Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabolicas

Soluci´on num´erica de ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones diferenciales parciales parab´olicas Ing. Jes´ us Javier Cort´es Rosas M. en A. Miguel Eduardo Gonz´alez C´ardenas M. en A. V´ıctor D. Pinilla Mor´an * 2011

Resumen Introducci´ on. La ecuaci´ on en derivadas parciales parab´olicas. Ejemplo de aplicaci´on. Conclusiones.

1.

Introducci´ on

Uno de los ejemplos m´ as representativos de las ecuaciones en derivadas parciales parab´olicas es la propagaci´on del flujo de calor en una direcci´on en funci´on del tiempo. De nuevo resulta muy importante establecer que este tipo de soluci´on est´a sujeta de forma muy importante a las caracter´ısticas f´ısicas de los elementos del experimento, sobre todo en adelanto a la introducci´ on del nuevo concepto de estabilidad cuya aplicaci´on pudiera entenderse como la realizaci´on de artilugios matem´ aticos para manipular los resultados.

2.

La ecuaci´ on en derivadas parciales parab´ olicas

Las ecuaciones en derivadas parciales parab´olicas [?] se presentan en problemas de propagaci´on. En este tipo de problemas la soluci´ on avanza indefinidamente a partir de valores iniciales conocidos, satisfaciendo las condiciones de frontera conocidas, conforme la soluci´on progresa. Este tipo de dominio de soluci´ on, de extremo abierto, se muestra en la figura ??. En estos modelos la variable dependiente de U y las variables independientes son X y t. La soluci´ on debe satisfacer la ecuaci´ on diferencial parcial en todo el dominio abierto, as´ı como las condiciones iniciales y de frontera. Un ejemplo de ecuaci´on diferencial de tipo parab´olico se encuentra al considerar el problema unidimensional del flujo transitorio de calor que se define mediante la ecuaci´on diferencial numero ?? ∂ k ∂2 U (X, t) = U (X; t) (1) ∂t C · P ∂X 2 *

Facultad de Ingenier´ıa, UNAM. Profesores de tiempo completo del Departamento de Matem´ aticas Aplicadas de la Divisi´ on de Ciencias B´ asicas

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An´alisis num´erico

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Figura 1: Esquema general

Donde C es la capacidad calor´ıfica del material, P es la densidad del material y k es la conductividad t´ermica del material. Como se mencion´ o, la soluci´ on U (X, t) se propaga en un plano espacio-tiempo como el mostrado en la figura ??. Si se considera una red espacio-tiempo como la que se muestra en la figura ??, la soluci´on de la ecuaci´ on (??) consiste en determinar la temperatura U en cada punto de la red utilizada. Para utilizar la red propuesta, en la ecuaci´on (??) deber´an sustituirse las ecuaciones de derivaci´ on parcial num´erica de acuerdo a lo establecido por el m´etodo de las diferencias finitas [?]. Se propone el uso de las siguientes ecuaciones: ∂U 1 [−Ui,j + Ui,j+1 ] + O(h) (2) = ∂t i,j ∆t ∂ 2 U 1 [ Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j ] + O(h2 ) (3) = 2 ∂X i,j (∆X)2 Realizando la sustituci´ on: 1 1 [−Ui,j + Ui,j+1 ] = [ Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j ] ∆t (∆X)2

(4)

Despejando el t´ermino inc´ ognita Ui,j+1 resulta: Ui,j+1 = Ui,j +

∆t k [Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j ] (∆X)2 C · P

(5)

An´alisis num´erico

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Figura 2: Red planteada

Con la ecuaci´ on (??) puede obtenerse la temperatura U en la coordenada Xi en el instante tj+1 en funci´on de las temperaturas en los puntos adyacentes de la red. Las temperaturas iniciales conocidas y las temperaturas de la frontera suministran valores necesarios para iniciar los c´alculos que proceden entonces rengl´ on por rengl´ on satisfaciendo los puntos extremos de cada rengl´on, las condiciones de frontera dadas, hasta que satisfaga en forma aproximada alg´ un estado final de temperatura (en funci´on del tiempo), conforme la soluci´ on se aproxima a un estado estacionario. Esta progresi´ on de rengl´on por rengl´ on en funci´ on del tiempo, que contin´ ua indefinidamente, ilustra la naturaleza de extremo abierto del dominio de soluci´ on de una ecuaci´on en derivadas parciales de tipo parab´ olico. Por otra parte, la soluci´ on de la ecuaci´ on (??) ser´a estable y no oscilatoria si: k ∆t ≤ 0,25 C · P (∆X 2 )

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k ∆t ≤ 0,5 C · P (∆X 2 )

(7)

O bien, la soluci´ on ser´ a estable si:

La referencia hacia la estabilidad del modelo matem´atico radica en que si los coeficientes antes citados no tienen los valores necesarios para cumplir con las condiciones ?? y ?? los t´erminos de la ecuaci´on (??) tendr´ an valores tales que no se lograr´a que la ecuaci´on completa tienda a un determinado valor.

An´alisis num´erico

3.

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Ejemplo de aplicaci´ on

El problema consiste en determinar la distribuci´on estacionaria de temperatura a lo largo de una barra delgada. La barra que se muestra en la figura ??. La barra est´a hecha de aluminio y tiene una longitud de un pie.

Figura 3: Barra del problema

Se supone que est´ a perfectamente aislada en todas sus fronteras excepto en el extremo izquierdo. Las propiedades correspondientes del material son: k = 0,0370

Btu s · f t · oF

Btu Lb · o F Lb P = 168 3 ft

C = 0,212

La barra se divide en doce incrementos iguales mediante las trece estaciones mostradas, de acuerdo a la figura ??. Inicialmente la barra se encuentra en estado de equilibrio t´ermico a la temperatura de 100o F . La temperatura en el extremo no aislado es reducida s´ ubitamente a 0o F ; en ese instante la distribuci´ on de temperatura en la barra pasa a un estado transitorio. Este estado existe hasta el instante en que la temperatura en todos los puntos de la barra se aproxime al estado final de equilibrio a 0o F . Las

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condiciones de frontera establecidas matem´aticamente son: U0,t = 0o F ∂U ∂X (l, t)

(8)

o

= 0 fFt

La condici´on inicial es: U (X, 0) = 100o F

(9) 2

k En este sentido, los valores dados de k, C y P establecen una difusividad t´ermica C·P de 0,00104 fst . 1 Con el n´ umero de estaciones mostrado en la figura ??, el valor de ∆X es 12 f t. Con todos estos valores y haciendo referencia al criterio de estabilidad ya mencionado en la ecuaci´on ?? para una soluci´on estable y no oscilatoria, se observa que el uso de un valor conveniente es ∆t = 1,0 s para satisfacer el requisito para dicha soluci´ on.

En la tabla ?? se muestran las temperaturas en las estaciones 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13 en intervalos de 400s. Cuadro 1: Temperaturas Tiempo 100 500 900 1300 1700 2100 2500 2900

4.

1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3 28,51 9,13 3,27 1,17 0,42 0,15 0,05 0,01

5 53,49 17,64 6,32 2,26 0,81 0,29 0,10 0,03

7 72,60 24,95 8,94 3,20 1,14 0,41 0,14 0,05

9 85,26 30,56 10,95 3,92 1,40 0,50 0,18 0,06

11 92,16 34,09 12,21 4,37 1,56 0,56 0,20 0,07

13 94,31 35,29 12,64 4,53 1,62 0,58 0,20 0,07

Conclusiones

Si bien los resultados debieron ser resumidos para su presentaci´on, durante su obtenci´on es posible constatar la practicidad del m´etodo de las diferencias finitas, sobre todo para procesos en los cuales se desee una gran cantidad de puntos para lograr una buena aproximaci´on. 1

Referencias [1] Gerald Curtis F. An´ alisis num´erico. 2a ed. M´exico 1991. [2] Iriarte-Vivar Rafael. M´etodos num´ericos. M´exico 1990. 1

Editado por Juan Carlos Mar´ın Hel´ u. Junio 2011