عمود بر میله ‪ 4‬دارای هیچ حرکتی نیست‪،‬‬ ‫‪ 𝑉𝐵4/𝐵2‬میبایست در امتداد میله ‪ 4‬باشد‬

‫‪𝑉𝐵2/𝐵4 || 𝑂4 𝐵4‬‬ ‫از نقطه ‪ 𝐵2′‬خطی موازی 𝐶 ‪ 𝑂4‬میکشیم‪ .‬تقاطع این خط با خطی که از نقطه ‪𝑂4′‬‬ ‫عمود بر ‪ 𝑂4 𝐵4‬رسم شده موقعیت ‪ 𝐵4′‬را مشخص میکند‬

‫‪ 𝑂4′ 𝐵4′‬برابر ‪ 𝑉𝐵4‬و ‪ 𝐵2′ 𝐵4′‬برابر ‪ 𝑉𝐵4/𝐵2‬است‪.‬‬

‫| ‪|𝑂4′ 𝐵4′ | = |𝑉𝐵4‬‬ ‫| ‪|𝐵2′ 𝐵4′ | = |𝑉𝐵2/𝐵4‬‬

‫بردار ‪ 𝑂4′ 𝐶 ′‬معرف بردار 𝐶𝑉 است که باید عمود بر 𝐶 ‪ 𝑂4‬باشد‪ .‬مقدار ‪ 𝑂4′ 𝐶 ′‬از‬ ‫تناسب به دست میآید‪:‬‬

‫‪𝑂4′ 𝐶 ′‬‬ ‫𝐶 ‪𝑂4‬‬ ‫𝐶 ‪𝑂4‬‬ ‫) ‪(𝑂′ 𝐵 ′‬‬ ‫= ‪⇒ 𝑂4′ 𝐶 ′‬‬ ‫= ‪′ ′‬‬ ‫‪𝑂4 𝐵4 𝑂4 𝐵4‬‬ ‫‪𝑂4 𝐵4 4 4‬‬ ‫تقاطع عمود خارج شده از نقطه ‪ 𝐶 ′‬بر خط ‪ CD‬با خط افقی که از ‪ 𝑂2′‬ترسیم‬

‫میشود موقعیت نقطه ‪ 𝐷′‬را مشخص میکند‪.‬‬

‫𝐶𝑉 متمایل به راست است ← ‪ 𝜔4‬ساعتگرد میباشد‬ ‫𝐷‪ 𝑉𝐶/‬متمایل به سمت پایین است ← ‪ 𝜔5‬ساعتگرد میباشد‬

‫| 𝐷𝑉| = | ‪|𝑂2′ 𝐷′‬‬ ‫| 𝐶‪|𝐶 ′ 𝐷′ | = |𝑉𝐷/‬‬ ‫𝐶𝑉‬ ‫= ‪𝜔4‬‬ ‫𝑤𝑐‬ ‫𝐶 ‪𝑂4‬‬ ‫𝐷‪𝑉𝐶/‬‬ ‫= ‪𝜔5‬‬ ‫𝑤𝑐‬ ‫𝐷𝐶‬ ‫𝐷‪𝑉𝐶 = 𝑉𝐷 + 𝑉𝐶/‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در مکانیزم شکل زیر‪ 𝑉𝐵 ،‬معلوم است‪ .‬سرعت نقطه ‪ C‬را تعیین نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫چون نقطه تماس روی خط المرکزین است‪ ،‬میلههای ‪ 2‬و ‪ 3‬در‬ ‫این لحظه تماس غلتشی دارند‪.‬‬ ‫در دیاگرام سرعت 𝐵𝑉 با بردار ‪ 𝑂2′ 𝐵′‬از قطب در امتداد عمود بر‬ ‫𝐵 ‪ 𝑂2‬رسم شده است‪.‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪𝑉𝑃2 ⊥ 𝑂2 𝑃2‬‬ ‫‪𝑉𝑃2/𝐵 ⊥ 𝐵𝑃2‬‬ ‫بنابراین تقاطع خط عمود بر ‪ 𝑂2 𝑃2‬با خط عمود بر ‪ 𝐵𝑃2‬نقطه ‪𝑃2′‬‬

‫را تعیین میکند‬

‫| ‪|𝑂2′ 𝑃2′ | = |𝑉𝑃2‬‬ ‫| 𝐵‪|𝐵 ′ 𝑃2′ | = |𝑉𝑃2/‬‬ ‫‪𝑉𝑃2 = 𝑉𝑃3‬‬

‫چون سرعتها در نقطه تماس با هم برابرند‬ ‫| ‪|𝑂3′ 𝑃3′ | = |𝑉𝑃3‬‬ ‫بنابراین‬ ‫خطی که از ‪ 𝑂3′‬عمود بر شعاع 𝐶 ‪ 𝑂3‬رسم شود امتداد 𝐶𝑉 را مشخص میکند‪.‬‬ ‫تقاطع خطی که از ‪ 𝑃3′‬عمود بر 𝐶 ‪ 𝑃3‬ترسیم میشود با خط رسم شده از ‪ 𝑂3′‬که عمود بر 𝐶 ‪ 𝑂3‬است موقعیت نقطه ‪ 𝐶 ′‬را‬ ‫مشخص میکند‪.‬‬ ‫| 𝐶𝑉| = | ‪|𝑂3′ 𝐶 ′‬‬ ‫| ‪|𝑃3′ 𝐶 ′ | = |𝑉𝐶/𝑃3‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در مکانیزم شکل زیر‪ 𝑉𝐵 ،‬معلوم است‪ .‬سرعت نقطه ‪ C‬را تعیین نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫چون نقطه تماس بر روی خط المرکزین قرار ندارد پس‬ ‫تماس لغزشی است‪.‬‬ ‫‪𝑉𝑃2 ⊥ 𝑂2 𝑃2‬‬ ‫‪𝑉𝑃2/𝐵 ⊥ 𝐵𝑃2‬‬

‫بردار ‪ 𝑂2′ 𝑃2′‬عمود بر ‪ 𝑂2 𝑃2‬است‪ .‬از تقاطع خط عمود بر‬ ‫‪ 𝑂2 𝑃2‬با خطی که از ‪ 𝐵′‬عمود بر ‪ 𝐵 ′ 𝑃2′‬ترسیم میشود‪،‬‬ ‫نقطه ‪ 𝑃2′‬تعیین میگردد‪.‬‬ ‫| ‪|𝑂2′ 𝑃2′ | = |𝑉𝑃2‬‬ ‫| 𝐵‪|𝐵 ′ 𝑃2′ | = |𝑉𝑃2/‬‬

‫چون‬ ‫‪𝑉𝑃3 ⊥ 𝑂3 𝑃3‬‬

‫در تماس لغزشی ‪ 𝑉𝑃2/𝑃3‬در امتداد مماس مشترک‬ ‫میباشد‪.‬‬ ‫مماس مشترک|| ‪𝑃2′ 𝑃3′‬‬

‫‪𝑂3′ 𝑃3′ ⊥ 𝑂3 𝑃3‬‬ ‫از تقاطع خطی که از ‪ 𝑃2′‬به موازات مماس مشترک ترسیم میشود با خطی که از ‪ 𝑂3′‬بر ‪ 𝑂3′ 𝑃3′‬عمود میگردد نقطه ‪ 𝑃3′‬تعیین‬

‫میگردد‪.‬‬ ‫| ‪= |𝑉𝑃3‬‬

‫| ‪= |𝑉𝑃3/𝑃2‬‬

‫|‪′‬‬

‫‪|𝑂′‬‬

‫‪3 𝑃3‬‬

‫| ‪|𝑃′ ′‬‬ ‫‪2 𝑃3‬‬

‫از تقاطع خطی که از ‪ 𝑂3′‬عمود بر 𝐶 ‪ 𝑂3‬رسم میشود با خط دیگری که از ‪ 𝑃3′‬بر 𝐶 ‪ 𝑃3‬عمود است‪ ،‬موقعیت نقطه ‪ 𝐶 ′‬مشخص‬ ‫میگردد‪.‬‬ ‫‪50‬‬

‫𝐶 ‪𝑂3′ 𝐶 ′ ⊥ 𝑂3‬‬ ‫𝐶 ‪𝑃3′ 𝐶 ′ ⊥ 𝑃3‬‬

‫در نتیجه‪:‬‬ ‫| 𝐶𝑉| = | ‪|𝑂3′ 𝐶 ′‬‬ ‫| ‪|𝑃3′ 𝐶 ′ | = |𝑉𝐶/𝑃3‬‬

‫سرعتها در مکانیزمهای میلهای مرکب‬ ‫هرگاه ميلهای در یک مکانیزم دارای مركز دوران ثابت نباشد‪ ،‬بدان ميله معلق گفته میشود‪.‬‬ ‫مکانیزمهایی که دو ميله معلق يا بيشتر داشته باشند‪ ،‬مکانيزم مركب نامیده میشوند‪.‬‬

‫در تحلیل مکانیزمهای مرکب گاه در روابط برداری با تعداد زيادی مجهول مواجه میشویم‪ .‬در این موارد از سعي و خطا‬ ‫باید استفاده گردد‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در مکانیزم مقابل 𝐸𝑉 معلوم است‪ .‬سرعت 𝐵𝑉 را تعیین نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫𝐸𝑉 را از قطب ‪ 𝑂2′‬به اندازه ‪ 𝑂2′ 𝐸′‬ترسیم میکنیم‬

‫∗‬

‫‪− −  −‬‬ ‫𝐸‪𝑉𝐶 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐶/‬‬ ‫𝐸𝐶 ⊥ 𝐸‪𝑉𝐶/‬‬

‫راستای ‪ 𝐶 ′‬نشان میدهد که ‪ 𝐶 ′‬جایی در امتداد خط عمود‬ ‫بر ‪ CE‬قرار دارد‪.‬‬ ‫تنها با استفاده از رابطه باال نمیتوان ‪ 𝐶 ′‬را تعیین کرد‪.‬‬

‫‪− − − ‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝐵𝑉‬ ‫𝐷‪𝑉𝐷 𝑉𝐵/‬‬

‫برای 𝐷𝑉 طول دلخواه ‪ 𝑂2′ 𝐷′‬را در نظر میگیریم‪ .‬بنابراین‬ ‫‪ 𝑂2′ 𝐵′‬برابر 𝐵𝑉 در امتداد عمود بر 𝐵 ‪ 𝑂2‬و ‪ 𝐷′ 𝐵′‬عمود بر‬ ‫‪ DB‬میباشد‪.‬‬

‫| 𝐵𝑉| = )𝐵 ‪|𝑂2′ 𝐵′ |(⊥ 𝑂2‬‬ ‫𝐵𝐷 ⊥ ‪𝐷′ 𝐵 ′‬‬

‫(شکل الف)‬ ‫میتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪− − − −‬‬ ‫𝐷‪𝑉𝐶 = 𝑉𝐷 + 𝑉𝐶/‬‬

‫در رابطه باال 𝐷‪ 𝑉𝐶/‬برابر ‪ 𝐷′ 𝐶 ′‬و در امتداد عمود بر ‪ CD‬است‪ .‬چون نقاط ‪ C ،B‬و ‪ D‬روی یک عضو قرار دارند با استفاده از‬ ‫تصویر میتوان ‪ 𝐶 ′ ،𝐵′‬و ‪ 𝐷′‬را تعیین نمود‪ .‬با استفاده از تناسب میتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪𝐶𝐷 ′ ′‬‬ ‫) 𝐷 𝐵(‬ ‫𝐷𝐵‬

‫= ‪𝐶 ′ 𝐷′‬‬

‫𝐷𝐶 ‪𝐶 ′ 𝐷′‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫𝐷𝐵 ‪𝐵 ′ 𝐷′‬‬

‫حال از نقطه ‪ 𝐷′‬طول ‪ 𝐶 ′ 𝐷′‬را رسم و نقطه ‪ 𝐶 ′‬را تعیین میکنیم (شکل الف)‪.‬‬ ‫چون ‪ 𝐶 ′‬بر روی خط حاوی ‪ 𝐸′‬قرار نمیگیرد بنابراین جواب صحیح نمیباشد‪.‬‬

‫∗‬

‫نقطه برخورد راستای ‪ 𝐶 ′‬با خط ‪ 𝑂2′ 𝐶 ′‬موقعیت ‪ 𝐶 ′‬را مشخص میکند‪.‬‬ ‫حال اگر از ‪ 𝐶 ′‬خط ‪ 𝐷′ 𝐵′‬را موازی ‪ 𝐵 ′ 𝐷′‬خواهیم داشت‪:‬‬ ‫𝐷𝐶 ‪𝐶 ′ 𝐷′‬‬ ‫=‬ ‫𝐷𝐵 ‪𝐵 ′ 𝐷′‬‬

‫‪ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷′‬تصویر ‪ BCD‬بوده و حل صحیح را نشان میدهد‪.‬‬

‫(شکل ب)‬

‫|‪′‬‬

‫‪|𝑂′‬‬

‫𝐵‪2‬‬

‫= | 𝐵𝑉|‬

‫|‪|𝑉𝐶 | = |𝑂2′ 𝐶′‬‬ ‫|‪|𝑉𝐷 | = |𝑂2′ 𝐷′‬‬

‫روش بدون سعي و خطا‪:‬‬ ‫با تعیین طول فرضی ‪ 𝑂2′ 𝐵′‬میتوان دیاگرام سرعت را ترسیم نمود‪ .‬سپس با روش تصویر میتوان نقاط ‪ 𝐶 ′ ،𝐷′‬و ‪ 𝐸′‬را در‬ ‫دیاگرام سرعت جایابی نمود‪ .‬طول ‪ 𝑂2′ 𝐸′‬را میتوان اندازه گرفت‪ .‬از روی مقدار ‪ 𝑂2′ 𝐸′‬و مقدار معلوم 𝐸𝑉 مقیاس سرعتها‬ ‫تعیین میگردد‪ .‬با استفاده از این مقیاس و دیاگرام سرعت‪ ،‬سرعت هر نقطه دیگر از مکانیزم را میتوان محاسبه نمود‪.‬‬

‫| 𝐸𝑉|‬ ‫مقیاس =‬ ‫‪𝑂2′ 𝐸 ′‬‬

‫‪ × 𝑂2′ 𝐷′‬مقیاس = | 𝐷𝑉|‬ ‫‪ × 𝑂2′ 𝐵 ′‬مقیاس = | 𝐵𝑉|‬ ‫‪ × 𝑂2′ 𝐶 ′‬مقیاس = | 𝐶𝑉|‬ ‫‪52‬‬

‫مثال (تمرين ‪:)9-6‬‬ ‫‪ 𝑃2‬و ‪ 𝑃3‬از شکل زیر به ترتیب نقاط منطبق بر میلههای ‪ 2‬و‪ 3‬بوده و ‪ 𝑄3‬و ‪ 𝑄4‬به ترتیب نقاط منطبق بر هم در میلههای ‪ 3‬و‬ ‫𝑠‪𝑉𝑃2 = 750 𝑚𝑚/‬‬ ‫‪ 4‬میباشند‪.‬‬ ‫الف) دیاگرام سرعت را رسم کنید‪ .‬برای رسم سرعتها از مقیاس ‪ 1 mm = 0/02 m/s‬استفاده کنید‪ .‬سرعت خطی عضو شماره‬ ‫‪ 4‬را بر حسب متر بر ثانیه تعیین کنید‪.‬‬ ‫ب) سرعت زاویهای ‪ 𝜔3‬را بر حسب 𝑠‪ 𝑟𝑎𝑑/‬تعیین کنید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪− ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑉𝑃3‬‬ ‫‪𝑉𝑃2 𝑉𝑃3/𝑃2‬‬

‫𝑉 = 𝐴⃗‬ ‫𝜔 ‪⃗𝐵 +‬‬ ‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉‬ ‫𝑉 ‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬

‫یا‬

‫‪𝑉𝑃3/𝑃2 || 3‬‬

‫‪ 𝑉𝑃3/𝑃2‬مماس بر سطح تماس‬ ‫‪𝑉𝑃2 ⊥ 𝑂2 𝑃2‬‬

‫‪𝑉𝑃3 ⊥ 𝑂3 𝑃3 ,‬‬

‫‪− ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑉𝑄3‬‬ ‫‪𝑉𝑃3 𝑉𝑄3/𝑃3‬‬

‫‪ 𝑉𝑄3‬را با ترسیم مثلث ‪ 𝑂′2 𝑄3′ 𝑃3′‬به صورت متشابه با 𝑄𝑃 ‪ 𝑂3‬و نوشتن تناسب نیز تعیین نمود‪.‬‬ ‫𝑄𝑃 ‪∆𝑂′2 𝑄3′ 𝑃3′ ~∆𝑂3‬‬ ‫‪− ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑉𝑄4‬‬ ‫‪𝑉𝑄3 𝑉𝑄4/𝑄3‬‬ ‫‪𝑉𝑄4/𝑄3 ∥ 3‬‬

‫‪ 𝑉𝑄4/𝑄3‬در راستای شیار‬

‫‪ , 𝑉𝑄3 ⊥ 𝑂3 𝑄3‬سطح ∥ ‪𝑉𝑄4‬‬ ‫)𝑤𝑐𝑐(‬ ‫‪53‬‬

‫‪𝑉𝑃3‬‬ ‫‪0/297‬‬ ‫=‬ ‫𝑠‪= 8/492 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫‪𝑂3 𝑃 34/974 × 10−3‬‬

‫= ‪ω3‬‬

‫شتابها در مکانیزمها‬ ‫به علت تاثير شتاب در نيروهای اينرسي که به نوبه خود تاثير در تنشهای حاصله در اجزای یک ماشین‪ ،‬بارهای‬ ‫یاتاقانی‪ ،‬ارتعاش و سر و صدا دارند‪ ،‬شتاب از اهميت خاص برخوردار است‪.‬‬

‫فرمول سرعت و شتاب نقطه ‪ A‬نسبت به نقطه ‪ B‬در حالت کلی به صورت زیر است‪:‬‬

‫𝑉 = 𝐴⃗‬ ‫𝜔 ‪⃗𝐵 +‬‬ ‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉‬ ‫𝑉 ‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬

‫𝑙𝑒𝑟𝐴 ‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 +‬‬ ‫𝜔 ‪𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝜔̇⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬ ‫𝜔× ⃗‬ ‫𝜔‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 + 2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬

‫جسم صلب‬ ‫طبق تعریف جسم صلب )‪ 𝐴𝑟𝑒𝑙 = 0‬و ‪ (𝑉⃗𝑟𝑒𝑙 = 0‬است در نتیجه‪:‬‬ ‫𝑉 = 𝐴⃗‬ ‫𝑉 ‪⃗𝐵 +‬‬ ‫𝐵‪⃗ 𝐴⁄‬‬ ‫𝑉 →}‬

‫𝑉 = 𝐴⃗‬ ‫𝜔 ‪⃗𝐵 +‬‬ ‫𝑉‬ ‫𝐵‪⃗ × 𝑟𝐴⁄‬‬ ‫𝜔 = 𝐵‪⃗ 𝐴⁄‬‬ ‫𝑉‬ ‫𝐵‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 ⊥ 𝑟𝐴⁄‬‬

‫𝜔 ‪𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝜔̇⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬ ‫𝜔× ⃗‬ ‫𝐵‪⃗ × 𝑟𝐴⁄‬‬ ‫𝐵‪} → 𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐴𝑡⁄𝐵 + 𝐴𝐴𝑛⁄‬‬

‫𝐵‪𝐴𝐴𝑡⁄𝐵 = 𝛼 × 𝑟𝐴⁄𝐵 ⊥ 𝑟𝐴⁄‬‬ ‫𝜔 = 𝐵‪𝐴𝐴𝑛⁄‬‬ ‫𝜔× ⃗‬ ‫𝐵‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 ∥ 𝑟𝐴⁄‬‬

‫𝑡‬

‫𝑛‬

‫𝐵‪𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 + ⃗⃗𝐴𝐴⁄𝐵 + ⃗⃗𝐴𝐴⁄‬‬

‫‪𝐴𝐴𝑛⁄𝐵 = 𝑉2𝐴⁄𝐵 ⁄𝑟 = 𝑟𝜔2‬‬ ‫𝛼𝑟 = 𝐵‪𝐴𝐴𝑡⁄𝐵 = 𝑉̇ 𝐴⁄‬‬ ‫‪54‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫اگر لنگ در مکانیزم لنگ و لغزنده زیر دارای سرعت زاویهای یکنواخت 𝑚𝑝𝑟 ‪ 1800‬باشد‪ ،‬شتاب نقطه ‪ C‬را تعیین نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫𝜋‪1800 × 2‬‬ ‫𝑠‪= 11/97 𝑚/‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪−  −‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑠‪→ 𝑉𝐶  → 𝑉𝐶/𝐵 = 10/68 𝑚/‬‬ ‫𝐶𝑉‬ ‫𝐵‪𝑉𝐵 𝑉𝐶/‬‬ ‫× ‪𝑉𝐵 = (𝑂2 𝐵)𝜔 = 63/5‬‬

‫𝐵‪𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶/‬‬

‫‪0 −  0  −‬‬ ‫𝐵‪𝐴𝑛𝐶 + 𝐴𝑡𝐶 = 𝐴𝑛𝐵 + 𝐴𝑡𝐵 + 𝐴𝑛𝐶/𝐵 + 𝐴𝑡𝐶/‬‬ ‫𝐵 ‪ → 𝛼 = 0 → 𝐴𝑡𝐵 = 𝑂2 𝐵 × 𝛼 = 0 → 𝐴𝐵 = 𝐴𝑛𝐵 = 𝑟𝜔2 = (𝑂2 𝐵)𝜔2 ∥ 𝑂2‬یکنواخت = 𝜔‬ ‫‪𝑉𝐶2 𝑉𝐶2‬‬ ‫=‬ ‫سطح ∥ 𝐶𝑡𝐴 = 𝐶𝐴 → ‪= 0‬‬ ‫𝑅‬ ‫∞‬ ‫‪(11/97)2‬‬ ‫‪𝑉𝐵2‬‬ ‫= 𝐵𝑛𝐴‬ ‫=‬ ‫‪= 2256/4 𝑚/𝑠 2‬‬ ‫‪𝑂2 𝐵 63/5 × 10−3‬‬

‫= 𝐶𝑛𝐴 → ‪𝜔𝐶 = 0‬‬

‫𝐵‪ 𝐴𝑛𝐶/‬و 𝐵‪ 𝐴𝑡𝐶/‬شتابهای نسبی میباشند‪.‬‬ ‫مسیر حرکت ‪ C‬نسبت به ‪ B‬دایرهای با شعاع ‪ BC‬حول مرکز 𝐵 است و 𝐵‪ 𝐴𝑛𝐶/‬و 𝐵‪ 𝐴𝑡𝐶/‬به ترتیب در امتداد قائم و مماس بر‬ ‫این مسیر میباشند‪.‬‬ ‫𝐶𝐵 ∥ 𝐵‪𝐴𝑛𝐶/‬‬ ‫‪55‬‬

‫𝐶𝐵 ⊥ 𝐵‪𝐴𝑡𝐶/‬‬ ‫‪𝑉𝐶/𝐵 2‬‬ ‫‪(10/68)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝐵‪𝐴𝑛𝐶/‬‬ ‫=‬ ‫𝑠‪−3 = 750/4 𝑚/‬‬ ‫𝐶𝐵‬ ‫‪152 × 10‬‬ ‫𝐵‪ 𝐴𝑛𝐶/‬از نقطه ‪ B‬موازی ‪ BC‬ترسیم میشود‪ .‬راستای 𝐵‪ 𝐴𝑡𝐶/‬نیز به صورت عمود بر ‪ BC‬ترسیم میشود‪ .‬تقاطع این راستا با‬

‫راستای 𝐶𝐴 نقطه " 𝐶 را تعیین میکند‪.‬‬ ‫بردارهایی که از قطب به نقطه متناظر خود در دیاگرام شتاب متصل میشوند بیانگر شتاب مطلق آن نقطه هستند‪.‬‬ ‫بردارهایی که از که دو نقطه غیر از قطب را به هم متصل میکنند بیانگر شتاب نسبی آن دو نقطه هستند‪.‬‬ ‫"𝐶 ‪|𝐴𝐶 | = 𝑂"2‬‬ ‫"𝐵 ‪|𝐴𝐵 | = 𝑂"2‬‬ ‫"𝐶"𝐵 = | 𝐶‪|𝐴𝐵⁄‬‬

‫شتاب زاويهای‬ ‫‪ ‬شتاب زاویهای هر عضو صلب از یک مکانیزم برابر است با شتاب مماسي هر نقطه واقع بر روی عضو مزبور نسبت‬ ‫به هر نقطه دیگر واقع بر روی همان عضو تقسيم بر فاصله بين دو نقطه‪:‬‬ ‫اندازه شتاب مماسی دو نقطه نسبت به یکدیگر‬ ‫فاصله بین دو نقطه‬

‫= شتاب زاویه ای‬

‫𝑤𝑐𝑐‬

‫| 𝐵‪|𝐴𝑡𝐶/‬‬ ‫𝐶𝐵‬

‫= ‪α3‬‬

‫جهت شتاب زاویهای با توجه به دیاگرام شتاب تعیین میگردد‪.‬‬

‫تصویر شتاب‬ ‫همانند دياگرام سرعت برای هر عضو در دياگرام شتاب نیز تصويری وجود دارد‪.‬‬

‫𝐶‪𝐴𝑡𝐵⁄‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫𝐶‪𝐴𝑛𝐵⁄‬‬

‫= 𝐶‪𝐴𝐵⁄‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝐴𝐵⁄𝐶 = √(𝐴𝑛𝐵⁄𝐶 ) + (𝐴𝑡𝐵⁄𝐶 ) = √[(𝐵𝐶)𝜔 2 ]2 + [(𝐵𝐶)𝛼]2 = 𝐵𝐶 √𝜔 4 + 𝛼 2‬‬

‫‪ ‬چون برای یک عضو صلب‪ 𝜔 ،‬و 𝛼 ثابت هستند نتیجه میگیریم که شتاب نسبی متناسب با فاصله بین دو نقطه‬ ‫میباشد‪.‬‬ ‫𝐶𝐵 ∝ 𝐶‪𝐴𝐵⁄‬‬

‫‪ ‬به عبارت دیگر نقاط واقع بر روی یک عضو صلب در دیاگرام شتاب تصویری از نقاط مربوطه واقع بر روی عضو‬ ‫هستند‪.‬‬ ‫مثالً در شکل زیر‪:‬‬ ‫"𝐷"𝐶 "𝐷"𝐵 "𝐶"𝐵‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝐶𝐵‬ ‫𝐷𝐵‬ ‫𝐷𝐶‬

‫‪56‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در مکانیزم زیر سرعت و شتاب زاویهای معلوم است‪ .‬شتاب نقاط ‪ D ،C‬و ‪ E‬را به همراه شتاب زاویهای اعضای شماره ‪ 3‬و‬ ‫‪ 4‬بیابید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫𝐵‪𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶/‬‬

‫𝐵𝐴 برایند دو بردار 𝐵𝑛𝐴 و 𝐵𝑡𝐴 است‪.‬‬ ‫𝐵𝑡𝐴 ‪𝐴𝐵 = 𝐴𝑛𝐵 +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ −   ‬‬ ‫𝑡𝐴 ‪+‬‬ ‫= 𝑡 ‪𝑛 +‬‬ ‫𝑛𝐴 ‪𝑛 + 𝑡 +‬‬ ‫𝐶𝐴‬ ‫𝐶𝐴‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫𝐵‪𝐶/‬‬ ‫𝐵‪𝐶/‬‬ ‫‪𝑉𝐵 2‬‬ ‫=‬ ‫‪ 𝐴𝑡𝐵 = 𝑂2 𝐵 × 𝛼2 ⊥ 𝐴𝑛𝐵 ‬و ‪∥ 𝑂2 𝐵 ‬‬ ‫𝐵 ‪𝑂2‬‬ ‫‪𝑉𝐶 2‬‬ ‫𝑛‬ ‫= 𝐶𝐴‬ ‫𝐶𝑛𝐴 ⊥ ‪ 𝐴𝑡𝐶 = 𝑂4 𝐶 × 𝛼4‬و ‪∥ 𝑂4 𝐶 ‬‬ ‫𝐶 ‪𝑂4‬‬ ‫𝐵𝑛𝐴‬

‫‪57‬‬

‫‪𝑉𝐶/𝐵 2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫𝐶𝐵‬

‫𝐵‪ 𝐴𝑛𝐶/‬از انتهای ‪ B‬به موازات ‪ BC‬رسم میشود‪.‬‬ ‫راستای 𝐵‪ 𝐴𝑡𝐶/‬عمود بر 𝐵‪ 𝐴𝑛𝐶/‬میباشد‪.‬‬

‫𝐵‪𝐴𝑛𝐶/‬‬

‫𝐵‪𝐴𝑡𝐶/𝐵 ⊥ 𝐴𝑛𝐶/‬‬

‫از تقاطع راستای 𝐵‪ 𝐴𝑡𝐶/‬با راستای 𝐶𝑡𝐴 نقطه " 𝐶 در دیاگرام شتاب تعیین میشود‪.‬‬ ‫| 𝐶𝐴| = | " 𝐶 ‪|𝑂4‬‬

‫نقطه "𝐷 با ترسیم مثلث "𝐷 " 𝐶 "𝐵 با روش تصویر و متشابه با ‪ BCD‬تعیین میشود‪.‬‬ ‫| 𝐷𝐴| = | "𝐷 ‪|𝑂2‬‬

‫نقطه "𝐸 با استفاده از روش تصویر شتاب محاسبه میشود‪:‬‬

‫𝐸𝐶 " 𝐸 " 𝐶‬ ‫=‬ ‫𝐵𝐶 " 𝐵 " 𝐶‬ ‫| 𝐸𝐴| = | " 𝐸 ‪|𝑂2‬‬ ‫𝐶𝑡𝐴‬ ‫= ‪α4‬‬ ‫𝑤𝑐𝑐‬ ‫𝐶 ‪𝑂4‬‬

‫‪𝑐𝑐𝑤,‬‬

‫𝐵‪𝐴𝑡𝐶/‬‬ ‫𝐶𝐵‬

‫= ‪α3‬‬

‫مکانیزمهای معادل‬ ‫یک مکانيزم معادل‪ ،‬مکانیزمی است که سرعت و شتاب زاويهای عضو محرک ‪ 2′‬و عضو متحرک ‪ 4′‬آن به طور‬ ‫لحظهای برابر اعضای محرک و متحرک ‪ 2‬و ‪ 4‬از مکانيزم اوليه باشد‪.‬‬

‫(ب)‬

‫(الف)‬

‫اثبات مکانيزم معادل در ضميمه الف كتاب مارتين‬ ‫در شکل (ب) به دلیل آن که تماس همواره در یک نقطه خاص از عضو شماره ‪ 4‬اتفاق میافتد بدان پیرو نقطهای گویند‪.‬‬ ‫بنابراین شعاع انحنای ‪ 𝑃4 𝐶4‬برابر صفر بوده و ‪ 𝐶4‬بر ‪ 𝑃4‬منطبق میباشد‪.‬‬ ‫‪𝑃4 𝐶4 = 0‬‬

‫‪58‬‬

59

‫شتاب اعضای دارای تماس غلتشی‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل زیر با فرض معلوم بودن ‪ 𝜔2‬و ‪ 𝛼2‬شتاب یک نقطه از عضو ‪ 2‬مثل ‪ 𝑃2‬را تعیین کنید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫چون تماس غلتشی است پس سرعت نقطه ‪ 𝑃2‬صفر است که ‪ 𝑃2‬مرکز آنی دوران نیز هست‪.‬‬

‫‪𝑉𝑃2 = 0‬‬

‫نقطه 𝐶 حول نقطه 𝑂 حرکت دورانی دارد و نقطه 𝑂 مرکز دوران دایمی 𝐶 است‪.‬‬

‫𝐶‪𝐴𝑃2 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝑃2/‬‬ ‫‪− −  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫𝐶‪𝐴𝑃2 = 𝐴𝑛 + 𝐴𝑡 + 𝐴𝑛𝑃 /𝐶 + 𝐴𝑡𝑃 /‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝐶‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝐶‬

‫‪2‬‬

‫‪(𝑅2 𝜔2 )2‬‬ ‫𝐶𝑉‬ ‫𝐶𝑉‬ ‫𝑛‬ ‫)‪(I‬‬ ‫= 𝐶𝐴‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪∥ 𝐶𝑂 ‬‬ ‫‪𝑂𝐶 𝑅1 + 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2‬‬ ‫باید دقت شود که سرعت زاویهای نقطه ‪ C‬حول ‪ O‬یعنی 𝜔 با سرعت زاویهای ‪ C‬حول ‪ 𝑃2‬یعنی ‪ 𝜔2‬تفاوت دارد‪:‬‬ ‫‪𝑅2 𝜔2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪𝑅1 + 𝑅2‬‬

‫= 𝜔 → ‪𝑉𝐶/𝑂 = 𝑉𝐶/𝑃2 → (𝑅1 + 𝑅2 )𝜔 = 𝑅2 𝜔2‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝐶 = 𝑃2 𝐶 × 𝛼2 = 𝑅2 𝛼2 ⊥ 𝐴𝑛𝐶 ‬‬ ‫‪𝑉𝐶 2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 𝑅2 𝜔22 ∥ 𝑃2 𝐶 ‬‬ ‫‪𝑅1‬‬

‫)‪(II‬‬

‫‪× 𝜔22‬‬

‫𝐶 ‪= 𝑃2‬‬

‫𝐶‪𝐴𝑛𝑃2/‬‬

‫‪𝐴𝑡𝑃2/𝐶 = 𝑃2 𝐶 × 𝛼2 = 𝑅2 𝛼2 ⊥ 𝐴𝑛𝑃2/𝐶 ‬‬

‫بنابراین 𝐶‪ 𝐴𝑡𝑃2/‬با 𝐶𝑡𝐴 از لحاظ مقدار برابر است ولی جهت آنها مخالف یکدیگر است‪.‬‬ ‫𝐶𝑡𝐴 = 𝐶‪𝐴𝑡𝑃2/‬‬ ‫𝐶‪𝐴𝑛𝐶 < 𝐴𝑛𝑃2/‬‬ ‫‪60‬‬

‫)𝐼𝐼(‪(𝐼),‬‬

‫→‬

‫مثال‪:‬‬ ‫شکل زیر مشابه شکل قبل است با این تفاوت که مسیر غلتش مقعر میباشد‪ .‬شتاب نقطه ‪ 𝑃2‬را تعیین نمایید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫این مثال مشابه حالت قبل حل میشود و تنها مولفه شتاب 𝐶𝑛𝐴 فرق میکند که به صورت زیر محاسبه میشود‪:‬‬ ‫‪(𝑅2 𝜔2 )2‬‬ ‫‪𝑉𝐶 2‬‬ ‫‪𝑉𝐶 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪∥ 𝐶𝑂 ‬‬ ‫‪𝑂𝐶 𝑅1 − 𝑅2 𝑅1 − 𝑅2‬‬

‫𝐶𝑛𝐴‬

‫𝐶‪𝐴𝑛𝐶 > 𝐴𝑛𝑃2/‬‬

‫نکته‪ :‬در صورتی که سطح غلتش صاف باشد‪:‬‬ ‫‪𝑉𝐶 2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫∞‬

‫شتاب کریولیس‬ ‫𝐵‪𝑟𝐴 = 𝑟𝐵 + 𝑟𝐴⁄‬‬ ‫𝑉 = 𝐴⃗‬ ‫𝜔 ‪⃗𝐵 +‬‬ ‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉 → 𝐵‪𝑟̇𝐴 = 𝑟̇𝐵 + 𝑟̇ 𝐴⁄‬‬ ‫𝑉 ‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬ ‫𝐴⃗‬ ‫𝑉 سرعت نقطه ‪ A‬نسبت به دستگاه مختصات جهانی )𝑌 ‪(𝑋 −‬‬ ‫𝐵⃗‬ ‫𝑉 سرعت نقطه ‪ B‬نسبت به دستگاه مختصات جهانی )𝑌 ‪(𝑋 −‬‬

‫𝜔 مولفه سرعت ناشی از دوران دستگاه مختصات محلی )𝑦 ‪(𝑥 −‬‬ ‫𝐵‪⃗ × 𝑟𝐴⁄‬‬ ‫نسبت به دستگاه مختصات جهانی )𝑌 ‪(𝑋 −‬‬

‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉 سرعت نسبی نقطه ‪ A‬نسبت به دستگاه محلی )𝑦 ‪(𝑥 −‬‬

‫‪61‬‬

‫= 𝐶𝑛𝐴‬

‫𝑑‬ ‫𝑉 = ̇⃗‬ ‫𝜔( 𝑑 ‪⃗ ̇ +‬‬ ‫) ⃗‬ ‫𝑉‬ ‫𝑉( ‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 ) +‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝐵‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫𝑙𝑒𝑟 𝑡𝑑‬ ‫̇⃗‬ ‫𝜔 ‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 ) +‬‬ ‫𝑉 ‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 +‬‬ ‫𝜔 ‪𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝜔̇⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫𝑉 ‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬ ‫𝑉× ⃗‬ ‫𝑙𝑒𝑟‬ ‫𝑙𝑒𝑟𝐴 ‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 +‬‬ ‫𝜔 ‪𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝜔̇⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫𝜔‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 ) + 2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬ ‫𝐴𝐴 شتاب نقطه ‪ A‬نسبت به دستگاه مختصات جهانی )𝑌 ‪(𝑋 −‬‬ ‫𝐵𝐴 شتاب نقطه ‪ B‬نسبت به دستگاه مختصات جهانی )𝑌 ‪(𝑋 −‬‬ ‫𝑡‬ ‫𝐵‪𝐴𝐴/‬‬ ‫𝐵‪= 𝜔̇⃗ × 𝑟 = 𝛼 × 𝑟 ⊥ 𝑟𝐴⁄‬‬

‫𝐵‪ 𝜔̇⃗ × 𝑟𝐴⁄‬شتاب مماسی‬

‫𝑛‬ ‫𝐵‪𝐴𝐴/‬‬ ‫𝜔=‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫𝐵‪⃗ × 𝑟) ∥ 𝑟𝐴⁄‬‬

‫𝜔 شتاب مرکزی‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫) 𝐵‪⃗ × 𝑟𝐴⁄‬‬

‫𝑉 ⊥ 𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝜔‪2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬

‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝜔‪ 2‬شتاب کریولیس‬ ‫𝑉× ⃗‬ ‫𝑙𝑒𝑟𝐴 شتاب نسبی نقطه ‪ A‬نسبت به دستگاه محلی )𝑦 ‪(𝑥 −‬‬

‫شتاب نسبی 𝑙𝑒𝑟𝐴 را به صورت زیر میتوان نوشت‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑡‬ ‫𝑙𝑒𝑟𝐴 = 𝑙𝑒𝑟𝐴‬ ‫𝑙𝑒𝑟𝐴 ‪+‬‬

‫‪2‬‬ ‫𝑙𝑒𝑟𝑉‬ ‫=‬ ‫𝜌‬

‫𝑛‬ ‫𝑙𝑒𝑟𝐴‬

‫𝑡‬ ‫𝑙𝑒𝑟𝐴‬ ‫̈𝑠 =‬

‫که در آن𝜌 شعاع انحنای مسیر در دستگاه مختصات واسطه )𝑦 ‪ (𝑥 −‬و 𝑠 فاصله اندازه گیری شده در طول مسیر ‪ A‬است‪.‬‬ ‫به طور خالصه فرمول سرعت و شتاب نقطه ‪ A‬نسبت به نقطه ‪ B‬در حالت کلی به صورت زیر است‪:‬‬

‫𝑉 = 𝐴⃗‬ ‫𝜔 ‪⃗𝐵 +‬‬ ‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉‬ ‫𝑉 ‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬

‫𝑙𝑒𝑟𝐴 ‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 +‬‬ ‫𝜔 ‪𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝜔̇⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 +‬‬ ‫𝜔× ⃗‬ ‫𝜔‪⃗ × 𝑟𝐴⁄𝐵 + 2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬

‫شتاب كريوليس معرف اختالف بین شتاب اندازه گيری شده ‪ A‬نسبت به ‪ B‬از دو دستگاه مختصات جهاني و‬ ‫دستگاه مختصات محلي است‪.‬‬ ‫نتيجه ‪ :1‬شتاب كريوليس ناشی از حركت نسبي است‪.‬‬ ‫نتيجه ‪ :2‬شتاب كريوليس برای هر عضو صلب صفر است زیرا در اجسام صلب فاصله بین هر دو نقطه همواره ثابت است‪.‬‬ ‫نتيجه ‪ :3‬شتاب كريوليس همواره عمود بر راستای سرعت نسبي است‪.‬‬ ‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉 ⊥ شتاب کریولیس‬ ‫نتيجه ‪ :4‬با معلوم شدن دياگرام سرعت‪ ،‬شتاب كريوليس قابل محاسبه است‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫شخصی را در نظر بگیریدکه روی یک چرخ و فلک ایستاده است که با سرعت زاویهای 𝜔 میکند‪ .‬در کدامیک از حاالت زیر‬ ‫حفظ تعادل شخص آسانتر است؟‬ ‫الف) شخص ثابت بایستد‪.‬‬ ‫ب) شخص با سرعت ثابت در مسیری دایرهای در جهت چرخش چرخ و فلک حرکت کند‪.‬‬ ‫ج) شخص با سرعت ثابت در مسیری دایرهای خالف جهت چرخش چرخ و فلک حرکت کند‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫(الف)‬

‫(ب)‬

‫(ج)‬

‫𝑙𝑒𝑟𝐴 ‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 +‬‬ ‫𝜔 ‪𝐴𝑃 = 𝐴𝑂 + 𝜔̇⃗ × 𝑟 +‬‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫𝜔‪⃗ × 𝑟 ) + 2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬

‫دستگاه مختصات واسطه در مرکز چرخ و فلک قرار داده شده است‪:‬‬ ‫‪𝐴𝑂 = 0‬‬ ‫𝑃𝑂 ⊥ 𝛼𝑟 = 𝑟 × ⃗̇𝜔‬ ‫𝜔‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫𝑃𝑂 ∥ ‪⃗ × 𝑟) = 𝑟𝜔2‬‬ ‫𝑃𝑂 ∥ 𝑙𝑒𝑟𝑉𝜔‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 = 2‬‬ ‫𝜔‪2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬ ‫‪ → 𝐴𝑟𝑒𝑙 = 0‬ثابت = 𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉‬

‫در هر سه حالت شتاب مماسی 𝛼𝑟 وجود دارد‪.‬‬ ‫در حالت (الف) تنها شتاب جانب مرکز ‪ 𝑟𝜔2‬وجود دارد‪.‬‬ ‫در حالت (ب) شتاب کریولیس 𝑙𝑒𝑟𝑉𝜔‪ 2‬نیز به شتاب جانب مرکز ‪ 𝑟𝜔2‬اضافه میشود‪.‬‬ ‫اما در حالت (ج) میتوان سرعت نسبی را به گونهای انتخاب کرد که شتاب جانب مرکز با شتاب کریولیس خنثی شود‪ .‬پس در‬ ‫حالت (ج) احتمال آن که شخص بتواند تعادل خود را بهتر حفظ نماید بیشتر است‪.‬‬

‫‪63‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫سرعت زاویهای دیسک ثابت و سرعت حرکت لغزنده در شیار ثابت است‪ .‬شتاب لغزنده ‪ A‬را محاسبه کنید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫دستگاه واسطه در ‪ O‬به دیسک متصل میشود‬

‫𝑙𝑒𝑟𝐴 ‪⃗ 𝑟𝑒𝑙 +‬‬ ‫𝜔 ‪𝐴𝐴 = 𝐴𝑂 + 𝜔̇⃗ × 𝑟 +‬‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫𝜔‪⃗ × 𝑟 ) + 2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬

‫‪ → 𝜔̇ = 0‬ثابت = 𝜔‬ ‫‪𝐴𝑂 = 0‬‬ ‫‪ → 𝐴𝑟𝑒𝑙 = 0‬ثابت = 𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉‬ ‫𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝜔 = 𝐴𝐴‬ ‫𝜔( × ⃗‬ ‫𝜔‪⃗ × 𝑟 ) + 2‬‬ ‫𝑉× ⃗‬ ‫̇𝑥 = 𝑙𝑒𝑟 ⃗‬ ‫𝑉‬ ‫𝑥=𝑟‬ ‫𝑗̇𝜔𝑥‪𝐴𝐴 = −𝑥𝜔2 𝑖 + 2‬‬

‫حاالت مختلف شتاب کریولیس برای مکانیزم زیر‬

‫‪64‬‬

‫حالت کلی حرکت نسبی دو جسم نسبت به هم در شکل زیر نشان داده شده است‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝑃‪𝐴𝑃3 = 𝐴𝑃2 + 𝐴𝑃3/‬‬

‫‪+ 𝐴𝑡𝑃2 + 𝐴𝑛𝑃3/𝑃2 + 𝐴𝑡𝑃3/𝑃2 + 2𝑉𝑃3/𝑃2 𝜔2‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃2‬‬

‫=‬

‫‪𝐴𝑡𝑃3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃3‬‬

‫مولفه شتاب کریولیس ) ‪ (2𝑉𝑃3/𝑃 𝜔2‬بخشی از شتاب نقطه ‪𝑃3‬‬

‫نسبت به ‪ 𝑃2‬است‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝑉𝑃22‬‬ ‫=‬ ‫𝑂 ‪∥ 𝑃2‬‬ ‫‪𝑂𝑃2‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃2‬‬

‫‪𝐴𝑡𝑃2 = 𝑂𝑃2 × 𝛼2‬‬

‫𝐶 ‪∥ 𝑃2‬‬

‫‪𝑉𝑃23/𝑃2‬‬ ‫𝑅‬

‫=‬

‫‪𝐴𝑛𝑃3/𝑃2‬‬

‫‪𝐴𝑡𝑃3/𝑃2 ⊥ 𝐴𝑛𝑃3/𝑃2‬‬

‫‪2𝑉𝑃3/𝑃2 𝜔2 ⊥ 𝑉𝑃3/𝑃2‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در مکانیزم برگشت سریع زیر عضو شماره ‪ 2‬محرک است که سرعت زاویهای آن معلوم و ثابت است‪ .‬سرعت و شتاب زاویهای‬ ‫ثابت = 𝑚𝑝𝑟 ‪𝜔2 = 9/5‬‬

‫عضو ‪ 4‬را بیابید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪9/5‬‬ ‫𝑠‪) = 0/995 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫‪60‬‬ ‫𝑠‪𝑉𝑃2 = (𝑂2 𝑃2 )𝜔2 = 0/151 𝑚/‬‬ ‫( 𝜋‪𝜔 2 = 2‬‬

‫از روی دیاگرام سرعت‪:‬‬

‫𝑠‪𝑉𝑃4 = 0/0742 𝑚/‬‬ ‫𝑠‪𝑉𝑃2/𝑃4 = 0/131 𝑚/‬‬ ‫‪𝑉𝑃4‬‬ ‫‪0/0742‬‬ ‫=‬ ‫𝑤𝑐𝑐 𝑠‪= 0/144 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫‪𝑂4 𝑃4‬‬ ‫‪0/514‬‬

‫حال باید شتاب ‪ 𝑃4‬محاسبه شود‪:‬‬ ‫‪65‬‬

‫= ‪𝜔4‬‬

‫‪𝐴𝑃4 = 𝐴𝑛𝑃2 + 𝐴𝑡𝑃2 + 𝐴𝑛𝑃4/𝑃2 + 𝐴𝑡𝑃4/𝑃2 + 2𝑉𝑃4/𝑃2 𝜔2‬‬

‫چون مسیر ‪ 𝑃4‬بر روی ‪ 𝑃2‬مشخص نیست شعاع انحنای مسیری که ‪ 𝑃4‬بر روی ‪ 𝑃2‬طی میکند نیز نامعلوم است در حالی که‬ ‫حرکت ‪ 𝑃2‬نسبت به ‪ 𝑃4‬یک خط مستقیم و در راستای میله ‪ 4‬است‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫𝑛𝐴 ‪+ 𝐴𝑡 = 𝐴𝑛 + 𝐴𝑡 +‬‬ ‫𝑡𝐴 ‪+‬‬ ‫𝑉‪+ 2‬‬ ‫‪𝑃2‬‬ ‫‪𝑃2 /𝑃4‬‬ ‫‪𝑃4‬‬ ‫‪𝑃4‬‬ ‫‪𝑃2 /𝑃4‬‬ ‫‪𝑃2 /𝑃4 𝜔4‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑉‪= 𝐴𝑛 + 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑡 ‪𝑡 +‬‬ ‫‪𝐴𝑃4 𝐴𝑃2/𝑃4‬‬ ‫‪𝑃4‬‬ ‫‪𝑃2 /𝑃4 𝜔4‬‬

‫‪‬‬

‫‪0/1512‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 0/15 𝑚/𝑠 2 ∥ 𝑃2 𝑂2‬‬ ‫‪𝑂2 𝑃2‬‬ ‫‪0/152‬‬ ‫‪𝑉𝑃22‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃2‬‬ ‫‪𝐴𝑛𝑃2‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃2‬‬

‫‪𝛼2 = 0 → 𝐴𝑡𝑃2 = 0‬‬ ‫‪𝑉𝑃24‬‬ ‫‪0/07422‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 0/0107 𝑚/𝑠 2 ∥ 𝑃4 𝑂4‬‬ ‫‪𝑂4 𝑃4‬‬ ‫‪0/514‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃4‬‬

‫‪𝐴𝑡𝑃4 = (𝑂4 𝑃4 )𝛼4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪=0‬‬

‫) ‪(𝑉𝑃2/𝑃4‬‬ ‫∞‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫) ‪(𝑉𝑃2/𝑃4‬‬ ‫𝑅‬

‫=‬

‫‪𝐴𝑛𝑃2/𝑃4‬‬

‫‪2𝑉𝑃2/𝑃4 𝜔2 = 2(0/131) × 0/144 = 0/0377 𝑚/𝑠 2 ⊥ 𝑉𝑃2/𝑃4‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃2/𝑃4 (⊥ 𝑉𝑃2/𝑃4 ) ∥ 2𝑉𝑃2/𝑃4 𝜔2‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃4 ⊥ 𝑂4 𝑃4‬‬

‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝐴𝑛𝑃2 = 𝐴𝑛𝑃4 + 2𝑉𝑃2/𝑃4 𝜔4 + 𝐴𝑡𝑃4 + 𝐴𝑡𝑃2/𝑃4‬‬

‫‪‬‬

‫از دیاگرام شتاب داریم‪:‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃4 = 0/0921 𝑚/𝑠 2‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃4‬‬ ‫‪0/0921‬‬ ‫= ‪𝛼4‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0/179 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2‬‬ ‫‪𝑂4 𝑃4‬‬ ‫‪0/514‬‬

‫‪66‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫سرعت زاویهای و شتاب زاویهای عضو ‪ 2‬معلوم هستند‪ .‬شتاب زاویهای عضو ‪ 4‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫‪ C‬مرکز انحنای منحنی خارجی بادامک میباشد‪.‬‬ ‫𝑠‪𝜔2 = 5 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫‪𝛼2 = 2/5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2‬‬

‫حل‪:‬‬

‫𝑠‪𝑉𝑃2 = (𝑂2 𝑃2 )𝜔2 = 0/0833 × 5 = 0/417 𝑚/‬‬ ‫‪𝑉𝑃2 ⊥ 𝑂2 𝑃2‬‬

‫‪⊥ 𝑂4 𝑃4‬‬

‫𝑠‪𝑉𝑃4 = 0/213 𝑚/‬‬ ‫𝑠‪𝑉𝑃4/𝑃2 = 0/533 𝑚/‬‬

‫چون نقطه تماس غلتک با بادامک سرعت صفر ندارد (سرعت نقطه تماس = ‪ )𝑂2 𝐷 × 𝜔2‬پس این سرعت عمود بر 𝐷 ‪𝑃2‬‬ ‫𝐴‪𝑉𝑃2 = 𝑉𝐴 + 𝑉𝑃2/‬‬

‫نیست بلکه عمود است بر ‪)𝑂2 𝑃2‬‬

‫‪𝑉𝑃4‬‬ ‫‪0/213‬‬ ‫=‬ ‫𝑤𝑐 𝑠‪= 1/12 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫‪𝑂4 𝑃4 0/191‬‬

‫حال باید شتاب ‪ 𝑃4‬محاسبه شود‪:‬‬

‫= ‪𝜔4‬‬

‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−  ‬‬ ‫𝑛𝐴 ‪+ 𝐴𝑡 = 𝐴𝑛 + 𝐴𝑡 +‬‬ ‫𝑡𝐴 ‪+‬‬ ‫𝑉‪+ 2‬‬ ‫‪𝑃4‬‬ ‫‪𝑃2‬‬ ‫‪𝑃2‬‬ ‫‪𝑃4 /𝑃2‬‬ ‫‪𝑃4 /𝑃2‬‬ ‫‪𝑃4 /𝑃2 𝜔2‬‬ ‫‪67‬‬

‫‪‬‬ ‫‪𝐴𝑛𝑃4‬‬

‫‪0/2132‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 0/238 𝑚/𝑠 2 ∥ 𝑃4 𝑂4‬‬ ‫‪𝑂4 𝑃4‬‬ ‫‪0/191‬‬ ‫‪𝑉𝑃24‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃4‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃2 = (𝑂2 𝑃2 )𝜔22 = 0/0833(5)2 = 2/08 𝑚/𝑠 2 ∥ 𝑃2 𝑂2‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃2 = (𝑂2 𝑃2 )𝛼2 = 0/0833(2/5) = 0/208 𝑚/𝑠 2 ⊥ 𝐴𝑛𝑃2‬‬ ‫‪𝑉𝑃24/𝑃2‬‬

‫‪0/5332‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝐶 ‪= 2/06 𝑚/𝑠 2 ∥ 𝑃4‬‬ ‫‪𝐶𝑃2‬‬ ‫‪0/119 + 0/019‬‬

‫‪𝐴𝑛𝑃4/𝑃2‬‬

‫‪2𝑉𝑃4/𝑃2 𝜔2 = 2(0/533)5 = 5/33 𝑚/𝑠 2 ∥ 𝐶𝑃4‬‬

‫‪𝐴𝑡𝑃4 ⊥ 𝐴𝑛𝑃4‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃4/𝑃2 ⊥ 𝐴𝑛𝑃4/𝑃2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−  ‬‬ ‫‪𝐴𝑛𝑃4 + 𝐴𝑡𝑃4 = 𝐴𝑛𝑃2 + 𝐴𝑡𝑃2 + 𝐴𝑛𝑃4/𝑃2 + 2𝑉𝑃4/𝑃2 𝜔2 + 𝐴𝑡𝑃4/𝑃2‬‬

‫‪‬‬

‫مقادیر ‪ 𝐴𝑡𝑃4‬و ‪ 𝐴𝑡𝑃4/𝑃2‬مجهول هستند‪.‬‬

‫‪ 𝐴𝑡𝑃4‬و ‪ 𝐴𝑡𝑃4/𝑃2‬توجه به دیاگرام شتاب قابل محاسبه هستند‪.‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃4 = 1/97 𝑚/𝑠 2 ⊥ 𝑃4 𝑂4‬‬ ‫‪𝐴𝑡𝑃4‬‬ ‫‪1/97‬‬ ‫= ‪𝛼4‬‬ ‫=‬ ‫𝑤𝑐 ‪= 10/3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2‬‬ ‫‪𝑂4 𝑃4 0/191‬‬

‫‪68‬‬

‫چرخدندهها‬ ‫تماس غلتشی‬

‫(ب)‬

‫(الف)‬ ‫در شکل الف دو استوانه در خالف جهت یکدیگر حرکت میکنند‪.‬‬

‫‪𝜔2 𝑅3‬‬ ‫=‬ ‫‪𝜔3 𝑅2‬‬

‫→ ‪𝑉𝑃2 = 𝑉𝑃3 → 𝑅2 𝜔2 = 𝑅3 𝜔3‬‬

‫در شکل ب دو استوانه به صورت هم جهت حرکت میکنند‪.‬‬ ‫در دو شکل باال قدرت قابل انتقال توسط اعضای غلتشی محدود به اصطکاک بین دو سطح در تماس است‪.‬‬ ‫اگر بار بیشتر از حد مجاز باشد‪ ،‬لغزش اتفاق میافتد و برای اطمینان از ایجاد حرکت و جلوگیری از لغزش روی سطوح‬ ‫دندانه تعبیه میشود که به این مکانیزم چرخدنده گفته میشود‪.‬‬

‫کاربرد‪:‬‬ ‫از چرخدنده در موارد زیر استفاده میشود‪:‬‬ ‫‪ ‬انتقال حرکت دورانی یک شفت به شفت دورانی دیگر‬ ‫‪ ‬انتقال حرکت دورانی یک شفت به عضوی که دارای حرکت انتقالی است‬

‫𝑃 نقطه تقاطع قائم مشترک )𝑁 ‪ (𝑁 −‬با خط المرکزین دو دایره ) ‪ (𝑂2 𝑂3‬است‪.‬‬ ‫‪69‬‬

‫دایره گذرنده از نقطه ‪ P‬دایره گام نامیده میشود‪.‬‬ ‫پینیون )‪ (Pinion‬کوچکترین چرخدنده از دو چرخدنده درگیر است‪.‬‬ ‫چرخدنده )‪ (Gear‬بزرگترین چرخدنده از دو چرخدنده درگیر است‪.‬‬

‫‪𝜔2 𝐷3 𝑁3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝜔3 𝐷2 𝑁2‬‬

‫‪ 𝐷2‬و ‪ 𝐷3‬قطرهای دو چرخدنده‬ ‫‪ 𝑁2‬و ‪ 𝑁3‬تعداد دندانههای دو چرخدنده‬

‫نکته‪ :‬نسبت سرعت زاویهای یک جفت چرخدنده برابر است با عکس نسبت قطرهای دو چرخدنده یا عکس نسبت‬ ‫دندانههای دو چرخدنده‬

‫انواع چرخدنده‬

‫چرخدنده ساده‬

‫چرخدنده مارپیچ موازی‬

‫چرخدنده مارپیچ متقاطع‬ ‫چرخدنده حلزونی‬

‫چرخدنده مخروطی‬

‫چرخدنده هیپوئید‬ ‫‪70‬‬

‫‪ ‬در چرخدنده معمولی ساده نیرو به سطح دنده و در تمام عرض آن وارد میشود‬ ‫‪ ‬در چرخدندههای مارپیچی‪ ،‬نیرو به تدریج به عرض دندانه وارد میشود و این چرخدندهها به مراتب آرامتر و‬ ‫نرمتر کار میکنند‬ ‫‪ ‬چرخدندههای حلزونی برای تامین نسبت سرعت زاویهای باال بین دو شفت غیرموازی (معموالً عمود بر هم)‬ ‫به کار میروند‪ .‬به دلیل تماس خطی این مجموعه چرخدنده قادر است نیروی زیادی را منتقل کند‪.‬‬

‫𝑔𝐷‬ ‫𝑔𝑁 𝑤𝜔‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝑤𝐷 𝑤𝑁 𝑔𝜔‬

‫‪ ‬چرخدندههای مخروطی برای انتقال قدرت بین دو شفت دارای محورهای متقاطع به کار میروند‬

‫رشته چرخدندهها‬ ‫یک رشته چرخدنده ترکیبی است از دو یا چند چرخدنده درگیر که حرکت را از شفتی به شفت دیگر منتقل میکند‪.‬‬ ‫‪ ‬در رشته چرخدنده معمولی‪ ،‬محور چرخدندهها نسبت به بدنه ثابت است‪.‬‬ ‫‪ ‬رشته چرخدنده معمولی به دو دسته ساده و مرکب تقسیم میشود‪:‬‬ ‫‪ ‬در رشته چرخدنده ساده‪ ،‬هر شفت دارای یک چرخدنده است (شکل الف)‪.‬‬

‫‪ ‬رشته چرخدنده مرکب‪ ،‬از جفت چرخدندههای مرکب تشکیل شده است که این جفتها دارای محور‬ ‫مشترک هستند (شکل ب)‪.‬‬

‫رشته چرخدنده ساده‬

‫(شکل الف)‬ ‫𝐸𝑁 𝐷𝜔‬ ‫=‬ ‫𝐷𝑁 𝐸𝜔‬

‫𝐶𝑁 𝐵𝜔‬ ‫=‬ ‫𝐵𝑁 𝐶𝜔‬

‫𝐷𝑁 𝐶𝜔‬ ‫=‬ ‫𝐶𝑁 𝐷𝜔‬

‫سرعت زاویه ای اولین چرخدنده‬ ‫سرعت زاویه ای آخرین چرخدنده‬

‫𝐵𝑁 𝐴𝜔‬ ‫=‬ ‫𝐴𝑁 𝐵𝜔‬

‫= 𝑅𝑉 = نسبت سرعت یک رشته چرخدنده ساده‬ ‫𝐷𝜔 𝐶𝜔 𝐵𝜔 𝐴𝜔 𝐴𝜔‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫𝐸𝜔 𝐷𝜔 𝐶𝜔 𝐵𝜔 𝐸𝜔‬

‫= 𝑅𝑉‬

‫𝐸𝑁 𝐸𝑁 𝐷𝑁 𝐶𝑁 𝐵𝑁‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫𝐴𝑁 𝐷𝑁 𝐶𝑁 𝐵𝑁 𝐴𝑁‬

‫= 𝑅𝑉‬

‫در صورتی که جهت چرخش اولین و آخرین چرخدنده یکی باشد‬

‫‪𝑉𝑅 > 0‬‬

‫در صورتی که جهت چرخش اولین و آخرین چرخدنده مخالف هم باشد‬

‫‪𝑉𝑅 < 0‬‬

‫‪71‬‬

‫قرارداد‪ :‬از عالمت مثبت برای چرخش پادساعتگرد و از عالمت منفی برای چرخش ساعتگرد استفاده میشود‪.‬‬

‫نکته‪ :‬رابطه باال بیانگر آن است که نسبت سرعت در یک رشته چرخدنده تنها به تعداد دندانههای چرخدندههای اول و‬ ‫آخر بستگی دارد‪ .‬به چرخدندههای میانی‪ ،‬چرخدنده هرزگرد گفته میشود‪.‬‬ ‫‪ ‬از چرخدنده هرزگرد برای تغییر جهت چرخش استفاده میشود‪.‬‬

‫رشته چرخدنده مرکب‬

‫(شکل ب)‬ ‫در رشته چرخدنده مرکب نسبت سرعت به صورت زیر تعریف میشود‪:‬‬ ‫حاصلضرب تعداد دندانه چرخهای متحرک‬ ‫حاصلضرب تعداد دندانه چرخهای محرک‬

‫= 𝑅𝑉‬

‫)‪(−50) × 40 × (−36‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪30 × (−20) × 18‬‬ ‫‪3‬‬

‫= 𝑅𝑉‬

‫‪ ‬مزیت رشته چرخدنده مرکب در مقایسه با رشته چرخدنده ساده این است که میتوان ضمن استفاده از‬ ‫چرخدندههای کوچک تقلیل سرعت قابل توجهی از اولین چرخدنده به آخرین چرخدنده به دست میآید‪.‬‬ ‫‪ ‬برای تقلیل سرعت زیاد در رشته چرخدنده ساده‪ ،‬آخرین چرخدنده باید خیلی بزرگ باشد‪.‬‬

‫اولین𝐷‬ ‫آخرین𝐷‬

‫‪ ‬معموالً در تقلیل سرعتهای بیشتر از هفت به یک از رشته چرخدنده مرکب استفاده میشود‪.‬‬

‫جعبه دنده خودرو‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫در وضعیت نشان داده شده‪ ،‬موتور در حالت خالص است‪.‬‬ ‫چرخدنده ‪ A‬توسط موتور به گردش در میآید‪.‬‬ ‫چرخدندههای ‪ F ،E ،D‬و ‪ G‬با هم گردش میکنند‪.‬‬ ‫چرخدنده ‪ H‬هرزگرد است‬ ‫چرخدندههای ‪ B‬و ‪ C‬میتوانند به صورت محوری جابجا شوند‬ ‫‪72‬‬

‫=‬

‫آخرین𝜔‬ ‫اولین𝜔‬

‫حالت دوم‬

‫حالت اول‬

‫‪ ‬در اولین حالت (سرعت پایین) چرخدنده ‪ C‬به سمت چپ جابجا شده و با ‪ F‬درگیر میشود‪:‬‬ ‫‪𝜔𝐴 (−31) × 27‬‬ ‫= 𝑅𝑉‬ ‫=‬ ‫‪= 3/32‬‬ ‫)‪𝜔𝐶 14 × (−18‬‬ ‫‪ ‬در دومین حالت (سرعت متوسط) چرخدنده ‪ B‬به راست منتقل شده و با ‪ E‬درگیر میشود‪:‬‬ ‫‪𝜔𝐴 (−31) × 20‬‬ ‫= 𝑅𝑉‬ ‫=‬ ‫‪= 1/77‬‬ ‫)‪𝜔𝐵 14 × (−25‬‬

‫حالت سوم‬

‫حالت چهارم‬

‫‪73‬‬

‫‪ ‬در سومین حالت (سرعت زیاد) چرخدنده ‪ B‬به چپ جابجا میشود تا دندههای کالچ با دندههای چرخدنده ‪ A‬درگیر‬ ‫شوند‪ .‬در این وضعیت حرکت دورانی مستقیماً از موتور به چرخها منتقل میشود‪:‬‬ ‫‪𝑉𝑅 = 1‬‬

‫‪ ‬در حالت دنده عقب‪ ،‬چرخدنده ‪ C‬به سمت راست میرود تا با ‪ H‬درگیر شود (‪ H‬برای ‪ G‬متحرک و برای ‪ C‬محرک‬ ‫است)‪:‬‬ ‫)‪(−31) × 14 × (−27‬‬ ‫= 𝑅𝑉‬ ‫‪= −4/27‬‬ ‫‪14 × (−14) × 14‬‬

‫رشته چرخدندههای خورشیدی یا اپی سیکلیک‬ ‫‪ ‬در این رشته‪ ،‬محور یک یا چند چرخدنده نسبت به بدنه متحرک میباشد‪.‬‬ ‫‪ ‬به چرخدنده وسط‪ ،‬چرخدنده خورشیدی گفته میشود‪.‬‬ ‫‪ ‬به چرخدندههایی که محور متحرک دارند‪ ،‬چرخدنده سیارهای گفته میشود‪.‬‬

‫(شکل ب)‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫(شکل الف)‬ ‫در شکل (الف) بازو در مفصل ‪ O‬به بدنه لوال شده است و چرخدنده ‪ A‬طوری به بازو وصل شده است که نمیتواند‬ ‫نسبت به آن دوران نماید‪.‬‬ ‫هرگاه یک فلش رسم شده بر روی جسم‪ ،‬تماماً ‪ 360‬درجه دوران کند‪ ،‬بدین معنی است که آن جسم یک دور زده‬ ‫است (مثل فلش روی چرخدنده ‪ A‬در شکل الف)‪.‬‬ ‫با یک دور دوران پادساعتگرد بازو حول ‪ ،O‬چرخدنده ‪ A‬نیز ‪ 360‬درجه در جهت پادساعتگرد گردش میکند پس‬ ‫یک دور زده است‪.‬‬ ‫در شکل (ب) قطر چرخدنده ‪ B‬دو برابر چرخدنده ‪ A‬است‪ B .‬ثابت بوده و ‪ A‬به بازو لوال شده است‪.‬‬ ‫𝐴𝑅‪𝑅𝐵 = 2‬‬ ‫با یک دور دوران پادساعتگرد بازو حول ‪ ،O‬چرخدنده ‪ A‬سه دور پادساعتگرد خواهد زد‪ .‬زیرا اگر ‪ A‬به بازو ثابت شود‬ ‫و ‪ A‬و ‪ B‬دندانه نداشته باشند و بتوانند روی هم بلغزند‪ ،‬مثل حالت قبل‪ A ،‬یک دور پادساعتگرد خواهد زد‪ .‬اما چون‬ ‫‪ A‬روی ‪ B‬میغلتد‪ ،‬محیط ‪ A‬دو بار هم روی محیط ‪ B‬میتواند باز شود پس ‪ A‬در مجموع ‪ 3‬دور پادساعتگرد خواهد‬ ‫زد (طبق اصل برهمنهی)‪ .‬یا‪:‬‬ ‫𝑚𝑟𝑎𝜔 𝐴𝑅‪𝑉𝑐 = (𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 )𝜔𝑎𝑟𝑚 = 3‬‬ ‫چون نقطه تماس دو چرخدنده مرکز آنی دوران ‪ A‬است‪:‬‬ ‫‪74‬‬

‫𝐴𝜔 𝐴𝑅 = 𝑐𝑉‬

‫𝑚𝑟𝑎𝜔‪→ 𝜔𝐴 = 3‬‬ ‫از اصل برهمنهی و به کمک جدول زیر میتوان سرعت زاویهای سایر اعضا را محاسبه نمود‪.‬‬ ‫‪ .1‬تمامی اعضای تشکیل دهنده مجموعه را در سطر باالیی جدول قرار میدهیم‪.‬‬ ‫‪ .2‬ابتدا فرض می کنیم مجموعه قفل بوده (تمام اعضا به بازو جوش شده باشند) و بازو را یک دور کامل پادساعتگرد‬ ‫میچرخانیم‪.‬‬ ‫‪ .3‬حال فرض میکنیم بازو قفل نبوده و با ثابت نگه داشتن بازو ‪ B‬را یک دور در جهت منفی میچرخانیم تا درمجموع‬ ‫دوران کلی ‪ B‬صفر شود زیرا ‪ B‬ثابت است‪.‬‬ ‫چرخدنده ‪ B‬چرخدنده ‪ A‬بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬ ‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬ ‫𝐵𝑁‬ ‫‪= +2‬‬ ‫𝐴𝑁‬

‫‪−1‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ +1‬مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت‬ ‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ B‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در رشته چرخدنده خورشیدی نشان داده شده در شکل‪ ،‬چرخدنده ‪ A‬به شفت محرک ثابت شده است و ‪ C‬یک حلقه‬ ‫دندانهدار داخلی است که ثابت است‪ .‬بازو به شفت متحرک مستقیماً متصل است‪ .‬نسبت دور چرخدندههای ‪ A‬و ‪ B‬را بیابید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫چرخدنده ‪ C‬چرخدنده ‪B‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪105‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−‬‬

‫چرخدنده ‪A‬‬

‫بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬

‫‪+1‬‬

‫‪ +1‬مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت‬

‫‪105 −45‬‬ ‫×‬ ‫‪= +7‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪+8‬‬

‫‪−‬‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ C‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬ ‫‪𝜔𝐴 +8‬‬ ‫=‬ ‫‪= −6‬‬ ‫‪𝜔𝐵 − 4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪75‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در رشته چرخدنده خورشیدی نشان داده شده در شکل‪ ،‬چرخدنده ‪ C‬به شفت محرک متصل شده است و چرخدنده ‪ A‬ثابت‬ ‫است‪ .‬بازو به شفت متحرک مستقیماً متصل است‪ .‬نسبت دور چرخدندههای ‪ C‬و ‪ B‬را بیابید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫چرخدنده ‪ C‬چرخدنده ‪ B‬چرخدنده ‪ A‬بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬ ‫‪+1‬‬

‫‪15 45‬‬ ‫×‬ ‫‪45 105‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ +1‬مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت‬

‫‪+1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ A‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬ ‫‪8‬‬

‫‪𝜔𝐶 + 7 6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪𝜔𝐵 + 4 7‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در رشته چرخدنده خورشیدی نشان داده شده در شکل‪،‬‬ ‫چرخدنده ‪ A‬محرک و چرخدندههای ‪ B‬و ‪ D‬مرکب هستند‬ ‫یعنی به یکدیگر متصل شدهاند‪ .‬چرخدندههای ‪ C‬و ‪E‬‬ ‫چرخدندههای داخلی بوده و ‪ C‬ثابت است‪ .‬نسبت سرعتهای‬ ‫بازو و چرخدندههای ‪ D ،B‬و ‪ E‬را محاسبه کنید‪.‬‬

‫‪76‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫چرخدنده ‪ E‬چرخدنده ‪ D‬چرخدنده ‪ C‬چرخدنده ‪ B‬چرخدنده ‪ A‬بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬ ‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪140‬‬ ‫‪140 40‬‬ ‫‪−‬‬ ‫×‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60 120‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪+‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪ +1‬مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت‬

‫‪0 + 140 × 60 − 140‬‬ ‫‪60 20‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+8‬‬

‫‪−‬‬

‫بازو ثابت و ‪ C‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬ ‫‪𝜔𝑎𝑟𝑚 1‬‬ ‫=‬ ‫𝐴𝜔‬ ‫‪8‬‬ ‫‪𝜔𝐵 𝜔𝐷 − 4⁄3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=−‬‬ ‫𝐴𝜔 𝐴𝜔‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝜔𝐸 + ⁄9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪=+‬‬ ‫𝐴𝜔‬ ‫‪8‬‬ ‫‪36‬‬

‫مجموعههای اپی سیکلیک یا خورشیدی با دو ورودی‬ ‫بنا بر قانون جمع آثار )‪ ،(Superposition‬تعداد دور شفت خروجی برابر است با تعداد دور خروجی به ازای دور ورودی ‪ 1‬به‬ ‫اضافه تعداد دور خروجی به ازای دور ورودی ‪2‬‬ ‫𝑜𝑛‬ ‫) (‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫⏟‬

‫× ‪+ 𝑛2‬‬

‫𝑜𝑛‬ ‫) (‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫⏟‬

‫ورودی ‪ 1‬ثابت نگاه داشته شده‬

‫ورودی ‪ 2‬ثابت نگاه داشته شده‬

‫𝐼𝐼‬

‫𝐼‬

‫× ‪𝑛𝑜 = 𝑛1‬‬

‫𝑜𝑛 تعداد دورهای خروجی‬ ‫‪ 𝑛1‬تعداد دورهای ورودی ‪1‬‬ ‫‪ 𝑛2‬تعداد دورهای ورودی ‪2‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل نشان داده شده‪ 𝑛1 = +120 𝑟𝑝𝑚 ،‬و 𝑚𝑝𝑟 ‪ 𝑛2 = −360‬است‪ .‬سرعت و جهت گردش شفت خروجی را بیابید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫برای قسمت ‪ I‬جدول زیر را تشکیل میدهیم‪ .‬با ثابت نگه‬ ‫داشتن شفت ورودی ‪ 2‬چرخدندههای ‪ B‬و ‪ C‬ثابت خواهند‬ ‫بود و سایر اجزای مجموعه همانند یک رشته چرخدنده‬ ‫خورشیدی که در آن بازو محرک بوده و چرخدنده ‪ C‬عضو‬ ‫ثابت آن است عمل مینماید‪ .‬با توجه به جدول‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫𝑜𝑛‬ ‫𝐹𝑛‬ ‫‪5‬‬ ‫=) (‬ ‫=‬ ‫‪=+‬‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫𝑚𝑟𝑎𝑛‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⏟‬ ‫ورودی ‪ 2‬ثابت نگاه داشته شده‬

‫‪77‬‬

‫چرخدنده ‪ F‬چرخدنده ‪ D‬و ‪E‬چرخدنده ‪ C‬بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬ ‫‪+1‬‬

‫‪48 36‬‬ ‫×‬ ‫‪24 108‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+1‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪48‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪ +1‬مجموعه قفل و بازو یک دور مثبت‬

‫‪+1‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ C‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬

‫با ثابت نگه داشتن ورودی ‪ ،1‬سایر اجزای مجموعه مانند یک رشته چرخدنده معمولی عمل مینمایند‪ .‬لذا نیازی به جدول‬ ‫نیست‪:‬‬ ‫𝑜𝑛‬ ‫𝐹𝑛‬ ‫‪20 −48 36‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) (‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫‪=+‬‬ ‫‪𝑛𝐴 −32‬‬ ‫‪24 108‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪⏟𝑛2‬‬ ‫ورودی ‪ 1‬ثابت نگاه داشته شده‬

‫چون چرخدندههای ‪ F‬و ‪ A‬هر دو در یک جهت میچرخند‪ ،‬عالمت مثبت است‪:‬‬ ‫𝑜𝑛‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫× ‪+ 𝑛2‬‬ ‫) (‬ ‫‪= + 𝑛1 + 𝑛2‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫⏟‬

‫𝑜𝑛‬ ‫) (‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫⏟‬

‫ورودی ‪ 1‬ثابت نگاه داشته شده‬

‫ورودی ‪ 2‬ثابت نگاه داشته شده‬

‫𝐼𝐼‬

‫𝐼‬

‫× ‪𝑛𝑜 = 𝑛1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪𝑛𝑜 = + (+120) + (−360) = +200 − 150 = +50‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬

‫رشته چرخدندههای مخروطی اپی سیکلیک‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل نشان داده شده‪ ،‬چرخدنده ‪ A‬محرک و چرخدنده ‪ E‬متحرک است‪ .‬چرخدنده ‪ C‬ثابت بوده و چرخدندههای ‪ B‬و ‪D‬‬

‫مرکب میباشند که بر روی بازو آزادانه گردش مینمایند‪ .‬تعداد دورهای چرخدندههای ‪ A‬و ‪ E‬را محاسبه نمایید‪.‬‬

‫‪78‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫چرخدنده ‪ E‬چرخدنده ‪ D‬چرخدنده ‪ C‬چرخدنده ‪ B‬چرخدنده ‪ A‬بازو اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬ ‫‪+1‬‬

‫‪80 30‬‬ ‫×‬ ‫‪64 40‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪+1‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪80‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+1‬‬

‫مجموعه قفل و بازو یک دور‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ C‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬

‫‪ ‬در جدول باال در ستون مربوط به چرخدندههای مخروطی که محورشان موازی محورهای محرک و متحرک‬ ‫نمیباشند‪ ،‬چیزی نوشته نمیشود‪ .‬زیرا برای این چرخدندهها جهتهای ساعتگرد و پادساعتگرد معنا ندارد‪.‬‬ ‫‪ ‬چرخدنده ‪ B‬هرزگرد میباشد‪.‬‬

‫دیفرانسیل چرخدنده مخروطی‬ ‫چرخهای خودرو با سرعتهای مختلف مخصوصاً در سر پیچها میگردند‪ .‬همانطور که در شکل مشخص است چرخی که به‬ ‫مرکز پیچ نزدیکتر است مسافت کمتری را نسبت به چرخ دیگر طی میکند‪ .‬بنابراین چرخی که مسافت کمتر طی میکند‬ ‫دارای سرعت دورانی کمتری است و چرخ دورتر باید با سرعت بیشتر دوران نماید‪.‬‬

‫نما از باالی ‪B‬‬ ‫‪79‬‬

‫در شکل باال چرخدندههای ‪ A‬و ‪ C‬هم اندازه میباشند‪ .‬اگر چرخدنده ‪ C‬را ثابت در نظر بگیریم و سرعت نقطه تماس‬ ‫چرخدندههای ‪ A‬و ‪ B‬برابر ‪ V‬باشد‪:‬‬ ‫𝑉‬ ‫𝑅‬

‫= 𝐴𝜔‬

‫آنگاه از آنجا که ‪ bc‬مرکز آنی چرخدندههای ‪ B‬و ‪ C‬است‪ ،‬سرعت مرکز چرخ ‪ B‬را که میتوان آن را به عنوان نقطهای واقع بر‬ ‫𝑉‬

‫امتداد بازو هم دانست برابر ‪ 2‬خواهد بود‪:‬‬

‫𝑉‬ ‫𝑅‪2‬‬ ‫به همین ترتیب اگر چرخدنده ‪ A‬را ثابت در نظر بگیریم و سرعت نقطه تماس چرخدندههای ‪ A‬و ‪ C‬برابر ‪ 𝑉′‬باشد آنگاه‬ ‫= بازو𝜔‬

‫سرعت مرکز چرخ ‪ B‬برابر‬

‫‪𝑉′‬‬

‫‪2‬‬

‫بوده و خواهیم داشت‪:‬‬

‫‪𝑉′‬‬ ‫𝑅‬ ‫‪𝑉′‬‬ ‫= بازو𝜔‬ ‫𝑅‪2‬‬ ‫= 𝐶𝜔‬

‫𝑉‬

‫حال اگر دو چرخدنده ‪ A‬و ‪ C‬با هم بچرخند‪ ،‬بسته به جهت حرکت ‪ A‬و ‪ C‬سرعت ‪ 2‬با‬ ‫بنابراین‪:‬‬

‫‪𝑉′‬‬

‫‪2‬‬

‫جمع شده یا از آن کم میشود‪.‬‬

‫بازو𝜔‪𝜔𝐴 + 𝜔𝐶 = 2‬‬

‫اگر 𝐴𝜔 و 𝐶𝜔 از نظر مقدار و جهت یکسان باشند‪:‬‬

‫‪𝑉 ⁄2 + 𝑉′⁄2‬‬ ‫بازو𝜔 =‬ ‫𝑅‬ ‫𝐶𝜔 𝐴𝜔‬ ‫‪+‬‬ ‫→ بازو𝜔 =‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫بازو𝜔 = 𝐶𝜔 = 𝐴𝜔‬

‫اگر 𝐴𝜔 و 𝐶𝜔 از نظر مقدار یکسان بوده ولی در خالف جهت یکدیگر باشند‪:‬‬ ‫‪ = 0‬بازو𝜔‬

‫اگر بازو𝜔 ثابت باشد‪ ،‬با افزایش 𝐴𝜔 آنگاه 𝐶𝜔 به همان مقدار باید کاهش یابد‪ .‬بنابراین چرخ دورتر باید با سرعت بیشتری‬ ‫نسبت به چرخ نزدیکتر دوران نماید که این اتفاق توسط دیفرانسیل خواهد افتاد‪.‬‬

‫دیفرانسیل چرخدنده مخروطی مورد استفاده در اتومبیلها‬ ‫‪80‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل زیر شفت متصل به بازو‪ ،‬شفت خروجی است‪ .‬به ازای یک دور گردش شفت پایینی‪ ،‬یعنی شفت حاوی چرخدندههای‬ ‫‪ A‬و ‪ H‬به صورت پادساعتگرد‪ ،‬شفت خروجی چند دور و در چه جهتی گردش خواهد نمود؟‬

‫حل‪:‬‬ ‫چرخش بازو را میتوان ترکیبی از دو حالت زیر در نظر گرفت‪:‬‬ ‫‪ ‬در حالت اول فرض میشود که ‪ D‬ثابت است‪.‬‬ ‫‪ ‬در حالت دوم فرض میشود که ‪ F‬ثابت است‪.‬‬ ‫𝑚𝑟𝑎𝑛‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝐷𝑛 ⏟‬

‫𝑚𝑟𝑎𝑛‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝐹𝑛 ⏟‬

‫× 𝐷𝑛 ‪+‬‬

‫× 𝐹𝑛 = 𝑚𝑟𝑎𝑛 = 𝑜𝑛‬

‫𝐹 ثابت نگاه داشته شده‬

‫𝐷 ثابت نگاه داشته شده‬

‫𝐼𝐼‬

‫𝐼‬

‫در حالت اول‪:‬‬ ‫𝐻𝑛 = 𝐴𝑛‬ ‫𝐻𝑁 𝐺𝑛‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫× 𝐴𝑛‪= − → 𝑛𝐺 = −‬‬ ‫𝐺𝑁 𝐻𝑛‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫× 𝐴𝑛‪𝑛𝐹 = 𝑛𝐺 = −‬‬

‫‪F‬و‪G‬‬

‫‪C‬و‪D‬‬

‫‪A‬و‪H‬‬

‫بازو‬

‫اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫مجموعه قفل و بازو یک دور‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ D‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬

‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫𝑚𝑟𝑎𝑛‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪35‬‬ ‫( 𝐹𝑛‬ ‫× ) × 𝐴𝑛‪)| = (−‬‬ ‫× 𝐴𝑛‪= −‬‬ ‫‪4 +6‬‬ ‫‪24‬‬ ‫𝐹𝑛 ⏟‬

‫‪5‬‬

‫‪81‬‬

‫𝐷‬

‫در حالت دوم‪:‬‬

‫𝐴𝑁 𝐶𝑛‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫× 𝐴𝑛 = 𝐶𝑛 →‬ ‫𝐶𝑁 𝐴𝑛‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫× 𝐴𝑛 = 𝐶𝑛 = 𝐷𝑛‬

‫‪F‬و‪G‬‬

‫‪C‬و‪D‬‬

‫‪A‬و‪H‬‬

‫بازو‬

‫اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫مجموعه قفل و بازو یک دور‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ F‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬

‫‪−1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪30 50‬‬ ‫×‬ ‫‪40 10‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫𝑚𝑟𝑎𝑛‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( 𝐷𝑛‬ ‫× 𝐴𝑛 = ) ( × ) × 𝐴𝑛( = |)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫𝐷𝑛 ⏟‬ ‫𝐹‬

‫‪35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪89‬‬ ‫𝐴𝑛 ‪+ 𝑛𝐴 × = −‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪72‬‬

‫× 𝐴𝑛‪= −‬‬

‫𝑚𝑟𝑎𝑛‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝐷𝑛 ⏟‬

‫× 𝐷𝑛 ‪+‬‬

‫𝐹 ثابت نگاه داشته شده‬ ‫𝐼𝐼‬

‫طبق رابطه باال به ازای یک دور پادساعتگرد شفت ورودی‪ ،‬شفت خروجی‬

‫‪82‬‬

‫𝑚𝑟𝑎𝑛‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝐹𝑛 ⏟‬

‫× 𝐹𝑛 = 𝑚𝑟𝑎𝑛 = 𝑜𝑛‬

‫𝐷 ثابت نگاه داشته شده‬ ‫𝐼‬

‫‪89‬‬ ‫‪72‬‬

‫دور به صورت ساعتگرد خواهد چرخید‪.‬‬

‫نیروهای اینرسی و توازن‬ ‫اگر سرعت زاویهای و شتاب زاویهای یک جسم صلب یعنی 𝜔 و 𝛼 معلوم باشند و شتاب یک نقطه از جسم را بدانیم آنگاه‬ ‫شتاب هر نقطه دیگر از جسم قابل محاسبه است‪:‬‬

‫𝐵‪𝐴⃗𝐶 = 𝐴⃗𝐵 + 𝐴⃗𝑛𝐶/𝐵 + 𝐴⃗𝑡𝐶/‬‬ ‫‪𝐴⃗𝑛𝐶/𝐵 = (𝐵𝐶)𝜔2‬‬ ‫𝛼)𝐶𝐵( = 𝐵‪𝐴⃗𝑡𝐶/‬‬

‫⃗𝑎𝑚 = ⃗⃗‬ ‫‪∑F‬‬ ‫𝛼 𝐼 = 𝐺⃗⃗⃗‬ ‫𝐻 = ⃗̅‬ ‫∙𝐺⃗⃗‬ ‫‪∑ ⃗M‬‬

‫‪ ‬هرگاه جسمی تحت تاثیر یک مجموعه نیرو قرار گیرد‪ ،‬شتاب مرکز ثقل آن برابر است با‪:‬‬ ‫‪ ‬هرگاه جسمی تحت تاثیر یک مجموعه گشتاور قرار گیرد‪ ،‬شتاب زاویهای آن برابر است با‪:‬‬

‫⃗‪∑ ⃗F‬‬ ‫𝑚‬ ‫𝐺⃗⃗⃗‬ ‫‪∑ ⃗M‬‬ ‫̅𝐼‬

‫= ⃗𝑎‬

‫= ⃗𝛼‬

‫‪ ‬نیروی اینرسی و گشتاور اینرسی به ترتیب با برایند نیروها در جهت عکس و برایند گشتاورها در جهت‬ ‫عکس مشخص میگردند‪.‬‬

‫اصل داالمبر‬ ‫‪ ‬هرگاه همراه با برایند نیروهای وارده‪ ،‬نیروی اینرسی با مقدار مساوی در امتداد برایند نیروها ولی در خالف‬ ‫جهت آن به جسم وارد شود آنگاه شتاب مرکز ثقل صفر خواهد بود‪.‬‬

‫‪ ‬هرگاه همراه با برایند گشتاورهای وارده گشتاور اینرسی با مقدار مساوی ولی در جهت عکس برایند گشتاورها‬ ‫به جسم وارد شود‪ ،‬آنگاه شتاب زاویهای جسم برابر صفر خواهد بود‪.‬‬ ‫‪ ‬با اضافه کردن نیروی اینرسی و گشتاور اینرسی به جسمی که تحت تاثیر برایند نیروها و برایند گشتاورها است‪،‬‬ ‫جسم به حالت تعادل در خواهد آمد‪.‬‬ ‫‪83‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫(الف)‬

‫(ب)‬

‫(ج)‬

‫(د)‬

‫(ه)‬

‫(و)‬

‫‪ 𝐺3 ،𝐺2‬و ‪ 𝐺4‬مراکز ثقل اعضای ‪ 3 ،2‬و ‪4‬‬ ‫‪ 𝑓2‬نیروی اینرسی عضو ‪ 2‬مساوی و در خالف جهت ‪𝐹2‬‬ ‫‪ 𝑓3‬نیروی اینرسی عضو ‪ 3‬مساوی و در خالف جهت ‪𝐹3‬‬ ‫‪ 𝑡3‬گشتاور اینرسی عضو ‪ 3‬حول ‪ 𝐺3‬مساوی و در خالف جهت ‪𝑇3‬‬ ‫‪ 𝑡4‬گشتاور اینرسی عضو ‪ 4‬حول ‪ 𝐺4‬مساوی و در خالف جهت ‪𝑇4‬‬ ‫(ز)‬ ‫اگر برای عضو ‪ 3‬به جای نیروی اینرسی ) ‪ (𝑓3‬و گشتاور اینرسی ) ‪ (𝑡3‬تنها از نیروی اینرسی استفاده کرده و فقط نقطه اثر آن‬ ‫در فاصله ‪ ℎ3‬باشد (شکل ه)‪:‬‬ ‫‪𝑡3‬‬ ‫‪𝐼3 𝛼3‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑓3 𝑀3 𝐴𝐺3‬‬

‫برای عضو ‪ 4‬نیز به شیوه مشابه میتوان نوشت (شکل ز)‪:‬‬

‫‪𝑡4‬‬ ‫‪𝐼4 𝛼4‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑓4 𝑀4 𝐴𝐺4‬‬

‫= ‪ℎ3‬‬

‫= ‪ℎ4‬‬

‫یا‬

‫یا‬

‫‪𝑓3 ℎ3 = 𝑡3‬‬

‫‪𝑓4 ℎ4 = 𝑡4‬‬

‫حال باید نیروهای وارد بر هر یک از مفصلها را تعیین کرد‪ .‬با نیروهای اینرسی مشابه نیروهای خارجی معلوم رفتار‬ ‫میشود‪.‬‬

‫‪84‬‬

‫𝑇‬

‫⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → 𝐹344 ‬‬ ‫حول ‪𝑂4‬‬ ‫𝑇‬

‫𝑇‬

‫‪𝐹434 = −𝐹344‬‬ ‫𝑁‬

‫⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → 𝐹434 ‬‬ ‫حول 𝐵‬

‫نیروی ‪ 𝐹23‬با توجه به کثیراالضالع نیروهای مربوط به عضو ‪( 3‬شکل د) محاسبه میشود‪.‬‬ ‫‪𝑁4‬‬ ‫𝑇‬ ‫‪ = 0 → 𝐹⃗23 + 𝐹⃗43‬عضو ‪∑ ⃗F⃗3‬‬ ‫‪+ 𝐹⃗434 + 𝑓⃗3 = 0 → 𝐹⃗23 = −𝐹⃗43 − 𝑓⃗3‬‬

‫)‪(I‬‬

‫‪𝐹⃗32 = −𝐹⃗23 = 𝐹⃗43 + 𝑓⃗3‬‬

‫→‬

‫‪𝐹23 ‬‬

‫⃗⃗‬ ‫‪∑F‬‬ ‫)𝐼𝐼( ‪= 0 → 𝐹⃗12 + 𝐹⃗32 + 𝑓⃗2 = 0 → 𝐹⃗12 = −𝐹⃗32 − 𝑓⃗2‬‬ ‫عضو ‪2‬‬

‫گشتاور وارده به شفت واقع در ‪( 𝑂2‬شکل ه)‬ ‫𝑎) ‪𝑇2 = (𝐹⃗32 + 𝑓⃗2‬‬

‫نیروی ‪ 𝐹14‬به صورت زیر محاسبه میشود (شکل ج)‪:‬‬

‫‪85‬‬

‫→ ‪ = 0 → 𝑇2 − (𝐹⃗32 + 𝑓⃗2 )𝑎 = 0‬حول 𝑂‪∑ M‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪} → 𝐹⃗14 − 𝐹⃗32 + 𝑓⃗3 + 𝑓⃗4 = 0‬‬

‫‪} → 𝐹⃗14 + 𝐹⃗12 + 𝑓⃗2 + 𝑓⃗3 + 𝑓⃗4 = 0‬‬

‫‪ = 0 → 𝐹⃗14 + 𝐹⃗34 + 𝑓⃗4 = 0‬عضو ‪∑ ⃗F⃗4‬‬ ‫)𝐼(‬

‫‪→ 𝐹⃗32 = −𝐹⃗34 + 𝑓⃗3 → 𝐹⃗34 = −𝐹⃗32 + 𝑓⃗3‬‬ ‫‪𝐹⃗14 − 𝐹⃗32 + 𝑓⃗3 + 𝑓⃗4 = 0‬‬

‫)𝐼𝐼(‬

‫‪→ 𝐹⃗12 = −𝐹⃗32 − 𝑓⃗2 → 𝐹⃗32 = −𝐹⃗12 − 𝑓⃗2‬‬

‫‪ ‬نیروی لرزشی )‪ (𝐹𝑠 ) (Shaking force‬از برایند نیروهای اینرسی وارد بر بدنه مکانیزم مشخص میگردد‪.‬‬ ‫‪ ‬نیروی لرزشی موجب ارتعاشات ناخواسته و مزاحم در بدنه میشود‪.‬‬ ‫‪ ‬مکانیزم باید به گونهای طراحی شود تا بتواند نیروهای لرزشی را تحمل کند‪.‬‬

‫(ب)‬

‫(الف)‬

‫𝑑 ‪𝑓3 𝑏 + 𝑓4‬‬ ‫𝑠𝐹‬

‫‪86‬‬

‫= 𝑒 → 𝑑 ‪𝐹𝑠 𝑒 = 𝑓3 𝑏 + 𝑓4‬‬

‫توازن (باالنس)‬ ‫توازن تک جرم گردان‬ ‫‪ ‬برای از بین بردن تاثیر نیروهای اینرسی که به صورت نیروهای لرزشی ظاهر میشوند‪ ،‬باید مکانیزم متوازن‬ ‫)‪ (Balance‬گردد‪.‬‬ ‫‪ ‬توازن کامل یا قسمتی از نیروهای اینرسی مجموعه با اضافه کردن جرمهای اضافه که عمل معکوس در مقابل‬ ‫نیروهای اولیه دارند‪ ،‬امکان پذیر است‪.‬‬

‫نمای روبرو‬

‫نمای جانبی‬

‫‪ ‬در حالت توازن استاتیکی باید گشتاور نیروهای استاتیکی (نیروهای جاذبه) حول مرکز دوران صفر باشد‪:‬‬ ‫⃗⃗⃗‬ ‫‪∑ ⃗M‬‬ ‫𝑅𝑀 = 𝑒𝑅 𝑒𝑀 → ‪= 0 → −𝑀𝑔𝑅 cos 𝜃 + 𝑀𝑒 𝑔𝑅𝑒 cos 𝜃 = 0‬‬ ‫حول 𝑂‬

‫در حالت توازن استاتیکی‪ ،‬محور تمایلی به گردش در یاتاقان خود (مرکز ‪ )O‬ندارد‪.‬‬ ‫‪ ‬برای دستیابی به توازن دینامیکی‪ ،‬برایند نیروهای اینرسی میبایست صفر باشد‪:‬‬ ‫𝑅𝑀 = 𝑒𝑅 𝑒𝑀 → ‪∑ ⃗F⃗ = 0 → 𝑀𝑅𝜔2 − 𝑀𝑒 𝑅𝑒 𝜔2 = 0‬‬

‫اگر 𝑅𝑀 = 𝑒𝑅 𝑒𝑀 باشد هم توازن استاتیکی و هم توازن دینامیکی حاصل میشود‪.‬‬

‫توازن چند جرم گردان واقع در یک صفحه عرضی‬ ‫‪ 𝑀2 ،𝑀1‬و ‪ 𝑀3‬جرمهای متمرکزی هستند که همگی در یک صفحه دوران قرار دارند و با سرعت زاویهای 𝜔 دوران میکنند‪.‬‬ ‫𝑒𝑀 جرمی است که برای توازن مجموعه در فاصله شعاعی 𝑒𝑅 و زاویه 𝑒𝜃 قرار داده شده است‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫نمای روبرو‬

‫نمای جانبی‬

‫‪ ‬برای توازن استاتیکی‪ ،‬باید برایند گشتاور جرمهای اولیه و جرم اضافه شده 𝑒𝑀 حول محور دوران صفر باشد‪.‬‬ ‫𝑛‬

‫𝑛‬

‫‪⃗⃗⃗𝑂 = 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑔𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑔𝑅𝑒 cos 𝜃𝑒 = 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑔𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 cos 𝜃𝑒 = 0‬‬ ‫‪∑ ⃗M‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪𝑘=1‬‬

‫‪ ‬برای توازن دینامیکی باید نیروهای اینرسی در تعادل بوده و برایند آنها صفر باشد‪.‬‬ ‫𝑛‬

‫‪= 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 cos 𝜃𝑒 = 0‬‬

‫𝑛‬

‫𝜃 ‪𝜔2 cos‬‬

‫𝑒‬

‫𝑒𝑅 𝑒𝑀 ‪+‬‬

‫𝜃 ‪𝜔2 cos‬‬

‫𝑘‬

‫𝑘𝑅 𝑘𝑀 ∑‬

‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫→ ‪ = 0‬دینامیکی⃗𝐹 ∑‬

‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫‪∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝜔2 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 𝜔2 sin 𝜃𝑒 = 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 sin 𝜃𝑒 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪𝑘=1‬‬

‫{‬

‫اگر روابط باال برقرار باشند هم تعادل استاتیکی و هم تعادل دینامیکی وجود خواهد داشت‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫با در نظر گرفتن جرمها‪ ،‬شعاعهای دوران و زاویای قرارگیری آنها برای شکل باال‪ ،‬مقدار جرم 𝑒𝑀 و زاویه 𝑒𝜃 را محاسبه نمایید‬ ‫به گونهای که شعاع دوران آن ‪ 88/9 mm‬باشد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫𝑘𝜃 ‪ 𝑀𝑘 (𝑘𝑔) 𝑅𝑘 (𝑚𝑚) 𝜃𝑘 (𝑑𝑒𝑔) cos 𝜃𝑘 sin 𝜃𝑘 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin‬شماره جرم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0⁄907‬‬ ‫‪0⁄866 0⁄5‬‬ ‫‪80⁄11‬‬ ‫‪46⁄26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪2⁄27‬‬ ‫‪0⁄174 0⁄985‬‬ ‫‪50⁄16‬‬ ‫‪284⁄0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪1⁄36‬‬ ‫‪76⁄2‬‬ ‫‪−0⁄94 0⁄342‬‬ ‫‪−97⁄41‬‬ ‫‪35⁄44‬‬ ‫مجموع‬ ‫‪32⁄86‬‬ ‫‪365⁄7‬‬ ‫‪88‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 cos 𝜃𝑒 = 0 → 32⁄86 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 cos 𝜃𝑒 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 sin 𝜃𝑒 = 0 → 365⁄7 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 sin 𝜃𝑒 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪𝑀𝑒 𝑅𝑒 sin 𝜃𝑒 −365/7‬‬ ‫=‬ ‫𝑜‪→ tan 𝜃𝑒 = 11/13 → 𝜃𝑒 = 264/9‬‬ ‫‪𝑀𝑒 𝑅𝑒 cos 𝜃𝑒 −32/86‬‬ ‫𝑚𝑚 ‪𝑅𝑒 = 88⁄9‬‬

‫𝑔𝑘 ‪365/7 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 sin 𝜃𝑒 = 0 → 𝑀𝑒 = 4/15‬‬

‫روش ترسیمی برای پیدا کردن جرم و زاویه باالنس‬ ‫شرط توازن دینامیکی‬ ‫‪ = 0‬دینامیکی⃗𝐹 ∑‬ ‫𝑅𝑀 ∝ دینامیکی⃗𝐹‬

‫در روش ترسیمی کافیست تا حاصلضرب جرم در شعاع دوران هر جرم ناباالنس را با در نظر گرفتن یک مقیاس در زاویه بین‬ ‫شعاع دروان با خط افق ترسیم نماییم‪.‬‬ ‫رابطه اول بیانگر برایند حاصلضرب جرمهای ناباالنس در شعاعهای دوران آنها با در نظر گرفتن زوایای آنها با خط افق‬ ‫میباشد‪:‬‬ ‫𝑛‬

‫‪∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 cos 𝜃𝑒 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫→‬ ‫}‬

‫‪∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 sin 𝜃𝑒 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫‪∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 (cos 𝜃𝑘 𝒊⃗ + sin 𝜃𝑘 𝒋⃗) + 𝑀𝑒 𝑅𝑒 (cos 𝜃𝑒 𝒊⃗ + sin 𝜃𝑒 𝒋⃗) = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪ n‬تعداد جرمهای ناباالنس‬ ‫𝑒𝑀 جرم متوازن کننده سیستم‬ ‫𝑒𝜃 زاویه جرم متوازن کننده سیستم با خط افق‬ ‫𝑒𝑅 شعاع قرارگیری جرم متوازن کننده‬ ‫‪89‬‬

‫در مثال قبل‪:‬‬

‫)𝑚𝑚 ‪ 𝑀𝑘 (𝑘𝑔) 𝑅𝑘 (𝑚𝑚) 𝜃𝑘 (𝑑𝑒𝑔) 𝑀𝑘 𝑅𝑘 (𝑘𝑔.‬شماره جرم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0⁄907‬‬ ‫‪92⁄514‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪2⁄27‬‬ ‫‪288⁄29‬‬ ‫‪103⁄632‬‬

‫‪76⁄2‬‬

‫‪160‬‬

‫‪1⁄36‬‬

‫‪3‬‬

‫توازن چند جرم گردان در چند صفحه عرضی‬

‫‪ 𝑀1 ‬و ‪ 𝑀2‬دو جرم متمرکز هستند که در دو صفحه عرضی مختلف قرار دارند‪.‬‬ ‫‪ ‬مطابق شکل واضح است که نیروهای استاتیکی متوازن هستند (نیروهای ‪ 𝐹1‬و ‪ 𝐹2‬گشتاوری حول مرکز ندارند)‪.‬‬ ‫‪⃗⃗⃗⃗𝑂 = 0‬‬ ‫‪∑M‬‬

‫‪ ‬نیروهای دینامیکی ‪ 𝐹1‬و ‪ 𝐹2‬ناشی از دوران شفت نیز با یکدیگر مساوی بوده و متوازن میباشند‪.‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪ = 0 → 𝑀1 𝑅1 𝜔2 − 𝑀2 𝑅2 𝜔2 = 0 → 𝑀1 𝑅1 = 𝑀2 𝑅2‬دینامیکی⃗𝐹 ∑‬ ‫‪‬‬

‫‪ 𝐹1‬و ‪ 𝐹2‬یک گشتاور ناباالنس 𝑎 ‪ 𝐹1 .‬تولید میکند که موجب بروز عکس العملهای 𝐴𝑅 و 𝐵𝑅 در یاتاقانهای ‪ A‬و ‪B‬‬

‫میگردد‪.‬‬ ‫𝐿 × 𝐵𝑅 = 𝑎 ‪𝐹1 (𝑎 + 𝑏 − 𝑏) = 𝑅𝐵 × 𝐿 → 𝐹1 .‬‬

‫‪𝐹1 =𝐹2‬‬

‫→ ‪⃗⃗⃗𝐴 = 𝐹1 (𝑎 + 𝑏) − 𝑅𝐵 × 𝐿 − 𝐹2 × 𝑏 = 0‬‬ ‫‪∑ ⃗M‬‬ ‫𝑎 ‪𝐹1 .‬‬ ‫= 𝐵𝑅‬ ‫𝐿‬

‫‪ ‬منظور از توازن یا باالنس یک وسیله گردان این است که نیروهای موثر در یاتاقانها به طور کامل حذف شده یا‬ ‫تا حد امکان تقلیل یابند‪ .‬بنابراین نه تنها نیروها بلکه گشتاورها نیز باید متوازن باشند‪.‬‬ ‫روش باالنس برای ‪ 𝑀2 ،𝑀1‬و ‪ 𝑀3‬واقع در صفحات عرضی متفاوت در شکل به شرح زیر است‪:‬‬

‫‪ -1‬دو صفحه عرضی ‪ A‬و ‪ B‬را به عنوان صفحات مرجع انتخاب میکنیم‪.‬‬ ‫‪ -2‬فاصله جرمهای ‪ 𝑀2 ،𝑀1‬و ‪ 𝑀3‬نسبت به صفحه ‪ A‬در امتداد محور را به ترتیب ‪ 𝑎2 ،𝑎1‬و ‪ 𝑎3‬در نظر میگیریم‪.‬‬ ‫فواصل سمت راست صفحه ‪ A‬مثبت )‪ (+‬و فواصل سمت چپ این صفحه منفی )‪ (−‬منظور میگردند‪.‬‬ ‫‪ -3‬چون نیروی اینرسی برابر ‪ 𝐹 = 𝑀𝑅𝜔2‬میباشد پس نیروهای اینرسی متناسب با 𝑅𝑀 میباشند‪ .‬گشتاورهای نسبت‬ ‫به صفحه ‪ A‬را میتوان با اضافه کردن جرم 𝐵𝑀 در صفحه ‪ B‬به گونهای باالنس کرد که مجموع گشتاورهای حول‬ ‫محور ‪ X‬و حول محور ‪ Y‬صفر باشند‪.‬‬ ‫𝑛‬

‫| 𝑋⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 𝜃𝐵 = 0‬‬ ‫حول ‪A‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫| 𝑌⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 cos 𝜃𝐵 = 0‬‬ ‫حول 𝐴‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪91‬‬

‫‪ -4‬سپس میتوان جرم 𝐴𝑀 را در صفحه ‪ A‬اضافه کرد به گونهای که تمام نیروهای در امتداد محورهای ‪ X‬و ‪ Y‬باالنس‬ ‫شوند‪:‬‬ ‫𝑛‬

‫‪∑ ⃗F⃗𝑋 = 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 cos 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫‪∑ ⃗F⃗𝑌 = 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 sin 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫مقادیر جرمها‪ ،‬فواصل و زوایا در شکل قبل در جدول زیر ارایه گردیدهاند‪ .‬مقادیر جرمهای باالنس و زاوایای آنها را با فرض‬ ‫𝑚𝑚‪ 𝑅𝐴 = 76‬و 𝑚𝑚‪ 𝑅𝐵 = 76‬محاسبه کنید‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫𝑘𝜃 ‪ 𝑀𝑘 (𝑘𝑔) 𝑅𝑘 (𝑚𝑚) 𝜃𝑘 (𝑑𝑒𝑔) 𝑎𝑘 (𝑚𝑚) cos 𝜃𝑘 sin‬شماره جرم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0⁄454‬‬ ‫‪50⁄8‬‬ ‫‪0⁄866‬‬ ‫‪0⁄5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪1⁄36‬‬ ‫‪−102‬‬ ‫‪0⁄5‬‬ ‫‪0⁄866‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪0⁄907‬‬ ‫‪63⁄5‬‬ ‫‪−0⁄866 0⁄5‬‬ ‫𝑘𝜃 ‪ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin 𝜃𝑘 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 cos 𝜃𝑘 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 sin‬شماره جرم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪19⁄97‬‬ ‫‪11⁄5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪51⁄7‬‬ ‫‪89⁄5‬‬ ‫‪−5271‬‬ ‫‪−9130‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2189‬‬ ‫‪−49⁄9‬‬ ‫‪28⁄8‬‬ ‫‪−3792‬‬ ‫‪−6941‬‬

‫‪−9063‬‬

‫‪129⁄8‬‬

‫‪21⁄8‬‬

‫مجموع‬

‫| 𝑋⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → −6941 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 𝜃𝐵 = 0‬‬ ‫حول ‪A‬‬ ‫| 𝑌⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → −9063 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 cos 𝜃𝐵 = 0‬‬ ‫حول 𝐴‬ ‫‪𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 𝜃𝐵 6941‬‬ ‫=‬ ‫‪→ tan 𝜃𝐵 = 0/7659‬‬ ‫‪𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 cos 𝜃𝐵 9063‬‬ ‫𝐵𝜃 در ربع اول → ‪sin 𝜃𝐵 > 0, cos 𝜃𝐵 > 0‬‬ ‫𝑜‪𝜃𝐵 = 37/4‬‬

‫‪6941‬‬ ‫𝑔𝑘 ‪= 1/98‬‬ ‫‪76 × 76 × 0/6074‬‬

‫=‬

‫‪6941‬‬

‫𝐵𝜃 ‪𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin‬‬

‫= 𝐵𝑀‬

‫‪∑ ⃗F⃗𝑋 = 0‬‬ ‫‪92‬‬

‫‪→ 21/8 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 cos 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0 → 21/8 + 1/98 × 76 × 0/794 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0‬‬ ‫‪⃗⃗𝑌 = 0‬‬ ‫‪∑F‬‬ ‫‪→ 129/8 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 sin 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 0 → 129/8 + 1/98 × 76 × 0/607 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 0‬‬ ‫‪𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 −221/1‬‬ ‫=‬ ‫‪→ 𝑡𝑎𝑛𝜃𝐴 = 1/56‬‬ ‫‪𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 −141/3‬‬ ‫𝐴𝜃 در ربع سوم → ‪sin 𝜃𝐴 < 0, cos 𝜃𝐴 < 0‬‬ ‫𝑜‪𝜃𝐴 = 237/3‬‬ ‫‪−141/3‬‬ ‫𝑔𝑘 ‪= 3/44‬‬ ‫𝐴𝜃 ‪𝑅𝐴 cos‬‬

‫= 𝐴𝑀‬

‫روش ترسیمی برای پیدا کردن جرم و زاویه باالنس‬ ‫شرط توازن گشتاورها‬ ‫با استفاده از شرط توازن گشتاورها‪ ،‬جرم باالنس قرار داده شده در صفحه ‪ (MB ) B‬و زاویه آن ) ‪ (θB‬محاسبه میگردد‪.‬‬ ‫‪⃗M‬‬ ‫𝑎𝑅𝑀 ∝ ⃗⃗⃗‬

‫𝑛‬

‫| 𝑋⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 𝜃𝐵 = 0‬‬ ‫حول ‪A‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫| 𝑌⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪∑M‬‬ ‫‪= 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 cos 𝜃𝐵 = 0‬‬ ‫حول 𝐴‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫شرط توازن نیروها‬ ‫با استفاده از شرط توازن نیروها‪ ،‬جرم باالنس قرار داده شده در صفحه ‪ (MA ) A‬و زاویه آن ) ‪ (θA‬محاسبه میگردد‪.‬‬ ‫𝑛‬

‫𝑅𝑀 ∝ ⃗‪⃗F‬‬

‫‪∑ ⃗F⃗𝑋 = 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 cos 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬ ‫𝑛‬

‫‪⃗⃗𝑌 = 0 → ∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 sin 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 0‬‬ ‫‪∑F‬‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪93‬‬

‫در مثال قبل‪:‬‬ ‫𝑘𝑎 𝑘𝑅 𝑘𝑀 )𝑚𝑚( 𝑘𝑎 )𝑔𝑒𝑑( 𝑘𝜃 )𝑚𝑚( 𝑘𝑅 )𝑔𝑘( 𝑘𝑀 شماره جرم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0⁄454‬‬ ‫‪50⁄8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪1⁄36‬‬ ‫‪−102 −10542‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪0⁄907‬‬ ‫‪63⁄5‬‬ ‫‪4378‬‬

‫شرط توازن گشتاورها‬ ‫‪𝑀2 𝑅2 𝑎2 sin 𝜃2 + 𝑀3 𝑅3 𝑎3 sin 𝜃3 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 𝜃𝐵 = 0‬‬ ‫‪𝑀2 𝑅2 𝑎2 cos 𝜃2 + 𝑀3 𝑅3 𝑎3 cos 𝜃3 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 cos 𝜃𝐵 = 0‬‬

‫شرط توازن نیروها‬ ‫‪𝑀1 𝑅1 cos 𝜃1 + 𝑀2 𝑅2 cos 𝜃2 + 𝑀3 𝑅3 cos 𝜃3 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 cos 𝜃𝐵 +𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0‬‬ ‫‪𝑀1 𝑅1 sin 𝜃1 + 𝑀2 𝑅2 sin 𝜃2 + 𝑀3 𝑅3 sin 𝜃3 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 sin 𝜃𝐵 +𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 0‬‬

‫𝑘𝑅 𝑘𝑀 )𝑔𝑒𝑑( 𝑘𝜃 )𝑚𝑚( 𝑘𝑅 )𝑔𝑘( 𝑘𝑀 شماره جرم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0⁄454‬‬ ‫‪50⁄8‬‬ ‫‪23⁄1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪1⁄36‬‬ ‫‪103⁄4‬‬ ‫‪57⁄6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪0⁄907‬‬ ‫‪63⁄5‬‬ ‫‪150⁄5‬‬

‫‪37/4‬‬

‫‪76‬‬

‫‪1/98‬‬

‫‪B‬‬

‫‪94‬‬

‫جمع بندی‬ ‫𝑖𝑓 ∑ = 𝑠𝐹‬

‫𝑠𝐹 نیروی لرزشی که سبب عدم باالنس سیستم میگردد‪.‬‬ ‫𝑖𝑓 نیروی اینرسی مربوط به عضو 𝑖‬ ‫𝑖‪𝐹𝑠 . ℎ𝑠 = ∑ 𝑓𝑖 . ℎ‬‬ ‫𝑖‪∑ 𝑓𝑖 . ℎ‬‬ ‫𝑠𝐹‬

‫𝑠‪ ℎ‬محل اثر نیروی لرزشی‬

‫نیروی لرزشی باید یا به طور کلی از بین رفته یا به حداقل برسد‪.‬‬

‫‪95‬‬

‫= 𝑠‪ℎ‬‬

‫توصیههای کلی در باالنس کردن‬ ‫همانگونه که قبالً دیده شد‪ ،‬وزنه تعادل از حاصلضرب یک جرم در یک شعاع تعیین میشود‪ .‬در عمل با انتخاب شعاع‪ ،‬جرم‬ ‫باالنس محاسبه میشود‪.‬‬ ‫جرم باالنس را میتوان یا به روتور اضافه کرد یا با ‪ 180‬درجه زاویه در همان صفحه عرضی سوراخی در روتور تعبیه کرد تا اثر‬ ‫تعادلی معادل داشته باشد‪.‬‬

‫در صورتی که باید وزنه تعادلی اضافه شود‪ ،‬میبایست آن را در دورترین فاصله شعاعی ممکن قرار داد تا بدین ترتیب جرم‬ ‫کمترین مقدار ممکن را پیدا کند‪.‬‬ ‫وقتی جرمها باید در دو صفحه اضافه شوند‪ ،‬صفحات میبایست تا حد امکان نسبت به یکدیگر دور انتخاب شوند تا مقدار‬ ‫جرمهای مورد نیاز به کمترین مقدار خود برسند‪.‬‬ ‫برای باالنس یک روتور‪ ،‬دو جرم در دو صفحه باالنس قرار داده میشود‪ .‬اگرچه جرم را میتوان در هر یک از دو صفحه باالنس‬ ‫اضافه نمود ولی این روش سبب بروز گشتاور خمشی در ضفت میگردد‪ .‬به همین دلیل بهتر است هر عامل ناباالنس در‬ ‫صفحه خودش باالنس گردد‪ .‬مثالً در یک میل لنگ اتومبیل ناموزونی هر لنگ از طریق اضافه نمودن وزنه تعادل در مقابل‬ ‫همان لنگ برطرف میشود‪.‬‬

‫‪96‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫چندضلعی شتاب مربوط به مکانیزم زیر را ترسیم نمایید‪.‬‬

‫دو مقیاس باید در نظر گرفته شود یکی برای سرعت و دیگری برای شتاب‬ ‫)𝑤𝑐( 𝑠‪𝜔3 = 13/39 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫)𝑤𝑐( 𝑠‪𝜔4 = 36 𝑟𝑎𝑑/‬‬ ‫𝑠‪𝑉𝐶/𝐵 = 68/28 𝑚/‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−   ‬‬ ‫𝑡𝐴 ‪+‬‬ ‫= 𝑡‬ ‫𝑛𝐴 ‪𝑛 + 𝑡 +‬‬ ‫𝐶𝐴‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫𝐵‪𝐶/‬‬ ‫𝐵‪𝐶/‬‬

‫‪+‬‬

‫‪‬‬ ‫𝐶𝑛𝐴‬

‫𝑚‬ ‫‪𝐴𝑛𝐵 = 𝑂2 𝐵 × 𝜔22 = 1/75(50)2 = 4375 2‬‬ ‫𝑠‬ ‫𝑚‬ ‫‪𝐴𝑡𝐵 = 𝑂2 𝐵 × 𝛼2 = 1/75 × 1600 = 2800 2‬‬ ‫𝑠‬ ‫𝑚‬ ‫‪𝐴𝑛𝐶 = 𝑂4 𝐶 × 𝜔42 = 2/5 × 362 = 3240 2‬‬ ‫𝑠‬ ‫‪2‬‬ ‫𝐵‪𝑉𝐶/‬‬

‫‪68/282‬‬ ‫𝑚‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 914/15 2‬‬ ‫𝐶𝐵‬ ‫‪5/1‬‬ ‫𝑠‬

‫𝐵‪𝐴𝑛𝐶/‬‬

‫𝑚‬ ‫‪𝐴𝐷 = 6052 2‬‬ ‫𝑠‬ ‫𝑚‬ ‫‪𝐴𝐸 = 5449 2‬‬ ‫𝑠‬ ‫𝑚‬ ‫‪𝐴𝐶 = 6085 2‬‬ ‫𝑠‬

‫‪97‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫سرعت دورانی شفت خروجی نشان داده شده در شکل زیر و جهت چرخش آن را به هنگام نگاه از انتهای سمت راست تعیین‬ ‫کنید‪.‬‬

‫چرخدنده ‪ E‬چرخدنده ‪ D‬چرخدنده ‪ C‬چرخدنده ‪ B‬چرخدنده ‪A‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪105 30‬‬ ‫×‬ ‫‪30 45‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪105‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪105‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪105 25‬‬ ‫×‬ ‫‪30 50‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+‬‬

‫بازو‬

‫اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬

‫‪+1‬‬

‫مجموعه قفل و بازو یک دور‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ D‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬

‫‪10‬‬ ‫‪150 × 3‬‬ ‫= ‪ωoutput‬‬ ‫‪= 181/82 rpm‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪98‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل زیر سرعت دورانی و جهت چرخش شفت خروجی را تعیین نمایید‪.‬‬ ‫چرخش شفت خروجی را میتوان ترکیبی از دو حالت زیر در نظر گرفت‪:‬‬ ‫در حالت اول فرض میشود که ورودی دوم (بازو) ثابت است‪.‬‬ ‫در حالت دوم فرض میشود که ورودی اول )‪ (A‬ثابت است‪.‬‬ ‫𝐹𝑛‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝑚𝑟𝑎𝑛⏟‬ ‫𝐴 ثابت نگاه داشته شده‬

‫𝐹𝑛‬ ‫) (‬ ‫𝐴𝑛‬ ‫⏟‬

‫× 𝑚𝑟𝑎𝑛 ‪+‬‬

‫× 𝐴𝑛 = 𝐹𝑛 = 𝑜𝑛‬

‫بازو ثابت نگاه داشته شده‬ ‫𝐼‬

‫𝐼𝐼‬

‫در حالت اول‪:‬‬ ‫𝐶𝑛 = 𝐵𝑛‬ ‫𝐸𝑛 = 𝐷𝑛‬ ‫𝐵𝑛 𝐷𝑛 𝐹𝑛 𝐹𝑛‬ ‫𝐸𝑁‬ ‫𝐶𝑁‬ ‫𝐴𝑁‬ ‫𝐹𝑛 ‪50 × 58 × 28‬‬ ‫‪725‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫‪= (− ) × (− ) × (− ) = −‬‬ ‫→‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪= −0/944‬‬ ‫𝐴𝑛 𝐶𝑛 𝐸𝑛 𝐴𝑛‬ ‫𝐹𝑁‬ ‫𝐷𝑁‬ ‫𝐵𝑁‬ ‫𝐴𝑛 ‪56 × 48 × 32‬‬ ‫‪768‬‬ ‫در حالت دوم‪:‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬و‪D‬‬

‫‪C‬و‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫بازو‬

‫اعضای تشکیل دهنده مجموعه‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪+1‬‬

‫مجموعه قفل و بازو یک دور‬

‫‪58‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪0‬‬

‫بازو ثابت و ‪ A‬یک دور ساعتگرد‬

‫‪−0/2083‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫تعداد دورهای کل‬

‫× 𝑚𝑟𝑎𝑛 ‪+‬‬

‫𝐹𝑛‬ ‫) (‬ ‫𝐴𝑛‬ ‫⏟‬

‫‪58 50‬‬ ‫×‬ ‫‪48 56‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−0/0789‬‬

‫𝐹𝑛‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝑚𝑟𝑎𝑛⏟‬ ‫𝐴 ثابت نگاه داشته شده‬

‫بازو ثابت نگاه داشته شده‬ ‫𝐼‬

‫𝐼𝐼‬

‫𝑚𝑝𝑟 ‪= 82/635‬‬

‫× 𝐴𝑛 = 𝐹𝑛 = 𝑜𝑛‬

‫‪−0/0789‬‬

‫‪1‬‬

‫× ‪𝑛𝑜 = −75 × −0/944 − 150‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شکل زیر مقدار و زاویه دو جرمی که باید به منظور باالنس روتور در شعاع ‪ 51 mm‬بر روی صفحات ‪ A‬و ‪ B‬قرار گیرند با‬ ‫استفاده از دو روش تحلیلی و ترسیمی محاسبه نمایید‪.‬‬

‫‪99‬‬

‫شماره جرمها‬

M, kg

R, mm

𝜃, 𝑑𝑒𝑔

a, mm

𝑀𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑀𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑀𝑅𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑀𝑅𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃

1

2/27

254

90

−76

0

576/58

0

−43820

2

0/454

102

270

0

0

−46/308

0

0

3

0/907

203

270

102

0

−184/12

0

−18780

0

346/15

0

−62600

‫مجموع‬ 3

∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 𝜃𝐵 = 0 → −62600 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 𝜃𝐵 = 0 𝑘=1

3

∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 𝑎𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 cos 𝜃𝐵 = 0 → 𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 cos 𝜃𝐵 = 0 → 𝜃𝐵 = 90𝑜 𝑘=1

𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 sin 90 = 62600 → 𝑀𝐵 = 3

62600 = 12/034 𝑘𝑔 51 × 102

∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 cos 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 cos 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0 → 0 + 0 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 cos 𝜃𝐴 = 0 → 𝜃𝐴 = 270𝑜 𝑘=1

3

∑ 𝑀𝑘 𝑅𝑘 sin 𝜃𝑘 + 𝑀𝐵 𝑅𝐵 sin 𝜃𝐵 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 0 → 346/15 + 12/034 × 51 × 1 + 𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 0 𝑘=1

𝑀𝐴 𝑅𝐴 sin 𝜃𝐴 = 959/88 → 𝑀𝐴 =

959/88 = 18/82 𝑘𝑔 51 :‫روش ترسیمی‬ 1 𝑚𝑚 = 10𝑀𝑅‫ هر‬:𝑀𝑅 ‫مقیاس‬ 1 𝑚𝑚 = 1000𝑀𝑅𝑎‫ هر‬:𝑀𝑅𝑎 ‫مقیاس‬

100

‫𝑎𝑅𝑀‬

‫𝑅𝑀‬

‫𝑔𝑒𝑑 ‪𝜃,‬‬

‫شماره جرمها‬

‫‪−43820‬‬

‫‪576/58‬‬

‫‪90‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪46/308‬‬

‫‪270‬‬

‫‪2‬‬

‫‪18780‬‬

‫‪184/12‬‬

‫‪270‬‬

‫‪3‬‬

‫𝑔𝑘 ‪𝑀𝐵 𝑅𝐵 𝑎𝐵 = 62/2 × 1000 → 𝑀𝐵 = 12/034‬‬ ‫𝑔𝑘 ‪𝑀𝐴 𝑅𝐴 = 96 × 10 → 𝑀𝐴 = 18/82‬‬

‫‪101‬‬