Ejercicios-910111214151618p-w

9. En un departamento de una empresa de electrónica se fabrican chips de circuitos integrados a gran escala. Estos chips se integran a dispositivos analógicos que después se encapsulan en un material epóxico. El rendimiento no es muy bueno para la manufactura de chips integrados a gran escala, de modo que el NCA especificado por el departamento es de 0.15, mientras que el PTDL que el departamento de ensamblaje considera aceptable es de 0.40. Solución: a) Desarrolle un plan de muestreo. Parámetros: NCA = 0.15 PTDL = 0.40

 Tomamos en cuenta la ilustración para calcular c y n  Calculamos el valor de c 𝑃𝑇𝐷𝐿 0.40 = = 2.67 𝑁𝐶𝐴 0.15 ∴ 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 2.67 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑐 = 8 N° de Aceptación de productos defectuosos  Calculamos el valor de n (en relación a c = 8) 4.695 = 𝑛 (𝑁𝐶𝐴) 𝑛 = 31,3 ≈ 32 N° de unidades en la muestra

b) Explique qué significa el plan de muestreo; es decir, ¿cómo diría a alguna persona que realizara la prueba? Se realizará una muestra aleatoria de 32 unidades; si se encontrase más de 8 unidades defectuosas se rechazará el lote.

10. Los departamentos de policía estatal y local tratan de analizar los índices delictivos con el fin de cambiar sus patrullas de las áreas en las que los índices van a la baja a aquellas en donde se han incrementado. La ciudad y el condado están divididos en áreas que contienen 5 000 residencias. La policía reconoce que no se denuncian todos los delitos e infracciones: la gente no quiere verse involucrada, considera que las infracciones no son tan grandes como para denunciarlas, no se sienten a gusto deir a la policía o no se dan el tiempo de hacerlo, entre otras razones. Debido a lo anterior, cada mes, la policía contacta por teléfono a una muestra aleatoria de 1 000 de las 5 000 residencias para obtener información sobre delincuencia (a quienes contestan las llamadas se les garantiza el anonimato). Éstos son los datos recopilados durante los últimos 12 meses para un área:

Elabore una gráfica p para una confianza de 95% (1.96) y diagrame cada uno de los meses. Si los próximos tres meses muestran que la incidencia de delitos en esa área será Enero = 10 (de 1 000 elementos en la muestra) Febrero = 12 (de 1 000 elementos en la muestra) Marzo = 11 (de 1 000 elementos en la muestra) ¿Qué comentarios puede hacer en cuanto al índice de crímenes?

Solución: N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Total

Incidencia de Delitos Tamaño de muestra 7 1000 9 1000 7 1000 7 1000 7 1000 9 1000 7 1000 10 1000 8 1000 11 1000 10 1000 8 1000 10 1000 12 1000 11 1000 133

Indice Delictivo 0.007 0.009 0.007 0.007 0.007 0.009 0.007 0.010 0.008 0.011 0.010 0.008 0.010 0.012 0.011

 Calculamos la fracción defectuosa

𝑝̅ =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑥 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

𝑝̅ =

133 = 0.008866667 15 × 1000

 Calculamos la desviación estándar

𝑝̅ (1 − 𝑝̅ ) 𝑆𝑝 = √ 𝑛

0.008866667(1 − 0.008866667) 𝑆𝑝 = √ = 0.002964464 1000

 Calculamos LCS, LCI 𝐿𝐶𝑆 = 𝑃̅ + 𝑧𝑆𝑃 𝐿𝐶𝑆 = 0.008866667 + 1.96(0.002964464)

𝐿𝐶𝑆 =0.01467702

𝐿𝐶𝐼 = 𝑃̅ − 𝑧𝑆𝑃 𝐿𝐶𝐼 = 0.008866667 − 1.96(0.002964464) 𝐿𝐶𝐼 =0.00305632

0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Comentario: En cuanto a los índices de delitos se mantiene dentro de los límites; pero en respecto a los meses 14 y 15 los cuales corresponde a los meses próximos meses de febrero y marzo respectivamente se observa que ambos índices se aproximan al limite superior los cual nos indica que va a ver un incremento de delitos.

11.Algunos ciudadanos se quejaron con los miembros del consejo ciudadano diciendo que la ley debería ofrecer una protección equitativa en contra de la delincuencia. Los ciudadanos argumentaron que esta protección equitativa se debe interpretar como la indicación de que las áreas con un índice delictivo alto deben contar con mayor protección por parte de la policía que las áreas con un índice más bajo. Por lo tanto, las patrullas de la policía y los métodos de prevención (como el alumbrado público o la limpieza de áreas y edificios abandonados) se deben aplicar en proporción a la ocurrencia de los delitos. De modo similar al problema 10, la ciudad se dividió en 20 áreas geográficas, cada una de las cuales contiene 5 000 residencias. Las 1 000 residencias en la muestra de cada área mostraron el siguiente índice delictivo durante el mes pasado:

Sugiera una reubicación de los esfuerzos de protección, si lo considera apropiado, con base en un análisis de la gráfica p. Para ser más acertado en su recomendación, seleccione un nivel de confianza de 95% (es decir, Z = 1.96).

Solución: Área Número de delitos Tamaño de la muestra Índice Delictivo 1 14 1000 0.014 2 3 1000 0.003 3 19 1000 0.019 4 18 1000 0.018 5 14 1000 0.014 6 28 1000 0.028 7 10 1000 0.010 8 18 1000 0.018 9 12 1000 0.012 10 3 1000 0.003 11 20 1000 0.020 12 15 1000 0.015 13 12 1000 0.012 14 14 1000 0.014 15 10 1000 0.010 16 30 1000 0.030 17 4 1000 0.004 18 20 1000 0.020 19 6 1000 0.006 20 30 1000 0.030 Total 300

 Calculamos la fracción defectuosa

𝑝̅ =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑥 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

𝑝̅ =

300 = 0.015 20 × 1000

 Calculamos la desviación estándar

𝑝̅ (1 − 𝑝̅ ) 𝑆𝑝 = √ 𝑛

0.015(1 − 0.015) 𝑆𝑝 = √ = 0.003843826 1000

 Calculamos LCS, LCI 𝐿𝐶𝑆 = 𝑃̅ + 𝑧𝑆𝑃 𝐿𝐶𝑆 = 0.015 + 1.96(0.003843826)

𝐿𝐶𝑆 =0.022533899

𝐿𝐶𝐼 = 𝑃̅ − 𝑧𝑆𝑃 𝐿𝐶𝐼 = 0.015 − 1.96(0.00384386) 𝐿𝐶𝐼 =0.007466101

Índice Delictivo 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Sugerencia: La reubicación con respecto a los esfuerzos de protección seria: - Reducir los esfuerzos en las áreas: 2,10,17,19 - Aumentar los esfuerzos en las áreas: 6,16,20 Y así poder lograr mantener los índices delictivos de todas las áreas dentro de los limites establecidos.

12. La tabla siguiente contiene las medidas de la dimensión de longitud clave de un inyector de combustible. Estas muestras de cinco elementos se tomaron a intervalos de una hora.

Elabore una gráfica 𝑋̅ Tres-Sigma y una gráfica R (use la ilustración 9A.6) para la longitud del inyector de combustible. ¿Qué puede decir sobre este proceso?

Solución:

Número de la muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 0.486 0.499 0.496 0.495 0.472 0.473 0.495 0.525 0.497 0.495 0.495 0.483 0.521 0.487 0.493 0.473 0.477 0.515 0.511 0.509

2 0.499 0.506 0.500 0.506 0.502 0.495 0.512 0.501 0.501 0.505 0.482 0.459 0.512 0.521 0.516 0.506 0.485 0.493 0.536 0.490

Observaciones 3 0.493 0.516 0.515 0.483 0.526 0.507 0.490 0.498 0.517 0.516 0.468 0.526 0.493 0.507 0.499 0.479 0.513 0.493 0.486 0.470

4 0.511 0.494 0.488 0.487 0.469 0.493 0.471 0.474 0.506 0.511 0.492 0.506 0.525 0.501 0.511 0.480 0.484 0.485 0.497 0.504

5 0.481 0.529 0.521 0.489 0.481 0.506 0.504 0.485 0.516 0.497 0.492 0.522 0.510 0.500 0.513 0.523 0.496 0.475 0.491 0.512

Promedio 0.494 0.5088 0.504 0.492 0.49 0.4948 0.4944 0.4966 0.5074 0.5048 0.4858 0.4992 0.5122 0.5032 0.5064 0.4922 0.491 0.4922 0.5042 0.497 0.49851

 Valores de 𝑋̿ 𝑦 𝑅̅ : 𝑋̿ = 0.49851 𝑅̅ = 0.0373  Calculamos el LCS 𝑋̅ y LCI 𝑋̅: Para realizar el calculo de los valores de 𝑋̅ utilizamos los valores para 5 observaciones de la tabla siguiente:

Rango 0.03 0.035 0.033 0.023 0.057 0.034 0.041 0.051 0.02 0.021 0.027 0.067 0.032 0.034 0.023 0.05 0.036 0.04 0.05 0.042 0.0373

 De acuerdo con la tabla el valor de 𝐴2 = 0.58 para 5 observaciones. 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 𝑋̿ + 𝐴2 𝑅̅ 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 0.49851 + 0.58 × 0.0373 = 0.520144 𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 𝑋̿ − 𝐴2 𝑅̅ 𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 0.49851 − 0.58 × 0.0373 = 0.476876

Gráfica X 0.525 0.52 0.515 0.51 0.505 0.5 0.495 0.49 0.485 0.48 0.475 0.47 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23



Calculamos el LCS R y LCI R:

 De acuerdo a la tabla anterior el valor de 𝐷3 = 0 y 𝐷4 = 2.11 para 5 observaciones 𝐿𝐶𝑆 𝑅 = 𝐷4 𝑅̅

𝐿𝐶𝑆 𝑅 = 2.11 × 0.0373 = 0.07873 𝐿𝐶𝐼 𝑅 = 𝐷3 𝑅̅

𝐿𝐶𝐼 𝑅 = 0 × 0.0373 = 0

Gráfica R 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

 Se puede decir que es un proceso que este bajo control ya las medidas de la dimensión de longitud clave del inyector se encuentra dentro de los límites establecidos.

13. hhassel 14. El gerente de una línea de ensamblaje tomó cinco muestras, cada una con seis observaciones, en condiciones ideales, para establecer límites de control para una gráfica de barras X. La media y el rango de cada muestra aparecen en la tabla siguiente:

¿Cuál sería el límite de control inferior de la desviación estándar de 3? Solución: Número de la muestra 1 2 3 4 5

Media de la muestra Rango de la muestra 2.18 0.33 2.12 0.38 1.86 0.4 1.98 0.38 2.02 0.35 2.032 0.368

 Valores de 𝑋̿ 𝑦 𝑅̅ : 𝑋̿ = 2.032 𝑅̅ = 0.368  Calculamos el LCS 𝑋̅ y LCI 𝑋̅: Para realizar el cálculo de los valores de 𝑋̅ utilizamos los valores para 6 observaciones de la tabla siguiente:

 De acuerdo con la tabla el valor de 𝐴2 = 0.48 para 6 observaciones. 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 𝑋̿ + 𝐴2 𝑅̅ 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 2.032 + 0.48 × 0.368 = 2.20864 𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 𝑋̿ − 𝐴2 𝑅̅ 𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 2.032 − 0.48 × 0.368 = 1.85536

Gráfica X 2.25 2.2 2.15 2.1

2.05 2 1.95 1.9 1.85 1.8 0

1

2

3

X



LCS X

4

5

LCI X

6

7

Medio

Calculamos el LCS R y LCI R:

 De acuerdo a la tabla anterior el valor de 𝐷3 = 0 y 𝐷4 = 2.00 para 6 observaciones 𝐿𝐶𝑆 𝑅 = 𝐷4 𝑅̅

𝐿𝐶𝑆 𝑅 = 2.00 × 0.368 = 0.736 𝐿𝐶𝐼 𝑅 = 𝐷3 𝑅̅

𝐿𝐶𝐼 𝑅 = 0 × 0.368 = 0

Gráfica R 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

1

2 R

3 LCR

4 LCIR

5 Medio

6

7

15. Interprete la siguiente gráfica de control y determine qué acción es apropiada, en caso de haberla.

Solución:

sSegún la teoría de Gráfica de control de evidencias para un ainvestigación, nos dice que cuando se encuentra una serie de puntos debajo de la linea central, se debe de investigar la causa del mal desempeño sostenido

16. A continuación, se dan los valores de X barra y valores de R para cinco muestras. Si el límite de control inferior para la gráfica de X barra es 8.34, ¿cuál es el tamaño de la muestra?

Solución: Muestra

Xbarra

R

1

8.51

0.44

2

8.37

0.58

3

8.42

0.66

4

8.61

0.47

5

8.54

0.6

8.49

0.55

 Valores de 𝑋̿ 𝑦 𝑅̅ : 𝑋̿ = 8.49 𝑅̅ = 0.55  Calculamos el LCS 𝑋̅ y LCI 𝑋̅: 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 𝑋̿ + 𝑧𝑠𝑋̅ 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 8.49 + 3 × 00.95656 = 8.7769

𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 𝑋̿ + 𝑧𝑠𝑋̅ 𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 8.49 + 3 × 00.95656 = 8.7769

Gráfica X con LCI=8.77 8.8 8.75 8.7 8.65 8.6 8.55 8.5 8.45 8.4 8.35 8.3 0

1

2

3 X

4 LCI x

5

6

7

6

7

Medio

 Ahora graficaremos con LCI = 8.34

𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 8.34

Gráfica X con LCI=8.34 8.65 8.6 8.55 8.5 8.45

8.4 8.35 8.3 0

1

2

3 X



4 LCI

5 Medio

Podemos ver el tamaño muestral varia en 4.75 para un límite de control inferior de 8.34.

17. Las especificaciones de diseño requieren que una dimensión clave de un producto mida 100 ± 10 unidades. Un proceso que se ha considerado para fabricar este producto tiene una desviación estándar de cuatro unidades. a) ¿Qué puede decir (cuantitativamente) sobre la capacidad del proceso? b) Suponga que el promedio del proceso cambia a 92. Calcule la nueva capacidad del proceso. c) ¿Qué puede decir acerca del proceso después del cambio? Aproximadamente ¿qué porcentaje de los artículos producidos serán defectuosos?

18. En una compañía llamada Hot Shot Plastics se producen llaveros de plástico. Primero se moldea el plástico y luego se recorta para darle la forma necesaria. Los tiempos del curado (que es el tiempo requerido para que el plástico se enfríe) durante el proceso de moldeado afectan la calidad de los llaveros producidos. La meta es lograr un control estadístico de los tiempos de curado utilizando gráfi cas X – y R. Los datos sobre el tiempo de curado de 25 muestras, cada una de cuatro elementos, se tomaron cuando se suponía que el proceso estaba bajo control y se muestran a continuación (nota: la hoja de cálculo, en el DVD, “Hot Shot Plastics.xls” contiene esta información).

PREGUNTAS 1. 1. Elabore gráficas X – y R utilizando estos datos y el método descrito en el capítulo. 2. Analice la gráfica y comente si el proceso parece estar bajo control y ser estable. 3. Se recopilaron doce muestras adicionales de la información sobre el tiempo de curado del proceso de moldeado en una corrida de producción real. La información sobre estas dos muestras nuevas se incluye a continuación. Actualice sus gráficas de control y compare los resultados con los datos anteriores. Las gráficas X y R se elaboraron con los nuevos datos utilizando los mismos límites de control establecidos antes. Comente sobre lo que muestran las nuevas gráficas.

Solución:

N° de Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

OBSERVACIONES X1 27.34667 27.79695 33.53255 37.98409 33.82722 29.68356 32.62640 30.29575 28.43856 28.2779 26.91885 28.46547 32.42677 28.84273 30.75136 31.25754 31.24921 31.41554 32.2023 26.91603 35.05322 32.12483 30.09172 30.04835 29.30273

X2 27.50085 26.15006 29.32971 32.26942 30.32543 29.56677 26.32030 30.52868 30.48251 33.94916 27.66133 28.29937 26.10410 30.51801 32.99922 24.29473 28.57954 35.80049 32.02005 29.77775 32.93284 29.32853 32.43938 27.23709 30.83735

PROMEDIO

X3 29.94412 31.21295 29.70460 31.91741 28.38117 27.23077 32.07892 24.43315 32.43083 30.47406 31.46936 28.99441 29.47718 32.23614 28.08452 35.46477 35.00865 33.60909 32.71018 33.92696 31.51641 30.99709 27.84725 22.01801 30.82735

X4 28.21249 31.33272 31.053 29.44279 33.70124 34.00417 36.17198 26.85241 30.76162 28.87447 29.66928 31.14511 37.20079 30.47104 26.19981 28.41126 31.23591 27.82131 29.3762 33.78366 27.73615 31.39641 30.70726 28.69624 31.90733

MEDIA

RANGO

28.25103 29.12317 30.90497 32.90343 31.55877 30.12132 31.79940 28.02750 30.52838 30.39390 28.92971 29.22609 31.30221 30.51698 29.50873 29.85708 31.51833 32.16161 31.57718 31.10110 31.80966 30.96172 30.27140 26.99992 30.71869

2.59745 5.18266 4.20284 8.5413 5.44605 6.7734 9.85168 6.09553 3.99227 5.67126 4.55051 2.84574 11.09669 3.39341 6.79941 11.17004 6.42911 7.97918 3.33398 7.01093 7.31707 2.7963 4.59213 8.03034 2.6046

30.40289

5.93216

 Hallamos los límites de control

MEDIA

LIC

28.25103 29.12317 30.90497 32.90343 31.55877 30.12132 31.79940 28.02750 30.52838 30.39390 28.92971 29.22609 31.30221 30.51698 29.50873 29.85708 31.51833 32.16161 31.57718 31.10110 31.80966 30.96172 30.27140 26.99992 30.71869

26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081 26.081

LC 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289 30.40289

LCS 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725 34.725

Gráfica X 40.00000

35.00000 30.00000 25.00000 20.00000 15.00000 10.00000 5.00000 0.00000 0

5

10 X

15 LCS

LCI

20 Media

 Ahora hacemos lo mismo para el rango RANGO 2.59745 5.18266 4.20284 8.5413 5.44605 6.7734 9.85168 6.09553 3.99227 5.67126 4.55051 2.84574 11.09669 3.39341 6.79941 11.17004 6.42911 7.97918 3.33398 7.01093 7.31707 2.7963 4.59213 8.03034 2.6046

LCI 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

LC 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216 5.93216

LCS 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817 13.53717817

25

30

CARTAS DE CONTROL R 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

RANGO

LCI

LC

LCS

RESPUESTA: EN AMBAS GRAFICAS TANTO PARA LAS CARTAS DE X COMO LAS DE CONTROL R LOS DATOS ESTAN DENTRO DE LOS LIMITES, LO QUE INDICA QUE EL PROCESO ESTA BAJO CONTROL Y ES ESTABLE. b)

N° de Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X1 31.6583 34.4643 41.34268 29.4731 25.4671 46.25184 35.44750 34.55143 43.43549 37.05298 38.57292 27.0305

OBSERVACIONES X2 X3 29.78330 25.18480 39.54590 25.37840 34.85160 34.71356 38.83289 33.86330 37.36371 42.47056 39.06772 33.63970

31.87910 37.76689 29.55710 25.04380 30.19150 41.41277 33.08860 35.18869 38.85718 35.90282 32.22090 26.63060

X4 33.9125 39.21143 32.5735 24.0035 31.6222 44.63319 31.63490 42.31515 39.25132 38.21905 33.20200 42.79176

MEDIA

RANGO

31.80830 34.15686 35.75480 25.97470 30.53310 41.75284 34.75097 36.47964 39.72693 38.41135 35.76589 32.52314

4.1292 14.02663 11.78558 5.4696 9.3845 11.53828 7.19799 8.45185 6.07178 6.56774 6.84682 16.16116

34.80321

8.96926

 Hallamos de igual manera sus límites de control:

 De acuerdo con la tabla el valor de 𝐴2 = 0.73 para 4 observaciones. 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 𝑋̿ + 𝐴2 𝑅̅ 𝐿𝐶𝑆 𝑋̅ = 34.80 + 0.73 × 8.9693 = 41.3418 𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 𝑋̿ − 𝐴2 𝑅̅ 𝐿𝐶𝐼 𝑋̅ = 34.80 − 0.73 × 8.96693 = 282646

N° de Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

MEDIA 31.80830 34.15686 35.75480 25.97470 30.53310 41.75284 34.75097 36.47964 39.72693 38.41135 35.76589 32.52314

LCS 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001 41.3418001

LC 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321 34.80321

LCI 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178 28.2646178

CARTAS DE CONTROL PARA X 45.00000

40.00000 35.00000 30.00000 25.00000 20.00000 15.00000 10.00000 5.00000 0.00000 1

2

3

4 MEDIA

5

6 LCS

7

8 LC

9 LCI

10

11

12



Calculamos el LCS R y LCI R:

 De acuerdo a la tabla anterior el valor de 𝐷3 = 0 y 𝐷4 = 2.28 para 6 observaciones 𝐿𝐶𝑆 𝑅 = 𝐷4 𝑅̅

𝐿𝐶𝑆 𝑅 = 2.28 × 0.9693 = 41.3418 𝐿𝐶𝐼 𝑅 = 𝐷3 𝑅̅

𝐿𝐶𝐼 𝑅 = 0 × 0.9693 = 0 N° de Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

RANGO 4.1292 14.02663 11.78558 5.4696 9.3845 11.53828 7.19799 8.45185 6.07178 6.56774 6.84682 16.16116

LCS 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282 2.282

LC 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926 8.96926

LCI 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

CARTAS DE CONTROL PARA R 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5 RANGO

6

7 LCS

8 LC

9 LCI

10

11

12