Ecc. Bernoulli

Conservación de la energía Ecuación de Bernoulli Ley de conservación de la energía: La energía no puede ser creada ni destruida, solo se transforma de un tipo en otro. Cuando se analizan problemas de flujo en conductos, es necesario considerar tres formas de energía:

Energía de Flujo (llamada también Energía de presión o trabajo de flujo): Representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión p.

𝐸𝐹=𝜔∗𝑃 𝛾

Donde: 𝜔 = peso del fluido, P = presión y 𝛾 = peso específico del fluido.

Conservación de la energía Ecuación de Bernoulli 

Energía Potencial:

Debido a su elevación, la energía potencial del elemento de fluido con respecto a algún nivel de referencia está dada por:

𝐸𝑧=𝜔∗𝑧 

Energía Cinética:

Debido a su velocidad la energía cinética del elemento de fluido es:

𝐸

𝜔∗𝑣 2 𝐾= 2∗𝑔



La cantidad total de energía que posee el elemento de fluido será la suma de las tres energías anteriores:

𝜔∗𝑃 𝜔 + 𝑣2 𝐸= +𝜔∗𝑧+ 𝛾 2∗𝑔

Considere un elemento de fluido que pasa por las secciones 1 y 2 (tal como se muestra en la figura):

La energía total en el punto 1 es:

𝜔 ∗ 𝑃1 𝜔 ∗ 𝑣12 𝐸1 = + 𝜔 ∗ 𝑧1 + 𝛾 2∗𝑔 La energía total en el punto 2 es:

𝜔 ∗ 𝑃2 𝜔 ∗ 𝑣22 𝐸2 = + 𝜔 ∗ 𝑧2 + 𝛾 2∗𝑔



E1= E2, se simplifica el peso w del elemento de fluido, se obtiene la Ecuación de Bernoulli.

𝑃1 𝑣12 𝑃2 𝑣22 + 𝑧1 + = + 𝑧2 + 𝛾 2∗𝑔 𝛾 2∗𝑔 Z= Cota o altura geométrica para un fluido en movimiento en régimen permanente. 𝑃 𝛾

= Altura de presión, equivalente a la altura del líquido necesario para ejercer una presión.

𝑣12 = 2∗𝑔

Altura de velocidad, equivalente a la altura del líquido que debe tener un estanque para que a

través de un orificio en el fondo el liquido salga a una velocidad v.

Restricciones de la ecuación de Bernoulli 

Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.



No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la energía total del fluido es constante.



No puede haber transferencia de calor hacia adentro o afuera del sistema.



No puede haber pérdidas de energía debidas a la fricción.

Aplicaciones Bernoulli

Patm

z1 < z2

Transformación de energía cinética en energía de presión.

Transformación de energía de presión en energía de potencial.

v1 > v 2 Transformación de energía cinética en energía de presión.

EJERCICIOS. 1.

Por toda una casa circula agua a través de un sistema de calefacción. Si se bombea a una velocidad de 0.5 m/s por una tubería de 10 cm de diámetro situada en el sótano con una presión de 3 atm, ¿cuál será la velocidad de circulación y la presión en una tubería de 6 cm de diámetro situada en el segundo piso (5m más arriba)?

2.

Un sistema de suministro de agua hace uso de un depósito de almacenamiento. Si el nivel del agua en el depósito alcanza el punto A que está 12m por encima de la cañería principal (nivel constante), y la velocidad del agua en el punto B de la cañería es 16 m/s, ¿cuál es la presión manométrica en los puntos A y B?

EJERCICIOS. 3. (Teorema de Torricelli). En la figura adjunto se muestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque A, que tiene un diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular: a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza. b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B. c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.

1 Dh

1 A

2

h1 3

h2

B

h3

(3

EJERCICIOS. 4. Por un tubo de Vénturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua DH = 30 cm. Calcule:¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo?

DH

2 1

5. Una bomba manual de rociado absorbe líquido de un depósito, que se encuentra conectado al tramo más angosto de la bomba, a través de un tubo que tiene una altura, Dh =8 cm, como se muestra en la figura. El diámetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el diámetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el líquido en el depósito tiene una densidad de 0.75 gr/cm3. Considerando una densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en la bomba, calcular:La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta, DP, mínima para elevar el líquido desde el depósito a una altura Dh. -Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de la bomba.

Aire AAire Dh Líquido

Bomba manual para rociar.