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Ejercicios de Microeconomía Microeconomía (Universidad Nacional de Ingeniería Nicaragua)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA RECINTO UNIVERSITARIO PEDRO ARAUZ PALACIOS FACULTAD DE TECNOLOGIA DE LA INDUSTRIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL ASIGNATURA: “MICROECONOMÍA”

TEMA: ¨EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 3 Y 4 ¨

AUTORES: -Juan Manuel Echaverry Pérez.

CARNÉ 2013-61027.

-Miguel Ángel Calero García.

CARNÉ 2014-0130U.

-Dominic Joshua Barquero Aráuz.

CARNÉ 2013-61131.

DOCENTE: ING. FRANCISCO MORALES.

MANAGUA,16 DE ENERO DE 2020.

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1. Juan siempre está dispuesto a cambiar una lata de Coca-Cola por una lata de Sprite, o una lata de Sprite por una lata de Coca-Cola. a. ¿Qué puedes decir sobre la tasa marginal de sustitución de Juan? La tasa marginal de sustitución de Juan se puede definir como la cantidad de latas de Coca-Cola que estaría dispuesto a renunciar a cambio de una lata de Sprite. Como siempre está dispuesto a intercambiar uno por uno, su relación margen de sustitución es igual a 1.

b. Trace un conjunto de curvas de indiferencia para Juan.

Como Juan siempre está dispuesto a cambiar una lata de Coca-Cola por una lata de Sprite, sus curvas de indiferencia son lineales con una pendiente de -1. Vea los diagramas debajo de la parte (c).

c. Trace dos líneas presupuestarias con diferentes pendientes e ilustre la opción de maximización de la satisfacción. ¿Qué conclusión puedes extraer? Las curvas de indiferencia de Juan son lineales con una pendiente de -1. La línea presupuestaria de Juan también es lineal, y tendrá una pendiente que refleja la relación de los dos precios. Si la línea presupuestaria de Juan es más pronunciada que sus curvas de indiferencia, elegirá consumir solo lo bueno en el eje vertical. Si la línea presupuestaria de Juan es más plana que sus curvas de indiferencia, elegirá consumir solo lo bueno en el eje horizontal. Juan siempre elegirá una solución de esquina donde compre solo el bien menos costoso, a menos que su línea de presupuesto tenga la misma pendiente que sus curvas de indiferencia. En este caso, cualquier combinación de Sprite y Coca-Cola que use todos sus ingresos maximizará su satisfacción. Los siguientes diagramas muestran casos en los que la línea presupuestaria de Juan es más pronunciada que sus curvas de indiferencia y donde es más plana. Las curvas de indiferencia de Juan son lineales con pendientes de -1, y cuatro curvas de indiferencia se muestran en cada diagrama como líneas continuas. El presupuesto de Juan es de $ 4.00. En el diagrama de la izquierda, Coca-Cola cuesta $ 1.00 y Sprite cuesta $ 2.00, por lo que Juan puede pagar 4 Coca-Cola (si gasta todo su presupuesto en Coca-Cola) o 2 Sprites (si gasta su presupuesto en Sprite). Su línea presupuestaria es la línea discontinua. La curva de indiferencia más alta que puede alcanzar es la más a la derecha. Puede alcanzar ese nivel de utilidad comprando 4 Coca-Cola y sin Sprites. En el diagrama de la derecha, el precio de Coca-Cola es de $ 2.00 y el precio de Sprite es de $ 1.00. La línea presupuestaria de Juan ahora es más plana que sus curvas de indiferencia, y su paquete óptimo es la solución de esquina con 4 Sprites y sin CocaCola.

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Coca

Línea de presupuesto más pronunciada

Coca

Línea de presupuesto más plana

Línea presupuestaria Línea presupuestaria

Sprite

Sprite

2. Según sus preferencias, Roberto está dispuesto a cambiar cuatro entradas para el cine por una entrada para un partido de baloncesto. Si las entradas para el cine cuestan $ 8 cada una y una entrada para el partido de baloncesto cuesta $ 40, ¿debe Roberto hacer el intercambio? ¿Por qué sí o por qué no? No, Roberto no debe hacer el intercambio. Si renuncia a las 4 entradas para el cine, ahorrará $ 8 por entrada para un total de $ 32. Sin embargo, esto no es suficiente para un boleto de baloncesto, que cuesta $ 40. Tendría que renunciar a 5 boletos de cine para comprar un boleto de baloncesto, y está dispuesto a renunciar solo a 4.

3. Trace las curvas de indiferencia correspondientes a las preferencias de las siguientes personas por dos bienes: hamburguesas y bebidas refrescantes. Indique el sentido en que aumenta la satisfacción (o utilidad) de los individuos. a. José tiene curvas de indiferencia convexas y no le gustan ni las hamburguesas ni las bebidas refrescantes. Dado que a José le desagradan ambos bienes, prefiere menos a más, y su satisfacción aumenta en la dirección del origen. La convexidad de las preferencias implica que sus curvas de indiferencia tendrán la forma normal en que se inclinan hacia la dirección de la satisfacción creciente. La convexidad también implica que, dados dos paquetes entre los cuales José es indiferente, cualquier combinación lineal de los dos paquetes estará en el conjunto preferido, o lo dejará al menos tan bien. Esto es cierto de las curvas de indiferencia que se muestran en el diagrama.

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Hamburguesas

Bebidas refrescantes

b. A Juana le encantan las hamburguesas y no le gustan las bebidas refrescantes. Si le sirven una bebida refrescante, la tira en lugar de bebérsela. Como Juana puede deshacerse libremente de la bebida sin alcohol si se le administra, ella considera que es un bien neutral. Esto significa que a ella no le importan los refrescos de una manera u otra. Con las hamburguesas en el eje vertical, sus curvas de indiferencia son líneas horizontales. Su satisfacción aumenta en la dirección ascendente. Hamburguesas

Bebidas refrescantes

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c. A Roberto le encantan las hamburguesas y no le gustan las bebidas refrescantes. Si le sirven una bebida refrescante, se la bebe para ser educado. Después de que Roberto beba el refresco para ser cortés, puede considerarse como un "mal". Cuando sirva otro refresco, necesitará más hamburguesas al mismo tiempo para mantener constante su satisfacción. Más refrescos sin más hamburguesas empeorarán su utilidad. Más hamburguesas y menos refrescos aumentarán su utilidad, por lo que su satisfacción aumenta a medida que avanzamos hacia arriba y hacia la izquierda. Hamburguesas

Bebidas refrescantes

d. A Manuela le encantan las hamburguesas y las bebidas refrescantes, pero insiste en consumir exactamente una bebida refrescante por cada dos hamburguesas que come. Manuela quiere consumir los dos productos en una proporción fija para que sus curvas de indiferencia tengan forma de L. Por una cantidad fija de un bien, no obtiene ninguna satisfacción adicional por tener más del otro bien. Ella solo aumentará su satisfacción si tiene más de ambos bienes.

Hamburguesas

3 2

1

1.5

Bebidas refrescantes

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e. A Juan le encantan las hamburguesas, pero las bebidas refrescantes ni le gustan ni le disgustan. Al igual que Juana, Juan considera que los refrescos son un bien neutral. Como no le importan los refrescos de una manera u otra, podemos suponer que no importa cuántos tenga, su utilidad será la misma. Su nivel de satisfacción depende completamente de la cantidad de hamburguesas que tenga, por lo que su satisfacción aumenta solo en la dirección ascendente. Hamburguesas

Bebidas refrescantes

f. María siempre recibe el doble de satisfacción de una hamburguesa más que de una bebida refrescante más. La cantidad de satisfacción adicional que María obtiene de una hamburguesa extra o refresco nos dice algo sobre las utilidades marginales de los dos bienes y sobre su SR. Si ella siempre recibe el doble de satisfacción de una hamburguesa extra, entonces su utilidad marginal de consumir una hamburguesa extra es el doble de su utilidad marginal por consumir un refresco extra. Su MRS, con hamburguesas en el eje vertical, es ½ porque solo dejará una hamburguesa si recibe dos refrescos. Sus curvas de indiferencia son rectas con una pendiente de -1/2. Hamburguesas

4 3

6

8

Bebidas refrescantes

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Ejercicio 4 Suponga que Brígida y Érica gastan su renta en dos bienes, alimentos (A) y vestido (V). Las preferencias de Brígida están representadas por la función de utilidad U (A, V) =10AV, mientras que las de Érica están representadas por la función de utilidad U (A, V) =0,2(AV)2. a. Colocando los alimentos en el eje de abscisas y el vestido en el de ordenadas, identifique en un gráfico el conjunto de puntos que reportan a Brígida el mismo nivel de utilidad que la cesta (10,5). Haga lo mismo con Érica en otro gráfico. El paquete (10,5) contiene 10 unidades de comida y 5 de ropa. Brígida recibe utilidad de 10 (10) (5) = 500 de este paquete. Por lo tanto, su curva de indiferencia está representada por la ecuación 10AV = 500 o V = 50 / A. Algunos paquetes en esta curva de indiferencia son (5,10), (10,5), (25,2) y (2,25). Está trazado en el siguiente diagrama. Érica recibe una utilidad de 0.2 (10x5) 2 = 500 del paquete (10,5). Su curva de indiferencia está representada por la ecuación 0.2(AV) 2 = 500 o V = 50 / A. Esta es la misma curva de indiferencia que Brígida. Ambas curvas de indiferencia tienen la forma normal y convexa. Vestuario 25 20 15

V=50 / A

10 05 05 10 15 20

25

Alimentos

b. Identifique en los dos mismos gráficos el conjunto de cestas que reportan a Brígida y a Érica el mismo nivel de utilidad que la cesta (15, 8). Para cada persona, conecte A = 15 y V = 8 en sus respectivas funciones de utilidad. Por Brígida, esto le da una utilidad de 1200, por lo que su curva de indiferencia viene dada por ecuación 10AV = 1200 o V = 120 / A. Algunos paquetes en esta curva de indiferencia son (12,10), (10,12), (3,40) y (40,3). La curva de indiferencia se encuentra arriba y al derecha de la curva diagramada en la parte (a). Este paquete le da a Érica una utilidad de 2880, por lo que su curva de indiferencia está dada por la ecuación 0.2 (AV)2 = 2880, o V = 120 / A. Esto es la misma curva de indiferencia que Brígida.

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Vestuario 40 25 20 15

V=120 / A

10 05

V=50 / A

05 10 15 20

25 40

Alimentos

c. ¿Cree que Brígida y Érica tienen las mismas preferencias o preferencias distintas? Explique su respuesta. Tienen las mismas preferencias porque sus curvas de indiferencia son idénticas. Esta significa que clasificarán todos los paquetes en el mismo orden. Tenga en cuenta que no es necesario que reciben el mismo nivel de utilidad para que cada paquete tenga el mismo conjunto de preferencias. Todo lo que es necesario es que clasifiquen los paquetes en el mismo orden.

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Ejercicio 5 El precio de los DVD (D) es de 20 dólares y el de los CD (C) es de 10. Felipe tiene un presupuesto de 100 dólares para gastar en los dos bienes. Suponga que ya ha comprado un DVD y un CD. Además, hay tres DVD más y 5 CD más que le gustaría realmente comprar. a. Dados los precios y la renta anteriores, trace su recta presupuestaria en un gráfico colocando los CD en el eje de abscisas. Su línea presupuestaria es PDD + PCC = I, Ó 20D + 10C = 100. Si él gasta su totalidad ingresos en DVD que puede permitirse comprar 5. Si gasta todos sus ingresos en CD, puede permitirse comprar 10.

DVD

Recta presupuestaria

I/PD= 5

I= PDD + PCC 100=20D + 10C

CD I/PC= 10

b. Teniendo en cuenta lo que ya ha comprado y lo que aún quiere comprar, identifique las tres cestas de CD y DVD que podría elegir. Suponga en esta parte de la pregunta que no puede comprar unidades fraccionarias. Dado que ya ha comprado uno de cada uno, por un total de $ 30, le quedan $ 70. Ya que quiere 3 DVD más, puede comprarlos por $ 60 y gastar los $ 10 restantes en 1 DISCOS COMPACTOS. Este es el primer paquete a continuación. También podría optar por comprar solo 2 DVD por $ 40 y gastar los $ 30 restantes en 3 CD. Este es el segundo paquete. Finalmente, él pudo compre 1 DVD más por $ 20 y gaste los $ 50 restantes en los 5 CD que tendría me gusta. Este es el paquete final que se muestra en la tabla a continuación.

Cantidades compradas DVDs CDs 3 1 2 3 1 5

Cantidades totales DVDs CDs 4 2 3 4 2 6

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DVD

I= PDD + PCC Recta presupuestaria

100=20D + 10C

5 4

Pendiente=

1

D/

C = -PC/PD= -1/2

3 2

2 CD 2

4

6 10

Ejercicio 6 Concepción tiene una renta mensual de 200 dólares que reparte entre dos bienes: carne de vacuno y papas. a. Suponga que la carne cuesta 4 dólares por libra y las papas 2 dólares por libra. Trace su restricción presupuestaria. C = carne vacuno y P = papas Mi restricción presupuestaria de Concepción es: 4C + 2P = 200

Carne Recta Presupuestaria 4C + 2P = 200 50

100

Papas

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b. Suponga también que su función de utilidad viene dada por la ecuación U (V, P) = 2V + P. ¿Qué combinación de carne de vacuno y papas debería comprar para maximizar su utilidad? Pista: la carne de vacuno y las papas son sustitutivos perfectos. Cuando los dos bienes son sustitutos perfectos, las curvas de indiferencia son lineales. Encontrar la pendiente de la curva de indiferencia, elija un nivel de utilidad y encuentre la ecuación para una curva de indiferencia representativa. Suponga que U (V, P) = 50, luego 2V + P = 50, o V = 25 - 0.5P. Por lo tanto, la línea presupuestaria de Concepción y sus curvas de indiferencia tienen la misma pendiente. Esta La curva de indiferencia se encuentra debajo de la que se muestra en el diagrama de arriba. La utilidad de concepción es igual a 100 cuando compra 50 libras de carne y sin papas o sin carne y 100 libras de papas. La curva de indiferencia para U = 100 coincide con su presupuesto restricción. Cualquier combinación de carne y papas a lo largo de esta línea le proporcionará Máxima utilidad.

c. El supermercado de Concepción tiene una promoción especial. Si compra 20 libras de papas (a 2 dólares por libra), obtiene gratis las 10 libras siguientes. Esta oferta solo es válida en las 20 primeras libras que compra. Todas las papas que superan las 20 primeras libras (excluidas las de regalo) siguen costando 2 dólares la libra. Trace su restricción presupuestaria. Con papas en el eje horizontal, La restricción presupuestaria de Concepción tiene una pendiente de ½ hasta que Concepción haya comprado veinte libras de papas. Luego su línea presupuestaria es plana de 20 a 30 libras de papas, porque las siguientes diez libras de papas son libres y ella no tiene que rendirse cualquier carne para obtener estas papas adicionales. Después de 30 libras de papas, la pendiente de su línea presupuestaria vuelve a ser -1/2 hasta intercepta el eje de la papa en 110.

Carne 50 40

Recta Presupuestaria m=1/2

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20

30

110

Papas

d. Se produce una pérdida de papas, por lo que sube su precio a 4 dólares la libra. El supermercado retira su promoción. ¿Cómo es ahora la restricción presupuestaria de Concepción? ¿Qué combinación de carne de vacuno y papas maximiza su utilidad? Con el precio de las papas en $ 4, Concepción puede comprar 50 libras de carne o 50 libras de papas, o cualquier combinación en el medio. Ella maximiza la utilidad en U = 100 en el punto A cuando consume 50 libras de carne y no patatas.

Carne 50

Recta Presupuestaria 4C + 2P = 200 Curva de Indiferencia U=100

25

50

100

Papas

Ejercicio 7 La utilidad que obtiene Mercedes del consumo de alimentos, A, y de vestido, V, viene dada por U(A, V) = AV. Suponga que en 1990 su renta es de 1.200 dólares y que los precios de los alimentos y del vestido son de 1 dólar por unidad de cada uno. Sin embargo, en 2000 el precio de los alimentos ha subido a 2 dólares y el del vestido a 3. Sea 100 el índice del costo de la vida correspondiente a 1990. Calcule el índice ideal del coste de la vida y el de Laspeyres correspondiente a Mercedes en 2000. (Pista: con estas preferencias, Mercedes gastará las mismas cantidades en alimentos y vestido. Primero, necesitamos calcular A y V, que constituyen el paquete de alimentos y vestido que maximiza la utilidad de Mercedes dados los precios de 1990 y sus ingresos en 1990. Dado que gasta cantidades iguales en ambos bienes, ella debe gastar la mitad de sus ingresos en cada uno. Por lo tanto, PA = PV = $ 1200/2 = $ 600. Ya que PA = PV = $ 1, A y V son iguales a 600 unidades, y la utilidad de Mercedes es U = (600) (600) = 360,000.

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Las utilidades marginales con esta función de utilidad es MUA = ΔU / ΔV = A y MUV = ΔU / ΔA = C. Para maximizar Utilidad, Meredith elige un paquete de consumo tal que MUF / MUV = PA / PV, que produce PAA = PVV.

Índice de Laspeyres: El índice de Laspeyres representa cuánto más Mercedes tendría que gastar en 2000 versus 1990 si consumía las mismas cantidades de comida y vestido en 2000 que lo hizo en 1990. Es decir, el índice de Laspeyres (IL) para 2000 viene dado por: Ind.Laspeyres = 100 (I ′) / I, Donde I' representa la cantidad que Mercedes gastaría a 2000 precios consumiendo ella misma cantidad de comida y vestido que en 1990. En 2000, 600 prendas de vestir y 600 alimentos costaría $ 3 (600) + $ 2 (600) = $ 3000. Por lo tanto, el índice de costo de vida de Laspeyres es :

ILaspeyres = 100 ($ 3000 / $ 1200) = 250. Índice ideal: El índice ideal representa cuánto Mercedes tendría que gastar en comida y vestido en 2000 (usando precios de 2000) para obtener la misma cantidad de utilidad que tenía en 1990. Es decir, el índice ideal (II) para 2000 viene dado por: IIdeal = 100 (I'') / I, donde I'' = P′AA ′ + P′VV ′ = 2A ′ + 3V ′, Donde A 'y V' son la cantidad de comida y vestido que le da a Mercedes la mismo utilidad como tenía en 1990. A ′ y V ′ también deben ser tales que Mercedes gasta menor cantidad de dinero a precios del año 2000 para alcanzar el nivel de utilidad del año 1990. El paquete (A ′, V ′) estará en la misma curva de indiferencia que (A, V), entonces U = A ′V ′ = AV = 360,000 y 2V ′ = 3C ′ porque Mercedes gasta la misma cantidad en cada bien. Nosotros ahora tiene dos ecuaciones: A′V ′ = 360,000 y 2A ′ = 3V ′. Resolviendo para A ′: A ′ [(2/3) A ′] = 360,000 o A ′ = [(3/2) 360,000)] = 734.85. De esto, obtenemos V ', V ′ = (2/3) A ′ = (2/3) 734.85 = 489.90. En el año 2000, el paquete de 734.85 unidades de alimentos y 489.90 unidades de vestido costaría 734.85 ($ 2) + 489.9 ($ 3) = $ 2,939.40, y Mercedes aún obtendría 360,000 en servicios públicos. Ahora podemos calcular el índice ideal de costo de vida:

IIdeal = 100 ($ 2939.40 / $ 1200) = 245.

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Ejercicio 8 Explique la diferencia entre los términos siguientes: a) Una curva de precio-consumo y una curva de demanda La diferencia de una curva precio-consumo y una curva de demanda radica en que la primera muestra las cantidades de dos bienes que un consumidor comprará respecto al precio de uno de los bienes de cambio, mientras la curva de la demanda muestra la cantidad de un bien que un consumidor comprará a medida que cambie el precio.

b) Una curva de demanda de una persona y una curva de demanda del mercado La curva de demanda de una persona indica la cantidad demandada por un individuo en diferentes precios, en cambio la curva de demanda del mercado es la sumatoria horizontal de toda la demanda individual.

c) Una curva de Engel y una curva de Demanda La curva de Engel nos muestra como varía la demanda de un bien ante un cambio en el ingreso, considerando que los precios de los bienes se mantienen constantes y la curva de demanda muestra la cantidad que se comprará en diferentes precios.

d) Un efecto-renta y un efecto sustitución El efecto renta ocurre en un cambio en el precio de un bien lo que causa un cambio en la demanda debido al cambio en la compra. El efecto sustitución ocurre un cambio en el precio (como el anterior), sin embargo la utilidad del consumidor se mantiene constante y hay un cambio en la cantidad demandada del bien.

Ejercicio 9 Suponga que un consumidor gasta una cantidad fija de renta al mes en los siguientes pares de bienes: a. Tortillas de maíz y salsa b. Tortillas de maíz y patatas fritas c. Entradas de cine y café especial d. Viajes en autobús y viajes en metro Si el precio de uno de los bienes sube, explique cómo afecta la subida a la cantidad demandada de cada uno de los bienes. En cada par, ¿cuáles es probable que sean complementarios y cuáles es probable que sean sustitutivos?

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a. Si aumenta el precio de las tortillas, el consumidor exigirá menos tortillas. Como las tortillas y la salsa son complementos, la curva de demanda de salsa disminuirá (se desplazará a la izquierda) y el consumidor demandará menos salsa. b. Si aumenta el precio de las tortillas, el consumidor exigirá menos tortillas. Dado que las papas fritas y las papas fritas son sustitutos, la demanda de papas fritas aumentará (la curva de demanda se desplazará hacia la derecha) y el consumidor exigirá más papas fritas.

c. El consumidor exigirá menos películas después del aumento de precios. Se podría pensar que las demandas de películas y café gourmet serían independientes entre sí. Sin embargo, debido a que el consumidor gasta una cantidad fija en los dos, la demanda de café dependerá de si el consumidor gasta más o menos de su presupuesto fijo en películas después del aumento de precios. Si la elasticidad de la demanda del consumidor para boletos de cine es elástica, ella gastará menos en películas y, por lo tanto, más de su ingreso fijo estará disponible para gastar en café. En este caso, su demanda de café aumenta y compra más café gourmet. Los bienes son sustitutos en esta situación. Sin embargo, si su demanda de películas es inelástica, gastará más en películas después del aumento de precios y, por lo tanto, menos en café. En este caso, comprará menos de ambos bienes en respuesta al aumento de precio de las películas, por lo que los bienes son complementos. Finalmente, si su demanda de películas es elástica, gastará la misma cantidad en películas y, por lo tanto, no cambiará su gasto en café. En este caso, los bienes no están relacionados y la curva de demanda de café no ha cambiado.

c.

Si el precio de los viajes en autobús aumenta, la cantidad de viajes en autobús exigidos disminuirá, y la demanda de viajes en metro aumentará, porque los viajes en autobús y metro son sustitutos. La curva de demanda de los viajes en metro se desplazará hacia la derecha.

Ejercicio 10 Suponga que la familia media consume 800 galones de gasolina al año. Se establece un impuesto sobre la gasolina de un 20 por ciento, así como la devolución anual de impuestos de 160 dólares por familia. ¿Mejorará o empeorará el bienestar de la familia tras la introducción del nuevo programa? Si el hogar no cambia su consumo de gasolina, no se verá afectado por el programa de reembolso de impuestos, porque el hogar paga (0.20) (800) = $ 160 en impuestos y recibe $ 160 como reembolso de impuestos anual. Los dos efectos se cancelan mutuamente. Sin embargo, el modelo de maximización de servicios públicos predice que el hogar no continuará comprando 800 galones de gasolina, sino que reducirá su consumo de gasolina debido al efecto de sustitución. Como resultado, será mejor después del programa de impuestos y descuentos.

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Otros Bienes

E

OB

Gasolina El diagrama muestra esta situación. La línea presupuestaria original es AD, y el hogar maximiza su utilidad en el punto F, donde la línea presupuestaria es tangente a la curva de indiferencia U1. En F, el hogar consume 800 galones de gasolina y OB de otros bienes. El aumento de 20 % en el precio provocado por el impuesto pivota la línea presupuestaria a AB (que es exagerado para aclarar el diagrama). Luego, el reembolso de $ 160 desplaza la línea presupuestaria de manera paralela a EC, donde el hogar puede comprar nuevamente su paquete original de productos que contienen 800 galones de gasolina. Sin embargo, la nueva línea presupuestaria cruza la curva de indiferencia U1 y no es tangente a ella. Por lo tanto, el punto F no puede ser el nuevo paquete de bienes que maximiza la utilidad. La nueva línea presupuestaria es tangente a una curva de indiferencia más alta U2 en el punto G. Por lo tanto, el punto G es el nuevo paquete de maximización de servicios públicos, y el hogar consume menos gasolina (porque G está a la izquierda de F) y está mejor porque está en una curva de indiferencia más alta.

Ejercicio 11 Muestre que las dos funciones de utilidad siguientes generan idénticas funciones de demanda de los bienes X e Y: a. U (X, Y) = log(X) + log(Y) b. U (X, Y) = (XY)0,5 Si dos funciones de utilidad son equivalentes, entonces las funciones de demanda derivadas de ellas Son idénticos. Dos funciones de utilidad son equivalentes si puede transformar una de ellas y obtener el otro. La transformación debe ser realizada por una función que transforma un conjunto de números en otro conjunto sin cambiar su orden. Entonces, para ejemplo, la función cuadrada podría ser utilizada, porque no cambia el orden de números que son cuadrados. Si w es mayor que z, entonces w2 es mayor que z2. La función de logaritmo también se puede utilizar como una función de transformación, y eso es lo que usar aquí.

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Tomando el logaritmo de U (X, Y) = (XY)0.5 obtenemos log U (X, Y) = 0.5 log (XY) = 0.5 (log (X) + log (Y)). Ahora multiplicamos ambos lados por 2, lo que produce la función de utilidad en a. 2[ log U (X, Y)] = log(X) + log(Y).

Por lo tanto, las dos funciones de utilidad son equivalentes y producirán una demanda idéntica funciones. También podemos demostrar esto directamente resolviendo las funciones de demanda en ambos casos y mostrando que son lo mismo. a. Para encontrar las funciones de demanda para X e Y, correspondientes a U (X, Y) = log (X) + log (Y), debemos maximizar U (X, Y) sujeto a la restricción presupuestaria. Para hacer esto, primero escribe la función de Lagrange, donde λ es el multiplicador de Lagrange:

£ = log(X) + log(Y) – λ (PXX + PYY – I). Diferenciando con respecto a X, Y y λ, y estableciendo las derivadas iguales a cero: ∂£/∂X= 1/ X− λ PX= 0. ∂£/∂Y= 1/ Y− λ PY = 0 ∂£/∂λ= I− PXX - PYY = 0 Las dos primeras condiciones implican que P X X = 1/λ y PY Y = 1/λ. La tercera condición implica que I – 1/ λ – 1/λ = 0, Ó λ = 2/I.

Sustituyendo esta expresión en PX X = 1/ λ y PY Y = 1/λ otorga las funciones de demanda: X= (I/2PX) y Y= (I/2Py). Teniendo en cuenta que la demanda de cada bien depende solo del precio de ese bien y en ingresos, no en el precio del otro bien. Además, el consumidor gasta exactamente la mitad de los ingresos en cada bien, independientemente de los precios de los bienes. b. Para encontrar las funciones de demanda para X e Y, correspondientes a = (XY)0.5 = (X0.5) (Y0.5), primero escribimos la función de Lagrange: £ = (X)0.5 (Y)0.5 – λ (PX X + PY Y – I) Diferenciando con respecto a X, Y, λ y estableciendo las derivadas iguales a cero: ∂£/∂X= 0.5X-0.5Y0.5 − λ PX= 0. ∂£/∂Y= 0.5X0.5Y-0.5 − λ PY= 0. ∂£/∂λ= I− PXX - PYY = 0

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U (X, Y)

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Tomamos las dos primeras condiciones, movemos los términos que implican λ a los lados derechos, y luego se divide la primera condición por la segunda. Después de un poco de álgebra, encontramos Y/X=PX/Py Ó PYY=PXX Sustituimos PYY en la tercera condición, que rinde I = 2P XX. Por lo tanto, X= (I/2PX) y Y=(I/2PY), que son las mismas funciones de demanda que encontramos para la otra función de utilidad.

Ejercicio 12 Sara tiene la siguiente función de utilidad: U (X, Y) = √X +√Y Donde X es su consumo de caramelos, cuyo precio es PX = $1 e Y es su consumo de cafés, cuyo precio es PY = $3. a. Halle la demanda de caramelos y de cafés de Sara. Usando el método de Lagrangian, la ecuación de Lagrangian es £ = √ X + √ Y -λ (PX X + PYY - I).

Para encontrar las funciones de demanda, necesitamos maximizar la ecuación de Lagrangian con respecto a X, Y y λ, que es lo mismo que maximizar la utilidad sujeta al presupuesto restricción. Las condiciones necesarias para un máximo son: (1) ∂£/∂X = 0.5X-0.5 –PX λ = 0 (2) ∂£/∂Y = 0.5Y-0.5 –PY λ = 0 (3) ∂£/∂λ =I−PXX –PYY = 0 La combinación de las condiciones (1) y (2) da como resultado: λ= 1/ 2PXX0.5 =1/ 2PYY0.5, así que, PXX0.5 = PYY0.5 y por lo tanto, (4) X= (PY2 / PX2) Y. Ahora sustituimos (4) en (3) y resuelva para Y. Una vez que hayamos resuelto para Y, puede Sustituirse Y por (4) y se resuelve por X. Teniendo en cuenta que algebraicamente hay varias formas de resolver este tipo de problema. Las funciones de demanda son: Y=PX I / P2Y +PYPX Ó Y= I/12 X=PY I / P2X +PYPX Ó X= 3I/4

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b. Suponga que su renta es I = 100 dólares. ¿Cuántos caramelos y cuántos cafés consumirán? Sustituimos los valores de los dos precios y los ingresos en las funciones de demanda para encontrar que ella consume X = 75 barras de dulce y Y = 8,33 expresos .

c. ¿Cuál es la utilidad marginal de la renta? Como se muestra en el apéndice, la utilidad marginal del ingreso es igual a 8. Desde la parte a. λ= 1/ 2PX X0.5= 1/ 2PYY0.5 Sustituimos en cualquier parte de la ecuación para obtener λ = 0.058. Esta es la medida en que la utilidad de Sharon aumentaría si tuviera un dólar más para gastar.

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