Ecuaciones Diferenciales-ayres-schaum.pdf

ECUACIONES DIFIRINCIALIS Frank Ayres, Jr.

455 problemas resueltos con soluciones completamente detalladas ' Incluye 421 problemas propuestos con solución ~~C~ubre los aspectos teóricos y prácticos de las ecuaciones diferenciales Entre los problemas resueltos figura la deducción y demostración de algunas íórrnulas y teoremas .

31'20

ECUACIONES DIFERENCIALES

FRANK AYRES, JR., Ph. D. Professor and Head, Department 01 Mathematics Dickinson College

• TRADUCCiÓN

y ADAPTACiÓN

ToMÁS GóMEZ

DE

DIOS

Licenciado en Ciencias Exactas

•

MÉXICO. BUENOS AIRES. CARACAS. GUATEMALA. LISBOA. MADRID. NUEVA YORK SAN JUAN. SANTAFÉ DE BOGOTÁ. SANTIAGO' SAO PAULO' AUCKLAND· LONDRES. MILÁN. MONTREAL. NUEVA DELHI. SAN FRANCISCO. SINGAPUR ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

ECUACIONES

DIFERENCIALES

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS© 1991, respecto a la primera edición por, McGR<\ W-HILL INTERA.MERICANA EDITORES, S.A. de C.V., A subsidiary ofThe McGraw-Hill Companies Cedro núm. 512, Col. Atlampa, Delegación Cuauhtémoc, c.P. 06450, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. núm. 736 ISBN 970·10-0004·8 Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM'S OUTLlNE OF DtFFERENTIAL EQUATIONS Copyright © MCMLXII, by McGrav.¡-Hill, Inc., U. S. A. -lo

ISBN 0·07-002654·8

Í!! e

1302456789 Impreso

GA-91

en México

Esta 00Ia se terminó de Implinir en Julio del 2001 en Edifaial otrset. SA de C.v. Durazno No. 1 esq. Ejido Col. Las Peritas Tepepan Xochimilco C.P. 16010 México D.F.

Se tiraron

3500

ejemplares

09876543201 Printed

in Mexico

Prólogo

Esta obra se ha concebido especialmente como $uplemenlo de los texlos usuate. dedocaaC10nes diferenciales elemeluales. Se lratan en ella lodos los lipos de ecuaciones dIferenciales or~rUriil$ y derivada$ parciales que se hallan en los textos corrientes. junto con los diversos proeedimienM para su resolución. Como el alumno principiante debe interesarse en dominar los métodos de resolución .x los diverso. tipos de ecuaciones. es evidente la necesidad de proporcionar al estudlante un amplio ¡,o-ode problemas como éste. que también es útil • los ingenieros y a los científicos inllCStipdores que .cesJtc:n repaur la teoría y los problemas de éSta cada \U mis importante materia. Cada capitulo. excepto el tercero que es 101,lmente informativo. comienza con una breve expoWOÓft de definiciones. principios y teoremas, se,uida de un conjunto de problemas ~hos y propues· .as Los problemas resueltos se han seleccionado de forma que cad. uno represente.cn si mismo un CIlUdIOtan sugerente como sea posible. La misma atención se ha prestado. los capirulos de splicaeio_. que contienen un. gran v~tiedad de problemas geométricos y Rsicos. Este libro abarca muchas mis materias de las que pueden ser asimiladas en la moyori. de lo""ri • ...rn>S cursos. Se ha hecho asi no solo para que comprenda cualquier Il
~ ,..,_-------

--~====:::::;;:::==~~~IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!~!II!I!II!!!IIIII!!!IIIIII!

M

Tabla de materias

PA(iINA

CAPITULO

1. Origen de las ecuaciones

diferenciales

Soluciones

3.

Ecuaciones de primer orden y primer grado. . . . .. . . . .. . . ... . . .. . . . . . . .. . ... . . .

12

4.

Ecuaciones de primer orden y primer grado. - Separación de variables y reducción • separación de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Ecuaciones de primer orden y primer grado. - Ecuaciones diferenciales exactas y reducción a ecuaciones diferenciales exactas..... .... .... . ~

24

Ecuaciones de primer orden y primer grado. - Ecuaciones lineales y ecuaciones reducibles a lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

7.

Aplicaciones geométricas ......•.....••........•.

41

8.

Aplicaciones ñsicas .......................................•.......

9.

Ecuaciones

de primer orden y grado superior

10.

Soluciones

singulares.

6.

diferenciales

lugares

geométricos

~

~

7

2.

5.

de las ecuaciones

. o •••

~

.

61

.

67

extraños ....

11. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden y grado superior.. . .. .. . . .. .. .. . 12.

t.:uaciones lineales de orden n

13.

Ecuaciones

lineales homogéneas

14.

Ecuaciones

lineales con coeficientes

15.

,

.

.

87

Ecuaciones lineales COn coeficientes constantes. - Variación de parámetros, COC:6cientes indeterminados. .... . .... . ... . . . .. . . .... . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . ... ..

93

16.

Ecuaciones

99

J7.

Ecuaciones lineales con coeficientes variables. - Las ecuaciones lineales de Cau,chy y Legendre , . .. . . • . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. . . ... . . . .. . . . ... Ecuaciones

lineales

con

coeficientes

,....

.

18 82

lineales con coeficientes

constantes

75

...

18.

con coeficientes

49

constantes

constantes. -

variables. -

Métodos

abreviados .....

; . .....

Ecuaciones de segundo orden. ...

101> !~.

c,"n"LO

PAGINA

19

Ecuaciones

lineales con coeficientes variables. - Diversos tipos , . ........••......

:!O

AplicaCIones de las ecuaciones li

21

Sistemas de ecuacioncs lineales slmuluineu..........

122 133

Ies.

22. Ecuaciones diferenciales totales. ... .....

. ... . . ... ........

IS1 ... ..........

....

....

164

13, Aplicaciones de las ecuaciones totales y simult'neas. . . . . . . . . . . . ..•. . . . . . . . • . . . 24.

Resolución mediante aproximaciones numcncas ..........•........•.........

25.

Integración por series. . . . . . . ... . ....

26.

Integración por series. . • . . . . . . . .

178

,..

186

. .. . . ... . . . . . . . .... ... . .. .. . . .. . . . .... ..

197

. . .. . . .

..

. ..

206

.

220

27. Ecuaciones de Legendrc, Bessel y Gauss 28.

Ecuaciones entre derivadas parciales

29.

EcuaciollC$ entre derivadas parciales de primer orden. . . . . .. ....

30.

Ecuaciones entre derivadas parciales no lineales de primer orden................

244

31.

Ecuaciones homogéneas entre derivadas parciales de orden superior con coeficientes constantes , .. .. .. . . .. .. . .. . . .. .. . .. .. . . .. . .. ..

2S5

j2.

Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes

, . . ..

26S

33.

Ecuaciones de segundo orden entre derivadas parciales con coeficientes variab1es..

276

Indico

.

231 ....•.....

.....

238

295

CAPITULO I

Origen de las ecuaciones diferenciales

-.¡, ECUACION

DIFERENCIAL

dy •

X

t

d"

2,

d'y

5

+ 3 dy • 2y

ebe'

ebe

3

Jty' • Y

E

i

1" •

2(y·)·

es una ecuacíén que contiene derivadas. Por ejemplo.

E

O

3

5)

(y')'

8)

•• • • • O"

7) • y' :: COS

1(

o',

.x'

+ (y' ), + 3y

o'• .y'

+ -

•

,,'

••

/C-

ay

• ,? ..

Y.

S. hay una sola variable independiente. como en 1)-5), las derivadas son derivadas ordina) la ecuación se denomina ("(lJQci6n df/",ncial ordinarío: S. huy dos O más variables independientes. como en 6) y 7). las derivadas son derivadas par..w~ y la ecuación se llama ecuación rntrr dl'flvodas parcia/es. El arden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que Interviene ni ella. Los ecuaciones 1).3) y 6) son de primer orden; 2). 5) y 7) SOn de segundo orden y l. 41 es Je tercer orden. El ~'adode una ecuación diferencial que puede escribirse como un polinomio respecto a las ~vlldáS es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Todas 13$tcUtl(IOncs ee lo, ejemplos anteriores son de primer grade excepto la 5). que es de segundo grado. En el Capitulo 28 se estudian las ecuaciones entre derivadas parciales. Ahora únamenle lO ·u a considerar las ecuaciones direrencules ordinarias con una sola variable depend.ente.

-e'l

DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES.

Problemas geométricos. Véanse Problemas I y 2 expuestos • continuación. Problemas físicos. Véanse Problemas 3 y 4 expuestos a continuación. Pnmruvas. Una relación entre las variables que contenga n constantes arbitrarias. como \ .. + ex o )0 = Ax1 + Bx. se llama uno prlmltivo. Las n constantes. que siempre se repreSrCntarán aquí mediante letras mayúsculas. se llaman estnciales si no se pueden sustituir por un núme-c menor de constantes. Véase Problema S. En general. de una primitiva que contenga n constantes arbitrarias esenciales se puede deducir un3 ecuación diferencial. de orden n. libre de constantes arbitrarias. Esta ecuación se obtiene eli-n.nando las n constantes entre las (n + t) ecuaciones siguientes: la primitiva y las n ecuaciones hlen,dJs derivando la primitiva n veces con respecto a la variable independiente. Véanse Pro.... ~s 6..l4 expuestos a continuación. ..

DIUGEN

2

DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Se dellne una curva por dien1e

~/dx es

l. condición de que en cada uno de All puntos (:r. J1, su penigual a_ldoble de la suma de las c:oordenOldas del punto. Expre# la

condici6n mediante una ccuxión diferencial. i

•

+ y).

La ecuación diferencial que: representa la condición es d. .!- 2t'r ,<

1. Una curva esü definida por 1.1 condición de que la suma de los sqrnctllOS .Ye y inun:cptados POf SU$ tlnpto en los ejes COQfdenadoo es sícmpr< íauaI • 2. ~ la coadió6n po< _io de ..... __ cb(
la ecuación de. la lanplC dos en los ejes condición

es

son...

X +

ex. y'

r -

es

u"

Jx

-

x).. y los sqmc:n:101 iOIC'tCepb.-

tlx

.r d.,

~(X

X _ x - ., Jd:r e y _ ,. - ir dy. La «U3ción difcrtnOll

respectivamente.

y _ s -1"l'"

1-

+ J'

dy

-:r-

dx

dI'

- 2 o bien :t(-tI. )' - C.'t +

q\IC rtpteSlena

la

Jy

V -

2)- +.1° - O.

tJ.y

.f

3. Cien gramos de: azitcar de Cllill que cslJ.n en agua se convierten en
de t Qljnutos..

Desip3ndo por " el nOmero de: pmos ooo~os serj (100 -

d nUmc.w de gramos IOn 00

ee , minutos.

q/ y la w:loádod de _vcnión '
- klloo

- q~ _

COft~

k lo coruunlC de ptopor,

cionalidad.

..

Un. panicula de masa m k mueve a 'o largo de una linea recta (el eje x) estando SUjeta :a 1) Un:! Cuma proporcional a su
la primera fuc.rza 5C puede tepresr:ntar

por

por- -k,x y la sclunda

-.l~'.sieodO

k I '1 kJ

(actOt'C$ de pt~

porciooafidad.

La (ucna toW

(masa

)l

dJx acc:krJaoQ) C$Ú dada por m ~ -

S. Demostrar que en cada una de l•• eceeccees

a)}'

-

.tl

+

JI

+

dY

-k,x - tz th'

B. ".,

,.,

Ara.

(")J' -=

A ...

In 8'( sotameruc

únicamente

una COnilSnle

es esencial una de I~s dos eonstllnle1 arbitrarias, Como A + B no es m:i$ que una $Ola constante arbitraria esencial.

a)

h) )' = Ar*·

C', 6.

+

ln B

hay tres ~nlCS .r - A.~ "" 8s

._ '" l..i!II U urea ecuao '6 n l/J.·

;t:; -

ecuación

+

In

.1'.

y CA +- In 8l realmente

la CCU30Ón dlCcmxiaJ asoc.ia4a con b. primitiva

Como

pedida.

l. ccua<:ión contiene

= A?<"'. )' A'" no es mas que una $Ola conJtalUc

F = A + ln B.'f - A

Obtener

arbitraria.

ar'bilr.. rias, se con$lderan

+

d\. C.

d'

x

=

arbitraria. es una sola constante.

J' .. AYO!+ By. las aal.ro

+ C.

CC\QOOOC:S

d

Z,'

2A....+ 8.

O está libre ' de constantes

l

~

arblCfan,u

- 2A.

¿l .. ......;= o.

~

y es del orden

adcc\l~O.

1UC".ob.:s es la

OIUCEN

-:a, U',(:k

DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

3

qlJC no se hubiesen podido eHmlnar 11' cons'anctS entre 11$ tres pnmeru ecuaciOQ(:l.. Obliervese r.ipMiamenl~ l. primitiva. plnir de la CCU&Ción dlferc:nci.al mediante antqracl6n

1".aIIIIbIa que K puock obtener

- O

la eaaKi6n

$

~1Indo • _.

una vez rapccto a s se obc.~

cuando úcnta,

asociada ton la pnmiliva

dirertftcial

")'+

O. (21'

con nOlación diferencial.

,

1)

(,"y
2J

(2)''¡'"

(2:1"1'.bt:r"~). dx

• X1'(31'

a.~)

+ .'t'y)

.~)'~

(lit,'.

V,'" "r) •

O

,¡"

u ec:ua
O oomo

~'~)'

_ C.

pedida.

estas ecuaciones son

a.'y'dy) 3xdy)

••

• (a.'l
1(3y
•

~'y'CÍ)')

• ~d1) •

•

O

O.

ObKt'\'CIC que I1 primitiva se puede obtener rAp.damc:nlc de 1) mcchanle integración pero nO tan ripioa • cfCC10. para obtener la primiliva CUBOOOse da 2) hay que
ha"'.

.-.le' de 2). En

_.sen ..

~

..nas

b caaact6n dlrcrcnciaJ asociada y 11 una conSlarUc fija.

Otnvando

-Aa

sen

COn la primitiva

OS

•

So

y - A COI o.x ... 8 sen

11.X.

sic:odo A y 8 COnsbl.nles

aro

C08 ...

, La ecuación difel'encial pedida es

..

_-...emer 1" ecuacién

DcnY1lndo

En.onoos.

'2 d.<

ó:
La

ccUAcK\n

diferencial 2At'tx +

asociada

8<",

y•

con la primhlva

d'y

,. ~ctK

A"h

+

dlr

.. Ik",

;; •

dx'

_ ri'r ,¡,,'

pcchd.a es

4At':,2,X" •

ó:
'2

• 2Ae'J('.

d.z

2!!l •
sr + C.

y

8A.~b: +

d'1

_ d2y


dz'

V. t

2(!!.1 d.z'

_ CÍ)').

d.<

O.

La c:limJruación de las constantes por métodos elementales cs ... veces, I~bonos.a.. Si se resuelven tres Ck las «'UK'lonc:s respecto JI: el' Cl' Cl' mediante dettrrnlnanl~. y otl\ se sustl1uyen en la cuarta ecuación. el resuludo se puede pontr en la forma (Uam3.da el el¡mln..nl('.~

4

.. •

,~•

•

:k" 9<" 27('~x

ORIGEN

~

x

2<"

.... •• e

8<"

e

•

y

DE LAS ECUACIONES

1 1 y

..

y'

3

2

y'

9

4

1 y'

27

&

1 y.

•

y'

:í

DIFER.ENCIALES

~&x(_"lY + 12y" - 2~'

•

La ecuación diferencial pedida es

6

• • !.l'

11

tU.'

2 -

;¡;;.

•

2~-

"".

w'.

y •

.

O.

8y • o.

tU.

11. Obtener la ecuación diferencial asociada con la primuiva y = CXl Come dy

+ 1:¡Y)

+

C2,

1 dy , - - z • 2xtU.

C·

Nota. La primitiva tiene una constante arbitraria de segundo grado y la ecuación diferencial resultante es de orden uno y grado des.

12. Hallar la ecuación diferencial de ta ramilla de circunferencias de radio fijo r cuyos cemrcs estén en el eje x,

+ y'

L~ ecuación de la familia de circunferencias es (x _ rl• siendo una constante arbitraria.

_

e

t/¡.

Derivando se titile ~x -

el + .~.-d' ..~ = 0,,\' d"

Y la ecuación diferencial es y' (-d' ~' .r

IJ.

+)"

-

e=

y

C)l

J.,

-

l' •

•

d- • ,t

=- ,.,,

,

Halh..t la eccacién difcrenct31 de la familia de parábolas cuyos reces están en d origen y cuyos ejes están sobre el eje x. y

(-A. O)

.1'2.

y' : (2.4 .. ;&)2

y'l:4A.'(A+x)

La ecuación de la Iamilia de parábojas es ):1 = 4A(A + xl. Derivando py' == lA. A = 1)1)/. luego )'2 = 2Y),'f!ry' + x,. · dy • ay La ecuación pedida es )1(- r + 2x - - l' :: O. dx ;rx'

1

ORIGEN

w.

Formar la ecuación dirCfCntdl

DE LAS ECUACIONES

s

DIFERENCIALES

que represente lodas las tanganes a La pa"bola

r

=

2.r.

La t2nplC' a la parábola en un punlo Cualquiera CA.8) ~ por ecuación y - 8 = t\' - ANB. de donde. como A ., la:. se deduce 81 •. 't + lBl, Eliminando 8 entre esta rdacióo y By' - 1. obtenida deriV.rlndo respecto a s, se tiene como ecuación diferencial pedida Ja exprc:nón 2x(Y't - 2yy' + 1 _ O.

PROBLEMAS PROPUESTOS 15.

Clasifia.f o)

Jy'"

bl

L

cada una de ¡as $iguicnle5 eececícees (xy _

dV •

R~

dt'l (')

eOs

•

O

q •

O

z)tllr

•

dI

+

du.

x(_)

ScI.

2.. orden: 1.

1.'1 • O

Sol,

3:' orden: 1.--' grado

el

Sol.

2,- orden:

~,.' arado

Sol.

).~4orden:

2,· ando

Sol.

3." or
Sol.

1.•• orden: 1"" grade

Sol.

I." orden: 4,' grado

Sol.

2,- orden: 4.' grado

e

y'" + %1" + Zy(y/)'l

..

.. 11

segun el orden y et ¡rado.

•

tú

i'. ,

- (-1

<1

H

grado

du'

/>

~J- _ xy. t- Y .. O

'1 ¡p' .p • sen 8

.). é!!N d8 16.. EscnbJt (1)

"J

la rcuación difercnctal

de: aebl una dt las curvas definidas

Cx. "1 13 pen
En c#da punto Sol. r' c¡ x:

En cada punto (.~. .I J 13 longitud de lit subtangente +." o bien (.v + )'1,'" = .l'

es i,ual

mediantC' las coodiciones

al cuadrado

de la abscea

es igual :l l. lum .. de las coordenadas

dad_s

drJ punto

del punlO.

Sol. .rl)'··= .e fOJ

El eje de LasJ' di vid... en dos partes iguales la normal en

d, En oda pUDIO l¡ tangente

r)

sot.

P.

(p.

,1'"

a]

segmento que une

x ~ _ b o bien

.V}"

+ 2x -

P(.\',.1')

con el punto de: intcl"$CX'Cionde

O

01 1.. lan¡enle

dd ingulo

del an&ulo determinado por el r~(hovector y La tan~nte dO I \«1011411 Sol. p tB O

dp

= -)

El área limitada poe el arec de una curva. el eje al doble: de: 1.3.longltud

del ~,C'o entre

sugcrencia:i1ydx.

2L"/1+

(y/)2

~ Igual 4 1 ,) de.

.Y y la'i dos ordcn~das. una fija y una \cari.abk. a ',guaJ l,as ordenadas.

dx.

Sol,

'1:

2

A ..

('1/)'

6 17.

ORIOSN Expresar a)

mcchanlC ecuaciones

DE LAS ECUACIONES

dlferenc¡ales

cada

OIF¡¡RENCIA~ES

uno de los sig.uic:nlcs pñneipios

tis.oos..

El radio se desintegro a unl velocidad proporcional a la cantidad Q del radio preseme, dQ/dl - - kQ

$<>l.

b,

La población P de una ciudad aumenta a un. \'<:kscidad proporaonalll 200.000 y l. población. S.I. dPidl - kPI1OO.000 -

()

Para cien. $usuancia la velocidad de cambio de presión de vapor (P, respecto a la lc:mpen'ltura (T~ es proporcionaJ la ht presión de vapor e iO"crsarMntc: proporcional .1 cuadrado de la Icmperalura. $<>l. dP/dT - kP/T'

d)

La difereecia de: potencial E a "aves de un ekrne.nlO de inductanci. loeidad

t"

de: cambio

10.

b)

y_A,x.8

$ni.

r" _ O

S.I. $<>l.

J'

"" 4t • F

O bien

m

d', ¡;¡ ,. F

= A sen/l

,) )' = sen(.t

, ",

(¡"f' -

/l y""A"'.8

$<>l.

r-- - .,,'

r' -y

R) .\'-AsenV·+8)

$<J/ •

r" -

y'

/¡)

S.I.

.'()"," - ....... - .q_v·r -

-J'Clgx

Hallar la ecuadón

Hallar

(1 -

ces

diferencial de In familia O)
la CC'uxtón (Xy' - )."

-

difereecial

I

+

-?

$<J/.

lnj- = A.~ ... 8

H,I'.r la ecuación dlfuc:nciaJ ck t. familia. de circunfucncaas de radio varubk (Compárese: con el Problema 12' SUlerencia: (x - A~ + y2 _ r2• ,iende> A y r conStantes arbitrJtnlS,

$<>l.

21.

Br

•

'"

L es igual al prcdocrc de L por l. vedi E - L di

diferencial asociada con la primitiva dada. siendo A y B constantes arbitrarias. S.I. y' - >:1.'(

$<>l. 11.

$()l.

JI = A:t

~.IA

Sol.

t en la induc(~ncia.

.,

(1 y =

1'.

de la corriente

~ia.sa x aceleración = fuena.

18. Oblener la «vacion

di

la población y a I1 difertnci. entre

p,

de todas

de las eardicdes

p _

las tineas rec1as que ~n

rcuyos Sol.

centros

1

.\'(v')'

esu..n sob« el CJe v.

),)'•. " (y')!

+

untd.d del origen.

(}"l'

Hallar la ecuación difer,cl~ciaJ de 'odas las circcnterencies Suge=cia: U.illcc:se ...... v' - 2", - 28)' ...

e-o.

deJ pJólno.

Sol.

I - O

a(1 - CO$ O,.

• l. distanoa

(1 ...

(.')'1.'" -

O

3y'(y")' -

o

CAPITULO 2

Soluciones de las ecuaciones diferenciales EL PROBLEMA en las ecuaciones diferenciales elementales consiste esencialmente en encontrar la primitiva que dio origen a la ecuación. En otras palabras, resolver una ecuación diferencial de orden n es. en realidad. hallar una relación entre las variables conteniendo If constantes arbitrarias independientes. que. junto con las derivadas obtenidas de ella. satisfaga la ecuación di(cren .. cial. Por ejemplo:

,

Ecuación diferencial d'y

1)

= O

Primitiva y

_..t.x2

+ Bx ...

e

(Prob. 6, cap. 1)


2)

d'y

d'y

6-



•

3) y.(dy) • • y' =
lldy-Sr.O dx

y:- C~C'iC' 1e + te

r'

(x _ C) 2

...

y'.

... ,e

r'

(Prob. 10. cap. 1)

(Prob. 12. cap. 1)

LAS CONDICIONES que ha de cumplir una ecuación diferencial par. poder ser resuella se dan en los teoremas d~ extstenclo. o)

Por ejemplo una ecuación diferencial de la forma y' - g(x, y) en la que ~(.\".y) es continua y uniforme en una región R de puntos (x. y).

b)

~x existe

,

y es continua en todos los puntos de: R.

".l'

admite infinitas soluciones [Ix, Y. C) - O (síeneo e una constante arbitraria), tales que por cada punto de R pasa una y solo una tu,,", de la familia [tx, y. C) _ O. Véase Problema S. UNA SOLUCION PARTICULAR de ~na ecuación dif.",ncial se obtiene de la primitiva dando valora definidos a las constantes arbitrarias. Así. en el anterior ejemplo 1) son soluciones partieulares y _ O (A = B = e - O). y _ 2x + S (A = O. B - 2. C _ S). y _ x' + 2x + 3 (A - l.

B -

2,

e = 3).

Geométricamente. la primitiva es la ecuación de una familia de curvas y una ~)Iución par .. ricular es la ecuación de una de las curvas. Estas curvas se llaman curvos integrales de la ecuación diferencial, Como se verá en el Problema 6. puede ocurrir que una forma dada de la primitiva no incluy'a toda:. ,~ soluciones particulares, Aún más: es posible. COmo se vera en el Problema 1. que un. ecuaCión diferencial tenga soluciones que 00 se puedan obtener de la primitiva n.i operando con l. conLtante arbitraria como en el Problema 6. Se considenlnln tales soluciones. denominadas S()/oI. C;()"~S singulares, en el Capitulo lO. La primitiva de una ecuación diferencial se denomina normalmente la soluciór R,,,,,rol de la ecuación. Algunos autores. debido a las observaciones del párrafo anterior, la denominan una soJII(lón general de la ecuación. 7

8

SOLUCIONES

UNA

ECUAClON

cuado

:r.

DIFERENCIAL

teorema

de existencia

punto es la de la tangente

DE LAS ECUACIONES

DIFUENClALES

= g{.<. J') .socia con cada punto ex., J.)

un4t dirección

a lu curva de

m :

~I ~ «.. It.\'.

familia

J3

== ~("o. Yo)'

10)

11. (',


La dlrec'ClÓn ea cada

O. es decir. la primiuva

...

R:!e.

._

que pasa

por el punto. La región R con la dirección en cada uno de sus puntos se llama un campo d(l direcciones. F.n la figut3 adjunta se: muestra un cierto nüme-

ro de puntos con su dirección para la ecuación 1.'(. Las curvas lntcgraJes de la eeeaeiée diruencial son aquellas C'UrY3,S que tienen en cad.. uno de SUS pernos la dirección dada por la ecuación En este ejemplo las curvas integrates son parábolas. Estos diagramas son interesantes en tanto que

J_v¡o-x

1;'"

,

facitrten e¡ estudio y la retaeróu entre una ecuación diferencial y su pnmitiva, pero como las curvas

"

#

inrcgraíe« son. por lo general. muy complejas. talev diagramas no constituyen en realidad una ayuda para obtener :.us ecuaciones.

-I

JI \.

'PtN_w

,

..

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Demostrar por SU...tlh"".Ón d",-'1.'1.:Ien la ecuación dlferenclld. romp,obando pruniuva da lus.-1r .1 1.. conecpendrcnte ecuación difercnci .. I, O)

.,

't

C: sen s

C7.l

(1

d'y -,1:

C:ii

.r)-

,

t

<1s

xl!] .. =

..tbttntnu.

y •

que cada

O

y

dy -:; <Ú

- s elg .)(-Ct

(1 -el

b)

••

las constantes

)

-y

-y

j,i

$eh,

• el % CO!._ -

•

e"

('"

y'

(r., •

.,.

:C~)t•

. (r~.

3C,)t

s..o

"

. r.,)~,

).

"

sen z)

•

C1COS.J.

c,.

- z(Cs CO$,x • C,)

Ct x

CO$z

- ~ ....

•

cel

es

• • c,. -x -, er• • c,. Coz<

Coz<

x

c,•• "

C'.,c

-.

c, • -,

sen x ;. G,.r:)

sen

%

=

+ C;x

• o.

2><' ,

••

21;'

eJe

-

2a?tJt

4z<

•

..es.

&oc'

2 t

2:t e

12.. '

f~l:.n de :ll'UC'fdo et oro en de 1a (\'"1JJclón d,fercn.tial

lle',

y e! número

de la~~ft.st.;tOtes

:lltuln'fUl~

2.

l"knlO'II<1r que V '"' 2· panicular

s:ui
1- (""

por \ •

~'(

1:. nrirninva de: ta C\:u.lción d,(er
(1, y ... ..; [Kf(~

<S

'dx:!!' -

la co:uac,6n de la cut\'a

p = 2(1 _ ..) v ha11~r ~ 'K\IuclÓn

Ir'ltegr,ü

.

que

p.:lU

por 10. )\.]

SOLUCIONES

SusliIU)'endO,

2 -:Ix J.

C.. ndo.'

Demoslnr

y

halla,

t-

2x ... crX y

-

DE LAS ECUACIONES

2

+ el'

- O, )' ~ 3, 3 - 2' 0+

e? ... x es

que , _ CI~ ... la ecuacIÓn

de ~ cun .. integral

en II eculdón

el + el

,11-

De donde

el '"-e,

O:

~'-

..

c,t =

Dem<»lrar que (y -

que pase

por'

los punlOS te

dY •

2(y-C)

dz

c'

Luego ..

4(7-C)'

s•. , - 1.)'_

2: (2-

pedwia es '1 •

X.

•

4 7 _ 3 ~ • 2y • :Ix -) dz' d<

,'1 (l. O).

en

b

ccuOlaól'l

Jt ...

" '"

e - e

e' - e •

ü es la pnmmva de la ecuaoót'l dlrttenaal

y

4y

;¡;;

C 2(y-C)

u
••

oy hollar'"

7

,

c

CI' =Cy

47 :¡.;¡;; -

(1.2).

y{C<- (y-C)'j

• 2.--- Y 2(y-C)

• o,

(y-C)'

C= 1, 4.

mregrales

que p.,~n Pf!r H.

S. L:a primlliv» de la ecua e;ón diferencial ~ = ~ es l' "" .< o) 11,2) Y bJ rO, O). S.

:Ix + Y

Y - o: C'l,. .... C,.-J _ -1.

)' 1a ecuación

C

=

4- 7 -""le r " .'Y...,e .r 2j,

• l.

ce

Las eceacrcncs de I&~curvas

al

ro. O.

-+ Cr - (u + C~,_

dz'

OCUICIOMS de lu turv.u tntc-_grale$ que p::asao por el punto Aquí

2

te ~

b primihva el< la ccuaoón dlf.,."..al

= O. Si x=-I,

1

=

dirttena.aJ

9

La tOIua6n paruc:ub.r es y

C" y C -)

47r":zc" ;¡; • ""t c·

Si x .. O.

DIFERENCIALES

c.'I:,

e - 2. luego la ecuación pe
1, y - 2:

2. 'IOn (JI -

1)2

=-

X

Y U' -

4)2

= 4x.

Hal!;., h. ceuación de la cur.'a illte:t~1 que pau

y ...

2x

b) S, T O. J' NnOil) Il'IleyaJes püan por d origtn ~ ,ti....,., - yf\ no es connnua en d oñgen y. puf Unto. d ItOfMl1 de aastcOCQ. asqura una, y ~t~ va de lA rlnlllia y _ ex por cada punto dd plano C'l«pCO d on~n

dy + ,-1 ) C{(x-lIdx

~r

'1 (.-1)(1-1)

'

que

una.

(Uf-

4y + Y - 1J

\ ($ - 1) ..1_

~

ti Ahora bien. tanto J' .. O comojw I sen SOIUC'10Rr-S de l ], ya que. para cada una, se sausíace dv¡dx O y l •. La pnmcfi se obtiene:de la pnmíuva poniendo pero ~cund •• JI - l. ~ -.e puede obtcnt'T d;lnd~ :,.Inv•• lot ünho a C. Aná1ottamen!c:. 11 se puede obtener de la pnmlllva cn la forma 8x)' Ix - J ~J'- j. Ahon \oC ob tiene l:a 50Iución J' e- I poniendo 8 - O. mientras que la ;.o.h,.c.ón l' • O no se ~C' obteoer dando a 8 un , .. 101 linllo. Queda. pues, pf'obado que la forma. d3d.a de una Pftmlh\" pUNe no IIdu,~{ocb.$ las $Oluoone\ paf1JC'U. 'ares ee la ecuación dlfctcncul. (O~ que (- I lamb~ lb una sulución pa.rtic:Wat~)

e_o.

':t

SOLUCIONES

lO

DE LAS ECUACIONES

21~'" Lf

1)

Como

_!Xl

y _

dy = _ ~X satis(ace

,'dJr

al).

•

+

zi

\(~J

DIFUENCIAlES

O

»

r + a,. o es

UI\I SOIuc;,on de

1)..

Ahonl bien. ti primitiva es la ccuac~n de. una rllmilia de lineas recus y es cvdenle que la ea,a.aóa ck una parAboIa no se puede obtener dando "aJorC$ a Ja conJlante arbitf2.ria en la primitivL Tal solución IC ck:nonllu unl sol~ión ¡ingular de la ecuación difCf'C.t1c;al

8.

CornprobAr que 1

= el

e,

+

ces x

sen x y y • A COS (x

también que ambas ecuaciones son. ee rtalid.d. De y •

el

<:OS

x ... C"l sen

X.

y'

x .... el

y" _ -e. ~ De

y _ A _IJ<

+

" = -A

B~

Ahon bien. )' _ A cos (x

,.

Ocmoscrar

Qtlt

In .-:' ... In 10.

l)c:moSlrar

+

y' Jo.xl + In;;'" )~

Xi

Z

BJ

_t.x + SJ s

A + X

10(1

q~

ln(l

+ )'1 +

L«to

(1

+

y)

+

+ TXI +

x)

=

y

x

sen x_

X

-J.

sen 8)

....(-A sen Id: y' ..

escribir

Luego \' - Jn

)1

e+

=

+ YMI

~

!
cos x ..

e, sc:D

s,

sr. rt . r

3$i; x~

-

V.

- y~

- B.

sen y) = ~

C;$Cnbir como

xy

+ ....

y

- T~

=

C.

.. ,,1 - A

x,' ... x ... T 'i I -

ln x =

= e.

8) SltD.i

-

B "f

q

+x

11. OemMnr que Sh J' - Ch P = ex se puede: acrlbl' como ,. - In x Aqui Sh v..,- eh

,p, o sea. Jx2 +,_0.

<>os(.< + 8) = -,.,

-A

sen x) Kn(arc

1n.(I i .,,)_ A se puede

10(1 " ~I = 1n(1

O. dc.moslr.ndo

)i -

sen A-B.

Lueeo sen(3rc sen x) costare seo y) - ~(arc Dcmosuar

sen

(:OS

t.ueao,' - ~ ... -

que are sen x - are sen )f _ A se puede

=

e,

r: -

= Afc;o! x c:os 8 = (Al COI B) COI x

= In ,,l _

scn(arc sen x - are sen y)

11.

x -

A +:C se puede oc:nbtt

y! In(x2 ?')

Z+

B) son primitivas de

una sola.

-el sen

-

+

-+ ln x,

- ~ - ex.

.¡._

..

-

f- A.

8 -

1 - C.

- B

SOLUCIONES

DE LAS ECUACIONES

PROBLEMAS

PROPUESTOS

Dcmoscrar que: cada una de: Las sag.u:ic:ntCS a¡:waionc:s es u.na duaóD de la C04 ¡ s,. e Oasificll ead>o uno como .". soIucióo porticubr o ... _ ........ (pnmibva).

1).

1·21".

I~

•

t

15. '1 •

• 7

TI' ..

• C.

a.. ... C",

16.

(1_ ,1»)"

17.

'1 • e~(l+s).

18. 1 • el,l

...

..

'.

" ...e.e

'1 • ele

llO.

)' • e,c • •

21.

Y • C,c- ...c.c'l$.

n.

'1.

C,es •

e.e -x +,1-4.. ~cJX

...

,1'c.l,

•

o.

PnmitiYa

Primitiva

h'y' '"''1(Y' ... 3.1:1).

Solución particulat

(,1 -

-..

¡J.

cc:oaá6a

T • zy' ... ~/)".

y" -

c.c....

2.

,.,,·te

SoIuciáo putic..Jar

xy' • ~. t

11

DIFERENCIALES

21' l),·

+ '1 •

O.

- .ay' .. '1 • O.

Soluaón particular SoIución~

y. - '1 • O.

SoIuciáo peral

,.

- 'J • 4 - .a.

SoIuaóa penJ

,.

- 37' ...

y- - 31' ..

21 • o.

SoI1OÓ6aperal

:1J. 20"(1-0).

SoIuaóo peral

di{ttmaaI

CAPrrtJLO 3

Ecuaciones de primer orden y primer grado

1)

+

M(x,y)dx

f4-fIo 1. M(x,y)

, N(x,,)

:z-

I

~ KA

+x

-,

b)

a)

+ y-x ~

y N(x,,)

-,

se puede escribir en la (orma

de primer orden y primer arado

UNA ECUACION DIFERENCIAL

N(x,y) dy - O.

- O se puede escribir ul: -

(y

+

x)dx

+

(y - x)tly - O, doDde

x.

+ x', se puede escribir asi: (1 + xly)dx

- dy - O. donde M(x,y)

-

I

+ xl,

-1.

Si M(x, y)dx + N(x, y)dy es la diferencial completa de una función ,.(1', y), es decir, si

+ N(x, y)dy - d¡.c(x,yJ. 1) se llama una ecuación diferencial cxaeu y p(x, y) - C es su primitiva o solución general. M(x, y)dx

f4-fIo 1.

3x'rdx

+

2x'y dy - O es una eeuaeión diferencial exacta. ya que 3x'rdx _ C.

+

Su primitiva es rr

2x'y dy - d(rr).

Si 1) no es exaeta, pero (X, ,J{M(x, y)dx

+

N(x, y)dy) - d¡t(x, y).

(x, y) se nama un factor integrante de 1) y ,.(x, y) - C es su primitiva. Ejem¡oIo 3. 3y dx + z.. dy - O no es una ecuación diferencial exacta, pero si se multiplica por ((x, y) - x'y se tiene 3x'y' dx + z..' y dy - O que es ••• cta. Por tanto, la primitiva de 3y dx + z.. dy = O es xly' _ C. Véase el Ejemplo 2.

Si 1) no es exacta y no se encuentra rápidamente un factor integrante es posible que mediante un cambio de una O de las do< variables se obtenga una ecuación en l. que se pueda hallar un factor integrante. [¡..,lo 4.

La transformación x =

I -

y. dx - dI - dy. (o sea, x

reduce la ecuación

(x +)' >1)dx +

a

(t q)(dt-~)

o sea,

(t+l)dt

Medianle el factor inlearante

I~

2y + 3)~

+ (t+2)dy.

y -

I~

• O

• (2t +3)~.

O

O,

2 la ecuación roma la forma

dy + !.!..!dt t

+2

dy + dt -

s

Entonces.

)' .. -ln(

t +

y.

2)' + x -

1n(x

COmO

(z...

+

2) : +)'

....!_ dt t+2

• O.

e •

2) •

c.

NOIO, La forma de la ecuación también sugiere la transformación .r 2," + 2y + J =- 2s.

12

+ .l' + 1 _

t O

bien

ECUAOONES DE ,al .. EJt ORDEN y I'JUWEIt GItAOO

UNA ECUACION DIFERENCIAL forma

par. la que se halla ráp;damenu

1)

un faclor inlO,l1Inle tiene la

2) Mediante el factor iategraare

1 , 2) se reduce • ,,(x), ,,(y)

!!J!l dy

2')

_ O

,,(,,)

cuya primitiva es

f I,<x)

f 1,

,,(y) dy - C. (y)

dK •

r, (x)

La ecuación 2) es del tipo de las de s.paraciiJn tk _1Db1u y en 2') las variables OSIt. separadas. Ejemplo

S. Si la ecuación diferencial (3.'1' -X1').

se pone en la forma

1'(b'-x)

+ (;a,.',,'.

xly')dy

xS(2Y'.,,')dy

••

-

•

O

O

se ve que pertenece al tipo de separación de variables. El faclor integrante ~ en (~ -

?)dx + (2y + y'ld, -

O, donde

]U

la transforma

variables CSlán separadas. Al inte""r

se obtiene

la primitiva

SI LA ECUACION 1) admite una solución Jlx. y. CI - O. donde C es una constante arbitraria, existe una infinidad de factores integrantes {(x, y) tales que (x,y)

(.(x,1')<1><+ "(x,y)dy)

e

O

es exacta. Lutgo hay lransformaciones de variables con ]U que 1) pasa al tipo de separación de variables. Sin embargo, no se puede dar una regla ¡eneraJ para hallar un factor inugtante O una transformación. Se tienen. pues. limitaciones para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, esto es, aquellos tipos par. los que fallan las reglas para de, terminar un factor integrante- o una transformación efectiva. Des

En .1 capítulo 4 se estudian la. ecuaciones del upo de separación de variable. y 1.. ecuaao· que se pueden reducir a este tipo mediante un. transformación de variables.

En el Capítulo S se consideran las ecuaciones diferenciales exactas y otros tipos que se poeden reducir a ecuaciones exactas mediante factores integrantes. En el capítulo 3)

6 se tratan la ecuación lineal de primer orden dy dx

t

P(x). y

y las ecuaciones reducibles a la forma 3).

•

Q(x)

14

ECUAOONES

DE PRIMER

ORDEN

Y PlUMER

GRADO

Estas agrupaciones son. en cierto modo, convencionales, pues UDa ecuación dada puede pertenecer a más de un grupo. Ejemplo 6. La ecuación x dy _ Y dx = O se puede clasificar en uno cualquiera de los grupos, ya que a) mediante el factor integrante I/xy las variables se separan; así, dy/y _ dxlx - O de donde ID y _ In x = In e, o sea, y/x = c. b)

por medio del factor integrante l/x' o bien l/y1 la ecuación se convierte en exacta: en efecto, x dy _ y dx = O y !. = e o sea, x dy _ ydx O y _~ = e !. = _.!. = c.

x

-'

x'

)'

e) Si se pone en la forma :

-

;y =

)'

1. X

el

O, es una ecuación lineal de primer orden.

Se llama la atención al hecho de que la forma de la primitiva no es única. Así. la primitiva en el Ejemplo 6 puede ponerse en las siguientes formas a)

In y _ In x

=

In

e,

b) y/x

= e,

e)

y

=

ex,

d)

x/y

=

K,

etc.

Es corriente aceptar una cualquiera de estas formas a sabiendas, como ya se ha hecho notar. de que se pueden perder ciertas soluciones particulares. ¡ Una nueva dificultad!

=

=

Ejemplo 7. Está claro que y = O es una solución particular de dykix y o dy - y dx O. Si y Ose puede escribir dy/y _ dx = O y obtener In y _ x = In e con e f O, lo que se puede expresar así y Ce", C f O. Así, para incluir todas las soluciones. se escribirá y = O; y = Ce", e '" O. Pero nótese que y = ei', libre de las restricciones impuestas a y y a e, incluye todas las soluciones.

+

=

Esta situación se presentará COD cierta frecuencia, pero, como es costumbre. se evitará la indicación de restricciones; por ejemplo, se escribirá la primitiva COmOy = Ce", COn e completamente arbitraria. A modo de explicación se puede hacer la siguiente observación: Multiplicando la ecuación dada por e-7i se obtiene e-/( dy - ye-/( dx = O. de donde .. por integración, se deduce e-x y = C. o sea, y = er. De esta forma no ha habido necesidad de imponer ninguna restricción

niayniaC.

CAPITULO 4

Ecuaciones de primer orden y primer grado SEPARACION DE VARIABLES Y REDUCCION A SEPARAcrON DE VARIABLES

SEPARACION DE VARIABLES. las variables de la eeu.aón pueden separar si es posible escribir la ecuación en l. forma 1)

I,(x)'

él f:' actor integrante r.

transforma

f ,x() .Ie, () y

K.(y)dx

+ !,(x)·

M(x.y)dx

+

/V(x.y)lly

.. O

se

g,(y)lly .. O.

hallado simplemente observando la forma de la ecuación.

J) en .[.(x) dx I.(x)

+ g,(y)

dy ..

O

g,(y)

de donde se puede obtener por integración la primitiva, Por ejemplo. (x - 1)' y dx ~ conviene la ecuación en (x

xy véanse Problemas 1·5. ECUACIONES

HOMOOENEAS.

+ xl(¡. + l)dy = O es de l. forma l~ El factor inte¡nonte 1)' dx + (y + 1)dy .. O. donde las variables están separada •.

?

y

Una función f(x. f(1-:<, ~y)

=

y)

se llama homogénea de grado n si

l.':/1x, y)

Por ejemplo: a) I(x. y) =

x' -

es homoaéaea de grado 4. ya que

x'y

I(M, b)

f(x, y) - e'"

+ tg!

Ay) .. (uf

x

).'(x' -

x'y) - )..,/(x,y).

es homogénea de grado O, pues

1(1-:<, )..y) .. -',,'" e) f(x, y) =

- (M)'(l.y) =

xl + sen x cos

+ tg~

= ",.

y no es homogénea.

flU, )..y) .. )... x' + scnlUl

+ tg ~ ..

)..0 f(x,

y).

ya que cos (l.y)

+ )."/(x, y~

La ecuación difereeeta] M(x, yld-< + /V(x. y)lly .. O se denomma homogénea

$l

Mlx. yl y

N(x.y) son homogéneas y del mismo grado. Por ejemplo. x In ldx + y' are sen ldy - O es x x x homogénea de grado 1. pero ni (X' + y')dx - (x1' - y')dy .. O ni (x + ¡'Id-< + (x - y)d¡' .. O son ecuaciones homogéneas. 15

ECUACiONES

16

La transformación . redeee cualquier

DE PlUMEa

ORDEN

y = .,.r•

dy

ecuaciÓD homogénea

y PRIMER

-.
+ "do

a la ronu

+ Q(x,

Plx, .)dx

.)dI> - O

en la que las variables se poccku separar, Oesp
ECUACIONES

c,)dx

• la forma

+

(a,x

+

h,y

+

+

h,y

(a,,,'

:1lx para recobrar

• por Véanse

PERO

Problemas

c,)dy = O,(o,h, - o,h, - O),ser
Q(x, l)dl - O Véase Problema

+ c,)dx +

+

(a,,,

+ b,y')dx' +

h,y

(a"'"

+

+

c,)dy - O, (a,b, - a,b,

y - le soo las soluciones

+ O). se redu-

b,y')dy' - O

de las ecuaciones y

D1X

+ b,y + tI

-

O. Véa_

DE LA FORMA

y' f(xy)dx

xy ~ z, red u..

12.

la transfonuciÓD

en la que x-h.

ECUACIONES

6-11.

NO HOMOGENEAS.

son separables.

h) La ecuación (a,)( ce a la ronu homogénea

mediante

+

Plx, l)dx

en la que las variables

se WSlÍIUye

M(x. y) Y NIx, y) SON LINEALES,

+ s,» +

a) La ocuación(a,x por la transformación

GRAOO

una ecuación

+ x : g(xy)dy %

Y --.

x

dy-

-

O.

1)·14.

Problemas

I S-17.

La transrormación

xdz-zdx

Xl

de este tipo a la rorma Plx,:)dx

en la que las variables

+ Q(x.

:)dz - O

son separables,

véank

OTRAS SUSTITUCIONES. Hay ecuaciones que no pertenecen a ninguno de acaban de ver y que mediante una transformación odccuadamcnle escogida se una forma en la que las variables seao sepanblcs. No es posible dar una regla caso l. rorma de la ecuación sugiere l. transformación. Veaose

PROBLEMAS RESUELTOS SEPARACION DE VARIABLES

LIISvariables están separadas. Integrando. putS, término a termino .

•

Problemas

los tipos que se pucdcII reducir a gmeraJ; en cada Problemas 18-22.

SE.I'AIlAClON

1. ResoI .... .r'(y

+

1)Ibr

+ 1'1x -

r... «.,.."......

El

Inte¡rando .. te

l)dy - O.

ueee

Cot 1

_I_)d>r ..-1

t

RaoI_ 4xdy - ya

+ .. ,'

El

1

2

(lICtor illtq;rante

,+1

1" lec)' +1) •

-

C,.

21.D(s-I)(y+1)·

+ Cy-I)' ya

.-1

+ 21nCo-llC1+1)

+ Ix' -

u.mI'onn.a

4x)dy - O.

la o::uaci6o

al

ala otra ~

Oc" -4)

_o

lA 611....

ln'.""ndo,

que

x +

o

q.. tu .....

)'

y - J ID y - 4 lA ~ puede oocribir uI

r la ",lución

En .,..."..

ponículo,

lugar

le

+ h>

+ .r')dy

o bien

c...

(;a" - 4lJ1' -

)' - J... :1

u, - 4x- ,_

o bien

y -

• --

e,

C,.r',' -..

de (1

+ ~ • O 1

:1

v •.

'(1-3)<1;,'

1 lo _._~~ red\aCe ~ ay

lOe

!.!!

-

e

4 In Y _ lo

mtrpaa:1e -

.... OI'

lo'.".ndo.

5. H....

..-t

00'-')

_ ,__.

Lo

puede... ribir uI ••

• __!l._

•

~

le

ID(>"- ') - In

~

¡;t

2 • o ca •

..

_,..w.

bies está.

ResoI_

c..

e.

•

y(o - ul

4

O.

1+1

lD(.. -1)

o ..

_.r'dy

•

a ..!._. + _'l_
O' -1 + _I_)
t

.. • ".7 • .. 2a- -~. (0+1)'

17

•

1 ncI_ lo -*lo (7+1)(:1-1)

... 1 + ...

;J.

DE V"RIABLES

1LIt.

In(e,.r',,~ .r'" - etl.

o bien

- .r'ya

-

hallari la primitiva _pkoondo

o que ..

türap

coodicioaca

el Cactor

1

1<

7(1"

_¿_ do • 1.sS

LIqo ~ 7

s; ~ _

O.

1.7 - ~b(I .. '1 • ..

1, , _ 2: 2' _ C(I + I~

e - 4.

Y ..

_éa

e,.

.'>

'> t lo e. ". e(lt .'1.

11'7' 10(1..

pomculor

iniciales .e - 1, )' _ 2.

l' - 4(1 +.r'~

podida ..

EClJACION"ES HOMOOENEAS 6.

Si M ti>. + N ay

- o es

bomoJÚlca dcmc.uar

que coa lo transformación,

• o.e ..

.,.,.,....,n

la __

las variables..

Si M do + N ay Id do

+ N dy

• o es bc>mot!_ "'{/J, (!)Ibr ..

Y con la transformación M, (.)Ibr

+

N, (o){ob

No!!)dy}

e

se puede O.

_

de _

X

/J, (!)Ibr ..

OX, 4y _

"tlx

+X

"do) - O

O

bien

y _

+

+

de ¡nodo "

+

N, (!)dy -

o.

%

dD se lime {M, (o) + oN, (o)lb +.eN, (ole'> - O

dx N, (.)dv . 0, finalmente, - ... _ 0, donde las vanabtes ~n x Ml (o) + vN. (11)

.. paradas.

de

18 7.

ECUACIONES

Resolver

(x> + y')dx

DE PRIMER

ORDEN

y PRIMER

GRADO

- 3xy' dy - O.

La ecuación es homogénea de grado 3. Mediante la translormación 1) X>{(I + "')d~ - 3v' (pd~

+ xdvl)

= o..

de donde

y

= !IX, dy =

ti

+X

dx

do se cbtieae

=O

(1 - 2.')dx - 3v'xdv

ecuación en la que las variables se pueden separar. 1

Se separarán las variables empleando el factO! integrante

x(l -2"'>

i

la" +

y

Como •

e•.

la(1- :¡,,'l •

= vl», l.

prim;tiva es X>(1 - 2y'/~'1

= eo

bien '" - 2y' =

c~.

Obsérvese que la ecuación es de grado 3 y que después de la transformación.xl la izquierda de 1). Este factor se puede quitar haciendo la transformación.

a.

"dy - ydr. - ~

Resol ...

es un factor del miembro de

dr. • O.

La ecuación es bomogénea de grado 1. Empleando la transformación y = ox, dy = v dx do por x, se tiene

"tU. Empleando

el factor

De donde are sen do

9.

ti

= ytx. are

sen

rk .. O de donde .a: át1 -

xdv - v4z _/l_t)'l 1

integrante

a. ----

dr.

.¡¡-::;J

"

¡¡-:;t

o.

-

In x

a las variables originales,

Resolver (2r Sh l: + 3y Ch f)dx - 3~ Ch!:: dy x x x

= O.

2 Sh e dx - 3x Ch .dlJ . dx Ch. Y separan d o las variables, 2- - 3

-sdv h •

x

Integrando, 2 ln x - 3 In Sh Resolver (2r

+ 3y)d.r +

La ecuación

1)

Separando las variables

~

+ x dlJI = •

x

ID x'(v'

+

1.1

tt2 +

¡In("> + 2.

O = .

x> = e Sh' l:.

x1=CSh'o.

x

+ 2r")d.r + 2f"'l'(1

-

-1

dl.l.

2v + 2

e

:')d). = y

O. de doode ~

(p'

)'

o.

ln()"

+

+ 20 + 2)dx +

+ t

2v +

2

112 .. 211 ..

%

+ 2) - 2 're .g(. + 1) _

2. + 2) - 4 are ,g(. + 1) _

11. Resolver (1

= O.

de grado l. La transformación normal La reduce a

es homogénea

+

= In C.

po~ x se tiene

(y - x)dy = O.

(2 + 3p)dx + (v - 1)(. dx

I.tegrando ID x

emplean-

x

La ecuación es homogénea de, grado l. Empleando la transformación normal y dividiendo

10.

y dividien-

-O •

= In C o bien are-sen ¡; = ln(Cx), y, volviendo l. = In(Cx). O sea, Cx = r -1'11(. 1) -

dz

+ x dv

x(v -

l)dv

..;2:.:&:;":-_ • O.

dv __ 2

= O.

(u + l)t + 1

eh

x+y ay + ü') - 4 ate 19 -x

=

C.

19

SEPARAClOl< DE VAlUABUlS

La ecuación es hocnogCTw.t. de grado O. la pl'cscncia dé xly en vatios (&minos de la O<WAciónsugiere el empico de la transformación x .. ¡;-y. dx = o dy + JI dv,

dy

-y

y lnlegraodo

. --a. 1 t 2c"

".,

et por x/y. In y

y su.stituycndo

o.

2,etl

+

In(&I+ U) _ In

e

y

x

+

2~~

_ C.

UNEA.L PERO NO HOMOGENEA U. R<soh .. , (x

w

+ y)
(3x

+ ly -

4)dy = O.

JI - I -

Ento"","

..

2 d.<

Integrando

3' - A dI _ 2 d.< - 3 di 2-1

2x-3t_21o(2_t)

• Cs..

+ 3)<1x -

, por x

+y

x + J' - ,.

4)(dJ - dx) _

o

2 di = O. 2-1

+ --

se tiene

C1•

h-3(x.y)-21o(2-%-y)·

y

JI:

JI'. h

•

•

z'.,

1- 7'. 1: • .,'.

+3

_ O, 2x

1.

h

l.

ay '"' dJ'

+ 4)1 -

= O, se obtiene

6

- O

que es bomogCt1ea de arado l. (Obotn-cse que se puede escnDir CSUIúltima _. detalle tcdcs los posos de la tnftSf __ ) Empleando la tnns(ormación

y' = vx'. dy' -

II

~x' • ~.sz: • 3,,+2 ~~ . 34\1-1

si. DeC
con

dx' +- x: drJ.

(2 - Sv)d.>( - (2 + ••)(. d.<' + x' do) _ O.

y, fio.almcntc,

x .. h - l.

: lb'

la ecuacién dade en (2.<' - Sy')
se oI>c.iene

=C.

s+3y+21D(2-Jl_Y)

(7x ~ 4y - 6)dy - O.

Resolviendo primero el sistema de ecuaciones 2x - 5y y_k_1.

""nvierte

+ (31 -

(4 - 21)dx + (31 - 4)d1 _ O

o bien de variables.

+ --

y $ulltituyendo

RC1OI"", (2x - Sr

31') sugiemo la cnnsformación

x. dy - dI - dx se obtiene 1 dx

que es un caso de separación

11.

+

CXJ)«Sioncs (% ... y) y (3Jr

Emp&eando

(2 - 7. - '''')
-

.>((2

+

..,)do - O,

o.

lntegraado Sustituycodo

• por y,/x'.

(41' - .')(y'

+ 2.<'l'

- e,

y JUJtiluj'eodo x' por x - 1 Y y' por 1 - 1 se obtiene la primhlva (4)' - x - l)(y 14.

Resolve,

(x - )' -

1)
l)dy

- J)l

el.

C.

= O.

Resofvlendo ~I sistema x - y - I = O. 4, La transformación

+ 2x

x.%'.h"x'.l. y • '1' + k • y'

+x -

I = O se obticoe

X

= Ir _ 1. JI

= k-O.

dz • <Ú' dy • dy'

redeee la ecuación "'-da • (x' - y')
ECUACONES

DE PIUMEIl

7'· a'.

OIlDEN

ti.' . JI'

tly'.

.. '

'.(V,· .. 1'"

FORMA

y!(.y)dx

ate

.",1 .. t

ate" ~s' .

+

c.

, ,

.

.." .. 1

1. a' Ci. + 1) •

are tl.3L

'1

c.

are 1& 2'••

s-1

•

C.

+ • ,(¡cy)dy - O.

1'·..

La uanJl'OfINICÍÓn

Sept.nlndo !ss YSriables In

l' •

le

_1_

..

21<'

lÍen<

1

..

• 11

•

.7...

.,

-r 1 -

.).

2~

_!.:...!.

s

•

'1"

•

O•

elt

c.'¡.

2117- 1 •

1ft-fiÓ

• O.

á .. (o _ 1).1\, • r.

• O de

sO

donde ~ lb -

1.1:1 l'

1e 1 + .).

,

..

!...

2 1. a-l ... -" • la C.

rJ¡ •

•

•

vp .

- %( 1 ... )

•

h

•

2o'7'ID1-

La cn.nsformación:

.'

h

..

1.

.th-II0

ti:!

'1. _/a.

y

Enlonen.

el.

la 2••

ti"

.. h •• --h.--·O

•'

l •• ' .. 'ID(i ..' + 1) + t

Y PRIMEA OllADO

JI

•

elll - " tia

11

w".

7

reduce la ecuación a

.'

t"t -

O.

•

..

C.

y

La ••

.,

-

i"" .

C.

SEPARACJON

SUSTlTUClONES

DIVERSAS

la.

•

Resol ve,

~

-U)'

Ú'

0_

21

DE VAlllAlLES

• ('J _ U)' <Ú.

dy

<Ú

Lo .ruuformaci6n

suFrida ....

Resclver

dw·

2 • el. 0-2

.L

tI'

(x

0.2 0-2

....

+ ,)
La lfl;nsl'onnación

ta'.

o bien

l/lb

1 + .- ID--

lott.,.n40 1'.

la CC1IaClÓft dada áy - U - •.dy - 4<á

po<

ID--.,

tbt - ~

,,'-

.

+ •. _

lo CI"< te úcoc

o.

•

be-v.

'J'-k .2. Ct-U. 7-u-2

y

dy - O.

-

s\l~ridl

x +y

J. - (.. -J.) •

=

o.

dy - du - dx reduce la ecuacióo •

IJ,

J. -

..

• O.do: doodeJ. - _'

tr.

1.

....

o.

y

__ " __

La 1f._o~

...:.t_

y.-.

t ~

'"

:i"

.. '

.f 2u (2.2:»J. .. *(I/.2)(-d,,-

1 ..

- - --

3 v+ 3

y 21.

.

• O.

S la

1-

o bien

+ 2.1"

- Sir dy

supricl.l

r -.., y' -

."

.c

- s(v .. 2)."

• O.

Ja C••

.:ry(s '1 .. 3) .. C.

= o.

• nd_ lo

(2M + 3. - 7)
11('. ,,).

- la (. + 3)

2b"

1 • C1.&7("- '1~.. 3)

Resolver ('h' + 3.1" - 7)% J. - (3r Lo tl1UlSl'e rel="nofollow">rmXión

• o

.'

"

_la_.

2IiI .,,' dy.-"--J.

.'

x 1 • v.

+

CC1IaClÓft •

2. - '¡do

=O

la

que es lineal, pero no homo,enea.

Lo lr'nsf<><"lJlllCióo • _ $ + 2•• _ I + I J. lugar. lo ccuaci6n bomostnea (2s + 3r)ds - (11 + 2t)d1 - O Y lo tra .....ormación S. rí, ds - rdl +,dr p¡opocciooa «UacióD 2(" - IIo1r + (2r + ))rdr - O. Separando las vañabk:s se tieoc

z!!. C

• (._t)' •• r

r « 1

U.

Resohet" X -

2:

!!:.!.!Jr • r'-l

2~ - !~ (2r.t

+ y dy) + y(x ti.!'

(x dx

-

.\1

dx) _ O.

cos,.r++...y' - P'. y/x - "

,tIp.

se.

«UaCÍÓD

En10nces..

• O.

2r-l

(.'_:1_1)' • e.

(.-0-1)'

Aquí x dx + y tly - !
..~..!!;_

4 111.t - lD(r .. 1) .. 5 ID (1' - 1) • ID C.

Eruonocs. t-(r-l,'

..

J.J. loma la f0<m2 dcdondc

p +

see 9 -

p' _. B (p tIp) + P _ tlp+I.6"",'.-0.

~X+I

eh Zv~- ~ r (--) X

- e,.

,

y

IP' 41)

,tIp.

- O

(r + y')(.r + 1)'

-

er.

,. o _

ECUACIONES

22

os

PRIMER ORDEN

PROBLEMAS n

y PRIMER

PROPUESTOS

Delctminar SI cada una de las siguientes funciones es hom~ dar su ¡ndo.

x' - xy.

a)

x1'

b)

x + f'J' x1' Xl + yl'

e)

y

O no

)o

homogénea de 2.. grado.

<)

no homogénea.

/) x," +)~'.

homogénea de grado cero.

d) X+YCOS;'

GRADO

homogénea de l. ~r grado.

Clasificar cada una de lai ecuaciones enumeradas

es, y. en cuo de que sea hotuotúw:a

are: sen X)'.

g)

Jnx-Iny

h)

JXJ

i)

+

xSény

00 I>otnogtnn.

homogtoca

In :.

O

2x1' +

y

3>",

de l."

homogénea de t," grado,

no bomogeoea.

... y¡¡enx.

a c:on,inuactón en una 00mil de las siguieotts. categorías:

(2) Eeuacion<S homogéllC3$. ~l) Ecuacioncs en la$, que M(X.y) y N~.)') son lineales. pero no homogCneu. (4) &:woc.o_ de la rorma y J(xy)dx + x ,f(xl)d)' - O, (S) No perteeeee a ninguna de las ant.erioR:s atcgorbs.

4;r....

zs,

(1 +

s,,¡,

dy·0

2;r)"

o

+ (4-.')dy.

(1);

(2).

de ..... grado

de 2,* grado

(1)

26- '1'rbr.-.'dyaO

(1):

(2).

27,

(I+;r)"

(1) :

(3)

28.

(,.)" .. y)dx

19.

(x

- (1 .. x)dy • O .. (.'1_ x)dy • O

lx ..y

sen

JO, ;r'. (x • .2)

..

coa Z)dr •

+ (x 1 • y1)(1'''

á -

JI. y ~

.. z

x(.I"

•

(4 ) C06

l

x

dy

(2) • de LU grado

.: O

- .d1') • O

/z~• ,2)dy

(5) (2).

.: O

de 2.' ara
n.

(x+y.l)cú"

3).

Resolw1 cada una. de las 3nt~riOI~ ecuaciones (problemas 2"·32) que penenezc:an a las catc:goria$(1 r(4).

s./,

24. ~"7 •

25. (1 26, '1.r 27, (1"

jo

e

2y)2

28,

. e -2_z

2.-

.. C:t'1 1) • C(l,.. X)

- (4 -.)dy

• O

'1 • Ct~S1

2G. s sen 31,

RHOh-c( c~d:, una de las siguientes ecuaciones. 34. (1.11')"

(3)

(2::r.2y+l)dy=-0

Ce -

Z • x

C

§:7 y ••

32, ~ .. 2)' .. ln es .. y)

ln (¡xl -t y2 _ J:)

·c

vado.

hotDOgtnea de grado cero.

ti' Separación de variables.

u.

..

SEPARACJON DE VARIABLES

23

Sol. 36.

ctg

g7.

(x

e dp

de •

+ P

+ 2y)dK ..

(3]'-

'lO•• ydy ~J.

71+ '7)<Íx

•

.¡.

o

:-

('12 _x2)dx

•

z.)'

/.xl .. 4]2 lb

Sol.

(1)'- 3,X.. 3)dy -:

dy :-

p=ccose

Sol.

o

(y+l)(l-X)d.

o

Sol.

(Y_1+1)2(.y·+x_l)~·

Sol.

]+1:'

Sol.

r_' e -1/"1

y. ~

• o

ss:

l' sc:ny.C

(x' ...,.')cú' .. 3xy2dy " o

Sol.

1l'4+~y'.C

Sol.

In(l:;' +10Y-1) + ~(.-

+ x (1 - xy)dy

43. d. + H-¿)Ctgydy

e

10 Cz.(.Y+ 1)

SOl.

42. y (1 + Zxy)dt

44.

Sol.

(2x.¡. 3y)dy

38. 2x d'l _ 2ydx • 39.

o

• o

1_% __ 1+.

y) • c

En cada una de las siguientes ecuaciones halla! la solución particular indjcada. 46.

x

dy '" 21 rbf • O;

41. (x2 + 48.

C()S;'

para.x:-

2. y :- 1.

+ .xydy • o:

,/2)dx

pan:r:-

1. y .. -l.

.. (1 + e -x) sen y dy '"' O;

dx

para.x.

O. y :. 1t/4.

SO. Resolver la. ecuación del Problema 30 empleando la sustitución)' Sol. 51.

Y 1n

Resolver y' Sol.

Sl.

2' X

X -

,,2'

Y .. .z - ir

= - 2(2;r + 3)'~

1 +

V3(z,c

+ 3y)

1-

V3(z,c.

3y)

Resolver (X - 2 sen )'

Sol,

=

• <4

Sol.

xl),

Sol.

,/f ... ~212

Sol.

(1...e.x')see y :- 2~

Sol.

JC

:-

e

3

el-xl')

= nr.

• C:r y

mediante. la sustitución

!

= 2x

+ 3)'.

Ce ,,Ij.

+ 3)dx +

(2x - 4 sen y - 3) cos y dy

8 sen y ... 41 .. 9 lD{'\.r - 8 sen}'

.. 3)

:o

e

= O mediante

la susritucién

sen y - z.

CAPITULO 5

EcuacioDes de primer orden y primer grado EClJACJONES DIFERENCIAl ES EXACTAS y REDUCClON A EaJACJONES DIFERENCIALES EXACTAS

LA CONDlCION

NECESARIA

y SUFICIENTE '(x,

1) para

21'

y)dx

cucta es

• lI(x,

a.

2)

~

;!y

de y)dY

o

•

-. ;!x 011

A ....,. se ve que una ecuación es exacta despub de una a¡rupoo:ión adec:uada de nos, La ecuo.ción asl ordenada se puede inlqrlr ttrmioo a témUno. Por ejemplo, (x' - y)dx U -

ay

+ (y' .-(x "

•

ay

térmi-

x)tly - O es exacta. ya que

- y) :

-1 • -(y "

Esto tambito se puede ver después de agn¡par uf: :rdx

+ ex' - y)tly

s

all

- x) .:

ax

+ y'dy -

ció. se puede inte¡:rar ttrmino a ttrmino para obtener la embargo, la ecuación (y' - x)dx

$US

ax

(y dx

O DO es exacta.

+ x dy) - O. Esta ecua+ y' f3 - xy - C. Sin

:r'f3

primitiva

ya que ~ ay

~

2Y ~

2x

~ ~.

ax

Véase también Problema 1. SI 1) ES LA DIFERENCIAL dS'

EXACf A de la ecuación ~

~dx

•"

EntOtlC6,

aS' dY

•

C,

S'(x. y) =

'(x.y)dx'

•

lI(x.y)dy

•

ay y

donde J" indica que en la integración y se h. tratado como una constante y .¡o(y) es la constaDte (con respecto • x) de integración. Ahora bien.

~

ay

de dOnde:

Si

ay .

'(x.y)dx)

•

d

_;ay:......,::--axc.. • 1(.). 11

~

"(x,y)

dY

- .¡o·(r) Y. por tanto. se puede hanar ';(.1'1.

FACTORES INTEGRANTES.

a)

• ..2.1 I'

Vean$< Problemas 2·3.

Si 1) no es exacta se buscará un factor integrante.

función solo de x, entonces ,m.)h es un Cactor inlesrantt de IJ. 24

ECUACIONES

', ély -

S

•

.x

DIFEIlENClALES

2S

EXACTAS

e"'- es un factor intell'ante

• - ,(y). función solo de y, entonces

Problem&s 4-6.

Véa_

h) Si 1) es homOj!énea y Mx

+ Ny

+ 0, entonces

M

I

x+ Ny

de 1).

es un factor integrante. Véanse Problemas 7-9.

el

Si 1) se puede escribir en l. forma y J(xy)dx

+ g(xy).

+ x g(xy)dy = 0, donde J(xy)

1 • . ces xy (J{)xy - g("y )} - Mx - Ny es un tactor mtegrante.

ODtOD-

Problcmas 10-12.

Véa_

A veces se halla un factor integrante por inspeceíén, después de .¡rupar conwaíenlelnellte los términos de la ecuación, al reconocer un cierto IJ'Upo de términos como formando parte de una diferencial exacta. Por ejemplo: <1)

GRUPO DE TlORMINOS

FACTOR INTEGRANTE

DIFERENCIAL

EXACTA

! x2

1 y' 1

~ - ~

xdy - ydx

• d(..., "

~t+r

(s,)"

1 (sr)'

%

dy+ydz

xdx+Ydr

(.st. ,.2)"

• dx+ l~ x2.,1

-1

d{

• d{lnCxy)},

• eI(

(%2. ,2)"

•

-1 +

2(" _1)(s2

•

l)

•

} , oí n¡l!

('n. -1) (%7)"-1.

.y

%" + lay

l) x

sdz-ld. xl

1

x dr+ ydx sdy+ yu

• d(lA

y.

X"

d{ilD(xl+y')},

,in-l

•

}, si ,,/1 yl)rt-1

si n-1

Véanse Problemas 13-19.

el la ecuación xy'(my dx + "" dy) + x'y'ÚJy dx + vx dy) = 0, donde r, s, m. n, p, 11. ,.. v son constantes y mv - n,. 1< O tiene un factor integrante de la forma x"y'. El método de resolución que se da normalmente consiste en determinar a y fl mediante ciertas fórmulas deducidas. En los Problemas 20-22 se sigue un procedimiento cuya parte esencial estriba en la deducción de la. fórmulas.

ECUACIONES DE PRIMER ORDf!l y PRIMER GRADO

26

PROBLEMAS 1.

o.mosuar

RESUELTOS

primcto apljcando 2) y despcés por .... or~ ' ....... od
una ele

Ias_·

eones es cucta. y ~

(3x'y' - .r'ldJ' =

o)

(4x'" - üy)lb

b)

(Y'y - ü)lb

e)

(eosy'"

+

a) Por 2):

Por 2):

aM

-

ay

_

e)

Por 2):

=

aN

.

luego 13 CCU3ClÓO a c:x:acu.

_ -.

+ _"dy) - üdx

(3t"ydx

C$

cM ay

_",

-

-sen y

.r'

+ oos x

aN

ax lueao

= _.

t!7)

.

la ec:uadóa

+ (yeoo x dx

-e

d,>

see x

o.

ten x) -

La primitiva es ~ c:os J

+y

SCIl

x-C.

(2xyr' dx ... r' dy) - ü dx - d(¡>t"') - d(x') - O. l

cM .. _ ~y

-

I&..:'r

Por inspocá6a: (6x'r es x6,' ~

La primlCtva

1.

+ d(y

es curta.

~M ,aH . ~y - '2xt' = ax' luego la ecuaa_ón es cUCLa.

La primitiva es )'r Por 2):

dI.<') - o.

- d(_"y) -

= C.

(eos y dx - x sen y

Por in,pcoción:

t)

O

c.

= d(x ros y) Por 2):

<"t!7 -

iJx

Por inspcoc;6a:

d)

(ú'''", 4x'y')Ib ... (3"''' + 5x'y'ldJ' - O

1)Ib ...

oN . - 2x - -. luego la ccuacaOn es ex.ac:la. ex

X",,3 - x"y H'6

p", u,spocá6a: La primitiva

t)

-

(4x'y' dx ... 3x'y' dy) - (2xy dx ... x' dy) - tl{,x"y'l - d(.r'y) - O.

La prirr.itiva es b)

ü(y<'"

=O

(sea x - x .... yldJ'

~M - l2xlyl by

Por in,pcocioo:

di

=o

""dy

y_x)lb

o

xl _ C.

e«

+ 2Ox'y' = -,

GX

dx ...

luego b ccuacl6n es WId'

3x'r t!7) + (4x'y' dx ... 5x'y' t!7) - d(x'r)'" d(x'r) - O.

x"y =

C.

Rcsol ver (2x' ... 3y)lb + O...... y - l)dy = O.

aM ay

. es exacbL _ ) _ -.aN Juego )a ecuecién ex

1'.... /1'<160 J. En,o""".

Se tiene ~(x.y)

~ - 3x ... 4>'(y)

y la primi'i.a es I'.t1l)/ uc 16o 1.

=

_

f' (2x' +

3y)dx

N(>. y) = 3...... Y - 1,

ix' ... 3.xy + lY' - y = e,. Ordenando

-

lo. Iimlioos

o sea, asl:

2x'

Ix' + 3xy

... 4>(Y).

4>'(y) - y - l.

x' ... jy ...y' - 2, -

dx ... y dy -

t!7 +

Y'llamando la a'ención sobre ydx ... xdy - 4
como en la moI.a6a

l.

4>(Y)-

3(y dx

lY' -

y.

e. dy) - O,

V ...iT' -

y + 3Jt)f- e,.

ECUACIONES

DIFERENCIALES

EXACTAS

Entonces.

27

4>'(1) • - 3/,

4>(1) • -1',

y la primitiva. es as! .x'

La couación se puede resoI __ que ...

1'<"'

+ 2xy<"'

3y' dy

t/)t -

+ V<",t/)t

+ Ü).....dy)

- O y observando

O{<"'~

dy -

(z' + y' + x)dx + XYdy - O.

Resol".,

011 -

t/)t

•

2,y.

01

eN

y:

la ClC\l&c:i6nno es execra,

OX

-~

~

Sin embargo.

2.-.

•

~

N

es un factor integrante.

•

'1

lnrrod~

y

-: !(:x)

xy

o

dx

x'

bien

+ ;ry Jy =

-• . ••

dx

=

e-4J4yf,

I{(.)""

•

f!

J""lx

:=

•

•

+ r' t/)t + <.<1' t/)t + x' y dy) = o.

d(!r-rl.

se

l~

para la primitiva

o bien

y

LUCIO e_h(Y)tQ

e

d (actor itLlegtanle se tiene

(x' + xy' + x')dx + x', dy - O y temende en cuenta que

1

-

x

_

. ! . -sor1

t'-4'''' _ I/~ es un factor integrante; al introducirlo. la eceacién

toma la (onna

I uegc es exacta.

f

x

(2:te

,

• 1 • 2- .. -)d. 1

l' 4>'(1) • O, ,"Ü), _nte

Entonces.

y la primitiva es 1

28

ECUAOONES

(~

Sea

¡.<{O.y)

,2Y

J

•

2"

:r • U y. x

S2

(2< Y

22%' %

'1 ~

2

•

Ú

.. 2)-) •••

y + 20y

'2" ,,2

t

2(1

• oy

..

•

,t.. x.,.

21)'

J" (21 •

do.

20 y)e

.. 2x7e

ORDEN y PRIMER

'"

2Ity .. ~7

J" (20y • • •

DE PRIMER

"JI

+ 27 e

,,'

z)c

GIlADO

tlr =

~%

O

. lue;so es exacta.

do

.,;.

ú y)<

J"' 01 e ,;.do

do.

• (/1(1).

En,_

q,'fJ) •

J la prinIíIi .... es

7.

D<moouar que .. .,.,.,...

AI(¡r. y)tlr

" (2
: Ny • doode Alr

+ N(x. ¡i)dy

Hay que dc:a:Iostru

+

xl

• C.

N, DO es id&"i •• .,." .. DWo. es UD

= o de ¡n6o n. &Iuálat

JI que --ds JI.. Ny

• --

N

/Ix • Ny

a

(/Ix.Ny) ~

y

(/Ix. Ny)

aN a;

-

N(.


a;

inlqml"

de la caIOCi6o bo-

en que se teop la ideouidad Alr Uftl

ocu.ación c:uc:a,. esto

es.

+ N,

_

o.

que

o

N.

ilr

rICIO<

N • -(--l·
JI

- 11(.~.

ay

.0(_11_) ~ /Ix. Ny

d _

rJy • O es

-(--) /Ix. Ny

ar

O.

y~)

ilr

.11. :t

aH a;)

II..~ -lIN-N.~ (/Ix. Ny)'

(/Ix .Ny)'

N(dI) - JI(roIf)

• o

(/Ix. Ny)' (po, el ._

de filler de las funcioocs

Si Mx + Ny es idmricamentc

DUjO,

bomo¡áxas~

N

para la que I/xy es un factOr integrante.

..

Raol .. ,

V+

")tIr - xy'

_! '111 ecuación

eetoeees ~ •

dy - O.

. .' 1

viene la oeuac:i6o ciada

CD

diferencial se reduce a y dx - x dy _ O

"

la oi¡uicnle

(! • %

l..)do _

x,

es un (actor ;nteJl'lllte. que. al introducirlo. con ..

,

z::. dy x'

• O que es

exacta.

ECUAOONU

Sea ~

. .'

I • f • (-.

a , y)

a¡. -

Entonces.

ay

'

L)Ja

•

+ '(y)

•

DlntENClALES

.. I

,

z"

<1>(1).

'

L.

_

29

y'

l•• - - ....

,

• -L

EXACTAS

4>'(1) • O.

y la primitl ..... es

."

..

1 ' lD1C.--l...c.

y· ....

osea

'

"lDs+C."

NOIa. Se obIicnc d mismo (iC(or inaqn..n.t.c: medIante: d proc:ed.amieolO t.. ecuación se: puede ,",,01_ por el mttodo del C.plllllo 4.

9.

•

.) c::&piICRO ca la

pIJU:

co6nca.

R.IOI ver y' d.r + (r - xy - y')tIy _ O.

Al introducir el raetor inle&rante., la ecuación dada toma La forma e>acIa.

Sea ~ ••

y)

Enlonod.,

. j

d.r

_J_

•

~:2·_)'t

~

•

ay

- _'.xl _,'

+

! f" 2

4>'(1)

(_1

%-1

Z

ti -

1_).& •

.+'1

•

l' tú.

y(x' -

! 1.!..:.Z 2

•

.a -.al - 1 Jy .. O que es

r)

• <1>(1).

•• ,

•

y la primi<M es

,1.

D<mosuu que

1

M-x - Ny

• cuaado Alx - Ny

DO

es ;01&11"""""1<_.

es ...........

ció. M d.r + N dy - yl,(xy)tlx + ¡if,(.,.)tIy - O. Estodiat d caso en que se _ 4&.

ll,(.&y)

t.. ecuación

.,.{f.(xY)

- f.(xY»

• f.«,.)

la jd,,,jlod

i:J •

pora la ..,..

iD_"

Nx - H, - O.

O

.y{/,CxY) -f.(.q»

y. que

..!. (

1,

o,. • (f. - l.)

)

•

I

y( ,-

1. (

f. ) o. y(/.-f,)

Al, - ¡¡;-l 01. - f "-a;l
f .) af. ¡;-

1

..! ( b ) _ ..! ( l. ) ay «f.-l.) a. y(f,-I.> ""O

es;dm_te

DUIo

ya qu< 1 ~~(xy)••

~(xY)

•

1, 01. _ l. al.

a.

1(/, -

a.

1.1'

30

ECUAOONES

06 'RIMU

y PItJMER GRADO

OItDEN

Si Alx - Ny - O. altODCa ~ _ ; '1 la c:cu.a6n se rcd:ucx .. x ~ + ydx = O. cuya soI-.a6n es XI

11.

y(rr

R.."'¡""

+ X 11 (xy)tly

_ O y _1-

iDltOduado. la cataci6e

Ya

Sea

1'{'.1)

t" t-

!la.

La

_óe +

1:1. Resolve, y(2x,

te

l'. (-.1

,,,.,..

2 --lela

a.'r

2 2_2:11: ,.'

• ~'(l)

s.>¡

1

•

".. b',.'

- _1- _ ~ lay • 3

I

,,

lz'¡

1 .2)eIa

:¡.''''

a.''''

CODvienc ce ~ 7 ...2 O ... 2-2< Y tizo O

,,

2

yla primili>aeo

le

• _1- es un (actOt intrannte.

"'_Hy

,,

Uoa

, 1.s-

3.'" 1 .. e.

o bico

2

y la primitiVl

~

a,

ccaacióo

2 J " (.,1'

o

2

• _1_)eIa

1

• _1_

C,

x'"

"'r'

un factor inle¡ranlc

• 2ylela •

a) Si se ac:ribc

(2<

-

2<'/ltlz

(--

121

2

--. 1

es ... rOClo<

• --

%',.s

10,.•

- -)Jy

¡'"..,..,tt.

• O Y es cxatU...

T

~y).

"'y'

2 1 --.---$o',. s',., ,. 1

<1>' (y).

-- 1• 7

<1>1:7) • - I.y •

pan. cada una de las sí,uientes ec:~cioncs.

Jl',' -

:1:r)c(y

.a

O

0.0

(s + ~2,. _ s"';)d:y

.'y'

.','

...

1

-la,. - __1 - __1 •

.''1-

1

x·,, --l

.'¡ -

o

1$'4,'

•

por Ílupe0ei6n.

e) (2.qt .. 1)...

..'r

• ~'1:7)

o

el

•

ea ( __2 •

te CODYStI1C

a) ('by·e' ...21:'1' ... 1)= ... (s',"e' _ bl (.',..

.- -3

• (y)

o.

l)otr ... .>«1 ... 2xy - x'r)t/)! •

.'1' 13. Obtmer.

~11.

puede mohotr por el método del Capl.ulo ••

Al introducirlo. la

En.o .....

•

Cl'.1/,¡zr.

••

",- ..,

1'(%,),)

1

:¡.'r

. --. sr

~'(;,)

La ocuecí6e es de la ronna 11, "'y)ltr ... xl, (xy)t/)! _ O Y ~

Sea

C.

o.

... 2)otr ... x(2 - 2x'r)t/)! -

y. ccuaciÓD es de l. form.a y 1I (,r)')dx

=

(Problema j) 1-11)

• O

(Pr_I2)

la ecuaci6n ca la rorraa

el .tnnino l' (2%<' dx ... x'<, djo) - y' • (u .. direr
,¡z,..

lrr

Si oc acribe la 0CUII0CÍÓ0 ea lo (orma 2(r dx + x dy) ... dx djo = o. el támiAo (1dx + ;r dy) que I/(X,r es u. posible r....,. í.do los ltmü_ que queda. oc lO< que c:aoh ano seri una ctitermciaJ ea.acta si k = 3, $0 es, que I/(%)')' es un ractor rotqrante.

b)

suP=

ECUACIONES

OlfEU'ICIALES

EXACTAS

31

Escribiendo la ""uación en la fonna (x dy + y di<) + by(x dy + y dx) - "'y' dy - O 101 dOl primeros t¿nninos su¡Jeren J/(xyt. El tercer ttrTnino ler' una diferencial Clacta si k - 4; por tanto, 1/(,(.)')4 el un raClor intevantc. <)

14. Resol..,. y di< + x(1 - 3....,..)oIy Los t6rminos x dy

+ y dx

-

O.

o~.

sugieren l¡(xyt

(.,),

~ _ 3 ID]' • 2>1'1'

El Oltimo támino SUPte l~ Inlrodu~ndolo.

dy - o.

'Y el 01timo término f'tquiefc k - l.

1 Introduciendo d factor ¡ntevante: _-. cuya primllivaes

+ ,di< - 3....,..

xdy

xdl+1<Ú

el.

Ita,..

+ r) como

UD

1_ obtm

l.Be __

__3 ....

x,'''

la ecuación loma l. (orma

'V

1

• o

w ..1/6c'r).

, ••

.'1

factor intcpantc. ... 4:/'
la ceuadón se conviene en .. di + ytV

,,2. 'T'

• O 'Y u exacta..

t t t· (s: ... ,. ), y • C•

•,.

xdy - y di< - (1 - x')d<

ResoI_

=

O.

Aqul t/r es el fadO' integrante, pues codu las Olnt$ poJibilidades sugerida. por X J)' - JI dx hlcen ineucto al último ctrmino. Inltoduciendod 18

l ...! •

x

(actor inlCJII.ate se tiene •

... Ji • e

o

lea

7 .. ,x:2 ... 1

+ '" + 2x'y' + I')dx + ., dy

17. Resol..,. Ix

Un ractOr integrante 'u~rido

=

di<

El

(lCtor

S'Y +

lrnegrante

1'.

+ In

x

=

o

CU)'l primitiYl

- O

x di<

o bien

2(.' • y'>

+,

+

%

•

el.

• O o bien s(s tIy+yú)

dy

+ {....+ ,..¡>di<

•

= O.

• Empleándolo se tiene

(s2. yI)2

Ó

.. ~

~

1-%

es

W.

dx • o.

.

rufuce la. ccuaci60 a 11 forma s dy .. yth • ~

~ 1f

are sen (xy)

/l-:c'"

(2. _ 1) ••

por l. forma de la ccuactcSn es

O cuya primitiva es -

.8. Resolver .'!z +

•

.. ..

cIz -ya

• O cuya primitiva es

C.

Resolver

Si se dCribe la «Ulción asr:

(r + y')(X

dx + y dy) + x ay - y dx = 0, los términos x dy - )' dx su-

32

ECUACIONES

DE PRIMER

ORDEN

Y PRIMER

GRADO

¡ien:a l'anos tactorc:s inte-¡nntes posibks. Tanteando se dcte-nnml I/(x' + }J),. que redsce la

«uaC:ton

dada a

ronna

la

• O. La primitiva es 20.

Resolver

+ ~dy)

1(",'dx

... l' C3ydx+

Sup6Qg.ut que el efecto de multiplicar

/+1dA + 2Jt••

(u··1

A)

t,'dy)

• O.

5%dy)

la ecuación dadl por x-y' es producir una ccuadón

... (3z4/*'Ú

• s.4+1/+'dy)

en la que cada uno de sus dos cénrunos es una difc:rmaal aooaJ a

e

O

Entonen cJ primc:r lemuno de

C'.ucta.

A'

es propot.

Bl

este es:

el

y

a. - 2{J • O.

AoáJogamenle, el tesundo término de A) es propOrcional a

D) :.

d{1

.·1 'M y

)

(Q.. l),a' Y

4+

t)

•

• ,....

•

«-

C/J+

...

p ••

1

'3 .

Resolviendo

d.z

y

-5-

4)1

.+J

, •., Y dy.

5o.-3/J'7.

2ft • O, S« - 3p ,. 7 simultáneamente, .e halla « = 2,

P_

1.

Haciendo estas sU$lituc:¡oncsen A), la ecuación se convierte en

La primitiva es (Syáz + a.eI,) • ¿yl(4yáz

21. R_

+ Sxclyl • O.

Supónpsc: que ., muhiptic:ar la ecuación .dada por r-y1 • ,4-1

Al

(a. 1

áz,

•• 1

a.

#

+ (~

1eI,)

0.+2 ~+'t

tI.. $x

y

JC

•• ,

ha obtenido una tcuK1'ón , •.,

1

ely)'

O

en Ja que cada uno de sus dos termines es una diferencial ex~cla. Entooccs: el primer término es proporclcnal CI,+l '.1

B)

d(~

y

)

4.

•

«1+ 1)"

y

"+1

n >11.+1' dx + (~ .• 1)~ '1 dy.

esto es

~.¡J+-l 8

el

8

y

DI t$to es

~./3"4

El

4

Resolviendo

el s.istcma « -

5

fJ -

0, So: -

y

4p ...

L. se obtiene « - 1,

P=

J.

a

ECUACIONES

DIFERENClALES

33

EXACTAS

SI se haceo CSW $USlÍlucioac::s en A) la ccuacióo toma la forma t.

(Sicl
le1yl • (U

~;

••


• o.

La prinJitiw es NOID, Tanto en este como en e.1anterior problema no hay ncoestdad de escribir liU relaciones que, con Ia práctica, se pueden deducir directamente de A) Las relaeiones C) y E).

n.

x' yl

Resolver

(2y dz

(2<

S. ha de

ay) -

('1 cU: .. 7%d,l

la ......,;m, dad.

MultiplicaDdo

Al

+}I.

c., 1

5"

•••

S

dr.

xY

por

• O. se tiene

A'" 1 JeIy -

e

."¡I elyl'

~.l

(Ss 1

exacto el primer término de A). entonces

5tT

B) y D)

dr.

o.

7s

Q. ~..

Si ha de ser exacto el segunda lénnjno de A), entonces ~

•

Q_ -

•

2/J ..

4.

7(1 - 5/3 • - 2.

y

S

el sistema ce - 2/1 - 4, 7« - S/J

Resolviendo

cada. uno de los dos t&minos es 3 .JI ti)

;

JI.

+ 3z

'y

-.11 -111 Y

-2, se obtiene «- -8/3~ {J -

-1013.

y b. pritoitiva es

C'UClO.

e,.

•

~_"" ~

PROBLEMAS 23.

=

7 111 •

PROPUESTOS

Sdoocion.ar entre Ias siguientes oculCiones las que son exacta.s y resohl(_l"w. - sely.

$<)/.

%1-6.'/3.C

Sol.

'1 +x'/3.C

4., • O

Sol.

%' +

o

ss.

1>(1 • e

$<)/.

.."' + 3x7 + 2)'2 + 4.r: + Sy •

$<)/.

x"r' .. ln(s/y)

Sol.

zJ

Sol.

(.'./~/2

el

("-lldr

O

.1

l(S-2y)dr

e)

(.t.ilcU,

el)

(%'

el

(x + y coa x)4:r + sen

j)

(1 + ~f')dp + 2pt'28 d8 •

'1

cU

h)

(2z+ 3)'. 4)dx; + (3z+,,'S)dy'

.)

(4)<

-"eIy.

O

xyely • O

+ ,.')ea + 2xy dy • O

_l.'

-¿

,,1 f

eIy

y • -)dx • ..

j)

2(ú

l)

(,1: ~2

..

Jt

2,. sen"

:

e

t'). e

• o

(:Ir

~2

yt _ y)ds +

o

1 Y

1 - -Id, • O

",,)du + C,,2+ vt)dv +

t

(,h

• t•

o yt _

Jt)dy

e

o

e

_.

+ 3,,211 + ,,' •

-3ry'C

e

e

)'1

34

ECUACIONES 1)

(o. y +I)
O

a)

(.. +y+l)C&

(y-x+3)dy.

O

ft)

COSO<

,¡, _ (, eesee 6

+ t,'

O)

(7' - __ ,_ • 2)ct. + 1(%+") (~)'Clf

p)

"

1)) a,

•O

4y.

b)

e

2 In ..

Obc.encf para cada una de las siguienk$

• O

J»)

·1

s th + ytly

a

bl

(:ty-Sz)
• xa, • O

e)

(.-i)
2zydy.

(.2 + yl')tb

O

(%"2 .. yt)d::t

e)

'1 tU - %áy .. lnx dx • O

1)

(Ss t .. )'t).

_ 2:Ky dy

h)

.

j) yb )

- (x'-3xy)áy.

;. x(~2y_l)cly

W\

b)

(1 .. y')
el

(2)'_z')~

d) y'dy

+ (z'+-4Ay" ... 8y-J)Jy.

para cada

1,11'10&

o

+-

+- z

dy

(31' _ .. y)cá s.-2y2d1

~))'(.1+ y)dx

_ x2dy

l/r' :

Sol.

lj(x' .. ,.') ;

Sol.

Vx':

y .. lnx .. 1

~I.

1/.' :

3%' _

~I.

1/"7 ;

: O

o

I

O

o .

UA

+- x In r

are

'/y

=

tg

/¿) :

.¡!:

,.,2/1 _ %5

=

e

~/.

y/x' ;

3.12 _ 2%:2.1'

o:

x' e +

e

.'1 .. y2 • Ct"t&re

2):

lj(;cy'"

y/. =

= ex

,2 . ~ + Io(r'

2 .. .1 );

Cz

11 >IX

Ot.2

Ja(Z]' .. 2)'}

-+

z'

+-

de tu St¡Uicates «,,'Icioaes y baIla.r su soIuc:i6D.

= O

-;rflYtx) es

e

+

~/.

Sol.

y.ex+-"

~/.

!te

+7

1/(x

tt

+- (z+2z y)dy"

X

sa:

o:

o:

•

7

•

••1 ,

y(y2 _ 2z2)d:t ... x(2y' _ x'l)dy

()crno¡.t:ar que

Sol.

a...

2

(2,)o+-3.*y2)dx

Sol.

Sol.

_ (.1 +- 6xy')dy

: C?"

o;

~/.

.. i(X'Y-3)dy

7

1/ex1. ..

O

2

•

Sol.

z'y • z'

factor ""canolc

de

7

o lo x/(:t

1& T: _ ",i

.. ~

o:

15

:e

Cy

S.I.

3)'2 .. :t In(xy)

S.I.

$}Y·

$01.

x/y

ss:

"'1'(1" xy)

Sol.

x'),2(y'_x2)

JI

- 4Y'

, In x

dy - y d." ,. O.

o:

o:

e : C

o:

adecuado

y ~wrbs.

por ms:pecoóo.

,'> ;

e

!:~ .e

are, le

-

(actor intqrant.e.

o:

ydz - záy

1)

lnh:J.y'_2x+4J'+$

.

y •

_

e

./0 ..

l)

2

•

....

empleando el procedimiento

y •• re sen

~/

"' (1+ z2)cfy

e)

)

o

o:

dy _ ydz : ~?e;tdz

X

.

O

o

o:

factor inttgtante

.)

h)

_ s: dy

3JC)"(Ú

(y;. ..}y+2r2)CÚ;

M. Obccoet

O

- (x_ y)áy : O

(n y)d.

i) ay dx _

o

7

:J .... eX)

e;Jl

Sol.

,)

UD

e

x

_ 2y)dy

a:\I.ac::tooes

..

lDX+-7+~+1)()'1'.2).C •

Y,. 'y2eQ t 1)4:t + (xt~x, .. byclf:1

a) (01-2!)d.

%7.

o

,coscc8 .. In MeS

t:r

2

d) .. ti)' _ ydJc • 3x2

:;

x «7

GRADO

SlJI.

6 )el8 • O

+ 2y,"

[_1-

y PRIMER

ORDEN

Rcsolw.r las ecuaciones restantes del problema aneerior [b). e). g). del Capitulo 4. ~I.

2S.

-

B tl6

J

U.

DE PRIMER

e

=e

Cr

+- 1)

•e

3.1" •

e

CAPITULO 6

Ecuaciones de primer orden y primer grado EC1JAClONrS LINEALES y ECUAClONrS

LA ECUACION

!!l:'

1)

+ yl'(x)

dK

REDUCIBLES A UNEALES

Q(lt).

s

cuyo miembro de la izqu.íerda es lineal tanto en Ja variable dependíenle como en su derivada, llama una ecuación IiJltal d. p,imer ortkn. Por ejemplo.

~ +

Jxy - sen x es una ecuacíón lineal, mientras que

d

Como -(ye

f,.(.<).

c!>c

e

f,.(.<).

dy

) .: -

c!>c

e

f,.,,).

+

y pex) ~

t+

f,.,,).

se:

3xy> - sen x no lo es

•

e

f,.,,).

dy (c!>c • y

1'",) ) ,

es un factor in~lP'.nle d. 1) Y $U primitiva es V~... Problemas 1·7.

ECUAClON DE BERNOUILLI. dy + y I'(lt) c!>c

•

Una ecuación de la forma

o bien

y' Q(lt)

se: reduce a la forma l'~ a saber •

dv c!>c

t

v{{l-n)I'(lr)

• (l-n)Q{,,). medianle la lransfor·

mación y

-. dy 1 dx~l-ndx'

dv

V~nse Problemas 8-12.

OTRAS ECUACIONES se pueden reducir a '" forma 1) medianle transformacioDeS apropiadas. Como en Jos capítulos an te riores. no se puede dar ninguna reala ¡cneral; la forma de la ecuación su¡crirá la transformación adecuada. Véansc Problemas 13.18.

PROBLEMAS

RESUELTOS

ECUACIONES LINEALES •• Resolver e

e;Z es un (actor intepanle.

o¡,¡."

1. Resolver

$

2:

a

y

1 .. s,S .. !.el - 21

<Ú

fP(.s)do = -f'i!

•

• -

10.

y

e--m 1.

! x

35

es un (aclor ¡nlterante.

36

IlC\)AC!ONIlS

OS PRIMEA OROIlH

f!(o'.3.-2)a.

•

•

3.

Resolver

'!l •

(x ... 2)

f(0.3-~)a.

• ~) + &lit .....

2y

y .. 2(x _ 2)'

!!l

O bien

a.

a.

f

p(lla.

-J':!!'" • • -2

•

1 y(--l

._2

...

+ JI

R(SQI~r ~

f

• 2

era ~ -~

f

a. • 2

.-2

..

-

e".......' -

JI

no

sen

x

1

R""¡..,

!!l

o b;en

.'

... ...!. ... 3 tn s

__

• (.-2)

.

,...111(._2)

J_

0-2

'•e 1-. JI _

-4.

•

St-J ... C.

t.

-)1'

2 --y

.'

• l.

y un f&Clor ¡nlevanu: c:s

Entonces.

1 x~~lh2•

obkn

- 21' tll 21 - I - 21 c,&21 - 2 eeeee 21.

R""lve,:

Entonces, y

(OS«

2x - f (eosec 2x - 2x etg 2x cosee lr - 2 cosoc'

7. ResoI_

JO

In y a.

+ (1 -

~-"'f),,"_ ,....,. _ In y

Asi x in y _

J

ccsec 2x + ct.¡ 2x +

e

In yjly _ O.

ecuación. consid
Entonces

2x)dx' = x

+ cos2x + e sen 2x.

y _ x

La

• 2(1_2)'.

;72'

y

seo x:... X-.

~

'-

c..

In ••

(.-2)a.

,senx- S¡,.-'''lI.$tnxdx

So

o booo

•

H.Ua, la soIuci6n plnicular, dad" la) condiciones iniaalcs: x ..

Un factor ¡ntcgraRle e' t}w¡·· ..'· -

, o

ORADO

'i un rlclor ¡nLratanle es

-10(0-2)

(.-2). ,1 --

y 'RIMeR

In y dy • ~ In' JI y 2

~te.

es uo

+K

(:actOr

.. p.ede

"'*'

al

lo rormo ~ dy

intcpntC'.

Y la soluctÓn es 2., In y _ lol y

+ C.

• _1_ o • 1 ylAy

7

37

ECUACIONES I.INEAlES ECUACION DE 8ERNOUIlU 8.

Resolver

dy

;¡; -

7 -= xy

,

La transformación

••

Entonces, y

9.

Resolver

_It

•

y

..

-1)';''1 y -¡;-y

o bien

-.

lE

- ..

v,

reduce la ecuación a

o

~ .. ~y tú

.¡.

o

JlY"

y'"

2

=

o bien v,

empicando et factor inlegrante

..

-3y -.

dy _ • d_u

1

.. 31

tú

.

•

-J6ztú

e

1 • 3(1- 2x)y

O

bien

-).<'

y

....

(!-.

1

osea 1 -,

:;Y

~+

tú

3

-=

!
:. -2t ..-~ _ c""X.

e

e sea

d.

&; - "

-1 _ 21: ..

1 •

;>

2x - I

es".

o bien

_


reduce la ecuación a

e-"

•

!(1-2x) •

reduce la ccu.ación a

~ .. y tú

para la que

).<.

-"2+Ct

y'

es un (actor integrante. Enlonoes. integrando por partes.

V~-" 11. Resolver

3<.

se tiene

la transformación para la que

-]t.

reduce 13 ecuación a

tú

1 _Jx'2: J3<.-''? tú • - '2c + e

.. ~,2:

~

..

'tx

tú

Resolver

•

Un (actor integrante es

U Iransformación

10.

• x,

-.

es un factor integrante. Entonces, 1:_sen1.Ct~. y

11. Resolver

Jl

dy -

{y .. x,Y' (1 • ln,,)}dx

La ¡rans(ormación para la Que

t/Z

h/I<

= .xl

'1

-.

*' v,

o

o bien

y

-,

ay

;¡;;

reduce la eeuaeée

1 i'

-.

3

'"'1.lnx.

_
~". <

-2(1+10%)

es un tactor integrante. EntonctS. o sea

~

yO

-=

-

2,

2

3' (3 +

lo. x) •

c.

38

~CUACIONES

SUSTITUCIONES

DE PRIMER ORDEN

Y PRIMER

(lRADO

DIVERSAS

13. Una caJ3C1On de ,,, forma

!l . /(1)

,. (1)

.na eeuacióa

P(.) • (1(.) <S

<Ú

GV +

;¡;,

"p(z)

en 11 nueva varillble "

• Q(.I)

Jly,.

la

lo""

de pri_

orden

(ObJér'YCiC que l. ecuación de Bemouilli

es un eJemplo.' ..

•)!l~ • Coa la nuevs Yariablc tOf integrante.

-

x dx - lr (sen x -

= ,J_.

C$

\lO (aaOf

COI

+

x)

CO$

d)'

Con la nueva variable " -

..

do h ...P = .. sea x para

C.

o sea.

r _ 2(scn x - ces x)

o &el,

-$Cny;;

d)'

+ COS)' + 2&1

y. ta C(Uación se: conviene en :

CO$ X ..

sen 1

!r_.

srnl

X

-I<')-~¡en x

+

+ ir-a

e

o bóen

15.

ay

Resolvet sen JI -d .. x d I dycosy

Como -(--)

COl)l

(1 -

x

COSy)

Kny

cos)'

-.

:

f -.xc ""'1t _~-

'.

00$

...

se:

son y d)' ees! y d.'t

o bien

- =r:-;' se: coma v - --

Mediante d (-.clor Intca;raruc ,-.

&lit

la que ~ es un flC'o

Y

I

------

y se

obCJcne ,.

COi Y

__ r •.

,

dv

ccu.Acl6n L ~

- v ..

-.Y.

obt_

c -]t • ~ -J( +

e 0".."..;n.,

• """1

Aqui ex dy - Y áx) su,;cre l. lnfnsforrnación rX

obien

=

e,

y : u-¿

¡.-'

<Ú +

+ Ct ..••

(2 ces x) _ senJ

tnle&r&nlC. EnlOooes.

,,¡z ...... = 1r-" seo' xcos x tbt ..

•

......."-n_

tJ. tI. c:cuacióo se (;OQVtc11C en

Resolver sen " dx - eos s: (2 (OS y - $Cnl x),

"'-¡tIU

•

EnIOl'CU.

."..= 4 f t! sen ...

I! - /()')

,7

c..-"".

Aquí no Se puede: calcular 111integral iodefinida eJCpresándola en funciones elementales,

X

:c COI X.

cos .( pan la qlJt

39

ECUACIONES ~INeALES 17.

Resolver

o bien

el primer 1crmino sugiere In su,slituc,ón rs _ .. 3 !.dr

dr

r

•

Entonces, ,-) es un (lictor inlegrante Ir'

JI.

x$tn9da.

Resolver

la suslilución

•

r" ••

(,. dI ... dr)

que reduce la ecuación a

I

!! ..~ ( d, r

.""'

..! dr

r

>

3r' ..

úy.

tly • _.x

cee 9, 2xycJx

Un Iectcr inlegranl,C' es ~'

•

6

;;'

y la solución es

e

(x~_2K2C059.coSe)dx.0

»s

.. 3. dr

sen

e d9

.'

3

C

•

o

_xs.cneá9.

"

r

.'

eoe9dx

.. 2coa8d.·

s cbt •

.. coa 9 dx reduce la cc.uaeión a

2. .. 2.ty

zdx.

.

-

•

" x,

dx

y 1:. solucjón es

¿

1 .' + K -~ 2

y,

e

2 eee

e sea

x +

&

c..:.-x'

,

PROBLEMAS PROPUESTOS 19, Seleccionar entre las siguientes ecuaciones y ., 2 .. 2x

Q)

dy/dx"

b)

do/dlJ + 30 • 2

e)

dy/dx

d)

x dy _ 2y dx

e}

di/dt

.. y

=

xy2

= (x _ 2)e';

ca

- 6, = 10 sen 2(

/) dy/a..

y •

y(1+/)dx.

l)

yy'

2(1-2
_ :r.y2 .. .z: • O

a)

:r. ¿y-yaz

n)

4>.(1)

lO

tU/d'

"/.z:'- y2 ••

41,(1)

2 tú/dy -

xy'::

• O

q)

(2 .. y'1)rb.

-

(z)' .. 2y .y')dy

- CQS 2,)dl

r)

(1;. y')tÚ

•

(are

.)

(2<1' - y)dx

t)

(1. sen y)4:&.

e)

r:

6)

.;

F.I .•

y('1:

j)

r;

F.I..

sen'18:

tO

ydx.

(2s .. c2t )ds • 2(.c':

i)

xdy.

j)

el,. .. (2,. C'lg 8 .. sen 28)d8 • O

x~y'tú

z/:t .. x'

ay • 1

p)

h)

y~:<

•)

o)

y','

.. (xY.K-3y)dy

las que son lineales. establecer la "ariable dependienle y resoh'Crlas .

t&

y(l _:r.

CO$ y • • x

%)

2

o

ccs s • o

19 y - x)dy

dy •

.2%

(2ycosy

O -z(seey

~

tg

s«. 0.)

y;

F.I.•

b)

o;

F." •

d)

y;

F.I. •

y.2,I.Ce-x 30"2.C~-~8 y=e%.Ct:'

F_I •• <-6t :r.y

lO

2t'

3(y-l)

.. C~-'Y

sen'8. sen'

e •e

y)]dy

ECUACIONES

40

"

F I ,

n)

':

F,I" .J"'S)"#'I'); F,I,, i'COii'"1 :

y"

,)

"

r,l. ,

1/./2:7:

x

x: x:

r.r..

~

F,I.,

seey

De

are Ig ,

la5 eeuacíones

s«.

21.

(1+,')2:

p) y;

1)

20.

(1.,7)'%.

.)

1')

1) 1)

y'"

1

A)

... -

'. • =-

X·

o

- 1 .. I&}')

l/y·

u'

(C+%)ye

• O

2/y' • 0<' • SS'

• .:

Ji)

Ce

-are

19 resolver

e

So,.

23.

di L _ dI

+

Ri .. E sen 21, donde

, • __ E_(/i

R' .. 4L2

1)

Y

O)

•

.) y

• • v; y • • ., v: .,

..

• 11:

L, R, 1: son coniUanld. C05

.'

al tipo de Bemouilli .

1 ' C.

sc:ny.C

y·C06y+y

x

s.z-2 • (U5.C),-

del Probkma 19.

m) , •• < scnlo' +

sen 2t - 2l.

C

la}'

SDI, h,

.1""'Id","-, tI .Ir •

lu, que pertenecen

y m). que son las que quecbn

sr' + sen 2J =

q,.~1)

.}'2+C

l-.l'tC~-~

• .. 1

GRADO

.&

are

del Problema

u;

CE eOl

ch'77

.z:(S.tc)'.

f

•

'2 .. y2 • Ig,

y PRIMER

• .c

J••,t)"/~,r)

.. 18Y:

RC$Olver lal ecuaciones. &/.

:

ORDeN

21n)',,}'

ccs x

Que queden

-, ., . y

<)

DE PRIMER

C)

l'

= .~ (l""

con lA condición

-

l""'

i =- O para

t -

O.

2: "·2l.,,-Ar//')

RClW)lver: a)

;e2 CO:S, ~

e)

(.11' -1' - x' ~,I()clx

•

el)

d,/á

XS(X

• 2x

• .z:(zy)

sen,

e.

_

1.

emplundo sen .l'.

'hy'd, =- O. empkando • y)'

-

1.

:.

sen y

Sol.

3.z:

SúI.

1/(.1' .. y)

=-

ez' "

1

r • r~. &/.

'Z,

• x

.. 1 • CA:

xt

CAPITULO 7

Aplicaciones geométricas I se ha expuesto

EN EL CAPITULO

la forma de obtener la ecuación diferencial

/1.<. y. ¡i) - O

1) de una familia de- curvas

2)

g(x.y. C) - O

La ccuacién diferencial expresa analíticamente de las curvas de la familia.

Recíprocamente.

una determinada

propiedad COmún de cada una

si se da una propiedad cuya representación

anaHtica implica la derivada.

la solución de la ecuación diferencia¡ resultante representa una familia de curvas. poseyendo todas la propIedad dada. Cada curva de la familia se denomina una <111'1'" integral de 1) Yse puede obtener una curva integral determinada por el que pase la curva.

dando alguna proptedad adicional:

Para facilitar su manejo se citan ordenadamente las $l,uientes

por ejemplo.

UD

punto

propiedades de las curvas que

implican la derivada. COORDENADAS

REO ANGULARES.

Sea (x..1') un punlo cualquiera de UDacurva F(x. y) - O.

1

•

o T al b)

d)'

;¡;. es

la

de Ja tangente a la

pendltnlC

CW'YI

en

11

ex.,."

_dd't es la pendiente de 13 normal a la CUr.... en (x. )') . •1'

(") y - y • dy (X

11.<

-

".

es 13 ecuación de la tangente: en ex. y). donde

(X,

Y) son las coordenadas de un punlO

cuatqulera de la tangente. d)

d.y d)'

Y - J'. - -- IX - x} es qutetOl

13

ecuación de la ool'maJ en ~\'.)'),

de 111 eormal,

41

•

$leOOI)«

X

•

Y) las coordenadas de: un punlo

I

CUII •

42

APUCACIONES

t)

x - y -"" y y -

;x -dy

son los sesmenlos

tlx

ti)"

n ..+ y dyh '1 1 + x dx dy son ,1

1JI

+ (:1'

h) 1 j1 .. (~)'

y

.j 1

y

X-/l"

(~)2

dx d)' . Y JI - son las longitudes ti)' ti.

1) Y -

) k)

d ••

/(dJ/)2

.. Cdy)2

o:

en 105 <:ies x e

)1

por la t¡npte

lntCfClC'PlaOos por la nonnaJ.

$O'

las "",,"udes de l. UnJC1"e entre (x.p) y los ejes

son las lon.auudt$ de la normal entre

de lit sublangelltc

ex,)') y

10$ ejes

Jt

e y.

x e y.

y subnormal.

lb)) ..(*)2 . dy/lt (:)7

JI tlx o x dy es un demento

COORDENADAS

itl.letceptados

los scgmc:ntos

+ (~12

OEOME.TRICAS

es un ejememo de longitud de arco.

de ara.

Sea (P,8) un punto cualquiera de una curva p - f(8~

POLARES.

• • • r _ p 4J. don
1) 11.

oricen de

dp

dO es la longitud

n)

p ell '" -

o)

11 sen '" - pI lis es la longitud

p)

dO

dI.

eree.

I CdP)2

.

'1

T

de 13 $ubnornlal

D.,2

P (dvl

:

polar

desde el polo a la tangente.

de 1a petpeocheul.llr

di>

j l.

P

idO, (;¡p)

•

de

¡dPi (dlJ)

..

P

2

es un elemento

de lonsitud

de

APUCAC10NES

43

GEOMIIT"UCAS

TRA YECTOR lAS. Cualquier curva que corre • cada uno de los miembros de una familia dada de curvas bajo uo ángulo COnstante (Ji se llama una trayectorio w de lo ramilia. La trayectoria de 90° de una Iamiíía se denomina comúnmente una trayrctorta ortogono! de la familia. Por ejemplo, ....éa.sc la Figura (a). las cieeunterencias que pasan por el origen y cuyos centros están en el eje)' son lta)'ectoñas ortogonales de la familia de circunIcrc:ncias que pasan por el origen 'f llenen $USceatres en el eje x.

r

r T

C

• lo)

Pal'1l hallar tales trayectorias se empleara: A)

Las curvas integrales de la ecuación diferencial y'-t,., f(x, y, 1 + y' ti") - O

3) son las trayectorias

(i)

de la familia de curvas ¡nlcerales de f(x,y, y') - O.

1)

Para probar esto. considérense la curva integral

e de

1) y

UDa

trayectoria

(J)

que se cortan en

P(x. y). como se muestra en la Figura (b). A cada punte de e para el que l} define un valor de y', se puede asociar una tema de números (x. y; },'l, siendo 10$dos primeros las coordeoadas del punto

y el tercero el valor correspondieme de y' dado por 1). Análogamente, con cada punto de T, par. el que hay una tangente. se asocia una terna (x, y; y'). donde Jos dos primeros números son las

coordenadas del punto y el tercero la pendiente de la tangente. J)ara evitar confusiones. ya que se están considerando las ternas asociadas con P como un punto de e y corno un punto de T. se escribir' l. ultima (asociada con P de así: (x. j: j'). Ahora bien. teniendo co cuenta la figura, x - .•• )' = j co P mientras que y' - tg O y i" - tg f¡ están ligada$ por

n

, O t y - tg = g(.p -

1<»

=

tg .p - tg (U Y' - tg w 1 + 18 f¡ tg (i) = 1 + Y' 18 (1)'

Así, en P (un punto general en el plano) de una trayectoria f(

x,y.}'

')!e- x,y.- 1Y'+ -Y' 18 18Q}) w

. rayas. . permanece. o bien quitando las B)

Las

CUI'V2S

!(x. y, J )'~ + y' tgwQ})_-

la relación

(1,),

=

O

O.

inlcsrales de la ecuación diferencial

4) son las trayectorias ortogonales

[tx,», -1/)")

O

de la familia de curvas integrales de 1).

44

APLICACIONES

GEOMET1UCAS

En coordenadas polares. las curvas integrales de la ecuación diferencial

e)

d9

¡(p. O. _p2 dp) = O

S)

son las trayectorias ortogonales de las curvas integrales de dp

6)

[(P. 8, d9) ~

PROBLEMAS

tx. y)

l. En cada punto

o.

RESUELTOS

de una curva el segmento que 13tangente intertepl3 en el eje}' es igual a

2:.cY-.

Hallar la

1

2

curva. Empleando e). la ecuación diferencial de la curva es dy Z;¡; =

Y -

~y

2

]

YOx-xdy

o

l' osea

Integrando

x-xl

11-2q

•

------~---Jj

Cy.

2q2 También

se puede

obtener

la ecuación

mente de la figura adjunta. así

~

==

En cada punto (x, y) de una CUM UlmbtéD por el punto (l. e).

ta

o

y - 2xy2 •

cbc 2.

di(t:teDciaJ directa-

•

subtangeete

es proporcional

al cuadrado

Mediante i), la ecua-ción diferencial es y ~ d] pcrcionahdad. Integrando.

k In )'

= --x1 + C.

Para X

La curva pedida eeee por ecuaci6n

=

de la abscisa. Halla,r la

]

k In y _

e: k

=-

_!x +- k +

J +

si

pasa

. donde k es el factor de pro.

It ~

1, Y =

CUI"\'3

e y c.

k + L

l.

3. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente entre el ponto de contacto (X. y) 't el eje y es igual al segmento interceptado en y por la tangente.

De g) y el se deduce

La transformación y

Y-Zd;

=

dy

de dende

ln C. %(1

2

C

o sea

2v dv

2

dy

Z '"' y - 2x1;¡;'

ex reduce A) a

•

Luego

A)

o•

APUCAClONES 4-

4S

OEOMETRICAS

Por un punto cualquiera (x. y) de un .. curva Que plisa por el ofilen se trazan dos Retas parnlcla, a los ejes eoerden.dos. Hallar la curva de modo que divida al I'«I'n8u1o fOlmado por la, dos rectas y I()$ cjes coordenados en dos $\Ipcr6cies. una de las cuakl se. Inpk de l. olra.

o

o

A

•

A

(al

En las tl_g.uralile representan dos. casos: D) EnCstC' 3(irea04P) Para obtener

~ ireaOPB.

la ecuación

diferencial

Luqo

3(Ydx

se derivad respecto

As!. pues. Mediante b)

• It

q-foXydx

ó

x,

de donde

tntcar:u:lón

se

obtiene

Aquí. área OAP - J(órea OPB) la cc:uación dirCfC'OciaI es

?fiX

J.

familia de y

curvas y • C~.

41: y dx _ 3xy.

3' • y la. (Imllia .x

Ik curvas lime por CCUlciÓG " -

ex.

Como en cad. easo se obtiene la ecuación dlferenciaJ medllnte una deri....da pueden habene introducido soluciones eXltaftas. Deben calcularse hUi áreas, P.11'l1comprobar. En 105 casos que se. acaban de estudiar. las cur .. vas halladas satisflcen las condiciones. Sin embar¡o. véase ProblemA $. S.

La superficie: fmutada por d eje x, una ordenada fija x • 11. UftI ordenada vanablc y la parte- de una curva ínter«pi.d. por las ordenadas gira .Indcdor del eje: x. Hallar la curva SI el volumen c:agc:nd..rado es propot'Cional • a) 111suma de 11$ dos ordenadas. b) la diferencia de las dos Ofdenada.s. al

Sta A la longitud de: la ordenada

es

~y2 a. le

t!z • I"levando,

Aja. La ecuación diferencial cbtenida derivando 1)

"!tIax y2,u

•

Ic(y

+ A)

se liene 2) 1(C - .x) _ k.

áx Si

le

utiliza

el valor de y dado

por 2) p.1ra calcular

el miembro

de la izquierda

• luego

la solución

es e.xtraAa 'Y no existe ninguna

•

curva

que cumpla

de 1) se ueee

l(y - A) •

la p,.opiedad

a),

ny' • le dt/.'J'cuya solución es 2') }'(C - lu) = k. x

Como se ha qutricl ..

vialO

en 3). esta ecuación satisface a)').

Lueco

la ramilia de curvas 2') c:umpk la prop.iedad re-

46 6.

APLICACIONES

Hallar una curva tal que en cualquier punto de ella el ángulo entre el odio vector )' 13 tangmte: sea tercio del ángulo de inclinación de la tangente. Sea O' d ángulo de inclinación el radio vector y la tangente. Olmo

~

=

,/3

del radio vector, t e! ángulo de inclinación

= (~ + 9)/).

,

Mediante 1). tg

.¡, ~

se deduce

'" -

j6 y 1& '" = 1&

de la uRgente

y

.¡, el

lruaJ

fngulo

a un

entre

19,

d9 úp P -d - 18 !8. luego - = clg ~(}d6. pp'

Integrando. tn p::a 2 In

1.

GEOMETRICAS

stn

i8

+ In el'

=

de donde"

C.

scnl

10 =

en -

ces 9).

la superficie del sector formado po, un ereo de una curva y los radios vectores de sus puntos extremes es la mitad de la longitud del arco. Hallar la curva. Sean 10$ radios vectores dados por 8,,",8. Mediante

.,

H8

q) y pI.

p'

se

=

y 8 - 8.

,

.f. Jdp(dO)

8 ~ 6,

+ P

, d9.

Derivando con tespocto a O. se obtiene la ecuación diferencial

o

dp •

1)

iplP"-

Si p2 _ l. I} Se reduce a dI' = O. Se puede comprobar fácilmente: que p -

1

d8.

J sottjsface la condiCión del pro-

b-Iema. Si pl

4:

l. se puede escribir la ecuación en la forma

dp

'"' t d8 Y obtener la solución p - sce(C

±

6).

plp'-l Laego las condiciones están satisfechas por la circunferencia p _ I Y la familia de curvas sérvese que las familias p = scc(C + O) y p - ,seefC - 9) son la misma.

8.

p -

sec(C

+ 9).. O~

la curva para 1:) que 1:) porción de Ja tangente entre el punto de contacto y el pie de 13 perpendicular 'lada por el polo a la tangente es 1)1) tercio del radio vector dd punto de contacto.

Hallar

/11

P o

P

.p

P

o o (ol

(b)

-3p cos 0/1. tOS ~ = -l/) Y 18 ~ =

En la Figura (al: p = :la _ 3p 00.(. - wlEn 'a Figura (b):. '/' Mediante

=

3á = 3p cos '" Y '8 ,¡, = 2./2.

). y combinando

los dos

C3SOS.

tg

ti ... p

d9 -

_

±2"

¡;

dp Las curvas

pedidas

-2-/2.

son las familias

P -= C¡trl../'2

y p

= Ce-#/2/7

2. de donde

dp -

p

=

d9 ±~.

2,j2

tra

APLICACIONES

9.

=

Haltar las trayectorias ortogonalc$ de las hipérbolas xy La ecuación

diferencial

41

GEOMETRlCAS

C.

+ .~.= O~obtenida

de: la familia dad .. es ;t ~

ckriVoIndO xy ~ C. La ecuación dife-

rencial de las trayectorias ortogonales. obtenida susmuyendc dy por j-

-xJ;:dx +.'11'.

es

ti,

O. OC' donde

Q.l' - x d.t "" O. Integrando.fas

trayececrias crtogonates

$01'1

las curtaS (hipérbolas)corrcspoodjentcs

a la familia

r - :c" -

C.

y

ProbleM

10. Demostrar

?roble.a

9

que la familia de cónicas bomofocales ~

...

c~ i

= l. donde ,'es

10

una cccaame

arbitraria. es

acsocrtogonal.

I

O c:nva ' nd o Ia ecuacton ,. d e I3 f am ilila

la anterior expresión respecte de

e

respecto 3 x

. ueoe

SI!

l.x e ... .'C'+)'P

se halla

e ...~l'P - O. d ond< p = ~. x

d)'

e-

de modo que

o

- ).p}'

1 =

x+yp sustituciones en la tc:u~ción de la familia se obtiene la ecuación diferencial de la familia

+ ,"P'h>x

(x

Como esta ecuación

11.

no cambia

cuando

trayectorias

ortogonales

Oc-terminar

I..s trayectorias ortogonales

Derivando ecuación

de la familia

respec:,to a O

dada se obtiene

$C-

Si se haoo'I esus

).p = O.

- )') -

por -l/p. es tilmbiin

p se sustitu~

la ecuación

de las

diferencial

. ' l..

dada.

de la familia

obtiene tKJ

la ecuación

o

RcsoI.ncndo

= e CO$

diferencial

de cardioides

O. eesclviendo

p

para

=

e(l + sen O).

e = ;O

;¡j'

sustituyendo

~ ~

y $USlltU)~ado

e en

de 12 familia dada:

dp pcosO ;m-I+senO de las trayectorias

la ecuación difereecial dO

Luego

In p

+

tnísec O

+

dp

tOS O

-;¡P •

p(l

+ sen

ortogonaJes..

O)'

obtenida

- +

(sec O

+ tg

por _ pJ_ dO. es

O)cD _ 04

P

tg O) - In cos () = In C. de donde

p =

CcosO sec

O

+

'-* O

- C(I - sen O).

dp

la

48 11.

APLICACIONES

Determinar

GEOMETRICAS

concmtricas: :xl

las tra)'CClOt1U de 45" de la Camilia eSe elreu:nrcradas

La ccuaci60 dlfm::naal

6c: la ramlll1 de cin:u.nfttenOal

La ecuación f;hrerenc,.1 dt las ITI)'«:lorias y'-tg4S· -é--,,z...= - 1"-1 __ es x J + y'

1+,"&45'"

o

y'-I .. O. o se. (K 1+ y'

"x. esta

(v

J)d.

+

10legando In x + K,-J__ .

::r ..

I

,t(.,

I 1.('" +

+

,,,-

1,..:1 -.

+ "' -

r _C_

O.

WIlIIU)-endo 'Y' en la antenor

de 45·, obtenida

+ )'--

Mediante la tnnsron'nJclón y -

es x

+

+ 1)(1)' + (,\,-

CICUKi6n por

,,)d.\' - O.

ecuación se rodvoc a O

de:

dond

1) + are " e - lo K

II'C -;:

e

+

tI+l...L._ ;;r;-¡.ro - O.

lo x'(1 ..... ) - l. K - 2 are " " 1 x' •

"

Y -

PROBLEMAS PROPUESTOS 13. Hallar la ecuación de la curva para 'a Que:

La pendiente: de la tlnacnle en un punto cualquiera ori_ al I"'nl., S
e)

la DOI'1:nlI en UD punlO evalqUICf'll (x•.1) y la recta que: \UlC'd onFft cdcs que tiene d "" s..I. y' - .. _

ti}

El sqmento de la oonnaltruad. en d punto (x. y). cuyos Quemos son e5Ce punto y el de Inttl"Se
ex

e

eee ese pc.mto forma UD tNftIUk> dÓS·

El segmento de perpendM:ular desde d origen a una recta tan&ente de 1. Curva es iguaJ a Ja .blciu. del punto de COOUlc:tO (X. y),

/)

(x.,) es l. mll.a.d de la pendiente

x............

ti)

r + yJ

Sol,

....ex

La longitud 6e1 eeeo desde el origen si punto variable (x, y) e, igual al doble de la rai7 C'uadrldA de ).. abscisa del punto. $()l. ± (are sen ji + .¡;-=-;t) +

y.

xl LA ,uboonnal A) El

'_lo

l) LA ..

•• ,


b) "

•

Sol. x'+y'_e

ori¡en.

a) La normal en un punto cualquiera (x. y) pasa por el

polar es d _

entre d radIO _

t._te

...

e

dd seeo dd ángulo ,_onal, y la .........

Sol, p=('-zcooe

es la müad del ."",10 _oriol.

S
polar es ilual • la subnormal polar,

_

s..I, p - eTl -


8)

e~

Hal'*J las uayectorias ortoaonllu de cada una de las Slgulitnttl lamilias de cereas, O)

b)

%

+ 2.1 .,

e

S.I,

z." • e

<) •

t

+ 2)-'

,-2% ,• K

f)

)' • l6t. 2

h) p.Qcoe8

•

• -y

=

C

d) 1 = c.-IX e .) 1 • x'/(C-x)

r

t

.K

s)

• x. K

(%2. ,')2

y • x - 1 .. Ce-:Ie

.) ".0(1+ o:

K(2;r2

+ ,.')

J)

Sol.

, r • 2or'(l-C.) p.

S • %2.

'1- 1• te-' 3)'t ln(Ky) •

o

p.bxn8 sen 8)

o(&tc8.

ti 8)

-_, '" • he p .6(1-

$en 8)

CAPITULO 8

Aplicaciones físicas EN MUCHAS DE LAS APLICACIONES de este y de posteriores capitules se ,eodnl en cuenta el movimiento de un cuerpo a lo largo de una línea recta. Si el cuerpo se mueve de forma que su velocidad 1) va variando (movimiento acelerado) su aceleración. dada por dv/dt. se debe a una O varias fuerzas que actúan en el sentido del movimiento o en sentido opuesto. La fuerza neta que actúa sobre la masa es la suma (elgcbraica} de varias fuerzas, Ejemplo J. Una embarcación se mueve sometida. una fueru de 20 kilogramos, que actúa en l. dirección de desplazamiento. y a una fuerza resistente (kg) igual a l/lO de $U velocidad (c:m¡seg). Si se toma l. dirección del movimiento como positiva. l. ruena neta (kg) es 20 - .¡IO.

Ejtmplo 2. Al extremo libn: de un resorte de masa despreciabk. suSpendido verticalmente, se fija uoa masa. Al cabo de un tiempo el sistema tStanl en equilibno. Hay dos fuerzas lCIuaodo sobre l. masa: la gravedad que actúa hacia abajo y una fucru equilibrada, Damada fuerza del resone, opuesta a la gravedad. Las dos fuerzas. de sentidos opuestos. son iguales (:.Q magnitud ya que el sistema esté en equilibrio. Luego la fuerza neta es nula. La segunda ley de Newton del movimiento establece en parte que el producto de la masa 'Y de: la aceleración es proporcional 3 la fuerza neta que actúa sobre la masa. Con el sistema de uhidades que se indicará a ccm inuación el factor de proporcionalidad es le. = I y se tiene masa x aceleración - fuerza neta. EL SISTEMA TECNlCO U. S. está basado en las unidades fundamentales: la libra tk fwr..a O. libra peso). el pi. dr longitud y el ~ d. tiempo. La unidad derivada de maso es l. denominad. ""idtuJ técnica tk maso. definida por masa en unidndcs

,. d e masa ,. peso en, libras ' tecmcas g en ples/seg'

Oc donde, masa en u.t.m. )( aceleración e-o pies/scg2

-

fuerza neta en libras.

La aceleración g de un cuerpo cayendo Iibremenre varia. pero ligeramente, sobre la supcrlicie del. tierra. Para facilitar loscákulos en los problemas se ut"ita un valor apromnadog = 32 J»OSIsq'.

PROBLEMAS J.

RESUELTOS

SI I.:.a población de: un país se duplicl en SOaños. ¿ce cuántos aAos tc1i el triple suponiendo que la velocidad de: aumento sea proporciona! al número de habitantes? Sea )' la población a los dy

1) -

di

= ky

I

a"oll e Yo la población en el tit:mpO I

o bien

dy

-V = k dt,

-

O. Se puede escribir

siendo It el 'actor de proporcionalidad,

«~

NOlo tkJ Uut'luC/(N. -

Si 2 flnpkan u'udllde, del $i.uema mMClO -tIWóIa. wlc:ikiÓAde I ~ (1, le 1an~ - I dcuL La UD"*' ,laút:a de nusa junidad ele: tna.M " el SUtt$& ti:cnico U. S 'Y qvc.te ea lupél) dIá rd.aoonad.I eee l. untdad conespoodic:Jte del siSftma mcU'KiQ deon'lal. asi: I unidad técnQ de mua CsI.,) - I ~ k,c.. En CU3010.. 12 aoderación, d ".1« USUAlen d sistema metrito d«:i-m21 es: I - ,al an/scc:· 1\. COl'lllnuaci60 se da '2 equ.iwle~:l de UJ\idad~ us.uales; 1 mill3. - 1.6(9).4 km. I pl,ll,pda =' 2.54 cm: I pie - 12 pulp'· d» _ O,l048.m; J libra - 0.4.5l592 ka. I sal6n - ),78$3 litros: I unjdad ICeno de:: masa hJu,g) = 32.114 librU - '4·,594 q, uIUdldes

,lIMtJIO.

dc'DOIm_'"

49

APLICACIONES him('ra

t l se: lJcnc: 2) In 1 - lel + In C. de doodc: 1 =

Intetrando

solud6n.

...... I - O. y-y.

FISICAS

Lue¡o 31 y - ,

y. de 2~ e-y.

P1ra I _ SO. r _ 2}·.. Oc 3). 2y. = y... SOII. de donde ,.,

Si

:f -

3y•• 31 de 3

$(pndo 3DhI
= ~.

Eatonoes.

lId• Integrando J) entre los límites

•

- (""1 - 2' y

- ..-.

I

&

79 años.

,.

ID 2>'0 - In Yo • SOk

e,

O. y - Yo Y I

I -

1)'4, 2 .

Entonces

_ 2.

1) entre los límllC$ I - O. J' .. Yo Y t - SO. y = 2)' ..

Integrando

'.

J"

e?' •

.

• dI.

'".[

-

t, Y -

3'0'

In 3 •

y

y

,ltt.

1

SOkt •

50 In 3

t

y

In 2

!50 In 3 .. 79 años In 2

•

I

1. En eertc c:uh,vo de bacterias fa veIoadad de: aumenlO es propotClomi al nlimero ¡::n:scnte.. a) Si se ha bailado qUll" el nómcto se duptica ee 4 horas. ¿que número se debe: cspctar.l cabo ck 12 bocas? b) Si bay 10" al cabo ck ;¡ horas y " • 10" al cabo de S bocas.. ¿c:tiáDlOS habria CtI un pnnap.o?

Sea x el núl1'Kro de bacterias a.

1"'$ I horu.

que x = Xo paca

I

-= O.

POIra t - 4. x - 2xo. Entonces,

Si

1_

• .It át.

•

Integrando 1) se tiene 2) In s _ kl + In C. toego x

P,imrra solucio". Suponiendo

d:l

o bien

1)

a)

Enlonccs.

2.\'0

Integrando

l)

1) mm:

los limites t

k

r.

ha)

ocho veces

el

numero onglna!.

10$ limites I _ O. ,x - ~o '1 t :: 4. x _ 2.'( ..

«(1(((

10

• •( d'. In1q:rando

Ctl'.

e - .to Y x - xol". = 0\0<,"10 Y e" - 2.

12. x = XO"I2l = .'toC"""')"_ x.o(2') _ 8xo• es decir,

S~unda sohlciÓtf.

=

= O.

y

ID .....

Ü .. ln2.

'1 t _ 12.. \' - x ..

X_T.

..

In ~

y

de.

2zo -

•

12••

3(4.)

•

3 la 2

In 8.

L..uelO x - b-o• como se obtuvo antes. 11) Prbnerll $o(ucllm.

s,

, ',5,

,1:

Igualando 105

•

Cuando,

10'

: 3, x .. 10",

'/ C=-;¡'

4-10", Por canto, ". 10" • Ce" \'aJOI't$

de

C.

10' e i'

tueco el numero original es

e ..

4·10

•

• -;r-

•

10'

e»

•

10'

8

y

e .

LUCIO

e

e

4-l0" ~'

,. • •

•

y

••

:

2•

APUCAClOt<ES

.sqwtda

1Q/wt6t1.

Int(¡ranclo l' eeue los limites

·!!:! f..··.. ' . •

(~ ·I

x. y

~ _

y

~

'.

10'

lo -

dI.

l. x - JO" '1 , - 5, ..... ••

10".

In 2.

I - lo \' _ 10-.

1

•

l.

t -

In ••

1) eetre los Umlla 1-0.

'ntearando

SI

'ISICAS

• 3A: • :1

ln 2 • In.

y

..

.-• 10'

como antes.

~Iún JI. k')' de Newten de enfriamiento, la \'docidld • qUot se: cnfrfa un.a JUSlancia .1 aire Ubre es proporcional I la difcrcndl entre l. tmapenlura dt la sustancia y la cid aire. Si la rnn;pualura del aire es lO'" 'Ita JUSUftCU se c:nfria de 100 • 10'" en 15 truni.ltos. lA lA:mpentura df .. JUSla.ncia'?

"mndo ~ ...

Sea T la temperatura

de l. sustancia

dT

Enlonce,.

-

• -'(T -

dI

I los

mutUlos.

J

dT T - 30

de donde

30)

• _l aro

Nota. No C1 oblipdo poner 6qvl -k. Se MUlt'i que k es posillYo. pero SI le: pusic:5Ie +k se halllI'ioIque es i,u.almentc neptivo.) InlC'"ando entre los limites I - O. T - 100 '1

¡

dT

lO

100

Inlt¡r1ndo

f

..

lOO T-

..

•

r:-;;

-k

¡" dt,

dT :o

_l

30

I'

15. T - 10.

t -

1ft to - In 10 • -15 ••

entre los IimltC$ t _ O. T

In!

y

7

1S"

&;

In

7

i . O.SS.

lOO y , - lo T - 40.

a

lDlO-1D"JO.~.

dr,

*

t.~.

1$lt.151ft?

O.~

O

Ciertc prodUCIO químico se disuelve en el agua luna velocidld proporcional ,1 producto diwelta '1 la dl(erencia entre Ja concentración en una solución saturada y" concentración

t

$2.10.

de I1 cantidad .aun no en II IOtUC»Ón real. Se

sabe: que: en 100 & de: una soIuciOa Slturada aún diwell05 SO& de: b susunc:i&. $1 se .pn lO I dd ptOdua.o qwrnir:o coa 100 I de a¡ua.. en 2 horas se disue.\ICft 10 &; ¿c:uiIUO$ se dasof-..ain al S bonJ' Sea :t el numero de gramos del producto quimico aun no dlsucho centrec

;O

-. n de la soluctón

Entonces.

"dI Irucgrando

rea

1

30 «--¡OO-'

J(

.so

entre , = O.• r •

I_~

Jl •

• $t

• l-

=

horas. En este hc:mpo b

2)

~ JI_

100

y I _ 2. x .. 30 -

I atterando eerre , _ O. x - lO y t

I

. ~--

3D-z 100

JO

de

1 d 1 -6 d SO y a e una 30 uel n satura ... es IOC)

.. (----1

100

dcspun

l'

S. x =

dI.

S

10 • 20. y

X.

JI at .

S o

de doodc

J(.

12.

u,..o

l. cao,icIad

do¡udQ

d<spuCs de S boros

C$

lO -

12 -

la g.

COI')-

52 So

APLICACIONES

FISICAS

qt,J( «W\IICnc 60 ka de sal disuena, Entra agua en d tanque: a Uftil velocidad de 2 01 por minutO '1 1:1metd4. NIl:)(rvac,b Utll(Of"l't'I(~ianlc: aCltación. saJe a la muma vdoacbd ¿0a4nt:a sal queda en el Es.nq~ ck5puis dt: una hotIi~ Un u,Dquc de 100 DI t$(S neno con s:aJm~ta

Sea J d nllmao de k.iJo&nunos de $al eft d

Uioqut

ka Dt

ckspubde I mtnutOJ:etltOOCCS la 000C'tn..trXaóa aJ'lOO

Duranle, ti interva.lo dI entran en el tanque: 2 di DI de .,\11 Y sakD 2 di DI de mcttb que eooliene:n J~ di. _ ~ th k, de sal. A~. pues. el cambio ds m la canlKlad de sal en d tanque es di - Inlclr.ando.

e _ 60 de

Para r _ O. s'" 60. luqo

1- e,-'iJO,

il

dt.

modo que s = 6(N.-'IJO,

PaNl , - 60 minutos, s - 6Oe-~ - 60(0.301) - 18 k.a.

6. Se ha comprobado que hay una concentraci6n de O.2~ CO, en una ialcda subterránea de 150 x

$O x 12 dm, por Jo que se trlILa de renovar esa atmósrera con aire del Olerlor. cuya eoecemracién de 00: C$ del O.O~~. me· diante venlíladores a una velocidad de 900() dm'jmlft. H4IlIcsc el potC:eO.tilje de CO~ después de 20 mmutcs

Sea ~ el nllmero de: dm' de CO: en 1.. pkna en ellNlanle r, la COI:.lCeDtlacióade: CO-: CSt en ese IOQCDtOlo. xl9O.000. Durante el intctvaJo di. b cantidad dt: COl que enlra ee la pleria es 9000CO,OOOS)d1 dm" '1 la canodad que ,.te es 9000

•

x

,

90:000"

cIm • X

De: donde d cambo<> dx en d ;Oluva)o es dx - 9000(0.0005 - 90.000 Id' Inlccnndo.

JO In(x - 45) .. -1

P...

X

, _ O.

CU.\ndo

7.

I -

D

20,

+ 10

e.

45 + J3Se-

X"

J

s: _

y

Q.OO1(90.000) = 180. Luqo

e-

es

S

l' - ..

=

--'0-

dr.

+ C~-""·.

180 _ 45 _ 135

+ 1Js.-".

:r = 45

y

63.~ 90.000 -

- 63. El poro:n'-Je de C02 es entonces

0.0007 _ 0.01 F••

la cantKlad constante Q calorilas/segundo de (':alar que pasa a través de una pared C$t' dada por

Bajo citertas condiciones

Q

=

a

-U-. dx 1 1

donde le es la coorluaividad dd matenaJ~ A{cm') es l;a Mipcrticic de um can de la pa:m:J pttpenchcular a La dJftCaOn ck-J flujO y T es la lCmperatUt3 a x(cm) de esa cara, de: (onna que T dtSmiDU,c cuando x aumcnt:i.. Hallar d nlltntro eX c:alorias por hora dtI eatee que pasa a uavés de I m)' de b pamf de una ha!);J0á60 (n.onfica de 12$ an
Sea x la dl$tand3 interior de:: la pared. Int~arando

I I I

I I

...,, " ....

t, _

~.

/41

"

_:r:_-l~

..

I

•

I I I

':

a que está de la ca.ra C'JI,lcrior un puneo

áT. Q

• - ¡;¡

.~ !1. dx r"

J.

desde

dx •

Lucgo .1 ftujo de color por llora

K

.-

80 •

O. T.

75

_g( I'IS),

U

= 3600Q

hA(U. ,f _ 12S.

y

80lA Q '-_. I~

~ 5'-'00 col

T

= - S, 8O(o.O(mxIOO)' 125

e...

=16--

se¡

APLICACIONES

8.

53

F1SfCAS

Un conducto de vapor de 20 cm de diámetro eSlá protegido por un recubrimienrode 6cm de espesor para el ({ueA: = 0.0003. Hallar la pérdida de calor por hora a través.de una longitud

a,

de UIl metro de la tuberte si su superficie esta a 200<>C 'J la superficie exterior del recubrimiento está a JO"C. b) Hallar la temperatura a una distancia s » 10 cm del centro de la tuheria.

A una distancia x > 10 cm del centro de la tubería. el calor fluye a tcaves de una capa cilíndrica de superficie 2n:x cm1 por centímetro de longitud de tubería. Del Problema 7.

Q : -kA'!!.

: -21th'!!. de dende 2nk dT • _Q dx

a)

entre los limites T ... 30. x _ 16 Y

dx

Integrando

é. , %

r=

2001

x .. ro,

2It1t

1"'°dT ,.

10

:_Q(é..

3.0"k • Q(ln 16 -In 10) • Q In 1.6

J", •

y

Así, pues. el calor perdido por hora a uavés de una longitud de un metro de tuberí:l es 100(60)lQ = 24S.000cal. b)

170

~()t dT

Pruebo. 9.

340.k ti" entre tos 1" mutes T In 1.6 X

Integrando 21'.k dT

- In 1.6

o

i"

Pata ;.; -= 10.

-

dx

170 In 1,6

ln~ 16

• 2)OoC.

Para

T -30

%

~lnl.6 In 1.6

T· 30+

= 30. .x _

I6 y T

y

)(.-=16.

w

T• X =

r: T-=

(30

x.

+ ~

30" O.

ln~)bC.

In 1.6

x

30°C.

Hallar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilindricc de radio 8 dm y altura 10 dm a través de un orificio redondo de radio 1/12 dm situado en el fondo del tanque. sabiendo que por un orificio de ese tipo sale el agua a una velocidad aproximada 11 = 4.S.jh dmj.seg,.donde h es la altura del agua en el tanque.

Se puede asimilar el volumen de agua que sale por segundo a Por tanto. el v'olumen que sale al cabo de dt segundos es

Dcsígnandc

por dh la ccrrescondicnte

UJ1

cilindro de radie 1/12 dm y altura

(l.

caída de nivel de agua en el hinque. el volumen de agua que $JJ!etam-

bién se puede dar por 641idh. Luego

Integrando entre t

=

O. h -= lO Y / _ l. h

=- -19~

O [ 'lO

dh

-

•

= O. y

( e -

3340,r,;-

~

3840

/iO ses

= 3 h 22 min.

v'h

10. Un barco que pesa 48.000 toneladas parte del reposo bajo el impulso de una fue-r7ÁJ propulsora constante de 200.000 lb. o) Hallar su velocidad como una función de) tiempo l. sabiendo que la resistencia en libras es IQ.OOOv, estando &' _ velocidad medida en pie$/segundo. Hallar la velocidad terminal (esto C$. r cuando I _ 0::) el) millas por nora. (Tómese g ~ 32 pies/seg:!.)

b.

54

AI'LICACIONES

FISICAS

Como ,na~ (unidades técnicos de masa) x tI«leruclón

(pIeS/sea:)

- !\Ierza neta (lb) rUtl'7.a de propulsIón

-

se

48.000(2000)

tiene

~

.,

'110.

Integrando. 11)

Para

b)

Cuando

I ..

l'

de: doooe

. -f ,1"•• 20 300

-20

y

1" _

20 -

dI

20(1 _

t'~'i)O(l).

e); 20 pie$,l:leg _ 21.95 km,1b Esto lambi~n se puede obrener

...

se

20 300

•

20t"-,¡lCHl _

termina!

dv v • • dI 300

1)

aproxIma 11un valor IImue.

(JI'

- di

O.

,.

erncnces, l' -

20,

como

antes.

Se (slá remoícaodo una hatea a una velocidad de: 12 millas por hot u. En el momeuo ti 01 que se suelta b cuerda de remolque. un hombre. que cst.1 en la barca. comienza a remar siguiendo la direccrén del mOV1I'YUctUO y ejcrciendQ una ruc:r~:1de lO lb. Si el peso conjunto del hombre 'i de la barca es de 480 lb Y la mlStC'nCla (lb) es ¡gutll a t.1SI!, donde 1) esut medido en ples,!~gundC), hallar la \'CIOC-ldadde 13 barca después de !minuto.

Como

masa

(unidades

Para

.

480 dv

3idt

)( aceleración

(plI~s/se8:) -

, :- O.

l!':

88

(Go)'

5

fuerza

neta

(lb)

e•

•

rt/lio

80

•

-<

7

216 35

•

dI

v·

80 7

-. 7

4

so

3

C. 21& .,.,..

.-, 35

.

"

t • 30.

4J"¡'0¿ '3 e t

12(5280)

dv

de donde

20 - 1,751.1

v,)(,/1.10

Inlegr!lndo.

Para

téCIni~s de masa)

- fuerza haCia adelante - (eSISltn e ,:!.

~ tiene

12.

200.000 _ 10.000.

ce, e .. 20; la velocidad

dC 1) y" que, como

11.

e_

O. ,.... O;

I _

•

.dI

32

I'CSI.'UtnCt3.

Una masa es arrastrada por el hielo sobre un trineo; induido el trineo. el peso total es de 80 lb. Suponiendo que eS despreciable la resistencia del brcrc a los ccrredoees y que el aire opone un a resis.tencia en libras igual a S veces la vetocrdad t,' p¡es/$C&) del trineo. ruiUe,.'e ti) la fuerza constante ejercida sobre el téneo para obtener una velocidad terminal de 10 minas por hora. y h) la velocidad y la distancia recorrida al cabo de 48 segundos. Como

masa (unidades

técmces

se tiene 80 dv

o

lid;

F

Integrando ••. = - ....C<' lr Si 5 (J)

Cuando

z ....

h)

Sustituyendo

-x,

f'

(JICll

5 -

r =-

de masa. x aceleracién

~ + 211 • dI I _

~ f. donde

5

A). t: .. ~t(

.'

F ~Ib. es la

(UCI7.ll

O. r _ O: entonces. C _ _ F \.' At r 5 '

1()(S2301 4.

(6()T

(pielio/scgt) = fuerza neta (lb) - fuerza hacia adelante

= J' La

220

(UCfZ4I

pedida es F = 3" lb

-

resistenoa.

hacia adelante.

r = ~(I

_ ~- :t).

5

=

33.26 kg.

_ (,-l'J .

)' J -

.

f

..~

.

44 .,e

v dt - _....J }

n,_

t>--l-ljdt

-= 691 pies

=

2i2.45 In.

APLICACIONES 13.

ss

FJSICAS

ee

Un resorte peso OOpreC'Jabk ($t" ~~tdo vest sealnxnk. En loU eweee bbtt se ha $Ujt1:ado u.na masa de m kl'ognn\O):. Si la lWISa.toe m~ con ,doci. Se,ún la le)' de Hooke, l. ruertlll dd resorte (fuef'UI QPUe$li .1.larpmtcnto)es Fuerza

neta sobre el cuerpo

dv dI

A -

luego

..

- peso de! cuerpo -

Itx

.,..

proporoonaJ

al alarpmllenlo

fuerza del resorte.

d. • .,,;¡ •• , - b.

de donde

ya que

..... Jt

lntegrando

Para x ., O. " " ~. 14.

e • av!

lucIO

)

Un poiracaidislil esú. cayendo con una ,-doctdad dt 116 pies ~. Sl.6S ntSC1. c:ua.odo se abre s.v panc:aidH. S. ta r'CSlstencia dd aire es. w•.:''2S6lb. donde ~fI es el peso (<>u1del hom~ )' dd pa.raGÚ(b$. hallar SIl ,'tIoacbd como una función del liempo , dtSpu~s de abierto el par.lCl1idas

W dv

Luego Inte&01OO0 entre

,

limlCCS 1 _ O. r

io$

117 -

1fe.

ln ~

lf .. 16

-!

8 •

256

-

f.

116)'

dI

•

lI' .. 156

8

r,._ r.

1=1.

I

do

J.


;di

lo ~

dI.

s _'",

" -16

.. -4t.

(j

v

-< 6

tI·16

Obsérvese que el p.c1raC::Jldl~t"IIlc:HlZ::1rápidamente velOCIdad terminal de 16 pleli'~, _ 4,83 mf)lt"g.

•

una V(:JocKtad aplOJumadamente

constante,

t(IO cs. ,..

lS. Un cuerpo de nus. ... m un~~ tCC'n.c:asde masa partiendo cid ~ ese en un medio para el q~ la rCS&5(c:ftaa lIb) es pt'opofoooal al cu..;drado de la ,,'docidad (ptes.sq .. St la ,,·t:kK:Jdad tenru.oaJ es ISO pcs.q _ m ., 11)

4~.n

1st" hallar

l. velocidad ., cabo
l'

la \'t.IQCJdad del cueree

Fuerza neta sobee ti
MI

pK'S

SCJ - 30.4'

m sq.

al cabo de , segundos.

peso del cuerpo - resiqeocllI. •

CU(I'po

di • .. -

sea 100

y l. ecuacién

del movrmleetc

Kv •

Tomando g _ 32 p.e.si.:e¡..l se pued~ Slmph6car la ecuaCIón si se di,e X _ 2mk1• gereeees,
de: donde

dI

kr -

Integf'3ndo~ In --

4-

-160(:1+

o sea,

In C,

I

Pilra

I-

=:

O. r = O.

OO.

f _

;, .,.......;--

rr -

Enl01"ltOe4¡.

e

150. Eutcnces.

kr - 4 - I

t--I•U

)'

2)

16

4.,. - , ir

4.1' -" P ...ra

('..0:

kr ........

+"

•

- 2111.

,

.

c; -,_

1)

se reduce a

-~ ...

2 ,..-J5O -= O. k = ....' y 2J se convseete en --- -< 1:1 r + ISO -

O.· "

A,LlCACIONES

tr)

SI

I •

2. -It - 1.50 __ t'~o.,. - -0.423 ....

1'-

'1 " .. 61 ptd/1q, - 1&.6 mise"

110

.,,,jo¡ -

b) Sl" - 100. ,

0.2 - ~ ',.

'Y

FISICAS

l.' sea.

l.

Un cuerpo de maa&m tiC dctck el ~poso tn un mecho par. el que la resllCC'lX'11I (en libtu) el pr09OfClOftl) • la ~ (¡Jóes/qu060~ Si la cspdIIca del mcd lla del cuerpo y SI la ... Iocodod ........... alA P
.,.vedad

Sea " 11velocidad del c:-..erpo en el instante t. Adem's de I.v.l!dos (uerzu que Ictóan como en el Problema l' M'1 una Iotrce:ra (uera q\lc resulta de .. difaenc:i. de tu ,,,vcd.dn cspecI8caJ. Esta fueru es _""al en ml.enJlud al _ del _ q.. desaloja d CII
.,.,...tod.

Fuetta

neta sobre el cuerpo _ pcw del cuerpo -

deol mcdto - mistcnc:ía.

(utr.ta

y .. ceuaci6n cte.1mori-

mienlo ti

do!

• -

•

J.

-.,

K"

-

Tomando,

- 32 pits,lseaJ y K- Jmk. la ttuación

In~o

dnde

1 -

o. ••

O ba$U

1 In(8-k.)1o l' -¡

C\Iolndo o) Si

1 4

IIC -

t.

t - _,

3,

11.24(1

JI

•

eJ. . 3(8-Av)

•

....!!!_.

3J r,

S-k>

11'.

• 22.8 PIQ/seg,

- .-')

_

l•

ser

piSA •

-ln(8_"\!).

31 ••

- K ••

-q: 4

In8. 3".

y

24. EnCOnCcS" • V:t

...

"

1, , -

l'

•


1 _

3

•

JI

O •

_

6.9S m/sca

_. .a

24(1-.

21('

• c"

)

.)10l'

entre

r.

O.

y

:c • %4(2"

If

..

O

'1

f"")

....

3, .a • a:.

• 49.2 pteI.

I~ m.

11. La fuena de la &n~ád que act~.a sobre una masa '" que ese! a una dtttana:t $ del emtto« b 1JCn'2 es ditte1,aMeote proporcional a m e in ...ersamente proporclonalll (1) Hallar JI wd.ocidad .!camada por a. masa si escAndo en repoSO • una distanc:ia SR del cenuc de la tierra se l. deja caer sobre 1. superficie terrestre. b) ¿Qut ""Iocidad <5nele la fucaa ele la (5t ~ 'odas las dend, (urnas. i~uso d rournie11to.) Se torTt.ari R - 4I(l()() millu _ 6007 km como radio de la bm"a.

r.

.,._1

""TI

La (uuza de l. ¡ravedad a una ditlancia s del centro de la tierra es Jcml.,2. Para dec.crm_inar k obstl'YeK que la ,,_,. es "W para s - R; ..... "" - 1mtJ1I'. ele cIonde le _ trR' La ccuacióo ele mo........ ro es

1)

.- ..-- ... J. J.

sieodo oeptivo e~ "ano ya que n)

InlC.¡rando

1) desde v

f.o" Ddv

•

d•

d~ d\r d. tú 11'

= O. "

d.

IUllIOlta

.. SR basta

tú -,It 'J' -. '>1

.2

~'

• - --

aAado

,7

$

de: donde vd\!

•

-gtf_

d. ~t

disminuye.

e _ v. s _ R,

.'.

!(32)(4000)($2$l). 5

APLlCAaONES b)

Integrando

Lov "dv

O, s _ 00 hasta

1) delide ,,-

-sFt 'J'• d. - • $2

•

11'2

ZaR.

:e

7 mill.rlsog ~ JI.265 km/sca. 18. Una de las ecuaciones fundamentales

L ~

1)

Ai

+

d.

,,=

IJ =ro

FISICAS

(J.

57

1- R.

ro:: pies/seg =

6400",33

ro::

1950",33

m/seg o. aproximadamente,

en circuitos eleaeiccs es

~ E(c),

doooe L (benrios) se denomina la inductancia, R (obtnios) la resistencia. ,. (amperios) la corriente y E (volticn) hl foena electromotríz o Le.m. (En este texto se consideran constantes

E(q <:

R y L.)

Resolver 1) cuando E(t) = Eo Y la comente inicial es ¡o. o)

R

=

Resolver J) cuando L 3 neertos. R _ lS ohmios, E(/) es onda sinusoidal de aJllptilud J 10 voltios, ciclo 60. e t O para I _ O. h)

=

al

te

dt

Para e -: O. i.

io.

Luego

Obsérvese que cuando

b,

di

Integrando

3 -

d.

t:

C"_lO-~

1Si

(b)

l!2./t/~ • e

:&•

o

R

C. -Rtl'.

R

y

R

i = EoIR. una COnstante.

1- 00,

•

-. =,. /lo J

, HtlL

L ~ • Rt : Eo.

Integrando

(01

•

Eo sen

wt

-:

~

110

sen

21t(60)t

e't !> sen J.3)1tC -

3

e

110

sen

120ltt,

120R coa 120ftt

+

e

Z5 • 14400 7[2

de donde 3

i

y

•

22

sen

la)nt

-

24ft coa

3

l:J)rtt

• 241t ~-"

1 + 576,,;2

Se: obtiene una forma mAs útil si se observa que la suma de 10$cuadrados de los cccñcicntes de los términos seno y cosecc es el deecmínador de la an1erior ecuación, Por tamo, se puede definir sen

4> :

24 "

y

(1 .. 57sn2)*

de modo

•

•

22

% (COS cp sen 1201tt - sen cea 120ft!)

3( 1 + 57S1t2,.

22 3(1 -+ 576ft2)'h

sen(l20itt

_


•

+

,t

116tte ...

1 + 516112

Obsérvese que después de poco tiempo el segundo termjno se hace muy pequeáo: así. pues. la corriente sigue rápidamente: una rey sinusoidal pura.

S8 .,.

APLICACIONES

FISICAS

Si un drcuito clkuico COi1ttene unn resiltencia .k (ohmio.) 'i un condensa· do, de capacidad (roradi.. ) en y una r.e,m. E (volti.. ). la ca"" del

e

q

condcnJador

/1

..n.

(culombio.)

clltA dad.

/l.""d. .

! .

e

por

e.

SI R - 10 oh.m~. e-lO·' (aradlos y El/) - 100 ten 120 a/ voltios. a) hallar q. suponk:ndo que •• O pi" 1-0. bl empica, I - "'d'pa" hin,,,.... pon.icndOI - 5amperíoscuando, - o Intc¡rl.ndo

...

1011

se "e ee IDO ...

• .,

JO ka 120ftr

• y

1)

¡en

-

12:1' COI 120ft.r

1200. - l:lDx coa 1200. 10.000 • 14.400.2

" A

A•

100 • 1•• '" q

-_":'_"""j¡ sen

•

(IDO donde

e

(1 :ID<.

...

- ... ) •

A.""""

1440')

t/J •

y (100 • 1441\')"

b)

Derivando

1) respecto a , l

•

k

obtiene

5.

00'\

dI

Para

t. O. ~. S.

y

LUCIO 100.4

,. (25.

20.

~ eOIt(l20ltt _~)

_ looAc ...100t.

25.381'1:')

•

-

60ft YJ cOle 12Qtt, 361<')

Un mucbacho. que C$I' en la e5quiM A de. un embalse titoe en la c:tqulna adyacc:nle B una barea atada al altanO de una cuerda de 20 metros de Ion.. El m_o se dctplau hac:b minando poi' el borde del embalse y mantenimdo tensa b euercb... H'11cse J. d
rp) -

(

3001t

_ 5)c

S

°'.

10

00

25+ 36:ft'

RCtanJ'I.dat.

,,'ud.

e ..

B~--------------~

"t~.

EIí_

el ,asumo el< __

~'J')

'<,~

el< modo que

con el eje 6e lb abtcisas y A8coa d de las ""'
ioch~

A

1<#>_¡',~8

•

E

de- la C'Ucf'da se: utnc

-y

,/400 -

<Ú

y'

•

-

e

APLlCACIOl"eS

/

Intratando.

-,

-v400-y

-. In ~,.

..

59

FISICAS

,t

/400 - -

3}.

c.

+

y

Cuando la txarea está en Emceces.

e•

B. x ..

O )'

y = 20.

- .¡¡---¡¡O'OO 400 - y'..

oy x

1'00 - y' es I:a ecuacl '6n dI'e a trayt'!Clona

20 1 n 20 +

de 1:..barca.

1

Ahera bien. A!'

r---"1

,.

JI

..

\"400 -y'

:

20 ln

20 ' 1100 _ y' . Por 1.lIlIO. cU3ndo la harca está 3 y

12 metros de AC Iesto cs. t • 12), " .. 16 = 20 In 3 = 22. El muchacho

21.

~(á a 22 metros de: ,1 y la

1):'11'01 está

de AB.

:1 6 metros

(1 y p, de forma que a gramos de o: y b gramos de P forman flJ + b) gramos de 7. Sí al principio ha)' Xo gramos de 0:')'0 ¡ramos de /1 y ninguno de ,. y SI la vtlocidad dC' (ormación
Se esui formando una suSlanc.a )' por lo. reacción di: des sustancias

o:

los : gt'3IOOS de 7 formad" en el IlelT\po I con$~O de -a+b

b: dt o: y -(J+b

¡nmos

"amos

de ,.

Se puede, PUC$, escribrr Kob ---

d. dI • (A _

Hoy 00s ""_

ItllcgrnndO desde e _1-

donde

O.

t =-

o hll$la t

lft~l'. "11: . 8-:

_'_.~

o

le d<.

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,~-IJ

1

A

b

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-

8-. (A-')Ir.! ...

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Inltgrando
A _.

(O" "')10 •

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(A -:.)'

A~X . "lb'

8 ..

(o ,.b)%ft a

se obuene

) =- z .

=- t.

A _ Be -(A dz

,It

- l)

A-B B-:

A8(1 - <

2) Aqul

A.

II A 'f B. por <,ICIIlplo A > 80 Y 21 A

A-BA-z

=-

b

ti

.. : ~. (o + b)"2

dz . ---0--

(A-.)(B-,)

.4._8

.)(8-')0

• co • ...,.",,:

d.

1) Aquí

o+tJ o·b (--.ro - z)(--Yo

{001J)"2

•

~ s,

Y

,

•

A2., :

1 'Akt

'0

se oblienc:

APLICACIONES

60

PROBLEMAS 22.

FISICAS

PROPUESTOS

l)n muc:h;,u:ho se mueve en una linea .'tela de modo que su velccidnd excede en 2 ~ su dj,)wncin respeetc de un pumo lijo de: la recia. Si P" S cuando , - O, h:llll" 1:'1eeuaeién del movimiento. S()/, '( Sr - 2

2.1. HtJUllr el tiempo n('(,'Cll~tio p:\I'tl que uoe c.untidlld de dinero aumente ni doble. at S" .. por ~~o.lnlerés compuesto ccntlnuc. Sugerencia: d:r/ú, - O.OS.\'. donde -\' es 111$IJm!J al cabo de J .. ños. Sol, 13.9 :I~OS

ni

14.

radio se desccmpone 1) una velceidad proporcional :1 lo canrjdnd plcsenlC. SI 13 mitad de 1~cannded original desaparece en 1600 eñes. ht\llt,,· el J)OftcnlllJe de- pérdKla en 100 años. Sol. 4.2"11

25.

En un Cultivo de levadura la canudad de fermento activo crece a una velocidad proporconal " J:l cantidad presentc-, Si se duplica la cantldad en I hota. ¿.;uánUls veces puede esperarse que se ten~ la cantidad oTlgln:.1 :.1 cabo de: 2,t hol"ll$? Sol. 6,13 veces la cnntjdad original.

26.

Si, cuando la temperatura delllire es 20"C. SI: en fria una sustancia desde IOO"C haSHI 6
27.

Un tanque conuene 100 01 de salmuera obtenida disolviendo 60 leg de sal en agua. Se ínrroduee en el tllnque. 11 una velocidad de 2 DI/min. agun salada que contiene I Ic& de 5,,1 por decalitro. y la mezcJ:.. conservada bomogenen mooir¡nte l\gitnción. sale 3 una velocidad de 3 Dljnlio. Hallar la cantid3d de sal en el ulnque al cabo de I hora. Sugerencia: dx/dr - 2 - 3.y/CI(JO- r). Sol. 37.4 kg

¡s"e.

hallar

28. Hallar el tiempo que se necesito para vaciar un tanque de sección cuadrada de 6 dm de lado 'j 9 dm de profundidad. a traves de un agujero circular de t1 dm de radio practicado en el fondo (Supóngase. como en el Pcobfe· n13 9, ., _ 4,8.jii dm/seg.) 29.

Sol.

1)7 min

Una pared de ladrillo (k - 0.0012) tiene un espesor de JO cm. SI el paramento interior está a 20"C 'j el exteoor
JO. Un hombre

'j su embarcación pesan 320 lb. Si la fuerza ejercida renu.. ndo en In deeccién del movimiento o 161b y si 'a resistencia (en lb) :tI movimiento es igual al doble de la velocidad (pies,lscg), h"Uar Il) velocidad 15 seg después de que la embarcación hay.¡ empezado a moverse. Sol, 7 ,6 pies/~g - 2,32 mlses

3J.

Un tanque ccnnene 100 DI de sa tmuera obtenida disolviendo SO kg de sal en 3&\1~.Se mtroduce en el tanque agua put:t a una velocidad de 4 DVmin y h. mezcla. conservada homogénea mediante. agitación. sale a la misma velocidad. yendo a parar a un segundo tanque que contiene si prmcrpio 100 DI de agua pura. Agitando 5(' mantiene homos,énea la mezcla que sale de éste segundo tanque a 1:. mLsma vetocrded ya citada. Hallar la cantidad dt sal en el segundQ tanque al cabo de 1 hora. d,' 4 x Sugerencia: ~ = 4{- e-o.o ....) - 4 para el segundo tanque. Sol. 17.4 "8 ti, S 100

32.

Un embudo t'c 10 cm de diámetro en la parte superior 'j 1 cm de diámetro 24 cm. Si se nena de agua, hallar el tiempo que se tarda en vaciar.

)3.

de

Está entrando agua 3 una velocidad de 6n dm'frnin en un tanque, cillndrico vertical de radio 6 dm y altura 9 dm que tiene en el fondo un agujero de t: dm de: diámetro por donde sale el agua. Hállese el tiempo necesario para que se lIC1)e el tanque.

34.

en la inferior tiene una altura 13.7 seg

Sol.

.

Sugerencia:

• {lO -

•

r..

(24)l4.R..¡h)tll

= 36)t dh.

Sol. 6S min

Una masa de 4 unidades técnicas de masa se desliza sobre una superficie. El rczamiento es igual a cuatro veces la velocidad, y la masa esta sometida a una fuerza de: 12 sen 21 lb. Hallar la velocidad en función de I si 11 O cuando I O. 3 Sol. tI = Scsen 21 - CO:S 2/ + 21"-·)

=

=

35.

Una tubería de vapor de 1 pie de diámetro tiene un rccubnmlento de un espesor de ~ pie de material aislante (k = 0.00022). la tubería se conserva a 475°F y la parte externa del recubrimiento a 7S"F. Hallar la temperatura en el recubrimiento ti una distancia .\' pies del eje de la tubería y la pérdida de calor por dia y poc pie de la tubería. Sol. T - 75 - 4()()(ln :~)/(ln 2}: 69.000 C.T.U ... 910 calorías por metro

36.

La ecuación

diferencia!

R Jí/de + ;fe Sol.

¡_

+

= d('/dt. EC("

=

de un circuito que couueoe una resistencia R. capacidad e y f.e.m. ~ t: sen Suponiendo ConStantes R. C. E. w. hallar la corriente; en el instante t.

R~C:!(/J:'(cos 00/ ... RCw sen mI)

+

CI~-"ItC

(¡JI

es

CAPITULO 9

Ecuaciones de primer orden y grado superior UNA

ECUACION

DIFERENCIAL

de primer orden

.f(x, y, p) = O, donde se ha sustituido y'

e ~;

tiene l. forma J(x. y. y')

=O

O bien

por p. Si el grado de p es mayor que uno, como en

p' - 3px + 2y ~ O. l. ecuación es d. primer orden

y grado superior (aquí, segundo). La ecuación general de: primer orden de grado n se puede escribir en la forma

1)

p ....

P,.CX.y)pll

...l

+ •...•.•

-+ P,.._l(X.Y)P

... Pft(K.Y)

=-

O.

A veces se pueden resolver tales ecuaciones por uno O varios de los procedimientos que se van a exponer. En cada caso se reduce el problema a resolver una Omis ecuaciones de primer orden y primer grado.

ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOL VER RESPECTO DE p. En este caso el miembro de la izquierda de 1). considerado como un polinomio en p. se puede resolver en n factores reales lineales. es decir. 1) se puede poner en la forma (p-F.)(p-f.)

......

·(p-F.)

= O.

donde 135 F son funciones de x e y. íguálese a cero cada factor y resuélvanse las n ecuaciones dIferenciales resultantes de primer orden y primer grado. dy = F, (x,y), dx

obteniendo

2)

fl(X.Y,C)~O.

'.(x,y,C)

=

o,

'. (x,y,C)

=0.

La primitiva de 1) es el producto 3)

f,(x, y,C)'{.(x.

y,C) ........

·.c,(x,y,C)

•

O

de 1.$ n soluciones 2). Noca. Cada solución indiVIdual de 2) se puede escribir en cualquiera de sus diversas formas posíblcs antes de combinarla en el producto 3). véanse Problemas 1·3. ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE y, esto cs. y = ftx. pI· Derivando respecto de s se obtiene

rt»,

dp

p, -),


una ecuación de primer orden y primer grado.

Resuélvase p = F(x. p,

;t) obteniendo

9(X. p. e) ~ O.

Oblenga se la primitiva elimmando p entre y = Jlx, p) y ~(x. p. e) = O. cuando sea posible. o bien exprésense x e y separadamente como funciones dcJ parámetro p. V éanse Problemas 4-7. 61

62

eCUACIONES

DE PRIMER

y CMOO SUPERIOR

OIlDEN

ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE x, esto es, s: Derivando respecto de y se obtiene
:

! :

p

una ecuación de primer orden Resuélvase

.!. = F(y,

p

.1

•

ay

al dp

•

opdY

F(y,p,

= f(y,

p~

dyde¡,

y primer arado.

p p, dd ) obtemendc

y

?(y. p. e¡ - O.

Obténga se l. primitiva eliminando p entre .< -f(y. p) y 4>(Y, P. e) = O, euandc se. posi· ble, o bien exprésense x e y separadamente como funciones deL parámetro p. Véanse Problemas 8·10. ECUACION DE CLAIRAUT.

La ecuación diferencia' de • forma y - px

+ f(P)

se denomina ecuación de Clairaut. Su primitiva es y - ex + f(e¡

•

y

PROBLEMAS 1.

e

se oblieoc sencillamente SU$tltuyendo p por

RC'$Olvecr p" -

(x + 2)' + l}p'

en la ecuación dada. Véanse Problema,

RESUELTOS

.. (;c. 2y .. 2:r-y)P' _ byp

• O o bien

p(p _ 1) (p -.z) (p _ 21)

,. O.

Las soluciones de las ecuaciones componentes de: primer orden y primer grado ~

o

~,. dx

O.

dx

y

-c o

$OIl

O.

2x dx

l.

y-x-c.o,

respectivll~ntc

dy

--21 0

• O.

0

dx

y_C~

2,-x'-CaO.

'"

:o

O.

2t',. • x' - e • o

La primitiva de la ecuación dada es 3.

1 R($()I"'ct (.t .,.;c)p"l

jo

(.t2+l:_ay_y)p

t

y2

_

l..as $Ol,""lone:!l de In~ ecuaciones compcnerues son respectivameme

La prinutiva de La ecuación dada es

sr

» O

(.Ir"

e bien (l:,+l)p-y](:c:p+.t_y]

1) ~ _ y _ O tU

y - C(A'·

1)

:o

O

y

=zdy

y

y +-

[y _ Ce.&:. 1») (.y _ x lo Cr] '"'O.

_ o.

:>:»:» l:

In ü • O.

11-16

ECUACIONES

Dcnvando

DE PRIMER

la última forma de 1.,

y GRADO SU.tJlIQR

ORDEN

I'tSpCCIO de:

CCUKtÓD

Quitando denominadores '1 .¡mplirl('~ndo.

p(p)

..

'(o

32r) _ .(P'

32><)!!e • d.

Kx, SI en ,. OCUlC1ón dad.

de donde p

O

• o.

o bien 1) Esla ecuación se S3hdaoe CUilndO p) ..

63

Ju = O o

bien eusndo p - x dp _ O. De

esta

i~atd.d.

dx se hace este cambIO pi" p se tiene

~ • ~. P

x

dcspué!i de haber sustituido K por 2e. El factor p' + 32x de l) no se ha conaderadc aquí por no contener I~ derivada dpjdx. Su $Ignlfieldo tudia en el Capítulo 10.

S.

RtiOl\'ery

2p%,¡

Derl\'ando

!le

es-

p"x'.

respecto de

s.

2>< dp • d.

p

de: dood< (p' X dc:sca.rta el fecrcr 1

21' • 21" ••

~Ix'

2>
!!f dz

?pI.).

O.

2p'.'t como en d Problema 4. Oc:

'T

En forma paramétrica se tiene x _ CJpl. y _ 2Cjp + e:, oble:nimdosc la segunda relación aJ ¡u:.tlluit .\ _ Clp.l en la ecuación diferencial.

e

en este caso se puede eliminlt( p ,In diflcuhad entre la relación Xpl _ o bkn pl = Cix y la ecuaeién dada.. Que se puede poner en la ronna)' - p·Xl _ 2px que al elevarla al cuadrado da (y _ ,"y:l)l _ 4plX'. SUl>titu~ 2)1 )'tendo aqui p1 por su valor se tiene (.V 4Cx .

e =

r

Derivando

Entonces.

respecto de

p •

.Y.

(p~ _ p)~

+

%

...

• :»:> ______ I.dpdp p p' d.

p2 •

O de donde

dp

La última es una ecuación lineal para la que

dedondcp I -

dx dp

.-s pS_p

(dt>/{#>~_,) e-

•

• --p_. p' - 1

Ip'

ese (actor

.

:

_ 1 es un (actor integrantc-. Uliliul'ldo

P

•

y

O.

d.

- _p_ p' _1

I

ln(p.lp·-I)

•

Cp

Ip' - 1 •

y

- la(p

-p -

•

Ip' -

1)

Ir"

e

_1-1D(p+lp'-I)'

Ip' _ 1

e Ip' - 1 •

ECUACIONES

64 7.

RM\
DE PRI .. ~R ORDEN

V GRADO supeRIOR

P'1·

Om~ndo ~o

de :1(.

2'

p

>

..

C~

dcdonck~

l' • (.. 7p)~

•

,s •

-p.

EnlonctS.

=

x

y

2(2

-p)

Resol"i~ndo respecto a x, 3x 3 - •

P

-fj>

.:t

•

! _6pyl.

Ocnvundo,

p

l ydp ,Jp- - - - - 6y - p' dy dy

P

ahora, respecte de (1 • Sp'y)(2p

1:1py

IC\lalando a cero el $C:gundo f.aclOr se deduce p)'l _ C. Despejaedo 0.11

ori,;n21 se obtiene la primiü ..-a y3 _ leA' +

)l.

• Y

2) : dy

P y sustituyendo

O.

en la ccu;aaon diferen-

6('1

Denvando respeceo de y. Y Jp

1

2

4(- - -

P

p

Jntcgr!1ndo p - 2y :

-)

p'

d, doad,

dy

_ O y etiatinando p corre 1.. ~lución

(1' _ 2Y~)(2Y2 _ pI) dy

• o.

p' - Ky y la ecuación diferencial origlnrd. se:

tiene 16)' _ K(K - 2.\")2.'Haciendo K _ 2e se puede pollcr I~ anterior expresión en la forma 2)' 10.

ReSOlver 4..

z

C(C _ .\")'.

• py(pl - 3).

Derivando respecto de y. 4

P

P(p' _ 3) • 3y(p'

In y • ~ ln(p" 10

Intqnondo.

- I)~

oy

2)

.A.

3p(P' _ l)dp

2 •

de doad,

y

..! In (p - 2)

•

10

(P' _ 4)(1'"

!l.n(p'

+ 1) .:. lo

o. 1)

C.

S s

•

Cp(p' - 3)

I

.. (P' _ 4)'i/lO (pt • l)sA

ECUACION

DE CLAIRAUT

¡;;:--;;.

11.

Resolver

y. px

12.

Resolver

(y_ P;()" : 1 ~ p2.

Aquí l'

t

px 1

1.0 p"mih"',,,

La pl'imitiV:1 es

y.Cx.~.

lb p'.

(1 - C:c -

¡¡-;c»

(1 - C:c •

r.:cr)

o

o

se:a

(y _ Cx)'Z •

l.

e'.

6S

ECUACIONbS DE PRIMIoR OROeN y eRAOO SUP~kIOR

13. Resolver y

lp.< -r 6,.','.

IV.. ", Probkm.a

Esla opn:stÓn se puede rcduat Multlplandó

la «uaCIOn

por

:11

r

14. R.esolver ces'

es

ti

La tra.MfonrutClón U

15.

tIM dv

•

111 _

..

Kx .. ~I(~

sen x cos x

(.(K

sen y • u,

clu2

Luqo u.

(-).

do

=

sen

Stn

J(

c..

11,

•

6,,'r

se obueM

~

=

O bien y'

y p

lrpx ..

GU

". 3')' P 3

pl +

l'

•

1" rorma de una ccuac:ióo de O.alrallt K obcJltne y' 2:

MedJantc la lr>'tnsrOml!lción)' I La petmlnva

S.)

~

r~. 3Cx

-+ ~K2 o bien

I(x

Jv -

", ••

3

-+

2d.."t

-(-)

•

3~ 2

-+

SC

1.1 ecuaci6a

.a

•

ces" ~ = O.

J'

tOS Y ÓM P -• _ reduce eee .e Jv

_;¡ L

Re.oher (p.< - \')(py ... <) - 2p La transformacióe y2 • u.

reduce la ec:u.aci6n a

p •

(v

-

tnlonct'S. "

Se: puede escribir

3$i

1 •

du

d;

In ecuación

V' -

e" _

•

y

do

1'.'(

+ 2p)(y

Cada una de las ecuaciones .l' - P \' - 2p, )' _ p.\' - I LucIo

la primitiva

es tr -

+

- p.\'

t$

du

¡; -

®

U)(¿;

•

1)

2 ~.

le I>C

1, - O.

una eeuaeién de

Q¡UrnUL

C\ + 2C)t\' - C.t" + l ] = O.

PROBLEMAS PROPUESTOS I hlll"r

.,

1;, primitiva

de cad<'l una de la~ siguientes

.. xyp - 1;1''2

17.

• P

18.

'P .. (y_l_xt}P

".

.p'

W.

$JI'pl

21.

8yp'

22.

i/

O

:o

•

_

X(y-J)

• O

ecuaciones.

.''''/

(1_0.')(1_0.-')

SDI

(~-.

• • C)(xy-x

SDI.

, Cy .. z • C'

SDI~

'1 • CUo. -

- 2xp + '1 • O

$<>/

,.' _ w .. 2C2'

• O

.. 3p:c - J • O

Sol.

y' - 30. - C'

• O

- 2yp .. 4.X _ 1lp _ Y

:o

O

•O

t)

•O ..Cl .. O

d.

,

eCUACIONES

66 2

-:.p

..Y

OROEN

y ORADO SUPERIOR

O

23.

P

lA.

IGY'I -

1S.

$P ' - 'lit " ..

26-

.p -11'-1·0

17.

't • 2plt .. y2p5

28.

pI _ "p _ 'J • O

19.

'1. (l·P)%

JO.

'Y • 2p ..

31.

yp - xp .. 3, •

up

OE PItrMER

a

• y • O (,C

2:

... l)p

,

- 'Zz7P

t

..

_ 1•

(x ~ yl)p

o

t

t

(Utilizar yJ.

• p'

11" p2 o

= :.) $D/.

a. •

S./.

%

•

2(1-p)

Sol.

1t

•

2 lnp

Sol.

••

C/,¡p.

2p •

Cp

1/2

.. In(p .. t

(p.

y '"' (;% _

Sol.

y•

Sol.

(J'-Cx-e'){C'.-ey.,)

Sol.

1t

Sol.

y' : 2Cx- + el

31 • P

.. (A.'.

,-

• e(1 -

'"'

,

-st«

•

• o

'1 .. Cpt~~

e/,¡p

R) .. C.

3)(p • 2)

e)

C(p •• )e'.

y • 1. - P

2

c'l

$DI.

p

~ C(l. p)e-

l·2p·/,.p'

Y • epl/2 (p'. 2)-'/'

CAPITULO

10

Soluciones singulares. Lugares geométricos extraños LA ECUACION DIFERENCIAl. 1)

y = p.e

+

21"

tiene como primitiva la familia de rectas cuya ecuación es

y

2)

=

ex + lC'.

A cada punto (x,y) d. la región de puntos para los que se satisrace .c' + 81' > O, la ecuación 1) h3CC corresponder' un par de direcciones reales distintas y la ecuación 2) UD par de rectas reales distintas que tienen las direcciones determinadas por 1). Por ejemplo. si se sustituyen las coordenadas (-2,4) en 1), se tiene 4 _ -2p + 2p', o sea, p' - p - 2 _ O, de donde se deduce s= 2, -1. Análogamente. si se utiliza 2) se obtiene e = 2. -l. Asi, pues, por el punto (-2,4) pasan ras rectas y _ 2x + 8 c.v = - x + 2 de la familia 2) cuyas pendientes respectivas están dadas por 1). Los puntos para los que x' + 8)' < O dan lugar a ralees p y imaginarias distintas.

e

(<
ti

ramiba T .: Ca

.2C'

(a)

(b)

Por cada punto de la parábol~1 Xl + 8y _ O pasa una sola recta de la familia, es decir, las COOl'4 donadas de cualquier punto de la parábola están relacionadas de tal forma que para ellas las dos raíces C de 2) y las dos raíces p de 1) son iguales. Por ejemplo, por el punto (- 8, - 8) pasa una sola recta, .v = 2x + 8, y por el punto (4. -2) una sola recIa,)' - -x + 2. [Véase Figura (Q~] Se comprueba fácilmente que la recta de 2) que pasa por un pumc de r + 8y = Oes tangeele • CS3parábola, es decir, l. direeeón de la parábola en cualquiera de sus puntos está dad. por I~ Así. pues. r + 8)' = O es uno soluaón de 1). Esta solución se llama UDa solw:wn singular, pues no se puede obtener de 2) dando un valor a la constante arbitraria. es decir, que no es una solución parucular. La curva correspondiente. parábola. se denomina f'nvolvent~de la familia de rectas 2). [Véase l. Figura (b).'

67

68

SOLUCIONLS

SINCVLARES

lIJCARES

CFOMI!TRI('OS

F.xTRAJ1los

Resumiendo:

Una solución singul3T de una ecuación diferencial satlj(acc la ecuación es una solución particular de 13 ecuación.

diferencial, pero no

En cada punto de su lugar geométrico (envolvente) el numero de direcciones d,sunlas que da hl ecuación difet('r~clal y el número de curvas distintas que da la primitiva correspcedieme SOn menores que en los puntos que no pertenecen al IIlWII' geométrico. LAS SOLUCIONES

SINGULARES

de una ecuación

diferencial

se encuentran

expresando

condiciones:

I~I)

al h)

que l. ecuación diferenc,al (ecuación p) tenga ralees mulliplcs. y que la primitiva (tcuación e) tenga raíces múltiples

En general, una ecnserén de pnmcr orden no tiene M))UC:tO~ singulares: SI es de pnmer ¡rado no puede tener sotuciones .'"Ilularos. Aún más, una eeuecrén 11,.. r, p) = O 00 puede lener soluciones singulares si ftx, r, p) puede resolverse según factores que sean lineales en p y rK1o~ <::0,'1:e}'. La expresión más sencilla, llamada el discriminante, que contiene los coeficientes de una ecuaO cuya auulacién es la condición para que la ecuación tenga raíces múltiples, se ob .. tiene eliminando X entre F(X) - O y F'(X) = O. El discriminante de

CiÓ'l F(x) -

aX' + bX + (de

aX'

o

es

+ bX' + eX + d - O

b' - 4oe. b'r'

+ ISobC'd- 4oc' - 4b'd - 27o'd'. Véase Problem:t

Para <::1ejemplo del principio. los discriminan les de las ecuaciones •• z + Sy.

p

1.

y e so-n ,dtl'lucos. nendo

Si t:(x. y) - o es una solución singular de la ecuación direrencial/(x. y.p) = O cuya primitiva es g(x •. v, C) = O. entonces E(x. y) es un factor de ambos discriminantes. S10 embargo, cada discriminante puede tener otros factores que originan 01r05 lugares geométricos asociados con la primitiva. Como las ecuaciones de estos hJgaICS geométricos generalmente no satisfacen la ecua.. ción diferencial se denominan r xtraños. LUGARES GEOMéTRICOS glx. y. C) = O.) a)

EXTRAr
(Ecuación diferencial

I(x.y.p)

- O: pmrutiva.

LlIgar de rhoqu«.

Sea P UD punto en el que dos o mas de las n curvas distintas de la familia g(x. y. C) _ O que pasan por él tienen una u.nsente común. Entonces. el número de direcciooes distintas en P es inícrior a n. por lo que se tiene que anular aquí el discriminantep. El lugar geométrico, en caso de que: exista. de todos los puntos de este tipo se denomina un lugor di' choque. Si T(x. y) = Oes lo ecuccrén del Jugar de choque, entonces T(x. y) es un factor del discriminante p, En general, T(x. y) no es un factor del discriminante e y T(.\". y) = o no satisface la ecuación diferencial.

7

o

}' -

O es

un

lusar' de dloql,tC'

SOWCIONES

b)

SINGULARES.

LUGARES

GEO~ETlUCOS

EXTRAflOS

69

Lugar de puntos dobl es ,

Supóngase que una de las curvas de la familia pasa por un punto P tal que es doble con tan. gentes distintas. Como ya se tienen así en cuenta dos de los n valores de p. no puede haber más de n - 1 curvas distintas por el punto P; Juego el discriminante e se ha de anular en P. El lugar geométrico, en caso de que haya uno, de lodos los puntos de este tipo se denomina un lugar trunodal O lugar de puntos dobles, Si N(x, y) = O es la ecuación del lugar de puntos dobles, N{x, y) es un factor del discriminante C. En general, N(x, y) no es un factor del discriminante p y N(x. y) = O no satisface la ecuación diferencial. e)

Lugar de puntas de retroceso.

Supóngase que una de lis curvas de la familia pasa por P y que para ella éste es un punto de retroceso (punto doble COn tangentes coincidentes). Como una de las p mices es doble, el discriminante p se ha de anular en P. Sin embargo. COmOen el caso de un punto doble. no puede haber más de n - 1 curvas por P y el discriminante e se ha de anular en P. El lugar gcomctrieo, si lo hay, de tales puntos es un lugar cuspidal O lugar lle puntos de retroceso. Si C{x, y) :: O es. la ecuación del lugar de puntos de retroceso. C(x, y) es un factor tanto del discriminanre p como del diseriminante C. En general. C(x, y) = O no satisface la ecuación diferencial.

r

<
J' =- O es un lugar de

{MUllOS

doblC$

y =o O es un lugar de pcmcs

de r«-rOCC$O

Si las curvas de la familia g(x, Y. C) = O son lineas rectas. no hay lugares geométricos extraños. Si las curvas de la familia Son cónicas. no puede haber ni lugares de puntos de retroceso ni de puntos dobles.

DlSCRIMINANTE p. El discriminante de la ecuación diferencial f( ••, y, p) = O, el discriminante P. igualado a cero incluye como un factor: 1) La ecuación de la envolvente (solución singular) una vez. Véanse Problemas 2..4. (La solución singular satisface la ecuación diferenciaL) 2)

La ecuación del lugár geométrico de los puntos de retroceso, una vez. Véase Problema 7. (La ecuación del lugar geométrico de los puntos de retroceso no satisface la ecuación diferencial a menos que. sea también una solución singular o solución panicular.)

3)

La ecuación del lugar de choque, dos veces. Véase Problema 5. (La ecuación del lugar de choque no satisface la ecuación diferencial a menos que sea bién una solución singular o solución particular.]

tamo

DISCRiMINANTE C. El discriminante de la primitiva g(x, Y. C) = 0, el discriminante C, igualado a cero incluye como un factor: 1) La ecuación de la envolvente O solución singular una vez, 2)

La ecuación del lugar geométrico de los puntos de retroceso, tres veces.

SOLUCIONES

70 J)

SINGULARES.

LUGARES

GEOMETRlCOS

EXTRAl'lOS

La eeuaeién del Jugar geométrico de los puntos dobles, dos veces. Véase: Problema 6. (La ecuaeién del lugar geométrico de los punlOS dobles no satisface la ecuacién dtfetena31 a menos que se. I3mbién una solución smgular o solución patti<:uIar.)

Si un lugar geométrico pertenece a dos catelorias. l. multiplicidad de su CCUaCJÓD en una relación diserimmante es la suma de las multiplicidades en cada categoría: asi, un lugar aeoméU'lCO tic puntos de retroceso que también es una envolvente está iocluido dos veces en la relación dJS-crimmante p y cuatro veces en la relación dísenminanle C. Sin embargo.

la identificación

de los lugares geométricos

extraños

DO

es una mera eootabi-

de factores.

lidad de multiplicidades

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Hallar la relaci6n discriminante en cada uno de los CU05 sigUientes: .1 1 • c(. _ C)'.

Se pue:det'l escribir en seguida las rt':laaones clixrimlna.nes sepur aquí UD Pfoccdlmtcnto que pUede 5Cf prd'cnbk.

•

Hay que: dlminar p eerre !(X,y.p)

a)

• p' .. F-Y

• O

• Zp<-3y

• O

b fórmula. que se b dado. Se

utilq;1ndo

1'101(1 \'1.

minando p entre 3/ _ P 01 • 3p' .3px_3y_3p'

-1"'

ap

31

de p _ 2

respecto

y sustituyendo

en la segunda

se uene

01

ap •

y

Si ¡(Je.

b)

Se

y

al q, •

P' (')

va ahora

r

Aqul ti

y. p)

• O

es de grado"

3/ -

p entre

C) _ t;l -

2C:x + ~

• 3e' _

_cil¡¡

Sc'x.

nI'"

en p. se ellmlna p entre

a/~'• 3p

p-

op

SUStituyendo P' por ese valer..... (2....

3,

O. Resoh"lcndo la pnmera o

~-ep

y-48x

- y-

+

27") -

P

al :

q,

o

y ~.

2,.2220

- 3p x + 1p] : -2p]

¡,;".

:!!!! •

Suslltuyendo

3Cx' _ 3y -3C' ••

1) por 3 y 2) por 2x y SUIlHlndO

Rel&Olviendo pata 2x

se:

en 2) )' SlmpljJlc:wdo

1. Resolver y _ 2xp - yp':J. Y examinar

= l.P + yp

las scíucicees v derivando

•

y de la

pnmcra

O y hay que e.timanat e entre

c'. -

Cx·.

-2C'••

2Cx'-37'

3e' - <ex + ¿ = o. e _ -'(') 2r- 9y

•

o.

OC Multiplicando

o.

- 48x

9p'x' - t6¡oly' = O

OC 2)

4x' .. 27y' • O.

..

"",'

a ehmín3r

,(x. y.

2

2

•

-24 _.

.. X

27

t

3p x - wr • O. Oc la ültima se obtiene 9p·x' • 16¡r'y' O

x'

M

•

3p+x._Y_+.I:=0

x

JVOla.

3p

ueee

- 2CK'

+~ -

se obtiene j(4x'

,illsulares.

respecto

de '1 se lde

9)' .. O.

- 27)") = O.

O

y

SOl.l)CIONES

SI NOULARIiS.

P •

Intestando

p

.a,._

llene la pnmiuva

.,:

O se ObhtAc "

-

)'2 ....

2Cx _

LUGARES

7"*'J,

GEOMETRICOS

ok dO<>
el - I HP

e )'susblUyeOOo,

_

-

71

EXTItAI'OS

• 7~1

J,

• O.

~ ee b ccuaaóa

dl(t:re.t'IClal ~

q

ee-

el.

Las rclacloues discriminantes p y e cwl dada. ha)' soluciones singulares.

yZ .,. O. Como." - x

IIOR ,'(1 -

1: y

-.t satisfaQen la ecuación

di(crtn.

Si se elimina p entre la ecuación diferencial y la relación p1 - I _ O. dCKattada eo esta soluci6n. 2 vuelve I obtener la ecuación de la envolvente x-J: - J': .,. O. La presencia de tll flaor implica 12 existenaa de una $Oh,· elón sin¡ular. pero no reciproc.amentc. E..tc procedimiento no se utiliza, por tanto, para ballat ~UCIOneJ Jlnsu .. II~. La pnmltlva reprt::SttI.\3 una fsnuha de panibobs cuyo eje pnna~1 COIoade COQ d eje :r-. Cacb parabob n tangente a la t'CCt3 y = s en d punto (C. C1 J ~ la recta y = -x en el punlo (C. -C). veee F~ra (o~

y

7

e: 1

C--I

Pla. ebl Prob.3

Pic. (o) Prd).2

y2.

Famrlia de pa.ribol~ tl\vol\'cnlt

3.

IiQmllW'

2c.._ C'2.

I:llmd,;a dt rectas 7 ~ ~ Ccnvohvltc 4.x' + 27,.2

1 • ;t ~.

Las solecicees singulares de pJ

+ P$

.. C', • O.

- )' = o.

Esta es una ecuación de Oair.uH cu)'a primiU\-a es La rclacioo

,

o

-----,

discriminal'Ue p y C • .a..~ .. 21r

J'

:lO:

~

....

O. es una soIuoón

~

$Inpdu

ya que satisface b cr:aooo d,(c-.

renei:.!. La prtrruuva representa una famJllól de lineas rectas tangentes ~ 131parlibol.a. scmic:6bic:a 4.~ eevclvente.

4.

Ex3minar

veese

T

27r - O~l:a

figu ra (b).

las soluciones singulares

La primiti\ ..... obleo.ida en el Problema Tanto la rdación

dtseriminantc

+ 3px

de 6pl)':

- y • O.

J). C3pitulo 9. es ~ - lCx

p romo la

e es

3x2 + 8r

z

o

+ 6C2•

Como gWface

la (Q,)3OÓn dj(cn:tte:d.1 es

UQ

soIuc:i60 ,"".Iat.

s.

"Resolver (.xl - 4)1'2 - 2xfp - •.¡: Resolviendo

respecto

_

O Yexa.mlnar las soIuciooes sin¡ubtcs y los lugares geomémco$

de 2y _ .'fp - ~ p - ~ y derivando

x

p

respec:co 3

s:

se llene

otrdo:J.

72

SOLUCIONES

~

• p

$INGUI.AR!;S.

LUGARES GEOMBTRICOS

..-

l'

dp

(p 6

-

EXTRA~

4p

t, ".L

J,-

)C,

d;' • o.

_.1.

(Ú

(k

xl{,,'

+

p -

X

r-

2. _ 0,

p _ ex y la pormnva es C=(r - 4) - 2ey - I - O. La rd:sctón d.' 4) - O y 111 rclactón discnmin3nle es %' + J': - .. O.

dtscnmlnanlc p es

e

Ahora bien,.r t J" • 4 1\I)I",«e una \tez en las relacione, diiCnmlnanle.s p y e y satisface ta oculc,ón dife .. reocial: es una solución sinalllar. En la relación discnmlnanlCl p aparece dos veces x-O. pero no aparece ninguna en la relacióo du;criminanlc C. y no satisface la ccuBción diftrencial; es un tugar de choque. La pnmlbva re~nla Véal< Figura «l.

unl ramllia de parábolas

que tiene II cirt'unfcrc:nci~ xl ...JI'

- .. como

en\'oIvtlue.

- e) : pof

lanCo. ",,!l.

"'~()IIJl.

('()milo. ,Vota 2. mente aquellas

Una aJM

parábolas

,4C':! e

de tI flimJlIa loca ~ l:. envolvente

dudllS por

el ~ f

I

en 10$ punto!' (1 ---.

tocan 13 ci.rc:unferenei.ll.

."

-¡,

1

Co __

.~ g

I I

Co-I/8

o

C=I/<

•

•

r:."uha

de curvas ~bc:u

()·.ci'

2C)o_1. O.

PI,. «)

,.

f.a_u

de paribolas

C'(r' - .)-

Pn>b.5

Pig.

=

(d)

x(.

-1>'.

Prob. 6

Resolver 4x~ - (3x - 1)' • O "i examinar las soluciones singulares "i los legares geomérocos c:xltuAoli. Resolviendo respecto de p. ±(~XI'2 de (y + C)! = x(x - 1)1. La ~lao6n *-1)'=0. Aquí x = corno se

o es comÜft

~'C: fácilmente

discriminante p es x{lx - 1)'

a &:asdos rct.oones

= ±(.r" -

- ~ x-I/1)seobtienc:;ntc:araodoy

l~ (~)~

esto

es. x-O. : _

_ O. Es una solución

),T - 1 - O es un lugar de choque. pues aparece dos veces en la rehlción di~riminanlc: el! 13 relación discriminanle y no $lili.sr~ la ecuación diferenc¡ul.

e

+

CI• de don-

O. y la rdacióa discrimnl.ncc

y satisface b cc:ux:tón difcrcncial.

si se elSC'ribeen la forma 4x - (3x -

Xii')

e es

O sattsfxc

singular. p. no aparece nInguna

SQLUClONES

SINGULARES,

LUGARES

GEO~iETRICOS

EXTRAI'IOS

73

x - 1 = O es un lugar dé pUIHOS dobles ya que aparece dos Ve<XS en la relación discriminante C, ninguna en la relación discrirnmantc P y no saristacc la ecuación diferencial, La primitiva representa una familia de cúbicas obtenida desplazando y~ = .\'{x - I)l a lo largo del eje y, Estas curvas son tangentes al eje y y tienen un punto doble en x = L Aún IDAs. por cada punte de X = Ij3 pasan dos curvas de la farnilin que tienen una tangente común ahí. V~ase Figura {d),

7.

Resolver 9y,?- + 4 • O y examinar

las soluciones

paro 9y = _4Jp'J- Y derivando

Resolviendo

y los lugares geométricos

singulares

de x se tiene

respecto

X

t

e

8 - 27pl .

p entre esta última relación y la ecuación diferencial.

Eliminando

pes)'

La relación discriminante

= O. y la

La primitiva

,J

la primitiva es

e

relación discriminante

_ O. CoIDO J' =: o aparece una \fez no satisface la ecuación diferencial. es

y' .... r

representa Ia familia de parábolas semicubicas obtenidas desplazando tiene un punto de retroceso en su intersección CQn el eje x, e)' de retroceso. Véase la figura adjunta.

= O es el

CUrv:1

de estos puntos

+ Ix + C)-2 _ O.

es)'3

ey

en 13 relación discriminante p. tres veces en la relación discriminante un lugar de puntos de retroceso.

del eje x. Cad.:.t

extraños.

_

O a lo largo lugar geométrico

Famifia de panibolas semícübícas

y' ...(X+C)2 "o

8.

Resolver

rpl

+ x2),p + para y _

Resolviendo

=Oy

examinar

soluciones

las

- -!- xp y derivando x·p (l

-x

P )(2p+

dp , = 0, px· = C y eliminando dx

e;

respecte

• ,

0-: 2p + x -

singulares)'

los lugares

geométricos

extraños.

de x se tiene

dp x;¡;)

o.

p entre ésta y la ecuación

diferencial

se tiene

la prin)jtiva

+ C:o:y+ x= O.

La relación discriminante .\,),1 _ 4 _

o

satisface

p es

.t)

la ecuación

(.\'.1": -

4') = O y la relación discriminante

diferencial

y

es lula solución

x =- O es una solucrén particular (e - O). Obsérvese )' una vez en la relación discriminante C.

que aparece

e

es X(xyl - 4) • O.

singular. (res veces en I~ relación

discriminante

p

74 9.

SOUICIONES

Examinar

SINGULARES.

las $OIuciones singulares

la r.baón

decmmnante P"

WCI\RES

y los Iu.pres

CtOMETRlCOS

seomc..ooo,

EXTRARos

cxtra.ños de

p>x -

-.&xl

2ply

O

:c'(2'" + 27x') _ O y b rcnmiaan,. e es 2'" + 27.<' _ O

Como 2y' .. 21y· o es común 2l 13.5 reJ~ dlJC'tld1lNftles y sattSf:lCt b «WIC:IÓn dl(~ es U~ solución ",ngulilr. En cada punto de la ruu .'t - O IOn t.npkS dos paribolas de la r~ (p.113 ,. < O. bs p". rábolas 500 n:aks). luego x _ O es un rugar de ehoquc Por tanto, x ,. O es una soluci6n particular. Corno 5C obLtcnc haciet1do ec. se suele llamar una soluc¡ón lIúinita. SIO embargo. ~~ que si 13 prinullV1l se escribe en la forma Xl - Xy - 2K) = 0, rita IOh.IC,ón ~ obliene: pata K = O.

e-

PROBLEMAS In\'CSligar lu

singu.laru. y los fugares

)' _ px _ lpl.

~noos

atraños.

tw.

Primitiva.

y

11. ,.'p1. + 3xp _ y '"'"o.

tw.

Prim .. ".

+

u,

Xpl _

S"J. Prim •. C':c' .. ey

13.

'rp' _ 2)'P

14.

(3y -

15.

)1 _

lO.

,

soluCIones

PROPUESTOS

16.

2"p +

4x

= O.

+ x + 2y

= O.

Il'p' _ 4y.

-xp

2,.

p'

.. x·p;J..

+ 4xp.

17. ¡{l - 4y,/,p' - 4(1 -}'~

Cx - 2e'; solución smgubr. :c' - 8)'

c'

le< -

+1-

lx' .. 2C(.'t -

+ el

= O; s.

Prín, ..

Sol.

Prim., (x I el' - y(y - 1)'; 1 p. doblc.s. y - I

Sol.

Pnm .. xy

$(JI.

Pnm •• (4x' + 3.ty + C)2 _ 2(2x: l. p. retroceso. 2r + y = O (,T

y)

e t el s, S.

cY -

$..

1

$.....

+

- O

r - 4.<' = O

O; .....

Sol.

tw. Pnm.

+ 41'

= O; s. ... 9.<'

,

4;c"l),

.r + 2.ry

$.,

=

o;

= O;

+ y)':

y'

O

1. de eh .. y - 1/3;

O

1. de ch., )(

ninguNo;

}.J(1 - y): s, s.• y = 1; L p. rerrecesc,

J .. O;

1. de eh.. y _ 3/4 18. p' - 4x'p .. 8:c', 19.

= O.

(p' .. 1)(Jr - y,/, - ex + yp'J'. Suaert'neu.~ x _ p ces 8. y_ psen8.

Sol

Prim.. y -

C,r - e':

Sol

Prim .• (x

el' .. (y

s, s.• 4_tb -

-

CJ'

= e';

l1y! = s, s.,

o: 1. de eh.• x

-

o

-'y = O. 1. de eh,. , - •

CAPITULO 1J

Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden y grado superior AL HALLAR LA ECUACION de una curva que tenga una propiedad dada (por ejemplo. que su pendiente en un punto cualquiera sea el doble de la abscisa del punto) se obtiene en el Capítulo 7 una familia de curvas (y = xl + el que gozan de esa propiedad. En este capitule la familia de curvas será. con frecuencia. una familia de líneas rectas y en esos casos la curva más interesante- es la envolvente de la familia.

PROBLEMAS 1.

Hallar

RESUELTOS

la curva para la que:

o)

La suma de los segmentos interceptados por la recta tangente en los ejes coordenados es igual a k.

h)

EJ producto de los segmentos interceptados por la recta, tangente en los ejes coordenados es igual a k.

e)

La porción de recta tangente interceptada denados es de longitud coustsme k.

Sea

la ecuación

de la recta tangente

ya ps:

+ f(P).

los segmentos interoeptóldos -f(P)/p y J{P) respectivamente.

en el eje x y en el eje y.

siendo

o)

- -CI arraut cuya pneuuva Q

= k.j(P)

Como f(P) -j(P)lp

cién de la tangente cs

sea

XCl

-

= 4x)' o sea la ecuación

por los ejes cccr-

j-

= px -

=

-kpj(I - pl. y l. ecua-

..!:J:._, I-p

que es una ecuación de

1 f -1C es a arru 13 de roelas y x -

l kC _ C·

=

J' - k)C + J' O. La curva podida. envolvente de la familia. tiene por ecuación ex + y - tf ylll _ k 11:, Obsérvese que esta CUlV3 es una envolvente (solución singular) ya que satisface diferencial y no se puede obtener de la primitiva dando un valor a C. (x

Xl/l

+

±

±FkP. Y 1- ecuación

Como f(P)[ -f(p)/p] = k.J(P) ecuación de Clairaut cuya primitiva es b)

y -

= ±Fck

Cx

La curva pedida. envolvente

de la familia,

eJ Como ({f(P))' + {-f(pJlpl']'"

O

bien

de la tangente es}' - px

.'C' ... (k

tiene por ecuación

4x)'

- k. f(P1 = ±kpj.jl+Pi.

- 2xy)C ...

=

y' =

±

F-kP. que

es una

O_

k.

y la eceaeiéa de la tangente

ex

C$

y ~ px ±

de esta ecuación es j: = ± kc/Jt + Cl. Derivando respecto de se tiene O x ± kj{1 + Cly/l. De donde x = ; k/(l + Cll1/l,y. ex ± kCj(1 + Cl)Ul ±kCl/(i ... el)"l, y la ecuación de la envolvente es )C'#l + }.lJ' klllj(l + e:} + filJlClj(1 + "2) k21l.

kp/..Ji+'Pi.

La primitiva

e

=

=

=

7S

=

76 l.

AI'~ICACIONllS

De LAS ECUACIONes

Hallar In curva I);\r:l la que: a) La SumAde las distancias

PRIMER

ORDBN Y ORADO

SUPERIOR

La $uma de las dilítancil\$ de los puntes

(a, O) '/ (-ti, O) " la recta tan,gcute es igual a k, (u. O) '1 (O. a) u la rcCItl. tangente es igual :1 k.

Tómese p. - 'Y .. / (p) • O como la

normal de la ecuación de unn recta tangente.

h)

de los puntes

os

¡¡;p;

rOMnQ

y

-ap + I(p)

"

~

(-a.O)

(a) a)

las distancias

(h)

(a. O) y (-Il, O) a la recta SOn op ;. f (p)

de 10$ puntes

tanto, 2/(p) = k. II+p'

f(p)

'"'

y

-op'"

~

lkM.

y la ecuación de la tecla tangente es j-

I (p)

• respectivamente.

II'p' = px + !k~.la

Por

primhi-

va de esta ecuación de C'airaul es y.Cxt,lr~

e bien

o.

(4x2_k')C'_ax,c"4y2_k2•

La curva pedida. envolveute de esta famUi!! de rectas. tiene por ecuación b)

Las distancias

de 10$ puntos (a. O) )' (O, a) a la recta son ap .. / (p)

-4 "Cp. 2/(p)

¡¡;p;

-Op'l

«l.

y

~

:- k.

~(.ll+p2 - (lp" al.

f(p):;

yle

J::

y~ • Ale'.

2 •

-o ~ f (p) • respectivamente.

¡¡;p;

ccuaciónde ta tangente cs y :- px

t ;

Luego.

[k~

La pnmiriva es y e Cx+;(k~-(lC+01.

Derivando

respecto

Por tanto, x:;

ne por ecuación

-

de

e se

tiene

O :- x ..

~rkC/~ -I1J.

x~ .. y2_a.x_Q)'2O

i [kC/¡f;Cf f(k/~

y:-

~(k2_20').

3. Hallar una curva tal que la tangeute en cualquiera de sus puntos P sea la bisectriz del ángulo determinado pOr la ordenada que pasa por P y la recta que une P con el origen.

Sea IJ el éngulc de iuctinación de una tangente y f/J el ánS1 M es el pie de la oro

gulo de inclinación de OP. Entonces, denada que pasa por P, ángulo 01'1>1 = 90° Ahora bien. tg(90' Y'S'S20=-1. Como tg

ti>

= y/x

4> -

4» -

2(91F -

O)

=

180' -

20.

ag 4> - 'g(1800 - 28) = - tg 20

y tg O = y'

= p se obtiene

la eceacién

_ (::). ..o],

y la envolvente

de la familia de rectas rie-

APUCACIONIlS

diferencial de la curva'

DE LAS ECUAOONES

l . ..1e.... .,

x 1

2p • P - - ..

(.r

-1

o

OE PRIMER

2y

¡¡p _ x¡p.

17

y GRADO SUPERIOR

Denvando respecto de x,

l_p'l • d.

xclp

y

.. _).;L. •

_ P(Ú • O.

p' dr

P

ex. Sustitu)'endo

Integrando. In p _ In x ~ ln C. O sea, p llene la famjha de parábolu elr - 2ey - 1 _

4.

ORDEN

o

t1 valor de p en la ~W)n

difcrt-nci.&lsc ob-

y

u.

Hallar la fcema d. _'or cal que rcflqc .. ,... uR haz de rayos p¡,¡rlll(:IO!lI~ luz; que venga de un3 ruen· le luminosa (jja.

T'

Considérese el punto fiJO en el origen de coorde""d
ti< x. al plano xOy. Jea o. rrr ti lIn· gente en el punto P y PQ el rayo reBejado. Cotno el ~nglllo de incidencia es i,uaJ al ángulo
p(x.

y) un

el razonarrucnto

punto de la cu,,"'a

•

ftx. y) _

T

IJcneLOPT.

bien, p _

':!r dx

1&

LOTP

"nlo. ~ _ .2e_. de donde lx x J-p' Oenvando

=

= ~P

es

_1& 24>_

I

-218,'"

1I!4>

_':

x

por

}'P.

21ydp rcspc:eco de: J'. - '"' - - ppp'dy

-

dp - P - TJy

y

~.

-

p

!z. ........ P • <:y . 1

E:litrtiMn60

,

entre esta relación y la ecuacién diferencial oflginal se tiene la familia de curvas y' - le", + <;l. Así. pues. el reflector es un miembro de la familia de parJ.boloidc$ de revolución ,2 ... :2 - 2eA' + e',

PROBLEMAS

PROPUESTOS

S. Hanar la CW'\13 parala que cada una de sus tanaencC!I forme tanto al. Sol. 2xy _ al, 6,

COn los ejes coordenados

un tñánguJo

ck área coas-

Hallar la curve paro la que. el producto de 13..<;: dillUlncias de los puntos (a. O) y (-n, O) a las tanganes es igual Sol. k.\,l _ (k + ol)(k _ y')

a k. 1.

HalLa..r la curva para la que la proyección 1ansn>1eS es ~I • k. Sol. x'

$!U

sobre el eje , de la perpendicular 4k(k - y)

desde d origerI a Q,Ul.lquiera
-

8. Hallar la

CUJV3 ul que d oriJeo sea d punto modio del se¡mento que m el CJC y dctermina.a: la. tlnpk '1 la normal en cada uno de 'U$ puntos. Sol. x' ... 2e}' = el

9.

Hallar las curvas para las que 1a dístaocia

al origen de cada tangente varia como 111dj"aocia

de coutacto.

al origen del punto

2'

Sue,erencia;

P

/p'+

(dpfd8)'

• Itp.

Sol. p

»

8~ Ce ~

CAPITULO 12

Ecuaciones lineales de orden n UNA ECUACION DIFERENCIAL drt-1 p. --y dxlt-1

1)

+

LINEAL de orden

11

tiene la forma

dlt-'2

p. --y

dx,,-z ,.

t

+

•••••••

donde p.

-+

0, P" P" ... , p•. Q SOn funciones de x

Si Q

=

0, 1) tiene la forma d"-Zy

2)

+ ••••..•

O

dy t p'fIY dx

P~-l -

constantes.

+ P'-¡-1

homogénea para indicar

dy -

dx

dxn.-z

y se llama

.;: Q.

+ Pn Y

Z

O

que todos sus términos son del mismo grado (primero) en

y y

sus derivadas.

, l:jemplos.

A)

+ 2><

!U:

sdy

dx

dx' z d y _ 3 dy dx' dx

B}

+ 2y

=

0,

-xy=senx.

de orden 3

de orden 2

La ecuación B) es un ejemplo de una ecuación lineal homogénea. SOLUCIONES. Si y = y.(x) es una solución de 2), entonces)' = C,y,(x). donde C, es una constante arbitraria, también es una solución. Si y = y,(;e). y = y,(x). y = y,(.<)•... , son soluciones de 2), entonces y _ C.y.(x) + C,)',(x) + C,y,(x) + .. " también es una solución. Un conjunto de soluciones y - y.(x), )' ~ y,(x) ••..

,y = )'.(x) dc 2) se dice que es lineal-

mente independiente si la igualdad

donde las e son

constantes solo se verifica cuando e,

= ez = el -

...•

=

e;

=

O

~jempJ() J. Las funciones (!'Y. y e-K Son linealmente independientes. Para demostrarlo establez.case la relación ele" + e2e-JI: = O. donde ti y e2 son constantes; a\ derivarla se obtiene Ctr - e2e-JI: - O. Resolviendo respecto de C, Y Cl el sistema formado por ambas relaciones se tiene el = e2 = O.

Ejemplo 2. é.¿

+

2C2¿

+

Las funciones ti', 2,eX y e-x son linealmente- dependientes e O para el - 2. e2 = -1, el = O.

ya que se verifica

C,t-$

Una condición necesaria y suficiente para que el conjunto de n sojucíones sea linealmente independiente es que:

78

ECUACIONES

..

y,

Y.

Y.

y:

y'

•

y;

y:

y'1

y;

y.•

y;

=

,,(x) .. ".

(" .. 1)

y

...

(11.-1)

y.

ya C,y,(x)

3) la primitiva

19

; O.

.................................... ,

C$

DE ORDEN •

Y,

y(A....l}

Si y = y,(X), y entonces

UNEALES

y.

(n-l)

y•

a

y.(x) son n solaeiones

+

Clf,(x)

+ ... +

linealmente

independientes

de 2).

CoY.(x)

de 2).

Si y = R(x) es una solución ronce.. 4)

Uamada

particular,

)' - C,y, (x)

+

Clf,(X)

ta mbién

+ ... +

integral particular,

d. 1). en.

CoY.(x) + R(x)

es la primitiva de 1). Obsérvese que 4) contiene todos los términos de 3); este término distinto de 4) Se denomina lajunci6n complementaría. Luego la primitiva de J) está formada por la suma de la función complementaria y una integral particular. Aunque en general la primitiva de una ecuación diferencial no es necesariamente la solución completa de la ecuación. sin embargo. cuando la ecuación es lineal. la primjtin es su soInción com· pie .... Así. pues. 3) y 4) pueden ser llamadas soluciones complew de 2) y 1). respectivamente. LAS ECUACIOl'<'ES DIFERENCIALES los ejemplos del principio] se estudian ción A) de los ejemplos del principio]

LI NEALES con eoeñeientes constaat es [ecuación Bl de en los Capítulos 13-16. Las de coeficientes variables [eeuase consideran en los Capítulos 11·19.

PROBLEMAS RESUELTOS J. OcmO$lru

d'

,¡-

,¡,,'

,¡"

J. - ..;!

que: la ecuación

2y • O tiene- dos soIucioots dlStlnw

-

Si y _ t" es una solución I)3rll a1auoos valores de titucién

y:

•

dy


•

d;

d

",,, =- 0('

•

,

~

•

2

y •

(l

e

Luqo

l.

=

cbda quedar.i s:a.tisfc:cbasi se ha« la 5US·

ox

o

que

se satisface para a

=

-1.2.

dx

y = ~-a y y _ ~

Demostrar que y

la ~n

~.

,¡,,'

Se obtiene d y -~-2y ,¡,,'

Q.

de: la forma :1 =

son soluacmcs.

C1t'->< + C¡r'"

C$

la primitiva

de la ecuación

del Probk:ma.

L

Sustituyendo)i y $US derivadas en la ecuación difel'encial se eomprueb.a r4pidamc:nte que.~ = C,t'-JI + C1r'" es una ",luci6n. Para demostrar que es la primitiva. hágase notar primero que el numero (2) de constantes artH'·

•

80

IlCUACJONES LJN8A~ES DI! ORDeN n uarias

y el orden

.1"-.

• 'x

DenlOSlr3r que l:t ecuacrén pendientes

diferencial

romul y -

de lú

Después

coinciden,

y dc:::pué$ que Ct\MO

• 3ex I O.

., 2,"

K'

3.

(2) de la ecuación

x'

y • CI-x

- a. ~

y y.

..

dx

t

2J1: :Ion linealmen1e

121 • O tiene tres scrceeees

IndependlCnlei

linealmente

•

inde-

.Y.

de hacer las susthuciones

d'y -

&

r-Z

r(r-l).,r

•

dx' en el miembro de 13 izquierda de la ecuación dada se tiene x'(rJ r - 2. 3, -2. Las soluciones correspondientes y - xl, y - .r.)'

• W •

4.

Comprobar

, .'

2x

a.,'

2

Gx

que y -

x

X~l

.,

-2x ..~

.

20

L:I prrmiriva es

~O•

x es una integra! particular

-Sén

•

de d y dx'

-

~

s

elx' ,_C7xJ

...

~.t-2.

. l' In x es una Integra parucotar de

- 2y

.. ces x + 3 Sen ~ y ~'lCribir I~

dx

Sustituyendo y y sus derivadas en la ecuación diferencial se ve que se deduce que la (unción complelnentatia es y _ ele-A" + C-;t'h,

eompro bar que y ..

y

6,<"

primitiva.

5.

+ 12.) _ O que se seusnce para son linelllmcntc independientes ya que

3,1 - 4r

-

-

, d'y ,nI

se S.'Ulsrace

_ •.. el_y

la ecuación,

12)'

2

4; y

escl'ibit l;a

Sustituyendo y '1 sus derivadas en la ecuación dada se comprueba que la ecuación queda satisfecha, blema 3 se deduce que la función complementaria es JI =..f=Jx" + CrxJ + Clx-Z.

Ocl Pro-

%

w::

dx

..

12 ln

Del Problema

x -

primitiva.

Por tanto. la primitiva

es y _ e,x% +- C,;:x'

+-

C)x-1.(.+

x,

In

, 6.

Demostrar pendientes

que d y

o únicamente


Sustituyendo

=

tiene dos soluciones

tioealmel:u(:

Inde-

lf",

y y Sus derivadas

en 13 ecuación

dada se tiene e"k(~

- dl - J.c)l

+ 50 -

2) _ O, que se sa-

usface para a = 1, 1.. l. -2,

• • <• •• •• •x x

Como

1:: _2:-"' '1

!

O.

pcro

e

• pendientes

son .Y

=r

e y = e-::'x.

x

x

x

• •x e• < <

X

< -2e

.'x

_2" O. las soluciones linealmente inde-


-Be-1:t

r.:CUACIONlSS l.INEAl.ES

oe OROEN

81

n

7. Comprobar que)" = e, )' = xi', y = X2¿- e y = e-b son cuatro soluciones linealmente independientes de la ecuación del Problema 6 y escribir ra primitiva. Según el Problema 6. )' = et e )' .... ('-1 ...SOn soluciones. Sustituyendo directamente en la ecuación dada se halla que las otras también son soluciones. e

Como

Ir

.

x

" xe " • xe

e

"

e

"

•

x

xe X<

x

,e x

<

,"

eX

" " + 3e:t + 2e:t

.. ~t::t

, x x <

+ 4xel' ... 2e:t

x •

x

1 O O

-2e _1%

x e

,x +

-,.

x

6.:te + 6e

e

-U

x

4'

-

1 ._ _S4eK

1 J O -2

1224

.J

r

O.

1 3 6 -8

.

-8 .. 1:t

estas soluciones son linealmente independientes y la primitiva es

8. Comprobar que y _ e" ... C(}S: 3.~)' y

=

, (>-'1..

primitiva.

sen 3x son soluciones de d y • 4 ~ + 13y
o

'y

escribir la

Sustituyendo y y sus derivedas se ve que se satisface I~ ecuación. Como W = 3("-·· .¡. O. las soluciones son linealmente independientes. Luego la primitiva es y = e-1"(C, cos 3x + C, sen 3x).

PROBLEMAS 9.

PROPUESTOS

Demostrar que cada uno de- los siguientes conjuctos de funciones sen linealmente independientes: o)

e}

sen 4%. CO$ cU

e(lX sen te,

b)

coso",

(
d)

1. x , x2 ,"-C-X.

eO".

e)

eCx

In x,

e In e,

",2}o,l:

(a 1b le)

Formar 1" ecuación diferencial cuya primitiva es la dada.

5,,1.

y" + y' - 6.1 " O y'" - Sr" + 12y' - ay -= O ¡¡O

13. Y

-=

Cleos

3x ...

C.,sen

3x + (4.% (:0$% +

sen

:t)/32

3yl + 2y -= e~x'

_

7" ... 9)' -= x

xy" _ s'

ces

%

y -:-o

+ 4,X5

! •

yy" +

rr"

(Y,)2

+ (y/)J

-=

2

-= o

o

CAPITULO 13

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes LA ECUACION LINEAL HOMOOENEA P,

1)

COn coeficientes constantes tiene la forma

n-'

L...x ........ dxe-z

donde Po

t

o.

P"

p,....•

p. son constantes.

Mediante un convemente cambio de notación ..escrlbtendo dy :: Dy.

_ D'y, 2)

toma

etc., 1) (PoD

1l

•

p. D

la

forma

"-1

dx 11-2

+ P2D

t····.·

p" ... O +

...•

Pn)Y

= O.

Ahora bien, D _ {; es un operador que actúa sobre Y. y

3)

1

es. sencillamente. UD operador mucho más complejo. Sin embargo. a veces será muy ccnveniente considerar a 3) como un polinomio en la variable D upRSándolo así: F(D). De este modo. 1) se puede escribir beeveme nt •• n la forma 4)

I

F(D)y

s

O.

Se puede demostrar, en general, y se verá en un ejemplo. que cuando 3) se trata como un polinomio y se- descompone 3S( en factores 5)

F(D)

= Po(D-m.)(D-m,)(D-m,)

........

· (O_oo,_.)(D_",,).

entonces, 61

I(D)y

a

Po(D-

... )(O-

es válido. es decir. equivale al) ~

Con la notaa6n

... )(O-

.. ,) ........

·(O-

d'

....

tú'

tú'

tú

d

(0-1)(0-2)(;¡;:'

•

d dy (D-I)(;¡;:(;¡;' d (/'

• _(.2 -

4,)

2)y

o.

d.'

_ 4 ~
Aho... bien.

(D - I)(D -2) (~

•

tú

dy

a

2., _ 1(__

•

4.,)

tú' _ "',

• 4y

•

tú'

En el Problema 1 se ve que: d orden de factores puede ser cualqutera,

82

+ 2y) d'

2y) - 2(;¡; +2y)}

tú ,¡,,' ~

O

O• .2 - .2 - 4::;: • ~ • O ,01IIII la forma ID' - D' - 4D ... 4b - O

•

•

%

si D se trata como un operador. d'

y. descomponiendo en foclores. (D - t)(D - 2)(D + 2)y _ (0-1)(0-2)(0'211

... _.)(O-""')y

(D-I)(tú~ -4yl

ECUACIONES

LINEALES HOMOCENEAS

CON OOEFIClENTES

83

OOl<STANTES

LA ECUACION se denomina a veces la ecuación caracterísuea de 1) y las raíces mi' n¡2' m3- •••• m. se llaman las ralees cnructcristicas. Obsérvese que nunca es necesario escribir la ecuación característica. ya que sus raíces se pueden leer directamente en la expresión 6). PARA OBTENER LA PRIMITIVA de> I1 se escribe primero la ecuaClón en la forma 6~

al Supóngase m, " m, i .. ,

t- .•......•

'1 .... _, f ...,.

Entonces.

que comprende n soluciones linealmente independientes de f) con n constantes arbitrarias.. es la príminva. I

Así

en

el

anterior

(D -

I )(l) - 21(D

C¡t2X

+ C)C"...l....

bl

+ 2)y

,

donde dy

ejemplo.

_

dxl

dy

_

4ciy.

dX'

4y.

O

o

bien

dX

_ O, las raíces características son 1.2. - 2 y la primitiva es y - C,"

+

véanse también Problemas 5-7.

Supánaasc .. , = .., .;.

;.

.¡

es la primitlva. E.n general. a una ruiz. nI que aparece allí

ele ..1

C,x~.-x

,

_.

r \'eCCS

C_sxl't>"" ,

t

t

·

Enlooccs.

corresponde

••....

t

C..x'r'-l c""

en la primitiva. dI

Así para resolver ___x.

- 4

dXl

(D' - 2D' - 4D

primitiva

+ S)y

- (D - 2)'(D

ciy

•

dX

+ 21)' - o.

es y _ C,~'-"+ C,x_" + C,,,-:..

8y = O. escribir las ecuaciones de la forma

Las raíces earaetensncas son 2. 2. - 2 Y l. Véansc: cambitn Probk:mas 8-10.

Si los cceficiemes de 1) SOn reales y si a + bi es una raíz compleja de 6). también lo es a - bi. Los términos correspondientes en la primitiva soo

e)

::: e4Z- (el ces bx + C:- sen bx)

Peor sen (bx + donde A. 8,

el_ el' P. Q. R

,

dX' =:.

Peo~ cos (bx + R).

SOn constantes arbilrarias.

Así las raíces características de d y _ 4 Aquí a - 2. b

-=

Q)

J y la primitiva

es)'

dy

t 5y

=O o

(0'-

40+ 5)ysO

son 2

± i.

dX

- ("2:"(C1 cos x

+

el sen

.x,.

Véansc: también Problemas JI-IS.

F,CUi\CIONES

84

~I"EALES

HOMO<;ENEAS

CON COEFICIENTES

CONSTANTES

PROBLENUS RESUELTOS l.

Ocmol">rqu< (0-0)(1)-b)(0-')7' (0_0)(0_6)(0_<)7

•

(D-6)(1)-.)(1)-0)7· (0-0)(1)-6)(~

- (7)


d'

(o. 6 +
(O _6) (D -<)(D-oI7

2.

COIJlp4"ob..,rque y -

e.(""-+ C:t!"

(D - aMO - b)(O - <)C,'" los 0«0$ dos léTminos.

3. Comproba, que

y-

C,<""

EslOlOCcumpk ya que

=

+ C)t'- S3ÚS(ace la eeu:te:ión diferenci.11 (D - éI)(_D - b)(D -

(D - b)(D - cMD - a)C,'"

+ C,R"'" + c,"'r 4)

(D_.)'C1f:tU'

.. Ilsf_ •

la

- (D - b)(D - <1l

e) (D_.)'~x2taK

(D_III)'(D_.)C1f:-.Jt

••

•

2CD_.)'C,xt:"X

•

(D-a)

(D-.)O

a

2CD-.)O

•

",)'y -

O.:

O.

po"

O.

O.

y .: O.

Hrtll:lf la primitiv3: de fD - m):)' = O a) supcraendo una solUCión de 1:\ forma y = Y!e-" y b) resotvsendo el p:ar equivalente de ccu.a ciooes (D - m)y = ti. (D - m)v - O. •)

(O - ...'j'y - (O - m)(D Luqo

la ecuación

La primlt.'4 es y

b)

"'~<'-_ lO -

Cl~

t(, - I~-'''-

Independiefttes y

- O para, - O. l.

:5

tt"'" e y

(D - ...)lD - .. !Jo

-

(D - ",]e - O.

• - C,..-. Como (D - ...)y - ~ - my - C,.- ea boeal de pnmo'

su solución po, el método del capitulo

6 '"

REALES DISTINTAS

Rcsol\'Cr

á'y

dy

¡;: + d; -

Se =nb;1i La, rmices

6)' - O.

l. oc"";"" así (D' + 0tar&Cteristil:as

= .'(~

+ C:;rf!U.

S, se escribe (O - m)y = •. eerceces (O - ... )'y

ereee

RAlees

m'y)(-'r

tiene dos soluc:iooes bnealmente

=

RClClYl
5.

•

= O. yanilopmcnl.

c
b)
(}r - O

500 2.

-3. y

6)y -

lO - 2)(D + l!y - O

I~ primruva

es y _

el":'" + el'·'"

.cUACIOIIES

LINEALES 1I0MOOENEAS

1

6.

RnoIv«

4I'T _ d ,
Se escribirá

122

_

O o bim D(D - 4)(0

+ )ly =

ss

o.

•

a..q

L:I~ fa ices caracterisueas d' Z ~ dx'

+

CONSTANTES

d<

13 CCU:IICtOn

7. Rosolver

CON COEnCIENTES

(DI - IY

IlD)v

=

son O. 4, - 3. y 1""primitiva

- S

d

!!l -

<1.

es .. -

<.. + C,..~

O.

+ C.l~-l:'.

61 • O.

co

Se escnbira 13 ecuación as{ J + ll)l - SI) - 6Jv o bten ID - 2,ICD + IKO + l)y =- O. Las raíces caractefisUClJ,S $C)n 2. 1. 3.)' la pnmitiva es ._.- CI~ _,.Cre-" + C~-l.a RAICES

S.

MULTlPLES

+ JO

- 111 - O. O'" (O - Il'~

O

card.Cleríslieas

son 1. 1. l. Y 1~ primItiva

o y

RC:IOI,re r (D' - 3D'

Las ram 9.

Rc;olvcr (D'

10.

RtSOl\'c.r

+ 60'

+

C'Jxr .. C;(lr.

.. SO' - Z4D - J6)y - O. o sen, (/) - 21(1) .. 21(0 .. 3J'J' _ O.

o

110 - 4)y _ O. o sea. tI) .. J)"CD - 4,y _

/)) - 9D2 -

(Ir -

el""

J RAICES

COMPLEJAS

11. Resoher (D2

?D

-

-e-

o

lO»' -

Las ralees cana ctertsücas

son ,

:t Ji.

y la pnmitiva

es

IZo Resolver (D' .. 401)' = O. o sea, DIO' .. 41» a O.

13.

D' .. 2D' - O ...

Rc:ooh'C, (D' ..

31r • O O Irim (1)' - lO ..

Las ralees características son -1 :t

)' =

('-"(el

CtX

14. Resolver (D- + 5Dl - 361" _

Ji.'I. ~ el o

±2.

y _ A('lJi + /k.2i1

)'3

15.

el

eh 2x +

que Cb 2.. =

!{,~.T'

RC:IOh'e , (D' - lO

+

51')'

el

-

D.

primItiva

,,'2 x) + t'11~"'('.. CO$tfi 4)(02

+ 9))'

\"..._ C. sen !J3:el

- O.

±Ji. )' la primitiva es

t C.

eos 3:( + C.. sen 3\

"1 Y Sh 2.. -

IV'-" - ,-"~

O

±

el

2,. I

±

2; y la pnm1tiv:a es

=

riel cos

=

r{(C:, .. C),l) (OS ¡\' + (.'1 + C..x) sen 1\".

2.\" I

sen 2.\")

+

,'(~,C..ces 2,\" I C'..

sen

1... ~ O.

es

Sh la: + C, CQS J.~ ..._C,. sen Jx

Las ralees caracteristlcas son I .t·

$("

o blcn (02

Las raíces careccerisricas IOn

=

,J-i. 1 ± li.j3. )' la

JHD'

2.")

l

86

ECUACIONES

LINEALES HOMOOENEAS

PROBLEMAS

CON COEFICIENTllS

CONSTANTES

PROPUESTOS

Resoh-cr $41.

y" el e':I' ..

16-

(JI' + 20 - 15)1

17.

(O' + O' - 20)1 • O

y •

e,

18.

eD' ... 6D ..

y •

Cte -,x

19.

(D' - 60' • 120' - 80)1 • O

y •

el

'1 •

el .

y •

(e, .

y •

e,

20. (O' - .0 11.

CD' •

u.
• O

9) '1 • O

c,.1t'-s.s:

+- c,.C'X

~

+

~e -~

..

c,~t'-,x

!;e2X:

..

C;¡xe2% + C...lC2C2X

+ 13)y • O

25)1 • O O' • 90 - 9)y • O

23.

(O' • 4(/¡y

• O

ZA.

(O' - 6tY • 130' - 120 • ')1

zs.

(D'

2

• 9D- .. 240

... 16)1

• O

• O

.

..

C,z ... <; ces :b: ~ C... sen :lAc,s)e:

..

(e;

'+

ees x .. ~ sen z: .. + + C.x)S
(e.

c..x)1t'


la'

CAPITULO 14

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes LA PRIMITIVA 1)

DE

= (PoD"

F(D)y

+ P.D"·'

•..••.....

+ P••• D.

p.)y

= Q(x).

donde Po '" O. P" P, •...• p. son constantes y Q ss Q(x) .; O. es la suma de la flloáón complementaria (primitiva de F(D)¡ - O ebrenida en el capitulo precedente] y una integral pankular cualquiera de I~ (véase Capítulo 12.) A veces se puede encontrar una integral particular por simpJe observación. Por ejemplo. y _ Ix es una integral particular de (D' - 3D' + 2)y = x, ya que D' ¡ _ D'y = O. Sin embargo ... 'o no sude ocurrir con frecuencia, por lo que se consideran en este capítulo dos procedimientos generales para obtener una ímtgruí particular. Otros procedimientos se dan en los dos capítulos si. guientes. En cada uno de los procedimientos que se estudian aquí se utilizará un operador _1_ de' F(o)

finido por la relación

_1_.F(D)y F(o)

= y.Si se aplica el operador

1

-.F(o)y F(o)

=

=

y

a 1) se obtiene

1 -Q F{D)

j

o sea

=

y

2)

_1_.

D-IIt,

_1_Q.

_1_ . _1_ D-m, D-m~

O-m.

PR[MER METODO. Consiste en resolver una sucesión de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden como sigue: PONGASE u =

_l_Q

=

D -.",

v =

1

u

D - tnn.-l

y=_l_ D-m1 Como

..

dv ;:;;. - m.t._l

dy - m1y dx

Q

u •

V

=- w

y

•

se lDd,ca en el Problema 3 se puede estableeer la siguien'e

xf·o"

f: a 1

we

fórmula:

Véanse

87

dx.

Problema. 1-6.

ECUACIONES

88

N

-_1

N

+ -_._

CON COEFICIENTES

CONSTANTES

Consiste en expresar ~D) como la sumo de n fracciones parciales:

SEGUNDO METODO. --'D

UNEALES

.. •••.••••••

+

D- ••

-_._. D-." ti

Entonc:cs.

Véansc Problemas 4·5. Al c31cular tanto . .f) como B) se suelen descartar las constantes de integración cuando upa.. recen: de otro modo. se obtiene la primitiva más bien que una integral particular de la ecuación diferencial. La función complementaria se obtiene entonces por observación y se añade a la solució" particular para formar la primitiva. LAS SIGUIENTES

FORMULAS son muy útiles.

e Uu, _ cos bx

sen

bx

c"X

bJf

CO$

-

Ci\ óx'

.. C05 bx -

e-lb"

+ i sen b1t

¡sen

bx

,..

Chóx-Shóx

Sh bx

PROBLEMAS RESUELTOS o

(O - t)(/1 - 2)y •

¿ 1 1. -_._-,.

y'

0-1 Póngau u • 'f

u ...

_1-

...

x

Luego

(1) ... 2)u

diJ ~ o _ ... 2u • e.
., e

0-2

f c• e-u

.. be ue

d.z

0_2

= J c-x dx

»

-.

-e

~1(.

AMr.a

'1.

1 _-u.

0-1

(0- I)y : u

y

o

1 0-1 __

dy

-~ • -e .

;¡ - y

1 D.2

' __

"1 ,,~

)

Xf

•

-ex ~-. <Ü

- xc •

_21"

J '_JCC:

0.2 y

y

U

V

•

•

('

fl

-1X

f

-.. f _1 2

-Z,X

Al!'(,

1

1( ('

_,x

zx d

0('

'2~

'1:1 2 Jt.

X:;

J_

cu:

:;

('

1)

-

6

JI,

.. 2x

('

•

_1.

•

•

ECUACIONeS

Hdgase ahora )' - --

I

dy

Luego

v.

D-I

lINEAlES

-

-

d.

CON COEFICIENTES

l]_?~

11 6

%

y

.:

y

t.

'" -Ui~

. .. La prumuva

.."

es :y

el e

e2< -..

..

e "',xc

-1.:t

-2%

)

(z

2

+,ro.

1 ) 2 -tx ed ii (JI: .. JI:)e • qu ando

-

89

CONSTANTES

tos

2

3.%+9)'

2

restantes

• termines

la integral particular absorbidos por la función complememana.

3.

Hallar

una integral

de (D - a)(D - b)y

panicular

Una integral particular está dada por

= Q. I

y

1

---Q. O-a 0-.

Se.

_,_ Q

Entonces. ~ - btl • Q

ti.

n-b

y

ti

:

oh

Hágase ahora:

_1_

n-o

E(lton..;cs.~

ti.

_ ev -:

U

.:

f:

e

.. ¡ Qe-bo< dz.

ex f Qt -~ lb:

y

dr'

y

....

Resolver

(1/

-2ty

-3/)

t'~x

o bien

(/)-1)([)-2)y

La función complementaria es y = C,r Primer milodo.

y

--

1

1)- I

- --

1

D-:?

t

..

+ Cl~'

~x: :o

C'

y una Integral particular es

:(:¡ (2'_1)% ¡ t ~x. t -2%

1

1 -

5.

Resolver

(D2~5D-t4)y:

y

-

4

3-2.t

,

f e -l'

(3-~ 4

'IX

;c t!

e

J_

8

•

'x 1

- e 3

I 3

j.<

-f!

tb:

1 1 '" -----< D-2

0-1

•

1 3

-e

X¡ eU

dx

(__ 1_ + _I_)c'.x:

0-1

u e

,%

(Dfl)(D+4}y

D-2

1

• 12 e

,.

•

-: 3-2%.

(3-2><)_ +4)

1_ (3-2><) D ....4

.';r) _ "1 -xc 'IX + _1.. ~

2

"%

e bien

1 (D 'l)(0 ___ D+l

e-x

e

(D -1)(0 - 2)

x¡ ex

1

0..1....)' \~

('

t

y •

»,

=- -

11

8

1

- -x. 2

de

ECUACIONES

90

y

LINEALES CON CO~FICIENTES

__

•

• -'-

0.1 D ...

'-Xf

:

•

(3 -lI)

.-

ie

(1-2:K)C'lb.

. ! t'-Jl(3e~

1.4$f i"

-

_ 2Irt'••

2c$)

3

el e -x

•

'-'x

c,t'

6. R'S41"", (O'_W'.8D_4)Y·,:Ix

o

1..11función romplementaria

es y •

-

1

~

es y .. etC"

llrha lOS restanles

7,

!~e'._". !C' •• 2

11 1 .. - - -:E. • 2

)

8

etc· .. c,t'2K

..

....

C,zc",

..

y una inltgr;Al panw=ulares

• 'U

0-1

"

1..01pnmlll\lll

(Ú

11

(D-I)(D-2)'1'

1 1 1 --.-_.--. D-2 0-2

•

_

4

'X

a.

•

1 •

y

(l-h)c

.!. e-4%(!('··

_

3

L.a pt"Im,"v~ es y =-

CONSTANTES

c·

J e(2-U. J e(t ..tlx- J c'·

~ C,e2X • C,1C'tx ", i.t'C'2~,

termines de La integral

e'-tI (tb)'

quedando absorbidos por 13 funcrén complcmen-,

partieul ar,

Resolver (D' • 9»)' • x ces z , La runción complcmtnl.ctria

e., sen 3%.

es y =- Cl CQS 3••

-,...f C'(JI. ,i:o. f e ees e

1 1 • --zeos .. O' - 9 Rnul111ñ mis sencillo utilizar aqui

C'

Is

COl5..

'J un;» Integral perucutar

•

~ Ce'

."

-, ..

).

de modoqur:

1

1 ,,",u; -u:c

_.u'

i6C'

•

_,i< J_)' c (cu.

)cix-

1 2ix t< 16

-

1

• ¡x(

,

-x

8

cos z

1

i2stnz•

,,'.11'.

e-i.1l' 2

) •

~(c

32

ix

.. C'

2i

...ix

o

ECUACIONES 8.

RC\ol\<~1(D'. t)y

'"' 2 COSz cos3.l'

t...(unctÓnoom~taruJ;es _1-

1

LINEALES CON COEFICIENTES

(<:0$ h

-6

y.

I

~t'x_~-'1~) 2l

• ¡.I (

Cacos 2:r"

1 e'iJe.

•

ji(

La primillV'.t es y ._ C; ecs

coa 2a • coa ....

&;

&<_1• ! .. D· 2t

COS4..1:)

D' •..

91

CONSTIINTES

C,lCl'I 2&.

1_lCCa. 2z- • (OSb)

__

D ...2,

.'JI" -'Jf .!.(:..' --''¿'''--12 2 )

<-'i .. 2

2r- ." C, ~n

yURóll,nl~ndpanaeubtC$

1 ¡ x Jeft

2x .,

i21

2:r ...

I

J

CM 1z.

-}.

9.

Reseíver (1)'2 ...

f}/) .. 18).1 -:

et es y '"' C,C'5T ~ C,C°1t,

La función compkmenlaria 1

1 •

=-::-.:..,,....,,,. (o-6)(D-3)

.. f e-IX f

-iX

e<

'1 un.:. infclral

•

~

I -t

"f

3

NO/IJ.

Empicando

SI

$(:

cambia (:1 orden de- los fadore$. una .lnl(v.1

la sustitución

r= _ e

I JI- JC' • v (dv) ,

OSC.,

'Y •

<

·IX

JS

e:

t-

L)' .c -S> (ca

·5X

(-e

patbC:ular

)'"

t$

Y •

se obtietle

1 '"' -

91.1

C'

p:artlCular es

1/2

como antes.

&;

1

f •1

911

v

-

C'

(-'"

I -)dv

1/'

•

1 • -,

9.'

t

}.rf e J.rf·

-S> C'

• t

"'(L)' ~

92

ECUACIONES lU'<EAlES

CON COEFICIENTES

PROBLEMAS lO. Cakvllr. Otnlttf:ndo 1..

s,,¡

.) _!_ e •

Sol.

0'1 0-1

e)

PROPUESTOS

C'OR$I .. me arbltr.uu.

•

al _1-.

1<

-< 2 x e

x

01) _I_{s' • 1) 0-1

:;"1

•• - 2\.3

e¡ _,-

SIII

1 -(2 loen 3..t - 3 Cm!

O' 2

_'_< ••

J)

CONSTANTES

S,)I,

t) _1_ 0.2

x

0.1

"'.

3x

13

('-1'(~, 3.a:

.>x

1

$01 .

- - < 3

3.r)

<:0$ 3A

RclJOlvcr 11.

1/)' - 40 • 3)7 •

12.

(r! - 4Dl7

IJ-

(o' -

• ~

T •

40')7 • $

el • c,c"· -

T • el ..~z •

5.%/.

C$~••- 5%7/8

,. • e, . c,.... Cs.r'

I~. (O' - 40')7 • $ IS.

(o' _ 40)y

16.

(O' - 60 • g)y ••

17.

(D' • O -

18.

(D'_I).)'.4,.-C"

19.

(D:J_1)1·

~nl ..

20.

(D:I-1)1·

(16j!'-X)-t

21.

(DI. 1»)' •

eesecx

22.

(o' _ 3D

• x

,. • Cl 2X

,. ~

2)y • 2(1 .. x _ x:l)

..

ele,. X

,. • C.~ .. C,e 1 • elc"

• ,<1- ces

• 2)y • _

2z)

c,'x sC'

] • ele

X

• eh t

-tlc

.. C'IC'·J(

.. ~

.. ('%(.(1 _ X) 1

-1:

.. C',c

.. ,."

,. • c,c· .. c.,<-'I" _ .-x

t.a -

t - .. 18

c,< lA ... C$< -b: •

c.C'..

... C..en- •

L

iO ces

2z

I ,. e·JC 10(1.

('1:)

~'/24

-

---------------------------------------CAPITUW

15

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes VARIi\CION DE PARAMETROS,

COEFICIENTES

INOtlEAAfiNAOOS

OTROS DOS METODOS parA determinar un. íntrgral particular de una ecuación diferencial COn

coeficientes constantes

se expondrán mediante ejcmploo. VARIACION

DE PARA METROS.

y • e, Y, se obtiene

una relación

y'

2)

De la fuoclón complementaria de 1)

(x)

t

e,y,

(xl

C.Yo (xl.

fundamental

L. (xl Y. (x)

•

L.(x)

y.(x)

+ •••••.••

+ Lo(x) y.(x)

remplazando las e por funciones desconocidas de x, las L. El método consiste en un procedimiento para determinar las L de forma que 2) satisfa8ll 1). Véanse Problemas 1-4. COEFICIENTES

INDETERMINADOS.

Aqul la relación fundamental es

donde las funciones ,,(x), ...• ,,(x) son Jos términos de Q y aquéllos que se deducen de éstos mederivación, y A. 8. C.... (j SOn constantes.

diante

I

x' se toma par. 3) Ax' + BJe' + ex + D;

Por ejemplo, si la ecuación es F(D)y y =

si la ecuación es f(D»)I

_ "

+ _" se toma pora 3) )1 = Ar + Bt'X

ya que no se obtiene ningún término nuevo derivando

e y,,'.:

si la eeuacién es 1'(D»)' _ sen ax se toma par. 3)

.v

!:::

JI

sen

(IX

+

B

(Os ax:

si la ecuación es FlD)y - see x ~J método falla, puesto que es infinito el número de términos nuevos que se obtienen derivando Q =' sec x. Sustituyendo :3) en 1) resulta una identidad A. 8,

e, '"

de la que se pueden

deducir 105 coeficientes Véanse Problemas 5-6.

Hay que modificar el procedimiento en el coso: Un término de Q también es un término de la función complementaria. Si un ténnino de Q. por ejemplo. &l. también es un término de la función complementaria correspondiendo a una raíz m. múltiple de ordcns, se introduce en 3) un término .Y'u más los términos que se deducen de él derivando. a)

93

ECUACIONES UNEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

94

Por ejemplo, para hallar una integral particular de (O - 2)'(0 + 3))' = e" + x", la retación fuodamental es )' _ ;lx''''' + Bx~" + Ce" + ox' + Ex + F. los tres primeros términos provienen de que el término rx de Q también es un ttnnino de la función complementaria correspoodicndo. una raíz doble m _ 2; por tanto. se emplea x'e" y lodos 10$términos que se deducen por derivación. vtansc Problemas 7-8. Un Itrmino de Q es xu y u es un térmiac de la función complementaria. Si 11 corresponde a una rolz m. múltiple de orden s, 3) ha de contener el término x" 'u más los términos que se deduce" de él por derivación. b)

Por ejemplo, para la relación es y _ Ax'tl;t

hallar

una integral

parncutar

de (D - 2)'(0

+ lJx4elx + CX'~2Jt + Dx1e2Jt + Ext1• + Fel/l; +

los seis primeros términos se deben a que diendo a la raíz triple m = 2.

~2Jt

+ 3).v = x'." +

Gr + Hx

x'.

+ J.

es una parte de la función complementaria corresponVéase Problema 9.

PROBLEMAS RESUELTOS VARIACION l.

DE PAllAMETR05

Oemostrsr que si y - CLYI

+ CzYl +

C],)', es la (1.lJ:)Cióa c:ompJtmentaria

• (D~ .. P1D' • P.D.

'(D)7 entonces.

Y '"' ti)'l"

1)

p.»' •

de Q

1,.,.,

L.,)', ..

donde /..1. L,. L, Jltisfaotll las eoodiciones L~)'l + L;,-, +- L.;)'~ •

O

o

Al L~y;..

L;,.; .. L~y: •

Q.

es una lIoluci6n particular de la ecuación diferencial. Se obliene. /)y

D'1

8)

D)1

tenieneo en cuenta A}. derivando

• L"y~.. L.,,.; ..L,y; • •

+

sucesivamente L.;Yo)

L1YI +

• 1..,,:

+

l..l)'l

+

1..,))'J:

L~y;• L3Y~

L~,; .. L,y; L"y~.. I..,y; ..1.,,; • (L:,: L~,.; ~,;) • L L,y; .. 4': • L,,.; (L:,: .. ,,_;,; • L;,.;) • L"y;. ~,; L,,; + Q. +

1,:

..

+

+

1.." {y~ • P1Y: • P"lY: .. P,y,}

~ L,{y;' L, FelJ)"

+

.. 4{y;"

p,,.: .. P~y!

.. Psy,)

P._y; • P,_y! t P,y.} • Q

L, F([1),.

ya. que y,. ,.,. y) son soluciones de F(D)y

"ra

.

(L:y" + L~y~ •

y -

la

.. L. F
Q.

• Q

O.

empLea.' este mecodo:

41)

Escribir l. (unción complementaria.

b)

Formar la (unción L 1), que ha de ser una integral p:;¡rticular, rC'lnplaUl.ndo

las

e de

la función complemen-

uariu con llis L.

e)

Obtener las ecuaciones 8) derivando 1) tantas veces corn ... el afado de la ecuación diferencial. Después de cada derivación poner la suma de todos los términos que. contienen L' igual a cero. excepto en el case de 1:. 'Última derivación cuando la suma es igual a Q. Las eeuaeicnes oblcnKlas poniendo las sumas igual a cero y :a Q JOn las ecuaciones A).

d)

Resolvtr eslas ecuaciones respecto de Li. Lí ....

l')

Obtener LI'

l..:...•

mediante: integración

VARIACION

2.

Rnol,.,

DE PARAMer~OS.

)' • L,

se obttenc

+

95

1-,......

2.L,r- + (Lí

Dy -

+ L;,b~

l"i+Lit"h_O

1)

+ 2l,.j"'·

PuestO que ahora Dy - lL!~A. [)l}, _ 4L,,.:a AIif. Lí -

INDETERMINADOS

r sen x,

(1)' - lD)y -

Se rorma l. mación Derivando.

COEF1Cl6NTES

tr-· sen x y L! - -!"-""(!iCl1

= -it"'""

Oc I~. L; - -I/:.r~

senx y

J:

Y

se.

pone 2Li-l"h = Q = r sen x.

+ c:os x). -!~(rcn

LI •

x -

CO$

x).

Uno Integral p¡trticular de la ecuación dad:. es J' - ti ...L"rl.

J.

.""(~n

ce -

el + C:.~

y la primitiva es )' -

ir

-

.'( -

('0$

x) -

i'.... {scn :r + I'QS

x) = -

it'" seD A.

se» x.

Resolver (DJ .... Dlt, __cQSt:C s.

De la moción w_

1)

Entonces.

Li

T

Ll ces x

D)'

=

-1..: sen x

_

(_~

D2}'

'Y se pone

-1..; sen

2)

o-, = -

Enlonec!',

0,1... le

pone

Lí

x

+ Lj seo x)

+ t, COl,", Ll

sen x) + (-Lj sen x

COSx -

tj cm x),

L) sen x.

L, CO:i X, + (-Lí

X -

+

O.

L;sel'lx

COI

x - L¡ sen xJ.

- Q - CO:ICC.r-.

+ L-: c.os

Lí

-ct¡ JC. , ....

de la ecuacióa dlf~ x

+ L) sen ~

z,

L, -

-JC

y L.. = -In

$al

JC.

d

-ln(ClC)$C\C'" + ce, x) -

(OS

x lo

Sial

x - x sen x,

es

De lo relación

K pone

+ (L; + Li eos

L; sen x • O.

CO$ X -

= - 1Y

)' - C, + Ct ces x

y

COI x)

L. _ ccsec x y L. _ -ln(c05C(: x + etc x,.

Rcsol.l<1ldo 2) Y 3~

se: obtM:ne-

Ll

+ Li

= {L1 sen

AA. una inlegr.aJ pan~b:r 1 - LI

+

COS:t -

x

-Li 00$ x -

3)

Sumando lj y J).

'Y la pnmlliva

x .... L, sen x

(OS

DJo - (-l.: sen x + L)

y se pone:

y

LI + LJ

J' -

obcK'I'Ie

)1 _

LIrA

+

+

Cl sen

l.;..... +

tntecsee ~ .. C11x) - ecs tn sen x - x sen x.

L,:xeJA

Dy - (3L, + L,)tlA 1)

X -

..,¡_

3L:x,>A + (L~t'h

1.;.0 - O.

+

l.,j.x"""')

96

ECUACIONES

RaoI... nclo 1) y 2~ L;

LINEALES CON COeFICIENTES

-llx

e

ti _

y

MI, una In'(aral panicular de la

L.

Ih", hqo

5.

-In

T

y L, _

-l/x

dl(crcne.aJ es

c:c.wIOÓo

)' - L.~ ...L,_Xf!'· •

COEFICIENTES

CONSTANTES

In x -

_~6.

r6.,

INDETERMINADOS

Rcsoll/(r (D' - 2D)y .. r

sen x.

t..a (unció u complementaria

C$

y

= el +

)' = Entonces..

=

Dy

Cl~' Como una JnlC"araJ particular, se tema

A~ sen x

+ Be-

tOS r

(A - SI"

se. ,.

+

tJly _ -2Y

Kn

(A + B)r" ces x,

x + lA,.. cos ".

Q.

(D' - lD)F. -U,. .... s: - 2.&-'
y

Igualando coeficientes de térmioos

scmCJaJlICS.

-

lA - I Y - 28

O. de donde A

= - iy

B _ O.

Por Lanto. una In1egraJ ~rticulatde la ecuación diferencial es

= Ar sen x ~. lk" ees - i.... sen x.

y

y l. prunhlva

es

JI -

CI

...

C2~

X.

-

J'"

-.en

X.

Est. ccuacIÓ" se ha resuello también en el Problerna 2.

6.

RC$ol ve r (D' - 2D

+ J)y

= :r'

+ seo

La (unción rompl(fl)(Otaria es)' y - Ar

T

x, f'"(C, ros

!le

6Ax

ID' - 2D + JJy - JA:r'

el

sen .j2

x), Como una Integral paniculat. se toma

8~ + Cx .... E .... f'xn x ... G COlx

3Ar + 2Bx +

y

.ji x +

e - G sen:t

+ 28 -

+ 3(B-1.4lx'

F ten X

+ Feos x. G CiOI x.

+ (JC-'S+6A)lr+(JE-2C+

2B)+2(F+G)senx+

2(G-F]cosx

- .,., .... sen x, laullla,ndo coefiCtellles de términos semejantes. lA _ I Y A - 113; 8 - lA lC-'B+ 6A -O y C-2/9; J.é-2C+ 28_0 y E. -8/21: 2IF+GI-1.

=

O)' B G-Fe

=

2/3: O y F-G-l.

A$I, una integre! particular de la ecuación diferencial es

y lit; primitiva es )' • ~(CI cos.ji

X

+

el

seo

.ji x) +

2~(9x" t l8.r .... w

-

8) +

¡

(.stn.l'

+

cos xj,

VARIACION

1.

DE PARAMETIlOS.

COEFICI~NTes

97

INDETIRMINAOOS

R...,a"", ID' + 21)' - 1) - 2.,. _ ,.. + xl. La (unción awnplft!'lcntaria es, - C,'- -+ Cl~-· + C)~·l., Como ,. aparec:e ee Q y Ulmbl&l m la función romplementaña corr(»pondtC'ndo • una na mtiltípk de orden uno. se loma como una ¡ntear.! pilrtK:ula1"

•

y

1)

Aa' ... Bx • C~E:l~ 2A. • 8

/Jy

EntoRteli,

•

';y

.. E%f!

(0"20

y

•

•

X

2A ... Ex~

TYy

•-0-2)y

••

_a4 .. t _ 2(8.A).

Fe'JC

.. (f:.F)flK,

•

•

(2E~.F)e'JC •

. •" ..•

E%~" • 13E.F)I. GEe'lC

+ (4A -8_2C)

+

19u.lando los cocficorn... de los térmiecs ....,q.n.<S, - lA - l. 8 + A-O. 4A - 8 - lC - O. 6e _ 1: -l. B -.4. -J, E - 1,y Fes arbnt'lm. Ahora been, Fscrla arbitraria aquí porque CI" C$ un ttmnno de 1a función complementaria; luego fue innc:calna l. inclusión en 1) de F"..

e-

de donde A •

Por tanto, una inte,ral partK'ular es y

s

•

•

.. -1 xc " 6

, •

1 K .. -:ce G

la función compkmcnllN d y _ c1rU + C1xr. Ahora bcn. ~ es una parte de Q y lambtm ud en la.. (unclÓn compJcmtntaria correspondiendo a una raíz de: multipJiodad dos. Se loma cocno una intqnJ pu\JC\l1v

Cx',"

1- Ax'r" + 8...... ' + Obsérvese que nQ están incluidos los ténnjnO$ que coerenen mentaría 000 coeficientes arbllr.rios. Entonces. Dy

._

O'ly

=

y

li

2Ax~e2X ~ (5A .. 28)x ctX

...

(48 ...2C)x~e2r

+ éx'....

Xt2•

y~. pues aparecen en In (unción comple·

C3C.2B).le'2:IC + 2.c1e2",

i

2

2X

4Ax~~ '1x• (20A. 48).'10 Iftx .. (20.4 .. 168 .. tC)r5 ~1X .. (128 .. 12(;. 4E)x e t1' (DI_iD •• »)' • 2OA,r)e2.1'. 1281'1,,21' • 6CJet1'. lEc • ,,)tf1C •

Igualando los coeficientes de lOSlérminossemcj.a.ntes, 8 - O. C = 1/6. E = O. luego una integral ~nabr

20A - 1.128 - 0,6("' =

21'

...

(6e .. SE)ret:IC .. 2ee

.re'''. 1,2E_ o: de dondc A

-

,

1/20.

es 1 •

y h.. primitiva es 9.

Resolver (D'

+

y

•

4)y =

+

1 ~ 2x ¡ s ~ .

xl sen 2x.

La función complementaria

es

p _

CI COS lA'

+

e: sen

2.x.

Como x: sen lx aparece en Q y sen 2..t es una parte de La (unción complementaria de: multipticidad uno, se loma como una integral p:micuJ.r y _ Ax' 000 2x

+ 8:<' sen

2.< + ex'


2x +

éx' sen

2x

+

Fx


2x

corttSpOnd;e"tc

+ G".."

a UDI ralz

2x.

Obsérvese que no se incluye H ees 2x + K sen 2t )'3 que estos tmninos esae en la (unCIÓn (Otnpl<::mtnta.ria.. Entonces. Dy ~ 2Bx) 005 2:< - 2A.~ sen 2x + (lA + 2E).f2 00$ 2,T + (18 - 2C).~ SCn 2x

+

(2e

+

2GIX ces 2x + (lE - 2F)x sen lx + Feo. 2.< + G sen 2x.

98

ECUACIONES LlNEAl.ES CON COEFICIENTES CONSTANTES 2

D,

-4A~~

•

h

C05

- 4&'

sen

(12B_4C)z2 coa 2r .. C_12A_fE)r2

2.: •

• (SA.sE-4F)"cos2;,.

(6B-8C-4C) ... n2;,.

sen 2:c

(2C.4C)eos2>r. (2E-4F)scnh.

y

(/)'.4)1

•

128..,' eos 2r - 12h-' sen ~

.. (6A.8E).co.2I-·

(6B-8C)~sc:nlz

• Igualando

los c:ocñOentes de los términos sc:rnoqaDCes -12'" 2E-4F·O:dedOCldeA·-VI2.

Una ¡,nlegral particular

y la primi1ivI es y

el cos

..

es

y

•

_ 2. ,,' eos2r

...

12

2% ...

c,. sen

~ _

1. x'

PROBLEMAS

1. ,,' sen 2r

l.. x eee ze,

...

16

COI 2x ..

12

6A + BE .: O. 6B - 8C • o. e.VI6.F.V32. C.o.

• l. 128. O. B.O. e.o.

2C •• e.O.

2.. xl 16

32

..!. reos

sen 2r ..

2:r •

32

PROPUESTOS

RcsoI-.u. utiltn.odo el método de variación de parámetros.. JO.

CD'. 1»)'

11.

(D

12.

(o' _

13.

(DI _ 1»)' • c·x sen e·x + coa e-x

14.

(D' _ 1»)'.

2

Sol.

.COS«%

... 4)1 • ($eclll:

Sol.

._x)_'

4D. 3)1 • (1+

Cacos

)'.

y =C1cOI2t Sol.

"1.

JI' ..

e, sen

%

SIen

%

ln sen r - z

C(8

+ sen 2:r 1D(sec2:z:+

.. C,sen2:r-l

elC''': ... C,e~

..

... ~~

... ~(er _ e'x)

z

1.& 21')

lnel ...e-Jl')

(l+e-X)-2

Resolver. utilixando el método de coe6cientes indeterminados. 15.

(DI .. 2),. •

J'"

CD" _

17.

CD' ... 2D ... 2)1 • z t + sen x

11.

cIl -

9)7 •

19.

(D' ..

30' •

c&' ...

2

1»)' • eX sen 2z

JI' ..

eU _ sen

Sol.

2z-

Sol

y. C,coa

Sol.

y. ~

Sol.

2D)1 .: ,El + ~ .. 8

(Emplear

AxJ

54/. lO. l.

(D1 .. 1»' • _ 2 sen x ..
(o' _ DJ

_ 4D .. 4)y

C,~J(.. C~ -x

-.(,coa, e

'7.

r +

vi .... Casen v2

» Ct.t").1:

BY!

+

c,.e

e"/3

+

2:.r:

eee

"bt)/.

_ e-x($bI

••e senz). ..

%

-'}s'

1.1 2(%-1) x /9 -

-

1

I + S(sens-

('ve!!> +

l~

2COS.&)

sen

C_\",

,. • e, .. C;¡e- JC

-~

.. C~e

1]: 1 2 + -x 6 •

.. -,&

11 "-,1: •

%

• 2K2 _ 4x _ 1 +.2,E2('b

Sol,

.. 5,tcU

• tU

'1. C,c" .. C.('2% .. e"c-IX' ..

!x2 .. !x'c%,x 2

6

2r:

CAPITULO 16

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes METODOS

UNA INTEGRAL

ABREVI,,"DOS

de una ecuación diferencial lineal F(D)y ~ Q 000 coeñcien-

PARTICULAR

=

tes constantes está dada por y

Para ciertas formas de Q se puede abreviar notable-

F(~) Q.

mente el cálculo de este símbolo. como se indica a continuación:

al Si Q es de la forma e-, y

1

=

e

F(D)

••

*

Véanse Problemas 2·3 cuando F(a) b)

+

Si Q es de la forma sen(ax y

y

=

_1_ F(D')

sen

(ax

=

ó)

F O.

F(a)

,

O, y Problemas 4-S cuando F(a)

+

=

O.

b).

__ 1_ sen (ex + ó).

F(-a')

# O,

F(-a')

¡,

F(-,,')

= _1_ cos(ax

__1_ cos(ax+b).

+ é)

F(D')

o.

F(-.' )

Véanse Problemas 1·11 cuando F( e)

F(a)

b) O cos(a.r

+

,,ox

_1_

=

-a» '""O, y

Problema 12 cuando F( _a') = O.

Si Q es de la forma x", y

=

q

_1_ x

=

«(lo"

'(D)

D

81

t a~D1. + ••••.

t a.D-)x·.

ao'¡'

O.

obtenida desarrollando _1_ según potencias crecientes de D y suprimiendo todos Jos términos F(D)

después de IY", ya que UX"

=

O cuando n >

Si Q es de la forma ,,"V(x) Véanse Problemas J 1·20.

y

e) Si Q es de la forma x V(x) Véanse Problemas 21-23.

y

ti)

=

PROBLEMAS l.

nl.

Véanse Problemas 13·IS.

_1_ e~"V F(D)

=

_1_xV F(D)

= e"

."..,.!-1_

V,

F(D + 8) F'(D)

x_l_ V F(D)

v.

{F(D) }'

RESUELTOS

Demostrar la regla del apartado a) del principio del capitulo.

F(o) ~ox.

POf tanto.

_,_

F(D)

99

eax

1 -< F(o)

""

100

ECUACIONES UNEALES

CON COEfICIENT1!S

CONSTANTES e

(0-1)(0-3)(0'2)1

Un. Inlt'pal p.u1K'ular es

7

'"'

e"

-,,--,.,...,::-=-1-:-:-7:"""""= (0-1)(O-3)(D·2) 1 (4 -1)(4

"•

<

••

1 • --e 3·1·6

-3)(4·2)

.-

.

1 ." 18

'"

Lue,o la pnmltlva es y -: ele x • <;e '" + C, ~·t.. .. - 1 ~". . 18

Una lnlcgrul pólr,lculat es

1

__ ,-!._-::--:• ..,(D-I)(O-3)(D·2) 1 --e

e 111)1:

• --e

3(1)6

Una integral particular es

y

abreviado.

(O-l)(D

..

1 (0-3)(D.

se puede

escnbir

21

1 (

e'X:

-3)(D.

2)

1

1 (0- 1) (0- 2)' 1 (0-2)

-:-::--::y 1

(1 -D-I

• ---e (0- 2)' •

,2%

bien. 1"(0)

,1")

1 10

l..:& función complementaria es 1 -: Clcx

•

2

2

a=

F(3)

=

O. 00 aplicándose

. _---.).

1

1(11"

..

ee

• 'x e

•

+

"')

+

+

C,1e1Je".

2 (D-I)(D-2)'

-- 2

D-I 2 --e D-1

U

C,e

10 D-3

1"

•

•

JJ (dx)' • 2<"J .. -

__

"l

( -:-::--::y' 1

y una integra! particular es 3 (D -1) (0-2)'

eX'

c -"

..:3~....,..;"

(D-I)(0-2)

(0-2)

,_"

3 <_2)(_3)' 1 - e 6

...

•

1

'2

,u z e

+

b." - -61

1

- --e

D-32·5

eb"'2ex+3e-Jt•

(/)~_5D'l.8D_4)Y.

r •

3

2

() - 3 (D- I)(D • 2)

eÓe

RHOlvtf

,."

e~".Ahora

-lOe- 1 I"J '" -Ix.ar

So

2

C,c>- .. c,~..1".

(D-I)

1

1 •

Cl~lt

=

Sin embargo,

.. 18

(-1)(-312

1(-1)4

es y -:

;"

•

h

Lu feneién complernentana

metcdc

...,-_-:,.:S:..,..-=--:-

(D -1)(0 - 3)(D· 21

6

."

+-

.

.}<

el

..

101

METODOS ABREVIADOS

'-

b} dd principóQ ckl capitule pan cos(ax + b~

12 rqIa
""'_"r

PuCSIO que ,j y

o" y

:: COS(ez

*

reD?J eO:S(4~ .. b)

O'Jy'" -o'

.. b).

COS(a.c • b).

• e-e')"

,

IPrO'J'C:OS(G,l'f"Ó)

+ 4)y

RC$()IYer (D1

'1

8.

es

'"

y _ e,

+

+

ID' + 3D -

y unl

50luclÓn panicular 1

- S

see 3.% .. 4

S1 see

CO$

x + el sen x ... C, oos lx .. C.

c,Stn.l

..

C. k"n

C:,cos 3x •

.

cO$(2x:.

6 (OS 2:x: _ 4 sen

stn 2z -

1_ (3D •• ,

2l'. •

Sin embargo.

•

2;()

•

- ~ (4 50

_1- (D1. -30_ 4) 100 !iC'n 2x .. 3 ces

a !oC:n2c

__

COS 2:r

1_ (,

... 8 sen á')

100 •

•

Cs.< • Ctt'

__ le

es

p:u1icubr

•

30-8

7

3).

IS

abt'tvtado

(o <1)(0 -4)

100

La pnrnitiV'lo

Olé

(O' - I)(D' - 16)

sen

__

..!.

so

• -...!. (" 50

1

- -

(4

SI:

puede utilizar

el dlcuJo.

0"3D-4 •

('0!S(2:c • 3).

(0-1)(0.4)

para afagctlr

<en:z.

b) 1 •

panx.u..

15

l& -

SCn

2x

1

--'-_1_ (-4 lOO

lOttpaJ

_.2.

•

(-3)(3)

no es de ItI forma F(Di) y no se apltta diodo

(0-1)(0'4)

•

3.%. y uro.

Kn

eos(2:l .3)

__ 1_

."(2% • 3)

.. 9)

se"

uno de los si¡u.tr:nte$ peeeedlmentos

•

3z.

')y = sen 2x.

1 •

Aqui ~J operador

SC1'I

es

h.

función complementaria es y _ C.r .. C!~-".o.. y una inlegra)

La

o) y

2x.

3~

--::---=--:--• C.. COI.x ...

sen

el

...

... c,sert 2a ..

({)' .. 1) (O'

y

+

_(3)2

9)y - cos(2.r

1

La primiliV' .. es

COI 2x

5Cn lE

D' • .;

'1 • C1COS 2r

C'lIo

R<$OIve r (D' .. lOo'

R<$OI....

• O).

COt'(ox

La función cOmplementaria es y = C, lar es

9.

.0)

= sen 3x.

La (Unción complementaria

L.. ptirnlhy;a

c."OS(c.z .. b).

f(..o?)

f(/)'l 7.

,

I.P,.c_o'l)"'COS«(U

-

___

(0:«4%..O)

_1-

D·y -= (~l)t

• b).

CO$(cu

cnIOfK'C:!>.

seo 2r • 3 COS

a).

$(n

2..

1t-) • 30.8

sen

2r

9D'1_ 64

sen a

+ 3 ces 2&),

102 10.

eCUACIONES (1)).,. /)1 .. D

Resolvcf

~ l)y

,. sen 2x

La fllnción complementaria -,--':_--

y

.¡.

CON COEFICJENTES

el CM

es y ..

.! _1_

(D -1)

sen

e, sen

x .;.

2.t

_..

2. (D

C3~=. Y una Integra! panicular es:

"

1.(2 15

80

cos

(D2 .. 1)(D

'1)

se"

- 3 1)' _ 1

l)co$ lx

-

.¡.

1 D-1

cos 3.r

8 D+ 1

15

.r

a/ • I)(D

1)

- - _,sen 2x 3/) H

CON~"ANTES

C(lS 3.1'.

t sen 2x." ces 3x)

(O' +,)(D +

..!..

LINeALES

2r

0_1

8 D' _ sen

(:OS 2x -

!

_

2r)

-

3x

.. 1)

<::OS

3.r

sen

3x .. eo~ 3x} •

1

2..(3 80

La primitiva es y

11.

•

C1COS:C + C?scn x .. ~é-x (D2

Resolver

+ ~(2

sen 21) .. ~(3

(:OS 2x ..

sen 3x + cos 3,.().

D + 1»)' • sen 2r.

..

,~

La función complementaria es y

e'2

(CaCOS.

x

..

C? sen ,13

y una Integral parncujar

x ),

1

sen 2x

y

2:.;3

sen

2x

D-3

•

- --

(-4)-0<1

D"-O + 1 2.(D-3)sen 13

2%

D'-9

es. sen 2x

cos ;a .. 3 sen 2r).

~(2

La primitiva es 12. Resolver

ces

)y

(D'1 ...

y

•

1

--

02 No por

se

(COS

~

+

4

= 0, 02

cos 2r

•

cOS 1x)

D de este capítulo

2

*

Sin

..

embargo. se cost 2 ..h)x.

el siguiente

_(Z

ces 2.%ya que, cuando

se sustituye

D:

procedimiento.

.. h)2 .. 4

- __ '_(c«)

.. "

.. 4

cOS{ 2 .. h)x.

-_..:.._-

4

_1_ cOS 4x. 2

para calcular _,-

puede emplear

-t

0

4

D2

_1_

Considérese

t

4:c.

.. 4:

puede utñjzar el método

- 4. Dl

ces

2x ..

•

- --COS(Z .. h)1 4n ¡.}12

2.x _ hx sen2x _ ,

(h,x)2

ces 2x .....

,. , ••••

)

h(i • h) por el teorema de Taylor. El primer término. ces 2,'(, es parte de la función complementaria y no necesite ser consideradc aquí. POI' tamo, una integral particular es _1_ cO$(2"

..........

h»)C

2

)

D +4 _1_ (x

sen

4+h Haciendo

JJ _ O se: obtiene

+COS2x

Como

e

0+4 La prímhiva es

y

=

c1cos;a

.. C,sen ~ .. !"scn

la dada en ti Problema. $, Capitulo 14,)

..

21 -

.!..COS4X.

12

- 2.

_1_ ces 4x 02 t 4 (Compárese

12

esta

ces 4x,

solución

con

METQOOS A8RbVIAOOS

11. R(1,()I\'er

(21)2 .. 2J) .. 3)1

'"' .. ?

..

103

2r - l.

1 •

1

2

3

~

2'.

(- - -D - -O

1 , • -f~

2

--(b 9

.~-l)

3

I t -.a 3

..2)

!'O' .

NtJtu.

o ......

o.,

2>.-1)

)(x·.

:n

2

-,11;

2S

-

_.

9 )

27 por- diVISIón

27

2

+ -,M

25

-

~

La funcIÓn oomp)ementariaes

7

•

y

C.e-''''

zo

. •

1 (-

(.a" .3x'-Sx.2)

O'-20 ... 3 , 1 l -x • -x 2 2

1 •

•

• -x

lS.

Resolver

(O' _ 402 .30)y

5 -

-)t

•

,

Re4ioh·cr

+

C.el: .. CII~'"

y una mle¡ral

particuJ;u

es

1,x'

1 )

-x

.,

26

-x

• -.a.

9

9

27

f f(x)dx.

-. -.. 4 ,

26

9

27

'"' ;c2.3<'X .... sen a ,

1

•

el

zo

LtI func:lón complememada es y • J

32

D D'-4D+3

8 -x • 26) 9 27

(o", W'_302)l

.lo'

16

,

!(

0(0' -40. 3)

16.

-

c.~,,),yunain¡earaJpa.tticularcs

!o • lD' •

27

'"' ...2.

x

1 1 , • -e-x. o 3

? 8

-

•

La funcrén complementaria es y 1

r~(c.:,cOl.&.

dirtC1<J.

el •

C,.r •

c,C'- .. C.~-,:c.

y un:! integral panicular es

( x 2. 3e1.X .. 4 sen J()

n'CD',W-3) 3 f

,

/l (O

..!.{ 01.

1

n2+2D_3

x')

1

1

• W-3)

3 4(4·4-3)

•

..

•

4

2

/l(/)

2

·2D-3)

_-""':''-,,--,(-1)(-1'

son x

W-3)

104

ECUACIONES

-

1

~D

3 ,. -<

3

9

20

t

(--

D'

LINEALES CON COEFICfEN'TES CONSl' Am"ES

3

•

20 •

-

-

13. (-J:

27

I

2r

S .. 1x)1

-

-t

•

3

<

20

2

se••

D-2

....

2z

2X

.. 2 sen e ) •

~(COS~

S

la primitiva es

17.

Demostrar lit regla del apartado d) del principie del capítulo comprobando

u~o.l'«D~(I)U

t

~tlXD(D'Q)U

eOJl;(D1

:

... 2t;t/J'¡'Q2)U

etJX iPr(D.¡a{U

r

f(D .. o)U

u •

y.. que

Resolver

el)' -

4)]

:

r

Y.

de- 1).

Emcoces.

f(D 'al (fID).""

_I_

y

18.

~o~(D..o)2(.;.

•

1Pr ~a'X (D .. a{ U

=

~~ FeD •

y


Sea V

primero qee r(I»~C'
.""

__ 1_ V}

F(D)

fCD.

__ 1__

V.

F(D. a)

a)

, Ir • <

La funci6n complementaria

es

7:-

2 C1e- %

.jo

C,e- ...".

una integral particular es

'j

.

.'x _-:-....;;..__ ' , D ~ 6D .. S

-. 12

25

62 125) .

La primitiva es

La función corcplememaria es y : e-x Cel C05

13'.l .. ~

e:L

sen I:! J: ). sen 2r

en -+- 1)2 ~ 'len. 2x

•

y

:

sen 2z-

eX

D'l • 4D .. "1

1) + 4

x - ~("D -

r

3) sen

73

tu primiltViI es

y una inu:gral pcnicutar es

:a

- ~(8

CO$

73 x - ~(8

73

CO$ 2x -

3 SC1"l 2:r).

2% - 3_ 2%).

G)U.

METODOS ABREVIADOS

La función complementaria es y " y

Cl~X

(2ze~x + 3c'x ces

•

D2 2<

_

•

2x)

4D + 3 t

}%

"

---.

3e'"

D'

y una integral particular es

2

zC'~%

D'2-4D

ces 2.x

_1_

0'1; ... 2/)

~e~".

..

105

21.

e

1

e'x +

~%

2

•

C}X

2('

'2l}x('

..

(.x

co«

3<~ _1_ -4-20

-2/) 1

y "

3

- x)

_

;. 163 ('• (D - zj.eos

Ix .!(2x _ 1)

D

~ 8 ."(COS

ces 2x

2:t

..... ~ .;. -....n ..... ~ ).

la regla del apartado e) del principio del capitulo, comprobando primero que flD)XU

Demostrar

2.r

D -.D+ 3

ie

L.:a primitiva .• . es

.;-

3

t

= xR.D)U +

F(I))I).

Puesto que si y -= xU. D"y

-= x-D"U.f. I"D'1'-lU f(D).U

1)

Sta F(D)x

t'

'

n»,

V •

_1_ xV

xF(D)

(~D'r)U.

T

•

o ••

o"

o'

o.

o ••

o

,

d

di)

r

D)U

•

,

.F(D)U , F (D)U.

Erucnces. susuruyendo en 1).

F(D)

F(O)

_1_ V ...

x _1_

, l. P, (-

U,_I-V.

F(D)

F(D)

•

entonces.

r:r P,xD' U

(xV)

ya que

"F(D)U

_1_

-= xD'f'U

l. , P_D' .

o'2y • xD2U + 200.

xW .. U.

Dy"

V __

f(D)

_1_

F(I) FleD)

1_ F(D)

v,

F«(I)~ - 1

xV

_1_ V F(D)

F(I)

x _1_ V

•

V -

F' (D)

_ 1

F(D)

V,

_

F(I)

scn2x-

x 2

D +30+2

• _1_

sen

2:c

x

_1_

_-.

-

3D-2

30+ 2:

~ --

sen

9/)1 _ 4

-%(3 ca-s 2x 20

La primitiva es

__

(-4) 2x

..

2r

.. 13D'2+12D+4

D",,6D'

sen 2z

sen

2D+ 3

_

3D-2

---'2:.:D=-+;:3

sen 2z. sustituyendo D2 por - 4..

'6(-4)D+13(-4).120+.

sen

(20.3)(30-8)

2x

4

.,. sen 2x)

...

24 lien 2%

-i'

200

7 cos 2x

ECUACIONES

106 23.

1

Resolver

•

(D - 1) y

r

%

1

,

--x

O'

• x

sen

-1

,

_1- sen 3%

D2 _1

, _1-

sen

3.-

_

10

_..!

.

- x

O' _1

• -2.x'scn3.x

-

y

C$

=

el

sen

x--x O' - 1 2D

(O' _

x2 Stn3x _

Y una int~gral parncutar Ces

_1: •

3x

-

-

20 {x

2D

sen

-

20 (.

3x

(O. _1)'

.2.xcoa3x

_

1. .teos3.\'

+

I

er/ _ 1)'

!.D(.tStn3l:) 50 13

sen

40'_ 40

3x

DII_2D2:~l

1)'

2;

La primitiva es

c,~

$
50

10

+

t'(

1

•

3%

CONSTAI'IT'ES

sen 3%.

La función complementaria y

LINEALES CON COEflC1EI'IT'ES

sen

9

..

sen

:Ix}

:Ix)

80'

+

(O. _ 1)'

sen

125

sen

(0-_2D'1 +1)2

3:c

3x.

250

J

1

1 •

%<-~.

O' _3D' -60+ 8

Por «):

y

•

.-,x __ -,-__ ..:....,,- _ -Ix

~ r-

e_'x

•

(0_3)'_3(1)_3)"_6(0_3)+8 I

28;r;

.,..1~

....,.__

•

O' - 120' + 390 - 28 _~)

78~

30'-60-6

Por e): 30' - 60 -6 _l' ,

<

(-28)

La primitiva es

•

I

39 784 ~

~x

- -:c~ 28

-,x

.

-,.

<--(28x" 39).

y

184

:2S. Se

suelen designar las partes real e imaginaria de UD número complejc r por ~(z) e ~(:) respecévamente. En un metcdc abreviado alterno para Jos Problemas 9·11 se utiliza sen bx = ~(¿t.))' eos bx = §t(t""'A-). Ccnsídérese.

para la que

por ejemplo.

cilix F(2i)

~

_ e2ix

eiU F(3;)

3·61.

_

("~i%

8-+2';l

!!.;:J.(c0$3x" 80

i

sen

31)

Z¡ ..

'7

es cea integral particular. Entonces, "(z,)

1

.. iR(z,) = -15(2","

I

2.<" cos 2x) - 8Oe3sen 3.~+


107 es una ,ncf.,.1 piln,cutat de

FeD),. - ~

2.f ..

COI

l ..... 1

.... 2." + ¡¡jO
un, In'(ara' pantCUtlr

de FtDb' _ ~n lx

particular de IlDl.v -

es una íncqrll

COI

+

SC'n l_f.

2" + sen 31', e
es una inte¡r.al panicular en el Problema 10.

PROBLEMAS

PROPUESTOS

Han.r una intc,ral particular.

n.

(D' _

1)1 • ~x

y • ze

r 29.

ll

/2 'cu¡e

» eX ... 1

Y·n5Cn2r

(D' _ 1), • ,;en :b

1 y • l(coe.

....

JI.

(D'

)2-

(D' ,

),)' •

~11 •

~"

2M:

CQ5

v5.1

- sea

)' • - !.I COI

• ,.oI5 ....

.

• • < - • ><••

10 1...

CTr,rl.D.

34.

(D: _ 1»)' • ;('

),._.2_2

.l$.

D·CD' -

l. 7 .. - 3i5(1l

J6.

(D: • 2»)'

37.

(D2 _ 2D _ 1»)' • e:t

JI.

(D _

39.

(D2 _ 1»)' • xeSx

~.

(D2

2)2,

..

, 1)1 "'.1 •

•

x, ..x' •• -2< + ece 3a cae ...

1

7:: 2"(..1

Y--je!:

e'b¡x2

5D .. 6»)' =- e -2." caee'x)(1

yai(~

2x

rs.

Jl.

1»)' ••

.. 2:1-.

,

-s

1 )-ia($leftx+c_lI)

•

..

30t )

2 • .., _lz_l)

1 •

eosx

'1 =- - e" la 11 y • ~ e}" CU - 3) 32 .. 2 1& xl

Y :- e-tIf

x)

l' x

le -2% _ !eoe ~ 1

.. ,

CAPITULO 17

Ecuaciones lineales con coeficientes variables LAS ECUACIONES LINEALES DE CAUCtfY y LEGENDRE

LA ECUACION LINEAL DE CAUCHY 1)

p. x o

71

d"'y

+ p " dXlf l

en la que Po. Pb .... 2)

p. (~.)( .. b)" 1)

d"-'y

"_1

-dx"-

dy f)"'''l K

+ D

.1.,

t

Y

•

Q(X),

ry¡

U'..

P.. son constantes, y la ecuación lineot de ugmdrl'

d"

-.! .. dXIli

de la que 1) es el caso especial (u - 1, b =t O), se pueden reducir a ecuaciones lineales con coeficienles constantes mediante transformaciones, elegidas adecuadamente. de la variable independiente. ECUACION LINEAL DE CAUCHY. f)y

=

Sea x

!!! ~ ! cIy

dy = !!l dx dzdx

=

e:e:

y

xdz

dy + 2 )

=

"f)y

y

d%

entonces. si D

.,

está

definido por

»•

s. . d.

2 = «y, d.

,,'D'y

= .!l(1I-1)y,

,lD'y

= 1I(1l-1) (.!l-2)y,

.

Después de hacer estas sustituciones, 1) se convierte en + P 11(.1)-1)(11-2)·· .. 1

(.!I-n

+2) + ........

+ P ~...1 .!I +

una ecuación lineal con coeñciemes constantes.

ECUACJON LINEAL DE LEGENDRE.

Sea

RX

y

108

= O(e'),

véanse Problemas 1·3.

+ b = c'; entonces. (a" + b)f)y

y

n )y Y"

=

a dy = 8.!)y,

d.

LAS ECUACIONES

UNEALES

DE CAUCHY

109

y LEGENDRE

Después de hacer estas sustituciones, 2) se convierte en

+ P71}Y

+ pTt_1;tÉ)

véaese Problemas 4-5.

una ecuación lineal con coeficientes constantes.

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Resolver

(s.

} -5 "2 t D , 3x lJ - 2xD ~ 2)'1 ,. O.

La transformación

e=

=

X

reduce

(.9(/iI-I)(1iI-2)

Cerno z

=

la ecuación

• 3/)(/iI-1)

-

ti.

2IiI.

(fl - 3/i1,

2} y

In x, la solución completa de la ecuación

dada es y *

• O

2)y

(~.t ,

)0

~.l

x ~

(',,/.l~.

x'1 In z ~ 3x. La transformación

el reduce la ecuación a

l('=

21)- 2)y

(/)(1l-1)(1l-2)' La función complementaria

•

i! (C:tcos

es y '"' G\ (....... -: t 2:- __

y

(1l-I)(if-W.2JY

~

l

__

...

<; sen

•

,.'z. 3<'.

z }, Y una integral partlcuter

_.::..__

,

•

3

es

I

(ti + 2)1 _ 3(D. 2)' H(IiI. 2) - 2 z

3-_!_- < (.9-1)(1) < Z:"" (2 As1. la solución es

C1tZ

y

C1% 3. Resolver ú:2D1._,J) .. 4)y La transformación

x

-+

.7;

..

3e Z

..

x

J'<. e-. dz

sen a } + leb'

~

(l

2

x{~eos lnx .. "sen

,. cos lnx"

= -

2) + 3ze.t

ln%) +- !x (lox

-2) ... 3x lnx.

sen In s ,

-= ~ reduce la ecuación a

(1l(IiI-l) La función complementaria

y

+ eZ
t:>'};:.

~)y

-/il. es

'/

:

e 7.

:

<e

1

(/il2- 2.9' 4)y cos

I:f z

..

c.r sen

e ces a > ~

• sen:..

tI3 : ) . y una solución

particular es

ces z,

• 1/-2fj'4 1 '--CMz+

3 _2~

•

..!..(3 COS l 13

-

2 sen z) .. ~ez sen z , 2

<

,

110

ECUACIONES LIM!ALES CON COSFICI8NTES

VARIABLES

Así. la solución es y

•

o!

~ (C..cos .r(C1cos

v'3,

lo

~sen

v'!I'·ln;r ..

d' !!...l _ d.t' Póngase x ~ 2 -

(;r"

v3:)

1 + -(3 13

2) d ~ .. y d.t

• 3x

lu ~uac:ión

(,9<.1)-1) - D.

y

•

--1-(3/-2) (.1) - 1)'

,,+

L~ Iransl'onnación

(9/J(/J-I).

3% .. 2 •

2 I!

•

(~-I)'y

1

'2,,(

sen In x

,

...

3 , •

•

'2"

- 2•

t:

({¡-l)'

•

que

)'1l

t

•

-

1)

ln(x" 2).

,

3,. ... 4. ;- 1.

reduce 1:1 ecuación a 1 2 3(9x .12<.3)

1 3«

•

..

1 l -(--,

U solución completa es y

o bien

sen J

3,'-2.

•

2 __ 1_

•

9(".' - 4)y •

0.0-36 ) y •

1

d:tda se convierte en I}y

3(3.1' "2}O - 3G}y

D

-:e

lo ••

Q,

5. Resolver {(3xt2)

1 2

sen:)"

- 2

1 .. ) .. i3(3 coa !n,r - 2 sen lnz)"

C<2$(nfl·ln

r; entonces.

coa t

2e

(IJ' -

o

É(;' - 1).

4)y'

-

27 fI-4

y

PROBLEMAS

PROPUESTOS

Resolver '2

2

6.

(~'lD2 _ 3xD ...4))'

: ~ .. ;e2 ln.x

Sol.

Y

7.

(x2D2 _ 2xO + 2»)'

• In2;r

Sol.

y .. <;% .. C2Z2,

Sol.

y .. el ~ Cax

ln x'Z

_

;o.

C1l:

+ 9.

x~y-+ xy' - y

10.

:- 31;"

Sol.

(x+l)D-t]y: Sol.

11.

(2x.

l):l y" - 2(2x"

l»)tt

-

y •

el.!'

ln(x"l)l-tx-l y :-C1(x ...l) +C,(x"l)-l

12y '"' Gx

..

C.,% lnx

~(COS t

.¡.

..

.. x ..

~(ln2x

C~ln

%

1

6:::C

2

,

In s:

.. In x) ....

+ x 11'1:r

In x t SCn In X)

C,x lnx

... C:lX ln2;( ... ;r"/9

_ )n(xi-l)~

+ }(Xfl)olo(.r+l)+2

CAPITULO 18

Ecuaciones lineales con coeficientes variables ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

UNA ECUACION DIFERENCIAL d'y

1)

LINEAL de segundo l1(x) dy

•

dx'

+

S(><) y

llene l. fonna

orden

-

O(x).

dx

Si 10$ coeñcentes R y S SOO COO$tanlCS b ecuaci6n se puede RSOIver por 10$ mitodos del ca· pltulo precedente; por otra parle" DO se conoce nin811n maocSo general. En este capítulo se estudian ciertos procedimientos que. a veces. conducen a una solución. CAMBIO

DE VARIABLE

DEPENDIENTE. y •

di' dx 1)

~

dv

u-

dx

•

1.1

UV,

Con 13 transformación -= u(x) d'y

du v- .

dx

=

dx'

v • v(.).

y d'v u_

•

dx'

2!! 12 dxdx

+

d'u

v-o

dx'

se con vrierte

2)

con

11,(x)

=

! dv • Udx

al Si u es una integral convierte en

R(x).

=

S,(x)

! {d'v dx'

U

particubr

+ 11(><)::

de d'y

• SC><)y = O. eetoeces

dv

+

Una nueva sustitución,
P

dp

•

dx

R,(x) dx

Si se elige u de modo

~

S, _

2!!l. u O y 2) se

~

,

=

' dx'

~ O, (x).

dP. reduce

3) •

dx

=

11,(x)p

Q,(x).

Véanse

que es una ecuación lineal de primer orden.

b)

Q,(x)

t:Jx2

3)

4)

• R(x) ~ • S(x)'u), dx

que

R.(x)

= ~

*.

udx

111

R(x)

• Oo

sea

* u

Problemas

= - ;R(><) dx.

J-6.

luqo

"9'.. ..,.

ap 1tr.l"JI

'(")e)

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O(lr)1I • ,o(x)J)

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•

OS

(,(O)'J}(O)'_"

-

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(")e)

OJqw.!W

'y.

l' JOJcd ...

O(X)II

~«o)'J'(O)'J)

(9

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•

;-¡; ,

'S31UC1SUO)

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U~:n,.t:I~AOO)~

SóllU:;)!-=>g:>o) UO)

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S

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(x) 'S

'n/o='O ~l.

I§>

T

- ,II~

-

5

.nb cpcur ep

s

xr> ~ xp . n ¡¡p' - np (X)II xp

xp

JJP<

np'

- n' -

f

-(x)II'_

r,xp + (x)5

•

",P

.(

t)

xp

n

1 + np (X)II

' (x)S

$~

~nb

'S lo

=

(x)'S

(X)II n~_

1I1

ECUACIONES

DE SEGUNDO

113

ORDEN

La descomposición de (actores en esta sección diñere de la del Capitulo 13. Salvo posibles excepciones. los (acto
_

ex'

I

+ .<)y

2)0

=

(xD-2lCO-J<»Y.

ya que {(xD-2)(O_x»y

-

eJ (- " _x)y dx

~

(xD - 2) (y' - "y)

.tt()""_y

(><.!! - 2)()"- xy)

- xy')

- 2(y'-xy)

d" xy· Los factores

~

! (xD'

- (x'2' .. 2)D" x) y.

no gozan de L1 propiedad conmutativa ya que

{(D->
•

(D-x)(xy'-2y)

si se trata D como

{(xD-2)(D-x»y

•

"y'

%

'y'-

2y'-x'y'+

2xy

2

{xD'_(x +1)D+2x}y.

xY"_(x2'-tl)y'+2x'y"

#:

Finalmente.

- (x' .. :!)y' • x)'

una variob/t> más bien que como un operador

(.o' -

(x'

V
+ 2)D + 2x)y.

EN RESUMEN. se sugiere que se proceda del siguiente modo para resolver R(,,) dy dx

+ Se,,) y

Q(,,).

%

1) Hállese por simple inspección. o de otra manero. una integral particular u - u(x) de la ecuación que se tiene al hacer Q(x) = O. La sustitución y - UD conducirá a una ecuación lineal en la que no aparecerá la ....ariable dependiente v. Esta ecuación es de primer orden en dvjdx - p. 2)

Si 00 se puede hallar una integral particular. es una

CODSWlte

a una ecuación

K o bien

K/r.

<:aleó"" S-/¡~'

la transformación y • v~';1u.

lineal con coefícieolCS constantes

,

~

te. la transformación

sea real»' sustitúyase en z

. f ¡g

Si esta expRSi60

reduce la ccuacióa dada

o a una ecuación de Cauehy.

3) Si no se aplica el anterior procedimiento. póngase ~.

que la raíz cuadrada

- , ::.

dx

rrs (cligieodo el V~

sigilO

de (orma

..

=---.Si esta expresión (!!!) , dx'

es una

COns13r'1-

di< dx conduce

a una. ecuación

HneaJ con coeñcieetes eoes-

tantes.

4)

Si se puede descomponer en factores de tipo operador. entonces se reduce el problema a resolver dos ecuaciones lineales de- primer orden.

No/a. Como comprobación parcial del cálculo es aconsejable conocer el tipo de eeuaeién que resulta al hacer las transformaciones I}-3).

114

ECUACIONES

L)Nl!ALES CON COEFICIENTES

PROBLEMAS 1. Demostrar

para

.2)

J' -

b)

y- r

RD

+

es una integral

S)y _ O que:

+ xS = O. 1 + R + S =

particular

si

O.

es una integral particula( si I - R + S = O.

~"'1l

y=r

nr + mR + S = O.

es una integral particular si

+

a) Si y - x es \lna integral patlieuJar de (f rel="nofollow">l

.RJ)

+

S)y = Oentonces.

como Dy

Si y • f!4l' es una integral particular de (D'J + RD + S)y _ O. entonces, (ml-+ mR + SlY = O y m2 + mR + S = O. b) 'Y e) son casos particulares

d)

2.

RESUELTOS

es una integral particular si R

X

e) y -

d)

+

la ecuación (J»

VARJABLES

Resolver

:n'l _ ~ D • ~).)' x

+ Sx

Aquí R

tú

(Ú'2

li

=

P . d cmen o

x una integral

rb;c

ez '"' f (~ x ti

•

~

'"'

f<2z_

x

d.

",,'

dp

(¡ ,

2r -1

..!.)d;x

dx'

2 In

::

%

.

dp , - --p

""

se tiene

! + K.

+

2 -

ln .. +1+ Kx)dx

s.x

+ Sx

O.

I d.

;""

2

_1. x

•

1/x

%(2+4x

•

2 .. 4% • x2

+%2)

o

+ • .l;a(.%

1<

y

•_

2<' .

y '"' x es una integra1 panicular

1)

ecuación que se obtiene al remplazar por cero el miembro de la derecha. y : xV'.

~.

2~> dx

2 ::

,d.

- x(2+4%+x

)(x;¡;

+ v)

reduce

'" p,

se tiene

dp x t 2 - - --P' dx

UI)

(actor

- x" - 2:t~

..

.+1

es

la ecuación dada a

• +2

de donde

Poniendo ~

integrante.

es un

y

%2(% .. 1)

La transformación

= O.

=-

para la que ~J-dxlx

.! x

p

z

%2

•

e. -

bien

O

dx

-x

Aqul, ,( ..

=

:)'1.

2 de (D _ ~ D +

""

d'. x ___

x

d. d'. d; = p. tJx2 •

(m

=

by m)l y D'Jy = m"'y. 1, m ,1) de d"

reduce la ecuaci6n dada a

(8(tor integrante. Entonces"

"

particular

d. y1lX\I, Dy. x- ..v,

dv dv 3 3 .. 2--3----\1+-tI

• -

1 Y b'y ,. O, R

2t - l.

= O, siendo y

La transformación

d2tJ

•

x

=

como

EntollCe$,

X"

1

xt2 .q

para la que

.

-f(" _'_>4.< :.::+1

_-

. e-.

• .¡

de

la

ECUAOONES

_f

-~ • •• I

--P'

-te

.;11:

(z .. 2)c ( •• 1)

dx

..

...

DE SEGUNDO

-'% ..

..

11$

OR.DEN

, ""

c..

1

y

... (~

.. 1)2 .. CA''' l)y tú

2x+l 1 .. R +S • 1 - -.-

Aqul

al sustituir por

d'. tú'

dado •

'ddv

Pcnien

ck

el mtembro

ClM)

•

ttansf~.

Lo

x+' • -.-

1 d.

'1 ~ e

y

es una

panjculat de la ocuac:MXt obceaid.a

¡"t~

la derecha.

-

+ 1 ..

(.

'1

dy .,¡" .. e (- ... ) • tú tú

., • e ".

;;¡; •

.. O

• dp1 o;¡; - p se: llene d; -

'!)e".

s:

1 xl. (. + 1 - -)e para la que - es K K

;P

UD

Cactor mte:grantc:. Ent~

••" y

" • Lr

•

-

Aquí

,,2 +

rtR.S

• (4lr _1)!!l

•

tú

••

2 _

(ú -6)y

• ~

.. ~

.1'-2

_z-2

• O.

=- O cua.Ddo m _ 2. aicndo y .... ~

una integral panicullr .

_la

_dada. 4",)

_

(4.1: _7)(~

+ 2v) + (U

-$)" • O

tú dp 1 dx - ;":'2 p

se tiene r

>

,1'

'" Rcsolver2

tú'

~

•

-

K(K-2),

2 tg z

•

2 d_____ 11

Jx2

1

%-2

dv -O .. dJr

O. Entonces.

••

2 • 31 tú

o

y

• 2

S« z.

Por simple inspección se ve que y _ seo x es una ink'gnJ particular 6e (01 - 2 tg x D + 3)1 - O. La transformación y _ u sen

X

reduce la ccua.ción dada

I

116

ECUACIONES

La sustitución ~ - p r(dgo:

UNEAlES

$0

J_,

lI:

CON COEFICIENTES

x, - ..

eesec 2.. para Quien

dp ....2(ct.& .x - ., J.<

tIt> - _ - 2 cosec 2x Cl8 2x

P • )'

" _ -e ccsec 2.1' + K ~nx

7. Rc¡O¡V(r

!Ó: .. ;2 dy ;¡; ,¡,,'

Aquí

(1 •

2 -)1

S· 1 •

1. .

+

2 x

Ji •

La lransfonnación

y.

• • y-

Clg 2.Y

)'

•

1

a

s -

x,

.

iR' - t~

,¡"

+ c,sen.z:

CO$% +

+

C1(COS

~

-

+ K, cosec1 b.

t sec xl + e: sc:n x.

I

Id".

" ,. ('-,Jk~

y

•

.

,

XlI,

.:

.: Cteos.x

el.

t 5CC X

)' -

Intcp1ntc o

,

... --.

sen

~%

%

I

D'1 ...

%

LU<'¡o

d.

UD (.:ror

x< ,

%.

lit'

+ (":.

VARIABLES

..

•

1

jac· .

d' 8. R.esolver....l. ,¡,,' Aqui

R.:

"a.

S.: .. 1.. Z.

, La uansformaooo

y ,.

('~x

.

11

S _ !R2 _

,d.R . b

reduce la «uación I

.

3.

u •

!.! ..3.,

• ~z cuya solución oompkU

es

d.'

••

•

~%

::

C¡cosl3 •.

c,Sta

fiz

, i:c·.

D't.3

1

" Roo"", (D'

- ~ D • 2.)y %

Aquí

S _ AR2 _

i dR ,¡"

3 -~.,

'u!

(Probk.ma 2.)

21-1.

%'

,..

----x' 3

9

4.r2

o bien

21-'

.. 3

'

- -. • 3

y

('

-H

-,""Ir

una ocuaoón de:

•

%

",

QUiCh)'.

•

ECUACIONES

DE SECUNOO

...,,1' _.

Poniendo ,v _ ", se tiene La funcIÓn compJcmcntana

.. t

.,·'1 r.f'."11

es ., '" C1f'

(Zt,42 _ f',12)

1

•

.

1

..

ORDEN

,." • •

'Y una LntC8J21partJcuw es

•'"

,~/7

--e

9- 3/2

V -9 -3/4 I 1•

y

e,,,

lI'

117

_1/'

•

C,.t'/f

lo

~ ,r._,I1. tn x •

.t 1/2

1

Aqul

S - A/I' - ~

La ,r.n.Formación

'fE .

er'

)0 _

.'

y

2

" ;. 2\1- ... cuya solución completa es

reduce la ecuación a

" '"' ClcO$I2 ~ .. c,srn 12 ...

"f'

~(c,.eos~;r f'

, t 1, R~lvc:r

d '1 -

%

rJy

(1 + 4(')d;"

J,

dX

=

,

, ...c

~.

.,

. ~;¡ u . .JT f3F.

La tmrcduccién de

,12")

~2~ ..

di' Cuando

• c,se:n

; a,

•

< ,

, , • R(d.!dI)

d ,/dI

<

•-

,. ..4. A.

(<"l'

(d./do,'

= r" como nueva variable índcpeodie.nle

conduce a

Ó.

o

d.'

<

..x

-:--1,-- ,u

V -19.3

,Vota,

Elqit

al _

3 es por simple convt1lietteia.

Tomando

y A

)t • ti't • :.Il e proporclona!.l

•

Luego y • Cite Resolver

(j.') _ .. clgx di'

Aqul • S a_StCn

l

dy

':;:" ~

1

:. eos .. -

senxy

dz x y cua nd 0;t;

•

r:s ,. sen VI

-,

cuya solución es

d.'

11.

._,

•

.. ~c,1t

x

.. efe,

ccmo arucs.

C05'X.

s ,

.'./do'

• R(dI/do) •

(di/do)'

CO$.J:

+

(_C(gq'$Cn1).

sen' x

o.

ECUACiONES

118

Asi la introducción de : -

LINEALES

-tos.'C

_ COI' JI.

13.

Resolver

2 dr tb.

d'1

como nueva variab~ independiente conduce: a

lz' •

1

--,-.-

.. -1

JI

VARIABLES

se !te'tIC

I .."

..-

CON COEFiCIENTES

,1"" > •

d'

R(dzltb)

O_

la introduccióo de :

(.t,¡tb.)'

y

r

>

.I(sen:·

C,CC)."I:':'

2 .. : '1 cuya soIuc:ióo oompIeU es

a

se tiene

.)' •

e1COS(-1/x)

...K sen (-111)

d'1

..

,b Cuando -

.Ix

ción de:

...

Xl

... u'.)'

tÚ

I.f •

•

r:;

'¡4x'

•

: pOr

,;r2

,

Poniendo (O

,

_z .1/%

,

_!).r -, x

l>', -

Poniendo (xD - t b' _

.1'v

~)y

:c

+ ~lr. <

D

q-u:n ~

e-

= 2.< - l. -.'f

+

K.

es un factor intqJ'2lUe. Luego

•

JI'

3D

;t

r -.'( + K pita

(_ 1 .. _I • -)4r K a JI)

(xl>' -

DI~ ,) - DlD -

se ueee Dr - 2." - I Y e _,;rl

x

La
,Probkm:t 2.)

• 2t-1.

"

Abol'2 btc:n. (O - ~ lr _

Lue,o

'" 2.

(:b;'

se l;ene '1

La ecu.ción es equivalente I

b)

2 .. (u - l/x) 2:t

ti:'

,3 3 _ .. D .. -)1

f

RCd.l/tU)

como nuc:". v¡a6nblc independiente conduce a ti ']

Remplauodo

_.J

I

(J'ltb) ,

3/4

_.. 1

•

¿':/dx'

:a.

(D ~ 1)'

Q)

3><.

•

---. IS. Resolver (D

-.

Z

>

1 ti)'

• (4.&' .. -)-

tU t

• Vr • Vx2•

(\co:'CCV .. ) • C,:,:sen,Vz)

Resolver-

c:omo

:'.

SU$lituyc:ndo;: por -l/x

\4.

1

= --x

2x' - •

se titnc: (D •

C'S

.!)I! •-

f (~ - 1.)" Jl~'

equivalm1<' ID -~)(xD - 111 = 2x' - .x,

x

2..r -

•

.l'

para. qu.ic:n. ....!.. es

l 1ft~ •

r

!+

~

K

UD [actO( dnegranle.

y

La inuoduc-

ECUACIONES

Aquí

llx es un factor integrante = J(2x

y/x

16.

de medo

=

y

Resol~r[xD2 .. (1-x)D

- 2(1 +r»)y

~%t ...

]1),1: _

1'~.x

Cl%~

119

ORDEN

qut:

= x'

ln% .. 1 + K.x)a.x

)'

DE SEGUNDO

.. r'(l"

%

..

2

.. C,

1<,1

T

Jnx).

=

1(1-&'-)4%'

..-t1ft%

ca

2

+,a: tC1X

.. C~

• ~-x(l_6x).

la ecuación equivalente es Poniendo

(D-2)y

•

&.1,

se tiene

Ahora xe" es un factor integrante de Icrma que v.x-e (0-2)1 :

y

Aqul

11' ...

,:;0'

X

(l_3:t)e:-x

•

•

%

_

lJ:2 +- K

.. Ke-x/x.

es un factor integrante. luego

,

y

,

I La ecuacién Poniendo

se puede escribir 35. (D - 2)y • v,

Empleando

[(x

'3)D - IJ[/) - 2)y

!(x

.. 3)D - t)v

se tiene

d (actor Integrante

1/ (x

el factor mtegrante

e _'x.

o bien

..

+ 3).

••

(D __ I_). 3

se ,¡ene

de modo que Empleando

I[ ex + 3) e-,

...

K (%"

se tiene 3)~

_>Xl

dx

y

Ul

Demostrar

que la ecuación

ción lineal de segundo

Como

de Riccati

orden

mediante

~

• y p(X)

la sustitución

~ y'lQ{%)

- Q'u;¡;;¡;'

tú

la suslitución

__ I_~~ Q'u tú tú 19. Utilizar el procedimiento expuesto La sustitución

y

Q(X);

O. se reduce a una ecua-

y

1 dQ do

!!l

Rex).

conduce ..

(P -

dy

;:t;

en el Problema 18 para resolver reduce la ecuación

3

1 áQ du

Q ;¡;);¡; -

RQu : O.

I 2r

120

EClIAe'ONf.S

LINEALES CON comelemos

- _.-.., I

.'

o

2< 2

..

- -•

I

.

I,.~

Enlonas.

1

d.

I

,

IcC.,- - c,.

l

ij;, ..

.' c,r~"

_

.

- l!!!!d.

EnIClnOC'lo.

...

.'

ecuación a

.¿ .,

, ,IX> .

~

•

J

.tu , a - 3 cos.t)d; .. 2uCOll ......

21.

~y" -

22.

(l ..x'))'1I -

2.1.

{.2. 4)," _

26.•

dOnde k

O

ZU

. Q;;:b

I d.

1

O.

•

see

~sen"r

(x

..

2»)"

2 1& ..

'r -z(2x.

, 2y

2,

2.,'

r' 3)1'

17.

112,.

18.

x',

29.

xy. - y' • 4". ~,. .. O

4.)y'

Sol.

.,. <.,2.

(r-4X'.y"

(.'.¡.

l)'ly

y ,. C.t.('

.

8

1 ,.

Cl(.':'

1•

C't('% -

1

3)1. (6_.2)(,1

,. O

(1-lr.4X')y"

e

C.,(x _1)

t

K

-

4) •

C~

~C'r(a

2)

.",

•

•

6.,' .

,. L<

Ce1 sr + C,1t -~·)l-tCx C'

x 1 • Cl.~e:x + C.,xe 1 .¡;<

(..2_"_1)('1:

t

2

ClZ

t

)Cft

.«2 ~nJt.

,.

,

1•

3.

1

.._C~(z .. b

2

10y .. O jo

esto

PROPUESTOS

• 21 ' O

2xyl

2}« Z

1

Rnolw-:r

y- -

.,

_e~2 -A.2

2 c~i. , CoS x , o SC'a. : • sen x, reduce esta eccae ...~n a

PROBLEMAS

25.

• O.

SUShlUCtÓn

A Su vez. 111sustitución

¿zt

•

cloHI

•

,

••

- 2.

(1'

e.

,z )

. e" -"

•• La

- ; ;¡;

rcdu e't

• O

1

Ido

o bitn

<1,

A su ve", 1:. sustuución

VARIABLES

_~21""

+ (.r(a'

(C1 ... C,ln.t)

.. 2)

e,

"c;

ECUACIONES

31.

ex sen A ..

ll.

xy· - 3r' .._3,./x .- • ~

<::0$%),.. _

x eosX

'11 .. yeosx

DE SECUNDO ORDEN

.. I

,..-c.. ~<;eos

2 T .. Cl .....

34. Resolver C" Problema 21 mediante ~n 35.

[(.1 ;..)D'

- (~+

4)D·

31.

.Ir"

38.

(1+ ...•}yll' - 2ty' + 2,..

• 2)"

•
:o

3),..

C3x ... 2)C"x

"

121

<;.e' -

%

-

seo z

x' - •

en (aaora. y

e

C,(b--t1)

• C,<:Sx ..

'1 .. (C.eos 2:t ;. C,sen 2z (l-x 2>/z

ID X

1 =C\(.z:2_1)

+~Jl"

1:

Z4:)It

+- l)/z 10.&

CAPITULO 19

Ecuaciones lineales con coeficientes variables DIVERSOS TlPOS EN ESTE CAPITULO se consideran diversos tipos de ecuaciones diferenciales de orden superior al primero y con coeficientes variables. Para su resoluc-ión no existe un procedimiento general que sea análogo al de las ecuaciones lineales. Sin embargo, para los tipos tratados aquí. el procedimiento consiste e-nrebajar el orden, es decir. obtener de Ja ecuación dada otra de menor orden. Por ejemplo, si se da una ecuación de tercer orden y si, por algún medio. se puede deducir de ella una ecuación de segundo orden cuya resolución SC"d facuble mediante uno de los métodos expuestos en los capirulos precedentes. la ecuación dada se puede resolver. ECUACIONES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE. del término en y. esto es, si es de la forma n"l

>t

f(~.~. dxft dx

1)

o la sustitución

dy

dx

=

x

2

_,d_p'2p.J_P
dx'

d;'

d'il:dx\

reducirá el orden en una unidad.

, __d\

de orden tres. se reduce 3


'"

dp

dx,x):O,

dx'2 - (Ix'

La ecuación

Ejemplo

dy

~-l

d'y _ dp p.

- 3%p

,

~"

,

Si la ecuación carece

de orde!" dos. mediante Ja sestitucién

:- O.

2

d p • tb;"l

Si la ecuación dada es de la forma d

2)

la sustitución

.-1

y

x)

O,

='

dxl1-1' dk+1 d __ y = 3.

me

dxk+!

.... reducirá el orden

en k

unidades. Véanse Problemas 1·5.

ECUACIONES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE carece del termino en x, esto es, si es de la forma dy

,3)

La sustitución

dx'

dy : p dx •

y)

INDEPENDIENTE.

=

Si la ecuación

o.

d'y dp dy dp = - = p-. dx' dy dx dy

s.

(p dp) dy dy dy dx

=

{p d'p • (dp). } dy = dy' dy dx

122

p'

2

d p + p( dp) 2. ctc., dy'¡.

dy

OIVERSOS TlPOS

123

reducirá el orden de la ecuación diferencial en una unidad. .

Eict!'pIo la

y"(r',

'ó

SUSlltUCI

d]

d;

n

" = 1. eSe: tercer orden.

I

I dy

•

,fu:r

- : '1'4//1dy' -. dx'

/J.

o:

1P • J'p _ ..

ó,'

Jp.

p,(-)

..."

I dp

de segundo orden.

1.

-

óy

reduce I¡ ecuación yy'" -

P (~) .1)'

dl

Véanse Problemas 6-10. ECUACIONES LINEALES CON UNA INTEGRAL PARTICULAR ce una integral particular y =z u(.() de la ecuación

CONOCIDA,

Si

se cono-

4) entonces la sustitución y = uv transformará 5) en una ecuación del mismo orden. pero sin lamino COnvariable dependiente. Una vez así transfonnada se puede reducir el orden de esta ecuación por el procedimiento de la primera sección de este capitulo. La ecuación 4) se llama la ecuación reducid. de 5),

(O" -

Ejcm:pio COft)C),. _ .'( es una solución de d'

!!..l tÚ"

=- x

d2

.2

<J.x2

d

+ 2 ~

reduce

(D'_~D+ I}J' ..

O.

xD ..:. l)y •

~'K

a 211

a

2

_.

(Ú_

--

~,

carece dd tennino de la ~NbIe dt'ptnchenle seccién.

f'.

la sostrtuci60

-x' d~"

JI = u. ~

~z~

- • _. dx. x

x

lOO

-z: :

... 11.

Esta dirima «uaclón

por lo que se puede 2pIic:ar el prooedimiClalo de: la pnmera

Véanse Problemas 11·14. ECUACIONES

EXACTAS.

La

ecuación diferenelal Tl 1

d'" d dy (!!.1. __ y. " ... ', _, y,

6)

dJe"

se denomina

URa

dxn-1

x)

•

Q(x)

dx

cxuac:í6n cx.actl si se puede obtener derivando una vez una ecuación d",-2

__ y •.••••• dX"-2

7)

dy

, -. dx

= Q. (x)

Y. x)

•

e

de un orden menor en una unidad. Por ejemplo. la ecuación 3y'y'"

• 14yy'y'

• 4(y')'

•

12y'y"

= 2x

es una ecuación exacta ya que se puede obtener derivando una vez la ecuación 3y'y·

•

4Y(Y·)'.

G(Y')'

,. ,,'

• C.

La ecuación lineal 4) es exacta siempre que p. -

p;_.

+

P;~2

+ ....

+ (-lrP'ó'

- O. idénlÍCalncnl

e.

F...jtmploCon:\lderer:nosJn ecuaccn c:r~ - 2.'r)y'" + (8.": - 5)y" + 15..1',.' + Sy - üen laque P, - 5. P: IS,y y Pi = 15: PI - 8Xl - 5 Y P'; = 16. Y Po =.r - 2.'( y Po' = 6. La a.-u.aci6n es cuela ya que P1 - Pi. + Pí· - ró' ) - 1) ... 16- 6 = O.La _00 dad> es lo Oetivoda <X3Cta d. Ir' + 3" + )xy = C.

uu·· (sr -

124

ECUAOOSES

LINEALES CON' COEFlCIE'NTES VARiABLES

S. la ecuación 6) no es lineal no se puede dar un procedimiento sencillo para aYUigua.c si es exacta. En este C"dSO. Se demuestra que 6) es exacta formando la ecuación de orden mfenor en una unidad a partir de In cual se puede obtener 6) derivando una sola vez. Si 6) no es exacta puede que sea posrble hallar un factor integrante, Tampoco se puede dar una regJa general sobre la forma de determinar un (¡JC1or In1egran~. Vbnse Problanu 15-21

PROBLEMAS RESUELTOS SIN VARIABLE l.

OEPENDIENTE.

(2)' .

Roo...

4

d>r

•

o. dp.

La sustltuci6n

2 J: • P

-4

2.!f. t

o sea

-

! In~

+ l. K:

=Ós

,,'2

,o

1 .. 2:r - 2 la(1-C1f'2X:)

y

P -4

+

c,.

• ~ - z.¡ • dcdondc

In q .. In ...'

t

In K.

y

O.

., • c"..... c,....

c..

LI sustitución

luego

1 •

4.

t

1 10$

fl

-(ZuC,l

•

JI!

Resolver

i(2:Ic • es.)

Ji...

t

1/.

•

K..•

IC.

Obó
105"

t(20· C,l

t/2

-

c,••t

c_.'.

• o.

una «UXtÓn Chinul. y

c..

DIVERSOS

.

1

-<

(l,,2r)cI~

áz

125

TIPOS

.

•-x

• ):"2;' Como 1 -

R

p"rJ oblcner (1

+

+S

"" O líe ulill1.~ 111suslitución

n + 2x}.!,,"

2\' ..•.. - 2»' _ l. de donde 1+

L<&
,ed_

z.. _ ..

la __

,.

1(,. K,,,': - *<1

p

•

r!I •

'/ • C,e-X A~-t +-

y

SIN VARIABLE

(;,(4 .. 2 +- lb

..

B'(x

+

2()rI' - (1

.. lt)c:

+ h').

.liJ•• ¿

una eeuaa6Cl bneal de

o b
2)......

• K, .. K,el. 21)' _ ~(1. 21").

K,(-·"

e-xv"

2(1

• (.f(~-Il-

v

áz y

-

+- 13)c-x

-x ..

"21)'(-- -

"'.(2

ir(l.~)c:-.a.

... C, .. t(2A.o. 3le-

x

e ... !..e -x •

INDEPENDIENTE.

p ~ • p'. P O bin> ~ Emonces. _..!!e..... • dy. p' +- 1

s'»

La sus:itucióo Aqui p = O ~ }' dp P -1

ErHooces.

I A

y

e es

a

.

p.

2

r

;Ir

4,

Enlonc('s.

p'

I

-,

2p • 2) • O.

•

In A2y'l.

.

,.-

• ,¡..

I.dedonde~ 1+,.(2,.t

are

K.

P • A Y

y

'& Ay • A.1' .. B.

Ay

• '8

IAx.B)

•

1n y.

,/' • p.

dp

'"

!!f -

4y

In(p - 1)

are 'S Ay

.1& (y+K,).

p(y

una solución. l...ego

!!l .

2

p ~ dy

, ••

Y

yp -

P •

• " • l.

,

In', .. C.

1-' P dp dy

'1'

K'dUC'C la CC1Arión ;,:

o bien

)a,/

4y

y/¡.'y.

e

.

1áz.

2y', di>

y'

Y

,,1y

dy

.

2 I.y

)n( In y • /1.o'y.

2. y e) • ts ...1n K.

126

ECUACIONES

LINEAW

CON COEFICIENTES

r-r-:

,.

"ln-y ..C.K~

Ea:co se puede escribirIOn c:onsunteS

9.

e,,"- + el'··

-ln1.

y

o t*fI.linatlTlC11le. In y o: C1r- +

C.,,·~ya que C'

I

yel

arbitrarias..

• (1'>% .. 12•

Rc:sol"c:r 1,·

LaJUJlituciól\y'.

de py' ap

Ahora

v'2 p

bien

y" = p ~teducelaecuacl6n.py~

p.

le. Lo ..,Iuclón

.r,

In y =

así

VARIABLES

=

+ p'y

Poniendo y" - p dp ti}<

50

cuya solución

e - Sh(±Jl y'

x+

-

dI.

ea

:lrg Sh

Le'!= ±2x + K.fi.

Entonoet.

e,~

••ya soluoón es p' - _" + K.

tiene 2p dp - ~'tI)'

~. se: conviene

ji.

±Sh(j2 x + K,l. y y' = e, Sh(Jl x +

K) -

Uri'il.lt'K'lo tu coodiciOOt$ iniciales.. O _ 1 + K Y K te la IUStiloción ~,

es

'1

di

±Jlx + K.

Sb ~ -

Ji' + C".

d)' _ y' ay es 2p'y' _

12 2 ~ t /y" + el

.. 1'2. y' para la que j es un faclorüuc¡.nan.

-1.

Por tranlO. P :-

!z .: .f/~t)


_J que. mechan·

• 1 tU. LI solución de esta ecuación es are la

J: -

J

2tli'"=1

±x

+eo

bien. COn las variables

e•

quieren

originales,

± ta

= 1&(±X)

O. de modo que ~

i • ±x +

are t¡ ~

x y. finalmente.

C. Aquí, las condiciooes t':' _

sccl

Iniciales re.

x.

Debería hacerse notar que la forma de 1a solución de la e<:uaci6n deda depende del signo de la primera CQn,~ tanlc de Imegracién, Si en = e'1 + K, K es positiva e ¡¡ual 11 Al, se resuelve

pi

_-.:;d=,

=

1 In

J_ . • .t u... y se o b uene

2.&/:7Ai

2A

Como

l'

•

4,('&""

~'Y

(1-

¡;:-¡r - A ¡;:-¡r. A

A es a,bilrJ"a

• ± x • C. Entonces.

¡;:-¡r - A

y

~>A se puede: escribir

y

o bien ~, •

Bc"")2.

ECUACIONES LINEALES CON INTEGRAL PARTICULAR CONOCIDA.

11.

Rc~lvt(

xJ(stn x),...• - (3x' sen x -+ xl ros x)y"

Por simple

se ve que 'f

inspección

Modillnte la sustitución>,

-

coa

1

=

= xv. y' =

• o.

+

(6x sen Jt"

x es una integral XI?'

+ V. y" _

2x1

COl

x)y' -

I):lntcular.

,w" <1

2v', y'" = xo"' +

OO

bien ~

q

_ ctg.r d.l:.

)(1". la ecuación

se reduce a

2

Y esta ecuación. mediante la sust"itución !_! • q. se reduce a sen .. 2

" tOS X -

(6 Sen x + 2\" cos xbt _ O.

x

¡Jq

dX -

DIVERSOS TIPOS d1u

=~ L.l

Entonces, In q • In sen x + In C. q

12. Resolver (xl - 3",'

+

fu' - 6)y''' - x)}''''

Por simple inspección se deduce que y -

= XV, y'

La sustitución)'

= xv'

+ P, yU

=

6x)t'

-

.,

Ii -'

+ 6)'

CI sen x + C:x

_

+

e,.

- O.

es una integral particular,

x

X11"

+ 4'"

ción; (.,' - Jx' + 6.<' - 6x)'¡' + (-."

)'

= ~ sen x y

+ 3x2),"

127

-

+

2t,'. y'" _ xe'"

+

30",

=- :nl' + 4.,'"

~

reduce: la ecua.

12x' + 24x - 24)1>'" _ O.

3

'dd v .,. Pcmen o dx' = q, esta ecuacton se convierte en

o Integrando

In q

o

x-41nx+Jn(..-~-3x2+6x-6)+lnA

>

A.~(x

Entonces.

, ,

- 3.•? -+ 6x - 6

Xl""

--e ()+1

x"

1 1 3 6 de forma que --(---+---) D+l x }(2 x'

A

x

z

•

1

.' e,

eX

•

• 1

3

6

6

--(--~+--_). D .. 1 x xl x' x·

,.

•

_._ . 6

.'

6

e

,

•

1 -(0.1)

x'

e _ 2% .. 2

dz' :

x

.'

%

V

A.

2

Ahora bien. OC!)

d'l",

)

+&-6e,,)

-:b:

O

"e

Luego

q •

o

D+ 1

x

+ B,

, '"C,}( • c.. + c..

dv dx

:t

A (x - 1)e

.'

• +- &

-+

1 (-)

s

C.

y

En este ejemplo se ve. facilisimamente que y = x, y = xl. y = r e y = tt son integraJes particaíares, Que se podía haber escrito inmediatamente la solución completa.

13.

,

por 10

Resolver (2 sen x - x sen x - x CO$ x),''' + (2x cos .'( - sen X - <:os x)y" + x(stn x - ros x),,' + (COs. x - sen x)y = 2 seo x - x (0$ x - x sen x. Se ...'c. por simple inspección, que .v = x, )' = r e y = sen x son integrales particulares de la ecuación reducida. Se obtendrá una integral particular de la ecuación dada empleando el mit()dq de variociqn • pcr6rMcros.

128

ECUACIONES

LINEALES COl" COEFICIENTES

VARIABLES

o. Ahora ben,

y se ea.. blece

o.

SI Entonces, y se cSlllblece

el

L~('X

_

lIc:n t

~

RC$Olvie.ndoeJ sistema formado por las ecuacícnes -S(nx..-eosx -t·_(s -1 •

tOS Jt •

L, •

y

JI ..

8),

A),

"

..

la solución completa

,; x),·

- (x

~ 3.1:.. 1)1,.

Por simp~ inSpOC:ción se: ..oc que y - XI) reduce la ecuación dada a

.. ;X" 4 ..

)1 _

x

2 -»" .. (1

es una intt'ifll

(s' + x)" ...... (,1" ..

l:) .. e-X)('I'I

CM

jo

,

t

(.z2 .. ,1')1.1" ..

4

..

't-·C06,1',

de la ecuación

ha II-u:uuución It' -

IJ

2)u' ..

(0$11.

.'

3x(x

{Xi ..

I

2 -)y

..... It

particular

(.1 ,; 2)u

Como la suma de los cceñcientes de. la ctuOIc.6n tcdUGld. de &la.! particu13r y se puede emplear la sustitución

I

reducida.

La ~usthución

)2

la •

3x(It'"

1)'.

A) es idénticamente

nula. u ., r

C$

unn in te-

reducir A) a

d;

de donde 7" • (l. u;ac

Enlooces.

2 1 - - --1'

x

ae-x (x.

x+l

1C'l~~ 1)

p:.r¡¡ la Que

u

."

•

•

• -x

d:

'&

'JI

:

x(x"

-x

1)~

+

K

~

do

• Ce.

xv

x

•

3

_ ~x' 2

_ 3.1-2

..

•

<x

,-

•

u

...

C.,z
dx

e

1.1' )ftll

t

1 --,

~

,, -x

y

es un factor integrante.

n'

dw

, --1 %+

y

%

'2

2,1'$m,l'''

..

ex + 2)'11'.

2)./'1' ..

es, a su vez. reducida. mediante

Al

PIra

sen s ,

X

es

It

Y t$la «uación

..

sen x,

;.te"A'(_$Cn

i,l'CQ5X

(,1'

X

se obtiene

e)

3

,4.. ReiO'\Cf

COl)

JC

y

%

Por tanto.

y

ces .... sen ~)

2 sen

"

1 -x

.'

el c',C'.

:h _ 3 + _... x

•

129

DIVERSOS TIPOS ECUACIONES

15.

EXACTAS.

~.___

l'

• P, Col),.- .. P'I (:r) 7· .. Ps(X) 7' .. p. (.1) 7

que: Pc,C.%»)'

I"oI'I;IIHAlr.t!

Supóngase

que la ecuación

diferencial

dada se obtiene

'11

Ro(.c) y'" .. R,(.t) y" • R2(.t:)

Como K'

al derivar

esta ecuación

(it~ que VC1"ificar Po '"' Ro'

p. - p; ,

AhOf;t biee,

. R ecrprccameme, ~

•

Po1

Pol~

p(;)y'

t

P'JY""

'~J" - (- P;

,_ P1Y''' .. P.,1".+- 1'31""

ePs -

+-

Y p.

O.

It; •

R!" .. O.

11;> - ~" • R;) •

O. Puesco que

Po"'»)')

P; • P; ..

p;' - P~ ... Po'''»,

+

p.Y.

(R~+-Rs),.'oO R;,. ..

P,'- 8; • 8,.

~ (11': ..

Po1" •

- • P"• - p~

.. (P, .. P: +-

(R~.R,»)'''.

.....

R: • R",


It~-

•

11, se

R~(a) y .. el'

..

','"'

O es c:xacta si. ) soIamcatc

denvando

(1t¿.R1)1

+-

~ .. 81,

p... P,'2"

supóng.ur::

.. P1Y'"

tv

p••

P,."- P; ..

[Po1'''' .. (P1 - P;),."

poyl1'

00t~~ Rol1"

se

•

la ecuación

direrencial

dadll es exacta.

I

I

Para obtener este resultado lérmlno

el primer termino hólY que derivar xj-". Ahora bien. de 11. izquierda

del miembro

de 13 reLac,ón

resultante

hay

(.r +

queda

tr + v +

Que derivar

(z' ..x .. 2)7·" (2:r .. 1)7' qucdJ; (2z" .. 1)7'

+-

+

x + 2)y"

t(X

(4x

1''')

&;

+ 2))" +

2).r'. Cuando

%1-+ 1" Y cuando se qUIla 2y. Pata obtc:ner d pluMr

se quita

d

di(Z

•

•x

.jo

2)7'.

2y

Al Como

Po: - P: ...

A) ex.nCt3mttUe romo

Po· •

(b.

1) -

se: ha Inuado

el miembro

A) es la deri vada eueca

2

lineal pan; la que ul

Luego la solución

La siguiente

,....

,.

exposición

•

de II eeueeión

%.1»)"

¿

(X'.,.

c. f

csquem:hica

z-

+-

1)7

es UD faaor

comple1a de la ecuación

xye1x{x.2.

(:r

llhora el miembro

.. (2z ...1)y

%~i"(.t"oO

dada 2) lb

'"'

d , :- d;(% .. x'"

c;, ... ~.

int,qtanle.. es

...

es muy practica.

e,

f

~,x(%. ,) 1'.......

de la lzqUierdl

original.

de

sr' ..

S) una ecuación

correspondiente:

qced ..

Quitando Luego

(21 + 1) • O ,. O. se tratar'

~,

1)1·

dt

130

ECUACIONES UNEAUCS CON COEFICI~ %]-

Z]-

%].

(...' .....

2')7'

.

3),.- •

(Je' ......

VAItL"8lES

(ob t 2»)"

• (.,..2

t.,&

..

( .. '

.. JI

.2),.- •

2),· •

(u".

(2:r .. l)y'

(2r .. 1),' .2y

C2r .. 1)1

Al

xy" • (s' .... + 2)1' ..

.y'

% ••

(z:2 ..

.. %+1)1

8)

Rcsol\-er

JI: '.

.1'1' .. (xl.x

~-• d'y

12:

S d'y

",j

.-

dz' '"

(2)< •

1)1'

• e,x ..

..l)y

..

la ecuación

2!.!
obleniéndMe

2

d y

"
2

Se· pue
,

~

2y ",,

dada es exacta,

C,.

~-

•

,

.

2(2)' dx Luego

1)1

SdY
",,

z ~ dy tú'

C.

:

.. (2)< • 1"

d')

Se pued< C$CObtr

(2)< • 1)]

l' (X' .. .t +1)y'

17.

O

.~ .~

2)1'

(2a". 1),'

(x 2

.

.. 2y

•

tú' tú


dy tú'dx

derivando

-J..!..'
1 • K,.

•

(1 .. :ky2),- .. 11:"· .. 18qy'y" • 18y(y')' (1 .. 3x.Z')Z- • 6"T'1'"''

3.,'," ,

12xyy'Y·

.. 181(7/)' .. 12.7(1,)2

12%)7',"'

..

6,,(.]/)2

.. 6%(1')'

J2zyy'ylt'

l'

61(.)',)2

..

L3. ecuación dada es exacta. obtenjéodcsc derivando (1 .. ley'),."

.. 6,.:2,' .. 6xl(y/):

(1+ 3z-12)y" ..

• 6<(J"I!

3'1,' .. &1(1,)"1 3/,' 3/,'

.. &":(.1'>'

&rey'>'

DIVERSOS TIPOS

131

Se comprueba: ripidamenlC que esta ecuación lineal no es cueLl. inte8f3nte de: la fonna x- se multiplica pOr :c'"' y se obtiene:

y se escribe la

Pan. probar si tiene: o DO tiene ce factor

condición

-(2t- .... " ..~) - 2(."1)%~ +- (_.3)i,

..2

5( ... 2)(_"1).1'

..

... (... 3)( ... 2)( .... 1)%·

• Lues.o m _ - 2 '1 x·]

es un factor

integrante.

K uene

Empldndolc..

2

xy-.

... (.. 1).1 ",

y'

4,· .. 4,· +

2

41' .. (; ... x)7

%1" .. 41'

y La It:lnsrormación

.'

y."!

)' la solución compJctll es

v

=

(;2 ... x )'.)'

(;

2

... z).)"

+ (~ ...

,

n)'

- .'

.. l)y

.' 2

(-

x>,. •

reduce esta ecuación u

te, J

2

-(-

x' -

:al

un ... U

• (D2

c)~x ...C,~-~ ... (1 .. D' .. D

C1éx

.. ~~-x ..

2yy' •

~;r;

6,'1'·

..

H.

;r;

It ..

1)11 .ce D

tJ

..

2I)x) ... x~ ~

".)(2D):}

h.

... %~ + Kx)

x~•

.. 2(.1,)2

.

2

~'1· 4y'y· ..

2yy' ~y~ oblcniéndok

2(1,)1

.. 41',· ,.2(1',>2

as; por in legración 2yy" .. 2(1,)1 .. 2"' 2,y"

• 2lr.

K,

.. 2(1/)t

2,1'

2YY' }' se tiene 2yy' .. y'

•

,&:2 ~

Kl,x .. K.,. Por simple inSpCCX:iónte: deduce que ("- es aitf;1lletor integrante:

ealonceJ

.ECUi\CIONE.~

ll,

RtsOI"('r.t" ros)' r'" - 3\ xn , y' ¿loCn.'

Como - ( d't"

LINEALES CON COEFICI~I
'o" -

ces T ~..~~ COST

\COS""-srOj'

) - ---'

,T

-J;

un posible facror nucgrante

los uJtunos dos

~

:&

..

.

$Cn y +--= el

\'

x

La SllSlilllción sen r - : ,,,..duce: esta ecuación

PROBLEMAS

y' + {y/)t

n,

(1 ~x2}yll'

14.

:1'1" - )"

25.

r ... y" •

U.

rr" •

.. 1 .. O

Sol.

• 2a"~

ay'

-+

2

o

:"'¡ : ..

;¡

ln 008(.t-C1)

•

r .. l/x

elc,,"a:.

rr" • (1')' • z

lat

29.

(2x - 3),'" -

JI.

(& - ;)yJl , 41)"

lJ.

(1 .. 2)' ~ 3y2»)'-.

34.

3I:ty'y"


6yy'7'1

Sugerencia: .l5.

)'1M,.

y

2l1·

+

3)')'-)

2(y,)t] S()J,

I/,y): es un r
+

2(l")'¡

Su~rencia: Utiliur

+ )'" ..

.. rr'

2)' •

r ....2.

•

~"X2(.zt_4xf't2)/12

ID '1

C.x .. c.,

'!i!

2

C,(.I1t

t4.,t)

..

.1!,

C,Z'

x' • e,,.. ...C,. ,. y' .. ,,'. el..'.c,s ..c,

a..%

3y&, ...

_

3Y'y" _ 2yy" _ 'J,(yl)'1

I )y"

C.,x·

c." .. )'

l) ln..:

reducid,..

l(,I".o.}')

Ú")'"

... 2(Y')']

ti

In y • C,~lt • C"e ...-r

• 2y' • 2

Gy'[y-.

compkta

e,

c;"x .. C.,el: .. C,«,'x -

unll Inu:gr:11 particular de la ~uación

Sugerencia: e" ... es un nlc10r mtegrante. 36.

'1 ..

Iny UtdJur In.' • :.

27)'1· • 2
(X"

elx.

z .. e, ...e,ln y • ..... •• y

)')

_ 4)' .. 8

.,.2

Su¡tC1~: 31.

,1 ..

-l)Y'" - Sr')"" ... Gly' • O

rr: ...('1/)2

('1,1)'3 solución

e. . e., are 18

ji!

)'1· .: ('1,>2 (1 - T' coa., • '1'1' ... ·0

(b)

C,X

'1

28.

JO.

$U~

...

V"J' + sen JI

J1

y.

27.

4:$

I

dada

CCUiIIQOD

PROPUESTOS

z .. e•.

s:

r" - kn

cos)'

T.

Sugerencia: J' =

.sen, _ O

.•

de: la

Icnftlnos

• O

(y/)'

Y b,')I + x cos J' .,' -

)' • e.x' .. e, .. (X"

.: - 2/x - In, X

stn

EmpleandoJe e integrando.

tos " 1" - sen " (1,')1

ll.

(1',.. +

VARIABLES

r.

O

:-

~,r

•

)""

"'24

• ... 2/x y' •

c,.' ...

Sol.

C'IA:

,.'.

2." "'" el

..

C, ...... In x

e, ...Ct("r

Resuélvase también empleando Sol,

+Óx

.. C:)XcX

)'2 = ".

COIx + e;! sen x

+

~'b(

x -, corno

CAPITULO 20

Aplicaciones de las ecuaciones lineales APLICACIONES una curva JI

GEOMETRICAS. En coordenadas rectangetares el radio de curvatura fix) en un punto general de ella está dado por

R de

=:

R

=

•

La normal en el punto se traza hacia el eje x. Se ve claramente en las figuras que la normal y el radio de curvatura en un punto cualquiera tienen la misma dirección si y y d]"yldx2 tienen signos distintos, y tienen direcciones opuestas si y y cP Yldx2 tienen el mismo signo. APLICACIONES FISICAS. MO.vIMIENTO OSCILATORIO. Considérese una esfera. suje••• un extremo de una cuerda de goma. moviéndose hacia arriba y hacia abajo. a sacudidas. Sí el otro extremo de la cuerda está fijo y no se aplica 3 la esfera nin.guna fuerza externa para conservar $U movimiento una vez. iniciado. y si la masa de la cuerda y la resistencia opuesta por el aire son tales que se pueden dC'Spreciat. la esfera se moverá con InoDimknlO armónico sunplt> .t _ A COS WI

+

B sen (1)1

donde.'( es el desplazamiento de la esfera. en el instante 133

t,

desde

$U

posición de reposo O equihbno.

134

APLlCACIONfJS

Para el mcvímlemo

a)

arménico

OG LAS ~CUACIONES

LINEALfJS

simple:

La ampluud o desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio es si dxid: - O. tg on - AJB Y x + 8'.

JA'

JA'

+ 8'

ya que

b) El periodo o numero de unidades (segundo) de tiempo par. una oscilación completa es 2n/w seg. ya que si I varía en 21t/w seg los valores de x y dxld: no cambian, mientras que si In variación de {es inferior a esa cantidad. uno (o los dos) de los valores x y dxid: experimenta un c~lmbio. e)

La frecuenci«

d ) •• "'"'

·6 (>C""(;I"

o número de oscilaciones (ciclos) por segundo es (1)/2. ciclos/seg. d"ljer(,nCI(1 • I del movi . e movnmento

arm ónico meo si simp Ie es

tlJ

d'.y - -¡¡¡r

k x. d on d e

t. 1(

es una

magnitud positiva. Se puede escribir

d'x

m;¡¡r

-

_In(.L)l(A

cos

donde nr es la masa de la esfera y k =

(1)/

+

8 sen roi) = =k«

ffrwl•

Si se modifican las hipótesis amenores de modo que, no

S(:

pueda despreciar la resistencia del

aire. 13 esfera se moverá Con mooimtcnto amortiguado libre x = e-SI(A cos

w, + B

sen W/).

El movimiento es oscilatorio como ante, pero nunca se repite Jo mismo. Como elfactor de ama-ne-M disminuye cuando I aumenta, la amplitud de cada oscilación es menor que la de la precedente. La frecuencia es w/2n eielosfseg. Véase Problema 8a. Se presentan otros casos cuando In resistencia que se oponga al movimiento sea suficientemente grande. Véase Problema 8h.

guamiento

Si. además de la resistencia, hay una fuerza externa actuando sobre la esfera; O se aplica. un movimiento al sistema completo, se dice que se ha forzado el movimiento de la esfera. Si la función de forzamiento es armónica con periodo 2rr/)., el movimiento de la. esfera es el resultado de dos movimientos -'\ln movimiento amortiguado libre que se va extinguiendo a medida que el tiempo aumenta (llamado el fenómeno IranslloriO) y un movimiento armónico simple con el mismo periodo que la función de forzamiento (lJamado el fenómeno de régimen permflnente), Véase Problema 9. VIGAS HORIZONTALES. El problema consiste en determinar la üexión de un. viga que soporta una carga dada. Se estudian solamente las vigas que son uniformes, tanto en forma COmo en material, y es conveniente considerarlas como si estuviesen constituidas por fibras dispuestas longitudinalmente. En la viga Oexada que se muestra en la figura adjunta. las fibras de la mitad superior están comprimidas y fas de la mitad inferior alargadas: a ambas mitades las separa una superficie cuyas fibras ni están comprimidas ni alargadas. La fibra, que en un principio coincidía con el eje horizontaJ de la viga, está ahora en esta superficie de separación dispuesta según una curva (la curva elástica o curva de flexión), A continuación se trata de-la obtención de la ecuación de esta curva.

B_.:.:.

,::....-

----------CUJ\'iI. c1á~IJC;l

P(1.yl

1

APLICACIONES

DE LAS ECUACIONES

UNEAlES

13$

Considérese una sección transversal de la viga a una disla~ )C de uo extremo Sea A B su intersección con la superficie de: separación y P $U intersecc:lÓn con la curva elástica. Se demuestra en Meclnica que el momento !ti con respecto a AB de todas las fucnu exteriores que actú~n sobre: cualquiera de los dos segmentos en que la sección traosvtnal del segmento considerado y b) está dado por

Al

El/TI.

=

dIvido a la viga, a) es índo""ndlC1lto

,W,

Aquí. E = el módulo de elasticidad de la viga e I = el momento de inercia de l. sección trsnsversal con respecte a A B son constantes asociadas con la viga. y R es el radio de curvatura de 13curva elástica

en P.

Supóngase. para mayor facilidad. que la >iga se h. romplazado por su CUI'\'ll elástic:a y la seco ción transversaI por el punlO P. Tómese el origen en el extremo izquierdo de la VIga con .1 eje )C hcrizcntal, siendo (x. y) las coordenadas de P. Como l. ""ndiente d]/dx de la
todos sus puntos es numéricamente: pequeñas

--. d'y

1/

aproximadamente

ctx' y A)

se

reduce

a El d'y

Bl

=

l.

dx'

El momeoto ñector M en l. sección transversal (punlO P de la CUI'\'ll elástica) es la suma al. gebraica de los momentos de la, fuerzas ext eríores que actúan sobre el segmento d. la viga (seg. mento de l. curva elástica) respecto a la recta ABen la sección transversal (respecto al punto P de In curva ,elástica). Se supondrá aquí que las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y las fuerzas hacía abajo dan momentos negativos. ,Ejemplo Sea ~na ~ga de JO m de Joegrtud apoyada en dos $Opones \fflicaJc:s. como en la f1cura adjunta.. q\Je la .vtg::t eeee Uftll earp umfcrme de 200 k.g/m de: k)ft8J1ud 'Y UIUI carga de 10fX) t& ('onoentracb. en su pWUO medio. Suponpse

2000 ~

~. ..

IlOO

2OQ"

(uerus extencres que 3C1(ian sobR: OP $I)Q a) una (ucru. di~ hx:ia amba mrtad de lacarp ,.... ,. este es, !(IOOO+ 10 x 200) _ ISOOk" , que se pucd'e supooer como COn«n1rada en el puntO mo:Iio dt: O, o tea.. a

~8..

.

Yb)~e;:!,·.-;",,:,: Ix

,.1a

menlO Rector ee Pes'

M

I SOOx

- lOOxHx) _ 1SOOx -

metros de

&

r,

El • mo-

loo..'

p.J_ra demostrar que el momento nCCtor en P es independiente dI:! se nto' . cuenta las fuerzas que uctúan sobre PR: (1) una ruet2a dirigida hacia d co'~kado. [~~ aflota en 10 - x .... tres d" P b) J d 000 •• '. e ~ g y .,........, ee R•• .... 3 carga e I "Ii actuando hacia abaje en el punto medio
:::7ba

136

APLICACIONES

DE lAS

ECUACIONES

LINeAlCS

x.

de' P y (") 200410 - x) kg actuando hacia abajo y supuestos como concentrados en el punto medio de PRo a loo metros de' P. Se puede. pues. escribir M = 1500110 - xl -

1000(5 - xl - 200(10 - x)·}(IO

-

.<.

Se dice que una viga está empotrada en un extremo si se mantiene horizontal en él gracias a una adecuada obra de albañileria. En el ejemplo que se ha expuesto la viga 00 permanece horizontal en O y se dice que está ahi simplemente apoyada.

CIRCUITOS ELECTRICOS SENCILLOS. L. suma de las caídas de tensión a través de los elementos de uo circuito cerrado es igual a la fuerza electromotriz total E en el circuito. La caída de tensión a través de una resistencia de R ohmios es Ri. a través de una bobina de L henrios de inductancia es L di/di Y a

través de un condensador de

e faradios

e

de capacidad es q/C.

Aquí. la corriente ; amperios y la carga q culombios están relacionadas por i = dq/dl. Se considerarán R. L y C como COnstantes.

R

la ecuación diferencial de un circuito electrice que contiene una Inductancía L. una resistencia R. un condensador de capacidad y una fuerza·~ele:ctromotril. f;(l) es. por tanto.

e

L

C'l

(Ji

*" R i

t

dI

g =

E(t)

e

o bien. ya que i = dqid«, di/di _ d'qfdI2•

Cl

E( t)

de donde se puede Derivando

hallar q = q(I).

C') y empleando

~;

=

i se llene

+ R di

Dl

di

de donde se puede hallar

;

=

i + -

E' (t)

e

i(r l.

PROBLEMAS RESUELTOS APLICACIONES OEOMETRICAS. J.

Determinar la curva cuyo radio de curvatura en un punto cualquiera P(x. mismo sentidu. b) sentido opuesto.

y. es igual

3

la normal en P y tiene

a) el

tI)

Aqui

[1"

(yl)?})/2

=

t21.í2

-y ( 1~ (y)]

»:»

de dcedc

La ecuación es exacta )' COn una integración se tiene yy'

+

)f

-

el

(y')

2

+ l ... O.

= O. de donde

y dy +

(x _ C1)d{

= O.

APLICACIONES

Integrando otra

VU.. lf2 + !(x

(erene.... con centro en el eje

b)

Aqui

[1 • (1'¡'J

,.

- CI~

DE LAS ECUACIONES K. de donde ,.)

:lO

+ (x -

137

e,)' _ el'

que es una famíli. de ci«un.

x.

P

=

7(1·

La .... tilucicl. y' - p. y" - p :

(7')')

".

de donck

,

1,· - ()") - 1 • O.

dd Capitvlo 19 toducc la ceuaci6n •

.]

11' ~

- p" - 1

Luego

O

!!l.

de donde

1 ln

hllegrando

WNEALES

e:.

s dx,

•

de donde

rorma

se puede etcribir en l.

Las curvas IOn COltcnariu y La ecuación 1 •

APUCAOONES

flSICAS

MOVIMI¡¡NTO DE UN PENDULO. 2.

p

Un péndulo. de lo.~,ud I y masa m. SUSpendidoen P (\Ú" .. 6.... ) mueve en un plano vertical que pasa por- P. Prescindiendo de tod.lt.. l.as ruerzlU excepto de la gravedad. hállese su movimiento.

te

Se supone que. el centro de: gr3\'Odad del diseo dd pé11dulo $O muey radio J. Sea O. positivo cuando se mKle en $Clllido contrario al movimiento de las a.sujls del re. loj, clllngul0 que forma la cuerda con la vertical en el instante l. U. ünica fbcna es la sravcdad. positiva cuando se mide hacia abajo. y su ecmponente !iegllola tangente a la trayectoria dd d.i.scodel p&.dulo es"" seu 8. Si I es l. longitud del arco C.,C. entonces s _ JO y la aceleración .. lo largo \'C

del

$leJlCribiondouna circunferencia de centro P

a.n::o es

Entonces. •. 1 d'e • dI' Mulllplieando por

2

-s

seo


e

d'e • o sc:! 1dI'

de • e, de oonde-;::=:::::;==-

• 2& .IMI e

e integrando

dI

-s sen e. :

dI t _.

/2& cose. e,

oIT

Esta intesraJ no se puede expresar mediante (unciones elementaJcs. CUlIndo O es pequeño. sen 8 == O. aproximadamente. Si se t\ace ($ta sustitución en la ecuación diferencial .. d~ onglnal se tiene dt l

..

'9

lO

O cuya soJuciÓQes 9 •

vimiento armónico iimp&e. La amplitud es

el coa ~a7 e .. c. sen ~,~t , Este es un ejemplo de

Ic! + e! y el periodo

C$

2Il

If·

me-

APLICACIONES

138 MOVIMIENTO

A LO LARGO

DE UNA

DE LAS ECUACIONES

LINEA

LlNEALfoS

RECTA.

J. Una mas;, 1ft se pto)'tIeU. verticalmente: bacía arritr.l dc:5dc O con un ~ dad wciaJ t.: Hallar la altura mixíma akanuda. supoaiendo que b resistenáa dd aire es proporcional • la ..-.

r. •

í

Tómese .. ditución desde O haoa arriba como positiva y dcsí~ por x la distancia de la masa medida a partir de: O. c:n el instante' ~ b masa aculan dos fuetUL fa fuerza gravitatona de magrutud '"' y ls, ttSJSdx lencia de magnitud Kv = K , dirigidas, ambas. haCIa 3~jo. Por tanto.

•

dr

lenien<:lo

en cuenta masa x aceleración J.¡¡

dI

Para

1'"

Haciendo

O.

J.¡¡

x »

c" .. C:~-., - 1:

2)

.:

~ dI

Oy e

X· "'•.

donde

dI

1)

X -

o

rue:n;~ neta.

.. - • -'o

o bien

_.eg - K Intelf3ndo

=

t. Y daivando ahora

una

• _!.

:._lc.,.-U

respecto

v.:7

•

=

Enl()OC:C:S.,

e..

el· (1.. O.

en I} SC' tiene

estas sustinJciones

6.

"o.

2.(&

•

t

f·

- Jr:C; -

ltto)(1

_ (,_tI)

1,,3 IIllura mlixima se alcanza

-

••

In altura

máxima. es

. .0

-c, • !!.. ~.

~ t•

e

.

y

- O. De 2).

cuando"

t;..

'!

•0

Luego

de: , •

t:.!.lnt

,

o• .....

%

Una masa In, libre para desplazarse a lo Jargo del eJe ~, es au)ic!a furia d origen coe una fuerza propo~1 a su distancia al origen. Heltar d movimiento a) $.1 se pon( (TI marcha C(I x 'Yo p:l.rt.ic:odo del tepOJO y SI se pone en marcha en x :D Xo con una vdocKlad InICial 1'.. akj:lndose dd ongen.

b,

=

Sea

X 1.1.distrmcia

del origen

a la mas;a en el iosunk

l.

o. Inle¡rando.

1)

2' a)

""1'1 1--0.

;c

;c = (l

=

= x¿

y

sen k,

el

-ke: v

+ el

sen kt

= O.

...

CO$

le.

kl. Y dc-nnndo

co,

2).

.Y _ Xo cos

b'

Pata,

- O. .e ... ~o Y v -

r(l' Entonces.

e: -

;t -

En a) el movimiento

es movimiento

En b) d movimiento

es -armónico

respecto

de l.

kt.

el _ o de:

Enlonces..

Uft3 \la

'\'0'

e, - \'..de: J),

el -

". sen lu k

ro/k. y

+ '''0 ces ta.

armónICO :lJmp'c: de amplitud

simpk de amph,ud

y

les,

j~ + k'ro k

x. y pc:nodo

) periodo

2Jt(k.

u/k.

APLICACIONES MOVIMIENTO

DE UN SISTEMA

DE LAS ECUACIONES

139

LINEALES

COMPLEJO.

S. Se hu colocado una cadena sobre una cI;¡vija pulid3, colgando. de un lado. 8 dm y. del otro. 12 dm. H;'I)"'11'el tiempo en que 13 cadena tarda, al resbalar. en caerse b) si el rozamiento es igual al pese de I dm de cadena.

a' si se prescinde

del r02:Jmiealo

"

y

I m

":

(1) Sc:e ni la masa total de la cadeea vx 1:) longitud (en dccímtiros) de la cadena que se ha de$hllido por la clavija en el tiempo t. Al cabo de I segundos hay (8 - x) dm de cadena en un lado y (12 + x)drn en el otro. El exceso de (4 + 2x) dm en un lado produce una rUCf7.3 desequtltbeadora de valer (4

+

2

x)

20'

mg

S

. e llene. pues,

d'. .d,·

(4 +

Oc donde

y

u-:O.

[J!

I

5

respecto de t,

VCl,

Para r e ü, ;e=-O

.

~

10

Derivando una

g.x .. 2g.

o bseo

2z)~

1. x

lruegrendo

1.

v

2.

•

Lueg_oC,:

•

x •

y

C~:- 1

f!

arg eh ~ (~ .. 2)

,

é. d.

dt d(~ 1=

In

cJ."..ija,

/iilo :. ..-'ÍÍÍo

••

,

.

-2

2

eh

.ffo

I - 2.

j

x .. 2+~

2

JI!

e

O.

X

:

gx

dx

di ..

28

,

I

In(S •

e,

= O y d:cldl - O. Entonces.

(Aqui se considera la miz cuadrada positiva ya

=o

y

<):\I(

O.

%:

Q.

Luego C, ~ -

.'. .-

f!!

dI

x aumenta con

J(lO g

•

t:

•

dx ¡;

de donde-

Para

e -r,ilo, _

"'le'

Multiplk"dndo la ecuación por ~; e integrando se tiene 10

Para

-- e le r,ilo,

x

Cuando se han deslizado x - 8 dm por la Svlu(';Qn

In 2.

y

o bien

ln(z

l.)

~ .. 4.z * 2 .. vz· x",

ln

c,.

) +

2+~

como antes.

2 (2. • 3)g.

d"

.• Mu ltinli hphcan d o por dx. di e mtegranuc

Para Entonces,

t

~

:0. x:O

y

11

S(

=0. luego

. nene

el

:0.

y

dx dI

o

de

•

~

dx

.;;r;J;

APLICACIONES

140 P!.f¡¡1

(

•

o.

x

P-.,. .c • l. 6.

»

o.

I

•

Luego

(lo

VI

DE LAS ECUACIONES

e, • - ~-¡ f!)n ,~

In 19·

.v'22

LINEALES

P!

t.

2

ln -(x. 3

oc,

3

Un .bllono le da:hu ssn roamtc:nlo I lo tarJO de um. "l· nlll recta dt mau dcsprceiable cuando a. Vlrllla ,.,.. con yclocidld .naullr conSUl,ntc t.(J alrededor de su punlO me-dio O. Determinar d movimienlo ti) si el abalorto 01' ¡ni' C1il'~lcnle en reposo en O y b) $1cl ab.'dono ellÚ. in~..almcnlc en O mOv1!ndosc con velocidad tl2w. El oblllorio está a ,Y unidades de O en e'lnstante t. Sobn: 61 "CH)an dos fucru&!i, 1) gravedad y In (venA centrtfUli mwJ,v que aCtúa a lo largo de lit wrilla dir1&léndose tUtCU' .fuen de O. Cuando la "arilla haya girado un An¡ulo (lit. la componen le de la fuerza de &I'awd~d • lo 'ariO de 11 varilla Icndr¡ por magnitud ~ sen WI. estando dl"&ida h¡clu O. Lue&O

11,

.-

•

Inlf1'1ndo

d',

dI...

dI'

dI'

1)

i

__

.....

_&.5l':nwt

•

6

2)

I,l Paru t .0. EnlOl'\oCts.

x

-o

y

el" c~• o

v =ü, de

e," -c? : - ~

1),

• _ JL

Sh

2w' It,

Para t • O• .c'" O

y

ti:

g/2t.J.

el-c,.o,

Ct-C,·o.

y

,

40Il

..

,.~2

sene r,

~

.

RESORTES. 7.

Un resorte. para el supcnor. Al extremo el siitema se tira de curir el movimiento

que k _ 48 kgtdm. eudp Yerta:lmen1e 1e,uendo fijo su extremo inferior se sujeta una mua que pc$I 16 k,. Un. ve%.en equilibrio la masa h.ac'¡a abajo haciéndola despllur 1/6 dm y se saetta. Disresultante de la masa despreciandO l. resiStencia del aire.

Tómese el origen en el «n1(O de gravedad

librio en el nltud I csla

del sittema. y sea .r , positivo si se mide

de la mllt..a una vez conseguido el equi:.b:ljo. el delílf)1JTJlmicnlode la masa

haCia

tjempo l. Cuando la masa está en equilibrio la ruer'la del resorte es igual en mag• IJI fueru de gravedad. pero de sentídc opuesto, La (uena neta en el iOS(l'tnte ruena del resorte -k~'(correspondiente al dC$pl:t~3mjenlo x de la masa. Se tiene.

putl. ,..

- 48,1

de donde

I

9Gx •

O. tomando el valor hipo1ético,

-

32 dm,/scgl•

ArLICAClONES

J9ó

Inltlf'lndo • .'r - CI sen Orrivando ("uando

una

VCl

rCipcclo de

O•• '( - ~ y

I _

I ..

eJ

DE LAS ECUACIONES UNEALES

../96/.

COI

1, r

~; -

esto representa un movlmlcnlo

(OS

e, - ~. C

O entonces.

'1 -

.j96 (C,

.f9i, 1s «

O.

I

tren

el

I

6
...f96,).

J% t.

arménico simple. El perlodu c~ ~" seg, lit frecuencia es ~ c.elo.lscl y v% 2.

I

li, amphlud es: {; dm.

..

RhOlvCf el Problema 7 SI el mecHo o(rett unlll resistenei3. 'k,) ¡,ual • o) ri64 y h) 64('. donde

It

se C"prc$I cn

dm/.. , 16 (/'x

"1 Aqul -

-

- -4S. _.

1: dI'

d"x

I ,1.'( • 64 lit

dI}

I

+ ñ O + 96~<.

(O'

Ot-nnndo una vez rtSp«Io ck d..

;¡; Cuando

CO$

9.81 +

,1, <1

96." - O. Empleando

la notación

D.

e, 'C'n

9.8'1.

l.

r - , ••.• " .. ((9.8e, - O.OI56C,)cos

t - O. r - O y.'

11.(

+ 9.811](D - (-0.0156 - 9.8i1)x - O.

[O - (-o.olS6

\ _ ,.-G.ClJ~"(C,

I

+ 32

9.8<- (9.le, + 0.01 56C,)5
- 1/6. Entonce s, e, - 1/6. O - 9.le, - 0.0156C,. Y e, - 0.OOO26S.

Luego

,T.

(O-n,QUiN(~COS

9.81'" O.00026S sen 9.S,).

9.8 E~lo representa un movimknto osc:,lltono amortiguado. NÓIHe que l. frecuencia = 21t - 1.56 c:idO$/IC" se ClonSCf'\'a_ constante durante d mo~'m.c:nlo. mic:oltaS qUt" la amplitud M cada ord.ación «dente

a QUsa del f..aor

de amon'&\I:am.cnlo

,UamJCnlO es l. Será 2/l cuando ,..... OUttr O sea. después de h )

I

= 10

,.- .... ,.., En d InJlanlc

2/3,

o sea. dc$poi:s de

I -

, _ O la mapilud

es mrnor que la peedel (actor de: amortl'

26 se&- Será Ifl cuando

t>",O•• I) ..

-

1/).

SC'g.

' 16 d1x (1.'1( Aqul - -r. ...-48.\' - 64 _. 32 ar d,

(D' + 1280

de donde

+ %}<

_ O.

Integrando. Denvando

Cl•

una vea respecto

Cuando, = O. x - 1[6 Y -0.001, Y

de "

It -

O. Enlonoes.

e,

+ C-: - 1{6. -0,76<", - 127.24C: = O.

el -

0.166.

El movimiento no es vibratcrie. Después del dcspla:tamicnto inicial, Iu.m~~ se mueve despacio hKti la ,ición de equilibrio a medida que t uumenul.

ee-

142 9.

APUCACIONES

DE L'S ECUACIONES

LINtALES

Resohw d Problema 8D si. Idotmú. al $Opoot del resorte se k da un ¡no.. vsmeeto J' - C0 4, dm.

/

1..1-..,.--

Tómese cl erigen como en el Problema 8 y sea x el desplazamiento de la masa después de t $es.und()~ Conlo puede verse en 13figura. (1 alargamiemo del resorte es (.1' - r) y 111fuerza del resorte es -481x - ,,) _ -48(~ - cos 4/) kg. Por 11II1Iú.

de donde

Integrando.

t'

X"

=r Derivando una

,,=

G,fl'''(C1

CQS

".0'.'"((.',

COS9.81

9.81

+ C2

sen 9.81) + D:

+

sen

el

x ..

+ 0.0019 sen

9.8/)

_ o.olS6C,)C;o,

9.81 - (9.BC,

+ -=

+ 96

D~2

4t

+

cos 1.2

41

C()$

4/.

respecto de t,

\'C"Z

,-o··""'[(Q.8C,

Cuando,

+

+ 0.0156(-'1><"

0.0076 ('os

4,8 SC'n 4[.

41 -

O. r - O )' y - 1 + 1J6 = 716. EnlOnct'S CI - -1/)0,

f"-·...,..(-O.O)))

9.81)

el

=

-0.0008. y

eos 9.81 - 0.0008 sen 9.81) ... 0.0019 sen 41 + 1.2 ros 4,.

El movimiento COnst3 de un movimiento arméejcc amortiauado que gradualmente se: desvanece ((enómeno transitorio) y un movimiento arménico que permanece (fenómeno ee régimen permanente). Al cabo de cK:rto tiempo el único movimiento efectivo es el del régimen permanente. Estas oscilaciones del régimen permanente tendrán un periodo 'i un:. frecuencia iguales a los de I~ (unción de fcrzumiento .v = ces 4/. a saber. un periodo de 21f/4 .. 1.51 ses 'i I,Jnu frecuenda dé 4/21t • 0.631 eiclos¡'~8,

La amplitud es JrO.OOI9}1

=

+ (1.2)'

1.2 dm.

de 2.5 cm por haber suspen(hdo de él una OUS3de 20 kg. Al extremo = 4(sen 2t + COS2,,) dm. 'lallar la ecuación del mOVlmM:nlO pres-

JO. Un resorte experirnenta un allrpmienlo

superior del resorte se le da un tnO\·,ml(':llto y cindioendo de la. rtSislencia del 3irt'

Tómese d origen en el centro de gravedad de la tr\aSól cuando csti en reposo. Sta x eí desplazamlCftto de la masa en el tiempo l. La v:anooón de longitud del resorte es (.,. - ,v).I:t constante del resorte: es 20/0.25 - 80 k,/dm y la fuerza nela del resorte C$ -W(~ - J'). Se tiene. pues. 20 J2X 32 di! ... -80(x - 4 sen 21 x""'

Integrando. ~omdo

una

el

\'tt

r =

4

(OS

r..;o


rr$pCao

r..;o

-"¡I~OCI

Luego 4

=

Por tanto.

x -

12S -31 • CI -0,13

•

-,f ... 128x

at

12$ 31 (loen 2,

+ COS

-- 5J2(scn 21 + eos 2/'.

21).

l.

-

- O. s - 4 ., r' • O.

+

~ C2 sen '-"128 {..

sen JIZ8t

Cuando'

• C.

+

CO¡¡ ,,1281

¿l.'.:

de donde

2/)

r,;;

-0.129;

<.~O$ j128,

~

+ .,¡ll.8C1

Y ,,128

-

Q.73 sen

el

I

CO$

,,/128/'"

256 • O. el 31

256 I-Sl:n 21 +C'OS lI)31

--

-0,130.

ji2R, + 4.13(54.:n 21 + éOS 211.

APLICACIONES

11.

DE I.AS ECUACIONES

LINEALES

143

Una m3S3 de 64 kg se suspende de un resorte para el que k_50 kgtdm. con lo que se interrumpe d estado de reposo en que se encontraba. Hallar Jo posicior de la masa al cabo de un tiempo I si se "plica al sistema una fuerza igual a 4 sen 2,. Tómese el origen en el centro de gravedad de' la masa cuando está en repese. La ecuación de movimiento será d},' o bren

Integrando. Derivando

s

= el

ces 51 +

una vez respecto

de

el l.

= 2 sen

+

25x

SI

+ - ces

d/~

2,.

?

sen Sr l'

=

+..:....

21

-se!

sen 2/.

sen 51 +

se! ces

4

2/.

21 Empleando

las. condiciones iniciales x = :0:

E.]

=

o. ,,'•

O Cuando

I

= O. el

= O.

el =

4

-105

)'

-0.038 sen 51 + 0.095 sen 2,.

desplazamiento es aqui Ia suma
d~.,('F(7J/C'S.

12. Al suspender una masa de 16 kg de un resorte para el que k = 48 kgldm se interrumpe SUestado de reposo. Hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime un movimiento l' = sen ...(i;. , dm. Tómese el origen c:n el centro de gravedad de 13 masa cuando está en reposo Ji represéntese por x el despb¡. zarnicmo de la masa en el tiempo t. El alargamiento del resorte es (x - y) )' la fuerza del resorte es -48(x - y). Se tiene. pues. - 48(x Integrando

-

sen 'I'3g ()

o bien C,

sen

v3g

t

-

;

tI3C

Emplealldo las condicicncs ioiciales s - O. l' _ O cuando 1-=0.

t

el

ces

13¡

t.

= O. e:t = t

y

El primer término representa un movimiento armómco simple mientras que el segundo representa un mevimicnto vibratorio COn amplitud creciente (debido al factor 1). Cuando 1 aumenta. la amplitud de la oscilación aumenta. hasta que se produce una avería mecánica.

13.

Una bcya cillndrica de 2 dm de diámetro está en un liquido (densidad 62.4 kg/dm.\) de modo que su eje permanece vertical. Se ha observado que si se empuja suavemente 't se suelta tiene un periodo de vibración de 2 seg. Hallar el peso del cilindro.

Tómese el origen en la intersección del eje del cítiodro y la $uper(.c5edel liquido cuando la boya cstá en equilibrio. y considérese OOIUO positivo el sentido hacia abajo. Sea x (dm) el desptazamierno de la boya en el tiempo l. Se sabe. principio de Arquímedes, que un cuerpo somergído. parcial o totalmente. en un 8uido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del Buido que desaloja. Luego la variación correspondiente en 13 fuerza de Rotación es 62.4;:(1fx y

donde W (kg) es el peso de la boya y se toma como valor de g. 32.2 Oll'l/segl.

APLICACIONES

144 Inte,rondo.

e,

••

IiCn 12009"/~

I.AS ECUACIONES t

I

(:,

tOO

20(W/a'>09

2:rt

Con el periodo e$

oe

•

LINEAL6S

12009",",' t 2.

Ir.

•

2009

12009n/W

• 640 k(;.

•

CABLE SUSPENDIOO. 14. Determinar la (orma que adopCa un cable uniforme. suspendido de Sus dos extremos. y sometido de lonc;itud.

únicamente

a la acción de Su propio ~o.

Ul

kg/m

Elijansc: los ejes coordenados como en la Agurtl, con ti origen en el punto mil...~jo del cable, Consideres<: la pal'1t entre O y un punto Vltriablc: P(x, y). Est3 parte está en equílibrio bajo la aeclén de 1) una ruerza hontontal de magnitud H aplicada ti' O. 2) la tenslén Talo 13r80 de la tangente en P y 3) el peso IV de OP. Como OP está en equilibrio. las fuerzas que actúan horizontalmente h3cia la de~ha deben ¡guaJar, en magnitud. a las fuerzas que actúan horizontalmente hacia la izquierda. y también rus fuerzas Que actúan verticalmente hacia arriba han de igu.alar a las que actúan verticalmente hacia

"

abajo.

¡

Il.

Por tamo.

T ces

e .. 11.

Ahora bien, Hes constante. de OP. Luego

;

TscnS.If, debiéndose

d'y d.
••~

Pina resolver la anterior

Integrando

=<

Sh

/Id.<

escríbase d_" _ p y se obtiene dx


! ¡¡-;;;

d.<

11

Il'

-¡¡ x dx y

=

o. p

~ 11

y

H

¡¡-:-p'

'! dx.

H

_ O y x .. s, l' = p.

%

-( eh •

....iL_

d. donde

p

entre los limites .v

•

W = es. donde s es la longitud

• d,

1 dtt'

entre 10$ limites x =

dy

a 111parte OQ del cable, mientras

11 d.<

ecuación,

"'8 Sh p

Integrando

•

Ig 9 = d_l • If _. d.< 11

y

•

11

%

-

Sh

~ x, 11

= O, y

= O y s: _ x, )' ..

1),

una. catenaria

j',

Si se hubiese tomado el origen ti una diM
1

APLiCACIONES

DE LAS ECUACIONES

145

LINEALES

VIGAS HORIZONTALES. IS.

Una Viga horizontal

de 21 m('tI'OS de longitud está apoyada

en sus extremos,

Hallar la ecuación de: su curva eíés-

rica y su máxima deformación vertical (flecha) cuando tiene una carga uniformemente distribuida

de w kg/m.

z

l>:__J\:p
=1

-

pO

y'-O

".

.1

%

.1

Tómese el origen en el extremo -izqulerdO de la viga las coordenadas de P. un ponto coalquiera de la curva Considérese el segmente OP de la viga. Eo él se tiene 0, ax metros de P. y la carga wx kg en el punto medio se puede. escribir

con el eje x horizontal como en la figura. Sean (x. y) elástica, un empuje vertical hacia arriba (reacción) de IDI kg en de OP. a metros de P. y como El tf1yldJil - .!tI.

i'x

2

El d y dx'

1)

Solucwn 1,

Integrando

En el punto

1) una

..ez

.

=

El dy dx

de la viga x _/

medio

... l~ _ :n(;x)

u,Lx _ 211:1X~.

$

~ Wd;t2 _ ! wx:' 2 6

:

)' dyfclx - O. Entonces.

.. el'

I

I el _ --;:wJ' y >

2)

S Ietegraodc

Ely

2).

••

3)

]

Jntegrondo 1) dos veces.

Sotución 1.

= )' = O. mícmras

En 0.;( y el =

1

-'3 x/'\, como

Ely

•

! .u~- 2. 6

111%"

..

24

Cl,,z .. C,¡.

que en R .. '( = 2/. Y = O. 'V oon estas condiciones

de los limites se obtiene

antes.

La flecha de la viga a una distancia x de O es-tá dada por medio de la viga (x = /) Y es, según se puede deducir
w_(4t,"

_

-y. La

flecha máxima

tiene lugar el) el punto

¿'l _ 8(')

24 El

16.

Resolver el Problema lS si 3C.tU a. además. una carga de W kg en medio de la viga.

Ii •

0<

e2 = O

%

el

146

APUCACIONES

DE LAS ECUACIONES

LINEALES

Elíj.uc d sistema de coordenadas como en el Ptoblcm. I S. Como las fuerzas que actúa.o sotfto UD SCaaxo. lO OP de la viga dific:ren según que P esté a la izquierda O I la detu:ba ód PUDIO medio. bay que <:OOACknr dos_ CUaodo O < x < l. las lUcn>.o qu< octúa • ." OP lOa .... empujo hacia uriba (reacá6a) de (d + !W) q ee O•• x __ de P. Y la <arIO .,,, qU< ... 60 "abojo en d pcntc modio de OP •• !x _ de P. El momento de. fIexióo es. por tanto,

1)

(.1 + il)~ - n(¡.z)

11:-

1.&.

••

11& - in1.

q en

Cuando 1 < x < 21 bay una Cucna adicional. l. carIO W de P. El mOmento de 6exión cs. pues, 2)

M

:

(11ft ..

tl').t -

Ia'.z(;x)

-

"(x -O

•

.1 pun,o modio de la vip. a (K - I)_ros .Ix

+

Ta.nto ck 1) como de 2) se deduce, para x - J, el va.lor del momento casos se pueden tratar al mismo tiempo poniendo par2 1)

.lz .. tl% ..lr .. ilf.t.

y par. 2}

-

- i .. x'

in~

él d y dx'

•

I

•

~lz _

21i'%' -

.,Lx -

- !f(x- ,)

2

3)

•

p..' ;: lF(I-.)

3) dos veces,

Y tC1ucndo en cuenta

E17 *"

..

!.u' _.!. -s" S :u

;r

11'1.

En10notS.

< I Y d inferioT

1. "
¡

..

12

x _y _

O cn O y

x

f

o:

al I < K < 2L

! J'lzf

= O en 1

l

3

-

24

y

y

..

R.

1 1 - - Wl • Entonces. 2

1."'II-xl' 12

... ..!.. 12 "'~

12

• 5.... ,.

17. U.. vip borizoout de I meuos de Ioagitud _ cmpo. &.rada en un extremo y tibee en d ouo. Halbr la ccuac:ióc de SU curva dá$tic:a y la flecha mix:im:a si la C2rp un ... re>m>emeftl< reportid. es .. i(g/rn. [N.t. <1<1tTt>ducu,,, Las vips de: esle tipo se denominan minsJllas.) Tómese el oñgc:n en el extremo fijo y sean (x. y) la, COOrd=ada5 de UD punto P. Con!OOé~ ~I se-¡men,o PRo La únlca fuerza es el peso u;(t - x) kS en el punto medio de PRo a 4(1 - x) metros de P. luego 2

Eld y • -w(l-X).'(I_1) dx'

.(.0.2_0: dx

Inle¡ra_ndo eX nuevo.

• -i.'(I-x¡'.

Cl:_!.L~ 6

y

c.,.

...!. .,)

24él

EnO:

,

e,••

1. I'
•

•

•

= 21. 7

el.

y

1

Los dos

• ¡lfl

1.

..-

+ !WI.

ilt(I-.l:)" irl

al caso O <

las cood:icio:ocs de: los limlltS

7UZ - r(s - L).

de flexión M _ tw¡l

la- - 211%1: • iW(I-x}

••

con d acuerdo de que d sigoo $Upeñor conupoDde In1qtaDd.o

t,::.: -

tmegraedo una vez ,

El!!

dx

• .! S

w(I-1l'

-

El

.!- .,'. 6

dy

d; •

."S - 6EI'

•

En o:

~

y • O~ Luego

APLICACIONES

oe

e~

foly

..!.

lAS

.

w lit.

24

ECUACIONES I .,el-.r) 24

.

LINEALES 11

- -

I G

-,-.,l

147

I

JI

..

I 24'

-.,

• )

r • StCndo en R (x - 1) 1... mJalma deformaCIón vertical. se tiene .. y.:lx de un mlnlmo relativo como en el Prcblema valoO;Sx:Ó/.

•

16. sino de un mínimo absoluto que ocurre en un extremo del ínter-

18. Sea unA rMMula de 31 mc11'O!lde longitud. cuyaJ carps cargas de IV kg aplicada.s cad:ll una en 1M puntos de la curva elástica y la necha máxima.

son UM c:up

Que distan

uniformemente rcpa.rtit;b ck lO k&lm y dos / y 2/ metros del extremo fijo. Hallar la ecuación

:J---.----+---,(3I-.j-1----21-> ---1--1

11'

TómeK el origen en el extreme empotrado y sean (x, y) las coordenadas de un punto P. Hay lres CilSO$ a coMiderar k&Ul'l que P esté en d loler\'sJo (O < x < 1). (/ < x < 21) o bien (2/ < x < 3/). En cada caso se uo· l:i:z:ari d sepncnto de la derecha de la Vlp pan. c:alcubr los ttes I'D()(I)et1tos. ee tkxión. Cl.U1.ndO O < x < l (P _ PI ec la figura). hay U'e$ (uenas actuando en PI R: ti peso (31 - x)NJ ka considera· do ene! punto medio de P,R, a !(31- .\")metro!! de Pt; 13 carg..'l W kg. a el - x) mt'lrO$dc Pl' y la c::arp Wq. a (21- x) metros de P,. El momento de flexión rt$-J)OCtOde p. es

•

y

El!.1 dx'

•

_ ,Il>Cll-x)'

- W(l-x)

el • - ~ .1'

-

... W(21-x).

Inlesrando. En O: x. O

y

dr/dx. O:

El ~ ",,8

a

ti,. • - ~ En O:

1.Y·O;

luego

luego

! ..(3!-x)~ .(31-.1)"

.. !W(l_1)2 2 -

TI e, ~ _»-l 8

¡

.(l_~)'

~

..

3 , -It',

2

% ,,', .. ~W(2'_x)1_ 2

-

¡

~wIJ 22

1'(21-..)' - ~ .1))(

y

... ~It'l'.

-

i.,,'2:%

a

c..

148

APLICACIONES

DE LAS ECUACIONES

LlSEALES

~'1' 2 • 1< " < 21 (1'

C'uando

1', en 13. figura). d momento de: ftcx.tón ~o

_ ,.,(3'-x)' -

jI•

El ~

,~')

"y

Cuando x - l. qlX

e, -

$)

y A)

w(3l-"t

2"

Cuando 2/ < .v < 31 (p.

-

.(2~-,li).

_ "(21_r).

! »(2' 6

ct.sr d mJ$l'110v:úof

."nI0

-,6)'

'n((&r.andodos~'(Ctswoblt(nt

• ~:a

c..

•

para la ftccha como

p;:lt3 la.

penebnUc

do

b'

por lo

escnw:

Se puede. pues.

-1. ..(31_1.)·

f/y

HI

- ;w(3l_,.)1

'

2.

IKIXn qur:

y C.. - ej.

CI

•

..- ~

y

de P, es

_ !Jt(21_a)~_ 6

~.')A._~rf2 :2 2

....

21.,". 8

~"'). 2

p) en la figura}. el momeete de flatÓn respecto de P, es

,

El J y

y

tinlOncc:s.


•

el

Uy

I

•

- -.(3 2'

1'- que. cuando

le -

CJ ..

A~ 8).

21.

1

• _A' • ~ '(,,,.1, tt(OC'

e."

o:-

qUC' mincidir con B) ~nlo

p
,.,.

ta ftccha como para la peDdaec.rc.

... b forma

o ~ .. ~ t. y

•

-

Ir,

(x

...

61:1

61...

,

.. 31

'1

lo

,

A.

I ).

¡.

21

La tIccba rnhuna. que IICK hlp, m R (x

= 3/).

C$

-y ..".-

Nótese qut: la cun"J;dUla esd fonnad:it por- a.n:os de: 1m $U pun¡o de unión es ti misma •

aHYU

< ;r ~

I • -(81.1 •

1~,,~21.

31.

,,1"' ). ,

81:1 distintas; b pendientt« c:acb par de at·

ces tn • ,.

Una ~tlga horizontal de 'InetrO$ de longitud esta empotrada en ambos extremes. elástica )' la flecha máx.iJlUl. si llene una carga uniformemente dlJtnbuMla
Hallar la: c:roactón de la eurva tglm.

JI)

• p

T6Tne$1!d oneen ~n el CXH'emo de I.a izquierda de la v1ga )' .sa P un punto de coordc:nadu las fuerzas exteriores que KtUan en el segmento O, soo un par de mommto dc:scooocido porramsento en la pared. cuyo efecto es el de conservar horizontal la en O: una reaccaón. hacia arriba.. de 1",/ tg en O. u s metros de P. y la carla wx kS que xtúa hacia abajo en

"'g;!

de OP. a

!x

metros de P. Se puede. pues. escribir:

ú.) ~ K dc:btdo al emcmpu)C vertICal

el punlO medio

-

"'P~ICACIONES

DE

~s

ECUACIONES

149

~INEAlES

d'

-f .

El

IntetJ3ndo una

\'CZ )'

cmpklndo

dor

K •

1.4 - 1.. •.

..

.~ - O. J}'/dx - O en O. tI ~

En R: x = 1, dy/d.y _ O )'1 que la viga C'SI.;í.empotrada

K • Integrando

y empleando

Y

JI

12I IIIl •.

en CM: punlo.

y

O en O.

y

10.

Resolver

c:I Problema

Entonces.

19 s. adCJ11i$ ¡cilla

..' __

1

(24_1

t

-x 2 l.

2< el

un peso W kg en el punlo

medio de la

Viga •

•

Empleando

el sistema WOf'denado

del Problema

19 hay dos casos

considerar:

It

y desck x = ;' hasta x _ 1,

oesde

s-

O

boa". :t •

11

y.

hra O < y <- ji las fuen:as e...tenorcs que actúan $Ob(e d sqmcnlo de la ItqUterda de: PI (.r. son: un par ck mornml0 óescooocido K en O: un ftnpuje lucia arriba, rc:aD:16n. de T W) k& ea O. a x metros de PI' r la carga Kl,a: kg.. Ji !:t metJ"OJ de PO( lanlO.

le...,

'1'

Integrando

una vez '1 ernpleande

x ... O. dyjdx

= Q en

O.

A') tmegraede y empleando

Al

T •

El,. Para !I < s < / hay además

)'

•

_

O en O.

1,151"., + -.~ 2 12

- ~

-

-

2<

WI

..

-

12

el peso W kg en el punto modtO de la vip.

1'... a (x - !/) metros de P,. l.uceo.

Jntegr ..ndo den veces.

ISO

APLICACIONES

8')

EIT

e

!Xx'

•

2

2..

12

DE LAS ECUACIONES

_Lx' -

LINEALES

1._ ... ...!.. .... ' - ! "(x 24

Parax - JI los valores de f )'drfd., deducidos deducidos de 11). POI tanlO. ('¡ -

12

6

... il)'

•

de: 8') deben colI'K~ldjr. resp:crivamentc:.

e, _ o y

c..l .. c,. tos

con

coflUpOndltnles

Bl Paca determinar

l/. áyjdx =

/( h.ága~e v -

O en A '), ~nlonco:.

x._..!.. .. ,,_!

y

12

8

..l.

SUShtU)tndo en

A' r BL

El]

---e2""

]

...1. .,,2 ..2

El]

• •

12

_W_(2'",' 24 El

_

,S'.)

wl.x'

,2,x2

w , , • 48El eu - ,1. ).

1 - 2.

_ z·)

.,, ,

, ..L..el' 48 &1

... fSl'x

__

21.

0<

~

Je"

il.

r ~

1 ...!. .It:r' - -lI'ex-tL) 12 6

la tkc:ha mbima. que tiene lupr en d punto maho. es -'1

.,

,

..!..

24

r

•

l',rt _

-

2. El

,

W",' - !. 16

9"" _ ... '). ~ __

1

384 El

i1

~

.1

y

• l. (

• , (.1 ..21" ).

Una VJga boritootal de I MeltOS de ton&J1ud está empotrada en un extreme y apoyada en d otro. al Hallaf la «U3ci6n de: la Curva c:lasuca ji La v_ .... tjene una carga. uniforme w k&fm '1 soporta un peso de W k8 en el P\II'HOmedio. b} Averiguar

el punto

de necha máxima

cuando

1-

JO Y IV

10tl".

s

Tómese el ongcn en el c:JtII'(1UUempotrado

y sea P un punto de coordenadas

(x,}').

Hay dO$ C:lSO$a con.

stdcr:tr. Para O < x < !/1::u (ucrt.:l$ exteriores que actúan en el sqmento PI R son: una reacción. empuje hX1~ Itri. desconocida S leS en R•• (/metros de PI: Ja carp ,.;{I XI kg en el punto medw de PIR •• JV _ x) melros de PI' y JV ka.. a (4/- x) f'ndros de PI> Lur¡o •

.-r,

N.

El :;

Integrando

•

•

5(1-.) -

- wei(-z)

.(I-.)·;(I-x)

una vez y lomando

10$ vstcres

x

= O, d)'/rJx _

• $(I-x) - *,"(1_.)' _ O en O,

'ell-.l.

APliCACIONES InlC',nndo

o en

de nuevo '1 Ullh/..lndO \

.

Uy.

A)

DE ~AS F.CUACIONCS LlNIlA~I.s

O•

l. ) t ,,1 , 1.' 1,1.2 -S(I-x' - _wll_.) - -.1;1-.1) • I-.~I - -.1 -

6

2.

6

2

6

8

,,).

P.lra 11 < x < 1 las (\ICr-t(lS que .iC~O""1en 'lR son el empuJe dcxonocldo 'Y 11, c:UIiltl lAi(/- ,r} k8. a 1{1 - x) nletros de P1• Luego

J'

1.1 ~

•

J.'

ISI

S{l

-x)

1

t

S

..

1,

- -.~I • -.1 • -., . 6

2.

S en R.

-

!l

••

ti -

x) metro. de P,

y

8')

1/,.,. valo res

P... , _

el< El,

vlllOfClJde las connllnto

B)

y

dr

F.I 11, dados por A) Y 8')
correspondientes

De aqul que

de: Int("¡ración hallada'" .1 dc1crmuuu A).

e, ye,

pOI

ee

8')

,mpn

1""

tanto, 8') com:t 1I rorma

f./y

Para determinar S, ullllcc:~ \' I~

l."

Haciendo este SUS111UClón en

U/.

,

1

__ •• tl

,

(~lx

tt

- 31 ..

-

O (\!lllorescorr~lipoodtel"C'1l en el punto R) en 8); entOfloe.fi.S.

!..'/

y 8).

A)

l' ) , --(11...- - 9t.,K l. 96 El

" 2..)

O<x<j;I

·

I

•

~

• &1á 010.\1'0 que la Ilccbu IU;\ll.lma se presenta a 1:.derecha del flUnto mcdiu de la viga. Cuando 1- 10. W • IOtr. la última ecuación se conviene en y

•

• 25:t' .. 450x'1 - 6000.. ' 10000).

_"_<_2l"

~81:1 dI' Como 4.'(

O en el pun10 de: ftecha IH,á):ima. se r~lvcrÁ 8KJ

liS OC'Uac:ión

_ 15_..2 _ 900% .. 0000

• O

TtC'nc la rait.!nl x _ 5.6. Ipro."Clmadamcn1c. As¡. pees, la fkch .. mÚlma se PftslttlUl en d punto <¡IX c:.ai a S.6 metros. aproximad3mcnlc. del e.'remo empotrado.

CI RCUITOS 12.

ELECTRICOS.

Un círcuuo eléctrico consta de una mductancia de 0, I benncs. unu resl)ICIlCi:¡de 20 obrmos y un condensador cuya capacidad es de 2S mictofntndi()$ (J mscrotaradio = 10-11 (:u-:,di~). lI:allar I~ carga q y la ecmerue I en el tiempo l. siendo las condicionrs inlcmlcs q .. 0.05 cuíombioe, ¡ ... dq/ót _ O para I = O. b) q 0,05 eulorntnos. ¡_ - 0.2 amperios par.ll. C=2SxIO f O.

a'

Como L = 0.1

R"

3).

C.

...

25'10-'.

E(e),.

o.

, í.

d q

~

d,' se reduce: a

d'q dr2

C d

+ 200 _!{ dr

•

•

400.000q

E(.)

:

O.

R .. 20

Ohmto~

••

152

APLICACIONES

Derivando

una vez con respecto

i = dq

=

dI

a)

a

las condiciones

Por tanto.

q

=-=

Empleando

1).

para

= O. A

I

= O.OS y B

-0.2

COS 624.51

que q t i son funciones

= -0.2

j

para

f

= O. A

= 0.05

Y 8

= 0.0077.

- 32.0 sen 624.5/),

transitonas.

haciéndose

despreciables:

Un circuito consta de una inductancia de 0.05 henrios, una resistencia de y 1,11)3 q =- O.

20 ohmios. un condensador cuy-a capacidad es de 100 microfaradios Le.m. de E_lOO vcltics. Hallar ¡y q siendo las condiciones iniciales i-O para 1=0.

d~q

Aqui

d'lq dI'

de donde

dq

+ 400 di

Integrando.

e=

Derivando

una vez. respecto

= 200..-1·~[(_A

+

0,01.

de t,

+ 2B) cos

400, + (- 8 - 2A) sen 400']. A

iniciales:

=

-0.4)1.

-A + 28 = O. y 8

COSo4001 - 0.005 sen

q'" ('-200'(_0.Of

Bntcnces.

eolOOV

.---11 If---,

. ') + 200.000q - .000.

e-2oolCA ces 400, + 8 sen 40(/)

las ccndicioues

en seguida.

q _ 100 100' 10-<>

dq

",2 + 20 di +

0.05

Empleando

-/39

624.51.

iniciales q = 0,05.

= ('-100'(

l'

',11!:!.

O,OS

= -= = 0,008.

q ... e-'00t(O.05 cos 624.5, + O,001i sen 624.Sn

y

i-

looj:i9 1).

(J39 A + B) sen

("-'"\)llfO.OS cos 624.51 + 0.008 sen 624.51)

las condiciones

Por tanto.

Obsérvese

100.)39

CO' 100J39 1-

A)

iniciales q = 0.05. ¡-O

i =- -O.32e-100tStn

b)

sen

LlNEA,-eS

I

8-

loo..-·.~[(J39

Empleando

y

23.

= e- 1000'(A cOS I ClOv'39 1 + B

q

Integrando,

DE LAS ECUACIONES

4OO/}

=

-0.005:

+ 0.01

y Aqui i se hace despreciable

lA.

Resolver el Problema

muy pronto

23 suponieodo

mientras que 'J. en todo caso. llega a ser q = 0.01 culombios.

que. hay una Le.m. variable

100
E.: 100 000 200(

En este caso la ecuación

diferencial

es

d'q dq . -d' + 400 J + 2OO.000q = 2000 (Os 200/. Entonces. r: at

q = ("..:oOfCA

(;OS:

+ i

ECr) =

4001

+ B.sen 400/, +

0.01 cos 2()OI

0.005 sen 2:001

= ,.,OO'[(-200A + 4008)cos

4001

+

- 2 sen 2001 + ces 20(J1.

(-20OR

- 400A) sen 400']

APLICACIONES Empicando

las coodiccoes ~

,--e

&

OE LAS ECUACIONES

A - -0.01.

irüciaks:

+ 4008

-200.14

+ 0.01

0.01 ces 400, - 0.0075 sen 4QOr)

153

UNEAI.ES

= OY 8

+ I

-

-O.OO7S. Entonct$.

200t + 0.005 sen 200,


y

, - ('-:OOfr_ro..l: 400r + 5.S sen

2 sen 2001 + ces 2001.

4()()t) -

Aquí las parlo lf3flSJlonas. de q e , se 1'Iacm muy p,onto desp«:ciablt-s. Por CSU razón. si se puodeo ctcsprc.. oar bis panes lnnsilona$ solo es necesane hallar las SOhK'Iones de rqnnen pem'lólJ"ICnte

cos 2001

q .. 0.01

200J2J;:

La frecuencia

aphcada. (V(2sc lamb~

25.

Deducir la fórmula

+ 0.005

sen 200,

t-

y

CM

200' - 2 sen 200,.

c-icJos/sq de las solUCIOnes de rilJlMn pe:rmanerue es ip;Il C'IProblema 2$.)

par a la corriente

de régimen permanente

:1

b rret\llCnc:ta de b

t.c...m

en el c:a.~o de

un eirceuc que contenga una inductaoc.a 1... una. rcs.&Slencia R.. una capaacbd e y umt Le.m, 8.,) €o seo UJI.

t. R ...2(~ Z Z

•

donde

mediante

sen

x: Lw-..!...e.. sen

Wf

X

-

-

Z

E_o Z

ceswl)

z.~

e· Xz-

y a

scn(lol,l

e).

-

/1 se determina

y '--_-{."".)-_..J

, L d q

E .. Eosen.."

• cQ

+

scnwt

dI'

yempk.n
1)

La solución

de régimen

(LD'l • RJ) .. Ve)t

permanente

Eo __ ..="-__ W' • liD ve

e (iR ZO

sen

wt -

pedida

es la integral

CO$ w t

•

wEo coa.u.

P3ftK:ul3r de 1): !alEo

1

COS ""

RO - (Loo - _) ...

o.

X

i

cos

ef

WC)

kn(t.,u

-

e).

x se denon'uf\2 la r",clQJtÑ

del citc:ultO: eual)do X • O. b ampli'lud de: ¡es- múima Cd cimsilO csci rn re· denominada 1... fm¡x-dwtcio dc:1 circuito. lamb.en es Ja ratón de las amplitudes de la r.e.m. y la ecO se llama el énguto de fase.

sonancia). Z. rrieere.

En 10$ tiempOS I por

(lJ1 -

= %(l¡o. 3rt/21D •..•

O _ .. (2. l&{2..

13 r.e.m. alcanza

ma. Asi. pues. 111tensión candllct

I~ corriente

amplitud

0/2+830/2+8 = --_. --_

.• este es, cuando,

w

.,

m:blma. micotm. que en Jos tiempos dados _ •... la comet\tt alcanza amplitud mh,a.

por un {iernpo OJru. o sea. la comente. y la tensión cstin deCasadas

un ónguló O. Obsérvese

que O = O cuando X-O.

esto

es,

IJ • O ii hay monancia.

154

APLICACIONES

DE LAS ECUA.CIONE$ LINEALES

26. Un circuito consta de una Indactancía L. un ccndeesador de capacidad e y una te.e. 1:; conocida como un oscilador armónico. Hallar '1 e i ccacdc E = Eo COS wf y 13S condiciones iniciales son q - qo. ¡-l'o para 1 = O. Como

= O la

R

ecuación- diferencial

Eo L

es

C eee er •

Hay dos cases a considerar:

f-

(e) .,

,

(b)'"

rct. 1 A oo. _

q

e)

t

8 sen _1_<

+

rct.

rct. 1

•

A ces --,

rct. $C,n

-'-(-A

y

rct.

I

Empleando

__

&l

t

foCIAI sen ce , l-t.?CL

lCi

A:o

iniciales:

{o)t

1- ~7CI..

+ B cos __1 t) _

(

cos

D' + VCL

• .2sf__ COS

rct.

rct.

las condiciones

t.

B sen -'-(

1

1

f!1

+

y

8 •

./Ci

'o'

Entonces,

~

•

EoC

) ces _1_ t +

1- "?CL

lCi.

q

¡

y

lO

, rcr

cos --(

se"

_1_ t

+

ICL

-

b) Aquí

~ cos e e , L

9

Entonces

y

•

Empleando

Entonces,

y Obsérvese cuando

_.

.. A

I

JCi.

destruirá

(11(-

las condiciones q

•

,

.

COSWl

..

A sen

B senwt

ClH +

iniciales:

A

B coe

=

qo

..

~f)

't

eo t n.,

senwt

eo

1 + -(-scn(oJf+(coswl).

2L .,

B.:-

to/w.

90 ces e e ....

que. en b) la Irecuencía

de 13 f.e.m. es la frecuencia

no hay Le.m, El circuito CSl3 en resonancia

natural

puesto que. la reactanca

El

La presencia del término ~ 2L con el tiempo.

CQS (1)1.

del oscilador.

cuya amplitud

aumenta

con

l.

X

=

W -

esto es, la frecuencia

_!. Cw

=

O cuacdo

(:) ..

india que un circuito de este tipo se

APlICACIONES

DE lAS ECUACIONES W'EAlES

PROBLEMAS

n.

Determinar

PROPUESTOS

In Ik'

k

- (r 'C,)' x

2:8.

e

! CO$

=

Se

_

1._

X"

24(e

.;¡;¡;

t

+

t

-,¡-;¡;

Si en el Problema 29 k = I1t Y a do I - 2 seg, cuándo estará

Ó,

• C,

1:

V

= :1

t )

12 p.e¡ :. 36S.76 cm, dceerminar o) la distancia desde O y la velocidad cusn13 pies = 548.64 cm de O y la velocidad que tendrá entonces.

13.15 m. v = 43.S pies/seg = 13.26 mjseg: = 13.4 p;es/scg = 4.08 miseg

Una cadena colocada sobre una ctavija pulida pende 8 dm de un lado y 10 dm del Otro. Si la fuerza de rozamiento es igu~1 al peso de I dm de cadena. hallar el tiempo que tarda la cadena. al resbalar. en caerse.

Sol.

32.

k)

l sen al 16

5

S"J. o) x _ 45.1 pies bl I = 0.911 seg, JI.

-

es

Una partlcul a de masa !tI es repebda de O con una fuerza igual a k. > O veces la distanCia desde O. Si la panícula parte del repose 3 una distancia a de O. hallar su posición I segundos más t~rdt. •

Sol. JO.

»

Un péndulo de: !, pie (15.24 cm) de longitud se suelta con una velocidad de 1{2 radiárVses, hacia la ~n.ea.1. desde una posición determinada por la distancia de lIS rad respecto de la \·cr1tcal. Hallar la ecuación del movimiento. .\'·01.

29.

es prepcreicnat a la pendiente de la tangente.

la curva para la que el radio de curvatura

Sill.

155

3

)1l(11 ..

,rg

12.12) seg

Si el interior de dos superñces csfencas concéntricas de radios" )' ro:. rl < rl, tiene una carga eléctrica. la ecuación diferencial para el poteocial Ven un punto cualquiera entre las dos superficies esféricas y a una distanci a J'

de

51)

centro común es

. -2 dV

dr't Resolver

Sol.

l;'

V. siendo

y = vJ cuando

V~r~(r-r~)

- Vlr1(r-,~)

para

=

r

=

•

O•

r dr

r, Y V

Vi cuando

v = r~.

r(r",-I'1)

33.

Se tiene un resorte que se alarga 3 pulgadas (7.62 cm. si se le aplica un peso de 9 libras (4.082 kg). Se suspende de el un peso de 24 libras 00.886 kg) y Sé interrumpe- el estado de reposo en que se encontraba. Hallar la ccueción del movimiento si una vea suspendido dicho peso al Se tira hacia abajo 4 pulgadas (JO,16 cm) y se suena despeés. b) Se tira hacia abajo 2 pulgadas (5.08 cm) y se da una velocidad hacia arriba de 24 pulgadaS/se& (60.96 ctn/$lt8). e) Se tira hacia abajo 3 pulgadas (7.62 cm) y se da una velocidad hacia 800jO de 48 pulgadas¡'se8 (121.92 cm/ses). el) Se empuja hacia arriba 3 pulsadas (7.62 cm) )' se soelta después. t» Se empuja hacre arriba 4 pulgadas (10.16 cm) y Sé da una velocidad hacia arriba de 60 pulgadasjse-g (JS2,40 em/seg). Sol.

(1)

x:.

d)

x

~cos

:. -

¡

4v'3

COS

t.

413 r ,

b)

~ :- 1 COS 4v3 ( - >13 sen

"6

I e ) x » - 3-eos

'6

4v3t

'" t. 4v3

5>13 - __ seo 12

e) x:-

.Y3(

1

-e

4

~ v'3 sen4Yi't. cce 4v3(+-

3

156

34.

APLICACIONES

OE LAS ECUACIONES

LINEALES

Las earactertsueas de un resorte son tales que se a13'&:I3 pulgadas (7.62 cm. bajo lit acción de un peso de 30 libras (13.608 ki-}. Se: suspende de il un peso de 64 libros C,29.030kg) 'J se interrumpe su estado de reposo. La resistencia del medio es. n\lInericamenle, igual a 8 11:'(/JI libras, Hanar la ecuación del mcvunieruc del pese si a, Comienza a moverse hacia abajo con una velocidad de JO pies/seg (3.048 m/seg). h. Se lira hacia .baj<> 6 pulgadas 05.24 cm) y se' da una velocidad hacia arriba de 10 ptc$/~g.. 5<11.

5.114 e _"

o) x • --

~

sen 2v J4 t.

14

Se tiene un resorte que se alarga 6 pulgadas (15.24 cm) baje la acción de I,In peso de llibr3s (1.361 kg). Se suspende-de él un peso de 3 ¡ibr"$ y se interrumpe su estado de reposo. Se lira. entonces, bacra abaje del peso hasta desplazarle 3 pulsadas. y se suelta, Determinar la ecuación del movimiento SI J I 3 a) ACtU3 en el resorte una fuerza fija - sen (u. S"I, x ces 81 - - sen 8t+:¡scn61 2 4 7 I I h) Actúa en el resorte una fuerza tija sen 8/. - 41)COS81 + 8 sen 81 Sol. x =

•

¡

36.

Sea una men.<¡ula de

fongitud 1 m (viga empotrada en un extremo y libre en el oaroj. Hallar la ecuación de la curva eláSliclt y la "echa máxima si hay una carga uniforme de w kg/1U y una ~.ug:o de W leg en el extremo libre .

Sol. 37.

4"

.. ") 12" --(41~ -61:t

y'

_1

)


24fT

Ir 6El

_(X

5

2

-3L:c ),

Una viga de 21 m de longitud está apoyada en ambos extremos y tiene una car.ga uniforme de u' kgfm. Tómese: el origen en el punto medio (punto más bajo) de. la viga)' hálJes.e la ecuación de f3 C\.IrV3 elástica y de la fte<:ru. máxima. Compárese con el Problema 15.

y

38.

y' " O para

x

t

o.

Una viga de 3/ m de Icngitud está apoyada en ambos extremos. Hay una carga uniforme de 10 kg,fm y cargas concentradas de 1ft kg a una distancia de I ro de cede extremo. Tomando el origen como en el Problema 31. bállese 1:1 ñecha máx.ima.

.

SugttcrK'm:M

S1).1 39.

y"

~ 912

2(T - x

:

I

1.nx = -384El

31

2

) + K{-r

y

- x),

l' + 368"··Z,)

(405.

Un circuito C
=

5<11.

a)

9

,

b ) q :- e

«l.

_~r.

250

-,..

Resolver el Problema

b)

11 (- -tOS 16 (- -tOS 170

l11i'i

SO¡¡;, - --

4150

=

SOv19l-

39 después de sustituir

(} = -0.OI8('-"'~

12.r¡¡¡ -sen SOv19t) 1615

11 + _.

i:

250

44119

•

+ 170(4 ces loor

seo 1001 + 0.014

cos JOOI - 1.38 se-n

l'OS

1001

('_~t

sen 5ovi9r

19

la resiStencia de 5 ohmios por una resistencia

+ 0.005,-9"" + 0.034

i = O.9'8t--.s1• - 4,4,k·.,41. + 3.45

seo ~oli9t)

100/.

sen

100t).

de 50 ohmios.

CAPITULO 21

Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas EN LOS ANTERIORES CAPITULOS se han estudiado ecuaciones difereociaíes que 'lOlo eonuenen dos variables. En éste y en próximos capítulos se considerarán ecuaciones en f.as que Inter. vienen más de dos variables. Si una de las variables es lnckpcncbt:nt.e., bs ecuac:ioOC$soo ecua.
dt

•

A) {

o bien Al)

di

2(l) - 2). {

' (1) - tI)' • "

(0·31.'

y

O.

donde O •

dt

!.

01,

.

)

y

O,

s)

o bien B')

.1 -

dr

.u _

Jt

t

II

1

- (0-11' • 1

(0'2).

{ 4

• (OollJ' •

(D .. 2),,:-

(0.1)1·

O

Y .. 2t • O

En estos sistemas el número de ecuaciones simultáneas es igual al número de variables dependientes, EL PROCEDIMIENTO BASICO para resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinaria,scon n variables depeodiemes consiste en obtener. derivando las ecuaciones d..ac:las. un coojunro en el que se puedan elimina, todas menos una de las variables dopendoeutes. por ejemplo. x. La ccu3ción resultante de la climin.uión se resuelve emooces para esta variable x. Cada u.~ de bs variables dependientes se obtiene d. forma anáJoga. dy Ejnnplo Considérese el sistema A): 1) 2 -tú ....__ d! elt

t C.

4x _,

2)

~. dt

3.% ._

r •

O.

Solllri6n l.

Obsérvese, en primer lug:.r. que la solución generaJ x - .':(1). I 3)

1 d $. -.3dt2

ÚJt

de

•

'(1) de ese sistema 13mbi(n Aldl"xe a

dy ...-~O dI

obcenOl. derivando 2). Multiphcando l' por - 1. 2, por - t. 3' por t. 1 ... nnndo. se obbme J2%

41

,

-"%·-e

01" que lambjén es sa'(isfeclta por .t • X(/). y )'(1). Esta uhi1ll3 ecuación direm'K'W. derivlldas, se puede resolver en "guida: así. &;

)57

estando b"brcde r'1 de sus

158

SISTEMAS DE ECUACIONES

x

•

CO$ t

el

+ C2 sen

f

LINEALES SIMULTAN~AS

Cí

ce:

-

COS t

C.,

"

sen

1

iet.

-

D~ + 1 Para hallar y de análogn forma se deriva 1) obteniendo

,

;)

2~ dI'

'i entre ($13 y las ecuaciones

1).2),

Sin embargo. aqui es más sencillo hacer lo

x y sus derivadas.

3} elimínense

siguiente. De 2) se deduce dx - - - 3.x

Luego ~. solución general.

-(-e, sen' .., C2 ces t

=:

dI

el cos e -+-

C~ sen t - lce,

!

ie ) -

-

cos t

3{C,

sen t

.. C2

-

,

!c )

y

Si se escriben las ecuaciones con la notación D hay una sorprendente semejanza entre los proeedimicmos utilizados aquí y el método de resolución de. un sistema dé '1 ecuaciones con n incógnitas, Esto se debe. romo se ha hecho notar en capitetos precedentes. a. que Se puede tratar a vttes. el operador D como una variable (letra]. &llIc;6n

l. Considérese- el

sistema A'):

2CD-2)x

1)

2) Procediendo

(D

corno en él caso de dos ecuaciones

mente se opera en 2) con D - I

=

á

se deduce,

• O.

con dos incógnitas.

x e y.

se multiplica

2J por D -

l , Real-

.

+ (0-1)]

restándole 1),

(I)-I)(D+3)

3)x ..

4

1)., obteniendo

(d, -

(D-IHj>tl)x de donde

e·

(D-l)y.

- 2(D-2»)x

-<

,

O

o sea

Ahora bien. esta es la ecuación 4) del principio como SI! pudo haber previsto, ya que operar en 2) con D - I es equivalente a derivar 2) y sumar 2) previamente multiplicada por - I como en 1:-anterior solución, la solución general se obtiene como en la Solución l. Solucilm

3. También se puede resolver utilizando determieantes. Del sistema A') se obtiene 2(D - 2>

y

o sea

-e

1

e

(l-

11

1

D+3

(D~ 41}y

•.

y

1~t.

La primera de estas ecuaciones rechazado tiene

en la Solución

es la 4) de) principio, y 111segunda se hubiese podido obtener por el procedimiento 1. Se demostrará ahora por que se desechó. Si se han resuelto las dos ecuaciones se

y

1)

Se sabe. por la Solución 1. que 6) y 7) ccmiencn soluciones extrañas. número de eoescames arbitrarias). se sustituye en 2) y Se ve que (C'2 .. le)-I- C,)COS para lodos

los valores

Si se sustituyen

de

t.

estos valores

t

-1-

(3C~-Cl"

C.)

Y =

el cos r

.f

Pata eliminarlas

sen r -:

O

Luego

en 6, )' 7) se obtiene

13 solución

generaa 1 hallada

antes.

C.. sen

C·

t

2e'.

(esto es, para reducir el

SISTEMAS

DE ECUACIONES

UNEALES

SIMULTANEAS

159

EL NUMERO DE CONSTANTES ARBITRARIAS INOEPEND1EN'fES lución general del sistema

11. (D)y =

{dD)x

+

f,(D)"

+ S.(D)y

es igual al grado de D en el determinante

h,(t) h.(t)

l

=

L)

siempre que !J. no sea idénticameutc nulo. Si Il

que aparecen en la so-

¡¡

(D)I

'dD)

é.

{,(D)

g,(D)

O. eJ sistema es independicnte ; tales sistemas

no se considerarán aquí. 12(D-2)

Para el sistema A'). tl ::

=

-(D'

+1)_

I D +3 El grado (2) en D concuerda con el número de constantes arbitrarlas que aparecen en la solución general. Se puede generalizar el teorema al caso de n ecuaciones con n variables dependientes.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Resolver el sistema:

1)

{D

2)

(2D + I}x + 2Dy

-1)J:'

= 2:

... ()y

•

j,

e,

Restando dos veces 1) de 2) se tiene 3;,' = - 31 - 2. Sustituyendo .v • I)y

:

~t

1 - (D - l}.x

..

x=-t-3'

La solución completa es D-1

2.

Resolver el sistema:

Operando en

I

1)


2)

3%t(D

J) OOn

2

t .. ~

e

3

Y-ir

2;3 en 1) se obtiene

1 ~

-1

"3t+-C1'

D 1 es de grade I en O y que solamente hay una constante arbitraria. 2D

Obsérvese que

120+

:

t -

t

2}x

t

3y

.- O

.. 2»'

2('2t,

D .... 2. multiplicando

2) por - 3 y sumando: I)e 1).

3. Resolver el sistema: 1) 2)

(O _ 3)% " 2:(0"

'2 sen

2)y

ces

2<0+ J)x • (D-1)y

Operando en 1) con D - I Y en 2) ccn 2{D 3)

(O-1)(0-3)r

t

2
+

t

t.

2) se tiene

(D- 1) l2 sen '1

Restando 3) de 4) y teniendo en cuenta que (D nen coeficientes constantes,

I)fD + 2) = (O

2

ces

t -

2: sen

4

cos

t

2:sent.

+ 2){D

-

t

1). como los operadores tie-

160

os

SISTEMAS

•

y

lINEAUS

SIMULTANEAS

• C,,-H.

•

e1"_" Oc 2).

c.,

•

CD -1»'

Entonca;.

"

_I{'

y

1 •

S(f'I

(

•

Co.a f -

2(D

11

CO:,'l, ..

aCle-"

8C1C' ... "

-

Jcac

y" _,

(8

le

-o,

_1_ cee e 80. 1

+

1)x

4-

l~f!-t" _

...

•

e .....'/~

(18 CO$ e ~ 14 sen I l/OS

(47 CO$ t - 14 sen

'34 e.«-"1,

... ,i!

...'i• e1" -"

c.,-,{,

CM 1)/6$.

•

iC1lf'",t"

-

• ...34 C le -.,

t

ECUAC10NES

4' CM t ...

t.

61 sen

t - 33 c()~ t

130

e ...:1,

61 sen

..,,,.

t e -t)cf(

S(ft

6&

"

e )/65.

•-,

j

e,

, - 33 COI e r-, e 130 .. 04<' ,

Como el gr¡do de 4 es 2. l. solución gC'ncr.1Itiene solamente dOI con~llllntes arbitranas, en J) se halla que el - O. Luego

Por lanlO. $1 se Sul"

(¡luyen /( e Y por estas exprescnes

8St:nt·cost

y

~

• -

i e O>, 4

1('

c.,C' _ti'

+ 61 )oC"

33 tOS t

t -

130

5

.. •

4.

Rc$OlV(f el sistema:

Hallar

1:1 soluciól)

Operando

l)'

+

r' de

1)

(D'I ... 2)x ... 3y

2)

CD'.

particular

e

ti

o.

2)y + x

que s31isfaga

en 1) con DI. se obltcnc: fY&."( -

2l)l\

= O cunndo

x = y • 1. D...... D)'

las coook!lo"cs

- 3[)l},.,.

4fol'

Y hac1tndo

J

-I[CD, - 2). -, "

1 •

3

oblener

I

3

1:

C.,,, _;) ... (e" eoft

D'

f

10$ determmaates.

UUhl.andO

>t

D' .. 2

1

jo

3

-31..

D' - 2

I

le' ... -( le

•

ObsC--r'W:St que .\ tambtén se puede

~

C.

sen t} - -

* 3/4.

= -

I

-(e, • c.,l 3

C,. 1/4. x

•

t

•

I

C, - -

C~:


y

15

-19/JO.

1

15

(t

lt

A$Í.

o. • el - C, • c. 1

IJ.

etc.

.2

POI"' t ,._O.

el

Dl,'( = 2.\'

las SUSh\UC'~nc:s

1)y D'v = -x - 2, d. 2~ se ticee (Ir - llX = 6<'" y. uLilizando

EnLonces.

O.

I

C.

l/S.

I - -CC, 3 y 1a sotucion

4 ¡.

-

~

11 O. 2

C.l - C. - -

particular

1 ! _1 l 2 ~~ -(3e <1- 7(' ) ... _( 19 <::0$ t _:;: sen t) I - e 4 10 S 1 I .., l , - ñ(3< .,~ ) IO( 19 ces , - 2: ~n t) - U

I~

pt."(hda es

~

lt

o.

+

SISTEMAS S.

RC$OI"'er el ~Ilolem.: 1)

(04

DE ECUACIONES

Operando en 1) con tY + D 2y

•

Operando en 1) eon ()l - D 2K •

ObllérVc3C que

I

I

0-1 -i)

2t, r

'l.

161

l).a .. (02_D.l)Y'_

l. '1 rntando.

e

.. t:

1.

D

+

I y en 2) con D -

T

(2 _ 2t

D+ 1 01. +D t- 1

f

... 21 - 3t

2

(D "'0+

2)

I '1 tu 2) con D

T

'1

t

t • c•

.,. (D-\)y

l)x

LINEALES SIMULTANEAS ,'.

tieae

le

.. t -

3: e

2

l. '1 rc$(ando. se lk:nc

••

y

2 es de arado O en D: por tanto. no hay ninguna constante ar-

•

'* 1

bilr:lrill en In solución,

O'y •• t.

2)

()pc:rando en

J. oon

D1 )'

y

•

o"./Y • e

(e.

ecs

&y __ mzx de 2' se obtiene

sustituyendo

0'4.. _ .le_.2.)

.: 0·% .......

.,/12 • C9

o.

.. O.

(D· ... ·)x

.t/./2) , ~-"Ni (e., ces

sen

Luego D.

i ~(I

t i)

r-

al/.,2 .. C.. seo a'/./2).

Sustituyendo en 1) x por el v.:lIor bailado y resolvimdo. 1

7.

- I D2J;

..

.'

e

Resolver el si'tetna::

.. ¡.ñ

(C~

l)

(02"

OpemndO en 1) eón D1 2

(D ,.

2

4)2 ... OD ),I

2t

CQ5

.,/.,2a: -

el

4)1 _ 3D;y ._ o.

+4

2)

y en 2) con D:

,"./f

(O'.

3/),0.

(C$ sen .'/12

4))" •

+ 4.

Y turnando. se tiene

l'

O.

Cl CI)$4t .. ~ sen 4' .. C~ces

x e y

- l2e, seo 4' ... 3e;. cos r ... se, SC'ne • 12K. sen 4' - 12K, cos4r

La solución eempleta es:

Resolver el surema:

;c

Cl

COS 4'

y

C,

CO$

1) Da' .. (D .. 2) 3)

l)y

•

..

t ..

e, sen e ,

por «COI valores. Se tiene - 3K,.

8.

. r_ C. ces 1I'/v2).

se tiene

~.

Para eliminar lOIuclones alIa.ñas s:ustituir en eos4t

ft'"

Y

y

-12C,

•

Y (U 2) Con 3D, y sumando.

(O' .. 16)(0' .. 1)% = O

Operando en 1) COn -lO

r-

see .'/v2)

C, sen .. , • C,

'le - C. sen 4' - C.

COG t

t

C05

C. sen C,

+ 3K~ 2n t

COS

I = O

t.

SCn t.

1

(O, 2). - (O -1),
1 o.

RC$I~ndo J) de 1) se tiene 4) Dx - (D + 2):- - 1, ecuación que carece de y. Operandoen2)conDyen4)conD+

2.yrcscaooo.JCcicnc(.sD

Suu.ituyendo en )): por su valer, (D +- 1).)'= -(D + 2): - 1 -

6

+ 4):

-

S CJ~- -&(f':

-2: enroeees e entonces,

= -2I

T

,-6f#.

C,

162

SISTEMAS DE ECUAOONES

Y

~-

'J ' (e

)dr

D

0-1

D .. 2

o

o

DH

SIMULTANEAS

e _t: (e t - 6e,c rh .. C,)

-:

en 1) d ",¡Iol" de y. 1ft

Sustituyendo

Como

"t"

-;: e,e

UNEALES

1 - (D .. l)y

•

e

S6

a,t'

,..·'I'J

le

-'litIS

3C,C'

-

..

&ele'

Juego

:

_.f/~-t.. c"e

x

'"' -

•

'23 ele -""

e

'~.

o -(D -

- (5D

1)

2

9D .. 4) es de .rodo 2 en D. sotamente hay d05 eeecames

-+

0<2

arbitrarias m b soIuctÓn &'toen!. SU$litu)'todo en 2) los vaJorn de

(s6 e

• 1-

·tI, •

e

•S. e

2 ,,) - (-

le

-~r/'J

..

2:1 -

··tI,

e

te'

y ;:

:'l

)

SI:

y. por- 12nto. ~

•

Z

obtic:oe • 3

•

Asi..

a

es la solución genera'

9.

Resolver eí sistema:

1)

2Dy..

(D + l) 2 1C

2)

..

•

3) HaUar la solución

}tj2

\'001:'$

J

'21

C'

,r/2 d

1

t

•

•

Como

Lu~

I:!I soI«:ión

•

a

3

1 "

-

3

el

+

y

= f. entonces.

x ..

"31

e

t}.C!

-,tlt

•

-Dr a

a

!, _l3e _,t/l 3 "6 le

,..

C,

-o C.

pti1JCUlar pcdm JC

~tlt

O

+ 3)\'

es de: .r~d() 2 en O hay dos COnstantes arbllr,)rillS y 1..

Jl

=0:

+ D: -

30

solución es t

4) [)lx

3

O -D

Cuando

O QI~ndo1_0.

3 y

2D

l. ,,_

c.C' -}t/t

1

DI

a -

=z=

ie

•

,

O:t

O

3) a 1) 'Y restar 4~. obteniendo (2D

De 2). De: 3).

::

D para obtener

en 2) con

Después. sumar dos

¡:

_Dy_o,aO.

para la qee x

particular

PrimeratJ'l(:Ole. operar

ze

3D-z -= 1

'"'

i1 el~ -'):/"•

y •

2 e, 3:

1

jo

y

a

es

2 -H/1

•

-e 3

Obsérvese que: 00 ,ic:mprc se puede hallar una solUCIÓn que '-llli)(l1g<1un conjunto de condicionc~ IIUC'i.aks. Por ejeJupto. no existe solUCión que satisfaga la... condiciones :c l.,. ~ : O cuando' :: O ya que \' _ l. I = O no es. compatible ton .\'_ J + '" Aoálogamente. I _ O. ': - l. tu/di _ I cuando I _ O no o comp.1tible con dx/dl _ :

=

SISTEMAS DE ECUACIONES

PROBLEMAS

10.

.&

11.

12.

51>1.

Dc-(D'I»)'.-~'

(D

..

11

(D-1)1

12)%

..

(O .. 1») •



%$..

(D

(D .. 1)l'

I

3»' •

15.

•

ze /5.

Y • Cleo, t '" Ctstn,

3e "/5

_

,2

<"/2

3e,"C., cOS

t ..

2'

,. •

t

.. t

e' ..2

x • ~1

'f.

(0+1)1. e

e,c: "":

Cae....

Y.

,

too('" SC1l(r

.

.. 2t

C.>

..

24:' .... _"' 13 3-t 7

• 2e " - "1>

i7c

Y .: 3CI~-I'I" ..

I 1 -, • -, 2

5

t

2t

..

C1eos 21 .. C.loCn 2e

..

3

i7

1 - __

-.

49

-I 7

.

26 49

St

C.stn 8r

61lt. .. CO' .. 16).)" '" O

1 • C,C«' 2e • C,SC'n 21 .. C..COS 8t - C,sen

lo

'Y • sen'

2

{D

.. D+l).K

(D-I). (D. 2)1 • (D -1).

ces

.. (f)2~t)y

, , <

,

.,

2'" • 1 ,, (D. .2" e , eD .. 1)t '" 3 • ~ (O ..

1)1

C1CO~(121

y ,..-2C,cCN'lC""z

2

" D y • e'"

.a

%"

l 2

3

.. c:;) 1

sen(t

c~) -

X

eD' .. 4)1

I

.. 3' .. ,.

(D' • 16). - 6()Y • O

(D' • {)x 17.

t

,2

(D_I)"(D.3)',,-'_1

(02 .. 1)y -lr·

16.

t

55,

"

14.

C,)$C1) 7t

e,&en

sen

.s ~

cC.'

( ~

1:

.. (20 .. 1»)' •

(D.2)%"

r _ CC1-C.)COíl

t

.. 2.t .. (D .. 3)1 • (!' _ 1

13.

PROPUESTOS

Y • c,.cos e •

• C

163

LINEALES SIMULTANEAS

re.> .. C,C06(J32. ..

C?)

.1'-_t't_2c-!_C1 y

s

2e t • e .. t ..

%

::

_

y • &"

t'

1 ..

t¡2

(e

(;,C0:5

e, ...C~Clt

,/6 ~ c-" ., f

2 • ~'/4 " C,cr""

.. C~CO$(v1l

e,

G.> .. 2(:0."2: •

c..) .. i-i cOS 2:

CAPITULO 22

Ecuaciones diferenciales totales LAS ECUACIONES A)

DIFERENCIALES

- "xz)
(3x'y'

B)

•

(3xz

(2)<'y

a»

y

• (y

cos.

• K dy • x' dz

• 2y)dx

C)

n z)dy

...

+ dy • d.

•

-

= O,

eX)dz

o,

O,

•

cuya forma general es l'(x,y,t,"',t)dx

• O(x,y,z,'

se: denominan ecuaciones

.. ,t)dy

que ti)

rápidamente

es

secndo

•

I ..., .. S

l·

e

exacta de

SCn z = C.

t y

una constante arbitraria. Una ecuación así se denomina

la ecuación B)

DO

es exacta, pero (Jx2,

= O,

• S(K,y,z,"',t)dt

la diferencial

f{x, y. z) -; x' y2 _ e~z D

,

totate«.

diferenciales

Se puede comprobar

.....

se

SI

• 2xy)dx

que es la diferencial exacta de .\"");: +

Introduce

x

~Q.cJD.

COmO raClOr

integrante se tiene

• x· dI' • x' dz - O

.rJI _

C. Las ecuaciones

A' Y B) se denominan

In·

Il'RTu/rs .

La ecuación

e)

no es integrable: es decir. no se puede hallar para ella ninguna primitiva

1)

(K,y,.)

C

•

Se veril más adelante (Problema 32) que para las ecuaciones de esta clase se puede obtener una solución 1) compatible con cualquier relación dada X(x, y.:) = O de las variables.

LA CONDICION

DE INTEGRABILlDAD

2)

e.

3)

l'(x,y,z)dX

P(-aQ _ all)

o.

ay

Ejemplo J.

• O(aK

a"

de lo ecuación diferencial total

+ O(x,y,z)dY

_ aP)

o.

p

lI(a

•

+

_ ~)

ay

ax

=

R(x,y,z)d%

~

O, .d'nucamente.

yendo en 3) se tiene (3xz • e. integrable,

21')

(O - O) +

x(2)< - 3x)

• x'

(2 -1)

all 011= O, y susuroa;; = ~<-<, ay

= 0-

¿ •,,'= O. La

ecuaeién

Para fa ecuación C), 0=1.

uene

Véase Problema 1,

Para la ecuación B~ lI=x.,

Ejemplo 2,

O

y(O - O) + 1(0 - O) • 1(1-

OQ

ox

=

01

-¡.

OQ,

ai • O.

O, ,11

aR = 1. all ox ~ Oy

La ecuación no es integrable. f64

.

= O, Y sustituyendo en 3) se

ECUACIONES DIFeReNCIALES

LAS CONDICIONES

PARA QUE SEA EXACTA 2) SOn

-. aQ

4)

•• Ejemplo 3.

16S

TOTALF.$

Para la ecuación P

=

A

aR -, ay

J.

3x~y2 _ eK~.

ap -ay

2xly. sen z.

aQ_

Q _ R • y

COS z _ eX

j

=

aK aR

6x7y,

~az =

6x2y.

aQ=cos.·

-OK ~- c'

az

-e<·

. .

aR ay = ces e ,

y se sausracen tas condxaones 4). La ecuación C1 exacta. Ejemp10 4. Del Ejemplo f Se deduce inmediatamente que no se satisfacen las condiciones 4). por lo que se desprende Que S) no es exacta. RESOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL TOTAL INTEGRABLE con tres variables: a) Si 2) e-sexacta. la solución es evidente después. n Jo más, de agrupar términos. Véase Problema 3. b)

Si 2}

e)

Si 2} es homogénea se puede separar una variable. por ejemplo. formación x = U=. JI - uz. véause Problemas 7·10.

d)

Si no se puede hallar un factor integrante. considérese una de la. variables. por ejemplo. :. come una constante, Intégrese la ecuación resultante. designando la COnstante de integra. ción por 1/1(:). Hállese la diferencial total de la integral Que se acaba de obtener y compárense los coeficientes, de sus diferenciales COn los de la ecuación diferencial dada. determinando así 1/1(:). Este procedimiento se explica en el Problema 13. Véanse también Problemas 14-16.

DO

es exacta puede ser pOSible hallar un (actor integrante. Véanse Problemas 4-6.

PARES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ecuaciones diferenciales (orales simunáneas

z,

de las otras mediante la trans-

CON TRES VARIABLES.

S)

P,dK

t

Q,dy • R1d%.

~O

6)

P,dK

• Q,dy • R!tdz

~O

La solución de las

consta de un par de relaciones 1)

[(x.Y. z)

a

e,

8)

g(x.y .•)

s.:

C.,.

Para resolver un par dado de ecuaciones: .) Si tanto S) como 6) son integrables se puede resolver cada una por alguno o vanos de los procedimientos ard). Entonces se dice que 7) es l. solución completa (primitiva) de 5). y 8) la solución completa de 6). véase Problema 18.

1)

Si 5) es integrable. pero no lo es 6). se dice entonces que 7) es la solución completa de 5~ P..... obtener 8) se uúliun 5). 6). 7) para eliminar una variable y su diferencial y se integra la ecuación resultante, Véase Problema 19.

fe)

Si no es integrable ninguna ecuación se puede utilizar el método del Capitulo 21. tratando dos de las variables, por ejemplo .. < e y. como funcrones de la tercera variable :.

•

,

~

1

" • •

166

ECUACIONI;S

OIFeRENCIAI

~S TOTAlF_~

A veces se puede simplificar el procedirmento como sigue: Elimínese primero el) y de.puó, d: (o cualquier otro par) entre 5) y 6) obteniendo

r

Q" Q.

P,

r'

dx -

Q.

R., d.

a

,R, r, R. p.

O.

R.

dx -,

Q, Q.

R"

dy ~ O

R.

Y exprésese en la forma simétrica dx .dy

9)

X

donde

X • ~

R". R,

¡O' O,

dz

~IP'I,

• 1.'

y

/1,

y -

Z .. A

/1.

r

Q,[,

A

1', O.

p.

1-

o.

(Obsérvese que éste es el procedimiento para obtener In forma simétrica de las ecuaciones de línea recm cuando se dan Jos dos planos.)

UIlJ.

De las tres ecuaciones 9')

•

I ..

Ydx

= Xdy.

Xd7

•

Zdx.

Zdy

-

Yd.

deducidas de 9) se puede obtener UDacualqu,era de las otras dos. Por tanto. obteniendo 9). se puede remplazar simplemente el par original de ecuaciones diferenciales por un par equivalente. este es, dos ecuaciones cualesquiera de 9'). S, SOn integrables dos ecuaciones de 9') se procede como en el. Véase Problema 20. Pero si solo es integrable una ecuación de 9'l, se procede COmOen f). Véase Problema 21 y si no es integrable ninguna ecuación de 9') se aumenta cJ numero de ecuaciones posihl~. I)or un bien conocido principie . dK X

donde t,

nI, If

=

dy

y

:: ~

~

Z

1.
..

lvdx .. m~dy + ngdz t,X + m., Y + n~ z

son funciones arbitrarias de las variables tales como

IX

+

mY

+

nZ ~ O.

Mediante una adccuada elección de multiplicadores es posible obtener una ecuación integrable. así ~..,. y

Idx+lltdy*ndz IX + .Y .. nZ

o bien adx.+bdy+cd, (JX + bY • cZ

~ pdx+qdy+rd, pI .. qY + t"Z

Si se logra esto se procede como en f). Vé:o.seProblema 22. En fo práctica es más sencillo a veces hallar mediante multiplicadores una segunda ecuación integrable que proceder COmo en ¡l. véansc Problemas 23.24.

+ m Y + nZ = O. entonces también / dx + m dy +- n (1; = O. Si ahora / dx + nI dy + nd: - O es integrable, se integra, y se tiene una de las relaciones peSi IX

dídílS, Véanse Problemas 25-29.

ECUACIONES Oll'ERENCIALEs

167

TOTALes

PROBLEMAS RESUELTOS lo

+

Obtener la condición de ¡Il(esrabilidad de P 11'( + Q d)'

R d~ = O,

Supóngase que 1a ecuación dada se obtiene derivando !lx.)'.:'=C

1)

y. quizá. quitando un

(~I(;IOI'

común J,Cr.)', :). Y:t que de 1) ~

resulta que

• pQ,

Oy

Suponiendo ahora las condiciones de existencia y continuidad

.

o'f

Al

aya. a'¡

8)

e)

a,

a'¡

c:

;¡p

a,

OR • Q-)

- ;¡R)

QCoR _

a.

=

Resolver (x - y)d.( - x ti)' + z d:

~)

ax -

as; x

y1 dz_

_

i, ayo.

0', ?,.t o, • oz or'

I

+

+p~

+

ay

RI 'iJI'

ay

,

i

al> Q-) '3,

(0)

•..

,

O

ox

(x dy

+ JI dx¡ + :;d: xl" +

;¡P

sr . 2y, ;¡,

=

1, se deduce de A)

•

-. o:

ayo. dO.

oP

;:2

O

.... O e integrando

= K

1)

bien

OP

se tiene

.r -

2xy.¡:l

O,

~Q.

e,

:4y • ydz • O.

Aqui

.

•

ox t,,2 -

es integra

•

ay

0, -

.nIOn<)6.P(~

R ~

o.

;j,

eR

Ag(upando

Resolver

+

••

I en el Problem« l. la ecuación diferencial es exacta. Demostrar Que esto impltc:t

Cerno

4.

• o. 'Oy

,"CR ~

•

ox

ESlas relaciones se deducen de A). 8), C). Por ejemplo. si JI 3.

Q ?,.t

• p

p-

a'f

+

rcspecuvamcnte. 'i sumando.

o, ay •

2. Si p(x.J'.:)

ay

Ox

.:

de. donde se deduce ln condición PC~

OR

}'-

a.

ox

, p~

oy

a.

, Q.2

}'-

R. P. Q.

p(fI ~

ay

'iJ/I + 11 01'

•

~

}'?2

~ p-

ay

p~

o, ay

esta.. relaciones por

Muhiplicnndo

'Of'

p-

_ OR) •

ey

Q(OR _~)

ox.:

bl e. El Iactcr Inlcgrante .

01'

.,'

Q • _z,

O: + R(~

~.

-1;

R : y.

_ OQ) • l(-I-l)-'IO-O)+Y(2y-O)

'Oy

ayo.

• ...,

••

1/)'· reduce la ecuacrcn

L.

a ~ ~

y
(IR

-- ~ O. Ox

1 ..

: O cuya so ucaon es ,(

OR

--: ay

1;

t. ecuaeon

+

l/V

= e.

168

ECUAClO>lES

la condtCtÓn de 1(\ler;rabilidad

X 5&11"$1'1«

(2.,'y + 1)(0 El flctor

DIFERENCIALES

inte¡r:uue I

(2.\.1'"

l)d(

reduce

Ig

X

x

)a que

O) ... ,'(2.\ '& z - O) • " '8 :IZ.\' - 4\'" -

la ecuación

+ .\: d.-' ..

TOTALES

o.

a

= d: ... O

o

bien

I

,1, ,. d.... + ...." drl

..1

T

x

+

d\

1& r ti: - O

e,

+ In see : -

El procedImientO normal aqul scr'tI: dtmO:Utlllr qUt la C(u.ac1Óftes l"lc:p:abk ) busaat despJes un (.tC10t iDtegn.nIC. Examinando tos probacmas ilnleriorn se hana que. después de uhhtllr d (actor Inlq:ranlc. aparax sotamente una variablC' en una expresión dife~cial exacta. por ejemplo. en el Problema 5 la variabte c en (1 término tg :d:. Si K: divide la «u.3ción del presente probtemi) por \ J.:. h. vartabte )0 aparece solo en d termino 2,· dl' que es una dife.rcnc.al txxta. LucIO se uulanr' If.~= como un po~tbk (lICtor ¡Otean"te. El ftlUllooo es 1 ad:.-zfÚ ~ z,úy. -dI. ..,

2.rdt

•

!

• O cuya solucllln

x'l

z

Naturalmente.

es

.1

'2

•

Y • In.l.

~ t

C.

-.

..

de 1:, variable no indica aqui que la ec:u.IK'.on sea intc:lf3ble: O no es intcgnbk aunque' (" ap3~ JOIo ee u.."\a dl(C1'mCi.at C'UCU~

la $Cparaci6n

s dx + : 11)- ... ti:

-=

por qc:mp~.

,. )

•

7.

-

DcmO:ttfilr que si P d.'( + Q dJ' entonces la sustitución .\' •

+

(es10 éso si P. Q. R son homoicnc:a$)' la vu"",~( : de las vati.abks " '! c.

H tI; - O es hotnogenes

U=. , _

r: .separará

Sean 10$ cotfic:KnlCS P. Q. f( de grado ,. en las vanabl«. Al hacer la suslllueión s :: U:, J' - t':. la ecuación dOO3 se conviene

Oivtdtfftdo

por el (6((or

L(P(tt ..... l)du. o bien

:- y ordenando

• (uPl

P,

así A)

uP, + vQ,

, n,


en

se llene

.. (J>(d.v.l)

Q(u,II,l)ÚII)

:.(P,du • (\dv)

ESto se puede escribir

rece en el último

romuo

•

f

~ /(u.II.1)Jd"

IIQ(U,tI.J}

"Q, ~ #t1)d:

•

donck P, • P(u.v.l).

O.

Q, u/), + .Q, • H,

d•

'"' O

• lá.t •

•

término.

Ahora bien. se ~tisfaC(

la coedicsén de in(egrsbi.lidad

del (Iujmo grado)

para Al.

1(

a

..

Q

: ~ aP1

O. dOnde:

R, - OV

.Q,

etc. solo upa-

P, u/\

.o;

)

R,

-= O. siempre que la ecuación orl$.ln31 $C=3 tnttgtabJe y. si ocurre esto.Ja SU~ de los dos pnmcros tttn'unos de A) es uoa dJ(ercnciaJ e:uda. Aun 1l\Ú. «m'K) d (eftCr ttrmino es un¡ difere0ci21 c:xacu. es una eccacon d.rcrencial exacta COn solo que p tL\ + Q dJ' T R d: _ O sea inlqrablc.

A'

8.

R(:;S('I\'('r 1, ccu
2(y + z)~

l.a c:cuación es integrable ya que La trensformaclén

_ (::1 + z)dy

2(,1+:)(-1-2)

-

x = vz, J' - 1'= reduce Ju ecuación

2:(" "l)(uá

... zctu) - :(u.

t)(vá:.

.. (2;)' -~

&

:.)d:r

(,.':)(-1-2)

o. + (2)'-%+,)(Z

d3dll a IJV)

• :(~_".

J)cú -: O.

.. I)

O.

ECUACIONES DIV1cndo por

: )' ordenando

DIFERENCIALES

se tiene

2.:(11 + l)d.lt -

2du

d"

--""'1

u·l

C~ ... l)"l

9.

Rnc>I"'cr 1:1«u:ac,ón

hcmogéeea

""C1 lo':)

:

:1 l/Y

)'!; dx -

leU"

In K,

2 In(u • 1) - In(u. 1) .. 1n!

-

n bK'n

X)

+

:('" 'i l)dp .. (UI)

dir por "nl()~.

169

TOTALES

'1'

J:

U +

1;

+

1)dz - O y al divi-

th

.. --0. L

1)' • Neul' 1).

Ce,.. t f.)2 •

•

lit • O.

I,...uecuación ts integrable )'3 que )'t( - 2.: ... x) - t'( -,. - y) - .ty(: - O) = O. loa (runlifoénlaC1ón x = uz. y = p= la reduce a t'r¡(I~ dt

+

+- :

:l{nl/:

! du) -

lhJl

Oividielldo por :2 y ordenando I)Z du - z ,Ir - Dde • 0, EnlollC($.

In K. v: =

In " - In:

IJ -

10. I\csoh~r (2)' - :)<1< + 2(x - =)<1)' -

tT +

cr

do dz du-----O.

de donde

{I

y. cr«.

o bien

=

se ve que es a.xta ya que se- puede esctloi, así

2l,·d.T + .HM - (:d< + xd:l($

O.

2yld: - O.

La ecuxión es homogenes y. aaminándola.

La ~'udón

1111%1,/: -

2(:dy' )'é) - O.

2.~)'- x: - 2_y= -= C.

11. DtmOlUmr que xp ... yQ + :R. ... mQaenea de grado 1I :F - 1.

e

es la $OIuclón de P dx + Q dy ... R d: = O SI 13ecuación es exacta

y bo" "

En prime!' lugar se comprueba este teorema en J:. «unción del Problema 10. Se tieee

.'" + yQ +

=R = x(21' - z)

+

2)'(. - :) - :Ix

+ 21')

_ 2(2x)' - .
lIep,:índose n la misma solución que en el Problema 10.

+ :R

De ,~p , yQ A)

(l>.

=

e

se: obtiene diferenciando

ap

x-o

a. ~. a.

HKkndo 8)

(p ••

Como

Euler

pult'l

nll$ sustituciooes. A J se convic::rh!en ~

a.

•

1 ~ •• dl

111 ecuación

OP)d.<• (Q • " ~ • 1 ~. d. ••

, ~)dl

a,

dada es homogénea.

.ap . a.

a.

al>

1-

a,

• eH +

• e ~

a.

•

raP.

funciones homogéneas.

(n +- 1)1»

o btCn. )'1 que " .. - 1.

dz

+-

(n .. l)Q dy

P
Qdr •

.. (n ...l)R áJ .. O

R d••

O.

x ~

a.

•

1 ~ • , ~)d"

a,

a,

•

etc .. segun la fótmula

o. de

•

170

ECUACIONES

OIFERENCIALES

TOTALES

La ecuación el homogénea de grado 2 '1 Ulmbien es exacta y8 que

i)Q • _ La solución <S

2;'

1(12 ..

I

2Iy ~ ~z)

• 7('"

+

13. Resolver la eeceelén diferencial P dx dición de ínlC:8t:'lbilidad.

ay

:? ..by,_

,.

.a (1' .. t') .. y(.rt • :2)

o ""n

1JR • _.

2(: +- y)

a.

¡(x' .. ,.')

+-

le ..: +-,,1 +- 2s-t

2,.:) .. •

,_ 2yz)

•

K

c.

Q d) + R dr - O. de la que '-010se da el dato de que

$Illis(ACe

la con-

ConfidéreK de momento una de las variabtes, por ejemplo r , come una constante y sea la soIuci6n de la ecuaci6n resultante 1)

la relación

u(z-.,y • .!) =

2)

~(l).

Diferenciando 2).

au - dx

3)

a. y

~

ay

en 3) se hene

a" dy ay

,

-

a

pQ.

I'Pcb.

du

.. -

a,

"':o

dondt

I'(z.y.z_)cs

au Jl

• I'Qdr

Pero de 1:1 ecuación dada p,Ptbt

t

dI. •

au - cb. al

-

dr¡,.

un (lICIo.. integrante

de 1). SuStituyendo

• d.

• ~

• O de modo que

.. J.4Qdy .. IlRdz

d4> •

•

I'Rd,

ou -

•

(-

¡JI)d,.

al

Esta relKtÓn carece de dx y dy y. empkando 2) si es eecesarsc, se puock escnbír COI"l\OIolruaccuttC)Ón dife. en : y •. Resolviendo la rn[egrnl respoC:lOde 4t y $U$t11u)'endo en 2) se llene la solucHln pedida.

rencia)

14.

Resolve 2(y

+ :~/.<-

(x 1· z)dy

+

(2y -

.< +

:)d: = O. (Véase Problcmn ~.)

Censsdérese : COmo SI fuese una conjUlnlC y resuélvase 2(y'" !)cú y •

2l

x ... ,¡

.

empk.ando el factor integrante e

r

A)

ex ,

l

)t·

_'!4';( •• zl

f e.t •z. )s

__ 1_.

(x ... t)dy

con lo que

'"-O o btt:n ~ le'

oblit:nc

(.a, :)2

dx

1

• rP(l).

- ex * ,%)2

1.

Difereeciandc A). - ---(dx 2,

•d.)

de donde

2(Y"Tz)f:Ú-(x

• -

"'

..

:)dy.

(.a*:)Sdt/>a:O.

+ :),.. C$

(IÍk ...dl)

(X"l)'

(2y-xt;¡)d¡.

Comparando esto con 13 ecuación dad, se ve que (x Ahora bien, de A). .,. + : = folx + :,:. y ta soJución

2.

I

(z.~)t

(z+z)S

JI +:

_

O y .;

=

C.

CCx + :)~.

...

¿ti>

-

J(

!;:

ECUACIONES

La ecuación

es integrable

(f1t)'tt'''')(~)_f1

=

Conli,derando

DIFERENCIAl

ES TOTAl.ES

171

ya que (c'z+eX)(_t'Xy_«>").

.. C'JC.e'z).

como una constante «('%)'

(f)_C'·y_e)',)(tlC'_f:lC').

O.

y rtSOlviendc la oeullCÍón resulLilnrc

dx

I

.. (,Y,: dy .. tZdx

cXdy)

o.

•

Difcrc:naando <,Xr

Oc 1[1ecuación dada

16.

Resolver y

eZ')d.t + (e)', • ('x)dy

"t

(e:ty+

eZ)thc • (e>': .. flx)dy

.. (.x~_yz')dy

yzd:I:

ecuación es lnte¡n.bk

- 'lx)'d ••

ya que

.. (e" .. C'~%}dz • df/l. .. «('y .. tZx)d:

•

(ex)' .. (,Yz. .. e<:x)d¡.

O.

Y1(X_3yz2.2a)

• (.&'z-y:')(-27-7)

- 2z"YC:-:)

• O.

Considerando y como una constante y re5OJviendo la ecuación resultante • O

y:dx. - 2xydl. se obtiene

lnx

Diferenctando dx - 'III>,dz

-.

Comparando

11.

Discutir

y -

dx -

esto con 13 ecuación + y.'d4>

(x. - y.l)dy Lu<&.

y .h.acicndo la sustituaón

'*1>- o.

>.Y' • K

gecmétrícamente

•

2. •

dircrcncial

y")dy

(~¡' -

o sea ~ •

la solución

2

'*1>

dz -.

••

-O.

xf~ se:

•

I

y.dx_

•

• 1,'<14> • O de donde de modo que la sol""""

de la ecuación • Qdy.

2ryd: - y. '*1>'0.

•

~dy - y

d4> -

y dy •

o.

os

difercnc:a.al (otal integrable IIdz

- O.

º~-

Sea (xo. )'0' ~) uo punto general del espaao para el que no son cero todos los coeficientes Po - I'(xo. Y&t=0)' Q(X(I. y e- =0), Ro - R(,rl), )'0. z(l}.

Suponiendo que P. Q. R son fuocionc.'I uniformes. se puede considerar el conjunto (P1n Qo- Ro) como cosenos directores de una recta (loa que pasa por el punto. Luego se puede ima.gJnlf la tc:uaci6n dIferencial dada como
---- . ---- .----

una "('(1.•

y un ptaec

Po(X-Xo)'"

e =.)

Z-Xc

Y-YO

1-10

p.

Q.

/l.

OoCY-Yo)

+

Ro(t-lo)

::

O

,.

r

tiene:

dada te tiene

b • Kly.

Pdx

O.

o see

- 2 In e • ln tjJ(y)

esee tcwltado 2

ldz - 2x:d.1.·

o bien

normaJalaroctl.

U lIOI~ión f(x •.)',:) de la ecu.ac:ión difertnciaJ dacb representa una familia de $U~ lalc$ que por un punlo general (,r•• I. dd csp3CIO pasa una sOla $Upe~ ~ de l. famdia. La eo;taCióo
172

ECUACIONES

DlnRE~ClALES

TOTALES

,_.'

. -al Y-Yo

~o

1,21. •

Del Problema

i». al ,,'A.Q.

01.: >JI. Por uanlO. la $Olución de una ccu.a.ción direrencial tora'

ay

él.

él,

integrable con tres vanable$ es una ramilia de superficies euyos pllno tangeete y recta normal en cada punto SOn respectivamente el plano 'Y la recia asoc:i~os con el punto POf 1:1tcuación düeteocial

PARES

.a.

DE ECUACIONES

ResoI'vtt

DIFERENCIALES

d sistana:

Ambes

TOTALES

CON

,)cü • (, ~x)dy .. (x+- y)ch (x +z)ctr .. ytly +- zd.: .: O.

(yWt y la solución es xy

La primera

.dy)

+-

+ y: + :x

se: puede escribir

+- 7d.)

+- (zdy

VAlUABLES,

• O

(y.

ecuacioDeS son integabb.

TRES

+- (%4:

+-

llA

,d:c).:

O

- CI_

La .segunda se puede escribir :1St :x h

+ }' dy + (z h + x d:) Xl + + lx; ,. el'

_ O y la solución

es

,.J

Luqo XJ' ...

ro ... ve

C"

-

,r ...." ...2x:

e, _,u>",

=

b JOI1ICióo ~

Por cada ponto cid __

una superficie de coda uno de las d", r.miIias, Como Las dos "'p
•, ,

"'1 también 1.9. Resolver

constituye el sistema:

t

la solución

1% +-lz

el>

a

%2 +- 72 +-

2CC1 -xy -yZ)

.: ~

general,

1)

1z tbt .. xz tfy + ~yti.: =- O

2)

z'Cd:r; ...dy).¡.

O.

Cx~+y%-xy)d:.·

La c:cuación pri¡ncra es incearable. siendo

$U

soIucióD 1) xy: - CI• pero la sc:gu.nda no lo es.

Multipliques< 1) por :, mulupliq cese 2) por y y _ oblCft_ <'(1 - x)áy ... 1'(: - x)d:: _ 0, Mu~ uplíquese esto por rz, y SUJtIC\1yasexyz __ de 3). El rouJwlo es

el

Z~(y2t_Cl)d)'

.)"C)'z2_C,.)tl.l: 4) yz

cuya solución es

• Cl (~)

y,

'"' o "&;

o ben

zd)'.

'1dz-

ClCdy .. ~) y2 z_Z

=-0

C,.

Las ecuaciones 3) y 4) conschu~n una soiución general. Sin embalSo. 4) SI! puede sustituir sencilla 4') x)' + y: + x;; _ z• obtenida !W!S!ituycodo en 4). CI por Su ~aJOT.

e

le.

R __

d sistema:

da.

-(o •

dy • 2y11

(x - yldz

• 0, -{o • 2y1

• 3A..,

y.),.

0-1 Eligie.l'ldo ).

= -

ronTl3 m4s

1IJy - (x. 2y1<ú • O

2"" •

Aqui

por la

J/3 se tiene X.

- x. Y

= x + y, 2 dx -x

I

= l. Y se escribe el $lstem .. en la forma s:imCttlal

dy. x+y

• -y

d,

T'

ECIJAClONES

De la ecuación integrable

De la ecuación integrable Luego z

:21. Resotvcr .....-J a)

(1,1.1)

+ In

= eh .r

x

"·.1 dx,. ~ erna ........x

Y b) (2. J.

-

ds


I


dy

-x

..

,

el

%

.'+

se obtiene

y

173

TOTALES

, + In

se obtiene

:

-%

+ 2xy -

;c dy ... z

DIFERENCIALES

., el' 2%y • C,•

constituye la solución general.

:z . Hallar

., d;¡

...I_ las CC:U3aones

eJe

I~A ~

• _ .....1 curvas mt... 6I .. es que pasan por los puntos

1).

. -,

Considérense las ecuacioues dx -= dz

~x :. ...2L . La: primera x+r

y

es

y da

integrable

gunda no es integrable, pero se reduce a dy - (1 + C¡/X"}dx por la sustitución! )' = x - el/x + e2 o bien. sustituyendo el = xz, y - x + z = el' Luego xz tituye la solución general.

xz

= eJ'

La se-

= CI/x. Integrando. se tiene x + z = el cons-

= el' 1-

La CUt\'3 integral que pasa por d punte (1, J, 1) es la inlersocción del cilindro hiperbólico XI = 1 Y del plano J' - x + z - L La curva integral que pasa por (2.1, 1) es la intersección del cilindro xz = 2 y del plano

y-x+z=O.

22..

Resolver

No es integrable ninguna ecuación. Mediante los multipbcadores 1 = m

-y

-%

.

ldx + trtdy + ndz + A(Z -X) .. ll{Y-X)

Empleando A) para eliminar z en In(x - el}

+ In(,)' -

el)

= In C::.

de donde ds+dy-d:

se obtieoe = O.

luego

y-x

_r!!_. y -z,

Z

s.. -x

SI:

e dx 1

(z - y)(: - ~) A) y B) constituyen

obtiene

•

-%

...!!L... Y -el

O sea, (x - C,,(;· - el) = el> y eliminando

Bl la solecién

rnedianteA).

= e,.

. -.

Resolver

z

: y'dy

.'

Al

,%~

_

7'6 •

se: obtiene

o

el' y1;y . Sin embargo. es más

Abora se puede utilizar A} para eliminar x en ta eeuacién 00 integrable tU z sencillo empicar

el

De donde

general.

De la ecuación integrable:

10$ multiplfcadorcs 1

=m=

l. n = O para obtener d~ Z.

24.

l. n_O

x+y-z=C1,

Al

23.

dx+d'1

1(1-:)

=

2 %

+Y

;r'2 d1 ,%,

.. y2dy •Luego x S+ ;

&;

C2%~

+ yS

d.


Resolver el sistema

o:

%

,

Empleando I = nI = J, n = O se obtiene


o

d,

,

(%

+ y) (
114

ECUACIONES

Empleando

DIFERENCIALES

TOTA~ES

11 = nll - l. "'1 • O y l~ = l. ml • -1. n,!

d,

. dx, O se obtiene ---.

=

(.r + 1)

x '1

25.

dx

Resolver el sistema

L.:a CCUU'lOn ~ 7 Y 3.

26.

Empicando 1+ 2,. + : =

•

y

dy

a

'!1

d,

-x

2<- 3y

O

_.

%

lb +

y dy

~I ~¡

n)t

....•

Orden.tndo A) en la rorma (4", - 3n)x -i (4/ + lIt)y + 3n-0. 41+ 2nzO. -JI-2m O. Ó 5C3, l:m:n:2:

Utilizando la ocdeoaeión 4{J)' + mx) - O. ny - mz = O. se obtiene 1: m: X

27.

Resolver ellu:;lcma {q

"

Con$ldcrt'St De

q( lp. -nxy)

De

:(lqy

-1ItpX)

••

O

y

•

11

=

q tly

.. Y('lpX

-Ir:.)

+

dy

-, • -12

2 +,2_y:

Empleundo

1•• :1. n-_l.

Empleando

1:%%,

se obtiene

n

_Cs2+

.1:1(.'.,'_.12)

o

'"

• O

_nqy)

lo

~2

px

y

...

___

e

J : _ :

= O.

-1:;-

2:'

.. qy.":=

dz

It

•

X :

1; .. : n = p:t : qy:

Entonces.

o

_ C;r:-y)z.

(-..:'_.12+X1) x

)'

·Yl(.04'-,'._x.:)

o 2

"L.

ea-

'11

(x - y):

O

y') -

Emceces,

1: l.

el-

e

úbIICI'U.'!

•

y-

1

= el'

... (~'.y')(X-)')': x eh .. ydy

_ ~

y'

l

1:2 +

o bien

tr .. mx

«h;¡l!a

luego 10(1:2•

e"

O y poniendo

ob,~nr

SC'

px2 .. qy1,r1.'1

Cx'1 .. y~_.1:')"

y'Z).

O. se ve que sc:r.i S3tisfecha si Luego

&"

O.

•

)'

dx+dy-d.t

."'1,

O.

(p -q)ry

o X(WZ.

).1') -

x> - y' - " • e,.

+ n(p-q)xy

+ r:.d:.:

dx

('1sislc:tn3 x

y

+
r d.

•

(r _p)~.

•• (r -p)xz

qydy

3/ - 2m): -3: -4.

2x - 3,. - 4, -

y

• r( ... , -Iy%.) • p(my-lal':') t-

(-

- nxl + 2{flJ' - m:)" s : -y:
p~x(Ú + 11')' dy • ,,2 td:. • O

R~""ff

,.J = el

- 3}') ~ O. Por taOIO. 3 dx .. 2 dy

+ 3(-1:

dx - 1 d)' - z
pdx _r)y:

'
p:tdz

18.

+ (2x

2( -x)

.~ +

y se obt~ne

tak:s que A) 1(4)' - ):) + m(.... - 2=) + n(2v -

If

2dx-3dy-4d

,,'

Integrable-

4J' - 3J

Hay que buscar- mulliphc:adOltS l. m. 4m-

+

3. m _ 2.. - I se hall. 3()')

e,.

Resolver el sistema

es

• O

ln 1 -= In

e,

•

'"

o

o.

o-

Luego

ECVACIONE.~ OIFERENCIA~ES

+ 2)': d)'

lllcgo 2," dx

)" d: - 2}': di'

de donde 2 dx - --.

- y' d; • O,

Sup6nga.~ que al rnol\'er el sauma

CU)'3$

integrales

_ O

y

)'

ti. R

JO. Olscutlr geométricamente J~ solución general de

PI 11..\ +

175

TOTA~ES

Q. d)

'T"

dado se ha oblen.cSo un IXI' de ecuaciones ¡Dtegn.b~

/tI tk = O

y

son. tcspcet1vamentt".

e,

gl>. y. :) -

y

}¡(x.)'.

:)

•

el

Por un punto general del especlo (\'0' 1'0'!'O)ra~ln dos supcrftc:lc( (una de cad ...una de las anl~rlt~l'C'~ fIlm,. III.\SIcuya curva de tntcesecctén to es la CU(\l~ integral del sjstcnll,l d(tdo Que pasa por el punto. Los (lla"o$ 111'" gentes a las dos superficies en (xQ.yo. ZI), M)II normales a la~ clrecclones (PI' Q•• Rd)' Qr- R,) ca'cuhtdll$ en el punto. y la recia de: intcllCCClón I~I)de estos planos es notm¡al .. , ..., des direcciones. Sea f¡\'. Y. Zl un conjunto de cosenos drrecrores Potril Lo; entonces,

.'2,

R'11. I·

Rl

y.

~ 11,

a p. Q. R tcaleul3d03o todos

son proporcionales

p'l·

z • ~ ",

1

Q'I

j

1r, Q,

p.

r

•

en el pU.OIO'.

Ahora bien. Lo es la H.n~nlc ~I CO en (KO. )'0- lO)' ya que 1:, t.¡"&ente :. un.. CUt va del e~ci() en uno de \Ullo puntos está en d plano tl.lr1¡,:cfllcen el punto de cualquier :.up:rficlc que contenga la curva. Luego l,as cur"a~ inIC8flllcs del

SistCnla

~

• ~

pertenecen

~

n

Q

P

el hecho de que en un punte cualquler:l cosenos

31.

les de 2)

b)

32.

(X(I'YO.lO)

SIS-ICH1-ll..toblcn~llh'

la lanj,~nlc:a

",finito de

C1U'V'.t$ caraclcri7JJdl'l~

por

1.. curva en el pUDIO tiene (Po. Qo. Ro) como

directores,

Inl-=v-a~ de 1) P dx + Q fh .. R d: - Oy la (anula de cunas 1:nlq,rl'

OemosIrar que' la familia de su~~

tI)

a un

lb.

-

P

dy

- -

Q

d.:

- -

R

SOll

o"ogonales.

Se deduce esto del hecho de que en cualquier punte gel,eral (\0. )'0' :0) la direccióh (Po. Qo. Ro) C$: normal a 1;1 superficie integral de 11 que pasa por el punto (..
Resclver 1), dx = •.

+ x dv -

C\' + "

+ 2:~

= O compatlbte: con

a) : - a. b) \'

+ JI +

2:

= O. e) \' + ,.-

O.

d) ')

La tcuación 1) DO es integab1c. De cada superficie dada se puccJc obtrna una ec:uacióo diferencial tocal tn· Iterable. El problema planteado es.. por unto. resotser esta ccuaoón d,(c:rendal simultánc:ameote eee l' empleando la solución parucular de 1.. pnmera más bien que Ja solución ¡eneral como en /l de la lntraducción de ese CApilUlo.

11)

r\qui = .. (1. ds O. Sustituyendo en J) se obtiene ydx -+ x dy - O; de donde XJ' - C. Se dice que las ecuaciones : _ (J, xy _ e constituyen una s()lu~ión de 1).

•

176

n

ECUACIONES

DIFERENCIALES

TOTALES

+ x d)'

b)

Sustitu)Uldo x .. y .... 2: _ O en 1) se obcienc: )' dx La solución es xy _ C. x + y + 2!' O.

t')

Aquí}' = -x. d)' _ -d'f Susü'uyendo ea 1) se La solución es x, .. :' - C. x .. y_O.

d)

Aquí xy = e, x d)' + Y d~ - O. La ecuación 1) se: reduce a (x + )' Entonces. o bien x + y + 2: - O o bien ds = O y z - C. xy = (t, x + y + 2: _ O y : - C. x)' = a constituyen 111 solución.

=

Discutir geométricamente g(z. Y. =) = O.

de P dx

de: la resolución

el problema

obtaenc

O '1 xy = C.

xd;t .. z dx = O Y x=

+ Q d)' +

+

2:~

+ ¿Z

-

C.

= O.

R ~ = O compacj¡'¡c

con la rclaoóa

.ud.

De la _n

g(x, y. :) • O se_

Se resolverá el sistema P dz • Q uy (icular g(x, y.

:) = O de

~

••

+ R uz.

dz

+ ~

ay

ag lb.

• O.

••

.0

dy • ~ lb

+ ~

a,

f(x. y. ,) - C.

O.

.'

og d: =- o utilizando

dy

Sea

la Oltima ecuación.

•

la $Olución par.

g(x. y, :) • O

la solución. Las QJrv3S intepl« IOn las intersecciones producidas en la superficie: g(.r.,. :) = O por el si$lm:a1 de: superficiesf(x. y.:) _ C. De modo que puede enunciarse as! el Problema 32<: Hallar todu las curvas qu< escando en la super6ck (prI.ano) x + y - O satisfacen la ccuac:tón diferencial

ydx + xdy - Ix + y + 2:)11: - O. Ea UD punto ~ (x.. )'.. :.) de la ."pedieie g(x. y, :) - O, la r«U Lo de inter'SeCOÍÓo de: los planos taoa g(x. y. z) .. O y la superficie: del $¡5tema tv-». z) _ C. que pasa por el pento. es tangente. l. CUI"VIde: inlersección de la$ dos lIupcrlkies. Asi. se ha hallado la jamilw dt curl'w peneeecíeetes a la superficie: dAd. 1(%.. y. r} • O cuya tangente en un punto cualquiera está en el plano. que pasa pOr este punto. determinade por b

,

ptes

ecuación

diferencial.

(VCasc Problema.

17.)

Por ejemplo, considérese el Problema 3a. Elíjase robre la supctfiCte dada x + y = O un puntO cu.lquJetI (1), -a. b). En este punto. el plano tangente a x + y O (en este: caso. el mismo plano) es normal a la direcci6a (1, 1,O) y el plano tangente :11 la superficie (de la ramilja):r -t :' _ a' + bl es normsJ a 13direcci6n (a, O.b) Un conjunto de C()5Itrl.O$ diftCtoru pan. la recta de int~6n L de estos planes [la tangente I la curva por

=

(a,-a, 6)] es (-6. 6.a~ Ahora ~ d piaDO quc pu;o pur Ca, - e, 6) _o por Ia......,;on áifetenCial _ es DonnoI. la dir=ióo [y.~.-(x +)' + 2:)1. _ • ., - (-a. a. -lb~ Como (-6. 6. a) y (-a .... -lb) son d,__ eeemaJes. la m::ta L estA en d plano determinado por la ecuación diferencial.

34.

1) 2: dx

Resolver

De 2), y la

CI

+

dy + }' d: _ O compatible

-x - : y dy"

uansform.ac:ión

z _

%.

+

XI

_

u:,

= XI

1/2, x 4)

La rrall:SfOJ'm.Ki6n

COn 2) x

+ )' + %

_

0,

-dx - ds. Sustituyendo y y dy por estos valores en 1) se obcicne 3) (2: - l)dx - (x + z + 1 Id: - O. 3/2 reduce 3) a

-

2:'1 dx. - (Xl

+ =.)d:.

reduce 4) a (u _ l)é.

-

O.

que es una ccuacióo hom~.

+ l.:. '" _ O. de doode

d:. %1

Luego

In

ZI

Sustírujendo

+

21n(at-I)_ln

K

z,(u _ 1)1 _ K.

de donde 11

por xl/z,.

XI por X

+ 3/2

)'

=,

por s -

1/2 se tiene

Ix - , + 2)' - C(2: - 1).

+

2 cAl .. O at - 1

ECUACIONes

DIFERENCIAl.es

PROBLEMAS A \'erl¡;ua r SI JS.

integrables y rc:soh't1 cuando

10ft

(~. 3.)d<

$el

2, )d~ • (3.· 2,)<1>

• ,••

TOTAl.ES

171

PROPUESTOS

po5l ble,

O

Sol.

KY

a..: ..

2y~ -+

+-

e

36. 37.

dx •

(,1: ... , )dy

J~(ú" +- :.dy

.. d.: •

- 2yd.l

•

o

y"

Jn(x·.)·C

.1 , ..

o

T :-

ez

,

~. «l.

(x .1)1 dy

y'l(tb ~ dz.) ..

+-

41.

2.I'(y

41.

y:. dx - 2xz dy

43.

xtb t(x

,

.. :)dz .. (2yz.-,¡:

2

-1:-:)CÚ

1(X+-:)

-7 -z.

,

2 )uy .. (2yz.-s

-J

'1

'1

+z

s'

)az=O

+-

..

o

1):(/:.

'1

+-Zz.(x-tz.)dyl.r(:

(x '1

-,1"

-.a:y)r1:

~O

t

:o

C(x+y+z.)

12 .. :'

=

CCy+-:)

c.:

'1'2 •

:x.y dl • o

2 (.1 +,'2..,1'

.. ydy .. 2

+-

o

'1

•

y2

~t

'2 +-.l)e'

(x+-y)/1.

e

.. (1+1.)/x.

e

•

dx ..

ay •

o

(l + y)dz. ., .. (X" y)d: ..

l (ca • dy)

46.

47.

x(:dy.yJl) ycb. _.2: tiy +- yd.z

48.

of9.

.

:!!... 7

,

l' ,

3d"

d)'

l'

rz

d"

-.

tú , , , x -y

SI.

d:t 3,.-2:

Sl.

SJ.

el. .&"(2)' • -z • )

d:t X(:'_,.'1)

•

ds: ~1

<1] 2.]

.

,

2ry .. 3%y)

.dl 2..

-3.x

~•

d)' • • y(: -b·) dy y(x2_z'l)

.

,, • 1, , = c"

y ., Gil,

d, -Z. - y

...!!L .!

.•.

d:

(x+y)(l.

SO.

..

.

yl

d,

• ~ 1

~

•o •o

2,y:dz.

,d"

:;"1.

o

dz ,(a • - y • )

d. t(y'-.r')

2

'1'

2,

•

3,

• Cs.

. el.

,•

• y

x

2

,• y

t

• • ,• =c,

,

2

• C.

CAPITULO 2J

Aplicaciones de las ecuaciones totales y simultáneas SI UNA MASA m se mueve en UD plano somelida a una (uena F, $U aceleraeién sallsf""" la scaunda le)' del movimiento de Newton: masa )( aceleración - fuerza. Para obtener las ecuaciones del movimiento. si se emplean coordenadas rectangulares, consi .. dérense las componentes de los vectores fuerza y aceleracién a lo largo de los ejes. Las componenles de la aceleración Q. y 0, están dadu por

d'x

a x

y, designando por F" y

F, las

= -, dt

t

componentes de la fuerza. las ecuaciones del movimiento son

y

••

". ". ,

• Componen/es d~ F en coordenadas rectangulares y potares.

,

En coordenadas polares, las ecuaciones correspondientes son .. (d'P _ p(d8).} dt' dt

dp d8

= ,.

m(2-

-.

dr dr

p

d'S p-}

dt'

= ',.

donde F, YF. son las componentes radial y tran.sversal de la fuerza, esto cs. Lascomponentcs a lo larso del radio '''''IOr en P y de una recta perpendicular a él.

PROBLEMAS RESUELTOS l. H.llar la 'amlli.a de curvas ortogonales a las superficies

Como x"

+ 2y" +

4r

=

e es

x" + 2,.~ + 4:' =- C.

la primitiva de: la oeu.ción diferencial IOlaJ xdJt + 2ydy

+ 4:d:

_ O.

la teu,ción direrendal de la familia de curvas 0"080"31(:$ es

ti, • d:

•

2y

178

••

(véase Capítulo 22. Problema 31.)

APUCACIONES

Resolviendo

DE LAS ECUACIONES

~2' se tiene

dx x

y

)1

= Ax1•

II

La 'amaha de curvas pod.icb tiene por ecuaciones y -

1.

~trar

=.

Resot\llcndo ~ _

4:

aJ.

x

se

llene

sr.

: -

Ar. : - By.

que no hay ninguna familia de supcorficin OftQlOMtcs

.. : - ,.1' _

179

y SIMULTANEAS

TOTALES

al

+) _

$I$l(:I'U

de cunas

b:.

se:

DctlVlndo 11$ ecuaciones dadas y dimínando ta$ constantes

bcne

Jx .. dy - !...!l Jz •

•

X2 ..

;c~ -+ "

, ,

en la

selunda.

Luego

$C- tiene

(!-!.L •

l)dy

e

Z

2%y

las ecuaciOnCS diferenciales

.y •

en rornu

tÚ

dcdondc

simécrica

dy • 2>y

d.

___

o

(z ..y)z:

de la (amlha de curvas dada son

( ...

T)z

(.<' T y')
Como la cc:uaáóo exute

3.

n,",una

t

uy • Resolvi~dol:. respecto a dx, dx • -_Y- tiy. y sustítuyendo 2>y 2>y

La primero se puede escribir as¡ ~

do

m~.

00

La coolponence ~ de la aceteracién de una patticu.la de masa andad. mO\l1Cndose en un plano. es igual a Su orde .. nada y 1:.componente J' C$ igual al doble: de su abscisa. Halla.r la CC\lac¡.)n de su trayectoria, dadas las oondicionn iniCIQ,Ic:sx _ y_O. á:cldl - 2. dy/dl = 4 cuando J -

o.

Oeriwndo

la primera dos veces y teniendo en cuenta la kJunda.. a

C1<,,:. ... G,e- ! + C~ COSo!

x

dy

C. )oC"

ee •

y

dI' donde

Q"

Luego

-: O'(Ct
las condiciones

2 e, • -C.,. __.. 2 z,,1

Las eccacícees

0.

o

paramétricas •

2.

J.' ~~_Q.t.

C~ sen al _ C. COSo,).

d. Empk:ando

:-

,1'.

y •

y

..

e,

•

.

iniciales; C\+C~.C~.o. C,..C,-C,.o. C,-C,.C.:.~.c;-c.-C C,

:o

0,

y

de la trayectoria

>1(2,,12)

" >'2(.

son:

i2, - e-:t2t )

-

.." ,(2-ñ) >'2

sen ,12 t.

.....!..

.'

..

-----------------------------------------180

APLICACIONES

TOTA~ES

y SIMULTANEAS

UnA patdcula de ma.sa m es repelida de$dc el ori¡cn O por una (u~mI que varia in ..-ersamcnlc al cubo de la dlS,anol p al punto O. SI comienza en el punto p - D. O • O con velocidad "o. perpcndicul:lr a la n:c:ta OflgeU. hallar 1. ecuación de la crayc:ctori.a.

".

Las componentes

radial

'1 ~n.al

Jt2

O

bien

Integrando

2).

Sustituyendo

d,'

~

dt

d, dt'l

!

Pato '.0.

P"G.

1

d'p

2 ol~

Y

d' Dividiendo

por

(t!!_)' •

Q

d'

22 (4 llO

Par.. ,-O.

p ••

8:

Jt ) (-

1

- -)

P d'e) d,'

I

~)'

(de

•

•

t

O.

O

2~~ dt dt

O,

luego C1.

-= GVo

y

-d' . !!i,

d8

2'*', dt

por

(J'-i,

.. e...

+ .'

p'

y

a'

(a "o • k

IUC:IO C~.O

lO

p'

•

. , .'

1

•

(o

2P'_al "'o ... .It ) __

22

2

2

)i> (P • ,

•

.'pO

2

2

>,.'.'"...••' r.-;--;

Ji>

- a )

Y".---,-

• ...

p>,p'-.'

de,

.. e,.

,.

o;

\lo;

p'

2

"o •

•

y

t

4-

•'

p'

•

•

Multiplicando

a •

C. •

I... SO

'

-1 are sec P-

1"1<:8f3OOo

pdfJ • d.

r

(Ji»' d'

y

d. O'

d.

,

•

d"

I·O.p.a

•

d' d,

d'e p-

2)

+ .!tI ~

dp.

dp,J6 -

p'

pI

.

(~)'

k' pI'

a '.

d.'

.

Ji> d'P

2--

.(2-

. , . ;;'.' . --

Para

C,'

en 1).

-;;;'

.

- P(~)' d'

p' ~~ =

oIt'

=

tlt

d'p.

1)

F,

de la (UC1U que rtpCk: son:

.(d·P _ P(~)')

Por t.nIO.

S.

DE LAS ECUACIONes

y

p

•

•

...,

¡,G1Io+.It f 2

.....

2

8,

Un pt'O)'CClil ck: ma¡a m se lanza al espacio con una veJoadad inicial Do y un ángulo 8 respecte del terreno. Oesprcciando todas Ia:$ foer7.a$ exceptO la gra'o'Cdad y la resistencia del aire. supuesta proporcional a la vdcxid~. hallar la posición del pro)'ectil ea el tie:mpo l.

En su

movimiento

horizontal.

el proyectiJ solo es afectado

por

la componente x de la resistencia. POI'tanto.

,

1)

11 ~

elt

y •

2

-K ~ de

=:

-M ~ de

o bien

En Su mevímienrc ~ticaJ. el proyectil e$tá afcctado por la gra. vedad y por la eumpooente y de la resistencia, Lueso

2)

-.,_

.. 52:

d.

o bien

A'L,CAC'ONts tú

'o
2).

DE LAS ECUAC.Ollts TOTALts y S'!04ULTANEAS

el

di •

- b ..

!!z • d'

- Sr - .,.

Empkando las condlclonn: Inicialn

Cl•

coa 8.

'"

Ct• 1

•• ¡<...

lues.o

6.

·

_!

"o

,1

•

K.


c088:

coa 8H' »Óe

o.

K,. ..aa

y

"

Y

y

:.

l.

I e, • c,.-.l' . • ¡

¡{<¡ •

y'

1

•

~.

.

K,· -.!

1 .,

,e-( • -

1 .... , - Kl .. K,e -

•

"o coa 8.

tto sen 8.

181

Ve sen 8

ato

11m

8 _

1

.'

-l .

para t.

o:

2..,. ~

ó

'1> seo ,,)(1 -.

e

.....

1-

K'l.

m,

Do, masas, y ftlJ• «llAn .separadas por un resorle ~I'ta el que k - ka )calm. y mI C$t:i lipda a un sopoet por inlermcdio de un resarce pora el que k - k, k&lm. como te •.nd..:a en la fig,ura. Roco el equIlibrio del JI$letna, 13Smaw se b:.an desplazado hacia IMjo (1 .... l'-OS y se hao dejado libra. ~.$C su tnOvImk:nlo.

Cons:~

como positIva 11dlteCC'fÓn hXlI.~

Y designe1Jse:

plar.amtc:nlos de la, masas, en el Ilempo l. a parnr de su. rcspectiVb

X, Y 'fa Sos de:s~ postetOMS de equi-

pcK

librio. Por tatlto.la elonaaclón del resorte superior es \, y la dd resorte Infcnor

X2 -

x,.

La, fuerzas resl3uradoru eerrespondientes en los rescnes son -k

,x, ....k:a{Xl

Las ecuaciones del

mOVlmlcntO

y

,

-.va) -k,(Xl - ''"1)

aGlulndo .sobre mi IIctuando sobre m)

soo

a. d ",

y

d" o bien

y

Operando en 1) con (m,D1 2

CAtD ..• ,)(~D

2

"",,, ")""

(D'

+ k))

Y teeiende en cuc:n,a 2)-

- .f(~D

I

2

..'.).,

..

• (A,... __., ,.t .. -)

t

• (a."l) + ',,)(-..D ... , ... 1,1,) • --,z,

.,.,

D'

, ,,),z,- '"'''' •

• O.

Designando la. rakes de ta ccuac:ión earxceristtea por ±~. ± rfJ. donde

'

11-("'a,..." .....) a,

..

±

,

..

'

Empleando

c.

lal' con
c. •

~,.

JI:, •••

_·_·o cIz,

dz2

Jt

dt

y

pelta

t. O.

_ ~1r-s.-

211,

t

a¡o. ).

0.' _ /3'

O

182 7.

APLICACIONES

DE !..AS ECUAOONFS

y SIMULTANEAS

TOTAUS

En un eje umfcrme hay tres discos. cerno se Ind.ca en la figura adjunta. El momento polat de inercia de cada di~ de los extrernos es , y el del disco del med¡o es 4/. 1.,..;1 constante de rigl' dez de torsión del eje entre dos discos (el momento tOCSOr necesario para producir unla diferencia de despJ3.l.lImtenlO ano gular de: un radián entre dos discos sucesivos) es k. Hallar el movim..mto de los dÍSClOSsi se :tplw::a un momento tOl"$Or 2To sen 0)1 .1 disco del medio, suponl'tOdo que par.l I - O están los discos en reposo y no hay ninguna IOr$)Ón en el eje.

e,

Sea. en el tiempo l. el desptazamícoto angulur del disco en coda extremo y O~el del medio. las diferencias de 10$ ángutcs de torsión de: los extremos de las dos piezas del eje. de: izquierda a derecha. son O: - 01 Y 01 - 0:. los momentos torsoree equillbradores que actO;ln en los discos $On k(O~ - 0,). 1e(0, - 01) k{O: - D,) Y -k(O, - 8:) respectivamente El momento tonor eeo que actúa sobre un3 masa cuando 1";\ es igual al produclO del momtnlo polar de incn:1A de la masa respecto del eje de rOlaOÓn por su 3OC'kraaán an&ula,r: luqo 13U\l*Ci6n del movimirnto del di5co ntc:dio es o bien

(21D

2

+ R)O.,

k 8, .. 10 sen wr

•

y la de: C\l3lquier disco Clllremo es

.e,.

2)

~

en 2) con (2ID: + k) y teniendo

Operando

I

en cuenta

ll.

I (2102 ••

• •

)


ratees características

8,

.)

+ 3k/)81

-t

C:,CO$a(

C.sen

t

-rok

.-

sen (,¡le.

02l a Jk/21 y

son O. O. al, -ai. donde

e, . c,t

.. ~ 8", .. 1(.. sen GtJr•

.(21D' • .Ie)82 =-

D?(1.rD'

3)

las

-:

(1,

t-

10'

Stn cut

1",2(2Jw' - 3')

e",

+ C,t + C3COS

I'lt

+

C.. sen

10·

0:.' +

2I'1w'(cu'

1 , 8, • (¡O'

De 2). S)

e••

e

1

+ ~t

..

Oc 4) Y S) se obuene.

de, di

•

1)8,

el, :11(1-

¡a

_ o.'}

sen wt.

y )CO$Q.t

....

e (1

1, ¡e. )scn at

-

Toa-Toe.,;'J 21 w'1(GJ2 _ 2

0.')

deriwndo,

C., - C,a. sen

(lf

...

C..o. cos at ..

To"

C~

CIlt.

y

_ 0.2)

2['",(",2

_';",o",*_--,To",,,,::;'.;:I_

S')

coa wt.

21~(".?_ (t 2) d(A

d(

d8~ o:

;¡¡- " O

Po'' ' = O se nene I

• (1

+

el _

O.

APLlCACIONES

C••

I

2

Lues.o

C.

lOO

TOTALES

o.

C.(I- -<> ) :

•

OC LAS ECUACIONES

y SIMULTANEAS

183

y

e, ., __ .....:T.,:o"'=-'7"

C~ = O.

310.«(1,/- Q.~)

e, •

y

ro (~

6, • 6, -

sen Gol' - "' sen

CLt)

21<1(..' _ <>')

8.

l..a$ tcuaciones fundamentales de un 1r1nsfonnador son 11 11 d., ...L, ~ tir dt

R 9'~· O.

+

E(, l.

donde t.(t) e ;2(1) son las corncnltS y ~/. 1.1' Lz. Rl. Rl ~on C:0054J1nlti.

Al

• R,E("

• L,E'('I.

t

1 Re~l~r

el sisu:ma si E(t) _ Eo

Derivando

C$

1) Y 2) re$J)I).:IOde

. -d"

.. R

d"

Muhlphondo

•

l.

e

l

•

eensrame,

,

b

o.

• d'

11 ti "

4)

d,'

,

,-d,'

.. L d"

3) por M Y 4) por LI y rnta.ndo

SUlIllluyendo di! por el velor deducido de 2. se obtiene AJ. d,

Muhlplicaooo

3) por tJ

"L "" SUlIllluytndo

Cuando

i;

di

E(.)

)'

4) por !ti 'Y

--. ....

,-It'ld'., dtt

por d '4Jor dcchllC'MIo

= Eo

Las ratees caracterísncas

la ct"U.ae16n A)

son c ,

rescando

p •

R'

de 1)

SC'

- - 1111d,. ,elt

dí, dt

obl.ttenC 8).

C$

i

I(/{,L, -RoL,)' • L,L. _ 11'

.

E'«(J.

184

APLICACIONES

OE !..AS ECUACIONES

Luqo

.I

\s..

Para. halla, i: multipliquest

C1~

,.

lo

.....

t

TOTALES Y SIMULTANEAS 6f

Eo

.. _.

R,

1) por M Y 2) pOr LJ y t"é$tC$C. obc.enllMdo

IIR7~


•

• LtRt"

-

L,Eo.

Luqo Obsérvesc que como MJ < LtLl' « )' fJ son. ambas. nqBlivas. Luego después de un rlempo. la comente pnmAria se hace. aproximadamente. ccnstaruc - 6JR, 't la corriente secundaria 12 llega a ser dellprecilllblc:,

,.

Una particula de masa m en movimiento es atr¡jda haciu un punlo fijo O por una fuerza central que varia ¡nller¡amente :al cuadrado de la distancia de la patticula a O. Demostrar que fa trayectoria es una cónica que: llene como reee al punto fijo. coordenadils polares con O como polo las ecuaciones del mcvinuemo

Emp~ndo

1)

tJ'p

.(-

de,

-P(-)

d"

!r

2)

•

De

~ dI'

d

.(2~~

di dI

dt

• Sel tr •

dt

~IP'~)

2) •

!.

P

K -p'

J

dt

Entonces

d'e • p-)

....

•

• o

d"

= o

y

c!!. • el 2' • dI

p ,d8 _.

d.e

,

dod<7

-.

e?


p'

d'e pd"

.

- el de -,do-

dI

P

It'

2

dI

O.

Cl•

dI

C 10"'

- It' -.

d'p _ pf-,e), dr2

o bocn

-(-c.=)·

dI

o bi
p'

son

Sustituyendo

y

en 1) Y simplifICando se tiene:

que es una. ecuación hneal con comc1e.nes constantes. Resolviendo.

o bi
p

•

c•• cónjc:, que nene O como foco.

0.,

se Ik.nc: pe.

1 i e cos(8+a.)

ecuación de un"

APLICACIONES

DE LAS ECUACIONES

TOTALES Y SIMULTANEAS

185

PROBLEMAS PROPUESTOS 10. Hallar La familia de curvas ortogonal a la familia de superficies Sol.

y

=

Ax,

%

=

X2

,-

C(x'

C.

Br

11. Hallar la familia de superficies onogonal a la familia de curvas y Sol.

+ yl + 2zl _

=

CJx. Xl

+ y" + 2::

=

el'

+ y')

12. Una partícula de masa m es atraída hacia el origen por una fuena que varia directamente a su distancia a O. Si empieza en (a. O) con una velocidad tI(l en una dirección que forme un ángulo 9 con la horizontal, hallar Ja posjción en el tiempo t . S()I. x

=

Q

CC)$

ia

O

.&:0 COl'

+ --k-

13. Las corrientes J" i1• i

=

tI

+

"o sen O sen kt

sen kit )' _ ---

k

i1 en cierta red satisfacen las: ecuaciones

. di2 20, + 0.1 di Determinar las corrientes satisf3ciendo

-

S.

las ccndicicecs iniciales ¡ = ;1

Sugerencia: Utili«S( ;1 = dt¡1 para obtener ¿l~J di

14.

di

+ 240

d!¡. di

= i1 = O cuando

+ 4O.000q, _

1=0.

O.

En el depósito I bay, en un principio. 100 docalhros de salmuera COn200 leg de sal, y en el depósito 11 hay 50 decalitros de agua. Del depósito 1 pasa salmuera al depósito 1/ a razón de 3 DI/min. y del depósito 1I al depósito' a razón de 2 DI/min. En cada tanque se agita perfectamente la me:lda para que sea homogénea. ¿Cuánta sal bebré en el depósito f al cabo de SO minutos? Sugerencia:

qt + ql • 200.

áql - ~ di SO

+

-~. I

lOO -

SOl. 68.75 1(& I

CAPITULO 24

Resolución mediante aproximaciones numéricas EN MUCHAS APLICACIONES hay que hallar el valor y de y correspondiente a x-x. de In solución particular de una ecuación diferencial dada

+ Ir

y' • (x.y)

1)

que satisfaga las condiciones iniciales JI = Yo cuando .:t - xo. Problemas de este tipo se han resuelto hallando primero la primitiva

2)

y :

+

f(,,)

e

de 1), seleccionando después la solución particular y

3)

&

,(x)

que pasa por (xo. Y.), y calculando, finalmente, el valor requerido ji - K(••o + Ir):

fr

.. --

CU30do no vale ningún método para baUar la primitiva hay que utilizar algún proeedimien .. lO para obtener por aproximación el valor deseado. Integrando 1) entre los limites x = xo. y - Yo y x-x. y ~ y se obtiene 4)

y

El valor de y para x - Xo

... Yo ..

+ h es. pues• Y =

5)

Yo' -+

r.. J...lI>.'

f(x,y)

((x. y)

dx ,

ax ,

Los métodos de este capítulo son procedimientos par. obtener por aproximación 4) O 5). METOOO

DE PICARD.

Para valores de x próximos a x

= Xo

el valor correspondiente

de

)' - g(x) es próximo a)'o - g(xo). Así. una primera aproximación YI de y _ X(x, se obtiene remplazando y por )'0 en el miembro de la derecha de 4), esto es. Yl

Una segunda aproximación, 4), esto es.

)'2'

;.

Yo +

1"..

{(x. Yo )b

.

se obtiene remplazando Ji por Ya en el miembro de la derecha de

y~ ;: Yo ..

..

l~

(x'Yl)dx

•

Continuando así se obtiene una sucesión de runciones de x Yo.

y,.

Y2.

Ylto

•••••••

dando cada una una aproximación mejor de la solución requerida que la anterior. Vé3nsc Problemas 1-2. El método de Picard es de UD considerable valor teórico. En general no es satisfactorio como procedimiento práctico de aproximación debido 3 las difICultades que surgen en el cileulo de 135 integraciones necesarias, 186

RESOLUCION ME.OIANTE APROX1MAClONES

SERIE DE TA YLOR.

NUMERICAS

187

El desarrollo de Taylor de J' - g(x) par. (.t., Yo) es

6) De 1). y' = g:(x) = f(x •. v): luego. derivando sucesivamente,

y' = 7)

r:

=

1I'(x)

or

ox

2!. dy

+

ay

• .1..(2!. dx ox

= ["(x)

(~

ax

ay

+

2f o' f

ox

ox' Por comodidad. se adopta la notación

ay

Ox

+ ,of)

af af ay

~ a'f -t

ar t ,a' .

~

dx

r ~)(al

t

ay ax

t

Oxoy

af ax

p = -.

f(2!.)'

ay

af ay

+

t

f al) ay f' a'f , • =

q =-,

etc.

ay' ;¡'f --o

,Oxay

y se designan por !o,Po,qo," '105 valores def,p,q,··· en (xo, Yo)· Sustituyendo en 6) los resullados de 7) y calculando para x = Xo + h se obtiene

•......... Se puede emplear esta sede para calcular j; es evidente. sin embargo. que cada vez serán más complicados Jos términos que se vayan añadiendo, véanse Problemas 34. METODO DE LA PRIMERA DERIVADA. Este es un procedimiento en el que solo se empican derivadas primeras. esto es. que se consideran solo Jos dos primeros términos de la serie de Taylor.

Como una primera aproximación de y, tómense los dos primeros términos de 8) ji "" )'0 +. II/(xo, Yo).

Para interpretar geométricamente esta aproximación, sea PQ la curva integral de J) que pasa por P(xo, Yo) Y sea Q el punto de 13 curva correspondiente a x - :(0 + h. Luego j = MQ = Yo + k. Si Bes el áugulo de inclinación de la tangente en P, entonces de 1) tgO ~ /(xo, yo)y la aproximación

Y. +.

II/(xo.)'o) =

LP + h tgO

= MN

+

NA ~ MA.

!r • •

RESOLUCION

188

MEOIANTE

APROX1MACIONES

NUMERICA$

Para obtener una aproximación mejor divídase el intervalo LM de amplitud h en n subintervates de amplitudes h" h, •... h•. (Eo la figura, n = 3,) la recia x = Xo + h, corta a PA en R~
Sea RS la curva iaregral de 1) que pasa por R y tómese en su tangente en R el ponte T cuyas coordenadas son (x, + h"p, + k,) (x"y,). Por tanto,

=

Después de un numero suñciente de repeticiones se logra. finalmerne, uña aproximación J\fC de MQ. Como se ve claramente al observar la figura la exactitud del resultado será mayor cuanto mayor sea el número de subintervalos, o. lo que es equivalente, cuanto menor sea la amplitud de los subintervalos. Véanse Problemas 5-6. METOOO DE RUNGE. 9)

k

= ji -Yo

=

~ hfo +

2l~h

De 5)

y

8) se obtiene

1 ..

f(x,y)dx

"0"

11+ Sh (ro +Poqo + 2foso+

(Po + foqo)

'l

2

foqo + loto)

Supóngase. por el momento. que se conocen los valores Yo~..vl')-'l de y = a Xo, XI = .\"o+ !h. Xl -= X() + 11. Emcoces. por la regla de Simpson. 10) k

=

1",·· '"

f(x,y)dx

~

~(f(Xo

Yo) • 4f(xo.!h,

+ •••••••.

g(x)

que corresponden

y,) • f(xo ..h, y.»),

Realmente solo se conoce Yo' El método de Runge se basa en ciertas aproximaciones de 11 e 12. y" ~ Yo • ihf(Xo,Yo) = y~ + !hfo. Y"a

~

Yo

+ hf(xo+h.

yo...hfo).

elegidas de forma que cuando k. hallado mediante 10), se desarrolla como una serie de potencias en h los tres primeros términos coinciden con los del miembro de la derecha de 9). Así. de JO)se pasa a h

11) k '" ¡¡(fo

+ 4f(Xo'

fh,

Yo+ ~hfo)

+ f[xo+h,

yo+hF(xo+h, yo.hFo»))·

Estos cálculos se hacen mejor así: k, = hfo,

k.

=

hf(xo'/'I,yo ..k,), k "

k. = hf(xo+h,yo+k.),

k.

hf(xo+!¡h,yo+;k,),

1

¡¡(k, + 4k. + k.).

Nota. Como ta aproximación de k- obtenida aquí difiere del valor dado por 8) en los términOSque contienen potencias de h superiores a 3~ la aproximación puede ser peor Si J'o > l. Véan.se Problemas 7-11.

METODO DE KUTTA·SIMPSON. Kuua ha hecho diversas modificaciones al método Runge, Una de ellas, conocida COmOregla de Kutta-Simpson, emplea los siguientes cálculos:

v case

•

Problema 12

RESOLUCION

MEDIANTE

APROXIMAClONE$

NUMERICAS

189

Se pueden obtener

ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTANEAS DE PRIMER ORDEN. aproximaciones de. la solución de las ecuaciones diferenciales simultáneas d. _

dX - A(x,y,') d" para la que I - J'. y : = =0 cuando x = x e- m••hanl< el método d. Picard, l. serie d. Taylor, el método d. Runge o el método de Kutta-Simpson. En la resolución de los Problemas 13-14 se han hecho las modificaciones necesarias de las fórmulas ya dadas. Rápidamente se puede ampliar esto a tres e m(IS ecuaciones simultáneas de primer orden. dy - f(x.y •• >,

ECUACIONES

DIFERENCIALES

DE ORDEN n.

L. ecuación diferencial

,. y • ttx.v.v',

d

y., ......•

y"_l)

ctx" donde y' .. :;.

y"

.•.. , se puede reducir al sistema de ecuaciones simultáneas de

primer orden

~ = Yl'

= y, •....

::'

o

•••

=

~~-~

y~_"

=

I(x.r.y,.y,

(y 1)0.

Y"I'I(y,)o.····.

~~_l

Si se dan las condiciones iniciale-sx = "o. y. Yo. y'

%

y~_,). y""l

= (Y"-l

)()

s;JStemJ.

de

se aplican los métodos anteriores. E"¡ao¡oIo I.a =3Cióo ecuaciones

direrenciaJes

dif..-.-.t

•

d y d".'

de t
aJ

sim\lltl1ne11i de pñmer orden

~ dz

..

."

d.

- • 4r -

véaese Problemas 15·16,

:Ltl •

PROBLEMAS 1,

2x dy _ 41 • O es ~ujvakntc dz

RESUELTOS

Emplear el mécodo de Picard para hallar el valor aptoA-imado de J' cU;\.l)do x _ 0.2 • .sabiendo que: y _ 1 para s = O

Y

y.

(~\'Id,"( .... '( -

AqUl le.t.)I)

,A.

-

y. ,'{o. O. Vo- 1, Luego

_y

Y.

lo •

,.

lo

y.

Yo •

Y.

•

_1_

73)

o

fa%

!(x.Y.)d%

IX

!<X'Y'l.)á:J.

•

foX J<:t.y.,)d:r x~ _

.!. x!) so

+

•

1 •

• ..!. JC" 12

_

[~ l' (- _z + 2x - l)dK • 2

J •

ir.

J •

1%

•

1 , '1 (-X _:t

6

1.

(- -1

..

0213

1 x' *'

JC' _

r

•

.

.2x-l)d:c

1 --x 6

.

1 -%

,

+x

I 1 • _ -x 3

24

1, '1 , -:t -;e .. lr-l)cfr

, -

'

__

%

z

+ 1.

•

%

,

120

f-

a -

•

% ___

U

%

•

,

%

3

1,

.a:

• - % + l.

l.

3

Par a x - 0.2, Y. = 1, Y. - 0.82. )'1 = 0.83867. Luego. eoo cinco cifras d«imalcs, j - 0.83146.

), - 0.83740.

"4 _

0.83746.

y, _ 0.33746.

190

RESOLUCION

MEDIANTE

APROXIMACIONES

NUMERICAS

NOf(J. La .primitiva de la ecuación diferencial dada es J' = .x - J + Ce-A. La solución particular que seoSract las condiciones iniciales x = O,)' = 1 es ji = X - I + 2(.-"': Sustituyendo (' .... por su serie de MacLaurin . se (.ene .Y • 1 - ~ .. x zl}1 - -.x

.. 1~1f1 + - x - _ % .. _ X 3 12 60 360 sucesivas que se obtuvieron antes, parece- razonable

ximacioncs

,.

suponer

eemparando

'.

esto con las apro.-

que la sucesión de aproximaciones.

dada

por el método de Picard tiende a la solución exacta como límite.

2.

Aquí

+ ),2.

I(x,y)·

L

Yo +

3x+ y'1,

x

XI) e

O,

•

~2 x' •

y,

•

Para x

y

., = .x

Si dd

c.

+

1

o

e

e, l.

Ji. 1,115.

Yo: l.

Aquí

y

+ 0.04

-

y=

lo

.

4% ... Sx ... l)dK

.-,r;

23 ~ + 3

_2

5 I)L x+ Q.lO

1, 12721.

-l. 2,

+ O,6h + 0,4 2 x=

1.6.

h=0.6

h'.l

0.4

,. • g

• Y

: g (x)

(x)

v

1

+-%

12

1 12(0.0016) g"(xo) h~

-

1 60(0.00032)

=

0.4.

6' + M 24 -

g"'(.x.)

ItS 0.4 120

+ •..

=

• -Y", • -r

1

• -

-

60

, %

Iv

K"(.r.)

116

+ 0.4 nó +

-2. 2.

gV (xo)

-2.

.

._

etc.,

Luego

(véase Problema L}

'" 0.83146.

-0.4,

g'" (.xo)

g'v(Xo)

= 0,4.

... '.

donde

etc..

h-

x-

'<0'

y

+ 0.6(0.6) + 0.4(0.18)

'" 0.81953.

IT

y

y

+

• -r".

y'" • ("(Xl

1.

8' (xo)

1 3(0.008)

= I para x-O. = 0.4 para x""' 1.

1,6. Y dando)'

g"'(xo)

h'l

0.4

'2

0.2, Y dando)'

1-y',

Aqui g(xo) = 0.4. g'(xo) = 0.6. y de la ecuación 6) se deduce

Po ra

= =

: x. -Y.

.

=- gN(X)

b)

0.4

3x

y, =- 1, 12&1. Y'J.

8(%0)

y de la eccacién 6) se deduce

1 - 0.2

x

soo.

y' • 8' (X) y'

y=

t

- y utilizar el método de la serie de Taylor para hallar el valor aproximado de )' cuando: b)

f =

x 9 .. (-x 4

x + l.

81 10 27 9 141 11 17 1 1157!> 136 ~ 125. -x +_z +-z +_x +--x +-x .-;x 400 40 80 4 180 15 12

,,) s

,,)

Lo

0.1. sabiendo que y = I cuando

Luego

Yo -l.

(3.x ... Yo)(Ú

1)

1 ..

3.

=

UtiHcese el método de Picard para b3J1arel valor aproximado de y cuando x x _ O y dylrb _ 3.x

- 0.4(0.036)

+ 0.4(0.0054)

- 0.4(0.0I)()648)

+ 0.4(0.0000648) +

.

Re80LUCION

MI!OIANTE

APROXIMACIONES

NUMEI'.ICAS

191

dy

.. S'.í, - 3x + y'

cmpbr

<1 oWlodo de la ...... de Tayto< .,. .. hallar <1 valor apdo de ) c.wodo .) l - 0.1. '1 dando y • I p"t'iI .. - O b), 1.1. Y dando T - 1.2 po .. , l.

A
11)

f.\') _ lt I \,1,

y'

_,'

'o"

-,"(\t-

y'" - R'''hl

3

s

,'1(

,

+

0.1

1

'"

¡\qll(

9

+ '2r + l~

+

+ 0.025

(X,.

y.) - (1,1,2),

,ttef\'l)} _ 537.078,

donde" _ x - x ..

J' • 5.

1,2

Ulil~

+

g( ••

+...

.0.00003

K'(.,.I-

+

(l. 1.21. .,.

h,6

+

0.0()l(12.031

,,1 = (1.075,

J(x••y,l -

0,025,

01 bl

1Jt ..

!'.' =

(x,.r,I

Problema

2.)

lt'

l:ro +

.

se:

x _

Véast

+ •. .,

0.00001(41)

el Ptobltma

aprol:I:nu.do

de:? cuando x - 1.1.

+ kl + k1 + k) + k .. -)'3 + ....

k, - h,J~,.. 1••• 0.111 :

4.44.

-

- h,JIJt",,) - 0.1191:

1.4308.

ns;», =

5.6608.

0.1299;

k. - hJ(.<,. ,,) - 0.1<15:

+ k .. = 1.7022.

derIvada. ron n = 4. para hallar ti v:alor aprox.imadO de: ,cuando:t

,

1 'Y ~d'Y_

.

t"l +

2y)'J't •

toma /tI - h't - 1,) • Ir. - 0.1.

11. 0.2~ A,

0,1,

/(.<.,)'.1

= fo =

,'1

(\,. ,,1

=

ti)

t.,,,r,)

= {1.3.0.60741.

11.2.0.45421.

h, - 0.1.

/1.".,,1

'1 =

1.183. k, - h,J(, .. 1.10,3183.

+ k.

Y. -,.

= 11.1. 0.318)~

= Ya

A,.

0.1,

/(x"y,)

h••

0.1,

Il'.,,.1 =

=

1.359. .i.

k:

,z

k, - h,JI<,.y,I 0.4542.

- 1.532. k, - h,J(',.y,I 1, = 11 +- k, - 0.6074. j ~

g*

4b

O.O~.fL.,.y,1= 5.1972. k, - hJtr,.!J' y, - Y1 + k) - 1.5607. 0.02~.

1.7270.

j'~

0.02S. JI, + 41

h••

1,5W7~

para

+

+ k. - 1,311. fL',.)·,' = 4.7937. k,

h,

de la primera

Aquf Ir _ 0.4 Y

y de 6) .. ded_

K"'lx,l- 72.202.

13.6$6,

It, - 11) - h.. -- 0,025. Se busca Yo

j se Yl

= 0.2

0.0001(22,41

+ y.

I '1 dyldX - l.\'

II.OS. 1.4J08~

Utilk:ese el metodo

#"(".1-

dc:riYllda. eco n _ ot. pilti1 !\;IlIar d vaSor

ptlmcn

y,

bie"do que )'

lSC.

(Véa se

"'.1272$

4,44.

h~

b) (","',) - (1.025.1,311 ~ A,

6.

C.f.' _

~Ii

, y de 6) se: deduce

J', -

d) ~'"

2,,,",

'2 + 72.202 6 + 537.078 :¡¡ + 4973

que- y _ 1.2 para s -

Ix,. y,' =

+

hl'll \ - 0,1.

I _1.2,

),'

Aqui IJ .,. 0,1 Y se toma h ••

<J

,.. ('.1 - 54.

In

0.114.441 + 0.0116.a2l)

(tI (.••.y.) -

+ 8.• ),'"

,'''( •• ' _ 12,

Pan x - .,1. Ir - 0.1 '1

el método de la

blendo

611".'

4973 •••••.•••••

x·(xo).

y. 1.2 + 4,44h + 13.656

6y'y"

+ 2,·)' .., + 2,1'..·•

+ 0.00022

l.

," (>.1 - ~.

+"iOx'

_x6

+ 0.002

" (x.l-

2yy',

- 21y'I'

y' _ 11" Ixl Y «« (>1 ., - I

+

1,704. k. - h./I',.y,l_ y, + k .. = 0.1178.

0.1183:

_ 0.1359:

- 0.1532:

0.1104:

-

1,4,

sao

K!:SOLUCION MEDIANTE APROXIMACION6S NUM€JlICA$

192 7.

UliJtecse ~Imétodo de .\ .. I Y dyld:( • x -

RUI1gt' patil

halhar el VOIloraproximado

(VCasc Ptobk:tna

,Y.

CY" .. Y.I - H. O.4L Ir - 0.6.

Aquí

k,

Iof.

k,

hlh

s=

de) cu .. ndo

1.6. sabiendo que y - 0.4 parla

Jh.)

1"

1 ... 0.4 • 0.6

LurIo

0.36. h.y•... k,1 = 0.6[0

D.61- 10.4 + O.16IJ - O.lOC.

k, _ hfl.'·,

h.)'•... k,) = 0.6[0

10.4 • O.lOC)]

0.4176.

k. _ hflx

ih.y. + tk,) - 0.ó{11 ... 0.3) - (0,4

+ 0.181]

- 0.432.

1 k .. 6(k, + 4k .... k,l

=

Q.6'-

1 '6[0.36 + 4(0.432) + 0,4176]-

J' -

y

0.4176.

k.., 0.8176.

)'0'"

La difcrencln emre este valor aprcxlrnadc 'i el haUadu en el Problema 3b se debe a que" = 0.6. Si KC hallu <1 ""Ior de y cuando x = 1,1 (esto es. h _ 0.1). l. seri. de Taylor d. jt = 0,4 + 0.6(0,1) + O,4(o.oOS)0.4(0.000171 ... 0.4(0.000004) - •••••••... ~ 0.46193. Y por el método de Rungc se obli.". k, • 0.1(0.6) _ 0.06. k. _ 0.111,05 - 0.43,-

1.

t

k,

= 0,1(1.1

0.062,

k,

- 0.46).0.064.

k",

1

¡;(/<, ... 4k ....

k,l-

0,111.1 - 0,464) = 0.0636. 0.06193.

U,.1Icc:sc:c1mnudodeR\lngc:parabalJardvaJorlpto",madodcyeuandox y 3x + y'.

z

.,'/d., •

I kl

Aquf

(X••

-lifo -

0.1,

k,

".)=(O.I~

h=O.l.

1._1.

e

y'"

0,46193.

0.1. sabic:ndo quc y

=

I para x - O

L_

hf(x, ... h.y, ... k,) - 0.1[3(0 + 0.1) + (1 ... 0,1)') - 0.151.

k, • Iif(.v •••

h,y, •. k,) - 0.1[3(0 ... 0.1) + {I

k. _ Io/(x •... ji,. Fo

+ jk,)

1 k '" 6(k, ... 4k, ... k,)

=

0.1[3(0 ... 0.0))'"

+

0.151)'] - 0,16248.

(1

+ 0.051']

- 0,12)25.

1 6[0.1 + 4(0.11525) + 0,16248] - 0.12725.

e

e

j - Yo

+ k '" 1.12715, Véanse Probkmii)

9.

2 y 40.

Utilkesc el metodo de Rung<: para hallat el valor "pto~im:ado de 1 cuando:c _ 1.1. sabiendo que y _ 1.2 para x -

1 Y

dy/tix -

3x

+ )~.

Aquf « .. Yo) - 0.1.2).

*, _ /tI. -

0,4441,

k, - hf(xo

+ A.,'o + k,)

k,.

h/«o'"

= 0.1[3(1

l. = 4....

+ 0.1) +

L_

(1.1 .0.444)']_

h.,·o + k,) - 0.1[3(1 ... 0.1, ... (1,2 ... 0.60027)'].

k. - hf(,<•... ¡h. ,'o + k ..

h = 0.1.

'61(/<, + 4k•...

k,)

tk" •

=

0.1 [311 + 0,051 + (1.2 ... 0.222)']

0.600274. 0.6S4097, • 0517208,

1 6[0.444 + 4(0.517208) + 0,654097] _ 0,527822. j •

e

Y.·' k '" 1.727822.

Comparando este resehado con el obtenido en el Prob'cma 4b SI: observa que 1* apto.x.i.maeión es mejor que la que podía haberse esperado habida cuenta deJ valor l. _4.44.

RESOLUCIOr<

MEDIANTE

APROXIMACIOr
lO. Uhlkae el mctodo de Runge para hallar el valor aproxln'Uldo de de d)"dx que: satisfaga 0.4' cuando .'t _ O••

.¡;-;-;

Aqul

1

"=

h .. y.1 - 10.4.0.41~

A

=

l. _jG.ii _ 0.9.

0.4.

r
193

e....ndo .\ _ OJ' para 11 sotuoón pintada,

Luqu

k, - Iif. - 0.36.

k,

+

-It/L'(o

'~.r-.+

O.4..ji'SI_

ti. -

k, - h/l'·. + 4.. r. + k,1 -

4~•

+ ib....·• + !t••-

lif(x" I

k ~ 6Ck, + 4k.

+ kJ)

o.4JiT9

0."3811.

-

O..soI20.

0.4,,/i:7iii _ 0.S2325. .O.4J6lS.

e

+k

,i' - J'o

~ 0.84811.

11. Resolver el ')roblcma 10 hallando primero el valor aproximado de )' f)3ra s _ 0.6 y después, tomando este de valores COmo t"o.Fo). hallar el valor tequerido de: v. Primerameme.

ro) ,." (0.4.0.41),

(,1'0'

h - 0.2.

le.

k, - It!(x. + hoYo + kd.

0.2.Ji.19

_ 0.21811.

k,

Iif(x. +

h. O·. + *,1 - 0.2fi.22817

k.

Itflx. +

!h.y. + 1*,) -

~(kl + 4.<:..& + kJ,

,.1 'l/.

Ixek, -

= 10.6. 0.61028~

,_,

h - 0.2.

...

k :::-0.61028.

Jo •

Lue,o

..11.21028 = 1.1001.

= 0.2..'002.

k, - hrlzo +

lo. Yo + k,) - 0.2JI.6J030

k, - '!fCx. + lo. Yo k. -1'/(.'·0 k

e

OJ0028.

e

_ 0.22165.

0.2.

I

::t

Tóm<>t •• ho,..

Luego

nI. = 0.18.

k, -

k

JO.SI _ 0.9.

pi"

I ~ -(k. 6

+ lh.}·o

+

4k.

+ k,) =

_ 0.2$$37.

0.2./i16S6$

+ lk,l-

• 0.25812.

O.2jl.42029 _ 0.23836.

+ k1) - O.2~860.

¡-)'0

e

+ k:t; 0.84888.

12. Rf'SOl\'t'rel Problema JO utilizando d método de' Kutll-S.mpson. Aquí

I.-- .. J'.) - .0.4.0.41)..

h = 0.4.

l. - ji.ii _0.9

LUCIO

k, - Al. = 0.36. k, - hltx. +

:1"."·0 + Ikol -

.4, -- ¡'{("o + ;h.,I'O +

*. =

Jk:,

1

j

0.4fi.i9

• 0.4363$•

O.4Jl,22W _

0.44329.

+ h·Fo ....kJ. = O.4..jí.6Sñ9 .. 0.51432.

"((\'0

Ir ~ -(k (,

=

+ 2*1 .... 21<) +

k.' -

0,43893.

e

,Í'. l'O

13. Ulilk'C$Cel método de Picard para hallar los valores aproximados de <¡olución panic,:ulOl' de dI"

,= /Ix.)'.

dque

s.;.fl':(~Ct ,'.

=1 - x + :.

2. : -= r cuando .v = O.

,1'

+ 1(

~

0.84893:

y : correspondientes

d'

i; • t(x.,.. :1--

.\>

=

r'

8 .\' ..,

O.J para 1¡

194

RESOLUCION

POI" las primer",

MEJ)IANTE

APROXIMACIONES

NUMERICA$

aprcxbnaciones, 2 ,

L

1 ,

fo"<-4 • x)d:t

x

y,

Yo + ~

"

to +

f(~.,o.!o)dx

IX •

g(x.yo. ~)tÜ

•

x

2

(l-x)ea

,

t

J:

-+

,

2

::!%

•

1 - 4x .. , x ~.

Por las segundas aproximaCiones.

•

•

10•(-4-3x_312

1 ...

- 4x -

Por las terceras s aproximaciones.

2

t

~x? _ .t} _

!.x~_ 2..;c'.l.

2

•

r

2 -+

,

¡:~

lO

..

-x 2

- x - -x 4

..

1,

-

-;c )d.r

20

x _ ~x2 _ !x5 _ ~.x'_ ~x'.l __ '_x6 2

Jo•g(X,y,.l?)dr

20

32}1

(t - 3% -

•

.. xi_Ox")cú

l

1 ..

::t

•

2

(-4 - lr

4 -+

Sx

?

20 7,. 3

+ -x

120' 31" 12

- -x

t

-+ -x 2

'.1

1 ti )dx36

_ -x

y asi sucesivamente.

1

•

Cuando

x

= 0,1:

=, = MO~

)', = 2,105 J'l

:

= 2.08S17

:, = 0.58397

=, _

Y:l - 2,08447 14.

0.58672

Utilícese el método de Rungc para hallar los valores aproximados

ticular del sistema 4y :; x ... .¡; dz x = 0.2. Aquí

k, - hl. I1

/(X,1,L),

= (0.2. 0.$, O).

fx(), ,VO. 1(1)

k,

•

-

dz .. y

dz

= 0, l. /0

JI

de J' y

%

-./i :.g(x.1'.;)

= 0.2.

cuando

).' = 0.3 para la solución

que satisface v

= 0.5. =

1"11',

= O CU3ndO

,~o = O.s~ Luego

= 0.02,

hXo = 0,05.

= "/('<0

Jil.Os) - 0.05236. - Jil.Os, ... 0.02964.

+ h.yo + k,. =0 + 1,) - 0.110.3 +

1: = 'IR(,'*o + '1')'0

+

k r- :()

k) = J¡Jt~Q+ h,yo + k2':0

+ I¡) + 12'

= 0.1(052

= O,HO.3 + JO,02964J

= O.04nI6.

1, = I't:(xo + h.yo + k,. '. + 1,) = 0.110.52 - jO.02964) = 0,034784. k. = lif()
l. I k ~ 6(k, e 15.

.f

+ th.yo + tk,.

= ".~(Xo+ !It.)'o + 4k. + k.)

Utilícese el OletOOOde la serie de Taylor

=. + ti,) -

tk,. 'o

= 0.03341 .

= Po + k ~ 0.53841.

• parneu • 1at de 0'0 1a so ,.ucrcn d,i':=

+

+

ti,) , se I

=

JO,02s)

= 0.040811,

0.1(0.51 - J0.025)

= 0.035189,

0.1(0,25 +

¡al lb

+ 4/~ +

(31 -

+ , ~ 0,03759,

para hallar ti valor aproximado

',' - Q• sen O Que sausrace

0.03159.

O _ 1t/4. dO ;¡;

de

=

O correspondiente

J para / = O.

a

I

:=

0.05 JXlJa

RESOLUCION MEDIANTE APROXIMACIONES

La ecuación diferencial eb-d* es cqulwlc.nlC al

c#> • _

;¡; • '" • /(1.8.4». '.0.

'!!!. • dt

8 •

9~•

cIJl

e¡.-4lÍ2

tf'. tI/' (JI" ~ rI>"

0;0-.12

B"

ff/t

+-

o:

t -

9.ot.,

sen

(1 •

1(1.6.4»

Se tiene

~0:1.

1

.. ,12

8

dI

0"17/4.


(1'.

195

estema

d8

con las condiciones iniciales

NUMERICAS

4>' • - 8 sen 8

4>~ • - ,12

"'-0-89'co.(I

~'-412 se" coG9

8(9')' sen e

"'~.

-

... 32


l'

.12 - - .12 -1' 2

o:

0,82821.

6

Urllicese el método de Kuua-Slmpscn para hallar el valor aprcxlmado de J' correspondiente a x ... 0.1 pa .....h. . . d~ ~ . solUCión particular de + 2t.;.x. - 4)' .. O que ~tJsrace )1 d:c' (Ú

-

• 0.2. -1 - O.S cuando t v

x: =

1..... ecuación dad .. eon condiciones iniciales es equivalente at s;stema dy

d; •

con condlClOOCS Aquí

IX..

mmks.'( "o. =.1 =

i :1.>' - 2tz d'

!(s.,.z).

¿ •

O. .".

0.2.

==

• I(,It.)'.:)

0.5.

10.0.2. O.Sl h - 0.1.

lo =

05.

1<. - U

Lvc:go

k, - ~fo • 0.05. l. - h,~() • 0.08.

= "1'(.\'•.. !/,.yo + l.,. =0 + {/,) - 0.1(0.54).0.054. !h.yo" lk,.=. + ti,) 0.110.846)·0.0846. k, • ,,/(., lh.,... ik,. =... ti,) = 0.110.5423) _ 0.05423. 1, = 1.. (., jh.ro" j*,.:o + 1',) - 0.110.853771- 0.085377. k,

1, - ""t.v ••

k.

=

hft\•.....b.~'·o .....k,.

* ~ ¡,fk, + 2k I

1

.....

2Jc) ..... *.1-

=o

+ I:~J- O.I(O.S8S371, - O.0S8S377. 0.0541663.

e

1-,."

k

':t

0.25417.

O.

1%

R€$Ol.UCION

MEDIANTE

APROXIMACIONES

NUMERICAS

PROBLEMAS PROPUESTOS

1,.

lIallar el ,-.Jo-r .. proximado dC' y para x = 0.2 si dyldx _ x + y C' ~ _ I para .. = o. tltilitando al d metodo de P~..,d. h, 1.. KOC: de TayJor y "') d método de b ptuMn. dc1"iV'..d .. con n = 4..

>'. - 1.22. Y1

&H. 4" 18.

Do

1.2121;

hi

1.273$:

111 j. - 0.905, Yl - 0.9143. J') ... 0,91).8;

hl

0.9138: de

U1th1':.lr c:I.nccodo oe Run~

ck ,.

\ • 2. 21.

Uhllbr potra

2:2.

para bailar eS vater ..prolim»do

t'I

r pira

Utilil ••r el método de Rurtgi' para hallar el vaIOr a proxilnado S.I(. 1.0256

.\ • O 20,

<1

1.2503

Huftar el valor aproximado de ,. para ,\ = 0.1 si dyldx •. \' - yl e J' _ I para x = O. utilizando Picardo h) 1:. serie de Taylor y ('. el método de la pnment derivada ton n = 4,

Sul. 19,

1.1651. Yl

pi'"

0.9107

,\' ~ 0.025 si d)'{dr

r

a) el mécodo de

= .v +

ye ,. -

= 2.2 si dr/dx = ... l'lx

1 f)í.lra

e v ""' .2 p:lr~

SbI. !A096 C'Imetododc

\ •

OJ.

RUQgt'para NlJard 0.3607

YilJor ap..-oxirnadodc:T para x

= 0.5$1

d)1dx

= ...¡X

-lyey

_ 0.17

Sol.

Rcsohtt (1 Problema 21 u(ílizando

d método de Kun~..slmpson,

Sol.

03611

=

2.1. Ullhz.ar el mClodo
IX.'.

$.,1. P ~ O.4S4~. : " 0.1450

24.

Ucili7.ar el melodo de Kuna-Simpson d1p

licul~r de

:;::¡ + dI(

para hallar el v.lor M;ptoximado de y cuando

~

Jx --

(Ix

~ +}' -

O satisfaciendo»

•

- 0.1. "'7 ~,'I(

0.2

cuando

x =

.r = 0.2 para 1.. solución par~

0.1.

S<~/. O.IIQI

CAPITULO 25

Integración por series ECUACIONES DE PRIMER ORDEN. ción diferencial de la forma 1)

El teorema de existencia del Capitulo 2 paro una ecuarly

~

f(x. y)

dx da l:a,scondiciones suficrcntes para una selución. Ullh7..ando serie de potencias en la comprobación se ha hallado y en l. forma de una serie de Taylor y.-

2)

Al) + A~(x -)(0)

t- A,(x

+

_)(0)2:

Al1(x -)(0)"

t

.•.•••

,

donde, por conveniencia. se ha sustituido )'0 por Ao. Esta serie J) satisface la ecuación diferencial 1), 11) tiene el valor y - Yocuando x - Xo y 111)es convergente para todos los valores de x suficientemente próximos a ."C - XO. A) a)

Para obtener l. solución de 1) que satisfaga la condición y - Yo cuando x - O: Supóngase que la solución es de la forma y

~

Ao • A,x • A,,)('

t

A~x' -+ ••••••

""x

lit

t

•••••••

en la que Ao t= Yo Y las restantes A son constantes que hay que determinar. b) Sustitúyase la serie supuesta en la ecuación-diferencial y procédase COmo en el método de coeficientes indeterminados del Capitulo 15. t:Jt-pIo 1-, Resolver J" -

r + J' mecHante:

una SC'Oc que Jalisf ..", la COfMIlCtÓnJ' •• ro PlD \ _ O.

Como lf'(,,vl = xa + .'1 es uniforme '1 continua '1 tJll~)'. I es continua (.1l un rectángulo autlquicra de: valores (,Y. )" que incluya (0.,1'0)' las condiciones del teorema de existencia se satisfacen. por lo que se puede suponer la sclucién

Ahora bien, dentro de la región de con ..-er&c:nCtllse puede deriv:t.r término a ténnino esta serie dando tupr a una serie que converge tendiendo a la derivado )", Por tanto,

1'-x'-y

(Al"

.40) ..

(lA,

.. ,4,1)'& • (3A3

• (n~

p.,r3

-

..

A2

An_1)xl':"1

..

..

.. {4A •..

l)x'

•

A3)x'

•.••••••.•

O.

que: CSUI serie con ..'Crja para todos los valores de .v en una ~gión que circunde: a .v ... O es nc:ce:sario)' suque: los coe6cic:nllt$ de oda polena .. dt .l' tiendan a cero. Lueto

6cienle

A. -

Ao •

2A, - Al

.

A.o

O

Y

A, •

O

Y

1 .4, • -.4 2

:o

1

-=

Yo.

Y

A, -=

4.4" - A3 • O

y

A" -= -.

1 -.40 • i1 YO' 2

y

A.,_

197

1

3" ..

3A, .. A, .. 1 • O

•

1

ñ Ars.-l'

n ~ 4.

1

12

1

¡lO. I

-Yo. 24

198

r~RACJON

POR SERIES

Esta ultima relación. denomln.d. unaf6rmulu lk rN'urrmcia. ñcernes: ".'1.

se puede: uuhzlr

-. 1

360

I

72Q Yo •

es posible obtener los c:odkictnes de' la Slpntc forma:

Ta_m~

Como

'Y

Por Canto. An

~

%

--

n-l

•

---

1

11(1\-1)

An- ••

1 ( I n(n_l) (n-2) •••• '4-3

1211,11. YoX .. -Yox .. (- .. -Yo)x 2 3 6

Yo·

•

(Yo+2)(1+x.2..x'+..!..;t'. 21

Ixt:' -s Q.1t.

ye -s •

A.t.

~-2'

J

PC'tOA.t_2

jo

o:

Art_:3o

--

n-2

•••• ;

,A >

o

los vaJom de l:as A en b sene supuesu se \lene

•

Utilizando

I

.. ,

1 A) n(n_l) (n-2)· .... 4

•

Si se sustituyen

r

para el cálculo de los demás coc.

• (_. 12

2..%~

-+ ••••••

) _

s2 _ b

•

_ 2

n!

oS

inicial. y - Yo cuando

la condición

24

3!

2 (-x_2x_2}C'

J""

1"-

-(2-+ Yo)s n!

-10)%

e

jo

'1 •

x _ O.

e-

,lOO

+

CC'~ -

2 e y .. (1.

x2 -

+ 2~

2& _ 2. - .~ -

2,,. - 2. como

antes. B)

Para eereoer la solución de I} '1"" satisfap

a)

Hágase la sustitución x - '\"o:: v, esto es,

la coodición y - Yo cuando x _ xo:

dy."";¡;,

x=v+x:o.

che

resultando dy/do = 1'10.y}. b}

UliJíces<e<1procedimienlo de A para obtener la solución de es.a CCU&:iónque satisfap la dición y = Yo para v-O.

e)

Hágase la sustitución Ejemplo

2.

Resolver

C1"

x -

en la sofucién.

Xo

+

p' •• ..:l - 4." + Y

I ~:uisr<1ciendo La condición

Há,p$C en primer- lugar la $USliluaón .x - r" satisf"ap

y - 3 euaodc y

luego

•

~ - O. ~ra

3 + Al."

..

.4,,,

2

2 obtenic:odo :

se supondd

dio

1.

+ "3v

eOD-

,

+

como

_

r ... J' -

\ • 2.

3. Súsquac

la solución que

solUCIÓn la serie

"'_,,"'

V

l' = 3 cuando

••••••••••

""

...........

·Y

;¡;

y

............ • o.

Ig.ualando :1 cero Jos coeñciemes se tiene: Al O. 2.4: - Al = {I y Al • O. 3"'3 - Al - I ... O y A, - l/l. "A. - AJ = O '1 A. _ If12 •...••.•• 0=

INtEGRAC10N

La fórmula de:

l'CC'UtrenC13

• y

•

I - A.

A•..

I

•

I

---

n(n - 1)

151. 3 + 3'" ..

199

POR SERies

da

-----''---A

.4.. .. ,

2

,

-(x - 2)

................

+

..

_2 (x _ 2) •

.

.

.

...

.!

41

" ~ 3.

.!

2" ;;¡tI

12t1

2

•

n(n - I)(n - 2)· ",4

Véanse: también Problemas 1-4. ECUACIONES

LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

3)

p.(x)y"

+

Cons1dérese la ecuación

+

P,(x) .."

P,(x) y - O

donde las P SOn polinomios en .\'. Se denominara x = a un punto ordinario de 3) si Polo) otro modo, un punto síngulur. Si

,1:

=

O es un punto ordinario se puede resolver 3) en y _ A {sede en x}

4)

serie

+ O~de

alrededor de x = O como

+ B{sorie en x},

donde A }' B son constantes arbitrarias. Las dos series son linealmente independientes 'Y ambas son convergentes en una región en torno a x = O. Se puede utilizar el procedimiento para 'as eeuaciones de primer orden que se explica al principio del capilUlo para obtener 4). véanse Problemas S·7,

,

•

•• PROBLEMAS RESUELTOS ECUACIONES OE PRIMER ORDEN. 1.

Raol~r

~

• ~~:

Sup6npsc donde AQ =

1'0'

mediante una serie q~ satisfaga la condición ,. - "" C'U.Jndox

que 13 sene es Entonces.

'Y."'o "

'" A ,%

... A,.x2

... Á$x' • A ...a:· .. ••••••

• A, ... 2A~ + 3A~.:ct ... 4.4..,,5

Sustituyendo en la ecuación diferencia' dada (1 - x).v· - 2.\' + (1- x )(.41",

2A.,x -+ 3.4$x2

_2

4A .....' + ••••••

(Ao ;.

A1% + .4,z2

+ nA.x

n

+

•••

)' ..

1

+ .4,z'

= O.

• k.:cT. .. ~.x"'-l

, ....

+

O k llene

~ ••••••

)

A,sx""

) * O.

de dO<1d< (A. *Ao) ... (lA,_2)%-+ (3.4, -A.) ..' .. (tA...-24,)

x'

-+ ......

(n.

1)An,... _(n _lM.tlxl'l

+ •••••

o.

t NVIO, Par:! hallar el ~rmino general e:n la C'xpresión ..menee se puede escribír un número de I~rminos al otro lado del término general de la serie supue5ta para y. óeriV3r cada uno para obtener y', efectuar las multlpli· caeícnes necesarias y tornar Jos términos en :1(", O Sf-A. hay que aprender a escnbir el termino requerido unl'undo tI término general de la serie supuesta y su dcnwda. En el probfema presente $Cdesea el término en -x" h~lendo las susthucicnes en.'/ - .'<)" - 1,1; ·10Y O. Primeramente, se necesita c,1 rérmmc en x" de y' cuando se tiene el

200

INTECRACIOII lermino fe')lanIC$

en .\"''' 1, Remplalando simplcmt:nte -nA ..," + A..\'" SOn cvidenlC$.)

lau.:alllndo a cero los ~nles

A.

• O

·Ao

2A., _ 2

y

O

(n;.I)A"

..t

0-2

• --

• - Ao.

.

A.

O

c. _ 2)(n

- 3) •

I )A •• l~'

Los terminO!

2)·········

-1)(n-

(1

.. ¿

I

Yo(I-%) ..

2'1

"4'

1 , -,

A.

)

2 nCn _

A,

3

G

6

2).

(n - 1)(n - 2)

1)

..!.. "+ 2..~

3

1

ZAs

en ::

3'

.-.

I

0-.;:2:...)(...':,-",3,,)-'.C n::",.-.:.:.4 ) Att_ -,(;:_;; 3

,."..t

n(n- 1)

Cn- 2)(n -3) (n - 4)······

11:

+

A, ~ 3 A,. ~

A..., • "•---1 A•• , 1

y

~--~~-=~~~-----=~

nCn

(n

I

y

4A. - 2A, • O

11:

A.._.

n

3A, _ A, • O

1.

(n-I)A,¡

-

"A.-~-· se obtiene-

n por 4" • 1) en

de- 'as diversas potencia, dé ,'( se tiene

A•

Y

POR SERIES

~:rO:¡

10

n(n_

1)

liJn

tt-l

-:-;:-2~::-.".

~ .. 2 n(n_l)

1

Ulihnndo

C'I criterio

La sene eenwrge

~'(I< L

"_·

Notu. Mediante e.1factor integrante Ctl - x), La integral particular

,,-.

....x"

n .. 1

•

I/CI - x) 11 solución de: la ecuación drrereOClaJ es J' ....2(1 - \~ Inll _ .\')

+ '2.\' +

pedida. es

.v = )'0(1 2.

ti_¡ A...'lr"·ll •

de la razón de Cauch)'

para

-

+ u,

+ 2H - x.lnft - x

.\')

y .. O mcdlllntc poh:n¡,;¡aS ti e r

Rc:solver (l-x)'»)"_

Supc;nw,:.a"Cque' la serie es

"J

Fruoece ....

(1-.11)1'-)' (1 -

AoJ: .nA.¡_.t

•

A• .r tr-l

l

-

......

.4,..." )

As..'· - .•••

-

(.40.

(A,...Ao) o- (2ArAo..frAl)%'"

lauulando

3"'0

a cero 10$ coeficientes

.. 2A.oA, - A~ _ A, -= O

Al'"

-

A.a .. "".

t,,,

A,%

,

(3A3-2AoA,.-AI-A.,,t'

de las distinllS

y

A~ •

····)(A1

2.~,J:'

I

.....

Artz'

~ •••• )

lA$Z1 .. 4A.,.'

,• (4A.. -3AoA:)-3A1A~-A:)x

potencia,

1

3<2Ao,4, ..

A ••

...........................................

-

• As"-

..!. k(l 24

,

,. ••••

de s,

2 Al"

A,)

1

2

.. 6.40(1 .. 5Ao .. 2A().

~ 17Ao .. 26~

.. 6~).

.

O•

INTEGRAClON

Portalll().~

~ I~o[l

En este caso no 3.

1 X _,_-(l'Ao)X 2!

t

Sé'

I _ 2~ .. -(1~,)Ao1-2AO)% 31

'2

201

POR SERIES 1 2~.. + -(1+-17Ao"''26AO+6Aólx .;!

J

+ ••••••••

obtiene una fórmula de recurrcncia ni se logra una c:cmprobaci6n de 13convergencia.

Resolver xy' - )' - .\"- I - O mediante potencias. de (.\"_ 1).

=:+

Poniendo.'( potencias

de

I la ecuación se conviene en

Ao ._ ..t1:.

2. :dy

1) -

d,

- y -

A,~' ..

)j3;j

t

A .;..

lo

4A .. .:i

3A3:'2 -+ 4:\ • .:1 ... ~ .••

-

2 - Ao)

.. (U.,

-

1)z

.. (3A:!

Igualando ;).cero Jos coeñcienres : O

2A, - 1 • O

Y

(n "l)AI'I+l

Del Problema 1.

y

-,...

Luego

••••••••

y

A't

+-

-+ •••••

)

AtZ .._A~:z ~ A,l.~ (4.4

A,.::1t

2.43):'

... (n-l)AI'l}:"

)

.

... ••·••··•·•

:- O.

de las distintas porencias de :.

4, • 2 • .lo, A,

nAn:n"l

.¡,_

.42):2

+ [(n+l)Ar,."

.4, -2-A()

nA,¡:r..-l..

(.4.0 ..

- l - 2 (.41

ArlzJl.

+-

2

% -

(l'" 1)(.41", 2,A~z

e.

•

2A~: .. 3,13,1:2"

At

d, t

2 :- o. Como se busca Su solución en

Z -

d,

z, supóngase que la serie es y

(l-

1) dy - J -

(t. ..

3A!) .. A, -= O

1

" (n-2)(n-3)·· ( .. 1)' n(n

.... 2·1

-1)·.·.·.·

I , -,

A.

y

1

3A,

- 6'

I - -A3 2

I 12'

-= -

y

.. (n -1)Ar: -= O

.

2.4, : O

4A ....

2'

A,

y

.. ·.4.3

A2

1 l + _;I • - •••••• 12

2

$'

'" ~(%_1)2

-

n ~ 2.

(_1)": ---. n(A -1)

1-

(-1)

• ........

n

n(n -1)

Sustituyendo z por (.\' - 1) se tiene y

:; ·40% • 2(x_J)

•

.4Qx"

.12(:1-1)'

_

.

2(x - 1} ..

Empleando el criterio de la ruón

de Cluchy

lim r.-~

Ix -11. La

¡<X-l>'

serie converge pata

1:( - JI <

lo

• -1 n • 1

202

INTEGRACION

... R~soIvcr,'

POR SERIES

- xl - ti .. O satiúaciendo la conchción )' - O cuando

11(

O.

-

inicial. s.upóapsc que b. serie es

Tcn.cndo en euc:nta la cond~ y

Al • 2A,x

1'.

Por ,.n10. t'J

3A,.'

+

;. 4A ....' .5..4&,,-

+

••••••••••

.

...

•

1,'211 + --(Alx 3! 1 ... Alx + (A'loO

1 .... ) .. -CA,x

3A,A~••.••••

•.••.. )

.

41 122

lA,)x

.. (A, ;. AtA •• 1,

~ (A•.. -A. 2

1"

¡A,)x

tAtA,

12

1 ....

-AlA, .. -A1).x 2

.

24

SUStituyendo en la ecuación difercnaal.

Igualando a cero Jos coeficientes de Jas distinta. potencias de x, Al - 1 • O 3As - 1 - A2

I

-

"2

2 Al·

y

O

"3 • 17 Al) :0_,

2 I -% 3

1 • + - % J

11 I + -.

111

•••••

:.1." ••••••

60

.

.

ECUACIONES LINEAl.ES DE SEGUNDO ORDEN. S.

Rcsol\'Cr (1

+ rb''' + :fy'

Aqul Po(x) • 1 ...

- Y - O mediante

r, PoCO) .;. O Y x

:00

potcOCJlI de x.

O es un punto

ordinario.

Se 'upone la serie y LUCIO y

y' y'

•

...

.

+

••••••••••

.

INnORAOON

..12A

... 6Ar

(l.x~)[2A,

2'

+ nA.,.;c1l.-1 de dOl1de (2A2

140)

-

1,l.lltlando

3

*'

n(n_l>A=;rr.-,.,.

......

) _ CAa .. Al":

6A~.x .. (IU ••

cero los coeficientes

y

.. A:z.r2

]

AoCl ..

í,l"

•

.40[1 +

-.•

6.

Rtsoher

,,-(1

••.•••

O.

o

y

n -1

que A" - A, • AT•

•

a

--A.. n'2

A., ••

= O. $0 es. A.....:

••

(-1)

14:-'1

1 .4.. - - -Aa •

.

.,

- O 11" es

'·3·5·····(2.1-3)

,,-.

2".'

1 •

1»

-,

.-

I

A.· .. ··' A.x"

lim

O.

)

8

¡'(-I)

1

2

4A•

-.

-

1 2

•

.a' •...

.. ~:r.

- .-,.... e. _,. ••••

de e,

y

A

lA,z

.. 1)A,.o'.l: .. (n2 _ l)~lzA

(Cn ... 2)(n

o

=-

..

......

C$

1 ,

•

•

Aquí

completa

.I(Al

1204... 3A,.

(2.1-3)(2.1-,) 24:(2k_2) la solución

J •

••••

x' .. A ..,z"

o

1 (n _1)Arz

I

203

.43

de las d.istinlaS potencias

Oc: la últrma relación se dedu« Inmcxh¡ramcnlc impar. Si n es JXlr. (n = 2k). enl0~.

Luego

lo

3.4,).11;' ~ o ......

6A,. (n ..2) (n • 1)""", ..1'

POR SElUes

"'.1

. ...

t· 3·;····· (Zó - 3)

". ...

¡'(-I)

..

11m

;at

0-.

,1'

tl J

+

1t 2 i!

2'.: n

•

...2.1

1·3·5·····(ZÓ-3)

.•

A"

•

A, x,

•••

-1

n+2

yo. - ~ ..,' - ." = O mechaRte' pexeacias de s,

Aquí p.t\", - J y.1' = O es un punto ordinario.

Se

$Ilponc:

la .senc luc:go

y y' .. Al + 2A~x 2A,

+

.. 3A,.c~

.. SA~x

nAn,,"-l

12A." ~ .. 2OA6x 1 -+- ••••

I

.••

oo.. •

o ..

o ••

n(n _ l)At:x ~t

•.•.....•

)

.,-- x',, - , •

(1.4, _

AaJ

(6A, - Al)'"

• (n. IguaJando

(lZA

- Al - .4-2)z?

2)(" ,.1)A,.., - (1'1. -1)~_1

a eero los coefiocntes

de b.s dis.intas

pocenci3s

(3M. - 2.04, - A..)~~ de

Aa)"'"

s,

.

-:

O.

INTEGllACION

204 (n.. 2)("

+-

llA...2

-

(n -l>Ar._l

-

POR SERIES (n - l)An_l

.4" ••

>

An .. O

-. I

y

,

- 1 ••~ 120

3)

Ac

•

(n ...1)(11.+

n ~ 1..

2)

__13 x 2520

+-

)

1 • -%

360 1.

= .r

Rellofver y" - 2.-c2.tt + 4xy Supónpsc

It

A':tJr? +- A3~' +- A..x Ij

%

1

y' • A,

,10.

2A?%

3.4:1%2

t

3

2.A~ +- 6A x

fA ..

+-

•

..

+jo

Leegc

1~1I.r~

+ nAnx

•••••••

l

rt

+-

"

.

,. n(n_UJ'\nx,,-2... Z (12J1.+2A1_l)X

(6A~.4Ao-2)1"

• (Cn • 2) en

't-

J)A.t.~ - 2(n -l)An_l

•

••••••••

y

+- 20,040,1"'"

.

4A..t_l].tI'l...

• o.

I 2 A,·---Ao. 3 3 ........................

o

6A~1'4Ao-2·

O

l 1

A".t'

•

x' ~ 5AI)""

12..4• .12 + 2OA" .. '

+-

(2,042-2)

2A,,-2.

potencial< de x.

que la serie es Ao

'1

+ 2x + 2 mediante

Cn • 2) en ... I)~.,

.. 2(n .. 3).4.:_1

y

A,¡-1'

2(n-3)

Aa .. , .

y

• O

n

! 3.

(n+l)(n·2)

La soh.ctón completa es y

Ao(!" ~ x' ..~ xb

•

3

45

1 • • -> 12

..

Resolver y'l + (x - I )y' pónp.Jr

x • "

+y

+ 2 en

1 •

1. z

) .. A1(x

_!_ x' 405

..

-

, %

45

1

,

_x 126

- -

6 1

•

-%

x

1 •

405

lJ

63

- -

1134

x

_o. ,

)

...........

10

--

tl0

561

%

,

= O mediante

potencias de x - 2.

la ecuación dada y se obtiene

d Y dv'

,

" (11 + 1)~

.. Y

•

O

que hay que intearar se-

d.

Luqo 4A.,,~ •...•••

~

o •••

n.t,.,r-1 +

••••••••••


~
dy

(1.1 .. 1)-

dv2

+

(~~

Y

; Al .. Ao)

.. (6.4,

I

2A, • 2A,)1I

.. (l2A

3A, .. 3A:.)1I

•+

..

dv t

Ipalando AII • _

+ (rI+l)An.l]""

(ntl)A.t

"" •••••••••

a cero los coeñcientes de las pOtencias de: u se obtiene

1

-(Ao ...A,). 236

(n .2)("

[(n.2)(n+l)An.'1;

+ I)AI':..,

.4,

=:

-

.. (n.

I -(Al+A~)

1)~

I ,. -(Ao-Al),

+ en .. 1),4,..,

• O

A ••

-

!(A2.;.A~)

4

.,

2..
ti

O.

INTEGRAClON

lut&o.

teniendo en cuenta que

1 • .\0(1-

-2IC.-2)'.

x - 2. la solución eompkta es

JO -

2.C.-2)·-

-61CX-2)'.

2.(X_2)1 20

12

• A. (

I

cx -

2) - '2(X

-

2)

2

1 6C, - 2) i

-

PROBLEMAS 9.

Resolver (J - x)y'

S< rel="nofollow">I.

,1 • ~

10. Rcsotvu.'fY'. Sugerencia:

1

+

I - x

~

11. Resolver ,v' =

2r + 3y

Resoh'er

S<>I. tJ.

(;\'

+

y _ .1.(1

ResoIvet y"

I )y' =

, -

+ .T)' =

+

(,. -

I),J ..

- 1)

J + 1ü'/3

/2 +

)

polc.1Cla$ de x.

~ J: c»nverCC1uc para lodos"Jos vaJOf'f"S de

A._)."

",,-

x.

)

)

2X2J' = O mediante potencias de .r.

- ---

2 l]

n(n -

%'16 + .'/168 -

".(1 - ·'("fl2 -

Resolver (l - xl);/' Lcscodre.)

2.\").'

-

ya-

.40(1

11(11

.... /90

.

14._.: ecnvergente para todo,; los valores de x.

.. · .. 1 + A,Ix -

R('$Oi ..--c:ry" .J.-

A" -

_~Jl2

r¡_

I

I~.

-

¡

rilO

+ x'/)(IJ

- ......

¡

•

.,..

-

.'/12.

... :r

2

-

O.... ~

4.

p es una constante, 5Cg.unpotencias de x. (Ecuación de

A .. _2:

(p .. 2)p(p"1)(p.3)." 4!

x' sq_ún potencias 1

Fórmula de recurrenoa A. - ---1ft,. 1:.\0(1

+ .4._6

(n-2-p)(n+p-l) () 11 n I j

+ ,K

- (11 - 2).4 .. _2

.<'/3360 + •... ) + A,t. + r/6 - .'/40 - .'/144 _ .... )

+ p(p + I)y _ O. donde

2'

!WI.

= -: + 2, se.~n poteocias de :.

d:

+ 27x'¡p,

A. - --(-1-1

fórmula de recurreecra

".

)

O mc:(hante pcx.c:ocia.s de x,

Fórmula de (eOlrrencia

!WI. y =

Sol.

.....

J'" - x..••+ ~.:y a O mcchanlC poecocias de x.

15. RaoI~

16.

••

x'/6 .. x'/I80 - •••••• ) + A,C,<- x'/12 + .'/504 -

A.{I -

)' -

+ f)dJ'

! ..tx

2.\' ... Y median'e

,\.l -

Fórmula de recurrencia A•• $()l.

x

+ Cn. 2)(,. .. "

+ xl - >~T 2,,'/3 - <'/3 + rlS - 2.<'/15 ........

A.(I -

14. Resolver JO"

).

mediante potencias de x.

Fórmula de recurrencia

S.I.

]

2y sq\in pocmcU.s de r - 1. lntqrar. Ilml»m.. dlrct1amcnte.

!WI. )' ~ ".[1 .. 3x + 9x'/2 .. 9x'/2 12.

•••••••

1 6 36(X - 2) •••••••

1'2

10· •.....

Hágase x - I - s 't rcsuetvase (:

y - A.[I .. 2(x - 1) +

S.I.

1 " ¡¡CX - 2) -

1_(X_'I)' 180

PROPUESTOS

1.,

(i • ¡x

Y • .40(1 -x)

__

potencias de x.

Xl - V ksón

z

lOS

POR SERIES

,'/672 - ......

/2 .. x , /6 • .r " /12 _

) l:

!)

..••••••••••

)

x.

de

A._: 1)

converae-nle para Ixl < 1.

con~te

- x'/'JIJ

, A.cx

/00 _

%

1

par.

••

/252 .. x A/6'2

(odO$

'/1440

kn valores _ ......

.

,. \K'

)

x,

CAPITULO 26

Integración por series CUANDO x _ u ES UN PUNTO SINGULAR Po(x) y'

1)

DE LA ECUACION DIFERENCIAL + P,(,,) y ~ O.

• P,(x) y'

en la que p¡(x) son polinomios, el procedimiento del anterior capitulo no proporciona una solució n completa en serie en lomo x-a. Ejemplo

Si se supone

1. Para 1:1 ecuación

una sorucién

.ry" +

Ixl

-

x)y'

... 2_v • O•. Y -

O es un punlo $in8ul~r )'~ que P.,fQ) - O.

de 1:. ferma

(1)

y se sustituye en la ecuación dada. Sé 6bliene 2Ao + A.x + (lA! +

+

f'I~\'~

(SA)

+

2A:).\.) +

Para Que está relación sea satisfecha identicamente es neceserio que Ao .. 0, no existe una serie de 1~1(orina (1) que satisfaga 1:1 ecuación d:¡d3.

UN PUNTO SINGULAR

x

=

a DE 1) SE DENOMINA

=

0_"'·

At -

O.

O. Al - O. Al - O•••.

: lUCIO

REGULAR SI cuando 1) se pone en la

forma 11, (x)

l' )

= O.

y

(x _ a)'

se pueden desarrollar R.(x) y R2(x) en serie de Taylor en tomo x = Ejtm,-o 2. Para la ecuación (1 + xh,n +- 2xy' - 3)' I + (- 1) = O, Poniendo la ecuación en la forma yN.

Rs __ (X) y 1 + 1t'J (.1) ---y ..

1

.: 1"

(x. 1)2

= O. \" =

-1 es un punto singular)':I qu~ "oC-l ....

1'1 ... -3(x .. J) 1

~ :t

Q.

..

1

O.

(Z.I)t

los desarrollos de Taylor eu torne .v • -1 de R,t\') y R~(xl son R! (x) - 2x ..: 2fo\' + 1) - 2

y

R,(\) = -,1<

+ 11.

Luego x. -1 es un punto singulat regular. E;empIO 3.

Par" la ecuación

X3,1'"

+

+ J'

Xl.I'·

en la forma

= O•• "1: =

• 1 t :t~-y.-y.: %

l/x

x'

O es un punto singular, Escobieedc

O

JO);

ecuaci6n

.

se ve que R~(x, = IJx no se puede desarrollar en una serie de Taylor en torno de ...= O. Por tanto. x ~ O no es un puntó singular regular,

206

POR SERIES

INTEGRACrON

CUANDO x - O ES UN PUNTO SINOUL¿\R lución de l. forma

2)

y

•

., k

x·

REGULAR

207 DE 1) siempre existe un. sene so-

Aftx"l

n.' con A. "

O.

determinando m y las A de modo que 2) sallsfa¡¡a

t'Jenaplo 4.

Resolver mcdlanu:

AQ.uí. x • O es un punto

serie 2.\',1'" ...

51nlUl31' re.u!;ir.

e.\' + I tv' + 3y

(1 I J.

O.

Sustituyendo

.........

l'

en ItI ecuación

.(Zm ..

ji)

dada se tiene

diferencutl

I)Ao.X""'~ .......

.. +-

(Ca .1)(2*" (

J)A1

.. (a .. 3)Ao]xll.

o.

(,,+n ..2)~_lJ..··"-1

")(z..¡'~-1)A.."

••

~ [(M" 2)(2RI .. 3)A~ .. Ca t 4)A1]z·+1

A. Y. O. el coc6cientc del primer ltrmino se anulani $iempt't que m(lm - 1) = O. esto cs. coon lal que O o m-t. Sin dIlboJrgo. san c:onSMktar a M. Iodos los Itnnjnos dcipués del primero se anularán con lal que A Alidagan fa fórmula de mtumncll

Como M -

jos

A)I, pue~,la serie

110. Il [1 _

...

3

(a .. 1)(2-"1)

(a" 1)(.' (••

Ca.l)(

~l'••

(x

El mit.lllbl'Q de la derecb .. de (1)) se anulnrá III soluCión particular

'1 cuando m

= ! con

Ao _ 1.

(_+3)(*+.) _"c~:..:!!.!.:.~l-__

• + __

••

4)( ••

2)(Z. .. 1)(2a.

$)

%

l

2

3)

.J"~

)

2)(2a+l)(z.a+3)(:za·$)

.1).1'

+ 3y

cuando

o:

m = Oo

.(2a -1).40*

tl1' _

--1.

i. Cuando,"

O se tiene de 2') con Ao _ I

la $()fucwn panieuJar

1.

Lurgo la solución complela y

C$

•

AY1'"

•

A(1 - 3% + 2%2- 2%'/3 ......

8y'2 ) + BIi(1 - 146 +

2JJ;/~-

u.'/80

+ •••••

).

El coeficiente de la menor potencia de x en (1) [pOI' tanto. eJ coeficiente del miembro de la derecha de (111)

INTEGRACION

208

POR SERIES

/t"", =

liene la r0i'f'D3. ftmlA ... La «uXión O se denomina la rf'fIIH'iótt .Inmitwm/~o lambiM t'f"II«NJn lNlitwl. Lu anlerl
En los Problemas Resueltos las raíces de la ecuación determinante serán: distintas y sin diferir en un numero entero. b) iguales. o e) distintas y difiriendo (:0 un número entero. a)

Al primer caso corresponden el ejemplo anterior y también los Problemas 1-2. Cuando las raíces mi Yml: de la ecuación determinan~ son iguales las soluciones eorrespcndientes serán idenlica.s. La ecuación completa se obtiene entonces así Véanse Problemas 3-4.

Cuando las dos ralees Itrl < m1 de la ecuación determinante difieren en un número entero, la mayor de las raíces 1112 siempre da una solución mientras que la menor de las raíces mi puede dar una solución O puede no darla. En el último caso. poniendo "-o = Bo(m - mI) se obtiene la solución completa así Véanse Problemas S-l.

, )

Las series desarrolladas en tomo .~ = 0.. que aparecen en estas soluciones compkw. convergen síempreen la región del plano complejo limitado por dos circunferencias con centro enx _ O. El radio de una de las circunferencias es arbitrariamente pequeño. mientras que el de 13 Otra se extiende hasta el punto singular finito de la ecuación diferencial más próximo a x-O. Es evidente que las series obtenidas en el Ejemplo 4 también convergen en x _ o. ~ aún más. puesto que la ecuación diferencial tiene solamente un punto singular .'W: - O. estas series convergen para todos los

valores finitos de x, LA SOLUCION COMPLETA DE

3)

'.(x) y'

+

,,(x) y' t '.(x) y;

Q

consta de la suma de la Cuncióncomplementaria [solución completa de 1)], y una integral particucelar cualquiera de 3). En el Problema 8 se puede ver un procedimiento para obtener una integral particular cuando Q es una suma de potencias positivas y negativas de x.

GRANDES VALORES DE x. A veces es necesario resolver una ecuación diferencial 1) para grandes valores de x. En tales casos las series obtenidas basta ahora, aunque válidas para lodos los valores finitos de x, no SOn plicticas. Para resolver una ecuxi6n mediante serie convergente para grandes valores de .Y. o sea sen las proximidades del punto del mñmto», transfórmese: la ecuación dada mediante la sustitución

" =

l/o

y resuélvase, si es posible. la ecuación resultante en serie en tomo

= = O. Véanse Problemas 9-10.

INTEORAClON

209

POR SERIES

PROBLEMAS RESUELTOS l.

R~olvcr por senes ü! y" - ~1' ...

ttl

....

I tr

_ O.

Sustituyendo

y'

Aa"'· + A1x··1 .. .4, , .Aox·-~" (a.l)A ,&-" c••

y#!

Ca _ l).Aox"

y

~ 2)A,s··l

1

-2 .. Ca" 1)-.4\.1""1

• {(c •• n)C20,~-3)+IJ

I'«'U

2M, .. •

.... , ....

0 •••

Ca .. " _ 1) Ca

_.}x··· .........•

.-

1

~ ...,.

( ... n)(2II+~-3)

2.

«

'1 el miembro Cuando

ty

Ao - I se 'lene

)' cuando m - 1. eoe A., = LUftO la sot~

m ~

1O

• v.(I -

• I)(eo'

bien m -

•/6

%

-:- x'

•

1. : z(1 _ z'/10 •

.)(~,

$1

-

••••••••••

;¡J

l.

•

•

x liGa - x 111088 •

z-'3eO -

···········1

s',28080

,.

compk1. es

8)'2

• Av.(l X .,.,

/6 •• ../168 -. o/lIosa , "'1

2

x

•

&(1 - x

,

-

/11) ••

/39J -.

•

/ZSOIllJ• ···1.

Oes el único punto singular finito. la serie converge potra todO!! los vaJ01"tSfinitos de x.

2. Reselver por series 3xy" SU5tIlUyeooo y. y' ~ .e3M-l)Ao..t"

1s.

l. 'se IICTIC

:-;-

(co <2)(210.1)

cuando

de la dercc:h:t se anula'"

m •

A)'s."

.,--

---'---.' Ca .. 2) (2aI .. 1) .. 1

1 • .40>'(1 -

Como

l

. satisfacen la fórmula de

de1ermlnanlc. 1m - 1)(2m - 1. ,. o.. $Oft ni - l. l. Y pan cada uno
Las rajces de: la «u.ación

r •

">A....• " .., + •••

+1

~rci se anula 'C lom~ri

n

+-

O.

Ahora bien. todos los r~nnlnos. excepto los dos primeros. se anulan SI Al' AJO rre nc la

1)

• •••

I\)An ••n ..1 •••••••••

C

.. (a .. 1) Ca

"." ..

+ r'

2y'

+ ),"y

como

...1

.. e.·l)(:s..2)A""

_ O.

en d problema •

••••••••

... ( ••

anterior

se lirnc

2)(3a.5)A,z

..1

[(."n)e3a+3h-llA,..

..

Todos los términos a partir del reeeerc se anuJatin si A,. A••... .... •

1 ..;;...._-

- __

e••

n)

(la + 3n. -1)

...._..

•

[( •• 3}(3a+8)A2;'"

Aa ,]

··"'-l

1 •• ,

Ao z

o.

A.1¡s(~n la rórmllb de tttUrrmaa n ~ 3.

1

INT€GRACION

210

POR SERIES

Las ralees de la ecuación determinante nl(3m - 1) =- O$00 m = O. lf3. Como con ninguna se anulan Jos términos segundo y tercero se tomará Al A;: O. Entonces, utilizando la fórmula de recureeoce. Al A4. = A, = ... = O y Al • As '" Aa = ... = O. Luego la serie

=

=

Y.:Aoxll;(l-

1)

=

x~+

%6_

(111 +:i) (31f:+8)

(M "3)( .. +6)(3&+8)("3

Para m-O. nI

••••••

)

17)

1Q(3ls _1).40% .... 1.

satisface

Y para

••

=

COO

1/3. con

=

Ao

""0 =

1. se obtiene de 1) Yl

1 - %'/24 + x~/2448- ...•...

l. se obtiene:

;r1l5(1_:x5/'3tJ

y~

... X'b/3420

_ •.•••••

).

La solución completa es

y

•

AY1~.By,

,. A(1_:c}/24+xf)/2448_

.•..•

)

.lhl/'(1_;r'/30+~/'/34'XJ_

•••.• ).

La serie converge para todos 10$ valores finitos de x.

RAleES 3.

IGUALES

DE LA ECUACION

DETERMINANTE.

Resolver por series' .\),,, + )" - )' = O. Sustituyendo y. y' e y" como en Jos amenores Problemas J y 2 se obtiene

excepto el primero. se anulan si AJ.

Todos los términos.

•

1)

---~

1

Al' ...

satisfacen la rórmuJa de recurrencia

n l 1.

AlI_t•

(111-+1'\)

Así ___ 1

z (Il

(111• ))2

+

1)2 (.

1 + 2)2

~,

+

••••••••

)

( .... 3)~

s;a.tisface 2) detcrminenre son m = O. O. Por tanto. corresponde solamente una solución en serie O. Sin embargo. considerando a .r como una función de las variables independientes

Las ralees de la ecuación

que satisfaga 2) COnnI x y m,

y y derivando

_

aY" •

.! .!(Oy)

0111

4111
%

)

C- Y)"

•

=

I se halla

o.

•

De 2) y 3) se deduce que y 1 Tornando Ao

oy • .

(-)

respecto de m. se tiene

2) parcialmente

3)

.! .!(Oy) a.z 0% da

(b;:

"

11

~:O

y

Y'2

21

~

son soluciones de la ecuación diferencial dada. .:0

INTEGRAC10N

ay

•

a.

%~

---.

+ __

1

luX' [1

Ca"_

211

POR SERIES

1)'

--,._..!.......,...

.J

....... ···1

Ca .. 1)' Ca • 2)' Ca. 3)'2

).'

2

•

,

2

),l'

2

2

_ (

Ca + 1)' C. " 2)~

,

2

2

Ca • 1) Ca .. 2) Ca. 3)

-

)

(111 • 1) (111 .. 2) (a .. 3)~

• j In

%

2%' [ __ 1_ X

-

ele ..

1)~

1 (

,

7

---_..!----I.'

,

Ca • J) Ca· 2) (a.

1

,

)'1

;1

lnJl:

."

-

2(1

1 i..» .. - +- -)x

1 • --(1

..

(31)'

'1

• Ay,

.¡.

8'1'1

•

--. --. >' 1

CA .. 8 Jn,l" ( ...

JI:

•

1

,

C2! )2

-

28[,1

, ....l.

(a • 1): (a" 2)' (a .. 3)'

3)

, I

• ••.••.•.•

1•

3

1

••••••••

•

(3'

_1_(1

.,

2

,

! ,!)x'

_1_(1

(2! )2

2

(3!)'

• .

3

).

L..;lliseries convergen para todos los valores finitos de x .; O.

SU$htuymdo .t~.-l

..... r" e ..,o, se obttcftC • (a"2)'A..~· ..1 .. (C••

.. (a+-l)'1AI••

•

(C...

,,)2~

..

~_:)lz- .·~-1

.40)..-•• '

3)'A~"

.. • ......

o. •• ••

..

: O.

LiaoS dos ralees de la ecuación determinante son iguales, Se toma ""0 - 1. Al

=

Ale = O. satisfaCtC:ndo la,

An_3'

restantes A la fórmula de rocurrel"lChl A'l .. - _-1-, (m .. n)

Luego Al .. A ....

A,

" •• , .. O.

A'I".A~::.

Aa ::.

.. O.

____

..:... ,

,

C... 3) C. +- 8)

".:x'

-+-

)

ca .. il 2

y. pt'OC'edlendolo mismo que en el Probkma 3.

Oi ..

a.

'1n.&

.. 2><' [ __ 1_ Ca.3)'

.'

-

--....!.--) •• +

(:-~.:..._~

C•• 3)' Ca"

6)2

Ca" 3)2 Ca .. 8)'

Ix' - ..•.. ).

+ Ca +3)2 Ca +-6)2 ( ••

9)5

212

rNTSCI\IICION

POR SERIES

Vllltzundo 111r.tit m = O de 1.3 ecuación determin ...ate. 11

•

7f•• o

•

. ---. 1

1 _

•

1

-

3 (21)2 4

o,

-+-

••••••••••

3'C3!)'

- __ 1_(1

y

-

'"

... ).

~ (21)' LI $01ución ccen pk:1~ es (A -+- B In x) [1 _

2.. ..'

---x ---_r 1

+

1

•

,

lb (3!)2

3' (21)'

3'

• ········l -

+ --1-0 31(3!)1

tu serie converge para todos los \'310rC$ ñnuos de

,1(

.,¡.

·l.

O.

RAleES DE LA EeUAelON DETERMINANTE QUE DIF)EREN EN UN NUMERO ENTERO. )

5.

Resolver por

$Ct1C$

'f"y" -

3J'~+ xy

= o.

.

, ••

.

Lus ~iccs de la eccacién determinante: son '" _ O. 4: se t'stá, pues. en el segundo C'dSOespecia mencionado )'a que la diferencia de las dos mices es un n(¡mero entero. Se toma A t = Oy se eligen las restantes A de: forma que satisfagun la fórmula de recurrencia

) Án

•

-

Án- ••

2.

11 ~

(.+11-4)(.""'>

ESIIidlíro que: esla relación de V
Como

---..!..._--.' 2)( .... )

(.-2)(a,.2)

a(.-2)(a"

~

• Bo~· (. - -_..:.:...._-

?

(a" 6) ( ••

+ ---_'!'---

•

2 • a(a - 2) (a ,,2) (a + f) (a ..6)

xl .(a - 2) (.... 2)% (a + 4)

(a -2)(.

1 -

_ ••••••••.•••

)

8)

.'

+2)

-

J

~Ii~(.u.:c1.1ecuación •

(a -4)111

'2

lJox

.-1

•

Com
~¡. con

"'"

m_O.

son

soIUCIOI1C$

dt la «uac:ión diferencral dada. Se tiene

U'TEGRACION

, .. &')(-11.

"

-1

z

213

POR SERIES

,

((. - 2)(•• 2»' _2_ • •• 2 ...

______ ~~------(_I(__ 2)( ... 2) (. '4)(""6)

'JI

UlIliz3ndo

,.,..

·-1 a..

z•

, _1_»);" ~ ..... l. m" 8

1

o __

IC

•

•

• •••••••••

2'2', ..2'6·8

z•

1

2' 2! 1

La soh)C10n comptet a

(A ..

;-;:-&

l. se ublienc

1 •

1

11ft

1

z•

1 (111111'. (J ... t_+_ ..._)+(_t-_»). 1 2 3 4 5 2 3 2 0 ~!31

l".,

('S

8 lnx){ .. --

1

,

•

2) 2!

... 8{1 ..

1

-+ ... _) ..-]~ 2 3 4: 2

---(11> 2" '1! 2!

'l

(.ti ~ 6) ('" t 8) '" - 2

-..,,0.-- ,. 2.2".'6

'"'

_=0

(--

con IJ()

raíz m-O. - __ 1

y, • _l

(,ti ~ 4)

4

.

1

" 2)

(111 - 2) (111 ;

.. _2

1. ~2

o

2t 31 11

-

-----, 2' 1

........ }

•

, ••

2' 4

1

1 111 0---[(1+-+-+-)

..

2' .. 21

2' 11111110 ....,.""':_- ( (1+ 1>- .. -+-)+(-"-») 210 S! 31 2 3 4 5 2 3

2 3 4

lA

+--l.. 2

J.

La ¡enc converge para Iodos los valores finitos de x s O.

6.

Rc,o¡,,-c.rpor

seoes

(.r -

Sustituyendo y.

.\.%

e y"

yO

Ir" -

obctenc

$1:

+-

La rórmuLa de recul"fenCllI"

..

.,

:

2)' ... O.

.

..

1)

J)" ..

Aoz

"

(1

Sl&lis(act 10'1ecuación

+-

.-2 --. • -3 diferencia!

•

A~ ..

.-1 2 -z .-3

• +n -3 "-1 • ___

••

0..... • o.

de modo que

• +n-4

• s x: .-3

+ --

. --, . -- . ... 1 •

••

• -3

.-3

2

,

+

~,x' .-3

)

214

INTEGRACION

POR SERIES

L.u r:alces ItJ - O. 4 de la ecuación determinante dl~rcn en un número enlero. Sin anb.uIQ. cuando '" _ O no )( anuba. como cta de esperar. c:t denominador del cocfM:a.:ntcde ,....)a qur d f que 5Ccllmln... Obscnac que el cocfaoentc de .r es cno aando 1ft _ O Luqo con A. = l.

z"(1+~'3.w:2

Lo \O'Ul.:fón COmpkl
y

C11, ,..

...

C",'1

I

X}""""')

• C,(l

~ 2%/3 ..

8x"C

A(.t'2 .. ~.3)'

t

x

/3)

• (C1I

2a.3xz~4Jc5 %

CJ3)y'l

-

)

•

~lJ(I_.)t·

lIay

7.

punlC)'\

La

" .,

te(1C

C'Onvcr~ para J.q < 1.

Ix - 1)1" - } - O

por series .'{-,.,••

RaoI\'Ct

=OY

51n&1.IIare:s finitos en \

Las r
) ••

•

tt -2

- :--""::':-'';::-'::''--:(&."--2)("

A.. _, ..n)

• - --

I

"n

A..-.

Se 'Veque pan

m :o O. la raíz menor. no h ..,. nln¡urna A, - 1. como en el Prob&em:l II que se elimina el r3CIOf m + n - 2. A.st. pues. ya que

nl~nlc.

y

. ......

()

-

1

•

--x

•• I

-. •

ce

Wh.J ..

'7

(a"

(1-1)7'-

se obnene. con Ao - I Y In = O. nI

1-

X

llC.'

2.

f

}

%

T •

Z

(.'

1)(.'2}(.·3)

Ca - 2)a.\o •

.-,

2 respecnvamente,

t

~2/2! -.1'/31

.

y X2

L~ 'ioluc:tÓl\ compkra leb valores

finiros de \

Q

y

_

2a~/3! .. 2.K 'lIt! _ 2:t' 1St •••••••••••

_r e

.s. Esto

- ..•....

se dcbr. n..1u-

J

INTECRAOON

INTEGRAL

PARTICULAR.

SUSUIU)TndO J+, y' e ti" como en ti Probk:ma .(4_.)Ao-Xe-1

J}

215

POR S(,JIIES

..

.. (C •• (

compkmentaria

de recurrenc¡ •• es

l}(a-2)Aola"

.. C••

;.

.

('_.n)(III.n_3)An_,)x~·"-1

n)(4_oft_n)An"

Para hallar la funaón La fórmula

I)(3-.)Al

6 se obttenC' la condlOOn

se ""aTa a cero el mlC1llbro

Atl ,. ~ • ""'-4

An_l'

..-1

,

• --x • -3

3/Xl.

Ir."

y se ~

de la iJqu~

como ¡uUC'5

y usl

. -- . •

$

.-3

Q.

+- 1 •

. --x

j

••••••••••

)

.-3

2)

de la derecha de 2J será cero cuando

El mernbro

m

0.4

Para m -- O ron A __•

se llel'lC

y para 'u _ 4 con Ao .. l. se tiene 72 ,. ..'(1

.¡.

+- 3z'~ .. 4x~ +- 5%"

~

+ b't3 + .~'). -

Luego "1 _ ti

I

Y: ') y IvttliC

= A(x"

,l'

).

••

6. ta (uncIÓn com~13na

Probkma

+ 2x + 3) +

B'<'íCl -

•

es

xl'

P~r:. h:.Uar una intc&ral parucutar considérese separadamente cada uno de lo!) términos del miembro derecha
se {iene: A)

2 Y

1ft

= . , . "'"'O.

!Aro.

•

11

A••

•

$

l.

-1

Y Ao.

", _

particular

x,

td(:nucamC1ltC'"

n -1

correspondiente

al término

-3/5. Para 11 • -L

n -4

A:ot -= -n-S

~x.

1,,2 ... !,,).

4

2

B•• 04(,&:2+2%+3) /lx •

(1 -;,;:)

,l(t/4

-

= A~ "'"

x es x: 4,

A.n-l ;

;Jsi.

.4

-

3 $x

---.- • Nf/((I,

.

:tSl. pues. Al

o.

(1 _X)'2

...=

~-l;

el miembro de la derecha Oc 21 se LiMc'

'"' ••••••

'1 •

nl)Ao-,--I::

2. la fÓrmula de recurrenci .. es A'!t • --

"-2

abor3 .. a )!x'

A. '"'Ae

_~l:_l(l

a

La inlcgrlll

Itullando.

se tiene

"o

~lrlt

de 1:1

Se puede obtener una comprob.lclón parcia' 3/5,1( satisface 1:1 ecuación dilér~n<:I;11.

1 : - x

- ii 9

3

-x 10

•

1 -< 10

•

3

- S;'

de: la sotución

dcm~lrando

que la inlesnt

l);u'u~13r

216

rl'tTeGRACION

POR SERIES

Como s .., 1 es el otro único punto singular finito. la serie converge: en la región anular limitada por una circunferencia de radio arbitrariamente pequeño y una circunferencia de radio uno. ambos con centre en .t' O.

=

DESARROLLO PARA GRANDES VALORES DE s. 9.

Resolver

2x.1fx -

1)y" + xf3x

+

= O según

I )~. - 2)'

serie convergente

de: s -= .x..

en las proximidades

U sustitución -

transforma la ecuación

para la que!

;¡;. dy

"

y'

dada en

_ O. el transformado

de s

= ro.

es un punto

singular- regular. Se sepoee ahora la serie $Olución

y se obtiene la condición ..(Z._1>Aoz·-1

.. {(."'1)(2«.1)A,

- (2a-'.3a.2)Ao}z·

'" {( ... n) (2n + 2rt -1)An, _ (2(.

la fórmula de recurrencia

es An "

2(."11.)

2

.

- ( •• A) .. 1 A

(.... n) (2JI ... 2n

-

'l-1'

1)

2

~tisfaCt

+

1)

(.

.,

+-2)(2a

z? ......

0

••••

)

+3)

,

. (1- 5')-

Para

de modo que la sede

2-' .. 7.••

2- "'3&+2 (a .. 1)(211

o.

'" n)' _ (a '" n) .. 1}Ar._1}Z•• n...l

,ti

= O. con

A()

= 1, se: tiene

41 d,

- 2:;> :

.(2)<

-11A",

0-1

•

Y1 +-

112

..

• •••••••••••

484

.. .

4~

%

-4-°(1..

4 +

ax

+

).

31s..'

La solución completa es '1

= AY1.

By,

•

A(l"'!.

7

X

en z

ax'

+ --

112

45%'

+

22

--+ 1".'

484

......

0).

31S1~

la serie en = converge para JzI < 1. O sea. par a' todo -: interior .. una. circunferencia de radie l ron centro O. La serie en x converge para 1... 1 > l. O sea. para todo x exterior a una circunferencia de radio I con cen-

=

tro en x

e

D.

,NTEGRAOON

10. RooIver

+ x(1

r)'"

+, -

- xl(

O ¡qUn serie COQ~te

z d'ly + (3 _.)dy d.. 'l rJ.:z.

J, se

1

.Ca .. 2)Aoz·-

1


+ 1)(a .. 3)A1

.. ( •• n)(.""+2)A",

ahorl ha

•• n - 2 An '"' -_.:::.:~:...:-,..

- C••

,04,,_.

+ [Ca .. 2)(.

Ca -lMol=-'

-

sene 50lución

t

4).4. _ -.4,),,_-1

n-2)Jk_1.)=-,+",,",1

las ...",ices de la ecuación dClcrmín,¡¡ntc son m currcncre

"' O

obtiene

(Ca

,.

= Q;.

9. se obtiene

par:, la que r _ O es un punlO singular regular. Supóngase

Sustilu)'C.ndo ea

de x

en las ~

Haciendo la sustitución s - 1/:. como en d Problema ')

217

POR SER'ES

= O. -2

:.

.. .

.

O.

y d.ifieren en un numero entero . De la fórmula de re-

se deduce que Al -

ce cusndo m -

Susurüyase Ao

-2.

pOf 80(n,

+

2'

.. 2)

(_+n)(III"'''

)' obsérvese que la serie

1 "' 8o:z.1I{(a..-Z)

... (8-1)(

••

.' , ____(~.~-~Il~.~

2) :

..

5i1IISr .. ce

+ 2)

Ca - 1).(.

+

(.-1).

,~

(a .. 3)2 Ca ... ) Ca'"

(.+1)(.+3)(_·4)

(••• )(.·3)

$)

)

•

la ecuacsén

Por terno.

~

• y

In •

• So'"{1 ,(

z.,'1 (a

(

<1

t)( ... 3)

1)(••

3)(a'

(a"

4)

1)(a"

:la -1 [

(__ 1)(."2)(_'_.

_I_»)¿

(a. .. 1) C...

...

Ca - 1).

200-1 (a.

(

3)(.1-4)

2

la +200-2

J,

•

11

y,

•

OYI a•••

", = -::! con 80

,a~'1

•

z-'1(_3:'

•

.11 lo z

_'1

71]n

, i

•

_-. 1

.' 2)

4)2 (

•

') (a.

4 (_2_._2_ ._I_.

e) ."

3

• +4

...

5

_I_»),,_ ...

e

IlImbién ~lis(aoe esta ccuxión •

I ¡,e obl.ene

t' :~)

•

.! Z

3

y

:-'(1" 3: .. 4.zz - 11:'/3" .. z'l .. 3K • 4 _ ,

(A • B

~

1

3

..

J

-ll=

•• J

1

(. -1).(

)

1

._-. ...

1

••

(I!" 3)2 ( ...

,

<1

(2-. ..

(a+3)2(a.4)(."5)

5)

3) •

...

(a-l).

2 (a .. 3) (a'" 4)(.'

[

Utiliundo

,

In i) (1/x

11/3%

serie converge para lodos los valores de x .,.

o.

VSZ

+

- 3) + H(z

:·'8

2

.

• .. ~

)

..

4 - 11/~

La sotuciOn complda .. l/ax

2

).

C1

218

INTEGRACION

POR SERIES

PROBLEMAS PROPUESTOS Resolver por series en torne .u x = O. 1.1.

2(x2

..

)1:1»),,, _ (x _3.%2»)"

P.R.

AfI':

.,.

y .: o.

- An_1

y

12.

4xyN

... 2(1 -x»)"

FR

A

••

Sol.

n

y

- y .. O. .. __ 1_ 2(11:+(1)

=

A(1

Converge

An_ 1

x

;(2

xl

2·l!

22'2!

2}.3!

.--+--+--+

.... ) +8,&(1

para lodos los valores finitos de

JI

x'

X

+-.--+---+

¡'3

¡·3·5

.... ).

I,S'S'7

x.

"

¡!'.R.

1 ---~=:--:~-:-:A,,_'2 +n

An

(Il

-1)(211

•

.%2;c"

SQ/.

O. n. impar

x(>

A%(1 +-+---~ 2·5 2·4·5·9

y

Art .:

par;

II

+111 -1)

+ •••••••••••••••

Z

11

.. B'/;(1 .. .!_' + _x__ 2'3

)

2·4·6·5'9·13

2'4'3'7

xl¡

+

).

2"'6·3·7·11

Con v'erge paru todos los valores finitos de .r ,

14.

xy".jo

y' • %)'

lO

1

F.R. Sol.

O. ----2 (.11 +n)

y

An_2·

n

par :

•

IS.

Sal.

y

An .: O. n impar

'&:

(A + 810%)%(1

_ ~

,

2'

...

_x

.

1 • - -_;'--,=-

.

__ x

,

2t1(3!}'Z

2'4{2!)'l

)(1. x" 1 .. Bx(- - ---(1+-) 22 2'1(2!)' 2

An_:.

par:

n

An _ O.

(lIl,"n-1)

xl,¡ ---(1 2b(3!)~

Converge para todos los valores finit
'f)

o.

..........

1 1 +- +-)

2

3

)

).

(1

.

rmp a r

INTEGRACION 16.

xy· - 2y I

Y • Q.

"

A"

F.R.

8

y-(A'

%' .. ~

lD%)(-

.

-

12

,

- ~

48

Jl'1".

2,)"

.. Jl'Y • O.

--., .

Snl

480

%

2!

41

X ..

.1 Ca .1).)'" ... (.r .1)y' PuntOS Slnsuh1rcs:

- Y

'I!

•31

• 8(1 t~

O.

2.1,".

y' - J

SII/.

y.

11

Jt

%

4

36

19x·

13'b:~

576

28800

.• ·1.

•

tl'l

,

.. ~ -

).

~I

O.

F.R.

x :- O. -J.

A",

11 - --• ... 1'1

-1

Con\'C:r¡c en la RgtÓn anular limilac:b por una (1lcvn(et'C'nC1. cun(crc:nc.u de radiO uoo. ambas con ceotro en ~ - O.

19.

.-, ..a'- --- . ---

O

2

•••••• }

para codos los valores tinircs tic x

Converge

18.

%

-2

%

••••. ) "BeJ

Con\~r&c para todos los valores linil~de

".

219

POR SERIES

..

1

"-"_1 •

6e

radiO arbtlr.uiamcnlC:

ptquMo

'1 una dr·

1.

t

A(l""

~2/6'" 13/90" ..... )

..

..

1 2

-Jl

(1 + %/15'"

O

2, x /420 ..

%

.. 81.1(1'"

A/3 +

118000 ...•••••..

;el/30'" .'/630'"

.......

)

) - 1.

Converge pura lodos los valores finitos
Resolver por series en las proximidades de x - oo.

A". -

F.R

.'i<JI

y

A(I

1 1 -_1 .. _---2 3x"

Con\crSC

30z

...•.• ) • S.r.(1

Y •

para todos lOS vatores tinll\h de •

1 (A + B \1)-)(1

Con\'crgc

x

1

t - t 1C

1

~l

An_1

.---_ (i:r2

6J().t ~

F.R

Soto

Ca .,,)(2a ...2n -1'

).

9Cb S

+O

A"

•... ) . BI!

•

6;<'

para todos los vatores finilolo de x ~ (1,

x

I 1 • -(t-+-) 2<' 2

_1_(1...! .!) + 6%' 2 3

... J.

CAPITULO 27

Bessel y Gauss

Ecuaciones de Legendre,

LAS TRES ECUACIONES DIFERENCIALES que se consideran ea este capitula se reseetven por los métodos del capitulo anterior. las dos primeras tienen aplicaciones irnportentes en fisic:a matemática. Las soluciones de las tres tienen muchas propiedades interesantes. ECUACION

DE LEGENORE

o-,,')y' - 2>ry'

• p(p +)y

•

o.

Ea d Problema 16.Opitulo 25. se pode una 5CIuáón de <SU S<> s = O. Con ciertas coodiciones para ,. que: se esta.bJc:cer.ín mis adcbote. te oblcndJi aqui b soIuaóft COft~· ptc: en bs proximidades de x • co. Utilizando 13 sustitución x - 11: (Ybse el capitulo 26) la c:c:uaa6o fe eeeviene en .. 2.zi ely .. p(P"

1),.

•

O

d,

pan. la que z ....O es un punlO ¡in,uJat regular.

, • -

(-.C.-l)

.. p(P+l)lAoz·

.. (-.(

... ca .. l)Ao}z··'

:

{(-ca. n)(a+n.-t)

O

y

(.+n -2)(111+

.4,.-

1)]",,- • (•• n-2)C.·,,-JlA.a_2'):··"

.. P(P"

1)

[(a .1)( ••

-1)

.. "'!l-2 •

1)

[C••

se:

\'C

que

.( ... 1)(-+21(_ ..3)

2

Ca .. 1)(.'" 2) -p(JI" ...

TI.

Ca .. n) Ca .. n - .) - p(P .. 1)

.(a .. ----~~~~----, .

y • .lo? [1 •

.. p(p.l)JA.

• O.

+ ••••• Tornando A.l

.. {(-C... 1J(a,..2)

.... ) .. p(P+l)}A1Z··l

1)( ••

2) - p(P • 1) JI (. '3)(.'

.(.·I)(.+2)(.~31(·".)(·"S) 2)-1'(1' '1))[(.'3)(.'.)-1'(1' .1))[( •• 5)(. '6)-1'(1'

~'.. 4) - 1'(1'• 1)J

z'

)

.1))

satisface la ecuación

Pata m - -p con Ao 1)

1••

I se obl.c:nc

,-~[1- e.!e..:!1.,'

•

2(:Ip-11

pIP-I)IP-2)(p-3) " 2·4(?P-1)(?P - 3)

•..........) zP'[l

_

e.!e..:!1. x"2

..

2(2p-1)

.. p(p-I)(P-2)(P-3)

2·1(?P·

I)(?P -3)

).

220

p(p-I)(P-2)(p-3)(p-f)(P-S) 2"'S(?P-l)(:I;>-3)(:Ip _ SI

.-.

pep-I)(P-2HP-3)(p-4)(p-5) 2+6(:1;> -IH?P -3)(?P

-S)

..

. ..

ECUAOONES Para '" • p

+

I con ""o

=

DE LEGENDRE,

221

8ESSEL y GAUSS

I se obtieoe (p" 1)(p" 2)(P" 3)(P" 4) 2·4(2¡>'

,..

S)(2¡> • 5)

CP+l)CP + 2)CP +3)(1' '4)CP +5)(1'

o$)

]

2'4' 6(2p' 3)(2¡> • 5)(2¡> ")

•

.1'-,..1 (1 +

x-' ... (p'-1)(p·2)(p.3)(p+4)

(p+l)(p+2)

2(Zp + 3)

.. S) x-t.

... (P+l)(p+2)(P+3)(p.4)(p+$)(p

2-4-6(Zp+ y

l..UC'80

es la solución complete, con_te

z-

2'4(21' + 3) (21' + S)

3)(Zp '5)(21' :- AYl

)

")

... By,#

(x( > l. con tal que p .. 1{2. 3{2. 5/2. ••......

.,.,.

o p '" - 3{2.

-5f2 •......... Supónpsc

que p es un nUmero

positivo incluido O '1 considérc:sc la solución

entero

pud_ cxp"esar por u,(>"~ Poniendo P - O. l. 2. 3. . .. "o(&:)

U,(X)

1.

•

I..¡

• donde.

~

[ik).

te

.)'1"

que: es un polinomio.

lime

V3.

-:-"'.,,(:.;.k _-..;'.:..)._._._ .. _._._. (::.:.:..-_3>::..:...~I)'-2nn! (2l--1) ••••••• (2*-21'I ... )

(_ 1)'

,,-o

medianre

~ x1 -

en "

x .-""

se expresa el máximo .. tero :Hk (p. ej .•

Uk)

R

3 si k

= 7.

[jkl

=.

si k

= 8).

LO$ polinomios dc:fiojdos por P .. O. l. 2•••••••

3)

se denominan polinomios de Legeadre. l..o5 primeros son: po(X)

•

I0Io (S:)

:

pt(x)

•

UtC .. )

:o

l. X.

3

p,(X)

1·3·S -31- U,(.1O)

=-

1'3'$·7 --¡¡ u.(X)

P,. (.K) •

1·3+7'9

SI

ClO('¡:)

1'3" "11 61 ..,(.) 1·3.... 13 7! U,(x)

es.. p(p+

1

2

'"2%-2'

S)

2x

S-7

-x

3

'2 x "

,

7·9. -x

,.

2'4

S·7)x _ 2_

2'4 7·9·11

--K

2+6

• 9·11·13, ---x 2+6

01....0. teS"n J~ que P,(x) es una solución

11_0.

:\05

- 2 -x

2'4

2'4 •

. -. 1·3

2·.

3·S . -x. 2'4

-

7'9·11 ~ S·7·9) - 3--x .3--% 2·.·6 2,,'6 panicular

3·S·7 - __ K. 2'.'6

Oc la oouaci6o Oc ixp>dr< (1 -

etc.

x'V _ Zxy' +

ECUACIONES

222

8ESSEL y OAUSS

DE lEOENDRf.

DE BESSEl.

ECVAClON

Es evidente que x _ O es tul punto x-O. se sustituye

singular rcplar. Pan obtener b $Ohrión mediaJ:lte

c:oa.~k

$ImIt.,

en lOmo.

+- {[(a+n)2 _k2)A'l

Se

loman

Sl1liraa:

Al ....

o

{( •• 2)2_k2)A2:+Ao}z··2

{ca+-l)2_.2}Al.t"tl.,.

(.2_.l2)Ao~·'"

+-

A" .. lI Y

.

o.

An_¡t},1··"

--':.-""'7 2 (a'" n) - k

y Ar.

+-

K

ve: que

la ecuación

=

Para m - le con Ao •{ 1-

11 • ~

---

l'

1 se obtiene +

z

.J

42'2!(k+I)(.It+2)

4(k+l)

•

-----=-----?

-

+

)

4) ·31 (k ...1)(. -+ 2) (k +- 3)

Y J)J.ra m - -1<' con Ao - I se obtiene y,

• x

_.{

1 _ ---

1

x

,

•

+ ....,..--~---.

4(1-1)

"'2'

x0

1

+-

••••••••

"'3'(1-.)(2-.)(3-1)

(1- t)(2 -t)

).

•

Obsi:f\tie que Y: _ Y1 si k = o_ Yt no tiene signifado $á A:: es un nllmero entero oegatiVQ e Yl carece de sa'fll(iQ. do .. Ic es UDn6merocntc:ro pOSitivo. ExccptOCDdtos:casos. la soIucióac:ompleUdebeaaacióncsy ~ + s,J __ te pan todo x ", o.

A,.

1 (S_{';.. 3!(.+3)~ 2

1

•

-.--

2 ·AI!

Y.

'"' donde k es un tHimc:ro entere

De

y

~St.as, las más empleadas

$00

JO(1)

•

1 -

•••• ) •

pot;llivo incluyendo O. 1

.JI'

(t!)2

2

--(7)

.

,.

1 .. --(-) (2!)2 2

.......... Véam< _

.

)

7·10.

ECUACIONES

DE LEGENDRE.

BESSEL Y OAUS5

223

ECUAClON DE GAUSS • ¡,.-(a.',8

(x_x')y'

- o.,8y • O.

'l)"ly'

Pum obtener la solución mediante une. cOnvc:rgente

Cf'I

x-O.

como a

sustilÚy.aSC

Oblc.lllcndo 1I(.,')'_l)Ao.r~-l

{(a.l)(II"''Y)A1

..

Tomando

A,,:

Ca...n -1)(.""

""

+Q.

a...fJ)+oIJ

:Jl

a. .. ¡J) ..a,{J •

M ( ....

( ••

ro

= O. con

(.ti ... 1) Ca ... (l

1)(11'')')

'Y

•

plIr.'I

1 ...

(lea. .. 1)!k1J

-x.

m - I - 7. 1

'*

j3 ... 1) ...a/J

...

...()'- (a

.. p

l)(".a. (a ... 2)( ••

.

(••

+{3 ...I)z)f' _ o/Jj

.. t)

.. gJ3

,. 1)

2

• •

a.(a. +1) ea. • 2),8(,8 1· 2· 3·,.ey

+1)

'1)

x •

•

P ...2) ...g.fJ

.e.

•

)

(,8 •

2)

xl

ty • 2)

.

.

conocida como la "'~

es del mismo tipo. Luego si

• f(o..

~l"'YF(Q._')'.l. }I

-+-

•••••••••••

).

-,.,(4-y)

ltifwrReomitrica,

)', •

x

1.2(2-)')(3-)')

1·2'3(2-",(3

Yt

... • •••••••

_-l.

+')' _~

... Ca.-y+')(a.-)'.2)(a.-)'+3)(JJ-y.ll(tt-,.·2)(,8-Zto3):JlJ

Obsérvese qoe

xJ

3)( •• .,.... 2)

(0.-Y'I)(0.-y.2)(.8-y.1)(.8-1'.2).

1(2-)')

)'1'

t

1, con "o _ 1. le obtiene

(o._y. 1)(.8-,.. 1)

la serie

X

"y'" 1)

C* ... 2)(_ .. Q.

(.... 2)(II"''Y.1)

1·2·,.e,. .1)

17

C••

l. se obt.cnt

A. -

a..!J "

•

Ca +-1)(&"')")

ex _ ...')7· Para

.

An_t

IA(A'a...P).o/J

..

(la" J)eA "')1) ..

oJJ

/J-l,.

..

(a "n)( ... n .')'_1)

a( ....

..

(a(ft+Q..p>+oP1,to}1"

_

P. 'Y.

{3--r+l.

es eonYC'pnt~ para

Ixt

< I Y se fq)l'C'SC1lta por

z).

2-y •

.r)

no es un nUmero entere (incluyendo O). la solución gau:r.tl es

Hay numerosos casos c:spcaaks.. sepl.'l klrs valores de a; , y ,. Al¡unos de éstos se rrawin resueltos.

ea Jos. Problemas

ECUACIONES

224

DE l.EOENDRE.

PROBLEMAS

8ESSEL Y GAUSS

IlESUELTOS

ECUAClON DE LEGENDRE.

l. Compr....

d~, • -(s

Por el recrem.. del binomio.

d',

•

_(s

."

_1)

,

~ -1) .

.,,'

t q..

,Fórmula de Rodri&u<s-,

,

(x' - 1)'

t

•

<-1'"

".0

.:r?1t-zr;.

pi

Dc: donde

nl(p-n)!

(jP)

k

•

pi (~_ "".(1p -:In -1'···· n!(p_n)1

(-1)"

...0

•

••• (p -2n d)S'-"

(bl /

_(

rbl

t

....-1)

,

~

•

(-1).

(111)1 pI

•• o

r"_""

2'p' (:11> - 1)(:11> - !) •.• (1p -:lOo • 1)) (P - 2n)' .,

(l¡.J

\

1; (-1)" ...!.?f!.!_.

••

2".'pl

..0 (:11»! -p!

•

u...(.:r) '

•

(b)

k

(-ll'

",.0

(jpJ

~ ... ••

(-1)

0

.

PC, -1)··· (p -2n +.) (:1¡>-1)(:1¡>-3) ••• (1p-2n'1)

.... 1>-2"

, 2 -pi P..,,(%). "

"'7_.:(~~=-.:"':,:;):..:'--s'-"'.

Dd problema anteño< ,"'_

-

~tJJ.(p_"\I(P_2rt.)!

~

. n!(p-n)!

(~_"')(1p_"'_I)····(P-2n+l)"

(lpJ

k

(_I)·(:1¡>_:lOo)I:1¡>_:lOo_I)

•• 0

•••• (p_:ln.I)(P-:ln)! (p-2n)1

._-"P.:..'-,,'-" n!(p_n)!

[.I>!

k

(_1)"

".0

(:11' - :bI)' pi n! (p- n)1 Cp -2n)'

d', --·-ex 1

2'

pi

.,,'

-1)

•

s1>""" •

Ii,) •

k

". o

(1p -2n)1

(_1)"

2' n!

(p - A)1 (p - 2'1)1

,-2,-"1. S •

...

IL

ECUAOONES ).

Calcular

_1

Utilitando la rónnul.

225

BESSE!. Y GAUSS

dx

P'r"Cx) ~(X)

J1

De LEGENDRE.

de Rodrigues (Problema

2

"$

I~

r! s!

,

d , •• -ex - 1),

y

Luego du

d.'

x., ]

u.

y

1"·' $]'

-

.du

~._l

x=--l

r

s

Ahora

bten.

j

d --.

dr'-J

1

S 1

d 2 d - "2 • -ex - 1)r •.dz-$-1 --(x dJt" (x t - 1)

SJ'

1

- 1)

-

-1

_i

: O. para J • 1.2.···

d~·l

2

--(x

th"·l

r d3-1 - 1) • --(x tlrS-1

•• -1: por taftlO. dcspues

2

-1)

$

ax.

de una ifltq7adón

_1

•

por panes.

Una kaunda integración por panes da 1 I , r. $,

..1'.~ 4

'j.

J'

... 1

después de s inlc:graciolltS por partes. se tiene

A)

• >

J1

(-l)~

2"·" TI si

Supónguc

.1

r, Entonces. como

Supóngase

s • r, Entonces.. A) se: reduce ..

(%2 _

1)"

2 (x

S - 1) •

-l

• r

"

rJl

df'+S 2 --ex _1) dx.".'

1"

d..

''''-2

(-1) f' •

(_1)'

8)

(2r) t ,

(-U' (2.-) I

Por tanto,

22t' (TI)2 r (-1) (2r)1 .(_1)r. 2

2'"

(Ti)2

f'

'.

O

S
,

8 dlJ

(21-)

I

2H"(r!)'

2,,·1

r!

1·3···(21'" +1)

2 2r+ 1

utilinndo l.

ECUACIONES

226 x _ ~ By

SU\IIIUC-Ión

4.

Ea~r

/(1l)

Ahora

••

xl

2 • ¡¡ P.lZ)

Ahora

+

• ~ z.. _ ~.'

a

(_8 P'¡x) 3~

•

fex)

•

Pero

,

+

y

8 -P.C.)

3

f(x)

. ..! P" 35

(1)

-

7

3$

2<1

+

4

4<)

_

- p,(x) 5

•

20 -

-%

__

%

P.,(z)

2.

20

+

,

,

1

35'

S

22.

+ -z S

lOS

p.. (1l)

..

o

~.

1

-z -

+

-%

108

3~

7

; P3(X)

•

•

3

l'

-;1:

35

• 356 P.(X)

fez)

y

6

..

.!. r, ex)

• 2;1:2_._3

-x 5

u~n:.

35

8

·(2)> -')

t

•

t····· .

'

9

t ) 1 *

.1··:.;3::,":,:·,.!.1!:2I<:..-:.3!!.) (2xr-r) • ,-. .. _ 2·-1(. _1\1

, • -,

(2xt-t)

.2)' 2

• (2<)."

(1rt_r )k (2xt _ t? f~-l ('2

.. ~. ltnc:mos s"

35) .. 2x'

7

+ S

(2%! •

pohnom.os de

3

6 2 - x

2

_r-'~'::'' :,;·,.!.I!:,*:.:':,;S;!!)

lo$

4

• 5 P.lz)

(1 .. 2:rt

2'''1'

1.3 ..

2t) +- 2t2._1l_ 3 confuncIÓn de

p. (x,

Como

2" nI

de: Walll$

1:. fórmula

.....

8ESSEL y OAUSS

DE LEOENDRE.

(2x)k-l

- .....

t .\-1 .. (Ir -1)(2%)·'"

(2%)'-".-'

).-t

,

f·

..

jo

•••••

_ (0_2)(2'<)·"""

t·3···(2k-l) 21 i!

2rt

_t')',

,

+ (k-2)(k-3)(2%)"',' 2!

- ......

+ (1.3... (21<-» A

_1'·':.;3::'' :';·,.!.(!:'*:..;-:.;3;!!)

• (111:-1)2

.. lo3··o(2Jt-$)

, ••• .x -.

("-2)("-3)

2· ... '( ... 2)1

2'-1(-,: -l)!

l(o -1)

6.

o.mo"'''' que P,Il)

= l. p=O,I,2,3.·

.. ·····

•

•••

+

e LUC'J.o

po(!)

a

Pt(l)

1 ..

•• ("_1)("_2)("_3)

;ri:- .. -+- ••••

2.4(20 ·1)(20 -3)

t'

~

. - .....

P,Cl)

•••

oo.

t' ..,_.. P,(l) tI> +

po(!) + P1(l)t .. P,(l) t' + :

.

.l!

...

e

J,

1·3.. ·('*-1)

Póngase x - I en la identidad establecida en el Problema S. Entonces. (1_,,1

A:'

2','

2! ~),' 2

2(20 - 1)

2·-%.t-

2

etc.

•

1.

0.

1'...

(,'

227

ECUACIONliS DE LEGENOII.E. BESSEL Y GAUSS ECUACION 7.

DI, OESSEI.. d - .IoC.I') : ,¡,

CompcoNrqU()o(cumpk

.,

-

J,(X).

L (_1)" ••• _'_(!)' (3!)' l'

, ......

. .....

d ;¡; J.«)

.

~

.. {-l)

•

;....-:;(!)"'., ••...... ')1)' 2

<_1)...·1 __

2

.. (-1)

..,

1 "'(n+l)!

Un. I

n1(1\+1)12

(!.)zn'l 2

+

t-)""

•••••••

f

)

.-

d

,¡,

d

lO

- ¡

Jo(x)

..!. [I ,¡,

(-11"

tú " ..o d -,¡, (1 -

'" ¡

•••

(-1)'

Un

1

")1]'

(~)""l 2

b)

d x -. ••J ,¡,

(0)

.,

,• ¡ b)

d ;¡;'

-.

·J.(O)

•

d ,¡,

.,•••

~ A:.?!\-l (2)

(-1)'"

1\1(.+n-l)1

¡ (-1) • '''''''''''1 •••

x

••

(".")1

.,

!

.-

•>n,. 1

(-l¡" -;:-;:;:::;-_....;.. "'2l:"'2

".0

2

-x

.,

., I n.O

en.

.:«

l)! (l ..

"o6

.)1

1 (!)"'2n'1 "!('~n+l)! 2

•••••••

228

ECUAOONES

BESSEL y OAUSS

DE LEOENDU

donde k es un numero enero positivo.

Dd l'foI>Iemo 8.

_t J -

Entonces de

A~

d

ydc B).

se suman

1) '1 2)

Obsénue que

~

• 8.

se tiene

_ J.(.)

Q)~ si de 1)

se:

J'_1 (.):

- Jl+1

teSQ 2)

se tiene:

(x).

b).

si de a) se resta b) se IJCm

también qce

•

Demostrar que

•

- J,(.)

x

d ;¡; J.(.) -

%)

Si

• ••

•

;¡;; J,(.)

1)

~·l(%).

%

b) es una

fórmula

+>('-1/')

(unciones

,

.. .....

.. t J. (r)

1 -¡ J_k(.r)

+-

m

para

de rtC'UrtttIda

de Bessd.

.. •••••

+

1

T J_1

(r) ..

o ••

•

.x' t' • .... 2' 3!

[1 ... xt 2

.. •••• ..

En

los Itnninos que no

eslt produao.

I _ (~)2 +- _I_(!.i" 2

__

2

(21)'

tK'1lCn

......

+-

I_(~).

.. .... ..

(-1)

2

•

1 ..... --(-) (n!)2 2

el coeficiente de t es

•

'"

l.!

-;-.,.;.'---

- 2l+1

2" '1

. !. (~). •!

2

(1+1)!

1 l!(k+})!

.,

•

¡ •••

• ".2

.!. ..

(-1)' n!(i:+n)!

2

2 ••

(!) •• ,

2

r-l'·2. 2

2

•

J.

31 .'

son

I

(3!)'

•

%

2.

2~"t •••••

r

,

. -.. ] (1 -

•

f

CA:.. 2)1 • 2' 2!

21 CA: .. 2)1

.

J.(.).

z,

r ~.,

-

(!) .... 2

2,11·, (A:

.. ....

3)'

2' 3l

3! Cl + 3)1

G ••• 2)

..

1

.. . •

o'

. •••••

yd_lcd<

1 ;¡CS

..,

ECUACIONES

%

DE LEG~NDRE.

BESSEL y OAUSS

~ o., 2)

1! (~ -+ 1)!

llCUAClON

1 21 (l ...2)!

-+

Aqul ...

1 = 2. 7 - 3/2,

y,

• F(o..IJ.-y.r)

oft -

= ~-

1/4; lueco •

serie (x - ~2)y"

mediante (l

+, +

t - 4,

Pata cualquiera

y.

x

Fe!. !.~.JI)

•

4.,

+ 4(l

(J' -

x)y' - 2y

-

2; de: donde

•...

J

s

-1+-

=

t. , _

. JI'- .. -

x"

S

7

..

Como}' - 4. el cuarto termino en " tiene cero por denominador. "1 + 2 del tercer término es cero. de modo que '"' :s-., F(-2.-1.-2.x)

y la solución completa es

y

o bien

2. 1 _ ..

• AF(t.2.4.,I)

lx'

28

.

•

1 •

•

t

.. ·13

-.' 1.{3

.. (lZ

..

•

,

%

( l.

%(1

_

= 2. 1- l.

7 _ 4,

Sin c:mbargo, uno de los factores

•

B~

•

.'

..

.. a.«1.1)~.8+1).a2 1·

2·P ({3 + 1)

C(a. .. 1) %2

1'1 -(-x) 1·2 1

1 2

2

3

-x • -x

11'1(1+.) •

.

.. 4(4" 1) (a. .. 2) .1"

+ •••••••

•

(1-%)

31 +

l·l·I·2' e_X) 1·:1-2'3 l.

- -z •

11 -

,. x-~ F(-l. -2.-2 •.1)

2! , 1.,~(1.1.2.-r) ,,)

(l

.

b) .l'F(1.1.2.-,,) F( e, {3.P.%)

.~ Vv•.

:

= O.

P-

y,

.

112

-i F(o.o.!.%)

= '(2.1.4.x)

",,' .. _ 10

2

+ -, 40

de valores

F(1.2,4.%) x

(l

b'

~2

1 + -

%

222

de 10$ dos conjuntos

Y••

al

~l'" 2

1/2 Y 7 - 3/2-

•

o

J! CA!.3) t

¡T • O.

Ci - 21).1' -

(JI _%2).1 ....

ft +

Entonces.

Aquf

_

DE GAUSS.

11. Resolver mediante $eñe

12.. ResoJver

~).2

•.....•.

1'2"'1'2'3

...

(-Jr) '

1·2·3·2'3'4

)

:

10(1+%),

)

.

-

•

Y+ 2

230

ECUAC'ONES

DE LEGENDRE.

BESSEL y GAU$~

PROBLEMAS PROPUESTOS

..0'.

i'.(2) - SS.l7SO. b) J.C') - 0.76)2.

I~, CokuLl,.,

e) J,(I) - 0•

15. e_probar cad. v.. el< las sigu;mt<S rdaooo<s a) (,t'_t)P;(,r)

n..

b)

(x)

17. Si 1.(2) 18.

y Pl(2)

(J

= b,

-P~-l(')

• p(.P,
-p,_,(Z»).

• ;«P,I)P",(,),

) I,m

- b -..

0._

Dw:m05Cnr que el cambio de variable indtpcndiente)(J

pp._l(.)).

b) 1;(2) _ a - ~b. e) 1¡(2)

_ I reduce .. ecuación

Eocribir la solución de la _D el< _...". '1 J •• ,,(x) se pueden definir c:omo OX~IJJ sea

J1(1(x)

e} Demo5uar que si las rc:bciooes del Probk:ma 8 NOla.

20.

Estas (unciones están definidas con

UlilLccse la sustitución y = xlllZ y después x de f. «unción de Besscl, y resolverla, SU,lcrcncia: %", tz,l • (12 - 1/9): • O• $<J/.

• .u

y

[1

.' --

.

-

1

•

B [1

2' 2 "

••

1

%

- -

•

3·2

21 ,1 2.$

(r - Jx + 2»'''

Resol"",

ÚtUClÓn el< b

Su~:

ro.....

+ 4,,)" + 2)' x = {= + ~.

y 6x"',J oos

.. (3./2)J')

= O en

= i..emceces

IJ

= b.

, •

31 2% 3' 1·10

••

+ .T)'

-

O es un caso opcaaf

....... )

• .. .......... ) .

31 3' 2-5-.

= O dospoés

de r
y - AF(I.2. -4,,< - 1) + B(x - 1)'F(6. 7.6." de fTl.2. -4.x - 1) se hace tnfi:nllo.

«uXIÓft

- 1) no es

el< 0."", mcxIaontc .........

UDa solución

ccmpkta.

sexco Icrm,ino $0/.

n.

A 1'(1.2.8.2-.)

Y'

+ 8(2-,'-'1'(-6.-5.-6.2

-s )

Expresar C#d8 una de las siauientes relaciones como runciones de Oauss, a) _I-

1-.

13.ft .•

.1'(1.

1

._M

tilD F(o.-. t. l. x/o.)

el) eX.

3

e) sen e) are

ti

l(

'"'

Z

F(t.

1 3

2· 2. -x

%

Jt

•

11. 4_ -

)

u:o.a ccuaa6n

y dcmoruIr que

C,x'''J_.,,(X)

p3rJ. demosuat que y"

• 7

4-- Y

X. respcctivamc:ote.

vilida, para k -

10ft

a una ccuaci6n de

,jii;.

•

x

+

2' 3

11.

Q _

C,x'''Jan(x) +

Y X

= e.

de Legeodre

19. ,,) Demostrar q~ el cambio dt variable dq)cnchcnte 1 _ xl(l!' transforma y" el< _,. b)

ée P,(x~

demostrar que

y J,(2) = b. demcstr ar q....

~.

..nc

el clcsamlllo ea

- 0.9147.

(p ~ l)Pp(.E).

e) (2p.I)P,(%) • P;.,(,)

16. Si Pfi(2) -

_.P_.(X»)

• (p.l)[P~.l(%)

%p;
•

uuh",ndo

d) F(I, l. 10. -1)

IJ--

.F(0.·/3·-2'-

%

_%_)

4a.f3

yo que el

CAPITULO 28

Ecuaciones entre derivadas parciales LAS ECUACIONES

ENTRE

DERIVADAS

son

PARClALf::S

aquellas

contienen un.

que

O mAs

derivadas parciales. por lo que tienen que tener. al menos. dos variables independientes. El 01(1,,, de una ecuación

entre derivadas

parciales

es el de la derivada

de mayor orden que interviene

en

la ecuación. Por ejemplo. conslderando c como variable dependiente y x, y como variables independientes.

az

x-

1)

ox

y!! • ay

+

es de orden uno y

a'.

2)

a1z

•

+ 3-

o."{"

'"'ay

es de orden dos. Para escribir

lo diferencial:

p

=

•

o bit"

.'.

ay'

o bien

O

"

1') Y2') se ha utilizado

oz

xp • yq •

2')

r

t

3.$

t

z

t ~

O

una notación que se empica mucho en el c:álcu·

o' z =-.

r

ax'

l' )

• =

ax'

a'. --o


Se pueden deducir ecuaciones entre derivadas pan:iaJes elim, ... ndo constantes arbitrarias de una relación dada entre las variables y eliminando funciones arbitrarias de las vanables. También pucdco surgir cuando se plantean probltm3s geométricos y físicos. ELIMINACION

DE CONSTANTES

ARBITRARlAS.

Considérese

que

z

es una

función d.

dos

variables independientes x e y definida por

3)

g(X,Y.l,',b)

= O,

donde a y b son dos constantes arbitrarias, Derivando 3) parcialmente respecto de x e y se obtiene

aR • aR ~ ax a. ax

4)

=

a~ • pa, • a. ox

O

y

.R

51

ay

t

~!! a. ay

= ~ ay

+

qa~

o.

•

O.

En general. las constantes arbitrarias se pueden eliminar entre 3),4),5). dando lugar a una ecuación entre derivadas parciales de orden uno

6)

(x. y, z,p,q)

Ejemplo l. Elimina.r las consu.ntd Ocnvando

p:ucia1men(~

rtSp«10

=

o.

arbitta.ria:s a y b dt: :: • ax~ + IIr + abo

de T e _v se

ueee y

Rc~vlcndo

C!i13Secuaciones

respeeto de

ti

y b y MlSljtuy~ndo en 1¡¡ relación

231

d....c:Iase: obtiene

ECUACIONES

232

,

.

ENTRE DERIVADAS

(,..P.. )x- 2 ;. ( ..,92 -)y' 1- ~

oC

(,-P)(o9) :2 .-

Y

.r'¡;

PARCIA~ES

de donde

y

41)'J' •

una ec:uao6n entre derivadas pamaks t:k orden uno.

Si z es una función de x e y definida por una relación que solo contenga una constanre arbitraria es posible. ordinariamente. obtener dos ecuaciones entre derivadas parciales distintas de orden uno eliminando la constante.

Derivando parcialmente respecto de x se tiene p vadas parciales z ... p(x + y), Análogamente. derivando

de modo que: se puede: escribir la ecueciée entre deri· respecte de y. se "ene q a y la ecuación: ,.,. q(x + y).

11,

=

Si el número de constantes arbitrarias que: hay que eliminar es mayor que el número de va.. riables independientes, la ecuación entre derivadas parciales resultanre (o ecuaciones) es ordinariamente de orden superior al primero. Ejemplo J.

Eliminar

a.. b. e de :: -

Derivudo pa.tCialme:o,crespeeto de

me:1'I te

+

by

+

rclaciooes.. junto CODla dada. no rupecto de x se lieoc:

$Oft

a -~ ox

exy.

e y se liene

X

=a+"

(1) p

Estas

QX

y

(11)

q - b + ex.

$I.lficientes parll ehminar

. o', 0.' -

•

o-9

Derivando

.l

r

r

(1) p;ueial.

•

respecto de)' se: tiene

o.

de orden dos.

(1) pa.rcialmc:otc respecto de JI o (11) rtlliJ)CC1Ode x se: obtiene

o-p ay De (I~P

a',

• -

Derivando

• o.

r

una «uaci6n diferencial de orden dos. Derivando (JI) parci:llmenle

ay

las tres constantes.

- •

Susú,u)'
+ sy y • D.

=P

- sy;

b. e po< sus _

=

o

-q

a.

,'"

• --

OX

•

oy

de (II~ b _ , - u. en la rdac:icIo _

, • ('.

se _

de_dO<.

Se tic:ocn. pues, tres eeceecees entre derivadas ptlrdales r _ O. IzO, nimo) orden asodad.as con la rdaci6n dada. ELIMINACION DE FUNCIONES ARBITRARIAS. nes independientes de las variables x, y, z, y sea 7)

(uoV)

•

Sean u

= p~ + t¡y -

lXy

del mi$mo tml-

véanse también Problemas 14,

u(xo Yo z) y o ~ lI(.\'o Y. r) funcio-

O

una relación arbitraria entre ellas. Considerando a : parcialmente respecto de, x e y se obtiene 81

=

Z

Como

la variable dependiente y derivando

y

ECUACIONIlS

ENTRE OERlVAOAS

233

PARClALIlS

9) ElimInando ~

y

av -

dU dU - ..p-

ax o. ox av au - +qaya.

d. 8) y 9) se: uene

~

av

..p-

a.

•

Ou av a" ay

(Iv av aya"

~ -----+ e_o'

•

.... ribiendo

ov -ov aya.

IJ' = -

av -av • o. ay

ÁQ=avav_~~

- -

1" anterior relación toma la fcrmn

oz ex

I'p • Qq

ox a,

.

= R.

una ecuación entre derivadas parciales lineal e-n p y q y libre de la funci6n arbittaria f(u.

que se ded cee de ~:/x'. y/xl - O. donde ~ es .... funciÓIIar-

Qt.opIo.. Hollar la 0CUlICIÓII difuendal 1)¡trana de: tos a:rgwnen tos. Se puede escribir la relación fu_ mente rqpccIo de x e y se tie:nc

~

la tlintinac¡ón de

...

y

en la rOIm3 ~.,

~

_1 - 0_ • - :Ix' y. = yfr..

'
S. se elrmme f
CSlU

pomal-

~

da lugar.

av

función arbitraria de su argumtnto. Utilizando" = y/x y dcriv:ando : _

q ••

li~

•• ' (
~

rriacioocs

JC:

•

x'/(I1)

respecto de x

c: y

se ueee

"/'(0).

obIic:oc

p + qy

•

como antes. Véansc: también Problemas 5-8.

234

ECUACIONES

ENTRE DERIVADAS

PARCIALES

PROBLEMAS RESUELTOS + a)CY' + b).

1. Eliminar ti y b de % = (Xl

Derivando y2tb

•

parcialmente respecto de x e y.

2...

.f...

2K{y2 + b)

»

2y(X'2 ¡.,

q"

pq ..

o

También se podrian eliminar o y b como sigue: pq

2.

'i

y

2y

2x

p

=

4xy(y' + h)(x2 + a)

O).

Luego

4;()'~.

=

4xlz.

Hallar la ecuación diferencial de la familia de esferas de tadjo 5 cuyos centros están en el plano x = y. La ccuaeiól) de la familil.l de esferas es 1} (x - 0)1 + (y - a)2 + (z - b)2 _ 25, siendo u y b constantes arbitrarias, Derivando parcielmeute respecto de X e y y dividiendo por 2 se tiene

(x - al + (, - h)p _ O Sea:

- b = -In; entonces, x -

á

(y -

+

a)

(t - b)q = O.

= pm e y - a _ qm. Haciendo estas susntuciones

Ahora bien, x - y = (p - q)m. Luego ...

ecuación diferencial pedida es (x _ y)2(P1. 3.

y

+

•

x__ -y

en 1) se obtiene

o

25. Y 1a

p-q

ti

+

J) _ 25(p _ q).l.

Demostrar que la ecuación entre derivadas parciales obtenida eliminando las constantes arbitrarias a, e de z = ax + h(a)y + e, donde h(a) es una función arbitraria de a. no contiene las variables x, J'. z. Derivando z = a.x + h(o)y + c. parcialmente respecte de x e y, se obtiene p _ a y q _ "(0). La ecuacíén diferencial que resulta de la eliminación de o es q = h(P) O bien f(P. q) = O, donde I es una función arbitraria de sus argumentos. Esta ecuación contiene p y q. pero no contiene ninguna de las variables x, y. z.

4.

Demostrar que la ecuación entre derivadas parciales obtenida eliminando las Constantes arbitrarias o y b de , = ax + by + fta, b). ecuación de Clailaut

es

generalizada.

z - px

Derivando z ., ax + hJ' + f(a, la ecuación diferencial pedida.

5.

¿,J

+

Hallar la ecuación diferencial que se deduce de
u

=x

+y +

Z, 1>

= xl

+ y2

Derivando respecto de X e )' ~(1 + p) + ~(2r

ou

I

ov

I+P

• O

+ y::

_ :2)

= O.

cP{u~~)

= O.

tiene

~(I

ilu

I

x~

- x' fa relación dad" Se reduce a

Sé-

y

+ )' + :.

+ q) + ~(2y

3.

- 2zq) •

o.

Eliminando

y

~.

3v

se obucee

2zP

2x-

I'q

_ 2zp)

qJ' + f(P,q).

respecto de x e)' se obtiene p _ a y q = b, deduciéndose inmediatamente

2y - 2;q

2(y

-X'}

...

2p(Y";)

- 2q(: + JI:)

o

o

(Y·Z)p

-

(x +:)q

•

JI: -

y.

,

ECUACIONES 6.

la función

Eliminar

f$(:c

arbitraria

Luego

p ~q

es la ecuación

235

de z

de x e y se obtiene

respecto

PARCIALES

= 41tx + y). reduce a 'Z" = 4>{u)'

+ y)

Si x + y _ u la relación dada se Derivando

ENTRE DERlVADAS

diferencial

P

JO

Z·


q:

y

tj)'(U).

resultante'.

7. La eceaciou de un CODOcuyo vértice este en PotTo. )'0. 40) es de la forma 4>(~. ción diferencial x -xa

Poniendo

~ u.. y - Yo ..

Z-':o

Derivando

x

de

e )'

_(_ ""

q

a" CcP

y

) • "'" :X(__ 1 3u:-zo

x - lO

12

f(x) y ge,) de

= O.

la eeua-

y- Yo )

=

O.

(::: _ z.o)'Z

1

-.lo.

1 ,"(x) ,

De 1) y 2) se deduce

¡'(x)

• = ¡'(xl Luego. xys = x(p - t(y)] entre derivadas

= 1/~)

y

= y ¡'(xl + g(yl

,.:

I

x

g'{yl.

+ xw).

de x e y se tiene

respecto

Como no es posible eliminar f.g.f'.g' gundas

resultante

_ q

p(x -xo) ... q(y - Yo) •

se obtiene

arbitrarias

P

3)

t¡9{u. o)

HaD3r

tiene

$C-

L -lO

parcialmente 1)

toma la forma

: o. Zo

'l"

las funciones

Derivando

(

~.

'l" 8. Eliminar

dada

: -

';-':0

respecte

Eliminando

la relación

ti

~)

Z -lO

$

=

2) q = ¡(x) +

entre estas relaciones

1

-{P-8(Y)]

y

Y

8'(]1' .![q-¡(%)].

luego

%

+ 8'(y)

+ >{q -

clerivada$ pattiaJes se-

+ g'(1),

I'(x)

•

y 13 dada se: balJarinlas

•

1 -[p-g{y)] y

J(x)) = p.'

+ qy -

+

1 -[q-¡(.)J . x

(YJ(x)

+ xro)]

- p., + qy - z es l. ecuación

parciales,

Obsérvese Que la ecuación difm:nciaJ C;$ de orden dos aunque. en general, es de espetar un orden mayor. Sin embargo, como una de las relaciones J) solamente cceueee las derivadas primeras de f y g. es posible eliminar /. g./" g' entre esta relación. 1). 2) y la relaciln dada.

,_

Hallar la ecuación diferencial de tedas las superficies que cortan ortogonalmente

a1zl' _ O. Sea

z = !(x,y)

la ecuación

la familia de coños .x2

P son

(x,y. -a1z).

Como

px + qy La eliminación

de

02

-

pedidas. Los cosenos directores de la normaJ a la superficie en Análogamente. los cosenos directores de la normal aJ cono estas direcciones son ortogonales,

de las supet6cies

un punto P(x, y. :) de la superficie son (p. o. -1). que pasa por

+ ).!

+ a1z

_ O.

entre esta ecuación y 13 dad;l, proporciona la ecuación difetmciai pedida

:(px + qy) + x'

+ y'

=

o.

ECUACIONES

236 10.

PARCIA~ES

Una supt1'fiClc que es la envolvente de una ramiha. de 1.11'1 ~o parimetro, de planos se denomina una lUptt(l..::.C [Una superficie de eere tipo se puede dC$;lrroUar {desen ....olver} en un pI:tno ~n que sufra Oc-'Iopl'Ml' m~,OI o alarpmlCftlos.] Obténgast la (.Q,Iaclón d,fcRnCtlJ de $Uper6cie-s desarrollable$.

desarrollable

y) la cevación dt: una suptrf~

Ses : _/(x.


,teftC

El plano tanpr.e en un punto (x•• JO.. l.) de l. supc:rficx F:. (z-so)P"

1)

por «DXi6n

- (:.-to),.

()"-)o)q

O.

Ahora bien. $1 p Y q saüsfaceo una relacI6n ~(p.q) - O. 1) es una famili.,.de un solo parámetro de pi."..• que lienen % -/(x.)') como envolvente. Luego ~(p,q) • O O q 1{p) es la ecuación diferenciAl pedid. !lO

el cono del Problema

9 es une

11. EliminQr us (unciones arbitrarias

Derivando

r

.• 1

ENTRE DERIVADAS

parciaJmcnlc

•

• _,

~J

superficie

.2

y

dCSllrrolllblc

, á',¡,.

.,

__

x

(1,2 z •

. .,

,

o

que p

q:-

L a21

satisf.c('

!Í1(p, (1)

de

se obtie:n(:

~. á.'

~

do'

f

•

, , Eliminando

d

t/1" •

du2

o.

Y¡I

que

12. OnnOltrlf diferencial. a)

"'1

d

4>"l

se tiene

el,,'

l

111,.

I

=

Derivando:

= ar + by

z

Que a)

ar +

y b) s _ ax'

b).,l parciaJ,mcntc

p -

Por .. ere, p~ b)

OcrMndo:

P

L.uego

+

+ bx'y" cxy' + di'lx

n:spcc:10

de x e y

Jcu'

y

1(

3cz' + 2b.z-y ... cy' - dy"/Jl'l

fU"¡ qy ,. 3(G.t~" hz 'y .. CJCy2 ~ dy.'I()

resehante, de x e J' se tieoe

_.,

'Y 3:

a la mlsme ecuación

3bY·

q

dy'/~ paráI.Imellfe

CX)~ ...

lugar

tiene

qy = 3(=' ... br) • 3. es la ecuación diftmlOll

=' + b~Jy +

dan

q • bJl' ... 2<:1')" + 4dY)/:L· como antes.

El h~ho de que estas dos ecuacsones, una con dos con51anlC$ arbitrarias y la otra con cuatro. den lugar 11 la misma ecuacién difereoc.ial C$ como una indicación del PIpe! subordinado que parecen represent ..r a quf 'as oonstanteS arbitrarias. Se pueden tener, en su lugar. tunc:iones arbilraria~. Como (1) se puede escnbir ...."'( z

*-

ax'

.. by~ •

x' (a. b()'/x)'}

•

1'·g(yjx),

'Y b) se puede escribir así ,

• ,rl (o. b(1/x) • «1/1)' • d(1/1)')

es, cada una. un caso particular de : -

~ . /(y'-t) consldcrU.o

••

1.hU/x),

en el E.jemplo 4.

.....J

ECUACIONES

ENTRE DERIVADAS

PROBLEMAS

PARClA~ES

237

PROPUFSfOS

Eliminar las constantes arbitrarias a. b, e de cada una de- las ecuaciones siguientes.

.. (,( _(l}'l

13. 14.

l

15.

~x

,

• axy

•

(~- b)

Sul.

Ó

by • n • 1

-t-

16.

.: (lXCY

17.

= x y • y,¡;:¡:-:-;;r

18.

2

x'l./Q~

I

~a~c~1

-t

f

." '1'

• O

,.

s • O.

q

b

pq

.

Q.

-xy: ..

21.

(%

r

y

23.

r

24.

z " f

2S.

t

.:

f (X

26.

Z

=

1)%

27.

2 z: .: ;{(l2 .. 2}x

•

J (x)

(!'f

f (,)

l
.

(xy)

2

•

t)

•

:1

XI' ~ yq 'lIt ~ yq2 _ tq .: O.

: 0,

o

¡S + pq .: O

2: _ xp

6

xq -+ y(Z-x)q

• Z{X-y)

yptxq.z

(x'Y}
•

O

'P , P

xtr-Z)p

1 ~)

22.

o

b y las funciones arbitrarlas ~. /. g. So!.

20.

O.

Xl" ~;xp'l_::p

• 1

.ElimlOllr las constantes arbitrarias

q'

xp - yq

b

y'"l/b'l ~ z2¡c'1

r

g(x)

6(%

t

y)

S.(J/.

",:::(x"y)

• 8(1) • Q;cy ..

b% • 4>{y·

áx)

qr -

(l+p-t-q)s

-+

• O

(¡.P)(

p-xr

O

r _ 2:

rt - 52 .,- 2

0$-=0

28.

H311ar la ecuación diferencial de todas tas-esferas de radio 2 cuyos centros están en el plano ;rOyo Sugerencia: Elimínense a y b de (x - a)' + (y - b)' + x' = 4. Sol. Zl(p' + q' + 1) _ 4

29,

Hallar la ecuación diferencial de los planos para Jos que SOD iguales los segmentos limitados por el origen de coordenadas )' tos puntos de intersección con d eje de las X y el eje de las y (segmentos Orx, O-y), Sol. p - q O

JO.

=

"[aliar la ecuación diferencial

de todas 415 superficies de revolución que tengan el eje

Sugerencia: Elimínese ~ de z _ ~(Jx'

+ y'l

= ",(x' + )"~

S./.

}'p -

r

como eje de giro.

xq = O

CAPITULO 29

Ecuaciones entre derivadas parciales de primer ordeu LAS ECUACIONES l.)

px

+ qy

ENTRE DERIVADAS PARCIALES de primer orden = 3.

y

se denominan lineales para indicar que son de primer grado en p y q. Obsérvese que, a diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, no hay ninguna restricción sobre el grado de la variable dependiente z. Todas las ecuaciones entre derivadas parciales de orden uno que no

2,)

p'+q'=1

Y

2,)

SOD

lineales. como

p+lnq=2=',

se denominan no lineales. ECUACIONES ENTRE OERIVAI)AS PARCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. ecuación 1.) S<: ha obtenido en el Capitulo 28, Ejemplo 4, de la relación funcional arbitraria

4>(7JX', y/x)

3)

La

=O

zlx3

o su equivalente _ ¡(y/x). Esta solución. que contiene una función arbitraria. se denomina la solución general de 1.). También se ha obtenido la ecuación diferencial (Capítulo 28, Problema 12) eliminando las constantes arbitrarias de 4,) y de

4,)

Z

= ax' + bx'y + exy' + dy"Jx.

De los problemas de ese capitulo se deduce que las relaciones que contienen dos constantes arbitrarias dan lugar normalmente a ecuaciones entre derivadas parciales DO lineales de primer orden. mientras que las que contienen más de dos constantes arbitrarias originan ecuaciones de orden superior al primero. Sin embargo. CODlO se hace notar en el Capítulo 28. Problema 12, ambas reIaciones son casos particulares de la relación funcional arbitraria 3). Está claro. pues, que la solución general de 1) proporciona una variedad mucho mayor de soluciones que las que se obtienen (en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias) mediante la forma de constantes arbitrarias; por ejemplo.

=/x' = A sen(yjx)'

+ B cos()'/x) +

e In(y/x)

+ De'" + E(yjX)12

está incluida en la solución general 3). LA SOLUCION GENERAL, Una ecuación entre derivadas parciales lineal de primer orden, que contenga una variable dependiente z y dos variables independientes x e y. es de la forma 5)

Pp+Qq=R

donde P, Q, R son funciones de x, y. z, Si P = O o Q - 0, se puede resolver fácilmente 5). Así, la ecuación

~z = 2:< + 3y tiene COrno

uX

solución z ~

Xl

+

3xy

+

tf>(y), donde

4> es una función arbitraria. 238

ECUACIONES

ENTIlE DERIVADAS

PARCIALES

DE PRIMER ORDEN

239

Lagrange redujo el problema de hallar la solución general de S) al de resofver un SÍSIema a.wliar (denominado el sislema de Lagrange) de ecuaciones dlfermaales ",dinarios dX.::dy::=dz

6)

Q

P

(véase Problema

demostrando

fl

7) que

7)

"'(u, D) = O.

(~. arbitraria)

=

es La solución general de S) con tal que u = u(x, y, z) = Q Y o - 11(.<, y. =) b sean dos soluciones independierues de 6~ Aquí. Q y b son constantes arbitrari .. y al menos una de u.• debe COn-

tener

l.

Eje!npW 1.

Hallar

¡cne.ral de

La solución

1)

e

px+qy_l:. El

sistema

dx Dt -. x

auxiliar es

ti: . - se obtieoe 3:

:j'_' ji

...

Q.

~

de

2y _!:) :

= Q.

,¡xl

Asi. la solUCIÓn gen
ax = dy -y x

Y de -

se obc.ac:nc

dond<

.:fi' _ c.

b' b se o neee " - )"/~ = .

9

es art.lranL

y se puc:dc: e:scnblr

II-(:/x'. :fy') - O donde 1St y l. son arbitrarias. millar lo solución general.

~(:Iy'. ylx) -

Sin ernoorao. son completamente

o.

equlvllenlcs y cualquiera

de ella$ se puede

eeee-

E.l anterior procedimiento se puede extender rápidamente para resolver ecuaciones difercn· ciales lineales

~

siendo;;

de primer

2.

la variable

orden

que contengan

más de dos variables

independientes.

Hallar b. soIua6n ¡proet'ai de:

dependleme.

JA

dy -.-"'_= ~ y

El sistema auxiliar es

dt

di

t:cyt

=

Se oblicne rápldamenlC' rI - ."/y - e, ti tff = b. S< puede hallar una ....,.,.. solUCIÓn u>c!cpcodi
• y(zr) )'t

t(%)')

&

tú. 1lrdy

lo

-+- (%;)'1)(-3)

xydt

- 3d!

;ryt - 3: "' c. Luego la solución general es ~(;rly. t/y.

X)'I

-

3=)

= 0,

• O

los muluplieado<es yr. XI. ..

O.

xy. -J. Ccmo

ECUACIONes

240

ENTRE DERIVADAS

SOLUCIONES COMPLETAS. Si" « y {J son constantes arbitrarias.

PARCIALES

DE PRIMER

ORDEN

- a y v = b son dos soluciones independientes de 6) y si u=a:v+fJ

8)

se denomina una solución completa de S). Asl, para la ecuación del Ejemplo 1, zlx' _ «(ylx)

+P

es una solución completa. Un. solución completa 8) representa una familia, de dos parámetros, de superficies que no tienen una envolvente, ya que las constantes arbitrarias figuran lineal.mente. Sin embargo, es posible seleccionar familias de un parámetro entre las 8) que tengan envolventes. Como se demuestra en el Problema 8. estas envolventes (superficies) son Simplemente superficies particulares de la solución general.

PROBLEMAS RESUELTOS l.

HaJlar la solución general de ?.¡' .... 3q _ 1. El . xili dx d)' dz slStema au ar es "2 = "3 = T'

d; se tiene 3x -

Oe ~ = ~ se tiene x - 2% = a, y de ~ _

2,.

,p(x -

3x - 2y)

=

2y _ b. Así, pues. la solución general es

O.

la solución completa x - 2z _ a(3x - 2y) + P es una familia de dos parámetros dé planos, la familia de un solo parámetro determinada tomando (J = «2 tiene por ecuaci6n A)

x-2z-a{3x-2y)+.'.

Derivando A) respecto de. se tiene 0- 3.< - 2y + ze, de donde. = -t(3x - 2y). Sustitu)'cndo« por su valor en A) se obtiene la envoleeate. un cilindro parabólico. x - 2: - -i(3x - 2yYl, Este cilindro es naturalmentc una parte de la solución general.

2.

Hallar la solución geoeral de •••

.....u

r'p - x'zq = ,,'y.

. ,. dx dy eeeacscnes auxmares SOn J = -,-

d:

dy'

ry = --. -r:

De -

o sea" % dz + )' dy

Luego fa solución general es q,(y2 3.

Hallar la solución general de (y - z)p . ililar es -- dx aUXJ El slStema

y-:

=

-x z

J' Z

=O

+ :2, +

= --dy

x-y

dz _,_o xy .

se tiene y;;t + z} Xl

+ y)

QI

(l.

dx dy . de - - -se nene x' y;tz _XlZ

+ J"

= O.

(x - y)q _ z - x. d: = __

Como (y - z) + (.< - y) + (r - xl = Como x(y - z) + z(x - y) + r(r - x)

o

¡-X

o.

+ dy + d: = O

y x + y + z = •. + z dy + y di _ O y x' + 2yz = b. 1..11<:80.l. solución general es 4>(x' + 2yz. x + y + z) = O. la solución completa X2 + 2yz • «(x + )' + z) + P representa una familia de hiperboloides, dx

= O.

x dx

- b.

ECUACIONES 4,

Hallar

la solución

general

ENTRE DERIVADAS

dx

s:

.'

,l'2_y2_;2

~dx +ydy+

2 %.;.

2

o.

:dz

xtbc+ydy*zdz

+ ,"

o .¡.

e,

:2)

2(x
z:

1(2 ...y2.:2

~2

Y .....

-: b.

z

2

Luego la solución

5. Resolver ap + bq + ex

;X2

2

es .p(L. x ... y

general

1.,'" solución completa el plano yOz.

•

+ ),l + zt

= «,'

2

... !:

z

+ p:

)

-:

O.

consiste en esferas que pasan por el erigen oon centros en

= o.

' '1' dx El SIstema 3UXJlar es C)

Si a

241

d,

X{,%2

se obtiene

ORDEN

2>::

2%y

yj:!:

se obtiene

De

DE PRIMER

(!<' - y' - :'10 + 2>:yq = 2>::,

de

El sistema auxiliar es

De

PARQALES

+- O. .s: = dx -e: a

dz = -dyb = __ +cz

proporciona

dx

dy = -b

• se obtiene

In : = -~x

+ In

B. de donde

'o.

d.: -e:

o

De ~

..

a

SiJ b T

Q)' -

b

z=

= dy ¡; prcpcrcroae,

X = A.

er-«. z =·ee

y la solución

-"'"• y

general

se

Ia so Iuc IÓn gene-

ral se puede escribir asi z .. e-(J'.'lte/!(ay - b:x).

6, Resolver 1) 2p 1)

Comparando La solucién

2) Aquí.

7.

(l

+q +:

= 0, 2) P - 3q

con el Problema general

a=

5,

+ 3q +

2: = 0, 3) 2p

2, b =

5, _ 0, 4) q

+ 2z

=O

t. e = ],

es z - t'-1I'1~(2y - x) o bien z

= e-'","'(2y

- x).

= 1. b = -3, e = 2. L~ solución general es ~ = e-2:1-~(y + 3x) o bien z _ eZ,f)'¡'(y

3)

La solución genera] es s

4)

La solución general es

Demostrar

+

1:

= t>-s~zt/J(2y - 3x) o bien = e-2't/J( -x) = ~-2,.",(X).

que si u = u(x,y. r}

=a

y

1)

=

Q(x.y.:)

=b

las diferenciales

de: u

=a

y

ti

=

3x).

z;= e-)rlJ.'¡'(2y - 3x).

fuci

son dos so uctones

donde P, Q. R son funciones de x, y. z, entonces cp{u. v) Pp+Qq=R" Tomando

+

= O. COI) f

'00 pendi de dx 1 e lentes Ji'" dy Q"']i'dz

arbitraria, es la sotución general de

b se tiene

o. Como u y (')son funciones independientes se puede resolver mediante las razones dx:dy:dz

•

(~ o. _ Ou~)

oy oz

¡b

oy

Pero estas. son las relaciones (véase el Capitulo solución. genera) es tP(u. e} - O.

• P:Q:II,

2$) que definen P. Q. R en la ecuación

Pp

+ Qq

= R cuya

242 &.

ECUACIONES

Sea. _ .., + fJ Ioccioc>at ... vo.tYenk.

.Da solución

familia de

ENTRE DERIVADAS de Pp

eomplda

+

PARCIALES

Qq - R..

De

DJ! PRIMER

ORDEN

esa familia de dos paIámelrOl de super6cies se.... función ciada de e; Y obkncr la en

po_ ~_h(.~ donde hes

UtI parámetro

La c:oYOl... te de la familia

+ A(.)

1) • _ ..

2) Resolviendo

2) piU"3.

el

= JI(v)

y sustituyendo

O_ o

en 1) se tiene

+ h(¡.(v)) -

u - e- .(0)

3)

A(.).

general ~(u. v) - O. Luego.

Ahora bíen, 3) es UDa parte de la solución

nel difcrenciaJes ordinarias. la envolvente

+ h'(.).

a diferencia

del caso de las ecuacío-

no es un nuevO lugar.

Si ),(<<) se toma COmO una función atbitraria de e, X(v) C$ una (unción arbitratia de v. y 3) es la $01uc:ión geneTAl.Por tanto. la solución general de una ecuación entre derivadas parciales lineal de orden uno es La t01.a1idad de envolventes de todas 18$familias 1) de un palimetro obtenidas a partir de una saJución comp1eta. Es de hacer notar que cuando It(<<) es arbitraria, la eliminación de el entre 1) Y 2) 00 es posible; así. pues. no se puede obce-ee- la solución a partir de la solución completa.

""eral

,.

Dcmoottar q.. la coDdición pon qce sea
la oc:woc:i6n

MIr, y)4x

+ W.

dif_'

JI) "'",.}'~

O
O

es una ccuaci6n entre derivadas pa:n:Wes lineal de: primer ordecL y 4emostrat la forma de ballat un fac:lor ..."Ie de M dx + N ~ = O. (Véase Cap;tulo 4.)

-,

'.

Si

~dx+""dy_O

a - (pM) ay

es exacta. entonces

"

.l-1I\C •

Esta es una ecuación

•

~

.~ a¡.

de donde

(¡ioN)

ay

Oz

entre derivadas

parciales

_

lineal de primer orden

para la que el sistema auxiliar

C$

"

dx.2

1)

Una

~ua60. que

-/t'

C:OOlengJ p. de esce sistema

dI' JI

C$

un flCtOc' in.lcgranle

de M
+ /ti

d)'

= o.

E",ibiendo 1) en b forma

es nide,nc que

2)

a¡¡

"eN

a; - áj. -N

es un (actor íntcgrante.

N - I y 2)

M:

a\

.J/(z)dx

{(.).Iuegol"

Sin embargo.

convierte

en Pdx •

es un (lletor Inlc¡rante:

ti In ecuación

--=.!.._

d., •

Py -1) 10.

Hall.,

un factor

integrante

(l3l3 (2x'y -


051

es lineal (esto es.

y

l'

<


Ox - 01 • gIl). l' • )'(1)dl .11

y' + Py

=

Q). entonces

j P dr es un factor integrante.

y'1d. - (2x' + X)'idy _ O. (Véase Problema

av

ay'

2<' _ 27,

$1

9.'

.+1 -

Py - Q.

ECVACIONES

EI:ITRE DERIVADAS

Se b\lJc:a una solUCIón que contenga

-2](2)<'

obuenc

a..''¡ -

In '" • -2 lo ~ - 310'.

Luego ~

El S,SlCM¡¡'aultiljar es

Primeramente Yo" '. --YO:.

_

!AyC, -

n un (actor lnlC&ranlC

.1' -')'.~

'1:

10.J)

--

I

_

x « i

u • --

)lo.

)'0' Zo

b • R($O 1"_, \,~O

debe existir entre

+ Y.

se obueee

y de

",

v:Y+I.b.

y,

Xl

se obtieoc

entre

.('0)'0 •

Xo + )'0' : ••

J Y

x.+1 u=---=---. xo=. Xq+Zo

XCI·

••• Alumas re1aaones . ,. "o -: --. I ~ lo! respecto uc • - I

Y.

tu)'ft)do en xeY. _ x.

1.

: -

x'

se eliminar4

'0"

+ JI.

dx

se obtiene

De

_

•

-y'

-27"" - 3< "1

xy - x

•

243

ORDEN

uuearal de xlp + ylp + :: - O que J)'IK pOr la. hlpCrbola

11. Hallar la suptmae

,

dv

2z'y

x)'

¡)

3«2<$, -

• x7) -

DE PRIMER

dx

de ---

-2] cJx - 3< d)'

•

ft'

JI

PARCIALES

I (o-I)(b-l)

o sea

• _1_ • _,_ 0-1 b-I

ti

+h

y

I y _. . b- 1

10 :. --

= 3 como

la rdac:ióo que

y b. Luego la ecuación de la supc:r6c:~ pecheSa es

D

o btCn

PROBLEMAS

11)' • :(J:'" y)

• 3xy:.

PROPUESfOS

Hallar la solución ¡eneJa) de cada una de las siguientes eculCionel . 11.

p"

• ' 4>(. - y)

:;"1.

q • :

1(3. - 2.<)

Il.

3p,.. 4q • 2

3y - •••

....

yq - *p • ,

6(.7. %:) • O

• .5.

6tp.

)'lq

'1 • .l:6<xy_:2)

16.

x'tp•

12q

..,,

Jey4>
-

.,. lP - ~q •• ' - .,' • O

t/X,JC'. y2, .-y_:)

e

18.

yl,p - xl,q •• .,

tfK.x' .. .,',

19.

I,p •

20. 11.

yq •

X(y

'1 _1,

x

JI:

JC(.,-I,)p. '1

%

• l

Y(I,_x)q.

)p"

y(z.

2_

:(X-y) '1

_x)q"

2 ;(X

-y)

2:

-

.,

.. :

•

•

2 1 •

:2)

o

4>(3y- .. , 3, -

% .. .,.,,)

fjJC.Yl,

.l2.y1.~.:2)

SoL

),:

+ :" + s

+ : = 3.

q

+

O

O ,. O

1~(JC'_.'1)

~(.Y"

+

•

1/.)

•

O • O

21. Hallar la ecuación de todas las superñces cuyos planos UU'IgcnlC:S pasen por d punto (0, Sugertncia: Resolver xp + J'q = = - 1. $<JI. :. I + xq.(ylx) ll. Hall.r 11ecuecléo de la superficie que satisface 4}'!p

2.<)

2)' - O

y que

pasa pOr .r~ +

.J. !). r = 1, x + : -

2.

CAPITULO 30

Ecuaciones entre derivadas parciales no lineales de primer orden SOLUCIONES COMPLETA Y SINGULAR. de primer

Sea la ecuación

entre derivadas parciales no lineal

orden

1)

{(x.r

.•. P.q)

=

O

que se ha deducido de lI(x.y.z.8.b) = O

2)

elimínando

las constantes

a y b.

arbitrarias

La relación 2) se denomina

una (o la)

solución completa

de 1). Esta solución completa representa una familia de dos parámetros de superficies que pueden Para hallar la envolvente (si existe una) se elimina a y b de

o no pueden tener una envolvente.

Si una vez efectuada

la eliminación

ab la relación >..(x.y.z)

3)

o.


g = O.

resultante

= O

satisface 1) se denomina la solución singular de 1)~ si A(X,y.Z) = ~(x y z)·~(x.y.7.) y si ( _ O satisface 1) mientras que 11 J: O no satisface esa ecuación, ~ = O es la solución singular. Como en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias (Capitulo 10). la solución singular se puede obtener de la ecuación entre derivadas parciales eliminando p y q de

{=

O,

Ejemplo 1. Es fácil de comprobar que z (P2 + ql). Eliminando Q '1 b de

af = O -o{ = op , ~q = ax + /)1 -

(al

O.

+ Ir)

es una solución completa de r = px

+

q)' _

!1.!: • _] c¡,

+ 2b • O.

rl

se tiene i _ !xl + fy2 - i(x2 + = t(r + )'2). Esta relación satisface la ecuación diferencial y es la solución singular. La solución completa representa una familia. de dos parámetros. de planos que envuelven el paraboloide x'l + ),1 = 4:.

SOLVCtON GENERAL. Si, en la solución completa 2). una de las constantes. por ejemplo. b, se sustituye por una función conocida de la otra, así b = 4»(0). entonces g(x.y.t.a.~(a)) =

O

es una familia. de un parámetro, de las superficies de 1). Si esta familia tiene una envolvente, su ecuación se puede hallar. como suele hacerse, eliminando a entre y

y determinando la parte del resultado que satisface 1).

ECl,JACIONES ENTRE DERIVAOAS Ejnaplo g

2. Póngase b

PA.RCIAlES

= ~(/J) ... a en la scleción

= s - a(x + y) + 2,a2 = O y

I!

= -(x +)')

NO LINEALES DE PRl~iER

ORbEN

245

completa del Ejempfo l. El resultado de eliminar ti entre

+ 4c =

O es

t:

= tx + )'f

que se puede demostrar

que sati..sfaoe la.ecuación diferencia} del Ejemplo L Este es un cilindro parabólico con al plano xOy.

5U$

ráCJlmenlC'

generatrices p3ra1das

La totalidad de soluciones obtenidas variando ~(a) se denomina la solución general de la ecuación diferencial. Así, del Ejemplo 2, Sr = (x + )-')2 está incluida en la solución general de la ecuacióo diferencial del Ejemplo 1. Si se emplea b = t,6(a), siendo 4> arbitraria, la eliminación de a entre

g=O

og = O

y

iJo

no es posible; luego no se puede expresar la solución general como una sola ecuación, incluyendo una función arbitraria, como se hace en el caso de la ecuación lineal.

SOLUCIONES. Antes de considerar un método general para obtener una solución completa de 1) se van a dar unos procedimientos especiales para el manejo de cuatro tipos de ecuaciones, TIPO 1: J/P, q) = O. Ejemplo: p' _ q' = 1. Del Problema 3, Capitulo 28, se deduce que una solución completa es

z

4)

donde J(a, h(a)

= O,

=

ax

+ h(a)' + e,

Y a y e son constantes arbitrarias.

las ecuaciones para determinar la solución singular son z = ux

+ h(a)y + e,

I

+ h'(aly.

O =x

0= 1.

Luego, (10 hay solución singular.

q, arbitraria .. y eliminando + "'(a)" + .p'(a)

La solución general se obtiene poniendo e = cfJ(a). siendo 5)

z = ax

+ h(a)y +

.p(a)

O =x

y

a entre

La primera ecuación de 5) para una función estipulada q,(a) representa una familia. de un para. metro, de planos y su envolvente (una parte de la solución general) es una superficie desarrollable. (Véase Problema 10, Capítulo 28.)

Aqu¡ Jrp. q) = p' - q' - I - O. J(a, h(o)) solución completa e.<; z = ax + (al - I)l!ly + t:. Se logra una forma más elegante poniendo e

=X

Q

$OC

= o' =

- [h{ol]' - I

=O

sec w: entonces, h(a)

« + )' lB

(l

+

y

= tg

h(o) a y

=

(a' -

1)"'.

U03

se: tic:oc

c.

Si se pone e = 4>(1:1) = O. el resultado de eliminar a de z=xseca+ytg~.

O=x1.8a+yseca

.' = ,,' -

o bien

O-x

sen « +J'

r·

Esta superficie- desarrollable (cono) es una parte de la solución general de la ecuacH;n diferencial dada. Nótese que se pcdrta haber tomado hta) - -(al - l)lfl Y obtenido como una solucH;n completa =_ax_

(al _1)ll2y+c.

Véanse también Problemas 1-2-

246

~CUACIONIJS

ENTRé

I!.!.º-ll1 : -

DERJVADAS

+ qy + f(P·

pX

PARCIALES

NO I.JNEALES

: _ px + q)'

Ejemplo:

q).

OE PRIMER

+

ORDEN

3p)/) qJ(3.

Del Problema 4. Capitulo 28. se deduce que Un.1 solución completa es 6)

: -

QX

+ by + fea. b~

Por razones evidentes se conoce como del tipo de O.,rauI g.:neraJizado. Esu solución completa consiste en una familia. de dos parámetros. de ptanos. La solución singular (si existe una) es una superñcie que tiene la solución completa como sus planos tangenles.

Una lotución completa es :

=

ax + h,v + JQ'/~blt).

y, ,u,tituycndo en la solución completa, se obtiene la solución singular

o

xy-:

L

Véanse también

TIPO

11/:

f(=.

Supéngase z

e

P. q)

= O.

Ejemplo:

+ ay) =

F(x

dt

~II

dr

a"

du

ax

du

3-4.

+ q'.

p'

F(u~ donde a es una constame arbitraria.

~z

p--=----

:

Problemas

dz Ou do ay

Entonces,

dz do

Q"--:8-.

SI se sustituyen estos valores en la ecuación diferencial dada se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

fe,.

t

cuya solución Ejemplo.5.

Pónense

u')'

(~

! -

• a

es la solución

completa

Resolver z _

... ql.

f'(x + ay)

pl

=

e/v'

eh

"'du1•

O

pedida.

flu). Entof'K."CS,p _ d:{du. q - u Ú:/du. y la ecuación

dada se puede. redUCir

la

',01')' ;¡ .

Tomando las derivadas respecto de 80, - 2(.< L.a solución

el,

singular

es e

=

D

y b se llene

+

O)'"

b)y

O.

X

+

a/'

+h

= O.

O. Véansc

TIPO IV:

J,(x. p) = I,(y, q).

Póngase h(X, p) =

Q,

Ejemplo:

p - x' = q

también Problemas S-7.

+ y'.

[¡(y. q) _ a. donde o es una constante

arbitraria, y resuélvanse

relaciones obteniendo p = f'(x. al

y

q - F,(y. a).

Como : es una función de x e Y. d: • p dx + q dy = F, (x, a) dx + F,(¡·. a) dy. Por tanto.

e$3S

ECUAC!ONES EN"rRE DERIVADAS P,\RCIALES NO LINEALES DE PRIMER ORDEN z

7)

f

'"

J

F1 (x, o) dx +

F.... (Y.")

247

+ b.

dy

que contiene dos constantes arbitrarias, es la solución completa pedida. Ejemplo 6.

Resolver p - q

Poniendo p -

,-.:2 :;:

e. '1

= .r

+ )02. o sea

+ )'~= a se:

obtiene P ...

=

Integrando d: p dx + '1 dy = {a + x::')d.\' + (a ay - y) + b. No hay ninguna solución singular.

(1

+

x~. q

yl~~ '.

=

(1 -

,l'!,

= 0,\' +

la solución completa pedida es z

"J{3

+

véanse también Problemas 8·9. TRANSFORMACIONES. Como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias. se puede. a veces. bailar una transformación de las variables que reduzca UDa ecuación dada a una de los cuatro tipos anteriores. Por ejemplo, la combinación px sugiere 1:1 transformación X = In x, ya que entonces 'Oz dX

p

y

OX dx

=

px

oz

oX·

Asi Análogamente. La presencia

de

•

entonces

? ~ en •

p

qy sugiere fa transformación

la combinación

una ecuación sugiere

=

la transformación

In y.

=

Z

In

2,

puesto que

N

= o"

d"

ox

-az

dZ dX

= z

07. -

se conviene en

Asi

Y

Cy

oz ox :

e=

y

02'; análogamente. ~ ~ (Ix

Z

(~l'.

Z

del Tipo 1. Véanse también

SOr..VCION COMPLETA. parciales no lineal

az -ay

METODO DE CHARPIT.

Problemas 10-14.

Considérese la ecuación entre derivadas

F(x,y,z.P.q) = O.

1) Como

!

es una función de x e )' se deduce que

8)

=

d.

pdx + qdy.

Supóngase p = u(x. y, z. a). donde a es una constante arbitraria, sustitúyase en 1) Y resuélvase para obtener q ::. v(x, y. r, a). Con estos valores de p y de 'l. 8) se convierte en

=

dz

8,)

u dx ... vdy.

Ahora bien, si 8,) se puede integrar obteniendo

et».».

9) ésta es una solución Ejemplo 7.

Tómese p=-o

Resolver

o.

b)

pq + ox = y,

- x, susritúvase en pq

Sustituyendo en di • p dx + q ti)' 1 ~

l,it.

completa de 1),

(u _

~x~ +

Sé

+ qx -=

ucne dz

i.r'/o

+- k

2"

.1-' )' resuélvase para q _ via,

«(1 -

o bien

x)dx

+ (Y/(I)d)'.

una ecuación integrable, con solución

248

ECUACIONES

ENTRE DERIVADAS

PARCIALES

NO LINEALES DE PRIMER

ORDEN

Como el éx ito del anterior procedimiento depeede de lo afortunada que haya sido la elooción para p. no se puede sugerir como un procedimiemo modelo. Se ,'olverá ahora a un método Fne .. tal para resolver 1J. Consiste en ha""r UIU ecuación F(X.y.7.P.q)

101

•

O

tal que puedan resolverse 1) y 10) respecte de p - p(x. )'.:) y q - Q(x. y, z) (es decir, tal que

11)

=

Cl

ar

.r

~P

Oq

~F

aF

OP

11<1

"

y tal que para estos valores de p y q la ecuación = púx

dz

8)

su integrable, esto cs.

P

• qdy

ao _ ez

-

diferencial total + Q(x,y,.)d¡;

P(x,y,z)(bt

Q ~ _ aP • 'z ay

idénucamentej.

Q,

ao _ ax

Oq -

ilx

Derivando 1J y 10) parcialmente respecto de .< e y

'1' ay

= O.

se: halla

12)

'31

13)

oy aF

14)

a,;

q-

+

p-

aF

ay •

15)

al

+

'3.

+

~ op

ap ay

1. = iJy

o.

+

aF oq

oF • aF ap ap ay az

•

aF a" aq ay

q-

Multiplicando 12) por ~F. 13) por ~:. 14) por se en cuenta que

- o.

aF • ~~ ap o,.

a:::

a ~

e" • !! aq ay

~

a¡. ~

oq a,;

1S) por -

=

O.

i1j. y sumando." ~

obtiene (tenso-

•

~)

0'<

Esta es un,' ecuación entre derivadas parciales lineales en F. considerada como una función de las variables independientes x, Y. z. P. q. El sistema auxiliar es 16)

dp

=

dq

or

- ap

_(p

.f + op

. -. dF

rlz


q

01)

O

dq

Asi. se puede tomar para 10) cualquier solución de este sistema que contenga p o q. o ambas. que incluya una constante arbitraria. y para l. que se cumpla 11l.

ECUACIONES

ENTRE DERIVAI)A:$ )'ARCIAL...€S NO I..1NEAl€S

= _ xp + p2.

Ejemplo 8.

Resolver q

Aquí se tiene

J = p'J. - xp - q,

~, -~.

p-

El sistema auxiliar (16) es

Oc ~

se tiene In p

'" ~,

-p

l

ax

"1 q-

~

~

-/'

O

+ q dy

·óJ

-(,

rl.t

=

-xp

=

+

p2

se convierte e-n d: = ae-r dx

'r _

axe-Y

-

d,


sea. p

O

(J.

~ °1'

-2(1 ~x

= -~' + In

-1, Y

~

o.

<J,

ily

Empleando fa ecuación diferencial dada. q luego d: = p dx

"_p.

de modo que ~

oJ

01

~ Ox

249

OJe PRJMER ORDEN

(J('-Y.

=

+ (l'le-:'I,

-oxe-'

+ (-(l;(.t~"

+

(1%('-1'1)

dy. Integrando,

i.rt>-ly + b.

EL\ este ('300 no ha)' ninguna solución singular,

Véase también Problema ls.

PROBLEMAS RESUELTOS (En estas solucíoues no se d3rán las ecuaciones que lleven a la solución general.} TIPO 1: ¡(p. '11 - O. 1.

Resolver p'J.

+ q;;

= ().

+ b'J. =

IJna solución completa es : • ox + by + c. dende a2

9.

Las ecuaciones para determinar la solución singular SOn a O·x----y.

o '"

/s-a' 2,

Resolver pq + p + y -=

l. Luego no existe ninguna solución singular.

o. + by + c.

Una solución comptcta es z = (1,\'

donde (lb

+ (1 +

b ... O. luego:

-

a

ax - a :¡:-¡.v ..

c.

No hay ninguna soluetón singular,

TIPO 1/: 3.

: = px

Resolver

+ qy + flp. q'.

= = px +

q)'

+ pl + pq + ,,'J,

=•

Una solución completa es Derivando

ax + b,~'+ al ... ah + b2•

la solución completa respect-o de a y de b se tiene O=x+2a+b.

Resolviendo se obtiene a (y gular es 3; = X)' - .\': - y~. :0=

.J,

Resolver z = px

+ qr

T

-

o

po

X + a + lb.

2x~l], b = ix - 2)'113 Y sustituyendo

en la solución completa. I:! sclucaén ssn-

plq;;.

Una solución completa es. z

=

(1),.'

+

by

+ a2h2•

Las ecuaciones que se obtienen al derivar respecte de a y

250

ECUACIONES

bsono

o:

x'¡'

ENTRE DERIVADAS

2ab'1

PARCIALES

NO LINEALES

ORDEN

-R·

o " )'

y

DE PRIMER

singular

es

3 1.., >/1 ';1 - - v4 x y • 4

TIPO lll:

= O.

f(z.p.q)

S. Resolver 4(1

+ Zl)

9z·pq.

-

Supóngase z - F(x + ay) - F(u). Entonces ..

4(1.

; ..)

.. dt: 90: (-)

o:

2

+

= u + b.

Ja(1

Empleando

los resultados

r')

la solución

es :) +

singular

=

1

q

a ~ , y la eccacíén dada se conv-ierte en du

>

Y una solución completa es

de- derivar

+ z'

1

di. du

o:

o bien

dv

Integrando,

p

esta expresión

2(x + ay

Y

(x

+-

ay

+

b)'2.

de a y de b,

respecto

+ b)y

+ 2) _

a(l

= 2(,< + .y + b).

O

= O.

6. Resolver P(I - q') = q(l - z~ Supóngase z - F(x +- ay) = Ru). Entonces,

p

d'

q •

:o __:.

(1 ~

dv (~)[1_a~(~)2)

da

Entonces

d, da

:o

(I~(l_l) du

du y

O

l

•

c:

o

o bien

4(1-0+0;)

(x+oy.¡.b)'1.

-

O.

2

4(-1 ...;)

d:

(d;)

2

-=

7. Resolver J

(1

o.

y

la ultima es

2y(.x+4y-b)

-

dz

o:

una solución

O.

+ p'J

=

({Z.

eh 2 dI).

dI du

- (1: -

Racionalizando el miembro I .. es

Una

Adviértase que

••• ,r.'-4

-=

e2;2 ~

au ,

-

r;-z.. 4

i .y d·

q:o

Q

la

ecuación

d:

-=

~

de I~ última eccacién

_2Jn(0:.¡.

02;.'1

a: /02::2 _.; también

du'

dada

se

convierte en

•d

1

.u .

0:-vo-2~-4

+ -[-va":~

es, pues.

d;

-=

O bien

• 1 -: O

de la Izquierda

1., • 2

,2

~O¡

solución completa

dz r:;-:;-:

-= O:

singular.

(-)

SOUClon

-= -2(x+oy-+-b)

~

(Jti'i·

completa.

Ob

Supóngase z - F(x ... ay) = reu). Luego p

cuya

da


en

:- O.

du

1_0+02_0:

~:-

dada se conviene

(~)rl_o,,(I:_Q2(~)2)

Tanto z = e como 4(1 - a + az) :a (x + ay + b'f C$ solución; zándota, las ecuaciones para obtener la solución singular son

g.

y la ecuación

,

dv

..

.¡.

"...,--J

va~z"-4)

se obtiene (o.: + /(12:2 - 4}dz '" 2(u.¡.b).

o;::1n2:~ _ 4 _ 4 10(4. + 1tz~%2_ 4)

4 lnC02 _ j0'1l2

es una solución

completa .

.

-4)

2 duo

'"

4-a(x"

ay-+- b).

-=

44(x + ay + b).

obtenida a partir de

€('UAClONES

nro

t.Cx, pI

IV:

_¡,!y,

.tp •

Pónp_s,r

3...-

Jp.J..

PARCIALES

NO LINEALES DE PRIMER

ORDEN

2S1

soI\IC'1Óo

complrt~ es

q),

.r,. - .rq ,

1, R.,.,,,..

1

ENTItE DERIVADAS

,;p •

:a • O Ot.cn Y

G

~"o.

EnlOf'loCCS p

Je. _:al'",

JqJy • 6 ~

,Iq,

3••

y

la)'

(41 ..

q

de_

•• 2Jd¡ • 6

.'.

,

Um

•

0', .•.

.

1

- .!.(o _1..:)1

9

NO hay nln.¡una

solución

.. p:r

•

JI •

I

1)6n~Il.~"2_/-",, Unll solución

singular .

s :

y

o

completa

i J ex

es

o bien

Enlo~

<J.

•

!(.t ~ /,l?" 1a).

p.

• /x2 .o4,,)4r

•

ay .. 6.

OtrA 100Iudón COmpleta se obtiene por el mécodo de Olarpn No hay o.",uo. solución singular.

EMPLEO

DE

-1

,

l.

InmJorm.&("ión

1. •

,1-1

¡:-¡ .

x

,1

• '1

y

• ·1

. _._. y

• '1

az

1

~X

".

reduce ht eCuaCIÓn dircrcnci.al dada a

Una solucién

Z

de Ja ecuaci6n dada es

complete

1

A

X

2 2

1 2

P • l'

In

1'.

In y.

i

(~)2

Un3 $OlueJón Wlnplcta es Z • es : = (J,

La lio!ución Jinaular

La lronsronn:.dóo

•

•

_1

lll.

1 p-.

~!!z

ay

••

ay dY

_1

1

qY

•

.X •

!y •

«

"1

• • «_ ••

1

e.

.

1;·1

• .L._ aCn'"

J)

e.

~L.

Y

reduce la ecuación dlld3 a

1_1

1- 1

NO ha)' nl"guna solución singular. RC'SOI\'Cf

lll..J. ¡h dX

1,

Esta ecuación es del Tipo I Y su solución es

2)

8.

_1

e:_.E._

•

11.

en el Ejemplo

TRANSFORMACIONES.

10. RnoI~,

Lo'

... ti

• aJúy

'" • In x,

az

OZdo

al'

a..d.I

po'-'·

ei!!!)'

(!!?/

Z· 2z1.

:<;~2 .: (IX

o sea

(o

b

dada

a, ,

a (_) al'

't

In y +

I dl

xCI!' reduce: Ja ccl,.l.ate:JÓndiferencial

a"

(_)

ay

.:.

del TIpo lit

aydY

qy'

-!

l. cid Tipo L

In ~ •

y -: Jn y.

i!!!
ar

al

al'

+ h Y + <' de donde 4: •

az

,

ro)l.

siendo

1 el

9' --

r ar

a~

+ bl

_

1,

252

ECUACIONES

Póngase

l

ENTRE DERIVADAS

• F(K •• Yl • F(.). (~)t

12.

2,;¡:-;;o

Una wluci6n

completa

Resolver

Se.

1.<1' :i

.

pq

-= Xi,

l

es 4((

+

~x2y ~ 2qxy

+

Y'.

1•

=

al)::

dz

+

(In X

In

Jt

+ I>ft.

In )'

Q

d.

.

...

y

d.

duo In y ~ b •

(l

solccién

La

ORDEN

d. a_

dY •

,r;

.

X +4Y .. b

DE PRIMER

dI

(lu

ax d. /l:7 d. -

d.

sea

O

. .. ~ .

¡.

ax

,

:

du

NO UNEAl.E$

.

a,

Entonces

.. 4t(~)2

du lntegrandc

PARCIALES

singular

(S

=_

O.

2

Entonces

a, ~

~

p

a.

Sustituyendo en la ecuación dada se tiene: ¡ Una solución completa es z _ aX + bY

o:

ax

o,

Y _

I

=

o,a,

lo

ay

__

ax ay

or

2Y -_ .

ay

dy

.

del Tipo 11.

ox2 + b)'-:' + ah.

+ b, O =,1 +

.\.J

Do

a,

X _

,;¡,

01 dY

q

y

ax

axdx

ab o sea : =

1-

Elimjnando 4 y b entre esta relación y O se halla que la solución singular es z + xly'!

• 2X;~

a, obtcntdas derivándola

respecto de a y de: b,

O.

13. Resolver plXl - Z(Z - qy). y:

la transformaci6n

reduce la ecuación dada a

Póngase

Entonces

1 o:

r.

ln

(~l'

A)

F(X+o.Y)"

X "

¡;-(u),

,

zl

ar': e dzcW'


Oz_ dz lUegoax";fu'

2d,

Una solución completa es lo

del Tipo 1II.

aY

dI du

= (Jo:

. yA)seconvlertecn(d;)

(/.2,4 _ .)du.

•

a,

q • -1ay

01 d.

• l(' - ~l.

ax

J

O' dX

10.J:.

+ 4 - oXlo

x +

d~2,

:o:

y

lo y + b).

(J

No hay ninguna solución singular.

La transformación

Póngase

az,

(-)

O.

-Óx

Z •

.•

ln

02

t,

p

"' .t

a;'

'1

o bien

;;~,. ,-(-

Entonces

oy

Un" solución completa es

Z

o bien

lo :

az ar

q

red!olCtla ecuación dada a

l_

CoZ,

(-l

CoZ. Oy

- x • 1- (-) .


••

J(e "l;d. 3(0,¡,x) 2

"'

t

«(1

-t

.:t)~

oy

+ Jcy -el' dl

•

~(:r _ Cl»)ít

, b.

3

-. CoZ

y

b

del Tipo IV.

(y _a)

;•

d!. -4ld;"

ECUACIONES

ENTI\E I>ERlVADAS PARCIALES

NO LINEALES DE PRIMER

OROEN

253

METODO DE CHARPIT.

dp

tema auxiliar

2!. ax

01

...

Utilizando

_2!.

32p'2q¡

Jos multiplicadores

4z,

. leq}.

.. {lq.t

Entonces x + 4p: - a y p -

01

es

01

~ q-) ;)1~ dI}


......!!L

-32¡¡?

-l8qz?

J,

O. l. O. 4p se- halla


y asi

-(p


O"

dq

18pq7 Z • Spz

J,

dy


df 01 _ ..qo)' 01

el

< p

dp 32p~l

-_2!.

dq

_:...:..!. 4-

,. O.

Sustituyendo p por su valor en la ecuación diferencial dada se halla

3(: dz • á{x - Q)dr) 2/1_:2

3;,.

Luego

y- b ,. - -1-.: 2

- a(x-o:)

,

osea

(y-b)'

(X_C1)'2

---

< --4

9/4

_ n(x _

Q)'i

es u na sol ución

+

completa. Esta es una familia de elipsoides cuyos centres están en el plano :tO,. Los semiejes de-los elipsoides son 2 unidades paralelo al eje de las x, 3i2 unidades: paralelo aJ eje de las y y I unidad paralelo 1.1eje de las e. La solución singular consiste en los planos. paralelos: = ± 1. Se puede rutilar otra solución completa si se tiene en cuenta que la ecuación es del Tipo Hl. Utilizando Ff.x

+ ay) =

Flu) y poniendo p - :

'y q -

a~.

la ecuación dada se: convierte en

de donde

..:....2!_

It- "

•

2

du,

Entonces

/16< 90'

-,/,":7 • + 9p:!)(1 - z:!) = 4(x + IJ)' + b):t representa una familia de cilindros elipticos cuyas paralelas al ~a,oo xOy. El eje mayor de una sección transversal está en el plano xOy y el eje menor

Esra solución completa (16 gcncrarríccs

$01)

tiene una longitud de 2 unidades y es paralelo al eje de- las z.

254

ECUACIONES eNTRE oe~fVADAS 'A~CIALES NO LIN!;ALES DE PltIMJ;R OWEN

PROBLEMAS Hlll.u una soIuaón compcu

.6-

p • q'

17.

, p •

JI.

,,q •

19.

20. 11.

•

p

PROPUFSfOS

y la solución Slngubr (sí es "'" .. ~~ .b2

SoL

, q

:.

::

b)'.<

••

q

(b-

, • p.l.

qy 'pq

¡ •ax

P •q

4•

l(I,O').(x.oJo-h)2:

p

, ,

, q p' • ,, ,

b••

1)••

b(& -I)Y

• by ~ ob:

o: t

(1

e

,

$.~ .•::

-xy

S.S.,:=o

44"nCJ;._j¡1_401)

:'l._t/~1_402

1

b2

donde

b)'.c

Q.I.. ..

z(p·q+l)·¡

23.

p'. pq

• 4:

p' _ x • q' - )' lP-1fQ

"

••

3 (l-~)

,

(2.:-

27.

x-p' - y%q - :' • O

suaerena.:

"t P .. y '2 lq - 2: 2 Su¡crcncUa: Utilizar

}I

19.

••P

, • y ,q

O

JO.

2pyt _ q':

O

JI. Jl.

, q • :lp • P , , y,q • 'P

- y p '"

S_o

dp.

y=

In

• O X = l/x. Y =

y.

Z

'=

u' _#')' t ...

•

(0'-1)%

ay

I

(0'-2)1"

2(11.0•01)2

, , z • a

}I

e

2
•• y

, 0y • b

..

•

2c'

e"

,

• O

•&

, , ,.. by) y. .. 2(cu)'. Qy ••

O J;

p:. '"' ,'-,-: P -p

el

Y

•

q • ¡(1

• -¡l.

pq • 2x(y .. l)p .. r(l ¡.2)q - 20'''' 1).

Sol.

ll'l

S.S ••

s:

y.

In z,

Xl In :.

.1

o-?/2

4«(,' -1)

1/,. Z • In l.

l

JJ.

ln

%

Utlhur X = l/x.

2(1 -

.¡.

.. (3:._U'~_b)2

4(0-1)1'

)'

O),"

• 2(••

• O

..

ln:y

b.1

..

4(%~41

..

b)

CAPITULO 31

Ecuaciones homogéneas entre derivadas parciales de orden superior con coeficientes constantes UNA ECUACION TAL COMO 1)

('x

.y

._--

') -a •,

a'z ay'

ex'

021

ax'

que es lineal en la variable dependiente z y en sus derivadas parciales se denomina una eCIJQción l[nMI entre dericadas porciál<J. El orden de 1) es tres. siendo el orden de la derivada d. mayor orden Un. ecuación lineal entre derivada. parciales tal eomo x

2)

, -a', ax'

• xy--

a',

~ x

•

ax' ay

,

en la que las derivadas que contiene son todas del mismo orden. se denominan! bomoaénea. aunque no estén de acuerdo todos los autores cn el empleo de este término. ECUACIONES T ANTES.

DIFERENCIALES Considérense

LINEALES HOMOOENEAS

a. a;

A

3)

A

4)

A

5)

a'.

•

siendo los números A. B,

,

axay

Oxay

e constantes

ay'

-

o'. • e ay'

8 .'.

=

+ C~

+ 8~

ax'

CONS-

a. • o. ay

,

a' z

ox'

+ 8

CON COEFICIENTES

o.

x + 2y.

reales.

Se verá la analogía que existe entre los métodos para resolver I.s ecuaciones 3)-5) y los empleados en la resolución de la ecuación diferencial lineal ordinaria. (O)y =

donde

Q(x)

Se emplearán dos operadores. D. _

o

lI:~.

dx

!

y D, - ~. de modo que las ecuaciones 3)-5) se pue-

de-n escribir así 3' ) 4' )

S' )

(0 •• 0,)0

(O •• 0,)' (0 •• 0,)'

:

•

(AD ••

,

(AD ••

BDy)'

:

,

O.

BO.o, • COy)' - O.

= (AO! + 80.0,

255

• CO;).

=

J(

•

2)'.

ECUACIONES

256

HOMoGENEAS

CON COEFICIENTI;.~

CONSTANTES

La ecuación 3') es de orden uno y la solución generol (Capítulo 29) es

z =

= = 4>(y + mx)

Supóngue ahora que susutuycndo

0%

o,« en 4')

8 ¡x).

{Y -

<#> 6u du Ox

--

=

ex

a,blt ... ria.

<1>

- <1>("). 4> arbitraria. es una solución de 4'): emcoces.

.. '<Jo, .!1! •

=

di>au ay =

e%

- ay

Dyz

<1<1>


du

se obtiene d' ;¡;;t (Am : .. 801 ... C)

• O.

Como tP es arbitraria. ¿zl/I/du2 no es idénticamente cero ~por tanto, m es una de las raices », = m f - ml dc Am' + Bm + e = O. Si m, 4< m, •• - if¡,(y + m,x) Y Z =
tambtén es una sotución: contiene dos Iuncíones arbitrarias y es la solución general, G<:nc:ralitando. si

o

6) y si "'t

+ '"2 :# ... + m~ entonces =

z

7)

c/J1ey+m1x)

es la solución general de [(D,. D,)z • Ejemplo 1.

tm,x}

dJ,(y

4>fl(Y+D"-nX)

(l.

Resolver (D; - D,D, - 6D;), • (D,

+

2D,){D. - 3D,):

Aquí. m, • -2. n'2 _ 3, y la solución &(nera) es f • dltv' -

= O.

h, + 41:10'

+ 3x)..

Véanse también M1

= .....

((D"D,)'

=

Si mi 6' )

=

m,

(Dx

+ m •• l+-' .... "

.. ,D»(D)

ll"

..

y la solución general z

•

8

·(0-

1

.. 0)% Il)

= O.

los k ractor<$ iguaJc:s es

de 6') es


~ x~!1(y+mlx)

+ •••••

donde ~ ..

m.... entonces 6) se ccnvíerte en

0) .... ".1'

l. parle d. la solución geeeral correspondiente

Problemas 1-2.

+

-l~.It(y~ml)t')

.. 4>k+l(Y

+lx)

f-
tPl~ ... 4> .. son funciones arbitrarias.

EJtmplo 2.

Resolver (D; - DiD, - 8D,D: + 12D:): _ (D" - 2D,)'~D:. .. 3D,): _ O.

Aquí. mi • m} - 2.

ffl,)

=

-3

y la solución sc.ner:al es : - .I()'

+ 2.'(, + xtb2t ..+ 2x) + ~l(y - 1.\'. Véanse tambiéa Problemas J.4.

1

257

ECUACIONES IIOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Si uno de los números. por ejt:mplo. mi' de 6) es imaginario. entonces 00'0. por ejemplo. es el conjugado de m t- Sean m, - o + bi y ml - á - bi; cnlOOC:CS. 6) se puede esaibir asf 6")

I(D"D,)'

= IO'-(n.bi)D,]{O.-(a-bi)D,)(D.-

... D,) .•••. (D.- ... O,)z.

ml'

O.

L. parte de la soluci6n general dada por los dos primeros faClOroses t/>1.(ytax+ibx)

+ i(,p,(y+sx

t tPl(Y+ItK-ibx)

(11,.11, son funciones reales arbitrarias). z

"

,p, (y

+ <1>,(y.

+ ax + jb<)

.. ",xl

• 4J,(y EjmopIo 3.

"

y la soluci6n general de

ex - ibx)

• _.

+ i 1<1>, (y

•

• ,[,p.&

+ttx

6") es

+ ibx) - <1>, (y

• ax - ibx)]

+ ~.(Y •... x) .

+- ••••••.•

'2"'"

(/). - o',.D, • 2/)";Jl, - S"x",

Resol=

t,·ox)-cI>').(y+ax-ibx»),


+

•

3D,I'

!(l • ,¡¡¡IO,lID, +

;(1 - i ¡¡¡ID,]'

• O.

- Hl •• ¡¡¡Ix} -<1>.& - W - i,/ITlx}). Véase tambibl Problema 5.

La solución general de

S' ) consta de la solución general de la ecuación reducida I(Dx- D,)'

4')

"

(AD!.

SD.Dy • CD~). "

O

más una integral particular de S'), Se hablará de la solución general de 4') como lafunción eomplementaría de 5'). Al establecer pr«cdimienlos

para obtener una integral particular de

I

se define el operador

mediante la identidad

I(D.,D,) I(D.,D)

I

u»•. D,)

F(x,y)

;

F(x,y),

la integral panicular. expresada en la forma

=

1 .,.._-=-F(x,y)

=

I(D"D,)

se puede hallar. Como en el Capitulo 13. resolviendo n ecuaciones de primer orden 9)

258

ECUACIONES

HOMOGENEAS

CON COEFICIENTES

CONSTANTES

Obsérvese que cada una de las ecuaciones de 9) es d. la forma • '(x. y)

P - "'"

10)

y que $010 se necesita una solución. la más seucill. mejor. En el Problema 6. espuestO más adelante .se estableee la siguiente regla para obtener una tal solución de 10): Cak:ular, = fglx. a - mx)dx.

omitiendo la COnstante arbitraria de integración y sustituya.se después a por y E¡'pIo

ResolYCt ID; -

4.

D.D, - 6D:lz - (D, ... lD,~D,

Del Ejomplo l. la fUDeióncomplementaria.. , Para obleMr la integral particular expresada

.'V' -

- 3D,lz - x ... y.

,(y'"

2.<) .... 1

n .. 2D

•

~

u)

Dx

Póngallt u •

Empleando el procedimiento

Pon.. se a •

o. . 20, u

del Problema 6 se tiene

1 2Dy

D••

(D,

EntOOC<S: - J[x(a + 2.<) ... 2x')dx

Lueso

(O _ y

x

1

O (s: .. 1)1: 3 y

+ y.

_13 Dy (x + y) Y obténgase una integral particuhl.r de (D,. - 3DyJu = x

por y + 3x, u _ xy + 2x2• bl

3x~

1

en la form"

+ ntX.

(J:y ~

1(:< +

11 •

2$l) Y ohún,asc

+ lD,):

- xl ...

{I -

3x)dx _ ax -

y. $\lstÍluycndo

(J

una jnte&,*l particubf de

2.<'.

= F ... J..-' y. """"u)'
Xl

4.

l. solución general es r - ~,(y - u) ...f,(y ... Jx) ...

l

-

l l u.: - 2..-"'" 3..-"

l

ix'Y ... 3..-" Véanse también Problemas 8-9.

S<: puede utilizar el método de coeficientes indeterminados si F(x,

y)

contiene sen(ax

+

by)

o cns(ax + by).

&J-plo (D:

5.

Resolver

+

5D,D, ... 5D:lz = [D. - !(-5

La

funtIÓn complcmcnl.ria es

TÓmett

corno

U03

D¡:

~,V'"!(-5

t: -

- 1(-5 - fiJO,).

...fiIX]'"

- x ... (Jx - 2y).

.,V

+ 1(-5 -

fi)xJ.

- 2y) ... Bx cos(3x - 2,) ... e s
EnIO""",.

(6,1 - 9Dl
D,O,. - (-2A

Y

fi)D,J[D,

intq;ral particular

• - Ax _(3x D::

+

... 6D)cos(3x - 2y) + (28 + 6e)llen(3x - 2y)'" 6,1.. ",n(Jx - 2y) + 68. cos(3x - 2yl.

- -4D cos(3x - 2y) - 4C sc.n(3x - 2y) - 4Ax sen(3x - 2y) - 48x cos(3x - 2y~

(D; ... SO.D, + SD~): - Ax seu(3x _. 2,) ... Bx +

EnlODW

A - 1, B.

e = o,

D

=4

\{-5 ...fi)xJ

+ ",V'"

+

(e ... 48) sen(3x - 2y)

(D - 4A 1 cOlI(3x- 2y) - x senO" - 2y).

Y la integral p3rlicular

z

: - ¡'¡,V'"

tOS()x - 2.v)

!{-s

=x

$Cn(j,x - 2,)

- fi)x)

es

+4

cos-{3x - 2y),

La solución

general

C$

... x sen()x - 2y) + 4 cos(3x - 2y).

Véase también Problema 10.

ECUACIONES

HOMOGE.><EAS CON COEFICIENTES

CONSTANTES

259

Se pueden utilizar método. abreviados par. obtener inte¡rales particulares, análogos a los del Capitulo 16. 1 ---e

ti)

ex .. by

siempre que

b)

f(IJ,

Si !l.a. b) - O, escríbase 1

1 sen (~" + by) f (De' ' D,D). D,) ,

1

ecx·t¡y

t

,

Resolver
La runc.ión comple-mentaria

COS(lI'

,

D

C'u.,y

integral pa_rtieular. Como 4t1(1 +

x)

+ .2(Y +

by)

+ by) ,

.. e

U·!)

+ e

~'Y

+ sen (.Ir _2),),

h).

..

~'l;x.,)

'Zl_ 3.2'3 contiene ~.,

x)

D

.. 2D ):: -
D: -3D~D," 2D;

n,:- 30.')

sen (a" +

O.

es : - 4>JÓ' +

Ahora bien.

1

l

f(-n·,-ab.-b')

siempre que f(-a'.~'b.-I:?) 6.

tly

A(a,") r!

:

(Dx ' D.D,.Dy)

Ejempo

+ O; enrooces,

1 "r IIr' ----~

:

(O, _ ~Dy{

(-n', -ob, -b'

+ by)

COS (lII(

,

('

o.

donde g(o, b)

~(a, b)

bl

.¡.

f('.'J)

.. 2'32'

se I,itne

~J(.y

• 20; 1

--_.....:_--:: sen (. - 21)• - - $<11 -1-3(2)' 2(-1)(-2)' 15

(.

-

2)0).

Así. pues, In solución general es

Si F(x. y) es UD polinomio. esto es. E(x. y) - 4>'r'yi, donde i.] son números enteros positivos O cero y PfJ SOn constantes, se utiliza el procc:dimiento que se expone a continuación. e)

Ejanplo 7.

Resolver (D; - O.D, - 6D;-}: = x + y,

(Ejemplo 4.)

Para una Integral particular escríbase I

n,: - DxL) - 60;

1

(z ~ y).

n,:

--_:_-""7 2

I _ ~

Dx 1 -(x+y+x)

-(2.r.

0.'

D'A

•

t

y)

,..

_6

'!z

(,a • y)

D • :z • "')(.<+11) •

a..

o! Obsérvese que D,.(.I'''

y)

,.. 1

Véansc también Problemas 11-13.

260

ECUACIONES

HOMOGENI!AS

PROBLEMAS

CON COEFICIENTES

CONSTANTES

RESUELTOS

o Aqul

.., • 1, .~ • -1. _" • -2

U soI"",Uft f(nn ..1no

)o ~(T

Aqui

lO, .3.

v2.

"'1" 1,

- .. ) -

l-vi

"':1"

rbt(y- •••

~(1-2%)·

yl¡t.~luclól'IgcnerlllC(

• "',(y' 3A) • <1>,(1' () .12).) , ,(y'

ya que

al " l. .~ .... ~ • -2.

't la SúIU(1ól1tener:.1 ti

-

:: t en.• - 21\11) •

Raoh·'Cf

..

Pue",oquc.

:

4>•• 4>•

.. ~(Y"")

J 1>2t.•

1:

o&"

funciones

CQS

• y~(y-2Jt).

•

O• es

4>.(., ..... ).4»$(1-.)·

xeP .. cy-.-:).

)'hlsoluclóngcncr.:tlclo

f

rr4>,(ytxt2,#")-r!>:(y.,t-2i:c)].

+q,,(Y+-X-2l.l').

reales.

SI K loma ., (u) - ces =

••

1-21

• tPt
..(1)

~

,

<1>,0'-2<)

)' la: solUC'~ ~nffll

"-1

Ocra fOfnw de la

zq,.,(y-2x).

• eD,. • 0,.):•

en. -~)

Il,):

r

donde

,e1-')'

_1 . .,. " 1, .2 ......

Aqui

-+
tbl(y+X)

,

...

(1-12).),

br

e", eruorees como

u 'J' 4tl{U)

+ i seo

sen

bs:

1(..... _ ._"~

bx

:z,

eos b,'(. ~,Ú' + X + UT) - COSÚ' + xl cos(2iT) -

-úo

I (f""'-

2

+ ,..• ..-).

+ x) sen(:!ix)

- COSÚ' + x) Cb 2.> - i ",o(y • x) Sh :Ix,

0,(y +

x - 2ix) ~ co'(y • ccstj-

~2()'

+ :r +

eh 2x

+ ; -b'

como una integral

+ ~) eh 2.. - i

+ i(lit7 Obsérvese

cos(2ix). ",.(J'

2jx) - <J>;:()' +;t - 2ix) .. ""........lI..

Por t.lIHO, se obtiene : • [eosly

+ x) + xJ

sen(}'

+ .vJ

Sh

+ x) ","(21x) ...x) So 2., -

f"'1I

'1.. _ e" •• (,.lü -

,.-lb)

= 2/e' ......sen

J)'Luiculitr

2.<) + (<<>«J ...

<1 o, 2x

..~ sen 2:.:) = 2 cos(y + .') eh 2t - 2to' •• sen 2.,_

que : es una fUllCión real de: .. e r.

+

i se.Ú' + ,T) Sh 2.<)

2x.

ECUACIONES

CON COEFlCIENTES

IIOMOGENEAS

= .tt,.)"

6. Demostrar que una ¡nleval p¡.ntCUlar d~ p - »NJ pn:sclnd~O

b conslante ar"'tn.m

ck

El sistema aw.iliar es dA.

•

1

Ji<

.. +

7.

de Inles.r;tCtÓn.

2 .

.....!!..__.

.....

I(X.Y)

y

CONSTANTES

se puede obtcnc-t uuqn.ndo ti:: = .t(\' •• - IIU,ch. remptanndo después ti por Y + ,"t.

Inttg.ra.ndo la ccu:aa6n formada coa los dos pnmcros: ·Iérm,.

dI

•

261

d•

~(·.1)

De donde: = jk(.-c. (,>offl.\)d., en la $Olución.

y. con

tway..

de que no

objrl0

ninguna

consc.ante arbitr.uia..

.5C'

SUJutu)'C:

(1

por

JIU

Empleando d ".."""'imi..nc d
o,

o)

P'3q.

COS(ü"y).

Aquí nI = -3 y ,('(x.y) - cos(lx Entonces.

= le« ,O*fIX)dJt

z

+ )l ••

• JC08(2x .. 4.ax)<ú

y. sustituyendo

s.!scn(5.c¡o) 5

(1

por

)+_3\',

la

se obtacnc

de

mregral parncuíar pedida es

Sustituyendo

La fuecién Para

por .l'

Q

compíernentana

obtener

la

(ll,. • 'Oylu • ,12..

y

de

+h

es :: -

integral

3y 1.


4t. ()' +

pordc:ul:lt

soIuaón o •

1 u • -(2;l. 21

, • ..!. J((b

2 ,. - - a~ 3

se l.me

, 3(0 -

+


representada

por

2x)

J (2 ..

3,> ~/2

2%)1'/'

,Ix

z

• 4>1 ()' ... 1z)

-<

9

4x). 1

(I!,- 2D¡.)(1!,. 4D,)

",,»)'"

do

•

filo.

v'2s-

+ 3.1.

3(0) <x) )'"

la solución 1 . )/2 - -(30-'.) 210

:

21

La solución general es

3(0 _

2 ,.

.Jo

.. ~~('y-4.z-)

-

1

1 • - -(2% 210

-(2J" ..3y) 210

vn

+

3)')

'1/2

Ji<

262

HOMOGO¡EAS CON COEAClV'TllS

ECUACIONES

v

de

!f~b:·(Q-U)Jz 5

•

y de

CONSTANTllS

z;

•

-

lf" .xc

S

dJt •

1 " • -x~

•

5

12.

_.1

e

10 1 t tx+,. -x ~ . 10

10. Resolver U fundón complementária Tómese como una inlq.ral D~:

•

0;D

1;

1

::

Sustitu~o

+

ISA

es particular

AlL"x tOS 2y

_2Acx

~.

A(pJ: CO$ 2.1 ~ Bex sen 2)'.

DxD;¡ • _tA..,x eee 2y _

B<% sen 2)".

•

Entonces..

D)" J


+ (S8

int..... l ~n·; ....rl.. 0"- __,uo.o.o ....

-

• 8Aex sen 2y _

8Bex COS 2y.

es

20,.>' =-

1

por DI.. _

seda

2y -

,..

=

1m y 8 - W,

2)',de mo6o q .. A

(OS

i5l. e ces 2y2• + 25 e sen 21.,.

0.(1). -

,.....

sen

lOA)!'

•

2D,.D,>, •

J

.......

rPl(Y)

'Y a so,'ó UCJ:n genera I es

'"

+ f>,(y"

2x).

.:2. _, ,.D.,r..,. D: _ I2D.J>;'" y. El' pnmerl l

lD

éemi

ermnc

O! 1_ 2 ?!:

,

:1

(2t _ I2(2)(0)

o.

,,'y

.

e

1, ,

..!.(l" 2~

O:

-(z

D.

2,JC D

y ..._

111

=-

1 •

2" ).

)

•

O

•

,.

~ • !... , La soIuoón a
se _

scn(x

La función complementaria

es ~

=-

4>1(Y - x)

+ ~l(y

- 2x) +


4>,(Y +

L. separación en el primer término 1

2

t

C$

... 2y)

.,Ú' + 3x) de

'x+y '

Una inlegral p:articulat está t"j.(".).

una de las convenientes:

por ejemplo. se podlu haber escrito

SC"I(x • 2y). Sin embargo. en el segundo lérmino la separación

ca pane del término

..

w,; .30.0,. • 2~>

20,1 (D.- 2D.o, -30,1

r.c·,

)x~

____~:.1-----


que

d

Extibttndo d segundo ctmuno ~ _1_

(D••

seo 2y,

4&K

en la ccuaaón diren:ociaJ dada se tiene 108)!' cos 2y

La r\lnci6n complementaría Una

:o

sen 2.)' ~ 2B~x coa 2].

La, Integra1')pamce ar es'

11, Resolver

.t

l:a (unción compkmenW'ia.)

es necesaria ya

ECUACIONES

HOMOGENEAS

CON COEACIENTES

sen/x

sen (x .. 2y)

~ra

f.

263

CONSTANTES

2.1)

SC"n(x

1 .. 15

•

I

2y)

• 2y) •

COS(x

el segundo termino:

s.x-.,

1

----< 20 (1,,-30, L;¡Isolución g~ll('ral es

" 13.

Resolver La ecuación

reducida

es la del Problema

12. Una integral

partil:ular

está dada

por

cos(x -y)

[Obsérvese

que coo(x - )') es parte de la (\lnctón compsememeria factor (1). + D,).)

; por tanto. se debe tratar separadamente

el corrcspcndreme

___

-,.,:-

,::- ce).(. -

(Ox' OyHOx-O,f!,resolver (D~ I Dy)u

1

:¡ C03(X

-1).

obteniendo

I

y)

411c'O,

60,) ti

I

- --

,._ !fcOS~-(Q.x»)d:c

.:

4

CO$(>< -,),

•

Se debe

!JCOS(..oC)4t 4

1 ¡.x COS(-O)

Paraelsegundo1érmino:,

2

1

i(XZ-t-X,Zty')

DJ: -7D:x.D," (jD.,

2

D

,

O,

l

(1- ,-

x

(;r

O, - 6-)

D~

~

• .!(6)]

..!..(I

n'x

O'x 36 +

-

O· s:

•

_5 x • 72

La solución gent:ral es ~~ cos(~_ y). 4

5 xO • 72

1 60

x" (1 + 21.1)

2

t i +- ~y • y )

eCUACIONES

264

CON COEFICIENTES

HOMOOENeAS

PROBLEMAS Resolver cad ..

2

en) Dy

(O; _

IS.

(Ost - 2 II,D , - D,)'. ••

16.

(D"( - 4D ...

17.

~ a (0,- .. 20,.0, -

la.

eO:o;. ():o~):

19.

eD: .. 51>-.;0., • 60;):

20.

2 ~ (07 .. Dy)t;

Sol,

• I$D,),::

o.

•

~JI.

1

:t:P!(Y .. 3x) .. cfJ~('1+S~)

O.

.o, . 4 ()' »l

O.

~ • o. n.o,2 _ 20.,>:

o

O. <

o

x-.

Sqf.

•

1: 1: lO"

'J •

~

.:: -=4>l(Y'

,(4J,(y.,.)-q,.'l(y-ix)]+

1.1').4>,<1-1.1').

_)_(15%'}'_~6)

180

$<>1.

21. 22.

PROPUESTOS

de las siauic11lCS ecuaciones,

Un
1"-

'

CONSTANTES

(1);'

21~1l,-

Il,n; - 20:).

o

tr» 2),'.

25.

.'

26.

27.

(0,", - 2D,D..).:: • ~

2X

, 3 .. t y. 1

Sqf

%8..

.:

~.el)

•• 4>.e,) •
(D1-

30,0; - 20;>:

Sol.

l

.~(y-.t)

•

C08(X'

2y> -

.. X~:t(l-.I')"

20%

1 " ·c

•

,

1

'1

•

-%

60

c)(3 .. ~).


2'

srn(~.f2y).

xrY

CAPITULO 32

Ecuaciones lineales no bomogéneas con coeficientes constantes UNA ECUACION DIFERENCIAL ENTRE DERIVADAS GENEA con coeficientes constantes fal COmo

PARCIALES LINEAL NO HOMO-

Se llama rfducib/(', )'a que el miembro de la izquierda se puede transformar en U.D producto de rae. rores. siendo cada uno de ellos de primer grado en D6' Dr' En cambio. la ecuación

"

1(0,,0,)%

=

(OxD, +2D~)% • O~(D,'

2D;)

%

•

cos(x-2y},

en la que no es poSible una transformación como la que se acaba de indicar. ECUACIONES

donde

NO HOMOCENEAS

D,. b,. e, son

REDUCIBLES.

se

Dama

irr~dw€;hl,.

Se-. la ecuación no homogénea toducil*

constames, Una solución de

2) es una solución de 1l, La solución general. según se deduce del Problema 5. Capitulo 29, de la ecua. ción 2l, es 3) O

Z

e -o/c, l t

:::

<1>

(ltly-b,x).

al ¡lO,

bien

• = e-t:¡,y/b

3' )

i ..p(a,Y_

b(x)

,

b, -1

O,

siendo Q y '" funciones arbitrarias de su argumento. LUCIO.SJ ninguno de los factot't$ de: 1) son linealmente dependientes (es decir. si ningún ('CIor cs. sellClllamcnte. múltiplo de otro). la solución general de 1) consiste en la suma d. " (uncioocs arbitrarias de los upos JI y 3'). ~

J.

D, + 1)(0.. - JO, • 2~ _ O

ftC$Olvet (21J~ -

L.. toluciOn general es : • f'-T~,(21' - s .. ,.-l".l() recha se pucck SUShluir por ,,-"'l'l¡lIt.(ly - :c) y d .w¡undo

tl
Rc",I,.,

Ln solución genera!

que: el primer Cétm.iDOde la dePOf' r'.... ~:f"'..&. J...j.

.. 31).. ~

(20x + 3D, - S)(I), + 20,)(0, - 2)(0, + 2)c _ O, C$ : ,.,.

r

Xi2

r$,f2y - )x)

+ (~11J'

_

h',

+ fh~J(Y) + ("

Véanse también Problemas 1.2

Si 4)

f(Dx'

~J"Q.¡(\.",

Dy}z.

•

(a1,q. t- b1D,tcj,)

•

(a~ ..l D~

t

265

b •• 1 Dy ... C_.l)···

{a"Dr

t

b...Dy

+ c!"".}z =- O.

266

ECUACIONES

LINEALES NO HOMOGENEAS

CON COEFlCIEr
CONSTANTES

donde no hay dos de los" factores que sean lineal"",nte dependientes. la parte d. la solución general correspondiente a los k factores repelidos es ~

-C1X/O-t

EjcoopIo 3.

(.1.. '+'t«(tty-b.x)

+ X~.,(81y-bl.J()

+ », + SKD. -

R<SOIV
Lo ,",,"e,ón ge ..... 1 es z • ,-°'';,(2), -

+

W,

<)

•

t x

oo.

.-1

91(~y-htx)].

o.

11': -

'.,(T" 2.r1).

-e e '(.,(y. 2.r) ..

Véase también Proble"", 3. LA SOLUCION GENERAL DE 5)

(o,. .D,)2

(.,0,.

•

b,D, + c,)(o,D. + b.D,' c,)'"

t

(•• D.' b.D,' c.).

s

F(x.y)

es la suma de la solución general de 1) [llamad. ahora l. función complementaria de integrol particular de 5). 6)

z

SJ).

y un.

1 _ _:.._ F(x.y). (D •• D,)

=

El precedimiento pan caJcuIar 61. así como los m~,odO$ abreviados aplicables a formas par,;"ulo"" de F'(r. yl, son los del capitule anterior.

I..a flJnc~n complementaria 1

Pltnl c;a!culllr

'le

/(o,..D,)

1

ut

r.W.

2u • yell

rt. u

"

f (JI"

o)t

•

Se rc$uclvc.

1

• 1

!l 1

1}.x -t

*"

-l!:!!__ • ~ yeJt_2u

hneal liene ~

1 )JI' .. -Oc

9

3

- 2x).~ • f [!(. 3

,

harn!!

-

J~

•

ti

•

•

1,.. -lr~

3

como (actor lntc¡raote; por cantO. 1)

--t t

1

..

'¡y(S _ itX

)%

,'"

_1 ....-x)t

~o

y u

lxl.

. iYC

-

' ¡....

la integral part:acubr pedida

.31)

3'(y

PlIra aak:ul.ar

_ x + a y la. ecuación

Se obtM:RCrApKlamenlc)'

Esta etuac:ióo

1}X'

3

•

2)

y~X_2"

COfttinuación(Dx - 2.0,)1.

,

JI

ye • se resuelve pnmero (D" + D, + 2)u.

(O.-2D )(lj,,+D,'

!l . -l!:!!__.

-Xt

(véase Problema 6. Capitulo

b~l()' - e].

1

JI

(x .. 0)'"%.

,x Q:

f!

r

(uyo llj'Cm., auxiliar es dx •

o

= 4J,(y + 2x' +

es :

.. 2x)e

.

-

2 xe

3

!?¡,¡. • 3I at • 9

•

5 • 9 e• ,

1

-

2

-%t

•

3

•

2 -< 3

3.tt-'-a,

Entoncc:s. J' == x + u. y de

1

-< 9

•

5.

3(,)' .. j)e .

in. 1 (~c .)'). se fCsucl\'c (D. + D.. + 2)u \Ux- 2D,»(Dx ,D, ~ 2)

_..:;"":=-_

•-

_=3.at -)""- ~

=

3.t'e-' cuyo sistema auxi-

ECUACIONES

LINEALES

2)'"

3()'-o)c"",

&.I(

3j(y

NO HOMOGENEAS

...a)t'dy

CON COEFICIENTES

~ 3(r-1-O)C'

267

CONSTANTES

.3(.-1)c"

y

3(J;-I)'-),

11"

vi
1,·""

R~.

dx _

!(J; ... ~)e-'

2

2

•

•

• • (a,;.

0.0, - 20) • 60. - QO, + S),

(o. • O,

.• S) (o,.

LI~funCión c:omplenlCnlaria es L :- c:-~xrP,('1_JC) Ptlra In Integral particular correspondiente

+

-

20,.

=v •

+ 1) •••

•'"

•

c""t/J,(y.2.r).

al primer lém1ino de F'(.t.)I)

se emplea

"

'1 se obtÑ:nc

a,;• -

1

D,.ll, - 20)• • 60. - 9D, •

En el c'k\llo de

1

/<JJ,..D,)

eX."

c,ón complementana. (Para ver

•

eh'+7:

4-2-2+t2-9+S

S

obsérvese que/{I , 1) _ O. Esto sipifiea que

(:$(0,

tó~~

'" ('.) y._

.

e J'" .. .t. ".Cy.2%);

r·

7

l,"IX.,

¡.

es una parte de la fun·

"»ego e -x tP,.(y.b)

•

Véanse también Problemas 4-S. La utililllción de l. fórmula

se puede ver

:1

continuación.

Ej... pIo 6. R...,I"", t.tl

•

v = V(". y),

=

7)

<0;1.

función complementaria

30:0,. -

20,:),

es a :- 4>,,(1)

• 0,:
..

3D, - 2), •

t'tx

,p,Cy-3Jr).

• Poniendo

(D..

+ lD, + 3)u =

r+

2y, e) sistemll

IUI;h.r es

d.

(.'.21)'"''

Una integral particular es

268

ECUACIONES

Emcnces.

=

y

3x •

LINEALES NO HOMOGENEAS

(l.

)'

c/u

de

CON COEF1CIENTES

6'

p

•• t2y-lu tjX{!~2

~

3

Ju

;¡;

.3u

.•

:

~z _ !! + ~(1) 9 27 3

Y

Ahora, poniendo (DI( + 2)&1= u y haciendo uso del factor integrante. constante-

ue

••

".

f ~ 2x {-x1"2

2 _ -x

3

('~J<.

CONSTA

mes

...2y,

se

(iettt

u

I

3'

•

:

2

16 2 + - Y. 3. 27

- -;c - -

considerando

9

a

.l·

romo una

16 2 - ... -y)<ú

9

27

3

I

p.

y

Por último. poni-endo (Da' + 2)10 _ v se tie~

Vt

..

=-

f t 1;( (-z 1"2 6

I • __ 2 JI: -z 12 9

y

Entonces z

=

wr~·'y

-

S -%

18

17 -

-

lOS

1

~

-y)cú

3

7 + -'

216

la solución

genera) es

Véanse también Problemas 6-7, ECUACIONES IRREDUCIBLES con coeficientes

CON COEFICIENTES

CONSTANTES.

Sea la ecuación lineal

constantes

8) = t:úlfr+·y• donde a, b, e son constantes,

Corno ~U,(CtpX"",,,)

el resultado

de sustituir

9) en 8) es cfia, b)tt'~+'" == O. Asi, pues. 9) es una solución de 8) siempre que 10)

[(a. b)

=

O.

con e arbitrario. Ahora bien. para un valor cualquiera elegido de

Q

(o de b) se obtienen. median-

te 10). uno o más valores de b (o de al. Luego existen infinitos pares de números (a" bll que satisfacen 10). Además, 11 )

z

=

donde 1("" b,) = 0,

es una solución de 8). Si

(D"Dy)z

= (D,+ hDy + k) g(D•• D,)z,

entonces un par la, h) para el que a + hb + k = O satisface 10). Considérense todos los pares tales que (a¡.h¡) = (-Itb¡ - k. bl). Por 11).

,

",

y

i. 1

Q)

c. e-(hb~~k }z+ biy

,

e-

e

-la

2: : ...1

etC-

.,(y-lu)

eCUACIONtlS

~INeALtlS

NO UOMOGENEAS

CON COEFICIENTES

CONSTANTES

269

es una solución de 8) que corresponde al factor lineal (D, + nD, + k) de J(D,. D,l. Este cs. naruralmente. e-tJC4>CI' - ¡'x).

7.

+

Resolver ¡{D". D,): - fD; + D

y

D,l: = O.

L~I ecuación es irreducible. Aquí [ta. b) = al + b¡ _ -(I,fa; oJ· 1). Luego la solución es

(1

+

siendo

..

Ejemplo

8.

Resolver

(D.:c + 20,)(D.( - 20,

+

b = O de fonna que par .. cualqukr

C(

'Y iJr consternes ;¡,bitranM.

I)CD,A- D;'J:

= O•

Correspondiendo a los factores lineales se: tiene ~II>, - 2x) y "-"tP:(y Por el factor irreducible D.. - O:

tiene

$C

(J

bl

-

a _ a,.

+ 2.Y").

respectivamente..

O. o sea, a _ bl.

-

La solución pedida es 7

Q)

')

_ ci('

b.Xt

bi)

•

siendo c. y h constamesarbnraeias, j

~:l

Para obtener una Integra! panicular de J(D•• D,lz = Fíx, y) son válidos lodos los procedímientos empleados hasta aquí,

Conforme al Ejemplo 8. la función complementa na es

!

l ---,

P~ra la integral particclar ;

z.x.})

2 - (3)' .,

La solución

podida

<:$

::

;:

?

ci~b¡JC 'f bi>,

~

1

;¡ e

h+}),

i -:1

Véanse también Problemas 8·11. LA ECUACION DIFERENCIAL DE CAUCHY (ORDINARIA) J(xD)y _ F(x) se transforma en una ecuación lineal COncoeficientes constantes mediante la sustituciénx = ff (véase capítulo 17).. En ecuaciones entre derivadas parciales la análoga es una ecuación de la forma =

F(x.y).

C"'$

=

constante,

que se reduce a una ecuación entre derivadas parciales lineal con coeficientes constantes mediante la sustitución X

=

•

e.

y

=

v

e .

•

270

ECUACIONES

La SU81Í1uc,:ión x

=

LINEALES NO HOMOGENEAS

CON COEfICIENTES

CONSTANTES

e"', y • e", xD~z - D.,:. yO, • /),;:, X2 D;. ,.,. D"{D,,, ... 1):, x)'D,.D, _ I)..D,,:. ,vi 1'>:: =

OI#(D" - J): transforma la ecuuclón dada en

[D.ID. - 1) + 2D.D. - D.]: - D.ID. + W. - 21: _ c"." CUY" soIuciÓfl es : = luego 1

._

Ó, (.)

+ "'·.,(r

- lo) - ~.... ".

In solución generul (ckpresad.a con lal! variablM ori8ln3lell) es

t;O.(ln

y)

+

o bKn

1

•

t J .. "'¿'2(~)

~1(1)

-

x~

1 .' 9 )'.

--.

véanse también Problemas 12.13.

PROBLEMAS

RESUELTOS

ECUACIONES REDUCIBLES l.

Resolver (D: -

2.

Resolver

al

D.f2D .. -

+

3D.. - 3D,): -

D,

+

I )(D..

+

(D. -

2D, -

O,XO ..... D,

+ J);

_ O.

1): = O

Ua solución seoetal es : - 6,()') + "6,(2y + x) + .....,Ú' - 2.\).

La solución general es

: - ."" [6,(2y - 3"J + x6,(2y - 3.<J] ... "[;,Ú' ... 1>:) + y6.Ú' + 3xJ ..

(2D ..D, ... D; - JO,): - D,(2D.

Resolver

+

2D,!J, • •

+ (.3'4I1(2y

3 --=--

3 C05(3.r _ 2,)

O; - 30,

3(8 ...3D,:) <:0:5(3% _ 2)') 64 -

5.

1

2(6) -.

- x). Una ¡nlegrol particular es

c ..

(3.r - 2))

•

Resolver 0.(0, + D, - I)ID, ... 3D, - 2): = '" - .",

:

+

3

a-3D,.

1.. (4 50

90'

por

--

-30,

3 ¡¡¡¡¡(8+ 3D}) 000(3.0'- 2y)

. Una In legra ) particular se «pre~

J<)).

D, - l~ _ J (O$(3x - 2)1',

La función comptcmemaria es : _ t,t.,(x) --_":",:--

+ "';,(1 +

..

COO(3.r - 2)')

COI(3x- 2)') + 3 scn(3x-

2"'.

1

'" Dx
1)(01"

(x2 - hr.

301- 2)

21 ' ).

2y»).

ECUACIONES

• H -1

-

LINeALeS

.

IC~+ 30,,) -

• H-("-4.%1+2y')

j(l). + 30,,)

- (..:;...41)

1-(1)..

,

•

-

0,,)

~(1 tCo.: .D,.) +-(D;r + Finalmente •

D,>• • 2

.!

$.1 t

CONSTANTES

271

4.%1+ ~

-

,) ... ,+7/2).

, (* - 4~1"2, -5.l" 4,.7/2)

4.)" ., 7/2)

¡" (.a

o ••

,

= -1(;-4.%,+21'-$

-"':7+2,.

- .... y. 2,y' _ 7...•

!(X

•

J (x

_ •.••

- 7/2)

~ .D,-I

• ¡-__:--:--(~ -b7., Zy

CON COEFIClStn'ES

•

- ¡,

Consideresc :) cominuacién 1

NO HOMOOENEAS

.,

-$%+-.,+1/2)

.1-+'

i>

• ,(x -by+2y

iex'/3-2.r'y+

=

i)

-7.z."".

ay2 _ 1:.:'1/2 +4xY+Ji/2).

D. La soluci6n general es

.

, TII'();

L. función complementaria

ClI

Pllrol la ¡nlegraJ parlic;ular.

•

x+ y

~

•

ro:

1) (1). • D, • '9)

1

+

2Dx0,. •

o:-

7. Reso)..,

e x
e

..

~

,.

L2 (u~6C1 complementan:. es

COS(2r _ y)

COS{2.z:-y)

y>

o,. • 2)

t/>"Cy-.I)

D,,(I).-2DyI(l).+o,,)'

)'·t

'2

1

-

lO

"2 <:OS(2.x-y}].

e%+)·2 ('kn(a_y)

•

..:x4

J

• tP,(y-x).

+ D,-3)(D •• D,)

cosCa-y)

2

l!,; +2l!.D,.ny-. JO

+ e)X <1>.<1-x)

C06(2x" _

1)(0,. •

D,,+0,,-2 '2

- ~

1

1

y.,

·-

e1t t/>1('1-~)

•

(o,.. • O, -1)(0,..

(o,.. + o" • 1) (4 • D, -

eX.

.:.

,;.,..t (0,.'0,,-2)

O"(2<-y)

la solución gencrlll es

.. ~()'-%)

+-

<

-

1 .. , •• [ lOe scn(2.x-y}.2CO$(

2<

-1).

J

,,(? "/1.

....

,pI (1)

z.

+
.. ~(y_

X),

Pira Ja integra! panicular. X+2y »Óe

te

haUI

ecu ..CIONES

272

prllncro

t.t

LINeALES

NO IfOMOOENeAS

CON COEFIOEI
CONST .. ..-rES

e

I

21(9.><

1

•

.36, - '" - 241.10), lit - 3[13(20,-0., • ;<20,-0,., 2 - ...• )

1,

2

- -(In' 361 - 131' S81. 81

y. finalmente

l

..

1

•

--v

(l-DA~D%

,••••

I , 2 - -(9. .36, -18<-121'"'' 81

)lI

D, + 1

La 5()ludón ICM'ral es

TIPO: ECU"CIONES

IRREDUCIBLES.

No se puede ullhUlf el método abreviado

1

1<4.fly)

para calcular la jntc¡tal parncular

]c.

e

J

• ya quc!{Q. b ••

141.1) - O. Se utdlU'~ el mctodo de los cocfiClCtltes indeterminado$. supOrucndo que la tnlt¡ta1 de: Jet de la forma: - AXf'""·' + 8}Y"'. Ahora bien.

D,: - (A +"',t + BYY"'.D::.

por tanto, A - 2B -

B-

-J.

SC'

tir:ne: -

1. Tomando A -

-»r·/~'1 asl

"

Rcsoh'ef

(20'1; - O" +- D.•)l

••

(Ax -+ 2B+ B.vV"'y(D", _ D:t= _ (A - 28y·'=i'-':

l. B - O. se tiene como ¡nlC'Jral particular: = .l"r-': lomando A .._ O. suoesi~nlc:. Eligiendo lo primc:ro. la. sotUQÓa pedtcb es

z

9.

•

,- y.

la (unciól) c:omp¡emc:ntari
24~- ti~ • •

•

D:

(l

•

I

- -

,

O'

(1


.211,)' ....

,

D'

"'

Q.

--'--(? -11 1-

~·2D! O'y

•

pal1ic:v1ar ha

Ic.' _y) • _.!.

D'y

(x' - 1

ECUAcrONES

LINEALES

CON coeFICIENTES CONSTANTES

NO HOMOGENEAS

273

1 2 :l. 2 .. - _(.1 _ y • \'y .:ly • Y /12)

O' v La solución pedida es

•

JO. Hallar una integral panicular de (D,t" Dy)

«()" -

•

D'Y - Dy):

.. sen <2x • y).

Una integral particular está dada POi' sen<2x"

.

y)

sen <2x ~ y)

'

" _.l.

34

í

s sen(2K ...y) - 3 C(l8(2%:+)')].

'También se puede uliliZát aquí el método de coeficientes indeterminados con B COSl2x + y).

11.

Hallar una integral particular de

(D.c -

2

2D:; • 5)
¡.

3)l

=

e

ix

."'1

¡ ... A

sen(2.t + yJ +

•

sen (x - 21)·

Una integral particular es

- _l_ ~,x·")'[15

oo5(x-2)')

1205

TIPO: 1(,
=

4 sen<x-2y)J.

= O,

La sustitución x = ,\.ly)D;D:=

•

f",

y

= 1.''', .,,3,~,.lD;D;:

= D ..(D,. - 1)(D.. - 2)D,,(D.. - 1):,

D.(D,. - I)O.,(D" - I)(D.. - 2):: transforma la ecuación dada en 0.0.(0. - 1)(0, - 1)(0. - 0.1== O,

: - ~,h:) +

~l(U)

+ ,,"4 rel="nofollow">3(1') + t"'~tJu) + 4t,h'

+ u)

: = ~1(ln )') + t,6~(lnx) + xIP.)(ln y) + .v~.(ln ,\,) + 4>,(10 = V,(y) + ~,(x) + x\ll,(,o') + !'''',(x) + "',(,
O. en las variables originales, ,\;'Y.

•

La solución pedida es

274

ECUACIONes UNEALES NO HOMOOENEASCON COEFICIENTes CONSTANTes

13. R.!IOIver

(X

f

Ll;f - 4y 2 O;f

La sustitución

.'t -

~ ",

-

4YO, - 1),

(l\. .2)

•

'(n..

-

Por simple inspección, -

ecuaaón esü dada por

t$I.i.

1

2.

_11'

-_.

35

(35)'

'-3)

z

se halta que

•

•

•

tu.,,,

1

o,;• - 4 o,:• • 3l\.

- 240. - 3$

es , • - -_~1 (35)'

pólttÍC'ul¡,

dircrcrtCw

f .... :JtI

{lSv-24).

4lMIa es

que, upt<$2lda con los variables ~

-

1 • I -_ x T (3.5 In T - 24). 1225

PROBLEMAS PROPUFSTOS Resolver cada un4 de las siguremes ecuaciones. 14.

Sol.

15.

So/.

16. 17.

11.

Sol. .,.

: .4>1

Sol.

el!. • 2D,)(Ox+ 20, + J'

,Cy-2<)


Sol.

,.

~l

(y -X)

1)(0. .20,.2):

•

+ <-x~(l_b)

21.

2

le

: • ~ 4>\(1-%)


-1):

• ~(Y

-.x) +- cU~(7".a)

• O. + '-'[~(1-2x)'14>.(1-2<)1

.. _1_ [6

COIS(X,

ay) _ 9

117

Sol.

(:z)

'"' sen(x+Zy). .. (hq,'J(y -X)

_y ~ ~ ~(,.-2K) 1

• ~

+ e

-;r

.

-jo

••

solución de fD; - 40; + 3D. - 24D.. - lS)w¡ _

\1113

Por tanto, 13 ¡ntearaJ

t ,1 D.. -40; -Dg_l

•

- (l\. • 2) - 1

La solUCIón pedida de la ecuación

z

dada en

~------~I~----------- •

• c'~')V

•

In r .

T

'1 = t' transfOnM. la CC\lX"

Un. .nlegra) partICular de

ti

'_'

••

3 1 ,..", %1 .. - .. - e

2

Sol.

75

sen

(:r .. 2.1}J

es

II

es

ECUACIONES

~'NEA~ES

22.

(o;-o.:o;-I~+ll
U.

(3o.:a,-:W;-D,lz • f

(31\C $01,

26.

'2

(n;

Lo '2

.2fl.D)-21'J. :.

'2)/.5.

(x

000(3y,2:<).

)l.+y

= 3<

-11'

'('1

:.

Sol. 27.

2

-20; - o,.

l

;c+y

•

-

= <

-3).

(D:.'\.~ ..J~~lJv*l):

~

1+'

:.

~CX

13~ 1:-

CONSTANTES

Sol.

: .4t,.(y)

" <11 rel="nofollow">,(1.';)'"

Sol.

••

,.'

,ja,('l

"

.. y).

cos(x+2y},

2

%(z2.2y2),

$<JI.

1-.. ~ 2'7 ces 16

Sol.

l::r _

3

sen :zy.)

z y 1"n(11'1 .. ).

•.. /

~,

z;.


,4>'(1/:';)

-

6S1'[, x y

.. cos()n

JI.

~ ) ~ 7 $Cn(ln x)"

SOl.

2 '2

(x D,;-xyfl.lly-2y $(,/ .

JJ.

~ -,1'"

,

,

JO•

32.

iOI ~ $( e08

.t.

2 2

D,'.0.:-2yO,)'

2 4>l(2: ....) ...

c/J,(y/x)

jo

• I.(y/x) - 1/2. ,Cln

%)2)ny

..

i Jn.r

In)'

~x~Q_%)

~(3r·2:<1

costx -2)'). 1 ~.Y

~ 4ix"'~i)' ¿"cle -

CON COEFICIENTES

sen (. - yl.

r+b:7

G

C'l ~

NO HOMOCENEAS

-

275 + la

2:

3I .... (3'.2»

CAPITULO 33

Ecuaciones de segundo orden entre derivadas parciales con coeficientes variables LA ECUACION ENTRE DERIVADAS PARCIALES MAS GENERAL de segundo orden con dos variables independientes tiene la fonna

+ Ss + TI

RT

1)

f

Pp

+ Qq + Z: -

F

donde R, S. T. p. Q. Z. F,on funciones de x e y solamente y no son simultáneamente nulos R. S. T. Antes de estudiar la ecuación general se estudian algunos tipos especiales.

rtro

l.

2")

T

3', -

-

FIR

=

r.t», y)

= FIS

•

F.(x.y)

-

F,(x.y).

3x' s

2b)

2.)

a'z ay

=

.x

.'z

=

ay'

=

(Ir

E)las son ecuaciones reducibles con coeficientes constantes (Capitulo 32); para resolverlas se va

a

utilizar aquí un método más directo. ~;emplo l.

Resolver s

hut.srando ~ ~

• .v - J',

;'1~

respecto de y. p • ~

-= X-'Y

Inlcgrando este relación respecte

• xy _

de \', : • ~.a:2y - ,x)'2

I

,y~..

1/1(:1.).

'"

.¡(~l ;.- 4>,(y).

~:h·.son funciOnes arbitrarias.

arbitraria. donde

..

~"'l{X)

- oJ·(,t)

y

TIPO 11.

3... )

Rr • Pp

3b)

s.

+

3e)

S.

, Qr¡

3(1)

TI

t

=

S

/'p

Qq

R

=

ap, ax ap •

ay s aq ax

=

r

Pp

•

F

• Qq

r""tQq

ay

Pp

• r • F.

Estas son esencialmente ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer orden en las que (o q) es la variable dependiente.

p

276

ECUACIONES

A ~

O-

OROEN CON COEFICIENTES

p tomo la variable c:kpend.erne. \ como la '\.nab1c

ConStdcrando

aótI es

DE SEGUNDo

2p .. (9z '6}t"J"·?'

VARIABLES

e !'como

Indc:pmdllt.t:ltc

277

OOftStaote.

la ~.

para la q~ ~ es un (-.,or InlqJ'Jnte.

'"kJtllndo

•

.l(9.l2.

-2.

~)(")

D• •

3),?t"'),'~Y

1

•
D ..

,,. .,,,

3"

(1 -

l

R

ap

... •

S

Oq

TOq

o

TIPO 111.

"

4A)

Rr ~ Ss

• Pp

=

F

o

4b)

Ss .. Tt

t

()q

=

F

oboen

blC'n

S

a.. •

ap ay

~

l/as dos

razones

primeras

Por simple inspección. 2F4f2x)

se obtiene

xy _

rápidamente

+ 4)'(-.1')

- .1,1(4.\'l~ -

F _ Qq.

ay =

Esras son ecuaciones lineales en". derivadas pan:iales d. ceden uno dependícnlc y .r, ,. como variables independientes,

Empleando el método de Lagrangc (Capitulo 29), el sjstcl'N

F - Pp

%

4IUA1I13r

(o q) como variable

COD p

es dx '" Jy :dp 2x -y 4%,.2 _ 2p

D.

lp) _ O. Así.

o.

y

!! ,-

2r

,. b.

7

p

TIPO IV. 5n)

5b)

Rr + Pp ..lz

Tt + Qq + Zz

bien

F

O

F

o bien

R

a'.

a,,' •

,

=

r~

ay'

r a. h

• Q!!ay

+ Zt

=

F

• z.

=

F.

Estas son esencialmente ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con s: como variable redependiente en Sa) e .v como \'ariable indepeodiente en 5b).

278

ECUACIONES

DE SEGUNDO

ORDEN CON COSPICIENTES

La cculción se p4Jt(k escribir asi (D~ _ hDy" La (unción c:omplemutaria 1

es

1 •

..'):

• (f).,_x)2:.

• (x_2)It.sr'¡'2,.

'1 una in,egral partic.ular es

•.. t"'~t("")

tZ'
VARIA8~ES

(x_2)t}Jf.2)'

C{)y _ Xl'

Véanse también Problemas TRANSFORMACJON

ESI. transfcrmacién

DE LAPLACE.

en

Qo • ZI • G(u,v}

Rr + Ss • Tt + Pp.

1)

1·8.

consiste en cambiar las variables independientes x, J' por unas. nuevas. u. e, de modo que u = u(x,y),

6)

ve

v(x,y)

se eligen de forma que la ecuación resultante sea mis sencilla que 1). Medianle 6) se: obtiene

..

a. •

P

•

r

•

s

• á; • •

I

q

Op

• ~ • Oy

•

luu..y

(luu,)

... :~IIV}'

.. tc.,,(uxv,

llluUrlJ)'

, '""v("y)

•

2::14 rel="nofollow">u7u,

lo

)u'I; .. JVIi1l,.

u,"';c)

.

lo

•

l~"'("7)

•

.y

•

(zc;.JA)

"(,IV"'..-"",

,

•

:,.u."

•

..

:: ~)'

..

l"'IJ"'Y)L'~

•

:v"S') •

:",",,."

Se obtiene l' )

haciendo las anteriores sustituciones en 1) Y ordenando. Solamente se necesitarán los coeficientes

Obsérvese que ambos son de la forma 1) J)

-+

Supóngase blo De; entonces. si para u se 10m. un. solución cualquiera de oC. + bc, - O u una solución cualquiera de + ft., _ O. 1) se transforma en I')con R' = T' = O.

y para

.e.

ECUACIONlS [¡-,lo 5.

ut

OL SEGUNDO ORDEN CON COEHCIENTES

Rc.ohcr

- SCy'-I).

.)

..'Cy-l)r

.)

' ..... ,)(r

-s)

-

-A, -

VARIA8LES

·'(1'-1, ••• )p -, 7'l -

1

279

O.

O.

•

Aquí 7. es de donde

x!.

,I.!~. O:le ~~I.. face con ~ u fócilmente que es"," $OII,lC1QnesIllmbihn

Ahor:l bien, demuestra

tu [111.Sé

\)' '1 \~..

<

A,,,,

O se- s~uis:(:act (10ft t ,r' di(eft'ooal doada LIXIO la solu-

:, l.

~hj(lI(len

teuaC:1ón

clón pedida es

b)

Aquí'l es

Ahont bien. (. {, O 'k ~h'lf!K'C' con ( jOlucíone_ot $:lt1$r:Ir:l1:nl:t «u¡Clón d,((~c';lt dad:!.

Tómese

V

1.1 -

•

)' )

d,fc:renchtl dAda se con\llerte -1(.1 ~ Y)ltn

-

ESlo se puede escribir

tnconees.

t ~ ~,

P

.\ ....

¡;.,

.. 1

a. ¡;., donde

-:, u

- .:

u

d

O con ( -

'lo .. ',,_

r

r. Sin cmhlr&o.

'lot.l'

..

:~

..

."'pM : ...".)'

de: esus

la CItU
.r .... -

11.. - 'yl:~ -

o bien

O

:o

UII'It,,'

":w ••

• O.

'v·

a.)j

,a:

!1) • o.

-(-

•

a ..

I üoi'(U)

y

• "'Ij;(v)

-."

a.. a..

1""110

- , •• •

_"(ti)

••

en

". az -

q •

:'1>'

I _,

Sea

):

•

1

.(v)

, ... .

~(.).

!)..(v)

IU

Jv

•O

u •

,. ~~(U).

y

A"""' ...... •

.

I ~l(")

.

I ~(.).

la ¡oIuclÓn pedid .. es

!~(v).

•

Aqui 1) es

e

Ahota bien. X(", - .r{, O se sausl"aoe con. = x~r ,. x( •.. X, - O con ~ -= xi,. Se h3!b r.f¡ptdamml~ que' estas soluciones 5:l,i5(a«n 1:. ecuación reducida yl, - yl, t px " -- O~ poi" tanto, b (uftlClÓn come*mentoria es e IPI('\/)') + ';1(')'" San embargo. esu .. (unetÓn complcmc:ntaria se pú(de obrMlet con b Intqral ptlrticular como sigue. Tómt$C' 1.1 • "Y y C" _ xJ,.: entonces q=

•

xz,- _ -;"11, 1

¡nlegrando primero '1 dc:spué$ respecto donde'

J dI'

101(11)

-=

tt:Sp«to

de .. :..

de r. r .....

tr,

.(,,) ~

!v.

+ .-:(.) ... 1_

= .11\

,,) .... .aln-J ..

1-('.1.

~(l·).

Véansc Problemas 9·10.

•

280

ECUACIONES

I)E SEGUNOO

ORI)EN

CON COEFICI€NTf.s

VA.IA8l.ES

11) Supóngase b/(1 - /1" entonces. RI~.)2 + S{.<, + T(C,)' trata en el Problema 11.

m(a~. + ~,)l.

Este caso se

ECUACIONES ENTRE DERIVADAS PARCIALES NO LINEALES DE SEGUNDO ORDEN. Un metodo posible para resolver una ecuación dada no hneal entre derivadas parciaJes de segundo orden RI

F(x.y.z.p.~,r.'.() ~

O

lo sugieren varios de los ejemplos de las anteriores ecuaciones lineales. En cada uno de 10$ Ejcm píos 1·3, el primer paso consiste en hallar una rclacién de la forme

9)

..pe v) .

ti -

¡,J. nrbnruria.

donde u - u(.<. y. z. P. q) y v = v(.Y• y,». p. q). de la que S. podría deducir la ecuación diferencial dada climinando la función arbitraria. Una relación como la 9} se denomina una integral ínterm"",ad.8).Porejcmplo.p - xy + V·l _ '¡'Ix) es una mtegra] intermediades _.< - )'(Ejemplo 1). Se puede demostrar que la ecuación

más general entre derivadas parciales

u • ~(v).

.;,

que tiene

arbHraria

donde u - u(x. y. :. p. q) y • = v(x ..... z, p. q). como Integral intermedia. tiene la forma flr

10)

..- SS"

TI • U(rt-

H')

-

V,

donde R. S. T. U. V son funciones de x. y .•• P. q. Sin embargo. es evidente de la. definiciones de R. S .: , , . V que no toda ecuación dc la forma 10) tiene una integral intermedia. La discusión Que sigue corresponde al método de Monge para determinar una integral intermedia de 10). suponiendo que existe una.

TIPO:

Rr

+ Ss +

TI

V.

e

la ecuación

Considérese I/r

11)

+

s.

+ Tt • V.

o sea. ecuación 10) con U idéotkameme cero. Puesto que se busca z como una funcióo de x e ,. se tieoe siempre 1Z,)

dz

~~ UX

:

ap

dp

12, )

+

ox

oy

Oq dx

dq

ay

dx +- op ti)'

OX 12,)

-a. d y

.OQcIy

ay

ox

•

pdx

•

qdy,

•

r dx

•

sdy,

=

sdx

+

I rly.

eo

dp-stl)' R esO,.vren O t as d os últimas respecto de r ... ---. ctx

11) se obtiene

13)

R

.(R(dy)'

~p - • dx

-

dy

+ Ss

+ T dq - s ~

•

dq-

s dx cIy

V

y

de donde

dy

Sctxdy'

T(dx)']

~

Rdydp

+ Tctxdq

- Vctxtl)'.

Sustituyendo en

ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICI~NTes VARIABLes

281

Las ecuaciones R(rly)'

R tly ,Ip I T dx

V dx rly

O

Supóngase R(dy)' - S dx dy + 1'(dx)' = (A dy + B dx)' • O. Si ahora IJ(X. y, z, P. q) = (l, IJ • v(x, y. p. q) = b satisfacen el sistema

=.

l

At/y'8th:

-O

• T (/x ti? -

V (IxrJy

/1 rly ""

entonces.

'.

dt¡ -

ecuaciones de ,\1o"K('.

se denominan

JI -

O

- S (/xrly • T("")'

u

-=

I/I(v)

=

de I J) ya que u

O.

•

a, u - b satisfacen

es una integral

intermedia

Supóngase donde ALB2 -

R(d)')' - Sdx"y + 1'(".<)' - (A Id)' + B,d.<)(A,dy + B,dx) = O, A1BI r;' O idénticamente. Se tienen ahora dos sistemas

+

A,t/y [

R tlydp

•

e,«••

T dxdq

O

- V

J J).

A,dy + 8;d" • O [ 11 cJytlp + T ditdq - v cbuly • O.

y

"",1,· • O

13) Y. por tanto,

Si cualquiera de lo. do s si.tema s es integrable se llega a una integral intermedia de 11): si los dos $On integrables se dispone de dos integrales intermedias. En 10$ ejemplos se discutirán procedi .. mientes para hallar una soluci6n de una ecuación dada para la que se han obtenido integrales intermedias. Ejtlnplo

Aquí

y se resolverán

problemas.

7.

4(yq

Resolver

I{.q(yq':)'

":)1

p(2yq

,s.-p(2yq.::),

H(dy)' _ S J.x dy • T(dxi2

y

-

¡IJyúp

• Toúdq

¡':)$

.. 'Iv'r

T:yp"l..

~

'.'4"

O.

las ecuacicnes de Monge son

V._p'lq;

•

Q(1Q" z,)(Jy)'

.. p(2Y9 + :)dxdy ~ yp7

•

(q dy. p<Ú)(yq

•• )dy.

ypa.)

,

(dx)'

O

- ¡'oúJy q dy

Se buscará ptlrnt"ro una soluCIÓn dd ~em::t

Combinando la primera ecuación y l2¡) se liel)(: dz -p I/X/II. obtenida de la primor:.. se tiene

=Oy

: -

t

p<ú

, O

t

[ q(yq.:)dytlp

.yp

u.

(yq , ,)dp - p(Y di¡ • q dy)

'1

tp q<údy

<údq

Su:nitu)'eooo

O.

en la segunda ecuaelén

dy _

• O.

SU.tnOlndo - p ti: _ O a ésta se obtiene

con solucién

ecuación

~

p

de- primer

• b, LUCIO }'q

orden

es

+ 1 .., P •JI:)

.#!- • -y!! . ~. 1(')

es una intclI~1 Inlermecha dy -

-y

JI

• -

MI

El SIstema de Lugran&t para c$la

obtiene yz

= P.

y de

282

ECUACIONES

o.

--

¡(z)

d, • -

se _

DE SEGUNDO

ORDEN CON COEFICIENTES

f le,) <Ü -

b. De _o

••

¡

ahera

el

+ q dy

9'1dp - pydl¡

-

[ 9('91

-:

• tly.

tÚ • O.

-r

g(yo)

2: •

- pqdy.

I

O d<doode

= P' g(»:) es

b. Se obtiene así

• ypo. :

O

.. rp2¡ú dq + p2qmd7

:: O.

d",/y e ..: • a. AJ SUSlJIUir la prinlt-r. ecuación

'!l • y

dp - ~ P 9

O

una ,•• c¡rsl ,nlL'rmCdJa. ¡;¡ $istema d< l.q:nnJe es

.s: .~

- 4 Y l. primera cculaÓn

EnlOnoes.:

4>t()'O)

:)dydp

d)'{)': luego d: _ -:

la soIuaóo qylp _ b: Luc¡o qy

deduciendo

•• - f

(Y9 • ,)dy

~sundosistema

De la primera. eceecícn, p dx en la segunda $C ueoe

g(y.)

'1'" la solución podJda es

1

Considérese

~

• ~'(') •

VARIABLES

-1

,(yo)

x oz dtl(:)

-1

tiene la solución

.:V'!) como ames.

1

TambiCn

se pcede OblCUCf la solución

viéndolas resJ)«to

p ~

utilizando

13$ dos integrllles

imcrmcdlas

simultáneamente,

Resol-

1

1(') - ,(Y') eo P dx + 9 dy - d:. '" uen< r. dx + 'T(y:)IIy - '1/(:)11: -},:g,(y:~ .... ccu.tción se eoo..;ene en

y sustilUl"ftdo y .f(r.)

=

Jro~ld=. E.cnbomdo

/1:1 - :/,1:1

c. mtegrando. x • o¡!,(=)

+ "',(y:). Yéanse también

TIPO: r'"

Rr

+ Ss + 1i + V(" - .')

dp-sdy
•

t

dq-scbc

Considérese la ecuación 10) COn V ,;, O. Sustituyendo

como en el anterior lapo se obtiene

dy

:;::

= V.

Problemas 12-16.

s[l'(dy)'-Sdxdy'T(dx)"

U(dxdptdydq)J

a

I'dydp.Tdxdq,Udpdq-Vdxdy.

Las ecuaciones R(dy)'

-

S dx dy + T(dx)'

Rdydp

t

Tdxrlq

t

+ U(ú>
t

Udpdq _ Vrlxdy

dy rlq) ~ O = O

se llaman ecuaciones d. Mongt. Obsérvese que si V-O. estas ecuaciones son 14.) y 14,). Sin embargo. distintas de 14,) y 14,). ninguna se puede descomponer en factores. Se intentará elegir .. descomponer en (actores

Mx.,.:.

P. q) de fonna que se obtenga una combinación que se pueda

16) >-[R(dy)' -Sdxdy.T(dx)',U(dxdp+dydq)J

= =

(.

dy +b dx

t

crlp)("

dy +f3dx

~a.(rly)' + (~/Jt"")dxdy t

o'Ydx dq

t

C'y

+ RdydptTdxdq.Udpdq-Vdxdy ydq)

t

.bfJ(dx)'

tcfJdxdp'~'Ydydqtc
dpdq

O.

=

ECUACIONES

DE SEGUNDO

ORDEN CON COEFICIENTES

283

VARIABLES

Comparando coeficientes se tiene DtI -

R1... a{J

+ ba =

v.

-.$A -

n..

bfJ -

LA pnmcra relación se: satisfará tomando 1, Y ... U. la relación restante Q~ VAt

+

ay.

=

""

R.

by -

T.

U.

<7 -

l. Y 2 .. R.esta elección determina b _ T'U., ... - Sl.. V toma la forma

D

+ ha.

t _

en. -


TR

l.U.

_ $).. _ V

•

U U'Io.'

17)

• SUIo. • Tt

• Uv -

O.

En general, 17) tendrá dos raíces distintas 1.. - Al. A. .. Al: así. 16) se puede descomponer en fac· rores como sigue

'.

(Á,Udy

• T,/)(

, UcJp)(Rdy

p...Udy

+ Tdx + Udpl(tdy

+ UcIq) = O

• Io.,Udx

+ Io.,Ud ••

Udq)

:

y

O.

3 considerar. El sistema ",U dy + T dx + U dp - O, ).,U dy + T tix + ;l,)U dy = O y. por tanto. al menos que;l, = ;l,. U dy = Oidblucamcnte. Análogamente. el SIstema R dy + A, U dx + U dq - O. R dy + ",U tix ... U d4 - Oimplica U tix - O

Hay cuatro sistemas

U dp _ O unplica (1.., -

tdénucamcntc. Se emplearán, por tanto. (¡namente Io.,Udy' Ttix .UcIp. O [ R(ly .Io.,.Udx. Udq : O

19>

los sistemas Io.,.Udy. Tdx+ UcIp : O

y

[

Rdy • ¡."Udx + Udq =

o.

Cada sistema. si es integrable, proporciona una integral mtermedia de lO). l'.jHlpIo 8.

R_c$Oll,'Cr

¡,- 2("

-.sl, _ 2.

Aqul, R • O. S 3. T = O. U = -2. V _ 2. Entonces UJ).l .....SUl Al • - i y 4¡ - 2. Se buscarán soluciones de 10$ sistemas Io.,Uey • 'rdx • Udp • dy _ Zc - laq • O

.....TR ....

ov

[ Io.,Udy. 7'<1... • Udp : -4dy

y

Rdy.

« 4).2 - 6). - 4 - O.

- 2dp • O

>",Ud.. • Udq : dx - 2dq • O.

Del primer siSlema,)' - 2p a a y 2x + q = b; cnloncd 1) 1- 2p -/(2x ...q) es una ¡rnegral incnma:ba. Dd $C'lundo $l5tema. 2,. + p = a y .x - 2q - b: entonces. 11) 2y + P - l(..r - 2q) es una inlqn) duermcdta. Cc:wno q apar«:e (O el ar¡umcnto tanto de I como de , ~ no es posi1*. obcmer una solución de la ecuación Oada que c:onlenp dos funcione:¡; arbitrarias. resoI....;moo respecto de , y 11 Y SUSti(uyendo en d:: = p h + ",q Se InleoW'i b.a11aruna ~u::ióo que incluya c::oo:st.~ntc:sarbitrarias a paro. de la intcgnl inccrmodia , - " /Ib: + q~ Pata _ una ccwción inlqrablt. ,_ /fZx + q> - .(2.< ~ .1 + ,. doade • Y , - -linces .rbttranas.. El sistema de Lagraogt' plfll 7 - 2p •

<1(2.>

'1) •

•

tÚ

ft

•

~

2 De lo. dus pnmc.os

miembros,

«'l

=

ó.

•

"

2y + (. Su~:utuyendo

poi':'

2. " de donde

"" ••

LUCIO

(unetón

el:

(-

37 - ~

e ~)" -

-

/3)d,

(2:;u ~ {3),.

llrbltran~ y dos ceesames

y t-

4>.(CU

art>ilnru$.

cu. los dos últimos miembros se conviakn

en

dI

-3Y-~-Jl ,,,. _ 2)')

-

3

:¡y

t

-

_ a ~y - 1"7 • ~.

es una solución de la

tcU3C1Ón d,ad;¡

que incluye:

UN!;

284

ECUACIONES

DE SEGUNDO

ORDEN CON COEFICIENTES

'l'rac.andoderormaaniIO&a1aSt:8uadainlcsralint(rmceb

.. secoma2y + p -,Ix - 2q) + lobiedp

21 + l. dOftde V '1 & son constantes arbitrarias. El

.,X -

VARIABLES

$I$ltma

de La,nnl:C'

+ 21(/-

es ~

CorrespoodieolC

• ~

I

ti: . Ot los dos primeros miembros. y _ 2):r ... (. Ahora bien. el primero y el 7- - 2y • ¡ dir

l. (orma

-

•

I

d,

Y

nUtmbro loman

y

-37'-~'¡

tPt(Y- 2)' .. ) también es una solución que conuene un. (unción arbitran.

2x

te:n:et

•

2y

y dos constantes

arbitrarias.

A contInuación se hallará una solución con dos funcioneti arbitrarias de Jos parámetros >. )' ~. Póngase e",onces. 1) y 11) se convierten en y - 2p _ f(l.)

+ q • ~ y x - 2q - " de forma que x - (2~ ... "WS. 2y + p - g(,'). y y = U(I.) + 2g(l<»)/5. Ahora bien, f(~IJ-

111)

p ~ Uy -

IV)

q • l. - h -

-2y

+ g(p)

y

K< - ")

Sult.¡luyendo el segundo wlor de p y el primer ....alor de q en ti: .. P dx + q dy, se tjene

[-:¡y.

gl,..,)dir

- 2ey d..

• lA. - z",dy

-d.y,

I S«1pl

y

,

[2 dA.

<4<1

2

•

- z"y • -I\g(l'l S

•

I

-~fel..l -
- 2%y t I..y -
Es,.

solución

Sé

puede obteeer utilizando el primer valor de p en lit) y el segundo valor de

Q

en IV•.

veanse también Problemas 11.18.

PROBLEMAS t.

Resolver

r •

ll' e·)

O

a',

sea

2 -, x < •

a? Intepando

• t

• ~

12

e"

~

•

de x

SI:

RESUELTOS

t:icne P •

a, a;

,

!.... e" 3

..

4>. (1). e

in1egrando neeeamenre

respecto de x

... <1>,(7).

JCIÍJ.(7)

,

- 4x y.

In'c-afondO

Intesrando donde

rC!lpceI O

la ec:uación que se acaba de obtener respecto de

d ;¡;

.. ..

de y

x.

-

1

-, •

-

%

-1

7

- 4JC

]0

Y •

.t. "..(JC) •

ECUACIONES

J.

RC$Olver

;(f .. -

Reso1ver 1- xq -

lntegraedc ~

-sen

r -

- rq

=-

x ros

eY • •Z •

y se teee

•

';(;al

y.

_(sen '1

t-

~'

ces y). empIcando el raClof integrante

Oy e

'xy

- J e -x;; (sen

q.

1)'

El StSlem:a

De:

para la ecuación

auxiliar

la pnmtra

-

1

2
a.

Así. I)I.ICS,se: obuene

_

y!f: '" -6.1'.)' _ oy

xY _

se obtiene

COS y ..

f:

¡;y.

donde ~Ifx)

.p(.). - '¡'(x)/),',

2
,

2p es

•

y' (-

y

!

:.

p

+

• o.

=- dy -s

r/.p -6%y- 2p

• O

,'dp • O. p .. ~)'

y

2..\')' _ )'l~(xy,t)\

-;c " 1 • tb.(Jty

2><

Ó
,

b.

donde

a;O ..

y

C'()010 soiucsén

~

P<w SImple: inspección.

Q.

- (2yp' 2><,o)dy •

Zyd.) - 2y(p' y

JI

2.:c~

(2yp. 2<,' )(-y)

2ld.

o bien y (d¡>

Luego

) •

'

'"

• q - 10:r'..-.

El stscema. aUAlIiar para la ecuación

Oc las dO-t primera..-.: f"3.«)1'IItS. ;(Iy =

dedonde (q_ax)y)dx

D.

Por sunple Inspcoc:ión. - 2><' (1)

- 2x~dy + ;r,dq.: o.

y

O~

qx

solUCión general

dq

.%

x ~

(q - ax)y).

t.o

lO

Oy

+ ¿O,. f/J. (x) + ~2(X).

- sen y

r. se tiene:

y se¡unda razón se dcducx

de: modo que

Re~vcr.D.

respectode

az ., --

t/J(x)de dondeq

¡.

«»:

2x, - 2p = 6:
2yS(2)<)

6.

=- e - xy COS y

y -+ .z CO$ y)dy

Mediante una segunda Integración,

S. Rcsoh'(:f

2SS

VARIABl-ES

px = .~.:.

~ cespeclO de

....

ORDEN CON COEPICIENTES

DE SEGUNDO

••

(lo.)y-q)

xdq ~ q~

• O e

• 2x~)' .. b.

es q,'C = 2x"y ... tIJ(yJx'l. AlI-i, pues.

y

donde

~'1dx

.. bltdy,

1 7 .p(xy

• ).

286 7.

ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON roF.FICIENTES LL ResolVff 1 - JI - -(- - 1): %

t l' ,._ 11 - .. y

~ , ~ 2x 1- 2.t

%

La (unadn complementaria es .: - e Para una integral particular

,"

tP,(.a:)·

t'

_ At,l

+

se ensayan:

' - D... - -(--1).: 11) tC:II.l!nlflnecs. [D y xx

R.+

8. Rc:ool .. ,

1

x

Y>

2A-lAy_IJ_(_

• x(1

-)A

-2A - ( 1

- x).

%

+P

1"

la> •

-

¡¡.

y

x

~

;h -

,

-

-

ay

!:. la

f-

-x " ••

-

y

a.,

1 1

_(_.

-t)

¡¡, 'iIy

et:uación se conviene

,

.,.'1..

f)l;

(l;'

.. X

-.l:C

¡¡, aj

. Y ahcra, integrando.

l'

f'

...

TRANSFORMACION 9.

Rcsoh-er

I -

S

Eli¡iendo

tIC

-

en ~

a.

(_

'iIy

_ ••

a.

1 1

• _z)

~(l y

.. In y) para la que

('-lO

es un

ree-

EnlO00es.

1 ; Jn y

__

que se pucdt pOner en b. forma.

r.í.pid;unc:OIC taucndo en cucnl'

oyy

f!

de y se llene

- yq - : = (1 - .)(1 + In ...~

.. - -

ter mtegrante.

• .dé-n.

1ji) • :¡,. , •

"

EPa CC\lt<:¡Onse ttsuelve

Haclcndo

C. donde A. B. C $On funciones de s o c:onJll1n

1 .....1,)(Ay .8y ..C) =- ~y 22'" -.% Y .. 2% y-2x , X

los coeficientes de las diverSllS pO'tncías

1

-

+

.,...,(1).

"

lic:unenu~. Igualando (.

..

)-)/'

J

-

VARIABLES

-l'

f-

)(Ú

;

1Z

~l. In y)d)

y

1'10' x. --,-

,._

._ e

-r

".,. .,,(1). uuluaedc

el factot integrante y. se hll la a

1'/1(1) tiy

DE LAPLACE.

+p

- q(1

u- xyv

+ I/.x) + :1:( - O.

= x + )l. P =

z.. +

00'

tiene

_(_

a.e.

Haciendo ~

-

Intq,:ando

O' ....: -

ou

f- It

e.

s:

.11:1: z

luego

OW OU

1 ~ '/I(v) ,

:•. q -

•ti

:)

I

la,

-(_

xe.

... :)

y

••

• O

se ueee

+ :...y

- :01- ~' - :.

_, C'

l..;¡

•

1 "._ :, ..

o.

o, cu

u( __

1 4>t(")

S\lstituyeodo

,. ~CU)

:)

.p(u).

o

en Já ecuación dada

ECUACIONES

DE SEGUNDO

Con 11.1 vana bies origjnak:s.

ORDEN CON COEFICIEI'lTES

."•

y

UliHio&ndo

1,1

xl.

•

la ecuación djItttncial -

1

; '"

Hactendo

___

lnlC&raodo

Y'IJO

I

ü lV

-

a:!

a~

8-

&C..:)

e,t")'t/)(.&")

" ~sc1JCa).

q •

'v-

.t'lv.

dada loma la (orma

1 l",,I

P

y.

v::

4>,(x. 1> •

• '_-

1:

287

VARIABLES

¡

;

21.1

-;;;;:

•

. aU':SCllcne

v

__

, ~

.. U-tl\hIC.)

:w'

+

.' •

.- :>

-;;2. . y •u

(h" ... - -u

au

..

aa. - !z) -(a. o.- •

o",.

v2

-

u

"'("l.

20

• .p(v)

20'

•

o

.' -7

.

u .p(v).

se lene

o

,

. -• •

"tIA,(u)

20

!(~ ~,) • 3v •

.. u As.CIll') •

.,4>,(u) .

• 11.

Resolver Xl, - bys

Aquf

.'(U' -

rl - xp

+

+ 3yq = ay/x.

2.r).(',{, .. y'(~,» =

(x<, -

),(,I' •

o. y como

los fectores

SOo distintos s.lomentc

00

se obttCnc ~ - '''y. Se pone u _ xy y se toma x'

x,.. + lx.:....+

UI\Il

=•."

y

ti"

101 ecuación

= y; entonces, p _ y:", q - x: .. + diferencial

Z••

r - yJ;_.

S

=

!".

+ x)'=_ +

dada se convierte en

ocuac~n del tipo de C.aucby. Sin embargo. se ha visto que " es un factor integra_rne; por tanto,

.',•• I..uc:SO

'.

:z..

•

•

.. 3.,2':I }~(.)

•

•

. 8»'/ • y

Y

.

', , •I

• •ü

-

2w ·fu

-~(.)

z,,'

-.'• • 1..'

.p(.)

• 4>1 (.l'y)

•

,¡_


~.(a)

...
r-_.

t -

0-

[%»(d +

,1 +,(p(b +

+ '1 + Ipbj = '(xpl,l.d + ,1 + Ip%»(d + lI(hz +

I)){%»(d

'O = /,(d

+ (,(Z

,x'¡if>

'(AZ -

('l/x + x

'Op~A(O$)lI

1. ~ -

't - ,¡x u'ep

so.rq,~ ,

-(.eZ - ,>1/x

+

= = ....

,xV,X¡ + ,>'f

-

sop S01 •

SOJ;)Wud

r = bx + d

<1.,....,.'''!

+

1)

O

= -xp1 ,

(

:p

+

I(d

'('"

U~pcu

C.(Z-,xVX+,x

+

+

('l/,"'I

=s

O-nOnl

X

- -,(pxp • -

:p

[.:s.,,! .. _

+

,)(bZ

'" •,xII

,lb

1) + ,(Ip)(b ~

1) - ~b

+

''''I'''''lj

1)1>

'SI

.>t - :

+ p

P _,,,,

Á QJ:)UJlJ(I

,

1

::Ip mgJ$lS , [3

g ~

.. ~'"

o!""'!l!In

JO""'j P

'0 - rPl,xz + d) - />P,x+ dpx :t~!lqO

es epun8~ '1 U::I xp

'0 .. ¡fp xp( (x, +

d) -

X -

'o -

.(p Opu<Ji,{nl!1S"S

bp xp rX + tlp,(p x

,x 'U9pe-rt.» u."w!-KI q ~

,(z: -

'0 _ l'P x - lp

,w~)~$

,"'P u9!:Jnros eun e)Snq ~

+ d) - bpxp ,x +
'0 - ,(prp(,XZ

O - ,(xp r - .ep) = ,(xp),x + Ip xp XZ - ,('p) • .,. oiUol'l >p ""'''!O • .." ..,

',xz + i'l//I-

- (:1"

d - (1<"+ so:¡

+

e)S:I

b

0-

ered ~il'eJ8rt

d

''P + ¡¡; + ~-

3p '~Sl$

13

~¡»u:JR1V!

.pooP>P'O - xp bII + />pd + dpb-e

'O - .(prp

,bd -

=:,

/>p xp '"

.(:)/=(:I!I'

1&.I'blw

>W!Ios_-

+

dp,(p ,.

>pUop

~

íx)';

O

= ,('1' d +

+ ."

'Sond '!'" :0 ~ -e =

=

'p b)

+ (:1'''' =" ~ (

1St: : U~JC) J~wlJd )t) u9'J'Bru:) ~

~ q -"

Rn ~

..-

"O.

=~

...... ud ..

O(]

oSuov¡ >p "","!Oro ... .,

"')'4> +

)U;)ItQO

:IS

.í- -

e"p!p;xI

:I'(=IIJ -:x

u~fOS

r¡

"IfpownlOI t\U'S;Jltl! ecn g 1- - b(f:.lI- \,] .,op .:Ip 1=)/ - x + bp .... , os ~ rpun7>s q ..• pd- = Ipb opwo.(rIl!lSOS

Xp,b Á

o -

,(pb

+

'0 - ¡(p ).1' rb + bp \p d

,."i =:p o8;In_t:o Á

ca

'pd ... (pb·~

O - t(l"P)tI + 11' J.p b

UOJ

= Id

lY1 - sb J.OlA(OOlI ·tl

',0NOl'l SlUN31:>14aoo

NO:> NaUlIO

ocsooas

.1.

tWWUd 1::1 ~

:a1'oow ~p$)~ 'eb

S318VlllV/\

"

(:)/ xp b;l Á

= Ipbopa>.(n,!""S

',o>xpd-

·....0

o~"fC)QI

'-,--IIp

O - (:1/d - b.J ~ft"J

'pb +:nl :0 _ xpd +.(pb __

0-

",

'(:)'4> + (=)'4>.. - (=,r" + (,)/,.. - _ Á

>puop

'O=ZP ~ u~lCn:»

')X _11

ao S3NOIJvro3

,O 000.13",

SSl

ECUACIONES

DE SEGVNOO

Se OORsKkr&ñ primero

ORDEN CON COEFICIENTES

VARIABLES

289

el USlema

4' dy • (l.

P)(Ú

9(1 • 91,q Jp • (l.

O

•

pI' d. dq • O.

=

Oc la pnmua ecuaci6n.pd;x + qdy -- -d~~auOftCC:S. J:: _ -d,x y.'( ... ;

La suslitUOÓD de'l4y __

d

(1 ..

p)t.tf en la secunda da lugar a

-t 1 • 91dp • (1 • p)dq • O . __ l· p • b. Luego de h~ que se obtiene l'q

I'p -• ICA ¡'q

+-

.e)es una integral in.tertnedia.

Con5k1~rese ahora el seterna (l.q)dy

jo

(l.

q(l • q),q dp • (l'

p)úx

• O

PI' a. dq • O.

De 1, primer .... pdx + qdy = -(dx + d)') de forma qUt d: _ -(dx + dy' Y x+-)1 +: _ D. la sustitUCIÓn de (l + q)d!' - -(1 + p)dx en la SquncU pcopotcio". -qJp + (1 + p~ = O que .. sa.m_ po< I +p. I +p . -- b. Luqo -= t(x + y -+ :) c."S una lt1tc-paI Intcrmcd.~ q q

Ioaón P d.< + q d, _ d: .. ""'"
'Id"

(a-Ilá:.

dJc • _ dx+dy+tb

+

lad. • -/(d.·,q.

tbt .. th

o

y

fez .. :)

g(z+y+.)

Jl.

á:1 • c(d.. á:1.

.f/:J.s.c ..... y+t)

+rp,(X

.. l)

Las ecueceees de Monge son xq'Cdy)2

.. 9(z+z+2px)d:r:dy+

Y

(z

Cl"p){%+px)(tú)'

-.1[zq',q dp •

(l.

•

p)( •• P'Id< dq

+ (z.¡n)dx}

Cl"p)dx)(xqdy

[qay.

1- (l. PI"

(z •• la.

O

•

,q , o.

Considérese. en primer Jugar. d sistema

,,q •

ex -

l)Jl.q2'cly

dp .. (1" P)(:.

Delapnmera«uaci6n.pdx + qJy : • o - x en b lquoda . se tiene 1)

=

(l'

p)d. • O

pz)( .. _ .1). dq _ (1 .. p)Q2 (1 + =lQ dy • O.

-(Ú:enlonccs.J:

- -dx'lx

+::

=

O.Sustiluyc:odoqtl;r

- (2:< - o);.tq dp + (1'r - a)ta - x ... p."r)dq + (1 + p)qa dx

=

,'ItIx.

-(1 ...

= O.

Par .. resolver esta ecuación considérese: x corno una CONtante. de: modo que dY .. O. Entcnces, IJ se redeee - fz', - .)xq dp + (l.>: - .)(a - > + px)dq _ O. de doadc _'(q dp - p dq) _ (a _ x~ _ O Y

·'liP'"

Q -

q

X

- ~(x). Para determinar

"f.\') se dirercnci:u'li esta

q(.dp+pd.-d.) y se obliene

De

I~

.q dp .._ .... xq..." - itP...,

•

zpdq , q•dp - "d.

12.-0)(0_zl'*l.

"'0" _"

relación.

q'#

_ (.p.e_.)dq.

• qa. •• dq _ .dq •

(I'plqcd.

•

(• _ .. >..... -'_

plqod< • h_.

(1 •

I

290

DE SEGUNDO ORDEN CON COEFlOENTES

ECUACIONES

VARIABLES

b

(l. p)qa

(. _ .a:}cIq

2._.

24-

2<-.

1/;p

Así, pues,

-t

M

Q -

.!J!...!!_

•

q(2x-o)

I(x

Y.

y

--b

+ z)

es \lnl

¡nlta,..J

Inlcnncdia.

q(X-.t)

ahora el ""tema

CoIl$Klétese

.. /(6. .:).

6

2<-0

xqdy C.a_:).aq1:dyd;p.

(I

._ ex. px)rJ..

o

•

P)q'(.a: .. :)cú: dy ..,

(l.

.. P)(z+pz)(%-¡)cúclq-

o.

IX la primera CCWIOÓo. pdx .. fdy - -z""'x: eeteeees, ti: -(: .. pxldx. : - o/x en la ICIUnda se timo

-xqt.' - .)dp .. xii .. p)(x' - .)dq ..

11)

x como una ecnsteete.

Considerando

esta relación se: halla q dp - (1 + p}dq -

+ p)dq

en q d¡1 - (l

~.$(a se convierte

..• )
(1 .. p)q(.r'

• "'C,\'). De

.,., O Y se tiene!...!..!!

e

q


mknlras

que de 11)q dp - (1 .. p)dr¡ .. (1" P)29(1C

..

a) cú.

se. ---.) b 2
Lueao

x

•

y

I.p

__

o

Resolviendo

d, • p ~ ..

1-:, dx xC -/

7'

4>. IX

Aquj

R=3.

!.si.

Inlcnnedias

.. _1_ 'B-/

+:} • 4>,(.<:)

s-r-v-i. v. rn. UY

sctucicnes

'A.1Ud, + Táx + Udp.

y

J....U 4y

es

inLtgnl

UN!

p •

se ha'!la

dy de donde

-9;

f - 'B

.,-f

-lD.x+ln(x'_o)

.lah •

intc:nncdia.

9 • _1_:

y

lucIO

'8-/

/ex ..z)(cú ...d:)

+ á., ..

.. 1C,Cx:)dl.

:,(]/;l)~

pedócJa.

1ue80

• A' • >.. - 6'

de: 10$ sistemas

[véaese

O

Al • 2.

y

las ecuaciones

A.7;. -3.

)9»)

o.

Rdy • >,Ud.

• Ud;¡

dx » dp • O.

Rd)< • >,Ud.

• Ud;¡

2áy .. cbt + dp

+ Td. • Udp • -3d)<'

.. )

es l. solución

¡f>..' • SU>... Se buscarán

¡(xz)

q(x_

las dos intevalc$

q'¡~ •

~

A$i.

f

lay...

,

3b

3dy&;

3dy

-+-

• d;¡

O

2rb .. áq •

o.

Od primer sistema se llene 2)' + x + p = 11. 3y - 3% .... f - b: lsi~pucs,. P + 2)' + ~ a 1(41 .... J) - )x) es una integral in.tetmedA-. Del sq.uDdo StSUmI se licoI: - 3y + .x + p _ c. ly .. 2.r + q = d: hqo p - 31 + .x _ t(q + 3J' + a) es una inlqraJ Intermccba. Como q aparece en d a"JUmento tantO def como de lo ao le podri resolver. como antes. para P 'Y q. 'Y I'M) se'" posible hallar una solución Que: col'uenp dos (unc:iooc:s .rtNtranas. Se dan dos soluecees que contienen ccesaames artiitnlnas. Sustüuyendo p

+

fa

runción

Irbl1rana

2}' .. X - .(q ..

3y -

1de: la )x) +

primera

P

integral

O biee

iotcnnedi.

por (t(q + 3y - 3x'

p - ~ - (:lo - 2)y - (3.

+

+ ,.

1,.. +

P

se obtiene

tCUACIONES

§; luego

.1). ....

l

•

~

291

VARIA8lES

o.

/3

se halla

dz

•

'(3u.2 ...a.+l)x2

-

ORDEN CON COEFICIENTES

eS ~ ,. ~ = d: • 1 -a. {3a. - 2)y - (la. + 1)% ...

la que el si$fem~ de lagrange

para

y

DE SEGUNDO

... (~-~+fJ)x.

7)

'"

,(3Q?(l .. I)~%

-

y

...,8)x."f,l.

+ (So.y+3Q..2x_2y_2o.x

luego r - !(ht - Stl - l...r + (la - 2)xy + ~ + 1'1()' + 0:.,,") es una solución que contiene una (ul)Ción arbitraria y dos constantes arbitrarias. Sustituyendo la función \!;,bitr.ttia gfq + 3)' + 2x) de la segunda integral intermedia por la función lineal )'(q + 3y + 2x) + 6 Sé obtiene p - 3)'

+

x _ 1(q + 3)' ... 2x) '1'"

=

para la que el sistema de Lagrange es ~ : ~ 1 --y y ..

yx ,.~;

dz. •

luego

1 .. - *(3)'2+)'+I)X

t

Luego

18.

l

Aquí

(3'){+3f'tb)X'"

i(3y2 + SI' _ J )x2

:

Resolver

~

R=xq.

v%~' .. SU)\.

S=p+q.

que ninguna

lo

primero

el sistema

ahora

[

+~

I)x

~.

dy,

1

-y

se deduce

8

.. [Xl"

U=xy_l.

también

es uea solución

O.

luego

V.. -pq;

+ TR .. UV = (xy _ 1)'2)..2 + (p. q) (xy _ l)A

de 1<1$ ecuaciones

Considérese

l)x

.. Sx + tp"J(y +')"x)

-pdy Cónsidercsc

De

dI. 3{')'+1)yt{2Y-l)xIS

.. (xY-l)(rt-s2) T=yp.

11)' + e2y -

1].

.. 3(')' .. 1)xy

(p .. q)$ .. ypt

xqr"

+

y

3{y .. l)y .. (2')'-

1

p - l'q = 3(,.

de donde

+ pq

=

+ yp
y

O

=

Al

= x,/-1 ~.

O El sistema

+ (xy _ I )dq

%qdy-q
A.,

-p

=~.

no es integrable

ya

= O

es integrable.

el sistema

+ yp

- q dp

11"

+ (X)'

-

I )tlp - 0,

xq d)' - p dx

+

(xy -

J)dq = O.

Multiplicando la segunda ecuación por y. sumando la primera y dividiendo por x)' - I se obtiene q dy + dp + )' dq O y así p + yq o. Ahora. multiplicando la primera ecuación por x, sumando la segunda y dividiendo por X}I - 1 se obtiene p d.'( + .Y dp + dq O 'j asi xp + q = h. Sin embargo. la forma de la integral intermedie resultante xp + q fÓ'(} + p) o bien yq + q g(xp + q) no permite una solución conteniendo dos functo»es arbitrarias.

=

=

=

=

=

Para obtener una solución que contenga una función arbilraria y dos constantes arbitrarias se sustituye + P en la primera forma de la anterior integral intermedia y se oblie.nt

f()'q + p) por la función lineal a::(yq + p)

(x - .)p

+

(1 - .)')<¡

= {lo

00
d, : -' (J

Inex - «) + In(1 - ,:t)') .... In {. de donde (x - «r(J tiene e - p ln(x - a) + 11. Así. pues. la solución es

= {, y dc los miembros

0

0

Ir

,=p

In(x - .)

IX}')

+ 4>[(x -

De los dos pnmeros miembros se deduce

.1'(1 -

o

.y)).

o

primero

y tercero st cb-

292

ECUACIONES

DE SEGUNDO

ORDEN CON CO€f'ICIENTES

PROBLEMAS

19.

PROPUESTOS

r •• ,

$01.

J

110. , • -

22.

xr - P • O

23.

sr • P .. l/x'

lA.

)'1 _

!S.

l' - P • ",'

r'I.

...

tlt

,.

I

.'

sen(x)')

+- ~(J')

,

..

tPt (y)

J

.. x t

.1

.4>1(1)

3,.'

,

• y 4>,(%)

J:

..

t/J, c.. -

+- 4>7(.%) ... %'-,1

la '1

+ tP,(.}') - sen (Jty) .. 4>,~)

y)

.. tt.,()')

·q"C.'-y')

1 ..

senCq)

+- 4>7(1)

~-Yt/>l(X)

.a .. 1

...

lnx ...
, .. ,'4>I(X)

SCft(xy)

i~J7 3(.')' •• 1'> ...

,eP,c.) ....p~(1) •

1"

q • 2...' y

• ~(1)

1 (7)

:. • ~(%)

1I.

VARIABLES

-

... .ry'

+-

+~O')

4>sC,I'y)

1 .. ~l("/l)

Xrt-Y

;x'e'

+- ~.(X)

+- :x'2,1

'" 4>,(1)

+- %2,2 ... JI"

TRANSFORMACION DE LAPLACe 31.

6,. - • -

f

..e,. -X)I"

-

SulCtenc1a :

:u. lS.

l6.

+y

Háp.s.e x

_

xy _

Il.

»sr>

(.1'2 _,.'),

,_2, .. r+p_q:< ",2(r_2s

I,()

+-

-X)'t

py_qx

eX(2y_3)

_

X

y(p_q)

+ )' =_

e

-

Z

ti.

P

(,-I)r - (/-1). '1(1-1)"

Su.,cl'cncia: 'remese 37.

.x

18y -

..

-q'

1"

rI1. (Jt

$q/,

J"


$DI

¡

Sol.

• y)

• q"czy)

-

.t -

27<'"(1-1>'

2(,%2 _ yt)

c.,

..

dI.t.

, , ,¡

-+ (x .. y)y2eb'

y ) ... tf;,.Cy/r.) - Xl

S<>/.

u. y.= tt. '"

T ... ID"

yt

SOl.

METODO DE MONGE 1.L: p • 'i>(z).

s.a.:

%

.4\(:)

t

4>,(y) +- ~x

293

ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON OOe .."1C1ENTES VARIASl..ES

39. ,-3s

-IOt

-:-3

1.1.:

p.2q'

S.G.:

~

,11'S.l • ,f.,(y-Z,l

1.1.:

P'

q'¡'(:).

1.1.:

p-q.I/I,(,..:.).

S.G.:

l

'Z.

'¡'.Iy·$
~f(JI.+-:')

1. l. :

.u.

~

1.1. :

3)' ~ 1.x -p

ser..

z.2x

2r_$$~2t

.. (r'_$~)

f(5'1' 7x-Q), 52'

2)

: .Qj(1·fJ._(a"J')2·~1.(Y.o.:x)

.. p =-/(Zy

."t-(rt-s')

11

3]'1' 4.a:-p

•

yr-ps.t+y(rr_f')

.. 4.s .. q).

3.-Q).

1:_1

.. y).

'1p+r-:f(q

xp"y.

{l:- p

/(yq

4J"t2l:

11

• ry

x,
. y , 4-,1').

p,.-q",")(.t)) 6,(X'y)

2-p

2>< - : )

y <1>. 11' 2x -:1 •

6 (S,. ~ 3. -q) ,

o : ~2:r ".,.,.~

5'1 i Y

..-2)'"X

d>oC7'

'1

O

.. JI.).

.. I _ pi¡

Sol.:

b -:1

-6a·4>t(Y~y.r)

.. p -:~g(2)' .. 2x.q)

3

i or»

xcr _ (x .. y)s _ ypt .. Ay(r r _ ,2) I.T.:

t

·,p,ll-b.

s-4

2y+oh

3r-w

1)'

-2o.t -px.4>¡(y+-a.x)

SOl.:

1.1.:

47.

e

.. 3.)'t

t.J.:

1.1.:

46.

'2

S.c.:

.!...:.l • .¡,¡l'

S.G.: ••

p-5q

: .. _')'%2.h.a:_.z2_4zJ'_7'·~(J'·Y.)

Indice Amortiguamiento, factor de. 134 Aplicaciones. ñsicas. 49.133,178 geométricas. 4J. 75. 133. 178 Aproximación numérica. 1$(.

Arbitraria.

constante. función. 232

Auxiliar.

1. 78. 23 L

sistema. 239

Bcl'f\ouilli. ecuación.

35

Bcssct. ecuación, 222 fúnciooes.222

Campo de direcciones.

8

Caracreristica, ecuación. ralcescomplejas. 83

reales disüntas. 83 repelidas. 83 Cauchy. ecuacién fineal, 108 método, 247 Circuitos eléctricos. 57. 1).6

Clairaut. ecuación, 62 Coeñcierues indeterminados, método de. 93 Complementaria. función, 79. 257.

266 solución, de ecuación dl-

ferencial ordinaria.

79

entre derivadas parciales. 240.244 Condiciones. para ser. exacta. 24.

165 integrante. 164 para independencia

Determinante. Diferencial

lineal. 18

ecuación. 20~

rotal, ecuación.

Ecuación

Existencia. teorema, 7 Extraños. lugares geométricos.

C. 69

diferencial.

'64

68

de Bemcuilli,

35 dé Besset, 222 de Ctairaut. 62 de Gauss .. 223 de Legcndre. 220 ucear. 108 de primer orden, grado superior. 61 primer grado, l2. 24, 35 exacta. 12.24, 123 generalizada de Clalraut. 246 homogénea, entre derivadas parciales. 2SS ordinaria. 15. 78. 82 lineal, de orden n. 78. 123

dé.' primer orden. 13. JS

Charpit,

Completa.

Discriminante

de: segundo orden. J 1I entre derivadas parciales. de orden superior. 276 de primer orden. 236 no homogénea. entre derivadas parciales. irreducible. 268 reducible. 265 no lineal. entre derivadas parciales. 244. 280 parcial. de orden superior. con coeficientes. constantes.

Fracciones parciates, método de. 88 Función. complementaria. 79. 257. 266 de Bc$scl, 222 homogénea. IS

Oauss. ecuación de. 223 Generalizada.

ecuación de: Clairaut,

246

Hipergccmétrica. serie. 223 Homogénea. ecuación. 15 lineal. 78. 82. 255 función. 15 Hooke. ley de. SS

Infinita. serie. 197 Integ.r:tl. curva, 7 Inle~nle. r~c-tor. 12.2-4 Intermedia. integral. 280

KUU:l Simpson, método de. 188

255.265 variables, 276 de prhuer orden, 238 sistemas de. 151 solución. mediante series. 197 numérica, 186 total. 164 Exactas. ecl,l:tcion<..'$.12.24. 123

295

La8(al~ge. sistema. 239 Laplaoe. transformación

de. 278

Legendre. ecuación. 220 lineal. lOS polinomio. 221 Lineal. ecuación diferencIal entre' derivadas parciales, 238.216

296

INDJCE

LanaJ. ordinaria., eeu:aaón dlfCfcn~ ct.al. con intqraJ panteu.lar

_.123 ck orden n. 78 d. primer ",den, 13. 35 Lugares gtOO'Iét.rteos cxtral'los. 68

Operador. desc:omposbón c:n factores €k tipo, 112 Or
Mécodos abreviados, de ecuacién dlferencial,

entre

derivadllll

134

Newtoo. ley ck mfriamienro ée, SI k1unda ley de movim~co de, 49

No bom~

entre deri vadJJ. 1.231 hrlieu.lar. integr"'I, 79, 257. 266 solución. 1 Picud. método do. 116 Pnmera dc:tivada. mhodo de la. 181 Primitiva. I

ecuacióndircren·

eial lineal entre derivadas

par-

cíates, irreducible, 265 reducible.

268

No lineal, ecuación diferenCIal entre deñvadas

69

ParclaJa. ecuac10nt$ dlfuenc,ales

ordinaria. 99 MonF. método de, 280

Movimiento armónico.

p. discriminante,

Parámetros. variación de, 93

pa (ciaJes. 266

Sepal"ac:ión de ~anaNes. 11. IS Serie. hipe¡lf:Otnéctic:a. nJ solución mc'CIiamc. 197 Taylor. 181 S.muIl3nc35.. tcu:actono. 157 Su\,gular. punto. 199 solución. 7.67,244 Sistemas de «;u"c10~. Ij7 Solución. general. mpkta. 19. 2-'0. 244 ¡:oneraI. 1. 2J8 IlloOdiante.m.s. 197 _ocular. 7 $InguJar. 7. 67. 2+4

parciales,

244, 280

Reeurreecia. fórmula de, 191 Redcccién de orden. 122 Regular, punto singular. 206 Resortes. 140 Ruoge. metodo de, 188

Taylor, serie: de. 187 Traycctonas. 4)

Variación. de paramecroll. 93 Vigas. 134

Los textos de la serie Schaum se han convertido en clásicos, por estar a la vanguardia en el estudio, y por ser una inestimable ayuda para el alumno a la hora de adquirir un conocimiento y pericia completos en la materia que se aborda. Cada capítulo manera:

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