Ejercicios Resueltos Optimizacion De Redes

Tecnológico nacional de México Instituto tecnológico de Mérida Ingeniería industrial Investigación de operaciones II

Equipo # 3 Arreola Euan Cristor Jorge

E17080374

Caamal Pech Julián Alejandro

E17081286

Góngora León Emmanuel Javier

E17080401

Rivas Herrera Mauricio Antonio

E17080412

Agosto-Diciembre 2019

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Rivas Herrera Mauricio AntonioE17080412

Góngora León Emmanuel Javier E17080401

Caamal Pech Julián AlejandroE17081286

Arreola Euan Cristor Jorge E17080374

Equipo #3

Tema 2

Optimización de redes.

Calificación: 3

Tabla de contenido Introducción......................................................................................................................................7 Optimización de redes.......................................................................................................................8 Terminología......................................................................................................................................8 Ventaja...............................................................................................................................................9 Problema de la ruta más corta...........................................................................................................9 Problema del árbol de mínima expansión..........................................................................................9 Concepto............................................................................................................................................9 Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima.............................................................9 Problema de flujo máximo...............................................................................................................10 Concepto..........................................................................................................................................10 Problema de flujo de costo mínimo.................................................................................................11 Concepto..........................................................................................................................................11 Programación lineal en teoría de redes...........................................................................................11 Concepto..........................................................................................................................................11 Mapa................................................................................................................................................12 Problema 21.....................................................................................................................................13 Solución............................................................................................................................................13 Problema 22.....................................................................................................................................14 Solución............................................................................................................................................14 QM Windows...................................................................................................................................15 Interpretación..................................................................................................................................15 Problema 23.....................................................................................................................................16 Solución con programación lineal....................................................................................................16 QM Windows...................................................................................................................................17 Interpretación..................................................................................................................................17 Problema 24.....................................................................................................................................18 Programación lineal de la ruta más corta.........................................................................................18 QM Windows...................................................................................................................................19 Interpretación..................................................................................................................................19 Problema 25.-..................................................................................................................................20 Solución............................................................................................................................................20 a)......................................................................................................................................................21 4

Programación lineal.........................................................................................................................21 B)......................................................................................................................................................21 Interpretación..................................................................................................................................21 Qm Windows....................................................................................................................................22 C)......................................................................................................................................................22 Interpretación..................................................................................................................................22 Problema 26.....................................................................................................................................23 Solución............................................................................................................................................23 Ruta más corta.................................................................................................................................23 QM Windows...................................................................................................................................24 Problema 27.....................................................................................................................................25 Solución............................................................................................................................................26 QM Windows....................................................................................................................................26 Interpretación..................................................................................................................................26 Problema 28.....................................................................................................................................27 Solución............................................................................................................................................27 Qm Windows....................................................................................................................................28 Interpretación..................................................................................................................................28 Problema 29.....................................................................................................................................29 Qm Windows....................................................................................................................................30 Interpretación..................................................................................................................................31 Problema 30.....................................................................................................................................32 Solución............................................................................................................................................32 Qm Windows....................................................................................................................................33 Interpretación..................................................................................................................................36 Problema 31.....................................................................................................................................37 Solución............................................................................................................................................38 Qm Windows....................................................................................................................................39 Interpretación..................................................................................................................................41 Problema 32.....................................................................................................................................42 a)......................................................................................................................................................42 Solución............................................................................................................................................42 Algoritmo.........................................................................................................................................43 5

Programación lineal.........................................................................................................................43 QM Windows...................................................................................................................................45 Interpretación..................................................................................................................................46 b)......................................................................................................................................................47 Algoritmo.........................................................................................................................................47 Programación lineal.........................................................................................................................48 QM Windows...................................................................................................................................49 Interpretación..................................................................................................................................50 Problema 33.....................................................................................................................................51 Solución............................................................................................................................................51 Algoritmo.........................................................................................................................................51 Programación lineal.........................................................................................................................52 QM Windows...................................................................................................................................53 Solución 2.........................................................................................................................................54 Algoritmo.........................................................................................................................................54 Solución 2.2......................................................................................................................................55 Algoritmo.........................................................................................................................................55 Interpretación..................................................................................................................................55 Problema 34.....................................................................................................................................56 Solución............................................................................................................................................56 Algoritmo.........................................................................................................................................56 Programación lineal.........................................................................................................................57 QM Windows...................................................................................................................................58 Interpretación..................................................................................................................................60 Caso a resolver 1..............................................................................................................................61 Solución............................................................................................................................................62 Interpretación..................................................................................................................................63 Caso a resolver 2..............................................................................................................................66 Solución............................................................................................................................................69 Interpretación..................................................................................................................................70 Conclusión........................................................................................................................................71 Referencias.......................................................................................................................................72

6

Introducción.

En el desarrollo de este presente documento se pretende alcanzar los objetivos de la unidad que establecen que nosotros podremos identificar los tipos de problemas de redes y así poder aplicar el algoritmo para conocer la ruta que permita optimizar los recursos de la empresa problema. En esta segunda unidad se vieron temas relacionados a los problemas de asignación de trasporte y manejo de recursos, los cuales se expresan en varios tipos de algoritmos para su rápida y optima solución de tal manera que se debe de identifica cada uno de los problemas y sus características (UNICAS) para así poder relacionarlo con uno de los 5 algoritmos y escoger el cual sea el indicado para dicho problema a analizar, y así poder desarrollar he interpretar la solución más óptima, debido a que se utilizan 5 algoritmos diferentes para cada tipo de problema que se desea analizar es necesario una identificación correcta y clara de cada problema para su exacta relación con el algoritmo necesario, en los cuales caen los siguientes ( Ruta más corta, Árbol de mínima expansión, Flujo máximo, Flujo de costo mínimo, Programación lineal en Teoría de Redes) estos 5 con los cuales con la ayuda de software podemos ser más exactos en las tomas de decisiones que ayuden a la empresa al mejor manejos de sus recursos.

7

Optimización de redes. Terminología. Red. Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos. Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son nodirigidos, la red es una red no-dirigida. Nodos. Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos. Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección. Ciclo. Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida. Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol. Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal.

8

Ventaja. Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal. Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal. Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones". Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones. Problema de la ruta más corta. Se trata de encontrar la ruta de menor distancia o costo entre en punto de partida o el nodo inicial y el destino o nodo terminal. Problema del árbol de mínima expansión. Concepto. Este problema considera una red no dirigida y conexa. En ella se debe encontrar un árbol de expansión con la longitud mínima de sus arcos.

9

Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima. 1.- selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. 2.- se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. 3.- Empates. Los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final. La manera más rápida de ejecutar este algoritmo en forma manual es el enfoque grafico que se ilustra enseguida. Problema de flujo máximo. Concepto. En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m. En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una dirección en particular también es mostrada en cada ruta

10

Problema de flujo de costo mínimo. Concepto. El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Todos los problemas de red anteriores son casos especiales del problema de flujo de costos mínimo. Al igual que el problema de flujo máximo, este considera flujos en las redes con capacidades. Al igual que el problema del camino más corto, este considera un costo por flujo hacia un arco. Al igual que el problema de transporte, este permite múltiples orígenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas pueden ser vistos como casos especiales del problema de flujo de costos mínimo. El problema es minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de algunos nodos, y de la conexión superior de flujo a través de cada arco Programación lineal en teoría de redes. Concepto. La programación lineal es actualmente la técnica matemática utilizada más actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computación. Lo que se busca con la aplicación de la programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma óptima.

11

Mapa.

12

Problema 21.- La formulación de programación lineal siguiente es para un problema de transbordo: Min 11X13 + 12X14 + 10X21 + 8X34 + 10X35 + 11X42 + 9X45 + 12X52 s.a. X13 +

X14 -

X21

≤5

X21 X13

- X34 -

-

X14

X42

-

X35

- X34

+ X35

X52 ≤ 3 =6

X42 + X45 + X45 -

≤2 X52 = 4

Xij ≥ 0 para toda i y j Muestre la representación de red para este problema. Solución.

2 10 12

11

1

4

12

9

5

11 8 10

3

13

Problema 22.- Una compañía de renta de automóviles tiene un desequilibrio de vehículos en siete de sus sitios. La red siguiente muestra los lugares de interés (los nodos) y el costo de mover un automóvil entre los sitios. Un numero positivo al lado de un nodo indica un exceso de suministro en éste, y un número negativo indica un exceso de demanda. -3

+5

2 1 2

-8

30

25

1

5

4

7

+2

3

+6

6

35 +3

-5

Solución. a. Elabore un modelo de programación lineal para este problema. Min 20X12 + 25X15 + 30X25 + 45X27 + 20X31 + 35X36 + 30X42 + 25X53 + 15X54 + 28X56 + 12X67 + 27X74 s.a. X31 – X12 – X15

=8

X25 + X27 – X12 – X42

=5

X31 + X36 – X53

=3

X54 + X74 – X42 X53 + X54 + X56 – X15 – X25

=3 =2

X36 + X56 – X67

=5

X74 – X27 – X67

=6 14

Xij ≥ 0 para todos los i,j b. Resuelva el método formulado en el inciso a) para determinar cómo deben redistribuirse los automóviles entre los sitios. QM Windows.

Interpretación. La solución para mantener un equilibrio en los vehículos es: X3= 8  X25 X5= 8  X31 X7= 3  X42 X8= 5  X53 X10= 5  X56 X12= 6 X74

15

Problema 23.- Encuentre la ruta más corta desde el nodo 1 al 7 en la red mostrada.

2

5

3

7

5

6

4

9

3

7

2

1

3

18

3

6

4

Solución con programación lineal Min 7X12 + 9X13 + 18X14 + 5X25 + 3X23 + 4X35 + 3X46 + 6X57 + 2X56 + 3X67 + 2X65 + 5X52 + 4X53 + 3X32 s.a. nodo inicial: nodo final:

X12 + X13 + X14 = 1 X57 + X67 = 1

nodo 2:

X12 + X32 + X52 – X23 – X25 = 0

nodo 3:

X13 + X23 + X53 – X32 – X35 = 0

nodo 4:

X14 – X46 = 0

nodo 5: X25 + X35 + X65 – X52 – X53 – X56 – X57 = 0 nodo 6:

X46 + X56 – X65 – X67 = 0

16

QM Windows.

Interpretación. La ruta corta es: R.T = (1, 2), (2, 5), (5, 6), (6, 7) D.T = 17

17

Problema 24.- En el problema de Gorman Construction, encontramos la distancia más corta desde la oficina (nodo 1) al sitio de construcción localizado en el nodo 6. Como algunos de los caminos son carreteras y otros son calles citadinas, las rutas de distancia más corta entre la oficina y el sitio de construcción no necesariamente proporcionan la ruta más rápida o de tiempo más corto. Aquí se muestra la red de carreteras de Gorman con el tiempo de traslado en vez de la distancia, la ruta más corta desde la oficina de Gorman al sitio de construcción del nodo 6, si el objetivo es minimizar el tiempo de traslado en vez de la distancia. Cambio a red dirigida Tiempo de traslado en minutos

6

2

4 1 5 3

Programación lineal de la ruta más corta Min 40X12 + 36X13 + 6X23+ 25X26+ 12X24 + 15X35 + 11X46 + 8X45 + 23X56 s.a. nodo inicial: nodo final: nodo 2:

X12 + X13 = 1 X26 + X46 + X56 = 1 X12 – X23 – X24 – X26 = 0 18

nodo 3:

X13 + X23 – X35 = 0

nodo 4:

X24 – X45 – X46 = 0

nodo 5:

X35 + X45 – X56 = 0

QM Windows.

Interpretación. La ruta más corta para el menor tiempo de traslado es: R.T = (1, 2), (2, 4), (4, 6) D.T =63

Problema 25.- Cleveland Área Rapid Delivery (CARD), opera un servicio de entrega en el área metropolitana de Cleveland. La mayoría de los negocios de CARD consisten 19

en la entrega rápida de documentos y paquetes entre oficinas en horas laborales. Esta empresa promueve su capacidad Para hacer entregas rápidas y a tiempo en cualquier parte de la zona metropolitana. Cuando un cliente llama con una solicitud de entrega, CARD garantiza el tiempo de entrega. La red siguiente muestra las rutas de calles disponibles. Los números sobre cada arco indican el tiempo de traslado en minutos entre los dos lugares. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que pueda usarse para encontrar el tiempo mínimo requerido para realizar una entrega desde la ubicación 1 a la ubicación 6. b. ¿Cuánto tiempo lleva hacer una entrega desde la ubicación 1 a la ubicación 6? c. Suponga que ahora es la 1:00 PM. CARD acaba de recibir una solicitud de recolección en la ubicación 1, y su servicio de mensajería más cercano está a 8 minutos de la ubicación 1. Si la CARD proporciona un margen de seguridad del 20% para garantizar un tiempo de entrega, ¿cuál es el tiempo de entrega garantizado si el paquete recogido en la ubicación 1 se entregará en la ubicación 6? Solución.

39 2

35

1

6

18

16

12

30

4

30

12

3

15 5

20

a) Programación lineal. Min z= 35*X12 + 30*X13 + 12*X23 + 18 *X24 + 39*X26 + 12*X32 + 15*X35 + 18*X42 + 12*X45 + 16*X46 + 15*X53 + 12*X54 + 30*X56

Sujeto a: Nodo Inicial: X12+X13=1 Nodo 2: X12+X32+X42-X23-X24-X26=0 Nodo 3: X13+X23+X53-X35-X32=0 Nodo 4: X24+X54-X42-X45-X46=0 Nodo 5: X35+X45-X53-X54-X56=0 Nodo Final: X26+X46+X56=1 X12,X13,X23,X24,X26,X32,X35,X42,X45,X46,X53,X54,X56>=0

B) Interpretación. El tiempo que lleva hacer una entrega desde la ubicación 1 a la ubicación 6 es 69 minutos. Qm Windows.

21

C) Interpretación. Su servicio de mensajería más cercano está a 8 minutos de la ubicación 1, llegando a ese

lugar

recolección

se

realiza

y

el

la

tiempo

garantizado para realizar la entrega de lugar 1 al lugar 6 será

82.8

minutos

considerando el margen de seguridad

de

entrega

del

20%. 69-----100%

x= (69 * 20) /

100 = 13.8 x------- 20%

Luego: 69+13.8 = 82.8 minutos. El tiempo de entrega garantizado es: 69 minutos a 82.8 Minutos únicamente. Problema 26.- Morgan Trucking Company opera un servicio especial de entregas y recolección rápidas entre Chicago y otras 10 ciudades ubicadas en un área de cuatro estados! Cuando la Morgan recibe una solicitud de servicio, envía un camión desde Chicago hasta la ciudad en la que se solicita el servicio, tan pronto como sea posible. Tanto el servicio rápido como los costos mínimos del viaje son objetivos para la Morgan.1 es importante que los camiones que se envían se 22

vayan por la ruta más corta desde Chicago hasta la ciudad especificada. Supóngase que la siguiente red (que no está trazada a escala), con distancias dadas en millas, representa la red de carreteras para el problema. Encuentre la distancia de la ruta más corta desde chicago al nodo 6.

12 35

2 5 10

8

Chicago

20

30

5

1

20

3

6

20

5

9 15 4

7

Solución. Ruta más corta

12 35

2 5

Chicago

10

8

20

30

5

1

20

3 20

6 9

23 5

QM Windows.

Problema 27.- City Cab Company identificó 10 sitios principales de recolección y entrega para los pasajeros de taxis en la ciudad de Nueva York. En un esfuerzo por minimizar el tiempo de viaje y mejorar el servicio al cliente y la utilización de la flota de taxis de la empresa, a la gerencia le gustaría que los conductores de taxis 24

tomaran la ruta más corta entre sitios siempre que sea posible. Utilizando la red siguiente de carreteras y calles, ¿cuál es la ruta que un conductor 1 debe tomar partiendo del sitio 1 para llegar al sitio 10? Los tiempos de recorrido en minutos se muestran en los arcos de la red. Observe que hay dos calles de un sentido con la dirección mostrada por las flechas.

15 2 5 8

13

4

7 4 2

5

3

10 7

2 6

2

15

1

8

5

3 5 10

4

5

4 12

9

3

Solución. QM Windows

25

Interpretación. La ruta más corta para el menor tiempo de traslado es: R.T = (1, 5), (5, 4), (4, 6), (6,7),(7,10)

D.T =25

Problema 28.- Los cinco nodos en la siguiente red representan los puntos separados por un año durante un periodo de cuatro años. Cada nodo indica un momento en el cual se tomó una decisión para mantener o reemplazar un equipo de cómputo de la empresa. Si se toma la decisión de reemplazar el equipo, 26

también se debe tomar una decisión con respecto a cuánto tiempo se usará el equipo nuevo. El arco desde el nodo 0 al 1 representa una decisión de mantener el equipo actual un año y reemplazarlo al final del año. El arco desde el nodo 0 al 2 representa la decisión de mantener el quipo actual dos años y reemplazarlo al final de este. Los números encima de los arcos indican el costo total asociado con las decisiones de reemplazo del equipo. Estos costos incluyen precio de compras con descuentos, valor de pago parcial, costos de operación y costos de mantenimiento. Utilice un modelo de la ruta más corta para determinar la política de reemplazo de equipo de costo mínimo para el periodo de cuatro años Solución. Min Z:1000X0,2+2000X0,3+2800X0,4+600X0,1+500X1,2+800X2,3+700X3,4+1400X1,3+ 2100X1,4+1600X2,4 S.A: Nodo inicial:X0,2+X0.3+X0,4+X0,1=1 Nodo final:X0,4+X3,4+X2,4+X1,4=1 Nodo 1:X0,1-X1,3-X1,4=0 Nodo 2:X1,2+X0,2-X2,3-X2,4=0 Nodo 3:X0,3+X2,3+X1,3-X3,4=0 Xi, j≥0; ˅ (i, j)

Qm Windows.

27

Interpretación. La política de reemplazo en base al costo mínimo con la interacción de la red con programación lineal es que sea de 25000

Problema 29.- El sistema de carreteras de norte a sur que pasa por Albany, Nueva York, cuenta con espacio para las capacidades mostradas.

28

2

Solución. Max Z: X6,1 S.a: Nodo inicial:X1,2+X1.4+X1,3-X6,1=0 Nodo final:X6,1-X5,6-X4,6-X3,6=0 Nodo 2:X2,4+X2,5-X1,2-X4,2=0 Nodo 3:X3,4+X3,6-X1,3-X4,3=0 Nodo 4:X4,2+X4,3+X4,5+X4,6-X2,4-X5,4-X3,4-X1,4=0 Nodo 5:X5,4+X5,6-X2,5-X4,5=0 X1,2≤2 X1,4≤3 X1,3≤6 X2,5≤4 X2,4≤1 X3,4≤3 X3,6≤2 X4,3≤3 X4,2≤1 29

X4,5≤1 X4,6≤3 X5,4≤1 X5,6≤6 Xi, j≥0; ˅ (i, j) Qm Windows.

30

Interpretación. ¿El

sistema

de

carreteras

tiene

espacio para el flujo de norte a sur de 10,000 vehículos por hora? Se ha determinado que el flujo máximo en este sistema de redes es 9,000 vehículos por hora por lo que no podrían círculos más de 9,000 en esta red, lo cual es más que obvio que

no

podrán

circular

10,000

automóviles por esta red

31

2

32

Problema 30.- si el sistema de carreteras de Albany descrito en el problema 29 ha modificado las capacidades de flujo como se muestra en la siguiente red.

Solución. Max Z: X6,1 S.a: Nodo inicial:X1,2+X1.4+X1,3-X6,1=0 Nodo final:X6,1-X5,6-X4,6-X3,6=0 Nodo 2:X2,4+X2,5-X1,2-X4,2=0 Nodo 3:X3,4+X3,6-X1,3-X4,3=0 Nodo 4:X4,2+X4,3+X4,5+X4,6-X2,4-X5,4-X3,4-X1,4=0 Nodo 5:X5,2+X5,4+X5,6-X2,5-X4,5=0 X1,2≤2 X1,4≤3 X1,3≤6 X2,5≤4 X2,4≤2 X3,4≤3 X3,6≤2 X4,3≤3 X4,2≤2 X4,5≤2 X4,6≤3 X5,2≤4 X5,4≤2 X5,6≤6 Xi, j≥0; ˅ (i, j) Qm Windows.

33

0

0

34

35

Interpretación. ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos por hora que pasan por el sistema? ¿Cuantos vehículos por hora deben viajar por cada carretera (arco) para obtener el flujo máximo? El flujo máximo por esta nueva red seria de 1000 autos por hora, para que esto sea posible deben pasar por cada hora estos vehículos por cada arco: X1,2=200 X1,4=300 X1,3=500 X2,5=400 X2,4=0 X3,4=300 X3,6=200 X4,3=0 X4,2=200 X4,5=100 X4,6=300 X5,2=0 X5,4=0 X5,6=500

36

Problema 31.- una compañía telefónica de larga distancia utiliza una red de fibra óptica para transmitir llamadas telefónicas y otra información entre localidades. Las llamadas se llevan por medio de líneas de cable y nodos de comunicación. Un tramo de la red de transmisión de la empresa se muestra aquí. Los números encima de cada arco muestra la capacidad en miles de mensajes que se pueden transmitir por esa rama de la red.

Con el propósito de mantenerse al ritmo del volumen de información transitada entre los puntos de origen y de destino, utilice la red para determinar el número máximo de mensajes que se pueden enviar desde una ciudad localizada en el nodo 1 a una ciudad ubicada en el nodo 7.

37

Solución. Max Z: X7,1 S. a: Nodo inicial:X1,2+X1,3+X1.4-X7,1=0 Nodo final:X7,1-X6,7-X5,7-X4,7=0 Nodo 2:X2,6+X2,3-X1,2=0 Nodo 3:X3,6+X3,5+X3,4-X2,3-X1,3=0 Nodo 4:X4,5+X4,7-X1,4-X3,4=0 Nodo 5:X5,7-X3,5-X4,5=0 Nodo 6:X6,7-X2,6-X3,6=0 X1,2≤4 X1,3≤3 X1,4≤4 X2,6≤3 X2,3≤2 X3,6≤2 X3,5≤1 X3,4≤4 X4,5≤2 X4,7≤5 X5,7≤2 X6,7≤3 Xi, j≥0; ˅ (i, j)

38

Qm Windows.

39

40

Interpretación. El número máximo de mensajes que se puede enviar de una ciudad a otra con este sistema de redes de 10,000 mensajes ya que esta es flujo máximo que puede pasar por ella.

41

Problema 32.- High-Price Oil Company posee una red de oleoductos que se utiliza

para

transportar petróleo

desde

una

fuente

a

varios sitios

de

almacenamiento. Un tramo de la red es como sigue:

Como

los

tamaños de las tuberías varían, las capacidades de flujo también. Al abrir y cerrar de forma selectiva secciones de la red de oleoductos, la empresa puede abastecerá cualquiera de los sitios de almacenamiento. a) Si la empresa quiere utilizar la capacidad del sistema en su totalidad para abastecer al sitio de almacenamiento 7, ¿cuánto tiempo tardará en satisfacer la demanda de 100,000 galones del sitio 7? ¿Cuál es el flujo máximo para este sistema de oleo- ductos? Solución.

42

Algoritmo. Trayectoria 1 = 1,2,5,7 = (6,3,5) = 3 Trayectoria 2 = 1,2,3,5,7 = (3,2,2,2) = 2 Trayectoria 3 = 1,4,3,6,7 = (6,3,2,5) = 2 Trayectoria 4 = 1,4,6,7 = (4,1,3) = 1 Trayectoria 5 = 1,4,7 = (3,2) = 2 Flujo máximo = 10 X12 = 5 X14 = 5 X23 = 2 X25 = 3 X32 = 0 X34 = 0 X35 = 2 X36 = 2 X43 = 2 X46 = 1 X47 = 2 X52 = 0 X53= 0

X57 = 5

X63 = 0 X64 = 0 X67 = 3

Programación lineal Max Z = X71 S. A. Nodo inicial: X12 + X14 - X71 Nodo final: X71 – X47 – X57 – X67 Nodo 2: X23 + X25 – X12 – X32 – X52 Nodo 3: X32 + X34 + X35 + X36 – X23 – X43 – X53

43

Nodo 4: X43 + X46 + X47 – X14 – X34 – X64 Nodo 5: X52 + X53 + X57 – X25 – X35 Nodo 6: X63 + X64 + X67 – X46 – X36 X12 ≤ 6

X43 ≤ 3

X14 ≤ 6

X46 ≤ 1

X23 ≤ 2

X46 ≤ 2

X25 ≤ 3

X52 ≤ 3

X32 ≤ 2

X53 ≤ 2

X34 ≤ 3

X57 ≤ 5

X35 ≤ 2

X63 ≤ 2

X36 ≤ 2

X64 ≤ 1 X67 ≤ 5

Xij ≥ 0; A (i,j)

44

QM Windows.

45

Interpretación. Como se observa el flujo máximo es de 10, que es igual a 10,000 galones por hora, para este sistema de oleo- ductos, Y el tiempo requerido para satisfacer 46

la demanda de 100,000 galones del sitio: 100,000 galones/ 10,000 galones/hora=10 horas. b) Si ocurre una avería en la línea2-3 y ésta se cierra, ¿cuál es el flujo máximo para el sistema? ¿Cuánto tardará transmitir 100,000 galones al sitio 7?

Algoritmo. Trayectoria 1 = 1,2,5,7 = (6,3,5) = 3 Trayectoria 2 = 1,4,3,2,5 = (6,3,2,2) = 2 Trayectoria 3 = 1,4,3,6,7 = (4,1,2,5) = 1 Trayectoria 4 = 1,4,6,7 = (3,1,4) = 1 Trayectoria 5 = 1,4,7 = (2,2) = 2 Flujo máximo = 9 X12 = 3 X14 = 6 X25 = 3 X32 = 0 X34 = 0 X35 = 2 X36 = 1 X43 = 3 X46 = 1 X47 = 2 X52 = 0 X53= 0

X57 = 5 47

X63 = 0 X64 = 0 X67 = 2

Programación lineal Max Z = X71 S. A. Nodo inicial: X12 + X14 - X71 Nodo final: X71 – X47 – X57 – X67 Nodo 2: X25 – X12 – X32 – X52 Nodo 3: X32 + X34 + X35 + X36 – X43 – X53 Nodo 4: X43 + X46 + X47 – X14 – X34 – X64 Nodo 5: X52 + X53 + X57 – X25 – X35 Nodo 6: X63 + X64 + X67 – X46 – X36 X12 ≤ 6

X43 ≤ 3

X14 ≤ 6

X46 ≤ 1

X67 ≤ 5

X46 ≤ 2

X25 ≤ 3

X52 ≤ 3

X32 ≤ 2

X53 ≤ 2

X34 ≤ 3

X57 ≤ 5

X35 ≤ 2

X63 ≤ 2

X36 ≤ 2

X64 ≤ 1

Xij ≥ 0; A (i,j)

48

QM Windows.

49

Interpretación. Se observa que el flujo máximo es de 9, que es igual a 9,000 galones por hora, para este sistema de oleo- ductos y con la ruta 2-3 cancelada, Y el tiempo requerido para satisfacer la demanda de 100,000 galones del sitio: 100,000 galones/ 9,000 galones/hora=11.11 horas. Problema 33.- Para el siguiente sistema de red de carreteras, determine el flujo máximo en vehículos por hora:

Solución.

Algoritmo. Trayectoria 1 = 1,2,4,6 = (4,2,5) = 2 50

Trayectoria 2 = 1,3,6 = (3,2) = 2 Trayectoria 3 = 1,4,7 = (3,2) = 2 Flujo máximo = 6 X12 = 2 X13 = 2 X15 = 2 X23 = 0 X24 = 2 X32 = 0 X35 = 0 X36 = 2 X42 = 0 X46 = 2 X53= 0

X56 = 2

Programación lineal Max Z = X61 S. A. Nodo inicial: X12 + X13 + X15 – X61 Nodo final: X61 – X36 – X46 – X56 Nodo 2: X23 + X24 – X12 – X32 – X42 Nodo 3: X32 + X35 + X36 – X13 – X23 – X53 Nodo 4: X42 + X46 – X24 Nodo 5: X53 + X56 – X15 – X35 X12 ≤ 4

X35 ≤ 2

X13 ≤ 3

X36 ≤ 2

X15 ≤ 2

X42 ≤ 2

X23 ≤ 1

X46 ≤ 5

X24 ≤ 2

X53 ≤ 2

X32 ≤ 1

X56 ≤ 2 51

Xij ≥ 0; A (i, j)

QM Windows.

52

La comisión de carreteras considera añadir una sección de carreteras 3-4 para permitir el flujo de 2000 vehículos por hora o, a un costo adicional, un flujo de 3000 vehículos por hora. ¿Cuál es su recomendación para el arco 3-4 de la red? Solución 2.

Algoritmo. Trayectoria 1 = 1,2,4,6 = (4,2,5) = 2 Trayectoria 2 = 1,2,3,4,6 = (2,1,2,3) = 1 Trayectoria 3 = 1,3,4,6 = (3,1,2) = 1 Trayectoria 4 = 1,3,6 = (2,2) = 2 Trayectoria 5 = 1,5,6 = (2,2) = 2 Flujo máximo = 8 X12 = 3 X13 = 3 X15 = 2 X23 = 1 X24 = 2 X32 = 0 X34 = 2 X35 = 0 X36 = 2 53

X42 = 0 X46 = 4 X53= 0

X56 = 2

Solución 2.2.

Algoritmo. Trayectoria 1 = 1,2,4,6 = (4,2,5) = 2 Trayectoria 2 = 1,2,3,4,6 = (2,1,3,3) = 1 Trayectoria 3 = 1,3,4,6 = (3,2,2) = 2 Trayectoria 4 = 1,3,6 = (1,2) = 1 Trayectoria 5 = 1,5,3,6 = (2,2,1) = 2 Trayectoria 6 = 1,5,6 = (1,2) = 1 Flujo máximo = 8 X12 = 3 X13 = 3 X15 = 2 X23 = 1 X24 = 2 X32 = 0 X34 = 3 X35 = 0 X36 = 2 X42 = 0 X46 = 5 X53= 1

X56 = 1

Interpretación.

54

Se observa que ya sea que el flujo de vehículos en el arco 3-4 sea de 2000 o 3000 vehículos por hora, al final el flujo máximo siempre será el mismo, por lo que lo mejor sería pasar nada más 2000 vehículos para que no tenga costos adicionales. Problema 34.- Una planta de procesamiento químico tiene una red de tuberías que se usa para transferir productos químicos líquidos desde una parte de la planta a otra. La red de tuberías siguiente tiene la capacidad de flujo en galones por minuto como se muestra. ¿Cuál es la capacidad de flujo máxima para el sistema si la empresa quiere transferir la mayor cantidad de producto químico posible del sitio 1 al 9? ¿Cuándo producto fluirá por la sección de la tubería que va del nodo 3 al 5?

Solución.

Algoritmo. Trayectoria 1 = 1,2,6,8,9 = (10,5,10,10) = 5 55

Trayectoria 2 = 1,2,7,8,9 = (5,4,3,5) = 3 Trayectoria 3 = 1,2,7,9 = (2,1,8) = 1 Trayectoria 4 = 1,2,3,7,9 = (1,2,3,7) = 1 Trayectoria 5 = 1,3,7,9 = (8,2,6) = 2 Trayectoria 6 = 1,3,5,7,9 = (6,5,2,4) = 2 Trayectoria 7 = 1,3,5,9 = (4,3,10) = 3 Trayectoria 8 = 1,3,4,5,9 = (1,5,6,7) = 1 Trayectoria 9 = 1,4,5,9 = (10,5,6) = 5 Flujo máximo = 23 Programación lineal Max Z = X91 S. A. Nodo inicial: X12 + X13 + X4 – X91 Nodo final: X91 – X59 – X79 – X89 Nodo 2: X23 + X26 + X27 – X12 Nodo 3: X34 + X35 + X37 – X13 – X23 Nodo 4: X45 – X14 – X34 Nodo 5: X52 + X59 – X35 – X45 Nodo 6: X67 + X68 – X26 Nodo 7: X78 + X79 – X27 – X37 – X57 – X67 Nodo 8: X89 – X68 – X78 X12 ≤ 10

X37 ≤ 3

X13 ≤ 8

X45 ≤ 6 56

X14 ≤ 10

X57 ≤ 2

X23 ≤ 2

X69 ≤ 10

X26 ≤ 5

X67 ≤ 6

X27 ≤ 4

X68 ≤ 10

X34 ≤ 5

X78 ≤ 3

X35 ≤ 5

X79 ≤ 8 X89 ≤ 10

Xij ≥ 0; A (i,j) QM Windows.

57

58

Interpretación. El flujo máximo que circula por la red es de 23 galones de productos químicos, del nodo 3 al 5 se fluirá 5 galones del producto químico.

59

Caso a resolver 1- Solutions Plus Solutions Plus es una compañía de productos químicos industriales que produce fluidos y solventes de limpieza especializados para una amplia variedad de aplicaciones. Solutions Plus acaba de recibir una invitación para presentar una oferta para suministrar limpiador para locomotoras al ferrocarril Great North American, el cual necesita el limpiador en 11 sitios (estaciones de ferrocarril); proporcionó la información siguiente a Solutions Plus respecto al número de galones de limpiador requeridos en cada sitio (tabla 10.8). Solutions Plus puede producir el limpiador en su planta de Cincinnati por $1.20 el galón. Aun cuando el sitio de Cincinnati es su única planta, ha negociado con una compañía de productos químicos industriales con sede en Oakland, California, para producir y embarcar hasta 50,000 galones del limpiador para locomotoras a sitios de clientes seleccionados de Solutions Plus. La empresa de Oakland cobrará a Solutions Plus $1.65por galón producido de limpiador, pero Solutions Plus piensa que el costo de envío más bajo desde Oakland a algunos sitios de los clientes puede compensar el costo adicional de producir el producto. El presidente de Solutions Plus, Charlie Weaver, contactó a varias compañías de transporte por carretera para negociar tarifas de envío entre las dos instalaciones de producción (Cincinnati y Oakland) y las locaciones donde se limpian las locomotoras. La tabla 10.9 muestra las cuotas recibidas en términos de dólares por galón. Las entradas “—” en la tabla 10.9 identifican rutas que no se considerarán debido a las largas distancias involucradas. Estas cuotas para las tarifas de envío están garantizadas por un año. Para presentar su oferta a la compañía ferroviaria, Solutions Plus debe determinar el precio por galón que cobrará, que por lo general vende sus limpiadores a 15% más del costo por producir y entregar el producto. Para este gran contrato, no obstante, Fred Roedel, director de marketing, sugirió que tal vez la empresa deba considerar un margen menor. Además, para asegurar que, si gana la licitación, Solutions Plus tendrá la capacidad adecuada para satisfacer los pedidos existentes, así como aceptar pedidos para otros negocios nuevos, el equipo 60

gerencial decidió limitar el número de galones del limpiador para locomotoras producido en la planta Cincinnati a 500 000 galones como máximo.

Solución. COSTO

San

El

Pendie

Houst

Kans

Los

Glend

Jackson

Littl

Bridge

Sacrame

UNITA

ta

Pa

ton

on

as

Angel

ale

vile

e

port

nto

RIO

Ana

so

City

es

1.54

0

Cincina

2.0

2.03

1.65

Ro

1.56

1.54

ck 1.5

ti Oaklan

1.87

4 2.3

2.14

4

d Ficticia

0

9 0

0

COST

San

El

Pen

Hou

Kan

Los

Gle

Jacks

Little

Bridg

Sacra

Tot

Cap.

O

ta

Pas

dieto

ston

sas

Ang

ndal

onvile

Rock

eport

mento

al

de

UNITA

Ana

o

n

City

eles

e

env

prod

0

0

1.87

1.87

0

0

1.8 0

0

0

0

1

RIO

iad

Cincina

0

0

ti Oaklan

0

0

0

d Ficticia

224

680

8029

0

171

684

1485

1114

86 0

86

75

0 647

336

6848

4

1004

701

1485

1114

o 500

<=50

50000

000 500

0000 <=50

0 11200

000 440

0000 <=44

61

1 Requer

18 >=2

0 >=6

0 >=80

47 >=10

17 >=7

61 >=6

89 >=3

6 >=68

86 >=14

75 >=11

0 >=11

imiento

241

800

290

0447

011

476

368

486

8586

1475

2000

7

1

9

8

522

0522

Interpretación. Informe gerencial Se le pide hacer recomendaciones que ayuden a Solutions Plus a preparar su oferta. Su informe debe incluir, sin limitarse a ello, los puntos siguientes: 1.Si Solutions Plus gana la licitación, ¿cuál instalación de producción (Cincinnati Oakland) debe suministrar el limpiador en los sitios donde se limpian las locomotoras ¿Cuánto debe enviarse desde cada instalación a cada sitio?

KANSAS

171453

62

JACKSON VILLE

68486

Cincinnati

LITTLE ROCK

148586

BRIDGEPORT

Oakland

111475

500000

2.- ¿Cuál es el punto de equilibrio de Solutions Plus? Es decir, ¿qué tan baja debe hacer su oferta la empresa sin perder dinero?

3.- Si

Solutions Plus quiere utilizar su margen estándar de 15%, ¿de cuánto debe sersu oferta?

63

4.- Los costos de flete se ven afectados de forma significativa por el precio del petróleo. El contrato bajo el cual Solutions Plus hace una oferta tiene una duración de dos años. Comente cómo la fluctuación en los costos de flete podría afectar la oferta que presenta Solutions Plus. Las fluctuaciones variaran de $863,429.06 a 949.771,97 debido al precio del petróleo.

Caso a resolver 2.- Darby Company fabrica y distribuye medidores que se usan para determinar el consumo de energía eléctrica. La empresa empezó con una 64

pequeña planta de producción en El Paso y gradualmente construyó una base de clientes en todo Texas. Se estableció un centro de distribución en Fort Worth, Texas, y más tarde, conforme el negocio se expandió, se estableció un segundo centro de distribución en Santa Fe, Nuevo México. La planta de El Paso se expandió cuando la empresa comenzó a comercializar sus medidores en Arizona, California, Nevada y Utah. Con el crecimiento del negocio en la Costa Oeste, Darby Company abrió un tercer centro de distribución en Las Vegas y apenas hace dos años inauguró una segunda planta de producción en San Bernardino, California. Los costos de manufactura difieren entre las plantas de producción de la empresa. El costo de cada medidor fabricado en la planta de El Paso es $10.50. La planta de San Bernardino utiliza equipo más 4-TA—2017-2-DUED nuevo y eficiente; como resultado, los costos de manufactura son $0.50 por medidor menos que en la planta de El Paso. Debido al rápido crecimiento de la empresa, no se ha prestado mucha atención a la eficiencia del sistema de distribución, pero la gerencia de Darby decidió que es momento de enfrentar este problema. El costo de enviar un medidor desde cada una de las tres plantas a cada uno de los centros de distribución se muestra en la tabla 10.10.

65

La capacidad de producción trimestral es 30,000 medidores en la vieja planta de El Paso y 20,000 en la planta de San Bernardino. Observe que no se permiten envíos desde la planta de San Bernardino al centro de distribución de Fort Worth. La empresa da servicio a nueve zonas de clientes desde los tres centros de distribución. El pronóstico de la cantidad de medidores que se necesitan en cada zona de clientes para el trimestre siguiente se muestra en la tabla 10.11.

El costo de envío por unidad desde cada centro de distribución a cada zona de clientes se proporciona en la tabla 10.12; observe que algunos centros de distribución no pueden dar servicio a ciertas zonas de clientes.

66

En el sistema de distribución actual, la demanda en las zonas de clientes de Dallas, San Antonio, Wichita y Kansas City se satisface por medio de envíos desde el centro de distribución de Fort Worth. Asimismo, las zonas de clientes de Denver, Salt Lake City y Phoenix reciben el servicio del centro de distribución de Santa Fe y las zonas de clientes de Los Ángeles y San Diego son atendidas por el centro de distribución de Las Vegas. Para determinar cuántas unidades enviar desde cada planta, los pronósticos trimestrales de la demanda de los clientes se agregan en los centros de distribución y se utiliza un modelo de transporte para minimizar el costo de envío desde las plantas de producción a los centros de distribución. Le piden a usted hacer recomendaciones para mejorar el sistema de distribución. Su informe debe incluir, sin limitarse a ello, los puntos siguientes: 1. Si la empresa no cambia su estrategia de distribución actual, ¿cuáles serán los costos de distribución para el trimestre siguiente? 2. Suponga que la empresa está dispuesta a considerar excluir las limitaciones de los centros de distribución; es decir, los clientes podrían ser atendidos por cualquiera de los centros de distribución para los cuales se dispone de los costos. ¿Los costos se pueden reducir? ¿Por cuánto? 3. La empresa quiere explorar la posibilidad de satisfacer parte de la demanda de los clientes directamente desde las plantas de producción. En particular, el costo de envío es $0.30 por unidad desde San Bernardino a Los Ángeles, y de $0.70 desde San Bernardino a San Diego. El costo de los envíos directos desde El Paso a San Antonio es $3.50 por unidad. ¿Se pueden reducir aún más los costos de distribución al considerar estos envíos directos desde la planta a los clientes?

67

4. Durante los próximos cinco años, Darby anticipa un crecimiento moderado (5000 medidores) hacia el norte y el oeste. ¿Recomendaría usted que considere la expansión de la planta en este momento?

Solución. 1)

2)

3)

68

Interpretación. Lo que requiere la empresa es minimizar sus costos de envío de las plantas de producción a los centros de distribución; tomando en cuenta su capacidad de producción de los medidores de cada planta y la demanda trimestral por los clientes en las diferentes zonas. Si la empresa no cambia su estrategia de la distribución actual tenemos que para realizar el envío desde las plantas a cada centro cuesta $92252.00; y los costos de envío por los centros de distribución a la zona de los clientes es de $96382.00; por lo tanto, los costos totales que obtendría la empresa es de $188634.00 para el siguiente trimestre. Si la empresa estuviera dispuesta a disminuir los costos de cada centro de distribución para enviarles a sus clientes, en este caso la planta San Bernardino entrega a todos los centros de distribución, por lo que si el costo de envío para Fort Worth fuera de $2.00, los costos serían de $83900.00 el cual lograría la empresa ahorrar $8352.00, siempre y cuando logre satisfacer a los clientes. En cuanto a la satisfacción de la demanda de los clientes, en particular en el costo de envío desde San Bernardino a Los Ángeles, y del mismo a San Diego y el costo de envío directo desde El Paso a San Antonio, se considera que es más beneficioso enviar directamente a los clientes porque tenemos menos costos

69

Conclusión.

Al final de la unidad se entendió y comprendió que cada una de los problemas de trasporte y asignación de recursos deben de ser resueltos con un algoritmo el cual se adapte a las necesidades de cada problemas así como sus restricciones y limitación ya que de los 5 algoritmos vistos mencionados y aprendidos cada uno de ellos se adaptan

a un tipo específico de problema de esta manera se

desarrolla un pensamiento crítico para la correcta asignación

y solución al

momento de relacionar un problema con un algoritmo por la tanto con la solución de cada problema al cual se necesite dar solución se podrá interpretar una solución óptima o proponer un mejor manejo de los recueros involucrados en dicho conflicto de decisión. Los modelos de optimización de redes constituyen una herramienta muy sencilla para la encontrar la solución óptima a los problemas de flujo de redes, porque proporcionan algoritmos fáciles de comprender y aplicar que comparados con el método simplex disminuyen el número de iteraciones que resuelven el problema.

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Referencias.

-Hamdy A. Taha (2012). Investigación de operaciones. PEARSON. Novena Edición -Quesada I. Victor y Vergara S. Juan Carlos. Analisis Cuantitativo con Winqsb. Universidadde Cartagena. -Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigación De Operaciones. McGrawHill.Séptima Edición. 2002. -Winston, Wayne L. Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos. 4ta. México

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