Ejercicios Resueltos Rm Ii

EJERCICIO 01. Calcular el desplazamiento Max. Y las rotaciones en apoyo EI= Ctte. Área de momentos y viga conjugada.

SOLUCIÓN: i.

Encontramos las reacciones de la viga.

𝑅𝐴 = 𝒊𝒊.

𝑫𝑴𝑹:

10(4) = 20𝑘𝑁 = 𝑅𝐵 2

iii. VIGA CONJUGADA:

POR SER SIMETRICO: 40(2) 2 𝑅𝐴 = + 40(2) + (2)(20) 2 3 440 𝑅𝐴 = 3𝐸𝐼

8 3 2 𝑀𝐶 = −𝑅𝐴 + 40 ( ) + 80(1) + (2)( )(2)(20) 3 8 3 440 320 60 (4) + 𝑀𝐶 = − + 80 + 3 3 3 𝑀𝐶 = −

𝑀𝐶 =

1320 320 + + 80 + 20 3 3

700 3𝐸𝐼

PROBLEMA 2. Calcular el desplazamiento y la rotación en el punto c (voladizo). EI=CTTE. Método viga conjugada.

Solución

i.

Hallamos las reacciones con las condiciones de equilibrio y realizamos el DMR. P Tn

A

B

RA

C

RB L/2

L

(+)

(-)

P/(2LEI)

∑ 𝑴𝑨 = 𝟎 𝑹𝑩 (𝑳) − 𝑷( 𝑹𝑩 =

𝟑𝑷 𝟐

𝟑𝑳 )=𝟎 𝟐

∑ 𝑭𝒚 = 𝟎 𝑷 − 𝑹𝑨 − 𝑹𝑩 = 𝟎 𝟑𝑷 𝑷 − 𝑹𝑨 − =𝟎 𝟐 𝑹𝑩 =

ii.

−𝑷 𝟐

Tenemos la viga conjugada P/(2LEI)

A

iii.

B

Tramo A-B P/(2LEI)

FB A

B MB

∑ 𝑴𝑨 = 𝟎 𝑭𝑩 (𝑳) − ( 𝑭𝑩 =

𝑷 𝑳 𝟐𝑳 )( )( ) = 𝟎 𝟐𝑳𝑬𝑰 𝟐 𝟑

𝑷 𝟔𝑬𝑰

iv.

Tramo B-C

P/(2LEI)

FB

FC B

c MC

∑ 𝑴𝑪 = 𝟎 𝑴𝑪 + (

𝑷 𝑳 𝑷 𝑳 𝟐𝑳 𝟏 ) +( )( )( )( ) = 𝟎 𝟔𝑬𝑰 𝟐 𝟐𝑳𝑬𝑰 𝟒 𝟑 𝟐

𝑷𝑳 𝑷𝑳 𝑴𝑪 = − ( )−( ) 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝟐𝟒𝑬𝑰 𝑷𝑳 𝑴𝑪 = − ( ) = 𝒀𝑪 𝟖𝑬𝑰

∑ 𝑭𝒚 = 𝟎 𝑭𝑪 − (

𝑷 𝑳 𝟏 )( )( ) − 𝑭𝑩 = 𝟎 𝟐𝑳𝑬𝑰 𝟐 𝟐

𝑭𝑪 − (

𝑷 𝑷 )− =𝟎 𝟖𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰

𝑭𝑪 =

𝟏𝟒𝑷 𝟒𝟖𝑬𝑰

𝑭𝑪 =

𝟕𝑷 𝟐𝟒𝑬𝑰

PROBLEMA 3. Calcular el desplazamiento en el punto C (voladizo) .EI=constante. Método de Vereschaguin

5KN/m

10KN

A

B

4m

C

2m

SOLUCION I) Calculo de reacciones ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑅𝐵 − 10(6) − 20(2) = 0 𝑅𝐵 = 25𝐾𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 0 5(4) + 10 − 𝑅𝐴 − 25 = 0 𝑅𝐴 = 5𝐾𝑁 DCL

5KN/m

10KN

DCL

RA

RB

ii) DMFR

(2.5) /EI DMFR

(+)

A1

(-)

A2

A3

-20/EI

iii) Aplicamos una carga unitaria en C DCL

Reacciones ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑅𝐵(4) − 1(6) − 20(2) =0 𝑅𝐵 = 1.5 ∑ 𝐹𝑦 = 0 1 − 𝑅𝐴 − 1.5 = 0 𝑅𝐴 = −0.5

DMF

iv) Aplicando la formula 𝑦𝑐 = 𝐴1 𝑦1+ 𝐴2 𝑦2+ 𝐴3 𝑦3

𝐴1 =

4 2.5 10 ( )(1) = 3 𝐸𝐼 3𝐸𝐼 𝑦1 =

2 1 = 4 2

1 −20 −40 𝐴2 = ( ) (2) = 3 𝐸𝐼 3𝐸𝐼 3 7 𝑦2 = 2 + (2) = 4 4 1 20 20 𝐴3 = (− ) (2) = − 2 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2 4 𝑦3 = (2) = 3 3 𝑦𝑐 =

10 1 −40 7 −20 4 ( )+( ) +( ) 3𝐸𝐼 2 3𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 3

𝑦𝑐 =

5 −70 −80 +( )+( ) 3𝐸𝐼 3𝐸𝐼 3𝐸𝐼 𝑦𝑐 = −

145 3𝐸𝐼

PROBLEMA 4 Calcular el desplazamiento y la rotación en el punto C. Módulo E = 29 x 10³ ksi. Área de momentos.

SOLUCIÓN: CONVERSIÓN E = 29 X 106 psi 50kip-pie = 600000 lb.pulg 10pies = 120 pulg 5 pies = 60 pulg

AC = (120 pulg)(

−600000

)(120) +

𝐸𝐼

−600000

(60)(

𝐸𝐼₂

)(30)

AC = - 0,596 – 0,186 AC = - 0782 pulg

Øc Øc – Øa = A (A-C) Øc = A (A-C) + Øa Øa = 0 … (1) Øc = (120)(

−600000 𝐸𝐼₁

)+

−600000

(60)(

𝐸𝐼₂

)

Øc = -0,011

PROBLEMA 5. Una viga AB simplemente apoyada soporta 5 cargas P igualmente espaciadas, determinar la deflexión en el centro de la luz de la viga.

SOLUCION 𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = I)

5𝑃 2

DIAGRAMA DE MOMENTO REDUCIDO

II)

DEFLEXION:

𝑌𝑐 = 𝐴1 . 𝑥1 + 𝐴2 . 𝑥2 + 𝐴3 . 𝑥3 + 𝐴4 . 𝑥4 + 𝐴5 . 𝑥5 5PL L 1 2 L 5PL L L L 3PL L 1 L 2 L 𝑌𝑐 = ( )( )( )( )( ) + ( )( )( + ) + ( ) ( ) ( ) ( + ( )) + 12EI 6 2 3 6 12EI 6 6 12 12EI 6 2 6 3 6 8PL

L

L

L

PL

L

1

L

2 L

(12EI) (6) (3 + 12) + (12EI) (6) (2) (3 + 3 (6)) 𝑌𝑐 =

5𝑃𝐿3 5𝑃𝐿3 5𝑃𝐿3 5𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 + + + + 1296𝐸𝐼 288𝐸𝐼 864𝐸𝐼 108𝐸𝐼 324𝐸𝐼

𝑦𝐶 =

11𝑃𝐿3 144𝐸𝐼