Ejercicios De Geometria Analitica (candido)

Caracas 11 de Marzo de 2018 Nombre: Candido Mendez, C.I: 25.998.611 Ingeniería de Sistemas, I semestre, Sección D02 Geometría Analítica (Ejercicios de la Pagina 109)

Ejercicio 11. Determinar la ecuación de la circunferencia, el centro y el radio que pasa por los puntos A (4, -1) B (0, -7) C (-2, -3) Primero: Sustituimos el punto A en la ecuación cartesiana de la circunferencia X2 + Y2 + DX + EY + F = 0 A: (4, -1) = 42 + (-1)2 + D4 + E + F = 0 = 16 + 1 + 4D + E+ F = 0 = 4D – E + F = - 17

B: (0, -7) = 02 + (-7)2 + 0D - 7E + F = 0 49 - 7E + F = 0 -7E + F = - 49

C: (-2, -3) = (-2)2 + (-3)2 – 2D – 3E + F = 0 4 + 9 – 2D -3E + F = 0 - 2D – 3E – F = - 13 Tenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas  4D – E + F = - 17  -7E + F = - 49  -2D – 3E + F = - 13

a) 4D – E + F = -17 - 7E + F = 49. (-1) 4D – E + F = -17 7E – F = 49 4D + 6E

b)

= 32

– 7E + F = - 49

- 2D – 3E + F = -13. (-1) - 7E + F = - 49 2D + 3E – F = 13 2D - 4E

= -36

Combino y Simplifico 2D + 3E = 16 D – 2E = - 18. (-2)

2D + 3E = 16 -2D + 4E= 36 7E = 52 E = 52/7

Sustituimos E F = 7E - 49 F = 7(52/7) – 49 (los sietes se cancelan) y queda: F = 52 – 49 = 3

Ahora en sacamos D 2D – 4 (52/7) = - 36 2D = - 36 + (4).(52) / 7 2D = - 252 + 208 / 7 D = - 44 / 7 = - 22/7 Sustituimos en la ecuación X2 + Y2 – 22/7X + 52/7Y + 3 = 0 (X2 – 22/7X) + (Y2 + 52/7Y) + 3 = 0 (X – 11/7X)2 - (11/7)2 + (Y + 26/7Y)2 – (26/7)2 + 3 = 0 (X – 11/7X)2 + (Y + 26/7Y)2 = 112 + 262 – 3 / 49 (X – 11/7X)2 + (Y + 26/7Y)2 = 121+ 676 -147 / 49 (X – 11/7X)2 + (Y + 26/7Y)2 = 650 / 49

C = (11/7, -26/7) R=

√650 7

Ejercicio 21. Hallar la ecuación de la Circunferencia que pasa por los puntos A (- 1, - 4), B (2, - 1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0

Al sustituir el punto C (h, k) tenemos: 4x + 7y + 5 = 0 4(h) + 7(k) + 5 = 0 4h + 7k = - 5

(1era ecuación)

Sustituimos el punto A (- 1, -4) en la ecuación e la Circunferencia: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 (-1 - h)2 +(-4 - k )2 = r2 Desarrollamos los binomios al cuadrado 1 + 2h + h2 + 16 + 8k + k2 = r2 H2 + 2h + k2 + 8k + 17 = r2 (2da ecuación) Ahora sustituimos el punto B (2, -1) en la ecuación de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (2 – h)2 + (-1 – k)2 = r2 Desarrollamos binomios al cuadrado 4 - 4h + h2 + 1 + 2k + k2 = r2 H2 – 4h + k2 + 2k + 5 = r2 (3era ecuación) Ahora hacemos simultáneas las ecuaciones H2 + 2h + k2 + 8k + 17 = r2 H2 – 4h + k2 + 2k + 5 = r2. (-1)

H2 + 2h + k2 + 8k + 17 = r2 - H2 + 4h - k2 - 2k - 5 = - r2

6h

+ 6K + 12 = 0

Dividimos entre 6 cada término nos queda: h+k=-2

(4ta ecuación)

Ahora hacemos simultáneas las ecuaciones 1 y 4: 4h + 7k = - 5 h + k = - 2. (-4)

4h + 7k = - 5 -4h - 4k = 8 3k = 3 k = 3/3 = 1 Ahora para hallar el valor de h, sustituimos k en la ecuación (4) h+k=-2 h+1=-2 h = -1 – 2 = - 3 Entonces el centro de la circunferencia es C (-3, 1) Para sacar el radio de la Circunferencia resolvemos la ecuación 2 sustituyendo los valores de h y k - 32 + 2(-3) + 12 + 8(1) + 17 = r2 17 + 8 + 1 + 9 – 6 = r2 r2 = 29 Entonces el radio de la circunferencia es: R = √29 Ahora sustituyendo los valores hallados, obtenemos la ecuación canónica de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2 (x + 3)2 + (y – 1)2 = 29

Ejercicio 22. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x – 4y – 1 = 0 en el punto (3, 2). Hallar su ecuación. Usamos la ecuación de la distancia entre un punto (X0, Y0) a la recta d = Axo + By0 + C / √𝐴"2 + B”2 3x – 4y – 1 = 0 d = 3h – 4k – 1 / √9 + 16 3h – 4k – 1 / 5 3h – 4k = 5 3h – 4k – 5 = 0

25) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(5;9) y es tangente a la recta L: x+2y-3=0 en el punto B(1;1) Sea C(h,k) en el centro de la circunferencia buscada 𝑠𝑖 𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝐿 → (

𝑘−1 1 ) (− ) = −1 ℎ−1 2

De donde se tiene: 2h-k-1=0 Como A y B € L

(1)

r=[AC]=[BC], esto es:

√(ℎ − 5)2 + (𝑘 − 9)2 = √(ℎ − 1)2 + (𝑘 − 1)2 → ℎ + 2𝑘 − 13 = 0 (2) De (1) y (2), por simultaneas, obtenemos: C(3;5) 𝑟 = [𝐴𝐶] = √(3 − 5)2 + (5 − 9)2 = √20 Por lo tanto C: (x-3)2+(y-5)2=20

28) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre la recta L: 7x-2y-1=0 y que es tangente a cada una de las restas L1: 5x-12y+5=0 y L2:4x+3y-3=0 Sea C (h;k) el centro de la circunferencia buscada. Si C € (1)

7h-2k-1=0

Dado que C es tangente a las rectas L1 y L2, entonces R=[d(C;L1)] = [d(C;L2)]

→

[5ℎ − 12𝑘 + 5] √25 + 144

=

[4ℎ + 3𝑘 − 3] √16 + 9

→ 5[5ℎ − 12𝑘 + 5] = 13[4ℎ + 3𝑘 − 3] 27ℎ + 99𝑘 − 64 = 0 ó 11ℎ − 3𝑘 − 2 = 0 Interceptando (1) con el sistema de ecuaciones (2), se tiene:

(2)

227 421 (7ℎ − 2𝑘 − 1 = 0) ∩ (27ℎ + 99𝑘 − 64 = 0) = 𝐶1 ( ; ) 747 747 (7ℎ − 2𝑘 − 1 = 0) ∩ (11ℎ − 3𝑘 − 2 = 0) = 𝐶2 (1; 3)

𝑟1 = [𝑑(𝐶1 ; 𝐿1 )] =

227 421 [4 (747) + 3 (747) − 3 +]

𝑟2 = [𝑑(𝐶2 ; 𝐿2 )] =

√16 + 9

=

14 747

[4(1) + 3(3) − 3] =2 5

Por lo tanto, las ecuaciones de las dos circunferencias son: 𝐶1 : (𝑥 −

227 2 421 2 14 2 ) + (𝑦 − ) =( ) ; 𝐶2 : (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 4 747 747 747

35) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-3;-1) y B(5;3) y es tangente a la recta L: x+2y13=0 Sea C (h;k) el centro de la circunferencia. Como A y B € L [AC]=[BC]=[d(C;L)] Si [AC]=[BC] √(ℎ + 3)2 + (𝑘 + 1)2 = √(ℎ − 5)2 + (𝑘 − 3)2 De donde se tiene: 2h+k-3=0 Y si [AC]=[d(C;L)

(1)

√(ℎ + 3)2 + (𝑘 + 1)2 =

[ℎ+2𝑘−13] √1+4

De donde: 4h+k2 4hk+56h+62k-119=0

(2)

Las soluciones comunes de (1) y (2) son: (ℎ1 = 1 ó ℎ2 =

19 13 ) ó (𝑘1 = 1 ó (𝑘2 = − ) 4 2

Luego, los centros son C1(1;1) y C2(19/4;-13/2) Y los respectivos radios son: 𝑟1 = [𝑑(𝐶1 ; 𝐿)] =

𝑟2 = [𝑑(𝐶2 ; 𝐿)] =

[1 + 2(1) − 13] √1 + 4

= 2√5

19 13 [( 4 ) + 2 (− 2 ) − 13] √1 + 4

=

Por tanto, las ecuaciones de las circunferencias son: C1: (x-1)2+(y+1)2=20 ó C2= (x-19/4)2+(y+13/2)2= 1445/16

17√5 4