Ejemplos-resueltos Periodo

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Javier Piqué del Pozo

EJERCICIOS PROBLEMA .- Se tiene un edificio de un piso constituido por cuatro pórticos en la dirección X y tres pórticos en la dirección Y (ver planta). Se desea determinar el periodo de vibración en cada dirección. Y 6m

2m

4m 6m 12m

X

ELEVACION X PLANTA

Las vigas pueden considerarse infinitamente rígidas. Todas las columnas son de (25 x 40 cm) orientadas con la mayor dimensión en la dirección X. Todos los pórticos están unidos por una losa maciza que se puede considerar de 800 kg/m2 incluyendo el peso de las vigas, acabado y columnas. Actúa una sobrecarga de 200 kg/m2 . Para estimar la masa puede considerarse el 25% de la sobrecarga. E= 230 000 kg/cm2 . Modelo: Suponiendo que la losa se comporta como un diafragma rígido, se puede considerar un solo desplazamiento lateral para todo el piso, ya que éste es común a todos los elementos que llegan a la losa. m representa la masa del sistema y k la rigidez, en este caso la rigidez lateral del edificio, KL. El modelo se aplica a ambas direcciones de la vibración, X e Y, la rigidez será diferente en cada caso.

m k

Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todos aquellos elementos que se estima que se aceleran simultáneamente: Losa más vigas: 800 x área del entrepiso (12 x 8 = 96 m2) = 76 800 kg = 76.8 t 25% de la sobrecarga: 0.25 x 200 x 96 = 4 800 kg = 4.8 t Total Peso = 81 600 kg = 81.6 t (Según los datos, en el peso de la losa por m2 se ha incluido ya el peso correspondiente a las vigas y columnas, de lo contrario habría que considerarlo adicionalmente) m = P/g = 81.6 t / 9.81 m/s2 = 8.318 t-s2/m Cálculo de la rigidez lateral del edificio, K, en la dirección X: En esa dirección son 4 pórticos. Debido a que todos ellos se desplazan por igual, la rigidez lateral total será la suma de las rigideces de cada pórtico (Por una condición de equilibrio de fuerzas). KLX = 4 x K pórtico K pórtico = k columna empotrada + 2 k columnas articuladas Ejercicios de Ingeniería Sismorresistente

Javier Piqué del Pozo

1.

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K pórtico =

12 EI 3 EI + 2x 3 3 h1 h2

E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2 I=0.25 x 0.403/12 = 0.0013333m4 h1= 6m; h2= 4m 1⎤ ⎡2 K pórtico = 6 x 2300000 x0.001333 ⎢ 3 + 3 ⎥ = 457.87 t / m 4 ⎦ ⎣6 KLX= 4 x 457.87 = 1 831.47 t/m

Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión: m T = 2π k sustituyendo los valores de m y k (KLX) calculados, se obtiene: T = 2π

8.318 m = 2π k 1831.47 Tx=0.423 s

Para evaluar el periodo en la dirección Y, Ty, la rigidez KLY se modifica en función de la inercia de las columnas. El procedimiento es el mismo, así como el valor de la masa.

PROBLEMA 2.- Se tiene un reservorio elevado como el que se muestra. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos, calcular cuál es el máximo desplazamiento que se produce si se le aplica un impulso que aplica instantáneamente una velocidad de 10cm/s. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ).

8m 4m

3m

15m

m k

Modelo: Se observa que la mayor parte de la masa está concentrada en la parte superior del reservorio, por lo que se puede considerar un solo desplazamiento lateral que define la posición de la masa. Cálculo de la Masa: La masa debe incluir toda aquella que se estima se acelera simultáneamente:

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Javier Piqué del Pozo

2.

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π D2

Tapa del tanque

4

Fondo del tanque Muros o paredes del reservorio Medio fuste

Agua contenida en la cuba

tx 2.4 =

π 82 4

0.20 x 2.4 =

24.13t

24.13t 8 + 7.6 π D promedio t xhx2.4 = π 0.20 x3.6 x 2.4 = 42.34t 2 15 3 + 2.6 π D promedio t xhx2.4 = π 0.20 x x 2.4 = 31.67 t 2 2 Total peso propio = 122.27t 2 2 π Dint erior π x7.6 h= 3.60 = 163.31t 4 4 Peso total = 285.58t

m = P/g =285.58 t / 9.81 m/s2 = 29.11 t-s2/m

Cálculo de la rigidez lateral del reservorio, KL, en el plano: En esa dirección el elemento resistente es el fuste que funciona como una columna empotrada en su base y libre arriba. 3 EI h3

KL =

E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2 I= I=

π

64

π

(D

(3

64 h= 15m KL =

4 exterior

4

4 ) − Dinterior

− 2.6 4 ) =1.7329m4

3 x 2300000 x1.7329 = 3542.82t / m 15 3

KL= 3 542.82 t/m

Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión: m T = 2π k sustituyendo los valores de m y k (KL) calculados, se obtiene: T = 2π

m 29.11 = 2π k 3542.82 T =0.569 s

Frecuencia Angular:

ω=

Ejercicios de Ingeniería Sismorresistente

2π 2π = =11.04 rad/s T 0.569

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3.

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La máxima amplitud de la vibración cuando se aplica una velocidad inicial es:

u& 0

ω

=

10 11.04

u máx = 0.91 cm

PROBLEMA 2.- Calcular la rigidez torsional de la estructura cuya planta se muestra es . (2 puntos) Calcular el corte por torsión del pórtico A cuando actúa una fuerza cortante de 40t (ubicada en el centro de masas que coincide con el centro geométrico de la planta). (3 puntos) De los valores tabulados en la tabla siguiente se puede calcular el centro de rigidez: 6K/3K = 2m yR= 12K/3K = 4m

Pórtico K en X K en Y Xi 1 2 A B

2 1 2 1

Suma

3K

0 6 0 0

Yi

K x X K x Y delta

0 0 6 0

3K

0 6 12 0

6K

12K

-2 4 -2 4

xR=

delta2 Kdelta2 K d /ΣK d2 4 16 4 16

8 16 8 16

V torsión

-0.08333 0.083333 -0.08333 0.083333

-3.33 3.33 -3.33 3.33

Rigidez torsional = 48 K

El centro de masas está ubicado en coordenadas: 3,3m. Por lo tanto se pueden calcular las distancias de cada eje al C.R. La rigidez torsional obtenida es JT= 48K La excentricidad de la fuerza aplicada es: 4-3 = 1m. Luego el Momento torsor actuante será: Mt= 40 x 1 = 40 t.m. (positivo antihorario)

Vt = M t

Kδ ∑ Kδ 2

Aplicando la expresión anterior se obtiene para el eje A, Vt = -3.33t PROBLEMA 3.- Para una estructura de cuatro pisos se ha realizado un análisis dinámico modal espectral y se han obtenido las formas de modo que se consignan La altura de cada piso es 3m. Usar análisis dinámico modal espectral. Considerar solamente los tres primeros modos. Usando los requisitos que exigen la Normas vigentes calcule el factor de seguridad al volteo. (6 puntos).

Nivel 4 3 2 1 Sa, m/s2 Periodo, s Factores de Participación

1er modo 2o. modo

3er. modo

0.64785 0.33298 0.19402 0.06111

0.18322 0.40954 -0.39988 -0.49525

-0.33500 -0.12600 0.47616 -0.50269

1.33 .3291

1.33 .0842

1.33 .0476

3.301338

-1.08191

-0.50391

El factor de seguridad al volteo es =

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Masa 2 (t-s /m) 2.5 14.5 18.0 21.9

Σ=56.90

Peso

10m

M equilibrante M volteo Javier Piqué del Pozo

4.

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El momento de volteo es el producido por las fuerzas con respecto a la base. Se calcula combinando los momentos de volteo que producen las fuerzas de cada modo. A su vez estas fuerzas se calculan con la expresión Fj,i= Masaj x aceleraciónj,i (piso j, modo i). La aceleración se calcula con la expresión de análisis dinámico modal espectral: U&& i = S ai Γi X i , donde Sai es la aceleración espectral para el modo i,

Γi el factor de participación estática del modo i Xi es la forma del modo i Los factores de participación para cada modo “i” se han obtenido aplicando la siguiente expresión

j =n

X T MI Γi = Ti = X i MX i

∑M j =1

4 3 2 1

2.50 14.50 18.00 21.90

Aceleración Modo 2 Modo 3

Modo 1

Fuerzas Modo 2 Modo 3

x j ,i

j =n

∑ M (x )

2

j =1

Nivel Masa Modo 1

j

j

j ,i

Momentos flectores Fixhi Modo 1 Modo 2 Modo 3

2.844567 -0.26364 0.224516 7.111417 -0.65911 0.561289 21.33425 -1.97732 1.683867 1.462042 -0.5893 0.084445 21.19961 -8.54488 1.224448 106.2673 -29.5893 7.041078 0.851899 0.575402 -0.31912 15.33418 10.35724 -5.74417 237.2029 -26.1295 -4.83422 0.268321 0.712633 0.336901 5.87622 15.60667 7.378127 385.7672 24.15024 5.424869

Aplicando la combinación modal a los momentos de volteo se obtiene: Mv = 0.25(385.76 + 24.25 + 5.42) + 0.75 RAIZ((385.77)2+(24.15)2 + (5.42)2) = 393.76 t-m E momento equilibrante está dado por el peso del edificio por el brazo respecto al punto donde se supone ocurrirá el volteo: Peso , P = Masa x gravedad P= 56.90 x 9.81= 558.10 t Meq. = 550.10 x 10/2 = 2790.95 t-m . FS al volteo = 2780.95/393.76 = 7.09 > FS minimo según RNC = 1.5 PROBLEMA 4.- Para una estructura de ocho pisos se ha realizado un análisis dinámico modal espectral pseudo tridimensional y se han obtenido las formas de modos y periodos naturales. Las unidades, donde corresponda, están dadas en metros, segundos y toneladas

1. Cuando el sismo actúa en la dirección X, la fuerza que se produce en el sétimo piso en la dirección Y debida al primer modo es: (3 puntos). F7y= Masa7 x aceleración en dirección Y del modo 1, debida al sismo actuando en X = M 7U&&1,7 , y = M 7 Sa1Γ1 x v1, 7 (ver valores encerrados en marco de línea sólida) F7y = 18.6 x 3.026 x 10.567320 x -.000150 = -0.089 t

2. Cuando el sismo actúa en la dirección X, el momento torsor que se produce en el cuarto piso debido al tercer modo es: (3 puntos). Mt4= Inercia rotacional, 4 x aceleración rotacional del modo 3, debida al sismo actuando en X = JM 4θ&&4,3 = JM 4 S a 3 Γ3 xθ 4,3 (ver valores encerrados en marco punteado) Mt4 = 870 x 3.845 x 1.473460 x 0.011564 = 57.0t-m

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Javier Piqué del Pozo

5.

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Nivel 8 7 6 5 4 3 2 1

NIVEL 8 7 6 5 4 3 2 1

Altura de entrepiso 2.35 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 3.63

Xo

Yo

5.65 6.53 6.52 6.52 6.52 6.52 6.52 6.52

6.85 9.13 9.18 7.15 7.15 7.15 7.15 7.15

u .150411 .135515 .111281 .084460 .062345 .041452 .023043 .008745

Modo 1: v -.002324 -.000150 -.000131 -.000098 -.000077 -.000056 -.000036 -.000017

Masa 5.50E+00 1.86E+01 1.64E+01 2.45E+01 2.45E+01 2.45E+01 2.45E+01 2.45E+01

θ -.002557 -.001693 -.001385 -.001070 -.000757 -.000475 -.000243 -.000086

Factores de Participación 10.567320

.000894 T1 = .6291 s

Sa = 3.026

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JM

-3.772645

1.22E+01 4.91E+02 4.49E+02 8.70E+02 8.70E+02 8.70E+02 8.70E+02 8.70E+02

Modo 3: u v θ .042930 -.029343 .030246 -.020406 .005218 .025814 -.015046 .004462 .020854 .024496 .003479 .016010 .020881 .002700 .011564 .015938 .001913 .007470 .010130 .001181 .004031 .004465 .000559 .001600 Factores de Participación 1.473460 .249888 57.782410 T3 = .2686 s

Sa = 3.845

Javier Piqué del Pozo

6.