Ejercicios De Repaso Primer Parcial

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – IND 551 EJERCICIOS DE REPASO I/2014

FORMULACIÓN DE MPL 1. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. El utiliza dos tipos de materia prima (A y B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requisitos de materias primas por unidad de los tres modelos son: Requisitos por unidad del modelo dado Materia prima I II III A 2 3 5 B 4 2 7 El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fábrica puede producir el equivalente de 1500 unidades del modelo I. Un estudio de mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del número de unidades producidas deben ser iguales a 3:2:5. Supóngase que la ganancia por unidad de los modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el problema como un modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada producto que maximizarán la ganancia. SOLUCIÓN: Variables de decisión: X = Unidades a producir del producto modelo I Y = Unidades a producir del producto modelo II Z = Unidades a producir del producto modelo III Función objetivo: G (X, Y, Z): Ganancia Max G = 30X + 20Y + 50Z Restricciones: 1) Restricción de materia prima A: 2) Restricción de materia prima B: 3) Restricción de tiempo: 4) Relación de producción modelos I y II: 5) Relación de producción modelos II y III: 6) Restricción demanda del modelo I: 7) Restricción demanda del modelo II: 8) Restricción demanda del modelo III: 9) No negatividad: 10) Variables enteras:

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2. La división de investigación y desarrollo de la “Compañía de los Mejores Productos” ha desarrollado tres nuevos productos para el mercado internacional que pueden ser producidos en dos de sus plantas. Sin embargo, para evitar una diversificación excesiva de la línea de productos de la compañía y por cuestiones tanto administrativas como financieras, se han impuesto las siguientes políticas: Política 1: Sólo una de las dos plantas debe asignarse para la producción de los nuevos productos. Política 2: De los tres nuevos productos posibles, deben escogerse, como máximo, solo dos. Considere, el costo unitario de producción de cada producto será el mismo en las dos plantas. Sin embargo, por diferencias en las instalaciones, el número de horas de producción por unidad de cada unidad difiere entre ellas. Estos datos se dan en la tabla inferior, junto con otra información relevante que incluye las estimaciones del departamento de mercadotecnia sobre el número máximo de unidades de cada producto que podrían venderse a la semana. El objetivo es seleccionar los productos, la planta y las tasas de producción de los bienes elegidos de manera que se maximice la ganancia total. PLANTAS Tiempo de producción utilizado por cada unidad producida Horas disponibles por semana Producto 1 Producto 2 Producto 3 Planta 1 3 4 2 30 Planta 2 4 6 2 40 Ganancia unitaria ($/u) 50 70 30 Ventas semanales (u) 7 5 9

SOLUCIÓN: Variables de decisión: X I = Decisión de producir el producto i (i = A, B, C) Y j = Decisión de trabajar en la planta j (j = 1, 2) W i = Cantidad del producto i a producir (i = A, B, C) Función objetivo: G (X, Y, Z): Ganancia Max G = 50WA + 75WB + 30WC Restricciones: 1) Horas disponibles planta 1: 2) Horas disponibles planta 2: 3) Elección de una sola planta: 4) Demanda del producto A: 5) Demanda del producto B: 6) Demanda del producto C: 7) Elección de sola dos productos: 8) Variables binarias:

9) No negatividad: 10) Variables enteras:

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SOLUCIÓN DE MODELOS DE MPL 1. AEMPROTEX CTA vende blusas y polos de poliéster de alta calidad para la exportación. La tabla muestra los materiales que se usa para producir una blusa y un polo. Se dispone de 145000 kg de poliéster y 90000 horas de trabajo por año. Se pueden vender hasta 50000 blusas y hasta 50000 polos. Los polos se venden a 32 $us y las blusas a 55 $us. Además de su propia producción de blusas y polos, la empresa puede comprar (de un fabricante artesanal) más polos a 4 $us el polo y puede comprar (de un fabricante semiartesanal) más blusas a 37 $us cada una. Los costos en el mejoramiento de las prendas compradas para la estandarización de la calidad se pueden considerar despreciables. Plantee un MPL que estime la programación de la producción y las compras necesarias para el siguiente año.

Poliéster Mano de obra

Polo 3 kg 2 horas

Blusa 5 kg 4 horas

Obtenga la solución por el simplex revisado

SOLUCIÓN: Variables de decisión: X1 = Cantidad de polos que se producirán X2 = Cantidad de blusas que se producirán X3 = Cantidad de polos a comprar del fabricante artesanal X4 = Cantidad de blusas a comprar del fabricante semiartesanal Función objetivo: Z(X1, X2, X3, X4): Ganancia Max Z = 32X1 + 55X2 + 28X3 + 18X4 Restricciones: 1) Disponibilidad de poliéster: 2) Disponibilidad de mano de obra: 3) Venta máxima de polos: 4) Venta máxima de blusas: 5) No negatividad: Solución por simplex revisado: Estandarizando el modelo:

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Primera iteración:

Test de optimación:

Prueba del cociente:

Segunda iteración:

Test de optimación:

Prueba del cociente:

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Tercera iteración:

Test de optimación:

Prueba del cociente:

Cuarta iteración:

Test de optimación:

Cálculo de Z:

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Cálculo de XB:

Por lo tanto, se debe fabricar 22500 blusas, se debe comprar 50000 polos y se debe comprar 27500 blusas para obtener un máximo beneficio de $us 3132500 para el próximo año. Dada dicha programación, existirá una holgura de 32500 kg de poliéster los cuales puede disponerse para la comercialización u otros fines que beneficien a AEMPROTEX CTA

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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 1. Una industria química produce dos solventes: CS01 y CS02. La planta opera 40 horas por semana y cuenta con dos departamentos de producción: Mezclado y purificación. En el departamento de mezclado hay 5 trabajadores tiempo completo y 2 tiempo parcial. Cada trabajador tiempo parcial trabaja 15 horas a la semana. En el departamento de purificación hay 6 trabajadores tiempo completo y 1 tiempo parcial, cada trabajador tiempo parcial trabaja 10 horas a la semana. Las horas requeridas para cada uno de los solventes son las siguientes (h/1000gal): CS01 CS02 Mezclado 2 1 Purificación 1 2 La demanda de CS02 está limitada a 120000 galones. La ganancia que originan ambos productos son: 0,003 Bs por galón de CS01 y 0,005 Bs por galón de CS02. Lo que se pretende es maximizar las ganancias semanales. Se ha utilizado LINDO para resolver este problema, los resultados obtenidos (en miles de galones) son los siguientes: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 660.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 70.000000 0.000000 X2 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES R1) 0.000000 R2) R3) RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 X2 5.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE R1 R2 R3

a) Complete los espacios en blanco del informe de LINDO. Luego interprete cada uno de los parámetros obtenidos del informe de LINDO. b) Si la ganancia de CS01 se incrementa a 0,009 Bs/gal y la de CS02 se reduce a 0,002 Bs/gal, ¿cuál es el nuevo programa de producción? c) Se prevé que la demanda del disolvente CS02 se verá limitada a 1000000 de gal/semana, entonces ¿se debe cambiar el programa de producción? Explique d) Se incorporan 2 nuevos trabajadores a tiempo completo en el área de mezclado. ¿Cómo afecta esto a la ganancia? e) Le informan el despido de tres trabajadores a tiempo completo y uno a tiempo parcial en el área de purificación, ¿cómo afecta esto a la ganancia?

SOLUCIÓN: Planteo del problema: Variables de decisión: X1 = Numero de miles de galones del disolvente CS01 a producir X2 = Número de miles de galones del disolvente CS02 a producir Función objetivo: G(X1, X2): Ganancia Max G = 3X1 + 5X2 Restricciones: R1) Horas disponibles en mezclado: R2) Horas disponibles en purificación: R3) Demanda de CS02: R4) No negatividad: Resolviendo por simplex:

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Forma estándar:

Tabla simplex:

s1 s2 s3 G

X1 2 1 0 -3

X2 s1 1 1 2 0 1 0 -5 0

s2 s3 LD 0 0 230 1 0 250 0 1 120 0 0 0

Primera iteración:

s1 s2 X2 G

X1 2 1 0 -3

X2 s1 0 1 0 0 1 0 0 0

s2 s3 LD 0 -1 110 1 -2 10 0 1 120 0 5 600

Segunda iteración:

s1 X1 X2 G

X1 0 1 0 0

X2 s1 0 1 0 0 1 0 0 0

s2 s3 LD -2 3 90 1 -2 10 0 1 120 3 -1 630

Tercera iteración (¡OPTIMO!)

s3 X1 X2 G

X1 0 1 0 0

X2 0 0 1 0

s1 1/3 2/3 -1/3 1/3

s2 -2/3 -1/3 2/3 7/3

s3 1 0 0 0

LD 30 70 90 660

Análisis de sensibilidad para X1:

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Análisis de sensibilidad para X2:

Análisis de sensibilidad para las horas disponibles en mezclado (primer recurso):

Análisis de sensibilidad para las horas disponibles en purificación (segundo recurso):

Análisis de sensibilidad para la demanda de CS02 (tercer recurso):

a) Se llenan los valores del informe de LINDO: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 660.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 70.000000 0.000000 X2 90.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES R1) 0.000000 1/3 = 0.333333 R2) 0.000000 7/3 = 2.333333 R3) 30.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 7.000000 0.500000 X2 5.000000 1.000000 3.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE R1 230.000000 270.000000 90.000000 R2 250.000000 45.000000 135.000000 R3 120.000000 INFINITY 30.000000 Interpretación de los parámetros: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 660.0000 El valor de la función objetivo es de 660 Bs. Refleja la ganancia semanal por la producción de CS01 y CS02. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 70.000000 0.000000 X2 90.000000 0.000000 La cantidad a producir de CS01 es de 70000 galones a la semana. Puesto que es una variable básica el valor de su costo reducido es 0.

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La cantidad a producir de CS02 es de 90000 galones a la semana. Puesto que es una variable básica el valor de su costo reducido es 0. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES R1) 0.000000 0.333333 R2) 0.000000 2.333333 R3) 30.000000 0.000000 Existe holgura en la restricción 30000 galones en la demanda de CS02 debido a que solamente se producirá 90000 galones siendo el límite máximo de 120000. Existe demanda insatisfecha. Existe una mejora de 0,33 Bs en el valor óptimo de la ganancia por cada hora que se pueda adicionar en el departamento de mezclado (a parte de las 230 horas actuales) Existe una mejora de 2,33 Bs en el valor óptimo de la ganancia por cada hora que se pueda adicionar en el departamento de purificación (a parte de las 250 horas actuales) OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 7.000000 0.500000 X2 5.000000 1.000000 3.500000 El valor optimo y la solución actual se mantendrán mientras la ganancia de CS01 se mantenga entre 0,0025 y 0,010 Bs por galón. Si se sobrepasa estos límites la solución actual cambiará. El valor optimo y la solución actual se mantendrán mientras la ganancia de CS02 se mantenga entre 0,0015 y 0,006 Bs por galón. Si se sobrepasa estos límites la solución actual cambiará. ROW R1 R2 R3

CURRENT RHS 230.000000 250.000000 120.000000

ALLOWABLE INCREASE 270.000000 45.000000 INFINITY

ALLOWABLE DECREASE 90.000000 135.000000 30.000000

El valor óptimo de G se incrementará en 0,33 Bs por cada hora adicional en el departamento de mezclado. El valor óptimo se reducirá en 0,33 Bs por cada hora menos que se tenga en el departamento de mezclado. El valor óptimo de G se incrementará en 0,66 Bs por cada hora adicional en el departamento de purificación. El valor óptimo se reducirá en 0,66 Bs por cada hora menos que se tenga en el departamento de purificación. El valor optimo y la solución actual se mantendrá mientras la demanda de CS02 este limitada por lo menos a 90000 galones. La solución se mantiene si se incrementa el límite de la demanda a valores superiores a los 90000 galones b) Del análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo se tiene que para los valores de 9X1 y 2X2 la solución actual se mantiene, por lo tanto incrementar ganancia de CS01 a 0,009 Bs/gal o reducir la ganancia de CS02 a 0,002 Bs/gal no afecta la solución actual ni el valor óptimo. c) Del análisis de sensibilidad para la restricción R3 se tiene que el incremento permitido en la limitación de la demanda es INFINITY, por lo que si se limita a 1000000 de galones de CS02, el resultado actual se mantiene. d) Incorporar dos nuevos trabajadores a tiempo completos en el departamento de mezclado significa disponer de 80 horas adicionales en este departamento, las cuales están dentro de los rangos permisibles (ROW R1). La nueva cantidad de horas será de 230 + 80 = 310 horas. El nuevo valor óptimo de G obtenido a partir del DUAL PRICES de R1 será de 660 + 0,333333*80 = 686,67 Bs e) Despedir tres trabajadores a tiempo completo y uno a tiempo parcial significa disponer de 130 horas menos en este departamento, las cuales están dentro de los rangos permisibles (ROW R2). La nueva cantidad de horas será de 230 - 130 = 110 horas. El nuevo valor óptimo de G obtenido a partir del DUAL PRICES de R2 será de 660 - 2,333333*80 = 356,67 Bs

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