Ecuaciones Diferenciales De Ricatti

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS                                                       

   

ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICATTI   

dy = P ( x) y 2 + Q ( x) y + R ( x)  o en su    dx forma equivalente y ′ = P ( x ) y 2 + Q ( x ) y + R ( x )  En la cual si se conoce alguna raíz S(x) del  polinomio de segundo grado en y (una solución particular) de esta ecuación, entonces el  1 cambio de variable: y = S ( x ) +  transforma la ecuación de Ricatti en la E.D. lineal  z   Este tipo de ecuación diferencial tiene la estructura:

en Z de primer orden 

dy = A (x) y2 + B (x) y + C (x)  dx

  1) y ′ = y 2 + 2 y − 15; S( x ) = 3  

.c om

1 1 1 ⇒z= ⇒ y′ = − 2 z ′   z y −3 z

a1

Realizar el cambio de variable:  y = 3 +

2

1 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ z ′ = ⎜ 3 + ⎟ + 2 ⎜ 3 + ⎟ − 15   2 z z⎠ z⎠ ⎝ ⎝

ic

Hacer las sustituciones correspondientes  −

at

Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación lineal. 

m

z′ + 8 z = −1  

at e

Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante:  P( x ) = 8 ⇒ Q( x ) = −1 ⇒ FI = e8 x  

M

Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable 

ww

w.

1 1 1 1 z = − + ce −8 x ⇒ = − + ce −8 x ⇒ y = +3  1 y −3 8 8 −8 x − + ce 8 2) y ′ = y 2 + 6 xy + 9 x 2 − 3; S( x ) = −3 x   Realizar el cambio de variable: y = −3 x +

1 1 ⇒ y ′ = −3 − 2 z ′   z z 2

Hacer las sustituciones correspondientes:  −3 −

1 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ z ′ = ⎜ − 3 x ⎟ + 6 x ⎜ −3 x + ⎟ + 9 x 2 − 3   2 z z⎠ ⎝z ⎠ ⎝

Resolver  las  operaciones  y  reducir  términos  semejantes  para  obtener  la  ecuación  separable: z ′ = −1   Integrar miembro a miembro para obtener:  z = − x + c   Revertir el cambio de variable  1 1 = −x + c ⇒ y = − 3x   y + 3x −x + c 154       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS                                                            

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3) y ′ = y 2 − 5 xy + 5; S( x ) = 5 x   Realizar el cambio de variable:  y = 5 x +

1 1 1 ⇒z= ⇒ y′ = 5 − 2 z ′   z y − 5x z 2

1 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Hacer las sustituciones correspondientes:  5 − 2 z ′ = ⎜ 5 x + ⎟ − 5 x ⎜ 5 x + ⎟ + 5   z z⎠ z⎠ ⎝ ⎝ Resolver las operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación lineal:  z′ + 5 xz = −1   Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante  P( x ) = 5 x ⇒ Q( x )

5

x 5 x∂x = −1 ⇒ FI = e ∫ = e2   2

dx + c

a1

−∫ e 1 dx  no es una integral elemental.   = y − 5x

e

5 2 x 2

ic

∫e

5 2 x 2

5 2 x 2

−∫ e

e

.c om

Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable z =

5 2 x 2

5

e2

⇒y= −∫ e

dx + c

5 2 x 2

5 2 x 2

 

x2

+ 5x   dx + c

at

NOTA: se acostumbra, cuando la integral  ∫ f ( x ) ∂x  no es elemental, escribir como 

x0

5

m

0

e2

 es una constante así:  u =

at e

∫ f ( t )dt   Donde  x x

x

−∫ e x0

x2

5 2 x 2

⇒ y = u + 5x   +c

1 1 1 ⇒z= ⇒ y′ = − 2 z ′ z y+5 z

ww

y = −5 +

w.

M

4) y′ = y 2 + 4 y − 5; S( x ) = −5  

2

1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ − 2 z ′ = ⎜ − 5 ⎟ + 4 ⎜ − 5 ⎟ − 5 ⇒ z ′ − 6 z = −1 ⇒ P( x ) = −6 ⇒ Q( x ) = −1 ⇒ FI = e −6 x   z ⎝z ⎠ ⎝z ⎠ 1 1 z = + ce 6 x ⇒ y = −5 1 6 6x + ce 6 5) y′ = y 2 −

y=

1 25 5 y − 2 ; S( x ) =   x x x

5 1 x 5 1 + ⇒z= ⇒ y′ = − 2 + 2 z ′ x z xy − 5 x z 2

5 1 9 9 ⎛ 5 1 ⎞ 1 ⎛ 5 1 ⎞ 25 − 2 − 2 z ′ = ⎜ + ⎟ − ⎜ + ⎟ − 2 ⇒ z′ + z = −1 ⇒ P( x ) = ⇒ Q( x ) = −1 x z x x ⎝ x z⎠ x⎝ x z⎠ x

 

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∂x 9 x x x 1 5 FI = e ∫ x = x 9 ⇒ z = − + cx −9 ⇒ = − + cx −9 ⇒ y = +   x 10 10 xy − 5 − + cx −9 x 10

6) y′ = csc2 x + yctgx + y 2 ; S( x ) = −ctgx   y = −cotgx +

1 1 ⇒ y ′ = cos c 2 x − 2 z ′ z z 2

1 1⎞ ⎛1 ⎛ ⎞ cos c x − 2 z ′ = cos c 2 x + cotgx ⎜ − cotgx + ⎟ + ⎜ − cotgx ⎟ ⇒ z ′ − ( ctgx ) z = −1 z z⎠ ⎝z ⎝ ⎠ 2

P( x ) = −ctgx ⇒ Q( x )

 

cos cx − cotgx − ln cos cx − cotgx + c

.c om

y=

− ln cos cx − cotgx + c = −1 ⇒ FI = csc x ⇒ z = cos cx

 

a1 at

2 1 x 2 1 + ⇒z= ⇒ y′ = 2 − 2 z ′ x z xy + 2 x z

m

y=−

2 2 2 y + 2 ; S( x ) = −   x x x

ic

7) y′ = y 2 +

2

M

at e

2 1 2 2 ⎛ 2 1⎞ 2⎛ 2 1⎞ 2 − 2 z ′ = ⎜ − + ⎟ + ⎜ − + ⎟ + 2 ⇒ z ′ − z = −1 ⇒ P( x ) = − ⇒ Q( x ) = −1   2 x z x x ⎝ x z⎠ x⎝ x z⎠ x x 1 2 = x + cx 2 ⇒ y = − FI = x −2 ⇒ z = x + cx 2 ⇒ 2 xy + 2 x + cx x

ww

w.

8) y′ = y 2 + 8 xy + 16 x 2 − 4; S( x ) = −4 x   y = −4 x +

1 1 1 ⇒z= ⇒ y ′ = −4 − 2 z ′ z y + 4x z 2

1 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ −4 − 2 z ′ = ⎜ −4 x + ⎟ + 8 x ⎜ −4 x + ⎟ + 16 x 2 − 4 ⇒ z ′ = −1 ⇒ ∫ z ′ = ∫ −1∂x ⇒ z = − x + c z z⎠ z⎠ ⎝ ⎝ 1 y = −4 x + −x + c     9) y′ = y 2 − 2 xy + 1 + x 2 ; S( x ) = x   2

1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⇒ y′ = 1 − 2 z ′ ⇒ 1 − 2 z ′ = ⎜1 − ⎟ − 2 x ⎜1 − ⎟ + 1 + x 2 z z z ⎝ z⎠ ⎝ z⎠   x 1 x x 1 1 1 1 2 2 2 1 − 2 z′ = x + 2 + 2 − 2 x − 2 + 1 + x ⇒ 1 − 2 z′ = + 1 ⇒ − 2 z′ = 2 z z z z z z z z y = x+

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multiplicando por − z 2 ⇒ z ′ = −1 ⇒ ∫ z ′ = − ∫ dx ⇒ z = − x + c se despeja z de la ec. y = x + 10)

  1 1 1 1 ⇒z= ⇒ −x + c = ⇒ y= +x z y−x y−x −x + c

dy 4 1 2 = − 2 − y + y 2 ; S( x ) =   dx x x x

y = S ( x) +

1 2 1 2 1 ⇒ y = + ⇒ y′ = − 2 − 2 z′ z x z x z 2

at

em

at

ic

a1

.c om

2 1 4 1⎛2 1⎞ ⎛2 1⎞ 1 3 1 − 2 − 2 z′ = − 2 − ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⇒ − 2 z′ = + 2 x z x x⎝ x z⎠ ⎝ x z⎠ z xz z 3z 3z 3 multiplicando por :( − z 2 ) ⇒ z ′ = − − 1 ⇒ z ′ + = −1 ⇒ P ( x) = ; Q ( x) = −1   x x x 3 dx x4 c F .I . e ∫ x = x 3 ⇒ zx 3 = − ∫ x3 dx + c ⇒ z = − + 3 4 x 4 2 1 x x x c 1 2 si y = + ⇒ z = ⇒ =− + 3 ⇒ y= + 4 x c x x z xy − 2 xy − 2 4 x − + 3 4 x

ww

w.

M

dy = y 2 + 2 y − 15; S( x ) = 3   dx 2 1 1 z′ z′ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ y = 3+ ⇒ z = ; y′ = − 2 ⇒ − 2 = ⎜ 3 + ⎟ + 2 ⎜ 3 + ⎟ − 15 z y −3 z z z⎠ z⎠ ⎝ ⎝ simplificando ⇒ z ′ + 8 z = −1 ⇒ P( x) = 8; Q( x) = −1 F .I . e8 x   1 1 1 1 z = − + ce−8 x ⇒ = − + ce−8 x ⇒ y = +3 1 y −3 8 8 −8 x − + ce 8 11)

      DAMASO ROJAS  MAYO 2012   

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