Ecuacion De Bernoulli 2019

Mecánica de los Fluidos

Bernoulli.

UNIDAD 2

10. Para el sistema mostrado se tiene un tanque de dimensiones 4 m de ancho, 7 m de largo y 5 m de profundidad presurizado a 120 kPa (abs), ejerciendo el líquido 1263,5 kN en el volumen que ocupa, calcular: a. el flujo volumétrico del aceite que sale de la tobera. R: 807,3092 L/min b. las presiones en B y C. R: 93,4918 kPa ; 62,6169 kPa c. Si la presión en A es de 108,3478 Pa, cual es la distancia que separa el punto A al B. R: 1,5637 m

0,25 m

1

8 m C

Tubería de hierro dúctil de 4 in 2 Solución: Para resolver este tipo de ejercicios se debe extraer y buscar todos los datos posibles que suministre el enunciado. Como el problema habla de un fluido y no especifica cual es se puede calcular el peso específico dividiendo la fuerza que este ejerce entre el volumen que ocupa en el tanque. Vlíquido = 4 m ∙ 7 m ∙ (5 − 0,25)m = 133 m3 γ=

W 1263,5 kN kN = = 9,5 3 3 V 133 m m

Buscamos el dato del área en los apéndices en la tubería de hierro dúctil A = 0,0917 ft2 = 8,518.10-3 m2 (apéndice 2.16) Luego aplicamos la ecuación de Bernoulli seleccionando los puntos que nos suministren más datos y se eliminen más variables con la teoría de las consideraciones. El punto 1 lo colocamos en la superficie del tanque debido a que la velocidad se hace cero ya que no dan diámetro y colocamos el punto 2 debido a que si transformamos la presión en el tanque a manométrica esta presión en el punto 2 se puede hacer cero. p1 = 120 kPa – 101,3 kPa = 18,7 kPa Aplicamos Ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 p1 v1 2 p2 v2 2 + z1 + = + z2 + γ 2∙g γ 2∙g Haciendo el nivel de referencia en el punto más bajo en el punto 2, simplificando las variables respectivas según las consideraciones. p1 v2 2 + z1 = γ 2∙g

Despejando velocidad kN 18,7 2 p1 m + 8m) ∙ 2 ∙ 9.81 m = 13,985 m √( + z1 ) ∙ 2 ∙ g = v2 ; v2 = √( kN γ s2 s 9,5 3 m Calculamos el área del chorro A=

𝜋 ∙ (35 𝑚𝑚 ∙

2 1𝑚 ) 1000 𝑚𝑚

4

= 9,6211. 10−4 m2

L m m3 60000 min L −4 2 −2 Q = 13,985 ∙ 9,6211. 10 m = 1,3455. 10 ∙ = 807,3092 3 m s s min 1 s Con el caudal obtenido calculamos la velocidad en la tubería. Q

v=A=

m3 s 8,518.10−3 m2

1,3455.10−2

= 1,5796

m s

;

υB 2 2∙g

=

m 2 s m 2.9,81 s

(1,5796 )

= 1,2717. 10−1 m

Para calcular la presión en B aplicamos Bernoulli entre 1 y B p1 v1 2 pB vB 2 + z1 + = + zB + γ 2∙g γ 2∙g La velocidad en 1 se hace cero y se hace el nivel de referencia en B por lo que zB es cero. Simplificando y despejando pB nos queda. p

( γ1 + z1 −

vB 2

p1

) ∙ γ = pB ; 2∙g

γ

+ (z1 −

vB 2 2∙g

) ∙ γ = pB

kN kN kN + (8m − 1,2717. 10−1 m ) ∙ 9,5 3 = 93,4919 2 2 m m m Para calcular la presión en C aplicamos Bernoulli entre 1 y C p1 v1 2 pC vC 2 + z1 + = + zC + γ 2∙g γ 2∙g pB = 18,7

La velocidad en 1 se hace cero y se hace el nivel de referencia en C por lo que zC es cero. Simplicando y despejando pC nos queda. p

( γ1 + z1 −

vC 2

) ∙ γ = pB ; 2∙g

p1 γ

+ (z1 −

Entonces pC = 18,7

kN m2

vC 2 2∙g

vC 2 2∙g

=

) ∙ γ = pC ; Donde vC = vB

vB 2 2∙g

+ (4,75 m − 1,2717. 10−1 m ) ∙ 9,5

kN m3

= 62,6169

kN m2

Para calcular la distancia entre A y B aplicamos ecuación de Bernoulli entre estos dos puntos pA vA 2 pB vB 2 + zA + = + zB + γ 2∙g γ 2∙g La velocidad en los dos puntos son las mismas por estar dentro de la misma tubería por lo que las cargas se cancelan por las consideraciones. Nivel de referencia en A entonces zA es cero simplificando y despejando zB nos queda. pA γ

=

pB γ

+ zB ; zB =

pA− pB γ

=

(108,3478−93,4919) kN

9,5 3 m

kN m2

= 1,5638 m

12. Para el sistema que aparece en la figura, fluye aceite SAE 55W a 210°F con 10,4853 grados API, generando al pasar por el punto B una presión de 0,5 bar de vacío. Calcular: a. El flujo volumétrico del aceite que sale del tanque. R: 9776,4667 N/m3; 6538,8089 gal/h b. Diámetro de la tubería en mm que está conectada al tanque. R: 36,8677 mm 3 c 3m

1

c

13 m

2

Primero calculamos el peso específico buscamos el aceite SAE 55W a 210°F = 890/9 °C no se encuentra ningún dato por lo que se usa el dato de 10,4853 grados API 141,5 141,5 SG = = = 0,9966 131,5 + grados API 131,5 + 10,4853 γ kN SG = ; γ = SG ∙ γref a 4°C = 0,9966 ∙ 9,81 3 γref a 4°C m Aplicando ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 p1 v1 2 p2 v2 2 + z1 + = + z2 + γ 2∙g γ 2∙g En el punto 1 como está abierto a la atmosfera la presión es cero y en la superficie de un fluido la velocidad se asume cero, en el punto dos también está expuesto a la atmosfera la presión en 2 es cero, seleccionamos el nivel de referencia en el punto 2 por lo que la z = 0. La ecuación nos queda v2 2 Q z1 = ; √z1 ∙ 2 ∙ g = v2 = 2∙g A2 2 𝜋 1 𝑚 Q = A2 ∙ √z1 ∙ 2 ∙ g = ∙ (25 𝑚𝑚 ∙ ) ∙ √10 𝑚 ∙ 2 ∙ 9,81 2 4 1000 𝑚𝑚 𝑠 gal m3 15850 min 60 min gal Q = 6,8757. 10−3 ∙ ∙ = 6538,8281 3 m s 1h h 1 s

Para calcular el diámetro de una tubería se debe conocer su velocidad para luego con el caudal que no varía despejar el área que es circular. p1 v1 2 p3 v3 2 + z1 + = + z3 + γ 2∙g γ 2∙g Seleccionando 1 como punto de referencia, la velocidad, la presión y la z se hacen cero por las consideraciones de Bernoulli. La ecuación nos queda. p3 v3 2 0= + z3 + γ 2∙g Despejamos la velocidad. v3 = √2 ∙ g ∙ (−

𝐷3 =

4∙Q √

p 𝜋 ∙ √2 ∙ g ∙ (− γ3 − z3 )

p3 Q − z3 ) = ; A3 = γ A3

Q p √2 ∙ g ∙ (− γ3 − z3 )

=

𝜋 ∙ 𝐷3 2 4

m3 4 ∙ 6,8757. 10−3 s

=

kN m −0,5 bar 101,325 m2 𝜋 ∙ √2 ∙ 9.81 2 ∙ (− kN ∙ 1,01325 bar − 3m) s 9,7765 3 m √ 1000 mm 𝐷3 = 0,0368677 m ∙ = 36,8677 mm 1m

= 0,0368677 m

15. A través del medidor Venturi de la figura, fluye agua residual desde A hasta B, donde la velocidad en el punto A es de 4,5 ft/s, se genera una caída de presión de p1 – p2 = – 1,5 psi, y la deflexión en el manómetro 66 mm. Calcular la velocidad y el diámetro en el punto B. Diámetro interno de 6 in 1 A

Como no se define esta altura se coloca como incógnita Y

X B

30 in Y

2

h Diámetro interno 5,8 in

Mercurio (sg=13,5256)

Solución: primero determinamos todos los datos que nos da el enunciado. 3,2808 ft vA = 4,5 ft/s ; p1 – p2 = – 1,5 psi ; la deflexión que es h = 66mm ∙ 1000 mm = 0,2165 ft

Como nos piden calcular la velocidad en B, aplicamos ecuación de Bernoulli entre A y B pA vA 2 pB vB 2 + zA + = + zB + γ 2∙g γ 2∙g Hacemos nivel de referencia en B, entonces zB = 0 y despejamos vB √(

pA −pB γ

+ zA +

vA 2 2∙g

) ∙ 2 ∙ g = vB

1

La distancia zA como no me dan magnitud colocamos este dato como una incógnita zA = X. Luego nos falta la caída de presión pA – pB pero la podemos calcular por recorrido manométrico. Por recorrido empezamos por el punto B pB + γ ∙ Y + γHg ∙ h − γ ∙ (h + X + Y) = pA pB + γ ∙ Y + γHg ∙ h − γ ∙ h − γ ∙ X − γ ∙ Y = pA

Simplificando términos semejantes nos queda

γHg ∙ h − γ ∙ h − γ ∙ X = pA − pB Dividiendo cada termino entre el peso específico del fluido nos queda γHg ∙ h γ

−h−X=

pA −pB

2

γ

Sustituyendo 2 en 1 tenemos γHg ∙ h vA 2 vB = √( −h−X+X+ )∙2∙g γ 2∙g Simplificando nos queda. γHg ∙ h vA 2 vB = √( −h+ )∙2∙g γ 2∙g Como el fluido es agua residual (agua con algún desecho industrial) no se tiene ninguna tabla de los apéndices. Debemos buscar 2 puntos en los que se tengan todos los datos excepto el peso específico aplicar la ecuación de Bernoulli para poder despejarlo. Observando en el ejercicio se da la caída de presión entre los puntos 1 y 2 los cuales tienen diferencia de altura y con los datos de diámetro que se suministran se puede determinar la velocidad, determinando el caudal con la velocidad en el punto A que sería la misma del punto 1 para luego determinar la velocidad en 2. Aplicando ecuación de Bernoulli entre 1 y 2. p1 v1 2 p2 v2 2 + z1 + = + z2 + γ 2∙g γ 2∙g Nivel de referencia z2, entonces z2 = 0, despejamos el peso específico. p1 −p2 γ

=

v2 2 2∙g

−

v1 2

v 2

2 − z1 ; p1 − p2 = γ ∙ ( 2∙g − 2∙g p1 − p2 =γ 2 v2 v1 2 (2 ∙ g − 2 ∙ g − z1 )

Calculando las velocidades. π ∙D2

π ∙(6 in)2

1 ft2

Q = vA . AA AA = 4 = ∙ 144 in2 = 1,9635. 10−1 ft 2 4 ft ft 3 Q = 4,5 . 1,9635. 10−1 ft 2 = 8,8357. 10−1 s s

v1 2 2∙g

− z1 ) ;

El área en 2 se calcula de igual manera que el área en A. −1

2

Q

A2 = 1,8348. 10 ft ; v2 = A = 2

ft3 s 1,8348.10−1 ft2

8,8357.10−1

= 4,8157

ft s

Calculando las cargas ft 2 2 (4,5 s ) v1 v2 2 −1 = = 3,1469. 10 ft ; = 3,6039. 10−1 ft ft 2 ∙ g 2 ∙ 32,174 2∙g s2 Sustituyendo y calculando el peso específico nos da como resultado: lb 144 in2 −1,5 2f ∙ lbf in 1 ft 2 γ= = 88,0088 3 1 ft ft (3,6039. 10−1 ft − 3,1469. 10−1 ft − 30 in ∙ 12 in) Entonces lb 13,5256 ∙ 62,4 3f ∙ 0,2165 ft ft ft ft vB = √( − 0,2165 ft + 3,1469. 10−1 ft ) ∙ 2 ∙ 32,174 2 = 11,8052 lb s s 88,0088 3f ft Para el cálculo del diámetro de la ecuación de caudal sustituimos la ecuación del área de un círculo. Q = vB .

π ∙DB 2 4

4∙Q

y despejamos el diámetro DB = √v

B∙π

ft 3 4 ∙ 8,8357. 10−1 s 12 in DB = √ = 0,3087 ft ∙ = 3,7044 in ft 1 ft 11,8052 s ∙ 𝜋 18. Para el sistema que aparece en la figura, por efecto de una presión en el tanque de diámetro 0,5 m, fluye un compuesto químico (Ácido sulfúrico al 60%) con 0,4909 ft3/slugs a 68°F para surtir a unas piscinas y realizar su desinfección. Las tuberías son de hierro dúctil recubierto antes de la expansión de 2 ½ in con 69,7 mm de diámetro interno y después de la expansión es de 3 in. Calcular la presión en el tanque, si la presión justo antes de la expansión es de 40 psi de vacío. R: presión en el tanque 23,6382 psi

250 ft

25 ft

Expansión

Solución: primero determinamos el peso específico transformando la temperatura 68°F = 20°C, buscamos en tabla se encuentra el SG = 1,05 o se usa el dato del enunciado que es un volumen específico. ft 1 lbf ∙ s 2 32,174 2 g lbf s ∙ ft γ= = = 65,5408 ft 3 ѵ 1 slugs ft 3 0,4909 slugs lbf lbf γ = SG ∙ γref a 4°C = 1,05 ∙ 62,4 3 = 65,52 3 ft ft Buscamos el área de cada tubería por los apéndices para cada una. Entrada 2 ½ in 3,2808 ft

D = 69,7 mm∙ 1000 mm = 0,2287 ft 𝐴=

Salida 3 in A = 0,0601 ft2

π ∙ D2 π ∙ (0,2287 ft)2 = = 4,1079 ∙ 10−2 ft 2 4 4

En el tanque: 3,2808 ft

D = 0,5 mm∙ 1000 mm = 1,6404 ft π ∙ D2 π ∙ (1, .6404 ft)2 𝐴= = = 2,1134 ft 2 4 4 Si vamos a determinar la presión en el tanque hacemos punto en la superficie del fluido en el tanque y en la salida del chorro, para que con las consideraciones se eliminen más variables. Sería el punto 1 y 2 p1 v1 2 p2 v2 2 + z1 + = + z2 + γ 2∙g γ 2∙g Haciendo nivel de referencia en la salida del chorro punto 2 esta carga de altura se hace cero, la presión en este punto está expuesta a la atmosfera por lo que también se hace cero, en cuanto en el punto 1 como no se tiene caudal no se puede despreciar la velocidad en el tanque debido a que nos dan diámetro. Simplificando nos queda. v2 2 v1 2 p1 = γ ∙ ( − − z1 ) 2∙g 2∙g Procedemos a determinar el caudal para ello se deben seleccionar dos puntos que tengan todos los datos exceptos que no se pueda determinar la carga de velocidad, lo ideal sería seleccionar un punto en la superficie del fluido para que esta carga de velocidad se eliminara y nos quedaría la otra carga sola para despejar, pero en el tanque esta la incógnita de la presión por lo que este punto no es recomendable. Aplicamos ecuación de Bernoulli entre 3 y 2. p3 v3 2 p2 v2 2 + z3 + = + z2 + γ 2∙g γ 2∙g El nivel de referencia es en el punto 3 esta carga de altura es cero como el punto 2 está en el mismo nivel su carga de altura también es cero y la presión es cero por estar expuesta a la atmosfera. Simplificando nos queda. p3 v3 2 v2 2 1 + = γ 2∙g 2∙g No se tiene valor de velocidad por lo que se agrupan las cargas de un lado y se despeja la diferencia de las velocidades al cuadrado, nos quedaría la ecuación.

p3 ∙ 2 ∙ g = v2 2 − v3 2 γ Para resolver este problema debemos aplicar la ecuación de continuidad entre los puntos 2 y 3 para llevar una velocidad en función de la otra y así poder despejar una velocidad. Aplicando ecuación de continuidad nos quedaría. 𝐴2 ∙ v2 = 𝐴3 ∙ v3 Para realizar un mejor trabajo con los datos se debe pasar el área menor hacia el lado del área mayor 𝐴2 ∙ v2 0,0601 ∙ v2 = v3 ; v3 = 𝐴3 4,1079 ∙ 10−2 v3 = 1,4634 ∙ v2 Sustituyendo en la ecuación 1 p3 ∙ 2 ∙ g = v2 2 − (1,4634 ∙ v2 )2 γ p3 ∙ 2 ∙ g = −1,1415 ∙ v2 2 γ lbf 144 in2 ∙ in2 1 ft 2 ∙ 2 ∙ 32,174 ft −1,1415 ∙ v2 2 = lb s2 65,52 3f ft ft 2 −1,1415 ∙ v2 2 = −5656,9670 2 s ft v2 = 70,3969 s Con este valor podemos determinar el caudal y las demás velocidades si son necesarias para realizar el ejercicio ft ft 3 𝑄 = 𝐴2 ∙ v2 = 0,0601 ft 2 ∙ 70,3969 = 4,2309 s s 2 3 ft ft (2,0019 s ) Q 4,2309 s ft v1 2 v1 = = = 2,0019 ; = = 6,2283. 10−2 ft A 2,1134 ft 2 s 2 ∙ g 2 ∙ 32,174 ft s2 −40

v2 2 = 77,0144 ft 2∙g Sustituyendo los datos para determinar la presión en el tanque tenemos. lbf 1 ft 2 −2 p1 = 65,52 3 ∙ (77,0144 ft − 6,2283. 10 ft − 25 ft) ∙ = 23,6382 psi ft 144 in2

Realizado por: Ruben Villamizar