Ejercicios

Alexander Merejildo Tomalá

Ejercicios Complementarios 1. Se invierte $20 000 en una cuenta bancaria. Determine el monto compuesto al cabo de 5 años, si la tasa promedio de interés convertible mensualmente es de: 𝑃 = 20000

𝐹 =?

i =?

𝑚 = 12

n = 5 años

a) 15% 𝑖 𝑛𝑚 0.15 5∗12 𝐹 = 𝑃 (1 + ) = 20000 (1 + ) = $42143.63 𝑚 12 a) 25% 𝐹 = 20000 (1 +

0.25 5∗12 ) = $68916.08 12

b) 38% 𝐹 = 20000 (1 +

0.38 5∗12 ) = $129835.64 12

𝐹 = 20000 (1 +

0.54 5∗12 ) = $280548.16 12

c) 54%

2. ¿Cuál es el monto de una inversión de $100 000 al cabo de un año, si se deposita en una cuenta bancaria que paga 30% de interés convertible: 𝑃 = 100000

𝐹 =?

i = 0.3 anual

𝑚 =?

a) anualmente? 0.3 1∗1 𝐹 = 100000 (1 + ) = $130000 1

b) semestralmente? 0.3 1∗2 𝐹 = 100000 (1 + ) = $132250 2 a) trimestralmente? 𝐹 = 100000 (1 + b) mensualmente?

0.3 1∗4 ) = $133546 4

n = 1 años

Alexander Merejildo Tomalá

𝐹 = 100000 (1 +

0.3 1∗12 ) = $134488.88 12

3. Los precios de la canasta básica de alimentación se han incrementado a una tasa anual de 25% durante 3 años. Si el precio actual es de $765, ¿cuál era su valor hace 3 años? 𝑃 =?

𝐹 = 765

i = 0.25 anual

n = 3 años

𝑃 = 𝐹(1 + 𝑖)−𝑛 = 765(1 + 0.25)−3 = $392.68 4. Se desea formar un fondo de $250 000 al cabo de 2 años. ¿Qué cantidad debe depositarse hoy si el banco paga un interés de: 𝑃 =?

𝐹 = 250000

m =?

i =?

n = 2 años

a) 10% convertible mensualmente? 𝑃 = 𝐹 (1 +

𝑖 −𝑛𝑚 0.10 −2∗12 ) = 250000 (1 + ) = $204852.38 𝑚 12

b) 20% convertible semestralmente? 0.20 −2∗2 𝑃 = 250000 (1 + ) = $170753.36 2 a) 23% anual? 𝑃 = 𝐹(1 + 𝑖)−𝑛 = 250000(1 + 0.23)−2 = $165245.55 5. Los salarios mínimos se han incrementado a una tasa de 13% anual promedio durante los últimos 4 años. Si continuara dicha tendencia, ¿en qué tiempo se triplicará su valor nominal? 𝑃=𝑋

𝐹 = 3𝑋

𝑛=

𝐹 log (𝑃 ) log(1 + 𝑖)

=

3𝑋 log ( 𝑋 ) log(1 + 0.13)

i = 0.13

=

n =?

log(3) = 8.99 𝑎ñ𝑜𝑠 log(1 + 0.13)

6. El precio de las casas y terrenos se ha duplicado en 3 años. ¿Cuál es la tasa de interés anual que ha ganado? 3 3𝑋 𝑛 𝐹 𝑖 = √ − 1 = √ − 1 = 0.442 = 44.22% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑃 𝑋

7. Un país posee cinco refinerías para proveerse de combustible. Su producción actual es de 1000 000 barriles diarios y trabajan a 80% de su capacidad. Si el crecimiento promedio del consumo ha sido de 4% anual, ¿en qué tiempo requerirá dicho país poner en operación una nueva refinería? 𝑃 = 1000000

𝑛=

𝐹= 𝐹 log (𝑃 ) log(1 + 𝑖)

=

1000000 0.8 1250000 log (1000000) log(1 + 0.04)

i = 0.04

=

log(1.25) = 5.69 𝑎ñ𝑜𝑠 log(1 + 0.04)

n =?

Alexander Merejildo Tomalá 8. ¿Cuál es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a: a) una tasa de 11% anual? (1 + 𝑖)𝑛 = (1 +

𝑗 𝑚𝑛 ) 𝑚

𝑚

⇒ 𝑗 = 𝑚( √1 + 𝑖 − 1) 12

𝑗 = 12( √1 + 0.11 − 1) = 0.1048 = 10.48% b) una tasa de 18% anual convertible semestralmente? (1 +

𝑚2

𝑗 = 𝑚2 ( √(1 +

𝑖 𝑚1 𝑗 𝑚2 ) = (1 + ) 𝑚1 𝑚2

12 𝑖 𝑚1 0.18 2 √ ) − 1) = 12 ( (1 + ) − 1) = 0.1736 = 17.36% 𝑚1 2

c) una tasa de 32% anual convertible trimestralmente? 12

𝑗 = 12 ( √(1 +

0.32 4 ) − 1) = 0.3118 = 31.18% 4

9. Una deuda de $400 000 debe liquidarse con dos pagos iguales a 60 y 120 días. ¿Cuál es el importe de dichos pagos si la tasa de interés anual es de 26% con capitalización bimestral?

X

400000 0

X 1/3 años

1/6 400000 = 𝑋(1 + 𝑖)−𝑛1 + 𝑋(1 + 𝑖)−𝑛2 ⇒𝑋=

𝑋=

400000 −𝑛1 𝑚

𝑖 (1 + 𝑚)

𝑖 −𝑛2 𝑚 + (1 + 𝑚)

400000 1 − ∗6 6

0.26 (1 + 6 )

1

0.26 −3∗6 + (1 + 6 )

= $213091.9

10. ¿En qué tiempo puede ser liquidada con un pago único una deuda de $27 500 pagaderos en un año, y $38 450 pagaderos en dos años, si la tasa de interés es de:

$27500 1

$38450 X 27500+38450

2

0

Alexander Merejildo Tomalá a) 10% anual? 27500(1 + 𝑖)−𝑛1 + 38450(1 + 𝑖)−𝑛2 = 65950(1 + 𝑖)−𝑋 log [ 𝑋= log [ 𝑋=

65950 ] 27500(1 + + 38450(1 + 𝑖)−𝑛2 log(1 + 𝑖) 𝑖)−𝑛1

65950 ] 27500(1 + 0.1)−1 + 38450(1 + 𝑖)−1 = 1.57 𝑎ñ𝑜𝑠 log(1 + 0.1)

b) 20% anual? log [ 𝑋=

65950 ] 27500(1 + 0.2)−1 + 38450(1 + 0.2)−1 = 1.56 𝑎ñ𝑜𝑠 log(1 + 0.2)

c) 30% anual? log [ 𝑋=

65950 ] 27500(1 + + 38450(1 + 0.3)−1 = 1.55 𝑎ñ𝑜𝑠 log(1 + 0.3) 0.3)−1

b) 50% anual? log [ 𝑋=

65950 ] 27500(1 + 0.5)−1 + 38450(1 + 0.5)−1 = 1.53 𝑎ñ𝑜𝑠 log(1 + 0.5)

11. Determine el periodo de capitalización y la frecuencia de conversión de: a) una inversión en certificados de la Tesorería de la Federación con vencimientos cada 91 días. El periodo de capitalización es trimestral y su frecuencia de conversión es 4 b) una inversión en cuenta de ahorros que paga intereses de 20% anual semestralmente. El periodo de capitalización es semestral y su frecuencia de conversión es 2 c) una inversión en pagarés liquidables cada 28 días. El periodo de capitalización es mensual y su frecuencia de conversión es 12 12. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de capitalización de las siguientes inversiones: a) 6% capitalizable mensualmente? 𝑖=

6 = 0.5% 12

𝑖=

18 = 4.5% 4

b) 18% capitalizable trimestralmente?

c) 22% capitalizable anualmente? 𝑖 = 22% d) 22% capitalizable semestralmente?

Alexander Merejildo Tomalá

𝑖=

22 = 11% 2

13. Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversión: a ) Depósitos a plazo fijo de un año 12.0%

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 = 50000(1 + 0.12)1 = $56000 b) Depósitos a plazo fijo capitalizable mensualmente 11.5% 𝑖

𝑛𝑚

𝐹 = 𝑃 (1 + )

= 50000 (1 +

𝑚

0.115 12

1∗12

)

= $56062.97

c ) Depósitos a plazo fijo con intereses capitalizables trimestralmente 11.6% 𝑖

𝑛𝑚

𝐹 = 𝑃 (1 + )

= 50000 (1 +

𝑚

0.116 4

1∗4

)

= $56057.21

d ) Depósitos a plazo fijo con interés capitalizable semestralmente 11.8% 𝑖

𝐹 = 𝑃 (1 + ) 𝑚

𝑛𝑚

= 50000 (1 +

0.118 2

1∗2

)

= $56074.05

Si se desea invertir $50 000, ¿cuál es la mejor alternativa? ∴ 𝐿𝑎 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑 mejor alternativa seria la d s $50 000 del ejercicio anterior, si se depositan durante 10 años en: a) una cuenta de valores al 22% capitalizable mensualmente?

𝐹 = 50000 (1 +

0.22 12

10∗12

)

= $442349.14

b ) una cuenta de valores al 27.5% capitalizable mensualmente?

𝐹 = 50000 (1 +

0.27.5 12

10∗12

)

= $758229.32

c) una cuenta de valores al 30% capitalizable mensualmente?

𝐹 = 50000 (1 +

0.3 12

10∗12

)

= $967907.49

d) una cuenta de valores al 35% capitalizable mensualmente?

𝐹 = 50000 (1 +

0.35 12

10∗12

)

= $1574908.73

e) una cuenta de valores al 40% capitalizable mensualmente?

𝐹 = 50000 (1 +

0.4 12

10∗12

)

= $2557541.55

Alexander Merejildo Tomalá 15. a) ¿ Cuál será el monto de una cuenta de ahorros en la que se depositan $50 000 durante 10 años, si la tasa de interés es de 8% capitalizable semestralmente?

𝐹 = 50000 (1 +

0.08 2

10∗2

)

= $109556.16

b ) ¿Cuál será el monto en 15 años?

𝐹 = 50000 (1 +

0.08 2

15∗2

)

= $162169.86

c) ¿En 20 años?

𝐹 = 50000 (1 +

0.08 2

15∗2

)

= $240051.03

16. Una persona desea formar un fondo de ahorros para su vejez. Deposita $10 000 en una cuenta que paga 12% anual convertible mensualmente. ¿Cuál será el monto de que disponga al cabo de 25 años?

𝐹 = 10000 (1 +

0.12 12

25∗12

)

= $197884.66

17. Las ventas al menudeo se han incrementado a razón de 3% anual. Si en el año se vendieron 100 000 unidades, ¿cuáles son las ventas estimadas para dentro de 5 años si se mantiene el ritmo de crecimiento?

𝐹 = 100000(1 + 0.03)5 = 115927.4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 18. En una ciudad el crecimiento del número de automóviles ha sido de 6% anual promedio durante los últimos 5 años. De continuar la tendencia, ¿cuál será el número de automóviles que circularán dentro de 10 años, si actualmente existen dos millones de vehículos?

𝐹 = 2000000(1 + 0.06)10 = 3581695.39 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 19. Una persona deposita $5 000 en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés anual convertible semestralmente. ¿Cuál será el importe reunido después de 28 meses? Calcule por el método exacto y por el aproximado.

𝐹 = 5000 (1 +

0.10 2

2.333∗2

)

= $6278.46

20. Determine la tasa efectiva de interés anual equivalente a: a) 20% capitalizable semestralmente 1 + 𝑖 = (1 +

⇒ 𝑖 = (1 +

𝑗 𝑚 ) 𝑚

𝑗 𝑚 ) −1 𝑚

Alexander Merejildo Tomalá

𝑖 = (1 +

0.2 2 ) − 1 = 0.21 = 21% 2

b) 20% capitalizable mensualmente 0.2 12 𝑖 = (1 + ) − 1 = 0.2194 = 21.94% 12 c) 30% capitalizable mensualmente 𝑖 = (1 +

0.3 12 ) − 1 = 0.3449 = 34.49% 12

d) 40% capitalizable mensualmente 𝑖 = (1 +

0.4 12 ) − 1 = 0.4821 = 48.21% 12

e) 50% capitalizable trimestralmente 0.5 4 𝑖 = (1 + ) − 1 = 0.6018 = 60.18% 4 f) 50% capitalizable mensualmente 𝑖 = (1 +

0.5 12 ) − 1 = 0.6321 = 63.21% 12

c) 60% capitalizable trimestralmente 0.6 4 𝑖 = (1 + ) − 1 = 0.7490 = 74.9% 4 d) 60% capitalizable mensualmente 𝑖 = (1 +

0.6 12 ) − 1 = 0.7959 = 79.59% 12

e) 60% capitalizable semanalmente 𝑖 = (1 +

0.6 52 ) − 1 = 0.8159 = 81.59% 52

21. Determine la tasa nominal de interés 𝐽m equivalente a una tasa efectiva de: 𝑚

𝑗 = 𝑚( √1 + 𝑖 − 1) a) i = 15% m =1 1

𝑗 = 1(√1 + 0.15 − 1) = 15% b) i = 15% m = 2 2

𝑗 = 2(√1 + 0.15 − 1) = 14.48%

Alexander Merejildo Tomalá c) i = 15% m = 4 4

𝑗 = 4(√1 + 0.15 − 1) = 14.22% d) i = 15% m = 12 12

𝑗 = 12( √1 + 0.15 − 1) = 14.06% e) i = 26% m = 12 12

𝑗 = 12( √1 + 0.26 − 1) = 23.34% c) i = 12% m = 4 4

𝑗 = 4(√1 + 0.12 − 1) = 11.49% d) i = 35% m = 12 12

𝑗 = 12( √1 + 0.35 − 1) = 30.39% e) i = 9% m = 4 4

𝑗 = 4(√1 + 0.09 − 1) = 8.71%

22. Determine: 𝑚2

𝑗𝑚2 = 𝑚2 ( √(1 +

𝑗𝑚1 𝑚1 ) − 1) 𝑚1

a) la tasa nominal de interés J4 equivalente a J12 = 14% 4

𝑗4 = 4 ( √(1 +

0.14 12 ) − 1) = 14.16% 12

b) la tasa nominal de interés J4 equivalente a J12 = 18% 4

𝑗4 = 4 ( √(1 +

0.18 12 ) − 1) = 18.27% 12

c) la tasa nominal de interés J4 equivalente a J2 = 10% 4

𝑗4 = 4 ( √(1 +

0.1 2 ) − 1) = 9.88% 2

d) la tasa nominal de interés J6 equivalente a J4 = 8% 6

𝑗6 = 6 ( √(1 +

0.08 4 ) − 1) = 7.97% 4

Alexander Merejildo Tomalá e) la tasa nominal de interés J12 equivalente a J4 = 12% 12

𝑗12 = 12 ( √(1 +

0.12 4 ) − 1) = 11.88% 4

d) la tasa nominal de interés J12 equivalente a J4 = 15% 12

𝑗12 = 12 ( √(1 +

0.15 4 ) − 1) = 14.82% 4

e) la tasa nominal de interés J12 equivalente a J12 = 20% 𝑗12 = 20% f)

la tasa nominal de interés J12 equivalente a J4 = 24% 12

𝑗12

= 12 ( √(1 +

0.24 4 ) − 1) = 23.54% 4

23. Determine la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 18% compuesta: 𝑖 = (1 +

𝑗 𝑚 ) −1 𝑚

a) anualmente 𝑖 = (1 +

0.18 1 ) − 1 = 18% 1

b) semestralmente 𝑖 = (1 +

0.18 2 ) − 1 = 18.81% 2

c) cuatrimestralmente 𝑖 = (1 +

0.18 3 ) − 1 = 19.1% 3

d) trimestralmente 0.18 4 𝑖 = (1 + ) − 1 = 19.25% 4 e) bimestralmente 𝑖 = (1 +

0.18 6 ) − 1 = 19.4% 6

f) anualmente 𝑖 = 18% a) mensualmente

Alexander Merejildo Tomalá

𝑖 = (1 +

0.18 12 ) − 1 = 19.56% 12

b) semanalmente 0.18 52 𝑖 = (1 + ) − 1 = 19.68% 52 ¿Cuál es la diferencia entre la tasa efectiva con capitalización anual y la tasa efectiva semanal? 𝐻𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 1.68% 24. Una firma de venta de automóviles ofrece dos planes de pago: al contado $135 000; a plazos: $40 000 de enganche y dos pagos de $52 500 a 3 y 6 meses. ¿Qué alternativa es más conveniente si la tasa de interés es de: a) J4 = 10%? 𝑖 = 2.5% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 40000 + 52500(1 + 0.025)−1 + 52000(1 + 0.025)−2 = $140226.06 b) J4 = 20%? 𝑖 = 5% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 40000 + 52500(1 + 0.05)−1 + 52000(1 + 0.05)−2 = $136689.34 c) J4 = 30%? 𝑖 = 7.5% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 40000 + 52500(1 + 0.075)−1 + 52000(1 + 0.075)−2 = $133369.39 d) J4 = 40%? 40000 + 52500(1 + 0.05)−1 + 52000(1 + 0.05)−2 = $130247.93 e) Indique el valor actual de los pagos a plazos. ∴ 𝐿𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑑𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 40% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 25. Alejandra obtuvo un préstamo de $4 300 y acuerda liquidarlo mediante tres pagos a 1, 2 y 3 meses, con un interés de 2% mensual. El segundo pago será el doble del primero y, el tercero, el doble del segundo. ¿Cuál es el importe de los pagos? 4300 = 𝑋(1 + 0.02)−1 + 2𝑋(1 + 0.02)−2 + 4𝑋(1 + 0.02)−3 ⇒𝑋=

(1 +

0.02)−1

4300 = $644.48 + 2(1 + 0.02)−2 + 4(1 + 0.02)−3

∴ 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑑𝑒 $644.48, 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 $1288.96 𝑦 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 $2577.93de $1288.96 y el tercero de $2577.93 interés equivalente a tasas nominales J de 16% y 20% compuestas: 𝑗 𝑚 𝑖 = (1 + ) − 1 𝑚 a) anualmente 𝑖1 = 16% , 𝑖2 = 20%

Alexander Merejildo Tomalá b) semestralmente 𝑖

0.16 2 = (1 + ) − 1 = 16.64% 2

1

𝑖

2

0.2 2 = (1 + ) − 1 = 21% 2

c) cuatrimestralmente 𝑖

0.16 3 = (1 + ) − 1 = 16.87% 3

1

0.2 3 = (1 + ) − 1 = 21.36% 3

𝑖

2

0.16 4 ) − 1 = 16.99% 4

𝑖

2

= (1 +

0.2 4 ) − 1 = 21.55% 4

0.16 6 ) − 1 = 17.11% 6

𝑖

2

= (1 +

0.2 6 ) − 1 = 21.74% 6

= (1 +

0.2 12 ) − 1 = 21.94% 12

d) trimestralmente 𝑖

= (1 +

1

e) bimestralmente 𝑖

= (1 +

1

f) anualmente 𝑖1 = 16% , 𝑖2 = 20% c) mensualmente 𝑖

= (1 +

1

0.16 12 ) − 1 = 17.23% 12

𝑖

1

d) semanalmente 𝑖

1

0.16 52 = (1 + ) − 1 = 17.32% 52

𝑖

1

0.2 52 = (1 + ) − 1 = 22.09% 52

¿Cuál es la diferencia entre las tasas efectivas con capitalización anual y las que se capitalizan mensualmente? 27. ¿A qué tasa de interés nominal convertible mensualmente debe invertirse un capital para que éste se duplique en: 𝑛 𝐹 𝑖 = √ −1 𝑃

a) 5 años? 5

𝑖 = √2 − 1 = 14.87% b) 4 años? 4

𝑖 = √2 − 1 = 18.92%

c) 3 años

Alexander Merejildo Tomalá 3

𝑖 = √2 − 1 = 25.99% d) 2 años? 2

𝑖 = √2 − 1 = 41.42% e) 1 año? 1

𝑖 = √2 − 1 = 100% 28. ¿Qué alternativa de inversión es más rentable: a) un depósito a 6 meses con tasa de interés de 7.5% convertible semestralmente, o uno con tasa de 7.25% convertible mensualmente? 0.075

𝐹1 = 𝑋 (1 + 𝐹2 = 𝑋 (1 +

2

0.5∗2

)

= 1.025𝑋 0.5∗12

0.0725

)

12

= 1.37𝑋

∴ 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 7.25% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒a tasa de b) un depósito a 12 meses con tasa de interés de 10% convertible anualmente, o uno con tasa de 9.5% convertible mensualmente?

𝐹1 = 𝑋 (1 + 𝐹2 = 𝑋 (1 +

0.1 1

0.095 12

1∗1

)

= 1.1𝑋

1∗12

)

= 1.099𝑋

∴ 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 10% 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒eniente tasa de 29. ¿Cuál es la tasa de interés simple equivalente a una tasa de 14% convertible: 1 + 𝑛𝑖 = (1 +

1 + 𝑖 = (1 +

𝑖=

𝑗 𝑛𝑚 ) 𝑚

𝑗 3𝑚 ) 𝑚

𝑗 3𝑚 (1 + 𝑚) − 1 3

a) mensualmente 0.14 3∗12 (1 + 12 ) −1 𝑖= = 17.28% 3 b) trimestralmente

escoger

la

Alexander Merejildo Tomalá 0.14 3∗4 (1 + 4 ) − 1 𝑖= = 17.04% 3 c) semestralmente 0.14 3∗2 (1 + 2 ) − 1 𝑖= = 16.69% 3 d) anualmente 0.14 3∗1 (1 + 12 ) − 1 𝑖= = 16.05% 3 si invierte un capital durante 3 años? 30. Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibirán dentro de: 𝑃 = 𝐹(1 + 𝑖)−𝑛 a) 1 año 𝑃 = 10000(1 + 0.3)−1 = $7692.31 b) 2 años 𝑃 = 10000(1 + 0.3)−2 = $5917.16 c) 3 años 𝑃 = 10000(1 + 0.3)−3 = $4551.66 d) 5 años 𝑃 = 10000(1 + 0.3)−5 = $2693.29 e) 10 años, si la tasa de interés es de 30% anual. 𝑃 = 10000(1 + 0.3)−10 = $725.38 31. Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibirán dentro de cinco años, si la tasa de interés anual es: 𝑃 = 𝐹(1 + 𝑖)−𝑛 a) 10% 𝑃 = 10000(1 + 0.1)−5 = $6209.21 b) 20% 𝑃 = 10000(1 + 0.2)−5 = $4018.77 c) 30% 𝑃 = 10000(1 + 0.3)−5 = $2693.29 d) 40%

Alexander Merejildo Tomalá 𝑃 = 10000(1 + 0.4)−5 = $1859.34 e) 50% 𝑃 = 10000(1 + 0.5)−5 = $1316.87 f) 75% 𝑃 = 10000(1 + 0.1)−5 = $609.26 g) 100% 𝑃 = 10000(1 + 1)−5 = $312.5 32. Encuentre el valor actual de $10 000 que se recibirán dentro de tres años si la tasa de interés es de 15% compuesta: 𝑃 = 𝐹 (1 +

𝑖 −𝑛𝑚 ) 𝑚

a) anualmente

0.15 𝑃 = 10000 (1 + ) 1

−3∗1

0.15 𝑃 = 10000 (1 + ) 2

−3∗2

0.15 ) 3

−3∗3

𝑃 = 10000 (1 +

0.15 ) 4

−3∗4

𝑃 = 10000 (1 +

0.15 ) 6

−3∗6

𝑃 = 10000 (1 +

= $6575.16

b) semestralmente

= $6479.62

c) cuatrimestralmente

= $6446.09

d) trimestralmente

= $6428.99

e) bimestralmente

= $6411.66

f) mensualmente

0.15 𝑃 = 10000 (1 + ) 12

−3∗12

= $6394.09

g) diariamente

0.15 𝑃 = 10000 (1 + ) 365

−3∗365

= $6376.87

Alexander Merejildo Tomalá

si invierte un capital durante 3 años. 33. Determine el valor actual de:

𝑖 −𝑛𝑚 𝑃 = 𝐹 (1 + ) 𝑚 a) $10 000 pagaderos en 6 meses a 18% convertible mensualmente;

0.18 𝑃 = 10000 (1 + ) 12

−0.5∗12

= $9145.42

b) $50 000 pagaderos en 3 años a 20% convertible trimestralmente;

0.2 𝑃 = 50000 (1 + ) 4

−3∗4

= $27841.87

c) $120 000 pagaderos en 18 meses a 22% convertible trimestralmente;

0.22 𝑃 = 120000 (1 + ) 4

−1.5∗4

= $87029.5

d) $400 000 pagaderos en 2 años a 40% convertible trimestralmente. 𝑃 = 400000 (1 +

0.4 ) 4

−2∗4

= $186602.95

34. ¿Cuánto dinero debe depositar una persona en un banco para reunir $100 000 dentro de 2 años, si la tasa de interés vigente es de: 𝑃 = 𝐹 (1 +

𝑖 −𝑛𝑚 ) 𝑚

a) 6% convertible mensualmente? 𝑃 = 100000 (1 +

0.06 ) 12

−2 ∗12

= $88718.57

b) 10% convertible trimestralmente? 𝑃 = 100000 (1 +

0.1 ) 4

−2∗4

= $82074.66

c) 12% convertible semestralmente?

0.12 𝑃 = 100000 (1 + ) 2 d) 14% convertible anualmente?

−2∗2

= $79209.37

Alexander Merejildo Tomalá

0.14 𝑃 = 100000 (1 + ) 1

−2∗1

= $76946.75

e) ¿Qué alternativa es la más conveniente? ∴ 𝐿𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟 $76946.75 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 14% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 s depositar 35. ¿Qué cantidad se debe pagar hoy por una deuda a 36 meses, si la tasa de interés es de 17% anual capitalizable trimestralmente y el monto es de $44 850? 𝑃 = 𝐹 (1 +

𝑖 −𝑛𝑚 0.17 ) = 44850 (1 + ) 𝑚 4

−3∗4

= $27217.59

36. Un documento de $180 000 a plazo de 24 meses es descontado en el banco a una tasa de 22% convertible trimestralmente. ¿Cuál es la cantidad que se recibe?

0.22 𝑃 = 180000 (1 + ) 4

−2∗4

= $117287.8

37. Un banco descuenta un documento de $48 000 con vencimiento a 20 meses aplicando una tasa de interés de 14% convertible mensualmente. A su vez, el banco redescuenta el documento en una institución financiera que le carga 12% de interés convertible trimestralmente. ¿Cuál es su utilidad en la operación? Aplique el método exacto para el periodo fraccionario de interés. 𝑃1 = 48000 (1 +

0.14 ) 12

−1.6666∗12

0.12 𝑃2 = 48000 (1 + ) 4 𝑈=𝑃

2

= $38062.07 −1.6666∗4

= $39414.84

− 𝑃1 = 39414.84 − 38062.07 = $1352.77

38. Determine el valor actual de una deuda de $200 000 a pagar en 3 años y 4 meses, si la tasa de interés vigente es de 19% convertible trimestralmente. Utilice ambos métodos para determinar el resultado. 𝑃 = 𝐹 (1 +

𝑖 −𝑛𝑚 0.19 ) = 200000 (1 + ) 𝑚 4

−3.333∗4

= $107723. .29

39. Se desea descontar un pagaré con valor de $175 000 en 105 días. El banco carga una tasa de 16.5% convertible mensualmente. Determine el capital utilizando ambos método

𝑖 −𝑛𝑚 0.165 𝑃 = 𝐹 (1 + ) = 175000 (1 + ) 𝑚 12

−0.2917∗12

= $166832.25