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- Words: 6,050
- Pages: 43
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
15 kN 10 kN.m
D
C
E
F 3,0 m
30 kN/m
50 kN/m
A
B
2,0 m
5,0 m
3,0 m
Exercícios Resolvidos Pórticos planos e análise de cargas móveis 150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
C
B
2,0 m
6,0 m
30 kN
20 kN 1,5 m
15 kN/m
5 kN/m
15 kN/m
Carga Móvel
Manaus - AM www.wlcursos.com
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
SUMÁRIO 1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 - Isostática: Pórtico Plano
.......................................... 3
1.1 Reações de Apoio ......................................................................................................................................4 1.2 Esforço Normal ..........................................................................................................................................6 1.3 Esforço Cortante .......................................................................................................................................7 1.4 Momento Fletor .........................................................................................................................................9
2. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 - Isostática: Pórtico Plano
....................................... 11
2.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 12 2.2 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 14 2.3 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 15 2.4 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 18
3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 - Isostática: Pórtico Plano
....................................... 23
3.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 24 3.2 Análise da Barra Inclinada ................................................................................................................. 26 3.3 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 28 3.4 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 29 3.5 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 31
4. EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 – Linha de Influência e Cargas Móveis
........ 34
4.1 Análise da Seção ..................................................................................................................................... 35 4.2 Esforços devido à Carga Permanente ............................................................................................ 37 4.3 Análise da Carga Móvel ....................................................................................................................... 38 4.3.1 Análise do Trecho AS ................................................................................................................ 38 4.3.2 Análise do Trecho SC ................................................................................................................ 39 4.3.3 Linha de Influência .................................................................................................................... 40 4.3.4 Esforço devido à Carga Móvel ............................................................................................... 41 4.4 Esforços Mínimos e Máximos ........................................................................................................... 43
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 3
QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura, determine: (a) (b) (c) (d)
Reações de Apoio; Esforço Normal: Diagrama e Equações; Esforço Cortante: Diagrama e Equações; Momento Fletor: Diagrama e Equações.
2,0 m
2,0 m
30 kN/m C
D
A
B
20 kN
6,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 1.1
Reações de Apoio:
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:
30 kN/m
2,0 m
D
E
2,0 m
C 20 kN
HA A
B 6,0 m
VA
VB
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: FH = 0 ∴ para determinar HA MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB
3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: FH = 0 ∴ −HA + 20 = 0 ∴ 𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍
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Página | 4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
MB = 0 ∴ 6 . VA + 20 . 2 − 30 . 6 . 3 = 0 6 . VA = −40 + 540 500 6 . VA = 500 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍 6 Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 30 . 6 = 0 83,333 + VB − 180 = 0 VB − 96,667 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise:
2,0 m
2,0 m
X3 D X2
X1
E
C A
B
X4
Consideração: Trecho 1: análise de A para C Trecho 2: análise de C para D Trecho 3: análise de D para E Trecho 4: análise de B para E
6,0 m
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Página | 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 1.2
Esforço Normal (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: X3
Trecho 1:
30 kN/m
Página | 6
N(x1 ) = −VA = − 83,333 kN 2,0 m
D
Trecho 2:
C
N(x2 ) = VA = 20 kN
A
N(x3 ) = HA − 20 = 20 − 20 = 0
X2
20 kN
2,0 m
Trecho 3:
E
X1
B
X4
HA = 20 kN 6,0 m
Trecho 4:
VB = 96,667 kN
VA = 83,333 kN
N(x4 ) = −VB = − 96,667 kN
Observação: Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama.
E
A
B
96,667
D
_
_
83,333
2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal:
DEN (kN)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 1.3
Esforço Cortante (Diagrama e Equações): X3
1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1:
Trecho 2: Q(x2 ) = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 Trecho 3: Q(x3 ) = +VA − 30 . x3
D
2,0 m 2,0 m
Q(x1 ) = +HA = 20
30 kN/m
C
E
Página | 7
X2
20 kN A
X1
B
X4
HA = 20 kN 6,0 m
VA = 83,333 kN
VB = 96,667 kN
Q(x3 ) = +83,333 − 30x3 Trecho 4: Q(x4 ) = 0
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: QA = +HA = 20 kN QAC C = +HA = 20 kN Trecho 2: QCD C = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 QCD D =0 Trecho 3: QDE D = +VA = 83,333 kN QDE E = +VA − 30 . 6 = 83,333 − 180 = −96,667 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor do esforço é positivo (o diagrama será traçado para cima) e na outra extremidade o valor é negativo (o diagrama será traçado para baixo). Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
Q(x3 ) = 83,333 − 30x3 0 = 83,333 − 30x3
∴
30x3 = 83,333 x3 =
83,333 ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟖 𝐦 30
Trecho 4: QBE B =0 QBE E =0
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 2,778 m
83,333
+ D
E
+
20
_ 96,667 A
B
DEC (kN)
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Página | 8
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 1.4
Momento Fletor (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1:
Página | 9
X3
M(x1 ) = +HA . x1 = 20x1
30 kN/m
(diagrama linear) D
2,0 m
M(x2 ) = M(x1 ) + HA . x2 − 20. x2 M(x2) = (20.2) + 20. x2 − 20. x2 M(x2 ) = +40
2,0 m
Trecho 2:
C
E
X2
20 kN A
(diagrama uniforme)
X1
B
X4
HA = 20 kN 6,0 m
Trecho 3: M(x3 ) = +VA . x3 − 30 . x3 . M(x3 ) = 83,333. x3 − 30.
x3 2
VA = 83,333 kN
VB = 96,667 kN
x32 2
(diagrama parabólico − 2° Grau)
Trecho 4: M(x4 ) = 0
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: Trecho 1: MA = 0 MCAC = +HA . 2 = 20.2 = 40 kN. m Trecho 2: MCCD = MCAC = 40 kN. m MDCD = +HA . 4 − 20.2 = 20.4 − 40 = 80 − 40 = 40 kN. m Trecho 3: MDDE = MDCD = 40 kN. m 6 MEDE = MDCD + VA . 6 − 30. 6. = 40 + 83,333.6 − 540 ≅ 0 kN. m 2
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 2,778 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo: DE Mmáx = MDCD + VA . (2,778) − 30. (2,778). DE Mmáx
(2,778) 2
Página | 10
= 40 + 83,333. (2,778) − 115,759
DE Mmáx = 155,740 kN. m
Trecho 4: MBBE = 0 MEBE = 0
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor:
2,778 m
E 0
D 40
40
M máx = 96,667
40
A
0E
Mmáx
D
q.L² 135 = ___ 8
q.L² 135 = ___ 8
DMF (kN.m)
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B
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 11
QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura, determine: (a) (b) (c) (d)
Reações de Apoio; Esforço Normal: Diagrama e Equações; Esforço Cortante: Diagrama e Equações; Momento Fletor: Diagrama e Equações.
15 kN 10 kN.m
C
D
E
F 3,0 m
30 kN/m
50 kN/m
A 2,0 m
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B 5,0 m
3,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 2.1
Reações de Apoio:
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:
15 kN 10 kN.m
D
C
E
F 3,0 m
30 kN/m
50 kN/m
A
B
HB
HA 2,0 m
5,0 m
3,0 m
VB
VA
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: esq
MC = 0 ∴ para determinar HA FH = 0 ∴ para determinar HB MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB 3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: esq
MC
30.3 1 . ( . 3) = 0 2 3 3 . HA − 45 = 0 45 3 . HA = 45 ∴ HA = ∴ 𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 3
= 0 ∴ 3 . HA −
Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍
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Página | 12
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
30.3 =0 2 − 15 − HB + 45 = 0 − HB + 30 = 0 ∴ 𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
FH = 0 ∴ − HA − HB +
Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
30.3 2 . ( . 3) − 50.10.2 − 15.5 + 10 = 0 2 3 7 . VA + 90 − 1000 − 75 + 10 = 0 975 7 . VA = 975 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍 7
MB = 0 ∴ 7 . VA +
Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 15 − 50 . 10 = 0 139,286 + VB − 15 − 500 = 0 VB − 375,714 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise:
E
X2
X3
X4
X1
B
A 2,0 m
F
5,0 m
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X5 3,0 m
3,0 m
D
C
Consideração: Trecho 1: análise de A para C Trecho 2: análise de C para D Trecho 3: análise de D para E Trecho 4: análise de F para E Trecho 5: análise de B para E
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Página | 13
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2.2
Esforço Normal (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1:
15 kN 10 kN.m
N(x1 ) = − 139,286 kN
50 kN/m
Trecho 2: N(x2 ) = 15 −
30.3 2
N(x2 ) = 15 − 45 = −30 kN
15 kN
X2
D
X1 A
30 kN
139,286 kN
Trecho 3:
2,0 m
F
E
X3
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
N(x3 ) = N(x2 ) = −30 kN Trecho 4: N(x4 ) = 0 Trecho 5: N(x5 ) = − 375,714 kN Observação: Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama.
2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal:
30,000 F
375,714
E
_
_
139,286
D
_
C
0
B
A DEN (kN) www.wlcursos.com
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Página | 14
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2.3
Esforço Cortante (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
X2
D
X1 A
15 kN
F
E
X3
30 kN
139,286 kN
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
2,0 m
5,0 m
3,0 m
Trecho 1: Q(x1 ) = +15 −
30. x1 1 . ( . x1 ) = 15 − 5. x12 2 3
(diagrama parabólico − 2° grau)
Trecho 2: Q(x2 ) = +139,286 − 50. x2
(diagrama linear)
Trecho 3: Q(x3 ) = Q(x2 ) − 15 − 50. x3 Q (x3) = (139,286 − 50 . 2) − 15 − 50. x3 Q (x3) = (39,286) − 15 − 50. x3 Q(x3 ) = 24,286 − 50. x3 (diagrama linear)
Trecho 4: Q(x4 ) = 50. x4
(diagrama linear)
Trecho 5: Q(x5 ) = 30
(diagrama uniforme)
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Página | 15
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
15 kN
X2
D
X3
X1 A
30 kN
139,286 kN 2,0 m
Página | 16
F
E
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
Trecho 1: QA = 15 kN QAC C = QA −
30 . 3 = 15 − 45 = −30 kN 2
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
Q(x1 ) = 15 − 5. x12
∴
0 = 15 − 5. x12
∴
5. x12 = 15
15 x1 = √ ∴ 𝐱 𝟏 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐 𝐦 5 Trecho 2: QCD C = 139,286 kN CD QCD D = Q C − 50.2 = 139,286 − 100 = 39,286 kN
Trecho 3: CD QDE D = Q D − 15 = 39,286 − 15 = 24,286 kN DE QDE E = Q D − 50.5 = 24,286 − 250 = −225,714 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Q(x3 ) = 24,286 − 50. x3
∴
0 = 24,286 − 50. x3 x3 =
∴
50. x3 = 24,286
24,286 ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟔 𝐦 50
Trecho 4:
Página | 17
QF = 0 QFE E = 50.3 = 150 kN
Trecho 5: QB = 30 QBE E = Q B = 30 kN
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante:
150 39,286 24,286
+ C
E
D
F
_
2,486 m
C
30 225,714
E
+
_
DEC (kN)
15
+
1,732 m
+
139,286
A
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30
B
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Observação: Detalhe do traçado do trecho AC:
C q.L ___ =11,25 8
1,732 m
Página | 18
A
2.4
Momento Fletor (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
15 kN
X2
D
X1 A
30 kN
139,286 kN 2,0 m
F
E
X3
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
Trecho 1: M(x1 ) = +15. x1 − ( M(x1)
30. x1 x1 1 ) . ( ) . ( . x1 ) 3 2 3
x13 = 15. x1 − 30. 18
5. x13 M(x1 ) = 15. x1 − 3 (diagrama parabólico − 3° grau)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 2: x2 M(x2 ) = M(x1 ) + 139,286 . x2 − 50. x2 . ( ) 2 M(x2)
5. 33 = (15.3 − ) + 139,286. x2 − 25. x22 3
M(x2) = 0 + 139,286. x2 −
Página | 19
25. x22
M(x2 ) = 139,286. x2 − 25. x22
(diagrama parabólico − 2° grau)
Trecho 3: x3 M(x3 ) = M(x2 ) + (139,286. x3 − 100. x3 ) − 15. x3 − 50 . x3 . ( ) 2 2)
M(x3) = (139,286 . 2 − 25 . 2
x32 + (39,286. x3 ) − 15. x3 − 50. 2
M(x3 ) = 178,572 + 24,286. x3 − 25. x32
(diagrama parabólico − 2° Grau)
Trecho 4: x4 M(x4 ) = −10 − 50. x4. ( ) 2 M(x4 ) = −10 − 50.
x42 2
(diagrama parabólico − 2° Grau)
Trecho 5: M(x5 ) = −30. x5
(diagrama linear)
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
15 kN
X2
D
X1 A
30 kN
139,286 kN 2,0 m
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F
E
X3
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 1: MA = 0 30 . 3 1 MCAC = +15.3 − ( ) . (3. ) = 0 2 3 Página | 20
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x1 = 1,732 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo: AD Mmáx = 15 .1,732 − (30.
1,732 1,732 1 ).( ) . ( . 1,732) 3 2 3
DE Mmáx = 25,98 − (17,32 . 0,866 . 0,577) DE Mmáx = 25,98 − (8,654) AD Mmáx = 17,326 kN. m
Trecho 2: MCCD = MCAC = 0 2 MDCD = MCCD + 139,286 . 2 − 50. 2. ( ) 2 MDCD = 0 + 278,572 − 100 = 178,572 kN. m
Trecho 3: MDDE = MDCD = 178,572 kN. m 7 MEDE = MCCD + 139,286 . 7 − 50. 7. ( ) − 15 . 5 2 MEDE = 0 + 975,002 − 1225 − 75 ≅ 325 kN. m
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 0,486 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo: DE Mmáx = MCCD + 139,286 . (2,0 + 0,486) +
−50. (2,0 + 0,486). (
(2,0 + 0,486) ) − 15 . (0,486) 2
DE Mmáx = 0 + 346,265 − 154,505 − 7,29 DE Mmáx = 184,470 kN. m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 4: MFFE = −10 3 MEFE = MFFE − 50. 3. ( ) = −10 − 225 = −235 kN. m 2 Página | 21
Trecho 5: MBBE = 0 MEBE = MBBE − 30 . 3 = 0 − 90 = −90 kN. m
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 325 235
D
C
F
178,572
184,470 M máx =
E
E
C Mmáx =17,326
90
1,732 m
DMF (kN.m)
A
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B
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
Observação 1: Detalhe do traçado do trecho CE:
Página | 22
C
D
D
E
q.L² __ =25 8
q.L² 156,25 = __ 8 q.L² 156,25 = __ 8
Mmáx
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho AC e EF:
C q.L² 56,25 = __ 8
1,732 m
Mmáx
q.L² 56,25 = __ 8
q.L² 22,5 = __ 12
A
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E
F
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 23
QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura, determine: (a) (b) (c) (d)
Reações de Apoio; Esforço Normal: Diagrama e Equações; Esforço Cortante: Diagrama e Equações; Momento Fletor: Diagrama e Equações.
20 kN/m
D
3,0 m
5 kN/m
C
B
A 4,0 m
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4,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 3.1
Reações de Apoio:
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:
20 kN/m
D
3,0 m
5 kN/m
C
HB
A 4,0 m
B
4,0 m
VA
VB
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: FH = 0 ∴ para determinar HB MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB 3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: FH = 0 ∴ − HB + 5 . 3 = 0 − HB + 15 = 0 𝐇𝐁 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
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Página | 24
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
3 8 MB = 0 ∴ 8 . VA + 5. 3. ( ) − 20 . 8 . ( ) = 0 2 2 8 . VA + 22,5 − 640 = 0 617,5 8 . VA = 617,5 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍 8 Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 20 . 8 = 0 77,187 + VB − 160 = 0 VB − 82,813 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: D
C
A
B
X3 4,0 m
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3,0 m
X2 X1
Consideração: Trecho 1: análise de B para D Trecho 2: análise de D para C Trecho 3: análise de A para C
4,0 m
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Página | 25
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 3.2
Análise da barra inclinada AC:
Comprimento da barra: hipotenusa2 = b2 + c 2 = 32 + 42 = 9 + 16 hipotenusa = √25 ∴ hipotenusa = 5m
Página | 26
20 kN/m
D
sen α =
cateto oposto 3 = hipotenusa 5
cos α =
cateto adjacente 4 = hipotenusa 5
3,0 m
5 kN/m
C
A
B
4,0 m
4,0 m
Análise da reação de apoio VA:
0m
C
5,
A
V'' A VA
4 V′A = VA . cos α = 77,187 . = 61,750 kN 5 3 V′′A = VA . sen α = 77,187 . = 46,312 kN 5
V'A
Análise da carga distribuída de 20 kN/m:
20 kN/m
80 q'' C
A
80
C
A
q'
A
C
4,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
Carga q’:
0m
4 Resultante: q = 80 . cos α = 80 . = 64 kN 5 64 Carga distribuída: q′ = = 12,8 kN. m 5
5,
′
/m kN
,8 12
C
Página | 27
A
Carga q’’:
0m
5,
3 Resultante: q = 80 . sen α = 80 . = 48 kN 5 48 Carga distribuída: q′′ = = 9,6 kN. m 5 ′′
6 9,
C
/m kN
A
Análise da carga distribuída de 5 kN/m:
3,0 m
5 kN/m
A
p''
C
C
C
15
15
p'
A
A
Carga p’: 3 Resultante: p′ = 15 . sen α = 15 . = 9 kN 5 9 Carga distribuída: p′ = = 1,8 kN. m 5 5,0
m
8 1,
/m kN
C
A
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Carga p’’: 4 Resultante: p′′ = 15 . cos α = 15 . = 12 kN 5 12 Carga distribuída: p′′ = = 2,4 kN. m 5
5,0
m
4 2,
C
/m kN
Página | 28
A
Resultado da decomposição dos esforços:
,6 14
/m kN
C
2
7,
/m kN
A
46,31 kN
3.3
61,75 kN
Esforço Normal (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 20 kN/m
N(x1 ) = − 82,813 ,6 14
/m kN
Trecho 2: N(x2 ) = −15
2
7, A
D
C
X2
/m kN
15 kN
N(x1 ) = − 46,31 + 7,2. x1
46,31 kN
61,75 kN 4,0 m
X1 B
X3
Trecho 3:
3,0 m
Trecho 1:
82,813 kN 4,0 m
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: NB = NDBD = − 82,813 kN
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 2: NDDC = NCDC = − 15 kN Trecho 3: NA = − 46,31
Página | 29
NCAC = − 46,31 + 7,2 . 5 = −46,31 + 36 = −10,31 kN
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal:
15,000
_
C
D
_
_
31 46, A
3.4
82,813
31 10,
B
DEN (kN)
Esforço Cortante (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 20 kN/m
Q(x1 ) = +15
,6 14
(diagrama uniforme)
/m kN ,2
7
Trecho 2: Q(x2 ) = −82,813 + 20. x2 (diagrama linear)
D
C
A
X2
/m kN
15 kN
61,75 kN 4,0 m
X1 B
X3 46,31 kN
3,0 m
Trecho 1:
82,813 kN 4,0 m
Trecho 3: Q(x3 ) = +61,75 − 14,6. x3 (diagrama linear)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: QB = +15 kN QBD D = +15 kN
Página | 30
Trecho 2: QDC D = +82,813 kN DC QDC C = Q D − 20.4 = +82,813 − 80 = −2,813 kN
Trecho 3: QA = +61,75 kN QAC C = Q A − 14,6 . 5 = +61,75 − 73 = −11,25 kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
Q(x3 ) = +61,75 − 14,6. x3
∴
0 = +61,75 − 14,6. x3 x3 =
∴
14,6 . x3 = 61,75
61,75 ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟒, 𝟐𝟑 𝐦 14,6
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante:
C
_
2,81
D
C
82,81
11,25
+
+
61,75
D
A
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m 23 , 4
DEC (kN)
15
B
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 3.5
Momento Fletor (Diagrama e Equações): 20 kN/m
,6 14
Trecho 1:
2 7,
M(x1 ) = −15. x1 (diagrama linear)
/m kN
D
C
X2
/m kN
3,0 m
1º Passo: Definição das Equações:
15 kN
A
B
X3 46,31 kN
61,75 kN
82,813 kN
4,0 m
Trecho 2:
Página | 31
X1
4,0 m
x2 M(x2 ) = M(x1 ) + 82,813 . x2 − 20. x2 . ( ) 2 M(x2) = (−15 . 3) + 82,813. x2 − 10. x22 M(x2) = −45 + 82,813. x2 − 10. x22 (diagrama parabólico − 2° grau)
Trecho 3: x3 M(x3 ) = 61,75. x3 − 14,60 . x3 . ( ) 2 M(x3) = 61,75. x3 − 7,3 . x32 (diagrama parabólico − 2° Grau)
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 20 kN/m
Trecho 1: ,6 14
MDBD = MB − 15 . 3 MDBD
/m kN ,2
7 A
= 0 − 15 . 3 = −45 kN. m
D
C
X2
/m kN
15 kN
61,75 kN 4,0 m
X1 B
X3 46,31 kN
3,0 m
MB = 0
82,813 kN 4,0 m
Trecho 2: MDDC = MDBD = −45 kN. m 4 MCDC = MDDC + 82,813 . 4 − 20. 4. ( ) 2 MCDC = −45 + 331,252 − 160 = 126,25 kN. m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 3: MA = 0 5 MCAC = MA + 61,75 . 5 − 14,6 . 5 . ( ) = 126,252 kN. m 2 MCAC = 0 + 308,75 − 182,50 = 126,25 kN. m
Página | 32
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 4,23 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo nesta seção: 4,23 AC Mmáx = 61,75 . (4,23) − 14,6. (4,23). ( ) 2 DE Mmáx = 261,202 − 130,618 AC Mmáx = 130,58 kN. m
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor:
45 C D
126,25 C
4
45 D
m ,23 126,25
A
130,58 Mmáx
B
DMF (kN.m)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Observação 1: Detalhe do traçado do trecho AC:
C Página | 33
3m
4,2
Mmáx
A q.L² 46,625 = __ 8
q.L² 46,625 = __ 8
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho CD:
C D q.L² 40 = __ 8 q.L² 40 = __ 8
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 - LINHA DE INFLUÊNCIA E CARGAS MÓVEIS Página | 34
QUESTÃO: Para a viga biapoiada, submetida às ações permanentes e acidentais (carga móvel), calcular o Esforço Cortante e Momento Fletor, máximo e mínimo, na seção onde o momento fletor, devido a carga permanente, é máximo.
150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
C
B
2,0 m
6,0 m
30 kN
20 kN 1,5 m
15 kN/m
5 kN/m
15 kN/m
Carga Móvel
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 4.1
Análise da seção ONDE SERÁ A SEÇÃO DE ANÁLISE ?
Página | 35
A seção de momento fletor máximo localiza-se onde o esforço cortante é nulo, então, essa situação será analisada através do traçado do Diagrama de Esforço Cortante, para que possamos observar onde esse esforço vale 0. Após, iremos definir uma equação para esse trecho e igualar a zero. Assim, definimos o local exato onde o cortante vale 0 e o momento fletor seja máximo.
Reação de Apoio: 150 kN A
320 kN
160 kN.m C
B
4,0 m
4,0 m
2,0 m
6,0 m 8,0 m
150 . 6 8 320 . 4 8 160 8
VA
252,5 kN
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
C
B
2,0 m
Página | 36
6,0 m
VA 252,5 kN
Esforço Cortante: 𝑸𝐀 = 𝟐𝟓𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 QB1 = +252,5 − 40.2 = 𝟏𝟕𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 QB2 = +172,5 − 150 = 𝟐𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 QC = +252,5 − 40.8 − 150 = −𝟐𝟏𝟕, 𝟓 𝐤𝐍
252,5 172,5 + A
DEN (kN)
22,5 B
C
_
217,5
Conclusão: a seção onde o cortante é nulo está no trecho BC Equação do Trecho BC: Q (x2 ) = 22,5 − 40. x2 Seção onde o cortante vale zero: 0 = 22,5 − 40. x2 40. x2 = 22,5 22,5 x2 = 40 𝐱 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Conclusão: O momento fletor ocorre na seção distante 2,5625 m da seção A, chamaremos este ponto de Seção S.
252,5 172,5 +
22,5
A
_
B
0,5625 m
2m
4.2
Página | 37
DEN (kN) C
217,5
Esforços devido à carga permanente na Seção S:
150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
B
2,0 m
C
S
0,5625
5,4375 m
2,5625 m
VA 252,5 kN
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: QS = 0 MOMENTO FLETOR EM ‘S’: MS = +252,5 . 2,5625 − 40 . 2,5625 .
2,5625 − 150 . 0,5625 2
MS = 647,031 − 131,328 − 84,375 MS = 431,328 kN. m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 4.3
Análise da Carga Móvel: 4.3.1 Análise do Trecho AS (0 ≤ x1 ≤ 2,5625m) Reação de Apoio:
Página | 38
P = 1 kN 8 - x1
x1 A
C
S
2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
1 . (8 - x1) 8 VA
8 - x1 8
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: P = 1 kN 2,5625 - x1
x1 A
C
S
2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
VA
8 - x1 8
LI QS (x1 ) = QS (x1 ) 8 − x1 8 − x1 − 8 x1 QS (x1 ) = −1 = =− 8 8 8 𝐋𝐈 𝐐𝐒 (𝐱 𝟏 ) = −
𝐱𝟏 𝟖
Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 LI QS (0) = −
(0) =0 8
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 LI QS (2,5625) = −
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(2,5625) = −0,320 8
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: LI MS (x1 ) = MS (x1 ) = (
8 − x1 8
) . 2,5625 − 1 . (2,5625 − x1 )
MS (x1 ) =
(8 − x1 ). 2,5625 − 8 . (2,5625 − x1 ) 8
MS (x1 ) =
20,5 − 2,5625 x1 − 20,5 + 8 x1 5,4375 x1 = 8 8
𝐋𝐈 𝐌𝐒 (𝐱 𝟏 ) =
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐱𝟏 𝟖
Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 LI MS (0) =
5,4375 . (0) =0 8
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 LI MS (2,5625) =
5,4375 . (2,5625) = 1,742 8
4.3.2 Análise do Trecho SC (0 ≤ x2 ≤ 5, 4375m) Reação de Apoio: P = 1 kN x2 A
5,4375 - x2 C
S
2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
1 . (5,4375 - x2 ) 8 A
5,4375 - x2
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 5,4375 − x2 LI QS (x2 ) = QS (x2 ) = 8 𝐋𝐈 𝐐𝐒 (𝐱 𝟐 ) =
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝐱 𝟐 𝟖
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Página | 39
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 LI QS (0) =
5,4375 − (0) = 0,680 8 Página | 40
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 LI QS (5,4375) =
5,4375 − (5,4375) =0 8
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 5,4375 − x2 13,933 − 2,5625 x2 LI MS (x2 ) = MS (x2 ) = ( ) . 2,5625 = 8 8 𝐋𝐈 𝐌𝐒 (𝐱 𝟐 ) =
𝟏𝟑, 𝟗𝟑𝟑 − 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐱 𝟏 𝟖
Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 LI MS (0) =
13,933 − 2,5625. (0) = 1,742 8
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 LI MS (5,4375) =
13,933 − 2,5625. (5,4375) =0 8
4.3.3 Linha de Influência ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: -0,320 S
A
C
0,680 2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin MOMENTO FLETOR EM ‘S’: S C
A
Página | 41
1,742 2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
4.3.4 Esforço devido à carga móvel ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 20 kN
1,5 m
30 kN
15 kN/m 5 kN/m
-0,320 A
y'
S
C
y''
2,5625 m 1,0625 m y’ = -0,133
0,680 2,5625 m 30 kN
-0,320 y’
5,4375 m 1,5 m
2,5625 m 3,9375 m
20 kN
0,680 y’’
y’’ = -0,492
15 kN/m 5 kN/m
Esforço Cortante Mínimo: 1, 0625. (−0,133) Q′S (mínimo) = 30 . (−0,320) + 20. (−0,133) + 15. ( ) 2 1,5. (−0,133 − 0,320) +5. ( ) 2 Q′S (mínimo) = −9,600 − 2,660 − 1,060 − 1,700 𝐐′𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = −𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Esforço Cortante Máximo: 1,5. (0,680 + 0,492) Q′S (máximo) = 30 . (0,680) + 20. (0,492) + 5. ( ) 2 3,9375 . (0,492) + 15. ( ) 2 Q′S (máximo) = 20,400 + 9,840 + 4,395 + 14,529
Página | 42
𝐐′𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 2,5625 m
5,4375 m S C
A
y''' 5,4375 m 3,9375 m
1,742 30 kN
1,5 m
20 kN
15 kN/m
1,742 y’’’
y’’’ = 1,261
15 kN/m 5 kN/m
Momento Fletor Mínimo: 𝐌𝐒′ (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟎
Momento Fletor Máximo: 2,5625. (1,742) ) 2 1,5 . (1,742 + 1,261) 3,9375. (1,261) + 5. ( ) + 15. ( ) 2 2 = 52,260 + 25,220 + 33,479 + 11,261 + 37,239
MS′ (máximo) = 30 . (1,742) + 20. (1,261) + 15. (
MS′ (máximo)
𝐌𝐒′ (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓𝟗, 𝟒𝟓𝟗 𝐤𝐍. 𝐦
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 4.4
Esforços mínimos e máximos: (a) Esforço Cortante mínimo e máximo: 1) QS (mínimo) = QS (carga permanente) + QS (carga móvel) Página | 43
QS (mínimo) = 0 − 15,020 𝐐𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍 2) QS (máximo) = QS (carga permanente) + QS (carga móvel) QS (máximo) = 0 + 49,164 𝐐𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍
(b) Momento Fletor mínimo e máximo: 1) MS (mínimo) = MS (carga permanente) + MS (carga móvel) MS (mínimo) = 431,328 − 0 𝐌𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟑𝟏, 𝟑𝟐𝟖 𝐤𝐍. 𝐦 2) MS (máximo) = MS (carga permanente) + MS (carga móvel) MS (máximo) = 431,328 + 159,459 𝐌𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟓𝟗𝟎, 𝟕𝟖𝟕 𝐤𝐍. 𝐦
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15 kN 10 kN.m
D
C
E
F 3,0 m
30 kN/m
50 kN/m
A
B
2,0 m
5,0 m
3,0 m
Exercícios Resolvidos Pórticos planos e análise de cargas móveis 150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
C
B
2,0 m
6,0 m
30 kN
20 kN 1,5 m
15 kN/m
5 kN/m
15 kN/m
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SUMÁRIO 1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 - Isostática: Pórtico Plano
.......................................... 3
1.1 Reações de Apoio ......................................................................................................................................4 1.2 Esforço Normal ..........................................................................................................................................6 1.3 Esforço Cortante .......................................................................................................................................7 1.4 Momento Fletor .........................................................................................................................................9
2. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 - Isostática: Pórtico Plano
....................................... 11
2.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 12 2.2 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 14 2.3 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 15 2.4 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 18
3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 - Isostática: Pórtico Plano
....................................... 23
3.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 24 3.2 Análise da Barra Inclinada ................................................................................................................. 26 3.3 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 28 3.4 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 29 3.5 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 31
4. EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 – Linha de Influência e Cargas Móveis
........ 34
4.1 Análise da Seção ..................................................................................................................................... 35 4.2 Esforços devido à Carga Permanente ............................................................................................ 37 4.3 Análise da Carga Móvel ....................................................................................................................... 38 4.3.1 Análise do Trecho AS ................................................................................................................ 38 4.3.2 Análise do Trecho SC ................................................................................................................ 39 4.3.3 Linha de Influência .................................................................................................................... 40 4.3.4 Esforço devido à Carga Móvel ............................................................................................... 41 4.4 Esforços Mínimos e Máximos ........................................................................................................... 43
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 3
QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura, determine: (a) (b) (c) (d)
Reações de Apoio; Esforço Normal: Diagrama e Equações; Esforço Cortante: Diagrama e Equações; Momento Fletor: Diagrama e Equações.
2,0 m
2,0 m
30 kN/m C
D
A
B
20 kN
6,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 1.1
Reações de Apoio:
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:
30 kN/m
2,0 m
D
E
2,0 m
C 20 kN
HA A
B 6,0 m
VA
VB
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: FH = 0 ∴ para determinar HA MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB
3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: FH = 0 ∴ −HA + 20 = 0 ∴ 𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐇𝐀 = 𝟐𝟎 𝐤𝐍
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Página | 4
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MB = 0 ∴ 6 . VA + 20 . 2 − 30 . 6 . 3 = 0 6 . VA = −40 + 540 500 6 . VA = 500 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍 6 Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐀 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑𝟑 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 30 . 6 = 0 83,333 + VB − 180 = 0 VB − 96,667 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐁 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟔𝟕 𝐤𝐍
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise:
2,0 m
2,0 m
X3 D X2
X1
E
C A
B
X4
Consideração: Trecho 1: análise de A para C Trecho 2: análise de C para D Trecho 3: análise de D para E Trecho 4: análise de B para E
6,0 m
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Página | 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 1.2
Esforço Normal (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: X3
Trecho 1:
30 kN/m
Página | 6
N(x1 ) = −VA = − 83,333 kN 2,0 m
D
Trecho 2:
C
N(x2 ) = VA = 20 kN
A
N(x3 ) = HA − 20 = 20 − 20 = 0
X2
20 kN
2,0 m
Trecho 3:
E
X1
B
X4
HA = 20 kN 6,0 m
Trecho 4:
VB = 96,667 kN
VA = 83,333 kN
N(x4 ) = −VB = − 96,667 kN
Observação: Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama.
E
A
B
96,667
D
_
_
83,333
2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal:
DEN (kN)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 1.3
Esforço Cortante (Diagrama e Equações): X3
1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1:
Trecho 2: Q(x2 ) = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 Trecho 3: Q(x3 ) = +VA − 30 . x3
D
2,0 m 2,0 m
Q(x1 ) = +HA = 20
30 kN/m
C
E
Página | 7
X2
20 kN A
X1
B
X4
HA = 20 kN 6,0 m
VA = 83,333 kN
VB = 96,667 kN
Q(x3 ) = +83,333 − 30x3 Trecho 4: Q(x4 ) = 0
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: QA = +HA = 20 kN QAC C = +HA = 20 kN Trecho 2: QCD C = +HA − 20 = 20 − 20 = 0 QCD D =0 Trecho 3: QDE D = +VA = 83,333 kN QDE E = +VA − 30 . 6 = 83,333 − 180 = −96,667 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor do esforço é positivo (o diagrama será traçado para cima) e na outra extremidade o valor é negativo (o diagrama será traçado para baixo). Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
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Q(x3 ) = 83,333 − 30x3 0 = 83,333 − 30x3
∴
30x3 = 83,333 x3 =
83,333 ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟐, 𝟕𝟕𝟖 𝐦 30
Trecho 4: QBE B =0 QBE E =0
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 2,778 m
83,333
+ D
E
+
20
_ 96,667 A
B
DEC (kN)
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Página | 8
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 1.4
Momento Fletor (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1:
Página | 9
X3
M(x1 ) = +HA . x1 = 20x1
30 kN/m
(diagrama linear) D
2,0 m
M(x2 ) = M(x1 ) + HA . x2 − 20. x2 M(x2) = (20.2) + 20. x2 − 20. x2 M(x2 ) = +40
2,0 m
Trecho 2:
C
E
X2
20 kN A
(diagrama uniforme)
X1
B
X4
HA = 20 kN 6,0 m
Trecho 3: M(x3 ) = +VA . x3 − 30 . x3 . M(x3 ) = 83,333. x3 − 30.
x3 2
VA = 83,333 kN
VB = 96,667 kN
x32 2
(diagrama parabólico − 2° Grau)
Trecho 4: M(x4 ) = 0
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: Trecho 1: MA = 0 MCAC = +HA . 2 = 20.2 = 40 kN. m Trecho 2: MCCD = MCAC = 40 kN. m MDCD = +HA . 4 − 20.2 = 20.4 − 40 = 80 − 40 = 40 kN. m Trecho 3: MDDE = MDCD = 40 kN. m 6 MEDE = MDCD + VA . 6 − 30. 6. = 40 + 83,333.6 − 540 ≅ 0 kN. m 2
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Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 2,778 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo: DE Mmáx = MDCD + VA . (2,778) − 30. (2,778). DE Mmáx
(2,778) 2
Página | 10
= 40 + 83,333. (2,778) − 115,759
DE Mmáx = 155,740 kN. m
Trecho 4: MBBE = 0 MEBE = 0
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor:
2,778 m
E 0
D 40
40
M máx = 96,667
40
A
0E
Mmáx
D
q.L² 135 = ___ 8
q.L² 135 = ___ 8
DMF (kN.m)
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B
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 11
QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura, determine: (a) (b) (c) (d)
Reações de Apoio; Esforço Normal: Diagrama e Equações; Esforço Cortante: Diagrama e Equações; Momento Fletor: Diagrama e Equações.
15 kN 10 kN.m
C
D
E
F 3,0 m
30 kN/m
50 kN/m
A 2,0 m
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B 5,0 m
3,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 2.1
Reações de Apoio:
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:
15 kN 10 kN.m
D
C
E
F 3,0 m
30 kN/m
50 kN/m
A
B
HB
HA 2,0 m
5,0 m
3,0 m
VB
VA
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: esq
MC = 0 ∴ para determinar HA FH = 0 ∴ para determinar HB MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB 3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: esq
MC
30.3 1 . ( . 3) = 0 2 3 3 . HA − 45 = 0 45 3 . HA = 45 ∴ HA = ∴ 𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 3
= 0 ∴ 3 . HA −
Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐇𝐀 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍
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30.3 =0 2 − 15 − HB + 45 = 0 − HB + 30 = 0 ∴ 𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
FH = 0 ∴ − HA − HB +
Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
30.3 2 . ( . 3) − 50.10.2 − 15.5 + 10 = 0 2 3 7 . VA + 90 − 1000 − 75 + 10 = 0 975 7 . VA = 975 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍 7
MB = 0 ∴ 7 . VA +
Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐕𝐀 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 15 − 50 . 10 = 0 139,286 + VB − 15 − 500 = 0 VB − 375,714 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!
𝐕𝐁 = 𝟑𝟕𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝐤𝐍
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise:
E
X2
X3
X4
X1
B
A 2,0 m
F
5,0 m
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X5 3,0 m
3,0 m
D
C
Consideração: Trecho 1: análise de A para C Trecho 2: análise de C para D Trecho 3: análise de D para E Trecho 4: análise de F para E Trecho 5: análise de B para E
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Página | 13
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2.2
Esforço Normal (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: Trecho 1:
15 kN 10 kN.m
N(x1 ) = − 139,286 kN
50 kN/m
Trecho 2: N(x2 ) = 15 −
30.3 2
N(x2 ) = 15 − 45 = −30 kN
15 kN
X2
D
X1 A
30 kN
139,286 kN
Trecho 3:
2,0 m
F
E
X3
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
N(x3 ) = N(x2 ) = −30 kN Trecho 4: N(x4 ) = 0 Trecho 5: N(x5 ) = − 375,714 kN Observação: Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama.
2º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal:
30,000 F
375,714
E
_
_
139,286
D
_
C
0
B
A DEN (kN) www.wlcursos.com
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Página | 14
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2.3
Esforço Cortante (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
X2
D
X1 A
15 kN
F
E
X3
30 kN
139,286 kN
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
2,0 m
5,0 m
3,0 m
Trecho 1: Q(x1 ) = +15 −
30. x1 1 . ( . x1 ) = 15 − 5. x12 2 3
(diagrama parabólico − 2° grau)
Trecho 2: Q(x2 ) = +139,286 − 50. x2
(diagrama linear)
Trecho 3: Q(x3 ) = Q(x2 ) − 15 − 50. x3 Q (x3) = (139,286 − 50 . 2) − 15 − 50. x3 Q (x3) = (39,286) − 15 − 50. x3 Q(x3 ) = 24,286 − 50. x3 (diagrama linear)
Trecho 4: Q(x4 ) = 50. x4
(diagrama linear)
Trecho 5: Q(x5 ) = 30
(diagrama uniforme)
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Página | 15
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
15 kN
X2
D
X3
X1 A
30 kN
139,286 kN 2,0 m
Página | 16
F
E
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
Trecho 1: QA = 15 kN QAC C = QA −
30 . 3 = 15 − 45 = −30 kN 2
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
Q(x1 ) = 15 − 5. x12
∴
0 = 15 − 5. x12
∴
5. x12 = 15
15 x1 = √ ∴ 𝐱 𝟏 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐 𝐦 5 Trecho 2: QCD C = 139,286 kN CD QCD D = Q C − 50.2 = 139,286 − 100 = 39,286 kN
Trecho 3: CD QDE D = Q D − 15 = 39,286 − 15 = 24,286 kN DE QDE E = Q D − 50.5 = 24,286 − 250 = −225,714 kN
Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Q(x3 ) = 24,286 − 50. x3
∴
0 = 24,286 − 50. x3 x3 =
∴
50. x3 = 24,286
24,286 ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟔 𝐦 50
Trecho 4:
Página | 17
QF = 0 QFE E = 50.3 = 150 kN
Trecho 5: QB = 30 QBE E = Q B = 30 kN
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante:
150 39,286 24,286
+ C
E
D
F
_
2,486 m
C
30 225,714
E
+
_
DEC (kN)
15
+
1,732 m
+
139,286
A
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30
B
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Observação: Detalhe do traçado do trecho AC:
C q.L ___ =11,25 8
1,732 m
Página | 18
A
2.4
Momento Fletor (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
15 kN
X2
D
X1 A
30 kN
139,286 kN 2,0 m
F
E
X3
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
Trecho 1: M(x1 ) = +15. x1 − ( M(x1)
30. x1 x1 1 ) . ( ) . ( . x1 ) 3 2 3
x13 = 15. x1 − 30. 18
5. x13 M(x1 ) = 15. x1 − 3 (diagrama parabólico − 3° grau)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 2: x2 M(x2 ) = M(x1 ) + 139,286 . x2 − 50. x2 . ( ) 2 M(x2)
5. 33 = (15.3 − ) + 139,286. x2 − 25. x22 3
M(x2) = 0 + 139,286. x2 −
Página | 19
25. x22
M(x2 ) = 139,286. x2 − 25. x22
(diagrama parabólico − 2° grau)
Trecho 3: x3 M(x3 ) = M(x2 ) + (139,286. x3 − 100. x3 ) − 15. x3 − 50 . x3 . ( ) 2 2)
M(x3) = (139,286 . 2 − 25 . 2
x32 + (39,286. x3 ) − 15. x3 − 50. 2
M(x3 ) = 178,572 + 24,286. x3 − 25. x32
(diagrama parabólico − 2° Grau)
Trecho 4: x4 M(x4 ) = −10 − 50. x4. ( ) 2 M(x4 ) = −10 − 50.
x42 2
(diagrama parabólico − 2° Grau)
Trecho 5: M(x5 ) = −30. x5
(diagrama linear)
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m
15 kN
X2
D
X1 A
30 kN
139,286 kN 2,0 m
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F
E
X3
X4
3,0 m
30 kN/m
C
X5 B 375,714 kN
5,0 m
3,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 1: MA = 0 30 . 3 1 MCAC = +15.3 − ( ) . (3. ) = 0 2 3 Página | 20
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x1 = 1,732 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo: AD Mmáx = 15 .1,732 − (30.
1,732 1,732 1 ).( ) . ( . 1,732) 3 2 3
DE Mmáx = 25,98 − (17,32 . 0,866 . 0,577) DE Mmáx = 25,98 − (8,654) AD Mmáx = 17,326 kN. m
Trecho 2: MCCD = MCAC = 0 2 MDCD = MCCD + 139,286 . 2 − 50. 2. ( ) 2 MDCD = 0 + 278,572 − 100 = 178,572 kN. m
Trecho 3: MDDE = MDCD = 178,572 kN. m 7 MEDE = MCCD + 139,286 . 7 − 50. 7. ( ) − 15 . 5 2 MEDE = 0 + 975,002 − 1225 − 75 ≅ 325 kN. m
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 0,486 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo: DE Mmáx = MCCD + 139,286 . (2,0 + 0,486) +
−50. (2,0 + 0,486). (
(2,0 + 0,486) ) − 15 . (0,486) 2
DE Mmáx = 0 + 346,265 − 154,505 − 7,29 DE Mmáx = 184,470 kN. m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 4: MFFE = −10 3 MEFE = MFFE − 50. 3. ( ) = −10 − 225 = −235 kN. m 2 Página | 21
Trecho 5: MBBE = 0 MEBE = MBBE − 30 . 3 = 0 − 90 = −90 kN. m
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 325 235
D
C
F
178,572
184,470 M máx =
E
E
C Mmáx =17,326
90
1,732 m
DMF (kN.m)
A
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B
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Observação 1: Detalhe do traçado do trecho CE:
Página | 22
C
D
D
E
q.L² __ =25 8
q.L² 156,25 = __ 8 q.L² 156,25 = __ 8
Mmáx
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho AC e EF:
C q.L² 56,25 = __ 8
1,732 m
Mmáx
q.L² 56,25 = __ 8
q.L² 22,5 = __ 12
A
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E
F
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 – ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO – Página | 23
QUESTÃO: Para o pórtico mostrado na Figura, determine: (a) (b) (c) (d)
Reações de Apoio; Esforço Normal: Diagrama e Equações; Esforço Cortante: Diagrama e Equações; Momento Fletor: Diagrama e Equações.
20 kN/m
D
3,0 m
5 kN/m
C
B
A 4,0 m
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4,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 3.1
Reações de Apoio:
1º Passo: Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:
20 kN/m
D
3,0 m
5 kN/m
C
HB
A 4,0 m
B
4,0 m
VA
VB
2º Passo: Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: FH = 0 ∴ para determinar HB MB = 0 ∴ para determinar VA FV = 0 ∴ para determinar VB 3º Passo: Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: FH = 0 ∴ − HB + 5 . 3 = 0 − HB + 15 = 0 𝐇𝐁 = 𝟏𝟓 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐇𝐁 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍
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Página | 24
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
3 8 MB = 0 ∴ 8 . VA + 5. 3. ( ) − 20 . 8 . ( ) = 0 2 2 8 . VA + 22,5 − 640 = 0 617,5 8 . VA = 617,5 ∴ VA = ∴ 𝐕𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍 8 Conclusão: Valor da reação VA positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐀 = 𝟕𝟕, 𝟏𝟖𝟕 𝐤𝐍
FV = 0 ∴ VA + VB − 20 . 8 = 0 77,187 + VB − 160 = 0 VB − 82,813 = 0 ∴ 𝐕𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍 Conclusão: Valor da reação VB positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!
𝐕𝐁 = 𝟖𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝐤𝐍
Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: D
C
A
B
X3 4,0 m
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3,0 m
X2 X1
Consideração: Trecho 1: análise de B para D Trecho 2: análise de D para C Trecho 3: análise de A para C
4,0 m
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Página | 25
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 3.2
Análise da barra inclinada AC:
Comprimento da barra: hipotenusa2 = b2 + c 2 = 32 + 42 = 9 + 16 hipotenusa = √25 ∴ hipotenusa = 5m
Página | 26
20 kN/m
D
sen α =
cateto oposto 3 = hipotenusa 5
cos α =
cateto adjacente 4 = hipotenusa 5
3,0 m
5 kN/m
C
A
B
4,0 m
4,0 m
Análise da reação de apoio VA:
0m
C
5,
A
V'' A VA
4 V′A = VA . cos α = 77,187 . = 61,750 kN 5 3 V′′A = VA . sen α = 77,187 . = 46,312 kN 5
V'A
Análise da carga distribuída de 20 kN/m:
20 kN/m
80 q'' C
A
80
C
A
q'
A
C
4,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
Carga q’:
0m
4 Resultante: q = 80 . cos α = 80 . = 64 kN 5 64 Carga distribuída: q′ = = 12,8 kN. m 5
5,
′
/m kN
,8 12
C
Página | 27
A
Carga q’’:
0m
5,
3 Resultante: q = 80 . sen α = 80 . = 48 kN 5 48 Carga distribuída: q′′ = = 9,6 kN. m 5 ′′
6 9,
C
/m kN
A
Análise da carga distribuída de 5 kN/m:
3,0 m
5 kN/m
A
p''
C
C
C
15
15
p'
A
A
Carga p’: 3 Resultante: p′ = 15 . sen α = 15 . = 9 kN 5 9 Carga distribuída: p′ = = 1,8 kN. m 5 5,0
m
8 1,
/m kN
C
A
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Carga p’’: 4 Resultante: p′′ = 15 . cos α = 15 . = 12 kN 5 12 Carga distribuída: p′′ = = 2,4 kN. m 5
5,0
m
4 2,
C
/m kN
Página | 28
A
Resultado da decomposição dos esforços:
,6 14
/m kN
C
2
7,
/m kN
A
46,31 kN
3.3
61,75 kN
Esforço Normal (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 20 kN/m
N(x1 ) = − 82,813 ,6 14
/m kN
Trecho 2: N(x2 ) = −15
2
7, A
D
C
X2
/m kN
15 kN
N(x1 ) = − 46,31 + 7,2. x1
46,31 kN
61,75 kN 4,0 m
X1 B
X3
Trecho 3:
3,0 m
Trecho 1:
82,813 kN 4,0 m
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: NB = NDBD = − 82,813 kN
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 2: NDDC = NCDC = − 15 kN Trecho 3: NA = − 46,31
Página | 29
NCAC = − 46,31 + 7,2 . 5 = −46,31 + 36 = −10,31 kN
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Normal:
15,000
_
C
D
_
_
31 46, A
3.4
82,813
31 10,
B
DEN (kN)
Esforço Cortante (Diagrama e Equações):
1º Passo: Definição das Equações: 20 kN/m
Q(x1 ) = +15
,6 14
(diagrama uniforme)
/m kN ,2
7
Trecho 2: Q(x2 ) = −82,813 + 20. x2 (diagrama linear)
D
C
A
X2
/m kN
15 kN
61,75 kN 4,0 m
X1 B
X3 46,31 kN
3,0 m
Trecho 1:
82,813 kN 4,0 m
Trecho 3: Q(x3 ) = +61,75 − 14,6. x3 (diagrama linear)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: Trecho 1: QB = +15 kN QBD D = +15 kN
Página | 30
Trecho 2: QDC D = +82,813 kN DC QDC C = Q D − 20.4 = +82,813 − 80 = −2,813 kN
Trecho 3: QA = +61,75 kN QAC C = Q A − 14,6 . 5 = +61,75 − 73 = −11,25 kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.
Q(x3 ) = +61,75 − 14,6. x3
∴
0 = +61,75 − 14,6. x3 x3 =
∴
14,6 . x3 = 61,75
61,75 ∴ 𝐱 𝟑 = 𝟒, 𝟐𝟑 𝐦 14,6
3º Passo: Traçado do Diagrama de Esforço Cortante:
C
_
2,81
D
C
82,81
11,25
+
+
61,75
D
A
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m 23 , 4
DEC (kN)
15
B
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 3.5
Momento Fletor (Diagrama e Equações): 20 kN/m
,6 14
Trecho 1:
2 7,
M(x1 ) = −15. x1 (diagrama linear)
/m kN
D
C
X2
/m kN
3,0 m
1º Passo: Definição das Equações:
15 kN
A
B
X3 46,31 kN
61,75 kN
82,813 kN
4,0 m
Trecho 2:
Página | 31
X1
4,0 m
x2 M(x2 ) = M(x1 ) + 82,813 . x2 − 20. x2 . ( ) 2 M(x2) = (−15 . 3) + 82,813. x2 − 10. x22 M(x2) = −45 + 82,813. x2 − 10. x22 (diagrama parabólico − 2° grau)
Trecho 3: x3 M(x3 ) = 61,75. x3 − 14,60 . x3 . ( ) 2 M(x3) = 61,75. x3 − 7,3 . x32 (diagrama parabólico − 2° Grau)
2º Passo: Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 20 kN/m
Trecho 1: ,6 14
MDBD = MB − 15 . 3 MDBD
/m kN ,2
7 A
= 0 − 15 . 3 = −45 kN. m
D
C
X2
/m kN
15 kN
61,75 kN 4,0 m
X1 B
X3 46,31 kN
3,0 m
MB = 0
82,813 kN 4,0 m
Trecho 2: MDDC = MDBD = −45 kN. m 4 MCDC = MDDC + 82,813 . 4 − 20. 4. ( ) 2 MCDC = −45 + 331,252 − 160 = 126,25 kN. m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Trecho 3: MA = 0 5 MCAC = MA + 61,75 . 5 − 14,6 . 5 . ( ) = 126,252 kN. m 2 MCAC = 0 + 308,75 − 182,50 = 126,25 kN. m
Página | 32
Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x3 = 4,23 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo nesta seção: 4,23 AC Mmáx = 61,75 . (4,23) − 14,6. (4,23). ( ) 2 DE Mmáx = 261,202 − 130,618 AC Mmáx = 130,58 kN. m
3º Passo: Traçado do Diagrama de Momento Fletor:
45 C D
126,25 C
4
45 D
m ,23 126,25
A
130,58 Mmáx
B
DMF (kN.m)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Observação 1: Detalhe do traçado do trecho AC:
C Página | 33
3m
4,2
Mmáx
A q.L² 46,625 = __ 8
q.L² 46,625 = __ 8
Observação 2: Detalhe do traçado do trecho CD:
C D q.L² 40 = __ 8 q.L² 40 = __ 8
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4 - LINHA DE INFLUÊNCIA E CARGAS MÓVEIS Página | 34
QUESTÃO: Para a viga biapoiada, submetida às ações permanentes e acidentais (carga móvel), calcular o Esforço Cortante e Momento Fletor, máximo e mínimo, na seção onde o momento fletor, devido a carga permanente, é máximo.
150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
C
B
2,0 m
6,0 m
30 kN
20 kN 1,5 m
15 kN/m
5 kN/m
15 kN/m
Carga Móvel
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin RESOLUÇÃO: 4.1
Análise da seção ONDE SERÁ A SEÇÃO DE ANÁLISE ?
Página | 35
A seção de momento fletor máximo localiza-se onde o esforço cortante é nulo, então, essa situação será analisada através do traçado do Diagrama de Esforço Cortante, para que possamos observar onde esse esforço vale 0. Após, iremos definir uma equação para esse trecho e igualar a zero. Assim, definimos o local exato onde o cortante vale 0 e o momento fletor seja máximo.
Reação de Apoio: 150 kN A
320 kN
160 kN.m C
B
4,0 m
4,0 m
2,0 m
6,0 m 8,0 m
150 . 6 8 320 . 4 8 160 8
VA
252,5 kN
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
C
B
2,0 m
Página | 36
6,0 m
VA 252,5 kN
Esforço Cortante: 𝑸𝐀 = 𝟐𝟓𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 QB1 = +252,5 − 40.2 = 𝟏𝟕𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 QB2 = +172,5 − 150 = 𝟐𝟐, 𝟓 𝐤𝐍 QC = +252,5 − 40.8 − 150 = −𝟐𝟏𝟕, 𝟓 𝐤𝐍
252,5 172,5 + A
DEN (kN)
22,5 B
C
_
217,5
Conclusão: a seção onde o cortante é nulo está no trecho BC Equação do Trecho BC: Q (x2 ) = 22,5 − 40. x2 Seção onde o cortante vale zero: 0 = 22,5 − 40. x2 40. x2 = 22,5 22,5 x2 = 40 𝐱 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Conclusão: O momento fletor ocorre na seção distante 2,5625 m da seção A, chamaremos este ponto de Seção S.
252,5 172,5 +
22,5
A
_
B
0,5625 m
2m
4.2
Página | 37
DEN (kN) C
217,5
Esforços devido à carga permanente na Seção S:
150 kN 160 kN.m 40 kN/m A
B
2,0 m
C
S
0,5625
5,4375 m
2,5625 m
VA 252,5 kN
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: QS = 0 MOMENTO FLETOR EM ‘S’: MS = +252,5 . 2,5625 − 40 . 2,5625 .
2,5625 − 150 . 0,5625 2
MS = 647,031 − 131,328 − 84,375 MS = 431,328 kN. m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 4.3
Análise da Carga Móvel: 4.3.1 Análise do Trecho AS (0 ≤ x1 ≤ 2,5625m) Reação de Apoio:
Página | 38
P = 1 kN 8 - x1
x1 A
C
S
2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
1 . (8 - x1) 8 VA
8 - x1 8
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: P = 1 kN 2,5625 - x1
x1 A
C
S
2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
VA
8 - x1 8
LI QS (x1 ) = QS (x1 ) 8 − x1 8 − x1 − 8 x1 QS (x1 ) = −1 = =− 8 8 8 𝐋𝐈 𝐐𝐒 (𝐱 𝟏 ) = −
𝐱𝟏 𝟖
Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 LI QS (0) = −
(0) =0 8
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 LI QS (2,5625) = −
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(2,5625) = −0,320 8
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: LI MS (x1 ) = MS (x1 ) = (
8 − x1 8
) . 2,5625 − 1 . (2,5625 − x1 )
MS (x1 ) =
(8 − x1 ). 2,5625 − 8 . (2,5625 − x1 ) 8
MS (x1 ) =
20,5 − 2,5625 x1 − 20,5 + 8 x1 5,4375 x1 = 8 8
𝐋𝐈 𝐌𝐒 (𝐱 𝟏 ) =
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐱𝟏 𝟖
Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟎 LI MS (0) =
5,4375 . (0) =0 8
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐦 LI MS (2,5625) =
5,4375 . (2,5625) = 1,742 8
4.3.2 Análise do Trecho SC (0 ≤ x2 ≤ 5, 4375m) Reação de Apoio: P = 1 kN x2 A
5,4375 - x2 C
S
2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
1 . (5,4375 - x2 ) 8 A
5,4375 - x2
ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 5,4375 − x2 LI QS (x2 ) = QS (x2 ) = 8 𝐋𝐈 𝐐𝐒 (𝐱 𝟐 ) =
𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 − 𝐱 𝟐 𝟖
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Página | 39
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 LI QS (0) =
5,4375 − (0) = 0,680 8 Página | 40
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 LI QS (5,4375) =
5,4375 − (5,4375) =0 8
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 5,4375 − x2 13,933 − 2,5625 x2 LI MS (x2 ) = MS (x2 ) = ( ) . 2,5625 = 8 8 𝐋𝐈 𝐌𝐒 (𝐱 𝟐 ) =
𝟏𝟑, 𝟗𝟑𝟑 − 𝟐, 𝟓𝟔𝟐𝟓 𝐱 𝟏 𝟖
Então: 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟎 LI MS (0) =
13,933 − 2,5625. (0) = 1,742 8
𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐱𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐦 LI MS (5,4375) =
13,933 − 2,5625. (5,4375) =0 8
4.3.3 Linha de Influência ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: -0,320 S
A
C
0,680 2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin MOMENTO FLETOR EM ‘S’: S C
A
Página | 41
1,742 2,5625 m
5,4375 m 8,0 m
4.3.4 Esforço devido à carga móvel ESFORÇO CORTANTE EM ‘S’: 20 kN
1,5 m
30 kN
15 kN/m 5 kN/m
-0,320 A
y'
S
C
y''
2,5625 m 1,0625 m y’ = -0,133
0,680 2,5625 m 30 kN
-0,320 y’
5,4375 m 1,5 m
2,5625 m 3,9375 m
20 kN
0,680 y’’
y’’ = -0,492
15 kN/m 5 kN/m
Esforço Cortante Mínimo: 1, 0625. (−0,133) Q′S (mínimo) = 30 . (−0,320) + 20. (−0,133) + 15. ( ) 2 1,5. (−0,133 − 0,320) +5. ( ) 2 Q′S (mínimo) = −9,600 − 2,660 − 1,060 − 1,700 𝐐′𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = −𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin Esforço Cortante Máximo: 1,5. (0,680 + 0,492) Q′S (máximo) = 30 . (0,680) + 20. (0,492) + 5. ( ) 2 3,9375 . (0,492) + 15. ( ) 2 Q′S (máximo) = 20,400 + 9,840 + 4,395 + 14,529
Página | 42
𝐐′𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍
MOMENTO FLETOR EM ‘S’: 2,5625 m
5,4375 m S C
A
y''' 5,4375 m 3,9375 m
1,742 30 kN
1,5 m
20 kN
15 kN/m
1,742 y’’’
y’’’ = 1,261
15 kN/m 5 kN/m
Momento Fletor Mínimo: 𝐌𝐒′ (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟎
Momento Fletor Máximo: 2,5625. (1,742) ) 2 1,5 . (1,742 + 1,261) 3,9375. (1,261) + 5. ( ) + 15. ( ) 2 2 = 52,260 + 25,220 + 33,479 + 11,261 + 37,239
MS′ (máximo) = 30 . (1,742) + 20. (1,261) + 15. (
MS′ (máximo)
𝐌𝐒′ (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓𝟗, 𝟒𝟓𝟗 𝐤𝐍. 𝐦
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin 4.4
Esforços mínimos e máximos: (a) Esforço Cortante mínimo e máximo: 1) QS (mínimo) = QS (carga permanente) + QS (carga móvel) Página | 43
QS (mínimo) = 0 − 15,020 𝐐𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟎 𝐤𝐍 2) QS (máximo) = QS (carga permanente) + QS (carga móvel) QS (máximo) = 0 + 49,164 𝐐𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟗, 𝟏𝟔𝟒 𝐤𝐍
(b) Momento Fletor mínimo e máximo: 1) MS (mínimo) = MS (carga permanente) + MS (carga móvel) MS (mínimo) = 431,328 − 0 𝐌𝐒 (𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨) = 𝟒𝟑𝟏, 𝟑𝟐𝟖 𝐤𝐍. 𝐦 2) MS (máximo) = MS (carga permanente) + MS (carga móvel) MS (máximo) = 431,328 + 159,459 𝐌𝐒 (𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨) = 𝟓𝟗𝟎, 𝟕𝟖𝟕 𝐤𝐍. 𝐦
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