Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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M. DE GUZMAN Ph. D. (Mothemotics),The Universilyof Chicogo. Doctor en Ciencios(Motemdlicosl,UniversidodComplulenséde Modrid.

ECUACION DIFERENCIA ORDINARIA Teoría de estabilidad Y Control UI]IV.ERSIDADDE LA REPUBLICA FACI-;iTAD DE I}.IGI]NIERIA DEPAIiTAI\,IEiI']]O DE j]IIiLIOTECA DOCU.l'VIHi'.'ir\CION Y

Bl;r-if-¡rl-ii DE: / H€ 81t Ne DE iNVEI'irARIo: 6

Eo s'lz

Primera edición, 1975 ALHAMBRA'S. A. EO¡TORIAL B. E. 182 Madrtd-1.ClaudioCoello' 76 Dalegac¡ones: EnriqueGranados'6l Barcelona-8. Bllbaol4. DoctorAlb¡ñ¿na'12 Málaqa.TrinidadGrund,17 Sevilia-12.RelnaMercedes'35 i/alencta-3.Cabillers'5 México Ed¡t¡aMexicana,S. A. Méx¡co.Lucerna,84 ' DesP.f Bep. Argentina Ed¡tor¡alSiluetas,S. A. SuenoCntres. EartoloméMlt¡e' 37¡15/¡t9 Perú Edit¡aPeruana.S. R. Ltda. Lima. José Daaz,m8 n c 0523$50

@ Es propiedaddel autor. Reservadostodos los Uerechos.

lsBN 84-205-05544 Depós¡tolegal: M. 20801'1975

lmpreso en España'Printed in Spain

(1975) SeteccionesGráticas' Carretüa de Infn, km' 11'500' Madr¡d

Dedicdo a Mmía Luisa, mi mad'te,

IN DI CE GE N E R A L

Capítulos

Pdg¿t as

VIT

PRóLoco Origen

y

evolución

de

Ia

ecuaciones

de

teoría

diferenciales

Los orígenes, l. De ñnes del si8lo xvlr hasta el si8lo x¡x, 4, La primera mitad del siglo xrx, 18. La segunda mitad de¡ siglo x¡x y comienzos del siglo xx, 24. Algunas direcciones contemporáneas, 27. M é t o d os

de

i n te g ra ci ó n

...

30

...

Significación geométrica de la ecuación xr(t)=f(t, ¡(t)), 31. Ecuaciones con variables separables, 35. Ecuaciones exactas, Facto! integrante, 37. Cambio de variables, 44. Ecuación lineal, 47. Desarrollo en serie. Método de la mayorante, 49. Aprox¡mación numérlca, 55.

Teoremas

básicos

para

la

teoría

Teorema de Ascolí-A¡zelá, punto fijo, 75.

4

Existencia, parámetros

unicidad y valores

59.

de

la

59

existencia

Ap¡oximación

y prolongabilidad iniciales

de

de

funciones,

soluciones.

70.

T€oremas

Dependencia

del

de

85

El problema de Cauchy. Solución global, 86, El problena de Cauchy. Solución local, 96. Prolongabilidad de soluciones, 103. Lema de Gronwall. Dependencia de parámetros y de valores iniciales, 107. Diferenciabil¡dad respecto de parámetros. Teo¡ema de Peano, II2. Inecuaciones diferenciales. Teoremas de unicidad, ll7.

5

Ecuaciones

lineales

f28

Teorema de Elementos de análisis matricial, 128. Teoría espectral elemental. Jordan, 138. Ecuaciones lineales, 158. Coeñcientes constantes, tó6. Ecuaciones periódicas, 169.

6

Teoría

de

estabilidad.

IIIétodo

de

la

prinrera

aproxirnación

...

...

...

173

Noción de estabilidad, 173. Estabilidad de ecuaciones lineales, 177. Algunos criterios de estabilidad aslntót¡ca, 182. Estabilidad de soluciones de ecuaclones no Iineales, 188. Un teorema sobre estabilidad orbital, 197, Teoría

de

estabilidad.

El

método

directo

de

Lyapunov

2Ll

y estabilidad uniforme, Esrabilidad 212, Inestabilidad, ZZ0. Estabilidad aslntópara ecuaciones lineales con coeficientes tica, 223, La función de Lyapunov para lineales con coeficientes variables, constantes, 227. Estabilidad ecuaciones 230. El problema de Aizerman. El problema de Lurie, 233.

a

Introducción

a la

teoría

de

2r7

control

Sistemas de control, 237. El ambi€nte de la teorfa de controlr 240. Los métodos p¡üa un de üempo mfnimo de la teorfa de control, Un eiemplo. Control Zl. tren sin fricción, 243. Formulación del problema general de control de un slstema regido por ecuaciones diferenciales ordina¡ias, 249,

vtl

vi l l

INDICE GENERAL

Cepltulos

9

Págttras

Control de sistemas lineales. El principio de rnóximo de Pontryagin ... Un teorema de existenciay unic¡dad, 251. El teorema de Lyapunov, 252. El principio

de máximo

de Pont¡yatin,

25L

264.

l0

Sistemas lineales. Control de tiempo óptimo. Principio de bang-bang .., El coniunto accesible.Principio de bang-bant,272. Existenciadel control óDtimo. Principio de máximo de Pontryagin,277. Vr eiemplo, 281.

271

ll

Control de sistemas no lineales. El principio de máximo de Pontryagin. El principiode máximo,286.Demostración del lema ll,l.2, 291,

286

Bibliografía

297

Indice de ¡naterias

299

P B OLO GO

ul¡J\.ir1-l5nAD DE lA REPtiBtIef, lr r':i]l'llillllA F/!r.) :l,,Ti1r-i ll;-: i .i, to llli ' D l i P . 1 ) : 'l ': r :11'lr-)i'i \: B l l::I' IOTECI DOCLTII i':li'l' UitUGUAY IvIOliT'E\¡IDjlO

El presente trabaio está fornmdo esencialmente por eI curso de ecuaciones diferenciales que he oenido impartiendo en la Unioersidad Complutense, duronte uarios años, para alumnos de tercer curso de Licenciatura en Matemáticas, Tras un primer capítulo con algunas notas históricas sobre Ia euolución de la teoría, la obra contiene tres partes bien diferenciadas. La primera de ellas, capítulos 2 a 5, constituge el cuerpo básico de Ia teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención principal que me ha guiado en la selección de materias ha sido Ia de ofrecer algunas técnicas básicas para éste g muchos otros campos del anáIisis nzatemático, tales como teoremas del punto fiio, inecuaciones diferenciales, teoría espectral, etc. Es cierto que muchos resultados en la teoría de existencia g unicidad de soluciones podrían obtenerse por métodos más económicos que los utilizados, pero pienso que es mucho más importante para la formación del estudiante de Matemáticas Ia familiarización con técnicas que han llegado a ser fundamentales en el anáIisis actual que eI mero conocimiento de resultados. La segunda parte, capítulos 6 g 7, contiene t¿na introducción a Ia teoría de estabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, He escogido urTos pocos teoremas bcisicos, tanto en el estudio de Ia estabilidad mediante la primera aproximación cotno ntediante el método de Lgapunou, para dar idea de las técnicas más itnportarxtes para el estudio de este campo, que está recibiendo actualmente un desarrollo tan notable gracias a los esfuerzos de ingenieros g matentáticos. La tercera parte, capítulos I a 11, se dedica a uno de los tenns de ntás interés práctico g teórico en relación con las ecuaciones diferenciales ordinarias, la teoría de control. De fumdamental alcance en la tecnología actual presenta problernas ntuA estitttztlantes para eI matemático. El desanollo que aquí se ofrece de los resultados más irnportantes de Ia teoría, eI principio de Pontrgagin y el príncipio de , euita totalmente las técnicas auanzadas de teoría de Ia ntedida g del análisis funcional, requeridas en casi todos Ios textos actuales de teoría de control. Con ello, estos capítulos sobre control, así cottto los de estabilidad, son asequibles a todo estudiante de ingeniería con una mítúma base matemática. No se ha pretendido en tnodo alguno elaborar un tnanual de aplicaciones técnicas concretes, sino presentar la iustificaciótt de aquellos principios de antbas teorías, estabilidad g control, empleados cotzstantemente en la tecno-

PROLOGO

logía modernq.Es de esperarque un conocimiento mtis profundo de estos principios influga positiuamente en sus aplicaciones. La obra, por supuesto, está inspirada en otrcs muchas sobre ecuaciones diferenciales. Quiero hacer constar mi deuda, en pmticular con las que a contitzuación se citán. (EI nombre de un autor seguido de una fecha entre corchetes hace referencia a la bibliografía que se encuentra al final del texto): BrR¡esnrx |9701, Coon¡Ncror-LrvlNsoN [955], Copp¡,r.[965], HeuN [959], H¡I-ÁNrv [966], Helrln fl967l, Hlnrrr¡eN U9641, Hnnu¡s-LnSlrrr [969], Lrr-Menxus Ll967l, Pnrnovsru [966], Po¡¡rnyec¡N-Borryexsxrr-Geuxn¡rpzrMlscrreNxo Í19621,Srrper.¡ovt1963]. Asimismo quiero hacer constar que mi interés g nti traboio en ecuacionesdiferencialesha estado siempre fuertemente inspirado por las obras y las enseñanzqsque he recibido del Prof. Arssnro Dou, c quien quiero manifestar aquí mi profundo agradecimiento. Agradezco la ayuda que he recibido de los profesores del Departamento de Ecuaciones Funcionales de la Unioersidad Complutense de Madrid, en particular de ]. FonreA, M. T. MiNÁncurz, R. MonryóN, I. PrneL, así como la agttda y estímulo de ntis estudiantes,en particular de l. Roonfcuez Plñeno. Al Departamento de Apuntes de la Facultad de Cienciasagradezcosu esfuerzo e inta'és en el trabaio de edición de una primera oersión de estas notas. Finalntente quiero hacer constar mi agradecinúento a todo eI equipo de Ed¿torial Alhambra. La colaboración con éI ha constituido para núz-arn satisfacción continua. ( Madrid, 1975. M. oE GuzttÁN. Universidad Complutense de Madrid.

I ORIGENY EVOLUCIONDE LA TEORIA DE ECUAGIONESDIFERENGIATES

]CJ U}']I]¿I,íBSIDAD DE LA REPLIBT i-\ ill \ FACrll,il¿ri D;:l lt.jGillll. DljlP.^, l.lrii /r j\1EN,l()

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DOCLrl4EliT'.\Cí()1.í Y FII')T,IOTEC j14ON'-tEVIi)UO - llRU(lr-iAY

Las notas históricas contenidasen este capítulo están en su mayor parte basadasen el apéndiceelaboradopor JuscnKEwlrscHen el texto de W. W. SrrPANovtl963l. Existen textos, como el de Incr }9271 y HenrmlN [L964], que contienen La obra histórica recientede KrtNE referenciashistóricasexactasaisladamente. Í19721contienevarios capítulosdedicadosespecialmentea narrar el desarrollo de la teoría de las ecuacionesdiferenciales. Para aquellos que se introducen por vez primera en el estudio de las ecuacionesdiferencialesparece aconsejableposponerla lectura de esta introducción histórica hasta despuésde haber leído por lo menoslos capítulos2-5.

LOS ORIGENES

Los primeros ensayosde tratamiento de ecuacionesdiferencialestuvieron lugar probablementehacia finales del siglo xvr y comienzosdel xvll, motivados por la producción de tablas de logaritmos.I. Nepren (1550-1617)empleó la siguiente interpretación cinemática en la construcciónde sus tablas:

Se considera sobre un eje 0X un móvil M que en el instante ú:0 parte de A(10?,0) con velocidad - V, siendo esta velocidad u(¿) en cada instante ú proporcional a la distancia de M a 0. Sobre otro eje 0y se considera otro móvil N que parte de 0 en el instante ú:0 con velocidad constante V. Sea r(ú) la distancia de M a 0, e y(t) la de N a 0 en el instante f. NAeTERdefinió entonces y(r) como el logaritmo de r(r), A(t):Lx(t).

Cap. l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORTA OE ECUACTONES DTFERENCIALES

En terminologíamoderna se puede poner: r(0):107, U(0):0,

dxldt: -Vxll9l, dgldt:V,

y, así, dgldx: -I07lx,

r(0): I0r,

U(0):0

de donde resulta: U:Lx: l07log(f0?/r) Las tablas de Napier constituyen,por tanto, una solución numérica, obtenida por aproximaciones,de una ecuación diferencial de primer orden. La elecciónarbitraria de la constantel0? está basadaen la costumbrede Ia época de dar al sen¡rl2 el valor l0?. De esta forma los logaritmos de los senos de ángulos entre 0 y Tl2 eran dados en las tablas de Napier por enteros positivos. En el estudio de problemasrelacionadoscon los fenómenosnaturales ya Gnrrrao (1564-1642)y DEscenres (1596-1650)utilizaron ecuacionesdiferenciales. Al resolver el problema del espaciorecorrido por un cuerpo en caída libre, Geulno (1638)dio la medida de este espacio,s{r), como el área de un triángulo rectángulo de catetos el tiempo t y la velocidad o(t):gt. Por tanto: I

s(t):jst2 DescARtes,motivado por sus trabajosde óptica, enuncióy resolvió en 1628 el primero de los problemasllamadosde irusersíónde Ia tangente,que vinieron a desempeñarun papel muy importante en el desarrollo del cálculo y de las ecuacionesdiferenciales. Dados dos puntos fiios A, B, en el plano, se trata de obtener una curva C que los separe,de modo que si se toma cualquier punto X de la curva y se traza la normal NtNr a ella en X, se tenga:

I.I.

LOS ORIGENES

La solución de este problema, que implica la solución de una ecuación diferencial, fue dada por el mismo Descenrrs en la forma de un óvalo de cuarto orden (óvalo de Descartes),esencialmentemediante el uso del cálculo infinitesimal. Un problema típico de inversión de la tangente es el siguiente, propuesto por F. pr, Beeu¡¡e (1601-1652).Se trata de obtener una curva g:g(r), cuya subtangentes, satisfaga: t-a , Ulst:__i_i es decir, daldx:;

x-u

D¡,scnRreshizo uso de la sustitución x:--:,

xx

A:

,,/2

Y -r----:

- Q

\/2

obteniendo

dY:

dx

ar/2

problema que ya Neprnn había resuelto un cuarto de siglo antes. No disponiendo Dnscenrns de la noción de logaritmo, dio una interpretacióncinemática de las curvas solución, obteniendosus puntos como intersecciónde dos rectas que se mueven. Descenrss manifestó su opinión de que la curva es trascendente (meciínica, en su terminología) y de que no podría existir un método general para la solución de tales problemas. Sin embargo, muy poco después,la solución de estos problemas,que en realidad conducen a ecuacionesdiferencialesque admiten una separaciónde variables, fue reducida a cuadraturas.En L669, l, Brnnow (1630-1677)demostró geométricamenteque las curvas cuya subtangentes, satisface

, t@) s,tU:16 vienen determinadaspor una ecuación que se puede expresar:

I roor:I vo,o,

Cap. I.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

1.2. DE FINESDELSIGLOXVII HASTAEL SIGLOXIX El primer periodo de la historia de las ecuaciones diferenciales comienza propiamente con los trabajos de Nswrox (1642-1727) y LunHz (L646-17I6). Este periodo comprende el último cuarto del siglo xvrr y el siglo xvru. Los problemas que motivaron este desarrollo fueron el estudio de la dinámica puntual y de los cuerpos rígidos, así como ciertos problemas geométricos, conduciendo, a través de los métodos de cálculo diferencial,e integral, a los tipos más sencillos de ecuaciones de primero y segundo orden. En la primera mitad del siglo xvrrr, las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el instrumento básico de investigación de problemas de mecánica, de geometría diferencial y del cálculo de variaciones. Al final de esta época algunos problemas físicos, como el problema de la cuerda vibrante, a{arecen formulados en forma de ecuaciones en derivadas parciales. En la sbgunda mitad del siglo xvltt tales ecuaciones en derivadas parciales encuentran amplia aplicación también en la teoría de superficies. Durante este periodo el esfuerzo se centra en el estudio de métodos particulares de solución aplicables a diferentes tipos concretos de ecuaciones diferenciales. Tales métodos trataban de expresar las soluciones mediante las funciones elementales y mediante integrales de combinaciones de ellas. A dichas integrales se aplicaban entonces métodos de aproximación. Los problemas generales de existencia, comportamiento de soluciones, puntos singulares, etc., no llegaron a considerarse. En este periodo comenzó, pues, a desarrollarse un coniunto variado de técnicas particulares que, con el tiempo, llegó a adquirir una unidad y el carácter sistemático de una teoría. NEwtoN, en Philosophiae naturalis principia mathentatica (1686), resuelve una serie de ecuaciones diferenciales. La trsegunda ley> de los Principia viene formulada así: Así, al resolver el problema del movimiento rectilíneo de un punto atraído hacia otro con una fuerza proporcional a la distancia, Nnwrox resuelve la ecuación

&x *

+k2x:0

Al tratar el problema del movimiento rectilíneo de un punto movido por una fuerza constante,en un medio que ofrece una resistenciaproporcional al cuadradode la velocidad.Npwrox resuelvela ecuación &x ¿ ¡,:n t-" \

ldx\z ¿t )

Por ninguna parte aparecen en los Principic las expresiones analíticas de dichas ecuaciones diferenciales o de sus soluciones. La presentación es puramente geométrica y procede por construcciones: sintéticas. La primera presentación puramente analítica de problemas de me-

I 2.

DE FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL SIGLO XtX

cánica aparece publicada por Eulrn. Sin embargo, el Methodus fluxionunz et serierum infinitmum, que fue escrito por Newrox en 167l y publicado en 1736, contiene ecuaciones diferenciales en forma explícita. En el método de las fluxiones aparecen dos problemas fundamentales: a) rDada una relación entre los fluentes (corresponden a funciones), hállese la relación que satisface las fluxiones (derivadas).> b,)
du\

'\*'''É

)

:o'

en el caso de una variable independiente. El método general empleado por Newrox fue el método de aproximaciones sucesivas, rePresentando las soluciones mediante una serie de potencias de exponente positivo o negativo. Para N¡wroN era natural el hacerlo así, teniendo en cuenta que la solución por cuadraturas conducía a menudo a funciones trascendentes no bien conocidas. NBwroN no se preocupó mucho por dar a sus soluciones una forma cerrada. Así, por ejemplo, propone Ia solución de dg

r,

g

E:";; u:x+

xz

f3

*+

2ar+"'

En general, NEwroN presenta como solución aqueila en la que el término constante de la serie es cero, haciendo notar que añadiendo constantes se obtienen otras soluciones. N¿wrot¡ estudió también ecuaciones diferenciales ordinarias con tres y más variables. Era consciente de que tales ecuaciones permiten imponer condiciones complementarias a las variables. Así, en la ecuación

* se puede imponer, además, x:U

dg

a*

-

dz

a,

+2 :o

o 2A:a+¡, o bien f:x, etc. El estudio de las ecuaciones diferenciales tomó otra dirección con LemNz (el primero en introducir el término <ecuación diferencialr) y los hermanos J.u:on BenNour-u (1654-1705) y joueNN BrRNour-u (1662-1748).Los tres utiliza¡on también desarrollos en series de potencias para Ia resolución de ecuaciones. Pero, junto a este método, introdujeron también los fundamentos para la clasificación de las ecuaciones diferenciales y para los métodos generales para Ia reducción de ecuaciones diferenciales a cuadraturas. Las ecuaciones más sencillas de reducir a cuadraturas son las de variables separables. Los primeros esfuerzos fueron dirigidos a reducir ecuaciones de

Cap. l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

primer ol'den a este tipo. Así, en 1693,Lelnxrz consiguióreducir las ecuaciones homogéneasmediante la sustitución U:uÍ. Poco más tarde, él mismo logró reducir a variables separablesla ecuación lineal de primer orden mediante la sustituciónU:uu. En 1696-1697,resolvieronLrlsNlz y los BrnNouLLI por este procedimiento la ecuaciónpropuestapor ]exon du -l- + P(x)u:Q(x)U" dx.

mediante el cambio At-":tt,

que la reduce a una ecuación lineal.

El factqr integrante fue utilizado esporádicamente por |ouaNn BnnNourr.r (por primera vez en 169l-1692, pero el método no fue publicado hasta 1742). En particular demostró é1, en 1700, que el orden de la ecuación lineal

ao"

ilu

nf;

+ at-t

d"-tu

7;,Jt

:0 + ...+ A,,A

puede reducirse sucesivamentemediante la multiplicación por un factor ÍÉ. Esta ecuación fue llamada más tarde de Euler, quien en 17,10dio con la sustitución, hoy utilizada comúnmente,t:et. La solución de BBnNourLI,sin embargo, no fue publicada hasta más tarde. En 1697, JouaNNBERNoULLIpropuso y resolvió el problema de las trayectorias, para el cual también LnlsNIz indicó un método de solución. Por esta misma época también se obtuvieron las solucionesde algunas ecuacionessencillas,como las que resultan en el problema de encontrar la curva de descensomás rápido, la braquistócrona. Paraecuaciones de segundoordendel tipo l(r, U',U"):0, o bien E(a,U',A")=0, propuso JoueuN BBnnouru el cambio A':Ft, con el que resulta I

f \ *, r , ;

do \

)

:0 ,

do\

/ :0, o b i e n s\a , P ,o - ü )

ecuacionesde pnmer orden. Pero este método fue publicado por él muchos años despuésde que R¡ccerr (1676-1754)lo hiciera en 1715. Más tarde contribuyeron al desarrollo de la teoría los matemáticosmás famosos del siglo xvIu. Particularmenteimportantes fueron los trabajos de (1717-1783)y LncnaNEurrn (1707-1783),Cr.ern¡,ur (1713-1765),D'ALEMBERT c¡ (1736-1813). Eunn utilizó la teoría de ecuacionesdiferencialesen multitud de problemas de mecánica(mecánicacelestey balística,sobre todo), geometríay análisis, obteniendo,a partir de 1732,toda una serie de magníficosresultados.Con EutrR, la teoría de ecuacionesdiferencialesse transforma en una disciplina independiente,con sus dos grandesramas, ecuacionesdiferencialesordinarias y en derivadas parciales. En un trabajo publicado en 1743 presentó EureR el método clásico de solución de la ecuacióndiferencialordinaria lineal con coeficientesconstantes

I.2 .

D E FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL SIGLO XIX

mediantela sustitucióÍrU:€k', que ya había utilizado en otros trabajos,en 1732. Para el caso de raíces múltiples del polinomio asociadopropuso A:uekr. En el caso de un par de raíces complejasconiugadasa + Bi, la sustitución U:ue* le condujo a la ecuación

dlu,* p'u:o aÍ'

cuya solución trigonométricale era conocida.Precisamenteel estudio de esta ecuación le conduio, en 1740, al conocimiento de una solución particular para B:1 en las dos formas diferentes, 2cosx ! di¡s-xi, Por medio del desarrollo en serie de potenciasllegó a la convicciónde que ambascoincidían. Esto le condujo a la fórmula ea¡:cosc+iSenc, que hoy llamamos de Eurnn. También en el mismo trabajo demostró Eur,rn que la solucióngeneralde la ecuaciónlineal homogéneacon coeficientesconstantes de orden r? es una combinaciónlineal de z de sus ecuacionesparticulares, introduciendo él por vez primera los términos <solución particularr DANIETBnnNount (1700-1782) resolvió y <solucióngeneral>.Simultáneamente, también la ecuaciónlineal con coeficientesconstantes.Su trabaio fue publien 1748,dio un método para obtener la cado en 1751.También o'Ars¡vrBERT, ,solución en el caso de una raíz múltiple. Por ejemplo, en el caso de una raíz doble q se toma Oql

lím a+ ao

-

Oa^r

-"

A- 44

L:xe"ff

Diez años después(1753),publicó Euren un método para la solución de ecuacioneslineales no homogéneasde coeficientesconstantes,mediante la reducciónsucesivadel orden. La idea del método la había indicado ya en 174I. .Sea,por eje¡nplo,la ecuación

&a .d v au+bfi-+c¿fr:Í@) Multiplicamos por e"o e integramos a continuación, poniendo: I du \ e*\a1s+b1; ):

f' ) f(s)e*'ds

Derivando ambos miembros resulta: effimata+ e"*

o! : e""f(x), + e*bv I lmbl+ a1f clx clx'

,de donde resultan et, bt, m. Así, se obtiene ahora:

as+b1 :"-^, [. Kr)"*, a, ff

Cap

l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

En 1750 publicó D'ALn¡vrs¡nr otro método para resolver la ecuación no homogénea, observando luego que la solución general es la suma de una solución particular de la no homogénea y la solución general de la homogénea. El método de variación de las constantes no fue presentado en forma sistemática hasta 1777, cuando LecneNcr lo publicó y lo aplicó a las ecuaciones no homogéneas. Sin embargo, dicho método había sido utilizado ya por D. BBnNouLLr (1740) y por Eur.en (f741). L¡,cnewc¡ mostró también cómo el orden de una ecuación lineal homogénea puede ser rebajado r unidades si se conocen r soluciones particulares. También en el siglo xvllr se investigó toda una serie de ecuaciones diferenciales especiales, por su aparición en diversos problemas de física matemática. Así, en conexión con el problema de las oscilaciones de una membrana circular tensa, Eulrn arribó a la ecuación |

.

I

B t\

\" '-F )u *;

du

a,

+

&u

*

:v

que luego fue denominada ecuación de Bessel. Eurnn (1766-1784) representó la solución de esta ecuación en forma de una serie infinita, que se diferencia en un factor constante de la función cilíndrica IB@r). Ya en 1738 D. BenNouru había estudiado el caso especial p:0 al considerar las oscilaciones de una cadena pesada. En 1778, Eulrn señaló, en un trabajo, los fundamentos para el estudio de la ecuación diferencial de la serie hipergeométrica. Dicho trabajo no se publicó hasta 1801. En 1785 LeceNnRe (1752-1833), investigando la atracción de un elipsoide sobre un punto exterior, introdujo la ecuación que lleva su nombre, así como sus soluciones, los polinomios de Legendre. La ecuación de Riccati fue extensamente investigada. En 1722, el propio RIcceu había considerado casos especiales.Para Ia ecuación ,;, D D. Bsnxouru

y Rlccerl

":

-#,

dx

:A- + a.r'L

habían señalado simultáneamente, en 1724, que si

/c entero, o bien tz: -2,

entonces la ecuación es de variables separables.La ecuación general de Riccati fue estudiada por EurrR. Este descubrió que

A:u ++' siendo ¿ una solución particular, conduce a una ecuación lineal. Si se conocen dos soluciones particulares entonces la ecuación es soluble mediante una cuadratura. El teorema sobre el valor constante de la razón dobte de cuatro soluciones particulares fue probado mucho más tarde, en 1877, por E. Plceno. CrelRnur y EurEn dedicaron considerable esfuerzo al estudio de las condiciones de integrabilidad de expresiones diferenciales. Ya en 1721, Nrcornus

I.2 ,

DE FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL SIG LO XIX

BrnNourrr (1687-1759) había descubierto el hecho de que el orden de derivación con respecto a varias variables no altera el resultado, lo cual permitió realizar nuevos avances en la teoría del factor integrante. Crlrnaur, en L74I, formuló la condición de integrabilidad de Mdx+Ndy. En 1742 formuló las presentando un método para condiciones de integrabilidad de Mdx+Ndy+Pdz la integración de diferenciales exactas. También Eurnn dio, en 1770, un método para la integración de la ecuación diferencial exacta M d x + N d g + Pd z :O cuando las condiciones de integrabilidad no La ecuación Mdx+Ndg+Pdz:0, se cumplen, fue consiclerada como carente de sentido, quedando en la oscuridad las observaciones importantes que Nrwrox había escrito a tal efecto. El método del factor integrante fue considerablemente profundizado por Eursn en 1768 y 1769, quien indicó varias clases de ecuaciones de primer orden que poseen un factor integrante. En 1770 aplicó EurnR el método a ecuaciones de orden superior, utilizando una condición obtenida por él en 1766 mediante el cálculo de variaciones, para que

F(x,a,a',...,g(")¡ sea la derivada de otra función que contiene derivadas de y hasta el orden rz- l. Esta condición

OF

0U

dx

#.##. +(-vftffi:o

fue obtenida también por N. C. nB Coxooncsr (1743-1794). Una de las explicacionesmás importantesde la teoría del factor integrante fue el descubrimientopor Lecnancr, en L766, de la ecuación adiunta y del hecho de que la ecuación original es adjunta de ésta. El estudio de las solucionessingularescomienza en I7l5 con B. Teyron (1685-1731). Al considerarla ecuación 4x3- 4xz: (I + z2)z(dx I dz)2 introdujo x: ulA2, u: I + 22, obteniendo At-2 z AA ' + o (A ' )2 :l

[*]

Derivando esta última ecuación, resulta: 2A"(t:A'-zU):Q Poniendo rsg'-zg:Q e introduciendo g':zAlo en [*] se obtiene gz:u, .t:1. Tlvron calificó esta solución como auna cierta solución singular del problema> sin considerarla más detenidamente. Veinte años más tarde, Cr,etRAUr encontró. de nuevo por derivación, la solución singular y general de la

10

Cap. l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACTONES OTFERENCTALES

ecuación s:(x*r)É

du

lda\' \d_)

J

y D'ALEMBEnTseñala el procedimiento general para obtener las de

.td u \ lda\ a :rv\ d . )*'\;)

También Eurrn dio con toda una serie de ecuacionesdiferencialescon soluciones singulares (1736 y siguientes).En el año 1769 seialí lo siguiente: Si una ecuación admite el factor integrante p(x,A), entonces la expresión puede proporcionar una solución singular (este hecho había sido llp(x,g):! observadoya por Conooncnr). En 1768 publicó Eurpn criterios que permiten diferenciar solucionessingularesde las solucionesparticularesde una colección de ecuaciones,comenzandocon el caso más sencillo: da:dxlQ@). Tales criterios se fundabanen el estudio de las integralesimpropiascorrespondientes. LacneNcn, en 1776, llevó a cabo una investigación más profunda del carácter de la solución singular, explicando cómo se obtiene, o bien a partir de la ecuación misma, o bien de Ia solución general por el método de variación de constantes.LecMxcE presentó también una interpretación geométricade la solución singular como envolventede la familia de curvas integralesparticulares.Los lugaresgeométricosde los puntos singulares,así como los casos en que la solución singular es al mismo tiempo solución particular, no fueron consideradospor LecneNce. Algunos resultados sobre solucionessingulares de ecuacionesde orden superior y la construcciónde ecuacionescon soluciones singularesprefijadas se deben también a Lecnexce (1781, 1801). El tratamiento de sistemasde ecuacionesordinarias fue motivado originariamente por el estudio de las ecuacionesfundamentalesde la dinámica. D'Arc¡r,lsenr llevó a cabo el estudio de sistemasde primero y segundo orden, en 1743 y 1750, aplicando el método de coeficientesindeterminadosa los sistemaslineales con coeficientesconstantes.D'AT,TMBERT eligió los factores de modo que una combinaciónlineal de las ecuacionesdel sistema tomase la forma du+kdt:0. o bien, üu+kudt2:0 EuLrR, en un trabajo de 1750 sobre oscilacionesen un medio elástico, desarrolló otro procedimiento para la integración de sistemas lineales de segundoorden con coeficientesconstantes,representandola solución buscada como combinación lineal de funciones trigonométricas. Más adelante, también Lncn¡Nce y Lrxrr,r se ocuparon del estudio de sistemas. Los problemas de mecánica celeste,en particular el estudio de los movimientos lunares, motivaron el desarrollo de procedimientosde aproximación para resolver ecuacionesdiferenciales.El método de Euler, introducido

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DE FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL SIGLO XIX

tl

en 1768,tuvo particular importanciadesdeel comienzo.Utilizando la ecuación misma, A':f(x, g), Eunn obtenía {(xJ, {'(xi, ... de la soluciín g:g(x), Uo:U(xo),y luego a@o+h) por medio del desarrollo de Taylor. Del mismo modo, g(xo+2h), g(xs+3h), ... Este método fue despuésaplicado para proporcionar un teorema de existencia.Como era general en el siglo xvrrr, no se llevó a cabo estudio alguno sobre Ia convergenciadel proceso. EunR observó que si lr es muy pequeña,las series obtenidas en casos particulares convergen rápidamente.Extendió el método a ecuacionesde segundoorden en 1769.Para llegar al mismo objetivo también se utilizaron en gran medida desarrollos en serie. LecRlwcE, en cambio, utilizó, en 1779, desarrollosen fraccionescontinuas. Los éxitos de los matemáticosdel siglo xvlrl en la teoría de ecuaciones en derivadasparcialesfueron de menos importancia,pero en este periodo se echaron los cimientos para los desarrollos ulteriores. La consideraciónde ecuacionesen derivadasparcialesfue motivada en primer lugar por problemas de Física. Más adelante entraron en escenaproblemasde Geometríadiferencial. El trabajo en este terreno comenzó propiamentecon el estudio de las ecuacionesde segundoorden. El punto de partida fue uno de los problemas con más resonanciasen el siglo xvul, el de la cuerda vibrante. Ya Germo se había interesadopor este problema, pero el primer tratamiento matemático hacia su solución se debe a B. Tevron, en 1713-1715. Teyron establecióla existencia de una proporcionalidadinversa entre la aceleración en un punto de la cuerda que vibra transversalmentey el radio de curvatura de Ia cuerda en el mismo punto. Esto, traducido a la terminología moderna, se puede expresarmediante la ecuación

oza:a-, aza oF ax,

de las vibracionespequeñas. TAyLoR,mediante algunascondicionesmuy severas,redujo el problema a dos ecuacioneslineales ordinarias de segundo orden con coeficientesconstantes. Dedujo que una cuerda fijada a ambos extremos tiene siempre forma sinusoidal. La ecuación de la cuerda vibrante fue escrita por D'ALEMBERT en 1749 en la forma moderna

ara:_ry_ AF

0x2

El fue el primero en presentarla solución en la forma a:f@+t)+g(x-t), siendo I y g dos funcionesarbitrarias. Su tratamiento de Ia ecuación no era completo, quedando fuera de su consideraciónlas condicionesiniciales que determinan una solución. Consideró solamentelas condicionesU(0,t):0, A(l,t):o para todo f. Estas le permitían poner a :f(t + x) -f(t - x), f(z +21):f(z)

t2

Cap. I.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

Eursn observó, al año siguiente, que la vibración de la cuerda queda completamente determinada si además de las condiciones sobre los extremos fijos se conocen también las condiciones iniciales, posición y velocidad de cada punto de la cuerda en el tiempo ú:0. Con esto quedó esencialmente acabado el método de las características de o'Ar-EMBERT.También EureR proporcionó un procedimiento para representar geométricamente la posición de la cuerda en cada monrento. Con este estudio de la cuerda vibrante se originó la famosa controversia, de gran importancia por sus consecuencias, sobre la naturaleza de las funciones arbitrarias que aparecen en las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales. EUI-rR dio por supuesto que el análisis ordinario puede restringirse a la consideración de funciones acontinuasr. El concepto de continuidad de Euren tenía otro significado que el moderno, introducido por Ceucnv y Borzeno en el siglo xlx. Euren consideraba (continua)) aquella función que viene definida en todo su dominio de definición mediante una única expresión un poco ambiguo. Para EutrR, las dos ramas de la hipérbola xg:I representanuna curva continua, mientras que la función (rs i x 2 0 u :[-t ,i

r(o

es discontinua. La continuidad estribaba para Eumn en que por medio de una única expresión atodas las partes de la curva están enlazadas unas con otras íntimamente, de tal modo que no se pueden introducir cambios en ninguna de ellas sin alterar las otras¡. Así, Eurpn consideraba como continuas las funciones que poseían la propiedad de las funciones analíticas en sentido moderno de estar determinadas por el conocimiento de una porción pequeña de ellas. Las funciones continuas en sentido moderno eran denominadas por EureR
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DE FINES DEL S¡GLO XVII HASTA EL SIGLO XIX

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instante determinado se obtiene

a :a sen #

*U

""nZL

*y

""n3!*

* ...

Así llegó D. Bnntqourrr al principio fundamental de la física matemática de superposición de oscilaciones lineales. Para un caso particular, EuLen había obtenido la solución de la ecuación de la cuerda ya antes que BnnnouLLI en forma de una serie trigonométrica. Sin embargo, manifestó sus dudas sobre la posible generalidad de tal solución, ]-a que, desde su punto de vista, una función prefijada algebraica cualquiera, que no es necesariamente impar ni periódica, no podría ser representada mediante una suma de curvas sinusoidales. D. B¡n¡¡ouLLr se manifestó en contra, expresando su convencimiento de que mediante una elección adecuada de los coeficientesd, F,7,..., toda curva puede ser representadamediante una serie trigonométrica. Subrayó que su teoría
022 0A'

"

Dasa a la forma

0'z :0 0t0u

0'z 0x2

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Cap. ¡.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORTA DE ECUACTONES DTFERENCTALES

obteniéndosede aquí la integral general z : f(t) + r!(tt): f (x + ag)+ rp(x - ay) Para la ecuación

,"i

)xdg

* o o="*b oi" + cr:o ()y dx

propuso Leprece (1777, 1782) el método llamado de las cascadas,que hace posible, a veces,obtener la integral general por medio de cuadraturas. Las ecuacionesen derivadasparcialescomenzarona aparecerrepetidamente en Geometría.En trabajos de Euun, en 1740,ya empiezana aparecerecuaciones sencillasdel tipo f (p,q):0. o'Ar¡¡¡srnr consideró,en 1768,ecuaciones lineales en z, p, q con coeficientesconstantes.La ecuaciónlineal general Pp+Qq:R fue estudiada casi simultáneamentepor Llpr¿cr y LacneNcr en 1776. LtcRANcEseñaló la reducción de la ecuaciónal sistema dx

dg

dz

P

a

R

Unos años después,en ITBI y 1787,el mismo LecRence extendió su procedimiento a ecuacioneslineales con un número arbitrario de variables. En este contexto vino a hacer notar que el arte de resolver una ecuación en derivadasparcialesconsisteen reducirla a ecuacionesdiferencialesordinarias. EurnR y otros se ocuparontambién de la soluciónde ecuacionesno lineales de primer orden. Eur¡n señaló,en 1770, que una ecuaciónde tres variables puede reducirse a una lineal de cuatro. Pero los primeros en resolver una ecuaciónno lineal de segundoorden con dos variables independientesfueron L¡cner.¡cey P. Cuenelr (en 1784,aunquesu trabajo no se publicó hasta l8l4)Su método es el conocidocomo método de Lagrange-Charpit. En el siglo xvrn se hicieron ensayospara extender el método a más de dos variables independientes,pero sin éxito. Entre 1770 y 1780 Lncnaxce estableciótambién relacionesentre las diversas expresionesde las solucionesde las ecuacionesde primer orden e introduio la terminología moderna. La solución que depende de dos constantesarbitrarias z:Ú(x,U, a, b)

la llamó completa. Por aplicación del método de variación de las constantes utilizado por él en la solución de las ecuacioneslineales ordinarias homogéneas obtuvo la integral general y una integral singular. Lecne¡lce puso b:,I@), siendo ry'arbitraria y eliminando el parámetror¿entre las ecuaciones z:ú(x, U,a, ú(a)),

0, :0 0a

DE FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL STGLO XtX

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obtuvo la solución general. Eliminando luego los dos parámetros entre z:t!(x, U,a, b),

2^':r, da

o=?, :o dD

obtuvo la solución singular. También fue L¡,cnercr quien, en vista de que Ia solución no siempre requiere cuadraturas,introdujo el término <solucióno en lugar de
I a:b, Escribióla condiciónde paralelismodel plano tangentea estasrectas: z - zt:p(r - rr) + q@-U) y encontró la ecuación diferencial de las superficiescilíndricas aP+ bq:l La integral general de esta ecuación Ia obtuvo Moxce del siguiente modo. Las ecuacionesde las generatricesde la superficie cilíndrica han de ser de la forma

f x:azra (a:bz+B siendo d y P constantes para los puntos de una misma generatriz, y variables al pasar de una generatriz a otra. Del hecho de que a y B son simultáneamente constantes o variables concluyó Mo¡qcn que deben guardar una cierta relación de dependencia, F:úG¿). Por tanto, la ecuación definitiva de las superficies cilíndricas ha de ser: a -b z :tl t(x -a z ) Mediante condiciones adicionales, por ejemplo prefijando las curvas direc-

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Cap. l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONES DIFERENC,ALES

trices, puede determinarse la forma concreta de las funciones, lo que proporciona la ecuación de la superficie cilíndrica que pasa por una curva dada. La significación geométrica de la ecuación

P.dx+Q.dU+R.dz:0

[*

*]

permitió a MoNce, en 1787, clarificar un problema que, como hemos mencionado anteriormente, permaneció abierto por largo tiempo, a pesar de que ya N¡lvrox había indicado la orientación correcta. En caso de integrabilidad, la relación [**] determina, por medio de una sola relación, una familia de superficies f(x, A, z):c. Una curva arbitraria que esté sobre una superficie de la familia es ortogonal a cualquier curva de la familia determinada por dx _dA POR

_dz

[***]

que la interseque. En general, si la condición de integrabilidad no se satisface, no existe ninguna familia de superficies ortogonal a las curvas del sistema [***]. Aun en este caso, como MoNcE puso de manifiesto, la ecuación [**] tiene un sentido geométrico. Imponiendo una dependencia adicional rl(x, U, z):0 entre las variables [*"] puede ser reducida a una ecuación diferencial ordinaria de dos variables. Esta determina entonces una familia uniparamétrica de curvas que yace sobre la superficie ,lt@,A,2):0 y que es ortogonal a las curvas del sistema [***].La ecuación [**] se llamó después de Pfaff, mientras que S. Lte propuso llamar a Ia ecuación de la forma F(x, A, z, dx, dy, dz):g ecuación de Monge, quien había investigado casos especiales de este tipo de ecuaciones. A Monce también pertenece la siguiente representación intuitiva de la teoría general de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. La integral completa f(x , A , z , a , b ):g representa una familia biparamétrica de curvas. Las superficies que pertenecen a una misma familia uniparamétrica que se origina cuando se pone b:úk) las llamó MoNcr superficies involutas. Las superficies determinadas por las ecuaciones g(x, A, z, a) : f (r, A, z, e, ú(a)) : 0 0z

Af

Af

íta

0a

db

las envolventes de la familia uniparamétrica constituyen la imagen geométrica de la integral general. De fundamental importancia fue la introducción, propuesta por MoNce, de las curvas de contacto de las envolventes con las

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DE FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL SIGLO XIX

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involutas para un valor fijo de a. Mot{cE las llamó características, puesto que determinan las propiedades características de las envolventes de las superficies integrales engendradas por ellas. Las curvas envolventes de la familia de características, determinadas por las ecuaciones

8:0

,tt i)a 0zg

:o :O

¿a2

las llamó Mor.-cr bordes de retroceso de la envolvente, puesto que los puntos de esta curva son, en general, puntos de retroceso de la curva en la cual la superficie envolvente corta un plano, que atraviesa su borde sin contener la tangente. En forma vaga Moxcr extendió también el estudio de características a ecuaciones de orden superior que aparecieron en el estudio de diversos tipos de superficies. MoNcE mismo fue quien introdujo el simbolismo de abreviación usual para las derivadas parciales. Hacia fines del siglo xvlu la teoría de ecuaciones diferenciales llegó a ser una de las disciplinas matemáticas más importantes, convirtiéndose en instrumento principal en el estudio científico. Fueron estudiados en detalle los diversos tipos de ecuaciones ordinarias integrables por cuadraturas, se elaboraron los primeros procesos de aproximación, se introdujeron toda una serie de conceptos fundamentales tales como el concepto de solución singular y general, y las nociones de integral completa, general y particular de una ecuación en derivadas parciales. También se construyeron los cimientcs para una teoría geométrica completa de las ecuaciones en derivadas parciales. Se estudiaron ciertos tipos de ecuaciones de orden superior. La teoría de ecuaciones se relacionó con el cálculo de variaciones y con la geometría diferencial. También se comenzó a conocer sus relaciones con las funciones de una variable compleja, con las series trigonométricas, con las funciones especiales y con las integrales elípticas. La mayor parte de los resultados hallados hasta la penúltima década del siglo xvlll fueron expuestos magistralmente en la clásica obra de EUI-eR Instítutiones calculi integralis, en cuatro tomos, publicados los tres primeros entre 1768 y 1770, y el cuarto, en 1794. Esta obra fue como un manual para todos los matemáticos y aún no ha perdido interés. En la primera mitad del siglo xtx fueron introducidas nuevas ideas, parte en relación con problemas de física matemática, parte originadas en la transformación general que experimentó el análisis matemático.

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ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORTA DE ECUACTONES DTFERENCTALES

I.3.

LA PRIMERAMITAD DEL SIGLO XIX

El primer cuarto del siglo xrx fue, en general,un periodo de transformación en matemáticas.Los fundamentosdel análisisen especialexperimentaron una renovación drástica. Los conceptos de límite, infinitésimo, continuidad, diferencial, etc., recibieron una formulación exacta en términos aritméticos. La integral definida, que en el siglo xvrrr era interpretada en general como un valor particular de una función primitiva, se definió como límite de una suma. Se comenzóa considerarla convergenciade las series infinitas que se introducían, estableciéndose asimismo criterios de convergencia,etc. Se empezó a introducir las restriccionesnecesariasen las fórmulasy teoremasque se proponían. El concepto de función tomó su forma moderna, especialmente con P. Le¡ruxn-DlnrcnlEr (1805-1859), en 1837. Esta transformación,que tuvo como responsables principalesa A. CeucHy (1789-1857), C. F. Gruss (I777-L855)y B. Borzn¡¡o (1781-1848), comenzóa convertir el análisis matemático,de una teoría de funcioneso clasesde funcionesparticulares,como había sido hasta entonces,en una teoría más abstracta y general.Esto permitió estudiar con más perspectivay profundidad las dependenciasfuncionalesespeciales.Aparecieronen primer plano los problemas de existencia de los objetos introducidos por medio de procesosinfinitos; límites de sucesiones,integral definida de una función continua, función primitiva, diversasintegralesimpropias,ceros de una función continua, etc. Allí donde los matemáticosdel siglo xvltt se apoyabanen la intuición física o, geométrica(integral como superficie,derivadacomo velocidado como inclinación de la tangente, etc.), o bien en la misma marcha de los procesosde cálculo (
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LA PRIMERA MITAD DEL SIGLO XIX

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do en 1829).Algo más tarde, en 1832, |. Bolvat (1802-1860)publicó resultados análogos.Finalmente,RletrleNN,en 1854,comenzócon las consideraciones que dieron lugar a la geometría
a::\m*ala cual satisfacetanto la ecuacióndiferencial como la condición inicial. Esta demostración fue presentadaen forma más detallada, en 18,[4,por F. Morcrqo (1804-1884), discípulo de C.l,ucuv,en las notas de sus lecciones.Más adelante, R. Llpscrurz (1832-1903)la perfeccionósustituyendo,en 1876,la continuidad

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ORIGEN Y EVOLUC¡ON DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

de 0fl0A por Ia condición que lleva su nombre. Más tarde, G. Prexo (18581932)demostró la existenciade al menos una solución de la ecuación a' :f (x,a),

!lo:a(xi,

bajo la condición de continuidad de fk,ü. Teoremasde existenciacon condiciones más débiles fueron demostradasmás adelantepor O. Prnnox (1915). También a Ceucnv se debe la idea fundamentaldel método de aproximaciones sucesivas,que en forma más modernay generalfue presentadoen 1890 por E. Prcen¡ (1856-194i).Este consisteen la demostraciónde Ia convergenpor las fórmulas cia de las solucionesaproximadasdeterminadas at : A o- t

' f r rr,ro,dt,...,u*: ar+|

'fo

f(t, g¡) dt

- 't o

Ceucsv extendió su teorema de existencia a ecuaciones de orden superior, reduciendo éstas a sistemas de ecuaciones de primer orden. Finalmente, dio también un teorema de existencia para la solución de una ecuación diferencial ordinaria y de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en el campo complejo. Este teorema se basa en la representación de la solución en forma de serie de potencias y en la aplicación de la función mayorante. El teorema de existencia de Cauchy en el campo complejo permaneció bastante desconocido. K. W¡lrnrness dio una nueva demostración de la existencia de solución del problema de Cauchy para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. El problema de existencia de solución de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales fue investigado a fondo por S. Kow¿r¡sxave (1850-1891),una discípula de WEI¡,nrnASS, que demostró, en 1874, el teorema fundamental de existencia de una única solución analítica de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales en forma normal. También S. KownrnsKAyA presentó un ejemplo, sorprendente para sus contemporáneos, de una ecuación que no cumple las hipótesis del teorema y no posee solución analítica alguna. EI problema de Cauchy para clases generales de ecuaciones en derivadas parciales ha ocupado a muchos matemáticos eminentes hasta nuestros días y a este problema se le ha dedicado una literatura muy extensa. Entre los trabaios más importantes se pueden citar los de E. Plcnno, en 1890, sobre algunas ecuaciones lineales de tipo elíptico, y los de S. N. Bsnxsrrtx (1904-1908),sobre la existencia y analiticidad de soluciones de una amplia clase de ecuaciones no lineales de tipo elíptico. Estas investigaciones fueron continuadas después de l9l7 por I. LERAy, j. Scuauoen e I. G. PerRovsru. Los teoremas de existencia tuvieron importancia, no sólo desde un punto de vista puramente teórico, en cuanto que justificaron la aplicación de los métodos de la teoría de ecuaciones diferenciales a problemas de física. Los métodos originados en las demostraciones de estos teoremas hicieron posible aproximar la solución con el grado deseado de exactitud, así como medir el error de la aproximación. De este modo, tales teoremas sirvieron de fundamento para los diversos procesos de integración numérica de ecuaciones diferenciales que fueron elaborados a todo lo largo del siglo xtx.

I 3.

LA PRIMERA MITAD DEL S¡ GLO XIX

2l

Las herramientas más perfectas del análisis moderno hicieron posible también el desarrollo de una teoría de soluciones singulares. MOtcNO, en 1844, introdujo un ejemplo dado por C¡ucsv de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, cuya solución singular es al mismo tiempo solución particular. A. CouRnor (180I-1877) demostró, en 1841, que la curva del discriminante de una ecuacíón díftrencíat no tténe que ser necesarrumente una envo(vente de la familia de las curvas integrales,sino que puede ser el lugar de sus puntos de retroceso. La teoría moderna de las soluciones singulares fue desarrollada más en particular en diferentes trabajos de G. Dnn¡oux (1842-1917)en 1870' A . C ryrsy ( 1821- 1895)en 1 8 7 3 , E. P Ic a n o e n 1 8 8 6 , G. C H nysrel (1851-l 9l l ) en 1896. Otra revolución importante se operó en la primera mitad del siglo xlx en el problema relativo a la integrabilidad de ecuacionesdiferencialesmediante cuadraturas. EI número del tipo de ecuacionesasí solubles se aumentó poco. Por ello se propuso la cuestión, análogamente a lo que había sucedido en álgebra con el problema de la solución de ecuacionespor radicales, sobre la integrabilidad de ecuacionesdiferencialespor cuadraturas. Aunque aquí no se obtuvieron resultados tan importantes como los de Anel y Gnrots en álgebra, se llegó a los primeros resultados. J. Llouvtrlr (1809-1882)demostró, en 1841, apoyándoseen cierta clasificación de los números trascendentes,que la ecuación de Riccati sólo es integrable por cuadraturas en los casos señaladosya por D. Bpn¡¡oulu. Las investigacionesclásicas de AseL, Llouvllrr y CHEBIcn¡v (1821-1894)sobre la integrabilidad en forma cerrada de diversas funciones irracionales pertenecen también a este mismo dominio de ideas. En 1837, J. Srunna (1803-1855),en conexión con estudios sobre conducción del calor, introdujo el concepto de solución oscilante y demostró el teorema de separación de los ceros de dos soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal homogénea de segundo orden. Los trabajos de Srunm y Llouvlr-le pusieron el fundamento para los estudios del problema de contorno que lleva sus nombres y consiste en tratar de resolver la ecuación d(Ku') -af * Ga:o' donde K y G dependen de r y de un parámetro tr, siendo dados en dos puntos del eje r los valores de ciertas combinaciones lineales de y(r) y de !l'@). Con la solución de este problema de contorno está relacionada la solución de muchas ecuaciones de Física matemática, la teoría de ecuaciones integrales y Ia posibilidad de desarrollo de funciones en series de sistemas fundamentales de autofunciones. La formulación exacta de independencia lineal de un sistema de funciones proviene también del siglo xlx. Una condición para la independencia lineal fue dada en 1857 por L. Hrsse (1811-1874)y por E. Cnnlsronnn (18291900), en 1858. Esta condición se puede expresar mediante el determinante llamado wronskiano, que H. WRoNsxl (1775'L853) había introducido en 1821. En 1866, L. Fucss (1833-1902)introdujo el término <sistema fundamental rel="nofollow">. Un gran número de trabajos fue dedicado también al estudio de ecuaciones especiales lineales de segundo orden con coeficientes variables. F. W. Bessst-

Cap

l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

(i784-1846) estudió la ecuación que lleva su nombre y que ya había sido consideradapor D. B¡nrqouru y Euren. También se investigó la ecuación de la serie hipergeométrica,que había ocupadoa EurEn y Geuss, la ecuación de Legendre,la de Lamé (1795-1870),etc., En 1874,A. W. LerNlxov (18371888)aplicó a la integraciónde una serie de ecuacionessimilares,en particular a la ecuación (x - a) (x - b)A" + (c + hx)A'+ kg : Q,

la teoría elaboradapor él mismo de las derivacionescon índice general.La ecuación anterior, por una selecciónadecuadade las constantes,o bien por medio de transformacionesapropiadas,pasa a ser la ecuación de la serie hipergeométrica,la de Legendre, la d" los polinomios de Chebichev o la de las funciones de Bessel.Tal teoría remonta sus orígenesa Lrrnnz y a Lrouvrnr (1832). En la segunda mitad del siglo xrx inicióse con L. Fucrs (1833-1902) una nueva orientación en la teoría de las ecuacionesdiferencialeslineales con coeficientesalgebraicos,partiendo de los trabajos de Ceucny y RrnmlNN sobre la serie hipergeométrica.Esta nueva orientación, que pronto se transformó en una teoría analíticade ecuacionesdiferenciales,se ocupó del estudio de las propiedadesgeneralesde las soluciones de ecuacionesdiferenciales (no ya lineales) en el campo complejo. En particular se abordaron los problemas de existenciay unicidad, del tipo y situación de puntos singularesde las soluciones,etc. Los trabajos de Fucns y sus discípulos hicieron posible unificar en una teoría general la investigaciónde muchos tipos importantes de ecuacioneslinealesy prepararonel terreno para la construcciónde la teoría de funciones automorfas creada por H. PorucenÉ (1854-1912)y F. Kr.uN (1849-1925).Muchos otros matemáticos importantes, entre ellos G. Fno¡¡¡¡rus (1849-1917),E. PrcAno,P. PelNlevÉ,(f863-1933),trabajaron también en la teoría analítica de ecuacionesdiferenciales. A partir de Ia cuarta década del siglo xlx fueron desarrolladosmétodos simbólicos en la solución de ecuacionesdiferencialesy en diferenciasfinitas. O. HB¿,vrsI¡r (1850-1925) creó un potente medio para el cálculo simbólico.De estos trabajos se desarrolló el cálculo de operadoresmoderno. Entre los resultadosmás antiguos en la teoría de ecuacionesen derivadasparcialesdel siglo xx se cuentan los de J. F. PneEn(1765-1825). En 1814,Pnenr investigó por extensola ecuación F tdq + F 2dxz* ... * F ndxn:Q, donde Fy Fz, ..., Fn son funciones de 11, xz, ..., Í,,. Se propuso el problema de integrar esta ecuación con el menor número posible de relaciones entre las variables, es decir, de obtener la superficie integral de mayor dimensión posible. Jlcont designó este problema cproblema de Pfaffr y de él se han ocupado muchos matemáticos, en particular R. F. A. Crcsscu (1833-1936), G. Fno¡¡NIUS, S. Lrc (1842-1899), E. Gounser (1858-1936), etc. Particular importancia tuvieron los métodos de ]econr, elaborados en conexión con trabajos de mecánica, para la integración de ecuaciones no lineales de primer

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LA PRIMERA MITAD OEL SIGLO XIX

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orden con un gran número de variables.El llamado segundométodo de facobi fue expuestopor primera vez en sus leccionesy luego en su obra póstuma sobre mecánica (1866). Otro método de amplia divulgación fue creado por Ceucrv (1819): el método de las características,que no se distingue en el fondo del primer método de facobi obtenido por éste más tarde. A. M. A¡lpüne (1775-1836),Drnsoux y otros se ocuparon de la elaboración de métodos formales para la integración de ecuacionesde segundo orden. En la teoría de ecuacionesen derivadasparcialesde orden superior, que se desarrolló en conexión íntima con problemasde Física y en particular de teoría de la elasticidad, la primera mitad del siglo xrx traio muchos resultados especialesimportantesen la solución de diversos problemasde contorno. La teoría pronto hizo uso de series trigonométricas,de la teoría de funciones de una variable compleiay del cálculo de variaciones.El punto de partida lo constituyó el trabaio clásico de j. B. FounlBn (1768-1830)sobre la teoría del calor (1822). Para la integración de la ecuación del calor

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df

022I

con diversas condicionesde contorno desarrolló FounteR, por primera vez de una forma sistemática,el método de separaciónde variablesy llegó, llevando a la representaciónde solucionesen serie adelantelas ideas de D. Beru,IouLLI, trigonométrica. Derivó de nuevo las fórmulas ya obtenidas anteriormente por Crarnaur y EurrR para los coeficientesy señalóque las funcionesde una clase muy extensa,entre ellas las que pueden ser definidas sobre diferentes intervalos mediante' diversas expresionesanalíticas, es decir, aquellas que son según la terminología de Eurnn, pueden ser representadas mediante una serie trigonométrica, o sea, pueden ser representadas . Con esto quedó en claro el error de Eurnn en su concepción de la acontinuidad>y quedó justificado en cierto modo el punto de vista de D. Ben¡¡ouru. Sin embargo, al mismo tiempo quedó confirmada la opinión de que las integralesde las ecuaciones de Euren, combatidapor D'ALEMBERT, en derivadasparcialespueden ser funcionesconexastrazadascon cierta arbitrariedad a mano. Tales funciones pueden ser representadasen un intervalo finito mediante un desarrollo en serie. El trabajo de Founlen, comenzado ya en 1807,desempeñóun papel de importanciaen el problema de una nueva fundamentacióndel análisis. Su publicación suscitó inmediatamentela cuestión sobre las condiciones exactas de representabilidadde una función mediante series trigonométricas, cuestión que Fountnn había tratado sólo de manera muy superficial. Las primeras condicionessuficientesfueron dadas por Dnrcrrer (1829).La elaboración de la teoría de series trigonométricastuvo, como es bien sabido, una enorme importancia en la fundamentacióny desarrollo de la teoría de una función de variable real, en particular en la teoría de la integral (RIrmarw, Srrrrr¡rs, Lenrscue) y en la teoría de conjuntos (Cenron). Tipos especialesde ecuacionesde la Física matemática fueron investigados con éxito también por otros matemáticos,como S. Polssorv (1781-1840).

24

Cap. I.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACTONES DIFERENCTALES

Con todo, el esquema de una teoría general empezó a perfilarse algo más tarde. Estudios eminentes fueron llevados a cabo por M. W. OsrnocRADSKr a partir de 1828, quien llevó adelante trabaios sobre la conducción de calor que aventajaron en algunos puntos a los de FouruEn y PolssoN. Desarrollando el método de Fourier propuso Osrnocnnosxr el problema de desarrollar una función en serie de autofunciones de un determinado problema de contorno en forma muy general. Probó la ortogonalidad del sistema de autofunciones y encontró una fórmula para el desarrollo en serie, no entrando, sin embargo, en la cuestión de la convergencia de estas series en el caso general. Más adelante, los problemas de contorno de la Física matemática constituyeron el objeto de investigación de muchos otros matemáticos, entre otros C. NpuuexN (1832-1925), H. A. Scrwenz (1843-1921), H. PorNc.nRÉ.También los rusos A. M. LvepuNov (1857-1918)y sobre todo su discípulo W. A. Srexrov (1864-1926) prosiguieron con éxito este tipo de investigaciones. En su teoría de la complitud sometió Srerrov el problema del desarrollo en serie de autofunciones a un profundo y riguroso análisis. Como hemos señalado, el conjunto de problemas en conexión con la Física matemática condujo, al final del siglo xtx y en el siglo xx, a la construcción de la teoría de ecuaciones integrales que unificó muchos de los métodos utilizados antes. Mención especial en esta línea merecen los trabajos de V. VoTTERRA(1860-1940), L FRrnHouvt (1866-1927), D. Hrr-sERr (1862-1943) y E. ScHrvuDr (1876-1959).

1.4. LA SEGUNDA M]TADDELSIGLOXIX Y COMIENZOS DELSIGLOXX Dos nuevas direcciones merecen especial atención en este periodo. La primera de ellas relacionada con el desarrollo de la teoría de grupos, la segunda con ciertos problemas de mecánica celeste y astronomía. Las ideas fundamentales de teoría de grupos, que se abrieron camino primero en álgebra brillantemente, pronto comenzaron a penetrar otros dominios de las matemáticas. Así, F. KrErN (1849-1925)señaló, en 1872, que el carácter de las diversas formas de geometría: proyectiva, afín, métrica, etc., queda determinado por las propiedades del grupo de transformaciones biunívocas del conjunto de elementos del espacio sobre sí mismo y por las invariantes de este grupo. Kun¡ hizo uso del concepto de grupo continuo de transformaciones. Las transformaciones de tal grupo pueden ser determinadas por medio de funciones continuas. Tales transformaciones habían sido introducidas poco antes por S. Lrc (1842-1899),quien desde i873 las había aplicado en varios trabajos sobre ecuaciones diferenciales. Las investigaciones de Lle abarcaron un círculo amplio de problemas de este campo. Una de las finalidades de Lls consistió en la unificación de los métodos diversos y a veces, al parecer, casuales, de reducción de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales integrables por cuadraturas. Las transformaciones definidas por medio de la sustitución

x1:f @,v, a) { ( y1: g@,g, a)

[*I

I.4.

LA SEGUNDAMITAD DEL SIGLO XIX Y COMIENZOSDEL SIGLO XX

25

constituyen un grupo continuo uniparamétrico si I y g son continuas y si la composición de dos transformaciones de este tipo es equivalente a una del mismo tipo. Si una ecuación diferencial es tal que permanece invariante cuando se efectúa una sustitución [*] para cualquier valor de c, entonces se dice que la ecuación dicho grupo de transformaciones. A cada grupo continuo uniparamétrico de transformaciones corresponde una transformación llamada infinitesimal, y, recíprocamente, a cada transformación infinitesimal corresponde un cierto grupo. LIe demostró que toda ecuación diferencial ordinaria de primer orden que admite un grupo de transformaciones con una cierta transformación infinitesimal puede ser integrada por cuadraturas. Lrr consideró una serie de tipos de ecuaciones con transformaciones dadas. De este modo, clasificó las ecuaciones diferenciales según sus transformaciones infinitesimales. Los estudios de LIr fueron proseguidos en diversas direcciones al fin del siglo xlx y durante el xx, sobre todo en álgebra y topología. Las nuevas ideas en álgebra fueron aplicadas con éxito, sobre todo al estudio de ecuaciones lineales. E. Ptcenn, en 1883 y 1887, y E. VnssIor, en 1892, crearon una teoría de estructura de ecuaciones diferenciales lineales que es análoga a la teoría de Galois. Uno de los resultados logrados por V¡ssror afirma que una ecuación diferencial lineal general de orden superior al primero no es soluble por cuadraturas. Otro de los desarrollos más importantes en la historia de las ecuaciones diferenciales lo constituye la creación de una (la expresión procede de PorNcenÉ). Hacia los años setenta el problema de la integración de ecuaciones por cuadraturas de funciones elementales había perdido su importancia anterior. Los trabajos de LIe llegaron a cerrar este ciclo de problemas en cierto sentido. La construcción de una teoría suficientemente general en la dirección de solución por cuadraturas resultaba imposible, ya que son relativamente pocas las ecuaciones que admiten una solución de este tipo. Así, no parecía abrirse ningún camino hacia una teoría general ni hacia los procesos numéricos de solución que estaban en la base de los teoremas de existencia de ecuaciones diferenciales. Estos procesos proporcionaban a lo sumo una solución particular para cada problema, solución que es válida para un intervalo finito que corresponde a las condiciones iniciales. Tales procesos no proporcionaban una imagen general del comportamiento global de las curvas integrables. Simultáneamente aparecieron, en diversos campos de mecánica celeste, problemas que requerían el estudio y conocimiento de la naturaleza de las funciones determinadas por las ecuaciones diferenciales en todo su aparece' por ejemplo, la dominio de definición. Ya en Nr,wtoN y Llnecr cuestión de la estabilidad del sistema solar o de ciertas soluciones especiales del problema de los tres cuerpos. Los métodos antiguos excluían de raíz la posibilidad de averiguar el comportamiento de las soluciones de tales ecuaciones en intervalos de tiempo arbitrariamente grandes. Por ejemplo, los métodos antiguos no proporcionaban ninguna respuesta a la cuestión sobre si la distancia entre los cuerpos permanece siempre acotada o si ciertos elementos del sistema se acercan indefinidamente o se alejan hacia el infinito. La teoría cualitativa de ecuaciones fue creada simultáneamente por PotNcanÉ (1854-1912) y Lvenurov (1857-1918). El problema que PontcenÉ se

Cap. l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

propuso consistía en averiguar el comportamiento de la familia de curvas integralesde la ecuaciín gi:f(x, y), o bien del sistema

en todo el plano, y en hacerlo sin integrar las ecuaciones,solamentepor medio del estudio de las propiedadesde las funciones en los segundosmiembros. Po¡NcenÉpartió de ciertos estudios de C. Bnlor (1817-1882)y f. Bouqunr (1819-1885)sobre propiedadesde las integrales de ecuacionesdiferenciales en el entorno de un punto singular y en una serie de artículos, habiendo comenzadoen 1878, hizo progresosfundamentaleshacia la solución de este problema para ecuaciones de primer orden y en parte también para las de segundo.Dio una clasificacióny señaló la significaciónde los puntos singulares de las curvas integrales,investigó el comportamientode las curvas en el entorno de las singularidadese introdujo el concepto de ciclo límite (una curva integral cerrada a la cual se acercan en espiral curyas integrales suficientementepróximas).PoNcmÉ estudió también el recorrido de las curvas integrales sobre un toro. Estas investigacionestuvieron en el fondo un carácter topológicoy con ello, en parte, estuvo relacionadotambién el rápido aumento del interés por la topología y también sus éxitos. Estos trabajos fueron proseguidosen 190I, mediante consideracionesde la teoría de conjuntos, por I. BrNoIxsoN, quien ya antes había descubiertonuevos tipos de puntos singulares.Asimismo, Pennox, en 1922 y 1923, dedicó varios trabaios a este tema. También PorncenÉse ocupó, al mismo tiempo que Lvenuxov, del problema general de estabilidad. Las investigacionesde Lv^npu,rovtambién estuvieron motivadas por problemas concretos de astronomía, especialmentepor el problema propuesto por CneorcHrv sobre la posibilidad de la existenciade figuras de equilibrio de un fluido en rotación diferentesde la elipsoidal. LvepuNov comenzóel estudio de este problema en 1882,pero no dio con la solucióncompletahasta una serie de artículos publicadosentre 1903y 1918. Otro de los problemasque le ocuparon fue el de la estabilidaddel equilibrio y del movimiento de un sistemamecánicodeterminadopor un número finito de parámetros.A este problema se dedicó en su tesis doctoral en 1892 y en algunos trabajos posteriores Lyrpu¡,tov investigó un sistema

!*,

ií:Xo@t,Í2¡...,1tn¡t),

k:I,2,...,n

[*]

siendo &(0, 0, ..., 0, 0):0 y tales que para valores pequeños de las x¡ y para t)-0, X¡(x1,...,x,) se puede desarrollaren serie de potenciaspositivas de las r¿, con coeficientesconstanteso dependientesde f. El sistemaadmite la solucióntrivial x1:f,2:...:f,:0. Esta solución se llama estable,en sentido de LYlPuNov,cuandopara cada e)0 existeD)0 tal que para cadat)-0 se tiene la

I.5.

ALGUNAS DIRECCIONESCONTEMPORANEAS

desigualdadlr¡(t)l(e para otra solución cualquiera,con tal que los valores iniciales r¡(0) sean menores o iguales que 6 en valor absoluto. Lvlpu¡.lov dete¡minó en qué casos el problema de la estabilidad puede ser resuelto por medio de una primera aproximación, es decir, mediante el estudio del sistema que resulta al sustituir & por los términos de primer orden del desarrollo en serie. Antes de Lv¿,pur.rovse había investigado sólo esta primera aproximación, lo que había conducido a veces a resultados falsos. Lvepur.¡ov resolvió el problema de la estabilidad también en una serie de casos adudososD,en los que la primera aproximaciónno basta para decidir sobre la estabilidad del sistema original. También resolvió una colección de problemas importantes de la teoría de ecuacionesdiferenciales lineales y no lineales.El estudio del sistema [*] lo realizó también Lv¡puNov por medio de métodos puramentecualitativos, es decir, sin integrar el sistema. Los trabaios de LvepuNov tuvieron gran importancia en el desarrollo ulterior de la teoría de ecuacionesdiferencialesy en sus aplicacionesal estudio de oscilacionesde diferentes sistemasfísicos y mecánicos. Una teoría cualitativa abstracta de los llamados sistemas dinámicos del tipo del sistema[*] fue desarrolladapor varios autores,entre ellos G. D. BlnKHoFF (1884-1944).Los problemas más importantes de dicha teoría son el estudio de las solucionesen todo su dominio de existenciay, por otra parte, el estudio de las solucionesen el entorno de los puntos singulares.

DIRECCIONES CONTEIYIPORANEAS I.5. ALGUNAS

El desarrollo contemporáneode las ecuacionesdiferencialeses demasiado extenso como para tratar de seguir en detalle sus múltiples ramificaciones en las diversasescuelas.Nos limitaremos aquí a indicar unas cuantasdirecciones de crecimiento,señalandopor separadolos relativos a las ecuacionesdiferenciales ordinarias y en derivadas parciales.Para una visión más completa y detalladanos remitimos a unos pocos artículos clavesque puedendar una idea más exacta. En ecuacionesdiferencialesordinarias,Ios trabaios de PorNcenÉy Lv*uNov, que durante bastante tiempo pasaron casi inadvertidos,han atraído la atención de numerososinvestigadorespor sus relacionesprofundas con muy diversos aspectosde la matemáticaaplicada.Los estudios de BInrcrorr sobre estabilidad de sistemasfísicos y la investigaciónde estadosde equilibrio de los puntos críticos han sido realizadossiguiendo los pasos de PoINcen-Éy LynpuNov en la escuelarusa. La necesidadde extender la teoría se ha hecho notar con la insuficienciamanifiesta de la técnica de linealización,esencialmente incorrecta en muchos casos, como en el estudio de oscilacionesno lineales. por los matemáticos La teoría de control óptimo, desarrolladaespecialmente también uso de los métodos desarrolladospor rusa, ha hecho la escuela de PorrcrnÉ y LvlruNov. Los problemasmás importantesde la. teoría cualitativa de ecuacionesdiferencialesse han centrado en el estudio de la naturalezade los puntos críticos,

28

Cap

I.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

de los ciclos límites, en el comportamiento global y asintótico (estabilidad y teoría asintótica) de las trayectorias en un entorno de los puntos críticos y ciclos límites, en la teoría de la bifurcación y, últimamente, en los temas relacionados con el concepto de estabilidad estructural. La noción de estabilidad estructural fue introducida por Ar.¡ono¡¡ov y PottrnvacrN en 1937. De modo vago se puede decir que un sistema de ecuaciones diferenciales es estructural: mente estable cuando una variación pequeña de las ecuaciones induce un homeomorfismo cercano a la identidad que transforma trayectorias en trayectorias. Así sucede que existe una correspondencia exacta entre los puntos críticos, ciclos límites, etc. ANnnonov y PoxrnveclN dieron condiciones necesarias y suficientespara la estabilidad estructural de un sistema de dimensión 2 definido sobre un cuadrado. El problema propuesto en un principio y resuelto parcialmente por Ketlex en 1940 en R2 consistió en tratar de clasificar los sistemas de ecuaciones diferenciales por el comportamiento global de sus trayectorias. P¡Ixoro introdujo, en 1959, una métrica en el espacio I de sistemas de ecuaciones diferenciales y demostró en algunos casos importantes que el subconjunto S de sistemas estructuralmente estables es denso en X. Entonces se trata de clasificar S, lo que proporciona una simplificación del problema. Trabajos ulteriores de StvteLe, en 1966, han demostrado que no es cierto en dimensión mayor o igual que 4 que S es denso en X, lo que requiere probablemente una sustitución de la noción de estabilidad estructural por otra más débil que permita avanzar en la misma dirección. Los trabaios de PEIxoto, S¡rlnre y Tnou, entre otros, tienen esta orientación. Muchos otros trabajos actuales en ecuaciones diferenciales ordinarias se realizan en la dirección del análisis numérico y del cálculo efectivo de soluciones en conexión con el uso de los modernos calculadores. También se presta particular atención a problemas relacionados con las aplicaciones a Ia teoría de control, tales como las ecuaciones retardadas, y las ecuaciones diferenciales estocásticas. En lo que se refiere a los avances generales más importantes de la teoría reciente de ecuaciones en derivadas parciales mencionaremos en especial la introducción de nuevos métodos basados en los resultados modernos del análisis funcional, la introducción en ecuaciones diferenciales de la teoría de distribuciones y la teoría de los operadores seudodiferenciales. Para una visión detallada de los avances concretos logrados en los últimos tiempos en ecuaciones lineales puede consultarse el artículo de RosrNnroou [958] y el de HónivreNorR t19701. El análisis funcional ha venido a desarrollarse especialmente a partir de la introducción por Hrr¡Bnr del espacio de funciones que lleva su nombre. La obra clásica de Be¡¡lcH proporcionó herramientas poderosas que han sido aplicadas luego a los problemas en ecuaciones diferenciales, especialmente lineales, con notable éxito. La consideración de los operadores compactos, con una teoría espectral sencilla, aclara y unifica multitud de problemas clásicos, y ha constituido una guía para un desarrollo de una teoría espectral más general de operadores, con amplias aplicaciones en ecuaciones. El análisis funcional proporciona asimismo desigualdades a priori, es decir, desigualdades

I.5.

ALGUNAS DIRECCIONESCONTEMPORANEAS

29

válidas para toda solución que resultan de la mera hipótesis de existencia de tales soluciones. Las desigualdades a priori constituyen un método fundamental para la resolución del problema de unicidad. El éxito de los métodos del análisis funcional en los problemas de ecuaciones lineales en derivadas parciales ha motivado el interés y el desarrollo moderno del análisis funcional no lineal, con vistas a su aplicación a problemas no lineales, mucho más difíciles de atacar. La teoría de distribuciones tiene su origen remoto en DIRec, Hrnvlsnn y Sonolev. Los sistematizadores de la teoría fueron L. Scnwenrz e I. M. GsrFAND con sus obras clásicas, en las que se estudian orgánicamente las aplicaciones a los problemas en ecuaciones en derivadas parciales. La idea más importante en este campo tal vez la constituya la sustitución de la noción de solución como distribución, noción que viene a generalizar la de función, englobándola en una colección de objetos más amplia. De esta generalización resulta, por ejemplo, el reciente teorema debido a MnI-cRnNce y EHnnnrnnts (1953), según el cual todo operador P(D) diferencial lineal de coeficientes constantes admite una solución fundamental E, es decir, una distribución tal que P(D)E:6, siendo 6 la distribución de Dirac. Muchos de los trabajos modernos en ecuaciones en derivadas parciales están dirigidos a resolver los muchos y muy interesantes problemas abiertos de Ia teoría. La teoría de los operadores seudodiferenciales es una prolongación de los trabajos realizados por CelornóN y Zvcmu¡¡o sobre operadores integrales singulares y sobre las aplicaciones halladas por ellos mismos a la teoría de ecuaciones en derivadas parciales. Sea .\l L: L a"D"

Irl < "

un operador diferencial lineal, donde 4c son funciones de €f;. El polinomio característico del operador diferencial es

a(L)(x,$: X a,@)t" Idl < ,¡

y se puede escribir

(x,€)f(€)dt Lf(x):j I n"u',r,o1L)

Un operador seudodiferencialviene a ser de la misma forma, excepto que o(I) se sustituye por sumas de funciones homogéneas. El estudio de estos operadoresseñala en ellos propiedadesalgebraicas que los hace muy aptos para un desarrollo sencillo de muchos problemas en derivadas parciales.En esta dirección se pueden mencionar los trabaios desarrolladospor CerornóN y ZYctvtuNo,KouN y NInernEnc, Hón¡rlexonn, Fnteontcus,SpnLEY,etc.

2 METODOSDE INTEGRAGION

Los problemas que estudiaremosen este texto pueden describirsevagamente de la forma siguiente. Se refieren a una ecuación diferencial del tipo x'(t):f(t, x(t)),

donde f es una función dada definida en una cierta región IxG del espacio R x Rn, con valores en R", y se trata, o bien de encontrar explícitamenteuna función r(t) definida en I y con valores en G con derivadar'(r) que satisfaga r'(t):f(t, r(r)) para t € I y ciertas condicionesadicionales,o bien al menos de proporcionar tanta información como se pueda sobre esta función. El problema de encontrar una función r(ú) definida en / C R y con valores en R que tenga n derivadas en / y satisfaga x{")(t) : g(t, x(t), . .., r('- l )(f)) junto con ciertas condicionesadicionales,siendogG,&,€2,..,,t,) una función dada definida en una cierta región de I x R", puede reducirse al anterior. En efecto. si denominamos x(t):gr(t) r'(t):92(t) ,1"-rt1t): g"(t)

Se trata de hallar una función

definida en / C R y con valores en R" con derivada A'G) en 1 tal que A!(t):f(t, AG)) s

2.f .

SfGN|FICACION GEOMETRICA DE l-A ECUACION t'(t)=f(t,t(t),

3l

Esta reducción de la ecuaciónescalarde orden n, xr")(t):g(t,x(t), . ..,

"tn-tl(r))

a la ecuaciónvectorial de dimensión n g'(t):f(t, y(t)) nos permite restringir nuestrasconsideracionesa esta ecuación. En este capítulo consideramosunos cuantos métodos de integración, es decir, de resolución de ecuacionesdiferencialesde tipos especiales,que han tenido gran importancia en el desarrollo histórico de la teoría de ecuaciones diferencialesy que tienen también interés práctico grande por ser muchos los problemasde diferentescamposde la ciencia y técnica que dan lugar a tales ecuaciones.Puesto que sólo se pretende aquí dar Ia idea que orienta tales métodos elementales,en muchos casosnos colocaremosde entrada en condique siguen.IJna vez adquiciones especialesque facilitan las consideraciones rida la idea del método es sencillover cómo se puede procederen condiciones más generales. Conviene subrayar que los métodos elementales de integración son de eficacia práctica relativamente pequeña, ya que muchas de las ecuacionesque resultan de modo natural no son tratables por tales métodos. Sin embargo, es muy conveniente familiarizarse con las ecuacionessencillas a las que estos métodos se aplican, ya que ello permite entrever en casos más generalesposibles métodos de solución. En este capítulo se proponen también, como muestra, algunos métodos de aproximaciónnumérica para la resoluciónde ecuacionesdiferenciales. x'(t):f(t,x\t)) DE LA ECUACION GEOi,IETRICA 2.1. SIGNIFICACION una función continua. Sea f:RxR->R Consideramosel problema consistenteen hallar funciones Í: R + R con derivada tal que x'(t):f(t, r(r)) para todo ú € R. Supongamosel problema resuelto y sea r(r) una de tales funciones.Estudiemosla gráfica de la curva t -->x(t) que representa la función r(r). En el punto (f0,r(ú0)) su tangente tiene pendiente r'(úo):f(fg,r(tg)) y este número es conocido sin necesidad de conocer explícitamentela función r(r), es decir, si sabemosque existe una solución r(r) de nuestro problema que pasa por el punto (ú¡,fl) (tal que la curva t -> x(t) pasa por (to,fl)), entonces la tangente en (fo,f) a la curva

32

Cap. 2.

METODOS DE TNTEGRACTON

representación de la solución tiene necesariamente por pendiente f(ts,f). Este hecho nos permite construir lo que se llama et cánpá de direcciones de la ecuación dada. Para cada punto (t,0 e R2 definimos una recta de pendiente f(t, $ pasando por (t, €). El problema de resolver la ecuación x'(t) : f(t, x(t)) adquiere entonces Ia formulación geométrica equivalente siguiente: encontrar curvas t -> x(t) tangentes en cada uno de sus puntos a la recta definida en ese punto por el campo de direcciones. (El problema general rz-dimensional admite por supuesto la misma interpretación, pero, por razones de una visualización más fácil, seguiremos considerando n: l.) La construcción del campo de direcciones es una gran ayuda para obtener una idea de la naturaleza de las soluciones. Para tal conitrucción conviene hacer uso de la familia de curvas definidas por la ecuación para diverf(t,g:c sos valores de c € R. cada una de tales curvas está formada por puntos (¿, f) en los cuales la inclinación o pendiente dada por el campo de direcciones es c. por tal razón estas curvas se denominan isoclinas. Si se considera la ecuación x'(t): t2+ (x(t))z las isoclinas son las curvas t2+(2:6, c)0, es decir, circunferenciasde centro el origen y radio y'c. Su representación, así como la del campo de direcciones, es sencilla y proporciona una buena idea de las gráficas dé las soluciones, así como de algunas de sus propiedades globales.

Así, a la vista del campo de direcciones se puede conjeturar que todas las soluciones tienen más o menos Ia forma indicada en la figura y deducir de aquí propiedades interesantes de ellas.

2 .1 . S IGN IF IC ACIONGEOM ETRICADE LA ECUACION¡'( r ) =/( r .r ( t) )

33

La representación geométrica indicada proporciona de forma natural un método de aproximación de soluciones mediante una idea que proviene de Eurrn. Puesto que la tangente en el punto (ro,fl) a la curva t -> )c(t) solución que pasa por este punto es conocida e igual a t(t0,9, podemos esperar que la curva (desconocida) se comporte en el intervalo fto,to+h], si h es pequeño, aproximadamente como el segmento que pasa por (fo,f) con la misma pendiente f(t0,9. A partir del punto (to+ h, {o + hf(t¡, fl)):(ú,, ft) podemos proceder del mismo modo, etc. Se puede esperar que la línea quebrada así obtenida, denominada poligonal de Etiler, se aproxime suficientemente a la curva t --> x(t) para t próximo a to y con una aproximación tanto mayor cuanto más pequeño es /2. Como veremos más adelante, así sucede en condiciones favorables. Como ejemplo, tratemos de hallar la poligonal de Euler correspondiente a

*'(t):;

I

(ú+r(r))

h:0,2, entre to:O Y úro:2. Los cálculos redondeando la para ¿0:0, {:2, cuarta cifra decimal pueden disponerse según la tabla siguiente:

f l^_t-lGt-t*tk-t)

€ k:

g k- t +hfk_l

0, 2 0,4 0,6 0,8 lr0

1, 2 1, 4

t,6 I,8

2,0

La solución exacta del problema, que se obtiene como se indicará en la sección 2.5, es: x (t):4 ¿ trz -r-,

Cap. 2.

METODOS DE INTEGRACIG.I

y la tabla correspondientees:

con lo que se puede comparar el error cometido.

E J E R C IC ¡OS

t.

Trácese el campo de direcciones de la ecuación x'(t):t2 + x(t) y una forma aproximada de las soluciones.

,

Demuéstrese que si r(r) es una solución de la ecuación

x,: -x(tz_x2) tal que lr(ro)llrrl. 3. Supongamosque la función l(t, {) es continua y positiva para todo ú,f reales. Demuéstreseque si r(r) es solución de la ecuación x' :txf(t, x), entonces,para todo tt'0, r(r)>r(0) 4.

se verifica

si r(0)>0

y

Dada Ia ecuación x':l+t-x

x(t)<.x(o) si r(0)<0.

2.2.

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

tráceseel campo de direcciones.Demuéstreseque x(t):¡ y dése la forma aproximadade las soluciones.

2.2.

5)

es una solución

ECUACIONESCON VARIABLES SEPARABLES

Consideremosla ecuaciónx'(t) :f(t, x(t)), donde f : (a1,a) x (by b) C R x R -> R es una función continua de la forma D(t)

fG,A :Lq(a donde p:(a1,a2)-+R y q:(b¡b2)->R son dos funcionescontinuas,y q(€)*0 para todo t e (br,b2). Sea (to,fl) € (au ar) x (b1,b2) Se trata de hallar una función r(r) definida en un intervalo I alrededor de úe,que verifique r(to):fl y satisfagala ecuación x'(t):f(t,r(r)) en dicho intervalo /. Una función verificará estas condicionessi, y sólo si, x(to¡: go

y

q(x(t))x'(t):p(t)

paru t€1. La estructura del primer miembro sugiere la siguiente construcción.Definamos

QG): it q(r)¿,

y

P(t): f 'p1s¡a, J

'€o

ro

Entonces, la ecuaciónanterior se escribe equivalentemente:

-!-ps¡ 4oerrtt: dt dt Y, así, Q@(t)):P(t)*c Pero si ha de ser r(fo): f, entonces Q@(toD: QGo): 0 : P(ro)* c : c y, de este modo, Q@(t)):P(t) Así, el problema ha sido transformado en el de hallar r(r) que satisfaga O(r(t))-P(t):0

METODOS DE INTEGRACION

Cap. 2.

i m p l íc i ta a p l i c a d o a l a fu n c i ó nF(r' ):.QG\-P (i ) arirmar El teorema de la función nost".li:: Fl : q(e)f0) que :0 ,"0T"'itlríii' entorno (obsérveseque F(ú0,f) sattslace f¡ de en un que existe una única r(ú) áefinida

o(r(¿D-P(r):0 y es tal que

u" {'' .'' " dú '-' "it¡¡ :f(ú, = ?(t,),, , \' , r(r)) _-^"_ x,(t): s(x(t)) !!_g,x{t))

uariables sepmables propuesto se denomina de Una ecuación del tipo oariables' de de :tx(t) y el proceso seguial ""-'Á 'n¿tiao p."uü"Inu -separación á" hallar r(r) tal que r'(f) ;l consideremor, "o'*-o';;;i;; y'qué verifiquer(l):l' en un entornode t:I pongamos I s:to s{ l.6r-d

Q@:J,

para f)0'

Y

ft

tz-l

P(4: I s ds:--;Jl La función

tz-l F (r, { ):l o g € ---;-

nos da como solución x(t): ¿a'-rttz

EJ ER C IC IO S t.

Resuélvase el Problema

2. Resuélvase:

2.3.

ECUACIONES EXACTAS. FACTOR INTEGRANTE

)t

3. Rezuélvase: ^.' -

) t+r

¡(0): I 4.

Resuélvase: x' :x *3 x(0):2 2,3. ECUACIONES EXACTAS. FACTORINTEGRANTE

Las consideraciones de la sección anterior conducen de forma natural a las siguientes. Sea V(t, A una función de Gt(R2) con valores en R. Sea rl(t) una función de Gt(R) con {r(¿o):fo que verifica

V(t,IIGD:0 y sea

(r^.pl+o 'v at Entonces,se tiene

ú'(t):

en un entorno de f6, es decir, rp(f) es solución, en un entorno de ú¡, del problema

(p\f x'(t):f(t, x(t)) ' -' ( r(to ;:¿ o

donde

Í(t, €):

ffa,o

#,,,*,

Siguiendo el camino inverso, supongamos planteado el problema r .,(¡):f(t,x(t)) -. Á \ l -' '- ( r(ro¡:1o

en algún entorno de fs

f(t,0:#3,

38

Cap. 2.

METODOS DE INTEGRACICI.I

dondeP y Q son funcionescontinuasen un entornoD de (ús,9 y QG,0+0 en (ú,f) € D. Supongamosque de algún modo podemos hallar una función V(t,0 de €t(D) tal que

av P(t,É): - i- (r,f) dt hv

Q(t,0:+G, E) ctE para (t, 0 g O. Entonces, el teorema de la función implícita nos permite asegurar la eústencia, en un cierto entorno I de ts, de una única función rl(ú) con derivada continua en / que verifica ,¡(t0)--f

v V(t, {t(t)) : V(to,lt(t i) Y, aSí,

+'(t):-

#r',ro,:f(t,lt(t),

ffu,r,,r, en /. Es decir, rf(r) es soluciónde (A) en /. Cuando P(t,A Q(t, t) es tal que existe V(t, €) que verifica

a v ^ a v -l{:'' --61:t' como arriba, entoncesse dice que la ecuación .., P(t, x) Q(t' x) es exacta en un entorno de (f¡, f) y para ella la solución del problema (A) es inmediata definiendo la función r(¿) en un entorno de re implícitamente mediante

v(t,x(t))-v(ro,fl):0

2,3.

ECUACTONESEXACTAS. FACTOR INTEGRANTE

Es, por tanto, interesantedisponerde un criterio que permita averiguarsi p(t, x) . p¡t,Í)-

'':

es eÍacta en un entorno de (fo,fl), y de un método para hallar la función v que nos conduce a la solución de (A). Supongamosque , P(t,r)

*:oGÁ

es exacta en un entorno de (ús,f). D entorno de (fo,f), se tiene:

Entonces, con una cierta v de e\D),

p(t,g:-ff{t,0,

eG,$:#G,A

Supongamosque P y p están en At(D). Entonces, por el teorema de Schwartz, 0P

a2v

a2v

0Q

ü:-a-oE:-oiü:- ü es decir, una condición necesaria para que , x-:

P(t, x)

QGÁ

con P a Q de et en un entorno D de (to,$ sea exacta en un entorno D de (to,$ es que OP 0Q .en D.

a€

0t

veamos que esta condición es también suficiente, obteniendo al mismo ,tiempo un procedimiento para hallar la funcién VG,$. Supongamosque se verifica la condición

aP

aQ

E--

at

'en D y tratemos de hallar V tal que

A v^A V

--::-: - P, dt Si ha de ser

---:Q 01

0.v : -p "-',]'#,]i:L: 3:i'i:|.|'''', at

¡pp'r'1i'1';rlill){'r-o D'll

40

Cap. 2.

METOFS

DE INTEGRACION

entonces V se ha de buscar entre las primitivas de -P con respecto a ú, es decir, entre las funciones de Ia forma rt - | P(s, f) ds + V(f) u lo donde V es una función arbitraria de f. Cualquier función H(t,0 forma satisface,en efecto,

de esta

OH

i:-' y todas las que satisfacenesta ecuaciónhan de ser de tal forma. como adernís queremos que

av :Q 0g

podemosimponer que g sea derivable y que q d

at t.

- * I P (t,A d g +V ,(0 :e G,A oS Jto Se puede aquí pasar la derivación bajo el signo integral y, teniendo en cuenta que según la hipótesis

aP :df

aQ ü

se obtiene

r '0 0 (s, ds f) + iIr'(a:QG, 0 - QGo,0+ V'(f) :QG, €)

| +

J,o ot es decir, t

ha de ser tal que *'(E):Q(to, g)

y para ello se puede escoger,por eiemplo, f€

.P(O: I Q(ts,u)du Jgo Así, se obtiene v(t, 0:

f€

I Q(ts,tt)d"J Eo

ft

| P(s,f) ds tr o

La solución del problema (A) viene entonces dada implícitamente del modo siguiente:

2,3.

ECIJACIONES EXACTAS. FACIOR INTEGRANTE

4l

Sea . P(t,x) x : p1t, r) una ecurción con P U Q de et en un entorno D de (ta $ g talesque Q(t,0+0 mDa

aP w:

aQ 0t

en D. Entonces la solución del problema ( ,, P(t, x) ró-(A) { Q(t,x) (r(ro¡:Eo en un entorno de ts oiene dada implícitarnente mediante ( r (t)

Jn.

QGo'u) ou-

ft

) ,,P(s'

r(r)) ds

Como ejercicio compruébesedirectamenteque la expresiónanterior define efectivamente una función r(r) que verifica (A). Obsérveseque en el caso estudiado en 2.2 se tenía: P(t,0:Át), Y, así,

Q(t,0:q@

aP _n_

0Q

E:":A; y la solución obtenida allí f t

fr ( t)

ou: ds J,,P(s) )r, n{o coincide con la que proporciona el método indicado. Obsérvesetambién que el problema (A) es equivalente al problema P(t,r)¡{t,x)

1..,

(B) { QQ,x)¡t(t,x) ( r(ro):fl en un entorno de 16.Siendo ¡¿€ €r(D) tal que no se anula en D. Cuando la ecuación ,

P(t,x) Q(t,x)

+2

'

METODOS DE INTEGRACION

Caó. 2.

de (A) no es exacta, pero sí lo es la ecuación *

.

a '- -

P(t,x)p(t,x) Q(t, x)p(t, x)

en un entorno de (rq,f) se dice que p es un factor integrante de la muación P(t'r) ' *':be,r) en un entorno de (ús,fl), y la solución del problema (A) se obtiene resolviendo (B) mediante el método indicado. Sea la ecuación x'(t):f{t, x(t)) con

f e e\D) y D un entorno de (ús,fl). Según lo que hemos visto hasta ahora, una condición necesariay suficiente para que p,€ et(D), FL+0

en D

sea factor integrante,es que si llamamos P*(t, {):f(t, €)t{t, t)

v

Q*(t, {): p(t, {)

se tenga aP* 0Q* 0€: ü es decir:

-

A(frr)

df

Af

, -ü |" -f-:-T

d¡t

0¡t

La solución de esta ecuación en derivadas parciales no es problema sencillo, pero a veces se puede intentar hallar un factor integrante de forma especial (dependiente sólo de ú, o sólo de f, o sólo de tz+ (, etc.), 1o que puede convertir la ecuación anterior en una ecuación diferencial ordinaria más sencilla. Por eiemplo, sea tr':-

& t-tzx

2.3.

ECUAC¡ONES EXACTAS. FACTOR INTEGRANTE

que no es exactaen un entorno de (0, l) € R2,ya que P(t, €): t, dP

-

ü:

Q(t, A: t - t2€ AQ

-t=J i :L-2t€

Tratemos de ver si existe un factor integrante dependiente sólo de r. Poniendo P*G,A:*t(t),

Q*Q,g:(t-t

Ap(D

se ha de tener:

-

0P*: ao :0 - tt@:i -2tiltt(t) + (t - t'Ott'(t) 0t

que tiene por solución:

p(t):l

t2

Es útil advertir en este punto que el procedimientode integraciónindicado en esta sección es bastante poco eficiente desde el punto de vista práctico, ya que muchas de las ecuacionesque surgen de modo natural no son exactas ni permiten adivinar fácilmente un factor integrante. Desde el punto de vista teórico, los teoremas del capítulo 4 demuestran que toda ecuáción x'-f(t' x) con f continua y con derivada continua en un entorno de (rs,r), admite un factor integrante. EJERCICIOS l.

Demuéstreseque . tz_x ;:-l/ es exacta y hiíllese la solución tal que r(0):1.

2.

Determínesecuáles de las ecuacionessiguientes son exactas y, si lo son, hállesela solución tal que x(a):b. a)

t2-xz

,-rl!r* b) ' 4x+3t c') * ':

!- r tz+t

44

C¡p. 2.

l+¡sent-senr cOSt+ t cost

d)

3.

IAETODOS DE TNTEGRACTON

La ecuación de Bernoulli x' + P(t)x:Q(t) "' tiene como factor integrante r rt I r-tr,€xp -nr)J pG)dsl l(l Verifíquese y resuélvase x' + Í:txt,

4.

x(al:fi

Dése una condición para que la ecuación *, -

tensa un ^**

P(t' x) Q(t' r)

;':,'""';u";"0'":;"

"*'iul"'

o, r-t.

2.1. CA¡IBIODE VARIABLES Del mismo modo que el cálculo de una primitiva se puede simplificar mediante un cambio de variable, también puede suceder lo mismo en la solución de una ecuación diferencial. Sea el problema consistente en hallar r(r), tal que {:2:ty, @{ ( ' r(ro):fl

¡(¿)) en un entorno de úe

donde f : D:(a1, a2)x (b1,b) + R es continua en D, y (úo,e)€D. Sea ¿:ú(s) con úq:{r(s6),siendo r[ función definida y con deiivada continua en un entorno de s6 tal que ü(so) Za 0. Podemos escribir entonces:

r(r):1191"¡¡:*", dx

*

(ú(s)9'(s):;idu (s)

y el problema (P) resulta equivalente al de hallar ls), tal que (duda j* (ú(s) : ú'(s) f(ú(s), r(r!(s))) : g(s, s(s)) \ :" (s) : ú(s) (O) { ds dt

I y(to):e

2..'.

CAMBIO DE VARIABLES

Puede ocurrir que este problema sea de solución mucho más sencilla que el primitivo. otro tipo de cambio de variable es el siguiente. Sea 0(s) una función con derivada continua en un entorno de fl, y tal que

0'($ + 0 C-onsideremosel problema (P). Hacemos o{x(t)):g(t) S"a p(s) la inversa de 0 en un entorno de 0(f). Podemos poner x(t): p@(t)) y así el problema (P) queda reducido a

\ -E- 6 :

# (?') J dt ( v(to):a(fl)

: : h(t,s(t)) @GD fG,p(s(t¡¡¡ # @ # @@@D

que puede resultar más simple. Sea, por ejemplo, el problema

(p\ I l(t) :r(r(r))¿+ ¡(r) " ' ( r(0¡:1 HagamosaG):#

y entoncesresulta:

".r:-#n('):'d)r.# ,f( s(o):t es decir: I g'(r): -t-a(t)

ro.t| 4bí:r

que es una sencilla ecuaciónlineal que estudiaremosa continuación.

46

Cap. 2.

METODOS DE INTEGRACION

EJERC¡CIOS l.

Mediante un cambio de variable. resuélvase ¡, :f(ax + bt) Aplíquese el método al problema (r f r': sen * f) ( r(0):1

2. Mediante el cambio x:tu

(u, nueva variable), resuélvase /r \

*,:Í\;) Aplíquese el método al problema

t| ¿ :- t+x t+4r

¿

I xq):z 3. Mediante un cambio de tipo u:¡'resuélvase

la ecuaciónde Bernoulli:

x' + P(t)x: QQ)x" 4. La ecuación x ' + qx 2: At nt

con a, A y m constantes.Se denomina ecuación de Ricatti. Admite solución sencilla en los casos

^4+8 2 12161620 :,, -T, -5, -7, -7, - V , - T , - T , . . . |n:u t - T,8 1--

Para resolverla, en estos casos se puede proceder por reducciones ," puede reducir al sucesivasmediante sustituciones.Así, si m:-*, Á.4 y, finalmente,al caso lz:0. caso m: ---, ésta al caso ,r: -; Utilícense las sustitucionesque se indican en las siguientesecuaciones: a)

x'+axz:At-ai'

T:L, t'

b)

x'+axz-At-1t3'

T:t-tt3, X:-3A ax

X:lt-t'¡ 2

2.5.

47

ECUAC¡ON LINEAL

5. La ecuaciónde Euler.'

* ,,+Lx , +2x :0 ttz

se reducea otra más simple medianteun cambio del tipo r:fA. bese para tratar de resolver:

Comprué-

*"-l''*1":o r(I):1 r'(l):2 6. Redúzcanselas ecuaciones ¡" :f(x,lc')

x" -f(t, x'),

a otras de primer orden.

mediante el cambio tr:Í'

2,5,

ECUACIONL¡NEAL

Se considerael problema de hallar r(r), tal que

(P) i{ x'(t):s(r)r(r)+D(r) en un entorno de ú¡ {' r(ro¡:Eo donde a y b son funciones continuas en un entorno de fs. En primer lugar, si b(t) = 0 y fl:O, el problema es trivial. Su solución el problema es de variablesseparablesy, es ¡(¿):0. Si b(t¡:- 0 y fl*0, así, su solución se obtiene con facilidad: ft

r(r):fexp I c(s)ds "to

Si á + 0, se puede conjeturar que tal vez sustituyendo en la última expresión f por una función adecuada z(r) derivable en un entorno de f6 se pueda obtener una solución de (P). Este es el método de oariación de las constantes o método de Lagrange. Por tanto, ensayemos rt x(t):21¡¡ exp a(s)ds J, tratando de obtener z(t) tal que r u"rifiqu" (P). Es decir: /

ft

x'(t):7'1¡¡exp I a(s)ds+ z(t) ( t'o

\

n.

:a(r)r(r) expI a(s)ds+b(r) uto

rt

\

I a(s)dsII Aq: "*p Jto

Cap. 2.

METODOS DE INTEGRACION

Asf, resulta: ft

z'(t) expI rt"l d,s:b(t) J ro

Por otra parte, ha de ser t(re):f :21¿o¡ Y, asi

( - f" ae)dr\ds+f D(s)exp "@: trIo \ Jr o / Por tanto:

.r(r):(o I o1"¡ a,* f 'a1"¡ - I i' ae)ar\ds "*ntr o Jr o "*p\J" I es solución del problema.

EJ ERCI CI O S

l.

Resuélvanselos problemassiguientes:

X' : g- z t * 4

¡(0): I

d)

2.

f':

S€Il2t - r cos t

I "(",):o

obtengase la familia g de curvas ortogonales a la siguiente familia en R2: a) b)

x z + ( g- c ) 2:C g( c x + l) : x

2.ó.

2.6.

D€SARROLLO EN SERIE. METOOO D€ LA MAYORANTE

49

DESARROLLOEN SERIE. MET@O DE LA MAYORANTE

El método que expondremosa continuación es uno de los más antiguos en la teoría, ya empleado por NrwroN en sus Principia Mathematica. Para entender cómo se procede podemos considerar un ejemplo, estudiado por NEwroN mismo. Se trata de hallar una solución de la ecuación

x'(t):l +*t tal que r(0):0. Supongamosque la solución sea una función r(r) desarrollable en serie alrededor del origen, es decir, tal que admite la siguiente expresión r(r¡:40* afi*a2t2*"' números realesque hemos válida en un entorno de ú:0, siendo ds¡a1,e2¡... (de de los coeficientes indeterminados). de método de determinar ahí el nombre puede ponerse que la ecuación dada do:0. Observemos r(0):0 se tiene Como en la forma r'(t) : I + rn + r(r) + (r(t))2+ (r(4)e+ ...1 Entonces,como se ha de tener + 4aatt+ ... x' (t) : a, + 2q2t+ 3a3t2 Sustituyendoarriba, e igualandolos coeficientesde las dos series de potencias en ú que resultan, se obtiene: * ...) + (aú + azr2 + . ..)¿+ ...l + ... : I + tll + (a¡ * a2t2 + 4aat3 * ! a3t2 at * ?-azt Y, trí, at : l ?nr : ¡ 3a3:4t k t : az *

a1

es decir, los coeficientesse van hallando por recurrencia. Como es claro, es necesariojustificar todos los procesosque hemos realizado, que en muchos casospueden carecer de sentido. la proporcionanlas consideracioTal iustificación,en casosmuy generales,, nes que constituyen lo que se denomina el método de la serie maAorante, debido a Clucrrv. Este método es muy fecundo también en el campo de las €cuecionesen derivadas parciales, teorema de Cauchy-Kowaleski, que se demuestra esencialmentemediante las mismas ideas que aquí se exponen. El método está basado fundamentalmenteen los siguienteshechos sobre series:

Cap. 2.

A{ETODOS DE INTEGMCION

A) una función tG, A de dos variables reales se dice analítica en (0,0) cuandoestá de definidaen un entorno D:(_a,a)x(_b,b) del origen,y p"rá cada punto (t,$e D se tiene:

tG,0:i u,o,'rr ¡'k:o

siendo esta serie absolutamenteconvergentepara (t, il e D. Aniáloga definición para una función analítica de una variable. B) Las derivadas de cualquier orden en D de una función analftica l(r, f) pueden obtenerse derivando término a término la serie que Ia representa.fa serie así obtenida define una función analítica en D. Análoga propiedad para una función de una variable.

c) si

Í(t,t): i u,or,rr i,k_ 0

es una función analítica en (0,0) y r(r) es analítica en 0,

x1t'¡:ia¡t, h:0

entonces F@

s

/s

\&

0(t): ), b¡¡til )', a¡,thl \z-r / '7-o' es analítica en 0. Consideremosel problema en un entorno de rs

(p) { ",!?:l(t,x(t)) ' (

{o):s

y supongamosque la función /(r, f) es analítica en el origen (0,0), es decir, está definida en un entorno del origen: D:(_ a,a)x(_b,b) y para cada punto G,Ae D se tiene:

tl,s:i i= 0

i&= 0 b¡rti{k

Siendo esta serie absolutamenteconvergentepara todo (r, A e D.

2.ó.

DESARROLLO EN SERIE. METODO DE LA MAYORANTE

5l

Siendo f(t, €) analítica en el origen podemos conjeturar que tal vez exista una solución x(t) de (P) analítica en el origen, es decir, lal que r(r) esté definida en un entorno del origen y en él se tenga: x(t):ao+aft+a2t2+... Siendo esta serie absolutamenteconvergenteen dicho entorno. Si nuestra conietura es cierta, es fácil obtener explícitamente nuestra solución. Si ha de ser r(O):Q, resulta ao:Q. Por otra parte, o,:-

n(D(0) i,

paru i)l

y rtD(0) se calcula explícitamentecomo sigue. puesto que x'(t):f (t, x(t))

€n un entorno de 0, se tiene: x', (t) : f ,(t, x(t)) + Í.(t, x(t)) f (t, x(t)) : f , + t I 1 l, f*l y"':frr+2f ,,f +f,rf +f,(f,+f,D

I

Obsérvese nu",,r"nlo

f(t,t): i u,or,rr i,k = o

resulta 1,."r(0'0): k l ht bkt, Y, así, , o,:"rl(0) i, es un polínomio en los b¡¡, k+h1j, con coeficientesno negatiuos,calculable explícitamente de modo sencillo. Pa¡a concluir la resolución del problema (p) sólo es preciso ya verificar que la serie que hemos obtenido heurísticamente,

g Lo't' i:0

es absolutamenteconvergenteen un entorno de 0 y verifica las condiciones del problema. Puesto que Ia serie @ sl

L b¡*ti€r i,k= 0

52

Cap. 2.

METODOS DE INTEGRACTON

es absolutamenteconvergenteen . se tiene, si 0
D:(_ a,a)x(_b,b) y 0
i

que

lb¡r[r/tKt(m

y, por tanto, existe S>0 *, ;;t lb¡rlH'Kft(S para todo i,le y, así,

lb,*l<sa-iK-k Consideramos la nueva serie I á. . h ñ ^ (t\,/f \o .' F(t,0: L str/ |\É/ -s-.-E í ,k _ _ 0

L_

que es absolutamente convergente para

I t | _-., I g I lal< '' l*l't La serie

F(t,il: i B¡¡t¡{k i' k=O

donde

.s B¡*:fu es una maAorante de la serie

f (t,t): i ,,rr,rr i,h = o

en el sentido de que

B¡r7lb¡ul para todo i,k:0, 1,2,...

H

1

' _K

2.6.

DESARROLLO EN SER|E. A{ET@O DE LA MAYORANTE

53

]unto al problema propuesto x'(t):f(t,r(r)) en un entorno de fo:0 ,r, \¡ f

'' t r(o):g

consideramos el problema

t __ ...

(o)f _-," o ( x(o):

,-. \ X'(t):F(t,X(t))

s

en un entorno de fo:g

(,_#) (,_*) \

El problema (O) es de variables separables y tiene por solución única

x(r)-¡[r-Vffi] lrl a t. Es sencillo comprobar que la solución así obtenida admite IA I un desarrollo en serie absolutamenteconvergentevátido en ltl
para

X(t¡:¡rt

+ Artz+,43ú3 + ...

en el que todos /os coeficientesA,, sorzpositiuospara n}l. Por otra parte, al proceder con (O) del modo como hemos procedido antes con (P) para obtener heurísticamentelos coeficientes e,t, resulta claramen. te que 4-: '

X(t)(o¡ i!

se obtiene de los B¡¡ mediante el núsmo polinornio colx coeficientesno negatitsos m los bw, por el que obtuuimos

o,:-T"rl(0) Por tanto, siendo

Bon7lb,,ol resulta A¡>-la¡l

I( DH LA REPIIB'I uNn¿F.rlsIDAD FÁCj.,'l-'t'Ai I il.r': il':',:ilNI:IRIA , DEp...r:-l-;1r :'r¡.;'il t-ii4

y siendo € } e, r , i= t

DO CI I i* I l l i 'j 'l ': i '( l l i ; ; 'i i ' l l i i l ; 'i '') 'I 'r l Nlo N T E V l D I t o - l l 'i l i ( ; r '¡ \ Y

54

Cap. 2.

convergenteen ltl
METODOS DE TNTEGRACTON

se obtiene que

g

L o't'

i =r

es absolutamente convergente en el mismo intervalo. La comprobación de que

r(r¡:i rr, i= l

satisface efectivamente x'(t):f(t,

x(t))

se realiza del siguiente modo. Se tiene:

t (',i o,,,):i r,o,,( i *,')-: i e¡tk:o(t) i=r

i,k:O

h=t

&:0

que es una serie absolutamenteconvergente en un entorno del origen. Se verifica: 0(r)(0) uo:T

Para/c:0,L,2, ...

y, así, las relaciones[*] junto con

t (',i a¡i):eG'¡ j:l

nos permiten concluir que grt(O)

^ JT-:er :-,

(k*l)! a¡a1

k:0,I,2,...

Así: e¡:(k * I)a¡*1, k:0, I,2, ... y, por tanto: 0(t¡ - x'(t):t(t, x,(t)) Fs claro, por la demostraciónmisma, que r(r) es la única función analítica en el origen que satisfacela ecuación.oé los teoremas del capítulo 4 resultará que es la única función que la satisface.

))

2.7. APROXIMACION NUMERICA

EJ ERCI CI O S l.

Aplíquese

el método

de la mayorante

para

demostrar

que el problema

donde p y q son funciones analíticas en el origen, admite una solución analítica en el origen. Suponiendo que

:i noto,q(t):Z,nur plt¡ son los desarrollos de p y q en un entorno del origen, hállese el de r(r). 2.

La e cu ac ión de B es s e l d e o rd e n n :0 ,1 ,2 ,...,

es

*" +!*'+ (t-" '-\" :o r \ *l Demuéstrese que existen funciones analíticas en el origen que son soluciones de esta ecuación, y calcúlense. 3.

Hállense los tres primeros términos de la serie solución del problema

I *'(t)-exp (tx(t)) ( r (0):0 Obténgase una estimación del error cometido al despreciar los términos de la serie de orden mayor que k. Estímese el radio de convergencia.

2.7. APROXIMACION NUMERICA Muchas de las ecuaciones diferenciales que aparecen en las aplicaciones técnicas y centíficas no son solubles por ninguno de los métodos elementales presentados aquí ni por otros más potentes. Para manejar tales ecuaciones se puede acudir a métodos de aproximación numérica que nos permitan conocer los valores de la función r(r) que buscamos para diversos valores de t. Al tratar de la interpretación geométrica de la ecuación hemos visto en 2.L el método de Ia poligonal de Euler. La aproximación que se obtiene allí puede ser suficiente en muchos casos, pero es fácil idear modificaciones que permitan una aproximación mejor. Para dar una idea del tipo de consideraciones que pueden hacerse a tal fin, describiremos a continuación la base del método de aproximación más usado, que es el ntétodo de Runge-Kutta. Supongamos que se trata de obtener una aproximación de la solución del problema

I *'(t):f(t, x(t)) ( r(ro¡:1o

Cap. 2.

56

METODOS DE INTEGRACION

donde f tiene, por ejemplo, tres derivadas continuas respecto de sus variables. Tratamos de obtener primero el valor de la solución x(t) en ts* h, luego. en fs +2h, etc. Considerando el método de Euler parece aconsejable, para una mejor aproximación, sustituir el primer segmento con pendiente f(to, {) que pasa por (ú0,fl) por un segmento con pendiente

t(^," (''.+)) pasandopor (ús,f). Com"

"

( ,r*+)

es deconocidose puede aproximar por

lt

r(ro)+ *zhf(t0,9 irfho, fl):4 Otra mejora consiste en aproximar r(r) por una curva ú(to+ s) que pase por (f0,fl), es decir, ú(úo):fl y que tenga la primera y segundaderivadasen ts iguales a las de la función r(r). Combinando ambas modificacionesdel método podemosponer

( to*lr, e** yta,el ) +sl pf6r,f)+ qf ú(ro+s):fl /J L ¿ \ ¿

-l

y determinar p y g para que ú(fo):f,

rlt"(ti :x"(to) :f ,(to,t0)+ ̀(t0,I

ú'(to):f(to, {),

Es fácil ver que poniendop:0, e:L por el teorema de Taylor, se tiene

+ h)- x(to*ft)l<# lú(¿,

se verifican estas condiciones.Entonces"

sup{ lú"'(t)- x"'(t)l:t e lto,to+hl}

y se dice que hemos obtenido una aproximación con un error de discretización de orden h3. Las operaciones a efectuar en el método de Runge-Kutta pueden disponerse según el siguiente esquema

fo:fGo,9, kt:hfo, kz:hf (ro*Ilr,f \t¿ /

*lt,)

, {r:ys*kz

y se repite el proceso cambiando ahora ús por to*h y fl por {t para obtener {2, etc. Obsérvese que todas las operaciones efectuadas tienen sentido aunque' sólo f sea continua, pues no intervienen sus derivadas. Otro método de Runge-Kutta que conduce a un error de discretizaciór¡

57

2.7. APROXIMACION NUMERICA

de orden fts procedesegúnel siguienteesquema: h:hf(to, f)

kz:hr(t*|n,a*f r') kt:hr(r * | n,a*| n,) kq:hf(** ln,f,+t,) f' : f * ! tr, + 2kr+2k,+k+) Como aplicación del método de Runge-Kutta trataremos de aproximar el valor de la solución del problema

*':|G+x) x(0):2 en el punto t:2. Este problema ha sido ya tratado en la sección2.L mediante la poligonal de Euler. Utilizando ahora el primer método descrito de RungeKutta con h:0,5, resulta: h f(h _ t+ + h , t* _ t* * t1 ¿-)

Compáresela aproximación obtenida con la que resultó en 2.I. Utilizando el segundo método descrito de Runge-Kutta, la aproximación es aún mejor: á(kr* 2k2+2k!+k4)

k1

1,250

2,636

1r0

0,784

1, 8 8 9 1,929

3,595

l15

1,r49

2,7I0

4,969

1,617

3, 7 6 3

2,76I

6,873

Cap. 2.

58

METODOS DE INTEGRACION

EJ ERCI CI O S

1.

Resuélvanseaproximadamente,con cuatro cifras decimales,los- siguientes problemas, siguiendo los métodos indicados para cada uno de ellos, y compárese con eI resultado exacto.

deEurer Método "i]tj'01,"(0). [ í:l;ii, (I) deRunge-Kutta Método b) "1tj'olr"(0)' 1..',r=lo;l!, (II) deRunge-Kutta - 1)'Método c) "i::;,;( l**,rirn:It.

a)

2.

Aplíquese el método de Runge-Kutta (II) al siguiente problema:

f x':x ( r(0):1 con h:L

n ciendon:5.

para aproximar r(1). Compiíresecon el resultado exacto ha-

3 TEOREMASBASICOS PARA LA TEORIA DE LA EXISTENCIA

Este capítulo contiene unos cuantos teoremas básicos para la teoría de la existencia de soluciones que será desarrollada en el capítulo 4. Se dedica la primera sección al teorema de Ascoli-Arzelá, fundamental en este y otros muchos campos del análisis. La sección segunda trata de diversos resultados sobre aproximación de funciones que permiten reducir problemas complicados a situaciones mucho más sencillas y tratables por métodos elementales. Finalmente se presentan, en la tercera sección, unos pocos teoremas del punto fijo que nos serán útiles en diversas ocasiones a lo largo de nuestro estudio.

DE ASCOLI.ARZELA 3.I. TEOREMA El teorema de Bolzano-Weiertrass afirma la existencia de una subsucesión convergente de puntos cuando se tiene un conjunto infinito de puntos dentro de una esfera de R". El teorema de Ascoli-Arzeld viene a establecer un principio semejante para un conjunto infinito de funciones de R" a R*. Como veremos más adelante, ambos teoremas pueden considerarse como particularizaciones de un mismo principio del análisis funcional. Sea F:{f *}c€¿ una fanúlia de funciones definidas en E CR" Definición. en R"'. Se dice que F está uniformemente acotada en E cuando ualores con A existe M>0 tal qtte para todo x€ E g todo a€ A se tiene lf"t"¡¡ <.M. E¡rmeros l)

Consideremos la sucesión de funciones {f,,} definidas en n

por

f ,,(x ):s e n w . La sucesión es uniformemente acotada en R. 2) Sea la sucesión { g,,} definida en (0, l) mediante senn / \ 8 " \x ):, La sucesión es acotada puntualmente en (0, l) (es decir, para cada r € (0, l), es una sucesión acotada), pero no lo está uniformemente. {glr)}

60Ca p. 3. TE oRE M A S B A s l c o s P A RAL AT Eo R| ADEL AEXIST ENC| A

3) La sucesión {h,,} definida en [0, 1] mediante h,,(x):ltÍ r:to está acotada :0' uniformemente en [d, lj. fampoco lo está puntualmente, salvo porÍI f Sea F:{f ,}c€,q una fantilia de funciones definidas en E CR' Definieión. R,,. Se-di-ce que F es equicontinua en E cuando para todo en A con ualores Z>O existe 6>0 tal que para todo par xt,)cze E, l*r-*rl<-6 g todo o'€ A se uerifica:

lf"(r')- l.(r2)l{ e Obsérvese cómo surge |a noción de equicontinuidad. a) La función f : E -> R"' es cotztinua en q € E cuando para todo e)0 s e v e ri f i ca: e x is t e 6 >0 t al que s i 12e E y l r2 -r1 l (E

lf(xr)-f(rr)l{e b) La función f : E -> R,, es uniforntentente continua en E cuando para se verifica: todo e)0 existe 6>0 tal que si tr1,x2€ E Y l*r-"tla8

lf(xr)- f(r')l<e (es decir, el 6 que en c) pudiera dependerdel punto r es aquí el mismo para todos los puntos de E). c) Una familia de funciones{f*),E¿ uniformementecontinuasen E puede no i.t equicontinua en E. La equicontinuidad añade otra uniformidad respecto de cue A. ElEmpros 1) La familia de funciones{f,},.n, definida en [0, U mediante fo(x)':ar, está formada por funciones uniformementecontinuas en [0, 1], pero no es una familia equicontinua en [0, 1]. 2) La familia de funciones {f*}*€r3,51,donde cada f* está definida como en 1), es equicontinuaen [0' 1]. donde8,,1[0,1]+R está definidapor g"(r):n;" 3) La famitia{gn}n=t,2,3,...; En efecto, como para r € [0' 1] 1]. no es equicontinui ér [0, - g"(¡)l:l - vrt 19,,(l) si se da e:Il2 punto Í:l-612

y se fíja 6, 0<6<1, todo lo pequeño que se quiera, el verifica l1-rl
:f- - l t-9)"t r-x "-l

1

\t-z),=':z

.para n suficientementegrande. 4) La familia {g,,} definida como en 3) es equicontinuaen [0'+]'Compruébese. que si una familia {h,}*e ,r de funcionesdefinidasen [3' 5] 5) Compruébese

3.I.

6r

TEOREMA DE ASCOLI-ARZELA

aon derivada en [3, 5] es tal que {hl"}"e ¿ €s uniformemente acotada en [3, 5], e nt o n ce s {h " } " e¡ €s equi c o n ti n u a e n [3 ,5 J . El siguiente teorema permite asegurar que una cierta sucesión de funciones es uniformemente acotada y equicontinua. EI teorema de Ascoli-Arzelá será casi un recíproco de é1. Recordamos antes la definición de la convergencia uniforme de funciones. Definición. Sea {f o} utle sucesión de funciones definidas en E CR" A con ualores en f,lrrr. Se dice que {f t } conuerge uniformemente en E a una ftmción f de E aR"' cuando para todo e)0 existe ko:ko(e) tal que si klkok) g x€ E se t iene:

l/(r)- l¡,(r)l{ e Recordemos que si una sucesión de funciones {fú verge uriiformemente a f, entonces I es continua en E. 3.1.1. compacto sión {f¡} ,acotoda g

continuas en E con-

Teorema. Sea {f*} uru sucestónde funciones definidas en ECR', A con ualores en R"'. Supongantos cada f¡ corztinua A que la suceconuerge uniforntemente a f en E. Entonces {ftl' es uniformemente equicotztinua.

DeuosrnnclóN. La función f es continua en E por la observación anterior y, por tanto, acotada.en E, ya que E es compacto. Si {fo} no fuera uniformemente acotada, para cada entero positivo i existiría x¡ e E y ki tal que Si algún /c¡ se repite un número infinito de veces resultaría que lf*,(x)l>t. una de las funciones f* no es acotada en E, lo cual es imposible por ser E compacto y /¡ continua. Si ningún k¡ se repite un número infinito de veces, entonces existe una subsucesión {f*,} y una sucesión de puntot xkt€E tales que lf *,(xr)l-+ oo. Se puede escoger entonces una subsucesión de'{r¿, } que converja a x € E (teorema de Bolzano-Weiertrass).La volvemos a llamdt'trc¡,. Tenemos entonces:

r,)l< |/(r) - f(xo)l+ lf(xr) - f*,(xr,)l lf(x)- f r,@ El primer sumandoes menor que I para i grandepor la continuidadde I y por ser r¿, corlv€rgentea r. El segundotambién es menor que I para i grande por la convergenciauniforme de {f*} a l. Así, resulta que f no es acotada, 1o i¡ue es una contradicción.Por tanto, {f*} es uniformementeacotadaen E. La equicontinuidadde la familia {f¡} se deducefácilmentede la desigualdad siguiente:

( l/r(r)-l(¡)l+ lf(r)-f(úl+lfe)-f r@l lf*(x)-fo@)l

[*]

Dado e)0 procedemos del siguiente modo. Escogemos primero ft, tal que y ze E s e t eng a : s i k2 h

lftk) -f(r)l ( e/3

uniformeen E d" {fol a f. A continualo cual es posiblepor la convergencia

62

Cap. 3.

TEOREMAS BASICOS PARA LA TEORIA DE l-A EXISTENCIA

ción, por la continuidaduniforme de f , fr, fr, ..., f *r-r en E escogemos E)0 tal que si x,AeE, lr-yl<6 se tenga

lf(x)-f@)l<.elt

y también lf¡@)-f lúl1el3

para i:L,2, ...,kt - 1. Entonces, para este 6 se verifica para todo k y todo par x,g€ E con

l *- a l{ 6 : lf*(x)-fr,@)l<.e para k(/c1 por la elección hecha de D, y para k2kt

por la desigualdad [*]

y por ser lf(x)-f@)l<.elt. I El teorema de Ascoli-Arzelá no es exactamente un recíproco del anterior, pero permite entresacar de una familia infinita de funciones uniformemente acotada y equicontinua sobre un conjunto acotado una subsucesión uniformemente convergente. Teorema (Ascoli-Arzelá). Sea {f"}"e¡ una fanúIia infinita de uniformentente en un coniunto acotada equicontinua definidas funciones A acotado de R" con ualores en R". Entonces existe una sucesión {f¡} de funciones distintas de Ia familia dada que conuerge uniformemente en E. 3.1.2.

Dr¡uosrnecló¡,t. Damos aquí dos demostraciones de este importante teorema. La primera, en términos particulares, más sencillos e intuitivos, presenta tal vez meior los principios fundamentales en que se basa el teorema. Sea { f ,}oeÁ una familia infinita de funciones definidas en [0, t) con valores en l"- M, Ml que es equicontinua en [0, l). Hemos de demostrar la existencia de una sucesión entresacada de {f"}"ee que converge uniformemente en [0, l). Para simplificar comenzamos entresacando de {f,} una sucesión cualquiera de funciones {f*} distintas. Por la hipótesis del teorema, las gráficas de las funciones lo se encuentran todas en el rectángulo de vértices (0,M), (0, -M), (1, -M), (l,M) de Ia figura adjunta.

v M

( 1,M )

3M/4 M/2 M/4

o -M/4 -M/2 -3M/4 -M

_ M)

3.I.

TEOREMA DE ASCOLI.ARZELA

63

Siendo Ia sucesión{fr} equicontinua,si 2MM : ,:-z

+

existe 6>0 tal que si r,A€ [0, 1), son tales que l"-yl
l f Á x ) - f*@)l -+

entonces

p a rato d ok: 1,2,...

Tomemosp, entero positivo, tal que 112o<6, y dividamos [0, t) en subintervalos de longitud ll2o como se indica. Entonces,para dos puntos cualesquiera t, g de un mismo subintervalo se tiene, para todo /c,

lf*(x)-fo@)l-+ '+ Consideremos {f&(0)}. Es una sucesión infinita de números comprendidos entre - M y M. Por tanto, en alguno de los intervalos

|

4M

L - 4 '-

3M1

4 l'

|

JM

2M1

L- 4'-

4 l' " '

de 0y hay infinitos puntos (0,f¿(0)).Supongamos que en lMl4,2Ml4l hay infinitos. Seleccionamoslas f o que satisfacen t" ' -L r¿(o)€f+,4f 4' 4 -) y eliminamos las demás, volviendo a denominar ifr) ciones con que nos quedamos. Como ahora

la subsucesión de fun-

f r-'-L ( o) €l+ 4 ' 4, l' y l se verifica, para todo r € [0, Ll2r] y todo k, f M

M

2M,

f*(x)€ L o 4 ,i-

Ml

ol

Es decir, las gráficas de las l¿ son tales que restringidas a [0, Ll2o] estánen el rectángulorayado de Ia figura. En particular

f * (rtv,)€flL-y,'y.gl L+ 4' 4 '4 1 y así en alguno de los intervalos

,l+,+l, [''#] l+,+l

Cap. 3.

TEOREMAS BASTCOSPARA LA TEORTA DE LA EXTSTENCIA

de la recta x:Ll2o hay infinitos puntos (ll2r,ft\lzr)).Supongamos que hay infinitos en [2M14,3M14].Nos quedamoscon tales funcionesf¿ solametrt",y á esta subsucesiónla denominamosde nuevo {fr}. Se tiene ahora, para cáda r € fll2n,zlzof y cada k: lf*(x)- f *(L¡ zo¡'t< ¡rtI+ y así las gráficasde tales funcionesrestringidasa l|l2r,zlzof están en el rectángulo indicado en Ia figura. Siguiendoasí nos quedamoscon una sucesión infinita de funciones{ll} tal que para todo r € [0, l) y todo k, j se verifica

frra-r,@)lt+ +

Consideramosahora Ia sucesióninfinita {fl}, que está en las condiciones de la sucesión{l¡} inicial del enunciado.Dividimos ahora el intervalo [-M,M] del eje Og en 2a partes y procedemoscomo antes, obteniendouna subsucesión {ff } de {fl} que tiene la propiedadde que para todo k,i y todo r € [0, l) se verifica

lfi.*¡-f?@)l-+ Así vamos obteniendopara cada entero positivo h una subsucesión{fi\ de {ft-t} tal que para todo k,i y todo r € [0, l) se tiene

lfir't-/;aYt# Si consideramosahora la sucesiónaiugol.f {fi} es claro que verifica Ia siguiente propiedad uniforme de Cauchy: Fijado e)0 existe h (basta esco-

ger lz tal n"

ffi{

e) tal queparatodo r € [0,l) y todo i,k>h se tiene

(puesto que {fÍ}¡r,, es subsucesiónde {ttiD:

lfÍt*¡-f,(*)l-ffi-, Esta condición uniforme de Cauchy, como se demuestra sencillamente (hágase como ejercicio) implica que {ff } converge uniformemente a una cierta función f en [0, l), lo que demuestra el teorema.. I Ejercicio. Demuéstrese el enunciado general' del teorema siguiendo los pasos de la demostración anterior. La demostración que aquí daremos del enunciado general del teorema de Ascoli-Arzelá, resulta fácilmente como consecuencia de unos cuantos principios generales gu€, por su interés intrínseco, presentaremos separadamente. 3.1.3. Teorema. (Principio de selección de Cantor.) Sea {f¡} una sucesión infinita de fmzciones definidas en E C R" con ualores en R ' unif orme-

3.I.

TEOREMA DE ASCOLI.ARZELA

65

nrcnte acotada. Sea D C E un coniunto nunrcrable. Entonces existe una s?.tbsucesión d" Uo) que conuerge en D. y s e a l /r( r)l < .M para toda k y Dp l u o srnnc ló¡ , I . S ea D :{ e t,o z ,a t,...} toda x € E. Consideramos primero {f x@)}. Puesto que es una sucesión acotada de f,lrrr existe (teorema de Bolzano-Weiertrass) una subsucesión que converge. Sea ésta {f'rfu)}. Consideremos ahora la sucesión {f'*} y sus valores en ez, {fl,(ar)¡. Como es acotada contiene una subsucesión {fi@r)} convergente. Consideramos {fi} subsucesión de {fl }. Observemos que converge E\ a1 y az. Siguiendo así, obtenemos para cada h una sucesión {ff } subsucesión de {fi-t} que converge Err e11e2,...,e'uConsideremos ahora {ff,}. Como {fi},o¿¡¡ p?to. h fijo es subsucesiónde {/'¡} resulta que converge en dbaz,...,at,. Por tanto, lfkr) converge en todo D. Esto demuestra el teorema. I Obsérvese la generalidad de este teorema en el que no se impone condición alguna sobre E. una sucesión 3.1.4. Teorema. (Principio de propagación.) Sea {fr}É, de funciones definidas en ECR" A con oalores en R"'. Sea {f¡} equicontinua en E ll conergente en D C E, g D denso en E. Entonces {f ¡} conuerge en E. DemosrnectóN. Sea a e E. Hemos de probar que {f tfu)} converge o, lo que es equivalente, que es de Cauchy. Esto resultará de la siguiente desigualdad: Si d € D, s e t iene:

-f o@)l+lft@)-f¡@)l+Vld.)-f¡@)l lf*(a)-fla)l( lfr(rz) En efecto, fijemos e)0. Por la equicontinuidad en E existe 6>0 si ln - rl{6 se verifica, para todo /c,

[*] tal que

lfr@)-f/¿)|.+ Por la densidad de D en E, existe d e D tal que lo- al< 6. Puesto que f x@) converge, es de Cauchy, y, así, existe ko tal que si k,i>ks se tiene:

lfr@)-f¡(ül-+ Así, para a fijo y e)0 el hecho de que

fijo tomamos este ko (a través de d) y utilizando

lf*(a)-f*(Ol.+ y

=; V¡@)-f¡@)l

;resulta,si /c,i)-ko, que también

lfr(ü-f¡@l-+

Cap. 3.

TEOREMAS BASICOS PARA LA TEORIA DE l-A EXISTENCIA

Y, Por 1*1, lfo@ )-f¡@ )l
3.1.5. Teorema. Sea E CR,, tut conjunto acotado, A sea {f *} una sz¿cesión de funciones definidas en E con ualores en R"' que es equicontiruM ll conuergente en E. Entonces {f*} conuerge uniforntemente en E. DrmosrReclóN. Demostraremos que {ft} es uniformemente de Cauchy en E, lo que implica que es uniformemente convergente en E. Sea r, a€ E. Entonces se tiene:

f l fr @) -¡f @l( i fr(r)-f t@¡l +l*@)-f ¡k)l +lf¡ @) - flx)|

t.l

y nos valdremos de esta desigualdadpara obtener la condición uniforme de Cauchy. Por la equicontinuidadde {fr}, dado e}0 existe 6>0 tal gü€, si x, a € E, l* - ol< 6, se verificará: lf dx)- f {a)t . +5

para todo /c

Vamos a recubrir E por medio de un número finito de bolas con centros en puntos de E y radios menores que E, usando la compacidad relativa de E. Consideramos la colección de bolas abiertas { B(a ,6 ):a € E } donde

B (a,6):{ze R":lz-oi <6} Es clalo que su unión recubre E, que es compacto, y, así, existe un n úm e ro fi n i t o de punt os { 4 ,, o 2 ,...,a .u } ta l e s q u e

Ua

r" l

YrB(a¡,,6)

Co n si d e r am os par a c a d a h :I,2 , ..., N l a s u c e si ón {f t@ t)}. C omo {f r} converge Err a¡, resulta que existe k(h) tal que, si k, i>k(h), se tiene:

=+ lf*(a)-f¡@,,)l

Sea/co:máx{k(h):h:1,2,...,N}, seak,i>ko, y seaÍ un punto cualquiera de E. Entonces,r está a distancia de algún eh, sez.a¡,r,menor que 5 y, así. se tiene:

Áan)l-+, lf¡@)-f lf*(x)-f ¡@n)l-+

3.I.

TEOREMA DE ASCOLI.ARZELA

67

Además, como k, i> k(ht), se tiene: e


lfr(r)-f ¡@)l<, lo que prueba eue {fu} satisface la condición de Cauchy uniformemente en E y €s, entonces, uniformemente convergente. I Para llegar al teorema de Ascoli-Arzelá sólo precisamos ahora de un lema sencillo. 3.1.ó. Lema. Sea E C R" acotado. Entonces existe D C E, D numerable, tal que D es denso en E. DrtuosrneclóN. Consideramos la colección de bolas abiertas {B(x, \: x e E}. Su unión recubre .E, que es compacto, y así obtenemos rr, xz, ...,r,v, € E tal que cualquier punto de E dista de alguno de estos Í menos de 1. Consideramos ahor a {B(x,I l2) : x e E } y o b te n e m o r rN r+ r,...,x ¡¡,€ E tal que todo punto de E d i sta d e alguno de é s to s me n o s d e Il 2 . L a s u cesi ónD :{ xt,xz,...rrN r+ r, .. . jCE o b t enida de es t a fo rma e s d e n s a e n E . I Dp¡uosrnaclóN (teorema de Ascoli-Arzelá). Por el lema precedente obtenemos D numerable y denso en E. Siendo {f"} uniformemente acotada en E, por el principio de selección de Cantor (3.1.3) se puede extraer una sucesión, que llamaremos {f*}, que converge en D. Por ser {fo} convergente en D, D denso en E, y {f*} equicontinua en E, resulta, por el principio de propagación (3.1.4), que {f¡} converge en E. Aplicando finalmente el teorema 3.1.5 resulta que { f¿} converge uniformemente en E. I A continuación presentaremos lo que significa el teorema de Ascoli-Arzelit en términos de análisis funcional. Si K C R" es un compacto y C(K, R-) es el conjunto de funciones continuas de K a R'11con la estructura usual de espacio vectorial sobre R, se puede definir en este espacio una norma del siguiente m odo: Si f € e(K, R"'), se define:

ll/ll:sup { ll(r)l: r € K} Con esta norma, el espacio e(K,R"') es completo (demuéstrese como ejercicio) y, por tanto, un espacio de Banach. La significación de la convergencia en esta norma es sencilla: fn+f (en norma ll ll) cuando f,-+l uniformemente en K. Asimismo, la acotación uniforme de {f"} significa, en términos de la norma, que {f"} es un conjunto acotado de este espacio de Banach. En estos términos, lo que el teorema de Ascoli-Aruelá ofrece es una caracterización de los conjuntos relativamente compactos, es decir, tales que su cierre es compacto, del espacio de Banach e(K,R*) del siguiente modo. Sabemos que en un espacio métrico cualquiera un subconjunto A es relativa-

Cap. 3.

TEOREMAS BASICOS PARA LA TEORTA DE LA EXTSTENCTA

mente compacto Si, y sólo Si, toda sucesión de puntos de A contiene una subsucesión que converge (véase, por ejemplo, I. DlpuoonNÉ tl960l. Esto nos da la siguiente caracterización: 3.1.7. Teorerna. un conjunto A de c(K,R',) pctcto si, A sólo si, es acotado g equicotztitzuo en K.

es relatiuamente cor?t-

DE¡rlosrRaclóN. Si A es acotado y equicontinuo en K, y es infinito, el teorema de Ascoli-Arzelá afirma que toda sucesión de puntos de A contiene una subsucesión convergente. Si A es finito, es claro que es relativamente compacto. Supongamos ahora que A es relativamente compacto. La acotación de A es un resultado general para cualquier espacio métrico. La equicontinuidad se demuestra del siguiente modo. Supongamos que A no fuese equicontinuo. Entonces, por la definición de equicontinuidad:

fe)0

V6>0

ax,U€K ,

l*-ul<0,

Jf€- A , lf (r)-f e )l> -e

I{acemos sucesivamente6 : l/k, k :1,2, ..., y obtenemos x k , Uk , l*o -U rl < l l k ,

f ,,€ A , i fr@ )-fo @ )t> ,

Si A es r:elativamente compacto, existe una subsucesión d. {/*}, que denominamos de nuevo {fo}, que converge uniformemente a f en K. También volvemos a llamar JC*, Ut a los puntos correspondientes a esta subsucesión. Como K es compacto, se puede escoger una subsucesión de { r¡ }, gue llamamos también {r¿} tal eue tr¿}z y, por tanto, U*-)2. A la sucesión de {l¡} correspondiente la denominamos de.nuevo también {f,,}. Podemos escribir:

e( llr(r*)-f t,(a)l( llr(r*)-f(lcr)l+lf(xi_f@t)l+lf@)_fx@)l Puesto gue lr + / uniformemente, el primero y tercer sumandos del último miembro tienden a 0. Como I es continua en K, sucede lo mismo con el segundo, y así se obtiene una contradicción. Esto demuestra el teorema. I

E J E R C IC IOS l.

Una función f : E CR" -+ R"' se dice que es lipschitziana localruente en E si para cada punto x € E existe una bola abierta B(x, r) (donde r puede depender de r) y una constante de L (que también puede depender de r) tales gü€, si z, U € B(x, r) n E, se tiene:

i f@)-f(y)lL
lf(r)- f(y)l< Ll*-ul

3.I.

TEOREMA DE ASCOLI.ARZELA

69

a) Sea f(r) :x?, x € [0, 1]. Demuéstreseque f es globalmentelipschitziana en [0, l]. b) Sea f(r):vt/3, r e [-1, l]. Demuéstreseque f no es globalmente ni localmente lipschitziana en [ - 1, 1]. c) La función l(r):x'' pata nlL.es localmente,pero no globalmente, lipschitziana en R. que si f :R" rfl"z es tal que }f¡l\xk, i:I,Z,...,m, d) Demuéstrese k:L,2,...,ft, son funcionesacotadas,entoncesf es lipschitzianaen R". 2.

Utilícese el procesodiagonal de Cantor para demostrar que el coniunto de todas las sucesionesinfinitas con los símbolosA y B no es numerable. (Indicación: se suponeque lo es y se disponenen cuadro las sucesiones L

AAB

AB

2BB,ABA 3

B

\ AB

B

A

\ Se toma la sucesión diagonal A B B ... y se forma la sucesiónB A A cambiando A por B y B por A. Esta sucesión no está en la lista.) 3.

Sea A un conjunto de funciones de €([0, l], R") uniformemente acotadas, Para cada f €A se define

F(t¡: i' ¡1r;ar, r € [0,t] Se considera el conjunto B de funciones obtenidas de este modo. a) ¿Es B equicontinua en [0, 1]? b) Sea {gk} C B, g*+ g (uniformemente en [0, f]). ¿Se tiene entonce sg e B? 4.

Indíquese si las siguientes sucesiones de funciones son equicontinuas o uniformemente acotadas.

a) t *]

, x€(o ,r)

b) {senkr}, r€(0, 1) 5. Demuéstreseel siguienteresultado(teoremade Dini): Sea {lr}É' C e([0, U, R) y sea para todo ú € [0, 1], t,.'(t)2f r(t). Supongamosfr(¿)Iftt) para todo t y f €e([0, 1],R). Entoncesfo+f uniformementeen [0, I]. 6.

Demuéstresecon ejemplos que la acotación uniforme y la equicontinuidad son condicionesesencialesen el teorema de Ascoli-Arzelá,es deCir, que las proposicionessiguientesson falsas: a) Sea F C e(tO, Il, R") útt" familia infinita equicontinua.Entonces existe una sucesión{f ,,} CF uniformementeconvergente.

70

Cap. 3.

TEOREMAS BAS¡COSPARA LA TEORIA DE LA EXISTENCIA

b) Sea F C e([0, l], R"') una familia infinita uniformemente acotada. Entonces existe una sucesión {f *} C F uniformemente convergente. q lc

Demuéstrese que el teorema de Ascoli-Arzelá no es aplicable, en general, si el coniunto de definición no es relativamente compacto. Demuéstrese, por ejemplo, que existe {/r}EtCe([O,oo),R] tal que la sucesión es uniformemente acotada y equicontinua, pero no contiene ninguna subsucesión que converge uniformemente. Sea {fr}Ét una sucesión de funciones f*zÍ0,11->R" tal que cada f¡ es creciente en [0, l]. Supongamos que {f t@)} converge para cada r € [0, U a f(x) y que f :[0, 1]+R es continua. Demuéstrese que fo+f uniformemente en [0, I].

9.

Demuéstrese que el teorema de Ascoli-Arzelá es cierto también sustituyendo la acotación uniforme por la condición siguiente: Existe M>0 y ro€E tales que, para cada / de la familia, l/(¡o)l<M. Aquí E:[0, 1).

3.2. APROXIMACION DE FUNC¡ONES El problema principal que aquí se trata es el siguiente. Dada una función continua que se anula fuera de un compacto, i€s posible encontrar f:R"->R una sucesión de funciones {l¡} con infinitas derivadas continuas que converja uniformemente a la función f? El interés de tales aproximaciones se deriva de la siguiente técnica, de uso frecuente, eu€ describimos vagamente. Se trata de resolver un problema P(fl relativo a una cierta función. Para una función suave h resulta que se sabe resolver el problema P(h) y la solución es una función S(l¿). Por otra parte, se sabe que las soluciones S(/2,,),correspondientes a una sucesión de funciones {h"} que convergen uniformemente a una función h, convergen a una función S(h) solución del problema P(h). Así, dado el problema P(f) bastará aproximar f uniformemente por una sucesión {f"}, resolver P(f,,) obteniendo S(f,) y pasar al límite S(l), solución de P(l). Para resolver el problema de aproximación viene bien considerar primero el problema de extensión siguiente.Dada una f :K CR"-+R continua y definida en K compacto, iSe puede obtener F: R" -> R, F continua, tal que Ia restricción FIK de F a K es f? La solución de este problema la da fácilmente el teorema de extensión de Tietze-Urysohn (véase I. DEt¡oow¡cÉ t19601). Sin embargo, para lo que aquí necesitamos, el siguiente lema, más sencillo y fácil, nos será suficiente. En la solución del problema de aproximación que aquí presentamos aparecen algunas nociones de gran importancia y de uso constante en el análisis moderno. 3.2.1. Lema. Sea f : B(0, r) C R" + R una función continua. Definimos F : R" -+ R del siguiente modo:

( f(r)

si l"l <'

F ( r ) :lr ( ,fru) t,t>,

3.2.

APROXIMACION DE FUNCIONES

7l

Entonces F es continua en R'' A su restricción a B(0, r) es f . Si se define h:R" -> R mediante

l rl(' l x l 22r

lrl :lt+(1- ))2r, O
entoncesIa función G:R"-+R definida por G(x):p1*)h(x) es contirutaen R", su restricción a B(0,r) es f A se anula fuera de B(0,2r). La demostraciónse deja como ejercicio. Obsérvesela significación geométrica de F, con la que su continuidadresulta sencilla.Asimismo la continuidad de h es clara si se considerasu forma de construcción. una función cualquiera.Se denonzinasoporte Definición. Sea f:R"+R de f a se anota sop(D aI coniunto intersecciónde todos los cerradosK de R", tales que f es nula fuera de K. La familia de todas las funcionesde R" a R con infinitas derivadascontinuas respecto de todas las variables y con soporte compacto es muy importante en análisis y se denomina Go-(R9. El subíndice 0 indica soporte compacto. El superíndice indica el número de derivadas. Así, eE(/^) designa las funcionescon tres derivadascontinuasy con soporte compactocontenido en A. No es obvio que existan funciones en e3"(R9 no triviales. A continuación construimos una básica con la que obtendremos despuésotras muchas. Definimos rfr*: R" -+ R mediante L

e xpI (l rf_ l )\ 0

l " l <1 " si l *l >L

designandoexp(a):en para a € R. Represéntese la gráfica de Ú* pdr?,n:I. Se deja como ejercicio establecerque ú* es continua en R" (los únicos puntos en cuestiónson los de l"l : l). Además, se calculanfácilmentelas derivadas sucesivasde r/r* respectode todas las variablesy se observaque son todas continuas. Así, ,lr* € e['(R'). Además, claramente, soP(r/'*):B(0, 1) A partir de ú* construimospara cada e)0

la función ú. siguiente.Sea:

dr)o *: Io,ú*(r) y ú: R" + R definida por

4rü:+ú*(r) Escribimosentonces

(+) ú,(x):e-,.ú

T2C a p . 3 . T Eo R EM A S B A sl co S P A RA L A TEoR|ADELAEX|STENC|A

La familia {.1,.}.>o satisface las condiciones siguientes: Ú.(r))0

para todo

xeR" , ú . € e 8 " (R " ),so p ({r.):{ rlr: l( ei

J ú.:t,

y permite resolver el problema de aproximación de la siguiente forma. Sea f € e'(R") (función continua con soporte cotn' 8.2.2. Teore¡ra. Ias funciones que acabanzos de definir. A conpacto). Sean ú,, pqra e)0, tinuación definimos: .f

dz ¿a: I f@)ú,(x-z) f,(x): I t<*-úú,@) - Ru

'R r

Entoncesf,e etr(R") A f,+f

en R" para e+0. uniforrnetnente

DrmosrneclóN. Las integrales de arriba están bien definidas, Y? que f € eo(R")y ú,€ ef(R"). Seasop(f):K y seaK:{r € R":d(x,¡Q<e }. Com' probaremosprimero que sop(fJ C K.. En efecto, como

f.(x):l

ff*-i ú ,@)d a , si xQK u , Y lYl< .

' lvl<.

se tiene r-Aff K y, por tanto, f(x-U):Q. Así, l.(r):Q para tr # K,, Y, por consiguiente,sop(f.) C K. Que l. € ef(R") resulta de 'que, siendo

f ,(x): I X¿ú.(r- z)dz 'Rn

cuantas veces y Ú.€C;, f € eo, Se puede derivar respecto de Xr,X2,"',X" se quiera baio el signo integral. uniformemente en R" para e +0' Finalmente demostraremos que f,+f Podemos poner: \ t

da-f@)l t,(x1:lf.(r)- f(r)l: I I ft" - 1i,Ú,,@) f

y, siendo

dA:I, JrV,fUl

du: dal< i Vr-- o - f@)lqt,@) /.(r): tI va - ú - f(x)]|t,@)

: I vo- a)- f(x)l..-"'!' É) *

3.2. APROXIMACION DE FUNCIONES

Haciendo el cambio z:y/e,

73

resulta:

- f(x)lú(")az<m /.(r) ( | VO- ez) I

lzl< I

V@- ez)- f(r)ldz

siendo M:sup {ú@):zeR"}. Como f es continua y tiene soportecompacto, es uniformementecontinua en R". Por tanto, dado ?>0, existe 6>0, tal que si he R", l/rl<6,entonces,para cualquiertr€R,', lf(*-h)-f(x)l1r¡. Por consiguiente,si e{6 y lzl (I se tiene l-l<6 y, así, el integrandode la última integral es menor que n. Así, dado 4>0 si e(6, se verifica, para todo x e R", /.(r) { MNq, siendo N el volumen de la esfera {z: lzl< I }. Por tanto, f , + f uniformementeen R,, para e -+ 0. I La forma de definición de las funciones f,, a través de la integral af

- ¡da : I f@- z)g,(z)dz f,(x): I f@),¡',t* 'Rr

'Ro

es muy importante en el an¿ílisisactual. Para dos funciones continuas y con soporte compactof y S se puede definir una nueva función h:R"-+R mediante

h(x):

rf

f

- z)g(z)dz du: ) tO ú e@) J ft*

que se denomina la convolución de / y g y se escribe h :f* g :g * f

(Para comprender la utilización y desarrollo de tal noción puede verse el último capítulo de N' Boun¡nxt ll972l') uNIl¿[asIDAD DE LA REpuB FACUI.TÁ) DI] II.JGTNIf.R

E J E R C I C I OS

DEP.^llT.^ l;iElri'O l),8 Y DiTli,IO DOCLTMbIN'l'¿C:líj¡{ NTOI{TEVlD!]O- URUGU.A

l.

Sean Ky KzC R" compactos no vacíos disjuntos. Demuéstrese que existe una función f de €i"(R') que vale I en K1 y - t en Kz.

2.

Sea K un compacto contenido en un abierto G de Ru. Demuéstrese que para todo x€R" tal que 0(f(r)(t existe f eeflG) y f(r):l en un entorno de K.

74

3.

Cap. 3.

TEOREMAS BASTCOSPARA LA TEORTA DE t_A EXTSTENCTA

sean Gv G2, G3, ..., G* coniuntos abiertos de R", y sea K un compacto contenido en U G;. Demuéstreseque existen funcionesfr,fr,...,fr tales que fie eí(Gt), f lr)>0 para todo r € R",

I,nr*, para todo r € Rn y k sl

), f lt):r

si r está en un entorno de K. 4.

Sea Qi@):(l-sz)n para r€[-1,U, ft_ l

dx:d.,, y l_rQl,t*l

n:L,2,3,...Sea

Q"@):ftQi{*),

de modo que rL

I o,("):t

J_l

SeaI una funcióncontinuaen [0,t] y nula fuerade [0,1]. Definimos para r, € [0, U : rr rr P,,(x): I f(z)e,k - z) dz: I f(x - ü e,,@)da u- l

5.

Demuéstreseque P,,) f uniformementeen [114,314].. Demuéstreseque el espacio€([0, U, R) normado con la norma del supremo del valor absoluto no es de dimensión finita, pero es separable]es decir, existe

{fr}i c e([0,u, R) tal que el subespaciovectorial linealmente engendradopor las tf*l denso en todo el espacio. 6.

es

Demuéstreseque, si para dos funciones continuas f , g de e([0, l], R) se tiene, para cada /c:0, Lr2,..., eue rt fr I ftrl skds: I g(s)sftds, "o 'o entonces f = g.

3.3.

TEOREMAS DEL PUNTO FIJO

75

Como consecuencia,demuéstreseque C([0, U, n) tiene la misma potencia que los números reales. 7.

Sea I función continua de R ? R, periódica de periodo 2n. Demuéstrese que, dado e)0, existe un polinomio trigonométrico P(t¡:i,

,o" cosnt + b,, sennt)

con &n, b,,€ R, tal que, para todo t e R, se tiene:

lP(t)-l(t)l<€ 3.3. TEOREMAS DEL PUNTOFIJO

,

Los teoremas del punto fijo son teoremas fundamentales de existencia. En un gran número de problemas relacionados con la solución de ecuaciones diferenciales de la mecánica y de otros campos de la Física constituyen la única herramienta actualmente conocida para demostrar la existencia de soluciones. El primer teorema del punto ,fijo surgió de modo velado en la demostración dada por Plcnno, en 1893, de un teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, que ya era conocido por LTowILLE en 1838. La formulación.abstracta en la que de ordinario se presenta es debida a Ber.IncH (teorema 3.3.1, de la aplicación contractiva). El teorema del punto fijo más importante para espacios de dimensión finita es debido a Bnouwen (1910) (teorema 3.3.2), que admite una generalización para espacios de dimensión infinita [teorema de Birkhoff-Kellog (L922)]. Otra generalización la constituye el teorema de Schauder-Tychonov, del que aquí se presenta una versión particular, el teorema 3.3.4, que utilizaremos en el capítulo 4. Los teoi'emas del punto fijo tienen multitud de aplicaciones, algunas de las cuales se presentan al final de esta sección. Teorema. (Aplicación contractiva.) Sea E un espacio métrico 3.3.I. una aplicación tal que, para todo par x,AeE, se tenga completo A T:E+E d(T(x),T(fi)<.ad(x,A), siendo a fija, a1L. Entonces existe ?u1 tínico punto fiio parcr T, es decir, un punto ze E tal que T(z):7. D¡uosrnrcróN.

Tomamos un punto cualquiera xse E A sea h:

T ( x i , Íz :T (x t), ..., )c k + t: T (x * ),

Demostraremos que { r¡ } es de Cauchy y así converge a un punto z. En efecto, se tiene: d(x*, Ír*r) :d(T(xrt),

7(rr)) {ad(x¡-1, x¡)

76

Cap. 3.

TEOREMAS BASICOS PARA LA TEORTA DE LA EXTSTENCTA

Por tanto: C(x¡, x¡*1)4akd(xo,x)

Y, aSí, d(r*, x*+t,)( d(¡r, x*+t)+ ... + d(xo*,,-r,Í¿*D ( ( (ao¡ qk+t+ . . . + r'k+tt-t)d(xs, x1)*

*

d(xs, x1)

lo que demuestra que la sucesión es de Cauchy. La aplicación Z es evidentemente continua, y así se tiene, para el límite de {r ¡}: T(z):T(

lím xt): lím T(x*): Iím xk+t:z &- ) ¡ c

/t+cr o

&+oc

y, por tanto, z es punto fijo. Si hubiera otro punto Af z tal que T(A):A, entoncesse tendría: d(A,z): d(T(A),Tk))
V(x):T(x)-x,

r€[0'1]

A continuación presentamosdos demostraciones,válidas para n:2. La primera de ellas no es generalizablepara n)2, pero la segundasí. Aunque la presentación de esta última demostración para n)2 no requiere ninguna idea nueva, requiere un lenguaie adecuado (el de la topología algebraica)y por eso nos limitamos a presentarlapara n:2.

3.3. TEOREMAS DEL PUNTO FIJO

DE¡uosrRacróN (l). (Véase R. Couna¡lr y H. Rosslxs ÍL9671: págs. 251255.) Supongamos que ningún punto del círculo .B(0,1):K es fijo. Cada punto P de él'va al punto T(P):P'+P, definiendo así un vector no nulo de o rigen Pye xt r em oP ' . Estudiaremos el número de vueltas u(r) que el vector PP' da cuando P recorre cada una de las circunferencias C(r) de centro O y radio r en sentido positivo, y de aquí surgirá una contradicción. Para cada punto de coordenadas polares (r,a), 0(a¡(360, consideramos las infinitas determinaciones del ángulo que PP' forma con la parte positiva del eje Or. Si r es fijo se obtiene así un conjunto F,' de infinitas funciones de a¡ € [0,360) a R cuyas gráficas son curvas continuas, traslaciones unas de otras mediante un múltiplo entero de 360. Sea a,(a) una cualquiera de ellas. - a,(0) es u(r)360, siendo u(r) un entero, Entonces es claro que ,!í!*o,{r) y a que l a p os ic ión del v e c to r PP ' c u a n d o p :(r,o t) es tal que @ + 360 se aproxima a la del vector QQ' para Q:(r,O) y' así, en la diferencia anterior, u(r) expresa el número de vueltas que PP' da cuando P da una vuelfa sobre C(r). También es claro que las infinitas curvas de F,, u correspondientes a C(r + e) se aproximan tanto como se quiera a las curvas correspondientes a F,, si e es suficientemente pequeño. Así, u(r) es una función continua de r para r € (0, U. Como o(r) toma valores enteros solamente, la continuidad implica que u(r) es constante sobre (0, 1]. Calculemos u(l). Consideramos para cada punto (1, a¡), 0 (a¡{360, las infinitas determinaciones del ángulo que la semirrecta tangente en (1, a¡) a C(1) en Ia dirección de la <,rcreciente forma con la parte positiva de Ox. Se obtiene así un conjunto S de infinitas funciones de [0,360) a R cuyas gráficas son segmentos traslaciones de t:e)+90 mediante un múltiplo de 360. Como para de C(1) resulta que PP'está dirigido hacia el interior todo punto p:(l,ar) que está en C(t) de los dos determinados por la tangente en P del semiplano a C(l), resulta que los segmentos de S separan las curvas de F1 y, así, tomando una curva cualquiera a¡(a) de Ft y las dos gráficas consecutivas de S entre las que está comprendida, resulta claramente que u(l) sólo puede ser I (véase la figura).

lim o t(o) ( r r + 36O

78

Cap. 3.

TEOREMAS BASICOS PARA LA TEORIA DE LA EXISTENCIA

p.ra todo / € (0, Il. Por tanto, o(r):t como veremos Pero, a continuación, pata r pequeño u(r):O, lo que contradice lo anterior. En efecto, si r es pequeño y P:(r, ot), resulta que para ú, arbitrario P' se mantiene cercano a la imagen O' de O por ?, en virtud de la continuidad, y así el vector PP' se mantiene siempre en la misma orientación aproximadamente. Dicho de otro modo, las gráficas de la familia de curvas de F,. se mantienen tan cercanas como se quiera a los segmentos t: d + k.360, /c:0, tl, t2, ..., donde o¿ es una cualquiera de las determinaciones del ángulo que OO'forma con Or. Así, resulta claramente u(r):O para r pequeño. Esta contradicción prueba el teorema. I Para la segunda demostración que daremos del teorema de Brouwer utilizamos el lema siguiente, debido a SpBnNrn. En R2 consideramos un polígono cualquiera con su interior P, tal que el borde de P no tiene ningún punto múltiple. Se denomina une triangulación S de P a una partición cualquiera de P en un número finito de triángulos, de tal modo que, cada dos triángulos, o bien son disjuntos, o bien tienen un vértice común solamente, o bien tienen un lado entero común, es decir, se excluye que un vértice de uno se encuentre en el interior de un lado del otro. Fijemos sobre el borde del polígono P tres vértices de la triangulación ABC. Diremos que la triangulación S se ha denominado segtitt Ia regla de Sperner si cada vértice de los triángulos de S ha recibido un nombre A, B, C, de tal modo que si un vértice se halla sobre el trozo AB de la frontera de P su nombre es A o B, si está sobre BC es B o C y si está sobre CA es C o A. 3.3.3. Lema. (Lema de Sperner.) Sea P ut7 polígotto, cot?to se indica arriba, A S una triangulación de P denominada según la regla de Sperner. Entonces existe un triángulo de Ia triangtlación cuAos uértices lleuan los nombres A, B, C, respectiuanzente. De¡uosrnaclóN. Procederemos por inducción sobre el número de triángulos de la triangulación. Si S consta sólo de un triángulo el resultado es obvio, ya que P coincide con ese triángulo. Sea P un polígono con una triangulación de h+ 1 triángulos. Supongamos el lema cierto para cualquier polígono p del tipo citado y una triangulación cualquiera de h o menos de h triángulos. Tomamos el trozo de borde AB de P y lo recorremos vértice a vértice de la triangulación, de A a B. Si el primer vértice se llama A, seguimos, si el segundo se llama A, seguimos, y así hasta encontrar el primer lado AB de la triangulación sobre dicho trozo del borde. Entonces consideramos el tercer vértice del triángulo correspondiente a dicho lado AB. Si se llama C el lema se cumple. Si no se llama C, entonces será A o B (obsérvese que este tercer vértice puede estar en el interior de P o sobre el borde). En todo caso, si en S suprimimos este triángulo obtenemos un nuevo polígono p del mismo tipo y una triangulación S' de p con, a lo sumo, ft triángulos. Además, la triangulación está nombrada según la regla de Sperner, como es fácil comprobar. Así, por la hipótesis inductiva, el lema es cierto. I

3.3.

79

TEOREMAS DEL PUNTO FIJO

DsuosrnlclóN DEL TEoREMADE BnouwEn (2). La demostración basada en el lema de Sperner procede ahora como sigue: Obsérvese que basta probar que la propiedad del punto fijo es cierta para una figura cualquiera Il homeomorfa a E(0, l). En efecto, si h:H+E(O, 1) es el homeomorfismo, entonces h -tT h : H + H es una aplicación continua de H en H. Así, si ? es un punto fijo para ella:

h -tT h (e ): e y, por tanto, es punto fijo y así el punto h(Q):P es tal que T(P):fu(Q):P paru T. Tomamos ahora una triangulación S¡ cualquiera de H, tal que todos sus y sea T: H + H una aplicación continua. Supongamos que T no tiene un punto fijo. Observemos primero que cualquier punto L de I/ queda determinado unívocamente por sus distancias rn, n, p a los lados BC:a, CA:b, siendo / la longitud del lado. Así, para dos puntos AB:c y que m+n*p:2/, cualesquiera distintos 11, L2 se verificará necesariamente ntrl?ll,, o bien ltt1txz, o bien pt1pz. Tomamos ahora una triangulación 51 cualquiera de H tal que todos sus triángulos tengan diámetro menor que er)O. Sea L un vértice cualquiera de esta triangulación y fl?, n, p sus distancias a a, b, c, respectivamente. s e á n n t' , tx ' , p ' . Si l v } .t ?t' denomi namos A al A s im i smo , par a L' : T ( L) d e n o m i n a mo sB y si nz{nt' , /t{ .n' , p rel="nofollow"> p' n\n ' l o v ért ice Z, s i m lnx ' y lo denominamos C. Esta denominación sigue claramente la regla de Sperner y, así, según el lema anterior, existe en 51 un triángulo A1B¡C1. Tomamos €e.1.0 y obtenemos de la misma forma ArB*Ct, de diámetro dista de a más que A¡, Bi:T(Bi dista menor que G.¡tales que Ai:T(A*) de b más que B¡, C',:T(C*) dista de c más que C¡. Como I/ es compacto, por el teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsucesión de A¡, que, por comodidad de notación, escribimos también {Ar}, que converge a P € 11. Es claro que las sucesiones correspondientes {Br}, {Cr} convergen también a P. P ar a a l g u n o d e l o s l a d o s d e H , por ej empl o b, P ' di sta S ea P':T(P) + P . de b menos que P. Pero se tiene: d(P" b) : d(T(P), b) : d (lím T(B*), b) :o1g

> lím d(Bub): d

111

d(T(B ), b)>

B*,b): d(P,b)

lo que contradice d(P',b)<.d(P,b). Esta contradicción hace insostenible la hipótesis de que T no tiene ningún punto fiio y el teorema queda demostrado. I 3.3.4. Teorema. (Teorema de Schauder-Tychonov.) Sea E:e(10,1],R") el espacio de Banach de las funciones continuas de 10,ll a R" con la norma ll ll det supremo del oalor absoluto. Sea B la bola unitaria en este espacio,

B :{fe E :l l fl l
Cap. 3.

TEOREMAS BASICOS PARA LA TEORIA DE LA EXISTENCIA

Sea T: B + B una aplicaciót?,continua (respecto de ll ll,) tal que T(B) es relatiuantente compctcto.Entonces T tiene un punto fiio, Obsérvesegü€, en virtud de1 teorema 3.L.7, decir que T(B)CB es relativamente compacto equivale a decir que T(B) es una familia equicontinua de funciones' ,, i'L* F;1'"t];,1'r"1í. De¡nosrnectóN.'Fijemos un entero positivo k. Consideramoslos puntos Olk, llk,zlk, ..., k-Llk, klk de [0, 1]. Tomamosarbitrariamente k+I puntos de la bola unitaria cerrada .B(0,1) de R,,, eo, et, a2, ..., ek-t, ek y definimos una función x e B del siguiente modo: x(0I k) : ao,x(LI k) : ar, . .., x(k - LI k) : clk-.,x(kI k) : q* y en los puntos intermediosse define r(r) por interpolaciónlineal, es decir, si

t:x!+(t-I) kkL-

+

p a ra0
x(t¡:)ta¡'i

(l - )')a¡*t

entonces

La función tr es de .8, como se comprueba fácilmentl, y, por tanto, tiene sentido considerar su imagen por T, que denotaremos Tx, que es también de B. Así podemos considerar los elementos de B(0, l)CR" siguientes: a6: Tx(OI k), aI : T r(I I k), . . ., ei -t : T x(k - U k), ai : T x(k I k) Po r e ste pr oc es o, a pa rti r d e l p u n to a rb i tra ri o a :( ch,et,ez,...,e* _t,e* ), de K : B ( 0 , 1 ) x .B (0 ,l )

"

... x B(0 , I) ( fl" tt+ t¡

hemos obtenido a * :(a t, a Í, a I, ..., a Í_ t, ñ )

también de K. Como K es homeomorfo a la bola unitaria cerrada de Rn(ft+r) y Ia aplicación e € K+ a *

€ K

es continua, por la continuidad de T, resulta del teorema de Brouwer que t iene u n p u n t o f ijo. S ea é s te a :(d o ,d t,...,d ¡), q u e e s tal que a*: ( ñ ,

A L ..., d tr):d .:(c toa, t, ..., dt)

R eco rd em oslo que es t o q u i e re d e c i r. L o s p u n to s d s,dr,...,á¡de B (0, 1)C R " dan lugar a una función que llamaremos r¿ de B por el proceso anteriormente indicado. Se considera T.rr y se tiene:

a6: T xr(oI k), ..., Ai: Txk(kIk)

3.3. TEOREMAS DEL PUNTO FIJO

Teniendo en cuenta la igualdad d*:d,

8l

resulta:

Tx ¡(0I k) : r r(0I k), ..., Tx ¡(k I k) : x*(kl k) E s d e ci r, las f unc ior l€Sr¡, y T x * c o i n c i d e ne n l o s p u n tos }l k,Ll k,zl k,...,kl k de [0, l]. Aunque estas funciones no sean necesariamente puntos fijos de T, es de esperar que se aproximen a un punto fijo cuando /c crezca. Para formalizar esta idea acudimos al teorema de Ascoli-Arzelá. Como {Tx¡l¡ es equicontinua y uniformemente acotada en [0, l], contiene una subsucesión, denominada {Txo'} por comodidad de notación, que converge uniformemente en [0, 1] a una función p de B. Demostraremos a continuación que también la subsucesión correspondinete { rr,} converge a p uniformemente en [0, l]. Así, por la continuidad de T, resulta T p :7

( l ím x * ' ): l ím T x ¡,:p

y, así, p es punto fijo para T. Para ver que x*,+ p uniformemente en [0, 1] bastará comprobar que, dado e )0, existe /c'(e) tal que si k'2k'(e) entonces p a ra to d o t € [0, l ]

l*o' ( t ) - Tx ¡' (t) l (2 . -va

que sabemos que Tx¡, + p uniformemente en [0, 1].

Sabemos que { Txk'} es equicontinua en [0, l]. Así, en particular, podemos e scribi r (e q uic ont inuidade n l o s p u n to s h l l c ' , h :0 ,1 ,...,k' ) Ve )0 ,

36( e) ) 0,

Yk',

V /z e n te ro , 0 < h (k ' ,

Y t,

l t-hl k' l < 6(e)

(., - x*,(hlk')l lTro'ft)- Txr,(hlk')1,:lT*¡,ft) donde la última igualdad proviene del hecho de que -

Ík,

(#)

Si l/k'( 6(e), entonces,para todo ¿€ [0, l], existe h, 0 < /¿< k'- 1, tal que hlk'4t
: i"o,(4- x¡'(hlk')l( Itoft + rllc')- x¡,(hlk')l :lTx¡'(h+ llk')- Tx*,(flk')l <.

82

cap. 3. TEOREMAS BAsrcos PARAr-A TEORTADE LA EXrsrENc¡A

Así, dado e)0, lTx¡,(t) - rr,(r)l ( 2e

para todo r € [0, l],

si /c' es suficientemente grande. Esto demuestra QUe r¡' P Y, como se ha visto antes, esto implica que Tp:p. l -

E J E R C T C IOS l'

Demuéstrese el teorema del punto fijo de Brouwer para n:L el método presentado aquí.

2'

Demuéstrese' utilizando el teorema de Brouwer, que la ecuación t t' + 53 " o * J 7 I

I : 7 j -z ' -z +

z-?' -

siguiendo

I :O a1

tiene una solución z € C. 3.

De mu és t r es e

que s i / : (r, ú e [0 , l ]x (-o o , + o o )-+ R-.* es una funci ón con_ tinua y tal que satisface }1ms.fít", .o"ii""", ü<M¿*, flt*, a¡ "óonii""á-] entonces existe una única at.x € [0, U-+ u@)é n -función tal que f(x,U@D:Q para todo r e [0,i]. 4- Demuéstreseque si K c R',, k + ó es un compacto y Fr (g es la frontera de K, no existe ninguna apiicación T: K + Fr"(g coitinua v iár que todo punto de Ia frontera sóa fijo. 5' Se define /2 como el espacio vectorial sobre R de todas las sucesiones a:{a*}? de números ieales tales que oo

sr ) a í.1 n /_) I

con Ia norma o / s-r

\ l/2

lloll: |\' )'g7, 1 / I

En 12se define el cubo de Hilbert, e, del siguientemodo: Q:{a€12: laolB punto fijo.

lr:llall
3.3.

7.

TEOREMAS DEL PUNTO FÍJO

83

Se considerala aplicación f :R'->R2 definida para (x,A) €R2 por la la siguienteexpresión: f(x, A): (4 senr, 5 sen(U+ 2))

Demuéstreseque / tiene al menos un punto fiio. B. Sea la función f : [0, l] x [0, l] -+ R2 definida Por /1 I \ @'+f)) f(x,ú: (Élsen(xzf+3)1, Estúdiese si tiene un punto fijo y si tiene sólo uno. g. Sea f:BCR"-+R", f continua, B convexo compacto y P€É. Sea para pl todo x € Fr (B). Entonces f(B) contiene P. rl < l* lf(r) '- Como ionséiuencia resulta el siguienteteorema, sustituto del teorema de la función implícita en algunos c¿lsos: continuay tal que existee)>0, de modo que sea f:B(Q, 1)CR,+R" :l entonceslf(r)-rl (1-e. Entonces si ltl /(E(0, I)) f B(0, e).

10. Demuéstrese que no se puede pegar en cada uno de los puntos de una bola de billar un pelo (tangencialmente a la bola) de modo que el campo de direcciones de los pelos resulte continuo.

tt.

Aplíquese el lema de Sperner para demostrar el siguiente teorema (teorema del enlosetado de Lebesgue): Sea T un convexo compacto de interior no vacío en R2. Entonces existe e)0 tal gu€, para cualquier recubrimiento de T mediante un número finito de conjuntos cerrados de diámetro menor que €, existe un punto de T que pertenece por lo menos tal a tres de los conjuntos recubridores. De otro modo, existe e)0 que, si ," , F o :F o , 6 (F * )(e , TCUFk, entonces existe , e T ,r'rl que z € F¡,

almenos para tres subíndices k.

1l,R) consideramos la transformación TzX-+X del siguiente modo: I T x (t): ,fx r(t)+ L -t2 f

L2. En X:e(,-1,

definida

a) Demuéstrese que Z tiene un único punto fijo con valores positivos, y menores o iguales que l, es decir, que existe un único z € X tal que Tz:z y z(t))0 para t € f.- I, ll. Hallar esta función z. b) Demuéstrese que si es xs(t) = I y se define Í1:Ttrcs, x¡*:Tx¡,, k:I,2, ..., entonces la sucesión {rr} converge uniformemente a z. c) Obsérvese que cada x¡, es un polinomio en t. Obténgase de lo anterior una demostración del teorema de aproximación de Weierstrass. (Esta demostración se debe a C. VIssrn.)

Cap. 3.

TEOREMAS BASTCOSPARA LA TEORTA DE LA EXTSTENCTA

t3. sea X un espacio métrico completo. para cada ?€R

sea Ar:x->x una transformación contractiva con constante dd contracci ón' a, con 0{a{I, independiente d.-T. Sea yo€x el punto fijo de Ar. Demuéstrese que ri To -+ T para k -> oo, entonces i, o+ Ur.

14. Demuéstrese que existe una función f continua de [0, l] a R tal que para todo t € [0, l] se verifique ft

/(t):+ I s2sen/(s)ds uo t 5. Se-axfó

un espaciométrico compacto y designemospor d su métrica. Sea ?tX?X una aplicacióntál que-d(Tx,rü
16. Sea G un abierto de R" x R'n. Denotaremoslos puntos de R,'x R,,, mediante (x,a) con Í €R", ae Ru,.Sea F:G+R,i una función continua y con derivadacontinuaen G tal que para un punto (a,b)€G verifica:

F(a,b):s, ¿.tI 3I-\ tu,ul+ o \ üa /" Demuéstrese, mediante el teorema de la aplicación contractiva, que existe un entorno V de a€R" y una función g:v->R,', continua ial QU€, para toda r e V, se verifica F (x , 9 @ )):e

t7. Utilizando el teorema de Brouwer, demuéstrese el teorema fundamental del álgebra, es decir, demuéstrese que si

P(z) - 2,,+ ctr7,,-l+ ... * a,r_12 * a,, es un polinomio con coeficientes a¡, ..., e,, complejos, entonces existe al menos un número complejo ( tal que p(O:0.

4 EXISTENCIA, UNIGIDADY PROLONGABILIDAD DE SOLUCIONES. DE PARAMETROS DEPENDENCIA Y VALORES ¡NICIALES

En este capítulo aplicaremos los resultados obtenidos en el anterior para establecer diversos hechos sobre la existencia, unicidad, prolongabilidad y diferenciabilidad de soluciones del problema de valores iniciales o problema de Cauchy. El problema de la existencia se reduce primero al de Ia existencia de un punto fijo para una cierta transformación integral. Bajo diversas condiciones se puede aplicar el teorema de Schauder-Tychonov o el de la transformación contractiva, o se puede aplicar más o menos directamente el teorema cle Ascoli-Arueld. El teorema de Schauder-Tychonov proporciona teoremas de existencia en condiciones generales en las que el teorema de la transformación contractiva no es aplicable. El teorema de la transformación contractiva, en cambio, ofrece la ventaja de proporcionar, cuando es aplicable, un proceso de aproximación a la solución. Estos aspectos se tratan en las secciones 4.I y 4.2. Como veremos, en muchos casos Ia solución del problema de existencia obtenida por los procesos anteriores es local, es decir, se obtiene una solución en el entorno de un punto. Surge entonces el problema de su prolongabilidad a entornos más amplios. De esto se ocupa la sección 4.3. En muchas de las ecuaciones diferenciales de la Física y de la técnica aparecen parámetros o constantes cuyo valor se conoce sólo con cierta aproximación. Las soluciones dependerán de estos parámetros. Resulta interesante examinar la dependencia de tales soluciones respecto de estos parámetros, así como respecto de los valores iniciales. Ambos problemas son en cierto sentido equivalentes y de ellos tratan las secciones 4.4 y 4.5. El tema de las inecuaciones diferenciales es reciente y de gran importancia en el estudio de las ecuaciones diferenciales mismas. En la sección 4.6 se ofrecen unos pocos resultados de esta teoría a modo de muestra. Mediante los métodos que aquí se utilizan se obtienen fácilmente teoremas de unicidad más fuertes que los presentados en las anteriores secciones.

86

Cap. 4.

EXISTENCIA, LJNICIDADY PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

4.1. EL PROBLEMA DE CAUCHY.SOLUCION GLOBAL El primer teorema de existencia es una aplicación sencilla del teorema de la transformación contractiva y se suele denominar teorema de Picard-Lindelóf. La demostración que aquí se presenta procede de A. Brcr¡cru [1956]. Antes de presentar este teorema veremos cómo se reduce el paoblema que nos ocupa a la determinación de un punto fiio para una cierta transformación integral. El problema de ualores iniciales o problema de Cauchg consiste en lo siguiente: Se d a u na f unc ión f : lt o ,trfx R ,,-+ R , c o n ti n u a A se da un punto fo€R " . Se pide hallar, si es posible, una función x:lts, ttf + R"

de

etlto, f,l, R")

tal que

x'(t¡:fft,

xlt¡¡

para

t e Íto,tJ

y tal que r(ro¡ : go Se comprueba de inmediato que el problema de Cauchy es equivalente al . siguiente problema. Dadas f a fl como arriba, hállese x € e\Íto, ttf, R") tal que para todo

t e fto,tl

r(r): f + i' t,r, r(s))ds "r o

En efecto, si r(r) satisfacela ecuaciónintegral propuesta,se tiene r(ro¡:Eo y x'(t):f(t,x(t)) por el teorema fundamentaldel cálculo. Recíprocamente,si r(r) es solución de la ecuacióndiferencialy consideramosIa función:

s(t):e* trfo'f(s,r(s))ds resulta: g(fg): { : x(tú y g'(t):f(t, x(t)):1¿'1¡¡ y, por tanto, g(t):x(t) para todo t € Íto,tJ. Como se observa, si definimos, para x e e (lto,úr],R"), la transformación x + Tx mediante Tx(t):f + f 'f,r, r(s))ds u to

es claro que Tx€ e(fto,f,],R',), más aún, Tx€ e1(fto,trf,R'),y una solución de la ecuaciónintegral a la que se ha reducido el problema de Cauchy es un punto fijo de T. La condición de diferenciabilidadde la solución viene automáticamentesatisfecha,ya que si I es continua y r también, entoncestoda función

ds f + f' ,rr,¡(s)) "r O

4.1. EL PROBLEMADE CAUCHY. SOLUCIONGLOBAL

87

que es de €I. Nuestra tarea se reducirá, por consiguiente, a la de demostrar para hallarlo' método posible, un dar y, es si para T existe un punto fijo 4.L.1.

Teorerna.

(Picard-Lindelóf.) Consideramos el problenn *'G):f(t, x(t)) Í ( r(r;¡ :40

Sea f:lto,f¡]xR"-+R" schitz siguiente:

para

t € lto, tl

continua g tal que satisface la condición de Lip'

lf(t, xt)- f(t, rt)l < Llxt xzl

para te lto,tl U xr,x2€R", siendo L una constante' Entonces el problema propuesto tiene una única solución. Dp¡uosrnnctóN. En el espaciovectorialX:C(Íto, t,], R") definimosla norma siguiente: Para x€X

Ponemos: : r € [t0'rr]] ll"ll : sup{ n-x
espacio siendo K>L una constantefija. Con esta norma el espacioX es un de Banach. (Demuéstrese.) Definimos,Para x€X: Tx(t): Éo+

ds I,',"''r(s))

Entonces,si r¡, xze X, se tiene: rt zrr(r)l E I e-x(t-t)lf(s,r'(s))- f(s,rds))l ds( u-xtt-to)lTxr(t)"to

rt (¿llrt -*rll J ¿-rtt-s)ds( tr o

< Por tanto,

/ L\ \Z/ llrr-rzll T.

llr*'- rrrll<É li"'- t'll siendo LIK
88

DE SOLUCIONES EXISTENCIA, UNIC¡DAD Y PROLONGABTLIDAD

Cap. 4.

4.1.2. Lema. Considerantoslos problentcts (p") ' *' [

x'(t):f dt' x(t))' t e lto'tt] c R'

tr(t)€ R"

( r(úJ: ¿X

para k:0, 1,2,3,..., U suPongamos Quefo es acotada,las f * sottcotutinuasen uniformetnente af¡ en Lto,ttlxF."A f + fipara k-+m. conuerge Ito,tlxR', f¡ de Sea x¡, soluciónde P¡ para k:1,2,3,... Entoncesqciste una subsucesión de Ps. que conuerge une xs solución uniformemente a función {x¡} Sea lfle r)l <¡¿ para t € lto,ttf, x e R". Por Ia converDBnnosrRAcróN. gencia uniforme lfr,G,x)-fo(t,r)l(1 si k>h para un cierto h. Así, la sucesión {f*lT está uniformementeacotadapor M+l:H. Sabemosque para k>h

se tiene: x¡ft): {u+ | 'fo,r, ¡r(s)) ds uto

y , por ta n to , s i úo( ú( ú' ( ú r,

s e ti e n e :

,t * HV- t'l r¿(s)) l*o¡)- rr(r)l: | ,ors, I -1," y, así, {xo}rr,, es una familia equicontinua. También se tiene, para k>h

y t € Íto, ttf,

< !41+ H(h- t0) l'*(r)l< 14| + H(t- ¿0) y como f -+ f$ resulta que {xo} es uniformemente acotada. Por el teorema de Ascoli-Arzelá existe una subsucesión de lxklf=r,, que denominaremos { rr,}, que converge uniformemente a )co.Veremos que Ís es solución de P6. En efecto, como se tiene

x*,(t):fl, + i'fo,,r, rr,(s))ds uto y por las convergencias uniformes se tiene que U*'k):/t'(s'

rr"(s))

tiende uniformemente en [f6,t] a go(s):l(s, ro(s)) (establézcaseen detalle), resulta:

rs(r):fB + f ' fo,r,rls)) ds "to

lo que demuestra el lema. I

4.1.

4.1.3.

EL PROBLEMADE CAUCHY.SOLUCIONGLOBAL

89

Teorema. (Teorema de Cauchy-Peano.) Sea el problema de Cauchg: en lts,ttf, r(t) € R"

x'(t):f(t,r(t)) ,o,, t" f( r(ro¡: ¿o siendo f :lto, ft]x.R"->R" solución del problema.

continua g acotada. Entonces existe al menos una

DsrvrosrnacróN l. (Basada en la aproximación de funciones, lema 4.L.2 y sea úv* la función definida en el teoreteorema 4.1.1.) Para k:1,2,3,..., ma 3.2.2. Tomamos cada componente ft' de f, y definimos una nueva función:

da f,i{t,*¡: JRU I f,,(t,x - úüv*@)

Obtenemos así f x:lto, ú,]x R" --) R" que satisfacelas siguientespropiedades (compruébense): a) Para cada i :I,2, ...,ft, ^rh dI* ,-

\t' x)

a.'

existe y está acotada en lto,tJ x R". b) La sucesión{f*} convergeuniformementea f en Íto,ttfxR". Por la propiedad c/, la función f¿ satisfacela condición de Lipschitz del teorema4.1.1(recuérdeseel ejercicio l, d), de la página 69) y, así, el problema ( r,(,¡\:f

*(t, ,po) t lr),1:r

)c(t)), t e Íto,tl

tiene solución única por el teorema 4.1.1. La propiedad b), junto con el lema anterior, implica que el problema (P) admite al menos una solución. I DrmosrneclóN 2. (Basada en el teorema de Schauder-Tychonov.) remos la ecuación integral asociada

Conside-

r(r) : fl + [' /(r, r(s))ds u to

e(fto,úrl,R"):lr(r)l LlamemosB:{r€ El, teÍto,tl} mos la transformaciónx->Tx.

y para n€B

Tx(t):fl+ f '/(r, r(s))ds tr o S e ti e n e : ft

¡rr(r)l
defina-

Cap. 4.

DE SOLUCIONES EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDAD

en principio que lfl + M(tt-to)(1' si M es una cota de lfl. Supongamos tonces,TB CB. Por otra Parte se tiene,si r€ B Y t,t'€Íto,ttl'

En-

t- f I lTx(t)- Tx(t')l< Ml y, así, TB es una famitia equicontinua' f1], es decir, )c*] f en x € B Y tc*ér uniformementeen [ú6, Además, si Jr,k, enabsoluto definida en e(lto, frl, R"), la norma ll lt ¿ef suPremo del valor tonces:

rt(s))-f(s'r(s))lds lTxofl)-Tx(t)lg I, lf(s,

uniformementeen [ú6,új. Por tanto' y, así, por la continuidad de f , Txt"+ Tx ¿. , TzB+B es unu ápri.acióncontinua respecto ll ll. Scitáuder-Tychonov'y resulta ¿" teoreira el aplicar entonces Se puede una solución de (P)' que existe un punto fiio para T' es decir' Si H: lfll +M(tr-Úo))1, se puede definir

s(t,)c):jt{r,,*)Y n':# Entoncesel'Problema /

I A'(t):g(t,y(t)) t y(¿o):"lo

[fo, út]

en

una solu ción uG)' Tomando r(r) está en Ia situación anterior y existe original' I se obtiene una solución del problema

:Ha(t)

+"'*+

xk(t) -

i:! , 2 , " ' , k -l

2 - l-

Nótese de xr(t) en

en t+ ,T define

I

I mediante la definición Prevla

2 'kl¿l se define en lL/c

a través de la definición

4.1.

9I

EL PROBLEMA DE CAUCHY. SOLUCION GLOBAL

Supongamoslf(t,x)l (M anterior:

en [0, t] *Íi". Entoncesresulta, por la definición

EMlr-r'l l"o(¿)-rr(ú')l

para todo k y t,{e

[0, 1]

También se tiene


xt,(t): f +

rt r¡,(s))ds f(r, rr,(s))ot - J Jo ,_r,rÍ$,

Por la convergenciauniforme de x¡, a x y por la continuidad de f, se tiene, para todo r € [0, l]: rt rt /(r,rr,(s))dt-Jo f(s,r(s))ds Jo para k'--> oo. Tenemostambién:

r¡'(s)l ¿'|
I

para /c'-+ oo. Así resulta, para todo r € [0' 1]:

r(r):f + f 't,r, r(s))ds J0 por tanto, x(t) es solución de (P). I A la vista del teorema4.1.1,de Picard-Lindelóf,se debe notar lo siguiente: Resulta del teorema gu€, bajo la condición de Lipschitz impuesta en el enunciado,la aplicación reiterada de la transformacióncontractiva T defi' n{da por

ds Tx(t):fo+ I',rU,r(s)) comenzando con una función cualquiera de e(lto, úr],R") proporciona una aproximación a una solución (la única) del problema planteado, es decir, tómando una x € e (lto, ú,], R") cualquiera, Tkx converge uniformemente a la solución (obsérvese que la norma de Bielecki definida allí es equivalente a la norma del supremo del valor absoluto). Ahora bien, Ia transformación ? tiene perfecto sentido aunque f no satisfaga Ia condición de Lipschitz, sino qu. rélo sea continua y acotada como en el teorema de Cauchy-Peano. Asimismo. las iteraciones de T tienen sentido.

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDAD DE SOLUCIONES

Cabe preguntarse entonces: Si partiendo de una x € e(V¡, frl, R',) obtenemos {Tox}o*=r, ¿resultará que esta sucesión se aproxima a una solución del problema de Cauchy o al menos que esta sucesión contiene una subsucesión que converia a una solución del problema? Que la respuesta es negativa resulta del siguiente ejemplo, debido a M. Mürrpn U9271. Este ejemplo demuestra que el método de iteraciones sucesivas de T que hemos descrito puede conducir a una sucesión {Trx} que no contiene ninguna subsucesión que se aproxime a una solución del problema, y ésto incluso en el caso de que la solución sea única. Elr¡upro (M. MÜrrnn).

Se considera el problema:

ú€ (")[ :"3]:[",x(t)), donde f :[0, l]xR-+R

f(t,a):

[0, 1], r: [0, t] -+ R

está definida del siguiente modo para t €[0, Il,, A €R:

2 t si g<0 - 2 t si A >tz

L l t+ (r-r)(-z t) s i (i ) :^ (; ) + ( r - " ( ; )

con 0(tr{1. Obsérveseel significadode la definición,mediantela siguiente figura. Para la definición entre la parábola A:tz y el eje f se emplea una interpolación lineal. La función I es claramente continua en [0, 1] x R.

Aplicando obtenemos:

el método de iteraciones sucesivas comenzando con x(t) - 0,

Tx(t): rzx(t): r3x(t):

Ir'f(s, 0) ds:t2 ,f / /(s, d) ds:

Io'

[o'

- .t2

l(s, - s;¡ ds : t'

93

4.1. EL PROBLEMADE CAUCHY.SOLUCIONGLOBAL

Ni la función t2 ní \a - ú2 son soluciones del problema. Sin embargo, el problema tiene solución única por ser I decreciente en A paru cada ú fiio. En efecto, si se tuvieran dos soluciones xt, xz, se podría considerar la función de ú g (t):(x r(t)-x z ft))2 > -o Se tendría g(0) :0

¿

.\. .'

y

(\ ),

g'(t) :2(xr(t) - xzGD@í(t) - x5G)):Z(xt(t) - xz?)) (f(t, xr(t))- f(t, r2(r)))< 0 por ser I decreciente en su segunda variable. Por tanto, g(ú)< 0 para todo ú y, xz(t). La existencia de solución está garantizada por ser f así, g(r) = 0 y xtf): continua y acotada. La observación anterior hace más interesante aún el hecho de que en determinadas circunstancias, aunque no se verifique la condición de Lipschitz, se puede utilizar el método de iteraciones sucesivas para obtener soluciones del problema de Cauchy. Es este punto el que detallaremos a continuación. En filrt introducimos un orden parcial, poniendo a2b cuando

para a,b€R"

a tT b y a z l b z , ..., e ,7 b ,, Supongamos que la función f ,Íto, út] x R'+ R" es continua y satisface la condición siguiente. Si a, b € R", a>b, entonces, para todo t e lto,ttf, f (t , a) 2 f(t,b ). P ar a dos f un c i o n e s x ,A€ G (fto ,ü rl ,R ' ) e scri bi remosx2y si para todo t € fto,tJ, x(t)>at). Consideramos ahora el problema de Cauchy:

(P):

f *'(t):f(t, rc(t>),t € lto,tl ( rlro¡: p

y la transformación integral correspondiente

Tx(t): f +

I

f(s, r(s)) ds

'0

Es claro que se verifica que si )c,U€ e(lto,fr],R"), x2U, se tiene TxlTy. Supongamosque existen dos funciones x0,f€e(lto,frJ,Rn) tales que roE T¡o< r/
Cap. 4.

EXISTENCIA, UN¡CIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Por tanto, {ro} converge crecientemente a una función x e {Ur} verge decrecientemente a otra función A. Se verifica: rt*t(ú) :Txk(t):

Eo+

con-

t'

u to

/(s, rk(s)) ds

y aplicando el teorema de convergencia acotada de Lebesgue resulta, pasando al límite:

l(s, r(s)) ds y, análogamente:

f(s' y(s))ds Por tanto, x, U son puntos fijos de Ia transformación T. En particular son funciones continuas. Aplicando el teorema de Dini (ejercicio 5, página 69) resulta que rk-+r uniformemente en [to,¿t] V, asimismo, Uk->!! uniformemente en lto,tt|. Por tanto, en este caso el método de iteraciones sucesivas de T conduce a una aproximación uniforme de soluciones de (P). Además, tr es el punto fijo de T mínimo (respecto de ( ) entre aquellos mayores que Í0. Asimismo, A es el máximo entre los menores que If. En efecto, si i:Tx, x)ro, entonces X : T X lT x o :x r, y, así, x2xk;

x :T I)-T x ,r

por tanto, i2x.

:Í,2 ,

etC .

i

Lo mismo vale para A. Si por algún otro medio se sabe que hay solución única del problema de e,s esta solución única. Pero, en general, será r #A. Cauchy, entonces ¡:! de las Es interesante señalar casos en los que se puedan obtener x|,f que se pueda partir para las sucesivas iteraciones de T, es decir, tales que Si una función f es creciente en el sentido indicado y es roE?r0
a(f(r, r)
ro(r):f+ct(r-ro) f(t):P +Fft-to) Así se tiene, efectivamente,

rog 7ro
4.1,

EL PROBLEMADE CAUCHY.SOLUCION GLOBAL

95

EJ ERCI CI O S

l'

Estúdiesesi la.fun-ciónf, d¡finida como sigue, satisfacealguna condición de Lipschitz global o lócai respecto de x: a) f(t, x)--L+xz, b) f(t, x):l + t2, c) f(t, x) d) f(t,x):

2.

Se considera el

L+x,. ,t ^, L+x¿

problema (p) f x'(t):f(t,x(t)), f:[to,r,]xR->R ' ' ( r(r)-60

siendo f continua y acotada.Demuéstrese que si A es el conjunto de solucionesde (p), entonces {x(tr),"éIi";r;, intervaro¿e n que puede reducirsea un punto. Demuéstreseque el problema *'(t):(x(t))z/s, r: R _> R lp) \ ' {( r(0):9 tiene solución,pero no es única. Se considerael problema

x'(t):f(t, x(t)), r € R, f(t, t) e n (p) ' f ' ( r(ro):go

donde f(t, g¡: a(t)€z+ b(t){ + c(t) y a, b, c son continuas de R a R (ecuación de Riccati). Enúncieseun teoremade existenciay unicidad. J.

Se considerala ecuación x'(t):A1t)rc(t) + b(t)

donde A(r) es matriz n x n cuyos elementos son funcionescontinuas de R a R y b(t) es un vector n-dimensionalá" .r.-.ntos continuosde R a R. ¿Qué teoremasde existenciay unicidad se pueden apricar? 6. Se considera.el problema (ecuación lineal) (p) f x,(t) :a(t)x(t) + b(t) ( r(ro¡:1o

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABTLTDAD DE SOLUCTONES

donde a y b son funciones continuas de R a R. Obténgase explícitamente su solución utilizando el método de aproximaciones suCesivas. 7.

Ap-líquese el método de aproximaciones sucesivas a los problemas siguientes, comparando las aproximaciones con la solución exacta obtenida directamente.

nt u/

*,(t):(x(t))z, t e Í0,21, r: [0,Z]+ R r(o): t x'(t):x(t), t € lo,2l, r: [0,2]+R r(0):1 I *'(t): -(x(t))z, t e 10,21,r: [0,2]+R

I t I b,) i ( vnt/

( r ( o¡ : 1

B. Se considera la ecuación x' :f(t, x), x: [0, I] -+ R2

I *i(t):(xr(t))trs,t € [0,U ( xí(t):(xr(t))rr

Se considera el problema de valores iniciales

I r1(0):1 ( r2(Q) :9

¿Tienesolución? Indíquese un proceso de aproximación a alguna solución. 9.

Sea el problema: c x,(t):f(t, x(t))

(P) t

"tal:fl

co n f:[ús , oo) x R" - > R, , c o n ti n u a para fr, €2e R":

y ta l q u e p a ra t odo f €[úo,m) se ti ene,

lf(t,t\-f(t, f)l < L(t)l€,-€rl siendo Z(r) una función continua en [fo, oo). Demuéstrese que el problema (P) tiene solución única que está definida en todo [fo, oo).

4.2. EL PROBLEMA DE CAUCHY.SOLUCION LOCAL En los teoremas de existencia presentados en la sección anterior, la función f :Íto, f1] x R" -> R" se ha supuesto suficientemente buena (continua y acotada, por ejemplo) en todo su dominio de definición. En muchos casos, sin embargo, nos encontramos con ecuaciones diferenciales en las que f no está definida en todo [fo, úr] x R" o, si lo está, no es tan buena como se ha supuesto en los teoremas presentados. Cuando así ocurre se puede intentar

EL PROBLEMA DE CAIJCHY. SOLUCION LOCAL

97

reducir el problema de existencia a los casos anteriores mediante una extensión adecuada de f , o de algún otro modo. El objeto de esta sección es estudiar algunos modos de proceder en tales casos. Para ello introduciremos primero una noción que será explorada más a fondo en la sección siguiente. Definieión.

Se considera el problenta

r(ú)) 1"r[ :',,il=,f'

a la derecha de to; es decir, se trata de hallar algún interualo I de extrernos t6 ll to*h, h>0, cerrado en to y abierto o cerrado a la derecha, g alguna función t€ etQ,R") tal que satisfaga@) para te I.6i el I es fto,to+hl, por eiemplo, por x'(ts+ Iz) se entiende, natztralntente, Ia derioada a la izqtúerda.) Se supone que f es continua en algún conjunto A de la forma a) fto, to+ il " B( _to,

con i )0 , a)0

Supongamos que existe alguna solución x al problema propuesto. Si x está definida en 1 diremos, por brevedad, gu€ (x,l) es solución de (P) (a ta derecha). La solución (r,4 se denomina prolongable a la derecha si existe una solución (x,I) tal que i ) I y además Ia restricción de i a .I coincide con r. Llamaremos a (x,I) una prolongación de (x, I). La prolongación será estricta si ^I-contiene a / estrictamente. Veamos que si existe una solttción a la derecha (x,I), entonces existe una prolongación (x*,1+) de (x,I) que no es prolongable estrictamente a Ia derecha. Para ello ordenamos parcialmente las soluciones (i, I), prolongaciones de (r, /), poniendo (rr, 1r))-(x2, 12) cuando It ) 12 y )c1 restringido a 12 coincide corl 12. Esta ordenación parcial es inductiva. (Demuéstrese.) Por el lema de Zorn existe un elemento maximal (r*, /*) que es una prolongación de (x,I) no prolongable estrictamente a la derecha. Las mismas consideraciones son válidas, naturalmente, hacia la izquierda. 4.2 .1 . T eor em a. S e a (r0 ,fl )€ R x R " A f:G ,Oe A :l to-h,ts+ hfx x 8(fo, a) + f(t, O € R", h> 0, a> 0, una función continua. Llamemos

M:sup{lf (t,f)l : (r,fl e a I Entonces el problema

1"r[ ..';:]=,f'x(t)) tiene al ntenos una solución Í

definida erx

/: I rs-mín (r,#), h*-t"(o,+)l ilficísatin, cualquier solución de (P) definida en un subinterualo de I entorno de ts €s prolongable a L

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNIC|DAD y

PROLONGABTLTDAD DE SOLUCTONES

Dr¡uosrnAcróN.utilizando el lema 3.2.r extendemosf a fto-h,to+hf xR" obteniendoÍ continua en fto-h,to+hlxR',, coincidentecon f en A y tal

que li(t,€)l<M. Aplicando

el teorema de Cauchy-peano al problema

.."t]r=,f'x(t))' t e lto,ts+ hf (P) [ resulta que existe al menos una solución x de (P) definida en fto,to+hl. como t es continua y x(ro¡:¿o, existe un cierto i,0<¿, tai que ri t€ J:fto,to+i) entonceslxf,)-flI
l*(t")- r(41< J,, | lf(r,r(s))lds{M(t' - t ) y, así, por el criterio de Cauchy, i(r) convergeríapara t f r,. LlamemosÍ(ú¡) al límite. Es claro gu€, siendo x(t) e B(É0,a) para t € [fo,ú¡), se tiene i(t') € B((0, a)

Demostraremosque la función ñ, así definida en fto,trf es solución de (p), lo que contradice la no prolongabilidad estricta de (ñ,D. En efecto, .. tiene: (t

.ü(úr):fl+ lím I f(r,i(s)ds:fl+ t+ tr Jto

rt,

|

'/(r,:u-(s))ds

tr o

Por tanto, ñ'(t):f(t¡

ñ(tr))

Así, i-es solución de (P), en fto,ttf, lo cual contradicela no prolongabilidad de (ñ, D. Por consiguiente, Í:fts,tl.

Si t1:ts*h, entonceses claro que

ttTto+mín (r,#)

4.2.

EL PROBLEMA DE CAUCHY. SOLUCION LOCAL

y obtenemos el resultado del enunciado para la derecha de ts. Supongamos, por consiguiente, tr<.to+ h. Demostramos a continuación que i(f) entonces es de la frontera de B({,a), es decir, ñ,(tt) € Fr (B({, a)) En efecto, sabemos que ñ(t) € B({, a) y si fuese zclt) e É({, o) entonces, según la primera parte del teorema, ya demostrada, el problema *'(t):f(t, x(t)) [ ( r(rt):ñ(t) tendría una solución a la derecha de tt, con lo que G,7) sería prolongable estrictamente. Así, ñ,(D e Fr B(É0,a) y, por tanto:

a: lñ(t)- fll : l"(t,) - ñ(tr)l( (tr - r) sup{|"'(t)l: t € lto,rrl } : : (úr- ús)sup{lf(t, x(t))l: t e fts,r,l } ( M(tL- to) Por consiguiente,

ttlto*#rrs+mín(0,#) Esto concluye la demostración del teorema en lo que se refiere a la prolongación a la derecha. Por lo que se refiere a la prolongación, etc., a la izquierda de fs reducimos nuestro problema al caso ya considerado del siguiente modo: Consideremos el problema

(P.) { u'.(!!:sit'a(t)) ' ( g(to¡: go donde g(t, €): -f(2to-t, t). El problema (P*) está en las condiciones del problema que ya hemos considerado. Basta ahora observar que si A(t) es entonces la funsolución de (P*) en lto,to+Hf y definimos x(2ts-t):A(t), ción r así obtenida es solución de (P) en [fs-H,tof. En efecto, si ¿€ [to-H,tof, : - g'(2ts- t): I *'(t)

- g(Zto- t, y(2ts- t)):f(t,

tr(r))

t r(ro):g(t):{

Esta observacióncompletala demostracióndel teorema.I

Cap. 4.

100

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

En el siguiente teorema, mediante la hipótesis de una condición de Lipschitz adicional se logra obtener un resultado de unicidad. 4.2.2. Teorema. Sean to, to, f, h, a, M cot?to en eI teorenta anterior g supongantos adentás que f satisface la condición de Lipschitz siguiente: Existe L rel="nofollow">0 tal que para todo t e ft'- h, ts+ hf A para todo par b, c € B({, a) se tiene:

tf(t,b)-f(t,

")l

( Llb- cl

Entonces eI problenn ,

x(t)) (P)f( x''(l-:f!' ' r{ro¡ :60

tiene une sohtción x definida en el interualo

1:

[ ús - m í(no , # ) , r + m í n( r , # ) ]

que es única. La unicidad se entiende en el sentido siguiente. Si g es otra solución del problema definida en un intervalo alrededor de f6, entonces los valores de y en / coinciden con los de r. DeuosrneclóN. La función I está definida en lto-h,to+hf xB({,c) y se puede extender a Íto-h,to+hlxR', de modo que la extensión f sea continua y satisfaga la condición de Lipschitz:

l fG,b )-f (t," )l( L i b- cl para todo t € lto- h, to+hf y todo par b, c e R". Para ello basta definir f del modo siguiente (obsérvesesu significacióngeométrica): Si lf-fl


ponemos

i(t, €):f(t, €), y si lf-fllla

y t* es tal que €*-f:a -

{-{

lf -fl|

entonces se pone, para t e lto- h, to+ hl, f (t, €):f(t, €*). Compruébeseque la función así obtenida satisfacelas condicionesanteriores. Aplicamos ahora el teorema de Picard-Lindelóf al problema ,f x'(t):f(t, x(t)), t e Íto,to+hf ,u., \'" ( r(ro¡:1o

4.2.

EL PROBLEMA DE CAUCHY. SOLUCION LOCAL

t0l

y resulta que (P) tiene una única solución x definida en fto, to+ hf. De la misma forma que en la demostración del teorema anterior resulta que para t e Íto, to+ Hf, donde

F1: mín( o,3\ V Mt'

,

x(t) € B({, a)

y, así, la restricción r de x a [fo, to+ H] es solución de (P). La existencia de solución a la izquierda se obtiene como en el teorema anterior. La unicidad resulta de modo sencillo. Si trc¡xz son soluciones de (P) en los intervalos It,Iz que contienen a ts en su interior y están contenidos en /, según el teorema anteriot xt y 12 sB pueden prolongar a ^I. Sean las prolongaciones h y xz. Ahora, h y xz son soluciones de ,-.. ( x ' (t):f(t,x (t)), te I (P-) .;' ,. ' ,-' ,--u -" ' , ' ' J( r(ro¡:Eo Por el teorema de Picard-Lindelóf (P*) tiene solución única V, así, Ít, Í, coinciden en /. I

EJ ER C IC IO S l.

Se considera el problema

(P)t ;31:Í(t,x(t)) donde f

n

n1

,f , l - + , + 1 . [ 0 , I ] - rel="nofollow"> R L 2'2J está definida como f(t, €): - (l - t2)t/2. a) Demuéstreseque existen varias soluciones. b) Demuéstreseque si xt, xz son dos de ellas, entonces para todo (ro,fl) con 0 ( fo4n12, rr(fo)< fl < xz(ti existe solución x*(t) del problema

I *'(t):f(t, x(t)) ( r(ro¡:60

definidaen

lt,tl

y que es tal que

.,(+) *".(+)*"(;)

Cap. 4.

102

2.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Se considera la ecuación diferencial x'(t):f(t,

x(t)),

donde, para (r, f) € Rx R,

f(t , { ) :

Estúdiese: a) b) c) d)

Continuidad y condición de Lipschitz para f en cada punto (t, €). Obténganse las soluciones que pasan por un punto (ro,f). Obténganse, en particular, las soluciones que pasan por (0,0). iQué se puede afirmar sobre la unicidad de soluciones?

3.

En el teorema de Picard-Lindelóf, al aplicar el método de las aproximaciones sucesivas nos paramos en la etapa /c-ésima. ¿Se puede estimar el error cometido?

4.

Aplíquese el método de aproximaciones sucesivas para obtener la solución que pasa por (0, 1) de la ecuación x'(t):t

- x(t)

Obténgase la solución exacta y calcúlese el error cometido al detenerse en la etapa k-ésima en el punto de abscisa t:0'2. 5.

Sea f(f) una función de R a R continua en l€o-h,€o+hl. la ecuación diferencial

Se sabe que

x'(t):f(x(t)) tiene dos soluciones que pasan por el punto (0,40). Demuéstrese que l(fo):0. 6.

Se considera la función f : [0, l] x [0, oc)+R I

f (t,t):

floei

definida del siguiente modo:

si f€(0,m),

s

0

si 4:0,

f€[ 0 , U

t € [0,1]

Se considerael problema:

*;1t,(t):f(t, (P) ' ' J ( r(0):g r

x(t))

Demuéstreseque, a pesar de que f no satisfacela condición de Lipschitz respecto de €, existe a lo sumo una solución para todo c.

4.3.

t.

PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

103

Se considera el problema

I *'(t):/(r(r)) + senú ( r(0;:s tiene dos derivadas continuas y acotadas. donde f:R+R Demuéstrese que existe solución única r: R -+ R que tiene tres derivadas continuas.

B. Se considera la ecuación autónoma x'(t):f(x(t)),

donde f es una función definida y localmente lipschitziana en cada punto de un abierto G de R2. Sea r(r) una solución tal que existe ts y T)0 tales que x(ts+ T):x(to) Demuéstrese que x(t) es entonces una función periódica.

4.3. PROLONGABILIDAD DE SOLUCIONES Tratamos ahora de resolver la siguiente cuestión, que surge de modo natural a la vista de los resultados de la sección precedente. ¿De qué formas puede suceder que una solución no sea estrictamente prolongable a la derecha? Es decir, nos proponemos el problema (a la derecha)

x'(t)-:fQ'x(t)) (P) f ( ' rlro;:1'o donde f está definida en un cierto conjunto A de RxR", (to,$€ A y suponemos que existe alguna solución a la derecha y, por consiguiente, alguna solución (x, D no prolongable estrictamente a la derecha. ¿Cómo es entonces el comportamiento de x(t) cuando f se acerca al extremo derecho del intervalo /? 4.3.1.

Teorema.

Se considera el problenza

(P) [ it::,=,9,x(,)) donde f está definida A es continua en un conjunto K compacto de R x R", (to,{) e K U suponemos que existe alguna solución a la derecha de ts !, por tanto, alguna solución (x, D no prolongable estrictamente a Ia derecha. Entonces, l:fto,t1f con f1{m, A en este caso (tt,x(tr)) pertenece a la frontera Fr (K) de K. Es decir, se excluye I:1t0, t) con ú1(oo y, además, resulta que la gráfica de x acaba en un punto de la frontera de K. con fr(oo. Se tiene, para un DeMosrnaclóu. Supongamos que l:Íto,t) (¿, para y, K, como en el teorema 4.2.I, así, e cierto M>0, f) lf(ú,f)l <M

10 4

Cap. 4.

EXISTENCIA, UN¡CIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

resulta, si t', t" € fto,trf con t'
l x( t"\- r(t')l:ll tl

u

f(s, r(s)) dsl ( M(t" - t')

l'

y, de este modo, x(t) converge para tf tt a un punto que llamaremos r(rr). De la misma forma que en la demostración del teorema 4.2.1, la nueva función x definida en Íto,ti es solución prolongación estricta de (x,l). Por tanto, I:fto, ú1] con fr(oo. Sabemos que (f,, r(úr)) € K. Si fuera (¿,,¡(f,)) € ft entonces (x,Il admitiría, por el teorema 4.2.1, una prolongación estricta. Por tanto, (tt, x(t)) € Fr (K). I Cuando el conjunto de definición de / es un abierto D, la situación es más complicada. Para aclararla utilizaremos el lema siguiente, debido a A. Wr¡¡rxen [1946]. 4.3.2. Lerna. (Lema de Wintner.) Sea f definida A continua en un entorno de (tb €\ € R x R". Sea x, une f unción que satisface la ecuación x'(t):f(t,x(t)) en (tr-h,tr) A supongamos que s?¿gráfica tiene (tt,t\ como punto límite para t f tr Entonces x(t) conuerge a €t para t T tr D eci mo s que la gr áf ic a d e u n a fu n c i ó n c o n ti n u a U :(tt-h,t)-+ R " ti ene (k, €t) como punto límite para t t ¿, si en cada entorno de (ft, ft) existe algún punto (t,A(t)) con t €(tt-h,tr). Obsérveseque esto no es lo mismo que decir que g(ú) converge a {r para t T tr El lema afirma que Ia r del enunciado sí verifica x(t)+ fr para tf tr D ¡u o srn e c t ór q. P odem o s fi j a r u n c o n j u n to A :ftt-i, trl x B ({t, a) tal que co n ti n u a en A , i< h, a )0 y , a s í, l f(t,€ )l (M{ m es para (ú,Oe A . P or f t ant o, l * '(t)l ( M s i es que te Vt-i ,tr) y x (t)€ B(tt,a). S upongamosque no se verifica x(t) -+ ft para t f r,. Esto implica que existe un e fiio, e)0, que se puede suponer menor que a, tal que Y m)0,

nt { i, A { € ltl - nz,t1), lx(t') - t'12 ,

Como (tr,Ét) es punto límite de la gráfica de x(t) parc tf ú,, se tiene:

J{' e ({, tt), lr(t")-ftl <; Tomamos

/* : sup{t: t' 4¡{t" , lr(¿)- trl2 e} por continuidad,lr(¿*)-ftl:. Claramente,

y, así, se puede escribir:

- x(t")l:|[r(ú*) - t ] - lx(t")- t ll> l"(¿.) 2lx(t*¡-f'l - lr(t")-tlr; Como para t e Ít* , t"f C ltr- i, tr|, se tiene:

x(t) e B(tt, a),

4.3.

PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

105

resulta: € { lr'(r)l: s € [ú*,t"f]lt*-t"l4Mm Z< l"tt.)-x(t")l<sup Como ,n es arbitrariamente pequeño, €:0, El lema de Wintner

lo que es contradictorio. I conduce fácilmente al siguiente teorema.

4.3.3. Teorema. Sect f defütida A continua en un coniunto abierto D de R x R". Sea (to, fl) g D g se considera eI problenza:

x'l!,:f!1'x(t)) (P) { ' ( r(ro ¡:¿ ' o Sea x una solución no prolongable estrictontente a la derecha, g sea I su interuolo de definición. Entonces l:Lto,t) con úr(oo ll Í es tal que su gráfica, que está contenida en D, tiene todos stts puntos líntites para tf tt en la frontera de D. Sí D no es acotado se co,lsidero que el pluxto del infinito es de Ia frontera_de D. (Se considera R x R" U { * } con la topología de la compactificación por adición de un punto.) Dr¡vrosrnacróN. Los puntos (t, x(t)), para t e fto,t), han de estar en D para que I esté definida en ellos y así tenga sentido x'(t):f(t,r(¿)) en fto,t). Si fto,t): [ú0,+ oo) entonces la gráfica de x tiene sólo un punto límite para ¿ t oo que es el punto del infinito, que entonces pertenece a la frontera de D. con ú1{oo, entonces (tt,x(tt))€ D y así se podría proSi fuese l:lto,tl longar x estrictamente. Por tanto, 1 es, o bien [ú0,m), o bien fto, tr) con f s{ú1{o o.

Consideramos los puntos límite de la gráfica de r para t t ¿,. Si no existe ninguno a distancia finita entonces es claro que el punto del infinito es punto límite. Para uno cualquiera (tb t\ a distancia finita, se ha de tener (tr, t\ e l, y si fuese (tt,{t) € é, entonces, por el lema de Wintner, r(r) + tr para tf f y, así, r sería prolongable estrictamente.Por tanto, (tr,(r)e Fr (D). I

EJ ER C IC IO S l.

Se a f :ft6, t s + hlx R" - > R "

c o n ti n u a . Se a r(¿ ) u n a sol uci ón de

(P){( x'!t)-:f!'x(t)) ' x(to¡: Et

no prolongable estrictamente a la derecha, definida en un intervalo a la derecha /. Demuéstreseque entonces,o bien l:lto,to+hf, o bien f :fts,t) co n tt(to+ h y , por ta n to , l " (¿ )l-+ o o p a ra tf \ . 2.

Sea f definida y continua en la adherencia D de un abierto D de R x R" y sea x(t) una solución no prolongable estrictamente a la derecha det

Cap. 4.

l0ó

EXISTENC¡A, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

problema I *'(t):f(t,lc(t)) ( r(ro¡:4 donde (¿0,fl) e D, definida en un intervalo J a la derecha de fs. Entonces, o bien /:[fo, **), o bien l:lto,ú,] con ú1(oo y (trx(t))e Fr(D), o bien l:fto,ú) con ú1(oo y l"(r)l -+ +oo para tTt, 3.

Se considerael problema

: (P){( )c"(-t!!(t' x(t)) x(l):7 '

dondef(t,O:s€nf sen2(logt para ú€(0,oo) y 6€ft. a) ¿Existe solución única en algún intervalo a la derecha de to:L? b) ¿Existe solución que puede prolongarse a (0, ooX 4.

Se considerael problema

1'r [

..:;;]:(x'D',

a) ¿Existe solución única en algún intervalo entorno de 0? b) ¿Cómo son las solucionesno prolongables? 5.

Se considerael problema t-

(p))

x'(t): -Try

\/ r-Pc(t)l''r € [0'1)'r(r)€ R

( r ( o ) :1

a) Demuéstrese que existen soluciones distintas de x(t) = I para t € [0, 1). Hállense dichas soluciones. b) ¿Cómo se comporta para t I l? 6.

Se considerael problema I *'(t): ú sentr(t) t r(0):1 a) Demuéstreseque existe solución única en [0 m). b) Demuéstreseque la solución satisfacelr(1)l<3.

7.

Sea el problema (P)

¿Tiene solución definida en

4.4.

LEMA DE GRONWALL. DEPENDENCTADE PARAMETROS Y DE VALORES IN|CIALES

L07

DEPENDENCIA DE PARAMETROS 4.4. LEMADE GRONWALL. Y DE VALORESINICIALES La motivación para las consideraciones de esta sección es la siguiente. Sea el problema

(")[l3::,8,o,

Supongamosque la función f es una función complicada para el manejo analítico directo y gu€, en cambio, f* es de manejo analítico sencillo y se aproxima aceptablementea f. Sustituimos entonces el problema (P) por el problema ,c x(t)) (P-) f .(|:f:(t' ( :1o ' r(ro¡ Para el problema (P*) podemos hallar fácilmente una solución rt. ¿Hasta qué punto podemos decir que x* se aproxima a una solución del problema (P)? Así, por ejemplo, la ecuación del movimiento del péndulo es x"(t)+ $ senr(r¡ : g, n donde r(ú) es el ángulo de separaciónde la vertical en el instante f, g es la constante gravitatoria y h la longitud del péndulo. Cuando x(t) es pequeño,

On aproxima * I anterior puede aproximarse mediante

senrtt¡ y, así, la ecuación

r"(t)+9 r(¿):0, h

de manejo analítico mucho más fácil. Una respuesta a este problema ha sido dada ya en el lema 4.1.2, donde se ha visto que es posible sustituir el problema (P) por una sucesión de problemas (Pr) para obtener una solución de (P). Otro tipo de aproximación del problema (P) es el siguiente. AI proponernos un problema físico nos hemos planteado el problema matemático (P). Sin embargo, por error de medición hemos tomado como valor inicial fl pero tal que lft-fl es pequeño. Si cuando el estado inicial real es €t+f, resolvemos (P) la solución rs no corresponde a la situación real 11. ¿Hasta qué punto la aproxima? Asimismo, al plantear un problema físico nos puede resultar el problema

*':'-2:fy'r(r)' 'r') (P^) { ' ( x(to¡: go donde f depende de t, x y de un parámetro físico ),.

r08

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Por error de medición hemos tomado I cuando el valor real €s fr, con pequeño. ¿Hasta qué punto la solución de (P^) aproxima la situai¡r-fl ción real? Estos dos problemas son equivalentes en el sentido que a continuación se explica Y, así, podemos limitarnos a estudiar sólo uno de ellos. Supongamos que tr es un parámetro ne-dimensional y consideramos el problema (P¡), donde x(t) € R". Definimos la función z(t) € Rrr+rrrdel siguiente modo:

z(t¡: P,(t)\ \^ ,

({ ) :r' ' \I/

'"fti:

/

y asimismo ponemos:

z(t)): (f('' 8G, \0 /

rlú)'r)

) a *"*,"

Con ello, el problema (P¡) se convierte en z''(t): g(^t'z(t)) (P) { ' ( z1tr7:7ro donde ya no hay paúmetros. El paso del problema (P) al (Pr) es asimismo sencillo. Estudiamos a continuación un lema relativo a una desigualdad diferencial debido a T. H. GRoNwen t19l9l. Mediante este lema resulta fácil dar respuesta a algunos de los problemas planteados. 4.4.1. Lema. (Lema de Gronwall.) dos funciones continuas. Sea U:la,b|+R pma todo t e fa, b7:

Sean f :fa, bl -+ R A gifa, bl -+ R+ una función continua que saüsface

y(ú)
Entonces, para todo t € la, bf, se tiene:

út)
{r)au) a, "'

En particular, sf f(t) - k, es constante / rt

\

u(r¡g k exp( J. s{s)as / Obsérvese que el lema de Gronwall nos permite pasar de una inecuación integral en A a una estimación para A. DBuosrnnclór.I. La demostración del lema parc f(t) - /c es directa. Podemos suponer, dividiendo si hace falta por una constante, que ly(01 < t para

1.1.

LEMA DE GRONWALL. DEPENDENCIA DE PARAMETROS Y DE VALORES tNtCtALES

10g

t € la, bl. Entonces:

y(r)< r* I"'strJ[**1""sralIo*1""g(h]s@)dtr\on]dt,:k+rc sG)dt,+k j'"se) ["' ['"'rrrr)or.ror,* *r

g(t,)s(t,)dtdtfit, I"' tfr,> [) rG)l'"'

Ahora bien:

g(tr)dt2dt, I"' s4r) J'"'

,: se puede obtener, poniendo

M(u):

[" ,U)0,

y observandoque M'(u):g(u), M(a):0,

M(tt) r: I' M'(r,) at,:IÍMG)12:+ [J'srrtorl' Procediendo del mismo modo con las otras integrales resulta: rt

I rt

\2

/ lt

\,,

I g(t')dt, \ )" s(ilat,¡ \*J. s
)"

s(tr) s?r) J"' )

sG) . ..

"'

)

. .. dtr. t(ru+)u(tn+t)dtu+t

"'

El último término es menor o igual, puesto que ly(r)l< t, que

"* (["' sa,>a', ) (n+1)! lo que demuestra que

y(t)< k exp(["' s!vr) *. para cualquier e)0.

Así, U(t)< k exp( i'sfr¡a, ) \Jo /

NF:PTJB]'I UNIV.Ff,ISIDAD DE LA lliGf'Iii''iliA li:l F/rC'.1j'l'Ai]

Cap. 4.

fIO

EX¡STENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Para el caso general puede procedersedel mismo modo. Una demostración más breve, pero menos directa, es la siguiente.Pongamos:

z(t¡: I s(r)a(")as Entoncestenemos,segúnfu fripOt.rir, z'(t)- s(t)z(t)
tu(t):"1t¡exp( - f 'sfrpr) Jd \ / y, así, resulta:

(- f 'g1r¡a,) w'(t)
¿u(¿) exp( - s(s)dsas, < J' /{r,)s{r,) ) I" de donde resulta: rt

/ rt

\

:(ú)< f(s')s(s') exp( s(s)as J" J,, )dsr y así, siendo g(f) < f(t) + z(t), se obtiene el lema. I Con el lema de Gronwall se obtiene una estimación cuantitativa de la diferencia entre soluciones de una ecuación diferencial. Más general es aún el siguiente resultado. 4.4.2. Teorema. Sean x1:la, bl+ bles tales que l*t(o)-rda)l (E A sea

l*í(t) - f(t, r,(r))l ( e,, para te fa,bf, siendo f :la,bf xR"-+R" ción de Lipschitz siguiente:

R",

x2:la, b)-> R"

l*í(t) - f(t, xz(t))i( e, una fttnción que satisfacela condi-

lf(t,t\-f(t,4')l< Ll€,- €,1 oa rat € f a , bJ, tt,* eR".

funciones deriua-

4.4.

LEMA DE GRONWALL. DEPENDENCIADE PARAMETROSY DE VALORES tNtCtALES

lll

Entonces: + (e1+ er¡ l*r(t) - xz4)l( De¿(r-or

e"G-:t- | L

Obsérvese que, si e¡- 0, ez:O, entonces Ír y 12 son soluciones de r' :f(t, x) en fa,bl con valores iniciales xt(a), xz(a), l*r(o)-rda)l(6. Así, resulta, 1",(¿)- xr(t)l ( 6 exp (L(t - o)) Esto demuestra el tipo de dependencia continua respecto de los valores iniciales. Si además 6 :0, resulta xt : xz y, así, se obtiene la unicidad de solución del problema de Cauchy en este caso. PongamoS € : €.1 * €21g(t) : xtf) - xz(t). Entonces

De¡uosrnectót{.

:lxí(t)-xí(t)l{ l/(¿, -f(t, rz(¿))l r,(¿)) e + €< Llg(t)l+ !g'(r)l Así, integrando, se puede poner: rt

rt

+6( le(¿)l:lI s'(s)ds+s(a)l< I ig'(s)dsl * u. e(t-a)*f',,r,n,rt Ja

Aplicando el lema de Gronwall resulta: (t

ls(t)l<6 + e(¿- a)+ J" .(U + e(s- c) exp(L(t -s))ds: : E expQG - oD*

í(exp

(¿(r- a) - 1)

que es el teorema. I

EJ ERCI CI O S l.

2.

Demuéstrese

el lema

de Gronwall

en el caso general siguiendo

el pro-

cedimiento utilizado para el caso /(r) : constante. Sean Í1ila,bf +R", x2:la,b]->R" funcionesderivablestales que l*r(o)-rda)l(D y sea lxí(t)- f(t,r,(r))l E e,,

l*í(t) - f(t,rdr))l ( ez

para t€la,bl, donde f:fa,blxR"+R" condición de Lipschitz siguiente:

es una función que satisfaceIa

lf(t, "r) - f(t,rr)l ( L(t)lzr- z2l para t € la, bf

Itz

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

y zt, zz e R", siendo L(t) una función continua no negativa tal que

I : l''1';d''* Ja

Obténgaseuna estimación de l"t(r) - xz!)l en función de I siguiendo el método del teorema 4.4.2. 3.

Hállense todas las funciones continuas no negativasF: [0, 1] -> R+ tales que se verifica r(ú) <

4.

rt .F(s)ds para t € [0, l] Jo

Hállense todas las funciones continuas f : [0, m) + R tales que (t

ff(ú))t: JO I f(s)ds para t>0 5.

Sea la ecuación diferencial x"(t) - tzx(t):g Hállese una estimación del error cometido al tomar /

z(t¡:.*

14 \

{, ,, /

como solución del problema, con datos iniciales r(0):1, el intervalo

r'(0¡:9,

sobre

1l - l- I /:L2 'zl

6.

Estúdiese, para el problema ( Íx'(t)12-2 t/ ¡t x'(t) + tlx(t)}z:0 I

(P) i ,r\ t x\L):T ( a) Si existen soluciones. b) Cuántas hay. c) Si las solucionesno prolongablesestán definidaspara todo ú> l.

DE PARAMETROS. RESPECTO 4.5. DIFERENCIABTLIDAD TEOREMADE PEANO El teorema 4.4.2 demuestra la continuidad de las soluciones respecto de los valores iniciales, es decir, a cambios pequeños de los valores iniciales corresponden cambios pequeños de las soluciones respectivas en el sentido exacto del teorema. El lema de Gronwall nos servirá a continuación para

4,s.

RESPECTODE PARAMETROS.TEOREMA DE PEANO DTFERENCTABTLTDAD

1I3

demostrar que, en condiciones un poco más restrictivas, se puede afirmar que las soluciones dependen, no sólo continuamente, sino diferenciablemente, de parámetros y condiciones iniciales. Este es el sentido del teorema de diferenciabilidad de Peano tt897l. 4.5.1. Teorema. (Teorema de Peano sobre la diferenciabilidad.) Sea f(t, t, )r) continua en Ltn abierto D de R x R" x R'' con ualores en R". Supongantos, adentás, Que f ,, fn son continuas en D. Sea (to, fl, Io) € D U consideranzos el problenm

x'(t):¡1t-'r(r)' )'o) (P^,)f '( rlro¡:¿o Sea ,fi(ú,Io) solución de (Pn.) definida en l:Íto, to+ hl. tal que si lf -fol <", el problema Entonces existe 4)0

r(r)'l') (P^)f( o,(A,:fY' ' x(to¡: ¿t tiene solución única definida en l. existe, U €s igual a la solución Adenuís, para todo t € I la deriuada $^(t, ^.s) única del problema lineal ,r., f a'(t):f,(t,ú(t, ' " ' ( g( t o ):o

),6)'l'o)g(r)+f^(¿,,/r(t,Io), ro)

En el teorema, f¡ designa, por ejemplo, la matriz n x m jacobiana de f con respecto a tr, es decir, la matriz de componentes Af il?¡\t. DE¡uosrnAcIóN. Siendo {(t, {t(t, &), tro): t € | } compacto contenido en D, existe cu)0 tal que el coniunto compacto

(,cv,lI-I o l (a } C :{( ¿,f,tr):t€ L l€-rlt(t,tro)l

está contenidoen D. Sea M una cota para lf(r, f, f)l en C, A, una cota para ll"(ú,f, f)l en C, y B, una cota para lf^(ú,f, I)l en C. Sea 4)0, T < 6 un número que será especificadoluego convenientemente el problema Fiiamos ), con ll-Iol
*'::!:fy'r(r)'}') (P^) { ( r(ro¡:go ' Se puede escoger p)0

tal que

F:{(r,f,tr):úo(ú<ú0+p, lf-fl


y, por tanto, como lf.(t,t,I)l
lf(t,tt, r) - f(r,f, r)l < A lfr _ f'l

1I4

CAp. 4.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Así, (P^) tiene solución única rlr(ú,I) definida en un cierto entorno a la derechade fs (teorema4.2.2). Mientras se verifica lú(r, f) - ú(t, \)l < D para t € Íto,to+ il, se tiene: tr),tr)-f(t,,/r(ú,tr),Io)l
en C.

-/(r, ú(r,tro), Io)l:0 lv'G,tro) resulta, aplicando el teorema 4.4.2,

-ú(t,Io)l < ryjr-^ol lú(ú,r)

:clr-trol

siempre que f € [ú0,to+i]. Fijamos ahora 4)0

tal que Ca($. ¿

ari'

r) - ú(t,^rll <92 lú(¿, en todo el intervalo de definición de ,r(ú,I). Supongamosque rfr(r,I) estuviese definida sólo en un intervalo [rs,re+s) con s(l¿. Como lf(t,t,I)l<M resulta fácilmente que r/r(t,I) se puede prolongar a lto,fs+sl (véasela demostración del teorema4.2.1). Así, ú(t, I) ha de estar definida en un intervalo [ro,ro+ s]. Además, (úo+ s, ü(¿o+ s, tr), ),) es tal que:

tr)- ú(a+s,Io)l*+ lI- Iol(r?, lú(ro+s, y, así, r/r(ú,I) se puede prolongar a la derecha de modo único. Luego, {r(ú,I) lra de estar definida de modo único en fto,to+hf. Para la última parte del teorema vamos a demostrar que si es A(t) la solución única del problema(Z), y ponemos: 0(r, ).):ú(t,I)

- ú(ú,IJ - g(¿XI- Io)

Se tiene l0(ú,I)l : o(ll - \ll para L + tr0. Segúnla definición de derivadaresulta así la afirmaciónfinal del teoremaPodemosescribir: tr),I)-f(r, ú(r, tro),I0)0'(t,)\):f(t, rlr(ú, -lf ,(t, ú(¿,tro),IJy(¿)*f tro),Io)l(I - I0) ^(t, ú(ú,

4.5.

D|FERENC|AB|L|DADRESPECTODE PARAMETROS.TEOREMA DE PEANO

115

es de ci r:

0'(t, )\)- f ,(t, ú(ú,tro),tro)o(r, ,\¡: :f(t, rlr(r,tr),I) - /(r, ú(f, tro),I") -f .,(t,ú(¿,tro), Io)[./r(ú, I) -,/,(t,Io)]-fn(t, ú(r,tro), Io)(r_I") Aplicando la desigualdad del valor medio resulta:

-f .,(t,ú(ú,tro), ),0)g(r, I)l < l0'(ú,.tr) I) -rlt(t,lo)l + lI-),"1)*o(lI-U)
parag(t) : 0

y, además,lf.(t,r¡t{t,¡,0),},0)l <4, se puedeponer,aplicandode nuevoel teorema4.+.2, t I)l **", o(ll-I"l) l0(ú, A' ¡

con lo que el teorema queda demostrado. I El siguiente teorema viene a ser una reformulación del anterior y estudia la diferenciabilidad con respecto a los valores iniciales. 4.5.2. Teorema. Sea f :(t, x)e D C R x fi¡,'+ f(t,r) € R,' una función continua en eI abierto D tal que f, existe a es continua en D. Sea, para cada (r,€)e D, ,!(t,r,€) solución del problenta

(P) f( '

x"(t):f'(t'x(t)) x (r): {

Supongantos que (to, {) e D A que ú(t, to, {) existe en un interualo compacto I:Íto,tr+hl. Entonces ,lt(t,r,O existe g está uníuocantente determinada en I para todo (r, €) suficientemente próximo a (to, $. Además, para todo t € I existe úE(t, to, P) A es Ia solución AG) de la ecuación matricial nxn g,(t):f

"(t,

,lr(t, to, {DA(t)

cuAo oalor en ts es Ia matriz unidad. Finalmente ú"(t, to, I existe A es igual a

Dr¡rrosrnac,óN. Laprime ,^r;!!:ir':'í'ill]?n,..u.ncia senc'ra derteorem anterior, ya que poniendo u(t¡:x(t) - €

lIó

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNIC¡DAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

se obtiene el problema u'(t):f (t, u(t) + €): g(t, u(t), €) I ( ar(r):g donde f figura como parámetro. La parte final sobre la existencia e identificación de tb,(t, to,{) se puede demostrar del siguiente modo. Queremos ver que para r fijo y h real y suficientemente pequeño se tiene: lú(t, to+ h, to)- r!(t, to, t0)-rlz$r(t, t0,{)f(to, t0)1,:o(lt) Sea ft: (ú0,to+ h, {). h + 0 . Má s aún:

f'-f

: -

Observemos que ¿o:,lt(to, tr, €0) y, así, 6t + fl

úo+h,{))ds- - f(to,-{)h+o(lz) l'o*"frr,{(s,

tll para

l2l

" rO

para h + 0. Observemos también que (to+h,{o) y (fo,{') están en la misma gráfica de $(t, to+ h, fl). En efecto: rp (to +h , ts + h , (n ): to

v

rlt(tu,to+ /2,f¡ :6t Por tanto, en virtud de la unicidad de solución, r!(t, to+ h, to):{r(t, fo,(')

para f próximo a ts. Así, se puede poner: ú(t, to+ h, {) - rlt\, to, É0): ú(f, to,€,) - ú(t, to,{) Esto se puede escribir haciendo uso del teorema del valor medio y de [2]: rlt(t, to+ h, $ - ú(t, ú0,f) :l)G, to,t\ - ú(t, ú0,fl): :lrltEft,ú0,fl) + o(l)l (ft - f): : - ú€(t, ú0,40)f(to, {)h + o(h) Comparando esto con tt] resulta el teorema. I

EJ ER C IC IO l.

En las condiciones y notación del teorema 4.5.2 supongamos además que I no depende de ú. Se fijan r y t y se define la aplicación:

t + lt(t, r, o

4 .6 .

DIFERENCIALES. TEOREM ASDE U N IC ID AD INE C UACIONES

tL7

Demuéstrese que esta aplicación deja invariante el volumen si, y sólo la divergencia de / es nula, es decir:

+ or,

(r) - 0 div l(r) : L;; oxx

¡F ER EN C IA L ES TEO . R EMAD SE U N IC ID A D 4. 6. I NE CUA C ION D ES En muchos problmeas planteados por la tecnología moderna las funciones que se buscan son con frecuencia no derivables. En otros, aunque lo son, la derivada satisface una inecuación, en lugar de una ecuación del tipo considerado en las secciones precedentes. Por esto tiene interés el considerar las inecuaciones diferenciales como lo hacemos en la sección presente. Por otra parte, del estudio de las inecuaciones diferenciales resultan fácilmente criterios de prolongabilidad y de unicidad muy útiles y generales. En R" escribiremos, para x,Ae R", xlU, si se verifica x¡)U¡ para f:1, 2, n , y t am bién x 2U s i x ¡)y ¡. S e a f :[ú 0 ,ú t] x R " - rel="nofollow"> Itn una funci ón cual quiera. Diremos que la función x:lto,f,]+R" es solución de la inecuación diferencial x'(t))f(t,

r(¿))

en [ú6,t¡] cuando r' existe en lto, ttf y satisface dicha desigualdad en el sentido ant eri o rp a rat odot €|t o, t J . A n á l o g a me n te ,p a ra l o s s ím b ol os7,1,< . Para poder considerar funciones no necesariamente derivables introducimos, para una función cualquiera x : (to ,ú ,)+ R " , los cuatro números de Dini en r € (ús,11): D + x (t):l ím s u p l' {o

inf

D * x (t):l ím ¡{o

D-x(t):lím sup /¡1 0

D-x(t): lím inf /,to

x(t+h)-x(t) It x (t+ h )-x (t) h x (t+ h )-x (t) h x (t+ h )-x (t)

que se denominan, respectivamente, derivada superior a la derecha, derivada inferior a Ia derecha, derivada superior a la izquierda y derivada inferior a la izquierda (obsérvese el significado geométrico de estos cuatro números).

CAP. 4.

II8

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGAB¡LIDADDE SOLUCIONES

como es obvio, si se considera lto, tr) en lugar de (to, tr) cabe considerar D+x(t),

D+x(ts),

D-x(tr),

D-x(tr)

con esto es claro lo que significa decir que x:lto,tr'l+R", derivable, es solución de

una función no

D+r(ú)) f(t, x(t)) en [ú6,Í1), por ejemplo. Las inecuaciones para las cuales los resultados siguientes son válidos han de ser tales que su segundo miembro sea una función qu. satisfaga una cierta I condición que llamaremos condición de Kamke (véaie E. Keure tlg3zl). Definición. sea f:R"->R',. Diremos que f es función de Kamke en el coniunto ,s c R", cuando se satisface la condición siguiente: Si se fiia i, l( i( n, A s e ti e n e a ,b € S c o n e ¡:b¡, a* { .br con k+ i , entonces:

f

'(a)4f'(b)

Obsérvese gu€, según esta definición, si ft:I toda función es de Kamke en todo su conjunto de definición y, así, los teoremas que se demuestran a continuación son válidos para las ecuacicnes escalares, Si n:2, entonces f es de Kamke en S si, y sólo si, /1 es no decreciente €ÍL)c2y fz es no decreciente en fr. El teorema siguiente permite establecer una comparación entre las soluciones de una ecuación y las de la correspondiente inecuación estricta. 4.6.1. Teorema. Sea la función f :la,blxR"->R" de Kamke para cada t fiio t€la,bl. sea x:la,bl+R, Ltne solución de Ia ecuación x,(ti:fe,x(t)\ para t € fa,bl. a) Supongantos U:la,bl+Il" continua A tal que:

I n-a(t)>f(t, a(t)),t € la,bf L a@)>x(a) Entoncesg(t)>x(t) en todo t € fa, bl. b)

Supongantos z:fa,b]-+R',

continua U ta| qlrc:

z(t)), t e @,b) I D-z(t)<.f(t, ( z(a)<.x(a) Entonces z(t)1x(t)

en todo t e [a, bf.

DruosrnnctóN. Demostramosa), pues b) es similar o reducible a a). se tiene, por continuidad, g(t)>x(t) para t € fa,a + El. supongamosque no es a(t)>x(t) en todo t e [a, b]. Entonces existe c € (a,Dl ial que a@>x(t) si t€fa,c), U@)2x(c)y, además,U¡@):x¡ip)para algún-i:1,),...,n.' Sabemos que D-g¡@))f ,(c,A@)))f ¡@,x(c)):¡i1¿¡.

4.6.

DIFERENCIALES.TEOREMASDE UNICIDAD INECUACIONES

119

Como es y¿(c):r¡(c), y como

lím sup

a¡@+h)-u,@) )

ht0

lím

x,(c+h)-x¡@)

,¡ + 0

resulta: lím sup

A¡@+h)-x,(c+h)

>0

/r t0

y, por tanto, existe necesariamente t' € la, c) tal que A¡(t')1x¡ft') A(t') > x(t'), lo que contradice la definición de c. I

y, así,

Definieión. Sea f:la,bfxR"->R't Ltne función. Consideramos la ecuación diferencial x'(t):f(t,x(t)). Una solución x+ de esta ecuación se denomina solución maximal a la derecha en fa, bf si, para cada ts € fa, bf, toda solución x de la ecuación tal que r(tg) < x*(to) uerifica r(t) < )c*(t) para tlto, t € fa, bf. Del mismo modo se define una solución minimal a la derecha en fa, bf A, de modo senzejante, se puede considerm eI interualo de extremos e, b, -m(o1b( +oo, abierto o cerrado, etc. Damos a continuación un teorema de existencia de solución maximal. 4.6.2. Teorema. Sea f : D C R x R" -+ R" una función de Kamke con respecto o la segunda uariable para cada ualor fijo de Ia primero, Sea D abierto g f continua en D. Entonces existe unq única solución maximol a Ia derecha r de x'(t):f(t,x(t)) tal que x(to¡:go para cada (r,,fl) e D. Además, esta solución está definida en un interualo fts, t) g todos /os puntos límites de x(t) para tTt están en Ia frontera de D. Lo mismo sucede para la solución minimal a la derecha. Dn mo srnec r óN. T om am o s € € R " , y e suficientemente pequeño:

e )0

y c o n s i deramos,para k:1,2,...,

x'(t):f(t,r(ú) +: (P*)

k

r(ro¡:g *i Sea rflr(¿) una solución cualquiera del problema P¡. Todas las rür están definidas en Íto, ttl para un cierto t1}¡0. Se tiene, por el teorema anterior, que t!t¡(t) es estrictamente decreciente para cada t € fto, tJ. Como las út son equicontinuas y uniformemente acotadas en Íto, trf contienen, por el teorema de Ascoli-Arzelá, una subsucesión uniformemente convergente a una función 0:fto, f1]-+ R'. En virtud del carácter monótono de la sucesión { úo }, se tiene ú*+0 uniformemente en fto,ttl.Así, es fácil ver que 0 es solución del problema

x(t)) 1"rI i',,ili_,f'

120

Ca p . 4 .

E X IS T E NCIA, UNICIDAD Y

DE SOLUCIONES

Tratamos de probar que 0 es solución maximal a la derecha en fto, tJTomamos ¿2€ lto, ttJ. Si es que x(tr){0(tr) para una solución cualquiera Í del problema (P). para cualquier k y, así, por el teorema anterior, entonces x(t)1t!*(tz) y, por tanto, r(¿)(g(r). Así, e es una solución r(¿)f(t,y(t)) para todo te (a,b), tt seo g(a)20(a). Entonces, aft)>0(t) paro to d o t€la, bl. Dnuosrnacló¡¡. Sea c el supremo de los te fa,bl, tales que si a(s(ü se tiene z(s)(r(s). Supongamosque fuera c1b. Escogemosun vector €€R", e)0, y sea ,lto(t) solución del problema

x'(t):f (t,x(t))+ (Pr)

n

¡(c):il.rc\+1 k

p ar a k:1 ,2 ,.. . , en un in te rv a l o l c ,c + h f. Se g ú n l a demostraci ón del teorema 4.6.2, Úo converge a 0 uniformemente en fc, c + hf para k -+ m. Por el Por tanto, obteneteorema 4.6.L se tiene z(t)<{tk(t) para todo t€lc,c+hl. y esto contradice la definición de c. mos z(r)(0(t) para t€Íc,c+hl, La segunda parte se demuestra análogamente. I Una consecuencia directa del teorema anterior es el siguiente corolario que caracteriza en términos de una inecuación diferencial las funciones no decrecientes en un intervalo.

4.6.

DIFERENCIALES.TEOREMASDE UNICIDAD INECUACIONES

Sea z:Ía,bl-+R" 4.6.4. Corolario. piedades siguientes son equiualentes: a) b) c)

ttna función continua. Las tres pro-

La función z es no decreciente en lo, bf. Para todo t € (a.,b), p-z(t) < 0. Pma todo t € (a, b), p+z(t) < 0.

Dn¡uosrneclóN. Que de los números de Dini. f = 0. Asimismo, de la do l = 0 y cambiando r

b) y que a) 3 6'¡ es claro por la definición es consecuencia del teorema haciendo Que b) 1o), segunda parte del teorema resulta c) ¿ a) hacienpor -t. I a) a

El teorema que sigue, debido en el caso de ecuaciones escalares (n:L) a O. Pannow [1915], permite concluir la existencia de solución de una ecuación diferencial partiendo de la existencia de solución para ciertas inecuaciones diferenciales asociadas a ella. z :fa ,b l + R " 4 .6 .5 . T eor enr a. S e a n A:l a ,b l + R " , tinuas tales que z(t){UG) en la, bf, A sea

dos funci ones con-

D: { (t,€)e la,bl x R": z(r)Ef
€R" una funcióncontinttade Kamkeen € para

cada t fiio de fa, bJ. Supongan?os que g(t), z(t) satisfacen las inecuaciones:

D-a@7fG,aQD, D-z(t)
eI problema (P)

x(,)) [ {,,}]:,á,,

tiene aI tnenos una solución x(t) definida en la, bl que satisface

z(ú)< x(t)
t, si z¡(t)( t¡4a¡(t) a¡(t) si a¡G)1t¡ z¡(t)

si

€¡12,(t)

Obsérveseque (t, t*) € D y, así, tiene sentido escribir

f*(t, 0:f(t, €*)

122

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Es claro que f* eS continua y acotada en fa, b] x R" y, aSí, por el teorema de Cauchy-Peano (4.1.3), existe una solución x(t) del problema

x (P*) f '(t-):f*(t'x(t)) x(a):g L ' Si demostramosque r(r) verifica z(t) < x(t)
x,(t) rel="nofollow">y,(t)

para todo ú€ (c,dl. Puestoque

y

xiQ):gt(t)

rI(ú)< Ue(ú)

para /c*i y todo t e lc, dl, resulta, por la propiedad de Kamke Para f, 9ue se puede escribir fit, x(t))4f ,(t, y(t)) para t e lc, dl. Por tanto: fd

fd

x¡@)- x¡(c): ll{r, r(s))ds < J" f'(r,y(s))ds J" Ahora bien, por el corolario 4.6.4 se tiene que

aG)- ['t,r, v(s))ds Ja

es una función no decreciente de t y, así:

x¡(ü -r¡(c)( f

oftr,

y(s))ds {U¿(ó- a¿.rc)

JC

Como x¡(c):A¿(c),resulta r(d)
Pero esto contradice la hipótesis

x¡(Alu¡(O. Así, r(¿)(y(r). Análogamente, se demuestra z(t)<x(t) Y, de este modo, resulta el teorema. I Los resultados obtenidos hasta aquí sobre inecuaciones tienen muchas aplicaciones. A continuación consideramos cómo de ellos resultan con toda facilidad criterios generales de prolongación y unicidad de soluciones. 4.6.6. Teorema. Sea F:(t, ?D e Ía, bf x [0, oo) -> F(t, u)) € [0' m) una función continua A sea w(t) una solución maxinnl a la derecha definida en fa, bl de Ia ecuación w'(t):F(t,

w(t))

4.6.

TNECUACTONES DIFERENCIALES.TEOREMASDE UN|CIDAD

123

Sea f :Ía, b] x ft,, -> Ru una función que satisface

¡{t,$l
',rt lr(¿+ l¿)l- lr(r)l D-z(t):lím /rf0h lx(t - /)l - l¡(¿)l

,r_lnl:_r : llm t=-tt{o

-I

( lím intl*(t)-*(t-t) lüo

|

E¡euruo.

lr(r¡¡ " ' - lr(¿- t)l '' ( I

|I : l/,r, r" r(r))l(F(ú, z(ú))

-l

Por tanto, z(t) satisface D-z(t)(F(¿, secuencia del teorema 4.6.3. I

1. n f :l Ími l 1 ;--

z(t)), y el teorema resulta como con-

(criterio

de prolongabilidad de A. wr¡¡r¡,rnn 11946l) Sea, con la notación del teorema, f(t, €) continua y tal que

¿(lfl) lf(t' E¡¡< M(Ú) en [fo, oo) x R", siendo M(t) y L(w) continuas y no negativas en [fo, oo) y [0, m), respectivamente, con L(w) * 0 si w + 0, y tal qu" (*

dw

J, L@)para F/)0.

+ oo

Entonces, toda solución r(r) no prolongable a la derecha de ,'(r):f(t, x(t)) { ( r(ro¡: ¿o

está definida en [ro, m). En efecto, el problema

I ''G):M(t) L(u:(t)) ( wlto¡: r¿o;'lfll tiene solución única definida implícitamente por la ecuación

Como

CAP. 4.

T24

EXISTENCÍA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDAD DE SOLUCIONES

resulta que la anterior ecuación define w(t) para todo ú € [f6, oo). por el teorema precedente, 4.6.6, cualquier solución r(r) no prolongable a la derecha satisface lr(r)l
Teorema.

(Criterio

general de unicidad de Kamke).

Sea

F : (t, w) e @, b) x [0, m) + F(t, w) € [0, m) una función continua no negatiua tal que F(t,0) - 0. Sea p':(a,a+E)-+(0,oo) una fmtción positiua definida en algún intensalo (a, a* 6), con D>0. Supongamos que para cualquier c € (a, b) Ia tinica solución w(t) de w'(t): F(t, w(t)) definida en (a,c) tal que w(t):o(p(t))

para tla

es w(t)-}.

Supongamos también que Ia función

f : (t, t) € (a,b) x R, + f(t,f) € R" satisface la desigualdad

lf(t, €r)-f(t, f)l
(a,b) A todo par tt,€2€ R".

Se a n x1 : ( a, b) + R" ,

x2 :(a ,b )-> R "

si(t) :f(t, x{t)),

fu n c i o n e s ta l e s que

.rit) :f(t, xzft))

pora t € (a, b) U lxt(t)- xr(t)l: o(p.(t)) para t ta. Entonces r,(r¡: x2(t) para todo t € (a, b). Dr¡vrosrnaclór¡. Sean xtft), xzft) las dos funciones del enunciado. Definimos z(r):lr1(f) -xz(t)|. La función z:(a,b)+ [0, oo) es continuay z(t):o1f1¡¡¡ para t tra. Además: z(t + h) - z(t)( |[rr(r + h) -rr(ú)] - Íxdt + h) - .rr(t)ll para h)0

pequeño,y, así: D+z(t)< ll(r, rr(ú))-f{t, trlú))l
4.6.

INECUACIONES DIFERENCIALES.TEOREMASDE UNICIDAD

t25

Supongamosque existiera c e @,b) tal que z(c): lr'(c)- rr(c)l;'0 Entonces,por el teorema 4.6.5, reemplazandoallí r por - ú, el problema *'(t):F(t,w(t)) I ( r¿(c): z(c))g tiene una solución w(t) en (a,cf tal que 0(¿u(r)
CAP. 4.

126

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Análogamente se demuestra que ir(t) es solución. Con esto resulta que no hay perdida de generalidad en suponer que xr(t)2xr(t)

para

t € (a, b)

El resto de la demostración procede como en el teorema. Nótese que si se exige que para cada r fijo ra función f€ R

+ f(t,O€ R

sea no creciente, entonces la condición de Tonelli, f(t, €r)- f(t, fr) < F(t, €r- (r)

para

€é €,

se cumple con F(r, f) = 0. De ello resulta el criterio de unicidad de peano, que ya hemos usado y demostrado de otro modo al final del ejemplo de M. Müller en 4.1. En los ejercicios de esta sección se proponen casos particulares importantes del criterio general de Kamke, tales como el criterio de Osgooá y el criterio de Nogumo.

E J E R C IC IOS l.

Demuéstrese el criterio de unicidad de Osgood. Sea f :(t, 0€

D C R x R ,,+ f(t,f) € R ,

una función continua definida en D, abierto. supongamos que ú : (0 , a l +

(0 , m )

es una función tal que a , f" d u : :'frJ..r(r)*

y que lf(t, t) - f(t, fr)l <,¡(lf, - €rl) para todo (t, t), G, t) € D con lf, - frl (a. Entoncesel problema x'(t):f(t'x(t)) (P) { ' t r(ro¡: ¿o tiene una solución a la derecha única para cada (ro,f) e D, es decir, si r¡_y 12 son dos solucionesdel problema,existe un-iniervalo ¡ro,ro+6j en el que rr z xz. Búsquensefunciones ú que satisfaganlas condicionesanteriores.

4.6.

2.

DTFERENCTALES. TEOREMASDE UNTCTDAD TNECUACTONES

127

de unicidad de Nagumo.

Demuéstrese el criterio Sea

-+ R "

fz D C R x R "

una función continua en D abierto. Supongamosque se verifica (0, f) € D y

lf(t, €')- f(t, f') | <

tn -g z 1

-t-

que(ú,t\, G,É)eD y l€'-fl <0. siempre Entonces el problema

(P)[ i,',t]:[,,x(t)) tiene solución única a la derecha. 3.

Sea ú:Ío,bl+R

solución maximal a la derecha de la ecuación x'(t):f(t, x(t)),

d o n d e f es c ont inua e n fa * ,b + fx R c o n c + (¿ y b* > b, y toma val ores con en R. Sea rl(úo):f con ts€la,b] y supongamos gue úr:la¡,,b¡'l+R a*2e*, b*{b* es solución maximal a la derecha de x'(t):f(t,1c(t)), que út!t): ft y que t* + {, t*+ t. Demuéstrese que úo existe en la, bf para k suficientemente grande y que r!¡ converge uniformemente en fa, bl a rp. 4.

c o n ti n u a y tal que

Se a f:[ro, r t ] x B ( { , b) CR x R " + R "

(f(t,*) - f(t,t\).(* - f') < 0 (donde

.

representa producto

escalar) para todo

t € lt¡, ttf,

€,,(e B ({,b) Demuéstrese que entonces el problema

x(t)) (P)f( x"(-t),:f!' ' x(to¡: Eo

tiene solución única. 5.

c o n ti n u a y no decreci ente en t Se a f:( t , O €Í a, blx R" + f(t,f)€ R " solución maximal a para cada valor fijo de te fa,bl. Sea r:la,bf->R" en la,bf. Supongamos que una función conla derecha de x'(t):f(t,x(t)) satisface Ia inecuación integral tinua A:fa,bl+R"

y(r)<x(a)+ i' t,', y(s))ds J4

para t € la, bl. Entonces, A(t)(r(r) en Ía, bJ. Esta generalizacíóndel lema de Gronwall se debe a Z. Optsr [1957].

/ D

EGUACIONES LINEALES

La teoría de ecuaciones diferenciales lineales es básica en multitud de aplicaciones a la Física, la Economía y la Ingeniería, etc. Muchos problemas reales vienen a plantear ecuaciones que son lineales o que admiten una aproximación lineal que es suficiente para muchos propósitos. La herramienta principal en el estudio de las ecuaciones lineales, aparte de los teoremas generales del capítulo 4, es el análisis matricial, cuyos resultados más útiles para nuestro propósito se exponen en 5.1, a modo de resumen. A continuación se exponen, en 5.2, los elementos básicos de la teoría espectral de operadores en espacios de dimensión finita. Esto nos permite presentar una demostración bastante sencilla y directa del teorema de descomposición de |ordan y al mismo tiempo nos da ocasión para desarrollar algunas de las ideas básicas subyacentes a la teoría espectral general de operadores, de tanta importancia en el análisis y en la Física actual. Las secciones 5.3, 5.4 y 5.5 aplican los resultados de que disponemos al estudio general de las ecuaciones lineales, con coeficientes constantes y con coeficientes periódicos, respectivamente.

5. I .

E L E M EN T ODSE A N A L ISIS M AT R IC IA L

5.1.1. fsomorfismo entre operadores lineales y rnatriees. Como se indica a continuación, se puede establecer un isomorfismo entre el espacio vectorial de las matrices n x n de elementos complejos y el espacio de las aplicaciones (u operadores) lineales de un espacio vectorial X complejo de dimensión n a X. Esto nos permitirá hablar indiferentemente de operadores lineale-. o de matrices. Sea A una matriz nxrx de elementos de C, A:(.ai). Sea X un espacio v ec t o ri a l sobr e C de dim e n s i ó n fl , y s e a G :{ € r€ 2 ,...,e,,} una base fi i a de X . Definimos la aplicación 0(A) de X a X del siguiente modo: Para ei ponemos

o(A)e ¡: io,,r, í:l

y, s i x€X

es Í :

Yl

/Í¡€ ¡,

i:t 128

5.I.

ELEMENTOSDE ANALISIS MATRICIAL

129

entonces: tt

x* : 0(A)r: )

,t

: x¡il(A)e¡

I i,i:r

i= t

,t

a¡¡x¡€¡: rie, ) i :l

donde hemos llamado tt

.

xi:

s'l

/a ¡¡x ¡ i :r

La aplicación así definida es claramente lineal, y si escribimos las coordenadas de r y r+ como los vectores columna

se tiene C(x*):AC(x). podemosdefinir Recíprocamente,si se tiene el operador lineal T:X+X x compleios rb(D dimensión n. de elementos de n del siguiente una matnz modo: Si Te,:

é La,¡",,

entonces la columna i-ésima de ,lt(T) será, precisamente:

DenominemosM(n, C) al espacio vectorial sobre C de todas las matrices n x n de elementoscompleiosy L(X, X) al espaciosobre C de todos los operadores lineales de X a X, siendo X el espaciovectorial sobre C de dimensión n en el que se ha fiiado la base G. Entonces,0:M(n,C)+L(X,X) es un isomorfismo suprayectivo cuyo inverso es precisamente,lt. Si X : C" y tomamos en X la base

1 30

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

entonces, dada una matriz A:(a¡)€M(n,C)

y un vector:

se tiene O(A)x: Ax y, €n particular,

Es decir, 0(A) es precisamente el operador que transforma los elementos de la base G en los correspondientes vectores columna de A. Estas consideraciones permiten identificar operadores lineales y matrices de una forma natural. En lo que sigue hablaremos indistintamente del operador T € L(X,X) y de su matriz asociada úQ¡, que también denominaremos a veces T, suponiendo que se ha elegido una base G, en X. 5.1.2. Equivaleneia de normas en un espaeio de dimensión Sea X un espacio vectorial complejo de dimensión finita n. Sea

finita.

G : { € b € 2 ,..., € rI uttu

de X. ,:"r.

Definimos una aplicación lineal a:X + C,, poniendo, si

La aplicación es trivialmente un isomorfismo suprayectivo que permite identificar X con C", una vez fijada la base G. Es claro que si en X se tiene una norma ll !l y se define, para a e C":

p(a): ¡la-'(a)ll, entonces p es una norma en C" y, así, o¿ se convierte en un isomorfismo isométrico suprayectivo de (X, ll ll) a (C",p). Conviene observar que en X dos normas cualesquiera son equivalentes. Para mostrarlo basta, en virtud de la observación precedente, demostrar que en C" dos normas cualesquiera lo son o, lo que es lo mismo, gu€ en C" una norma cualquiera p es equivalente a la norma:

ELEMENTOSDE ANALISIS MATRICIAL

5,I.

131

Para ello observemosen primer lugar que, si

v

N: Su P {p @, ) : i: 1, 2, . . . , n } ,

s e ti e n e :

p(x):r(> *,",)*i Wlp.",)*"i tr,t:Ntrt, rT '

,

[*l

r

Supongamos ahora que se tiene una sucesión {xk}CC" tal que rk-+O y una en la norma I lt. Si es que p(xo) no converge a 0, entonces existe 4)0 SUbsucesión de { ro } que denominaremos de nuevo { r* } tal que ¡e + 0, .f^ +0, y p(xk)/q. Consideremos los puntos: xk

,. ' - wol, y, según [*], se tiene:

Se tiene, claramente, lzklt:l

p (z o )(N l z e l r:N Pero, por otra parte, p (z k ):' :::) > - :' l x rl t l ro l t y, así, p(zr) -> oo para k -> oo. Esta contradicción demuestra que p(x*) + 0. Así, siendo p una norma en Qn resulta que es una aplicación continua de C" a [0 ,o o ) r es pec t o de I l r. C o m o e l c o n j u n to { r€ C " : l rl r:1} es compacto en ( C ", I l t), ex is t e z c on l z l t:I ta l q u e :m ín { p (x ): l rl t : 1 I

d z ):H

Siendo p una norma en C" se tiene z + 0, y, así, H>0. x + 0, r es u l ta : t odo x€ C', I

o(

x

\

h,h)

--

>H,

es decir, lrlr(,

I

Por tanto, para

r(r)

Esto, junto con [*], demuestra la equivalencia de las normas I lr, y p en C". En particular, todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. En general, en lo que sigue utilizaremos la norma euclídea de C", es decir, si r € C"

lrl :

(I,",,'¡"'

132

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

Una ventaja importante de la norma euclídea consiste en que está asociada de una forma natural con el producto escalar definido del siguiente modo para x,g e c , , : l x , A):

é L * ,At

Se tiene j rl :(r, r)t/z La norma euclídea presenta también la ventaja de poseer una derivada continua respecto de las componentes en C,,- { 0 }, lo cual no sucede con otras normas usuales como ,t

l r l r: I

o bien l,r:l-: máx{ lx¡l:i- 1 ,.. . ,n } '",1

Tiene, sin .-Ou.*ol ,u desventaja de que la norma asociada aella de los operadores Z € L(X,X), norma que introduciremos a continuación, es de una expresión de cálculo más complicada que en los otros casos. 5.I.3. Norma de un operador. Sea X espacio vectorial complejo de dim e n si ó n n y G : { €t , €z ,...,€ u } u n a b a s e d e X . S ea l l l l una norma en X . Para T e L(X, X) definimos:

llrll:sup{ llr"li: llrllE 11 claro gu€, por las consideraciones de 5.1.2, existe M>0

ll"ll< l, entonces éé M{m, )-rl*,1(

siendo x :

tal que si

)_rx¡e¡

Así.

llzrll lx)llTe,ll<Mt llTe,lt
?_rr

para todo r con lltll < 1. Por tanto, la aplicación ll il definida así en L(X,X\ toma sus valores en [0, oo). Es fácil ver que es una norma y convierte a L(x,x), que es espaciode dimensiónnxn, en un espaciode Banach.El espacio (L(X,X)' ll ll) admite, como se ha visto en 5.1.2, un isomorfismo isométrico con (C"*n,p), donde p es Ia norma en Cn*" obtenida en Cr*" por medio del isomorfismo suprayectivoa que existe entre L(x,n ! e,,tx,'. La norma ll ll definida en L(X,X) satisface,como se comprueba fácilmente:

ila*ll< llAllll'il, para todo r€X,

A€L(X,X),

ABll < llAilllBli

BeL(X,X).

ELEMENTOSDE ANALISIS MATRICIAL

5.I.

t.33

a de las matrices A € M(n' c) asociadas Es fácil interpretar en términos

t""'J.': AéIix, b: lo-,-:i:':"1.*"-li;; operadores M(n,c)es " ffiTt,"ü':1u" en posible norma una como X. de

i?"fffiXl1iurq,ri.ru ll ll

q(A): ! tn,,t i, i:t

y t oda sl a sn o r m as s onequiva l e n te s ,re s u l tayg ü € ' p aii, ra l a sucesi ón{par A t} 'i,i se tiene cada pu.u sólo para /.; * si, Ar:@!), se tiene Ar+0

oi,ir'ru3fiti.Íil;

x€ c" M(n,c) setieneT*+? si, v sólosi, paracada a que para

puru ello basta ver que T¡ + 0 es equivalente se tiene T¡,x+ir. c adax€ C ,,S et engaT ¡ x + 0. S u p o n g a m o s q u e e s ta ú l ti m a condi ci ónS e cumple. Sea T¡:(üt) Y tomemos

Entonces

y así se tiene, Para cada i, P a ra /c + m

ú f,+ 0

todo par i'i' Análogamente se obtiene para t!, + 0

Para

/c -+ m

es más sencilla' La implicación en el otro sentido S.l .4 .E x ponenc ialde u n a m a tri z .Se a ,c o m o h aTs ta supongamos que L(x'x)' unespa€ ahora,X n y sea cio vectorial complejo de dimensión

iL) o,¡vlu es una serie numéricacon a*20,'t=0, la serie: i

L)

o,'f*

convergente.si llTll<M' entonces

donde To:I' identidad'

ECUACIONESLINEALES

Cap. 5.

134

satisface la condición de Cauchy, es decir:

rrg

"'

rr

ll )o -t -l lrr<> " 8, !,

a¡Mk +o parai, m + *

k :i

así, define un operador lineal

s: iooro &= 0

converge a eM para cualquier M real y, así, para # todo T e L(X,X¡ J.:oprrededefinir el operador En particular,

i

@

(7):er:I exP 7-4

#t'

que satisface las propiedades siguientes:

,, (z)ll .ñ\,, <-i) llexp

llrrr* llr-ll\ bt -i ¿-r+--exp(llrll)

si A,Be L(x,x) y AB:;^,'-"'r""; exP (A + B): exPA exP.B .-' '' '

En efecto, se tiene '

Y , aS í :

exP(A-B¡:)

a (" A + B ): ki

'

r _ i (r \o ,u o _ ,:

). -

/-o kt ?,x i t

-: :'

.'

rr; T

t

H ?- i t@ _i l t

Ai Bk -i :

cpó,s

-: l\S 4 i t 4 : )l .' \1, ,2t k tl : /) : . *n- Ae xp B estando todos los cambios de orden de sumación justificados por la convergencia absoluta de las series exp A, exp B, es decir, por la convergencia de

las seriesexp(llAll)y exp(llBll).

5.I.

ELEMENTOSDE ANALISIS MATRICIAL

135

De 1o anterior resulta (-A)

ex pA e x p (-A ):I-e x p

e xpA

1' así (exPA)-r : eXPG A) Por tanto, la matriz exp A nunca es singular. Como veremos más adelante, el cálculo explícito de exp A una vez que se conoce la forma canónica de ]ordan de A.

es sencillo

5.1.5. Derivación. Consideramos ahora una función de R con valores en el espacio normado L(X,X) A :t€

R -> A(t)€ L (X ,X)

Tiene sentido hablar de límites, continuidad, una yez que tenemos una topología en L(X,n. En particular, si ú0€ R podemos definir la derivada A'(to) de A(f) en úe del siguiente modo:

A'(tJ:

lím

A(to+ h) - A(to) h

ft)o

cuando este límite existe. La existencia de tal límite tiene lugar si, y sólo Si, todas las componentes a¡,ft) de A(ú) son derivables en fe y la derivada entonces es precisamente A'(ti:@i¡(tr)) Para verlo basta recordar que todas las normas en L(X, X) son equivalentes y que una de ellas es precisamente

i

la,¡l para A:(a¡)

,?o,

La derivada tiene las propiedades siguientes. Si A(t) y B(t) admiten derivadas en to, entonces la función S:A+B definida por S(r¡: A(t)+B(t) satisface (A + B)'(tl:

A'(ti + B'(to)

y la función P: AB definida por P(t):41¡)

B(t) satisface

P'(to):A'(to) B(to)+ A(ti B'(to) La demostración es rutinaria. Si A'(ro) existe, y también (A(úo))-1, entonces, siendo A(t) continua en ts Y, Por tanto, det A(r) una función continua de R a C que no se anula en fs, existe

136

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

un intervalo [ro- h, to+ h] de fs €n el que det A(r) * 0, y, así, se puede definir:

J: t € Íto- h, to+hl + IG): (A(r))-t y se tiene, además,

tím (A(ro+ s))-t : (A(ro¡¡-t También se verifica: I'Go): - (A(ro))-'A'(tJ (A(úo))-t En efecto:

I,Go): lím

/(ro+s)-/(¿o)

: tím

S

s->O

: lím (A(to)-l s)0

: lím (A(ro¡¡-t

(A(ro+s))-t-(e(rJ)-t S

s) o

A(ti(A(to+ s))-t -, s A(til(A(to+ s))-t - A(to+ s)(A(¿o+ s))-t

si 0

:

(A(ro))-' ryag 1T

: (A(ro+ s))-r

: _ (A(ro))_t A'(ti(A(ro)_t En general se tiene, para A, B € L(X, X), det (AB): (det A) (det B), y si se define la traz.ade A como tr A:

é Lo,, i:t

entonces: tr (A B):tr

(BA )

lo que se comprueba directamente mediante la definición de determinante y traza. Es sencillo ver que si A(¿) es derivable, entonces:

5.I.

ELEMENTOSDE ANALISIS MATRICIAL

L37

es decir, la derivada del determinante de A(t) es la suma de los determinantes de las matrices obtenidas sustituyendo en A(t) una fila (columna) por su derivada.

EJ ER C ¡C IO S l.

En C" se consideran las normas siguientes:

l / r ' \l

:máx{lr¿l : f:1,2,"',n} ll t ll

:á'"' l(;: )l l \ r " /l -

Sea ahora A € M(n, C). Hállense llAll- y llAllt en función de los elementosde A:(a¡). 2.

Dada Ia matriz

":(l l l ) hállensesenA, cosA, exPA. B. Demuéstreseque si Y:R-+ L(X,X) es una función continua que satisface Y(t + s): Y(t)Y(s) para todo ú,s € R, Y(0):/, entonces dY :AYft) dt siendo A un operador constante. 4.

Demuéstreseque en Rz la aplicación p:x€ R2+ p(x)- lx?*x22+4xp2

1 38

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

es una norma, pero

qi x e R2-> q(x): no lo es.

^/

x?+ 9xi + I8xP2

5. Se consideraun espaciovectorial complejo V de base B:{€11€21e} y un operador lineal T:V+ V definido por las siguientesrelaciones: T(et+ez):4et T(et- €z):Zez T(e2+€t):2et- ez Hállese Ia expresión matricial de T respecto de la base B. 6.

Sea T una matriz 2x2 de elementos complejos. Se considera la serie S(I) : )' + )'2+ )'3+ l'4+ "' Determínese bajo qué condiciones S(O define una matriz.

5.2. TEORIAESPECTRAL DE JORDAN ELEMENTAL. TEOREMA Sea X un espacio vectorial complejo de dimensión n y sea G:{€t,€2,...,€,} una base de X. Sea T e L(X,n tal que Te:)tp1, .\,r€ C. Entonces, recordando que la expresión matricial T6 de T respecto de Ia base G, según 5.1.1 es tal que la columna i-ésima de ?6 está formada por las coordenadas de Te¡ respecto de G, resulta que T6 es de Ia forma:

Asimis mo, si Tet:¡.u. para i:Lr2,...,ft,

entonces:

es decir, la expresión de T respecto de G es extraordinariamentesencilla y hace transparente la estructura de T. Veamos cómo varía T6 por un cambio de base. Sea P:(p¡) una matnz n x n no singular de elementos compleios y sea é

é¿:LP¡9¡ i:t

TEORTA ESPECTRAL ELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

s.2.

l3g

La nueva base es G:{ét,...,é,}. Si la expresiónde T respectode G es Tá:(f¡), esto quiere decir, según 5.1.1,que -N

Té,:

éLt,¡ét i:1 ,7

es decir, teniendoen cuenta que ¿,:Zpt¡e¡: l= r nn \--'r

TA,:

)1

rr

p,¡Tet:

l= t

-

t¡¡p*te*

L i,&=l

,t

Como Te¡:

\-.l

Lto,eo,

resulta:

k=l n

n

tsr t*t?Uer: put¡f* tt L I , k= r

y si e n d o G: {

i,k= r

€t , €2, . . . , €,r}u n a b a s e :

i"o": i PJ'¡ l:l

i:l

decir, T6P:PT6. Por ejemplo, si

I r7

r e : l -+ \ 28

3 -6\

o

lr

o

1\

\2

L

3l

2|., P:lo z ll,

5 - el

tonces:

15 0 "6:1\0 Así, un mismo T € L(X,X)

o I

0\ 0l

o

2/

|

I

5

P- ' - l z \ -4

I -l

- 2\

tl 2J

que tiene una representación complicada res-

pecto de una base G admite otra muy sencilla respecto de A. El problema que nos proponemos a continuación consiste en determinar bases respecto de las cuales el operador T tenga una expresión tan simple como sea posible. Como se ha visto, este problema es equivalente al siguiente: dada una matriz Te hállese una matriz no singular P tal que 76':P-rTeP tenga una expresión simple. Una primera respuesta sencilla la da el siguiente teorema. La forma

l,+0

Cap. 5.

ECUACIONES LINEALES

triangular que se obtiene es muy útil para diversos propósitos, como se verá en los eiercicios de esta sección. 5.2.1. Teorema. SeaA€ M(tt,C) una matriz cualquiera.Entoncesexiste una matriz P € M(n, C) no singular tal que P-IAP tiene la forma siguiente: Lr

Qn Ctn

Ar,

0

.tr2 ezt

Q2,

0

0

,\,3

Q3,

tr,

0

no DrluosrneclóN. La demostración procede por inducción. Para n:I y sea hay nada que demostrar. Supongamos el teorema cierto para n:h ahora A de dimensión h + 1. Existe un número ¡,r € C y un vector no nulo xe Ch+t tal que Ax:),1r. En efecto, si escribimos esta ecuación (A-1,1I)r:0 y ),1 es tal que det(A-trt/):0, entonces, por el teorema de Rouché, la ecuatiene solución x#0. Así, basta escoger ),1 como una de las ción (A-trr|r:O y resolver dicha ecuación. h+I raíces del polinomio de grado h+Ldet(A-I4 Tomamos ahora una base en C'¡+r que tenga r como primer elemento. Sea p la la matriz no singular de cambio de base. Entonces, Pof ser Ax:\tx, expresión en la nueva base del operador lineal cuya expresión era A en la base inicial es trr bp

br, ... brn

0

bz,

0

b9

b23 ... b2,, br, ... brn

b',,

bnt ... ;,,*

-B

aaaa

;

Consideramosahora la matriz: bn

bzs

br,,

b,

b*

br,,

E M& , C\ buz

b3

Por la hipótesis inductiva existe Pr tal que: ¡'z

C4

Cz+

C2,,

0

.\,3

cy

c3,

0

0

¡,4

c4,,

0

0

I

TEORIA ESPECTRAL ELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

141

Sea

Se tiene:

Definimos P: OR. Entonces P-r:R -tO -r, y se verifica:

P _I A P:

Cln

An

Qzt

Q2,

tr3

a3,,

aa

;L con lo que se demuestra el teorema. I La forma triangular que hemos obtenido es interesante, pero no puede compararse en simplicidad con la forma diagonal que obtuvimos en la introducción con respecto a la base G:{€t,€2,...,€n} tal que Te¡-}t¡e¡ paru i :1, 2,...,t? . S ur ge en s e g u i d a l a c u e s ti ó n : ¿ Se rá p osi bl e, dada Te L(X ,X ), hallar una base G que satisfaga tal condición? En otras palabras, . dada una matriz A, ¿se puede encontrar P no singular tal que P-IAP sea diagonal? La respuesta es negativa. Supongamos, en efecto:

":

(? :) '

':

(: 'r), P-'\AP: (; l) :u

Entonces habría de ser AP:PÁ,

es decir:

("'*"r, u1!):(:: fr:r) lo que implica a:0, b:0, y, así, P sería singular, en contradicción con la hipótesis. Por tanto, A no admite una expresión diagonal. Hemos visto el papel que desempeñan, tanto en la diagonalizaciín de tales que Tr:Itr. una matriz como en su forma triangular, los vectores x€X Aun cuando no siempre se pueda encontrar una base formada por tales vectores, es de esperar que sistemas de vectores de este tipo nos puedan ser útiles en la tarea de simplificar en lo posible la expresión de un operador mediante un cambio de base. Este es el significado del teorema de ]ordan y de las definiciones que siguen. Sea T € L(X, X) y I € C. Se dice que l. es auto5.2.2. Definiciones. tal que Tx:\x, es decir, sf el operador valor de T si existe xe X, x+0 T -)\I no es inuersible.

t+2

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

Si r es autovalor de T, cualquier x e x tal que Tx:\x se denomina autouector de T (correspondienteal autovalor I). El conjunto de todos los autovalores de T se denomina espectro de T y se denota c(?). Los números L e C - a(T) se denominan ualores regulares de 7,, es decir, I.€C es valor regular de T si ?-.\.I es inversible. .El espectro o(T) de un operador lineal cualquiera T no es nunca vacío ni *he más de re puntos distintos, siendo n la dimensión de X. En efecto, si G:{€t,€2,...,e,,} es una base de X y designamospor T la matriz elpresión del operador 7 respecto de G, I € C será autovalor de ? si, y sólo si, det(? M:0 por el teoremade Rouché,y siendo det(T-M un polinomio de grado n (polinomio característicode T) resulta que existen a lo sumo n puntos distintos en a(T) y que siempre existe alguno. El conjunto de autovectores de 7 correspondienteal autovalor I es un subespaciode X que se denomína autoespaciode Z (correspondientea I) y lo denotaremos N(I, 1): { r € X: (T - },I)tr:0 } Un vector r puede ser tal que (T-IDrlO, pero (T-M)2x¡0. Por eso introducimosel siguientesubespacio de X parh k:0,L,2,... y cuhlquier),€C N(I, /c):{r € X:(T -tr/)kr:0} Se verifica claramente N(¡.,k+1))N(),,ft) Además, si N(¡.,k+l):l¿1¡,¡¡, entonces,para todo h:2,J,..., se tiene N(,\,'k+h):N1¡, ¡¡ En efecto,supongamos N(),,k+I):N(tr, k) y sea r€N(tr, k+2), es decir, (Z - ¡¡¡'t*zx:0 Entonces:

(T -,tl¡t* t((T- tr/)r): g.

Así, por ser (T - )rl)x € N(L, /c+ l):N(tr, k), se tiene: (f - ),De((I- I/)r) :(T - tr/)t+r¡: g y, por tanto, r € N(L, /c+ 1):N(tr, k) Así: N(.tr,/c+ 2):l¡1¡, ¡¡

5.2. TEORIA ESPECTRALELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

r43

Del mismo modo. N(L,k+l¿):N(tr,k) Por tanto, la cadenade subespacios { 0 }:N(I, 0), N(tr, 1), N().,2), es una cadenaestrictamentecreciente,y, si para algún k N(.\,,k):N(tr,/c+t), entoncesse estacionaen este N(I, k). Ahora bien, es claro que para I € C es imposibleque se tenga:

N(l, 0)+cN(tr,t) +cN(),,q F ... #cN(tr,O FN(),,n + I) ya que si así fuera existirían n + I vectores linealmente independientes en X. Por tanto, existe para cada I € C un entero mínimo z(tr), denominado índice de )r, tal que N()', z(I) + l):N(¡,,

z(tr))

Es claro que z(),) ( z. Obsérvese que I € o(T) es equivalente a z(I))0. Sea k

P(tr):I o,^, j:0

un polinomio en I escribir r

con coeficientes complejos, y sea T € L(X,X).

Podemos

*

P(T):I a¡Tie L(x,n i:0

Como veremos a continuación, dos polinomios P(),), ?(f¡, aún sin ser iguales, pueden ser tales que los operadores P(?), 0Q) coincidan, dependiendo esto de la estructura misma de 7, esencialmente de su espectro. Este es el contenido del siguiente teorema. 5.2.3. Teorema. (Teorema de Cayley-Hamilton.) Sean P(I) A QQr) dos polinomios g T € L(X, X) un operador lineal. Entonces PQ): QQ) s¿; A sóIo s¿, P(I) - ?(f) üene un cero de orden v(pt) para cadq p" € a(T).

D¡¡rrosrnacróN.Sin pérdida de generalidadpodemos suponer 0(r) = 0.

Se trata de demostrarentoncesque P(T):O si, y sólo si, P(L) tiene un cero de orden u(pr) para cada p. e aQ). Supongamos que P(I) tiene un cero de orden para cada p. € o(T). "(ft) y demostraremos Construiremos primero un polinomio R(1,) tal que R(O:0 que P().) es múltiplo de R(I). Así, P(Z):Q. La construcción de R(I) se realiza como sigue: T o me mo s una bas e { Í r,x r.,...,x ,,} d e X . En to n c e s l os tx+ L vectores 11, Tx1, 72x1,..., 7".T,

L44

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

son linealmente dependientes, es decir, existen oi, i:0,I,...,71, no todos nulos tales que

compleios

ia¡rix,:o

j:o

Así, si St(I) es el polinomio

s,(r):i o,^,, i:0

es claro que Sr(T)rr:0. Análogamenteexisten S¡(.tr), i:2,3,..., rz, polinomios no idénticamentenulos tales que S¡(Z)rr:Q. Tomemos ahora el polinomio

R(r):úrn^, i:t

Claramente, R(T)x¡:O para i:1,2,3,...,rt Y,así, R(T)f :0 para todo f €X, es decir, R(T):9. Sea ,,,

R(tr):of[tr - Fn)o,, h -_ r Veamos que se pueden suprimir en R(I) algunos factores, conservándose aún la propiedad R(T):0. En efecto, sea

,tt

Ft€ c(T)

y

R*(r):of{(tr-¡rr,)"n It=2

Entonces, (T - prI)",R*(I)r:0

para todo x € X

Si existiera x € X tal que A:R*(T)x + 0, entonces (T - p-tD",U:Q, y esto implica gue Fr € a(T) contra lo supuesto.Así se ha de tener necesariamente R*(Z):0. De esta forma se pueden suprimir en R(I) todos los factores (tr- ¡r¡,)",con /¿r¡€ a(T) y se obtiene:

ñ(r):",Ut^ -on)e"con on€c(T)' polinomiotal que ñ1r¡: O. Demostramosa continuación que los exponentesFn se pueden todavía rebajar. Sabemosque para todo r € X se verifica

:o ñrn":" fl (r- o¡,r)8,,r

s.2.

TEORTA ESPECTRAL ELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

145

Y, POr tanto, -"-

- o,Dz,lltt - o¡,l)era:Q ct(T Si Fr2v(Jr),entonces,en t,r,"d ;: bién, para todo r € X,

la definición de v(it)se

tiene tam-

s

a(T- 0rl),ro,t II ra - o¡,1)Br,x:0 *tiene: Por tanto, si ponemos{1:IrIí[ ,,p:r,rrrrrr,

+

a(T- O,D',ll (r - 0¡,1)Bnx:0 It:2

par a to d o r €X .

P r oc e d i e n d o a s í c o n 0 2 ,0 t,...,0 ,, resul ta que si { ¡:mín

(F t,,v (9 i ),

entonces el polinomio

R(r):"f[,^ - ot,)rn It:l

es tal que R(T):Q. Ahora bien, si P(I) tiene un cero de orden v(0i tonces P(I) es múltiplo de R(I) V, así, P(f¡:6.

para cada 0¡,€ o(I),

en-

Supongamos ahora que

p(r):"

ú,^

- tr¡)*i

i :r

es tal que P(T) :0. Demostraremos que para cada autovalor p, € a(T), (¡, - ¡a)v(tt) divide a P(I). Es decir que f¿ coincide con alguno de los tr¡ y que el exponente correspondiente ot¡ es mayor o igual que ,Q"). En efecto, sea p e c(T) y Entonces se puede escribi. tal que Tx:ltÍ. rl0 ' P(T )r: P (F .)x :0 ; ha de ser P(¡¿):0, lo que demuestra que p es raíz Y, así, siendo r+0, de P(I) y así coincide con algún tr,, por eiemplo, con L1. Veamos que entonces a1)z(L1). Supongamos que fuese cur{v(trr). Entonces existiría, en virtud tal que de la definición de z(trr), un r €X, x+0 U :(T - tr1 l )o ,r# 0 ,

t46

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

y, además, (T - ),t/)",*rtr: (T - ),,r1)g:Q Entonces podemos escribir, puesto que Tg:)ttU,

- tr¡)"ig 0: P(r)r: r f{ (T- }\iI)", a : cn (tr1 i:2

Como A*0, esto implica trr:tr¡ para algún i t' L, lo que es contradictorio con la factorización de P(I). Así, at2v()tt) y lo mismo para los demás autovalores.Esto concluye la demostracióndel teorema. I Obsérvese que el teorema anterior se puede expresar de la forma siguiente, donde pt'')(tr) denota el polinomio obtenido a partir de P(I) derivando t?¿veces. 5.2.4. Teorema. Sea T e L(X, X) U PQr) un polinomio en )t cotz coeficientes compleios. Etztonces P(T¡:¡ para todo s¿; A sóIo sf, F"')(p.):Q p, €a(T) A t odo m , O ( r n< z (p )-1 . El teorema de Cayley-Hamilton permite obtener operadores con propiedades prefijadas construyendo polinomios adecuados. Presentamos a continuación un corolario del teorema que permite obtener una descomposición del espacio X en una suma directa de subespacios sobre los que T actúa de una forma simple. Esta descomposición nos conducirá finalmente a Ia descomposición de ]ordan. Anteponemos un lema algebraico que utilizaremos para dicho corolario. 5.2 .5 . Lem a. S e dan k p u n to s d e C , e t,e z ,...,e k A para cada i :L,2r...,k se dan ri+L números compleios o¿f,h:0,1,..., r¡. Entonces existe un polinomio compleio P(),,) tal que se tíene prr')(a)-ati. D¡¡uosrnactóN. Para simplificar la notación construimos eI polinomio en un caso sencillo en el que queda clara la idea para el caso general. Se dan a, oh, ott, orz,b, Fo, Fr, c, To, ft, T2, 73, todos ellos complejos, y se pide hallar P(tr), polinomio tal que P(a) : 6¿0,P'(a) : ar,

P"(a) : 6¿,

P(b): Bo,P',(b):B, P(c):fo,

P'(c) :yr,

P"(c) :yz,

P"'(c) :yt

Tomamos el polinomio: P(¡,) : cs+ c,(^,- a) + c:(tr - a)2+ (tr - a)tlct+ c¿(),- b)l + + (I - c)3(I - bYÍct+ c6(),- c) + cz(tr- cf + ca(tr- c)31, donde los c¡ se determinan del siguiente modo. Hacemos l.:d y resulta a,o:co. Derivamos respecto de tr y hacemos ).-a y se obtiene dr:c1. Derivamos dos

s.2.

TEORTA ESPECTRAL ELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

veces y hacemos )t:a

L47

y resulta

Y se obtiene oe:2c2. Hacemos L:b

Fo:co+ ct(b - a) + cz(b- a)2+ (b - a)3ct; es decir, c3 so obtiene por recurrencia, conocidoS c6¡ c¡¡ c2. Derivamos y hacemos ), :b y resulta ca, colocidos c¡, c1, cz, cr, etc. I 5.2.6. Corolario. Sea T e L(X,X) a a(T):{ 2, ...,p sea Er(I) un polinomio en \, tal que: Er(¡,r):1,

para

E!."'r(tr):Q

E ( ln) ( t r r ) :0

p a ra

trr,trr, ..., tro}. Para cada i:1,

I ( nz(z(I)

0 (l n (z (tr¡)-I,

- I

i #i

Entonces se tiene:

a) b)

E'(T)+0. (E,(T))': Ei(T), Et(T)ElT) :0

para i + i.

c) /: I E,Q) DrtvrosrnAclóN. La existencia y construcción de los polinomios Er(¡,) las da el lema 5.2.5. Las propiedades a), b) y c,) son concecuenciasinmediatas del teorema 5.2.4. I Con las propiedades a), b) y c) del corolario anterior es de comprobación inmediata que si

A¡: E ¡(T)X , i :1,2, ...,P , entonces X :AI(F ^ A r@ ... @ Ao En efecto, cualquier r € X se puede expresar como

*:

3 ) ; 'E'(T)x

y si z es de A¡ y del espaciolineal engendradopor los A¡ con i t' f, entonces z:E¡(Dx¡

z i# i

Así, por b), se puede escribir : E¡(T)z: (8,(7))rx¡ : E ¡(T)xi : z: E X {T)E i(nx ¡ 0 i# i

También se verifica TA1C Ai. En efecto, si z e TA¡,

z:TE¡(T)a:E¡(I)Tae A, Por tanto, el estudio de T se reduce al estudio de cada una de las restricc i one sd e TaA ¡ .

148

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

Si en X se toma una base formada por la unión de bases de cada uno de los subespacios A¡, entonces,recordando5.1.1,resulta que la expresiónde T es una matriz del tipo

o lw, siendo Mi una matriz cuadrada de dimensión igual a la dimensión de Ai. El teorema siguiente identifica el espacio A¡ con el espacio N(tr¡, z(I¡)). Esto nos permitirá inmediatamente expresar T de una forma aún más simple, escogiendo en cada A¡ una base adecuada. 5.2.7. Teorerna. Con las notaciones del corolario g obseruaciones precedentes se tiene pora cada ,tr¡€ a(Z); A ¡ : E ¡(7)X : N(tr¡, z(I;)) Además, z(I) < dim A; Dnuosrnnclóru. Por el teorema de Cayley-Hamilton es inmediato que

:0 (T - trr4"tr,)E¡(r) Esto demuestraque A¡:E¿(T)XCN(tr;,z(f)):{r

€ X: (T -tr,I),(rtr)¡:Q¡

Como sabemosque X:Ar O AzlF^... @Ap, a fin de demostrar que N(trr, z().r)):¿t

bastará probar que:

:{0}. P:N(tr;, v(IJ)n,l.U.(N(r,, "(rr)] -i #i Supongamos que hubie s e x # 0 , x € P. Se a c v , c o n 0(a{ y(} ,¡) mayor tal que z:(T - tr;I)"r+ 0. Entonces

(T - )r¡t)z:(T- tr,I)o+r¡:g y así Tz:\¡z Sea

*:\u, j#i

con u,€ N(rr,¡r(r)).

el entero

5.2.

TEORTA ESPECTRAL ELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

l4g

Entonces, si aplicamos a r el operador

(z- r,.4'II rt - .\,,r¡,,r,r.r i# i

resulta

:o fl r^,-L¡)z

i*i

lo que implica z:0. Esta contradicción demuestra que p: { 0 }. A fin de demostrar que se tiene dim A¡: dim N(tr¡, z(I;)) 2v()r¡) procederemos del siguiente modo. Sabemos gu€, por definición,

l) F N(r,,D 7 {0} ?N(tr¿,

p(tr¡)):N(tr¿, z(r¡)+ l) FN(tr¡,

Así existenz(tr;)vectoresx*€ N(),,,k), k:1,2,...,v(i,) pendientes.Por tanto,

linealmenteinde-

dim A¡ 2v()r,) Esto demuestrael teorema. I Observemosahora que (T-)rü(^')A¡:0 sulta: Tln.:Blo, * tr/lr,

y llamemos B¿:T-I/.

Así re-

con B,'G'tA.-,

Es decir, la restricción de T a A¡ es la suma de un múltiplo de la identidad r/ y de la restricción de Bi a Ai. Si logramos expresar B¡lr. de una forma sencilla es claro que habremos logrado una expresión sencilla de T. Veamos ahora cómo se puede elegir en A¿ una base para que B¡lo. tenga una expresión sencilla. En lo que sigue, por comodidad de notación irds restringimos a considerar un A¡ y suprimiremos los subíndicesi. Sabemosque se tiene

{o}F N(r,1)F"(^,D?

=N(¡ z(.\,)):A

Escogemos en N(tr, /(r)) un espacio ¡/(z(r) - 1) complementario de N(I, z(I) - t) en N(),, z(I)). Es decir, I/(z(I) - l) es tal que N(tr, z(I)) :N(tr, /(I) - 1) O ¡/(y(I) - I) Sea {xr,xr,...,Ít,r} una base de I/(z(I)-l). Veamos que {Bxr,Bxr,...,Bxh,}CN(I, v(I)- 1)-N(I, v(X)-Z)

Cap. 5.

r50

ECUACIONESLINEALES

y además son linealménte independientes. En efecto, para lo primero se tiene, por ejemplo, Bv( \) ' tBX,

- B"( I) ¡ ,:Q

pero, en cambio, : !r(I)-t ú f ffu(x)-2ffA,

0

ya que rr q N(¡" z(f) - I). Para la indePendencialineal se procede así. Si h,

hr

entonces

)a,Br,:0, (Podemos suponer/(I)>1, Como

fiz(,r)_r) o,r,:0

pues de otro modo todo lo que precede es trivial.) tr,

). o,", € ¡/(z(I) - 1)

?

resulta que se ha de tener tr, S /

ot¡X'¡:U

.. ., xr,,}es base de É1(z(I)- t), esto implica que a¿: 0- para Como {xr, xr, todo ¿:f, ...,hr. A;i, {Bxr,...,Bxt,,} son vectoreslinealmenteindependiente Por tanto, este conjunto de vectoresse puede de N(),,v(I)-l)-N(I,rtfl-2). de un espacioH(v(D-2) complementario base completar para obtener una es decir, tal que l), z(I) N(tr, de N(),, ?(I) - 2) en N(I, z(),)- l) : N(I, /(tr) - 2) O H(u()t)- 2) Sea esta base , x t,r} {Bx r, B x r,..., B x t,r,x ttt+ 1..., Consideremos ahora el sistema de vectores: - 2) - N(I' z(I) - 3) {B'xr, B'rcr,..., B4chr,Bxt,r+r,..-, Bxt,r}C N(I, /(I) que son linealmente independientes. Procediendo análogamente, obtenemos formada por los vectores finalmente una base de A:N(tr,/(I)) X h r B 'r r , {xr, xr, ..., Xhr ,BXt , Bx r , . . , , BXhr ,x hr + r ,"', B ' x r , . . . , B2x hr ,Bx lr r + r ,. . . , Bx t r r , . . . \

5.2. TEORIA ESPECTRALELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

I51

Respecto de esta base, ordenada de la forma siguiente: x2, BÍ2,B'*r, "', fi''(}')-rx2, {x1, Bx1,Bt*r, ..., B'(ü)-rx1, xlrr,B)c¡rr,32x.ht,. . ., fi"(l')-r x,rr, xltt+r¡Bxt,r+ t ,. . . , B' ( x ) - z Í r t t + r ,

.::: *.':.' :.'.']-' ......) .u..*".'.'...1 el operador B tiene la expresión matricial siguiente:

It

0 Iz

donde cada matriz /; corresponde a cada sistema p arci al {x¡, B x, ..., B " (r)-l r;} y tiene la forma:

100 t0

0 De todo esto resulta el teorema de descomposición de ]ordan. (Teorema de descomposición de ]ordan.) Sea A una 5.2.8. Teorema. matriz nxn de elementos de C. Existe entonces una matriz no singulm P tal que A:PIP-[, siendo I de la forma:

0

r52

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

donde cada I ¡ es de Ia forma:

simdo a¡ uft mttoualor de A. La matriz I está uníuocantente determinada saluo permutaciones de los bloques Ii. La matriz J se denonúna la forma canónica de lordan de A. La determinación unívoca de I resulta de la unicidad del operador B estudiado anteriormente y se deja su demostración como ejercicio. 5.2.9. Forma canónica real de una matriz real. Supongamos que T es una matriz real n x n. Conviene a veces representar I mediante una descomposición real análoga a la de Jordan. Tal descomposición es posible en el sentido que se indica a continuación. La presentamos y demostramos en un caso particular a fin de evitar complicaciones de notación, pero el resultado es general y la marcha de la demostración es la misma. Sea ? una matriz real 5 x 5, representación de un operador lineal, que llamaremos también T, respecto de la base 6:{€t,€2,€3¡€a¡€5}¡ del espacio X. Supongamos que la forma de ]ordan de T es

donde a, b, c € R. Veamos que entonces existe una matriz real no singular p tal que T:QKQ-| donde:

Para verlo volvamos a la demostración del teorema 5.2.8. Ante todo es claro que, siendo ? real, si ), es un autovalor de T, entonces X lo es también. Además, I y X tienen la misma multiplicidad, el mismo índice y las dimensiones de los espacios N(),, /c), N(tr, /c) son las mismas. Al efectuar la elección de la base que conduce a la descomposición de

5.2.

TEORIA ESPECTRAL ELEIVIENTAL.TEOREMA DE JORDAN

r53

|ordan (pág. 149),es claro asimismoque si 11,x2,...,xht,con *,:

{...:,

i:I,

...,hr,

Ad.¡k€n es base de f/(z(I) - l), espacio complementariode N(),, z(I) - l) en N(tr, z()t)), y tomamoslos vectores

+

x ¡: )' ,d .¡k € k , i :1 ,2 , ...,h t,

7,

comentonces Ír,I2,...,Íhr, constituyen una base de un espacio ¡/(z(f,)-I) y(X)). de la base N(X, Así, en la elección plementario de N(I, z(X) l) en y Esta con I de la forma indicada X. paralelamente, se puede proceder que buscamos. al resultado facilidad con observación conduce Supongamos que hemos procedido así en el caso concreto que nos ocupa, y que hemos obtenido la base {xt, (T - (a + bflI)x¡ x" (T - (a - bí)I}xt, x2} Llamemos x | : Ut, Q - @ + bi)l)x 1: Uz,Í t : ú t, (T - (a - bí)Dxt : Ú2,tz : Ut y observamos que si Y.l

^

U,: LP¡*e*, k:l

entonces, 5

s-\ -

U,: L B¡*e* k= l

La representación matricial del operador lineal T respecto de la base {ar, ar, úr, Úr,93} es :

0 0 0 a- bi 0 quiere decir: T A r:@ + b ü A t+ A z TAr:@ + bí)92 Túr:(a - bDAt+az T ú r:(a -b ü A, TAt:cUs

t54 Tomemos

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

ahora los vectores h* ú t zt:--T,

Uz+Uz

h- út zT:7,

Z 2 :- - - - ,

*

Uz-Uz

Z i:- ;- :-,

Z3:A 3

¿¿t

Es fácil comprobar que los vectores de {zr, z'f.,22,z!,4} tienen coordenadas tvales respecto de {eu eo €3,€4, es} y que constituyen una base Z, Asimismo es sencillo comprobar que T z 1 :a z t- b z ! + z 2 T z !:b z 1 * a z l + z i T z 2 -q 7 r-b z i Tz !:6 2 r* T4:

az\

s7t

Es decir, la representación de T respecto de b a s e Z es:

Además, la matriz Q de cambio de la base G ala Z es real. Por tanto , T:QKQ-, con Q real, lo que demuestra la proposición inicial. El resultado general puede enunciarse del modo siguiente. Toda matr:tz Ae M(n,R) admite una expresión Q-tIrQ, donde e€ M(n,R) y /r es una matriz de la forma:

0

D Hr

0

H2

0 He

0

L t0

0L,

donde D es una matriz diagonal real, cada H¡ es una matriz real y de la forma:

ELEMENTAL. TEOREMADE JORDAN s.2. TEORTAESPECTRAL

155

y cada Z¡ es también real y de la forma:

A;0

siendo:

t, _( ' : ll;

0\

/

y

;)

a¡

¿,\

A ':(_ b ,

a¡ l

5.2.10. Crileulo de polinornios y series de matrices. Si A:PIP-|, entoncesAT:PPP-|, Ak:PJkP-r para todo /c entero positivo. Así, si O(I) es un polinomio en ),, se tiene: Q@):PQ(DP_I Asimismo, exp(A) : P exp (DP-', y la exp(/) se calcula muy sencillamente:

exPIt

0 exPlz

exp(f:l

ta

exPIt,

0 siendo

0

I r/1!

l

rl2!

1/r!

..

t..

aoaa

u & -r)t

rl & -2 )t 1/l!

I

Análogamente se puede proceder para la determinación explícita de una serie cualquiera en A.

t 56

Cap. 5.

ECUACIONES LINEALES

EJERCICIOSY COMPLEMENTOS

t. una matriz A€ M(n,C) se denomina hermítica cuando A*:A,

donde A* representa la matriz conjugada de la traspuesta de A, es decir, A*:Át. Demuéstreseque si Ae M@,c) es hermítica, se verifica que todos los autovalores son de índice t y reales.

,

Demuéstreseque la norma euclídeade una matriz cualquieraA€ M(n,C) ES:

o"''' 3.

l.

Demuéstrese,l:::::::;^,:':":: llAllr(rrA,*A

4.

Demuéstreseque si A e M@, C) es tal que para todos sus autovalores Ir se verifica Re (),i){0, entonces +0 lleá'll

para

f-+*oo

5. Demuéstreseque si los autovaloresde A son trr,tr2,...,troy se verifica Re (I) < 0 y z()tr): I para aquellos ),í tales que Re (L) : g, entonces se tiene: ll"o'll<M(oo

para todo ¿>0

siendo M una constantefija. 6. Demuéstreseque si I e M(n, C), I:qI + L, siendo a e C, I identidad, L nilpotente de orden h (es decir, Lh:O) y Re (o¿)2| + máx { llti¡tri: 1( i
para p.)0

Demuéstreseque si A € M(n, C) y se verifica Re (),¡)(0, existen entonces dos constantes Cr, Cz}0 (estímeselas)tales áu. ll"''ll ( Cre-c,t para r>0

B. CáIculo de Ia folpa de ]ordan de una matriz siguiendoel procedimiento de la demostracióndel teorema. Sea:

^:(jli

,r)

det (A - M): - (tr- 1)¿(I+ 1). Expectro: a(A ):{1,_I}. Multiplicidad 2 para 1, I para - 1. Estud io del índice. a) N(1,1):{r: (A-I)x:0}.

5.2.

TEORIA ESPECTRAL ELEMENTAL. TEOREMA DE JORDAN

L57

:(-i)' (i';)

El espacio es:

b) N(1,2): { r : (A - I)zx:0 }. El espacioes:

/-3\ zlt+f ol" 1,, l:f o l \Í3 I \ \ zl lx1

\

/-t\

c) N(1, 3) : { r : (A - /)3r :0 } coincide con N(1, 2). Se tiene v(L):2. ( A + I)x :0 } . d ) N (-1, l) : { r : El espacio es:

I -2 \

/ ¡' \

|\ q"l l : |\ -21ll , e ) N(- 1, 2) : { x : ( A + I)2 r:0 } c o i n c i d e c o n N (- 1, t). Se tiene z( - l): l. Con esto es claro que la forma de ]ordan es:

lr

0

\0

0 -rl

/:l I

0\

I

ol

Para hallar Ia matriz P se puede proceder como en la demostración.

Tom a m o s :

_ t-i \-r,,, 2 N (1^\ 2, )- N (1 1) ¿,:l , l€ 0 l \ y, a continuación, I I

é2: ( A -4 1 \ Tomamos también

-i) i):(

u,:(-i)

Con esto, la matriz P

CS:

I -1

P:l \

2 01 ét

-1 -1 éz

y se tiene, efectivamente;A.:P I P-t

Cap. 5.

r58 9.

ECUACIONESLINEALES

De una matriz A se sabe que: r(A):{ 1 ,

-1 ,6 }

y que: d i m N( 1, I ) : dim N( l ' 2 ):3 d i m N (- 1,3):di m N ( - 1,4):5 d i m N ( -1 ,2 ):4 , d i m N ( - l, l¡ : 3, dim N(6, 2) : dim N(6, 3) :3. dim N(6, I):2, ¿Cuál es la forma de |ordan de A? 10.

Se sabe que los autovalores de Ae M(n,C) son I y -I Hállese un polinomio P(I) tal que v(-L):3.

y que z(1):/,

(p(A))z: A (Obsérvese que p(A) es una raíz cuadrada de A.) ll.

Dése un método para el cálculo de una raíz cuadrada de una matriz cualquiera de M(n, C).

12.

Demuéstrese que para toda A e M(tt, C) se verifica: det eAt- ¿(r A)t para todo t e R (Indicación: Aplíquese la forma triangular de A, por ejemplo.)

13.

Demuéstrese que en 5.2.L se puede lograr que los números a¡¡ de la forma triangular sean menores en módulo que un e)0 prefijado.

14.

entonces existe un poliDemuéstrese que si T€ M(n,C) y detT+0, nomio P@) tal que (p(T))2:7. (Teorema de Albert.)

f5.

Utilizando el resultado del problema anterior y la forma triangular de 5.2.1, hállese un método para el cálculo de una raíz cuadrada de T.

16.

Sea a(T): { - 1, I }, v(l):2, que (P(I))z:7.

z( - 1) : l. Hállese un polinomio p(x) tal

LINEALES 5.3. ECUACIONES Trataremos a continuación de aplicar la teoría desarrollada en los capítulos anteriores a la resolución de ecuaciones lineales. Consideramos la ecuación x'(tl: A(t) x(t) + b(t)

[*]

CR es una aplicación continua de lto,tl:l +M(tz,C) donde A:lto,tl:l eS una al espacio de matrices nxn de elementos complejos, y b:Íto,t]->C" (todos los vectores aplicación continua. Se busca una función x:fts,ttf->C" se escriben como vectores columna) que sea derivable en [ús,t] Y su derivada satisfaga la ecuación [*]. Tal función r(r) se denomina solución de [*].

5.3.

ECUACIONESLINEALES

t59

La ecuación [*] se llama homogéneasi b(t) - 0, y afín o no homogénea si b(ü)*0. El problema de Cauchy consistirá en obtener una solución )c(t) de [*J tal que

r(ro¡: { e C" El primer teorema es una sencilla aplicación de los teoremas de existencia, unicidad y prolongación del capítulo anterior. 5.3.1.

Teorerna.

EI problema de ualores iniciales: *'(t): A(t) x(t) + b(t), t€ l l, ( r(ro¡ : Eo

con la significación de A, b, x, L {0 dada orriba, tiene una única solución prolongable a todo el interualo I. Dr¡vtosrnrctóN. Obsérvese que siendo

f(t,0 : A(t)t + b(t), t € L € € c", se tiene:

lf(t,E)- f(t,t)l ( (maxlA(r)l)lf'- E l y, así, se puede aplicar el teorema de Picard globalmente. (Aquí, l. I indicará una norma fiia en C" y la correspondiente norma en M(n, C).) I El teorema que sigue se refiere primero a la estructura del conjunto de soluciones de la ecuación [*], y proporciona después la solución del problema de valores iniciales mediante la fórmula de Lagrange. 5.3.2.

Teorema.

Sea la ecuación

x'(t): A(t)x(t) + b(t)

[*]

con A: l:lto, tl + M(rz,C) cotztinua A b: | :lto, trf + C,, continua. Entonces: a) (Principio de superposición.) Si b(t):O, eI conjunto de todas las soluciones de [*] es un espacio uectorial Z de dimensión n. Una base de este espacio se denontina un sistenn fundamental de soluciones. (La definición de suma de solucior'¿esg producto de escalar por solución es Ia natural.) b) Se a b( t ) = 0 A { r t (¿ ), x 2 G),...,x ,(t)} :H u tx s i stenta de sol uci ones.E ntonces H es un sistema fundamental de soluciones si, A sólo si, la nntriz Q(t) de colutnnas xt(t),xz(t),...,)c,(t) es r¿o singular para algún t€ I. Cuando osí sucede O(t) es no singular para todo t e I. Entonces (l se denomitza matriz fundanzental de Ia ecuación A se tiene, euidentenTer¿te,

tD'(r):A(t)
r60

Cap. 5.

ECUACIOttES LINEALES

Recíprocltnente, si X: Íto, tl + M(n, C) es deriuable g uerifica para t € fto,tJ

x'(t): A(t)x(t),

detx(t) * o

para algzin t € fto, ttf, entonces X(t) es nzatriz fundamental de Ia ecuación x'(t):

¿1t)x(t)

c) Si b(t) * 0 eI coniunto T de soluciones de [.] constituge un espacio afín de dimensión n. Si xe?) es una solución de la ecuación l*l con b(t) t' 0 g Z es eI coniunto de soluciones de x,(t):A(t)x(t), se tiene: T : { x r(t) + y (t): g (t¡ e z } d) (Fórmula de Lagrange o de uaríoción de las constantes.) El problema de ualores iniciales

I *'(t):A(t)x(t)+b(t), te I ( r(ro¡:40 tiene por solución única

o(r)f + ó(r) ['o-'1r¡a(s)ds tro donde {r(ú) es mqtriz fundamental de r'(t¡:A(tbc(t) matriz sientpre existe A es única.

tal que .D(ro):/.

Tat

DeuosrRectóN. La primera parte de a) es sencilla. Demostraremos que existe una base de n soluciones r,, ...,x,,, Ll a me mo s ?r ,€2, . . . , eu a l o s s i g u i e n te sv e c to re s :

y sea r¡ la solución única del problema p . Í x ' (t):A(t)x (t), ' , \ ,q to ¡:,.

te I

., .._, ' l : r' z, " ' , tt

Las soluciones r¡ forman una base del espacio vectorial Z. Pa'a ver que son linealmente independientes, supongamos é /a ,x ,(t) i:t

- 0

5.3.

Haciendo t:to,

t6l

ECTJACIONESLINEALES

obtenemos

(1) -0

de En efecto, sea z(t) una solución Además engendran todo el espacio. x'(t¡: ¿1t)x(t), Y sea

:p

z (to ):( )

:: Formemos la función

UNI\¿l:iilSIDAD t'H l,A RHIrr, l-ÁCiji-1 Á ',) ll r, ii,;(..trli,il ._i DllP¿ tr"T.1\tl,;¡lliii.i.) :) E

:i u*t, z(t)

oo',Y3',fi;,1fi'fJ

i:l

del Problema Tanto z(r) como Z(r) son soluciones

A(t)x(t) f *'(t): ( r(ro;: B así, por la unicidad, z(t) -

Z(t) --

s\ /., Fi*i{t) i: r

se tendrá que las b) supongamosdeto(s):o para algú1.s€/.Entonces es decir: columnas de oGi ,on linealmente dependientes, é a¡r¡(s):0 )

con algún a¡10

i:r

con algún a¡ t' 0' Consideramos á z(t¡: /a¡xt'tl i=r del problema Se tiene que z(r) es solución

f t

r'(t):¡1t\x(t), te I r(s):g

problema. Así, nula es también solución de tal Pero la función idénticamente por la unicidad, z(t) = 0' Por tanto, n

=o T o,r,(¿) L) ' ''' i= r

t62

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

Y, POr Consiguiente, det O(r) - g De este modo, o bien detcD(r)- g o bien deto.?)*O El final de b) se deja como ejercicio sencillo. c) Se deja como ejercicio.

para todo te I.

d) Cualquier solución de x'(t):A(t)x(t) es de la forma @(r)c con c € C" constante si O(r) es una matriz fundamental. Si se quiere hallar una solución de x'(t¡:41t)x(t) se puede intentar variar c (variación de las constantes) y ensayar z(t):O(t)c(t). Se ha de tener : z'(t):¡1t)z(t)

+ b(t¡: Q',(ú)c(ú) + O(r)c',(r)

Sabemos que O(ü):A(ú)O(ú), y, así, ha de resultar: A(r)O(r)c(t) + b(t): A(r)Q(r)c(ú)+ Q(t)c',(t) por lo que hay que escoger c'(t):(D-t(t)b(t) Si se quiere z(to¡:f,

entonces se ha de verificar simultáneamente c'(t):@-|(t)b(t) c(ro¡:O-t(to)#

Si O(t) se ha escogido tal que O(ro¡:¡,

entonces:

c(r): f + [' o-'1r¡a(s)ds "rO Y, aSí, ft

z(t):o(r)fl + Q(r)| or-'{s¡a(s)ds t '0

Obsérvesegu€, con la notación de la demostración de a), la matúz O(ú) tal que O(h) es la que tiene por columnaslas solucionesde x'(t):A(t)x(t)

-p.l( xfto i -,,' '

i: :r,2 , "', n

El siguiente resultado se suele denominar fórmula de Jacobi. 5.3.3. Teorema. (Fórmula de ]acobi.) Sea Q(t) una nntriz n x n cuAas colutnnas son todas solución de x'(t):A(t)x(t). Entonces se uerifica: (det O)'(r):tr A(r) det O(t)

5.3.

r63

ECUACIONESLINEALES

A, ASt:

det(D(t):detO(to)expI tr A(s) ds tto

De¡vrosrnAclóN. Sea

Si derivamos det O por filas, recordando la fórmula de 5.1.4 obtenemos:

Como se tiene
:an(t) det O(t)

ú,,

{,,,

con lo cual: (det O)'(r) : tr A(ú) det O(ú). I El estudio de una ecuación lineal de orden n del tipo: x@)(t)+ at(t)x@-t)(r)+ ... + a,_t(t)x,(t) + a"(t)x(t):f(t) donde d¡ Sorr funciones escalares continuas de [ro, t] a C, así como f, y la r que se busca es una función con n derivadas continuas en fto, ttf, y con valores en C se reduce al estudio realizado ya de la ecuación lineal vectorial mediante el cambio

x(t) x'(t)

",t-rr1r¡

164

Cap. 5.

ECUAC¡ONESLINEALES

Resulta así la ecuación

{(t): e(t)aQ)+ f(t) donde : I

Para la ecuación diferencial lineal de orden /z se puede, por tanto, formular un teorema de existencia y de estructura paralelo a Ios teoremas 5.3.1 y 5.3.2, lo cual se deja como ejercicio. El teorema 5.3.3 da ahora un resultado especialmente sencillo, conocido como fórmula de Lioutsille. Obsérvese que si xrrx2r...,x,, son soluciones de la ecuación *t,,)(t)-r ar(t)x{"-t)(t)+ ... + a,,(t)x(r): 0 entonces la matriz correspondiente a O(f) del teorema 5.3.3 es

y, así, su determinante es el wronskiano de las funciones xt,x2,...,xn. De este modo, si señalamos por W(t) :W(xít),

.. ., rcu(t)): det O(ú),

se tiene W'(t):

- at(t)W(t)

y, por tanto:

w(t¡ : w(to)expf ' ( - a,(s))ds tro que es \a fórmula de Liouuille. I

5.3.

r65

ECUACIOi.¡ESLINEALES

EJ ER C IC IO S

t.

Resuélvase el problema I x"',(t) +4x"(t) - 5r(r¡:g

I r(0¡: 1, r'(0): g, r"(0): Q y determínese cómo se comporta la solución en el infinito, es decir, si es acotada o no, si tiende a cero para t -+ oo o no, etc. Dada
dx

ilx

E(t)+a i (t)+b x(t¡:fÉ )

4.

siendo a, b constantes. Indíquese cómo se comportan sus soluciones cuando f -+ oo. Sea @(r) una matriz fundamental de r'(f) : A(t)x(t). Demuéstrese que entonces H(t¡: O(t)O-r(to) es una matriz fundamental tal que H(to¡:¡. s1 ,s2 € / m ediant e G(st, sz): @(sr)Q-t(sz)

La matriz definida, para

es independiente de O, es decir, si es otra matriz fundamental se t ie n e : ^ G(st, sz): A(sr)A-t(sz) La matriz G verifica G(s, s):/ G(s,, s) : (G(s2,sr))-r G(sr,s2)G(s2, s¡):G(sr, s¡) y la fórmula de variación de las constantes se puede expresar:

z(t):o(r)fl+ l' Jto

"G,s)b(s)ds

b.

Demuéstrese que el wronskiano de n soluciones de la ecuación lineal de orden n homogénea es idénticamente nulo si, y sólo si, las z soluciones son linealmente dependientes.

6.

sea A: R + M(n, C) una función matricial continua, y supongamosque ft

B(t¡: I a1s¡as "to

Cap. 5.

166

ECUACIONESLINEALES

es tal que B(t)A(t):A(t)B(t) Demuéstreseque eB(t) es entonces matriz fundamental de x'(t): ¡1t)x(t) 7.

Obténgasela solución de los siguientes problemas: 0

lJ

a ) r ' { r):o{ \0 It

I -5 0

b) r'1r¡:{o-l

I

o

\

/1\

5 l
\sen5r/ /1\

0\

6fr(r), r1r¡:Irl

\o -2 o lL

6l o\

\1 / /t\

\o lo

o 3l 2 -3 \

\0 /

\0

|

c ) r' f r): lo-i d)

0\

-2 "'lr):l o

tl"Ur, rtol:lrl l tr\

/o\

\r/

\0/

+ lxl)- ( o l, r(o):{r I 2/

5.4. COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial x'(t):f(t,tc(t)) se denomina autónoma cuando la función f(t, g es solamente función de €, es decir, es una ecuación de la forma x'(t):f(x(t)). Si la ecuación es lineal y autónoma, será x'(t):¿¡(t)+b, con A,b constantes. Consideremos primero x'(t):4'¡7¡¡, en Íto,tl:/. Entonces, aplicando el método de aproximaciones sucesivas resulta que la solución tal que r(ro) : f es : x(t¡:rttt-t){ Obviamente, @(f¡: eA(t-to) es una matriz fundamental tal que A(t'):l así, si se quiere resolver ahora el problema

l, *'(t):Ax(t)+b(t) ( r(ro¡: ¿o Se puede poner, aplicandola fórmula de Lagrange, x(t):sntt-ro)df * f' ,ou-ub(s)ds tr o

Y,

5.4.

COEFICIENTES CONSTANTES

L67

La expresión explícita de eAt es sencilla en términos de la forma canónica de |ordan. Sea primero L:M+I/, con

k _-> Entonces, puesto que I/ y H conmutan, se tiene eLt-et\teHt, y, como:

0 a

0

0

r68

Cap. 5.

Hk:0,

ECUACIONESLINEALES

resulta:

I t 1I

t

¡2

t

2!.

Así, si A:PIP-r,

.1 !

tk-r

tk- 2

(k - 1)!

(k1\"

'.

'

t l!

entonces eAt_ PettP-r

Si / es la forma de ]ordan de A:

0

Lr Lz

0 donde cada L¡:)r¡I+I/¡

Lt,

es de la forma anterior,

t l ene:

0 eLrt

eL^t

donde cada df

tiene la forma expresada antes.

E J E R C IC IOS l.

Sea A€M(I,R)

una matriz real, y se considera el problema

I *'(t):Ax(t) t r(O)f € R" Utilizando la forma canónica real de A, dése un método para obtener explícitamente la solución operando siempre en el campo real. Si /r es la forma canónica real de A, calcúlese explícitamente d'.

5.5.

2.

ECUACIONESPERIODICAS

169

Resuélvase el problema

10

, l * , ( t) \ !o'\",(r l* , at)/l:/l s

\-e

4

i

-4

5.5.

13\/r,(¿)\

/t\/r, (o )\

/0\

\o/\ r , ( o ) /

\r/

r ,( ' ) l + l 0l{ rz(0)l:0lf 1 l l -:pl \',(a/

ECUACIONESPERIODICAS

Sea la ecuaciónx'(t):¡1t)x(t), t€R, donde A(t+r):A(t) para todo t, siendo T un número real fiio. Si x(t) satisface Ia ecuación y escribimos AG):r(t+r) entoncesse tiene: a'(t):x'(t + r): A(t + r)x(t + r): a1¡¡r1r, y, así, también g(t) es solución. Por tanto, si O(ü) es una matriz fundamental, también lo es @(r+r) y, por consiguiente,existe una matriz no singular constante C tal que O(r + z):
se puede poner: B(t + r) : @(¿* r)e-rrs-tL - (D(¿ + r)C-|s-tL : :Q(t)e-'L:

B(t)

Así, resulta el siguiente teorema (G. Froeuer

t18831).

Toda tnatriz fundamental Q(t) para el sistema perió5.5.1. Teorema. puede representarse en Ia forma dico x'(t):A(t)x(t) Q(t):31¡¡rtn donde L es constante A B(t) es periódica de periodo r. La demostración de la existencia de una matriz L tal que e¿:C para una matriz dada C no singular se puede obtener de la siguiente forma: Si C fuese un número distinto de 0, cualquier determinación de log C serviría como Z. Es decir, se podría poner L :l o g C :l o g (t + (C - 1 )), y , si l C -l l <1,

s e t iene, l l a ma n d o N :C -1 : L:N

-

lw

2

*

N3

¡

N4

a+"'

La expresión de la derecha puede tener sentido, según sabemos,p¿ua una matriz y, así, tal vez podamosesperar que si ponemosN:C-I en el caso en que C sea una matriz, no singular, y obtenemos L:Nentoncessea*:C.

N'z N' -J' * +"' 2 3 4

Cap. 5.

170

ECUACIONESLINEALEJ

La presentaciónrigurosa de este razonamientoheurístico se puede rcalízar siguiente: Sea en primer lugar ¡l una mattiz n x n de la forma del -o¿o

con o¿€ C. Demostraremos 9ü€, si

R(N)-N-+.+-++. ru):t++.+***--.

v entonces

r(R(N)):/+N

(obsérveseque siendo N":0, R(N) es una matriz bien definida). Para ello dimensión de N' Si n:L nada hay que irocedemos por inducción sobre la ^cremostrar. es cierta para toda matriz del tipo de propiedad supongamosque ra escribiendo Entonces, la N de diménsión n-L00

00 000 a00

0o¿0

A2:0: puede pbner, Ya que AN*:N*A:0, R(N):A+R(N*) :0, : V, por tanto, como AR(N*) R(N*)A ?(R(N) :T(A)T(R(N*))'

5.5.

ECUACIONESPERIODICAS

L7l

pero y

T(A):I+A

f(R(N.):/+N*

por la hipótesis inductiva. Así: ?(R(N)):(/+A) (/+N*):I*N*

+ A:I+N

Supongamosahora que C es un bloque de ]ordan, es decir, C:N+H con ¡r+0 y

Entonces se puede poner

d :c :I +!-:I +N TI

-rytu

Si ponemosZ:R(N), entoncesexpZ:C y, así, C : )ró :). exp i:

exp (0og I)/ + í) :

"*p

t

ry

llamando ¿: (log )t)I + L, pudiéndose tomar en log ), cualquiera de las determinaciones del logaritmo de )'.

Sea ahora C una matriz arbitraria no singular. Entonces todos sus autovalores son distintos de cero y su forma canónica de ]ordan / tiene bloques análogosa la C tratada antes. Es decir:

y para cada /¡ sabemos hallar L, tal que e¿i

entonces:

y tendremos eM:1. Ahora, si C:P-rlP,

eL:C.

ponemos Z:P-rMP

t72

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

EJERCICIOS Y COMPLEMENTOS l.

Aplíquense los resultados de las secciones 5.4 y 5.5 al estudio de la ecuación xQ')(t) * ar(t)x{,,-t )(t) + a2(t)¡Q,-zt(ú) + . . . + a,t_t(t)r(r) + a¡Q'¡: g en el caso de que: a), los a,(t) - a, son constantes, y b), los adr) son periódicos de periodo r.

2.

Hállese para

c :l

I

l0

4

5

13\

7l , 3 -4 -r2 l

\-l

cuya forma de ]ordan se ha estudiado (página 139), una matriz L tal que eL:C. 3.

Hállese para la matriz anterior C una matriz R tal que R2:C.

4.

Sea el problema: Hállese r: R -> R3 continua y derivable tal que:

I Ii |I ' t'( ¿) :[-t I \ 0 (I ¡ /3 \

I I 0

0\ olr(r) , 2l

en t e r

I r(o):{r I \

\z/

Resuélvaselotratando de operar siempre en el campo real. 5. a) Resuélvase: d (xr(t)\ ü\rr(¿)/:\

isenú sen2t\/¡,(r)\ o cosú l\xr?>)

hallando todas sus soluciones. b) Obténgaseuna matriz fundamental de la forma Q(t):31¡¡rtr, con L constante y B(t) periódica. 6. Las mismascuestionesque en el ejercicioanterior para las ecuaciones

.

a) P)

d _ (*,(r )\:f -I at

xxr(t)/

\senú

01¡r'{r)\ -t)\xrta)

d _(",(t)\ : (-1+cost ü \rdr)/:\ cosú

0 ) /rr(r)\ -r/\xr(t)t

6 TEORIADE ESTABILIDAD. METODODE LA PRIMERAAPROXIMACION

El problema sobre la estabilidad de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria surge como continuación del que ya hemos tratado sobre la dependencia de las soluciones respecto de los valores iniciales y parámetros. Un proceso se desarrolla gobernado por una ecuación diferencial x'(t):f(t,lc(t)). Bajo condiciones r0 en el instante ú¡ su funcionamiento viene dado por r(r), pero por errores de medición o por una perturbación imprevista es posible que el valor real en el instante ú6sea i0 en lugar de ser f y, por tanto, su funcionamiento real será dado por i(ú). ¿Cómo se comporta ñ(t) con respecto a x(t)? Cuando se considera un intervalo finito de tiempo los teoremas de 4.3 proporcionan información suficiente. Pero en muchas ocasiones interesa especialmente lo que va a ocurrir cuando r tienda a oo. Por ejemplo, y este es uno de los problemas clásicos que han originado la teoría, el sistema solar ¿es estable o llegará a una situación crítica, provocada por perturbaciones pequeñas, que produzca su desmembramiento? El estudio de este tipo de problemas tiene su origen en LncnnNGE,DIRIcHLET y sobre todo, más recientemente, en los trabajos de A. M. Lyrpu¡tov y PolNcanÉ, formando Io que se denomina la teoría global o geométrica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Constituye una rama muy amplia de la teoría de ecuaciones diferenciales. En este capítulo se exponen las nociones más importantes de estabilidad y algunos teoremas típicos de la teoría que se obtienen al estudiar las soluciones de la ecuación bajo estudio, siguiendo más o menos lo que se denomina el método de la primera aproximación. En el capítulo siguiente se expone el segundo método de Lyapunov o método directo que se basa en el estudio de la función f(t, E¡ que aparece en la ecuación diferencial misma. 6 .1 . N OC IO ND E E ST A BIL ID AD Consideramos la ecuación x'(t¡ : f (t, )c(t)), donde f está definida en [ú0,+ m) x R" en general, y satisface condiciones que permiten garantizar que existe solución única, al menos local, del problema x'(t¡ : f(t, x(t)),

r(ro) :¡o

Esta solución será denominada x(t; to,x0). Supongamos que r(t; to,xl) está definida en [úe,+ oo). 173

L74

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

6.1.1. Definición. Direnzos que x(ti to,x}) es estable (a la derecha, en el sentido de Lgapunou) si para todo e)0 existe D>0 tal que para todo xl cotx i¡t-rol (6 se tiene qtie x(t; to,xr) existe g está definida en [ro, +oo) A se oerifica lx(t; tr, rr) - r(r; fo,r0)l (€

para todo

t2to

6.1..2. Definieión. Se dice que x(t; tr, x0) es asintóticamente estable (a la derecha, en el sentido de Lgapunou) si es estable g 'adentás existe 4)0 tal que si lrt-rol (T, entonces lx(t; tr, xt) - x(t; f6,r0)l -+ 0

para

ú+

* oo

Definiciones análogas se pueden dar de la estabilidad (asintótica) a la izquierdar p€ro, en general, cuando nos refiramos a la estabilidad de una solución, sobrentenderemos que se trata de estabilidad a la derecha. Cuando se tiene una ecuación de orden superior en forma normal: x(nt(t): f(t, x(t), ..., r{',-t)(ú)) la estabilidad (asintótica) de sus soluciones se define mediante Ia estabilidad (asintótica) de las soluciones correspondientes de la ecuación vectorial asociada. El estudio de la estabilidad de las ecuaciones lineales admite una reducción importante. Sea x'(t): A(t)x(t') + b(t) con Aft) continua de [fo, + co) a M,,(C) o M,,(R) (matrices complejas o reales nxn). La solución x(t; to,f) existe, es única y está definida en todo [fo, + m) para cualquier r0. Mediante la fórmula de Lagrange:

: O(r)ro* x(t ; to,ro)

I,',

O(ú)ó-'(s)b(s)ds

donde tD(r) es la matriz fundamental tal que O(fs):/, resulta fácil el siguiente teorema, cuya demostración se deja como ejercicio. 6.1.3. Teorema. La sohtción x(t; to,x0) de x'(t):A(t)x(t)+b(t) es estable (asintóticantente estable) si, A sólo si, la solución r(r):0 de x'(t):A(t)x(t) es estable (asintóticamente estable). El teorema anterior muestra que para la ecuación lineal x' : Ax + b todas sus soluciones tienen el mismo carácter de estabilidad o inestabilidad. Así, para una ecuación lineal tiene sentido hablar de estabilidad (asintótica) de la ecuación misma. E¡nmeros: 1) La soluciín aft):0 de x'(t):(x(t¡¡z no es estable ni a la derecha ni a la izquierda. 2) Se considera la ecuación x'(t):L-(x(t))2. La solución y(t) - +l es asintóticamente estable. La solución z(t') - - | no es estable.

ó.I.

NOCION DE ESTABILIDAD

t75

3) Sea la ecuación x'(t¡:O. Todas sus soluciones son estables, pero ninguna es asintóticamente estable. 4) Las soluciones de x'(t) + r(r¡ : g son asintóticamente estables a la derecha e inestables a la izquierda. Consideratnos Ia ecuación x'(t):f(t,x(t)) 6.1.4. Definición. A la solución x(ti to,1c0)que suponetnos definida para tlts. Decimos que x(t; tv,xo) es acotada (a la derecha) si existe M,0(M(m, tal que lx(t; to,"o)l(M para t >- t o . Acotación y estabilidad son conceptos independientes en general. En efecto, toda solución de x'(t¡: I es estable a ambos lados, pero no acotada a ningún lado. Asimismo, todas las soluciones de la ecuación

¡" : - I @r+(ra+ O*'z¡tt1,x ¿ s on d e l a f or m a x : c s en(c ú + d ) y a s í, s o n a c o ta das a l a derecha y a l a izquierda, p€ro, salvo la solución idénticamente nula, ninguna es estable ni a la derecha ni a la izquierda. Sin embargo, para las ecuaciones lineales existe la siguiente relación. 6.1.5. Teorenra. La ecuación x'(t):A(t)?c(t) todas s¿¿ssolttciones .sor?acotadas.

es estable si, A sólo si,

La demostración de este teorema es una sencilla consecuencia del teorema de estructura de soluciones de la ecuación lineal, y se deja como ejercicio, así como Ia del teorema siguiente. 6.1.6. Teorerna. Sea Ia ecuación lineal x'(t7:A(t)x(t)+b(t). Si s¿¿ssoIuciones solx todas acotadas, entonces Ia ecuación es estable. Si la ecuación es estable ?l zma solución es acotada, entonces todas son acotadas. 6.1.7. Ecuación variacional. Si deseamos estudiar la estabilidad de Ia solución x(t; to, x0) de la ecuación

x'(t):f (t,x(t))

ttl

parece natural, observando las definiciones anteriores, introducir como nueva variable: lJft): x(t) - x(t; to, xo) con lo que la ecuación anterior resulta: ! l' ( t ) : f ( t , y ( t )+ r(t

i fo ,r0 ))-f(t,x (t;

to ,x 0 )):F(t,aft))

l 2I

Obsérvese que Uft)=O es solución de esta ecuación t2l y que x(t; to,xl) es solución estable (asintóticamente estable) de [1] si, y sólo si, aft\ -- 0 es solución estable (asintóticamente estable) de [2]. Si f tiene derivadas parciales continuas respecto de las componentes de r, la ecuación l2l se escribe: g'(t):f "(t, x(t; to,f))g(t) + gft, AftD,

t3I

176

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

donde f , representa la matriz jacobiana de f respecto de x y g(t, u) es la función g(t, u):f(t,

)c(t; to,f) + u) -f(t, x(t; tr, r0)) - f ,(t, x(t; ts,xl))u

Para t fljo se tiene g(t,u):o(lul) para lul-Q y, así, se puede conjeturar que el término g(t,U(t)) de [3] influya poco en el comportamiento asintótico de la ecuación [3]; es decir, se puede esperar que la solución A(t) -- 0 de t3l sea estable (asintóticamente estable) Si, y sólo si, UG) - 0 es solución estable (asintóticamente estable) de la ecuación A'(t) : f ,(t, x(t ; ts, xo))y(t)

t4l

que es lineal y homogénea. Veremos que bajo ciertas condiciones resulta en efecto así, aunque esto no es cierto en general. La ecuación L4l se denomina ecuación uariacional de x'(t):f(.t, x1t¡¡ ,'especto de la solución x(t; to,xo). Por ejemplo, la solución Uft)--O de x'(t):0 es estable, pero esta misma función como solución de x'(t):(r(¿))t no lo es. Obsérvese que la primera ecuación es la ecuación variacional de la segunda respecto de U(t) - 0. En cambio, A(t)-O es solución inestable de x'(t):v1¡¡, pero es asintócuyas soluciones ticamente estable como solución de x'(t):x(t)-et(x(t))3, tienen la forma x (t):

Cet

-r) .V ,*+6zq¿zt 6.1.8. Estabilidad orbital. Sea r'(r):f(x(t¡¡ un sistema autónomo y supongamos que se tiene una solución A(t) no constante que es periódica de periodo T. Entonces g(t + h) es también solución de periodo T para cualquier h€ R . Co m o la( t o+ h) - U fti l p u e d e h a c e rs e ta n p equeño como se qui era eligiendo h pequeño, y, sin embargo, la(t + h) - U(t)l con h fijo no tiende a cero para t -+ oo, resulta que g(t) no es asintóticamente estable. Pero es muy distinto el comportamiento de UG) según que una solución z(t) de la ecuación que pasa por un punto (tr, z(tr)) tal que z(tt) esté cercano a la curva y (órbita) en R" definida por t -.+ g(t) se mantenga cercana a esta órbita para t2tt, o que se aleje mucho de la curva. Esto motiva la definición siguiente. Definición. Sea y Ia órbita er¿ R" definida por t -> g(t), donde AG) es como se indica arriba. La solución y(t) se denomina orbitalmente estable si Ttara cualquier e)0 existe 6>0 tal que si x(t; to,)c0)es solución que satisface d(x(toi to,x0),y)<0, entonces x(t; to,x0) existe para t2to A d(x(ti to,xo),y)(e para todo tlto.(Aquí, d(x,y) significa la distancia euclídea del punto )c aI coniunto y.) Lct solt¿ción A(t) se denomina orbitalmente asintóticamente Definición. estable (U la órbita y se llama entonces ciclo límite) cuando g(t) es orbitaltal que si d(x(toi to,)cO),y)(q entonces ntente estable y además existe 4)0 d(x(ti to, xo),7) -+ 0 para f -> * oo.

6.2.

ESTABILIDADDE ECUACIONESLINEALES

L77

Nora. Todas las definiciones anteriores dan una idea de algunos de los problemas que se estudian en la teoría de la estabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias. Para muchos propósitos estas definiciones son insuficientes y es necesario afinar y modificar los conceptos aquí introducidos. En estas notas trataremos solamente de algunos problemas fundamentales relativos a las nociones introducidas.

EJ ER C IC IO S l.

siendo a(e) función continua de R a R, Dada la ecuación x'(t¡:a(t)x(t), obténganse condiciones sobre a(t) para que la solución x(t) - 0 sea estable (asintóticamente estable).

,.

Verifíquense detalladamente los ejemplos de la página l7+.

3. Demuéstrese que la ecuación x'(t):41t)x(t),

siendo A una función matricial continua'de R a M(n, C), es estable si, y sólo si, sus soluciones son acotadas. que sirva como ejemplo para ver Dése una ecuación x'(t):f(t,x(t)) que la anterior equivalencia es, en general, falsa.

4.

Demuéstrese el teorema 6.1.6.

J.

Se considera la ecuación

x'(t): para t>1,

arc senr(r)

I I -(x(t))z

[*]

de la que una solución es x (t):s e n f

Obténgase la ecuación variacional de [.] respecto de esta solución. 6.

Determínese si el estudio de la estabilidad de la solución x(t) = 0 de x'(t):(x(r))2 se puede reducir al estudio de Ia solución idénticamente nula de la ecuación variacional.

7.

La misma cuestión que en el ejercicio 6 para la ecuación x'(t):

- sen r(r)

6.2. ESTABILIDAD DE ECUACIONES LINEALES Como hemos visto, tiene sentido hablar de la estabilidad (asintótica) de una ecuación lineal, y nos podemos reducir, para estudiarla, a considerar el carácter de la solución A(t) = 0 de r'(¿): A(t)x(t). El teorema siguiente expresa una condición de estabilidad en términos de una matriz fundamental. Como siempre, suponemos A función continua de [ro,oo) a M(n, R). Obsérvese gu€, si bien a veces resulta conveniente introducir números

t78

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

complejos para algún punto particular del estudio de las ecuaciones que se consideran, gracias a la forma de ]ordan real para una matriz real, introducida en 5.2.9, se puede soslayar fácilmente, si se desea, este paso al campo complejo. 6.2.1.

Teorema.

Sea X(t) una ntatriz fundamental de la ecuación

x'(t):41t)x(t)

[*I

Etztonces se ueriftca: 1) La ecuación [*] es estable si, A sólo si, existe una constante M, O{M{co, tal que llx(t)ll <M pqra todo t}-to. 2) La ecuoción [.] es asintóticantente estable si, A sólo si, llx(r)ll -+ O para ú -+ oo. (Se considera, por eiemplo, la norma euclídea.) DsMosrRAclóN. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que X(.to¡:¡, ya que para cualquier par de matrices fundamentales Xt(t), XzG) se tiene X'(t):XzG)C, con C matriz constante no singular. La solución r(f) tal que x(t): r0 es entonces x(t¡:y1¡)ro. Supongamos primero que llx(t)ll <M. Se tiene entonces !r(¿)l( Mlxol y, así, si lr0l (eM-l:6, s e t ien e l r(r) l< € par a t ) - t o . L o q u e d e mu e s tral a e s tabi l i dadde U G):0. R ecíprocamente, si se tiene la estabilidad de Aft) = 0, entonces, para todo e)0 existe E>0 tal que si lrol <E se tiene lr(r;lg€, es decir, lx(t)rol (e. Fiiemos un € y un 6 que satisfacen esta relación.-.Entonces se tiene:

:sup{lX(t)zl: l z l (t):s upIt"fO rut llx(Qll ]:

lr a l* u ]* ;

lo que demuestra

llx(t)ll
paratodotlts

Para demostrar 2), supongamosprimero que llx(¿)ll+ 0 para ú-+ N. Entonces: lr(¿)l< llx(t)il lr0l-+ 0 para ¿'f oo y, así, [*] es asintóticamenteestable.Recíprocamente, supongamosque existe que tal 4)0 lr(r)! -+ o para t t m si l"ol<"1 Entonces,

lX(r)rol-+ 0 para úioo y l"ol
r ol

l"rotl*o

que Para¿'foo siempre l#l*t,

6.2.

ESTABILIDADDE ECUACIONESLINEALES

t79

es decir,

lx(t)yl+0

que lyl
para ttm

Pero esto implica

+ 0 para ¿'lm. I llx(r)ll El teolema anterior nos asegura que el comportamiento de la norma de una matriz fundamental proporciona la información deseada sobre la estabilidad de la ecuación lineal. En el caso'de la ecuación lineal autónoma (coeficientes constantes), A(r) 7 A, sabemos que una matriz fundamental es €A' y, así, el estudio de la estabilidad de tal ecuación se reduce al de la norma de esta matriz. Los resultados siguientes proporcionan desigualdades para la norma de esta matriz que simplifican el problema de la estabilidad. 6.2.2. Teorerna. Sea I una matriz ,txtt (real o compleia), I:M+L, siendo ¡,€C, I la identidad, Lt':O para h4n. Entonces existe un polinomio tal que p(t) de coeficientes positiuos A de grado h-l

llr"ll< f,t¡e'n'^ para todo t)-0. Dptvtosrnectó¡1. Se tiene, si t20,

llr{'ll: lln,,ut,ll-ntRe}tllut,ll:

(srR l l*e r+r. # + ...+f f iu* -etRel.ft+ \^'

tll¿ll l!

+...+ '"'¡

úft-lll¿"-lll ) l (h-Dl

lo que demuestrael teorema.I 6.2.3. Corolario. Sea A unt nzatriz real n x n con un único autoualor g Entonces existe un polinomio de )t sea I su forma de lordan, ¿:p-tlP. grado de menor o igual a n-I tal que no negatioos coeficientes A

ll"''ll< p(t)e'R"^ para t)0. Ademcís,si eI índice de ),,es z(),):L, entonces se puede tomar p(t) = c)0 g, así: lluo'll< cetRe¡\ para t)0 . Dntrosrnaclótq. La primera parte es una consecuencia obvia del teorema. y, así: Para la segunda, si z()'):1, es claro que /:M

ll"''ll< llP-'llllr{'llllPll:c etReL I

CAP. ó.

180

6.2.4.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE I-A PRIMERA APROXIMACION

corolario.

a)

sea A

p:máx

una nntriz

real n x n a sea

{ Re ), : tr autovalor de A }

Entonces eúste un polinomio p(t) de grado ntenor o igual que n _ | a de coeficientes no negatiuos tal que

ll"''ll( p(t)e,,, pm'a todo t>0. b) Sea A una nzqtriz real n x n tol qt¿e p: m á x { R e I:} ,

a u to v a l o r d e A} :0

A si Re,\,:O entonces z(tr):1. Entonces eÍ$te Lu?econstante c)0

tal que

llu''ll< "

paro todo t>0. De¡rrosrnAcróN. sea A:p-tlp,

I forma de ]ordan, y sea

Es claro entonces que p

( llP-'il ll,o,ll (x ttn,'tt )tnt Basta entonces aplicar el corolario anter;., or." obtener ambas partes, a) y b). de éste. I De los resultados anteriores se obtienen inmediatamente criterios de acotación o estabilidad. Obsérvese que estos resultados proporcionan además una estimación cualitativa útil sobre el comportamiento para t m de las solut ciones. 6.2.5.

Teorema.

Se considera el problenru

(P)[( o.(:):1*(') r(0): x;o siendo A una matriz real n x n a seo a(A) el espectro de A. a) st F:máx{Re r: }, € a(A)}
es asintóticamenteestable.

¡

6.2.

ESTABILIDADDE ECUACIONESLINEALES

I81

b) St p'--máx{Rq I : }. € o(A)} : 0, A se uerifica, para todo I € a(A) corx Re L:0, que z(tr): 1, entoncesexiste lnra constante c)0 que dePende . En este caso' la ecuación x'(t):Ax(t) es estable, sóIo de A tal que lx(t)l ( "l"ol pero rxo asintóticantenteestable. tuo entoncesla ecuación x'(t):Ax(t) c) St p:máx{Re I: }' € cA)}>0' es estable. DB¡vtosrnectóN.La de a) y \a de la primera parte de b) es una consecuencia directa del corolario 6.2.4.Para ver que en b) no hay estabilidadasintótica, y sea ). un autovalorde A tal que ReI':o, es decir, sea tr:Éi con B€R clapid. Entonces, sea t0 t 0 autovector .o...tpottdiente a tr', es decir, ¡r,0: - ¿lityo y, por tanto, la solución x(t): ¿a4o de (P) verifica eAtxo ."*.r,t", : l1ol y, de ese modo, no hay estabilidadasintótica. 'ilur" lr(r)l ' Sea tr,:a+Éf con a;>0 autop.óbu, c) procedemosanálogamente. valor d.e A, y sea xo+o tal que Aro:(a+ Füxo.Entonces X( t¡ :

y, por tanto, ¡rfr)l :e"'lfl

e Atg o- ¿ @ + Bi) t¡ o

f m para r t oc' I

EJ ERCI CI O S

l.

Se a

': ( i t l ) Hállese un polinomio P(r) tal que

lld'll< p!)ez' paratodo rEstúdiese la estabilidad de los siguientes sistemas lineales:

a) x'(t¡:( -1, Í)",u. ( .": , )

b)",.,,:(i i i)",'.( ;)

c)x,(,¡:( i i i).,r.( ;)

3.

Sea

':(i;l)

r82

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMEM APROXIMACION

y sea r: R -> R3 una función de et(R) una desigualdad del tipo lr(¿)l< p(t)e3,

para

tal que x'(t):lx(t).

Dedúzcase

t>0

siendo p(¿) un polinomio en f.

6.3. ALGUNOSCRITERIOS DE ESTABILIDAD ASINTOTICA En la práctica, cuando para un sistema que se rige en su funcionamiento por una ecuación lineal con coeficientes constantes es deseable que haya estabilidad, el tipo de estabilidad que se debe lograr es la asintótica. En efecto, la estabilidad no asintótica, que se da cuando para algún autovalor ), se verifica ReL:0, z(tr):1, es muy lábil, ya que basta una perturbación pequeña de los coeficientes para que sea Re .tr)0 y así no haya estabilidad. En cambio, si para todo I es Re ),{0, una perturbación pequeña de los coeficientes no variará esta propiedad y así seguirá habiendo estabilidad. A continuación presentamos algunos criterios de estabilidad asintótica para una ecuación con coeficientes constantes reales, que son las que de ordinario aparecen en la práctica. Obsérvese primero que el problema se ha reducido, por el teorema 6.2.5, a una cuestión puramente algebraica. Se trata simplemente de averiguar si todos los autovalores de una matriz, o, en forma equivalente, todos los ceros de un polinomio (el polinomio característico de tal matriz) tienen parte real estrictamente negativa. El primer criterio es de muy sencilla aplicación, y, aunque no constituye una caracterización necesaria y suficiente de estabilidad, permite decidir en muchos casos la carencia de estabilidad asintótica. 6.3.1. Teorema. Si F(z):2" * ct1z"-l+... + an con a¡e R üene algún coeficiente tnenor o igual que cero, entonces F(z) tiene alguna raíz que no tiene parte real estrictantente negatiua. Dpmosrn¡cróN. En efecto, si F(z) tuviese todas sus raíces con parte real estrictamente negativa, entonces r

F(z):I f" - o¿¡),,,,11 fC- F),* y¡2f", i: r

con a;{0, F¡10, y¡ € R. Por tanto, todos sus coeficientesson positivos. es decir, a¡)0. Esto demuestrael teorema. I El criterio anterior permite, por ejemplo, decidir que zs+ L7z7+ 12z6+ l3zs + 4za+ 2Iz2+ 6z + 4 tiene alguna raíz con parte real mayor o igual que cero. Pero no nos permite decidir si z3+llzz+62+6

6.3. ALGUNOS CRITERIOS DE ESTABILIDADASINTOTICA

183

por eiemplo, tiene todas sus raíces .tr con R¿ ),(0 o no. El criterio siguiente, basado en un caso particular sencillo de un teorema general de la teoría de variable compleja, proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar la estabilidad asintótica. Exponemos primero la noción de variación del argumento de F(z) cuando z recorre un arco de curva y un lema que conduce fácilmente al teorema. Sea G un arco de curua orientada en C dado por 6.3.2. Definición. tma función continua g: [0, l] + C. Sea F:z € G + F(z) € C una función continue en G tal qtte F(z)t'O para todo ze G. Considerantos unacualquierq de las determinaciones del argumento de .F(g(O)) en radianes que denominaremos Arg F(g(0)), A para cada t € [0, l] tomantos Ia determinqción Arg .F(g(¿)) del argumento de F(1GD que hace que la función Arg F(g(r)) sea continua en 10,l'1,. Denominaremos variación del argumento de F(z) sobre G al ualor u(F(z), G) : Arg r(S(l)) - Arg F(g(O)) Las propiedades siguientes que utilizamos son de demostración sencilla: l) u(F(z),G) no depende de la parametrización f de G ni de la determinación de Arg (fG(O))) que se ha escogido. 2) Si Gr y Gz son dos curvas determinadas por

y

Br: [0, ll2] + C

gz:fIlZ, U -+ C

tales que

gr(Llz):gr(Il2) y

G:Gt* Gz

es la curva determinada por

s(t): :l l;:;1? {';Í?, entonces u(F (z), G t + G) : u(F(z), Gt) + u(F(z), G2) 3) Si Fr y Fz son dos funciones en las condiciones de la F de la definición, entonces u(F 7@)F2(z),G) : u(F t(z), G) + u(Fz(z),G) Y

C¡ = Sr + ¡ t

184

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

6.3.3. Lema. Sea F(z):z" * atztl-r+ ... + a,t un polinomio con coeficientes en C. Sea C, para cada r)0 fiio Ia curua cerrada formada por el segmento que ua de ri a -ri g la semicircunferencia de centro el origen que ua de -ri a ri situada en Rez)0. Supongamos F(z)*O siempre que z€C,. Entonces el número de ceros de F(z) en D,, interior del senúcírculo determinado por C,, contando cada cero tantas Deces como indica s?¿ orden de multiplicidad, es igual a o(F(z), C)12r. DsMosrnAcIóN. El polinomio F(z) se puede escribir: F(z):(z - X)",(z - trz)",... (z - tro)"o no s i e n d o tr r , t r 2, . . . , t r ode C ,, y a q u e F (z )t' Ú , propiedad 2) de o(F(z), G) se obtiene:

c u a ndo z€C ,.

U ti l i zando l a

u(F(z),C,):atu(z - trr,C,.)+ ... + otru(z - tro,C,-) Es claro que si ),r € D entonces

u(z- tr¡,C) :2T, y si ),; ff D entonces u(.2- ).i, C,):0

Por tanto: u(F(z), C):2¡rnz Siendo M el número de ceros en D,, cada uno contado según su multiplicidad. J Supongamos ahora que F(z) tiene coeficientes reales y no posee ningún cero imaginario puro, es decir: F(iü:

A(a) + iB(D:(e,,-

e,,-zUz + ...) + 0 * a,,-qf ...) + i(a,-tU - on-tU3

para todo A e R, lo que equivale a afirmar que A(g) y n@) no tienen ninguna raíz real común. Llamemos .I, al segmento que va de ri a - ri, y S, a la semicircunferencia que va de -ri a +r¿ con centro en el origen situada en Re 220. Entonces C r:Ir+ 5 ,.. Supongamosque r)1.

Se tiene, usando la propiedad 3) de u(F(z),G): u(F(z), C):u(F(z),

I,) + u(F(z), S,)

Para u(F(z), S,) se tiene:

:, (&"(z - L),,s,: u(F(z),s) ) :'(

&'t')*

u Kz- r ) "' s' )

18s

ó.3. ALGUNOS CR¡TERIOS DE ESTABILIDADASINTOTICA

Calculemos u(F(z), C,) cuando r i oo. Como para cualquier r € R resulta que F(rei")

Parar T oo'

Vet -i+L obtenemosde aquí que lF(z) -\ Dt-, S,'/l-+0 \(z-]¡"' ya que para r suficientementegrande +

PatarToo,

(z- rl'

está muy próximo al punto 1

cuando z € 5,. Por otra parte, se tiene claramente que u((z - 1)",S,,):n(z

- 1, S,'):7177

para r i oo. Así, u(F(z), S,) + nn para r t oo. También es sencillo ver que u(F(z),/)

coincide con la variación -L,

(medel arco cuya tangente es "9 A@)

dida a 1o largo de una determinación continua de tal arco) cuando g vafia de +r a -r. Como u(F(z),C) es un múltiplo entero de 2n y es función continua de r en aquellos valores r en los que está definída (F(z) ha de ser no nula sobre C,), resulta que u(F(z),C) tiene un límite para rtoo Y, así, - L, é -L par a r t oo. P or ta n to : lím u(F(z), C)-

- L+ nnr I B9)r,

medida en A(úde tal arco, cz¿ando A

Obsérvese que L es la uariación del arco tangetnte ¿"

radianes a Io largo de u,xa determinación continua uaría de -oo a +oo. Obsérvese también que para r suficientemente grande todas las raíces de F(z) con parte real positiva están en D,. Así, el número de tales raíces con parte real positiva, según el lema, será cero si, y sólo si, Z:n7r. De este modo, resulta el siguiente teorema.

Sea F(z) urt polinonúo con coeficientes reales de grado n 6.3.4. Teorema. para AeR.Entonces todas las raíces de F(z) y sea F(iy):,q@)+iB(0#0 g sólo si, L:nI'IT, donde L es la umiación del tienen parte real negatiua si, arco tangente de y

A(a)

cuando A tsaría de - oo a + oo.

E¡eunro. Estudiesela estabilidadde la ecuaciónlineal x"'+llx" +6x'+6x:0

[*I

186

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRTMERAAPROX|MAC|ON

El polinomio característico es F(z): z3+ llz2 + 6z + 6 y se tiene:

F(ifi: n(0 + iB(s): (6- rru) + i(6s- t') la curva

B(a) u@-^/6)(a+\/6) A(0 (+/Lra-^/6)({rta++/6) es de la forma siguiente:

B(a) A(a)

y, así, L:3r y, por tanto, todas las raíces de F(z) tienen parte real negativa. Entonces la ecuación [*] es asintóticamente estable. La conveniencia de la determinación de la estabilidad a la vista solamente de los coeficientes de F(z) sin necesidad de calcular las raíces de A(g) y B(A) ha conducido al criterio de Routh-Hurwitz. Obsérvese que en el eiemplo anterior los valores exactos de las raíces de A(0 y B(0 no interesan tanto como la situación relativa de estas raíces. La utilización del teorema clásico de Sturm sobre este aspecto da lugar al teorema siguiente. 6,3.5.

Teorema.

(Criterio

de Routh-Hurwitz.)

Sea

F ( z ) :7 " * Ql Z n -r+ ... + Q¡Z n -i + ... + an un polinomio

con coeficientes reales. Entonces todos los ceros de F(z) tienen

ó.3.

ALGTJNOSCRITERIOS DE ESTABILIDAD ASINTOTICA

t87

parte real negatiua si, g sólo si, todos los determinantes de las matrices diagonales principales de la matriz

t0

0

Q3

a2

Q1

I

0 0

A5

aa

o3

Q2

A1

Q7

Q6

Q5

Q4

Q3

A1

0 0 0 0

0 son positiuos, es decir:

Dr:4r)0, pr:d",(q, =0, or:o"r(7, i ) \a t

l, Q4

Así, el criterio para zz+ap*a2 es at>O, az)O. Para z3+op2+e2z*e3 es a¡)0. Para za+ o1z3* a2z2* asz* cta es ar>O, ataz- a3)Q, ar>0, atez- q>0, (arar-at)at-aiaa)0, a+)0. Aplicado al ejemplo anterior, F(z):z.3*IIz2+62+6. y, así, obtenemos el et ez - Q t:l l x 6 - 6 > 0 , a 3 :6 )0 , S e t i e n e a r: ll) 0, que antes. mismo resultado Para la demostración del criterio de Routh-Hurwitz de la obra de W. Copper [965].

remitimos al apéndice

E J E R C IC IOS l.

Se considera la ecuación lineal d4 & - - _ ¿ -+ -ü 6 - r+ l l + x ,+ 6 x * k :0 dt4 dtt dtz Estúdiese su estabilidad según los valores de k € R.

2.

Estúdiese la estabilidad de .r2

d3

Er+8 3.

E x+l4x+24:0

¿Para qué valores de /c € R es estable el sistema que tiene por ecuación característica tr? + /c L+ 2 k - l :0 ?

4.

Dése una generalización del lema 6.3.3 estudiando el caso en que F(z) es un cociente A(z)lB(z) de dos polinomios.

I88

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD. METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

5. Estudiensela estabilidady la estabilidad asintótica de las siguientesecuaciones: x'(t):

r'(t):

f-:,

ur)or(.i,)

I t

o

o\

/r\

o

o\

/r\

( I -l l) o'. ll/ l- t

c)

6.

x'(t¡:

l, 3

-¿

:)r(¿)+|,;/

Estúdiense la estabilidad y la estabilidad asintótica de la ecuación

*"*+*'*Xr:o en [1, m). 7.

Demuéstrese, mediante consideraciones semejantes a las de 6.3.3, el teorema fundamental del álgebra.

6,4. ESTABILIDAD DE SOLUCIONES DE ECUACIONES NO LINEALES Como hemos visto, el estudio de la estabilidad de una ecuación lineal x'(t): ¡¡t)x(t) + b(t) es problema particularmente simple cuando A(t¡ -- A es matúz constante. El siguiente teorema, esencialmente debido a Lvapu¡,lov, se refiere a una reducción a este caso del estudio de la estabilidad de un problema todavía lineal, pero no de coeficientes constantes. El método por el cual aquí se resuelve, la utilización del lema de Gronwall, es muy fecundo y sirve también para tratar algunos casos de estabilidad de ecuaciones no lineales, como se indica a con-

tinuación. 6.4.1. Teorema. Se considerala ecuación x'(t): ¡¡(t) + C(t)x(t)

[*]

donde A es una matriz n x n constante de elententos reales A C: [0, oo) + M(n, R) es una función matricial continua. Sea a:máx{Re },¡: }.¡ € a(A)} U sea x(t) solución de [*] en [0, oo) tal que x(0):¡0. Entonces, para todo bla existe una constante k que depende de b g de A solamente tal que para todo t20 se tiene: I

rf

\

lr(r)l(kl"o!"*p (,bt+kJo llc{s)llas/

6.4.

ESTABILIDADDE SOLUCIONESDE ECUACIONESNO LINEALES

I89

Dn¡vtosrnnclóN. Sabemos que la solución x(t) de [*] tal que r(0):¡o e xis t e ye stádef inidaen[ 0, o o ).L l a me mo s b (t¡:C (t)x (t).Entoncesr(r)esl a solución del Problema

l, *'(t):Ax(t) +b(t) ( r(0): ¡o

y, así, aplicando la fórmula de Lagrange, resulta: x(t¡:¿At¡'¡ '

t ro''-'b(s)ds -eAtxo* f eA(r-s)C(s)r(s)ds f' Jo Jo

Del corolario 6.2.4 resulta fácilmente que para bla

existe /c tal que

( /ceb' lleA'll que existeun polinomioq(t) tal que para todo t>0. En efecto,sabemos : !lnr,ll ( q(t)e^' q(t)e{"-bt¿bt4ft¿bt si se elige k>q(t)e@-b)t para todo t20, par a Í + oo. q ( t )s@-b +0 )t

lo que se puede hacer, ya que

Por tanto, Podemos escribir: rt

* oJo eb(t-s)llc(s)ll lr(s)lds lr(r)l(/ceD'lr0l Y' aSí'

, ,

/clr0l + k I llc(s)lle-b'lr(s)lds ,_r,,lx(t)l< la desigualdad del teorema. I Aplicando el lema de Gronwalt, ,.r;;" siguiente. Del teorema anterior se obtiene inmediatamente el corolario 6.4.2.

Corolario.

Sea x'(t¡:Ax(t)

t)

bt+kl

ft

r0

asintóticatnente estable A sea

1¡Ctslllas+-oopara ú f o o

[*l

estable. Entonces la ecuación x'(t):(A+ C(t))x(t) es tantbién asintóticamente sea estable a sea 2) Sea r'(t¡:Ax(t) f' oo

I t¡c1'¡¡1as{oo Entonces la ecuación x'(t'¡:a")ct'D*t') Obsérveseque si

es estable'

[-tttt'ltlds{oo

cap. ó.

rg0

TEoRtA DE ESTAB|L|DAD. METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

entonces,eligiendob<0, ya se tiene la condición [*]. Asimismo' si llC(s)ll-+ 0 para .s+ oo se tiene también [*], eligiendob{0. En efecto,veamosen primer lugar que si llCfs)ll+ 0 para s -> oo, entonces

(l/4 Sea e)0.

ft

-+ 0 Para ú+ m J, llC(s)llds

Elegimos ú tal que

para tTto

<+¿ llc(')ll Entonces, si t2to, se puede poner:

a,+| llc(s)lla'l * +f'llc(s)llds:+f f"ll.r,lll L Jo

L

J

LJo

t Jo

"ro

''''

tt

2

Si rt 2 ú6 €S tal que

t1

ft^'o | ttllc(s)llds ""

ttJo

2

y tomamos t) tr, entonces:

lo que demuestra que

para ú -> m. Si se escribe ft

|

1 rt

\

bt+kI llc(s)llas:ú ( u+k: I llc(s)llas /) Jo t Jo \ con b<.0, se obtiene fácilmente [-]. El teorema siguiente se obtiene por el mismo procedimiento que el anterior. Las condiciones que se imponen son las adecuadas para poder aplicar el lema de Gronwall. Sin embargo, no siendo la ecuación que se estudia estrictamente lineal, la existencia de solución en [0, oo) no está asegurada de antemano con tanta facilidad como en el caso anterior. 6.4.3.

Teorema.

Se considera Ia ecuación x'(t): A(t)x(t) + f(t, x(t))

[*

*]

donde A: [0, m)-> M(n,R) es continua a f :10, m) x B(0,a) ->R" (donde B(0,a) es la bola euclídea cerrada de centro el origen g radio a) es tantbién continua.

6.4. ESTABTLTDAD DE SOLUCTONES DE ECUACTONES fto LTNEALES

Sea Y(t) nzatriz fundamental de A'(t):A(t)A(t) gomos que existe una constante /c>0 tal que

tal que Y(0):¡.

lgl

Supon-

llY(t>Y-t(r)ll < k pcra t7 s)-0 Supongamos también que existe una función y(t) continua A no negatiuo definida en 10,a) tal que

¡{t, gl
dt<x J, YG) Entonces existe una constante positiua h>I tal que si Ír € [0, m) y r(r) es solución local de [**] a la derecha de tt tal que

lr(r,)l
( (P) {(t):A(t)a?)+b(t) | u4):x(tt) siendo b(t¡:fG, x(t)). Por tanto, por la fórmula de Lagrange se obtiene:

xft¡: Yft)Y-1(t,)r(r,) + l' J,,

r(s))ds "rr¡r-,(r)f(s,

para ú e ltt,tr1. Tomando normas resulta,aplicandola hipótesis,

lr(¿)l(klx(t1)l*k I y(s)lr(s)lds ut, para f € [ft, tzf, y, por el lema de Gronwall:

( klr(r¡)l ."p ( t f ' rrr)a,) l"(¿)l \Jr r /

t92

cap. 6. TEORIADE EsrABtLtDAD. METoDo DE l-A PRIMERAApRoxtMActoN

Sea

h :máx(t,* "* p (r 'rfrl ar ) ) f \ \ tr, Entonces lr(¿)l < hlx(t)l para t e Ítt, tzf, y, así, lx(t2)l
lr(¿)lg ftlr(r,)1, y esto concluye la primera parte del teorema. Para la segunda parte se tiene, para t)t1:

r(r): Y(t)y-t(¿r)x(tr) * [' y(r)r-r15)l(s,r(s))ds - t,

Se verifica

Y(t¡V-t1¡,)r(r,)-+ 0 para rt m También, escogiendo /r ( f2( f :

r(s))ds< rcl r-'urf(s, r(s))ds+ I [,',rurr-'(s)f(s, ¡ | I,j | r(s))ds< I,. rurr-'(s)/(s, | r(Dll I I,: "-','¡l(s,r(s))ds |+ *k Dado e)0

jds:,Sr* Sz J.tz 7(s)lr(s)

podemos escoger tz grande de modo que

-y(r) d,
tlY(t)Y-1(r)ll < k<m a que

para 0--< s--<ú

lf(t,g¡¡
DE SOLUCTONESDE ECUACTONES ESTABTLTDAD NO LTNEALES

6.4.

lg3

Entonces la solución x(t): 0 de l++l satisface Ia siguiente condición de estabilidad (estabilidad uniforme). Para cada e)0 existe E:6(e))0 tal que si x(t) es solución local de f"*J a Ia derecha de tt20 con lx(t)l46 entonces flt) es prolongable a fh, oo) y satisface lt(¿)l {e para todo t € [fr, oo). A fin de demostrar el teorema siguiente, relativo a la estabilidad asintótica de Ia solución nula de [+*], presentamos primero un lema interesante también por sí mismo. 6.4.5. Lema. Sea Y:[0,oo)-+M(tz,R) continua A tal que Y(t) es no singtúar para todo t € [0, m). Strpongarnos que existe k rel="nofollow">0 tal que rt I ily(ú)f-'(s)lids(k

para todo

J¡

Entonces existe una constante h>0

ú € [0, m)

tal que

(h exp(-+) llY(t)ll

vo,nt>t

Dr¡uosrnrctóN. Ponemos a(t¡: llY(ú)ll-t y podemos escribir la identidad rt

ft

Y(q I n(s)ds: I y(ú)y-'(s)y(s)a(s)ds ,0 . /0 Tomando normas y haciendo uso de las hipótesis resulta ft

ft

: lo(r)l-' I a(s)ds ( llr(t)ll JoI a(s)ds Jo It

llv(s)lla(s)ds(k I llYft)Y-'(')ll

uo

para todo ú € [0, oo). Si escribimos rt

b(t¡: I a(s)ds ro se tiene b(t) < kb'(t), es decir, b'ft\ >k-l ,(t) Integrando entre I y r se obtiene: bft\ Iogj: " b(l)

| t b'lsl r,I +ds¿k-t(t-L¡ b(s)

Cap. ó.

194

TEORIA DE ESTABILIDAD. METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

que es decir, recordando

#:Nr-k-',

#r#)¿k-,(t-,) Así, siendolr(¿)l-t:lly(ú)ll resultael lema con k h----J- ek-'. I 6.4.6.

Se considera la ecuación

Teorerna.

x'(t): A(t)x(t) + f(t, x(t)) teniendo A(t) A fQ,$

[**J

la significación del teorema 6.4.3.

Supongamos que existe k>0

tal que

fr

( /c para r € [0,m) I llv(t)y-'(s)llds Jg Sea y(t) constante A n?.enorque k-t. Entonces la solución x(t):O asintóticatnente estable.

de [**] es

Dp¡nosrnActóN. Por el lema anterior Y(t)+0 para ¿too y, así, llf(t)ll <M y todo t € [0, oo). Por la fórmula de Lagrange, si ¡(¿) es para cierta M{m una solución local de [**] a la derecha de ú:0, se tiene:

r(r): v(r)r(O) + f' ,6¡"-,(s)f(s,r(s))ds ,0 para t en el intervalo de definición de x(t) a la derecha de t:0. hipótesis:

Así, por las

lr(r)l(Mlr(0)l +7k sup{ lr(s)l: s € [0,ú]] Por tanto: s up { l r(s )l : s € [0 , ¿ ]] < (l - 7 /s )-tMl r(0)i con lo cual se demuestra fácilmente a [0, oo) si lr(0)l es suficientemente estable. Tratemos de ver que r(r) -+ bada la estabilidad asintótica de t(t)

que la solución x(t) se puede prolongar pequeño, y que la solución x1r) - 0 es 0 para t t oo, con lo cual quedará pro= 0. Sea

F: lím l"(r)i y escojamos z tal que 7k{r(1. Si fuese p>0, entonces pr-t}¡t", y, así, para todo t2tp De la fórmula de Lagrange existe tt tal que lr{|l1pr-t

6.4.

ESTABILTDADDE SOLUCIONESDE ECUACTONES r{O LTNEALES

Ig5

utilizada antes, dividiendo la integral en dos partes y tomando normas, resulta: I ft'

I

+ llr(ú)ll r-'rs)l(s, r(s))ds+ l'(¿)l
p a ra t2 tt

y tomamos el límite superior resulta, por ser llr(r)ll +o F { Yk Pr' t< P

1o que es contradictorio. Así, ha de ser F:0,

lo cual demuestra el teorema. I

EJ ER C IC IO S I.

Se da Ia ecuación x'(t) + x(t) - f (t, x(t\) :0 , siendo

tt

f(t,€):va para t+0, f €R' €+0 y f(t,€):O si ú:0, f:0. bilidad asintótica de la solución r(ú) - g. 2.

Estúdiesela esta-

Se considerala ecuación x'(t) : Ax(t) + f(r(t)), r : R -> R" donde A es matriz real n x n constante de autovalores con parte real negativa y f es función de R" a R" continua en un entorno del origen y tal que

tf(01 -+o l fl

P a ra l fl -+o

Demuéstreseque r(r) - g es solución asintóticamenteestable de la ecuación. 3.

Sea la ecuación x'(t): A(t)x(t) para t>o donde ¿(r):

4.

t-4 l, o

0 \ senlog t + coslog r -2a I

Demuéstreseque la solución r(r) - 0 es asintóticamente estable si al|l2. Demuéstreseque en el sistema *ltt): - axt(t) f ( xí(t): (senlog ú+ coslog t -2a)x2(t)+ (xr(t)Y la solución r(r) - 0 no es asintóticamenteestable ni tampoco estable.

196

5.

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

Se considera la ecuación x"(t) + p(t)x(t):0 donde p:Í0,m)-+R es una función continua. Demuéstrese que la solución trivial no es asintóticamente estable.

6.

Estúdiese la estabilidad de la solución trivial de / I \ rc"(t)+ { - + 2 | x'(t) * (e-t+ l)r(r) :0 \t /

7.

Demuéstrese que si todas las soluciones de A constante

a'(t):Aa(t),

son acotadas en [0, oo), entonces lo mismo es cierto para las de x'(t¡:(A

+ B(t))x(t)

donde B: [0, oo) -+ M(n, R) es una función matricial continua tal que f@

I llB(r)llds{oo B.

Sea M(t)

el mayor uuaoJu,o, de la

matriz

A(t) + A*(t), donde A: [0, oo) -> M(n, R) es una función continua. Supongamos rt Jo

,{t

M(s)ds:

- oo

Demuéstrese que entonces toda solución de x'(t):¿1t)x(t) cero para ú->oo. 9.

tiende a

Supongamos que la ecuación x'(t): A(t)x(t), donde A : [0, m) -+ M(n, R) es continua, es estable, y que

tiTSt

ft

-m r, (A(s))ds) Jo

Sea B: [0, m) + M(n, R) continua y tal que foo

I J o ll¡fslllds{oo Demuéstrese que entonces todas las soluciones de x'(t¡: son acotadas.

¿1t)2c(t)+ B(t)x(t)

¿

ó.5. UN TEOREMA SOBRE ESTABILIDADORBITAL

lO.

L97

Dénse condiciones sobre la función real y continua b(¿) que garanticen que todas las soluciones de r"(t) + r(r) :b(t) sean acotadas. ¿Es suficiente que

tím b(¿):bo? t-)

ll.

F

Estúdiese la estabilidad de la solución trivial de

sen¿+-

sen¿ t4

3

v en [, m).

6.5. UN TEOREMASOBREESTABILIDAD ORBITAL El teorema principal que aquí se expone se refiere 6.5.1. Introduceión. a las definiciones de estabilidad orbital y estabilidad orbital asintótica intro-

ducidasen 6.1.9. Consideramosla ecuaciónautónoma x'(t): F1¡1¡¡¡

[*l

una función de clase et en D. Suponemos que A(t) siendo F:DCR"->R" es una solución no constante de [*] de periodo T, es decir, una función de para todo clase et definida en R y con valores en D tal que g(t+T):g(t) t e R y tal que g'(t):F(aGD. Al conjunto

y:{A (DeR":t€R}CD lo hemos llamado órbita de g(t). Puesto que se tiene g'(t):F(g(t)) resulta, derivando respecto de ú,

a"(t): F,(aft))a'(t) donde F, es la matriz jacobiana de F respecto de su variable n-dimensional. Por tanto, {(t) es solución no trivial de Ia ecuación lineal (ecuación variacional de [*] respecto de A(t)).

u'(t):P,7a1Du(t)

[**J

cap. ó.

lgg

TEORTA DE ESTAB|LIDAD.METODO DE r-A PRIMERA APROXIMACION

Sea U(t) la matriz fundamental de este sistema tal que U(0):¡. Como F,(aQD es de periodo T la matriz U(t + T) también es solución fundamental de [**]. Por tanto, existe una matriz constanteC no singulartal que U(t + T):U(t)C Se tiene U(T):C. Observemosque C tiene un autovalor igual a 1. En efecto. g'(t) es solución no trivial de [**] Y, a_sí,existe € e R", € +0, tal que a'(t):U(t)t. Por la periodicidadde a'(t), se tiene: A'(t+ T):U(t + f)€ :A'G):U(t)( y haciendoú:0, y teniendoen cuenta U(0):¡, resulta

:CÉ: €, u(T)E lo que demuestra que un autovalor de C es I y t es autovector correspondiente a l. Por la construcción del logaritmo presentada en 5.5 es claro que si C es matriz no singular que tiene un autovalor igual a I existe una matriz H con un autovalor 0 tal que eil:C. En efecto, si / es una matriz de ]ordan de la forma

la matriz

M : tN-; + N2 -i-

- -Nk-r ,

N3

( k:d im /)

satisface, como se ha indicado en 5.5, eM: I y es claro que M es una matríz triangular con la diagonal principal formada por ceros. El caso general se reduce fácilmente a éste. En el caso que nos ocupa, hagamos ,:T,

,, así, tenemos

C :e L T , siendo Z una matriz con un autovalor nulo. Pongamos P(t¡:U(t)e-'" Claramente,

/ P(t + T):U(t * T)e-*s-rL - (J(lene-tLe-rL : U (t)e -' L :P (t)

ó.5. UN TEOREMA SOBRE ESTABILIDADORBITAL

t99

y se tiene U(t¡:P(t)etL, es decir, U(r) es producto de una matriz P(r) no singular periódica de periodo T y la matriz er¿, siendo Z una matriz con un autovalor al menos igual a cero. Sabemos que g(t), según se ha indicado en 6.1.9, no puede ser asintóticamente estable. El teorema siguiente, debido a CoooINGToN y LevrusoN [955], muestra que si el autovalor 0 de L tiene multiplicidad l, es decir, es simple, y si todos los demás autovalores tienen parte real negativa, entonces la solución g(t) es orbitalmente asintóticamente estable. 6.5.2. Teorerna. Sea AG) una solución no constante de periodo T de la ecuación autónomo

x'(t):tr'1¡1¡¡¡ donde F es cotno se ha indicado anteriormente. Sea U(t):p1¡¡r't, matri= fundamental de la ecuación oariacional con P(t+T):P(t) u'(t): F.(U(t))u(t)

[*] U(0):7,

[*

*]

Supongantos que L tiene ?ü1,autoualor simple oe tal que dr:O A que todos los denús autoualores tienen parte real menor que p{0. Etztonces AG) es orbitalntente asintóticamente estable. De un ntodo más cuatztitatiuo, existen constantes positiuas p, 6 tales que si $(t) es una solución de x'(t):F(r(¿)) tal que d(ú(ti, y) ( p para algún to, entonces existe h € R que depende de ,lt tal que

lú(r+h)-u@l(E eu' par a to d o t20. De¡uosrnAcróN. El primer paso será relacionar la ecuación [*] con la ecuación variacional [**] del modo que se ha indicado en 6.1. Pongamos e-(r¡: Aft) + z(t) en [*] y resulta:

u'G) + z'(t¡ : F (u(t)+ z(t)): F (y(t))+ F

+ f (t, z(t)) -(a(t))z(t)

donde

f(t, 0:p@(t) + f) - F(u(t))- r,@(t))€ A.sí, se tiene:.,

z'(t): F,(a(t))z(t) + f(t, z(t)) La función f(t,f) es de periodo ? en t y tal que /(r,0):0 para todo ú€R.

Cap. ó.

200

TEORIA DE ESTABILIDAD. METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

Por otra parte podemosescribir, para y suficientementepequeño,si d:r€ R"-

É2€ R" ,lf ' l ( y , l f l < y , lf(t,€t)-f(t,{2)l:lF(a@+tt)- F(aft)+{)- F.(u@X{'-E')l Si llamamos

G(s): r(y(r) + f + s(f' - *)) - F(a(t)+ t) - F,(a(t) (E + s(6'- f)) resulta: c(t) - G(0):F(uG)+ t\ - F(uG)+ t) - F.(u(t)XÉ'-f,) Por la desigualdad del valor medio se tiene:

: 0(s( I } <sup{ lG'(s)l lc(l)- c(O)l y, como

G'(s): ÍF,(a(t)+ f + s((' - €'))- F,(a(t))l(€'- 4') se obtiene:

VQ,tt) - f(t, €')l( sup1lF,(uG)+ f + s(fr- 4)) - F,(a(t))ll€'- (l : 0 ( s( I ) Así, por la continuidad uniforme de F, sobre 7, la órbita de g(t), resulta que p ar a ca d a e) 0 ex is t e 6) 0 ta l q u e s i l Étl < E, l fl < 6 ; se ti ene:

lf(t,t\ - f(t,*)l < el('- {'l El segundopaso consistirá en construir una superficieS en R', que pasa por el punto g(0) y cuyo plano tangente en y(0) no contiene la dirección de y'(0), de tal modo que las solucionesr!(r) de x'(t):F(r(r)) que parten de puntos de S para f :0 satisfacenlúf¿l-Aft)l+0 de modo apropiadopara, r f oo. Con esto se obtendrá el teorema fácilmente. Esta parte de la demostración es Ia fundamentalv la más artificiosa. Como tenemos u(0):I:P(0)eo¿:P(0) se verifica: : erL: C U(D : P(T)erL: P(Q)erL siendo C una matriz constanteno singular. Puesto que todos los autovalores de I, excepto uno simple, que es nulo, tienen parte real negativa, resulta que todos los autovaloresde C, excepto uno que es igual a l, tienen valor absoluto menor que l. Se verifica

a'G):U(t)t

6.5

con EeR", tt'0

UN TEOREMA SOBRE ESTABILIDADORBITAL

201

y como g'(t + T):A'G),

resulta

€: U(0)€: a'(0): a'(r) : U(r)€: er'€: Cg y, por tanto, {:g'(0) es autovector de C correspondiente aI autovalor l. Siendo I autovalor simple de C resulta que el autoespacio correspondiente a 1 es precisamente el engendrado por el vector f. Recordando el resultado de 5.2.6 y 5.2.7 resulta que R" es suma directa del espacio unidimensional Xz engendrado por 4 y el espacio X' suma directa de los espacios N(tr¡, z(),¡)), donde ),¡ recorre los otros autovalores de C distintos de l. Es claro que tanto X1 como X2 son invariantes por C, es decir, y

C X tC X t

CX2CX2

En efecto, si a € X¡ es tal que (C- '\¡1)'(rr)c:0, también Ca verifica (c - tr¿"t^ ,16'a: c(c - ),;1),(rr)¿: g Y, aSí, Ca € N (),¡,z (I)) C X1 s i Con esto se demuestra CXlCXr.

CT:8.

\* l

Que CX¡C&,

es aún más sencillo, pues

También se verifica que X1 y Xz son invariantes por I, lo que se demuestra exactamente igual que lo anterior teniendo en cuenta que Z y C:erL conmutan. Además, es claro que si ae R" es tal que La:ma, entonces eTLa:

etttTcl: Ca

En particular,si I¿:0, se tiene Ca:a y, por tanto, c€Xz. Esto demuestra que ¿X2:0 y que I restringido a X1 tiene todos sus autovalorescon parte real menor que p. Recordemosde nuevo 5.2,6y 5,2.7y si los autovaloresde C son { l, tr2,..., trp}, sea, con la terminologíade 5.2.6, P s-'t

P,: ),E ¡(C ), =

P2 :E t(C )

Entonces Pt y Pz son las proyecciones de R' correspondientes a X1 y X2. Es decir, si Í €R" ,

x :Ít* .T ¡¡

x1€Xy

x 2 € X 2,

Cap ó

202

TEORIA DE ESTABILIDAD. METODO DE LA PRIMERA APROX¡MACION

entonces P1 ff : J,,

P2 Í:

Í"

Además, P?:Py

PtP2:P2Pt:0

P3:Pz,

Por otra parte, como Z conmuta con C, resulta,de la definiciónde P¡ y P2,que LPt:Pt¿,

LPt:Pr¿

Por una aplicación sencilla de los teoremas de 6.2 se obtiene, teniendo en cuenta que Z restringido a P1X:Xt tiene autovalorescon parte real menor que C y un solo autovalor C simple sobre PrX:[r, 4ke",, para t)0 lle',Prll: llP,e,¿ll ( k para ú{0 lln'tPrll: llPre'¿ll siendo /c constante y nt1¡r elegidasconvenientemente. Esto implica que existe una constante ft)O tal que :llP(t)e'LP'e-'¿P-t(s)ll {ft¿"t(t-s¡ para t> s llU(¿)PrU-'(s)ll paraú(s llu(r)P,u-r(s)ll:llP(t)"'"p,e-'¿P-1(s)ll(h Para verlo basta recordar que P(¿) es continua inversible y de periodo T y, por tanto, llP(r)ll(ar y llP-t(¿)ll
l¡G,€t)- f(t, €')l<el4'- f'l para todo ú€R, (t, tz€R", lftl<6, lgtl(6. Escogemos € tal que t1

1\

he(--!--

\ P- |t t

' -P

):0<.L

/

Sea z: [0, oo)-+ R" una función continua tal que lllzlll:sup {e-t'tlz(t)l:f )0}(6 Obsérveseque lll . lll define una norma en el espaciovectorial de funciones finito en ellas.Este espaciovectocontinuasde [0, m) a Ru tales que |ll . lll ". Banach. rial queda así convertido en un espaciode EscogemosT € Xt,

, , _ 6 (1 -o ) l " l l (- ¿ Obsérveseque P¡4:T, y definimos,para una z tal que lllrlll<0,

Ia función

ó.5. UN TEOREMA SOBRE ESTABILIDADORBITAL

Az:10,m) -+ R" mediante

z(s))ds Az(t): u(t)n+ f' u6¡r'u -'(s)l(s, J0 -

rÉ u(t)P2u-t(ü(s, z(s))ds J,

La función Az es continua y verifica: rt

ll(",z(s))lds+ lAz(t)lE¡utt)rrll+r|o ljU(r)P,U-'(s)ll r@

*

ll(s,z(s))lds( J, llu(t)P,u-1(s)ll rt r€

{he""lr¡l+ | he"Q-relz(s)lds+| ftelz(s)lds( J6 J¡ [' t

rÉ

ihe""l4l+ J| lten(t-s)eetLslllzlllds+ | hr"u'lllzlllds: Jt ¡ tl\

: h e" " l q l +h e l l l zl l l e *',' I le( ¡ ' - m)ll '+I \p .-ml t r ll

+h elllzlll --:e"'l ( r il il¡ | l

p

l

(;+.+) 4e,,,tzf lrl*.lll,lll "' "' \ p- m L ''

- pI J

:eu,5 - 0)+06¡ I Er",¡a{r

Es decir, lllA4ll ( 6. Por otra parte, si 21,z2 son dos funcionestales que

l l l , ' l l l < 4 ,l l l , ' l l l < 4 , se tiene, por un cálculo semejante,

l l l A ' , -A ' , l l
, , - 6 (1 -o ) , l rl <-' h existe una función que denotaremosz(t; 4) solución única de Az:2. Por derivacióndirecta y recordandoque Pr+Pr:¡ resulta que z(r;4) es solución de z'(t) : P z(t)) + "¡91¡))z(t) Í G, y, por tanto (recuérdesecómo surge al comienzo de la demostraciónesta ecuación),aft)+z(t;4) es soluciónde Ia ecuación

r'(r):¡i¡1¿¡

CAP. ó.

204

TEORIA DE ESTABILIOAD. METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

Por otra parte, como

lll"(. ; "l)lll < A, se tiene: lz(t; r)l46e!t para t>0

, La superficie s que tratamos de obtener va a ser precisamenteel conjunto de puntos aQ)+z(0; r¡) cuando varía en X¡, siendo 4 , , _ 6(t-0) lrll<-;Haciendoú:0 en Az(t; q):7(t; n), se tiene: z(o; q):?-

f

-pru-'(s)/(s,z(s; r))ds

Así. P¡z(O; il:¡t.

p2z(0;t¡): -

rrr-,rs)/(s,:(s; 4))ds Io*

En la cadena de desigualdadesque nos ha conducido a lAz(r)fEerro hemos visto que

I lA z (t) 1 4Le'l"", r' nl +l" '."l' |l l r l l l l '

¡t-t| ' t

. - lll -tLIJ

es decir, particularizando para z(t; n) y teniendo en cuenta que

t

i,.ll-+ p- nt

-p

I

l:r.,

I

resulta:

lll " (;. ? ) l l l < r r l , ? l + o; lal l)z( lll. Y, POr tanto: h

llP(;r)lll<¡_¡ l"rl y, asl, h

irlir"' para s)o

lz(s;"l)l(¡iPor otra parte, para o)0

existep)0

lf(s,a)l(alal

Así, si 4 es tat n*

,!_l"ll<É,

tal que si a€R,, lol<É se tiene para todo s)0

enronces

l"(s; "l)l(Ée,.'(É

para s)0

205

ó.5. UN TEOREMA SOBRE ESfASILIDAD ORBITAL

Por tanto,

paras)0

dl<]lFtln^ l/(s,z(s;zr))l(olz1s; Esto conducefinalmenteal hecho de que, $

entonces:

#l"ll<É,

z(s; ?))l: lJ*r,u-'frl/(s, lP,(z(o; "ll)d,I <
r-o

h2

..,,rep,ds wr:o,-rr1-,l?l ltlle'

Es decir, z(0; q):q + aQ)t, siendo a(r|--> 0 para T+0. Consideremosel conjunto de puntos S. :

; rt):rt + aQ1)(: \ € X,, flf
]

y sea S:{y(0)+s*:s* €S*} es decir, S es la traslación de S* por el vector y(0). No es difícil ver (consúltese el ejercicio I de esta sección)que z(t; r) varía continuamenterespecto de 4 en la norma lllr(.; rl)lll. Por tanto, S* es una superficiecontinua.Por otra parte, el hiperplanotangentea S* en 0 es X¡ y, así, f atraviesaS* por 0 sin serle tangente en este punto. Trasladandopor y(0) resulta que S es una superficie continua que pasa por y(0), que tiene por hiperplano tangente en g(0) al hiperplano y(0)+Xt y es tal que la órbita cuya tangente en g(0) es S'Q):€ atraviesala superficieS sin serle tangenteen y(0). Indiquemospor r(r; y(0)+b) para b €R' la solución,si existe, del problema *'(t):F(r(r) tp,.tf '- "' ( r(0): aQ)+ b f T T1 Sabemosque g(f) es soluciónde Po.Por el teorel-7,;). ma de diferenciabilidadde Peano (teorema 4.5.2), existe e¡)0 tal que, si lól(er, (P¿) tiene solución única. Por otra parte, una aplicación del teorema 4.4.2 (sustituyendoen (P¡) la función F por F* € eó(R) tal que F* y F coinciden en un entorno d" y), resulta que dado ez)0 existe 62)0 tal que si lbl(6: se verifica lx(t; y(0)+b)-y(r)l Ee2 en el intervalo

para todo t.l-+, +l

UI\II.\¿ENSIL'AD DN I,A REPTI Fr',,C1-II,T.r: i i')l_'níG llNIi.Ri

206

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD. METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

Esta propiedad de la superficie, iunto con las indicadas en el párrafo anterior,implicaque existe6¡)0 tal que,si lbl(Dr, se verificaque r(r; a(0)+b'l corta a la superficieS, es decir, existe ú* tal que x(t*; g(0)+b) € S Repitiendo el razonamiento basado en el teorema de Peano se deduce que existe p)0 tal que una solución r!(r) de x'(t):p1*1¡¡ que satisface d(ú(to),7)(p para algún te está definida en

,:1,,-1, u.+l y verifica,para algún tt€ L tr<.to+

T --,

Definamos a(t):rlt(t+f¡).

lú(tr)- a(0)l(6,

Entonces 6,¡es solución de r'(r):F(r(r)) ITTf

L to -tr-7 ,

to -tr*z

en

l

y satisface la{0)-g(0)l(63. Así, según el párrafo anterior, resulta que or(ú) está definida para t)-0, y existe ú* y 4* tal que @(t*):A(t*) + z(t* ; ?*) € S Por la unicidad de soluciones. @(t):g(t) + z(t; q*) para t)-0, y, así:

la(t)- s(t)l: lz(t; T*)| < 6e,' Pero
como en el teorema, resulta det U(T): ¿rt'r

Por otra parte, por la fórmula de Jacobi, se obtiene:

/ rr \ detU(T): e*p( tr F,(s(s))ds J, )

ó.5. UN TEOREMA SOBRE ESTABILIDADORBITAL

207

pero

trr Ju{i):

: (div4 @(s)) + ft @@ #@(s)

Así,

tr L:r-tJ' fot'F)(y(s))ds ( o,oa. +) De este modo resulta el criterio siguiente. 6.5.3. Corolario. (Criterio de Poincaré.) Se considera eI sistenn autónonto bidintensional x'(t):F(x(t))

:rt1"r(t),rlt)) I ri(r¡

( xi(t): Fz(xt(t),xz9))

Sea g(t) una solución de periodo T. Se supone que F está definida en un entonxo de la órbita y de g(t) A que F € et en este entonro. Entonces g(t) es orbitaltnente asintóticamenteestable si

rr f aF,

0F,

I

ds(o | |u aXt aÍz '-(y(s))+#{a{s))l 'o 6.5.4.

La ecuación de Liénard.

La ecuación

x"(t)+f(x(t))r'(r)+g(r(¿)):0,r(r) € R, r € R

[.I

aparececon frecuenciaen la teoría de oscilacionesno lineales.Suponemosf continua de R a R y g de Lipschitz en todo intervalo acotado de -R. ecuación de Liénard se puede escribir, llamando F(r): ffrU" nu." J, ,#. x" + (F(x))'+g(r):0 y si ponemos;u'+F(r):y, resulta el sistema {

x': -F(x)+g

I a': - e@)

[**]

Las solucionesde [*] y [**] están unívocamentedeterminadaspor sus valores iniciales. Si una solución ¡(r) de [*] satisface x'(t):r'"(t):0 para un cierto I entonces,si r(|:f, se obtiene g(f):0 y, por tanto, como x(t):t es soluciónque satisfaceestascondiciones, es la única solucióntal que

x'17'¡:x"(¡'¡:g

Cao. ó.

TEORIA OE ESTABILIOAD.METooO DE LA PRIMERA APROXIMACION

Excluimoseste caso poco interesantey supondremosque r' y x" no se anulan simultáneamente. Pongamos E(t):;

I

(2c'(t))' + c(r(r)),

fr

siendoG(r): I g(s)ds.Entonces: Jg E',(t) : ¡',1¡¡r"(ú) + g(r( ú))x',(t) : - Í @(t))(x',(t))'z Mostraremos a continuación que si los ceros de I son ceros aislados, es decir, ningún rs tal que /(¡o):0 es punto de acumulaciónde puntos r tales que f(¡):0; entonces,si r(r) es una solución de [*] y t es tal que E(ú) tiene un extremo local en ú (es decir, un máximo o mínimo relativo), 1c'(t)+0. En efecto,si r'(r¡:9, entoncesx"(t)+O, pues x'y x" no se anulan simultáneamente.Supongamos,por ejemplo, x"(t)10. De ese modo, r'(r) es decrecienteen t y, así, r'(ú))0 en un entorno a la izquierda de 7 y r'(r){0 en un entorno a la derechade f, Por tanto, x(t)<.x(t) para todo t /i en un entorno de 7. Así, si l(r(¿)):0, como los ceros de f son aislados, resulta que f(r(r)) es positiva (o negativa)para todo t + t en un entorno de r. Por tanto, E'(t) : - f (r(t)) (r, (t)), es negativa(o positiva) para todo t I i en un entorno de 7. Pero esto implica que E(r) es estrictamentemonótona en t, y E(t) no puede tener un extremo local en r. De la misma forma se procede si r"(f) ) 0. Así, si E(¿) tiene un extremo local en ú, se verifica x'(t)*O. Sea ahora r(r) una solución periódica de periodo T de [*] a la que corresponde la órbita en R2 determinadapor

/'(r)\ : (*(t) \ \u(t) I \x'(t) + F(x(t))| solución periódica de

l, ,'(t): - F(x(t))+ aG) ( g'(t¡: -s(¡(4) Como hemos demostrado antes, el autovalor no nulo de I

-l [,'ro,'r)ds (mod. +)

es

r***

La función E(f) toma su mínimo sobre 7 para un valor f tal que x'(t)+O así, como

E',(t):0: - f(x(t))(.x'(t))2, f(x(t)):0

y,

ó.5. UN TEOREMA SOBRE ESTABILIDADORBITAL

209

Así, si ponemosG(r(r)): h, como E(t) :

I

;

(r'(r))2 + G(r(t)),

se tiene E(t)>h Para todo f. Se sigue entonces de la identidad

que

t'flrtolo,:l,'

(c(x(?l:!\@@ ot

ya que

I,' #

-h)f :o ¿¡:lto!(E(t)

por ser E(t) de periodo Z' Así, [***] será de parte real negativa si G(f) toma el mismo valor l¿ en todos los 4€R tales que l({):0 y, además, (G(fl - h)f?)>0

cuando f(0 + 0

En particular, se puede establecerel siguiente teorema' Ia ecuctcióttde Liénard 6.5.5. Tcorcnra. Cotzsidercuttos x"(t) + f(x(t))r'(t)+ g(r(t)):0 donde de Lipschitzen a) f es continuade R a Ra ges ftmcióndeRaRa todo üttentalo acotado. y fG)>0 para -(<€t U para (}{2' siendo b) l({)<0 para -(r1t1t' f,{0{ft. c) fS(0>0 Para(10. rE d) St G(0: I g(s)ds,se tiene 61Er¡:G(tz)' J0 Etztotzces toda solución periódice de la ecuación es orbítalnzente asintó' ticamente estable. Un caso particular de la ecuación de Liénard en la que se verifican todas estas hipótesls es la ecuación de Van der Pol, también de importancia en Ia teoría de oscilaciones: x"(t) + nt((x(t))2- l)r'(ü) + r(f) :0,

(rtz)0)

zLO

cap. ó.

TEORTA DE ESTABILIDAD. METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

EJ ERCI CI O S

t.

Sea X un espaciométrico completo. Para cada

"l

e É(o;I) cR"

independiente seaA, una contraccióncon constantede contraccióna(l de 4, es decir, A,:X-+X es tal que para todo 4 y todo pzr Í1¡ x2€X se tiene: d(Arx 1,A rx) {,ad(x 1,x2) Sea gn€X el punto fijo de Ar. Demuéstreseque si 4r+?, ces Aqk+Anl 2.

enton-

Sea r'(r):A(t)x(t)+/(r(¿)) una ecuaciónen la que A(ú) es matriz nxn continua en un continua de R a M(n,R) de periodo ?. Sea f:R"+R" entorno del origen y. tal qy: lff)Ulfl + 0, para lfl* O. Demuéstrese que r(r) :0 es solución establede la ecuación.

3. Sea y:ft-+R'

solución de periodo 7 de la ecuación x' (t) : tr1¡,Y1¡¡¡

donde F(t, €) está definida para t e R y f en un entorno D de la órbita de A(t). Sean F y F* continuas en RxD. Sea rl(r; a) para aeB" la solución, si existe, del problema Í *'Q): F(t' x(t))

( r(0):s(0)+¿

4.

Demuéstreseque la ecuación variacional de x'(t):tr1t,x(t)) respecto de g(r) tiene ú.(¿; 0) como matriz fundamental. Se considerala ecuación xift):x'1(t) { ( xit): -x{t) una de cuyas solucioneses la órbita f r¡(r):5sn ¿ ( r2(r):ss5 ¿ Estúdiesesi: a) tal solución es asintóticamenteestable a la derecha o no; b) tal solución es orbitalmente estable o no; c) es aplicableel teorema 6.5.2 en este caso o no.

nt TEORIADE ESTABILIDAD. EL METODODIRECTODE LYAPUNOV

Las nociones de estabilidad y de estabilidad asintótica que se estudian en este capítulo son las que ya hemos introducido en el anterior. Como se ha visto allí, el problema de la estabilidad de una solución A(t) de una ecuación diferencial

a'G): g(t,a(t)) queda reducido, mediante el cambio

aG):aQ)+ x(t), al problema de Ia estabilidad de Ia solución trivial x(t) :0 de una ecuación diferencial t'(t):Í(t, x(t)), d onde l (ú ,0) : 0. El método directo, o segundo método de Lyapunov, permite resolver este problema sin necesidad de conocer la forma general de la solución del problema

I x'(t):f(t, x{t)) ( r(¿'):fl y de ahí proviene su nombre. Para ello, motivado por consideraciones mecánicas, Lyepu¡¡ov introdujo una cierta función, llamada ahora función de Lyapunov, que por sus relaciones con la función Í(t, €), ecuación de la diferencial que se estudia, proporciona información sobre la estabilidad de la solución trivial. Este hecho puede entenderse fácilmente a partir de consideraciones puramente analíticas y geométricas, y por tal raz6n prescindiremos aquí de las consideraciones mecánicas que motivaron slr descubrimiento por Lv¡prrNov. En este capítulo se exponen en primer lugar, en las secciones 1,2 y 3, algunos teoremas sobre estabilidad, estabilidad asintótica, estabilidad uniforme e inestabilidad, que constituyen los resultados básicos de la teoría. Presentamos aquí como muestra un resultado sobre lo que se denomina problema inuerso en la teoría del método directo, de gran actualidad, sobre todo en la escuela rusa, y que consiste en determinar hasta qué punto la estabilidad, la estabilidad asintótica, etc., son equivalentes a la existencia de una función de Lyapunov adecuada. 2tl

2t2

Cap. 7.

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL METODO DIRECTO DE LYAPUNOV

La construcción de una función de Lyapunov para un problema dado no sigue ningún método universalmente válido y hasta el presente, aparte algunas normas útiles en casos particulares, sólo la experiencia, o una feliz idea, pueden servir de guía en la aplicación del método. Por eso presentamos a continuación en detalle la construcción de la función de Lyapunov para una ecuación lineal con coeficientes constantes, en 7.4, y algún resultado parcial correspondiente a una ecuación lineal con coeficientes variables, en 7.5. Finalmente, en 7.6, se presentan algunas aplicaciones y ejemplos. El interés intenso que existe actualmente por el método directo de Lyapunov se debe sobre todo a sus aplicaciones importantes en la teoría de estabilidad de sistemas de control. Muchos de los textos que se refieren a la estabilidad por el segundo método de Lyapunov suelen exigir que en la ecuación x'(t):f(t, x(t)) la función l(t, O sea tal que la solución del problema x'(t) :f(t, x(t)),

r(ro¡ :¿o,

cuando existe, sea única. Aquí se ha prescindido, en general, de esta restricción y se ha impuesto solamente que f(r, f) sea continua en un cierto dominio. Es de notar que en el tratado de Lyapunov, y en muchos de los textos con especial interés en la aplicación del método directo a los problemas de la teoría de control, la ecuación que se estudia es autónoma, es decir, del tipo x'(t): f(x(t)) l,os resultados que aquí obtenemos son más generales y se particularizan fácilmente para este caso.

7.1. ESTABILIDAD UNIFORME Y ESTABILIDAD Consideramos en general en esta sección una ecuació\ x'(t):f(t,r(r)),

donde

l :[fs ,m )x GC R x R " --> R " (G entorno abierto del origen en R") es una función continua en su dominio de definició\ y f(t,O) = 0 para todo f )/6. Recordamos que la solución x(t¡ :0 se dice que es estable en [ú0,oo) tal que cualquier solución local a la cuando para cada e)0 existe 6)0 derecha del problema

, {;'á3:',[!'*u" con lfli(6,

está definida en [r¡,oo) y verifica lr(r)l(e para todo t)ts.

7 .I.

ESTABILIDADY ESTABILIDADUNIFORME

2t3

Asimismo, la solución trivial x(t): 0 es asitttóticantente estable en [f6, m) tal que cualquier solución cuando es estable en [fo,oc) y además existe 4]0 p a ra rf m. v er if ic a l r(t)l + 0 d e (P) co n lf ll( 4 En el contexto del problema inverso en el método directo de Lyapunov particularmente importante la noción de estabilidad uniforme que definimos es a continuación. Lct solución triuial de x'(t):f(t,x(t)) se dice unifor7.1.1. Definición. memente estable en fts,o) cuando para cada e)0 tal que B(O,e)CG existe E)0 ¿al que si x(t) es solución local a la derecha del problenrc

", { ;;Íl::f!:,.r'D I f t l< 6, s e t ie n e , e ,T to n c e s ,l r(4 1 < e p a ra todo t)tr. La noción de estabilidad uniforme tiene también un claro interés práctico. De un modo vago significa que las perturbaciones pequeñas, no sólo en el instante inicial, sino también en cualquier instante posterior, no tienen mucha importancia. Si la solución trivial es uniformemente estable en [f6,oo) es claro que es estable, pero la implicación contraria es falsa, como se indica en los ejercicios de esta sección. El primer teorema que presentamos proporciona una condición suficiente de estabilidad para la solución trivial.

con t1 >h ,

7.1 .2. Teorema. Consideramos la ecuación r'(t):f(t, una función tal conto se ha indicado anteriornrcnte. Supongamos que existe una función

x(t)), donde f es

V: [ro,oo) x B(0, r) C R x G -+ [0, oo) tal que V(to , t ) - > 0 par a lf l + 0 . una b) VG, A2a(ltl) paro todo t € [fe,oo), lf l10,a) función continua, estrictantente creciente g tal que c(0):0. c) Para toda solución local a la derecha x(t) de x'(t):f(t, x(t)) tal que es función no creciente lr(ro)l(r se uerifica que la furzción V*(r):V(t,x(t)) de t allí donde está defínida. a)

Entonces la solución triuial es estable erl [fo, m). De¡úosrnaclóN. La idea geométrica de la demostración es sencilla para n:2. El razonamiento analítico es el mismo para cualquier dimensión. Resiendo presentemos gráficamente para t fijo, t)-to, los puntos z:V(t,t), t:@,U). Todos estos puntos se mantienen, según la condición b), para cualquier rlf¡ por encima de la superficie de revolución z:a(l{l) (véase la figura siguiente).

274

Cap. 7.

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL METODO DIRECTO DE LYAPUNOV

Dado e)0 tal que B(0,e)CG, sea p:a(e))O. Como V(úo,f)+0 para 1fl+0, segúnla condicióna), existe 6)0 tal que si l4l
0( V(/¡,f){p

Tomamos una solución local a la derecha de úe cualquiera r(f) tal que lr(ro)l(6. Si para algún f¡)fs fuese r(f,))€, entonces v * (t) : V(t t, x(t) ) > a(lx(t1)l ) p) V(to,x(t)) : y * 1¡o¡ y, así, V* no satisfaríac). Por tanto, r(ú)<€ para todo t)ts en el que r(f) está definida. Esto demuestraque r es prolongablea [f¡, oo) y que la solución trivial es estable.I Obsérveseque si V es derivablerespectode ú y (, entoncestambién 1o es V* respectode f para una solución x(t), y se tiene: dv+.. av (t, :c(t))+(grad V(t, x(t\), f(t, r(t)) (t) : ü ; donde

y (.,.) representael producto escalar en R". La función del segundomiembro se suele denominar la derivada total de V respecto de la ecuación x'(t):f(t, x(t))

También la estabilidad uniforme se puede caracterizar de modo semeiante, como se indica en el teorema que sigue.

7.I.

215

ESTABILTDADY ESTABILIDAD UNIFORME

7.1.3. Teorema. Considerantosla ecuación x'(t):f(t,x(r)), una función tal como se ha indicado anteriormente. Supongamosque existe una función

donde f es

V: [fs,oo)x B(0, r) C R x G -+ [0, m) tal que a) Existen dos funcionesa:l},rl+[0, estrictamente crecientes, tales que

: ó(0):0 r¿(0)

s

a)

g b:[0,r]+10,*)

continuas,

a{l€l)< v(f,E)< á(lfl)

para todo tefto,oo), lfl(r. b) Para toda solución local a la derechax(t) de cada t1)-t¡tal que lr(rr)lEr se uerifica que Ia función V*(t):V(t,x(t)) es función no creciente de t a la derecha de t, allí donde está definida. Entonces, la solución triuial de x'(t):¡1t,x(t)) es uniformernenteestable en lto,a). Drrrrosrnac¡óx. La significación geométrica del razonamiento que sigue es clara con una imagen como la del teorema anterior. Sea e)0 dado tal que B(0,e) C B(0, r) C G Tomamosa(e))0, y sea 6)0 tal que lr(Dl<8.

tal que a(e):á(6). Seafr)toy

Si para ú2)ú1 se verificaselr(r)l>e,

x(t) una solución

entonces:

V+(t):V(tz, x(tz))2a(lx(tr)l)>a(e): b(6)) V(t,,x(t'¡¡:V+1¡'¡ y, así, V* no sería no crecientepara r(r). Por tanto, ha de ser lr(t)l(e para todo t7tr. Esto demuestraque la solución r es prolongablea [úr,oo) y que la solución trivial es uniformemente estable. I El teorema siguiente es un ejemplo de los resultadossobre el problema inuerso en la teoría del segundométodo de Lyapunov. Afirma que la condición del teorema precedentesobre la estabilidad uniforme no es sólo suficiente, sino también necesaria. 7.1.4. Teorema. Consideramosla ecuación x'(t):f(t,x(t)), donde f es una función como se ha indicado en Ia introducción de esta sección.La solución trhsial es uniforntemente estable en fto,m) si, g sólo si, existe una función V(t, {) con las propiedades a) U b) del teorema anterior. Dr¡uosrnectóN. En vista del teorema anterior es suficiente probar que si la solución trivial es uniformementeestable, entoncesexiste V(f, f) con las propiedadesa) y b).

2t6

Cap. 7.

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL METOOO DIRECTO 0E LYAPTNOV

Tomamos en primer lugar c)0 tal que B(0,c)CG. Sea 0(s(c. Definimos 6(s) como el supremo de todos los números 6, con 0{6(s tales que si rt2to, lfl<6 y r(r) es una soluciónlocal a la derechade ú¡ tal que r(rt):1', se verifica lr(r)l(s para todo ú)f¡. Segúnla definiciónde estabilidaduniforme se verifica 6(s))0 para todo s € (0, cl. Además, 6(s) es no decreciente.Así, por el lema de variable real que enunciamosy demostramosa continuaciónde esta demostración,se puede elegir 6* : (0, cl -+ (0, c] tal que 6* es continua, estrictamente creciente y tal que 6*(s)( 6(s) para todo s € (0,cl. Además, se tiene 6*(s)(s, y, así,6*(s)->0 para s-+0. Por consiguiente,existe una función b estrictamentecreciente v continua inversa de 6* definida en

(0,a.(")l:(0,rl Si ponemosá(0¡:9, entoncesb es estrictamentecrecientey continuaen [0,r]. Para t)-to y ( €R" tal que lfl(r definimosV(ú,f) como el supremode los valores absolutosde lr(t+o)l al recorrer r todas las solucionestales que x(t¡:g y o todos los valores de [0,oo) en que r está definida. Pongamosa(s):5 para s € [0, r] y veamos que

a(lfl)
p ar at€ [ ú o ,o o ) f, €R", Ifl<". inmediatade la definición. Que V(r,€)>ltl:c(lfl) es consecuencia Para ver que bflf l) >-VG,A procedemos Si fuese de la forma siguiente. b(l€tl)<.v(tb tt) para algún tt€Íto,m) y ft con lftl(r, ría una solución r¡ tal que

r , ( r ,¡:4 t y

según la definición de V(tt,{t), existi-

l r,(r,+o )l >b (lÉ' l)

para algún o)0. Pero, segúnla definiciónde 6, esto quiere decir que

6(b(lftl))< lf'1, Io que es claramenteimposiblesi ft:0. desigualdadimplicaría:

También lo es si t'+0,

pues esta

lf'| : D.(b(lf' l))
v+(ti):v(t¡, Í(t)),

i:2,3

7 .I.

ESTABILIDAOY ESTAEILIDADUNIFORM E

2t7

Queremosdemostrar que y*(f3)< y+(r2) Esto resulta fácilmentede la misma definición de V(t, f). En efecto, todas las soluciones r(r) que intervienen en el cálculo de V(t3,t(rs)) mediante el supremo de x(t.r+cr) indicado en la definición intervienen también en el cálculo de V(t2,x{t)), ya que los puntos (tz,Í(t)) y (ú3,r-(t3)) están sobre Ia trayectoria de la solución r(r) (véaseIa figura siguiente).I t(r)

¿o@ rrrr f2

f3

7.1.5, Lema. Dada una función p: [0, l] + [0, 1] tal que p(0):0, p(r)>O para x €(0,1], A p es no decreciente,eriste otra función q:f0,1]-+[0,1] estrictamentecreciente, continua y tal que q(r)(p(r) para todo r€[0,1]. De¡losrnecrów. La función p tiene a lo sumo un conjunto numerablede saltos y se puede escribir p(r):s(r)+c(r), donde c es una función continua no decrecientey s es la función de saltos. Es decir, si los puntos de discontinuidad de p son {rr} y el salto eD /¡ €s mk: lím p(x)- lím p(x) r I r,.

ta

Entonces:

s(r): I nz¡ y Si c(r))0

c(r):p(r) - s(r)

para r(0), entoncespodemosponer Q@):¿1*7"-',

y esta función satisfacelas condicionesdel enunciado. Supongamosc(r):g para r € [0, r] y c(r)]0 para tc€ (r,ll. Consideramos entoncesIa función de saltos s en [0, r]. Se tiene s(r)]O para r € [0, r]. Definimos la función s* : [0, r] -+ [0, t] del siguientemodo:

s*(r):

s(rl2) si rl2lx{r s(rl4) si rl41x{r12 s(ri8) si rl81x{rl4

La función s* es una función en escalera,menor o igual que s en todo punto de [0,r], y con discontinuidadestan sólo en los puntos rl2, rl4, rl8, ...

218

Cap. 7.

TEORIA 0E ESTAB|L|DAD. EL METODO DIRECTO DE LYAPUNOV

Construimos a continuaciónIa función s: [0, l] -+ [0, 1] indicada en la figura (línea de puntos):

u rLrrl 44 2 La función

q(r):S(r)e-'

satisface las condiciones del enunciado.

EJ ERCI CI O S

l.

Las solucionesde la_ecuació_n x,(t):a(t)x(r), donde a:[0,oo)_>R es continua y r:[0,m)-+R son de la ior.nu x(t):{

I f t

\

a(s)ds) "*p (J,

La solución trivial es asintóticamenteestable si, y sólo si, ft

Joa(s)dt-)

-oo

para r-+oo

La solución triviat es uniformementeestable si, y sólo si, ft

J"o{t)ot está acotada superiormentepara todo fr)0

y tltt.

si tomamos:

a(f):ss¡ log t+cos log ú-a siendo 1(a(y'Z

entonces: f' Jo

o6¡as: tsenlog r - at

no hay estabilidad uniforme. I hay estabilidad asintótica. sin embargo, Demuéstrese.(Es!e eiercicio demuestra-que la eJtabniáad asintótü-no implica estabilidad uniforme.) 2.

Estúdiesela estabilidad de la solución trivial del sistema autónomo Í *'(t):a(x(t))3 + ba(t) L g'(t): -ct(t)+d(uGD3

7.I.

ESTABILIDAD Y ESTABILIDAD UNIFORME

2L9

(Se puede seguir eI método de separación de uariables [BmresnIr] intentando obtener una función de Lyapunov V((t,f) de la forma V(€t, €r): V'(€ r')+ Vz(h) e imponiendo ademásque la función V* sea del mismo tipo.) 3.

Estúdiesela estabilidad de la solución trivial del sistema: -x(t)(s(t))a í *'(t): ( g'(t¡:1x*1t))4a(t)

4.

Sea U: R2+ R una función con derivadasprimeras continuas tal que en el punto (0, 0) tiene un máximo relativo estricto, es decir, existe un entorno G de (0,0) tal que, si f €G-{0}, entonces:

u(€r f,) - u(0,0)<0 Se considerael sistema

Estúdiesela estabilidadde la solución trivial. (Considéresela función

v(€,,(r): u(0,0)- u(€t,€).) 5.

Se considerael sistema: xiQ): su1¡¡,t(t)+ an(t)xz(t) x ift) : auÍ)x t(t) + a22(t)x 2G) donde todas las funciones a¡dt) son continuas de R a R y satisfacen e¡¡: -Q¡i si i+i

y

ar(r)(0

para todo t e R. Estúdiesela estabilidadde la solución trivial. (ConsidéreseV(t" tr) : €1+ t1.)

220

Cap. 7.

TEORIA DE ESTABIL|DAD. EL METODO DTRECTO DE Ly PUNOV

7.2. INESTABILIDAD El método directo de Lyapunov permite también dar condiciones que implican la inestabilidadde la solución trivial. Como en la sección anterior. consideramosuna ecuaciónx'(t):f(t,t(f)), donde l :[ús,m)xGCRxR'+R" (G entorno abierto del origen en R,) es una función continua y l(ú,0):0 para todo t¿to. La solución trivial x(t) : 0 es inestable en [ro,oo) cuand.ono es estable en [ú6,oo). El teorema siguiente procede esencialmentede cHerercv [1956], aunque las condicionesson aquí algo más débiles. 7.2.I. Teorema. Sea r'(t):¡G,x(t)), gamos que existe una función continua

co,no se ütdica arriba, A supon-

V: [ro,oo)x B(0,r) C R x G-> (-oo, oo) tal que se uerifica: a) lv(t,$l<á(lfl) para t>to y lfl<¿ siendo b:10,r'l+[0,oo) estrictamente creciente,continua g tal que b(0):0. b) Para ca.da6)0 Ef t1)-ts existe 6*, lf*i<6, fa¿ que V(t1,8*)<0. c) Si r(¿) es una solución tal que r(ú,)-6t con tt2to A lttl
V(t'+ h, x(tr+ h)) - V(t1,x(tr))

n9 o

< -c(lf'l)

siendo c:[0,r]-+[0,oo) continua, no decrecientey tal que c(O):Q. Entonces la solución trioial es inestable en fto,oo). DnmosrnecróN. Supondremosque la solución trivial es estable en [ús,oa) y trataremos de llegar a una contradicción con Ia hipótesis. Si la solución trivial es estable en [f¡, oo), entonces,para cada e]0, O(e{r, existe 6}0 tal que si l"lol(6 y r(r) es una solucióntal que r(ts):no, entonceslr(r)l(e para todo f )fo. Segúnb) podemosescogerfl, lel(6 tal que V(úo,f)<0.Si r(r) es solución tal que r(r):60, entonceslr(r)l(e para todo r)ú¡. Por a) se tiene, entonces,

( ó(e) lv(r,r(r))l< b(lr(r)l) para todo tlts. En lo que sigue suponemoselegida esta solución r(r) con f(rd:fl. La condición c) implica que V(t, x(t)) es no creciente en [ú0,m). (No es difícil demostrarlodirectamente,pero se puede acudir al corolario 4.6.4.)Así, para todo f )úo se tiene: V(t, x(t)) ( V(ú0,e)<0

7.2.

Y, Por tanto:

INESTABILIDAD

fl)l lv(r,r(r))l>lv(to,

Por consiguiente:

b(lx(t)l))lY(h,fll

Y , aSí:

lx(t)l)ba(lv(f,,fl)l) para todo r)ú6 donde b-r representala función inversa de á. La condición c) implica también que, si llamamos z(t) : y1¿r(t)) - v(to,I + [' clxQt)l)du u t,

se verifica lím sup ntro

z(t + h) - z(t) n

para todo r ) ro

*o

y, por tanto, por el corolario4.6.4,se tiene z(f)(z(úJ:0,

es decir:

V(t,x(t))(V(ú0,fl)- f' cQxQ)ldtt ul¡

Como lr(r)l>b-t(lv(¿'fl)l), se sigueque c(lx(t)l)2 c(b-'(|v{ro,1o¡¡¡ Y, aSí:

y(f, f(ú))< v(to, {)-(t

- t)c(b-t(v(r"

fl)l))

de este modo, V(t, r(t)) -> - oa

para ú -+ oo,

lo cual contradice la relación hallada anteriormente:

lv(r,r(r))l(b(e) Esto demuestrael teorema. I Como caso particular del teoremade Chetaievse obtiene el Ilamado primer teorema de Lyapunov sobre inestabilidad.Aquí presentamosa continuación el llamado segundo teorema de Lyapunov sobre inestabilidad. 7.2.2. Teorema. Sea x'(t):f(t,x(t)), existe una función

conlo antes, A supongamos que

Y: [fo,oa)x B(0,r) -> ( - oo, + m) acotada, con deriuadas primeras continuas g tol que

Cap. 7. TEORIADE ESTABILIDAD. EL METODODIRECTODE LYAPUNOV

222

a) Si r(t) es una solución tal que [r(r)l(r v+ (t) : v (t, r(t)), entonces:

o'=1. (r): dt"

^,

para todo t2to, U se define

*(t)+ w (t,x(t))

con A>0, donde W:fto, m) x B(0, r) + [0, m) es una función continua no negatwa. b) Pora todo E>0, 0<5{r, existe (0 con lfll<6 tal que ly(r0,60)l>0 g, si W no es idénticantente nula, se puede elegir '{ tal que y(io, fl)>d. Entonces Ia solución triuial es inestable. De¡'rosrn¡,clóN. supondremosque la solución trivial es estable y llegaremos a una contradicción.Si hay estabilidad,para e)0, con e(r, existe 6)0 tal que una soluciónr(r) tal que lr(rr)l<6 verifica lr(¿)l<. para todo tlts. Tomamos,de acuerdo con b), fl, lfll-<6, tal que lV(ú¡,fl)l>O y, si Vil no es idénticamentenula, y(r', fl)>O. Consideramosuna solución r(r) tal que r(to): ¿o Segúnlas condicionesdel teorema,V(t,x(t)) es acotada.Por otra parte,por a). podemosescribir:

oYl dt

ol:ry*(r)+w(t,x(t))

y, por tanto, por la fórmula de Lagrange, V(t, xlt¡¡: V* (t) : ¿x,y7ro,r(r)) + e^, I

e-r,W(s,r(s))ds

uto

que es no acotada para t f m. Esto demuestrael teorema. I Obsérveseque en el teorema se puede imponer en a) la condición W(0 en lugar de ser w>0, e imponer en b), si I4l no es idénticamentenula.

v(fo,e)<0.

EJ ER C IC IO S l.

Se considera el sistema: {

x'(t):a(x(t))3 + ba(t)

( a'G): -cx(t)+d(aGD3

estudiado en el eiercicio 2 de la sección anterior. Demuéstreseque si bc10, ad0, entoncesla solución trivial es inestable. 2.

Se considerael sistema: x,(t¡ : - (r(¿))s+ (y(¿))3 { ( y' (t) : (r(t))3+ (y(r))' Estúdiesela estabilidadde la solución trivial. (Utilícese V({¡ &\ : €rn- €ra.)

7.3.

7.3.

ESTABILIDAD ASINTOTICA

223

ESTABILIDADASINTOTICA

El método directo de Lyapunov permite también estudiar la estabilidad asintóticade la solucióntrivial. Como en Ia secciónanterior, consideramosuna función continua /: [rs,oo)x G C R x R,' -->R,, donde G es un entorno abierto del origen, y se tiene f(t,0):0 para todo t>to. Estudiamosla estabilidadasintóticade la solución trivial r(r¡:9 ¿" la ecuación x'(t):f(t,r(r)). Recordamosque se dice que Ia solución trivial es asintóticanxenteestable en [ú6,oo) cuando es estable, y, además, existe 6)0 tal que si r(r) es una soluciónque verifica l¡(¿o)l<6,entoncesr(ú) está definida para t> ús y verifica lr(t)l + 0 para f f oo. 7.3.1. Teorema. Considerantosla ecuaciónr'(t):f(t,x(t)) arriba. Supongamosque existe una función

que se indica

Y: [to,oo) x B(0, r) C R x G -> R tal que a) V(to,€)+0 para lfl-+0. b) V(t,€)>a(l|l) para todo t2r, lfl(r siendo a:f},r'l-+[0,m) una función continua, estrictamentecrecienteg tal que a(0):0. c) Para toda solución local x(t) a la derecha de ts tal que lr(r)l{r se oerifica:

t r T f ,rryo<

-c(y(r, r(4))

para todo t donde este límite está definido, siendo c: [0, r] + [0, oo) una función continua, no decreciente A tal que c(0):0. Entonces la solución triuial es asintóticamente estable. Dr¡rlosrnectóN. La condición c) implica, por el corolario 4.6.4, que V(t, xft)) es no creciente en ú tal como exige el teorema 7.I.2 sobre estabilidad. Así. la solución trivial es estable. Por tanto, existe E)0 tal que si r(r) es una para t)-t6. En efecto, la condición c) solución con lr(tr)l(6 se tiene lr(r)l(r se puede escribir:

rimsup I

V(t + h, x(t + h)) - V(t, x(t))

*|!,'.*
Esto demuestra, en primer lugar, que V(t,r(t)) del corolario 4,6.4, y, así,

límV(t, x(t)):Yo2g ,fo

[*l

es no creciente, en virtud

Cap. 7.

224

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL METOOO DIRECTO DE LYAPUNOV

Su¡rongamosprimero Vo)0. ciente, se tiene:

Entonces c(Vs))O, /, siendo c no decre-

c(V(t,x(t)))>c(V)>0

para todo

t2to

vttt

I

La expresión[*] implica: v(t + h, x(t + h))-vrt lím su- |

* " 1 f f+ c(v')l


y, así, por el corolario 4.6.4, resulta: v(t, x(t))-v(to, r(fo) < - c(v)(t - to) Así, para tt oo,

V(t, x(t))-> - ñ lo que contradiceb). Por tanto, Vo:lím Y(r,r(t)):0

para ¿i m

Esto implica, segúnb), que cr(lr(r)l)+0

para

¿tm

y, de ese modo, r(r) + 0 para f I oo, lo que demuestrala estabilídadasintótica. I Un teorema importante sobre estabilidadasintótica es el siguiente,debido y Knesovsxt U952} La última parte es un comesencialmentea BARBASHIN plemento debido a LeSerlr [96U. 7.3.2. Tcore¡¡ra. Cottsiderantosla ecuaciónautónoma r'(r) :l(¡(r)), r: R + R", que eúste donde /:R"-> R" es de clase et(R") g tal que f(0):0. Suponganzos una función V;R"->[0,oo), yeer(Rn) tal que a) V(f)>0 si t+ 0, Y(0):0. para lfl+m. b) V(0+6 c) St r(t) es utTasolucióncualquieradistinta de la triuial, ll V+(t):V(r(ú)), erltonces

ov*(r)-o -'

dt para todo t. Entonces, Ia solución triuial es globalmente asintóticemente estable, es decir, si ¡(t) es cualquier solución, x(t)->O para /-+oo. Si en lugar de c) se oerifica la condición

c,)

o'rl dt

tt¡: (\ +(¡(D),
7.3,

225

ESTABILIDAD ASINTOTICA

A el coniunto

* : { ( t-€ R " :( ! I - ( 0 , f ( a ) : o } \af / ) es tal que para ninguna solución r(t\ distinta de la triuial se oerifica {x(t):t)to! CM para ningún to, entonces la cotzclusiónes también oálida. Dn¡vrosrnectót¡.Seafl € R" arbitrario.Searlr) una solucióntal que r(0):f0. Dado que

d v* ..

;¡ {r)
se tiene:

V*(t): Y(r(r)) ( V+(0): Y(¡(0)): Y(fl) para t)0.

Puesto que por b) se verifica que ¡:{(€R,,:

V(f)
es cerrado y acotado, existe algún punto 4 € B que es punto a de {, es decir, es tal que para cualquier entorno suyo U(4) y cualquier T)0 existe t/T tal que r(ü) € U. Por el lema que presentamosa continuación,el conjunto O de todos los puntos
EntoncesII:{0},

lím inf x(t):0

para

y, así,

t + oo.

Como de las condicionesdadasy del teorema7.1.2se deducela estabilidad de la solucióntrivial, la condiciónlíminfr(r):g conducea límr(r):0 para t-)ñ. Supongamosahora V(r¡))0. Sobre11 se encuentrael coniunto O de puntos o¡ de f que tiene la propiedadanteriormenteindicada. Si z(t) es solución tal que z(r¡)€ O para algún re, entonceszG) e O para todo t2to. Si consideramos V(z(r)) para t) f¡¡,se tiene: lav

\

:o \iÉ t"tt¡t'f@{t)) ) y, así, z(t) para t>to se encuentra sobre el coniunto M y, por tanto, las condicionesc) o c') implican z(t):O. De este modo resulta,como antes,límr(r):O para t +oa. I

Cap. 7.

7.3.3.

Lema.

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL METODO DIRECTO DE LYAPUNOV

Consideranzos la ecuación outónoma x'(t) :f(x(t)),

I : R -> R',,

donde f:R"-+R,,es de clase C,(R,). Sea {€R" A x(t) solución tal que x(t):t para algún ty Decintos que un punto n €R', es punto @ de ( cuando para todo entorno UQ) de q g todo Tltl existe t)-T tal que x(t)€U(ri. Con esta tenninología el coniunto {l de puntos a de ( es cerrado g satisface la propiedad siguiente: Si q es pwlto @ de t a z(t) es solución tal que z(t¡:'n para algún to, entonces todos los puntos z(t) para t>to sorx ptuttos a de( . D¡¡r,rosrnnclóN. Que 0 es cerrado se deduce fácilmente de la misma definición. Para demostrar la otra propiedad indicada, sean ? € O y z(r) solución tal que z(ti:n. Fiiemos z(tr) con ttlto. Sea G un entorno cualquiera de z(ú). Sea U(4) entorno de 4 tal que toda solución y(r) con AG¡ e U(4) satisface y(t) € G. La existencia de UkD queda garantizada por la continuidad de la solución respecto de las condiciones iniciales. Sea ahora dado cualquier T2to. Sabemos que existe t*>T tal que r(f*) € U(4). Consideramos la función u(t):¡¡'¡ -+-f*- ¿o) Por ser la ecuación autónoma, resulta que tt(r) es solución y satisface tt(t):¡1¡*¡

€ U(n)

Por tanto, tt(tt):Y1 ¡,+ t* -h )e G, Io que demuestra que z(f¡) es punto or de f. I

EJERC¡CIO5 l.

Se considerael sistemaautónomoestudiadoen el ejercicio 2 de la sección primera: f x'(t):41¡1t))3+ bg(t) ( g'(t¡: - cx(t)+ d(aGD3 Demuéstreseque si b)0, tóticamenteestable.

2.

c)0,

a10, d10, Ia solucióntrivial es asin-

Estúdiesela estabilidad de la solución trivial del sistema x'(t): -Zx(t)(a(t))a {(t):(x(t))aaÍ) (Compáresecon el ejercicio 3 de la sección primera.)

7.4.

3.

LA FUNCTONDE LYAPUNOV PARA ECUACIONESLINEALES CON COEFICIENTESCONSTANTES

227

Se considerael sistema I x'(t):f(x(t))+ba(t) ( u'G): g(x(t))+ daft) son funcionesde €r(R) y tales que f(0):6, donde f:R->R, g:R+R la Se forma función: C(0):0.

v(€r,t):@tr- bt), +zlt' {af{r)-óe(s))ds para{r}-i.Si

fi
se sustituye tuoirra"gr"t po, r0 - | [df(s)-bg(s)]ds J€,

Dénse condicionessobre b, d, f, g que permitan aplicar el teorema de Barbashiny Krasovski a fin de que la solución trivial sea globalmente asintóticamenteestable. \-r, 7.4,

LA FUNCION DE LYAbUNOV

PARA ECUACIONES LINEALES

I

coNsTANrEs coN coEFrcrENTEs / la ecuacíóng'(t¡:¡¡(¿), donde r:R-> R" y A es una maConsideramos triz nxn con elementosFales. El estudio de la estabilidadde la solución trivial se puede llevar a cabo por el método directo de Lyapunov de la siguiente forma. Construiremos una función

v(0:(€, B€) para f €R'y B una matriz real simétrica nxn atin desconocida, tal que si r(r) es una solucióndex'(t):/v(ú) se verifique,si V*(ú):V(x(t)):(r(ú), Bx(t))l

d v*.i:___ (r): _ (x(t), Cx(t)) dt donde C es una matriz real dada definida positiva. Que esto es posible baio ciertas condicionesse demuestradel siguiente modo. Como ha de ser *, v *. - : d (r) - (x(t), czc(t)):(Alc(t), Bx(t))+(r(r), BAx(t)) dt basta demostrar que dada C existe B tal que A+B+BApresentala traspuestade A, Para ello consideramosel operador lineal F: M(n, R) + M(n, R)

-C, donde A* re-

CAP. 7.

228

TEORTA DE ESTABILIDAD. EL A{ETODO DIRECTO DE LYAPUNOV

(donde M(1,R) representael espacio vectorial de dimensión nxt2 de las matrices /¿x n de elementos reales) definido por Pa ra c a d a

F ( B ) : ¡ *3¡6 ¡

B€ M(n' R )

A fin de demostrar que A+B +BA: -C tiene solución, cualquiera que sea que la matriz c bastará demostrar que el operador F es inversible, es decir, que tal y B+0 sea ningún autovalor de F es nulo. Sea p un autovalor de F

F(B): pB, es decir,

A'B + BA: ttB, o, lo que es lo mismo, (A * -¡tl )B :-BA El lema general que sigue demuestra que At -ttl un autovalor común. 7. 4 .1 . L er na. S ean B , P , Q€ M(n ,R ) tonces P a Q tienen un autoDctlor contún.

y -A

ta l e s q u e B * 0

tienen que tener

U P B :B Q'

E n-

y DsuosrReclóN. Si no es así, los polinomios característicos p(I) de P y b(f) q(I) de Q son primos entre sí Y, Por tanto, existen dos polinomios n()')

tales que

r¿(I)p(I)+ b(I)q(I): I

Sea ft(I):r¿(f)P(I). Se tiene 1-h(I):b(I)q(I) Entonces,por el teoremade cayley-Hamilton(5.2.3),resultah@¡:9, h(Q):I. Como se verifica IúP)B:Bh(Q),

resultaB:0, lo que es contradictoriocon la hipótesis.I El lema nos asegura,por tanto, que A* -pI y -A tienen que tener un autovalor común. El teorema siguiente garantizamediante ciertas condiciones que todo autovalor de F es distinto de 0 y, entonces,F es inversible.

7.4.2. Teorema. Sea A€ M1t,R) g sea o(A):{trq, "',tro} su espectro' es decir, el coniunto de susautoualores.Supongamosque para dos autoualores ctnlesquiera )t¡, )t¡, no necesariamentedistitztos,se uerifica tr¡+ tr¡ * 0. Entonces' la ecuaciónen Be M(n,R) A*B+ BA: -C donde C es una nntriz dada de M(n,R), tiene solución única. Si C:C*, etxtoncesB:B*. Además,si C:C* es definida positiua (esto es, (Cx,r))O

LA FUNCION DE LYAPUNOV PARA ECUACIONES LINEALES Co¡\t COEFTCTENTESCONSTA¡,|TES

229

para todo r+0) A los autooqloresde A tienen todos parte real negatiua,entonces B:B* es también delinida positiua. Drruosrn¡clón. Para cualquier autovalor ¡r del operadorF definido antes se verifica que A* -pl y -A tienen algún autovalor común, según hemos visto. Los autovaloresde A*-¡.t/ son.\,¡-¡r para tr¡€o(A), y los de -A son - ),¡ para Ir € o(A). Así, Ias condiciones del teorema garantizan que p no es nulo, y, por tanto, F es inversible. Si C:C* entoncesB* es tambiénsoluciónde B*A+A*B:-C*:-C y, por la unicidad de solución, resulta B:B+. Una demostraciónalgebraicade la última parte del teorema,independiente de la teoría de la estabilidad,puede verse en W. HeHN p9561. Una demostración analítica, basada en un resultado sobre estabilidad que ya conocemos,puede darse del siguiente modo. Supongamosque C es definida positiva, A tiene todos sus autovalorescon parte real negativa,y B no es definida positiva.Entonces,dado cualquier6)0, existef tal que lfll<6 y se tiene

ri(fl):(Bfl,fg
-(cx(t),r(t))

;(q:

y el teorema 7.2.1, demuestra que la solución trivial de x'(t):¡¡(t) es inestable, lo que contradice el resultado que conocemos del capítulo 6, que afirma que en este caso hay estabilidad asintótica. I De las consideraciones anteriores resulta fácilmente el siguiente teorema. 7.4.3,

Teorenra.

Consideramos Ia ecuación x'(t):

¿¡1¡¡

siendo Ae M(n,R) tal que todos sus autoualores tienen parte real negatiua. Entonces la solución triuial es asintóticamente estable. Dr¡uosrneclóN.

Basta-aplicar el teorema anterior, construyendo

v(€):(ry, a tal que, por ejemplo,

dv" (r\: dt

-(x(t),r(ú)),

DE LA REPT UNII¿.CNSIDAD ) f)ii ii']ai1li'lil FACilL,Tir

DEIIL 1l'l' i'T!lN'l'()T.rE ^ nocuMSNTr\crrr.jN y ljrsi,i( _ lrn LrcLr X.I()N.¡lt\;It)t¡;O

y aplicar luego el teorema 7.3.1. I Los otros resultadossobrela estabilidadde la solucióntrivial de r'(r) : Ax(t), A constante,que conocemosdel capítulo 6, pueden también obtenersea través del método directo de Lyapunov, pero se llega a ellos de una forma algo más artificiosa que allí.

2t0

Cap. 7.

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL METODO DIRECTO DE LYAPUNOV

EJ ERC¡ CI O S

l.

Demuéstreseque si A e M(n, R) es simétrica y definida negativa,entonces, dada C € M(n, R), existe una única B € M(n, R) tal que AB+BA: -C

2.

Se da la matriz

^:(is :).'"*'

en la que

abc)O,

L+c-ab-abc)O,

8+4c-2ab-abc10 Hállese,si se puede,B, tal que

A +B +B A : -I 3.

Dada la ecuación

*'(r):ax(t)+bAG) f L s'(t):¿Y1¡)+ da(t) obténgaseexplícitamenteuna función de Lyapunov siguiendola idea del teorema 7.4.3.

7,5. ESTABILIDAD PARAECUAC¡ONES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES El estudio -por el método directotrivial de r'(r) : A(t)x(t), donde r : [ r o ,o o )-> R ' ,,

de la estabilidad de la solución

A :l to ,m)->

M(n,R )

con A continua, requiere herramientas más complicadas, tales como la teoría de los números característicos de Lyapunov. Sin embargo, mediante los resultados de la sección anterior se puede lograr algún teorema particular interesante. El que presentamos a continuación procede en sus líneas esenciales

de A. A. LBsrorv U9571, que A(ú) tiene derivadacontinuaen [ús,m) y que todos sus Supongamos

autovalorespara t €[f6,oo) tienen parte real negativa.Entonces,por el teorema 7.4.2,si nos fijamos una matriz C e M@, R) simétrica constantedefinida positiva y un t € [f¡, oo), resulta que existe B(t) matriz simétrica definida positiva tal que A* (t)B(t)+ B(t)A(t): - C

7.5.

ESTABTLTOAD PARA ECUACTONESLTNEALES CON COEFTCTENTES VARTABLES

231

Por la condición de derivabilidad de A(t) la función B: [fo, m) -->M(n, R) tiene también derivada continua. Sea r!;[to,oo)->R

una función positiva con derivada continua. Definimos V: [ú¡,oo) x Rn + R

mediante V(t, 0 : {t(t)(B(t)g, A. Si e s q u e r ( f ) s at is fa c e x ' (t):A(t)r(t)

y V * (t):V(t,x(t))

se ti ene:

ouri : q'G)GG)x(t), r(t)) a¡ clt siendo

G(t): -c+B'(t)*

o'YÚ

G)B(t)

dt

Tratamcjs de establecer condiciones suficientes para que V(f, f) sea una función que nos permita aplicar el teorema 7.1.2 sobre estabilidad. Para que V*(ú) sea no creciente basta que d v r -.

* {rl
para todo t € lto, m). Ahora bien, si ¡.r,*(ú)es la raíz mínima del polinomio en ¡r. (obsérvese que todas las raíces son reales), det ( - C + B'(t) + p.B(r¡ :g y se ti e n e : dlos.út dt

(t)
entonces esta condición queda satisfecha. En efecto, veamos que, para todo /z-<¡r.*(ú),la matriz

-c+B'(t)+hB(t) tiene todos sus autovaloresno positivos. Para ello suponemosque -C+B'(t)+hB(t) otro tr2)0 y consideramosla matriz l-C+B'(t) r | \ r

tiene un autovalor tr1{0 y

\ +B(t) I "/

para r negativo con lrl muy grande. Esta matriz tiene todos sus autovalores de signo contrario a los de -C+B'(t) +nG) r

2t2

Cap. 7.

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL METODO D¡RECTO DE LYAPUNOV

que los tiene todos positivospara |rl grande,puesB(t) es definidapositiva. Por continuidad,resultaríaentoncesque existeft1(¡r*(f) tal que -c+B'(t)+hfi(t) tiene un autovalor nulo. es decir: det ( - c + B'(t) + hp(t)) :0 lo que contradice la definición de ¡r*(ú). Por tanto, si dlos.ilt --f(t)(¡¿*(¿), se tiene que r/(r)G(l) es semidefinida negativa, y así,

d v*,. * {Oa(lfj) pa.u todo ú€ [to,f) siendo a: [0, oo)-+ [0, m) como se indica allí, una condición suficientees que se puedaIograr v(t, €):({'(t)B(t){, t\>6(9,0

con 6>0

como (r/r(r)B(t)É,€)>r!(t)p(t)(g,f),siendo p(t) el autovalor mínimo de B(ú), es suficienteque exista6)0 tal que {,(ú)B(t)>6>0 para todo ú€[fs,m). Así, se puede enunciar el siguienteteorema. 7.5.1. Tcorerna. Considerantosla ecuación x'(t):A(t>c(t), donde A(t) es una función ntatricial con deriuada continua en ft¡, x) g tal que para cada t fiio de [ú0,m) la matriz A(t) tiene sus autoualores cotx parte real negatiua. Fiiemos C€M(n,R) una matriz sinzétrica definida positiua cuulquiera (por eiemplo, C:I) y sea B(t) la ntatriz solución tinica (que es definida positiua g sintétricapor el teorenla7.4.2)de la ecuación A* (t)B(t)+ B(t)A(t): - C Sea B(t) eI autoualot'ntínimo de B(t) ll lt*(t) la raíz ntíninru del polinomio enp det (B'(¿)-C - p"B(t)):0 Supongantosque etiste 6)0

tal que / f t

\

B(ú)exp (J,-r,.(')d'l>u=o para todo t)ts.

Etttonces, la soh¿ción triuial de x'(t):A(t)x(t)

es estable.

7.ó.

7.6.

EL PROBLEMA DE AIZERMAN. EL PROBLEMA DE LURIE

23J

EL PROBLEMADE AIZERMAN.EL PROBLEMADE LURIE

La importanciay el interés de los problemasque siguenresultan más claros a la luz de su motivación en la teoría de control. Aquí estudiaremos,a título de muestra, algunos casos sencillos de los problemas matemáticos abstractos mediante el método directo de Lyapunov. Tanto el problema de Aizerman como el de Lurie han ocasionadorecientementeuna gran cantidad de trabajos, especialmentepor autores rusos, y aún están por resolver muchos aspectos de dichos problemas. 7.6.1. El problerna de Aizennan. coeficientesconstantes,e, b, c, d € R.

Consideramosla ecuaciónlineal de

pt Í x'(t): ax(t)+ bUG) t'-' ( U'(t):cx(t)+da1) La estabilidad de la solución trivial viene perfectamentedeterminada a través del criterio de Routh-Hurwitz.Si a+d10 y ad-bc)0, entonceshay estabilidad asintótica global. La condición anterior se puede interpretar de la siguiente forma. Supongamosfijos b, c,4 siendod*0 y bcldl-d. Consideramos el término lineal ax(t). La condición dice que se ha de verificar bcldlal-d es decir, que la gráfica de la recta T:ctt del plano (f'?) se encuentreen la región angular entre bc

y

,d

n : -d E

Suponganos ahora que reemplazamosel término lineal ax(t) de (P) por una función continuatal que f(0):0, de otro l(r(r)) no lineal,siendo/:R+R modo que bc

d

fG)

paru€*0,

--f<,-d

es decir, que la gráfica d" tl:l(f) región angular que antes.

en el plano (4,T) transcurra en la misma

¿Tendrála solución trivial de

rp*\ f r'(t):t@QD+baQ) '' ' ( Y'ft):cx(t)+da(t)

el mismo tipo de estabilidadque antes?

a¿z ,a

ZfO,7,4 .2FF57;22/2/2,¿¿ fl

2¿/@.2/,?aaze2f

¿/i2-:,t-.

La misma consideración puede hacerse respecto del término bg(t), obteniéndose la ecuación : q¡1¡¡+ g(A(t)) ( o*\ f x'(t)

'- ' ( a'G):üc(t)+da(t)

Este es el contenido del problema de Airzeman en dimensión 2. Este problema ha sido resuelto por completo por EnucrN, M¡rrrN y Knasovsxr principalmente.Sin embargo,muchos de los problemassemejantespara dimensión 3 están aún sin dilucidar. A continuaciónpresentamosun resultado sencillo sobre el problema (P*). 7.6.2. Teorerna. Consideramosla ecuación rp*., \- / f(

x(t) :l(x(t\) + ba(t) U'G):cx(t)+dg(t)

donde f :R-+ R es continua g tal que

f(o):O, Supongamosb+0.

ry+d
dry-bc)o ¿

Para{t'g

Entonces la solución triuial es estable.

Dr¡vrosrnacróN.Consideramosla función si €t20

V(tr,€): (f(s)d- bcs)ds + I @t, - b(')' si 4r{0

¿v+

?clt ft>:(f(x)d - bcx)x'+ (dr - by)(dx'- bU):(f(x) + dx)(df(x)- bcx\ Es fácil ver que V satisfacelas condicionesdel teorema 7,1.2. La condición a) es clara. Para b) consideramosla función a(r):¡¡in {v(t" €r):€1+€1:,'}

para r20

Puesto que á f 0, se tiene a(r))0 para r)0. Además, a(r) es continua y estrictamentecreciente.Que c) se satisfacees claro, ya que

d v* (t)
7.ó.

EL PROBLEMA DE AIZERMAN, EL PROBLEMA DE LURIE

2J5

el teorema 7.4.3 para sistemas lineales con coeficientes constantes, en seguida surge la idea de introducir la función V para el sistema (P*). 7.6.3. El problema de Lurie. El problema de Lurie en su forma más sencilla puede proponerse del siguiente modo. Se considera Ia ecuación

( | \ I x'(t): ax(t)+ bu(t)+ hl3) '"' ( g'7t¡: cx(t)+ dA(t)+ hl6) siendos:mfi(t)+nzüft); a, b, c, d, h', h2,trtt,rrtzconstantesreales,y f:R+R una función de €1(R) tal que /(0):0 y s/(s))Q pan st'|. Se trata de determinar ccndiciones sobre n\ y ntz (una vez fijadas a, b, c, d, hr, h2) para que la solución trivial sea absolutamenteestable, es decir, para que, para cualquier función l:R+R continua tal que f(0):0, s/(s))O para s+0, y para cualquier solución llfll) de (¿) se tenga x(t)-->o, a4)->o \a\t) / para t+ oo. Una forma más generaldel problema de Lurie es la siguiente.Se considera el sistema x'(t) : Ax(t) -bl(s(¿)) rr *\ f '- ' ( s,(r): (c,Ar(t))- pf(s(t)) donde r:R->R" s:R->R, s€Ct(R) l: R -+ R, f(0):0, sl(s))O, f e et(R) A€M(n,R), b€R", ce R", p€ R son constantes. Se define una función de Lyapunov adecuadapara la aplicacióndel teorema de Barbashiny Krasovski (teorema7.3.2) poniendo: V(€,o):(B(, O +F(a) donde

si a)-o Jo'fur)ou

F(c ):

-

si o{o f Xulou

y B será elegida convenientementeen seguida. ") \ es soluciónde (Z*) y V*(t):V(x(t),s(ú)), se tiene: ^. lI r(t) Si 1I \ s(f)/

o'rl. dt


donde :

- C:A *B +B A ,

d:B b-J^ ¿ * " 2

Cap. 7.

TEORIA DE ESTABILIDAD. EL MEÍODO DIRECTO DE LYAPUNOV

Si C es una matriz simétrica definida positiva fija y A tiene todos sus autovalores con parte real negativa, sabemosque existe B simétrica definida (teorema 7.4.2). Las condiciones del positiva que satisface -C:A*B+BA teorema que sigue garantizan simplemente que el teorema 7.3.2, debido a B¡nsesHrN y Knesovsru, es aplicable. 7.6.4. Teorema. Supongamoscon la notación anterior que C es definida positiua g p)(d, C-ld). Entonces Ia solución triuial de (L*) es absolutamente estable, EJ ERCI CI O S

t.

Compruébesela observaciónque sigue al teorema 7.6,2.'

2.

Obténgaseun resultado semejanteal del teorema 7.6.2 para la ecuación : + f(A(t)) ,o*, f x'(t\ cuc¡¡¡ ( " ' a'ft):cx(t)+d^t)

3. Verifíqueseque efectivamentela condición p)(d, C-td) del teorema 7.6.4 conduce a la estabilidad de la solución trivial de (Z*).

B A LA TEORIADE CONTROL INTRODUCGION

8.I.

SISTEMAS DE CONTROL

Un tren de masa r?¿ se encuentra en el punto A de su vía rectilínea de A a B, marchando con velocidad u. Su fuerza motriz miixima es F y su fuerza de frenado máxima es l. Se desea situarlo en reposo en B en el tiempo mínimo posible. ¿Cuál es Ia estrategia a seguir, es decir, cuál ha de ser la fuerza er, de marcha o de frenado, que hay que aplicar en cada punto del recorrido? En este ejemplo típico se pueden analizar los elementos fundamentales que aparecen en un problema de control. Se considera un sistema S o proceso mecánico, eléctrico, químico, industrial, social, etc., cuya operación y funcionamiento depende de un cierto número de controles (ut,...,u*) o parámetros variables a nuestro arbitrio dentro de ciertos límites. Tratamos de llevar el proceso desde un estado inicial E a un estado final o meta M. Los diversos modos de funcionamiento del sistema que lo llevan de E a M, correspondientes a los diferentes valores que demos a los controles, no son iguales. Los hay que nos proporcionan una mayor ventaja. Esta cualidad de los diversos modos de funcionamiento del proceso es cuantificada mediante la designación de un número a cada modo de funcionamiento. Esta asignación es el índice de fuzcionanziento /. Nuestro empeño es manejar los controles de tal modo que, al llevar el sistema de E a M, el índice / sea óptimo. En el eiemplo anterior podemos suponer que el tren se mueve siguiendo la ley de Newton u (t):mi (t), donde a(¡) es 7a fuerza aplicada en el instante r, positiva si es de marcha y negativa si de frenado, y r(r) es Ia distancia en el instante ú de A a la posición actual del tren en el sentido de A a B. El control es z(r), que está a nuestra disposición en cada instante. El estado inicial es la posición A con velocidad u y la meta es la posición B con velocidad 0. El índice de funcionamiento es el tiempo 7 que tarda el tren desde A hasta B aplicando el control tt(t), y se desea escoger este control de forma que 7 sea mínimo. El índice de funcionamiento / es, como se ve, una función del control a(r), que es, a su vez, una función del tiempo. Es, pues, un funcional que se suele llamar también futzcional de coste. Viene a medir la calidad, de acuerdo con un criterio prefijado, del control que aplicamos.

218

Cap 8

INTRODUCCIONA LA TEORIA DE CONTROL

En nuestro caso el funcionamiento del sistema está regido por una sencilla ecuación diferencial ordinaria. Sistemas más complejos pueden regirse por una ecuación o sistema de ecuaciones en derivadas parciales, ecuaciones estocásticas, en diferencias finitas, ecuaciones de argumento retardado, etc. Lo importante es conocer la formulación matemática del proceso que estudiamos. La minimización de un funcional, es decir, la búsqueda de la función o funciones u de entre un cierto conjunto de funciones 1I que hacen mínimo el valor de un cierto funcional /:'ll-+R es, en cierto sentido, un problema bien clásico, objeto de una rama del análisis matemático con métodos propios denominada cálculo de uariacio¡zes, nacida en los albores del cálculo diferencial e integral. En 1696, ]ouanlt BrnNouru propuso como reto a sus contemporáneos el siguiente problema. Encontrar la curva f que une los puntos A y B, A más alto que B, tal que el tiempo empleado por un cuerpo pesado que cae bajo la acción de la gravedad de A a B a lo largo de f, sea mínimo. LErnNIz, NEwror.r, demostraron que la braquistócrona, que así se ]axou BenNouLLI y r'Hóplrlr llegó a llamar la curva, coincide con un arco de cicloide que va de A a B. Esto representó el comienzo de un nuevo campo: el cálculo de variaciones, cuyos principios sistemáticos fueron establecidos sobre todo por Eurrn y Lecne¡rce. Los problemas considerados clásicamente pueden ser unificados en la folmulación simplificada siguiente. Dado el funcional

xo:J"F(x, y, g')dx dependiente de la función g:g(x), donde c y b son valores fijos y F es una función dada de tres variables, determínese la función U que hace J@) mínimo. Los problemas de la moderna teoría de control, como se observa, tienen este mismo estilo, aun siendo mucho más versátiles en su forma. La teoría de control puede, pues, considerarse como continuación del antiguo cálculo de variaciones.Muchos de los métodos del cálculo de variaciones son básicos en la teoría de control. Sin embargo, existen problemas en la teoría de control que han surgido motivados por los objetivos eminentemente prácticos de esta teoría. El primero que podemos examinar es el de controlabilidad del sistema. Es evidente en nuestro ejemplo inicial que si el tren marcha por A a una velocidad u hacia B y la fuerza máxima de frenado f es excesivamente débil no podremos alcanzar nuestro objetivo, a menos que nos permitamos atravesar B, parar urás allá y retroceder hacia B. Existen, pues, estados iniciales que no son controlables respecto de una meta y un tipo de contlol prefijados. Más característico de las consideraciones actuales es el problema de síntesis, sugerido por la tecnología de automatización, relacionado con los conceptos de control de ciclo abierto y control de ciclo cerrado o de retroalinzentación. Consideramos un mecanismo que contiene como una de sus piezas fundamentales una caldera de vapor, cuya presión es necesario controlar, manteniéndola entre ciertos límites a y b. Una forma de conseguirlo es la siguiente. Un operario, con los mandos de una espita, observa la presión en

8.I

SISTEMAS DE CONTROL

2t9

cada instante y abre o cierra la espita cuando la presión p es mayor que 4 o menor que b. El operario viene así a cerrAr eI ciclo de control de la caldera. Naturalmente, ante una tarea tan sencilla como la de abrir y cerrar una espita surge la idea de automatizar el proceso. El regulador de Watt es un sencillo mecanismo en el que Ia presión misma de la caldera abre la espita si es mayor que b y la cierra cuando es menor que ú2.El sistema de control así obtenido es un control de ciclo cerrado o de retroalinzentación. La misma variable que se desea regular retroalimenta el regulador o dispositivo de control. Se podría pensar en programar también la caldera de la siguiente forma: Supongamos que se cuenta con un mecanismo de relojería con el que en cada instante t se regula de antemano la posición e(t) (abierta o cerrada) de la espita, e(t):l si está abierta, e(t¡: - I si está cerrada. Supongamosque tenemos calculada la presión p en el tiempo 7 como función de la presión en el instante 0 y de la historia de la espita (es decir, de la función e(t) desde 0 a T). Entonces se puede pensar en programar e(t) inicialmente de modo que la presión se conserve siempre entre d y b. La caldera así programada es un sistema de control de ciclo abierto. No existe la comparación anterior. retroalimentación, del valor actual con el valor deseado. Es claro que este último procedimiento, tanto matemática como mecánicamente, es bastante complicado comparado con la sencillez del regulador de Watt. En el sistema de ciclo abierto se ha introducido de una forma un tanto f.orzada la variable ú en el problema. Para saber si hay que abrir o cerrar la espita no es necesarioconocer la hora, sino la presión. Por otra parte, si se da en la caldera una perturbación imprevista, el mecanismo de relojería continuará programado para una situación distinta de la real, con resultados posiblemente catastróficos. El regulador de Watt es, en cambio, autocorrectivo. La forma de control ejercida por él está directamente determinada por la misma variable que hay que regular. El problenn de síntesis consiste en obtener el valor del control óptimo como una función del estado del sistema. 'las conveniencias de la automatización, constituye Tal problema, motivado por uno de los muchos interesantesproblemas en la teoría de control, cuya solución completa está aún por elaborarse. Los sistemas o procesos de control suelen ser representados de modo conveniente mediante diagramas funcionales en los que se visualiza el papel de cada uno de los órganos del sistema. Un ejemple viene dado en la figura siguiente: Entrodc Un id o d d e m e d ic ió n

I

Re ir o o l¡ m e n to cicín €o

Unidod regulodcro

I

/' i\

c/-

Vo lo r deseodo €,

Ele r n e n to d ife r e n ciol

o¿-oo

240

Cap. 8.

INTRODUCCIONA LA TEORIA DE CONTROL

Se representa aquí un proceso mecánico, físico, etc., con una entrada previsible dentro de ciertos límites, pero no exactamente, y una salida deseable 0¿. El valor real de la salida 0s es detectado por una unidad de medida que envía una señal a un elemento diferenciador. Este mide la diferencia o eruor 0,¡-06 y transmite una señal a la unidad controladora, Ia cual actúa sobre el proceso de forma adecuada a fin de anular dicho error. Una cualidad obviamente deseable de un sistema de control es su esúdbilidad. Es decir, en términos un poco vagos, es necesario que la perturbación que efectuamos en los controles a fin de corregir el error de desviación en la salida no cause una alteración excesiva en sentido contrario al de dicha desviación. De ser así, el error del proceso pasaría alternativamente de un sentido al otro, desvirtuándose el sistema de control en su propia finalidad. Un sistema de control inestable puede ejemplarizarse en la marcha de un aprendiz de ciclista. Un pequeño error inicial de dirección y equilibrio es corregido con intensidad creciente, acabando inexorablemente el recorrido con una caída.

8,2. EL AMBIENTEDE LA TEORIADE CONTROL La teoría de control, de origen reciente en sus rasgos específicos, se mueve en un ambiente de disciplinas tan nuevas como ella misma. Las lindes están aún por señalar. Tales son la automatización, la teoría de servomecanismos,la cibernética, el estudio de la inteligencia artificial en el terreno de aplicaciones prácticas y, en un nivel más abstracto y matemático, el cálculo de variaciones. la programación dinámica y otras teorías que modernamente se engloban en una abigarrada disciplina bajo el nombre de optimización. Para la automatización. que la cultura tecnológica actual va imponiendo donde quiera que se considere, fácilmente se comprende que la teoría de control es fundamental, La cibernética, que se puede describir como el estudio de los sistemas autodirigidos, bien en el animal, en la máquina o en la sociedad, etc., ha aportado desde su comienzo los conceptos básicos de la moderna teoría de control, entre ellos el de sistema de control de ciclo cerrado o retroalimentación ().Asimismo, el estudio de los sistemas autodirigidos naturales es un excelente apoyo heurístico, tanto en la vertiente aplicada de la teoría de control como en su vertiente matemática. En los organismos vivos, por ejemplo, están resueltos multitud de problemas químicos, mecánicos, termodinámicos, eléctricos, de comunicación, de información, etc., cuya formulación y solución la ciencia está aún bien lejos de obtener. La programación dinámica propone algunos métodos y principios generales para resolver problemas de optimización de funcionales análogos a los problemas descritos anteriormente a propósito de la teoría de control. Tales métodos son aplicables a un dominio de problemas más amplio que el de los ploblemas de teoría de control propiamente dichos. Sin embargo, se Ie achaca a la programación dinámica su falta de madurez sistemática en algunos aspectos y Ia exigencia de condiciones irreales en otros. Pero probablemente tales defectos, propios de una disciplina de creación bien reciente, podrán ser subsanadosen un futuro próximo.

8 3.

LOS METODOS DE LA TEOR¡A DE CONTROL

241

El rasgo común de los problemas modernos propuestos a la matemática por la tecnología actual, Ia Biología, la Física, la Química, la Físicoquímica y sobre todo por las ciencias humanas y sociales, Psicología, Economía, etc., es su complejidad enorme comparada con la de los problemas planteados a la matemática clásica, a menudo extraídos de la mecánica. Este hecho, juntamente con el advenimiento de las ciencias de la computación, con todo su equipo de instrumentos totalmente insospechados hace medio siglo, está ya en gran parte cambiando el aspecto de la ciencia matemática presente. El desarrollo actual del análisis numérico y de la teoría de Ia aproximación es un buen indicio de ello, así como la expansión cada vez más rápida de la teoría de la probabilidad con toda su variada gama de ramas afines. Esto tiene particular repercusión en aquellos campos de Ia matemática que, como la teoría de control. ensayan aprehender una realidad tecnológica, social, económica. demasiado compleja en su formulación matemática para ser analizada con los métodos de la matemática clásica. Como veremos a continuación, la teoría de control ha de acudir a una enorme variedad de métodos, unos analíticos, otros de aproximación numérica, otros estocásticos, a fin de formular y resolvel los problemas que le son propios.

8.3. LOSMETODOS DE LA TEORIADE CONTROL Como se ha señalado, los métodos de la teoría de control son extraordinariamente variados, dependiendo de la naturaleza de los problemas. Estos admiten una primera clasificación en dos grupos: problemas determinísticos y problemas estocásticos. Son problemas estocásficos aquellos en cuya formulación intervienen elementos regidos por leyes aleatorias, al menos a efectos de quien plantea el problema. Así, si se trata de plantear un nuevo sistema económico para el futuro, es claro que la evolución del sistema tendrá aspectos imprevisibles regidos por leyes aleatorias en gran parte. Quien fabrica tal plan ha de conjeturar, basado taI vez en su conocimiento previo de la trayectoria evolutiva de otros sistemas semejantes. la situación de éste y sus reacciones posibles a tal o cual manipulación. Los problemas deterntinísticos admiten una gran variedad. El proceso que se cstudia puede regirse por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, o parciales, o en diferencias finitas. La formulación exacta de un proceso real conduce con frecuencia a problemas matemáticos intratables por su excesiva complicación. Caben entonces dos actitudes. Uno puede contentarse con una simplificación del problema que resulte ya asequible al tratamiento matemático o bien, renunciando al tratamiento analítico completo del problema. se acude a su tratamiento numérico, ensayando obtener una solución aproximada mediante el uso de computadores y los métodos del análisis numérico. Con frecuencia surgen problemas que ocasionan por su interés matemático y práctico el desarrollo de todo un nuevo campo con métodos propios. Así, por ejemplo, ha surgido el de las ecuaciones diferenciales con argumento retardado. Consideremos el sistema del diagrama funcional presentado ante-

242

Cao 8

INTRODUCC¡ONA LA TEORIA DE CONTROL

riormente. El proceso, que podemos pensar como una cadena de fabricación en serie, tiene una entrada y una salida. Es razonable pensar que, desde que el proceso comienza con la fabricación de una pieza hasta que ésta sale acabada, que es cuando pasa por la unidad de medida, transcurra un cierto tiempo r. Mientras tanto, el proceso ha seguido funcionando en las mismas condiciones, y si éstas han sido defectuosas, el control no tiene oportunidad de actuar hasta r- segundos después. Esta situación, así como la posibilidad, también razonable, de que la acción del control no sea instantánea, sino diferida o segundos, da lugar a la consideración de ecuaciones diferenciales del tipo F(t, x, x'(t), x'(t + ¡)):0 que se denominan de argumento retardado. Asimismo, los problemas con que se enfrenta la teoría de control son a menudo no lineales. Esto motiva la necesidad de utilización del análisis no lineal, rama que se encuentra hoy en día en plena expansión. Para terminar con esta descripción introductoria de la teoría de control, examinaremos algunos de sus principios básicos. El modo de proceder en los problemas del cálculo de variaciones clásico se ha conservado en los modernos problemas de control en una buena medida. De entre las posibles funciones que es necesario considerar se logra, primeramente, descartar un buen conjunto de ellas, mediante condiciones necesariasque ha de satisfacer la solución o soluciones al problema. Además, esta primera selección permite en muchos casos asentar la existencia de solución o soluciones al problema. En el cálculo de variaciones la ecuación de Euler era una de tales condiciones. En la teoría de control moderna el principio de optimalidad y el prütcipio de ntáxinto de Ponttyagfn representa un papel similar. El principio de optimalidad es la formulación del hecho obvio de que si una estrategia comprende varios estadios parciales y es óptima, lo es necesariamente en cada uno de sus estadios. De otro modo podría ser sustituida por una estrategia globalmente mejor. En otras palabras, si para ft de A a C existe un camino G, que es el mejor posible y sabemos que pasa por .8, es claro que el mejor camino posible para ir de A a B es el que sigue G. El principio máxin¿o de Pontrgagin es de formulación más complicada. Se refiere a sistemas de control regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias y afirma que el control óptimo, si existe, ha de hacer máxima una cierta expresión de significado nada obvio. El principio es de gran aplicabilidad y permite en muchas ocasiones resolver completamente el problema en cuestión. El principio de bang-bang se refiere a sistemas de control lineales regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias en los que el índice de funcionamiento es el tiempo. Tales problemas se denominan problemas lineales de control óptimo de tiempo. Un control se llama de conmutación cuando los valores que toma son + i y - I alternativamente. Puede ser realizado, por ejemplo. mediante un conmutador eléctrico que admite dos posiciones solamente. Un control de conmutación se llama también en la literatura control bang-bang. El principio de bang-bang afirma que cualquier electo realizable ntediante un control ntedible puede ser realizado ntediante uno de conmutación en el

84.

UN EJEMPLO.CONTROL DE TIEMPO MINIMO PARA UN TREN SIN FRICCION

24J

lnismo tiempo. Por tanto, si existe un control de tiempo óptinto, existe un control de connzutación óptirtto. Y tanzbién, si un control de coruruúación es de tienzpo óptirtto con respecto a los otros controles de connuúación, entonces es óptirtto. (Le Selrc). Así, aplicado al ejemplo del tren, propuesto al comienzo de estas notas, el principio de bang-bang nos asegura que, de existir un control óptimo, que ciertamente existe en este caso, éste será de conmutación, es decir, el tiempo óptimo se obtiene acelerando unas veces, aquí una sola vez, con toda la fuerza posible y frenando otras veces, aquí de nuevo una sola, con toda la fuerza posible. El principio de bang-bang, como puede observarse, tiene gran importancia práctica, pues un control de conmutación es mucho más sencillo de realizar efectivamente gue un control de cambio continuo. El estudio de los sistemas regidos por ecuaciones en derivadas parciales obtiene sus principios fundamentalmente del análisis funcional moderno, especialmente del análisis funcional no lineal. Los métodos varían grandemente según el tipo de ecuaciones que sea necesario estudiar: elípticas, hiperbólicas, parabólicas, etc. Son muchos los casos que exigen procedimientos propios ideados en particular para el problema en cuestión, ffiuy a menudo ingeniosos procedimientos de cálculo que permiten una solución aproximada viable y efectiva, renunciando al tratamiento analítico completo.

CONTROLDE TIEMPOMINIMO 8.4. UN EJEMPLO, PARAUN TRENSIN FRICCION Un tren de masa n¿: I marcha sin fricción por una vía rectilínea y horizontal. En el instante fo:O se encuentra en A con una velocidad u(0):rro fnárchando hacia el punto B, a distancia d de A. La fuerza motriz del tren puede tomar cualquier valor entre 0 y i y asimismo la fuerza de frenado (o marcha atrás). Se desea parar el tren en B en el mínimo tiempo posible. ¿Qué estrategia habrá de seguir el conductor para lograrlo? En este problema, de apariencia tan ingenua, tendremos ocasión de examinar de un modo todavía informal algunos de los elementos y métodos de un problema típico de control. La ley matemática que rige el proceso puede escribirse bien fácilmente en €ste caso. nzi(t¡:xa1¡¡ donde m:L, x(t) representa la distancia del tren en el instante É al punto B, distancia negativa en el punto A, r(0): -d y u(t) representa la fuerza aplicada en el instante ú, positiva si es fuerza motriz en la dirección de A a B y negativa si es opuesta. Además, por las condiciones impuestas se ha de verificar la(¿)l(I en todo instante t y se sabe .r(0):¿r. Si se elige una función de control et(f) que lleve el tren a parar a B, lo cual es claramente posible si nos permitimos atravesar B y volver a este punto del otro lado de A, es claro que queda determinado el tiempo 7(z) que el

244

Cap. 8.

INTRODUCCIONA LA TEORIA DE CONTROL

tren tarda en llegar de A a B. El problema propuestoconsisteen obtener un control u+(t) tal que j?(zr*)l(?(a) para cualquierotro control a(l) que verifique estas condiciones. Llamando i(t):a(t), el movimiento del tren viene regido por el sistema de ecuaciones

f i(t):a(t) ( aG):u(t) con las condiciones iniciales r(0): En forma matricial, poniendo

-d, g(O):u, y con la restricción l"(¿)l
" :(3;)' ' : ( i )

ur: (;Í'),), Se puede escribir

f,t):

Ax(t) + bu(t),

(-Í) "':(;3i):

La solución de este sistema se obtiene fácilmente (variación de las constantes) y es

irt): e^'i(o)* n^' e-^'Ett(s)rls .fo'

tl

que, naturalmente, depende de Ia función de control el(s). En primer lugar. es necesario escoger zl(s) de tal modo que exista 7 tal que

,r'r:(3), es decir, hay que considerar controles que satisfagan la condición del problema, paro del tren en B. Es claro que el tiempo ? de llegada a B depende de una forma un tanto complicada de los controles elegidos bajo estas condiciones. Esto entorpece un ataque directo del problema que podría consistir en establecer esta correspondencia y dependencia de una forma más explícita. y tratar luego de obtener de aquí un control ?l que minimice la T:T(u), variable ?. Es preciso, por tanto, proceder de alguna manera que no exija el conocimiento explícito de tal dependencia. Puesto que se trata de localizar la función ¿¿*,tal vez se puedan señalar rasgos suyos más fácilmente reconocibles a través del estudio de la ecuación [*]. Al menos se puede delimitar el conjunto de funciones entre las que se puede pensar en encontrar la u*. Este es el procedimiento usual cuando se trata de determinar, por ejemplo, un máximo o mínimo de una función. Y éste es también el papel esencial de la búsqueda de condiciones necesarias que la solución de un problema, si existe, debe verificar.

8.4. UN EJEMPLO.CONTROL DE TIEMPO MINIMO PARA UN TREN SIN FRICCION

24s

En nuestro caso es lógico que nos preguntemoslo siguiente: Eligiendo cada una de nuestrasposibilidadesde control, ¿a dónde llegamos dentro del tiempo t? En otros términos, si tL es el conjunto de funciones la naturaleza de control a(s) tales que lz(s)l( I (más adelanteespecificaremos de talesfunciones),¿cómoes el conjuntodel plano ry

rfO:

[;trl

r, e rr]z ii(t):e't'r(0)+en' .f o'e-o't)rr(s)ds,

El conjunto K(t) se denomina conjunto de accesibilidad o cortitutto accesible

en el tiempo ¿. El conjunto K(f) contiene, pues, los puntos r(¿) de todas las trayectorias posibles mediante las diferentes funciones de control a nuestra disposición. Es claro, por tanto, que si el origen O pertenece a K(t) es porque existe una trayectoria i(s) que pasa por él para s:f, determinada por un cierto control a(s). Así, el tiempo de control óptimo, 7, que buscamos, será menor o igual que f. Mediante los conjuntos K(f) es fácil en principio señalar cuál será el tiempo óptimo. Será aquel T tal que O € K(T) y tal que, para cualquier t menor que T, O q KG). ¿Cómo utilizar estos hechos a fin de obtener el control óptimo n*(s) y la trayectoria óptima que nos interesa? Se demuestra que los conjuntos K(ú) son convexos y compactos y que se deforman continuamente al variar ú. Esto permite establecer que el origen O estará en la frontera dK(T*) de K(I*), y que por O se puede trazar una recta que deja todo K(7*) a un mismo lado. Así, si se traza el vector unitario normal a esta recta de dirección contraria a aquella en que se encuentra K(T*), vector z?(Z*) de Ia figura, y luego se toma un punto cualquiera x(T*) de K(T+), se tiene, denotando (4, b) el producto escalar de los dos vectores a y b,

(q(T*),t(Z*) ( 0 : (zl(Z-), t*(f *))

246

INTRODUCCIONA LA TEORIA DE CONTROL

Cap. 8.

Así, las condiciones de optimización impuestas implican pal'a la trayectoria óptima x"(ú), si existe, que ha de haber un vector q(T*) tal que (i*(?*), q(T*)) es el máximo de todos los números (t(7*), nQ*D obtenidos al hacer a r recorrer todas las trayectorias posibles bajo la acción de los diferentes controles. Este hecho relativamente sencillo constituye el principio de ntáximo de Pontrgagin en nuestro caso. Aunque parece que dice bien poco, veremos a continuación cómo nos ayuda para obtener la trayectoria y control óptimos. Escribamos la expresión anterior más explícitamente: fTi

(n(T*),t(T*)) :(T(T*), e"l.t(O)+ eAt. I

to

e-A'Du(s)ds

Como el primer sumando de este segundo miembro es independiente de z(s), maximizar (l(T*), x(T*)) es maximizar la expresión fI'

lq(T*),eAr' I

-o

rT+

e-A'Drr(s)ds):|

(q(?*),eA
-o

y teniendo en cuenta que

^:(3á),': (l) y llamando

o.: (l 3), ?(,):(q,Í'l):"o.,,,-,,r17*¡ resulta que a*(s) ha de ser tal que maximice la expresión fF

I

("llt)'(t))¿t

"o

Pero es claro ahora cómo ha de ser er(s)para maximizaresta expresión.Recordemos que lz(s)l(I para todo s. Si hacemosmáximo r¡ds)a(s)para cada s la integral tendrá su valor máximo. Así, ha de ser

n(s):signs de,ls): tf i :l ;i:l:3 pudiendotomar a(s) valoresarbitrarios(i¿¿l(1) cuando?z(s):0. Ahora, como ?ls) :T2(I*) + ?r(?*X?* - s),

8.4

UN EJEMPLO.CONTROL DE TIEMPO MINIMO PARA UN TREN SIN FRICCION

resulta que 4ds) es lineal y, así, cambia de signo como máximo una vez, y es cero a lo más en un punto. Así, resulta que el control de tiempo óptimo o control bang'bang,es decir que toma que buscamos,zr*(s),es de connn¿tación y y, en este caso, ambos a lo sumo una sola vez. valores I I los sólo + gráfica dos ,Su tipos siguientes: es, por tanto, de uno de los

Lo que nos falta aún por determinares el punto de cambio de signo, pero, como vemos,la aplicaciónde la condición necesariaque hemos hallado (principio de máximo) ha dado lugar a una reducción drástica de los controles que hemos de considerar. Veamos cómo son las trayectorias r(t) cuando el control es I en todo ,momento.El sistema es entonces:

i(t):a(t) f I ut):t J, por tanto, la solución es de la forma g+ [ "(¿):lt2+at+b t g(¡):t a a siendo a y b dos constantes. Las trayectorias son, pues, parábolas, traslaciones de la parábola

I I x(t):+tz

'

(

EQ):¡

como se indica en la figura siguiente, recorridas en el sentido de la flecha. sentido de tiempo creciente.

(9

248

Cap. 8.

INTRODUCCTON A LA TEORIA DE CONTROL

Análogamente, las trayectorias G-, cuando el control es constantemente - l, son como se indica en la figura siguiente.

@

Sabemoshasta ahora,por consiguiente,que Ia trayectoriaóptima de nuestro problemaha de iniciarseen el punto (-d,o) y ha de llegar al origen siguiendo primero una curva de G* y luego una de %_, o al revés. Puesto que ha de acabar en el origen, es claro que lo hará siguiendo una de las trayectorias f* o l-. Por tanto, la solución está clara.

Si el punto (-d,u) se encuentra en la zona rayada, la trayectoria óptima sigue primero la curva del conjunto 6- que pasa por (-d,u) hasta cortar a fy luego sigue f* hasta O. Si (-¿a) se encuentra en la zona no rayada, la trayectoria óptima sigue la curva de f5* que pasa por este punto hasta cortar f- y luego seguir hasta O. Con esto queda totalmente resuelto el problema propuesto. El cómputo del tiempo óptimo 7, si interesa, es un sencillo problema de cálculo, una vez conocida la trayectoria óptima. La curva que separa las dos regiones, rayada y no rayada, de la figura anterior se denomina lugar de cantbio y es en sus puntos donde tiene lugar Ia conmutación de valores del control bang-bang. Dicha división del espacio en las dos regiones resuelve el problema de síntesis enunciado en el capítulo anterior. Permite, en efecto, determinar el z* del control óptimo en función de la variable de posición y velocidad x a controlar, u*:ú(x). Si r está en la zona no rayada, Lf : I l, y si r está en la zona rayada ?t*:* I. Sobre la sección de las curvas f* y f- señalada en la figura el control es obviam ente +l y - 1.

8,5.

FORMULACION DEL PROBLEMA GENERAL DE CONTRC-

249

GENERALDE CONTROLDE UN SISTEMA 8.5. FORMULACION DEL PROBLEMA DIFERENCIALES REGIDOPOR ECUACIONES ORDINARIAS Consideraremos a continuación los elementos esenciales del problema. I) La leg del proceso. Relaciona el estodo, respuesta o salida (aoutputr) r(ú), una variable n-dimensional, que se pretende controlar con el control o entrada () u(t), una variable ru-dimensional. Aquí suponemos que esta ley viene dada por una ecuación (vectorial) diferencial ordinaria *(t) : f(t , x(t), u(t)) siendo f una función de Rr x R'! x R'¡' a R". La ecuación puede ser lineal o no. El objetivo final consiste en controlar el proceso mediante un control de ciclo cerrado y de modo óptimo con respecto a un criterio que será señalado más adelante. 2) Estado inicial g conittnto nteta. Se señala un estado de partida mediante un valor inicial del estado del sistema r0:r(t0) en el instante f6. Las diferentes componentes del estado r(r) que se pretende controlar pueden ser magnitudes tales como posición, velocidad, aceleración, velocidad angular, temperatura, intensidad de corriente, etc. El conjunto meta G(t) es un conjunto dado del espacio Rn de estados que varía con el tiempo de modo continuo, en un sentido especificado más adelante. Se trata de llevar el proceso del estado r0 a un estado r(tJ € G(t). El coniunto G(r) podría ser un punto g(r) y el problema podrfa consistir en hacia 0. En este caso, el problema puede controlar el error e(t¡:¡¡¡¡-t(r) simplificarse poniendo e(t):f(t,

e(t) + g(t), u(t) - eQD:f,(t, e(t), tt(t))

y ahora el conjunto meta es en todo instante el origen. 3) La clase de controles. Hasta ahora no hemos especificado qué funciones consideraremos como posibles funciones de control. Como veremos, tiene ventajas apreciables,desde un punto de vista práctico, considerar funciones continuas a trozos, definidas sobre intervalos de R con valores en R,'. Esta será nuestra clase de controles. De entre ellos llamaremos controles admisibles a aquellos que realizan nuestro objetivo fundamental, es decir son funciones continuas a algún fr>tg tales que existe una solución r(f) de trozos u:fto,ttl->Rn'para x(t):f(t,

rc(t),u(t))

que verifica r(ro):¡0,

r(tr) € G(tr)

De ellos hemos de distinguir aún el control o controles óptimos. La clase de controles admisibles será denotada por 11. En general impondremos a la clase de controles otras restricciones propias del sistema que consideramos y de sus aparatos reguladores. Esto suele con-

250

Cap. 8.

INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONTROL

sistir en que los valores de los controles pertenezcana un cierto conjunto compactof) de R,'. 4) El índice de funcionanziento,o funcional de coste; control óptimo. El funcionamientodel sistemabaio la acción de diferentescontroles es, naturalmente, distinto. Su calidad se ha de medir mediante un criterio que hemos de señalar.En general,éste consisteen adoptar un coste dado por un funcional dependiente de u de la forma

I@): I,','f(t, x(t),u(t))dt para u€'ll, siendo f una función escalar. Si, por ejemplo, f es idénticamente 1, resulta l@):¡r-to, y el problema es un problema de control de tiempo óptimo. Un control será mejor que otro cuando el coste correspondientesea más bajo. Asf, un control será óptimo cuando ninguno de entre los controles admisiblesproporciona un coste más bajo.

9 GONTROLDE SISTEMASLINEALES. EL PRINCIPIODE MAXIMO DE PONTRYAGIN

La teoría de control óptimo de sistemas regidos por ecuaciones lineales es de gran interés desde el punto de vista de las aplicaciones y de un contenido matemático muy rico. Presentamos en primer lugar un resultado sobre la existencia y unicidad de solución de una ecuación lineal en que las funciones dato no son continuas, sino a trozos. Tal será el tipo de ecuaciones que consideraremos después. Otro preliminar importante Io constituye el teorema debido a A. Lvpuwov [940] sobre el recorrido de una medida con valores vectoriales, del que aquí se presenta una versión adecuada al tipo de ecuaciones que manejamos. Esta versión se debe esencialmente a Harrn¡ 11967l. Las simplificaciones que han conducido a la demostración que aquí aparece son, fundamentalmente, labor de R. Monlvóu, a quien agradezco su colaboración. Una de las aplicaciones más importantes del teorema de Lyapunov es el principio de ntáxinzo de Pontrgagin, particularmente sencillo en el caso de los sistemas lineales que estudiamos aquí. La versión que aquí se presenta es particularmente adecuada a las aplicaciones en la técnica e ingeniería.

Y UNICIDAD 9.1. UN TEOREMADE EXISTENCIA El tipo de ecuación que nos interesa considerar es el siguiente: x'(t):

l1¡¡*1t) + b(t)

es una función matricial dada continua a trozos donde A:lto,tl:l +M(n,R) en /. Es decir, existe un número finito h + I de puntos en [ro.f,], f o: s o { s r{ ...

{ s ¡_ 1 { s ¡

: f,,

i a les q u e A(r ) es c ont inu a e n c a d a i n te rv a l o (s ;-1 ,s ;)i:1,2,...,h+ l . A demás, para cada i existe y es finito el límite de A(t) para f tendiendo a s¡ por la derecha (si i * lz) y por la izquierda (si i* 0). La función vectorial dada b : ÍtE,tJ: I -+ R" es asimismo continua a trozos. Se puede suponer que los puntos de posible discontinuidad s¡, s1,s2,..., s,,-r,s¡, de A(f) y b(t) son los mismos. 251

252

Cap. e.

CO|{TROL DE SISTEMASLINEALES. EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

El problema consisteen hallar una función x:fto,ttl:l +

R"

continua en todo / y con derivada continua r'(ú), excepto en los puntos de discontinuidadde A(ú), que coincida, allí donde existe, con A(ú)r(ú)+ b(ú). Se impone, además, r(re):fo € R" Los resultadosdel capítulo 5, aplicadostrozo a trozo, nos permiten formular el teorema siguiente. 9.1.f.

Teorema. EI problenta propuesto arriba lc'(t):A(t)r(ú)+ó(t) /D\ \¡ '' I( ¡(¿o):fl

adntite una solución única que uiene dada por

r(r):o(r)fl+ aG) ó-r(s)ó(s)ds L0 donde O(¿) es la única matriz contintta en todo I ll con deriuada (D'(t) corztinua a trozos en f tal que ó'(r¡:A(t)

qr(ú) y


En particular, si A es constctnte, entonces (r(¿):sett-tor.

EJ ERCI CI O

l.

Demuéstreseel teorema 9.1.1 siguiendo los métodos del capítulo 5.

DE LYAPUNOV 9.2. EL TEOREMA El teorema de Lyapunov se refiere originalmenteal conjunto de valores de una medida no atómica con valores en R". Presentaremosaquí una versión más útil en vista de las aplicacionesa la teoría de control. Esta versión es, sobre todo, obra de HAIKIN, si bien la demostraciónque se presentacontiene algunassimplificacionesdebidasa R. Montvótt. En lo que sigue diremos que una función f:la,bl-+R" continua a trozos es no oscilanúecuando para cada p e R" se verifique que el coniunto {t e fa,bl:0,l(4)>0 } es una unión de un número finito de intervalos.

253

EL TEOREMA DE LYAPUNOV

9.2.

9.2.1. Teorerna. a) Sea f:[0, 1]+R" una función continua a trozos. Sec¿.Ao la farnilia de los coniuntos obtenidos por unión finita de interualos en un prmto o en (abiertos,cerrodos,semiabiertosy postblententedegenerados el oacío) de f0,ll. Entoncesel coninúo

n:

(r ) E€ " bJ IJ"l:

es conuexo g acotado. (Por conuet ;o, | Í:0.) J úl

b) Adentás, si f es no oscilante, R es conuexo y cotnpacto. OssenvlcróN. EI teorema es sencillo para n: l. En efecto, para demostrar a) supongamosque para A, B € A), tl f :a1b: I J¡

I f, p:trc+(1-I)b,

0
JB

QueremosconstruirP€,q, tal que JPlf:0. son conjuntos disjuntos de ,.fuy así es Obsérveseque A-B y,B-A posible de modo sencillo,por continuidad,construir If CA-B y ICB-A, H,l € ,,Qc tales que rfr l

lr :rf

JA-B

JH

r, f f:tt-r¡f f JI

JB-A

Tomemos ahora P: (A n B) U H U I. Se tiene:

| ,:I

JP

JAñB

r* I,,r* [¡:r^+{r-r)]J ^tl"_^t: ^",*^ln-ut+(rII

: I J,{/=(l -I)J¡ f :l ,a + (l -}')b:P Que R es acotado resulta por ser I acotada. Para demostrarb) obsérveseque los extremossuperior e inferior de R son, precisamente, rf

I

J{ /> o }

r, I

r { t< o }

r

"

y {f<0}€.fu. Así, R es un intervalo Si I es no oscilante{f>0}€,fu compacto. se basará finalmente en una La demostración del teorema para nll algunos inducción sobre Ia dimensión,pero antes de llegar a ella necesitaremos lemas previos. El primero es un lema de aproximación,adecuadopara hacer frente a la dificultad esencialque surge al tratar de aplicar el procedimientode la obser-

CAp. 9.

CONTROL OE SISTEMASL¡NEALES. EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

vación que precede.Si I es de dimensiónn:2 H y I de .fu tales que se tuviera tfil

lf:rl

JIT

/,

JA_B

y pudiéramoslograr coniuntos

lf:rr-r)l

JI

JB-A

Í

es decir, que 11 y / sirvieran al tiempo para las dos componentesf¡, fz de f, entonces el teorema quedaría demostrado. Pero esto no es sencillo. Para soslayaresta dificultad consideramoslos intervalos diádicos. Do:{[0,l]]:{/¿}

D,: { [0,u2],Íu2, rl ] :{/i, /i } Dz: { [0, I I4], fU4, 2I 41,[2I4, 3I4], [3I4,4I4]] : Ut, tl, t1,4 ] Para tr€[0,I] y un entero /c20 definimosD;\ como la unión de los subintervalos inicialesde cada /l,Ii,...,Ilo que miden .1,vecesla longitud del I,¿correspondiente.Con esta notación obtenemosla siguiente aproximación. 9.2.2. Lema. Sea f :[0, I]-> R,, continua a trozos en f},ll. Entonces para cada e)0 existe ko:ko(e) tal que para cada k2ko U cada \ € [0, t] se tiene tt ,"Dt

lJ^f^-rJ ll <e

Dr¡rlosrnaclóN. Supongamosprimero f continua en [0, 1]. Dado e]0 tomamos ke tal que, si klko y fp es la función constante en cada Itie D¡, que tiene el mismo valor que f en el extremo inferior de I,¿,se tiene, para todo s € [0, l],

ll(s)-f(s)l <e/z Esto es posible por la continuidad uniforme de I en [0, l]. Entonces se tiene claramente:

linr-x ]-rlll *¡ - [ , !.rlll , r --^Jo l . I

f

rl

* l^Jf * - r J f l < € / 2 l D t l + o + ) ,e i2 ( e indicando,para A€..4c, por lAl la suma de las longitudesde los intervalos que componenA. Sea ahora f continua a trozos y con N discontinuidades.El proceso es análogo.Para cada/c natural consideramos Dr y los intervaloslf;, h:1,2,...,2tSi I! no contiene ningún punto de discontinuidad definimos f¡ en If como Ia función constantee igual al valor de I en el extremo inferior de {. Si H>0 es una cota para I en [0, l] V Il contiene algún punto de discontinuidaddefi-

9.2.

EL TEOREMA DE LYAPUNOV

255

nimos fe en I'i igual a Iy'. Así, se tiene:

. l^fr--^Jr * ll"^tI,r,rl. ll rr-xJrrl lJ,^r-^Jti l El segundo sumando, siendo f¡ constante sobre cada .I/1, es nulo. Para el primero y tercer sumandosse puede escribir que son menoreso iguales que

[, lt-nl*,,]- [,,v- ta ,,-)* siendo 7 el conjunto de superíndicesft tales que /,; no contiene ninguna discontinuidad de f , y 7*, el resto de los superíndices.Obsérveseque el número de superíndicesen Z* es a lo sumo 2N. Se tiene entonces:

l f r -t lu! l -l <2 ); l-l

|

' ',r|

h€'t

|. i f -rrl +2 '2 N' 2H' 2- k

Jrx 'k

La continuidad uniforme de f en los intervalos en que es continua perrnite, teniendo en cuenta la anterior desigualdad, concluir que dado e)0, existe /c¡ tal que, para todo klko, se tiene que la anterior cantidad es menor que €, lo que prueba el lema. I El segundo lema que se enuncia a continuación demuestra que R, la adherencia de R, es convexo. Naturalmente, un conjunto PCR'puede estar muy lejos de ser convexo, aunque P lo sea. Por eiemplo, el conjunto Q de los racionales de R no es convexo y es claro que O:R lo es. 9.2.3.

Lerna.

El coniunto R es conuero A conlpacto.

Dg¡trosrnac¡óN. Que R es acotado y, por tanto, es R compacto, resulta del hecho de que f es acotada. Que R es convexo resulta fácilmente como D e m o s tra re mo sq u e s igue. Se a a€ R, b€R. a --+ b

2-

-e R'

con Io que, siendo R cerrado, resulta sencillamente que R es convexo. Sea dado. En la bola euclídea abierta B(a,n) de centro c y radio 4 existe 4}0

n.: jof e n, con

A €. CJ ,

y en B(b,4) existe

o.:

e n, con B€Jb Jof

Cap. 9.

256

CO|',ITROLDE S¡STEMASLINEALES. EL PRlNclPlO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

Por otra parte, existe una función g constante a trozos tal que fr

J, lf-sl<'r Y, aSí,

u: Jff u: Jrr os,

son talesque rl

lo.- al<J,lf-r¡ sa, lb.-bl< J,ll-sl<"r Para una función constante a trozos como I se construye de modo muy senc illo E€ & t al que

a+a I I u8:--z (Hágasecomo ejercicio.) Si ahora consideramos f f, se tiene: JB

l l f _a +b

l l , r--l +

I

lr

r

I

ta+b

a+b l

< lJ,f - J,s| .l-

I r I ,_ ta- a * l +* la*-alt +1lD 2' 2' ' 2t

-b*l+* '

I 2'

(

| < J ,lf - s l+

q l b *- b |l (3 -

Así, cualquier entorno de (n+b)/2 contiene un punto de R, y, por tanto, a+b

2

€R'l

El lema siguiente contiene el resultado fundamental para lograr el teorema. Designamos, para un conjunto P C Ru, por co P la clausura conuexa de P, es decir, la intersección de todos los convexos que contienen P. La clausura convexa de P es el convexo mínimo que contiene P. Si P es convexo, claramente co P:P. 9.2.4.

Lcrrra.

Deuosrnecló¡¡. ces que

El coniunto (co P)o es un subconiunto de R. Sea a € (co R)0. Para un cierto e)0

se verifica enton-

B (a ,2 e )C c o R C c o R : R y, así, existe un simplex de R" determinado por los puntos S : { r¿ r,a r, ..., a ,,* r} C R tal q u e B(a ,e) Cc oS . S ea

a,: I t, i:1,2,...,n+1, A ie J o uA,

9.2. EL TEOREAAA D€ LYAR'.IOV

Por el lema 9.2.2, anteriormente demostrado, para cada ¿ existe k¡ tal que, para cada a € [0,1] y cada k2k¡ se tiene: lf

f

I

e

f - " 1J t¡' f lI<- -4-(n : -+ 1 )

ll I J.

u r (\o ,'

Sea K:máx Sea

(k1,..., /c,,*r).

A:{tr:(,\,r,tr2,...,tr,+r): tr¡}0, II¡: I } Definimos A(I)

de la forma biguiente para ,\ € A.

Consideramosprimero M(1,tr):0 M(2, tr):trl

N(1,tr):trr

M(tt+ l, ),):trr*tr2*... +trn

: I N(z + 1,tr):trr + trz+...+ trn+r

T.,r,^r:trr*tr2

A continuacióndefinimos

-Dfi1¡,^¡) A,()\):(Df(,,^¡ ñ A¡ y, finalmente, l+'l

tl

A(I)__ IJAII) i:l

Obsérveseque los coniuntos A¡(tr) son disjuntos. Se verifica, por la definición de K, lf

f

|

É

f-M(i ,r)lJn.' fl <-=-j -. llJr.f,,,^,n,i,' l | - 4(n+1) para i:1,2, ,,.,n+1, y, asimismo, tf

f

I

t

-_: f - N ( r ,'l^j r ) l f l <-4(n+l) ll lJri,.^,nr,

Por tanto, restando los interiores de las barras (recuérdese | ¡:o¡ tA, remos: ll

|

É

f-),,a¡l llJr,(^)' l -l <=;:-Z(n+l) y, asl, tf

|

lf f->r,o ,l
|

L

oUa"-

258

Cap. 9. CONTROL DE SISTEMAS LINEALES. EL PRINCIPIoDE MAxtMo DE PoNTRYAGIN

Demostramos ahora que la función

r€A

- lnuÍ.o,,

es continua. En efecto. se tiene lf

f

I

|| ¿AQr') | f - rA(L") | f l| < a ¡ a a ' ) ^ A ( r - ) l siendo 11 cota de I en [0, l] y designando,para dos conjuntos M y N de R", por M A N Ia diferencia simétrica, es decir, MAN:(M-N)U(N-M) Para un conjunto Q € ,io, l0l designala suma de las longitudesde los intervalos que lo componen. La desigualdadde arriba resulta sencillamenteal descifrar Ia notación. Así, como se verifica, por la misma definición de A(),), que lA(I) A A(tr,,)l_+ 0 para 1tr,_ ).,,1_> 0

se obtiene la continuidad de Ia función de arriba. Para r € coS definimostr(r):1¡,,...,tr,+r)€A de tal modo que f :Xtr¡d¡, es decir, ),(r) es el vector de coordenadasbaricéntricasde r en el iimplex co s. Así, i,:¡e coS --> I(r)€A es función continua de r, Definamosahora h:x€coS-+ h(r):a-

|

/+r6:R,,

J / 4( r ( x ) )

Se t i ene.

lf lh?)-"j< | |

I Jl(I(¡))

's I l- ),r¡r¡.rtl4elz I

;

y, por tanto,

hk)e B@,e)CcoS Así, h es una funcióncontinuade cos a cos. Se puedeaplicarel teorema3.3.2 del punto fijo de Brouwer y resulta que existe r€ cos tal que h(g:y, es decir, I

a: I l€R r r ( r ( .i) ) Esto demuestrael lema. I De los lemas que hemos demostradohasta ahora resulta ya la parte a) del teorema.

9.2.

EL TEOREMA DE LYAPUNOV

259

DsmosrnecróN ns LA eARTEa) oer TEoREMA. Supongamos que a) del teorema es cierto para n:k-l)l. Queremos ver que entonces es también cierto dimensión k, y sean por de tanto, f para n:k. Sea, a, b € R ,

P :)' a + (1 - I)b ,

0 < I< l

Supongamos que se tiene, en primer lugar, a € (co R)0. Entonces existe un entorno B(a, e) C co R Pero esto implica que el conjunto IB(a, e) + (l - I)b que es un entorno de p, está en coR, por ser coR convexo. Así, p € (co R)0, y, por tanto, según el lema precedente, p e R. Consideremos ahora que d, b€ i)(coR). Si es que p€(coR)o, es claro que p€R. Supongamos p€A@oR). Entonces, siendo coR convexo, existe un hiperplano Il que pasa por a y b y que deja coR en uno de los semiespacios cerrados determinados por /1. Mediante una rotación de ejes que deja fiio el origen podemos suponer que Il es normal al eje Oxr y que corta a Oxr en su parte no negativa. La función f por esta rotación se transforma en otra función g asimismo continua a trozos. Sea

Los puntos a y b son ahora, en el nuevo sistema de coordenadas,

y teniendo en cuenta la situación de a* y D* se tiene: tf

Jr ír : ) r,gr,

MtcP cMz, MtcP' c M2

siendo

M,:{g¡}0},

Mr:{gr>-0}

cap. 9. coNTRoL DE slsrEMAs LTNEALES. EL pRrNcrproDE MAXtMo DE poNTRyAGTN

260

Obsérveseque Ml y M2 no son necesariamente de ,b, pero esto no importa para lo que sigue. Se tiene [trr(r

l r t ' : J , r': )n ^ rf,* Jn _ r,t,: )r,n rt,*) r ,_r t, Por otra parte, (

. i - .. . - . f rl_g+0 -r )l_ .c:^l Jp

Jp ,

i

J pnp,

I

r

e+l ¡Jf_r , s +0_r)l E + ( l_ ..Ji¡p,_pl E: Jp,^p -

I e*^f s + ( r - , ufs r p_p'

Jpnp,

Jp,_p

Por la hipótesis inductiva es fácil ver que existe F € ,fu, F C(P_P')U(P'_P) tal que

f t:^ | t*rr-rr I e

J F

TomemosE:(P ñP')UF.

r p_p,

Jp,_p

EntoncesE€.fu, v se tiene:

f u:I s-f ,:^| e.,,-^ ,,f JP\P,

JE

JF

JP

JP,

y también,teniendoen cuenta que se tiene g,(r):0 si ¿€F,

| ": I s,:I e,:ls,:| ,'

rE

Jpñp'

Jlrt

Jp

Jp,

Por tanto,

it : ^ JPf r * , t - r l Jp,i s : i . a * + o - r ) b *€ R

JE

Esto concluye la demostración de la parte a) del teorema. t Para la parte b) del teorema utilizaremos aún otro lema más. 9.2.5. Lema. Sea f : [0, l] + R una función continua a trozos tal que f(t)>0 pora todo t e S, siendo S un elentento fiio de ,I.c. Sea {E¡} ,ra siresión de elenzentos de ,Ao con E¡ C S para todo k. Entonces

r J.

f *0

donde, para Q €rb, que conzponenQ.

para li-+so ae

iE¡l +0

para k->oo

Ipl designala sutna de las longitudes de ros interuaros

9.2.

EL TEOREMA DE LYAPUNOV

261

Dr¡losrnacróx. si lEÉl-l+0, podemos suponer, tomando una subsucesión si es preciso,que lE¡lle)0 para todo k. Sean 11,Í2,...,x^ los puntos de discontinuidad de f y los extremos de los intervalos que constituyen s. Sea

K:s-fl)(*,-: L r:r \

€ \l

a tl ' ',* +* ) l

El conjunto K es compacto y f es continua en K. Se tiene

l E¡n K l >l E o l -l S -/
se tiene,para todo k,

I f r- Jt.nR ¡ f ¿ nzlE¡ñ Kl>-mel2)0

JB .

Y, así,

r IJn f-l--o

Si IEel-+ 0, se tiene tf

I

l l l l0 p a ra I JF

ft -+ oo,

I

donde M es una cota para f en [0, l]. I DB¡íosrn.ccró¡r op LA pARTE b) oer TEoREMA. puesto que ya sabemos que R es convexo, a fin de demostrar ahora que R es compacto, lo único que debemos probar es que si p € dR entonces p € R. Sabemos que el teorema es cierto para n:1. Supondremos que es cierto para n:k-l)I y trataremos de demostrarlo para z:/c. Sea p € dR. Puesto que R es convexo, por p se puede trazar un hiperplano É1 que deja a R en uno de los dos semiespacios cerrados determinados por 11. Mediante una rotación de ejes que deja fijo el origen podemos suponer que fl es normal al eje oxt y que corta a oxt en su parte no negativa. La función / de dimensión k se transforma, por esta rotación, en otra función g que es continua a trozos y no oscilante. Sea

y sean

262

Cap. 9.

CONTROL DE SISTE¡ AS LINEALES. EL PRlNClPlo DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

las coordenadasdel punto p anterior en el nuevo sistema de ejes. Teniendo en cuenta que q € dR, existe una sucesión{Eo} C,fu tal que I g-tq

para k->oo

Consideramoslos siguientesconjuntos de .Qo(recuérdeseque g es no oscilante): A:{g,}0},

rr

D:{g,>0},

ACD

y, además, I g,t qL para k->oo. Así, Jp.

Se tiene | &:* JA

,1,>l s,: I s,- | JA ñE|

uEr

' Eo- A

s,>f EtTqt tEk

para k -+ oo. Por tanto,

rrr IJA ^ E k s'-+e t:lrú A

y

I

uA- Er

B r - >o

para k -+ m. Por el lema precedente,resulta lA-Erl + o Análogamente,

o>| c,: i s,-| s,+ ls,-f r,:o "Er-D

uEo

JAñE.

JA

para /c-¡ oc, y, osí, a

I g'+o uE*-D y, por tanto, lE¡-Dl-O por el lema anterior. Se verifica fácilmente(véaseel diagrama,que se dibuia como bidimensional para mayor claridad):

E¡:lA - (A - E)lU f(D- A) n Erl U ÍEr-D7,

9.2.

EL TEOREMA DE LYAPUNOV

siendo los tres conjuntos entre corchetes disjuntos. Entonces, por el lema anterior, ffrí

lím I E: I s+ litn I JE * Js t+@ k) @J( ) - A) ^E*

g, lím I g,: I g, J oa*J Eo"

A

Por la hipótesis inductiva, siendo cierto el teorema para n:k-I, aplicar a EXo-¿.y se obtiene Ee ..Qctal que:

rr l íml k)@

J(D-A)^Ek

E :lJ(D-A)^E

se puede

I

'Tomemosahora el conjunto S:A U t(D - A) n El; se verifica

ffrr

E: J,E, lg J,_

-tE

: Jr_Br J"Br

Es decir,

(r

{:l ím I g : J5l s€ R , k_>@J EL llo que concluye la demostracióndel teorema. I

EJERCICIOS t.

Demuéstrense en detallelos pasosindicadosde la demostracióndel teorema.

2.

Demuéstresecon un ejemplo qu-ela condición de no oscilación de es f necesariapara obtener en generalla compacidadde R.

"3. Trátese de demostrar la siguiente forma del teorema de Lyapunov: sea r: [0, l] -> Rn una función de Lebesgue medible y acotada. para cada conjunto E de Lebesguemedible de [0, l] se define 16: I r(s)ds JE Entoncesel conjunto K de todos los 16 es convexoy compacro.

264

Cap. 9.

CONTROL DE SISTEMASLINEALES. EL PRINCIPIO OE MAXIMO DE PONTRYAGIN

9.3.

EL PRINCIPIODE MAXIMO DE PONTRYAGIN

El problemaque consideramos en esta secciónes el siguiente.Estudiamos un sistema que se rige por la ecuación r' (t) : f (t, x(t), t¿(t)) donde a) el tientpo, t, varía en [0, l]; b) \a función de control, u(t), es una función de [0, i] a O C R"', O compacto, continua a trozos; c) se supone que I es una función de (t, (, o) € [0, I] x R" x f) a R" que satisfacelo siguiente. Existe un conjunto finito { to,tr .. ., ú¡} de puntos de [0, l] con úo:0(rr{r21...1to:l y una familiade funcionesfr f2,..., f¡ con cadaf¡ definidaen [f¡-r,t,]xR"xO con valores en R" tal que las primeras y segundasderivadas respecto de f son continuasen [ú¡-1,fi]xR"xO respectode (ú,t,ts). La función f coincide con f¡ en (ú¡_¡,f,)xR,,xOy con f;, o bien con f¡,r, en {f¡}xR"xO; d) el uector de estado, r(r), es una función de [0, 1] a Rn, continua en l] [0, y con derivadacontinuaa trozos en [0, l]-{fo, h,...,trl'. EI conjunto f) se denomina conjuttto de restriccionesdel control, y la familia 'll de todas las funcionesde [0, I] a O continuasa trozos se denomina familia de controles adnzisibles.Para u € 11, designaremospor c(u) el abierto de (0, l) que resulta quitándole los puntos de discontinuidadde zr y los de f (t, t, ts) con respecto a t. por x(t; u) la única solución,que siempreexiste, Si ¿¿€'tl, designaremos del problema de Cauchy ( +'(¡' u):f(t,x(t; tt),a(r)) en un entorno de r:0

(P) I( ^.)

r(0):0

Si imponemos,como haremosen lo sucesivo,que exista M)0

tal que

lf(t, {, u)l < M(I + lf l) para todo (ú,t, o) € [0, l] x Ru x O los teoremasdel capítulo 4 nos permiten asegurarque existe solución única r(r) continuay con una derivadacontinua a trozos en [0,1] del problema (p\ Í x'(t; u):f(t,r(t; u),2(t)) '-' ( r(0):g La función {t; u) se denomina treAectoriacorrespondienteal control u, En R" nos fijamos el siguienteconjunto S. Fijamos r tal que l(r(n-l y r númerosreales{s,, sr,..., s,}. Definimos S: { f e R': ft :sr, 62:s2,...,É,:s,}

9.3. EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGTN

265

El problema consisteen encorxtrar,si es posible, un control admisible u* e rL tal que x(l; u*)e S a ademásx,,(I; u*) sea lo más grand.eposible, es decir, tal que para todo otro control admisible u € 1L que verifiqúe ¡(l; r,r)€ s se tengar,,(1;a)(r,,(l ;rr*). un control er* que verifiqueesta cbndiciónie denominará control óptímo. El principio de máximo de Pontryagin, en la forma que aquí se presenta, proporciona una condición necesaria que cualquier control ópiimo, si existe,

ha de verificar. veamos en primer lugar una condición geométrica, que se deriva sencillamente, y de la que después resultará el principio. Definamos el coniunto accesible K(r) en el instante f de la manera siguiente: K(¿): {r(t; tt) € R,,: ar€ ,ll } Si existe un control óptimo ?!*, es claro que

r(I; rr*)€ K (l) n S Y, aSí,

K (t)ns +ó

Además, es claro que r(l; ¿¿*)€ ¿K(1), ya que si r(l; zr*)€ (K(l))o,

entonces existirá "Tt:T':trn

-rt ;it:;=',,t;

a*),

y, por tanto, rr* no sería óptimo. Veamos que además se verifica x(t; u*) € AK(t) para todo t € [0, l]. En efecto, supongamos x(t,; u*) € (K(rr))o, con rr € [0, l) Así, para cierto r¡)0, B(x (h ; z t* ),1 1C ) 1 (r) Consideremos el problema para y € R,' fijo:

x'(t):l(t, x(t),u*(r))en [r,,U ,o,, * "/ I r(l): x(l; u*)+y t Existesoluciónúnigarr(f) que dependecontinuamente de g. Además, rs(t):¡7¡' r*¡,

266

Cap. 9. CONTROL DE SISTEMAS LINEALES. EL PRtNctPIoDE MAXIMo DE PoNTRYAGIN

Y, por tanto, existe r2)0 tal que para todo g con l3rl(&

se tiene:

xy(t) € B(x(t,; u*), rt) C K(rr) Sea rr(f¡):r(tt,u) con t€11.

Definamosun nuevo control admisible:

t(t) si 0< t<úr \-' :f (z*(r) -'tt**(t\ si fr
H(t, €, u, )t):(f(t. f, u),tr) g sea \7H(t,{,u,}t) eI gradiente de H respecto de {. Entonces, si u* es un control óptimo, existe una función \(t) de [0, l] a R' continua en [0,1] g con deriuadacontinua a trozos en c(u*) g no idénticamente nula tal que H(t,x(t; u+),u*(t),¡\(t))>H(t,x(t;u*),u, ),(ú))

tll

pma cada te c(u*) g cada u€O. tr'(f): -Y H(t, x(t ; tt*), u*(t), )\(t))

t2l

),¡(l):0 para i:r*1,...,n-l

t3I t4l

paracadatec@*).

tr,,(1)>0

El principio de m¿íximoes válido en la forma general en que ro hemos enunciado.Sin embargo,para su demostraciónprocederemosen tres etapas, cada una de las cuales se apoya en Ia anterior. En este capítulo demosháremos el principio para sistemaslineales. Más adelante (cap. 11) lo haremos para sistemasno lineales.

EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

9.3.

A. Demostraeión del principio para un sistcma regido por Ia ecuación x'(t):f(t, u(t)). Puesto que el segundomiembro no dependede r(r), la trayectoria.x(t; u) viene dada aquí de modo muy simple: (t

x(t; zt):

Jo

/tr, ¿r(s))ds

Supongamosque z* es un control óptimo. Sea S+ el conjunto de puntos de S con coordenadan-ésima estrictamentemayor que r,(I; u*), es decir: S*:{f

€ S: f,,}r,,(l; z*)}

Es claro que, siendo r,,(1,¿r*)
q: I fG,rrn(s))ds, b: I t@,u6g))ds JI

J]

Consideramos el conjunto ,r," zr,,(s))¡¿(s)+l(s, rr fs\\v-lc\+fls a6(s))¡7-¿(s)]ds:E r¡,fc\\w, -fc\L/c. F € € ,fu J f : I' |' [f(s, -A^ -' "\-//At-E\-t)--'( J, )

es la familia de subconjuntosde / unionesfinitas de intervaloscomo donde ..Ro en 9.2.1.Claramente,a e L, poniendoE :1, ! b € L, poniendo¿: S. Además, L C K(l), ya que, definiendo para E € .fu (zfs) ?rB(s/:lz(s¡

si s€E si s€l-E

se tiene up e 11, y ademásla integral de la definición de I de arriba coincide con I

€ K(l) I f(s,¿rr(s))ds Jt Como, por otra parte, esa integral se puede también escribir

r"

- /(s,a¡(s))lds, I f@, tt¡,(s))ds+JE| tft, tr,,(s)) Jl y por el teorema de Lyapunov se verifica que el conjunto

(r

)

r¿"(s))-f(s, a¡(s))lds: E € "a0J t J"tftt' es convexo,resulta que Z C I((l) es convexo.De este modo, el segmentoque une r¿con b es de L y, así, de K(l). Por tanto, c € K(l), y ¡<(l) es convexo.

Cao. 9.

DE MAXIMO OE PONTRYAGIN CONTROL DE SISTEMASLINEALES. EL PRINCIPIO

ser rr* control Es claro que K(l) ñ S+:Ó por la definición de S+ y por qu" hiperplano un existe lóptimo. Así* iiendo'h Paracadaf€S+ Se tiene también (9, ¡r)>h Para cada f e S* Obsérveseque r(1; a*) € S+n K(1)' Y, Por tanto' Y, así,

(x(L; u*),),): h Para cada f € K(l) (f, I) ) (¡(1 ; rr"), ),) Para cada f € S* (f, I)((r(l;

I) r,¿*),

a )r satisveremos a continuaciónque la función I(¿) idénticamenteigual teorema' y del t4] face las propiedades[1], [2], t3l son aquí La propiedad t2l a tiiviat en este caso, pues los dos términos idénticamente nulos. positiva del Para demostrar [3] s€¿r€¿ vector unitario en la dirección

eie ox¡' Es claronl",r,

,., + ¿¿€ sT, ;c(r;a*)- e¡€ s+ p ar a i :r+

l , . . . , f l - l. P o r ta n to ' (r(l ; r¡*) + e¡,)t)2 (r(1 ; r¿*),)')

tr) (r(t ; a*) - er,tr)) (r(l ; ¿¿*), para ¿:r+l' Y, 6í, (e¡lr):O Y, Por tanto, )r;:Q igualmente: tiene se demostrar Para [4]

"''n-l'

r(l; rr*)+ e,,€ S+ Y, aSí,

Es decir,

(x(l; tt*)+ e,,,)))(x(l ; rr*)')t)

(e,,, r): )',,) o

t € c(u+) y Finalmente, [U se demuestra como sigue. Si es que existen o€O talesque (l(t, u*(t)),I)<(1, f, u), ),)

9.3. EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

entonces,siendoc(z*) abierto,existen4)0, y para todo s e lt - e, t + e'l se verifica:

e)0 tales que Ít-e,t+e'lCc(u+)

ff(s,a*(s)),I)<(l(s, o), tr)-rl Definimos un control admisiblemediante lz*(s) (sJ:iu u.,

si s€[0,1]-(t-e,t*e) si s€[ú-e,f+e]

y obtenemos tft \ /rr \ ( | ftt, r7(s))ds, r ) > ( | /(s, a(s))ds,), ) + 2e4 / \Jo ' \Jo-

Y, aSí,

/

(r(l ; ¿7),f) ) (¡(1 ; u*), )t) + 2eq

Pero esto contradice Ia relación demostrada:

(f, I) < (r(l ; ar), ),) para f € ¡
del teorema. I

B. Dernostración del teorema para un sistema regido por Ia ecuación x'(t): ¡1¡¡r1t) + lr(t, u(t)) La función f(t,€,o) del enunciadogeneral es aquí A(t)( + rlt(t,o), siendo A(t) matriz n x n continua a trozos en [0, l] y ú(t, o) función continua respectode o y continua a trozos respectode f. EI problema se puede reducir al caso A ya estudiado. En efecto, sea O(ú) Ia matriz fundamental de la ecuación d(t):A(t)A(ú) tal que O(1):/. Hacemos el cambio x(t):A1¡¡"1¡¡ y obtenemosla ecuación x' (t) : á'7¡¡qÉ)z(t) + A{t) z',(t) -- AQ)A(t)z(t) + $ (t, u(t)) es decir:

z'(t) : Q-t (t) rlt(t,u(t))

que es del tipo estudiado anteriormente. Teniendo en cuenta que r(0):g implica que z(0):Q, y gue siendo O(l):/ se verifica z(l):¡(l¡, resulta trivialmente que z* es control óptimo para el problemapropuestosi, y sólo si, z* es control óptimo para el mismo problema cambiandola ecuacióndada, x'(t): ¡1¡¡*(t) + ItG, tt(t)),

270

CAP. 9.

CONTRO'I-DE SISTEMASLINEALES. EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

por Ia obtenida: z' (t) : -r(¡){t(t, tt(t)) Según el caso ya estudiado, si n* es control óptimo, definiendo r(t) = .\,, para un cierto vector unitario se verifica [l], [2], t¡l^v t+1. ru profi"a"d [l] afirma:

(O-t(rx/(r,u*(t)),I) > Gl,-r(r)rl(r, u),),) o, lo que es lo mismo,siendo
> (A(t)r(t; u*) + g(t, u), *"-r1r)tr) Esto sugieredefinir en nuestroproblema X(r):O*-t1¿¡¡ con lo cual se tiene ciertamente [l]. Asimismo, teniendo en cuenta que
se obtie_

X'(t) : ¡q* -r(t)],tr: - q*-r(¡)
I

EJ ERCI CI O

l.

EstúdieseIa significacióngeométricader principio de miáximo obtenido-

t0 SISTEMASLINEALES.CONTROTDE TIEMPOOPTIMO. PRINCIPIODE BANG.BANG

El problema general que consideraremos en este capítulo es el siguiente. Sea 0 un proceso regido por la ecuación r'(t):

A(t)x(t) + B(t)l¿(t) + b(t)

donde lI A(t) es una función matricial real n x n, analítica a trozos en [ú0,oo), es decir, [fo,oo) se puede dividir en intervalos [f¡,ú¡*¡] con úq(ú1{tr... y la función A(ú) es de componentes analíticas en cada intervalo (tu t,*r). En los puntos ú¡ es tal que A(r) resulta continua por la derecha en ú¡ o bien por la izquierda de t¡. 2) B(r) es una función matricial real ¡zx nr, también analítica a trozos en [fo, oo). 3) b(r) es un vector n-dimensional continuo a trozos en [ú0,oo). 4) u(t) es el control, una función continua a trozos definida en [ro,m) y con valores en el conjunto de restricciones, un conjunto compacto de R"', que será, aquí,

O :{u€R"': lu,l
r(t ; u): Q(t)fl+ o(t) f ' 4-'1r;1r{r)¡¿(s) + b(s))ds -to

siendo O(t) la matriz fundamentaldel sistemaA'G):A(t)AG) tal que O(r0):1. Es sencillo probar, a partir del desarrollo en serie que proporciona O(ú) [recuérdeseque It o(4:1+ | A(sr)(D(s,) ds, u to

rD(r):1+ 'atr,¡ ...'], f ["'o{rr; ds2ds,, ' to "to

que O(r) es una función matricial n x n analítica a trozos. 7l

Cap. 10. SISTEMASLINEALES. CONTROL DE TIEMPO OPTIMO. PRINCIPIO DE BANG-BANG

272

Para cada t>to se supone dado un coniunto compacto G(ú), que varía continuamente con el tiempo en el sentido preciso que indicaremos más adelante. Al coniunto G(ú) lo llamaremos meta u obietiuo. Supondremosfl € G(ro). Consideramosel coniunto accesibleK(ú) en el instante t>to, es decir: l((0: {x(t; tt):u €'U} Puede suceder que para algún r)úe se verifique

¡<(r)nGG)+ó, es decir, que exista algún control ¿r€ cll tal que dirija f a G(t) en el instante ú. Un control ¿¿*€'ll se dirá que es control de tientpo óptimo (control óptimo) cuando exista ú*)ús tal que x (t+ ;tt* )€ G (r* ) y para todo r tal que úg
se tenga

G(f)n Kft¡:6, es decir, con ningún control admisible se llega antes a la meta que con z*. Veremos a continuación algunos resultados generales sobre el problema de determinar un control de tiempo óptimo.

IO.I. EL CONJUNTO DE BANG.BANG PRINCIPIO ACCESIBLE. Consideramos aquí la situación general descrita en la introducción. Como veremos, un razonamiento bastante simple, basado esencialmente en el teorema de Lyapunov demostrado en el capítulo anterior, permite deducir propiedades muy interseantes del conjunto accesible. Comenzamos con dos lemas previos. r¿nafunción analítica e trozos en fto,tl. continuas a trozos A Sea 1J el cottitmto de funciones de lt¡,tl a l,-l,lf no oscilantes ll sea l0.l.l.

Lema.

Sea g:fto,tf ->R"

.\Is:{u € U: Vs e [fo,f], lu(s)i:l ] Sea F_

Eo:

Entonces E:Eo,

ueu] IJu,'u,'s: e uo] IJ'sGl'r"las:'

A este coniunto es compacto ll conuexo.

pRtNctpto DE BANG.BANG 10.1. EL CoNJUNTO ACCESTBLE.

Dnuosrnecló¡¡. los de [ro,f]. Sea

273

Sea ,Ar la familia de todas las uniones finitas de intervaaa tt,

R:Jls(s)ds:P €"R'I lJp -

)

Por el teorema de Lyapunov (obsérvese gue g, siendo analítica a trozos, es no oscilante) resulta que R es compacto y convexo. Sea ahora, para P €.40, up(s):2¡p(s) - I Entonces upe lJs, y, recíprocamente, todo u €1)6 modo. Claramente se tiene

puede expresarse de este

E o:2R-g:{2t-E :f€R}, siendot el vector g: I g(s)ds tr o Así, Eo es compacto y convexo. Sea ahora ze E, es decir: ft

z: I s(s)u(s)ds to "

con un cierto u €'lJ. Demostraremos que existe una sucesión {zk} CE' \ue z¡a+2. Así, z€ Eo, y, por tanto, como E¡CE, se tiene E:Eo. Sea

l ), ¿ r ( s):*(u (s)+ ¿¿

y

¿ :+@+ E)

Obsérveseque O-
Z: I zu(s)g(s)ds 'o

Definimos lr

r

2,,: LUtD l- g(s)ds - ",

i =l

siendo

( i -r i) :, E¡:J s € Íto,t'J:
se tiene:

3r

/;

\

|

ti -.

<+)l lz-¿,1:It ; ;); | (+-ro(s))g(s)dsl '' ir E.\n / n f= l JEI,' -ls(s)lds: | :iJ'I r t le(s)lds

tal

274

CAP. IO. SISTE/IIASLINEALES. CONTROL DE TIEMPO OPTIMO. PRTNCIPIODE BA}IG.BANG

y, así, |n+E

para h-+m. Si ponemosF,:)E¡

resulta:

It

ts'f -zn:h

2j Jr t scv'

t:r

Puesto que R es convexo resulta de aquí que 2¡,C R y, así, zt,:22t,-U€ Eo. Entonceszn)Z

y, por tanto, z €Eo. Esto concluyela demostracióndel lema. I

El lema siguiente es una sencilla consecuenciadel anterior, y será más útil para nuestros propósitos. 10.1.2. Lema. Sea Y(s) una función ntatricial nxm definida en fto,tf g qnalítica a trozos. Sea ahora 1J el coniunto de funciones oectoriales nt-dinzensionales continuas a trozos en lts, tf cotz oalores en a g no oscilantes a sea 'lIo:{u €U: Vs e lto,tf, Vi:1,2,...,nr, lo¡(s)l:1} Definantos

K:J

( lt trl

) I y(s)u(s)ds:u€UI

,;:

)

u€ uo &: t J,-Y{r)r1r¡ar: J Entonces K:Ko,

!! este coniuúo es compacto A conue)co. De¡rlosrnncró¡q.Sean yt(s),...,!1,,'(s)los vectores columna de y(s) y sea Parai:I,2,...,|n .

( f t

)

Ki: J I Y t(s)¿ls)ds:¿¿€U I (J. ) '0

I(¿:

( f t

)

a € .l}oJ I J, at(s)rrds)ds:

Por el lema I (obsérvese q* y,frl es analítica a trozos en [fe, t]) Ia:Kio este conjunto es compacto y convexo. Se tiene rt

Jl

rt

Y(r)t(r)¿r: ), I a,(s)rry's)ds t I' o t' o ,7 - r

Por tanto. si =:

[:"Y(s)rr(s)ds

y

IO.I.

EL CONJUNTOACCES¡BLE. PRÍNCIP¡O DE BANG.BANG

275

existe u € Uo tal que, para cada i:

: i,',, yt(s)uls)ds {')u'{')d' I,',,t" Por tanto, z€Ks y K0:¡(. Que Ko es compacto y convexo resulta de Ia fórmula anterior y del hecho de que cada Ki es compacto y convexo. I A fin de enunciar el teorema siguiente introducimos en la familia F de coniuntoscompactosde R" una métrica p del siguientemodo. para K¡, K2eg ponemos: p(KrK):inf

{e}0:K¡.)

Kz, Kzuf Kr}

donde, si A es un compacto,A. denota A.:U

{B(r, e):x e A}

Dejamos como eiercicio sencillo la comprobaciónde que p es una métrica en 9. una propiedad interesantede esta métrica que utilizaremos luego es la siguiente. lo.l.3. tonces

Lcma. si P y Q son dos conjuttos compactosu coneros, enp(P, Q): p(ítP,0Q)

Dr¡uosrRacróN. sea p(P, ?)(e y sea r € ao. si B(x,e) es ra bola cerrada de centro r y radio e, es claro que B(x,e)ñP+ó, ya que Q,CP. Por tanto, o bien B(r,e)CÉ o bien B(r,e)ñdp lQ, en caso contrario los coniuntos B(x, e) ñ P

y

ya que

B(x, e) A P'

Por tanto, B(r, e) n AP+ @, es decir, x e (0p).. En resumen,si p(p, p) ( e entoncesAQC@P). y, análogamente, dpC(Ae),. Así, p(dp,do)(e. Recíprocamente, seap()Q,0P)<€ y r €p. Si x€0p, entonces x€(}e).Ce,. si rfdP existen z,u€dP tales que r es combinaciónconvexade ambos. Pero z,u€Q., pues dPC(dO). CQ, y Q. es convexopor serlo p. por tanto, xeQ.. Es decir, si p(dP,AQ){e entoncespCe,.y, pCp.. análogamente, Así, p(P,?)(e. I

C Ap IO

27 6

S IS T E MA SL INEALES.CONTROLDE TIEMPo oPTIM o. PR IN c IPIo D E BAN G .BAN G

I0.1.4. Teorerna. Para el problenn indicado erx Ia üttroducción, eI coniurtto accesible K(t) en el instante t)ts es compacto, conuexo g uaría cotl.tinuamente con el tientpo, es decir, lo ftmción K: t e [fo,oo) -+ K(¿) e $ es continua en la ntétrica p definida en 5. Adentás, si 116: { r r €' ll:

Vs € [Í0 ,s ),

V i :1 ,2 , ...,n t, l u,(s)l :i ]

g se define Ko(¿): lx(t; tt): rr e Us)

entonces

K(t):/(o (4 (principio de bang-bang). De¡'losrneclót¡. Que K(f):K0(0 y que este conjunto es compacto y convexo es una consecuenciainmediata del lema i0.1.2. Para demostrar la continuidad procedemos del modo siguiente. Sea f2 € [t0,oo) y tratemos de demostrar que dado e]0 existe 6]0 tal q ue si l tt-tr l ( 6 ent once s p(K(t), K(¿J)( e Que p(K(rr), K(t:)) e, significa que: -< a) para todo punto r(f3; r¿) de K(rr) existe r(fz; ír)e K(tr) tal que l r(ú 3 ;rr)-r(t2 ; u )l (e ; b)

para todo punto r(/:; t7) de K(t)

existe r(ú3; ft)€ K(h) tal que

lx(tz;u)-r(h; t)l<€ Tratemos de estimar lx(tr; u)-x(tz; Í)l de variación de las constantes se tiene:

suponiendo ú3)f2. Por la fórmula

r(4; tr)- r(tr; ú.¡: ft,-..- - I _ : lI q, ( ¿ J f + { r(f_ I -.--",)| (r-r(s )[B (s )¡r(s )_ b(s)]ds L ' "' J J ,o

," --l = - | o(4)fl + trr{rr¡ '
"' o

-o(r,) |' Q-'(s)(B(s)fr(s)+b(s))ds+ t to

+
I0.2.

EXISTENCIA DEL CONTROL OPTIMO. PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

277

Dado r(r3; ¡¿)€K(r¡) elegimosfr igual a u en lto,tzl y, así, queda:

lx( t';u ) - r ( tz i t¿)l(lo(¿¡)-o(Dllf l+ ar

+ + lo(4)- o(ttl | ' ¡o-'{'¡¡lB(')ut')+ b(s)lds J t-

+b(s)lds + lora)l l*-'UlllB(s)rr(s) f" Siendo O y E-t continuas y B(s), b(s) continuas a trozos y a(s)€O, O comy ¿¿es un control pacto, resulta claro que existe 6)0 tal que si 0(ú¡-ú2(6 admisible cualquiera, entonces l ,x (4 ; u )-x (tz i z ¿ )l (e Análogas consideraciones sirven para demostrar a) y b). (Hágase en detalle.) | El hecho que hemos demostrado, K(t):Ko(t), constituye lo que se denomina principio de bang-bang. Los controles de üo se denominan controles bangafirma que si se bang por razón de su estructura. La igualdad K(t):I(0(4 puede alcanzar un estado x(t; u) en el instante ú, con un control u, entonces se puede alcanzar este mismo estado con un control bang-bang. Como corolarios útiles para el problema de control óptimo que estudiamos resultan los dos siguientes, de demostración inmediata. Si de entre todos los controles de lJo existe uno uf 10.1.5. Corolario. que es óptimo, entonces uf, es óptinzo de entre todos los controles de 1J. Si existe un control lO.l.6. Corolarlo. control bang-bcmg que es ó1ttimo.

óptinto, entonces existe ttn

DEL CONTROLOPTIMO.PRINCIPIO I0.2. EXISTENCIA DE MAXIMO DE PONTRYAGIN Demostraremos a continuación dos teoremas interesantes. El primero se refiere a la existencia del control óptimo, supuesta la alcanzabilidad de la meta. El segundo, principio de máximo, da una condición para que un control sea óptimo que permite en muchos casos determinarlo. 10.2.1. Tcorema. Supongantosque existe t20 Entonces eriste un control óptimo u* g se uerifica

tal que K(t)ñG(t)+Q.

x(t*;u*)€AK(r-) DeuosruclóN. El teorema, en lo que se refiere a la primera parte, es una sencilla consecuenciade la continuidad de K(s) y G(s) como funciones de [fo,m) a S' con la métrica p.

Cap. lO.

278

SISTEMASLINEALES' CONTROL DE TIEMPO OPT|MO. PRINCIPIO DE BANG-BANG

Sea ú* : i n f { t : K (t) ñ G(t) + (h } Entonces

K (r*)ñ G(f)+,h

ya que, si K(t*)nG(t*):rp, existiráe)0

tal que

(K(t*)).n (G(ú*)).:d, y, por la continuidad de K(s) y G(s) en ú*, para este e>'0 existirá 4>>0 tal que para todo s eff* -n,t* *Ti se tenga ¡((r) c (K(r*))., Y, aSí,

G(t) c (G(t*)).

K(4n GG):o,

lo que contradice la definición de ú*. Sea, por tanto, p € K(t*) n G(t*). Entonces existe z* e 1l tal que r(t" ; tt*):p € K(t+) ñ G(t*) Es claro que lr* es control de tiempo óptimo y que este tiempo óptimo es ú*. Veamosfinalmente que p: x(t* ; u*) € ¿K(r*) Si p no está en la frontera de K(¿*), estará en su interior K(ú*)0.Pero esto fácilmente por la continuidad de K(s) y G(s). En efecto, suponga," "*"iry" mos p é <(¿-)0. sea 2r la distancia d@, aK(t*)). Entonces se tiene, en virtud del lema 10.I.3: p(K(s),1p¡¡: p(oK(s),{P\))2r}0 y por la continuidadde K(s) existe4)0

tal que, si r€ lt*-n, ú+),se tiene:

p(?K(t),{P})>r lo que implicaB(p,r)CI((ú) para telt*-n,t{'). Por otra pafie, p e G(t*) y G(s) varían continuamentecon s. Por tanto, existe algún fr € [t* -q,t*) tal que B(p,r)AG(tt)+ó En efecto, se tiene p(G(t),G(r*)) -> 0

para r f r*

Pero si B(p, r) n G(t) :0

para todo

t e lt* - 17,t*)

10.2. EXTSTENCTADEL CONTROL OPTTMO. PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

279

entonces p(G(t),G(t*)> r

para todo

t e lt* - q, t*),

Io que contradicelo anterior.Así, si pe GG*) ha de existiralgúnt¡ e ft+ -r¡,t+) tal que B(p,r) n G(t) + Q Por tanto, K(rr)n G(t,)*ó, lo que contradice la definición de ú*. Esto demuestraque ha de ser x(t*; T*) e AK(t*). I

El segundoteorema importante es el principio de máximo de Pontryagin para el problema que tratamos. Diremos que un control u € \L es extremal en [üs,f] para ú)ú6 cuando se verifica x(t; tt)€ ?K(t), Hemos visto en el extremales. teorema precedenteque los controles óptimos son necesariamente Por eso es de interés la siguiente caracterizaciónde los controles optimales. 10.2.2. Teorema. Un control u* es extrental en fto,ú+] si, g sólo si, se oerifica la condición siguiente: Existe una función oectorial n-dimensional \(t) idénticamente nula ll co,l deriuada en lts, t*l tal que a) tr'(r¡: -A*(t)I(¿); b) para todo tefto,t*) se uerifica :máx { (I(t), B(t)u):u C O } (I(f), B(r)rr*(r)) De¡uosrnecróx. Supongamosx(t* ; tt*) € AK(ú*). Puesto que K(ú*) es convexo y compacto,existe un hiperplano de apoyo rr de K(r*) en r(ú*; a,l*),es decir, existe un vector unitario ),(ú*) (normal exterior a K(ú*) en x(t+;u*) correspondientea r) tal que r tiene por ecuación (t - x(t* ; ¿¿*),),(t*)):0 y los puntos de K(r*) están en el semiespacioafín determinado por zr de ecuación (€-x(t*; a*), tr(ú*))(0 Definimos la función ),(r) mediante )'(r): 4* -t1¿)o+(t+)¡'(t*) donde
280

Csp. 10. SISTEMASLINEALES. CONTROL DE T¡EMPO OPTIMO. PRINCIPIO DE BANG-BANG

Es claro que la notación es consistente,es decir, L en ú* es precisamente tr(r*). La función ), satisface tr'(r¡: -A*(t)I(ú) como se compruebafácilmente, y, así, se verifica a). Supongamosahora que para algún ttefto, ú*) se tiene (tr(tr),B(tr)¿¿*(rr))<máx { (tr(r,),B(t,)u):u € O } Entonces,por continuidad, (tr(s)'B(s)rr*(s))(máx { (r(s), B(s)u): o € o } para s en todo un cierto intervalo abierto de [to,r*). Definamos ahora una función u de fto,ú*) a O tal que (I(s),.B(s)i(s)):máx{(I(s), B(s)u):u € O } La función ¿¿(s)viene definida tomando para cada s € [ús,f*) el vector u(s) de dirección igual a la de B*(s)),(s)y de módulo máximo posible con la restricción n(s)€O. Si B*(s)tr(s):0, entonces¿7(s)se elige arbitrariamenteen O respetandosiempre la continuidad a trozos. Es fácil ver que ¿¿es un control admisible, es decir, continuo a trozos, por la continuidad a trozos de B*(s) y por la sencilla estructura de O. Entonces se tiene (tr(¿*), ¡(¿*; ai)):

I t* : (tr(r*), + .t (¿*) |
ro

'. + b(s))ds): > (tr(r*),O(r*Xo+ O(r*) f O-,{s)fB(s)zz*(s) -o :(tr(ú*),r(t* ; u*)) Es decir: (tr(ú*),x(t*, ii) - x(t* ; zr*)))0 lo que implica que r(f*; u*) no está en K(r*), lo cual es contradictorio. Por tanto, se ha de verificar b). Veamos ahora que, si se cumple la condición del teorema, entonces x(t*; u*) € AKG*) Supongamosque r(/*; er*)fuese interior a K(t*). Sear(ú*; z7)otro punto de K(ú*) tal que (tr(¿*), r(r*; u*)-x(t*; e7))(0 Tales puntos existenpor existir una bola de centro x(t+; u*) y radio positivo incluida en K(r*). Para los controles u* y ú se verifica, según la hipótesis, * (r))> {r1r;, B(t){t(t)) (I(r), B(r)¿¿

I0.3.

UN EJEMPLO

281

para todo t € lto,f*), y esto implica, con er mismo cálcuro que antes, a través de la fórmula de variación de las constantes, (tr(r*),x(t*; t¿*)))(tr(r*),r(r*; z7)) Esta contradicciónconcluye la demostracióndel teorema. t obsérveseque de la demostracióndel teorema resulta que una vez fijado )'(r*) queda fijada la función r(s) y que Ia condición b) fija enroncesa*(sl en aquellos puntos en que B.(sh(s) # 0 En nuestro caso, puesto que B es analítica a trozos y ), también, el coniunto {s € [fs; ú*):.B*(s)I(s):0] tiene una estructura muy sencilla.Es una unión finita de intervalos más una colección finita de puntos.

10.3. uN EJEÍTAPLO Consideramosen esta sección un ejemplo sencillo relativo a un oscilador armónico amortiguado.Se rige por la ecuación x"(t) + x(t):u(t¡ donde r(r) representala separacióndel punto de reposo y u(t) la fuerza de namortiguación>,a la que imponemosIa restricción la(r)l<1. La ecuaciónse puede escribir equivalentemente

: (_ll)(;g).ff)*u Gn':(_ot?.r,t) y así, con la notación de las secciones anteriores

o:(

0 l\

\-t

/o\

o ) ' u : (i /'

/o\

b(t):(;l '

o:{ u € R: lu l( l}

El problema consiste en alcanzar desde el origen un punto O: (í) " tiempo mínimo. Supongamospor un momento que existe un control admisiblez que dirige el proceso desde el origen en ú:0 al punto p para ú:úr, €S decir, r(0; ¿¿):0, x(tr; u):p De acuerdo con el teorema 10.2.1(aquí G(t):1p¡ para t)0) existe un control u* de tiempo óptimo t*. Por el corolario 10.1.6existeun control bang-bang

282

CAP. IO. SISTEITTAS LINEALES. CONTROL DE TIEMPO OPTIMO. PRINCIPIO OE BANG-BANG

¿¿teue es óptimo, es decir, que envía el origen a p en el mismo tiempo ú*. Por el teorema 10.2.2,existe tr(ú) solución ,ro triviai de tr'(ú): -A*(t)I(t) tal que para todo r€[0,ü*)

t+l

se tiene:

(I(r),^B(r)¿¿fi(ú)):máx{(r(r), B(t)u):u€O}

t+ +l

La ecuación[+] es, aqui

-l)^rrl r(r):- f 9 I 0 \

/--'-'

y sus soluciones no triviales son todas de la forma I(t):f

c¡cosú+c2sent\ \ -c¡ S€. t + crcost )'

^2' -2 '^ ci+ci=u

Recordandoque ll(r-)l:1, tomamoscf + cl:|. La expresión +] es, aquí, [+ (-c1 sent+c2 cosf)afi(r):¡¡6¡ -cr sent+c2 cosr)u: ( {( lul I } y, así, es claro que se puede tomar

(-c¡ sent+c2cost)>o u[(t): f * 1 ti ( -l sr (-crsenf+c2cosú){0 Para mayor facilidad pongamos - cl senf + c2cos/: s€n(t +
x'Qt¡:g1t¡

a'G): -x(t)+r

tiene por solución general (o¿,F paúmetros arbitrarios): {*(t)-l:as€rt+Bcost ( g(t): -Bsen t+o¿cost y, así, las curvas correspondientesen el plano rU son (x-l)2+92:d2+ P' es decir, circunferenciasde centro (1,0) y radio a/@aBz. El sentido creciente del tiempo está indicado en la figura 10.1 por las flechas. Asimismo, el sistema

" $?,='!?u,-,

,I0.3.

UN EJEMPLO

283

tiene por solución general (7, 6 parámetros arbitrarios) f r(r)+1:TSent+6cos/ (u(t):-6senr+7cosú

Fig. 10.1.

Fig. 10.2. y, así, las curvas correspondientesen el plano (r, g) son (x +l)2 +92:1'+6' y centro (-1,0). Véase la figues decir, circunferenciasde radio ^/7iÜ ra 10.2. Las trayectorias óptimas bang-bang se obtienen' por tanto, del siguiente modo. Fijemosun A>>0 y un (I),04|!d12n. Si senco)0 partimos del origen p"r l" trayectoria de 6+ que pasa por el origen y procedemosen el sentido

284

Cap. 10. SISTEMASLINEALES. CONTROL DE TTEMPOOPT|MO, PRtNCtptO DE BANG.BANG

del tiempo creciente sobre ella hasta que sen(ú+@):O. A partir de este punto (punto de cambio de control) seguimosla trayectoria de G- que pasa por é1,siempreen sentidocrecientedel tiempo,hastaque de nuevosen(ü+
Fig. 10.3. Obsérveseque el espaciode tiempo en los que se recorre una misma curva solución de 6+ es ?r y, así, los puntos de cambio van siendo cada uno simétrico del anterior respecto del centro correspondiente.Con esto es claro que la curva lugar de cambios I tiene la forma señaladaen la figura 10.4.

Fig. 10.4.

I0.3.

UN EJEMPLO

285

La curva separael plano en dos regiones.En Ia superior el contror vale + I y en la inferior el control vale - l. Para cualquier punto p dado del plano se puede construir una trayectoria óptima que pase por é1. Si p está en la zona encima de la curva se sigue una trayectoria de G+ en sentido decrecientedel tiempo hasta cortar a f. Entonces se pasa a una trayectoria de G- recorriéndolaen sentido inverso del tiempo hasta cortar de nuevo a f, etc. Así llegamosal origen. Siguiéndola en sentido creciente del tiempo obtenemosla trayectoria óptima que buscamos y, así, la solución explícita de nuestro problema.

EJERCICIOS l.

En el ejemplo de esta sección hállese el conjunto accesibleen el instante t.

2.

Demuéstreseque en el ejercicio tratado para cada punto p del plano sólo hay una trayectoria óptima que pase por é1.

3.

Calcúlese,para el punto (5,7), el tiempo óptimo en el problema descrito. Estúdieseel problema de control de tiempo óptimo para la ecuación

4.

f )c':-Í*u 1 ,

l rrl
( { : -29 +u1+u2, lzrl< I

es decir, con Ia notación de 10.1,

A :(

t_r

0\

,

_ ;) ,

^ lt ,:(i

0\

;),

o:{u€R 2 : lu ¡ l( ,lu , ls r ¡

b(r) = (3) 5. Estúdieseel problemade control de tiempo óptimo para l r,:-2x+u1+u2 ( y':

-g + u 1 + 2 u 2

e s d e ci r : o :(- 2

¡\

\ o _1,

6.

/I

I\

,: (,i ;),

o:{r€R2 : lu ¡ l( 1 ,lu , l( t }

Aplíquense los principios de este capítulo al ejemplo expuesto en g.4.

n GONTROLDE SISTEMASNO LINEALES. EL PRINCIPIODE MAXIMO DE PONTRYAGIN

El presentecapítulo debe ser consideradocomo una continuacióndel capítulo 9. Se trata aquí de demostrar la validez del principio de Pontryagin en la forma general en que allí quedó enunciado.La demostraciónde esta formulación general está basada esencialmenteen el resultado final del capítulo 9, haciendouso de una linealizaciónadecuadadel problema que tratamos también aquí. Como en el capítulo 9, se sigue en la exposición Ia línea trazada por Herrlrv Í19671.Esta exposición evita toda referencia a técnicas avanzadasde Ia teoría de la medida y de análisisfuncional. Conservamosaquí Ia notación de la introducción de 9.3.

I I . I.

E L PR IN C IPIO D E MA XIMO

Supongamos que u* es un control óptimo del problema que consideramos (véase 9.3). El control zr* permanecerá fijo en todas las consideraciones de esta sección y de la siguiente. Sea ¡(r; u*) la trayectoria correspondiente y consideremos

A(t):l ' " J s :,,,.,,* ; ¡ +G,€,u*(o)f ü€ Es decir, A(r) es la matriz jacobiana de f(t, €, u*(t)) respecto de { evaluada en el punto (t,x(t; u*),u*(t)). Por la hipótesis sobre f y z* resulta que A(ú) está definida en [0, l] y es continua a trozos en [0, l]; más precisamente, continua en c(z*). Sea
tt)-x(t; 286

tt*)

II.I.

EL PRINCIPIO DE M AXIMO

287

es decir, AG; u) representala perturbación de la trayectoria cuando el control óptimo z* se sustituye por otro cualquiera u €'ll. Es claro que A(t; u) es continua en [0, l] y con derivada continua a trozos en [0, l], más precisamente: A'G ; u) : f (t, x(t ; tt), tt(t)) - f (t, x(t ; tt*), tt*(t)) para todo t € c(u)ñc(u*). Si definimos para u € O ,lt(t,u):f(t,x(t; rr*),u)-f(t,x(t; tr*),u*(t)) y, para u€ 1L: k(t ; u) : f (t, x(t ; tt),uft)) - f (t, x(t ; tt*), tt*(t)) -,lt(t, t.(t))- A(t)(x(t ; u) - x(t ; tt*)), se obtiene, por mera sustitución, + k(t ; tt) lt' G i u) : A(t)g(t ; tt) + lt(t, L¿(t)) para todo t€c(u)ñc(¿¿*). Como y(0,2t):9, Oo. la fórmula de valiaciónde las constantespara ecuacioneslineales, aG; u):o(r) r f0

'o-r(s)[r!(s,rr(s))+k(s; u)jds

Obsérvese que si la ecuación de partida que gobierna el sistema x'(t):tQ,

x(t), tt(t))

fuese lineal, de la forma x'(t):

¡1¡¡r1t) +,$(t, u(t)),

Aquí no sucede necesariamenteesto, pero, como \/ereentonces k(s,u):0. mos en el lema siguiente, el término k(s, u) satisface estimaciones que nos permitirán manipularlo de forma conveniente. ll.l.l. Ler¡ra. tes propiedades: l) Existe c¡{oo se uerifica:

El ténnino k(t; u) definido arriba satisfoce las siguiental que para cada ¿¿€'lI

g cada t tal que u(t):s*¡¡¡

lk(t;u)l{cls(t; u)12 2) Existe c2(oo tal que para cada u e \I g cada t e [0, If se uerifica:

lk(t; u)l4crls(t;u)l

288

cap. ll

CONTROL DE SISTEMASNO LINEALES. EL PRINCIPIO DE MAXIMo DE PONTRYAGIN

Dr¡',rosrnacróN.Recuérdeseque, entre las condicionesimpuestasa f , en 9.3, figuraba: lf(t,€,u)l<M(l+ lfl) para todo (t,t,a) € [0,l] xRu x o De aquí es sencillo deducir, mediantelos resultadosdel capítulo 4, que existe una constantec tal que para cada f y cada u e 1I se tiene: ly(r; ¿¿)l(c De Ia definición de /c(r; e.r)se tiene, si es que er(r):u*(t), k(t; u):f(t,x(t; tt),tf(t))-f(t,t:(t; zt*),tt*(t))-A(t)(r(t;tt)-x(t; tt*)) y, por tanto, k(t ; u) : f(t, x(t ; u*) + g(t ; tt), tt*(t)) - f (t, x(t ; u*), tt*(t)) - A(t)U(t; u) Definamos Ia nueva función 0(t, t) para t € [0, U, f € R", mediante e(t, €) : f (t, r(t ; tt*) + (, u*(t)) - f (t, x(t ; tt*), tt*(t)) - A(t)( Es claro que 0(ú,0):0 para todo I € [0, t]. Asimismo,por la condiciónd) sobre la función f(t, t, o) en 9.3, resulta que 0(ú,4) tiene derivadas primeras y segundascon respecto a f que son continuas respecto de f y continuas a trozos respecto de r. Por tanto, como consecuenciadel teorema de Taylor, resulta: raq I

(t,Ol.=of* p(t,€) o(t,t): L ,f

siendo p(t, f) una función tal que existen ci, d)0 y t odo f €R" t€[ 0, I] c o n l fl (d s e ti e n e :

tales que para todo

l p (t,0
:o l+(r,01 L ü € " --t e :o y, así, obtenemos:

g)l
l k(r;u )l (c,l y(r;a )1 , Así, se obtiene l).

EL PRINCIPIO DE MAXIMO

289

Para obtener 2) observemosque, de acuerdo con las definicionesdadas, podemos escribir, para todo t € [0, l], k(t ; tt): f (t, x(t ; tt*) + g(t ; u), u(t)) - [(t, x(t ; tt*), tt(t))_ A(t)y(t ; u) Definamos,para f €[0, l], 6€R,,y

ue (), la función

y.(t,t, u):f(t, x(t; tt*)+ (, u) - f(t, x(t; tt+),u)_ A(t)g Por las condicionesimpuestasen 9.3 sobre I resulta que, para cada ú € [0, l] y cada er€ O, la función p(t, t, o) tiene derivada con respecto a f que es uniformementeacotadaen ü€[0, l], u€O, f €R,, con lfl (c*, siendo c* una constantepositiva. Por tanto, del teorema de Taylor, teniendo en cuenta que ¡r(r,0,u):g para todo ú € [0, l], u € O, resulta, con una cierta constante c¡,

It Q,€ ,u )l
u)l lk(t;u)i4czluft;

para todo t € [0, l] y todo tt € 11. Esro concluye la demostracióndel lema. I continuando con la demostracióndel principio de Pontryagin,definimos, para t € [0, 1] y u e'U, la función z(t; tt):.Ir(4 l" O-,(s)rl,(s, a(s))ds J0 que claramentees continua en [0, l], tiene derivada continua en c(¿) ñc(u*), y verifica, para t € c(a) ñ c(u*), z'(t ; tt): A(t)z(t ; tt)+ { (t, u(t)) y tambiénz(0; ¿¿):0. Se tiene entonces: y(t; tt)-z(t; tt):{>fr¡ f ',t,-,1r¡t(s; u)ds 0

para todo t € [0, U. obsérvese que, en cierto modo que se precisará después,cuando z¿ se aproxima a ¿¿*entonces AG; rr) es pequeño, lo que implica que k(ú; n) es pequeño,según el lema anterior, y esto implica que g(t; zt)-z(t; u) es asimismo pequeño. Definamosfinalmente los conjuntos K:{r(1;

u):tt € 1l}:{r(t;

?¿*)+ U$; u):a € 1l}

R:1rft ; u*)+z(l; t¿):a€ 1l)

290

Cap. ll.

CoNTROL DE SISTEMASNO LINEALES. EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGTN

Si Z es el conjunto Z:{z(I;

tt):u € 1I}

entoncesse puede escribir R:1" 1t

u*)+z:z e Z|:x(t;

u*)+Z

El teoremade Lyapunov de 9.2, utilizado como en 9.3, los permite afirmar que Z es convexoy eue, por consiguiente,también lo es K. Sea'como en 9'3' s+:{f : f € s, (,,}r,,(r; u*)} EI conjunto S+ es convexo, y, por Ia definición de control óptimo, S+n K:ó En la próxima seccióndemostraremosel lema de aproximaciónsiguiente. tl.l.2. Lema. Si /os corziuntosS* y K son disiztntos,entoncesexiste zm hiperplano que separa los conjuntos conuexosS+ y K. Con este lema concluiremosla demostracióndel principio fácilmente. Introduzcamosel problema de control lineal del tipo consideradoen 9.3.

(o)

aQ)u(t)+'rtt(t'tt(t)) [ ;'3]::

siendo A y ,l las funciones que venimos considerandoen esta sección,con la misma familia cll de controles de que aquí disponemos.Obsérveseque a*) es el conjunto accesibleen f:l correspondiente Z:R-u(I; a este prolos dos conjuntosconvexosZ y S*-x(l; u+) se veriblema. Si consideramos fica, según el lema precedente,que existe un hiperplano que los separa.De aquí resulta que z* es control óptimo del problema de control consistente en llevar el proceso que se rige por la ecuación o'(t): ¡1¡¡u(t) + {tG,u(t)) del punto O al conjuntoS-r(l;¿¿*) en el instantet:1, donde S:{E € R": fr:sr, ...,4,:s,}, de tal modo que la ordenadan-ésima final sea máxima. Por tanto, según el resultado de 9.3, ha de existir tr(¿) función de [0, l] R" no idénticamentenula, continua en [0, l] con derivada continua en a c(ar*)tal que 1) (t!(t,u*(t)),I(t))> (ú(ú,u),I(t)) para todo t€c(u*) y todo o€O. 2) )"(r): -A*(t)I(r) para todo t€ c(u*)' 3) trr(l):0 Pa1¿i:r+ l, ..., n- l.

4). \ ,, ( l ) > 0 .

I¡.2.

DEM OSTRACIONDEL LEMA ' II.I 2

291

Traduciendo estas propiedades en términos de la función f resulta trivialmente I) H(t, x(t; u*), u*(t), )\(t))>H(t, x(t; tt*), u, \(ú)) para todo t € c(tt*) y todo u € O.

2) tr'(r¡: -YH(t, x(t; u*),ar*(t), tr(ú)) para cada tec(u+). 3) It(t):0 Parai:r+1,..',rt-1.

4) ),,,(I)>0 es decir, el principio de máximo en la forma general enunciada en 9.3.

11.2. DEMOSTRACION DELLEMAII.I.2 A fin de probar el lema ll.l.2, enunciadoy utilizado en la secciónanterior, necesitaremosdos lemas previos que resultan de fácil demostracióncon las técnicasdel capítulo 4, y que son de interés en sí mismos. Continuamosaquí con la notación desarrolladaen 11.1. ll.2.l. Lema. Existe una constantec
292

cap' ll.

coNTRoL DE srsrEMAsNo LTNEALES. EL pR¡NcrproDE MAXr¡,ioDE poNTRyAGTN

El segundo sumando, por las condiciones de derivación de f impuestas en 9.3, satisface,con una constante ca, para todo ¿ € [0, l], lf (t, x(t ; ur), u,(t)) - f (t, r(t, ttr), ttr(t)l( c, Ir(r ; tt) _ x(t ; ur)l: qg¡) Así, 8'(¿)( c:g(t) + cryr(.t) Por tanto:

'*r,r¡rr+r, s(r)
r € [0,l],

g(r)(crlE le,
l gk; u )-:(s; u)l
jr(r; rr)-r(r; rr.)l(clE l es deci r:

la G ;u)l<.lf I paratodo r e [0,l] Por las definiciones de g(t; u), z(t; u), k(t,zr), sabemos que A' G ; u )-z ' (t;

tt):¡¡¡'

t1

para t € c(u), y, también, U(0; u) - z(0, er): Q Por tanto:

laG;u)-z(t;tDl:lf'*rq rr)dsj(f ' ¡r1s; ,;¡a, Jg

'

Jo

'l

para todo t € [0, l], y se puede escribir: fr

r

r

I lrt'' u)lds:JE| 1ns;ar)lds+ | licls; ., a)lds '1"Jto ,u _ r ' '

J¡

II.2.

Por el lema ll.l.I

293

DEMOSTRACIONDEL LEMA I'I I 2

existe una constante c1 tal que, si s€ [0, 1]-E,

entonces,

j,k(s;a)l(c1ly(s;rr)1'z y, asimismo, si s € E, se tiene, con otra constante c2,

l/c(s; zz)l( crly(s; ar)l Como lU(s;at)l<"lEl, podemosponer:

+cczlElz ; u)lds(cc,lEl'z J' t*U y, por tanto, el lema es cierto. I De¡*osrnecróNocl- re¡rnell.l.2. Observemosque demostrarel lema 1I.I.2 es equivalentea probar que si no existe ningún hiperplanoque separeS* y ,K entonceslos coniuntos S+ y K tienen al menos un punto en común. Recordamoslas definiciones: S* :{f r f € S, f,,}x,,(l ; rr*)} K:{r(1; tt*)+z(l; u): zr€ cll} K:{r(1 ; tt*)+gQ; u): ¿¿ € .ll} :{r(l

.1}} ; rl):u €

Introducimos tres nuevos conjuntos Sf, K*, Kx Sl:{f

€R':f

+r(l i u)e

5+ ¡:$+ -x(I; u*)

K*:¡( -x(l; u+) K*:K-

x(I; u*)

Es clarg que

Si : { f € R " :f¡ :0 , ...,f,:0 , f,,}0} K*:{z(1; u):u€ lLl K*:{y(l;

u):ue \}

y que el lema quedará demostradosi probamos: Si no existe ningún hiperplanoque separelos coniuntos conexos SL A R* entoncesS] a K,r tienen al menos un punto conzún. El caso general Demostraremosesta afirmación suponiendo qu,er:n-l. se puede obtener siguiendoexactamenteel mismo razonamientocon complicacionesque afectantan sólo a la notación.Si r:n-l se tiene: Sl : { 6 € R": tt: €2: €3:... : f"-r :0, f'}0

}

es decir, es la parte positiva del último eje coordenado.Es sencillo ver (hágase

Cap. ll.

CONTROL DE SISTEMASNO LINEALES. EL pRtNCtptO DE MAXTMO DE pONTRyAGtN

como eiercicio) que si sf y el conjunto convexo R*(l) no admiten un hiperplano de separación,entoncesexiste un punto

f-€ sl n (K *(l ))o Por tanto, existenl)0

y un subconjunto{e¡,€2,...,€,) de K*(l) tal que B(€*,n)C C:co {0, e¡,...,e,,}

Sea

r¿)

, \: JtrC R " :),¡)0 ,).I,
+ f(I)€C + I(f)€A

definidadel siguientemodo. Si f €C, entoncesI(f):I de A tal que

es el único elemento

tl

\-r

6: ) tr,e¡

,7,

y, recíprocamente, si I € A, f(I)

es el único elemento de C tal que

f :,i n,", Es claro que esta correspondenciaes continua en ambas direcciones,y se verifica, con una constantec:

lff¡'L- f(r")l( clr'- r'11 para todo tr', tr" € A, así como

lI(4)- I(f")l ( clf' - f"l paratodot', t" e C. Para cada i:1,2,..., n, existeun control u¡€ 1L tal que fl

e¡:z(I; u,): I G(s)r/(s,u,(s))ds (Recuérdeseque G(s) era tD-t(s), y que O(1):/.)

¡¡.2.

DEMOSTRACIONDEL LEMA II.I.2

Por el lema 9.2.2 sabemosque dado e)0 cada a € [0, U y cada k2ku se tiene: |

..

laz(I;

tti)-

295

existe un entero k¿ tal que, para

f

...-l

rrls))dsl(e )o*G(s)ú(s;

[+]

teniendo D[ la significaciónnu" ,""r" dio allí Fiiemos k:máx {kr,kr,...,knl¡ Para cada EeC y cada i:1,2,...,f,,

y definamosel coniunto M¡(f) mediante

M,(0:Dfier Mr(0:Dfxer -Di
i-1

M¡(0:Df,íc,- of,,., H y sea tl

M(f):

ll

Yt'fEl

Obsérveseque para f fiio, los coniuntos M(f) son disiuntos y que

: j trnot: i Inn*,¡ (colr(f)l lM(f)l t:l

i:l

siendo cs ün? constante que dependesólo de la dimensión. Para cada g e C S€ÍrzE€ 'll, el siguiente control: uE(t):vt1¡¡para t € M¡, i:1,2, ...,n UEG):u+(t) para los otros t de [0, 1] Por el lema 11,2,2se tiene:

lz(r; ug)- y(l ; zE)l< ¿lM(f)|,< acfr lr(fl l, Es sencillo comprobar que lz(I; ug)-{lS2n. por razón de las aproximaciones[ + ] arriba obtenidas. Así,

ecfr lu\ ; u) - tl < 2ne+ ll(fl l'z sea p, 0
una constanteque fiiaremos en seguidaconvenientemente

Cap. ll.

296

CONTROL DE SISTEMASNO LINEALES. EL PRINCIPIO DE MAXIMO DE PONTRYAGIN

y sea

C * :{FÉ :t€ B (t.,dI Puesto que 0 €C, B(t+,riCC pra { € C* una función l¿

y C es convexo,se tiene C* CC. Definimos

h ($ :t-a Q; u )+F t* La función así definida es continua, como muestra una sencilla aplicación del lema ll.2.l. Veamos que podemoselegir q, e, P tales que h tenga valores en C*. En efecto,

lh($- P€.|:lt - att; a{)l< 2ne+ zcfr ll(f)l'E g (€tr 2n c2oC e + Z + { 2ne+ Zc7sc2 < nY92 | 12 y esta última cantidad es menor que ?B si se eligen e, F, 4 suficientemente pequeños. Así, la función h:C++C*

tiene un punto fiio f €C*, es decir:

h(fl:E -s0; u)+ Ft*:E

o sea,Bg*:g(l; u). Como Ft* e S| e g(l ; u) € K*, resulta Sl n K* * Q, como queríamos demostrar.I EJERC¡CIOS l.

Demuéstrenseen detalle los puntos indicados en el texto.

2.

Efectúese la última parte de la demostración del lema en el caso n:3, f:1.

BIBLIOGRAFIA

Se reseñan a continuación solamente aquellas obras o artículos a los que se ha hecho referencia en el texto. BARBAsHTN, E. A. [f 970] : Introdttction to tlrc theorg ol stabilitg. Wolters-Noordhoff. Groninga, 1970. Benoesnlu, E. A., y Kusovsxu, N. N. [952]: rOn the stability of motion in the large', DokI. Akad. N¿uk. SSSR, 86 (1952), 413-456. (tIne remarque sur la méthode de Banach-Cacciopoli-Tikhonov Brelrcxl, A. [956]: dans la théorie des équátions differentielles ordinairest, BulI. Acail. Polon. Sci., cl. üI, 4 (1956), 26t-264. BounnAxl, N. [972] . Elementos cle Historia de las Matemdticas, Alianza Editorial. Madrid. 1972. CHrurrv, N. G. [956] : Estabilidad del ntouimien¿o. Gostekhizdat, 1956 (en ruso). CoooINGroN, E. A., y LrvrNsox, N. t1955]: Theory of ordinarg differential equations. McGraw-Hill. Nueva York, 1955. Cotrel., W. A, [965]: Stabilitg attd assgmptotic belntsior of diff erential equations. Heath. Boston, 1965. CounrNt, R., y Ronarxs, H. [967] : What is ntatlrctnatics.> Oxford University Press. Odord, l9ó7. DtruooxxÉ, J. tl960l : Foundatiotts of rnodern attalysis. Academic Press. Nueva York, 1960. Floquet, G. tl883l: qSur les équations differentielles linéaires á coefficients periodiquesr, Anrz. Sci. Ecole Norm. Sult. (2), (1883), 47-89. Gnomw,*r, T. H. U9l9l: sNote on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equationsr, Ann. of Math. (2),20 (1919), 292-296. He,nu, W, [1956]: ¡Eine Bemerkung, zur zweiten Methode von Ljapunovr, Math. Nachr., 14 (1956), 349-354. HenN, W. [959]: Tlrcorie uttd Anuendung der clirekten Methode oon Ljapwtou, Springer. Berlfn, 1959. Hrrexnv, D, E. U9661: Stabilitg, Oscillatiotts, time-lags. Academic Press. Nueva york. t966. HrrxrN, H. 11967l: qMathematical foundations of system optimizationl, en Topics in optimization (edit,, G. Le¡r¡r¡lnx), 197-262. Academic Press. Nueva York, 1967. HARTMTN,P. [964] z Ordinarg differential equations. J. Wiley. Nueva york, 1964. Hemres, H., y LeSerl.B, f. P. [1969]: Futtctional analgsis and time optimal control. Academic Press. Nueva York, 1969. HÓnuexorn, L. [f970]: qlinear differential operatorsD. Actes Congrés intern. math.,

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INDIGEDE MATERIAS

Acotación uniforme, 59. Aizerman. Problema de, 233. Aplicación(es) contractiva. Teorema d.e, 75. -lineales entre matrices, 128. Aproximación de funciones, 70, Ascoli-Arzelá. Teorema de, 62. Asintótica. Estabilidad (véase Estabilidad). Autoespacio de un operador,142. Aütovalor de un operador, l4l. Autovectoresde un operador,142. Bang-bang. Principio de, 242, 246, 276. Bernoulli, Ecuación de, 44, Bessel. Ecuación de, 55. Brouwer. Teorema del punto fijo de, 76. Cantor. Principio de selección de, 64. Cauchy. Problemas de valores iniciales de, 86. Cauchy-Peano.Teorema de, 89. Cayley-Hamilton. Teorema de, 143. Coeficientes constantes. Ecuación lineal, I 6 6. - indeterminados, Método de, 49. Conjunto accesible, 265, 272, 276, - Meta de, 237, 249, 272. - de restricciones de control. 264. Continuidad, 60. - uniforme. 60. Control admisible, 249, 264. - extremal. 279. - Función de, 264. -óptimo, 249, 277. - de sistemas lineales, 251, 27L. lineales,286. Convergencia uniforme, 61. Convolución de funciones, 73. Derivación de matrices, 135. Derivadas de Dini, ll7. Dini. Teorema de, 69, Ecuación autónoma, ll6. - exacta, 38. -lineal, 47, 158. coeficientes constantes. 167, - -h o mogénea ,15 8. - periódica, 169. - variacional, 175. Equicontinuidad, ó0. Equivalencia de normas en espacios de dimensión finita, 130.

Error de discretización, 56. Espectro de un operador,142. Estabilidad asintótica, 174, 213, 22r, -global, 224. -orbital, 176, 197. - - as int ót ic a, 17 6 . - en el sentido de Lyapunov, 174,212,213. -uniforme, 193, 213, 2L5. Estado inicial, 237, 249. Euler. Ecuación de. 46. -Método de, )3, 57. Exponencialde una matriz. 133. Factor íntegrante, 42. Forma canónica de fordan, 152. - - de una matriz real. 152. Función analítica, 50. Funcional de coste, 27,250. Global. Estabilidad, 224. Gronwall. Lema de, 108. Hilbert. Cubo de, 82. Independencia lineal de soluciones, 160. Indice de un autovalor. 143. - de funcionamiento, 237, 250. Inecuacionesdiferenciales,ll7. Inestabilidad, 220. |acobi. Fórmula de, 162. Jordan. Forma canónica de, 152. - Teorema de descomposiciónde, l5l. Kamke. Condición de. ll8. - Criterio de unicidad de, 124. Lagrange. Método de, 47, 160. Ley de proceso, 249. Liénard. Ecuación de, 207. Liouville. Fórmula de, 164. Lipschitz. Condición de, 68, 87. - - local de, 68. Lugar de cambio, 248. Lurie. Problema d,e, 215. Lyapunov. Estabilidad de, 174, 188, 212. -asintótica d,e, 174, 2L3, 223. --uniforme de, 193, 213,215. - Función d,e, 2ll, 213. - Inestabilidad de, 221. - Teorema de (control), 253.

300

INDICE DE MATERIAS

Mat¡iz fundamental, 159. - hermltica, 156. Müller. Ejemplo de,92. Nagumo. Criterio de unicidad de, 127. Normas de operadores, 132. Optimalidad. Principio de, 242. Orbita, 176, 197. Osgood. Criterio de unicidad de, 126. Peano. Criterio de unicidad de, L26, -Teorema sobre la diferenciabilidad, ll3. Picard-Lindelóf. Teorema, 87. PoincaÉ. Criterio de estabiüdad orbital y asintótica, 207. Pol, van der. Ecuación de,2O9. Poligonal de Euler, 33. Polinomio caracterfstico de un operador,

Reducción de orden, 47, Riccati. Ecuaciones Á", i6, 95. Routh-Hurwitz Criterio de, 186. Runge-Kutta. Métodos de, 55, Schauder-Tychonov. Teorema de, 79. Separación de variable, 36. Serie mayorante. Método de,49. Sistema fundamental de soluciones, 159. Solución acotada, 175. - m aúm al, 119 . -de un sistema lineal, I58. Soporte de una función, 71. Sperner. Lema de, 78. Tonelli. Condición de, L25. Traza de una matriz, 136.

r42.

Pontryagin. Principio de máximo de, 242, 246, 264, 286, Problema inverso en el método de Lyapun o v,2l5. Prolongabüdad de soluciones, 103. Punto fiio. Teorema del (véase Brouwer, Schouder-Tgchonots).

Valores regulares de un operadot,142. Variación de constantes. Método de, 47,

r60.

Vector de estado, 264. Wintner. I¡ma de. 104.