Ejercicios Resueltos Sears-zemansky

3.Taller-Física electromagnética capítulo 23 potencial eléctrico Carlos Elías Altamar Bolívar.

23.13. La fuerza en una carga de prueba positiva es en la dirección del campo eléctrico El potencial disminuye en dirección hacia el este, por tanto A esta al este de B→ 𝑽𝑩 > 𝑽𝑨 C está ubicado a este de A → 𝑽𝑪 < 𝑽𝑨 La fuerza en una carga de prueba positiva esta ubica hacia el este, por lo que no se realiza ningún trabajo sobre ella cuando la fuerza eléctrica se mueve hacia el sur, por lo tanto la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares esto lleva a que A=D El potencial eléctrico es constante en una dirección perpendicular al campo eléctrico.

23.18. 3.00𝑛𝑐 = 3𝑥10 −9 𝐶 𝑦 2.00𝑛𝐶 = 2𝑥10−9 𝐶 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒 − 𝑒𝑠 𝑞 = 1.60𝑥10−19 𝐶 𝑦 𝑚 = 9.11𝑥10−31 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑎 = 𝑟𝑏 → 0.25𝑚, 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑏= 0.10𝑚 y distacia recorrida antes de llegar al punto de medicación 𝑟2𝑏 = 0.40𝑚 −

𝑘 𝑒𝑞1 𝑟1𝑎

−

𝑘 𝑒𝑞2 𝑟2𝑎

=−

𝑘 𝑒𝑞1 𝑟1𝑏

−

𝑘 𝑒𝑞2 𝑟2𝑏

1

+ 𝑚𝑉𝑏 2 2

3𝑥10 −9 𝐶 2𝑥10−9 𝐶 𝐸𝑎 = 𝐾𝑎 + 𝑈𝑎 = 𝑘(−1.60𝑥10−19 𝐶)( + ) = −2.88𝑥10−17 𝐽 0.25𝑚 0.25𝑚 𝐸𝑏 = 𝐾𝑏 + 𝑈𝑏 = 𝑘 (−1.60𝑥10−19 𝐶 ) (

3𝑥10−9𝐶 2𝑥10−9 1 1 ) + 𝑚𝑉𝑏 2 = −5,1𝑥10−17 + 𝑚𝑉𝑏 2 + 0.10𝑚 0.40𝑚 2 2

la

𝐸 = 𝑘 + 𝑈 = 𝐾(−1.60𝑥10−19 𝐶 → 𝐸𝑎 = 𝐸𝑏 → 𝑉𝑏 2 = √ (5.1𝑥10−17 𝐽 − 2.88𝑥10−17 𝐽) 9.11𝑥10−31 𝐾𝑔 Ea = Eb = 6.894x106 m⁄s Es la rapidez del electron en 0.10m antes de la carga de 3x10−9 C

23.20.

(a) i. Dado que ambos cargos tienen el mismo signo, no hay puntos para los cuales el potencial sea cero ii. Los dos campos eléctricos están en direcciones opuestas sólo entre las dos cargas, en medio de la distancia entre ellos los campos tienen magnitudes iguales. Así que E = 0 en medio entre las cargas, pero el potencial nunca es cero.

(b) i. Los dos potenciales tienen igual magnitud pero signo opuesto a mitad de la distancia entre las cargas, por lo que V = 0 pero E ≠ 0 ya que los campos apuntan en la misma dirección. ii. Entre las dos cargas, los campos apuntan en la misma dirección, por lo que E≠ 0 allí. En las otras dos regiones, el campo que se debe a la carga más cercana es siempre mayor que el campo debido a la carga más distante, por lo que no se puede cancelar. Por lo tanto E no es cero en ninguna parte.

23.23. (a)

(b) 𝑉 =

𝐾𝑞 𝑟

+

𝐾(−𝑞) 𝑟

=0

(c) El potencial a lo largo del eje x es siempre cero, por lo que un gráfico sería plano. (d) El potencial a lo largo del eje x es siempre cero, por lo que un gráfico sería plano. Si las dos cargas se intercambian, entonces los resultados de (b) y (c) todavía se mantienen. El potencial es cero.

23.28.

𝐸=

𝐾|𝑞| 𝑟2

𝑉=

𝑘𝑞 𝑟

El campo eléctrico está dirigido hacia una carga negativa y lejos de una carga positiva 𝑉

(a) V > 0 entonces q > 0 (b) 𝑞 =

𝑟𝑉 𝑘

𝐸

𝑘𝑞/𝑟

𝑘𝑞

𝑟2

4.98 𝑉

= 𝑘|𝑞|𝑟2 = ( 𝑟 )(𝑘𝑞 ) = 𝑟. 𝑟 = 12.0 𝑉/𝑚 = 0.415𝑚

(0.415 𝑚)(4.98 𝑉)

= 8.99𝑥 109 𝑁.𝑚2 /𝐶 2 = 2.30𝑥10−10 𝐶

(c) q > 0 , Así que el campo eléctrico se dirige lejos de la carga.

23.32. (a) 𝑉 = (b) 𝑉 =

𝑘𝑞 𝑘(3.50𝑥 10 −9 𝐶 ) 𝑟

0.480 𝑚

𝑘(3.50𝑥 10 −9 𝐶) 0.240 𝑚

= 65.6 𝑉

= 131 𝑉

(c) El potencial tiene el mismo valor que en la superficie, 131 V.

23.33. (a) La fuerza sobre el electrón no es de la forma F = -kx por lo que el movimiento oscilatorio no es Movimiento armónico simple. (b) Xa=30.0 cm , Xb=o

1

𝑘𝑏 = 2 𝑚𝑣 2

k a =o Así que

1 2

𝑚𝑣 2

2𝑒(𝑣𝑏 −𝑣𝑎 )

U= qV= -eV entonces 𝑣 = √ 𝑉𝑎 =

1

𝑄

4𝜋𝜖0

√𝑥 2𝑎 +𝑅2

𝑚

= (8.988 𝑥109 𝑁. 𝑚2 /𝐶 2 )

24.0 𝑥 10 −9 𝐶 √(0.300 𝑚) 2+(0.150 𝑚) 2

1 𝑄 𝑚2 24.0 𝑥 10−9 𝐶 9 𝑉𝑏 = = (8.988 𝑥10 𝑁. 2 ) = 1438 𝑉 4𝜋𝜖0 √𝑥 𝑎2 + 𝑅 2 𝐶 0.150 𝑚 2𝑒(𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 ) 2(1.602 𝑥10−19 𝐶)(1438 𝑉 − 643 𝑉 𝑣 =√ =√ = 1.67𝑥107 𝑚/𝑠 𝑚 9.109 𝑥 10−31 𝑘𝑔

23.37. (a) ∆𝑉 =

𝜆 10.0 𝑐𝑚 ) 𝑙𝑛(𝑟𝑏 − 𝑟𝑎 ) = (8.50𝑥10−6 𝐶/𝑚)(2 𝑥 9.00𝑥109 𝑁. 𝑚2 /𝐶 2 )𝑙𝑛 ( 2𝜋𝜖0 6.00 𝑐𝑚

∆𝑉 = 7.82 𝑥 104 𝑉 = 78,200 𝑉 = 78.2 𝑘𝑉 (b) E=0 adentro del cilindro, así que el potencial es contante allí, lo que significa que el voltímetro lee cero.

23.40. (a) Para cargas opuestas en platos paralelos, 𝐸 = σ/𝜖0 entre los platos y el la diferencia de potencial entre los platos es igual 𝑉 =

σ 𝜖0

= 47.0𝑥10−9

𝐶 𝑚2

𝜖0

𝑁

= 5310 . 𝐶

𝑁

(b) 𝑉 = 𝐸𝑑 = (5310 ) (0.220 𝑚 ) = 117 𝑉. 𝐶

(c) El campo eléctrico permanece igual si la separación de los platos se duplica. La diferencia de potencial entre los platos se duplica.

23.44. Para una carga negativa el campo eléctrico se dirige hacia la carga. Para puntos por afuera esta carga esférica distribuye el campo como si todas las cargas se concentraran en el centro. De esta manera ejecutando obtenemos que; 𝐸=

𝑞 4π𝜖0𝑟2

3800𝑁

, y 𝑞 = 4π𝜖0 𝑟 2 𝐸 = (

𝐶

) (0.200 𝑚 ) 2 /(8.99𝑥109 𝑁𝑚 2 /𝐶2 ) = 1.69𝑥10−8 𝐶

Desde el campo se dirige hacia adentro, la carga debe ser negativa. El potencial de una carga puntual tomando infinito como cero, es: 8.99𝑥109 𝑁𝑚2 ( ) (−1.69𝑥10 −8 𝐶) 𝑞 𝐶2 𝑉= = = −760 𝑉 (0.200 𝑚) 4π𝜖0 𝑟 En la superficie de la esfera. Desde la carga todas residen sobre la superficie del conductor, el campo dentro de la esfera debido a esta distribución simétrica es cero.

23.47. 𝑉 = 𝐴𝑥𝑦 − 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑦 (a) 𝐸𝑥 = −

ᵊ𝑉 ᵊ𝑥

= −𝐴𝑦 + 2𝐵𝑥 𝐸𝑦 = −

ᵊ𝑉 = −𝐴𝑥 − 𝐶 ᵊ𝑦

𝐸𝑧 = − (b)

ᵊ𝑉 =0 ᵊ𝑧

Que es campo sea E = 0 requiere que 𝐸𝑥 = 𝐸𝑦 = 𝐸𝑧 = 0. 𝐸𝑧 = 0 En cualquier punto. 𝐸𝑦 = 0 en 𝑥 = −𝐶/𝐴. Así, 𝐸𝑥 es también cero para x, cualquier valor de z, y 𝑦 =

2𝐵𝑥 𝐴

2𝐵

𝐶

𝐴

𝐴

= ( ) (− ) = −2𝐵𝐶/𝐴 2.

23.48. Aplicando la ecuación del campo eléctrico debido a una carga puntual q. (a) 𝐸𝑥 = −

ᵊ𝑉 ᵊ𝑥

=

−ᵊ

[

𝑘𝑄

]=

ᵊ𝑥 √𝑥 2+𝑦2 +𝑧2

De forma similar, 𝐸𝑦 = (b) De la parte anterior

𝑘𝑄𝑥 3

= 𝑘𝑄𝑥/𝑟 3.

( 𝑥 2+𝑦2+𝑧2 ) 2 𝑘𝑄𝑦/𝑟 3 y 𝐸𝑧 = 𝑘𝑄𝑧/𝑟 3.

23.56. En cada uno de los puntos, el potencial es la suma de cada potencial debido a ambas esferas. El voltímetro lee la diferencia entre estos potenciales. (a) Llamamos a al punto sobre la superficie en una esfera y b al punto sobre la superficie de otra esfera. Llamamos r al radio de cada esfera, y d a la distancia centro-centro entre las esferas. La diferencia de potencial entre los puntos a y b se calcula con la siguiente ecuación: 1 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 2𝑞/4𝜋𝜖0 [ − 𝑟 − 1/𝑟] 𝑑 Sustituyendo los valores proporcionados en el enunciado obtenemos: 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 2 (175𝑥10−6 𝐶 ) (

9.00𝑥109 𝑁𝑚2 1 1 )[ 𝑚− 𝑚 ] = −8.40𝑥106 𝑉 2 𝐶 0.750 0.250

El medidor lee 8.40 MV (b) Desde 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 es negativo, ya que 𝑉𝑎 > 𝑉𝑏, entonces el punto a esta en el potencia mas alto.