Ecuacion De Calor (resumen)

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA DE FLUIDOS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES TEMA: LA ECUACIÓN DE CALOR

PROFESOR: Mg. QUIQUE BRONCANO, JOSÉ INTEGRANTES:      

GARCIA NUÑEZ, PEDRITO OSCAR ………………15130038 SIMEON HUAYNATE, CHRISTIAN JHON ………15130055 RAYME OSPINA, ARNOLD JORDY………………..15130052 ANCCASI HUAYLLA, EDUARDO DEYBER……….15130209 CHOCHOCA YARLEQUE, ROBERTO………………15130034 MENDOZA COTRINA, DIEGO………………………..15130073

LIMA - PERÚ 2017

LA ECUACIÓN DE CALOR

∆𝑥 𝑥

𝑥 + ∆𝑥

X L

Fig. 1 conducción de calor en una varilla delgada.

1. DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CALOR: Considere una varilla homogénea conductora de calor de sección transversal uniforme A y de densidad constante ρ que se extiende desde x = 0 a x =L a lo largo del eje x. Supongamos que la varilla está aislada lateralmente de modo que el calor fluye solo en la dirección x, y que la varilla sea lo suficientemente delgada para que la temperatura en todos los puntos de la sección transversal sea constante. Según la teoría de flujo de calor, la cantidad de calor que hay en el segmento 𝒙 y 𝒙 + ∆𝒙 es: 𝑥+∆𝑥

𝑄(𝑡) = ∫

𝑐𝜌𝐴𝑢(𝑠, 𝑡)𝑑𝑠

𝑥

Donde: 𝑢: representa a la temperatura en el punto x en el instante t c: calor específico de la varilla. Además: 𝜕𝑢  Velocidad que fluye el calor en la posición 𝒙 es: −𝐾𝐴 𝜕𝑥 (𝑥, 𝑡)……………………………………..(𝛼1 ) 

𝜕𝑢

Velocidad que fluye el calor en la posición 𝒙 + ∆𝒙 es: −𝐾𝐴 𝜕𝑥 (𝑥 + ∆𝑥, 𝑡)………………..(𝛼2 ) (K: conductividad térmica de la varilla)

Entonces,

𝜕𝑄 𝜕𝑡

es igual a (𝛼1 )- (𝛼2 ): 𝑥+∆𝑥 𝜕𝑄 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 (𝑠, 𝑡)𝑑𝑠 = 𝐾𝐴[ (𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − (𝑥, 𝑡) ] =∫ 𝑐𝜌𝐴 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑥

𝑐𝜌

𝜕𝑢 𝜕𝑡

(𝜉, 𝑡)∆𝑥 = 𝐾[

𝜕𝑢 𝜕𝑥

(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) −

𝜕𝑢 𝜕𝑥

(𝑥, 𝑡) ] , (𝒙 < 𝝃 < 𝒙 + ∆𝒙)

Dividiendo entre 𝒄𝝆∆𝒙: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝐾 𝜕𝑥 (𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − 𝜕𝑥 (𝑥, 𝑡) (𝜉, 𝑡) = [ ] 𝜕𝑡 𝑐𝜌 ∆𝑥 Tomando límite cuando ∆𝒙 → 𝟎 :

𝜕𝑢 𝜕𝑢 (𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − (𝑥, 𝑡) 𝜕𝑢 𝐾 𝜕𝑥 (𝜉, 𝑡) = lim lim [ 𝜕𝑥 ] ∆𝑥→0 𝜕𝑡 𝑐𝜌 ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝜕𝑢 𝜕𝑡

(𝑥, 𝑡) = 𝑘

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

(𝑥, 𝑡)

𝐾

,

(𝑘 = 𝑐𝜌)

Ordenando la expresión: 𝜕𝑢 𝜕𝑡

(𝑥, 𝑡) − 𝑘

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

(𝑥, 𝑡) = 0

(EC. DE CALOR UNIDIM. HOMOGÉNEA)

Si se suministra calor a la varilla de fuente externa a un ritmo 𝑓(𝑥, 𝑡) por unidad de volumen entre tiempo, entonces se tiene la EC. DE CALOR NO HOMOGÉNEA:

𝜕𝑢 𝜕 2𝑢 (𝑥, 𝑡) − 𝑘 2 (𝑥, 𝑡) = 𝐹(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 Si el calor está siendo radiada desde la varilla en el medio circundante, se tiene: 𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝜕𝑢 𝜕𝑡

(𝑥, 𝑡) − 𝑘

(𝑥, 𝑡) − 𝑘

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

(𝑥, 𝑡) + ℎ𝑢(𝑥, 𝑡) = 0

(EC. DE RADIACIÓN HOMOGÉNEA)

(𝑥, 𝑡) + ℎ𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐹(𝑥, 𝑡) (EC. DE RADIACIÓN NO HOMOGÉNEA)

Donde: h: constante positiva.

2. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA: A partir de las consideraciones físicas, la ecuación diferencial, por sí sola, no puede determinar la distribución de la temperatura de la varilla en cualquier momento posterior. Para ello necesitamos tener información adicional, por ejemplo: 𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0

(0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0) (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿)……. (𝛽1 ) (𝑡 ≥ 0)……. (𝛽2 )

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0

Donde (𝛽1 ) y (𝛽2 ) son llamado condición inicial y de frontera, respectivamente. Si las dos extremos de la varilla estás aislados de manera que no hay flujo de calor a través de los extremos, las condiciones de contorno asumen la forma : 𝜕𝑢 (0, 𝑡) 𝜕𝑥

= 0,

𝜕𝑢 (𝐿, 𝑡) 𝜕𝑥

= 0 , (𝑡 ≥ 0)

Si hay radiación en los extremos de la varilla, entonces las condiciones de contorno son: 𝜕𝑢 (0, 𝑡) + ℎ𝑢(0, 𝑡) = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑢 (𝐿, 𝑡) + ℎ𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 𝜕𝑥

Problemas: 1. Verificar que la función dada: 2

𝑢(𝑥, 𝑡) =

1 −𝑥 𝑒 4𝑡 …………………………………..(*) √𝑡

Satisface la ecuación de calor unidimensional homogénea para k=1, t > 0.

Solución: De (*):



𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝜕𝑢

𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥



𝜕

(𝑥, 𝑡) =

( 𝑒 1

2𝑡 3⁄2

𝜕

−

𝑒

𝑥2 4𝑡

−

)

𝑥2 4𝑡

𝑥2

+ 4𝑡 5⁄2 𝑒

−

𝑥2 4𝑡

𝑥2

1

( 𝑡 𝑒 − 4𝑡 ) 𝜕𝑥

(𝑥, 𝑡) = −

𝜕

1

𝜕𝑡 √𝑡

(𝑥, 𝑡) = −

𝜕𝑡



(𝑥, 𝑡) =

√ 𝑥

2𝑡 1⁄2

𝜕𝑢

𝑒

−

𝑥2 4𝑡

𝜕

𝑥

𝑥2

( (𝑥, 𝑡)) = 𝜕𝑥 (− 2𝑡 1⁄2 𝑒 − 4𝑡 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥

(𝑥, 𝑡) = − 2

1

𝑥2

𝑥2

𝑥2

𝑒 − 4𝑡 + 4𝑡 5⁄2 𝑒 − 4𝑡 2𝑡 3⁄2

Reemplazando en la ecuación de calor homogénea: 𝑥2 𝑥2 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 1 𝑥 2 −𝑥 2 1 𝑥 2 −𝑥 2 − − 4𝑡 4𝑡 4𝑡 (𝑥, 𝑡) − 2 (𝑥, 𝑡) = − 3⁄2 𝑒 + 5⁄2 𝑒 − [ − 3⁄2 𝑒 + 5⁄2 𝑒 4𝑡 ] 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2𝑡 4𝑡 2𝑡 4𝑡

𝜕𝑢 𝜕2𝑢 (𝑥, 𝑡) − 2 (𝑥, 𝑡) = 0 𝜕𝑡 𝜕𝑥

2. Reducir el problema 𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0

(0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0) (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋)

𝑢(𝑥, 0) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑢(0, 𝑡) = 𝑡 2 ,

𝑢(𝜋, 𝑡) = 𝑒 𝑡

(𝑡 ≥ 0)

a uno con condiciones de frontera homogénea. Solución: Se hace: 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝑤(𝑥, 𝑡)

…(1) 𝑥

𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑢1 (0, 𝑡) + (𝑢2 (𝐿, 𝑡) − 𝑢1 (0, 𝑡)) 𝐿 Entonces: De (2)

𝑥

𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑡 2 + (𝑒 𝑡 − 𝑡 2 ) 𝜋 𝑥

𝑥

𝑤(𝑥, 𝑡) = (1 − 𝜋) 𝑡 2 + 𝜋 𝑒 𝑡 De las condiciones de frontera cuando x=0 y x= 𝜋, se tiene:

…(2)

𝑤(0, 𝑡) = 𝑡 2 = 𝑢(0, 𝑡) 𝑤(𝜋, 𝑡) = 𝑒 𝑡 = 𝑢(𝜋, 𝑡)

De (1)

𝑣(0, 𝑡) = 0 𝑣(0, 𝑡) = 0

…α1

𝑢𝑥 = 𝑣𝑥 + 𝑤𝑥 𝑢𝑥𝑥 = 𝑣𝑥𝑥 + 𝑤𝑥𝑥 𝑢𝑥𝑥 = 𝑣𝑥𝑥

… α2

𝑢𝑡 = 𝑣𝑡 + 𝑤𝑡 𝑥

𝑥

𝑢𝑡 = 𝑣𝑡 + 2 (1 − 𝜋) 𝑡 + 𝜋 𝑒 𝑡 𝑣𝑡 = 𝑢𝑡 + 𝑓(𝑥, 𝑡)

… α3

De la condición inicial t=0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑣(𝑥, 0) + 𝑤(𝑥, 0) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑣(𝑥, 0) +

𝑥 𝜋

𝑣(𝑥, 0) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 −

𝑥 𝜋

… α4

Finalmente de 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 𝑦 𝛼4 𝑣𝑡 − 𝑓(𝑥, 𝑡) − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0 𝑥

𝑣(𝑥, 0) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝜋 𝑣(0, 𝑡) = 0,

𝑣(𝜋, 𝑡) = 0

(0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0) (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋) (𝑡 ≥ 0)

Reordenando se tiene el problema de valor inicial con condiciones de frontera homogénea. 𝑣𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑥

𝑣(𝑥, 0) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝜋 𝑣(0, 𝑡) = 0,

𝑣(𝜋, 𝑡) = 0

(0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0) (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋) (𝑡 ≥ 0)

3. EL PRINCIPIO MÁXIMO Y EL TEOREMA DE UNICIDAD Este principio nos permite demostrar que un problema inicial y de contorno es, en efecto, para la ecuación del calor. TEOREMA 1

(Principio Máximo)

Sea u una solución de la ecuación del calor unidimensional. Que es continua en la región rectangular 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 0 ≤ 𝑡 ≥ 𝑇. Entonces 𝑢 asume su máximo ya sea en la base 𝑡 = 0 o en los lados 𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿 (Fig. 2).

Fig. 2

Prueba: En primer lugar, demostramos que el principio del máximo se mantiene para una continua función que satisface la desigualdad diferencial

(3.1)

𝜕𝑣 𝜕𝑡

−𝑘

𝜕2 𝑣 𝜕𝑥 2

<0

Suponer v su valor máximo en (𝑥0 , 𝑡0 ). Dónde 0 < 𝑥0 < 𝐿 ; 0 < 𝑡0 ≤ 𝑇. de cálculo elemental, se sabe que 𝑣𝑡 (𝑥0 , 𝑡0 ) ≥ 0

y

Luego, a partir

𝑣𝑥𝑥 (𝑥0 , 𝑡0 ) ≤ 0

𝜕𝑣 𝜕2𝑣 (𝑥0 , 𝑡0 ) − 𝑘 2 (𝑥0 , 𝑡0 ) ≥ 0 𝜕𝑡 𝜕𝑥

∀𝑘 >0

Como consecuencia del principio del máximo, podemos probar una singularidad para el siguiente problema de valor límite inicial en la ecuación del calor:

(3,2)

𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 𝐹(𝑥, 𝑡)

,

(0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0)

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑢(0, 𝑡) = 𝑎(𝑡),

,

(0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿) (𝑡 ≥ 0)

𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑏(𝑡) ,

TEOREMA 2

Una solución del problema de valor límite inicial (3.2) la cual es continuo para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 𝑡 ≥ 0, se determina únicamente. Prueba: Suponer que v y w dos soluciones del problema (3.2). 𝑢 = 𝑣 − 𝑤 satisface la ecuación de calor homogénea y se anula en 𝑡 = 0, 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿 es decir, 𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑢(0, 𝑡) = 0 y 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0. Por el principio del máximo, el valor de 𝑢 no puede ser mayor ni menor que cero. Entonces 𝑢 = 0 y por lo tanto 𝑣 y 𝑤 son soluciones idénticas.

TEOREMA 3

Sea u la solución del problema (3.2) a condiciones de contorno inicial |𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥)| ≤ 𝜀, |𝑎1 (𝑡) − 𝑎2 (𝑡)| ≤ 𝜀, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓𝑖 (𝑥),

𝑢(0, 𝑡) = 𝑎𝑖 (𝑡),

𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑏𝑖 (𝑡)

Para 𝑢(𝑥, 𝑡) Donde 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿

y

(𝑖 = 1,2)

𝑡≥0

Prueba: 𝑢 = 𝑢1 − 𝑢2 ; entonces 𝑢 satisface la ecuación del calor homogénea (1.5). La hipótesis del teorema implica 𝑥 = 𝐿; es decir −𝜀 ≤ 𝑢1 (𝑥, 𝑡) − 𝑢2 (𝑥, 𝑡) ≤ 𝜀

(3.3)

en la base y en los lados de la región 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 𝑡 ≥ 0. Por el principio de máximo, la desigualdad (3.3) se cumple en toda esta región. Entonces el teorema está probado. Concluimos esta sección mediante el establecimiento del correspondiente teorema de unicidad para el problema de valor inicial 𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 𝐹(𝑥, 𝑡) (3.4)

(−∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 > 0)

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)

(−∞ < 𝑥 < ∞)

Vamos a requerir que nuestra solución de este problema se limita en la región infinita − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 ≥ 0.

TEOREMA 4

Una solución del problema de valor inicial (3.4) que es continuo y limitada para a − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 ≥ 0, se determina únicamente. Prueba: sea 𝑣 y 𝑤 soluciones del problema (3.4) |𝑣| ≤ 𝑀,

|𝑤| ≤ 𝑀

donde 𝑀 es cte.

Como 𝑢 satisface la condición inicial 𝑢(𝑥, 0) = 0 entonces: |𝑢| ≤ |𝑣 − 𝑤| ≤ |𝑣| + |𝑤| ≤ 2𝑀

Consideremos: 𝑉(𝑥, 𝑡) =

+ 𝑘𝑡)

En la región − 𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

𝑉(𝑥, 0) =

2𝑀𝑥 2 𝐿2

≥ 𝑢(𝑥, 0) = 0

𝑉(±𝐿, 𝑡) = 2𝑀 +

4𝑀𝑘𝑡 𝐿2

≥ 2𝑀 ≥ 𝑢(±𝐿, 𝑡)

𝑡=0 𝑥 = ±𝐿

4𝑀 1 2 ( 𝑥 𝐿2 2

Por lo tanto, se deduce que: 𝑉(𝑥, 𝑡) ≥ 𝑢(𝑥, 𝑡)

−𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

𝑢(𝑥, 𝑡) ≥ −𝑉(𝑥, 𝑡)

−𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 4𝑀 1 2 ( 𝑥 𝐿2 2

|𝑢(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝑉(𝑥, 𝑡) =

+ 𝑘𝑡)

Luego, encontrar |𝑢| = 0 Lo que significa que 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑤(𝑥, 𝑡)

4. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE CONTORNO a) Para el caso donde :

ut -kuxx=0 ; (0 < x < L ; t > 0 ) Y satisface la condición inicial

u(x,0)=f(x) ; ( 0 ≤ x ≤ L) Y las condiciones de contorno

u(0,t)=0

;

u(L;t)=0

Resolveremos este problema mediante método de separación de variables

u(x,t)=X(x).T(t) 𝑇´ 𝑘𝑇

=

𝑋¨

−𝜆

𝑋

Entonces: X´´+ 𝜆X=0

T´+ 𝜆kT=0 X(0)=0 ; X(L)=0 Xn(x) = sen(

𝑛𝜋𝑥 𝐿

)

Tn(t)= 𝑒 −𝑘𝜆𝑛 𝑡

;

un(x) = 𝑒 −𝑘𝜆𝑛 𝑡 . sen(

𝑛𝜋𝑥 𝐿

)

; (n=1; 2; 3;…)

Donde la solución va estar dada: −𝑘𝜆𝑛 𝑡 u(x,t)=∑∞ . sen( 𝑛=1 𝑏𝑛 𝑒 2

𝐿

𝑛𝜋𝑥 𝐿

Donde: 𝑏𝑛 = ∫0 𝑓(𝑥). sen( 𝐿 Recordar: 𝜆𝑛 =

𝑛2 𝜋 2 𝐿2

)

𝑛𝜋𝑥 𝐿

) 𝑑𝑥

b) Para el caso donde:

ut -kuxx=0 ;

(0 < x < L ; t > 0 )

Y satisface la condición inicial

u(x,0)=f(x) ;

( 0 ≤ x ≤ L)

Y las condiciones de contorno

ux(0,t)=0

,

ux(L;t)=0 ;

(t≥0)

Análogamente la solución se realizara por método de separación de variables como en el caso (a).

Donde la solución va estar dada: 𝑎

𝑛𝜋𝑥

−𝑘𝜆𝑛 𝑡 u(x,t)= 20 + ∑∞ . cos( 𝑛=1 𝑎𝑛 𝑒 2

𝐿

2

𝐿

𝐿

)

Donde: 𝑎0 = 𝐿 ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎𝑛 = 𝐿 ∫0 𝑓(𝑥). 𝑐𝑜𝑠( Recordar: 𝜆𝑛 =

𝑛𝜋𝑥 𝐿

) 𝑑𝑥

𝑛2 𝜋 2 𝐿2

PROBLEMAS: 1.

𝑢(0, 𝑡) = 0,

𝑢(𝜋, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0

𝑥

; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/2)

𝑢(𝑥, 0)= 𝜋 − 𝑥 ; 𝜋/2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋)

Solución: Sea la ecuación de calor:

𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0,

(0 < x < π ; t > 0)

𝜋

2 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) sen(𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝜋 0

=

𝜋 2

2 2 𝜋 ∫ 𝑥 sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥 + ∫ (𝜋 − 𝑥) sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝜋 𝜋 2

Integrando por partes y reduciendo, se obtiene:

𝑛𝜋 4𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) 𝑏𝑛 = 𝜋𝑛2 La solución finalmente: ∞

2

4 𝑒 −𝑘𝑛 𝑡 𝑛𝜋 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ sen 𝑛𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 ( ) 2 𝜋 𝜋𝑛 2 𝑛=1

2.

𝑢(𝑥, 0) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥; 𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 0; 𝑢𝑥 (𝜋, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0.

Solución: Sea la ecuación de calor:

𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0,

(0 < x < π ; t > 0)

𝜋

2 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝜋

𝑎0 =

0

𝑎0 =

2 𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 = 1 𝜋 0

𝜋

2 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)cos(𝑛𝜋)𝑑𝑥 𝜋 0

2 𝜋 𝑎𝑛 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥. cos(𝑛𝜋)𝑑𝑥 𝜋 0

𝑎𝑛 =

2 1 𝜋 1 𝜋 [ ∫ cos 𝑛𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 cos 𝑛𝑥𝑑𝑥 ] 𝜋 2 0 2 0

𝑎𝑛 =

1/2;

n=2

0;

n>2

Quedando:

𝑢(𝑥, 𝑡) =

1 (1 + 𝑒 −4𝑘𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2

5) No homogénea del límite inicial-problemas de valores

Los problemas que se han considerado hasta ahora involucran a ecuación diferencial homogéneas. En esta sección vamos a considerar los problemas en los que también son no homogéneas. El método que vamos a describir aquí para resolver este tipo de problemas es una variación de la descrita en la Sección 7 del Capítulo 4.

Nosotros debemos primero considerar la ecuación no homogénea del calor (5.1)

(5.2)

Donde los coeficientes UN., son funciones a t. Esto es en realidad la expansión propia de la función aún desconocida U. en términos de las funciones vistas anteriormente.

(5.3)

Ahora vamos a ese u que es dos veces continuamente diferencial para 0 ≤ x ≤L, use T≥ 0, y que la función (5.1) se puede representar en serie de senos de Fourie

(5.4)

(5.5)

Entonces, diferenciando (5,3) con respecto a T usando (5.1), obtenemos

(5.6)

Dónde F (T) se da en (5.5). Mediante el uso de las condiciones de contorno (4.3), el primer término de la derecha de la ecuación se pueden integrar por partes dos veces, para dar

Dónde λ es como se indica (4.7).

(5.7)

Para las funciones UN n=1,2,….. Con condición inicial (4,2)

(5.8)

(5.9)

Sustituyendo en (5.2) queda:

(5.10)

Para verificar que (5.10) satisface (5.1). (4.2) y (4.3), tenemos que demostrar solamente que el primer término de la derecha de (5.I0) y satisface (5.1), (4.3)

(5.11)

(5.12)

Si suponemos que F es continua para 0 S x S L, t – 0 entonces: 0 ≤ x ≤ L, t≤0 entonces T vemos a partir de (5.5) que

Dónde M denota el máximo valor de F en la región 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T dando:

Dado que la serie de constantes 2M / kn. Converge, se sigue por Weierstrass M-test que la serie (5.11) que converge en la región 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T, esto implica que v es una función continua de 0 ≤ x ≤ L T ≥ 0, y por lo tanto satisface (4.3) y se anula en t= 0, podemos verificar que la serie (5.11) puede ser diferenciado termino a término. Entonces (5.7) y (5.4), se deduce que

De modo que v satisface (5.1). Si sustituimos (5.5) para Fn en (5.11) podemos escribir (5.11) en la forma:

(5.13)

Dónde G (x, t ĉ) Es la función de Green dada en (4.16). De esta forma, se puede verificar que (5.13) da una solución del problema (5.1), (4.3).

De hecho, a partir de la discusión en la Sección 4, vemos que la integral interior en (5.13) es una solución del problema.

(5.14)

Nuestra afirmación se basa por el principio del Duhamel (problema 10, ejercicios 6.4). La singularidad de nuestra solución sigue por el Teorema 3.2.

(5.15)

Que implica condiciones de contorno no homogéneas. Este problema puede reducirse a una ecuación diferencial no homogénea y condiciones de contorno homogéneos. Jn hecho, si introducimos la nueva variable dependiente w, que se define por w = u - v, donde v (x, t)=a + xb (t), entonces el problema (5.15)

(5.16)

Que pueden ser tratadas por el método descrito. Eso es posible para aplicar el método directamente al problema (5.15) sin reducirlo a (5.16).

Que surge si se aplica el método de separación de variables para el problema, cuando las condiciones de contorno son homogéneas.

Con las funciones propias correspondientes

Por lo tanto, suponemos una solución u en la forma

(5.17)

(5.18)

U es dos veces continuamente diferenciable de 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0 y obteniendo Con respecto a t y la ecuación diferencial.

Usando las condiciones de contorno en (5.15), se puede integrar por partes

(5.19)

Dónde:

A partir de la condición inicial en (5.15) vemos que un (O) = 0.

(5.20)

Sustituyendo en (5.17), obtenemos

(5.21)

6) El problema de valores iniciales

Consideremos ahora el problema de flujo de calor en una barra infinita sin fuente de calor, cuya superficie lateral está aislada térmicamente. Este problema nos lleva al problema de valor inicial

(6.1)

(6.2)

Para la ecuación del calor. Vamos a resolver este problema por medio de la transformada de Fourier presentado en el capítulo 5. Podemos suponer que el problema (6.1), (6.2) tiene una solución, que tiene la propiedad de que U, Ut, Ux y Uxx son todas las partes suaves en x y t, y absolutamente integrable en x. Entonces, de acuerdo con el Teorema 8.1 del Capítulo 5, en las transformadas de Fourier existen estas funciones particulares:

Si podemos encontrar el archivo de transformación (6.3), entonces la solución del problema será dado por la fórmula (6.4).

Utilizar la ecuación diferencial (6.1) Todas s y t > 0, la diferenciación con respecto a las t bajo el signo integral es válido. Integrando por partes dos veces la última integral anterior, tenemos

Si suponemos además que u y ux se desvanecerá como lxl -> oo, entonces la ecuación (6.5) se reduce a

(6.6)

Donde hemos utilizado (6.3). A partir de (6.3) y (6.2), tenemos

(6.7)

Así como una función de la variable t, la transformada de Fourier de la solución u satisface la ecuación diferencial de primer orden (6,6) y la condición inicial (6.7) La solución de la ecuación diferencial (6.6), que satisface la condición inicial (6.7)

(6.8)

Por consiguiente tenemos

(6.9)

Ahora la integral doble correspondiente a la integral en (6,9) es absolutamente convergente porque ambos f (x) y e-ks21son absolutamente integrable. Por lo tanto (6.10)

(6.11)

Podrá ser evaluado por la fórmula de Euler

(6.11) puede escribirse:

(6.12)

Donde las funciones e-ks2 '

cos x y e-ks2e en -oo< s < oo. De manera uniforme en x, t>0

Y e-ks2t sin sx es impar. Resulta que

De manera que (6.12) se convierte en

Introducir la nueva variable z = s, k1, obtenemos

Sustituyendo esto en (6.10), obtenemos finalmente

(6.14)

Para una solución del problema de valor inicial (6.1), (6.2). La función

(6.15)

Se llama la solución de fondo o la función de Green para la ecuación del calor en el dominio infinito - oo< x < oo, t > 0. Físicamente, la función de Green (6.15) representa la temperatura en un punto x en el momento t eso quiere decir que:

1) tiene derivadas parciales continuas. Con respecto a x y t para -oo< x < oo t>0 y satisface la ecuación de calor para todos los x y I > 0, siempre: 2) G es continua en x = ĉ 3) G desaparece cuando (x)---oo 4) G tiene propiedades Ahora, para verificar que (6.14) en realidad le da una solución del problema (6.1), (6.2), es suficiente para requerir que F será continua y acotada en (- oo, oo). Entonces,

Cualquier orden obtenido diferenciando bajo el signo integral con respecto a x y t converge uniformemente en x y t para - L ≤ x ≤ L; T0 ≤ t Por lo tanto, la función u y sus derivados de todos los órdenes existen: Por último, establecer

F es acotada a valores u argumentos (valores de su argumento) la anterior integral Es de manera uniforme con respecto a x, t para: -oo < x < oo, t ≥ 0.