Electronique _ Fondements Et Applications.pdf

J'E Xât] (p d'où C = jmU2

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

69

b) Puissance fluctuante On sait que, pour un récepteur alimenté par une tension sinusoïdale, la puissance instantanée Vj a pour expression : V-, = v(t)i(t) = vV2cos(cot + (f)u) x lVïcos[cot + ^>/) = VIcos(
+ 0f-)

Elle présente ainsi deux contributions : l'une est la puissance active et l'autre une puissance fluctuante qui varie sinusoïdalement avec une fréquence double de celle du générateur ; elle se retranche ou s'ajoute à la puissance moyenne selon l'instant. Bien que de valeur moyenne nulle, elle est gênante dans certaines applications telles que l'alimentation des moteurs où elle crée un couple fluctuant (freinage ou non), qui se superpose au couple utile. Dans ce contexte, le système triphasé présente un avantage, car la puissance fluctuante, qui est la somme des trois puissances fluctuantes déphasées de 27r/3 rad, est nulle. Il s'agit là d'une propriété importante des systèmes triphasés équilibrés : leur puissance instantanée est égale à la puissance moyenne. Soulignons que les relations précédentes ne sont valables qu'avec une charge équilibrée constituée de trois impédances identiques. Un déséquilibre de la charge se traduit, selon le montage utilisé, par une surtension sur une phase ou une surintensité dans un fil de connexion. Dans tous les cas, le déséquilibre est indésirable, voire dangereux. Son origine peut être accidentel (mise en court-circuit de deux fils, rupture d'un fil, etc.) ou résulter d'un mauvais équilibrage des charges. En outre, le réseau triphasé doit le plus souvent alimenter des charges de natures différentes (résistives dans le cas de l'éclairage et du chauffage, inductives pour les moteurs électriques, etc.) qu'il n'est pas toujours possible d'équilibrer. Retenons que, dans toute installation, on doit s'efforcer d'équilibrer au mieux les différentes charges. c) Mesure de puissance En pratique, la mesure de la puissance active s'effectue à l'aide d'un ou de plusieurs wattmètres. Si le circuit est équilibré, il suffit d'un wattmètre qui donne la puissance sur une phase et de la multiplier par trois. La mesure nécessite la présence du fil neutre (Fig. 2.24). La nature du branchement du dipôle, triangle ou étoile, n'a pas d'influence sur le résultat.

FIG. 2.24.

FIG. 2.25.

Lorsque le circuit est déséquilibré mais comporte un fil neutre, la mesure exige l'utilisation de trois wattmètres branchés entre chaque fil de phase et le fil neutre (Fig. 2.25). Si le circuit n'a pas de fil neutre, deux wattmètres 4 et S suffisent (Fig. 2.26). Ici aussi, la nature du montage est sans importance. Cette méthode convient évidemment si le circuit est équilibré. Les wattmètres A et 5 donnent les puissances respectives :

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

70

Or, pour un montage en étoile, on a : £3 = —i{ — h,

— «3, et «2

P — 2 RejlZi ii + ^2 i2 + ^3 ^3} De même, pour un montage en triangle, on a : «12

=

^13

—

—

=

^3 + M23 > d'où :

9 MMIS ^ d" -23

)

M23 > Â3 = 12 + in -12

et

Â, -31

=

13 + i„ , d'où -23

P = ^ Re{wi2 j;2 + u23j_*3 + Msiig,} = ^RejMniî +££2312} Ainsi, quel que soit le montage, triangle ou étoile, la puissance s'écrit : V = Va + Vb ■ il /- N W

a. z

"23 WA | |

"13

I1 i "23

.

V[

Montage triangle ou étoile sans neutre

i1

z

11— 1

N

Z •

1*2

in = 0

T | "3

Fig. 2.26.

Fig. 2.27.

Pour un circuit équilibré, la mesure de la puissance réactive est réalisée directement avec un seul wattmètre branché afin de connaître l'intensité du courant sur un fil et la tension entre les deux autres (Fig. 2.27). En effet, la lecture fournit le produit f/23/1 cos((/>23 — /,! ). Cette mesure donne Ulsin (p , puisque (Fig. 2.20) : 4>23 - 4*1,1 — (4*23 - 4>v,\) + {4>v,\ - 4*1,1)

— —

■7T 2"

^

Pour obtenir la puissance réactive Q, il suffit de multiplier la lecture du wattmètre par a/B • Cette puissance peut aussi être déterminée à l'aide du montage à deux wattmètres (Fig. 2.26) : VA = UIcos(4*n - <^,1) = UIcos(^i3 - 4*v,i + 4*v,\ - 4*i,i. soit (Fig. 2.20) : / Va = Uîcos (

77

\ car

77 ^13 - (f)v^ = —— rad

car

023 - 4*v,2 =

On a de même : (77 — +

\

77

rad

On en déduit que : Va — Vb = —2f//sin
Lois de base des circuits en régime quasi sîationnaire

VI. _ DISTRIBUTION D'ELECTRICITE ET PROBLEMES DE SECURITE VI. 1. — Production de puissance électrique La consommation quotidienne moyenne d'énergie électrique de la toute la France est de l'ordre de 1,33 térawattheure ( 1 TWh = 1012 Wh ), c'est-à-dire environ 3,6 x 10'^ J . Comme le travail électrique est difficilement stockable (les meilleurs accumulateurs ne pouvant stocker plus de 600 kj - kg-1 ), le travail électrique doit être disponible au moment de sa consommation. La puissance totale dont dispose le distributeur français EDF (Électricité De France) dépasse les 100 GW , alors que le record de consommation s'établit légèrement en dessous de 102 GW (pic atteint le 8 février 2012). Tout distributeur électrique prévoit la puissance à fournir en fonction des données statistiques qui indiquent la consommation probable en fonction de l'heure, de la saison et des températures observées. Si la consommation dépasse la production prévue, la tension et la fréquence du réseau baissent légèrement et la réaction du distributeur est immédiate : ce dernier augmente la puissance électrique des centrales ou importe de la puissance électrique des pays voisins. En cas de sous-consommation, c'est l'inverse, on exporte de la puissance et on diminue la production. Comme les sources de production de puissance électrique, que sont les centrales hydrauliques, thermiques et nucléaires, sont généralement éloignées des lieux de consommation, le transport de cette puissance joue un rôle essentiel dans la limitation des pertes occasionnées. VI. 2. — Distribution de puissance électrique a) Différents types de lignes de transport Afin de limiter les pertes énergétiques, lors du transport de la puissance électrique, l'utilisation de tensions sinusoïdales de basse fréquence s'impose. En effet, à haute fréquence, lorsque que l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) n'est plus satisfaite, l'effet de peau provoque réchauffement des câbles, par réduction de la section effective, et la nature inductive des lignes induit une augmentation des pertes (cf. Electromagnéîisme). Historiquement, c'est le développement du chemin de fer en Europe qui a joué un rôle décisif dans le choix de la fréquence de 50 Hz. En effet, cette fréquence correspond à celle utilisée par les constructeurs de locomotrices allemands AEG et Siemens, au début du XXe siècle ; les performances des moteurs synchrones triphasés, inventés par AEG, étaient optimales à 50 Hz. Aux USA et dans le Royaume Uni, cette fréquence est de 60 Hz. "ri

°

En France, les pertes énergétiques sur les lignes de transport, qui sont inversement proportionnelles à la tension de distribution ( 230 V ), s'élèvent à plus de 12 TWh par an, soit 3 % de la consommation, ce qui correspond à un coût de plus de 300 millions d'euros. On distingue plusieurs réseaux de distribution. i) Le réseau Très Haute Tension (THT), à 400 kV et 225 kV, et celui Haute Tension (HT), à 90 kV et 63 kV, assurent le transport de la puissance, sur des distances de plusieurs milliers de kilomètres, entre les centrales de production et les postes de transformation principaux. Il alimente aussi les transformateurs implantés dans les quartiers des grandes villes, ainsi que dans les très grosses entreprises. Il est composé de lignes aériennes constituées de fils conducteurs nus, en cuivre ou en aluminium, entourant un câble intérieur, l'âme, en acier qui permet d'augmenter sa résistance mécanique ; ces câbles tressés, d'un diamètre total d'environ 30 mm, ont une masse linéique de 2 kg par mètre. ii) Le réseau Moyenne Tension (MT), à 20 kV et 5,5 kV, relie les postes de transformation principaux à ceux qui alimentent les villes, ainsi que les petites et moyennes entreprises.

72

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

iii) Enfin, le réseau Basse Tension (BT), à 230 V ou 400 V, est destiné aux particuliers, le plus souvent en monophasé, et aux entreprises qui consomment peu de puissance, en général en triphasé. Notons que l'alimentation d'un quartier s'effectue en triphasé ; le neutre et l'une des phases sont distribués à chaque habitation ; si le réseau est bien équilibré, les charges sur chaque phase sont équivalentes et le courant dans le fil neutre quasiment nul (Fig. 2.28). Réseau 230/400 V N

Atelier

□ □ Usine

Fig. 2.28. Remarques : 1) La lampe à incandescence, inventée par T. Edison, qui permit l'illumination des premières villes, fonctionnait bien à 110 V stationnaire qui est le standard américain actuel de la valeur efficace de la tension sinusoïdale utilisée. Un peu plus tard, Edison déposa un brevet de distribution de l'électricité à faibles pertes sous des tensions stationnaires de 220 V, valeur un temps adoptée en France pour le réseau basse tension sinusoïdale EDF, actuellement augmentée à 230 V . 2) Bien que quatre conducteurs (le neutre et les trois phases) assurent le transport de la puissance électrique dans les villes, la plupart des poteaux électriques en ville portent un cinquième fil; ce dernier, relié à l'une des phases, assure l'éclairage municipal (Fig. 2.29a). b) Protection des lignes On protège les installations électriques de la foudre, capable de provoquer de très fortes surtensions, en surmontant les lignes THT d'une ligne de garde qui sert à intercepter la foudre avant que celle-ci n'atteigne les conducteurs sous tension. Ces fils anti-foudre, qui ne sont parcourus par aucun courant, en situation normale, sont évidemment reliés à la terre, à chaque pylône, afin d'évacuer sans dommage les courants parasites de forte intensité. Malgré les fils anti-foudre, les lignes conductrices sous tension sont parfois touchées directement ou souvent chargées par influence, lorsque la foudre frappe le fil de garde ou un objet situé dans le voisinage de la ligne. La charge électrique reçue produit une onde de tension, de forte amplitude (plusieurs centaines de kV ), qui se propage le long de la ligne, à la vitesse de la lumière (cf. Electromagnétisme). Cette onde peut détériorer les isolateurs en porcelaine qui fixent les lignes aux pylônes, ainsi que les transformateurs situés en bout de ligne. Les isolateurs, dont le nombre permet de connaître la tension de la ligne (9 pour 63 kV, 14 pour 225 kV et 18 pour 400 kV) sont protégés par des éclateurs qui canalisent la décharge électrique, lors d'un coup de foudre (Fig. 2.29b). Les lignes sont équipées de disjoncteurs et de parafoudres. i) Les premiers ouvrent le circuit, en cas de surintensité, en jouant le rôle de fusible mais n'ont pas besoin d'être remplacés après utilisation. L'arc électrique qui se produit est éteint par de l'huile ou

Lois de base des circuits en régime quasi staîionnaire

73

par un gaz, en général de l'hexafluorure de soufre SFf,. Ils ouvrent la ligne en quelques centaines de millisecondes, puis la refennent dès que la charge électrique du coup de foudre a été évacuée vers la terre. ii) Quant aux seconds, ils sont constitués d'une série de disques qui se comportent comme des varistances dont la résistance diminue lorsque la tension s'élève. Ils assurent la liaison entre la ligne à protéger et la terre. En fonctionnement normal, la résistance totale est très importante et la ligne est isolée de la terre. Lorsque la tension augmente et dépasse la valeur maximale autorisée, les disques ne présentent qu'une faible résistance et la décharge vers la terre peut se produire. Une fois la décharge terminée, quelques dizaines de millisecondes après, les disques présentent à nouveau une résistance très élevée et la ligne est de nouveau isolée de la terre. Une manière de protéger les lignes et les personnes consiste à enterrer les fils de transport. Même si ce procédé est très coûteux et si la chaleur dégagée ainsi que la nécessité d'accéder aux câbles conduisent à aménager une large zone dépouillée de toute végétation, les distributeurs augmentent progressivement la proportion de lignes enterrées. Actuellement, en France, un quart des lignes 63 kV sont enterrées ; leur coût est alors multiplié par 3 ou 4. Pour les lignes en 225 kV , seules les portions en agglomérations sont enterrées, car le coût est, dans ce cas, multiplié par 10.

a)

b) FlG. 2.29.

VI. 3. — Sécurité d'une installation électrique domestique a) Effets physiologiques en électricité L'effet d'un choc électrique sur le corps humain dépend de plusieurs facteurs : la durée du passage du courant dans le corps, son intensité, sa nature stationnaire ou alternatif, ainsi que des organes traversés. Lorsque l'intensité du courant est inférieure à 10 mA, les effets du courant ne sont pas dangereux, quelques picotements seulement. Au-delà de 10 mA , l'intensité et la durée doivent être pris en compte : 20 mA pendant 10 s a le même effet que 100 mA pendant 1 s ou encore que 500 mA pendant 50 ms . De telles intensités provoquent la tétanisation des muscles traversés : les doigts se crispent et n'arrivent pas à lâcher le conducteur électrique touché. En outre, le diaphragme, qui permet de comprimer ou de dilater les poumons, au cours de la respiration, risque de se bloquer et ainsi provoquer l'asphyxie ; le cœur lui ne subit pas de tétanisation mais, lorsque l'intensité dépasse 50 m A , son rythme est troublé (c'est la fibrillation).

74

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Le courant alternatif de basse fréquence est plus dangereux que le courant stationnaire, précisément en raison de ses variations au cours du temps, lesquelles favorisent les contractions répétées des muscles et la tétanisation ; aussi les normes imposent-elles des tensions maximales utilisables moins élevées en régime alternatif qu'en régime stationnaire. Pour une tension déterminée, l'intensité du courant qui traverse le corps humain dépend évidemment de sa résistance. Cette dernière n'est pas constante et dépend de l'humidité de la peau : elle varie de 1 kfl pour une peau humide à 50 kfl entre deux mains sèches. En outre, il faut tenir compte de la résistance de contact entre la peau et les conducteurs, laquelle varie de quelques kfi au niveau des mains à plusieurs centaines de kfl entre le sol et les pieds dans des chaussures isolantes. Pour ces raisons, dans les conditions habituelles, la valeur limite de la tension éliminant tout risque d'électrocution est de 50 V en régime stationnaire et de 25 V efficace en régime sinusoïdal. Cette dernière valeur est obtenue à partir de la résistance électrique du corps humain évaluée en moyenne à 2 500 H et du seuil d'intensité du courant admissible qui est de 10 mA : f/ = ^/ = 2500 x 0,01 =25 V b) Sécurité domestique Les normes de sécurité française imposent le schéma de liaison à la terre nommé TT (terre-terre) : le fil neutre de l'installation doit être relié à la terre, ainsi que la carcasse métallique des appareils domestiques. La reconnaissance du fil de terre est aisée puisque son enveloppe plastique est de couleur jaune et vert. En général, les installations domestiques sont munies d'un disjoncteur différentiel dont la fonction est d'ouvrir tout circuit dans lequel l'intensité du courant dans le fil neutre est différente de celle dans le fil de phase ; en effet, cette différence de valeur traduit généralement un défaut d'isolement (Fig. 2.30a). Certains disjoncteurs différentiels sont très sensibles : ils provoquent l'ouverture des circuits dès l'apparition d'une différence d'intensité de 30 mA. Ils sont techniquement constitués d'un circuit magnétique en forme d'anneau (cf. Électromagnétisme), autour duquel on a enroulé trois fils conducteurs (Fig. 2.30b) ; l'un relié est au neutre, le deuxième à la phase et le troisième commande un interrupteur. Si une différence d'intensité apparaît brutalement, un courant induit dans le fil de commande actionne l'interrupteur. Disjoncteur différentiel Neutre CA l\

Commande de l'interrupteur Neutre

Phase

V/

h Rupture d'isolant

Terre

Phase

b)

a) Fig. 2.30.

Dans une installation domestique, les causes d'accidents électriques sont multiples. i) Le corps humain, qui est en contact avec la terre, peut toucher un fil électrique soit directement soit par l'intermédiaire de la carcasse métallique d'un appareil électroménager défaillant. Si le fil touché est le neutre, il n'y aura aucun dégât. En revanche, s'il s'agit du fil de phase, le courant traversant le corps n'est limité que par sa résistance : l'intensité peut alors être mortelle.

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

75

Le disjoncteur différentiel se déclenche lorsque l'intensité dans le fil neutre n'est plus égale à celle dans le fil de phase; c'est précisément le cas lorsqu'une partie du courant de phase traverse la personne électrocutée. Le disjoncteur peut être différemment réglé : 30 mA pour les prises de courant et pour l'éclairage des salles d'eau, 100 mA ou 300 mA pour les chauffages ou les gros appareils électroménagers. ii) Line autre cause est le contact direct avec les deux conducteurs neutre et phase. Aucun système de sécurité n'est ici possible, car le corps humain se comporte comme un dipôle électrique quelconque. Aussi est-il indispensable de couper systématiquement l'alimentation d'une partie du réseau électrique avant toute intervention, même pour le simple changement d'une lampe sur une douille ; cette dernière peut en effet présenter un défaut d'isolation.

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Dans l'approximation des régimes quasi stationnaires, les lois de base des circuits ont, à chaque instant, la même expression qu'en régime stationnaire. 2) En régime sinusoïdal, les lois de Kirchhoff relatives aux nœuds et aux mailles se transposent directement à l'aide de la notation complexe : ^£^ = 0

et

5>^ = 0

La première sommation porte sur toutes les branches qui concourent au nœud considéré, avec 6^=1 si le courant est orienté vers le nœud, et ^ = — 1 sinon. La seconde concerne tous les dipôles d'une même maille, avec = 1 si le sens de Uf. est le même que le sens choisi pour parcourir la maille et Et — — 1 sinon. 3) En régime sinusoïdal, les composants passifs sont caractérisés par leur impédance Z, qui est le rapport tension sur courant en notation complexe. Ainsi, l'impédance complexe d'un condensateur de capacité C est 1 /jCù) alors que celle d'une bobine d'inductance L est jLco ; le facteur j dans ces expressions traduit un déphasage de ±7r/2 rad de la tension par rapport au courant. 4) En régime sinusoïdal, la puissance moyenne reçue par un dipôle, ou puissance active, a pour expression : V = Uî cos (p 17 et / étant les grandeurs efficaces, cp le déphasage de la tension par rapport au courant. On introduit la puissance complexe V_ = ui*/l dont la partie réelle est précisément la puissance active V et la partie imaginaire la puissance réactive Q = Ulsïn ç 5) Selon le théorème de Boucherot, la somme des puissances actives et la somme des puissances réactives sont nulles dans tout circuit. 6) La puissance électrique est distribuée en régime sinusoïdal triphasé, en raison de plusieurs avantages techniques, notamment la facilité de production dans les alternateurs et le moindre coût du transport.

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

76

EXERCICES ET PROBLEMES

P2-1. Circuit RL Un circuit associant un résister, de résistance R = 50 fl, en série avec une bobine idéale, d'inductance L = 100 mH, est alimenté par un générateur qui délivre la tension sinusoïdale e{t) = Es/2cos{(x)î) avec E = 10 V . 1. a) Trouver l'expression de l'intensité du courant dans le circuit. Quelle est sa valeur efficace et son déphasage, d'abord pour la fréquence / = 50 Hz , puis pour / = 100 Hz ? Pour quelle valeur de / le courant est-il en retard de phase de tt/A rad sur la tension ? b) Tracer les graphes donnant l'amplitude et le déphasage de i(t) par rapport à e{t) en fonction de la fréquence /. 2. Déterminer la tension aux bornes de la bobine. Tracer le graphe représentant son amplitude en fonction de /.

P2- 2. Mesures de tension à l'aide d'un voltmètre Dans le circuit représenté sur la figure 2.31, un voltmètre fonctionnant en régime sinusoïdal est connecté successivement aux bornes du résister, de la bobine et du condensateur : il indique respectivement 15 V, 10 V et 30 V. 1. Quelle est l'indication du voltmètre aux bornes de la source de courant ? 2. Calculer la puissance fournie par cette source pour R= 100 fi.

C

FIG. 2,31. P2- 3. Nature de dipôles inconnus On désire identifier trois associations (en série ou en parallèle) de deux dipôles choisis parmi les trois suivants : une bobine idéale, un condensateur et un résistor. Les dipôles obtenus sont notés D\ , D2 et Z>3 . En régime stationnaire, la mesure des résistances donne respectivement : R\ — Ri = 50 fi et /?3 — 00 . En régime sinusoïdal, on observe que : i) quelle que soit la fréquence /, la tension u\ aux bornes de D\ est en avance sur l'intensité i\ du courant qui le parcourt ; en revanche, pour £>2 , 112 est en retard sur Ï2 ii) aux basses fréquences, la tension M3 aux bornes de D3 est en retard sur Ï3 ; aux hautes fréquences, c'est l'inverse. 1. Déterminer la nature de chaque association et les dipôles qui la constituent. 2. Quels résultats obtiendrait-on avec les autres associations possibles ?

77

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

P2- 4. Lecture à Toscilloscope Un circuit comportant une bobine réelle (inductance L en série avec un résistor r) et un résistor, de résistance R = 20 Ll, est alimenté par un générateur de tension : e{t) = em cos{ojt). Un oscilloscope, connecté comme l'indique la figure 2.32a, fournit les courbes de la figure 2.32b. Les calibres sélectionnés sont de 1 V ■ carreau-1 pour l'échelle verticale et de 2,5 ms • carreau-1 pour le balayage horizontal. 1. a) Déterminer la fréquence et la valeur efficace de la tension appliquée. Même question pour le courant. b) Calculer la valeur du déphasage observé entre les deux tensions. En déduire les valeurs de r et L. 2. a) On intercale, entre les points A et C, un condensateur de grande capacité C = 112 jjlF ; on obtient les courbes de la figure 2.32c, sans modifier les réglages de l'oscilloscope. Calculer l'intensité efficace dans le circuit. b) Retrouver les valeurs de r et L.

Voie B

Voie A

L mm

B

R = 2011 sh

carreaux

7777 b)

a)

c)

FIG. 2.32. P2- 5. Réseau en régime sinusoïdal - webDans le circuit de la figure 2.33, la tension e = emcos{o)î) est imposée par un générateur de tension parfait. Avec un voltmètre, on mesure la tension us aux bornes du résistor R . 1. a) Trouver la relation entre us et e, en fonction de R, Z et Z'. b) Établir la relation entre les intensités ^ et ^ , en fonction de R , Z et Z'. 2. a) Que deviennent les relations précédentes si Z est une résistance R' et Z' l'impédance d'une capacité C ? b) Déterminer le rapport des amplitudes us^mjem et R' = 2,2 kfi et / — 1,0kHz.

pour R = 1.5 kfi, C = LOjjlF,

"1

T R'

B Z'

M

UA

R R'

FIG. 2.33.

FIG. 2.34.

2. Lois de base des circuits en régime quasi staîionnaire

78

VI- 6. Circuit déphaseur Le circuit de la figure 2.34, dans lequel e = em cos{ù)t), représente un circuit déphaseur. Le GBF étant à masse flottante, on adopte comme masse du circuit le point M . 1. Comparer, en amplitude et en phase, les tensions ua et ub . À quoi peut servir un tel circuit ? 2. Représenter graphiquement l'avance de phase de ub sur uA. Pour quelle valeur de R les tensions ug et Ua sont-elles en quadrature, lorsque C = 0,22 jjlF et / = 1,2 kHz ?

P2- 7. Impédances équivalentes ' On alimente un moteur, composant inductif représenté par une bobine, d'inductance L et de résistance R, par un générateur sinusoïdal qui maintient la tension e{î) = em cos(
A

mmn L

R

B

c

e e rs->

R

b)

a)

Fig. 2.35.

P2- 8. Absence de variation de courant à la fermeture d'un interrupteur Dans le circuit de la figure 2.36, on souhaite que l'indication donnée par l'ampèremètre ne varie pas lorsqu'on ouvre ou lorsqu'on ferme l'interrupteur. Quelle valeur de la capacité C faut-il choisir ? Calculer C sachant que L = 22 mH, R = 330 fl, r = lOO et que la fréquence du GBF est de 50 Hz .

Xmm, ^QQOowo^ooooooo. C

C

C

^ C

U2

7777" FlG. 2.36.

7777

7777 Fig. 2.37.

7777"

«3

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

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P2- 9. Cellules à retard de phase La figure 2.37 représente une ligne infinie, constituée de cellules identiques LC. On impose, avec un générateur parfait, la tension uo{t) = em cos(W) . 1. Établirlarelation de récurrence existant entre un+i , un et un_l ; on introduira coq = 1/(LC)1//2 2. On cherche une solution de cette équation sous la fonne un = m0 d' avec i/0 = em expijcot). a) Déterminer q pour co > Imq . b) Pour co < Iojq , montrer que a est de la forme a = exp[/<£{û>)] et déterminer la phase 4>{o)). c) On suppose que co coq et on pose r — , sachant que cj) est négatif. Établir l'expression de r en fonction de L et C . Application numérique pour L = 0.68 mH et C = 22 pF . Donner une interprétation physique de l'expression obtenue pour u„ .

P2-10. Impédance itérative Le circuit représenté sur la figure 2.38 est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale : e = em cos(W). 1. Exprimer l'impédance Z^b , en fonction des impédances Z\ , Zo et Zc . 2. Déterminer la valeur de Zc pour laquelle Zc = Z^b ■ Pourquoi cette valeur de Zc est-elle qualifiée d'impédance itérative ? s w 3. On conserve la valeur précédente pour Zc . Etablir la relation que doivent vérifer Z\ , Z2 et Zc afin que im = ïm . 4. a) Si Z| est un condensateur, de capacité C = 68 nF et Z2 une bobine, d'inductance L = 1,5 mH , quelle impédance Zc faut-il prendre ? b) Même question avec Z\ , bobine d'inductance L = 1,5 mH et Z2 , condensateur de capacité C = 68 nF ? A Z,

'-É ■^n Z2

z,

il FIG. 2,38.

R

L FIG. 2.39.

P2-11. Puissance dans deux branches en parallèle •web Dans le circuit de la figure 2.39, on désire que les deux branches absorbent la même puissance moyenne lorsqu'on connecte un générateur de tension sinusoïdale entre A et B : e = em cos{cot). Détenniner l'inductance L en fonction de la résistance R et des capacités C et C . Calculer L pour R = 11 kO, C = 15 jxF, C' = 22 jxF, à la fréquence / = 1 kHz.

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

80

VI-12. Mesure de puissance à l'aide d'un voltmètre On dispose d'un voltmètre et d'un résister, de résistance R connue, pour mesurer la puissance dissipée dans une impédance Z inconnue. On effectue les mesures indiquées sur la figure 2.40. 1. Déterminer la puissance dissipée dans l'impédance Z , en fonction des tensions U\ , U2 et t/3 lues sur les trois voltmètres. 2. Calculer cette puissance pour f/| = 20 V, f/2 = 147 V, f/3 = 162 V et /? = 10 O. 3. En déduire la résistance et la réactance de l'impédance Z. R ^

Z I-

^

U\

IU2

Û3

^

FlG. 2.40.

P2-13. Puissance consommée dans un circuit industriel

vveb 1

-

Le circuit de la figure 2.41 est alimenté par le réseau basse tension d'EDF : fréquence / = 50 Hz , tension efficace U = 230 V . 1. Exprimer, en fonction des données sur la figure, la puissance dissipée par ce circuit. 2. On constate que la puissance fournie par le générateur atteint une valeur maximale Vm pour i? = 20 El. En déduire la valeur de L' et celle de Vm . 3. Pour une valeur de R supérieure à 20 O , le facteur de puissance devient égal à 1 et la puissance consommée est de 500 W. En déduire les valeurs de i? et C , sachant que L = 100 mH .

1

L' 230 V 50 Hz

L C

R

r* 230 V 50 Hz

Fie. 2.41.

R

C

Fie. 2.42.

P2-14. Facteur de puissance d'une installation et relèvement Dans une installation alimentée par un réseau basse tension (/ = 50 Hz et tension efficace U = 230 V ), on fait fonctionner simultanément un moteur de puissance Vm ■> dont le facteur de puissance vaut 0,65 , et une rampe d'éclairage de résistance R, de puissance Vr , branchée en parallèle et de facteur de puissance égal à 1 (Fig. 2.42). 1. Calculer les valeurs efficaces complexes des intensités des courants dans les différentes parties du circuit, en fonction de U, Vm , Vr et du déphasage (p de la tension par rapport au courant qui parcourt le moteur. 2. En déduire le facteur de puissance de l'ensemble. Application numérique pour Vm = 5 kW et Vr = 3 kW. Retrouver ce résultat à l'aide du théorème de Boucherot.

Lois de base des circuits en régime quasi sîaîionnaire

81

3. Quelle est la valeur de la capacité du condensateur qu'il faut placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance jusqu'à 1 ? Rappeler l'intérêt d'avoir un facteur de puissance proche de l'unité.

P2-15. Exemple tiré de la publication originale de Boucherot Dans sa publication originale, Boucherot illustre le théorème qui porte son nom, avec l'exemple suivant. On alimente, à l'aide d'une tension sinusoïdale, de valeur efficace Ue , une ligne d'impédance Z; = 20 + y 30 en ohm, au bout de laquelle se trouve l'enroulement primaire d'un transformateur. La tension efficace aux bornes de cet enroulement étant U\ = 4 kV, sont branchés en série, aux bornes de l'enroulement secondaire du transformateur (Fig. 2.43) : i) un moteur synchrone A de puissance apparente 10 kVA et de cos cp — 0,8, dans lequel le courant est en avance sur la tension, ii) deux moteurs asynchrones, B de 20 kVA et de cos ^ = 0,9, C de 5 kVA et de cos «p = 0, 8 , dans lesquels la tension est en avance sur le courant, iii) une série de lampes D, de puissance 10 kW, iv) un condensateur E de puissance réactive 2 kVAR. 1. Effectuer les bilans de puissances active et réactive dans le circuit comportant l'enroulement secondaire du transformateur et déterminer les puissances active et réactive fournies par le secondaire. 2. Sachant que les pertes du transformateur sont de 2,5 % pour la puissance active et de 5 % pour la puissance réactive, calculer l'intensité efficace dans le primaire. 3. Trouver la valeur de la tension efficace Ue . Moteurs asynchrones Moteur synchrone

Primaire Secondaire FIG. 2.43.

P2-16. Importance du fil neutre en triphasé On alimente, en triphasé (/ = 50 Hz et tension efficace de phase 230 V ) les trois enroulements d'un moteur que l'on assimile à trois bobines idéales, d'inductance L. Initialement, le branchement présente la configuration en étoile (Fig. 2.44a). 1. Déterminer l'intensité io du courant dans le fil neutre ; en déduire l'intérêt de l'alimentation en triphasé. 2. Suite à une erreur de branchement, l'enroulement 1 se retrouve en parallèle avec un résister, de résistance R. Le montage en étoile n'est plus équilibré. Déterminer l'intensité ig du courant dans le fil neutre ainsi que les tensions aux bornes de chaque enroulement. Calculer la valeur efficace de Lq pour R = 100 ù et L = 0,22 H.

82

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

3. Suite à un incident, le fil de neutre est coupé (interrupteur K ouvert). L'enroulement 1 étant toujours en parallèle avec le résister R, détenniner les tensions aux bornes de chaque enroulement. Quel est l'intérêt de la présence du fil neutre sur un montage en étoile équilibré ? 4. La connection est maintenant en triangle et le résistor R n'est pas branché (Fig. 2.44b). a) Trouver la tension aux bornes de chaque enroulement, l'intensité jki du courant dans chaque enroulement ainsi que dans les fils de phase 4 . b) Calculer les valeurs efficaces des grandeurs déterminées précédemment. 5. L'enroulement 1 est de nouveau en parallèle avec le résistor R . Quel est alors le courant dans chaque fil d'alimentation ? Application numérique. T— 12 1J Z,

«12

*731

Zn

Z2 m.

Vi Ji

Z3

V2

'3

JL

31

Z23

«23

V2

«31

Z

1/23

'2

V\

X

I V3

10 a)

b) FIG. 2.44.

P2-17. Mesure de puissance en triphasé Le réseau triphasé de la figure 2.45a alimente, sans fil neutre, sous 230 V de tension efficace de phase, trois récepteurs inductifs identiques montés en étoile. WA

w

X

X

«13 >2

W*

X J

R

«23 13

«23 J a)

n

b) FIG. 245.

1. Exprimer la puissance active totale V et la puissance réactive totale Q, en fonction du facteur de puissance et du module |Z| de l'impédance de chaque dipôle. Application numérique pour |Z| = 80 O et cos = 0,5 . Quelle est l'indication de chaque wattmètre ? 2. On ajoute alors un résistor, de résistance R = 100 fi entre la phase 2 et la phase 3 (Fig. 2.45b). Déterminer la nouvelle expression de la puissance active totale V et la puissance réactive totale Q'. Quelles sont alors les indications des deux wattmètres ?

Lois de base des circuits en régime quasi sîationnaire

83

P2-18. Séquence des phases en triphasé Sur un réseau triphasé, il est parfois nécessaire de connaître l'ordre successif des phases, lorsque l'on veut fixer le sens de rotation d'un moteur ou que l'on souhaite brancher en parallèle des lignes triphasées. Avec les notations habituelles, on a : Ul = U]

U2 = U{ exp (-j^Y

et

U3 = U\ exp

= U i exp

les trois phases passent par leurs valeurs maximales, dans l'ordre chronologique 1,2.3. Les numéros affectés sont arbitraires, car les phases se succèdent indéfiniment avec un déphasage de 27r/3 . Afin de déterminer l'ordre des phases, on branche en étoile, sans neutre, les trois dipôles suivants ; un condensateur, de capacité C, et deux lampes, de même résistance R , comme sur la figure 2.46. On observe que l'une des lampes brille plus que l'autre. Déduire du calcul de la puissance dissipée dans chacune des lampes l'ordre des phases, condensateur-lampe brillante-lampe faible ou condensateur-lampe faible-lampe brillante.

C R ylb R C

le >Fig. 2.46.

Oscillations électriques harmoniques,

amorties, forcées. Résonance

Les oscillations harmoniques, amorties, forcées ont déjà été vues en mécanique à partir de l'exemple concret d'un pendule élastique (cf. Mécanique). Nous nous proposons ici de considérer des oscillations analogues, dans le cadre purement électrique où elles jouent un rôle au moins aussi important. Pour cela, nous commençons par l'oscillateur électrique harmonique, lequel est constitué d'une bobine d'induction et d'un condensateur. Nous étudions ensuite l'influence des phénomènes dissipatifs associés au caractère partiellement résistif des composants. Enfin, nous analysons les oscillations électriques forcées dans un dipôle RLC, excité par une tension sinusoïdale, et donc le phénomène de résonance.

I. — OSCILLATEUR HARMONIQUE EN ÉLECTRICITÉ 1.1. — Définition Un oscillateur électrique harmonique, ou sinusoïdal, est un système dont l'un des paramètres x{t), qui est soit l'intensité du courant i(t) dans le circuit soit la tension u(t) aux bornes de l'un des composants, varie au cours du temps suivant une loi sinusoïdale : .xfr) = xm cos{o)Qt + ^) = xm cos(27r/of + ^>) Dans ces expressions, xm, wq , /o, et Tq = 1 //o sont des constantes appelées respectivement l'amplitude, la pulsation, la fréquence, la phase à l'origine des temps et la période (Fig. 3.1). , i *(0

0

Fig. 3.1.

85

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Comme en mécanique, toute l'importance des oscillations harmoniques repose sur la possibilité de représenter une oscillation quelconque par une somme d'oscillations harmoniques de pulsations différentes (cf. annexe 2).

1.2. — Mise en évidence expérimentale Le circuit électrique fermé de la figure 3.2a est constitué d'un condensateur de capacité C, d'une bobine d'inductance L et d'un conducteur ohmique de résistance R , placés en série. Si le condensateur est initialement chargé, c'est-à-dire si son armature A a une charge q et son armature B une charge opposée —q, on constate qu'il se décharge dans le reste du circuit, de façon oscillante : q varie au cours du temps suivant une loi sinusoïdale amortie. On met en évidence une telle variation en visualisant sur un oscilloscope la tension uc = qjC aux bornes du condensateur. On rend possible cette visualisation en utilisant un générateur de signaux carrés qui reproduit périodiquement l'excitation initiale du condensateur. R

R

n_

n_ A

%

q

uc 'c"' I—n

L

Résistance négative

A

uc

1

C '

L

1

—wœr b)

■à) Fie. 3.2.

■a o c 3 û (M i—l

On supprime l'amortissement observé en ajoutant au circuit série RLC une « résistance négative », ce qui permet de compenser le terme résistif (cf. chapitre 8 et 14). Une telle résistance peut être obtenue, par exemple à l'aide d'un composant à résistance dynamique négative comme une diode à effet tunnel ou un tube à décharge. On préfère utiliser aujourd'hui un système actif tel un amplificateur opérationnel comme le montre la figure 3.2b ; conformément à l'usage, la source auxiliaire d'énergie n'a pas été représentée sur le schéma équivalent. On obtient approximativement un oscillateur harmonique électrique dont on peut vérifier l'expression de la période Tq = Itr jcoQ = 27r(LC)1/2 . Ordre de grandeur : dans un circuit électrique typique, où L = 0,1H, C — IOjxF, R= 100 H, muni de la résistance négative d'environ —100 fl, on trouve : fo»o = 103 rad - s-1

d'où

/o = 159.15 Hz

et

Tq = 6,28 ms

© 4-1 .C 1.3. — Equations différentielles caractéristiques D. 0

a) Loi des mailles : équation différentielle du second ordre La loi des mailles, appliquée à un tel circuit en régime quasi stationnaire, donne (cf. chapitre 2) : q Tdï — = —L C dt

„. Ri

. soit

L

df q „ \- Ri -]— = 0 dt C

. puisque F 4

. dq i = — dr

86

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

q étant est la charge de l'armature A du condensateur vers laquelle est orienté le courant d'intensité i. Il en résulte l'équation différentielle canonique, en utilisant la notation habituelle pour toute dérivée par rapport au temps (cf. Mécanique) : ..

q 0 r. ^o)^q = ri Tp

avec

il-\ coq = \ — V /

et

^ Te = iv

Ce système électrique est dynamiquement équivalent à l'oscillateur mécanique amorti : la correspondance entre les différentes grandeurs est donnée dans le tableau 3.1. Le rôle de la charge q est tenu par celui de la position x, celui de i par la vitesse v ; dans ce contexte l'inductance L remplace la masse m , la capacité C apparaît à la place de l'inverse l/K de la raideur, enfin la résistance R se substitue au coefficient d'amortissement a . Electricité

q

Mécanique

x

i

L

v

C

R ]

m

K~

a

Tab. 3.1. L'oscillateur est hanuonique, lorsque le terme dissipatif, qui est proportionnel à l'intensité du courant, est nul ou négligeable. L'équation différentielle se réduit alors à : d2qq L dr1

+

C

... S01t

9

^

^=

n

v

0

ou

f ^ \1^2 Ù)Q=

\ ïfc]

est la pulsation propre. La solution d'une telle équation est bien connue (cf. annexe 1). Elle peut prendre les différentes formes suivantes : q{î) — A cos(û)ot) + Bsw(coot) = qm cos(tuot + f)

qm = (A2 H- jÇ2)1/2

et

tan f = —— A

Remarque : Il convient de souligner que, pour un tel oscillateur, les conditions initiales n'ont d'influence que sur l'amplitude et la phase et non sur la fréquence. b) Conservation de l'énergie : équation différentielle du premier ordre On passe de l'équation différentielle du second ordre à l'équation du premier ordre correspondante, en multipliant la première par q et en intégrant :

qq + ojQqq = 0

donne

q2 ~2 ^

q2 ^^2

co

=

^'t:e

Pour interpréter cette dernière équation, il suffit d'expliciter <Wq et ainsi faire apparaître l'énergie électromagnétique du condensateur et de l'inductance, respectivement q2/{1C) et Lq2/l = Li1 /2 (cf. Électromagnétisme) : — + ^=£em 2 2C Ainsi, dans l'oscillateur harmonique électrique, l'énergie électromagnétique se conserve en changeant périodiquement de nature, électrique dans le condensateur puis magnétique dans la bobine, comme l'énergie mécanique d'un pendule simple change périodiquement de nature, potentielle puis cinétique.

87

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Explicitant q(t), l'énergie électromagnétique de l'oscillateur s'écrit : ^ — _ t'em

L< 2

^? 2

i ^^ — 2C

Lù)lql

2

sin2(fc»or + ^)

+

^ cos2(^o/ + 0) = 2

2

Ainsi l'énergie £em de l'oscillateur harmonique est une constante qui est proportionnelle au carré t?2 de l'amplitude. Le graphe de la figure 3.3 montre bien qu'au cours du temps, il y a transformation d'énergie magnétique en énergie électrique et vice-versa. Notons que l'écriture directe de la conservation de l'énergie électromagnétique dans un tel système conservatif permettrait de restituer l'équation différentielle du second ordre en dérivant par rapport au temps et en simplifiant par q, la solution ^ = 0 ne présentant aucun intérêt.

* \

2C L2/2

FTG. 3.3.

II. _ OSCILLATEURS AMORTIS PAR UN ÉLÉMENT RÉSISTIF Au cours de la décharge d'un condensateur dans une bobine, on constate généralement que l'amplitude des oscillations de la charge q du condensateur, que l'on visualise par la tension uc = q/C aux bornes du condensateur, n'est pas constante, mais décroît constamment, ce que l'on attribue au caractère partiellement résistif des composants; s'introduit alors naturellement la tension Ri = Rq aux bornes d'un élément résistif équivalent. s II. 1. — Equation différentielle de la décharge du condensateur Rappelons l'équation différentielle canonique de la décharge du condensateur que fournit la loi des mailles : ■■ Q y o I ^ q-\- — + (oQq = 0 avec co0 = — et re = T (/ i\ Le terme d'amortissement étant proportionnel à q, cette équation différentielle est, elle-aussi, linéaire : toute combinaison linéaire de solutions est aussi une solution.

II. 2. — Nature de la décharge En cherchant des solutions de l'équation différentielle en exp(rr), on trouve l'équation caractéristique du deuxième degré suivante ; O f Os-, r~ H h û>q = 0 fe dont les solutions sont :

88

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

La solution q(t) la plus générale se met donc sous la fonue d'une combinaison linéaire des deux solutions exp(r|t) et expf/^t) (cf. Mécanique) : q{t) = Di expfn t) + D2 exp{r2t) Suivant les valeurs du produit sans dimension : Q = (ooTe appelé facteur de qualité, on distingue trois types d'évolution. a) Oscillateur faiblement amorti (Q> 1/2) Lorsque O > 1/2 , ce qui est le cas le plus fréquent, on a, en introduisant j1 = —\ :

r=

^±>-

où

=6,0 f1 ^ i)

est la pulsation en présence d'amortissement ou pseudo-pulsation. On en déduit :

q(t) = Dexp fj cos((oaî + (j)a)

On détermine les constantes D et à l'aide des conditions initiales sur la charge et sur l'intensité du courant. Supposons qu'à l'instant / = 0 on ait
et

^(0) = Iq = D

sin (f)a — -— cos (f)aj

car q = Dexp [—//(2Te)] [—o)a sin(û>rt/ + ff) — 1/{2Te) cos{a)at + 4>a)]. Il en résulte : fa = ic rad 2

D = —— (On

et

^(r) = — exp COn \

2t„

) sin(w0r)

Remarque : Contrairement à l'exemple mécanique du pendule élastique (cf. Mécanique), ces conditions initiales, q = 0 ei q = f , sont plus difficiles à réaliser que q = qo et ^ = 0 , mais la solution mathématique est un peu plus simple, d'où notre choix. Sur la figure 3.4a, on a représenté le schéma du dispositif électrique : aux bornes du condensateur, on connecte un générateur d'impulsions ; entre deux impulsions, la tension aux bornes du condensateur et donc sa charge varient bien comme le prévoit la théorie précédente (Fig. 3.4b). L'allure de la courbe q{t) est caractéristique d'un mouvement oscillatoire amorti, de pseudo-période Tcl :

On voit que Te est la durée au bout de laquelle l'amplitude de la charge est divisée par e1^2 « 1,5. Comme cette amplitude est pratiquement nulle après quelques valeurs de re, on dit que Te caractérise la durée de vie de ces oscillations amorties et on l'appelle la durée de relaxation en énergie (Fig. 3.4b).

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

89

Q> ^

exp

2r

o

Oscillateur peu amorti

/

l

z/

o t exp - — (Ûa \ 2Te b)

a) FlG. 3.4.

On note aussi que la durée de relaxation de la charge q{î) vaut le double de celle définie ici : Ta = 2Te . La pseudo-sinusoïde est en contact avec les courbes d'équations : et

exp _ f W = r" (\ 2T" (On 2.T.

^2(0 =

^0 ex P (Or

"

2r.:

qui délimitent la zone au sein de laquelle q{t) évolue. Déterminons les instants tc pour lesquels ^ = 0 : sin(^L)

«KG = 7rexP (On \

2tp

2T o

ù)a cos(ù}atc)

=0

d'où : itm(o)atc) = 2ù)aTe

1 nT tc — — arctan(2&>are) H——^ (On 2

et donc

avec

n

entier

Le rapport coa/coq , qui est toujours inférieur à l'unité, est supérieur à 0.97 pour Q > 2 . Pour Q = , ce qui est une valeur typique d'un oscillateur électrique suffisamment amorti, (oa/mq « 0,999 . Lorsque Q est très grand, précisément Q^> 1 /2, on peut utiliser les expressions approchées suivantes : (Or

wo I 1 —

1

et donc

8£L

7^ « Tq ( 1 +

1 8£p

L'expression précédente de tc calculée dans les conditions initiales précédentes se réduit alors à : 1 tt

nTa

Ta

nTa

(oa 2

2

4

2

Remarques : 1) Le choix de Te, plutôt que Ta = 2Te, revient à privilégier le concept d'énergie d'un oscillateur par rapport à celui d'amplitude ; il est fortement suggéré par la définition de la durée de relaxation introduite dans les oscillateurs en physique moderne. 2) Le facteur de qualité d'un oscillateur harmonique est infini. 3) La lecture du nombre umax de maxima d'oscillation, au-dessus d'un certain seuil, permet d'estimer le facteur Q. En effet, considérant un seuil de 5% de l'amplitude maximale, on a, d'après l'expression de q{r) :

eX

P V

ïr~)

= 0 05 =

'

2^

avec

ts = nmmTa +

90

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Il en résulte : 1 t 4

2re, _ In 20 In 20 = ù)aTe Tn TT

=

d'où f7max « 0,95 <2 — 0- 25 , si 0 > 10, ce qui est souvent le cas. i) Décrément logarithmique On caractérise aussi la décroissance de l'amplitude d'un oscillateur électrique amorti par son décrément logarithmique A défini comme suit : 1 a = 1 A In T — n lq{t + nTcl)_

q{t) et q{t + nTa) étant les charges du condensateur à des instants séparés par un nombre entier de périodes. On a ainsi : 1 f D &xp{—t/2Te) cos{coat + \ A = - in < r 7 ^ . n [ D exp[—(ï + nTa) j2Tt\ cos[ù)at + fa, d'où: 2Te Retenons que A est le rapport de la durée de la pseudo-période du mouvement sur la durée de relaxation en amplitude Ta = 2Te . Exemple : la durée de relaxation re d'un oscillateur électrique, de pseudo-péri ode Ta = 1 ms, dont la charge q a une amplitude qui est divisée par quatre au bout de cinq oscillations, est obtenue selon : T 1 re = —A avec A = - In 4 ^ 0.28 d'où ^ 1,8 ras 2A 5 ' ii) Facteur de qualité et perte d'énergie relative On caractérise souvent l'amortissement de l'oscillateur par le facteur de qualité Q . Montrons que Q est relié à la perte d'énergie relative d'un oscillateur très peu amorti. Il vient, pour 1 et donc Ma ~ û>0 : (Lil\ 2

2C

\2ùjï)

( eXP

V

t \ ( T 7/ I

,

/

sin(&)ar)l2

C0S Wn

(

^

2T—

7.7.

s

+ û>0sin

Or, le tenne entre accolades vaut pratiquement co^ . Par conséquent :

|)exp(7)^=-"(0)exp(7) On en déduit la perte d'énergie relative par unité de temps : 1 d£em _ J_ Egfft d t ra ce qui donne, pendant une durée égale à la pseudo-période Ta : -àSem f, 277 — « — = — £em Te Q

et

Q = 2'tt -&£em

Ainsi, le facteur de qualité de l'oscillateur fournit une mesure de l'inverse de sa perte d'énergie relative pendant une durée égale à une pseudo-période.

91

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Ordre de grandeur : le facteur de qualité d'un oscillateur électrique, dont le décrément logarithmique est A = 0,28, vaut Q = tt/A = 11,2. b) Oscillateur très amorti (Q < 1/2) Pour Q < 1/2, la solution de l'équation caractéristique du deuxième degré est : 1/2 r = -^±P

avec

^ =-o (^ - 1

La charge se met donc sous la forme :

q{î) = exp f - — j [Dj exp(/3r) + LL exp(-/3/)]

Avec les mêmes conditions initiales que précédemment, on trouve (Fig. 3.5) : 4W = | exp ^"27 j sinhO) Notons que la décroissance des courbes sans oscillation est d'autant plus lente que /S est grand et donc Q plus petit.

Q < Oscillateur très amorti

Cas critique

FIG. 3.5.

FIG. 3.6.

c) Amortissement critique (Q = 1/2) Lorsque Q = (ooTe = 1/2, l'équation caractéristique du deuxième degré admet une racine double r = — l/(2Te) ; D\ exp[—r/(2Te)] est une première solution de l'équation différentielle. Cependant q{t) = D2t exp[—t/{2Te)] est aussi une solution, puisqu'en injectant cette expression dans le premier membre de l'équation différentielle canonique q q/Te + co^q = 0 , on trouve bien : D2 exp

2r.

1 2t

+

(1"2/

Te l1

lTe

lTe

co;

=0

Il en résulte que q{t), qui est une combinaison linéaire des deux solutions, se met sous la forme suivante, pour £>=1/2 : q(t) = exp (-^7) Pi +^2?) Dans les mêmes conditions initiales que précédemment, on trouve (Fig. 3.6) : q{t) = îq t exp

r 2r.

92

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

L'amortissement est qualifié de critique, car il définit la frontière des deux cas précédents. Dans la pratique, on règle souvent l'amortissement près de sa valeur critique afin que la décharge soit la plus rapide possible. II. 3. — Diagramme de phase Par analogie avec l'espace des phases en mécanique, l'espace des phases ou l'espace des états d'un oscillateur électrique est le plan cartésien {q,q) dans lequel q désigne la charge du condensateur (cf. Mécanique). a) Oscillateur harmonique dans Vespace des phases D'après l'équation de conservation de l'énergie électromagnétique, on a (Fig. 3.7) : '■2 il 2C

Lr

„ „ Sem = Cte

soit

cf

a2 o~

= 1

. /2£, a = {2C 8em)^2 et h — . \ Lj

avec

1/2

Dans l'espace des phases bidimensionnel, le point représentatif de l'oscillateur harmonique décrit donc une trajectoire elliptique. col Amortissement faible /Amortissement critique (parabole) O Amortissement fort If Te FIG. 3.7.

FIG. 3.8.

b) Oscillateur amorti dans l'espace des phases On a vu que, lorsque l'oscillateur était amorti par un résistor, la résolution de l'équation caractéristique du deuxième degré donnait les solutions suivantes : r=

1 2t,

±

1 4T2

1/2 - (O?

On répertorie parfois les différents cas dans le plan cartésien ( l/Te, coq ) (Fig. 3.8) ; comme l/Te et coq sont positifs, seul le premier quadrant convient ; dans ce plan, la courbe donnant û)q en fonction de 1 jTe, à l'amortissement critique, est une parabole puisque : COr, —

1

1

4T^

2T.

Sur l'axe des ordonnées, pour lequel l'amortissement est nul, on retrouve le cas harmonique : r = ±jojo . Les points situés entre l'axe des ordonnées et la parabole correspondent à des oscillateurs faiblement amortis. Ceux qui sont situés au-dessous de la parabole représentent les oscillateurs fortement amortis. Il est instructif de représenter la courbe des points figuratifs dans l'espace des phases {q, q) . C'est une spirale convergente, lorsque l'amortissement est faible (Fig. 3.9a); si l'amortissement est fort, la spirale se réduit à un nœud (Fig. 3.9b), lequel est qualifié de critique pour Q = (OoTe = 1/2 .

93

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Q>

Q< î\

2

b)

a) FlG. 3.9.

III. — OSCILLATIONS ELECTRIQUES FORCEES. RESONANCE La question à laquelle nous nous proposons de répondre maintenant est la suivante : comment se comporte un oscillateur électrique amorti tel qu'un circuit RLC, lorsqu'on applique à ses bornes une tension excitatrice sinusoïdale (Fig. 3.10)? Cette question est essentielle car, à l'aide de l'analyse de Fourier, on peut ramener le cas d'une excitation quelconque à celui d'une somme d'excitations sinusoïdales (cf. annexe 2).

Fig. 3.10.

III. 1. — Source de tension sinusoïdale aux bornes d'un dipôle RLC Maintenons, aux bornes d'un dipôle RLC, la tension sinusoïdale e{t) = emcos{ù)t + fg) (Fig. 3.10). La loi des mailles appliquée au circuit donne, si q(t) désigne la charge de l'armature A du condensateur (cf. chapitre 2) : dï L——h Ri + dt

, s = eit)

avec

. dq i = — dt

Il en résulte que :

soit, en introduisant ol = \/{LC) et Te = L/R

q -\

\- (oï, a = am cos{

+ a>„ )

avec

an, = —

Notons que l'amplitude em de l'excitation peut a priori être constante ou fonction de la pulsation m

94

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

III. 2. — Réponse linéaire En théorie des systèmes, on considère l'oscillateur électrique non excité comme un système qui fait correspondre une réponse ou « sortie » à une excitation ou « entrée » (Fig. 3.11). La question initiale posée peut alors s'exprimer autrement sous la forme suivante : quelle est la réponse du système lorsqu'on le soumet à une excitation sinusoïdale ? Entrée

Sortie

Système

Fig. 3.11. Pour y répondre, on teste d'abord la linéarité du système. On sait que l'oscillateur amorti par frottement résistif est linéaire ; si on le soumet à une combinaison linéaire de deux excitations ou entrées, ei(r) et ^(V), de sorties respectives s\{t) et sjit), le système admet, comme sortie, la même combinaison linéaire des réponses : e(t) = ei{t) + e2(t)

—^

s{t) = s{(t) + S2{t)

Dans ce cas, l'intérêt de l'analyse ne se réduit pas à la seule détermination du mouvement de l'oscillateur sous l'action d'une tension sinusoïdale. L'étude concerne toute la théorie de la réponse linéaire d'un circuit électrique, lorsqu'on le soumet à une excitation quelconque. Cette dernière est décomposée en signaux sinusoïdaux dont on étudie les réponses qu'en donne le système. En recomposant linéairement ces sorties élémentaires, on obtient la réponse à l'excitation initiale. Le système se comporte différemment suivant la valeur de la pulsation to de la vibration excitatrice. Le phénomène d'exaltation de certaines grandeurs, que l'on observe lorsque co = coq, est appelé résonance ; on le retrouve dans plusieurs domaines de la physique. III. 3. — Régime transitoire et régime établi La solution de l'équation différentielle précédente : q + — + (olq = am cos{cot + fe) Te est la somme de deux termes : i) la solution générale de l'équation sans second membre du paragraphe précédent : q(t) = Dexp

cos{oj(lt + (f)a)

ii) une solution particulière de l'équation totale : qm cos(ù)t + 4>q) Entre l'instant initial et une certaine durée, qui dépend de Te , au-delà de laquelle le premier terme est négligeable devant le second, le régime est transitoire : q(r) =£>exp (-jr) cos(o)at + (f)fl) + qmco&{o)t + (})q) Une fois le régime transitoire achevé, on observe le régime établi, caractérisé par l'expression : q(t) = qmcos(o}t + (})q) Dans la suite, nous n'étudierons que le régime établi, réservant à une étude spécifique ultérieure le régime transitoire (cf. chapitre 4).

95

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

III. 4, — Charge du condensateur en régime établi Utilisons la méthode complexe pour détenniner la solution particulière de l'équation différentielle canonique précédente. On sait que cette méthode consiste à associer, à cette dernière, l'équation différentielle suivante à laquelle satisfait la grandeur complexe q = q+jK avec j1 = — \ (cf. Mécanique) :

q + ^ + o}0q = am exp[/(wf + ^)] -Te La solution réelle q{î) s'obtient alors en prenant la partie réelle de q{t) . Cherchons une solution de la forme : q{t) = qm exp[/(*tf + (^)] = q^ z\p{jo)t) où = qm exp(/^) est Vamplitude complexe de la charge. Comme q — —(o2q et q = jojq, il vient :

+j— + (o0J qm = am exp\j{ùjt + ^e)] = ain expijojt) qm = am exp{j(f>e) étant Vamplitude complexe de l'excitation. On en déduit, en introduisant la pulsation réduite x = (ojcùq , qui est aussi la fréquence réduite, et le facteur de qualité Q = ù)QTe : am Qxp{j(f)e)

am exp(j(f)e) -m

{-(o1 + ojD + jù)/re

Qam expijffce)/Wq

( 1 - x2)

jxioUg +

x\j -PQ(\/x- x]

Il en résulte que q{t) = qm cos(W + (jtq) avec : &m — 77 i 2 [{(O- - (O )- +

. / , t \ tâtiycpg — (pe)

7 2 / 2'Ml/ /T ]1/2

OifTe 7 (O2 - co2

ce que nous retiendrons sous la forme : Q aml &>g

et

tan (<£4 — (f)e) =

^[i + e2(^-i/.Y)2]l/2

Q(x- 1 /x)

avec

a,.

III. 5. — Intensité du courant dans le circuit en régime établi Comme l'intensité du courant dans le circuit est donnée par q , écrivons q sous la forme : q = im exp [/(&>/ + 4>fi\ =

expijcot)

où

ini = im exp(/0/)

est l'amplitude complexe de l'intensité du courant, im son amplitude et 0,; sa phase à l'origine. Or, d'après ce qui précède : q{t) = q expijcot)

d'où

q = jcoq expijcot)

En identifiant, on obtient :

im

=JXù)oq,„ =

Qam expijé,,) /oj() x

i +jQ{ - i A)

Qqm!coo 1

+JQ{X - 1 A)

96

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

On en déduit :

im

Qam/ojQ

ù) qm

et

[l + Q^x-l/xf]"2

tanÇ^i - (j)e) = -Q

x— i x

Le courant i(t) — q est ainsi en avance de phase de 7r/2 rad par rapport à la charge q{t) et donc à la tension aux bornes du condensateur ii{t) = qif/C : 7T (f>i '■— q + —

. SOit

(f>i


7T (pç + —

III. 6. — Admittance maximale : résonance a) Impédance électrique du circuit RLC L'impédance du circuit RLC est le rapport de la tension sinusoïdale complexe, imposée par le GBF, sur l'intensité complexe du courant sinusoïdal qui parcourt le circuit :

z =

emcxp(jo)t)

=^L

L exp(/'w?)

z=|Z|eXR/V

où

i

est la différence de phase entre la tension d'excitation et l'intensité du courant. Exprimons l'impédance du circuit, en fonction de R, x = cof ù)q et Q . Il vient

Z—R

j \ Lo) -

\ C(o }

=

R

! iM i+jôU-V x .

avec Q = cooTe = Lcoq/R = {/(CcooR), puisque LCcol = 1 . On en déduit : 1/2 |Z| =R

l + Q2

{x~l)

et

tan (p = Q (x

Sur la figure 3.12, on a représenté l'impédance Z dans le plan complexe dans les deux cas, cp < 0 : R est sa partie réelle et Lto — 1 /{Coj) sa partie imaginaire.

jLio

JLûj

jCa)

Z R b)

a) FlG. 3.12.

1 jCù)

> 0 et

97

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

b) Admittance électrique du circuit RLC L'admittance est l'inverse de l'impédance : 1 F=i = Z R[l+jQ{x-l/x)] On en déduit le module et sa phase, respectivement l'inverse et l'opposée de ceux de l'impédance F = |F| exp(—jjp)

avec

1

|F| =

et

jj2

~V

=

1 arctan Q\

x

R 1 + Q2 {x - 1 /.y) ' c) Résonance Sur la figure 3.13, on a représenté |F| et —(p en fonction de x pour une valeur détenuinée de Q. On voit que, pour x = 1 , c'est-à-dire pour une pulsation de l'excitation égale à la pulsation propre du système, le module de l'admittance passe par un maximum \ Y\max, qui vaut \/R ; l'intensité du courant est alors en phase avec l'excitation. ~
max A

*~x =

X= x, 1 x2

co (oo

co Û)()

— -7r/2

a)

b) FIG. 3.13.

On appelle résonance le phénomène physique d'amplification que l'on constate lorsqu'il y a égalité de la fréquence de la tension excitatrice et de la fréquence propre du circuit oscillant : CO = (Oq

ou

/ = /o

On estime l'importance de la résonance par la finesse du pic représentant le graphe |F(x)|. Pour cela, on calcule les valeurs de x pour lesquelles, conventionnellement : iFl

IFI

ce qui correspond à un rapport des puissances associées égal à 1/2, comme nous le justifierons plus loin. Il en résulte : Q2 (x — -] \ xJ

=1

soit

x— - = — x Q

avec

e = ±1

On doit alors résoudre l'équation du deuxième degré x2 — ex/Q —1=0, dont les racines positives sont : ^, = -— + —K(1 +4e2)1/2 2Q 2Q '

et

y. = -L 2Q

+

-L(i 2QK

+

4e2)J1/2 *

98

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Par conséquent, X2 — x\ — 1/£>■ En posant Awi/2

Q=

<*>0

ou

^ Q=

fo A/i/;

1/2

en fonction de la fréquence. Ainsi, le facteur de qualité Q s'identifie au rapport de la pulsation propre coq sur la largeur spectrale A&q/2 du pic de l'admittance généralisée à la résonance. Lorsque Q est grand, c'est-à-dire Awj/2 faible devant coq , la résonance est qualifiée cVaiguë. Dans des systèmes oscillants électromagnétiques comportant un quartz piézoélectrique, Q peut atteindre des valeurs de l'ordre de 106 (cf. chapitre 14). Au contraire, si Q est faible, la résonance est dite floue. Notons que le module de l'impédance |Z| passe, lui, par un minimum pour oj = ùjq , quelle que soit la résistance R (Fig. 3.14a). A la résonance, l'impédance que présente l'oscillateur au milieu excitateur est minimale et vaut R. Évidemment, la finesse de l'effondrement de l'impédance est la même que celle de l'exaltation de l'admittance. Sur la figure 3.14b, on a représenté la phase cp de l'impédance Z.
X=

X=

co coq

ù) (Oo

a)

b) Fig. 3.14.

Remarques : 1) On aura probablement compris que la notation Awi/2 a été choisie pour rappeler que le rapport des puissances, qui correspond au rapport 1 /-Jl. des admittances, est 1/2. 2) Le choix de privilégier l'admittance et non l'impédance a été motivé par le souci d'une définition de la résonance qui implique l'exaltation d'une grandeur plutôt que son effondrement, conformément à l'idée intuitive que l'on se fait de ce phénomène.

IV. — AMPLITUDE DE L'ENTRÉE INDÉPENDANTE DE LA PULSATION Supposons que l'amplitude de l'excitation, en entrée, soit indépendante de la pulsation m , ce qui est fréquemment réalisé ; c'est le cas d'un dipôle électrique aux bornes duquel un générateur maintient une tension sinusoïdale e{t) dont l'amplitude em est indépendante de oj . IV. 1. — Intensité du courant au voisinage de la résonance a) Amplitude de l'intensité. Résonance d'intensité L'amplitude de l'intensité du courant s'écrit, en fonction de x et Q : Qojjij o)o i + Q2 {x-i/xy avec am = em/L, Te = L/R et Q = o)oTe .

em 1/2

1/2 R i +Q2{x-\/xy

99

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Ainsi pour ^ = 1 , im est maximal et vaut im,max = Cm/R (Fig. 3.15a). Comme l'admittance, l'amplitude de l'intensité du courant passe par un maximum im,max , pour oj = coq , quelle que soit la résistance R et donc 0. Il en résulte qu'un moyen d'analyser le phénomène de résonance est d'étudier la variation de l'intensité du circuit considéré en fonction de la pulsation excitatrice co : on dit qu'il y a résonance d'intensité. Cette variation de l'intensité du courant en fonction de la fréquence peut être mise en évidence à l'aide de l'expérience initiale. Il suffit de considérer la tension Ri{t) aux bornes du résister. On constate bien que l'amplitude de l'intensité du courant est maximale pour co = coq, quelle que soit la résistance. fi — fc = —(p

.//?]-TT / 2

X=

0 Cm/Rl--

f/\\ X—

ù)

to COQ

— TT jl

CÙO b) Fig. 3.15.

La finesse du pic d'intensité est la même que celle de l'admittance :

Q

Ùsù) 1/2

ce qui s'écrit

^\/2 Te = 1

puisque

<2 — ^0^

b) Phase de l'intensité On obtient directement la différence de phase entre l'intensité du courant et la tension excitatrice à partir de (p , puisque : 4>i -fe = -

ojq . Remarques : 1) Du point de vue de la théorie du filtrage spectral d'une excitation par un système, on peut dire que le circuit se comporte comme un filtre passe-bande, puisqu'il transmet l'excitation avec une efficacité maximale, lorsque celle-ci a une pulsation égale à sa pulsation propre (cf. chapitre 6). 2) La condition = 0 permet de déterminer expérimentalement la fréquence de résonance, avec une meilleure précision qu'en recherchant le maximum de l'admittance. En effet, en mode Lissajous sur un oscilloscope, la tension aux bornes de la résistance, qui est proportionnelle à l'intensité du courant, et la tension aux bornes du GBF donnent une ellipse qui se réduit à un segment de droite à la résonance. Sur le plan pratique, il faut noter la contrainte sur la masse, car cette dernière doit être évidemment commune afin d'éviter de court-circuiter le GBF (Fig. 3.16a).

100

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance Voie X>\

Voie X —nwmL

c

e{t) R

Voie Y

Voie Y

7777

7777 a) Fig. 3.16.

IV. 2. — Tension aux bornes du condensateur et charge au voisinage de la résonance a) Amplitude de la tension et charge La charge du condensateur étant directement reliée à la tension à ses bornes par q[t) = Cuc{t), il suffit d'étudier l'évolution de l'une des deux grandeurs, par exemple la tension lorsqu'on veut visualiser le phénomène sur l'écran d'un oscilloscope (Fig. 3.16b). L'amplitude réelle qm de la charge du condensateur, s'écrit, en fonction de v et Q : q.

QOinj o:

i //>

x [1 + Q2{x - l/x)1]111

soit

q,n —

CQe,,

. [x1 + Q^x2 - 1)2]1/2

puisque am = em/L et LCwq = 1 . Pour analyser la variation de qm , étudions la fonction suivante qui a la signification d'un facteur de transmission : m =

1

[jr2 + Ô2U2- i)2]'/2

Il vient, en dérivant : df 1 +2Q2 (.y2 — 1 ) ^ = ^[,2 + 62(,2_1)2]3/2

• . , ce qm s annule pour

A

,v = 0

e,

.=

t, ' = (^1 - —

1/2

Ainsi, l'amplitude réelle de la tension uc,m = qc,mlC vaut em lorsque x = 0, Qem si x = 1 et s'annule pour x infini. Deux cas se présentent : i)Si Q < l/\/2 ^ 0,7, ce qui arrive rarement, l'amplitude de uc,m est maximale pour x = 0, puis décroît lorsque x augmente. Pour x = 1 , uc,m = Qcm < em . ii) Si Q > 1/V2, ce qui est souvent le cas, ucym passe par un maximum pour x = xm < 1, c'est-à-dire pour une pulsation û)m inférieure à la pulsation amortie û)a et donc à la pulsation propre coq , puisque : 1/2 1/2 1 1 com < (oa < coq avec iûm = f 1 — et û)a = coq { 1 — 2Q2 J ^ 4Q2 Notons que xm « 1 lorsque Q /§> 1 (Fig. 3.17a). Précisément, pour Q = 5 on a o)m/o)Q = 0,99 . On met en évidence expérimentalement ce maximum à l'aide du montage de la figure 3.16b : en faisant varier la pulsation du générateur électrique, on observe aisément, pour une résistance faible, une forte augmentation de la valeur maximale uc,m de la tension aux bornes du condensateur. V A la résonance ( tu = fo»o ), la tension précédente vaut Q em , précisément Q fois la valeur de em , d'où le nom de facteur de surtension souvent donné à Q .

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

101

Soulignons que, contrairement à l'admittance et à l'amplitude de l'intensité du courant, l'amplitude de la charge qm ne passe par un maximum que si £) > 1/^2, et qu'en outre ce maximum, lorsqu'il existe, ne se produit pas rigoureusement pour co = ojq . C'est pour cette raison que nous avons évité de parler de résonance à propos de la charge ou de la tension aux bornes du condensateur. Remarques : 1) Évidemment, dans le cas limite où il n'y a pas de résistance, l'amplitude Mc> de la tension devient infinie pour co = mq . 2) La forte surtension précédente n'est pas incompatible avec la nature passive du dipôle RLC, car cette amplification, supérieure à l'unité, concerne la tension et non la puissance. ne, m

' fit, — fie = cp - rrjl

Qe* 1 |

co wo

- K/2'

4v "-^ôi1 J

^. r-— Û>0

JT TT-

a)

b) Fig. 3.17.

b) Phase de la charge ou de la tension Concernant la différence de phase — 4>e , entre la tension aux bornes du condensateur et l'intensité du courant dans le circuit, on l'obtient immédiatement en retranchant 7r/2 rad à la différence de phase du — (f)e : - d>e = - f

^

Cette différence de phase varie donc entre 0 et —tt rad, lorsque x passe de 0 à l'infini. Ainsi la tension et la charge du condensateur sont toujours en retard sur l'excitateur, et ce retard vaut tt/I rad à la résonance (Fig. 3.17b). Lorsque la résistance est nulle, le maximum est infini et se produit pour a) = (Oq \ la phase vaut alors 0 si tu < wq et — rad si co > ojq . Remarques : 1) Ici aussi, du point de vue de la théorie du filtrage spectral d'une excitation par un système, le circuit RLC se présente comme un filtre passe-bande (cf. chapitre 6). Cependant, pour la tension, le filtrage peut être moins efficace si la résistance est trop grande. Par exemple, Q < \/s/ï, il n'y a pas de maximum dans le voisinage de la pulsation propre ; c'est alors un filtre passe-bas. 2) On pourrait s'intéresser aussi à la tension aux bornes de la bobine, mais l'analyse reste formelle, car la résistance de la bobine n'est pas négligeable. Théoriquement, cette tension s'écrit : X Ml,m

jLML =JQer.

i +7Ô0-1 A)

On voit qu'elle est en avance de phase de 7r/2 rad par rapport à l'intensité ; en outre, l'allure du graphe de son module, en fonction de x, ressemble à celle de la tension «c.m > mais les comportements aux faibles et aux fortes pulsations sont permutés.

102

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

IV. 3. — Analyse énergétique a) Puissance électrique reçue par le circuit A chaque instant, la puissance électrique V[î) reçue par le circuit oscillant, de la part du générateur, par l'intermédiaire du terme em cos{cot + ff), a pour expression (cf. chapitre 2) : V{t) = e(t)i{t) = em cos(cot +


+ f f) + cos cp\

puisque im = emj\Z\. La puissance varie donc sinusoïdalement avec le temps autour de la valeur moyenne V suivante : V = —r^r COS (p = R-y^ = R — 2\Z\ * 2|Z|2 2 d'après la relation coscp = R/\Z\, ce que l'on établit aisément à l'aide de la représentation de Fresnel de l'impédance (Fig. 3.12). En remplaçant im par son expression, on trouve : 1 2R 1 + Q2ix - 1 /x)2 Cette puissance moyenne reçue par l'oscillateur sert à compenser la variation de la puissance du circuit, en raison de l'effet Joule ; en effet, en moyenne, cette variation a pour expression : =

Ri~ ~~Y

Puiscllie

= -^2W = -R%v COS2(wt + fi)

Elle s'écrit aussi, en introduisant l'intensité efficace Ief = im(\/2 (cf. chapitre 2) : vj= h) Variation de la puissance électrique reçue par l'oscillateur en fonction de la pulsation Étudions, en fonction de x: = co/coq = f/fo- pulsation ou fréquence réduites, l'expression de la puissance moyenne V transférée au circuit oscillant par la tension excitatrice. Cette puissance s'annule pour les valeurs extrêmes de x et passe par un maximum lorsque x = 1 (Fig. 3.18a) :

1 + <22 (x - 1/x)'

avec

Vmnr =

Si l'on représente cette puissance moyenne en fonction, non de x, mais de V = Igx, on obtient une courbe symétrique (Fig. 3.18b) d'équation :

i+Q2 [10A' - 10(-A)] On voit que le transfert de la puissance moyenne de l'excitateur vers l'oscillateur est maximal à la résonance. Du point de vue énergétique, la résonance est définie, dans ce cas, par le transfert maximal d'énergie moyenne entre l'excitateur et l'oscillateur. La largeur spectrale du pic de résonance en énergie s'obtient directement à partir de celle de l'intensité ; rappelons que cette largeur, définie par les pulsations pour lesquelles cette puissance est égale à la moitié, est telle que : Aco 1/2 1 — = — Q

ce qui s'écrit aussi

Aù)\/2 Te = 1

103

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

v/v

V/Vn

x— —

X — Irab)

a) FIG. 3.18.

Remarque : Pour observer, avec le montage initial de la figure 3.16a, le pic de puissance transférée en moyenne à l'oscillateur, une méthode consiste à multiplier le signal d'excitation par le signal aux bornes de la résistance, à l'aide d'un multiplieur, et à filtrer le produit en ne laissant passer que le terme stationnaire, lequel est proportionnel à V .

IV. 4, — Applications a) Réception d'un signal radio La surtension observée aux bornes d'un condensateur est utilisée dans la réception des signaux électromagnétiques des postes radio, afin de sélectionner la fréquence d'une onde porteuse déterminée (cf. chapitre 16). Le circuit se présente comme sur la figure 3.19a : la tension excitatrice est celle induite par une antenne, laquelle est représentée par e{t) dans le circuit équivalent de la figure 3.19b. Antenne

► "r ■O <3L

iL

C

Radio récepteur

Radio récepteur

_ HP

a)

e(t)

b) FIG. 3.19.

À la résonance, lorsqu'il y a égalité des fréquences ou syntonie, la tension aux bornes du condensateur, qui est connecté à l'entrée du radio-récepteur, a une amplitude sensiblement égale à Q fois la tension induite par l'antenne. En modifiant l'un des paramètres du circuit oscillant, par exemple l'inductance, à l'aide d'un noyau de fer doux que l'on introduit dans l'enroulement cylindrique (cf. Électromagnétisme), ou la capacité, en faisant varier la surface de ses anuatures, on sélectionne la fréquence de la porteuse choisie. b) Circuit bouchon résonnant Un simple diviseur de tension constitué d'un résister, de résistance Ri , et d'un ensemble RLC placé en série, permet de réaliser le blocage de l'une des fréquences que contient le signal d'entrée non sinusoïdal (Fig. 3.20). Pour l'une des composantes sinusoïdales e{t) du signal d'entrée, la tension

104

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

sinusoïdale de sortie us{t), aux bornes du circuit résonnant RLC, a pour expression : uAt) = eit) -çW Z + /?! -w

avec

Z = R + j (Lco — —— j ^ V COJ)

En choisissant les valeurs L et C telles que la pulsation co\ soit pulsation propre du circuit, on obtient, puisqu'alors LCù)\ = 1 : ^ = r-ÎR^ Ainsi, pour i?i = 990 O et /? = 10 H, la tension u^it) ne représente que 1% du signal d'entrée. En revanche, les autres fréquences seront transmises, pratiquement sans altération, pourvu que le facteur de qualité Q soit suffisamment élevé.

Ri L e{t) R hc FIG. 3.20.

y, _ CIRCUIT RESONNANT PARALLELE Le circuit résonnant parallèle RLC est formé d'un ensemble bobine-résistor (inductance L et résistance totale R ), en parallèle avec un condensateur de capacité C. Le générateur impose à ses bornes la tension d'excitation, comme le montre la figure 3.21a : le résistor auxiliaire, de résistance Ra , pennet de maîtriser l'intensité i du courant que débite le générateur.

l n

&R-

L M Ra

C R

a)

b FIG. 3.21.

V. 1. — Équation différentielle du circuit Désignons par q l'intensité du courant dans la branche comportant le condensateur et par i celle où est connecté le générateur; l'intensité du courant qui traverse la bobine est donc i — q . Il vient, en

105

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

appliquant la loi des mailles au circuit RLC (cf. chapitre 2) : ÎL=R{i^U)+LiJ^fl C df

SO*

L^+Rh +

at

îi=Ri C

+

Lf dr

Comme q = dgj/d?, on trouve, en introduisant Te = L/R et ù)q = 1/(LC) : q\ H

q\ Te

9 di i h û>o
./ % . / . , i{t) = im cos(wr + (pi)

L'équation différentielle à laquelle satisfait la charge q\ du condensateur est donc de la même forme que dans un circuit résonnant série ; seule l'excitation fait apparaître une somme de deux termes directement reliés à i. La solution établie qui s'impose, du fait du terme d'amortissement, s'obtient alors en injectant une solution de la forme : (0 = qi,m exp./(W + (pq)

dans l'équation

§, + — +

^ = T7 + —

V. 2. — Impédance du circuit résonnant parallèle Calculons l'impédance qu'offre le circuit résonnant parallèle RLC au générateur. Elle s'obtient aisément selon : Z = —1 - 2 Zj d Z2

avec

Z] = -7—

et

Z? = i? + jLo

d'où; R -LjLù)

^

1

1 — LCù) + JRCùj

] +jQx 1 — a;2 + jxj Q

en fonction de R, x = (o/ojç) ti Q = Loy^/R = 1 /[RCcoif). On en déduit le carré du module de Z : 2 |Z|2 = R

1 + <22*2 (1 -a2)2-KY2/<22

Cherchons les maxima ou minima de [Z|2 , lorsque la fréquence réduite x varie. Il vient : d|Z|2

=

....2K1 -X2)2 +x2/g2]62 - (1 + gV)(l/e2 - 2(1 — x2)

=

[(1-x2)2+x2/Ô2]2

dx d'où, en effectuant :

Q2{1 - 2x2 + x4) + x2 ~ ^ - x2 H- 2 + 2ô2x2 - 2x2 - 2C2x4 = -Q2xA - 2x2 + 2 + g2 - ^2 = 0 On doit donc résoudre l'équation du deuxième degré suivante en x2 :

a4+

^"i"Iï+^-0

dont les solutions sont : 2 x =^±l^+1

J_

ë2 "ë4

ô2

±

V1

+

Comme x2 ^ 1 , ces dernières n'existent que si :

soit

e4+2e2-i^o

ô2

106

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

ce qui implique Ô2 =£ ôi

,2 - ^2 Q'^Qi

ou

Q'I et £>2 étant les deux racines en Q2 de l'équation du deuxième degré précédente. La seule solution acceptable étant = ~1 + x/S, la condition pour laquelle l'impédance passe par un minimum ou un maximum est : Q2 ^\/2-~î En général Q2 vient :

Q2 2> 0,64

soit

1 ; aussi développe-t-on (1 + l/Q2)" — 1 + nx

2

1

2

1

(\ V

2

Ô

1 +

n(n — \)x2/2 avec n — 1/2. Il

1

M -1 2g4/ —

2

<2

204

Comme le module |Z| de l'impédance varie entre et 0, lorsque la fréquence passe progressivement de 0 à oo, l'extrémum est un maximum, qui se produit pour :

M - fi! x— — ^ «o v

1

r 2e4

Pour x œ 1, l'expression de l'impédance se réduit à : l jQ iO o Z^R—^^R^- = Q2R j/Q J/Q

n \Zmax\^Q1R

d'où

Sur la figure 3.21b, on a représenté la variation du module de l'impédance, en fonction de x, pour 0 = 20 : 1 + Q1x1

|Z| = R Notons que, pour ^ = 1 et g2

11/2

1 -x2)2^xllQ2_

1 :

Z] — ——— — ——— — —-jlaiQ jCù) jCùJQ

et

Z?

=

R ri- jhco — R ri~ JLojq ~ JLojq

Les deux impédances Z\ et Zj sont donc en opposition de phase. Il en résulte que les intensités q et *2 des courants dans les branches le sont aussi ; |Z| devient alors très grand. Ordre de grandeur : pour /?=10n, C=1|jlF et L = 40 mH , on trouve :

Wo

= 5 000 rad ■ s"1

=

/o = 796 Hz

\ LC )

g = ^2 = 20 R

et

|Z(mr| = 4 kO

V. 3. — Circuit bouchon. Antirésonance Lorsque l'excitation est constituée d'un générateur de tension, qui maintient à ses bornes une f.e.m sinusoïdale, de la forme e{t) = emcos{û)t + fie), l'intensité /(/) du courant débité par le générateur, que l'on mesure à l'aide de la tension aux bornes de Ra , passe par un minimum pour co « coq .

107

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Aussi un tel circuit est-il appelé circuit bouchon ou circuit antirésonnant. L'amplitude im de l'intensité de ce courant minimal vaut alors : - Q2R

+ Rii

Ordre de grandeur : pour em = 5Y, \Zmat\ = Q2R = 8 kfl et Ra = 100 H,

vaut 0, 62 mA.

V. 4. — Excitation par une source de courant On peut exciter le circuit par une source de courant, laquelle fournit un courant d'intensité déterminée i{t) — im cos(wr + 4>i) . On réalise aisément une telle source de courant à l'aide d'un amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8). L'amplitude um de la tension aux bornes du condensateur du circuit parallèle, qui vaut Zim , passe alors par un maximum um>max , lorsque l'impédance offerte par le circuit est maximale, c'est-à-dire pour ruo . Ordre de grandeur : pour im = 1,5 mA et \Zmax\ = 8 kfi , ununax = Zim = 12 V .

CONCLUSION Énumérons les points essentiels. 1) Lors de la décharge d'un condensateur dans une bobine, l'intensité du courant, la tension aux bornes du condensateur et sa charge oscillent avec une pulsation <wo qui ne dépend que des caractéristiques de l'oscillateur, la capacité du condensateur et l'inductance de la bobine : a,0 = (LC)-''2

fa =

et

r„ = l^LC)1/2

2) Le caractère partiellement ohmique des composants est à l'origine de l'amortissement de l'amplitude des oscillations, selon une décroissance exponentielle, et modifie la valeur de la pulsation : on peut caractériser cet amortissement soit par la durée de relaxation en énergie re , soit par le décrément logarithmique A, soit par le facteur de qualité Q : avec

co,

4^

et

O — coqt e —

3) L'équation linéaire : q -\

\- co^q — 0 fe

caractérise la variation de la charge d'un condensateur dans un circuit électrique RLC série, en régime quasi stationnaire ; elle détermine l'évolution temporelle de la tension uc{t) aux bornes du condensateur, puisque q = Clic ■ En raison de la linéarité, ces oscillateurs satisfont à des équations simples et leur évolution est prévisible. 4) Lorsqu'une tension sinusoïdale est appliquée aux bornes du circuit RLC, la charge satisfait à l'équation d'évolution suivante : Cj -j- — + COq Cl = ùm COS^COt Te

(ffe)

L'excitation impose sa fréquence en raison de la dissipation par effet Joule dans les conducteurs ohmiques. Pour déterminer l'amplitude et la phase de l'oscillateur, il suffit de chercher une solution particulière de cette équation, sinusoïdale et de même pulsation que celle de l'excitation. 5) Lorsque la pulsation de l'excitateur est égale à celle de l'oscillateur, on constate que le module de l'admittance est maximal, ou que le module de l'impédance complexe est minimal. C'est la résonance.

108

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Pour une amplitude de l'excitation indépendante de la pulsation, on observe, à la résonance : i) un maximum de l'amplitude de l'intensité du courant, ii) une puissance moyenne transférée de l'excitateur vers le circuit qui, elle aussi, est maximale, iii) une amplitude de la charge du condensateur proche de sa valeur maximale, laquelle n'existe que pour des systèmes peu amortis ( <2 > 1 / v^) • 6) Avec un circuit résonnant parallèle, les résultats sont inversés. Enfin, la résonance en électricité peut être un avantage, lorsqu'on veut augmenter la sensibilité d'un circuit, comme lors de la réception de signaux hertziens ; le circuit se comporte alors comme un filtre passe-bande (cf. chapitre 6).

EXERCICES ET PROBLÈMES

P3-1. Diagrammes de l'impédance et de l'admittance d'un circuit RLC Un générateur maintient, aux bornes d'un circuit série RLC, une tension sinusoïdale, de pulsation o). Ses caractéristiques sont les suivantes :R= 100 fi, L = 25 mH et C = 33 nF. 1. Déterminer la fréquence propre de ce circuit, la durée de relaxation en énergie Te, le facteur de qualité et la fréquence des oscillations amorties. 2. a) Rappeler l'expression de l'impédance Z du circuit. Calculer le module de Z ainsi que son argument ç pour une fréquence de 5 kHz. b) Représenter géométriquement Z , dans le plan complexe. Quelle est la courbe décrite par l'extrémité I du vecteur OI, associé à l'impédance complexe Z, lorsque co varie de 0 à l'infini ? 3. a) Rappeler l'expression de l'admittance Y du circuit. Calculer son module, ainsi que son argument, pour une fréquence de 5 kHz. b) Représenter géométriquement Y dans le plan complexe. Quelle est la courbe décrite par l'extrémité A du vecteur OA , associé à l'admittance complexe F, lorsque m varie de 0 à l'infini?

P3- 2. Modèles série et parallèle d'une bobine On schématise une bobine d'induction par les deux modèles représentés sur la figure 3.22. 1. Donner les expressions de l'admittance de la bobine dans les deux modèles. En déduire, en régime sinusoïdal, de pulsation w , la relation donnant /?' et L' en fonction de R, L et co . 2. Que deviennent ces expressions si Lù)jR 1 ? Sachant que R = 5 Ll, L = 25 mH, calculer R' et L' pour les deux valeurs suivantes de la fréquence : / = 100 Hz et / = 10 kHz . Commenter.

L

R

R' FIG. 3.22.

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

109

P3- 3. Facteur de qualité d'une bobine en forme de solénoïde Une bobine est constituée de 500 spires, en fil de cuivre enroulé autour d'un mandrin cylindrique, de rayon r = 3 cm et de longueur / = 10 cm. Le champ magnétique qu'elle produit, en son intérieur, est celui d'un solénoïde infini. On donne le diamètre du fil et on rappelle la conductivité du cuivre, respectivement : D = 1 mm et y = 5,8 x 107 S • m-1 . 1. Calculer l'inductance L et la résistance R de la bobine. 2. La bobine forme avec un condensateur, de capacité C = 0, 5 jjlF , un circuit oscillant. Quel est le facteur de qualité du circuit ?

P3- 4, Décharge d'un condensateur à travers une bobine Sur la figure 3.23, le condensateur, de capacité C = 0,3 /xF, est d'abord chargé à travers un résistor (résistance /? = 8 fî ) par une source de tension stationnaire. 11 se décharge ensuite dans une bobine, d'inductance L = 50 mH et de résistance r = 5 ù. 1. L'interrupteur est en position 1 a) Établir l'équation différentielle à laquelle satisfait la tension u{t) aux bornes du condensateur. En déduire la loi d'évolution u{t) et calculer la constante de temps r du circuit. b) Représenter graphiquement uit) avec soin. Au bout de quelle durée la charge du condensateur diffère-t-elle de sa charge limite de 0,01% ? 2. L'interrupteur est en position 2 a) La charge du condensateur étant considérée comme achevée, on bascule l'interrupteur dans la position 2. Établir l'équation différentielle à laquelle satisfait la tension u{t). En déduire les caractéristiques de cet oscillateur, c'est-à-dire la fréquence propre /o et la durée de relaxation en énergie re. b) Quel est le régime de la décharge du condensateur dans la bobine ? Exprimer u{t), sachant qu'en début de décharge la tension vaut Uq . Calculer la valeur de la pseudo-fréquence f, du phénomène. c) Au bout de quelle durée l'amplitude des oscillations est-elle divisée par 10 ? Comparer cette durée à la pseudo-période Ta . —[ L

r

FIG. 3.23.

P3- 5. Résonance d'intensité Un condensateur (capacité C = 0,22 pJF) et une bobine (inductance L = 150 mH et résistance r = 15 fi) sont connectés en série aux bornes d'un générateur, de force électromotrice e{t) = E\/2cos{ù)t) avec £ = 2 V et d'impédance interne négligeable.

110

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

1. Donner, en la justifiant, l'expression de l'intensité du courant, en régime sinusoïdal établi. En déduire l'intensité efficace /, en fonction de E, L, r C et û) . Tracer l'allure du graphe /(&>) et déterminer la valeur maximale Imax de / lorsque la fréquence varie, ainsi que la fréquence correspondante. 2. Exprimer la tangente de l'angle du retard de la phase ç de i(î) par rapport à e[î), en fonction de L, r, C et . Calculer cp pour les valeurs suivantes de la pulsation : Ù) = (ÛQ

I -

1 \ 20/

et

CÛ2 — fc>0 ( 1 + 4

P3- 6. Q-mètre ''"5© Le ^-mètre est un appareil qui pennet de mesurer le facteur de qualité Q d'une bobine, d'inductance L et de résistance R. Il est constitué d'un générateur sinusoïdal, dont la haute fréquence / est connue, d'un condensateur dont la capacité C est variable et d'un voltmètre d'impédance infinie connecté aux bornes du condensateur (Fig. 3.24). Les pertes du condensateur sont négligeables. 1. On place la bobine entre les bornes A et S, et on ajuste la capacité pour obtenir la valeur maximale de la tension efficace U, aux bornes du condensateur, lue sur le voltmètre. On constate que ce maximum varie beaucoup, lorsque l'on fait varier légèrement C. Calculer l'inductance, sachant que / = 20 MHz et C = 76 pF. 2. En modifiant la valeur de la capacité C de 2 pF, on constate que la tension U est réduite au cinquième de sa valeur maximale ; en déduire la valeur de R ainsi que celle de Q .

q
-/vlFIG. 3.24.

P3- 7. Condensateur de syntonisation Dans un récepteur audio, la sélection de l'onde porteuse sinusoïdale (cf. chapitre 16) est réalisée à l'aide d'un circuit résonnant série, dans lequel la capacité C du condensateur peut varier entre les valeurs extrêmes suivantes : Cm = 25 pF et Cm = 400 pF. L'inductance de la bobine vaut L = 20 mH et sa résistance est r = 20 . L Calculer la bande spectrale sur laquelle le circuit peut être accordé. 2. Quelles sont les valeurs extrêmes du facteur de qualité du circuit ? Sachant que l'amplitude de la tension induite par l'antenne dans le circuit est de 0,2 mV , trouver les valeurs extrêmes des tensions aux bornes du condensateur, lorsque le circuit est accordé.

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

P3- 8. Premier étage d'un récepteur audio

111

i web

Le premier étage d'un récepteur audio peut être schématisé par la figure 3.25. La f.e.m e[t) de la source de tension variable est produite par l'antenne du récepteur qui reçoit les signaux hertziens. La bobine a une inductance L = 3 mH , la résistance vaut i? = 50 fl et la capacité du condensateur C = 330 pF. 1. Déterminer la fréquence fm pour laquelle le module du facteur d'amplification en tension Au{f) du circuit, rapport de la tension aux bornes du condensateur sur la f.e.m, est maximal.

de

2. Dans quel intervalle spectral Au est-il supérieur à Aiumaxl V2, An^nax étant la valeur maximale ?

3. Aux bornes du condensateur, on mesure une tension efficace de 4,2 mV pour le signal sinusoïdal capté, de fréquence fm . Quelle est la valeur efficace de la tension de ce dernier ? Antenne ♦ r

7777 FlG. 3.25.

P3- 9. Numérisation de signaux hertziens

wet)

-

Un système reçoit un signal d'entrée e{t) et fournit à sa sortie un signal .ç(/) satisfaisant à l'équation différentielle suivante : s(î) +

+ colsf) = o)le(t) Te

Un convertisseur analogique-numérique (CAN) effectue ensuite le codage suivant (cf. chapitre 19) : si e{t) < E, avec £" = 2 V, pendant la durée T, le caractère 0 est transmis, alors que si e{t) > E, pendant la même durée, c'est le caractère 1 qui l'est. L Après une longue suite de caractères 0, apparaît le caractère 1. Sachant que le régime est apériodique critique, quelle est la valeur de re, sachant que fo = (Oo/(27r) = 5 kHz ? Calculer l'écart relatif [E — s{t)]/E au bout d'une durée de 150|jls. 2. Comment s'effectuerait le passage d'une longue suite de caractères 1 au caractère 0 ? Calculer le rapport s{f)/E au bout d'une durée de 150 |xs.

P3-10. Mesure de l'inductance d'un circuit RLC parallèle On se propose de mesurer l'inductance L d'une bobine, de résistance négligeable, en réalisant un circuit REC parallèle (Fig. 3.26) avec un condensateur de capacité C variable et un résister de résistance R = 1 kO. Le générateur impose aux bornes du circuit une tension sinusoïdale e{t) = emcos{ù)t) , de fréquence / = 1,2 kHz et d'amplitude em = 5 V. On constate que l'intensité du courant débité par le générateur est la même pour les deux valeurs suivantes de la capacité : Ci = 0,28 {jlF et Ci = 0,72 p,F.

112

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

1. Calculer l'inductance de la bobine. 2. Quelles sont les intensités efficaces î\ et h ainsi que les phases associées aux intensités des courants i\{f) et iif) correspondant aux deux valeurs de C ? 3. Pour quelle valeur Cm de C l'intensité du courant est-elle minimale ? En déduire la valeur de cette dernière.

FIG. 3.26. P3-11. Circuit bouchon dans un récepteur audio L'inductance d'une bobine, dans un circuit résonnant parallèle accordé d'un récepteur audio, vaut L = 45 pJH , alors que sa résistance est R = 250 fi . Le condensateur en parallèle avec la bobine a une capacité C = 220 pF. 1. Pour quelle valeur f. en MHz de la fréquence de l'onde reçue, l'impédance du circuit est-elle uniquement résistive ? Comparer cette valeur à la fréquence propre /o du circuit et à la fréquence fm pour laquelle l'impédance est maximale. 2. Calculer l'impédance Z à cette fréquence fr. Comparer |Z| à \Zmax\ et à |Z(/o)|. P3-12. Comportement électrique d'un quartz piézoélectrique -5?^ Du point de vue électrique, on peut représenter un cristal de quartz par un circuit électrique parallèle, dont l'une des deux branches contient un condensateur de capacité C\ = 0,5 pF et l'autre un second condensateur, de capacité C2 = 10 pF en série avec une bobine non résistive de forte inductance L = 50 H (Fig. 3.27). Le système est excité par une tension sinusoïdale, de fréquence /, aux bornes des deux branches. 1. En étudiant la variation du module de l'impédance qu'offre le circuit à l'excitation sinusoïdale, montrer que le circuit se comporte comme un circuit résonnant pour une certaine fréquence f\ et comme un circuit antirésonnant pour une seconde fréquence fi. Calculer f\ et fi. 2. On désigne par F et Z l'admittance et l'impédance du quartz. Calculer d |F|/d/ autour de / = 0 et de / =/2. De la même façon, calculer d |Z|/ d/ dans le voisinage de f =f\ . Commenter.

C,

Y Fig. 3.27.

Régimes transitoires

La mise sous tension d'un circuit alimenté par des sources électriques stationnaires provoque l'apparition de courants et de tensions aux bornes des différents dipôles. Evidemment, l'établissement du régime stationnaire n'est pas instantané, mais précédé d'un régime transitoire que nous nous proposons d'analyser en appliquant les lois de base des régimes quasi stationnaires (cf. chapitre 2). De même, lorsqu'on alimente un circuit en régime sinusoïdal, un régime transitoire précède le régime établi. Nous nous proposons dans ce chapitre d'analyser en détail ces régimes transitoires.

I. — ETUDE EXPERIMENTALE 1.1. — Réponse d'un circuit RC à une excitation sinusoïdale Considérons un circuit constitué d'un résistor et d'un condensateur en série, alimenté par une source de tension sinusoïdale, de force électromotrice ue{t) = cos(fur) (Fig. 4.1). Initialement, l'interrupteur iC est ouvert et le condensateur déchargé. En pratique, on utilise le bouton poussoir Ki, qui permet de court-circuiter les armatures du condensateur, pour le décharger.

Ue

uc

Fig. 4.1. La figure 4.2a montre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur, après la fermeture de Ah . On observe que le régime sinusoïdal s'établit, après une certaine durée de transition T0f,. iie>m

Expérimentalement, on constate que la durée du régime transitoire est indépendante de l'amplitude et de la fréquence / = co/ilTr) de la source (Fig. 4.2b).

En revanche, elle dépend des valeurs /? et C des composants. Analysons les dimensions de ces grandeurs afin d'en extraire une durée caractéristique r. Puisque u est une tension, Cu2 possède la dimension d'une énergie (cf. Electromagnétisme) et ir jR celle d'une puissance, le rapport de ces deux quantités est homogène à une durée : Cu2 = RC = t u2 jR

114

4. Régimes Transitoires

Dans le cas concret considéré, où R = 5 kD et C = 0,2 [xF, on obtient par le calcul r = 1 ms. Cette durée est du même ordre de grandeur que la valeur ^ 3 ms observée expérimentalement pour le régime transitoire, même si elle en est sensiblement différente. MCO) «c(r)T Régime transitoire -H Régime établi

ms

A/VWAAAAAA «C(0

"c(t)

3 ms ■à)

b) FIG. 4.2.

1.2, — Régime forcé et régime libre Lorsqu'un système évolue en présence de sources extérieures d'énergie électrique, il est dit forcé alors qu'en l'absence de ces sources, on le qualifie de libre. Selon que les sources délivrent des tensions ou des courants respectivement stationnaires ou variables dans le temps, le régime forcé est stationnaire ou variable. Ainsi, le circuit de la figure 4.1 fonctionne en régime sinusoïdal forcé dès la fermeture de l'interrupteur K\ . En revanche, à l'ouverture de K\ , son régime est libre. Les phénomènes dissipatifs dus à l'effet Joule provoquent une diminution de l'énergie du circuit. Il en résulte que, en l'absence de source interne d'énergie, c'est-à-dire de composants actifs, tels qu'un transistor polarisé (cf. chapitre 7), un amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8) ou un dipôle à résistance négative par exemple, les tensions et courants s'amortissent au cours du temps.

1.3. — Régime établi et régime transitoire a) Régime établi En régime forcé stationnaire, le régime est qualifié d'établi si l'on n'observe aucune évolution des grandeurs électriques. En régime forcé variable et périodique, le régime est établi lorsque que l'évolution des grandeurs électriques est devenue périodique. Ainsi, le circuit de la figure 4.1 atteint le régime établi au bout de la durée r,,/, 3 ms . Remarque : Le régime établi est parfois appelé régime permanent, expression ambiguë, notamment en régime forcé variable, puisqu'elle suggère que les grandeurs n'évoluent pas au cours du temps.

115

Régimes transitoires

b) Régime transitoire Le régime transitoire est le régime qui précède le régime établi. Notons que le régime transitoire correspond à l'effacement progressif des conditions initiales, c'est-à-dire à la disparition de l'influence du passé du système sur son évolution. Signalons que sa durée est déterminée par la précision recherchée. Sur l'exemple précédent, le régime établi est atteint à environ 5% près au bout de 3 ms ; la précision est de 1% après une durée d'environ 5 ms. 1.4. — Circuits linéaires dans l'ARQS Considérons le cas fréquent où le circuit est constitué d'éléments linéaires. En outre, plaçons-nous dans l'approximation des régimes quasi stationnaires, ce qui permet de négliger les phénomènes de propagation (cf. Electromagnétisme) et donc d'admettre que l'intensité du courant électrique dans le circuit est, à tout instant, identique en tout point d'une même branche du circuit (cf. chapitre 2). a) Dipôles linéaires Rappelons qu'un dipôle est linéaire si la tension à ses bornes et l'intensité du courant électrique qui le traverse sont liés par une relation linéaire (cf. chapitre 1). Exemples : i) dipôle purement résistif, uab = R i ii) dipôle purement capacitif, Uab = Qa/C

ou

* = C d Uab / d t

iii) dipôle purement inductif, uab = Lài/ dt La courbe caractéristique d'un dipôle purement résistif est une droite qui passe par l'origine du repère. Pour les dipôles purement capacitifs ou inductifs, la caractéristique dépend des variations temporelles de la source, c'est-à-dire du régime. Lorsque ce dernier est sinusoïdal, la caractéristique d'un condensateur est une ellipse dont les axes coïncident avec ceux du repère, puisque : ii{t) = umcos{cot)

et

i{t) = —Ciimco sm(cot) = iin cos (^cot +

avec

L, = Cu,,,co

donnent, en éliminant la variable t :

La fonction test composant d'un oscilloscope donne en effet une ellipse de demi-axes im et um , à la fréquence de 50 Hz . h) Équation d'un système linéaire Dans un système linéaire, c'est-à-dire constitué de dipôles linéaires, l'application des lois de base des circuits conduit à combiner, entre elles, des relations linéaires. Ainsi, l'évolution d'une grandeur électrique de sortie s{t) prélevée dans le circuit, en régime forcé, sous l'action d'une source e(t), obéit à une équation différentielle linéaire de la forme :

+ ... + aos(t) — bi -j-p- -t- bi-i

e{t)

où les coefficients et bi sont indépendants de s{t) et e(t) . Les termes contenant la grandeur de sortie à gauche et ceux contenant la grandeur d'entrée à droite sont bien séparés. Le membre de droite est à l'origine du régime forcé.

4. Régimes Transitoires

116

La solution générale s{t) de cette équation différentielle linéaire, se présente sous la forme d'une somme de deux fonctions : s{t) = s,{r) + se{t) si{t) étant la solution générale de l'équation homogène, c'est-à-dire sans second membre : dk s ak

d7

dk~] s + ak

~] dT37

+

+ a{iS

^

=

et se{t) une solution particulière de l'équation avec son second membre (cf. annexe 1). Physiquement, la solution si[t), obtenue en l'absence de source extérieure, correspond au régime libre. Si une partie de l'énergie est dissipée, ce qui est toujours le cas pour un circuit réel, le régime libre tend vers zéro; la réponse se{t), caractéristique du régime établi, demeure alors la seule. Le régime transitoire est donc la somme des deux réponses si(t) et se{t). Remarque : En pratique, on obtient directement la solution particulière qui correspond au régime établi en recherchant une solution de forme sinusoïdale, de même pulsation que le signal d'excitation en régime harmonique (cf. chapitre 3), et en recherchant une solution stationnaire si l'excitation est elle-même stationnaire. c) Amortissement du régime libre Pour un système linéaire, l'établissement du régime forcé suppose l'amortissement de la réponse libre. Certains systèmes, instables, ont un régime libre qui se développe au lieu de s'amortir. Cela se traduit par l'existence de solutions exponentiellement croissantes. Dans ce cas, une racine au moins du polynôme, caractéristique de l'équation différentielle, est réelle positive, ou imaginaire à partie réelle positive. Comme nous le verrons ultérieurement, certains critères fixent les conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients de l'équation différentielle, qui pennettent de conclure sur la stabilité du système (cf. chapitre 13).

II. _ ÉTABLISSEMENT D'UN RÉGIME STATIONNAIRE II. 1. — Réponse indicielle La réponse indicielle d'un circuit est la réponse qu'il donne lorsque la source électrique extérieure qui l'alimente passe d'une valeur nulle à une valeur finie stationnaire. Aussi les anglo-saxons la désignent-ils par "unit step response". Le qualificatif indicielle vient probablement de Vindication que donne cette réponse sur le comportement du système lorsqu'on le soumet soudain à une excitation. Dans la suite, nous supposons cette source parfaite, c'est-à-dire capable de délivrer instantanément le courant ou la tension demandée sans présenter de régime transitoire. La commande de l'établissement du régime forcé stationnaire, ne nécessite que l'utilisation d'un interrupteur. On choisit fréquemment un interrupteur électromécanique dont le rôle est de mettre en contact des lames conductrices. Les contacts mécaniques peuvent entraîner de petits rebonds à la fermeture du circuit sur une durée pouvant atteindre 1 ms . Par ailleurs, ils introduisent des résistances supplémentaires dans le circuit, de l'ordre de quelques milliohms, ainsi que des petites capacités ; dans la suite, nous négligerons ces imperfections. Dans ces conditions, on peut représenter la source de tension commandée par un interrupteur à l'aide de Và.fonction d'Heaviside ou échelon , du nom du physicien britannique O. Heaviside (Fig. 4.3). Cette fonction est généralement notée Y(r) (lettre grecque upsilon majuscule) définie par ; Y{t) - 0

si

/ < 0

Y(0 = 1

si

f> 0

117

Régimes transitoires

Si E désigne la f.e.m de la source, la tension qu'elle délivre se met sous la forme : ue{t) = EY{t). La réponse du système à ce signal échelon est appelée réponse indicielle. Dans la suite nous préciserons ce concept sur l'exemple simple et concret du circuit RC . Y(t)

0 Ftg. 4.3. Remarques : 1) La fonction d'Heaviside est discontinue en r = 0. Cette singularité n'a aucune réalité physique, puisqu'un signal réel est toujours continu. La valeur de Y(0) n'a en fait aucune influence sur l'évolution du système, en raison de sa durée nulle ; la valeur en zéro de la fonction d'Heaviside est donc arbitraire. Notons que certains auteurs la fixent à 1 /2. 2) La fonction d'Heaviside est reliée à la fonction signe sgn{r), laquelle vaut 1 pour f > 0 et —1 pour ? < 0 (cf. chapitre 15) ; YW = \ [1 + sgn(r)] 3) En informatique, on choisit la valeur à l'origine sgn(O) = 0 pour des raisons pratiques d'algorithmique. On a alors Y(0) = 1/2 . Il. 2. — Circuit RC s a) Equations du circuit Injectons, dans l'analyse du circuit de la figure 4.1 l'expression de la nouvelle source de tension : RCd^ dt

+

uc = EYir)

ou

i

^ + u£ = EY(r) dtrr

en faisant apparaître la constante de temps r = RC du circuit. Avec les valeurs standard R = i kfi et C = 1 jxF, cette constante vaut r = 1 ms . b) Régime libre Le régime libre uCj permet de caractériser le système, car il est indépendant de la source. L'équation différentielle à laquelle il satisfait s'en déduit simplement en annulant le second membre : d Uç i Uç/ „ ——^ H =0 dt r

, . de solution

, , / t\ uc lyt) = Cte x exp — ' \ r/

puisque, cherchant une solution de la forme ucj{t) = exp(rt), on trouve l'équation caractéristique r + 1 /r = 0, soit r = — 1/r (cf. annexe 1). c) Régime établi On obtient le régime établi en recherchant une solution particulière stationnaire de l'équation différentielle d'évolution avec la source externe, après fermeture du circuit : dUce ' H d/

u

Ce E — = — r r

. . . ... de solution immédiate

. , lie e\t) — Cte = E

4. Régimes transitoires

118

d) Régime transitoire Le régime transitoire est la superposition de la réponse libre et de la réponse établie. Par conséquent : «c(0 = "c./W + «C,e{0 = Cte x exp

+

E

L'existence du courant électrique provoque l'accumulation des charges sur les armatures du condensateur. La charge totale du condensateur varie donc sans subir de discontinuité : q{t) -q{0) = q(t) = f i{t')dt' Jo Il en résulte que la tension uc{t) = q{t)/C est, elle aussi, continue. Comme, initialement uc{0) = 0 , alors : uc{0) = Cte + £" = 0 d'où Cte - —E Ainsi, la réponse indicielle du circuit RC a pour expression : uc(t) = E 1 - exp L'exponentielle décroissante, qui apparaît dans cette expression, ne devient négligeable au bout d'une durée égale à plusieurs fois la constante de temps r , ce qui est bien conforme à ce que l'on observe expérimentalement. Pour t = 3t , l'exponentielle est inférieure à 5% de sa valeur initiale : si la précision recherchée est de 1%, alors il faut r > 5t . Précisons que la tangente à la courbe en r = 0, coupe l'asymptote en t = r. Les autres grandeurs électriques du circuit se déduisent de uc selon : i(t) -

^

ex

P (~~)

et

W/?

W

=;

R*

= Eex

P (~~)

Sur la figure 4.4, on a récapitulé ces résultats. Remarquons que la tension aux bornes du condensateur est continue (Fig. 4.4a), alors que l'intensité /(/) = iiR(t)/R du courant est discontinue (Fig. 4.4b). it

uR(t) l/ // / j/

/' /■ /! 0

t

i

W-

a)

b) Fig. 4.4.

e) Bilan d'énergie Calculons le travail électrique total We:S fourni par la source au circuit, au cours du seul régime transitoire puisque la source ne débite pas en régime établi. Il vient : /oo

poo EY{t)idt = E

= -oo

rCE idt = E

JQ

dq = CE Jù

Régimes transitoires

119

Ce travail est en partie dissipé dans le résister par effet Joule : f00 W' = l

f00

o , -Rldt

=

E1

f

2t\

E2t

A

l

CE2 = -—

Une autre partie de ce travail fourni par la source, est stockée sous forme d'énergie électromagnétique dans le condensateur. Elle a pour expression (cf. Électromagnétisme) : Se = ^C4(oo) - ^C4(0) = Le bilan énergétique s'écrit donc : + Wj

avec

Ee =-Wj

Ainsi, par effet Joule, le circuit dissipe la moitié de l'énergie fournie par la source, quelle que soit la valeur de la résistance. Le condensateur, lui, emmagasine l'autre moitié, sous forme électrostatique, qu'il est susceptible de restituer. Exemple : pour un condensateur, de capacité C = 2 pp, soumis à une tension de 10 V , l'énergie emmagasinée par le condensateur, qui est aussi celle dissipée par effet Joule, vaut 0,1 mj . f) Décharge libre du circuit Lorsqu'on ouvre l'interrupteur Ki, l'état électrique du circuit n'est pas modifié. L'intensité i du courant et la tension uR aux bornes du résister restent nulles. Le condensateur chargé impose, à ses bornes, la tension uc — E ■ Si la source de tension est remplacée par un fil de connexion et si K\ ferme à nouveau le circuit, le système évolue en régime libre en satisfaisant à l'équation différentielle : d Ur Ur —r— H—- = 0 dt r Seule change la condition initiale mc(0) = E. En adoptant comme nouvelle origine des temps l'instant de fermeture du circuit, on obtient l'évolution suivante des grandeurs électriques (Fig. 4.5) : uc(t) = Eexp

=

c

=

ex

P (_~)

uc{t) ■

ur{î) '

E V. \\\\ \\\ \\ \\ \\ \\ \\ \

= Ri =

L r

0 / / R// -Et'

1 a)

b) Fig. 4.5.

-^exP (_~)

4. Régimes Transitoires

120

Le travail dissipé par effet Joule dans le résister, lors de la décharge libre du circuit, a pour expression :

W/,= /

—Ri2 d t =

E

R

( exp -* (

î

\\

E2t A t = —— d - = R 2

CE1 =

Ainsi, lors de la décharge libre du circuit, l'énergie emmagasinée dans le condensateur est entièrement dissipée par effet Joule. Lorsque la décharge libre est pratiquement achevée, mc{oo) = 0 ; le condensateur ne stocke plus d'énergie. g) Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur Nous avons vu que, lors d'une charge ou d'une décharge, la tension aux bornes d'un condensateur évoluait continûment (Fig. 4.4a et 4.5a). Ce résultat très général doit être attribué à l'énergie électromagnétique d'un système physique macroscopique qui ne peut subir de discontinuité (cf. Électromagnétisme). Ainsi, comme l'énergie électrostatique d'un condensateur, Cu2cl2, la tension uc à ses bornes évolue sans discontinuité. h) Perte de mémoire du circuit Le condensateur étant initialement chargé sous différentes tensions, il est intéressant de noter la rapidité de la progression exponentielle vers la tension E d'alimentation. Au bout d'une durée égale à quelques r seulement, la tension uc aux bornes du condensateur devient pratiquement E. Il est alors impossible de retrouver l'état électrique du circuit avant la fermeture de l'interrupteur; on dit que le système perd rapidement la mémoire de son état initial. Autant pour la réponse indicielle que pour le régime libre, on constate que la tension E n'apparaît pas dans la durée du régime transitoire ( ?« 3t ). En effet, cette dernière est indépendante de la différence de tension entre l'état final et l'état initial. Ceci est dû à la nature exponentielle de l'évolution : quelle que soit la tension à atteindre, la durée de charge est une grandeur intrinsèque du circuit. Notons la différence avec les évolutions proportionnelles au temps que nous rencontrons souvent dans la vie courante. Remarque : La disparition exponentielle du régime transitoire est une caractéristique des systèmes linéaires (cf. annexe 1 ).

II.3. —Circuit RL Analysons le circuit représenté sur la figure 4.6, constitué d'un résistor (résistance /? ) et d'une bobine idéale (inductance L ) en série. K

Ur R

E

L

Fig. 4.6.

UL

121

Régimes transitoires

a) Equations du circuit Écrivons la loi des mailles, sachant que l'interrupteur K est fermé à l'instant pris comme origine :

Ri + L— = EY(t) dt

soit

— + - = - Y{r) ât 7 L

en faisant apparaître la constante de temps du circuit t = L/R. Exemple : Avec /?=100n etL = 03lH3on obtient r = 1 ms . b) Régime libre Le régime libre // est caractérisé par l'équation différentielle homogène : ^ + - = 0 àt t

de solution

ii{t) = Cte x exp f——1 \ tJ

comme pour le circuit RC. c) Régime établi Le régime établi est donné par la solution particulière, stationnaire, de l'équation complète, laquelle admet comme solution évidente :

d) Régime transitoire On obtient le régime transitoire en superposant la réponse libre et la réponse établie :

i{t) = ii + ie = Cte x exp

/

t\ E j + ^

L'auto-induction dans la bobine s'oppose à toute variation brutale de l'intensité du courant ; ce dernier évolue donc sans subir de discontinuité : i{t) - i{0) = i(t) = 1 JQ

udt') L

df/

Initialement, /(0) = 0. La constante est donc déterminée selon : E 0 = Cte H— R

soit

E

Cte =

R

d'où l'expression suivante de l'intensité dans le circuit RL :

,(r) =

f f1 "

eX

P (~t).

ainsi que celle des autres grandeurs électriques : uR(t} = Ri = E 1 — exp

et

=

=

Sur la figure 4.7, on a rassemblé les résultats obtenus pour i{t) et Ui{t).

L'exp

122

4. Régimes transitoires

uiit)

KO

EJ-

E R

a)

b)

FlG. 4.7.

e) Bilan d'énergie Contrairement au circuit RC, la source de tension dans le circuit RL fournit constamment de l'énergie. En régime établi, la source débite le courant d'intensité I = E/R sous la tension puissance électrique Ve^ délivrée par la source et la puissance Vj dissipée par effet Joule :

d'où la

Vj = -RI2 = -El

= EI

On voit qu'en régime établi la somme des ces puissances est nulle. En régime transitoire, Ve,s ti Vj ont pour expressions respectives : —

R

I

exp

et

Vj = -

R

1

exp

Calculons la somme des travaux correspondants : ■pi R

fOO I

p-2 [Pe,s + VJ]dt=R

exp

1 — exp [ —

dr —

TE2 ~ÏR = 2L

= 2L'

Ce travail est précisément la variation d'énergie magnétique de la bobine entre l'instant initial où i = 0 et l'instant final où i = E/R .Le bilan d'énergie du circuit s'écrit donc : = W.

VF/

Ainsi, en régime établi, toute l'énergie fournie par la source est dissipée par effet Joule dans le résister; en revanche, durant le régime transitoire, la bobine emmagasine, sous forme d'énergie magnétique, une partie de l'énergie électrique fournie par la source. f) Ouverture du circuit À l'ouverture du circuit, le courant dans la bobine diminue et provoque l'apparition d'une force électromotrice qui s'oppose à l'extinction brutale du courant. Une étincelle de rupture peut se former au niveau de l'interrupteur. Si le courant est important, il est nécessaire de lui permettre de s'écouler dans une autre branche du circuit. On peut alors utiliser une diode, montée en parallèle sur le circuit RL (Fig. 4.8). Dans ce cas, à la fermeture du circuit, le courant évolue en régime libre. Si l'on suppose la diode idéale, le circuit obéit à l'équation différentielle :

Régimes transitoires

123

Initialement ?(0) = E/R = /. UR

K

R e

î(B

L

S

UL

FIG. 4.8. En adoptant comme nouvelle origine des temps l'instant d'ouverture du circuit, les grandeurs électriques évoluent selon (Fig. 4.9) : iif) = /exp ^^

ui{t) = L— = —Eexp ^^

"/?(?) = Ri = Eexp ^^

On en déduit le travail dissipé par effet Joule dans le résister, lors du passage du courant : W'j = f -Rfdt = f -RI2 exp ("Y')

df

= -■R/24

=

"ii/2

=

~£m

Ainsi, l'énergie emmagasinée dans la bobine est entièrement dissipée par effet Joule lors du passage du courant dans le circuit. i(t)%

ulU)

E R

b)

0 Fig. 4.9. g) Continuité du courant dans une bobine

Lorsqu'on met sous ou hors tension une bobine, le courant qui la parcourt évolue continûment (Fig. 4.7 a et 4.9 a). Ici aussi, on attribue ce résultat très général à l'énergie totale d'un système physique qui ne peut subir de discontinuité. Il en résulte que, comme l'énergie magnétique Li2(2 emmagasinée dans la bobine, l'intensité du courant i qui la traverse évolue sans discontinuité. II. 4. — Circuit RLC série Sur la figure 4.10, on a représenté le circuit RLC constitué d'un résister, d'une bobine et d'un condensateur en série (cf. chapitre 3). a) Équations du circuit On ferme l'interrupteur K à l'instant origine. Ecrivons la loi des mailles pour ce circuit en série en veillant à l'orientation du courant afin que les charges s'accumulent sur l'armature de charge q du

124

4. Régimes Transitoires

cz> o o o

«c FlG. 4.10. condensateur. Il vient : Ri + L^- + uc = EY{t) Cl T

avec

uc = ^

et

i

=<

~rL Qt

Cette équation linéaire du deuxième ordre se met sous la forme canonique suivante :

ïïc-\- — ùc + Tp

u

c = (*>lEY(î)

COf

en posant

et

LC

t* = —

b) Régime libre Le régime libre iicj est solution de l'équation différentielle homogène : d2Mc,/ , 1 d t1 t„

d/

, +

2u

n c,i — 0

La solution dépend des racines de l'équation caractéristique que l'on obtient en cherchant des solutions en exp(rr) : r2 4- — + (4 = 0 Te dont le discriminant a pour expression : 1 A

= 4-

4

^H4±!-lUW0 'O ' e

/

-1

\4<22

OÙ

Q — 0))T t

est facteur de qualité du circuit (cf. chapitre 3). On est conduit à envisager trois cas suivant la valeur du discriminant (cf. annexe 1). 1) C>l/2 (A<0): régime libre pseudo-périodique L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées : 1 . r, =-^ - -t-V]o) iù)„a 2r,

et

1 . r2 = — -—-j(o io)..a 2ts

1

avec

/»,. o)a — = /wn (o0 I[ lI -

1/2

r I 4Q*

La solution de l'équation différentielle homogène peut se mettre sous les formes suivantes : uc,i(t) = Z)exp

cos(û>«r + 4>(l)

ou

Mc,/(0 = exp

[Di cos(war) + D2 sin(^?)]

en désignant par D, (f)a,D\ et D2 les constantes d'intégration. L'évolution est dite car l'amplitude des oscillations n'est pas constante au cours du temps mais décroît proportionnellement au facteur exp(—^/2Te). Sur la figure 4.1 la, on a représenté le cas correspondant à la condition initiale «c,/(0) = uq et i(0) = 0, c'est-à-dire [d«cy/ d /] (0) = 0 .

Régimes transitoires

125

Uc{t)'

Uc{t)' ;

Q > 1/2

uc{0)

uc{0)

Y\e< 1/2 \

0 //

/y

I/2

\

t

0 a)

b) FlG. 4.11.

2) Q < 1/2 (A>0): régime libre sous-critique ou apériodique Les racines r\ et ig sont réelles et négatives : 1 n = -—+p

et

1 •■, = -—-P

avec

0=

/

1

^l/2

La solution de l'équation différentielle homogène se met alors sous la forme (cf. annexe 1) :

«c,/(0 =

exp(ri/:) + Dt exp(r2/)

ou

Mc,/(0 —

ex

P

2—)

cos

h(/S0 + D'2 sinh{/Sr)]

En pratique, on obtient ce régime en augmentant la valeur de R pour des caractéristiques données de la bobine et du condensateur. 3) Q = 1/2 ( A = 0 ) : régime libre critique L'équation caractéristique admet une racine double cq = —coq .La solution de F équation différentielle homogène se met sous la forme (cf. annexe 1) : «c,/ = {Dit+ D2) exp(—fuo?) Le régime critique impose une relation précise entre R, L et C. Puisque Q

=

1/2, alors

^0 = l/{2Te) = R/IL. Les régimes critique et sous-critique sont apériodiques, comme le montre la figure 4.11b, dans les mêmes conditions initiales que 4.1 la. En électronique, on introduit souvent, au lieu du facteur de qualité Q, le facteur m appelé paramètre critique ou facteur d'amortissement, relié à Q par l'équation : 1 1 "î = :r~r = 2Q 2ù)oTe Notons que la valeur singulière (2=1/2 correspond alors à m = 1 . Exemple : pour un circuit RLC avec C = 2p.F, L = 0,5H eti? = 50fi,on trouve Te = 10 ms, û>o = 1 000 rad.s-1 soit /o ^ 160 Hz , Q = 10 ou m — 0,05 . Le régime libre est pseudo-périodique. On obtiendrait le régime critique avec R = Rc = 1 kfl.

4. Régimes Transitoires

126

c) Régime établi Le système étant linéaire, lorsque l'interrupteur est ferané, le régime établi est la solution particulière stadonnaire de l'équation avec son second membre ; d llr e

1 d Ur e 0 o „ ' + OJ0 lie,6 = Ol>qE Te d /

df

. SOlt

_ „ Uc.e = Cte = E

d) Régime transitoire Le régime transitoire est la superposition de la réponse libre et de la réponse établie : uc{t) = UcA1) + wc,eW = E>]_ exp(r]r) + D2exp(r2r) + E Initialement, le courant dans le circuit est nul et le condensateur déchargé. A la fermeture de l'interrupteur, le courant dans la bobine et donc dans le circuit ne subit pas de discontinuité. Il en est de même pour la tension aux bornes du condensateur. Les conditions initiales sont alors : duç wc{0) = 0

et

/(O) = 0

soit

dr

(0)=0

En explicitant ces conditions initiales, on trouve : 0 = Di + Dt + .E

et

0 = r|Di+/*2D2

d'où les expressions suivantes de Dj et D2 : f2

D\ = -E-

et

r

2 - ri

f'i Dj = Eri - ri

La nature du régime transitoire dépend de re et donc de Q . Sur la figure 4.12. on a représenté la tension uc{t) et l'intensité i{t) du courant au cours du temps pour différentes valeurs de Q. 1) Régime transitoire pseudo-périodique Pour Q> 1 /2, on a : ''1

:

1 2r.

joia

et

ro

et

D5 =

J^a

2r,

d'où: E ( 2ù)aTe "D O C 3 O (M O (M

fe

Il en résulte : uc = E < \ — exp

uclr) 's_ >CL O (J

-2

1 1+

2r,

cos{cûat)

K*)

Ô> 1/2

sm{(oat) 2Te(i)(l

Q> 1/2 ,0=1/2

/

/A

Q<1 2 r\Q < 1/2

0=1/2

a)

FIG. 4,12.

b)

127

Régimes transitoires

2) Regnne transitoire sous-critique ou apériodique Pour Q < 1 /2, il vient : -I- b

et

ro = —

p

avec

B = coq

d'où: Di =

1

et

Dt =

-Ç 2 V

2Br

Par conséquent : uc = E <1 — exp

—

cosh{/3t) +

sinh(/3r)

3) Régime transitoire critique Pour Q = 112, ri = ri = tq = —\ /(2r^) = —coq . Comme dans ce cas singulier : uc = iD\î + Dj) expf-woO + E les conditions initiales donnent : 0 = Do + £"

et

0 = — omDo + D

les expressions de D) et Dj sont les suivantes : D\ = —coqE

et

Di = —E

On en déduit : lie = E[l — (loqî 4- 1) exp (—wqC] e) Bilan d'énergie Effectuons un bilan d'énergie en faisant apparaître les puissances instantanées consommées dans chaque dipôle. On peut obtenir directement ce bilan d'énergie en multipliant l'équation différentielle issue de la loi des mailles, par l'intensité i du courant : « .9 Ri

di. E——i -p lie i — Ei at

En tenant compte des relations uc = q/C et i = dq/dt, l'équation se met sous la forme explicite suivante : dr \2 C

2

J

Cette forme fait apparaître la puissance instantanée fournie par la source Ve,s = Ei, la puissance instantanée dissipée par effet Joule dans le résistor Vj = —Ri2, ainsi que les énergies électrique £e = q112C et magnétique Sm = Zi2/2, stockées respectivement dans le condensateur et dans la bobine. On a alors : — (£e -P £m) — Ve^ + Vj

soit

A {Ee + £,„) —

+ Wj

en intégrant. Lorsque le régime stationnaire est établi, le courant dans le circuit est nul. La source électrique ne fournit alors plus d'énergie. L'énergie magnétique de la bobine est nulle et le condensateur, chargé, emmagasine l'énergie électrostatique £e = CE212.

4. Régimes Transitoires

128

Évaluons le travail total fourni par la source : Wes=

f00

Eidt = EC

Jo

f00 dur f o —±dt = EC duc = CE2 Jo d/ Jq

On en déduit le travail total dissipé dans le résister : Wj = £e-

=

CE2

- CE1 =

CE2

Ainsi, la moitié de l'énergie apportée par la source est dissipée dans le conducteur ohmique, le reste est stocké dans le condensateur. L'énergie électromagnétique du circuit évolue au cours du temps selon : £em = Se + £m = -Cu2c + -Lr

avec

,duc i= C dt

En régime pseudo-périodique, l'énergie du circuit oscille entre la forme électrique et la forme magnétique. Les phénomènes dissipatifs amortissent cet échange au bénéfice de l'énergie électrostatique du condensateur, au fur et à mesure que le courant s'atténue dans le circuit. Lorsque le courant commence à circuler, le condensateur et la bobine emmagasinent de l'énergie ; quand l'intensité du courant diminue, l'énergie du condensateur continue d'augmenter, tandis que l'énergie magnétique de la bobine, elle, décroît. Dès que le courant s'inverse, l'énergie magnétique de la bobine augmente à nouveau. Le condensateur se décharge, mais pas totalement, car la dissipation d'énergie dans le résister amortit le courant retour (Fig. 4.13). £em{t)

em

- CE f

\y , Fig. 4.13.

II. 5. — Circuits linéaires quelconques a) Méthode d'analyse Pour un circuit linéaire quelconque, la recherche du régime transitoire s'effectue en plusieurs étapes : i) établissement des équations du circuit, à l'aide des lois de Kirchhoff, ii) recherche des conditions initiales en précisant les grandeurs électriques de chaque dipôle, immédiatement après la fermeture du circuit, iii) résolution des équations, iv) vérification des solutions obtenues par comparaison avec l'état du circuit pour t infini.

Régimes transitoires

129

b) Exemple Dans le circuit de la figure 4.14, aucun courant ne parcourt le circuit avant la fermeture de l'interrupteur, et le condensateur est initialement déchargé. Intéressons-nous à l'évolution de la tension ««(r), lorsqu'on ferme l'interrupteur.

*

'C

T 1

UL

FlO. 4.14. La loi des mailles donne ; ur + ^ — EY{r) C

et

ur = L—— + rii at

Avec la loi des nœuds : .

le =

, . + iR

• • qui s écrit aussi

• dq iL = dt

Ur — R

on obtient : ^ R q = CEY{t) — Cu

et.

Ldu r ,d2^ R , r---„ „R = L—-+ R

d'où, en dérivant la première équation pour / > 0 et en la combinant avec la seconde : dq diiR —— = —C—— dî dt

et

d2 ur Ur = —LC ——r2 dr

LduR R dt

„duR rC — dt

r —UR R

Finalement, on obtient, en ordonnant les différents termes : d2 ur 2

dr

f

r\

r-\-R Ur _

\RC

Ljdt

R

LC~

Recherchons les conditions initiales M/?(0) et [dM«/d?](0). Immédiatement après la fermeture du circuit par l'interrupteur K, la tension aux bornes du condensateur reste nulle et aucun courant ne circule dans la bobine : Mc(0) = 0

et

iL{0) = 0

On a alors : uR{0) =-uc{0) + E = E

et

,R(0) = /c(0) = C^(0) = C^7^(0) = -C^(0)=0

Il en résulte : "/?{0) = E

et

=

^

Compte tenu des conditions initiales, l'équation différentielle étant homogène et du deuxième ordre, en régime pseudo-périodique, la solution se met sous la forme (cf. annexe 1) : uR(t) = Eexp j) cos(^r) + —J— sm{û)at) \ ^e) [ éTeCOa

4. Régimes Transitoires

130

avec ; rV1

/ 1 Te ~

+

Zj

1 [ A{r + R) et

(i)a

~l

RLC

^\211/2

( 1 V.Zc

+

Zj

La solution précédente conduit à ur(oq) = 0. On vérifie aisément que ce résultat est physiquement acceptable. En effet, en régime stationnaire, le condensateur se comporte comme un coupe-circuit ; on obtient alors un circuit RL qui s'amortit en régime libre, ce qui implique : Z/?(oo) = 0 =

11

SOit

Ur{oo) = 0

II. 6. — Identification des systèmes linéaires a) Contenu de la réponse indicielle À première vue, la réponse indicielle renseigne sur la nature pseudo périodique ou apériodique du régime d'évolution libre. Comme nous le verrons ultérieurement (cf. chapitre 15), son contenu est plus riche encore, puisqu'il permet de reconstituer l'ensemble du comportement fréquentiel du système. Pour identifier un système linéaire, on peut chercher à déterminer les n-\-\ coefficients de l'équation différentielle d'ordre n . Lorsque n = \ ou /? = 2, il est possible de détenniner graphiquement les constantes de temps du système et de remonter ainsi aux coefficients de l'équation différentielle. Les ordres plus élevés, mettent en oeuvre des méthodes plus complexes ayant recours aux transformations de Fourier (cf. annexe 2) ou de Laplace (cf. annexe 3), mais aussi à la modélisation. b) Durée de réponse La durée de réponse à x% est la durée tx% nécessaire à un signal pour atteindre (100 — v) % de sa valeur finale d'équilibre à x% près. s{OO)-s{Tx%)

=

s (oo) — s (0) Exemple : la durée de réponse à 5% d'un circuit RC, excité par une tension échelon, est la durée nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur initialement déchargé, atteigne 95% de la tension finale, c'est-à-dire 75% 3r = 3RC . c) Durée du régime transitoire On appelle durée du régime transitoire à x% , r!r, la durée de réponse à x% de la réponse indicielle. C'est la durée au bout de laquelle la réponse libre du système est négligeable. Sans autre précision, nous désignerons ainsi la durée du régime transitoire à 5% . d) Durée de montée La durée de montée rm est la durée nécessaire à un signal pour passer de 10% à 90% de sa valeur finale d'équilibre. On la relie simplement aux durées de réponse : T

m — T10%

— t

90%

De nombreux oscilloscopes analogiques présentent, sur leur cadran d'affichage, une échelle verticale marquée de repères gradués 0%, 10%, 90% et 100% . Ces repères permettent de mesurer la durée de montée. Pour cela, on décalibre la sensibilité verticale de manière à remplir l'échelle 0 — 100% . Avec les repères horizontaux 10% et 90% on mesure Tm comme indiqué sur la figure 4.15. Les oscilloscopes numériques disposent généralement d'une fonction de mesure de la durée de montée d'un signal.

131

Régimes transitoires

100 90

0

FlG. 4.15.

e) Systèmes du premier ordre L'équation générale d'un système du premier ordre qui donne la réponse s{t) à une excitation e(t), est la suivante : T

^7

+

=Aoe

W

r est la «constante de temps» ou durée caractéristique du circuit et Aq le facteur d'amplification On comprend pourquoi : pour s et e stationnaires, Aq est le rapport s/e. Notons que les circuits RC et RL précédemment étudiés sont des circuits du premier ordre. D'après ce qui précède, sachant que .v(0) = 0, la réponse .v(/) à un échelon e[î) = emY{t) est donnée par : s(î)=A0em l-exp^--^ La mesure de 5(00) permet d'accéder au facteur d'amplification stationnaire :

A0 = ^ Quant à la constante de temps r, elle est reliée à la durée de montée selon : ^15?9=0,9=I-exp(-^) 5 (oo) \ r / On a donc Tio% = —t In 0,1,

et

s (oo)

=

q, 1 = 1 -exp

V

r

/

= —r In 0, 9 et finalement : Tm — T 10% - t90% = t In 9 ^ 2,2 t

En pratique, il est préférable de mesurer la durée de montée à l'aide d'un oscilloscope et d'en déduire la constante de temps, en divisant par 2,2. La méthode qui consiste à tracer la tangente à l'origine de la courbe et d'en déduire r par intersection avec l'asymptote horizontale est déconseillée, car peu précise. Elle conduit généralement à une surévaluation de r . Enfin, remarquons que la constante de temps r s'identifie à la durée de réponse à 27% « 1/e, le signal atteignant 63% de sa valeur finale.

132

4. Régimes Transitoires

Exemple : si la durée de montée d'un circuit RL est de 2,4 ms, la constante de temps correspondante est r « 2.4/2.2 « 1,1 ms. La durée du régime transitoire (Fig. 4.16) est donnée par : t

5%

=

In 0,05 = r In 20 « 3 r

C'est précisément ce que nous avons observé lors de l'étude expérimentale du circuit de la figure 4.1 : T0h = 3 ms et r = 1 ms . Évidemment, si une précision de 1% est recherchée, la durée du régime transitoire devient : ri% — r In 100 « 4,6 r « 5 r

s{î)/s{oo) 0,90 0,63 -

3r 2,2r Fig. 4.16. f) Systèmes du deuxième ordre L'équation générale d'un système du deuxième ordre, qui fait correspondre la réponse 5(4) à l'excitation d'entrée e[i), est la suivante : ld5 7 / \ 2 / \ —7 + -— + W5i(r) = (OoAoeit) Cl tTe d t

■a o c û fM 1—1 O (N ©

Aq étant le facteur d'amplification sîaîionnaire. Si la grandeur Te , homogène à une durée, est positive, l'amortissement du régime libre est assuré : le système est stable. La réponse s{t) à l'échelon e{t) = emY{t) dépend de re et donc de Q . 1) Si g > 1/2 (réponse indicielle en régime pseudo-périodique), s{t) s'écrit, sachant que 5(0) = 0 et 5(0) = 0 : s{t) = Aq em \ 1 - exp ( -

ai a. o u

cos(ct)n/') +

2r.

avec :

sin((1T(j

1/2 ^ — ^>0 ( 1 —

4Ô2

et

Q = CÛQTe

L'oscilloscope permet de mesurer la pseudo-période Ta . Il est souvent commode d'introduire le décrément logarithmique A , défini expérimentalement comme suit : A = - In n

s(t) — 5(00) 5(t + nTa) — 5(00)

^

1

eXP In [ \ = n \ exp [-(r + nTa)/(2re)] J 2re

Régimes transitoires

133

Les notations sont celles de la figure 4.17. On en déduit : ùj„ —

27r 77

et

tpe —

s{t)

Tn 2A Q > 1/2

/¥\ Ai', s(oo)

h

0

t)

52 /t\A

FIG. 4.17. 2) Si Q <1/2 (réponse indicielle en régime sous-critique), alors : s(t) = Aq ein ^ 1 - exp

-

2r,

cosh(/3r)

sinh(^r) 2Tefi

3) si <2 = 1 /2 (réponse indicielle en régime critique), on trouve : s(t) = Aq em [1 - {wot + 1) exp {-(OQt)] En régime critique, la concavité de la courbe s(t) s'inverse au point d'inflexion rc = l/o>o qui définit la constante de temps, en régime critique. g) Systèmes d'ordre n supérieur à 2 La réponse indicielle d'un système d'ordre n > 2 est plus difficile à analyser. La solution se met sous la forme d'une combinaison linéaire de réponses d'ordre 1 et de réponses d'ordre 2 (cf. annexe 1). Deux observations peuvent être faites néanmoins : i) le système est pseudo-périodique ou apériodique, ii) le régime transitoire présente une durée caractéristique. Par exemple, la figure 4.18 représente la réponse indicielle d'un système d'ordre 5 , superposition de deux ordres 2 et d'un ordre 1 ; deux pulsations propres différentes sont présentes, ce qui se traduit par une modulation de l'amplitude du signal. s{t) s{oq)-

0 Fig. 4.18.

134

4. Régimes transitoires

III. — ETABLISSEMENT D'UN REGIME VARIABLE III. 1. — Circuit du premier ordre en régime harmonique Dans le circuit de la figure 4.1, supposons l'interrupteur Ky fermé, à un instant pris comme origine. La loi des mailles donne alors : Ri-\-~ = iie{t) ue désignant la tension sinusoïdale délivrée par la source : ue{t) — um cos(wr). TI vient, en exprimant l'intensité i = Aq/d^ du courant dans le circuit en fonction de la tension uc = q/C aux bornes du condensateur, et en introduisant r = RC : duc , 1uc Um [ -, — h — = -— COSicot ) dt T T Le circuit est du premier ordre, puisque l'ordre de dérivation le plus élevé dans l'équation est un. La solution de l'équation homogène ucj , c'est-à-dire le régime libre, s'écrit (cf. annexe 1) ; «c,/(0 = Cte x exp où Cte est une constante fixée par les conditions initiales. Le régime libre s'amortit donc d'autant plus rapidement que la constante de temps r du circuit est faible, c'est-à-dire que R est faible. Quant au régime établi, on l'obtient en recherchant une solution particulière de forme sinusoïdale. En notation complexe (cf. annexe 1) : d ur

uc u _j—x — —t dt r r

avec

u = um ~~m

. soit encore

iir =

um 1 + jù)T

On obtient finalement le régime établi uc,e (t) '■ Uc,e(t) = Re{Mcexp ijcot)] = - —

UmCOs{ù)t) + -

+^t^2

Um sin

(^0

On en déduit la solution générale de l'équation différentielle : uc{t) = Uc,i{t) + UcA*) =

Cte x ex

P

\

t/

+ -—-7—7X Um cos{ù)t) + ^ I + I -H

- um sm{cot)

Notons que la charge du condensateur et la tension à ses bornes évoluent sans subir de discontinuité : q(t)-q{$)= f i^dt' Jo Le condensateur étant initialement déchargé, la condition initiale Mc{0) — 0 conduit à : 0 = Cte -t-

7—77 1 + {(OT)2

soit

Cte - —

7—77 1 + (cot)2

Finalement, on obtient : «c(0 = r-—7—77 um [cos(
Régimes transitoires

135

III. 2. — Circuit du premier ordre alimenté par des signaux carrés Reprenons le circuit RC de la figure 4.1 en l'alimentant par une source de tension qui délivre des signaux carrés symétriques (de rapport cyclique 1/2 ), c'est-à-dire dont la durée r/2 des alternances positives est la même que celle des alternances négatives, T étant la période. On suppose qu'initialement le condensateur est déchargé. La tension uc aux bornes du condensateur évolue au cours de chaque demi-période selon un arc d'exponentielle. L'intensité i du courant électrique, proportionnelle à la tension ur — rdwc/dt aux bornes du résistor est, elle, discontinue. En pratique, plusieurs cas se présentent, selon la fréquence / = l/T des signaux carrés d'entrée, comme le montrent les figures 4.19 et 4.20. Ces dernières correspondent au cas concret où R = 2 kfi et C = 100 nF, d'où la constante de temps r = 0,2 ms qu'il convient de comparer à différentes périodes du signal délivré par la source d'alimentation : 6 ms , 0. 8 ms et 67 (jls respectivement inverses des fréquences 167 Hz, 1,25 kHz et 15 kHz. uc{t) Um

f= 1,25 kHz

f = 167 Hz

/ = 15 kHz

Un 3r

15r

b)

a)

FIG. 4.19.

167 Hz

i{t)

/ = 1,25 kHz

i(t)

/ = 15 kHz

Um ~R L.

4 -► 15r a)

21 b)

c)

FIG. 4.20. i) Basse fréquence (/ -C (2r)

1

ou J,/2 >■ r )

Le régime établi est atteint au cours de chaque demi-période. La réponse du système est une succession de réponses à des signaux échelons. Le condensateur se charge et se décharge entièrement dans le résistor. La tension aux bornes du condensateur est proche de celle imposée par le générateur de signaux carrés à sa sortie. Le courant électrique circule par alternances impulsionnelles, pendant la durée d'une charge ou d'une décharge du condensateur, soit environ 3t .

4. Régimes Transitoires

136

ii) Fréquence intermédiaire (/ ~ (2r)

1

ou 7/2^7)

Une demi-période est trop courte pour établir un régime forcé ; comme les arcs d'exponentielles ne sont pas achevés, le condensateur ne se charge que partiellement. Le signal est fonné d'une succession de régimes transitoires et devient périodique après quelques r. iii) Haute fréquence (/

(2r)_1 ou 7/2 C t )

Les arcs d'exponentielles n'ont pas le temps de se développer et sont proches de droites, dont les pentes sont alternativement positives et négatives. La tension lic ressemble à des signaux triangulaires et l'intensité du courant à des signaux carrés. Le condensateur se charge très peu, la tension à ses bornes tic = q/C est donc d'autant plus faible que la fréquence est grande. On retrouve le comportement en court-circuit du condensateur en haute fréquence. Le régime variable ne s'établit qu'après amortissement du régime libre, c'est-à-dire sur environ 3t , ce qui représente plusieurs périodes de la source. On observe un régime transitoire au cours duquel la composante stationnaire de la tension triangulaire uc s'amortit progressivement. V Remarque : A basse fréquence, la tension aux bornes du résistor est proportionnelle à la dérivée de la tension d'alimentation du circuit. À haute fréquence, la tension aux bornes du condensateur est proportionnelle à l'intégrale de la tension d'alimentation du circuit. Nous préciserons ultérieurement ce comportement lors de l'étude des filtres du premier ordre (cf. chapitre 6). III. 3. — Circuit du deuxième ordre alimenté par des signaux variables Dans un circuit du deuxième ordre, la forme des signaux dépend de la valeur du facteur de qualité Q. La figure 4.21 représente graphiquement l'évolution de la tension uc aux bornes du condensateur d'un circuit RLC série, pour deux régimes : i) en signaux carrés, basse fréquence, pour un régime pseudo-périodique Q = 1,92. ii) en signaux sinusoïdaux pour un régime apériodique Q = 0,45 . uc{t)

ô= 1,92

0 = 0,45

a)

b) FIG. 4.21.

IY. — APPLICATIONS IV. 1. — Réalisation de tensions en dents de scie Il est possible de réaliser une tension en dents de scie, à partir d'un générateur délivrant des signaux carrés, à l'aide d'une cellule RC convenablement calculée, travaillant, sur chaque période, en régime transitoire (Fig. 4.22).

137

Régimes transitoires

Le condensateur subit une succession de charges et de décharges. Le circuit du premier ordre est caractérisé par la constante de temps r = RC. Si r est grand devant la période T des signaux carrés, les arcs d'exponentielles n'ont pas le temps de se déployer. On observe en sortie des signaux triangulaires. Le calcul des valeurs R ei C dépend de la fréquence f = 1/7' des signaux d'entrée iie. En pratique, t > 2T convient. Pour / = 10 kHz, C = 220 nF et r = 27, on trouve la valeur suivante de la résistance : _ r _ 27 _ 2 2 R

~C~~C~Cf~ 220 x 10-9 x 10 x 103 ^

R C

Ue

7777

Us

7777 FlG. 4.22.

IV. 2. — Circuit détecteur de crêtes On sait qu'un circuit électrique linéaire perd la propriété de linéarité s'il comporte une diode. La recherche de régime transitoire fait apparaître plusieurs cas qui correspondent aux états passant et bloqué de la diode. Considérons le circuit de la figure 4.23a dans lequel la diode est supposée idéale, c'est-à-dire sans tension de seuil ni résistance dynamique. La source électrique délivre une tension sinusoïdale, de fréquence / = &>/{27t) — 1/7, à partir de l'instant fo = —7/4, ce qui s'écrit à l'aide de la fonction d'Heaviside : ue — Y (V — /q) um cos (tôt) i) Lorsque la diode est passante, la tension à ses bornes est nulle, et la tension aux bornes du circuit RC parallèle est identique à celle de la source : due ue llC — ue l — le é- Ir — Cdt R .Ue,Uc

i

■ i "c

■r . r q

UR

R

C

iK^c

/ / 11 \ M G 0 t\ \ fîl \ Ue / \ /

' uc

T

1 ^ \ \ \

» t

b)

a) Fig. 4.23.

ii) Lorsque la diode est bloquée, c'est-à-dire polarisée en inverse, la tension aux bornes du circuit RC parallèle est supérieure à la tension de la source. Aucun courant ne traverse la diode. Le circuit évolue en régime libre et la loi des mailles fournit l'équation : uc > u.

avec

RC

d lie dt

h «r = 0

et

i=0

4. Régimes transitoires

138

Analysons le comportement du circuit au cours du temps. À l'instant r = ro, le condensateur est déchargé, uc = 0. Lors du premier quart de période, la tension ue de la source est croissante. La diode est passante et l'intensité i du courant est positive ; une partie ic = Céucj d / = C duel dt charge le condensateur et l'autre îr = iie/R s'écoule dans le résistor. À l'instant r = 0, la tension ue décroît. Le condensateur commence à se décharger et ic < 0. Lorsque Ïr ic = i = 0, h l'instant q , la diode se bloque et la tension de la source continue de décroître. La tension uc devient supérieure à ue. Le condensateur se décharge en régime libre, jusqu'à ce que la tension de la source, à l'instant ^ » soit suffisante pour qu'il se charge à nouveau. La diode se bloque à l'instant t\ tel que : diie i = C~â7

f =

0

ce qui donne : rwsin (ruq) = cos (wii)

soit

tan{wri) = — TCO

La tension aux bornes du condensateur évolue alors en régime libre : d Uc „ r— uc — 0 dî

. soit

. . ucit) = um sxp

t — t\

cos {toti )

avec

r = RC

L'annulation du courant impose à l'instant f| des tangentes identiques pour les courbes ue(t) et uc{t). Puisque rusin {cot\) = cos {W|) /r , il vient : d Uc / \ Ufll y . d Ug y . • / \ tlfjl y •. ——(q) = cos(w/i) et ——[ti) =—umù)sm{û)t\) = cos(aif|j d/ r dr r Le condensateur recommence à se charger à partir de l'instant t2 , pour lequel les tensions sont à nouveau égales uc(t2) = ^(/h) Une application intéressante de ce montage est souvent utilisée lorsque t T, c'est-à-dire lorsque la pente de décharge du condensateur est faible (Fig. 4.23b). Le signal en sortie épouse alors l'enveloppe du signal d'entrée, d'où le nom de circuit détecteur d'enveloppe ou de crêtes (cf. chapitres 9 et 16).

IV. 3. — Lissage d'une tension redressée Les régimes transitoires sont utilisés dans le lissage d'une tension redressée afin d'obtenir une tension proche d'une tension stationnaire. Supposons la diode parfaite dans le montage de la figure 4.24a. La tension d'entrée du circuit est une tension redressée en double alternance de forme ue = uin \ s\n{cot) \ (Fig. 4.24b). Ue, Wç B dZ R

C

r

A

D I Uf

7777" a)

b)

FIG. 4.24. Supposons que le condensateur soit en charge, ic > 0, d'où la tension croissante us à ses bornes dï/y lC — C—;— > 0 dr

Régimes transitoires

139

La diode débite le courant d'intensité i = ic+ô?, et donc us = ue (portion AB). Lorsque us commence à décroître, le condensateur se décharge. On a alors ic < 0 (portion BC). La diode cesse de suivre et se bloque dès que le courant d'intensité —ic, fourni par le condensateur, est suffisant pour alimenter la résistance, c'est-à-dire lorsque i s'annule : n i=0

soitt

■ = —ic • in

— = — C-.dw^ R dr ce qui se produit, sur la première alternance, à l'instant tc tel que : um sin{(otc) = RC umcocos{(otc)

soit

i et» donc

1 tc — — arctan (tco) O)

avec

r = RC

Une fois bloquée, la diode ouvre le circuit et le condensateur se décharge transitoirement dans la résistance R (portion CD). La diode redevient passante lorsque us = ue et le condensateur se charge à nouveau. Un lissage s'opère donc grâce à une succession de régimes transitoires. IV. 4. — Allumage des moteurs à explosion Le fonctionnement du système d'allumage des moteurs à explosion est donné sur la figure 4.25. L'objectif est d'obtenir, à partir de la tension stationnaire de 12 V fournie par la batterie du véhicule, une tension suffisamment élevée, afin de produire une étincelle dans les bougies et ainsi de provoquer la combustion du mélange carburant-air.

Bougie

Batterie

FlG. 4.25. Initialement, l'interrupteur Ai est fermé ; le courant dans le circuit 1 est stationnaire, i{jS)=E/r. Lorsqu'on l'ouvre, le courant s'écoule dans le condensateur qui se charge, et son intensité dans le circuit du second ordre oscille. Pour obtenir une tension élevée dans le circuit 2, aux bornes de la bougie, on utilise un transformateur élévateur de tension, en pratique un solénoïde plongeur (cf. Elecîromagnétisme).

V. — UTILISATION DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE V. 1. — Méthode L'utilisation de la transformation de Laplace pour la résolution des équations d'un circuit linéaire se révèle d'une grande efficacité technique. Les opérateurs de différentiation se transforment en multiplication par la variable symbolique p . Pour les signaux fondamentaux, tels qu'un échelon, une sinusoïde, une impulsion, l'équation du circuit se ramène à une fraction rationnelle. La décomposition en éléments simples permet d'obtenir la transformation inverse, en utilisant la table de transformation des fonctions usuelles (cf. annexe 3). Pour un système initialement au repos, les conditions initiales d'une grandeur qui ne subit pas de discontinuité s'expriment simplement. En effet, si à l'instant initial /o+ = Qui succède immédia+ tement à l'établissement du régime, le signal ^(0 ) reste nul, la transformée de Laplace de sa dérivée

4. Régimes Transitoires

140

s'obtient par simple multiplication par p de sa transformée de Laplace S(p) :

TL

{^w} =;?%)-^0+)

soit

tl{^W}=^{P)

V. 2. — Application à la réponse indicielle Considérons un système linéaire, d'ordre n , initialement au repos et supposons les dérivées successives du signal s{t) continues jusqu'à l'ordre w—1. Si le signal d'entrée est un échelon, e{t) — emY (t), l'équation de ce système se réduit à : dk s

a

k

d5 .... + ■ ■ • + ai — + rïo s{t) — emY(T)

La transformation de Laplace de cette équation donne, avec des conditions initiales nulles : akPk S{p) +

\-alp S{p) + ao S{p) = —

S{p) =

p(pkcik H

ai + «o)

a) Systèmes d'ordre 1 L'équation d'un système du premier ordre, excité par un échelon, s'écrit : ds r— +s(/) = Aq em Y(f) En prenant la transformation de Laplace de ses deux membres, on obtient :

s(p)

=

^

SW=Aoe

"'G"^Ti)

puisque

p(/?r + 1)

p

pr + 1

par décomposition en éléments simples. On retrouve alors, par transformation inverse, le résultat déjà établi : S(t)=Aoem 1 — exp h) Systèmes d'ordre 2 De même, l'équation d'un système, du deuxième ordre, excité par un échelon, s'écrit : à~ s 2

dt

+

1 Q. d iSs rP dt

+ 0)1 s{t) = Ao 0)1 em Y(/)

ce qui donne, en prenant la transformée de Laplace :

S{p) = Aoem

P (P2 +p/Te + col)

141

Régimes transitoires

En décomposant en éléments simples le membre de droite, on obtient, selon la valeur du facteur de qualité Q = ù)QTe , avec les notations habituelles : pour

pour

pour

Q

> ^

ô

Q

^

= -

S{p)= Aoc,

S

ip)

= A e

^ m

S{p) = A^e,

l/(2Te)

1

l/(2r.)

2

P

^+1/(2T,)] + W2

1

P + l/rg

P

[P + l/(2re)]2 — P2

1

1

p

p+

1^+I/(2T,)]2 + ^

(j? + ù)0y

La transformation inverse permet de retrouver les relations déjà établies relatives au régime transitoire (Fig. 4.26) : 1

pour

Q

>

pour

Q

<

pour

Q

2 1 2 1

~ 2

t

.(/)

2re t

s{t)

2t.

COS (ùJat) cosh (/3f) +

1 2Teù)a 1

sin {coat) sinh [fit)

s{t) = Aoem [l - (1 + ^o?) exp (-wq?)] s(t)

s(î) «2=1

0=1/4 0=1/2 (Ont FIG. 4.26. V. 3. — Réponse impulsionnelle a) Signal impulsion Physiquement, une impulsion est un signal dont la durée r est très courte devant les constantes de temps du système et dont l'amplitude est inversement proportionnelle à r . On la représente à Laide d'un pic de Dirac noté d(t) (cf. annexe 2) et relié à la fonction d'Heaviside par l'équation : 5(r) =

dY df

Remarques : 1) Il est impossible de réaliser physiquement un pic de Dirac ; cependant, il est possible de s'en approcher, par passage à la limite de fonctions, par exemple la fonction rect(r) (cf. annexe 2) : 8{t) — lim - rect ( r—*0 T \TJ \ T. 2) Le dirac S(t) a la dimension de l'inverse d'une durée.

142

4. Régimes Transitoires

b) Application aux systèmes La transformation de Laplace permet de calculer simplement la réponse impulsionnelle, c'est-àdire le régime transitoire de ce circuit lorsqu'il est excité par une impulsion. En effet, on a, au sens des distributions : TL {5(0} = TL { ^|i= pTL {Y(0} = P X

1

Un système linéaire soumis à l'impulsion e{t) = S{t), où d? est une constante homogène à un flux électrique, produit d'une tension par une durée, a pour équation : dks ^ d/*

d.? +

..

,

s

H «i — + «o-<0 = ^ 8{t)

En prenant la transformation de Laplace des deux membres de l'équation, le système devient : akpkS{p)

ai pS(j.i) +aoS{p) = <£>

d'où

S{p) = — pKa +

h p<3| + «o

c) Circuit du premier ordre Pour un circuit du premier ordre, par exemple un circuit RC série, alimenté par une impulsion de tension d>5(r), l'équation précédente donne, si le signal de sortie est la tension «cW ^ux bornes du condensateur : u

c(p) = y^-t

Le régime transitoire, c'est-à-dire la réponse impulsionnelle du circuit, s'obtient par transformée de Laplace inverse : «cW = fexp (-t)

Remarques : 1) La discontinuité de uc{t) en r = 0 est due au modèle théorique de l'impulsion qui suppose l'apparition d'un courant infini, ce qui est physiquement exclu. 2) Dans le cas simple du système linéaire précédent, il est possible de calculer aisément le régime transitoire, sans recourir au formulaire de la transformation de Laplace (cf. annexe 3). En effet, on sait que, pour f > 0, l'équation différentielle linéaire du premier ordre admet pour solution iis{î) — Cte x exp(—f/r). Pour calculer la condition initiale, il suffit d'intégrer l'équation différentielle de ce système autour de l'instant origine :

^ 5(r)

donne

J

dr = J

soit, en effectuant :

r Jo-

dw, = dW —df = <E) / d Y = Jo- ^r Jo-

Comme Mj(0 ) ^ 0 , on en déduit «5(0+) = <&/r .

d?8{t)dT

Régimes transitoires

143

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Le régime transitoire est la superposition de la réponse libre et de la réponse établie. La réponse libre est solution de l'équation différentielle homogène et la réponse établie une solution particulière de l'équation différentielle avec son second membre. Les constantes qui interviennent dans l'expression de la réponse libre sont déterminées par les conditions initiales. 2) La tension aux bornes d'un condensateur évolue sans subir de discontinuité en raison de la continuité de l'énergie électromagnétique. De même, le courant électrique qui traverse une bobine évolue sans subir de discontinuité. 3) La réponse indicielle d'un système permet d'évaluer ses constantes de temps. Un signal carré de tension [0 — «,?,] peut être considéré comme une répétition de signaux échelons si sa période est grande devant les constantes de temps du système. 4) L'équation différentielle d'un système linéaire stable du premier ordre se met sous la fonne :

r

57

+ 5= Aoe

^

La constante de temps r du système est reliée à la durée de montée par r « tm/2y 2 . 5) L'équation différentielle d'un système linéaire stable du deuxième ordre s'écrit : d2 s 1 d.v TT/T ^ ci r Te 77 Qt

9 . , 0'ç(r) —

2

,

. ,

+ w

Le régime libre est pseudo-périodique si Q = coo^e > 1/2 et apériodique si 0 < 1/2, 6) La transformation de Laplace présente un intérêt technique dans la recherche du régime transitoire d'un circuit linéaire.

c Û (M T—1

EXERCICES ET PROBLÈMES

P4-1. Durée de montée d'un circuit RC (5) Un condensateur, de capacité 1 pP, monté en série avec un résistor, est alimenté par une source de tension stationnaire de 6 V . La figure 4.27 représente l'écran d'un oscilloscope à mémoire, obtenu après la mise sous tension du circuit, avec un balayage de 1 ms • div~1 . u 1. Calculer la valeur de la résistance du circuit ? 2. Quelle est l'énergie emmagasinée dans le condensateur à l'issue du régime transitoire ? 3. Comment mesurer la durée de montée si l'on ne dispose pas d'un oscilloscope à mémoire ?

144

4. Régimes Transitoires

100 90

10 0

Fig. 4.27.

P4- 2. Réponse indicielle d'un circuit RL Une bobine, d'inductance 50 mH, est alimentée par une source de tension stationnaire de f.e.m 12 V et de résistance interne 50 Û. L'enroulement de la bobine présente une résistance de 5 0. On ferme le circuit à l'instant initial / = 0. 1. Etablir l'équation différentielle donnant l'intensité i du courant électrique. 2. Comment évolue la tension ue aux bornes du générateur ? 3. Effectuer un bilan d'énergie et calculer l'énergie dissipée, lors du régime transitoire, pendant une durée égale à trois fois la durée caractéristique du circuit.

P4- 3. Décharge d'un condensateur dans un autre condensateur Un condensateur, de capacité Ci = 20 nF, a été chargé sous une tension stationnaire de 3 V par le biais d'un interrupteur à deux positions (Fig. 4.28). 1. L'interrupteur est en position 1. Calculer la charge Qi du condensateur et F énergie électrique £i qu'il emmagasine, lorsque le régime est établi. 2. On bascule l'interrupteur en position 2 . Le premier condensateur se décharge dans un second condensateur, de capacité C2 - Comment évoluent les tensions u\ et 112 aux bornes des condensateurs ? 3. Quelle est l'énergie 82 du second condensateur, de capacité 0,1 jxF ? Calculer l'efficacité rj = £2/Es du transfert d'énergie de la source Es vers le second condensateur. 4. Quelle aurait été l'efficacité du transfert d'énergie dans ce condensateur, si les deux condensateurs avaient été de même capacité ?

P4- 4. Oscillations de relaxation avec un tube au néon Un tube au néon s'allume lorsque la tension à ses bornes dépasse «/, = 60 V ; sa résistance est alors r — 90 11. Le tube s'éteint si la tension descend en dessous de Lih = 50 V, car sa résistance devient alors très importante. Le tube est incorporé dans le circuit de fonctionnement de la figure 4.29, dans lequel E = 100 V , i? = 1 kO et C = 2 jjlF . 1. Établir les équations différentielles qui traduisent l'évolution de la tension aux bornes du tube. On considérera successivement le tube au néon éteint puis allumé.

145

Régimes transitoires 1

Tube au néon r 5) c

2 •-

u\

C, V

E UR

c2

U2 1

R

R UR

FIG. 4.28.

FIG. 4.29.

2. Montrer que la tension lie aux bornes du condensateur oscille avec la période : T = TR]n

\E-uhJ

\ET/TR-UbJ

tr et r étant deux durées que Ton déterminera. Calculer la valeur de la période de ces oscillations de relaxation. P4- 5. Décharge d'un condensateur dans un circuit RLC

: vje

^é

Dans le circuit de la figure 4.30, le condensateur 1, de capacité Ci , porte initialement la charge Qi = 10-5 C . Le condensateur 2 de capacité C2 est déchargé ; en outre, C| = 100 nF, C2 = 220 nF, L = 50 mH et R est réglable de 100 fi à 1 kfi. 1. Établir l'équation différentielle d'évolution de la charge qi (t) du condensateur 1. 2. Résoudre l'équation précédente pour R = 400 fi . Étudier l'évolution de l'intensité i du courant dans le circuit. 3. Comment éviter les oscillations ? UR r"C C,

C2

ic

lL

\ o

\ c

r

L

UL FlG. 4.30.

Fig. 4.31.

P4- 6. Circuit RLC parallèle Sur la figure 4.31, le condensateur est initialement déchargé et aucun courant ne circule dans les branches du circuit. A l'instant initial, on ferme l'interrupteur ; la source délivre une tension stationnaire £, C — 10 nF, L = 40 mH, R — 5kÙ et r= IkO. 1. Quelles sont les valeurs de Îr , ic , ii, h et ur, immédiatement après la fermeture de l'interrupteur ? Que deviennent-elles en régime établi ? 2. Déterminer l'équation différentielle d'évolution de la tension ur. Calculer le facteur de qualité Q et la constante de temps du circuit. 3. Résoudre l'équation différentielle précédente. 4. En déduire l'évolution temporelle de toutes les grandeurs électriques, intensités et tensions, du circuit.

4. Régimes Transitoires

146

P4- 7. Trains d'impulsions rectangulaires dans un circuit RC Un circuit RC série est alimenté par une source de tension qui délivre des signaux rectangulaires, de période T = 0,1 ms. La tension délivrée est E = 10 V, en début de période sur la durée ah T, ah = 0,3 étant le rapport cyclique, et 0 V le reste de la période. On suppose la durée caractéristique r = RC = 10 ms du circuit très grande devant la période T de la source de tension. Le condensateur est initialement déchargé. 1. Calculer les valeurs de la tension tic aux instants q = ahT et ^ — T . Le régime est-il établi à l'issue de la première période ? 2. Établir une relation entre les tensions minimale et maximale, aux bornes du condensateur, respectivement, n étant un entier, = uc{nT) et Umaxin) = uc{nT + o^T), 3. Exprimer et umax(n) en fonction de n , T, r et £ . On remarquera que le terme général de la suite = aiik + b s'écrit = akUQ + è(l — cik)/{l — a). 4. Quelle est la durée du régime transitoire ? Commenter. 5. Calculer le taux d'ondulation {umax — «,„,„)/£.

P4- 8. Inductance alimentée en simple alternance Une bobine, de résistance interne r, est alimentée, à travers une diode supposée parfaite, par une source de tension sinusoïdale d'amplitude um et de pulsation a) : u-e = umsm{o)t) (Fig. 4.32). 1. Étudier l'évolution du courant dans le circuit. 2. Quelle est la durée du passage du courant par période? La calculer à l'aide d'un microordinateur, pour L = 100 mH, r = 10 Q et / = 50 Hz .

FIG. 4.32. P4- 9. Diode de délestage ou diode de « roue libre »

Fig. 4.33. : vveb

^

Dans le circuit de la figure 4.33, les diodes sont supposées idéales et la source délivre une tension sinusoïdale d'amplitude iim et de pulsation m : iie — umûïi(o)t). 1. On désigne par /'o l'intensité du courant dans la bobine, à l'instant initial. Quelle est l'intensité du courant à l'instant t = T = 2tt jco ? 2. Calculer îq en régime établi pour L = 100 mH , r = 100 O,, f = 1 kHz et um = 24 V . 3. En s'appuyant sur une analogie mécanique de roue de bicyclette entraînée par un pédalier, justifier l'appellation de diode de « roue libre ».

147

Régimes transitoires

P4-10. Circuit RC parallèle Le circuit de la figure 4.34 est alimenté par une tension sinusoïdale ue = um cos{cot). Initialement, le condensateur est déchargé et aucun courant ne circule dans le circuit. 1. Quelles sont les conditions initiales sur les grandeurs électriques du circuit immédiatement après la fermeture de l'interrupteur? 2. Établir et résoudre l'équation différentielle d'évolution de la tension uc ■ 3. La fréquence de la tension d'alimentation est / = 2 kHz et son amplitude vaut 6 V. Sachant que /? = 10 kQ et C = 100 nF, sur combien de périodes s'étend le régime transitoire ?

ic '1 R

c:

Uc

R Fie. 4.34. P4-11. Impulsions dans un circuit RLC Un circuit RLC série est alimenté par des impulsions de tension <3><5(r) et de fréquence / = 1 kHz ; en outre, C = 0,2 pF, L = 2 mH et R = 5 kfi. 1. Déterminer l'équation différentielle d'évolution de la tension uc aux bornes du condensateur. 2. Résoudre l'équation précédente. Le régime établi est-il atteint entre deux impulsions successives ?

P4-12. Sonde d'un l'oscilloscope La voie d'entrée d'un oscilloscope peut être représentée par l'association en parallèle d'un condensateur Cos = 25 pF et un conducteur ohmique de résistance Ros = 1 Mfi . Introduit dans un circuit, l'oscilloscope peut en modifier significativement les caractéristiques. On observe alors des signaux déformés. Pour pallier cet effet indésirable, on utilise une sonde de compensation qui prélève le signal du circuit, et dont les caractéristiques sont données sur la figure 4.35. H

Oscilloscope

C* Ros Sonde

FlG. 4.35. 1. Etablir l'équation différentielle d'évolution de la tension u0 en fonction de ue .

148

4. Régimes Transitoires

2. Quelle condition doit être réalisée pour avoir uox(t) — Kue{t) ? Préciser la valeur de K. On désigne alors par Cso la valeur de la capacité de la sonde. 3. On règle la sonde compensatrice, à l'aide d'une tension échelon. En pratique, on utilise un générateur de signaux carrés. Quelle gamme de fréquence doit-on choisir ? 4. Établir la relation entre les transformées de Laplace TL {w(W} et XL {we} ■ 5. On dit que la sonde est sur-compensée lorsque Cos > Cso . Quelle est alors la valeur de u0 immédiatement après le début du régime transitoire. Même question pour une sonde sous-compensée r ^ < C ^OS ^SO ' 6. Donner l'allure du signal uos(t) observé à l'oscilloscope, pour une sonde sur-compensée, une sonde compensée et une sonde sous-compensée.

T! O C 3 Û rsi O (N (5) 4-1 JZ "s_ >CL O U

5

Théorèmes de base dans

l'analyse des réseaux linéaires

L'analyse des circuits par application directe des lois de Kirchhoff s'avère souvent très laborieuse, surtout lorsqu'on ne s'intéresse qu'à l'état électrique d'une seule branche, précisément à la tension entre ses deux nœuds et à l'intensité du courant qui y circule. Lorsque les circuits sont linéaires, il est possible et commode de remplacer le reste du réseau soit par un générateur de tension soit par un générateur de courant. Si l'on souhaite déterminer l'état électrique de l'ensemble du réseau, c'est-à-dire l'ensemble des courants et des tensions, la linéarité du système d'équations à résoudre suggère fortement d'utiliser le calcul matriciel, en s'aidant de méthodes numériques (cf. annexe 6).

I. — THÉORÈMES DE BASE Le premier des théorèmes de base des circuits linéaires est le théorème de supeiposition. Il permet d'établir tous les autres.

1.1. — Théorème de superposition a) Relation linéaire La mise en équation d'un réseau, constitué de dipôles linéaires, par application des lois de Kirchhoff, conduit à un système d'équations linéaires dont les seconds membres sont des combinaisons linéaires des termes de source, forces électromotrices (f.e.m) ou courants électromoteurs (c.e.m) stationnaires et 2* (iota majuscule) ou variables et i(t) (iota). Nous supposons ces sources indépendantes, c'est-à-dire que leurs caractéristiques ne dépendent d'aucune intensité ou tension du réseau. Ainsi, l'état électrique du circuit représenté sur la figure 5.1a, qui est alimenté par les sources stationnaires de tension E et de courant X, satisfait aux deux équations de mailles suivantes : E = RyJ\ + R{J\ -f L)

et

0 = R(J{+h)+R2h-Rï{X-h)

ce qui donne, en regroupant les différents termes ; £={/?,+/?)/,+i?/2

et

R^X = RI] +{R+R2+R3)h

150

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

Ce système peut se mettre sous la forme matricielle suivante : [S] = [R][I] où les matrices « source », « résistance » et « intensité » ont pour expressions respectives [S]

E R3I

[*] =

-^1

A

^2

R\+R R

R R2

R

R3

et

R\

E

/1

A

[/] =

^2

h R

R R3

R3

B

B

}■Ox

-CD- X b)

a) Fig. 5.1.

L'état électrique de ce réseau peut être considéré comme la superposition de deux états : i) le premier a admet 1les courants l\a) et soit [S^j = [R] [/^-)] avec :

, lorsque les générateurs se réduisent à la f.e.m E, ria) et

[S^] =

H) Le second (3 admet les courants soit [S^] = [X] [T'bbj avec :

[s(/3)]

et

0 R3I

[/(")] =

r(«)

, lorsque les générateurs se réduisent au c.e.m X,

rih) et

[7^]

rU)

En sommant les deux équations matricielles [5'^^] = [R] [/^] et [S^] = [7?][/^] on restitue l'équation matricielle initiale : [s'"'] + [S<«] = [«]([/<"'] +[/<«])

qui donne bien

[S] = [/?] [7]

h) Énoncé du théorème de superposition En raison des équations linéaires qui relient les courants dans les différentes branches d'un réseau linéaire, comportant des sources de tension et de courant, le théorème de superposition s'énonce ainsi ; le courant produit dans une branche par un ensemble de générateurs indépendants est la somme des courants produits par chacun d'eux, les autres étant éteints. Éteindre un générateur de tension signifie ramener sa f.e.m à zéro et donc à le remplacer par un court-circuit ; éteindre un générateur de courant signifie ramener son c.e.m à zéro et donc à le remplacer par un coupe-circuit.

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

151

Exemple : calculons l'intensité du courant qui parcourt la branche AB, avec la résistance R, dans l'exemple précédent, pour R] = 30, R2 = 12 H, i?3 = 6n, R = 6 fl, E = \2W et X = 3 A. i) L'état a est celui dans lequel la source de courant est passivée, c'est-à-dire remplacée par un coupe-circuit (Fig. 5.2). On reconnaît ici un diviseur de tension avec deux résistances, l'une Ri et fa) /?3 ). L'intensité /^e du courant dans la l'autre la résistance équivalente à i? en parallèle avec (R2 branche AB, avec la résistance R, vaut : (a) _ UAB IAB R

avec

UAb =

R//{R2A-R3)

9/2

Ri XR/I{R2A-R3)

3 + 9/2

R^

x 12 = 7,2 V

d'où

R\

Ri

Ri

/(+

/(a)

a)

I

R

!i

R

Xb = 1,2 A

(iS)

R3 R3

B

X B

Ox FIG. 5.2.

Fig. 5.3.

ii) L'état (3 est celui dans lequel la source de tension est passivée, c'est-à-dire remplacée par un court-circuit (Fig. 5.3). On reconnaît là un diviseur de courant avec deux conductances, l'une G3 et l'autre la conductance G'2 équivalente à G2 en série avec G et G\ en parallèle. L'intensité du courant dans la branche où se trouve G2 vaut donc : I (X)

G' G2 + G3

L'intensité

X

1

x=

I + G3/G2

1 \ A-R2/R3

X

R3 X R3R2 A-R//R\

6 + 12 + 2

x3 = 0,9 A

s'écrit alors : r(^) _ MB

G

rGS) _

G + G,

On en déduit : Ïab = ri? + ri?

=

z

/?. R + Ri

ri/3) = - x 0,9 = 0,3 A

F5A.

1.2. — Théorème de Thévenin Dans le circuit linéaire de la figure 5.1a ouvrons la branche AB, et calculons alors la tension (Uab)<j entre les points A et S (Fig. 5.1b). Il vient : (UAB)0 = E-RIII avec I\ satisfaisant à la loi des mailles E = {R\ + R2)Ii + i?3(/i + X). On en déduit : 71 =

E-R3X 3^—TT—TT R\ + R2 + R3

12-18 =

3 + 12 + 6

2 -7 7

=

=

-0'286

A

La tension {Uab)o vaut donc : 12 + 6/7 = 90/7 V. C'est bien ce que l'on mesure avec un voltmètre numérique, de très forte impédance. La question qui se pose alors est la suivante : comment retrouver l'intensité du courant qui circule dans la branche extérieure de connexion AB comportant le résistor, de résistance R = 6 fl, sans recalculer tout le réseau, à partir de la seule tension {UaB)o que l'on vient de calculer ? Le théorème de Thévenin permet d'y répondre.

152

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

a) Démonstration de L. Thévenin Reprenons le raisonnement que fit le physicien français L. Thévenin dans sa publication originale en 1883. Il appliqua le théorème de superposition à un réseau linéaire actif, en ne s'intéressant qu'à la branche extérieure AB reliant deux points A et 5 du réseau et en considérant les deux états suivants. i) Dans la branche extérieure AB, on insère, en opposition avec la tension {Uab)o entre A et S, mesurée lorsque la branche extérieure AB est ouverte, un générateur de tension de f.e.m Eti, égale à (Uab)o ■ Comme ces deux tensions sont en opposition, aucun courant ne parcourt la branche extérieure : = 0. ii) On passive le réseau initial, c'est-à-dire que l'on supprime tous les générateurs, en remplaçant les sources de tension par des courts-circuits et en ouvrant les branches contenant des sources de courant. La tension entre les points A et S est donc nulle et le réseau se comporte comme un résistor, de résistance Rfh ■ On insère alors dans la branche extérieure AB un générateur de tension, de f.e.m Ejk , de même sens que la tension initiale {Uab)o ■ L'intensité du courant dans la branche extérieure AB de résistance R vaut alors : /(«

Et

=

'' Rn + R

La superposition de ces deux états donne l'intensité du courant qui circule dans la branche extérieure AB (Fig. 5.4) I = /O) + 7^) soit :

1 =

avec

ETh =

K m -r K

En = (Uab)

ETh= [Uab)o An

A Réseau linéaire actif B

Réseau linéaire passivé

A

a)

l\ = 0

0

a)

b)

Fig. 5.4.

Exemple : retrouvons l'intensité du courant qui parcourt la branche AS, la résistance R = 6 El étant connectée. Pour cela, déterminons la résistance interne Rm du réseau entre A et S passivé. Entre ces deux derniers points, cette résistance Rm s'identifie à R\ en parallèle avec Rj et R \ en série, soit : RTh = 7/1

i| 3 + 18

=

i? 7

=

2,57 O '

d'où

1=

90/7 18/7

= 1,5 A

b) Énoncé du théorème Étant donné un système linéaire quelconque de conducteurs reliés, et renfermant des générateurs répartis d'une manière quelconque, on considère deux points A et S appartenant au système, entre lesquels la tension est Uab = La — Le ■ Si l'on vient à réunir les points A et iî par un résistor de résistance R, ne contenant pas de générateur, la tension Uab devient nulle et l'intensité I du courant

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

153

qui parcourt ce résister est donnée par l'expression :

/=

{Uab)o R'Th + R

dans laquelle Rth représente la résistance du système initial, mesurée entre les points A et 6 , une fois passivés tous les générateurs. Soulignons bien que VA — Vg est la tension (Uab)o , avant que l'on ne relie les deux points A et B par le dipôle de connexion de résistance R. Retenons comment, en pratique, appliquer le théorème de Thévenin : i) on ouvre d'abord la branche AB dans laquelle on veut calculer l'intensité, ii) cette branche étant ouverte, on détermine successivement la tension (Uab)<> et la résistance équivalente Rn entre A et 5 en passivant toutes les sources. Il suffit alors d'utiliser la formule précédente pour en déduire le courant dans la branche. c) Extension au régime quasi stationnaire sinusoïdal Cette extension au régime quasi stationnaire sinusoïdal est immédiate. Il suffit de considérer, en régime sinusoïdal, en plus des résistances, les impédances offertes par les bobines et les condensateurs (cf. chapitre 2), ce qui implique d'utiliser la notation complexe. L'intensité complexe du courant dans la branche extérieure AB d'un réseau linéaire est donc donnée par l'expression : _ {iLab)O Ztu + Z dans laquelle (uAB)0 est la tension entre les deux points A et 5 et Zth l'impédance du réseau mesurée entre ces points avant que l'on ne les relie par un dipôle de connexion d'impédance Z. Exemple : dans le circuit représenté sur la figure 5.5, on souhaite détenniner la puissance dissipée par la charge résistive = 8 O. -12/ 1 12 a 24 V

8a /12 a

FIG. 5.5. Déterminons, à l'aide du théorème de Thévenin, l'intensité complexe i du courant qui parcourt cette charge. Il vient ; . _ (M.4g)o Zn + Rc Le circuit de charge étant ouvert, la tension {uAB)0 vaut, en reconnaissant un diviseur de tension : («4B)„ =

x 24 = 24(1 +j)

154

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

Quant à l'impédance interne ZTh du générateur de Thévenin, on l'obtient en passivant la source de tension ; elle se présente comme le résultat de deux impédances en parallèle : „

12(1 + j){—\2j)

ZT

" - 12(1

- 12/ "

12(1

Il en résulte pour F intensité en ampère ; 24(1 "

+i-)

=

12(1-j) +8

6(1+^^6(1+4;) 5-3/

=

17

^^+7^

On en déduit la puissance dissipée par la charge : /y i|2

8 x 36(1 + 16) _

2

8.5 W

2 x 172

Remarque : Dans un circuit constitué de deux sous-systèmes dont l'un est linéaire et l'autre non, le théorème de Thévenin permet de remplacer le premier par un simple générateur. On utilise cette propriété pour déterminer le point de fonctionnement d'un dipôle non linéaire, telle qu'une diode, connecté aux bornes d'un sous-système qui lui est linéaire.

1.3. — Théorème de Norton a) Démonstration Le théorème de Norton, du nom de l'ingénieur américain L. Norton qui l'établit en 1926, permet lui aussi de calculer l'intensité du courant qui circule dans une branche extérieure d'un réseau linéaire entre deux points A et B ; cependant, dans ce cas, on considère que le réseau se comporte, entre ces deux points, non comme un générateur de tension, mais comme un générateur de courant (Fig. 5.6). On l'établit aisément à partir du théorème de Thévenin. En effet, ce dernier s'écrit aussi, en régime stationnaire (Fig. 5.6a) : Rrii

Rn + R

En x — n+R Rn

soit, en introduisant le courant de court-circuit Icc ou courant de Norton

R Th

T-

R^+R

T

N

:

Zv — trr —

Le schéma correspondant est celui représenté sur la figure 5.6b. II est instructif d'écrire le théorème de Norton sous une forme, dite duale de celle du théorème de Thévenin, dans laquelle on souligne la correspondance entre tension et courant, impédance et admittance, série et parallèle. Pour cela, il suffit d'exprimer la tension UAb aux bornes de la charge R :

UAb = RI=

RRTh

1 IN = — Rn + 7? 1 /Rn

— Zv l/R

soit

Uab = ——— Gn + G

où Gn st G représentent les conductances l/Rn & 1/7? (Fig. 5.6c).

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

155

Xn

Xn

«77i En

©

Grh

©

Vab

En

Fig. 5.6.

b) Énoncé Étant donné un système linéaire quelconque de conducteurs reliés, et renfermant des générateurs répartis d'une manière quelconque, on considère deux points A et S appartenant au système. En réunissant les points A et S par un simple fil conducteur, l'intensité du courant qui le parcourt est l'intensité de court-circuit ou de Norton lcc = X^ . Si l'on insère entre A et fi , à la place du fil de court-circuit, un dipôle de conductance G, ne contenant pas de générateur, le courant entre A et fi prend une valeur différente de Icc, mais la tension UAb est donnée par l'expression :

Uab —

X,N G Th

G

dans laquelle Gn représente la conductance du système initial passivé, mesurée entre A et fi. Notons que l'intensité du courant de court-circuit ou de Norton est directement reliée aux caractéristiques du générateur de Thévenin par l'équation Icc = X;v = {UAb)oGti! Exemple : sur le montage de la figure 5.7, cherchons la tension aux bornes des points A et fi, lorsqu'on les réunit par un conducteur de résistance fi = 10 fi : Uab = „In, „ Gn + G

avec

G = 0,1 S

On obtient Gth en remplaçant le générateur de tension par un fil et en ouvrant la branche comportant la source de courant. Les conducteurs sont alors en parallèle :

™

G

=

è

+

è

=

l)

=

A=

0 083 S

d où

R

'

"' =

12n

Quant à T/v , on l'obtient rapidement en calculant l'intensité de court-circuit, c'est-à-dire en connectant directement les points A et fi par un fil de résistance nulle : In = Icc = ^ - 5 = —4,25 À

Remarque : On peut retrouver Xv en effectuant ErhGm , ETh étant la tension entre A et fi, la charge fi = 10 H n'étant pas connectée. La résolution du circuit initial donne l'équation : 15 = 207 + 30(7- 5)

d'où

1 = 3,3 A

et

LUg = 30(3, 3 - 5) =-51 V

Il vient donc : XN = UABOth

=

~~\2

= —

^^ ^

156

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires 7

20 n

30 a

^

j 40 a A

+

n

15 V

2v

10 Ù

30 il

-j 50 fi

5A B FlG. 5.7.

FÏG. 5.8.

c) Extension au régime quasi stationnaire Comme pour le théorème de Thé venin, l'extension au régime stationnaire est immédiate. Il suffit de considérer, en régime sinusoïdal, en plus des conductances, les admittances offertes par les bobines et les condensateurs (cf. chapitre 2), ce qui implique d'utiliser la notation complexe. La tension complexe recherchée est donc donnée par l'expression : —,4S

=

_|_ Q

aveC

%

=

(MAB)oGTh

dans laquelle G est l'admittance du dipôle de connexion et Gj/j Fadmittance du système initial, mesurée entre les points A et B. Exemple : déterminons les caractéristiques du générateur de Norton équivalent aux bornes des points A et B, dans le montage étudié sur la figure 5.8. Calculons Fadmittance équivalente en passivant le circuit : 1 1 1 w 3 + 4; —5/ = 1 3 — j _ 3 +7 + Gril = X X -;50 ' 30+740 ~ 10 57(3 + 4/) ~ 50 4 - \i ~ 250 Quant à %, on l'obtient aisément en cherchant le courant de court-circuit. Comme le condensateur est court-circuité, on trouve : 2 0,2 % — = „ ' . N = — 30 + 407 3 + 4j

soit

iN = 0.04 exp{/(/>) -N '

avec

4 tan ô = —^ 3

Un réseau linéaire entre deux de ses points A et 5 peut donc être représenté indifféremment par un générateur de tension ou par un générateur de courant ; le passage d'une représentation à une autre est illustrée sur la figure 5.9. A

-N

A

Zr/i en Zn © '77;

B

Yn =

Zn

B FlG. 5.9.

1.4. — Représentation de Thé venin et représentation de Norton a) Représentation d'un système linéaire D'après ce qui précède, un système linéaire peut être représenté, entre deux de ses nœuds A et B, relativement à son extérieur, soit par une source de tension, de f.e.m ejh et d'impédance Zjh , soit par une source de courant, de c.e.m qv = £77,/Zj/, et d'admittance Yn = l/Zj/,.

157

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

On a alors les deux équations suivantes reliant la tension u entre les bornes A et B et l'intensité i du courant de A vers B (Fig. 5.10) : u = e-fh — 2/77, i

ou

i = tpj — Yti/M

Le choix de l'une ou l'autre de ces représentations relève uniquement de la commodité. Lorsque Zn est faible devant les autres impédances du circuit, le modèle de Thévenin sera privilégié car les effets de Zn seront négligeables (Fig. 5.10a). En revanche, on adoptera le modèle de Norton dans le cas inverse, où c'est Yti, = l/Zn qui est faible devant les autres admittances du circuit (Fig. 5.10b), car ce sont les effets de Yj/, qui seront négligeables. A

i

A

_L Zn Yn evi

'(B B a)

b) Fig. 5.10.

b) Application à la simplification d'un réseau Le passage d'une représentation à l'autre permet souvent de simplifier un réseau. C'est le cas du montage de la figure 5.11a, lequel comporte, en régime stationnaire, deux résistances R[ et R2 alimentées par une source de tension, de f.e.m E et de résistance interne r, et par une source de courant, de c.e.m T et de résistance R . B

K

Rl

A

R',

I Ri

R

I Ri

ù

R',

R'i R'2I

ù

E a)

c)

b) Fig. 5.11.

Pour déterminer l'intensité I\ du courant qui parcourt i?i , on commence par remplacer les ensembles r, R{ en série et /?, R2 en parallèle par, respectivement (Fig. 5.11b): R\ =R[+r

et

R'2= Ri//R =

R2R Ri A- R

Ensuite, on se ramène à une seule maille en remplaçant la source de courant par une source de tension équivalente (Fig. 5.1 le). On en déduit ; E-R'2I /. = R\ + R'2

158

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

L'application du théorème de Thévenin entre les points A et B du montage donne évidemment le même résultat : /

=

—{Uab}o— RThA-R{A-r

=

{Vab)o RThAR\

r

= R

,,R '

= R, 2

et

.JJ V

, '

= E_Xx(R2llR)

\ m

= E-XR'2

>

Exemple concret : £" = 48 V , J = 12 mA ,R\ — \ kfi. R2 = 2,2 kfl, r — 250 CL, R = 10 kli. On trouve : i?'l = l,25kl2

/?22

=

l-8kO '

d'où

l — ——X 1250+ 1803

=8,6 mA

1.5. — Effet de fermeture d'un interrupteur dans un circuit linéaire a) Fermeture d'un interrupteur Considérons deux points + et <2 d'un réseau linéaire entre lesquels il existe, en régime stationnaire, une différence de potentiel Upq (Fig. 5.12), en raison des sources de tension ou de courant existant dans le réseau. P Réseau linéaire

P / K

Réseau linéaire

E=Upq Q-

a) P

P E

Réseau linéaire

K

Réseau linéaire E y

b) Fig. 5.12. Réunissons les bornes P eî Q à celle d'un interrupteur K ouvert. La branche PKQ est donc caractérisée par la tension Upq et par un courant nul. L'état de cette branche ne change pas si l'on insère entre P et Q une source idéale de tension, dont la f.e.m E est précisément égale à Upq , le pôle positif en P et le pôle négatif en Q. L'effet de fermeture de K revient à ajouter, en série avec la source idéale de tension précédente, une seconde source de tension identique mais en opposition. La différence de potentiel entre les deux points est alors nulle, comme lorsqu'on ferme K. Ainsi, la fermeture d'un interrupteur est équivalente à l'adjonction, au réseau comportant l'interrupteur ouvert K, aux bornes duquel la tension est Upq , d'une source de tension idéale en opposition avec Upq . Ce résultat se généralise aux signaux variables dans l'approximation des régimes quasi stationnâmes.

159

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

b) Application à la mesure de la résistance interne d'une pile par la méthode de Mance Considérons le pont représenté sur la figure 5.13a dans lequel les résistances et Rj sont connues avec précision, Rv est une résistance variable, E est la f.e.m de la pile et R-, sa résistance interne. On réalise l'équilibre du pont, entre les points -4 et S, en cherchant la valeur de Rv qui annule le courant dans la branche AB. Désignons par Upq la tension aux bornes de l'interrupteur et insérons une source de tension idéale de f.e.m Ek = f/pg . Un tel système est équivalent au pont, avec K ouvert.

P e

P e i

/ >< A

Ri

(a)

Q =

2K

P

p} ô

Ri

^2

+

A

P Ri

K b) FIG. 5.13. D'après le théorème de superposition, un tel montage peut être considéré comme la superposition de deux montages : i) dans le premier (Fig. 5.13b), on maintient la pile et on passive la tension idéale en connectant directement les points P et Q. Ce montage est équivalent au montage initial avec interrupteur fermé. L'intensité du courant qui circule dans la branche AB est . ii) Dans le second (Fig. 5.13c), on maintient la tension idéale Ek et on passive la pile en la remplaçant par sa seule résistance interne. Ce montage est équivalent à un pont de Wheatstone. L'intensité du courant qui circule dans la branche AB est . On sait qu'elle est nulle lorsque le pont est équilibré, c'est-à-dire lorsque : R

i

Ri

Ri

Rv

On en déduit que l'intensité / est égale à

,, . d ou

Ri = Rv^Ri

, que l'interrupteur soit ouvert ou fermé.

Une telle détermination de la résistance interne d'une pile, insérée dans l'une des branches d'un pont de Wheatstone équilibré (dans la branche AB ), avec un interrupteur K dans la branche PQ, est connue sous le nom de méthode de Mance . Application : P| = P3 = 2 kO et Rv = 14,5 fi ; on trouve P, = 14,5 fi. c) Extension au régime quasi stationnaire Le résultat précédent s'étend sans précaution particulière aux circuits variables dans l'approximation des régimes quasi stationnaires. Par exemple, considérons le circuit de la figure 5.14a dans lequel, lorsque l'interrupteur K est ouvert (Fig. 5.14b), on mesure entre les points P et Q une tension efficace Upq = 12 V , en présence des sources de tension, de f.e.m efficaces Pi et £2 inconnues, mais avec les valeurs d'impédances données sur la figure.

160

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

24 ù

24 il

K

12 V 48 n

£ Q E2

48 il

c 70 n

^

70 i>. B

B a)

b) FlG. 5.14.

On se propose de déterminer la variation de la tension entre les bornes A et B de la bobine, lorsqu'on ferme l'interrupteur. Pour cela, ajoutons entre P et Q une source de tension de f.e.m 12 V , mais en opposition avec la tension avant fermeture de K .La variation de tension recherchée est obtenue en calculant l'intensité du courant que fait circuler cette nouvelle source de tension, lorsqu'on passive le circuit initial. On trouve aisément cette intensité en appliquant le théorème de Thévenin. Il vient : [r + jLù))i La tension complexe

= -12\/2

où

{Hab)" r + JLoj + Zrh

i

est, en choisissant r = 14 fi et Lco = 20 fi (Fig. 5.14b) : 2 24

*4Si cos{ù)t) = -4V2cos{(ot)

d'où

i= -

1Qq

^2Q cos(^)

Quant à l'impédance interne Zjy,, elle vaut, puisque le condensateur est court-circuité : ZTh

70

24x48 24 + 48

86 fi

On en déduit la surtension mesurée lorsqu'on ferme K : 4+2 = —(14 + /20)y —— — cos(wr) ^ 100+j20 " ' dont la valeur efficace est : At/AB

4

14+720 100+720

1/2 53

-4( ) [104)

= 2, 85 V

II. — CAS DES SOURCES COMMANDEES Jusqu'à maintenant les sources de tension ou de courant considérées étaient indépendantes. Or les composants actifs, tels que les transistors sont représentés par des schémas électroniques dans lesquels des sources de tension ou de courant ont des caractéristiques qui, elles, dépendent des autres paramètres du réseau. Par exemple, sur le montage de la figure 5.15, représentant un transistor (cf. chapitre 7), le c.e.m de la source de courant dans la deuxième maille est proportionnel à l'intensité £, dans la première ; il s'écrit précisément : i.2 — 13 i\ . Lorsqu'on applique les théorèmes de Thévenin ou de Norton, la détermination de ej^ , qui est la tension entre les points A et S d'une branche ouverte, ne pose pas de problème particulier.

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

161

-[

A /?! Ud

Ri

012

B FIG. 5.15.

En revanche, celle de Zm par la passivation des sources d'un réseau, qui consiste à court-circuiter une source de tension et à « coupe-circuiter » une source de courant, ne peut plus convenir. En effet, la suppression d'une f.e.m indépendante dans une branche impliquerait automatiquement celle de l'intensité i dans une autre branche, ce qui reviendrait à annuler la f.e.m commandée. On évite cette difficulté en utilisant les deux méthodes suivantes de détermination de l'impédance de Thévenin, moins simples mais valables, elles, dans tous les cas.

II. 1. — Détermination de Pimpédance de Thévenin En présence de sources commandées, on peut déterminer l'impédance de Thévenin du réseau entre les points A et fi, de deux façons différentes plus ou moins commodes, selon la nature du réseau considéré. a) Méthode du courant de court-circuit Le courant de court-circuit entre les points A et fi est, comme on le sait, le courant qui parcourt la branche Afi lorsqu'on court-circuite ces deux points par un simple fil de connexion. En régime quasi stationnaire sinusoïdal, le rapport de la f.e.m de Thévenin eTh sur son intensité icc donne précisément l'impédance interne (Fig. 5.16) : y Ç-Tk ^Th — —

' ■a o c a û (M 1—1 O CNI © ai a. o (J

R

Ih

A

e

Th

FIG. 5.16.

FIG. 5.17.

Exemple : déterminons la f.e.m de Thévenin entre les points A et fi du circuit, représenté sur la figure 5.17, dans lequel les éléments passifs sont des résistors ; le c.e.m de la source de courant est commandé par l'intensité i de courant qui parcourt la résistance R\ . La branche Afi étant ouverte, on trouve aisément que e-fh = ^ • Quant au courant de court-circuit, il a pour expression, avec les notations de la figure : icc - i(l + «) avec i est tel que e — R\i

e = lr

Ro

Rih . Il en résulte : fii a

d'OÙ

Lr =

e(l + «0 fi2 + fii/(l+«)

fi2(l + cr)+fi|

162

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

On en déduit la résistance de Thévenin : n _eTh _ Kn — — —R rCl Te

R\ 1 +«

b) Méthode du générateur auxiliaire Neutralisons les f.e.m indépendantes et connectons un générateur de f.e.m eg entre les points A et 5. Si l'intensité du courant débité par le générateur est L , l'impédance de Thévenin est (Fig. 5.18) :

Zn = % k

Th en

Fig. 5.18. Exemple : reprenons le circuit de la figure 5.17. Le courant i

satisfait aux deux équations suivantes

[g = -(1 + oi)i avec z tel que eo = R2Lo — R\ î- H en résulte : Ri . e — R2 Ls + t-:— L 1 + rr ^

„ v ^ 011

Zw —

+

Ri 1 +a

Remarques : 1) On retrouve évidemment l'intensité zcc en résolvant le circuit simple considéré, avec A et B reliés par un fil de connexion. En effet, on a alors : R

icc — (1 + odji

et

£ = /?iz + /?2 icc = Ri icc

\ . ' 1 + a ïcc

r . a011

•

_ ^ ~/?2+ /?,/(!+«;

?cc

2) La méthode de passivation de toutes les sources, ici inadaptée, aurait donné pour Z77,, les résistances étant en série : ZTh = R\ -\- Ri et donc icc = e/{R\ + Ri) comme valeur de l'intensité, ce qui est inexact.

II. 2. — Applications a) Générateur de Thévenin associé à un transistor La figure 5.19a représente le schéma équivalent simplifié d'un transistor. La f.e.m du générateur équivalent de Thévenin, que Ton obtient en l'absence de branche AB extérieure, a pour expression : Zip Çn = -ZiPlb

avec

ib = ^ -M

d'où

eTh =

z,

u,

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

163

Quant à l'impédance Zn , on la trouve en déterminant l'intensité du courant de court-circuit. Pour cela, on relie les bornes A et S par un simple fil de connexion (Fig. 5.19b). Il vient : Le = -PL = -fiTr Z l

d'où

zTh = — = Zj lec

Ordres de grandeur : avec le transistor bipolaire NPN 2N2219, pour lequel : /3 = 180

Z2 = 5 kfi

Z\ = 2,5 kO

et

ue = 25 mV

on trouve : e-ru = —360 m. = — 9 V vr/î

"

et

-r-c l b z.

Zn, = 5 kll

l

b

A

Z,

Z2

Z2 8

b) FIG. 5.19. b) Générateur de Thévenîn associé à un réseau avec bobines couplées Un exemple de circuit à sources commandées est fourni par le couplage de deux bobines (cf. chapitre 11). Proposons-nous de déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin entre les points A et 5 du réseau représenté sur la figure 5.20. /,

L\, ri

2 \ Li.n

l

v ei

Zi

A

/ > 1 2 |

I

B

FIG. 5.20. Dans la maille 1 (respectivement 2 ) apparaît une f.e.m supplémentaire proportionnelle à la variation de l'intensité du courant qui circule dans le circuit 2 (respectivement 1 ) et au coefficient d'inductance mutuelle M, lequel est positif ou négatif selon le sens des enroulements (cf. Elecîromagnéîisme). Les deux équations du réseau s'écrivent donc : e

\ — nO + Li

+ M+ Z| (q — 12)

et

^z2'2

0 — r2i2 +

—

Z\ (q — ij)

ce qui donne, en régime sinusoïdal et en notation complexe : ^1 = (r\ EjLxCû)^ -\- jMù)i2 + Zi(f, - i2)

et

0 = (^ +

La résolution laborieuse de ces équations fournit l'intensité ^

+jM(oi_x + Zi^ - Zi(f, - i2] et

donc la f.e.m de Thévenin selon :

164

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

On trouve Zti, en déterminant icc , lequel s'identifie k [2 si Z2 = 0 : ei = (n +JLiù))il +jM^4c + Z, (z, - 4C)

et

0 = (r2

+JMûjij - Z, ([, - i^)

Exemple : plaçons-nous dans le cas concret où la pulsation est telle que : L, w = Lo w = 5 O En outre, r\ = r2 ~ 0 et

Mù) = -4 H

Zj = (3 — 4/) O

et

Z2 = 5 fi

= 10 V . Le système numérique à résoudre est alors le suivant : ô,m(3 + j) — 3*2,m — 10

3zi;r„ — (8 -\-j)i2,m — 0

On trouve : l2,m — Pour déterminer le courant

14 -f 1 ij

Ct

CT-;, ,,, — -Th'm 14 +1 y

, il faut résoudre le nouveau système :

ô,m{3 +7) -

= 10

3zj,ni - (3 +7)icc:m =

0

On obtient : 150 ^ - ^TTÔj

et

Zr

w

-I + 67 _

-1 +67

X

_

^ 14 + 11/

14 + 117

"-/,

30

Ainsi, le générateur équivalent de Thévenin est caractérisé par : ^«=<^^'=(^2-75,2^

et

Zr/i = 5I^_| = (0,8+7 1,5) fi

III. __ analyse des reseaux Analyser un réseau, c'est-à-dire un circuit comprenant un nombre suffisant de mailles, c'est mettre en œuvre une méthode qui permet de connaître son état électrique, présent et futur. III. 1. — Variables d'état d'un réseau électrique a) Inconnues du réseau Considérons un réseau tel que celui représenté sur la figure 5.21, lequel est un pont de Wheatstone modifié, qui comporte six branches (b = 6 ), contenant chacune un résister, et quatre nœuds N\,./V2, A3 et A4 (n — 4). La connaissance des intensités des courants, dans les h branches du réseau, détermine l'état électrique du réseau, puisque les tensions entre deux points quelconques du réseau s'en déduisent, en appliquant les relations entre courant et tension aux bornes de chaque dipôle. En fixant arbitrairement un potentiel de référence, origine des tensions dans le circuit, que l'on appelle la masse, le nombre total Af de variables inconnues du réseau est la somme des b intensités iki des courants qui circulent dans les branches A/CA/, délimitées par les nœuds et Nj, et des n — \ tensions de nœud : Nt = b + n-\ Le circuit de la figure 5.21 comporte Af = 6 + 4—1 = 9 variables inconnues, 6 courants et 3 potentiels de nœud.

165

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

x i\ N2 ~ i Rs

R3

n4

Rs

! 3"

FIG. 5.21. b) Variables d'état Les h variables d'intensité du réseau ne sont pas indépendantes, car elles sont reliées entre elles par les lois de Kirchhoff relatives aux nœuds et aux mailles. Appliquée aux n nœuds du circuit, la loi des nœuds fournit n équations, dont seulement n — \ sont indépendantes. En effet, aux deux extrémités d'une même branche N^Ni, le courant 4/ converge en Ni et diverge de A4 . Par conséquent, en considérant les courants externes à cette branche, au nombre de j au nœud A4 et de / au nœud Ni, la loi des nœuds en ces points s'écrit, respectivement : j

f

ikl "F ^ ^ ~mhn w=\

=

0

Ct

4/ "F ^ ^ Xw'm — 0 m=\

où £m traduit l'orientation des courants im . La somme, membre à membre, des n équations de nœuds, donne l'égalité 0 = 0, puisque chaque courant apparaît deux fois avec des signes opposés, ce qui retire une équation au décompte initial. Ainsi, le nombre Ne de variables indépendantes d'un circuit électrique, appelés variables d'état, qui déterminent toutes les autres grandeurs électriques, est relié aux h branches et n nœuds du système par la relation : Ne = b — {n — })= b — n + ^ Dans le réseau de la figure 5.21 le nombre de variables d'état est donc : A4 = 6 — 4+1=3. III. 2. — Analyse des réseaux linéaires a) Réseaux linéaires Dans les circuits linéaires, qui sont constitués uniquement de dipôles linéaires et de générateurs de tension ou de courant, les relations courant-tension aux bornes des dipôles du circuit se réduisent à des relations affines, en présence de f.e.m ou de c.e.m, ou à des relations de proportionnalité : i) entre grandeurs stationnaires en régime établi, {U — RI) -, ii) entre grandeurs complexes en régime sinusoïdal forcé dans l'ARQS ( u — Zi), iii) entre les transformées de Laplace des courants et des tensions, en régime variable quelconque dans l'ARQS ( TL{u} = Z(p) TL{ï} ). Dans ces conditions, les équations issues des lois de Kirchhoff deviennent des combinaisons linéaires des grandeurs inconnues. Le formalisme matriciel est alors particulièrement adapté au traitement des réseaux linéaires.

166

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

b) Méthodes d'analyse Les méthodes d'analyse des réseaux visent soit à trouver l'ensemble des b courants de branche, soit à connaître l'ensemble des n — 1 potentiels de nœud ; les grandeurs inconnues restantes, tensions de nœud ou courants de branche, se déduisent évidemment des relations tension-courant aux bornes des dipôles du circuit. Il existe principalement trois méthodes d'analyse équivalentes qui, par des écritures spécifiques des lois de Kirchhoff, permettent d'obtenir toutes les grandeurs électriques d'un réseau : i) l'analyse par les courants de branche, qui cherche à accéder aux b intensités des courants dans les branches du circuit, ii) l'analyse par les tensions de nœud qui conduit à déterminer les n — 1 tensions de nœud, un nœud étant choisi comme référence des tensions, iii) l'analyse par les courants de maille qui, en introduisant Ne = b — n + 1 courants fictifs indépendants, de maille, permet d'accéder aux courants dans les branches du circuit. Nous nous proposons dans la suite de mettre concrètement en œuvre ces méthodes sur l'exemple de la figure 5.21, avec les valeurs suivantes des caractéristiques des composants : = 1 kfl, R] = l kfi, r2 = 10 kO, = 10 kfi, /?4 = 10 kfi ,^5 = 1 kfi, £î = 5 V, £3 = 12 V, la = 10 mA et R2J2 = 100 V . Notons que les sources, réelles, sont représentées par un générateur de tension ou de courant avec sa résistance interne.

III. 3. — Méthode des courants de branche Pour déterminer les intensités des h courants de branche, on exprime d'abord les n — 1 relations indépendantes issues de la loi des nœuds, écrites en fonction des courants de branche. On complète ensuite le système d'équations par b — n -\- \ relations, issues de la loi des tensions appliquée à un même nombre de mailles dans le circuit. Afin que les équations obtenues ne soient pas redondantes, le choix des mailles doit inclure toutes les branches qui comportent des sources, ces dernières ne pouvant évidemment pas être sans effet sur le réseau.

(NI (3) £ "l-

Notons qu'il est impossible d'appliquer la loi des tensions à une branche du circuit constituée d'une source parfaite de courant, puisque la tension à ses bornes dépend du reste du circuit. En revanche, le courant dans la branche est connu, ce qui réduit d'une inconnue le système d'équations. Il suffit donc de choisir b — n mailles qui ne comportent pas cette source de courant pour compléter le système d'équations (cf. Exercices).

a) Mise en équations La loi des nœuds, en iVi , A? et A4 par exemple, donne trois ( n — l = 3), équations indépendantes : —il + h + i6 = 0 en N\ il + h + /s

=

0

en

N2

h + U + *5

=

0

en

A4

Appliquons alors la loi des tensions dans trois (h-n-yi = 3), mailles choisies parmi les sept que compte le réseau. Les mailles A1A2A3/M , A1A2A4 et A2A3A4 conviennent puisqu'elles englobent

167

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

toutes les sources. En veillant à Torientation algébrique des courants, on trouve : E[ ~ R]i] + Riih ~ Zi) + £3 — Rek

=

0

E\ —R[i\ 'E R5I5 —£3'3

—

0

Rii}! ~ Tô) + £4/4 — £5/5

—

0

ce qui donne, en séparant les termes de source : R{i\ — Rih + Reie

=

E\ + £3 — R-iT-i

R\i\ + R3I3 ~ Rsis

=

E\

Rih + Râ,U — Rsh

—

R%Ei

Le système linéaire précédent, constitué par les six équations de branche, peut ainsi se mettre sous la forme matricielle : [Z]['l = [5] dans laquelle [/] est le vecteur colonne des courants de branche, [S] le vecteur colonne des sources et [Z] la matrice impédance. Cette équation s'explicite selon : -1 1 0 R\ Ri 0

0 l 0 -Ri 0 Ri

1 0 1 0

0 0 1 0

0 1 1 0

£3 0

0 £4

-Rs -Rs

0 0 0

i\ h h U is

£1 +£3 £1 R2Z2

A

b) Résolution du système Les méthodes de résolution du système d'équations linéaires précédent sont nombreuses. En pratique, il est efficace d'utiliser une calculatrice scientifique, ou mieux un logiciel de calcul qui inverse la matrice des impédances et donne : [^[zr'is] On trouve les valeurs suivantes des intensités en mA : i[ se —4,38

*2 ^ 7,36

13 se 0,64

?4 se 2, 34

-2,98

-5,02

III. 4. — Méthode des tensions de nœud Une fois choisi le nœud de référence, on détermine les valeurs des n — 1 tensions de nœud, en exprimant les n — 1 relations issues de la loi des nœuds en fonction des tensions de nœud. a) Mise en équation Choisissons l'origine des potentiels en N] .La loi des nœuds en N2 , A? et Yl[Et~U2) + Y5{Ui~U2) + Y1(U^U2)+X2

=

0

Y4{U4-U3)~Y2{U3~U2)~l2-Y6{U3 + E3)

=

0

F3{C/4-0) + 75(£/4-f/2) + F4(f/4-£/3)

=

0

ce qui s'écrit aussi, en séparant les termes de source : (Fl+y2 + y5)C/2-JW3-î'5£/4

=

lî + FlO

-Y2U2 1 {Y2 \ v.i + Y^)U3 — Y4u4

—

—X2 — y

-yst/î-ya^ + fFs + ya + ys)^

=

o

donne :

168

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

s b) Ecriture matricielle Le système linéaire constitué par ces trois équations peut se mettre sous forme matricielle : IY][U] = [S] dans laquelle [£/] est le vecteur colonne des tensions de nœud, [,5] le vecteur colonne des sources et [Y] la matrice admittance : -y| + y2

+

y5

Y2 -Y5

_y2

_y5

L2 + 74 + L6 -74

ir^l

F X2 + YyE]

-74 f/3 = -l2-Y6E3 0 73 + 74 + 75J L^J [

Comme la matrice des admittances est simple et symétrique, cette méthode est remarquablement efficace. Notons les points suivants : i) un élément diagonal 7^ de la matrice des admittances est la somme des admittances reliées au nœud , ii) l'élément non diagonal 7/c/ est égal à l'admittance de la branche N^Ni changée de signe, iii) la ligne k du vecteur colonne des sources est la somme des c.e.m qui aboutissent au nœud Nk , avec la convention habituelle consistant à compter positivement les courants dirigés vers le nœud et négativement les courants qui en sortent. Remarque : Si une branche comporte un générateur de Thévenin, il est nécessaire de convertir ce dernier en son générateur de Norton équivalent. c) Résolution du système La résolution numérique donne : f/2 ^ 9,38 V , F/s ^ —17,02 V et t/4 ry 6,40 V . On déduit l'intensité des courants de branche à l'aide des relations courant-tension dans chaque branche : il =

K]

~ —4,38 m A

z2 = J2 +

_ U4—f/s ^

« 7,36 m A

/\2

^^ —2,98 m A

7?4

R5

*3 —

iç, =

'

Rq

~i 0,64 mA inA « —5.02 m A -5,02 mA

III. 5. — Méthode des courants de maille Cette méthode consiste à effectuer, directement sur le circuit, un changement de variables, en introduisant Ne variables d'état, homogènes à des intensités, appelées courants de maille. Ces derniers, qui ne correspondent à aucun courant réel, sont construits en choisissant Ne mailles, parcoumes par ces courants de maille d'intensité im^ . L'application de la loi des mailles aux branches communes de deux mailles adjacentes, permet de calculer les courants de maille. Aussi cette méthode est-elle dite des mailles adjacentes. Enfin, avec le théorème de superposition, on relie les courants de maille aux courants de branche. a) Mise en équation Les mailles choisies sont représentées sur la figure 5.22. La loi des tensions, appliquée aux mailles /VjAAA/j, N2N2N4 et NiNiN^BA parcourues respectivement par les courants de maille /mj , èn,2 et .30 s 1

im,3 , donne : hn,l) F R3 (^»,3

i/n, 1 )

-

0

Ejiim,! + Zj) 'F ^4 ('m,3 " Ci,2) -F R5 {hn, 1

Imy)

=

0

*m,3)

=

0

F Rs (hn,2

E3

Rèhn.S F R3 (h?;, 1

_

*111,3) ~F R4(hn,!

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

169

ce qui s'écrit, en séparant les termes de source : {Ri + /?3 + Rs) inifi — Rsim,! — ^3im,3

=

—

^5^,1 + (^2 +

=

—RT^l

—

—

=

^3

+ ^5) 'm,2 — + {^3 + -^4 +

Notons sur la figure 5.22 que q — im,\ ■> I2 — et z<5 = ZW)3 .

hi,3

'm,2 ? '3 — 'm, 1

^1 7V2

'j«,3 » ^4 — im,3

hn,2 » '5 — hn,2

,

J# ^2

1. ' Ni

1

13

) >3

16

/?6

12

4 2 i?4

^

N3

4 3 : A

B £3 Fie. 5.22.

b) Écriture matricielle Le système linéaire précédent peut aussi se mettre sous la forme matricielle [Z] [zm] — [5], dans laquelle [im\ est le vecteur colonne des courants de maille, [5] le vecteur colonne des sources et [Z] la matrice des impédances. En explicitant, on obtient : 1 + i?3 + /?5 —/?5 —R3

—i?5 /?2 + /?4 + R5 ~R4

—i?3 —R4 i?3 + /?4 + Rf,

hn, 1 hn,2 *m,3_

=

Ei —R2T2 E3

La forme des matrices obtenues est ici aussi remarquablement simple. Notons les points suivants : i) l'élément diagonal Z^ de la matrice des impédances est la somme des impédances de la maille k, ii) l'élément non diagonal

est égal à l'impédance de la branche commune aux mailles JA^

et

Mi, affectée d'un signe positif si les courants des deux mailles parcourent la branche dans le même sens, et négatif dans le cas contraire ; iii) la ligne k du vecteur colonne des sources est la somme des Le.m de la maille M^, affectées d'un signe positif si le courant de maille z'^Jc sort par la borne positive, d'un signe négatif dans le cas contraire. Notons alors que, si une branche comporte un générateur de Norton, il devient nécessaire de le convertir en son générateur de Thévenin équivalent. c) Résolution du système La résolution numérique donne les intensités suivantes des courants de maille : im,i = —4, 38 mA

z,„;2 = —7,36 mA

ilt,^ = —5.02 mA

170

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

On en déduit, à l'aide du théorème de superposition, les courants de branche selon : h = imj = -4, 38 mA U = int ,3 - ht.2 = 2. 34 m A

A = -hn,2 = 7,36 mA i5 = im,\ -

i3 = zmj - im)3 = 0,64 m A

= -2, 98 mA

k = 'm,3 = -5,02 mA

III. 6. — Comparaison des méthodes d'analyse des réseaux L'analyse par les courants de branche a l'avantage de conduire directement à la détermination de tous ces courants, mais au prix d'une résolution d'un système d'ordre élevé {h — 6). L'utilisation des tensions de nœud ou des courants de maille présente, elle, l'avantage d'introduire un nombre plus faible d'inconnues indépendantes {h — n h 1 = 3 ) ; les courants de branche sont alors calculés en combinant les tensions de nœud ou les courants de mailles obtenus.

IY. — UTILISATION DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE En appliquant les propriétés de la transfonnée de Laplace (cf. annexe 3) aux équations définissant les relations tension-courant des dipôles passifs, résistor, condensateur et bobine, s'introduisent naturellement les impédances symboliques de ces composants, avec lesquelles les théorèmes précédents d'analyse des circuits s'appliquent sans modification essentielle. IV. 1. — Impédance symbolique d'un résister La relation uR = IUr , entre la tension ur aux bornes du dipôle et l'intensité Ir du courant qui le traverse, donne, en prenant la transformée de Laplace des deux membres :

t/fiW = Rh(p)

d'où

zR(p) =

Ir\P)

= R

IV. 2. — Impédance symbolique d'un condensateur De la même manière, la valeur de l'impédance symbolique Zc{p) d'un condensateur de capacité C, s'obtient à partir de la relation entre la tension lie et l'intensité ic du courant qui la traverse. On sait que l'on a : uc{t) - uc{0) = — [ icit^àr' ^ Jo Or la transformation de Laplace d'une fonction (cf. annexe 3) :

est reliée à celle de sa dérivée g{t) par l'équation

TL{jAt)} = ^ + ~-

avec

G(p) = TL^f)}

ce qui donne dans l'exemple d'un condensateur, de charge initiale (à r = 0) Cwc(0) : u

c{p) = ^7^ + hp

p

ou

Icip) = CpUc(p) - Cmc(0)

En introduisant l'impédance symbolique du condensateur :

= z-

171

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

les relations précédentes deviennent respectivement : Uc{p) — Zplcip) +

wc(0)

et

Ic{p) = CpUcip) - Cmc(O)

P

Sur la figure 5.23a on a dessiné le schéma symbolique équivalent du condensateur, avec la condition initiale uc{Q)/p représenté par un générateur en série dont la tension indicielle correspondante s'écrit uc{0) Y(f) . En b, le schéma s'appuie sur la deuxième équation ; la condition initiale Cmc(O) est traduite par un générateur de courant impulsionnel d'expression Cuc{0) 8(t) (cf. annexe 2). l/Cp l/Cp

u

c{0)/p

Ic(p)

lc(p) Cuc{0) (D-

Uc(p)

Vcip) b)

a) Fie. 5.23.

Remarque : On peut vérifier l'homogénéité des équations précédentes en notant que p a la dimension de l'inverse d'une durée, U{p) celle du produit d'une tension par une durée et/(/?) celle du produit d'un courant par une durée, c'est-à-dire d'une charge. IV. 3. — Impédance symbolique d'une bobine On sait que la relation entre la tension ni aux bornes d'une bobine, d'inductance L, et l'intensité il du courant qui la traverse s'écrit : , diL UL

=

L

d7

Comme la TL d'une fonction est reliée à celle de sa dérivée par l'équation (cf. annexe 3) :

TL

{ ~d^ }

=

^

aVeC

~

= TL

{gW }

Il vient, en prenant la TL de l'équation de départ : UL{p) = L[plL(j?) - ?L(0)] = LpfL(p) - LiL(0)

ou

IL{p) =

Lp

+ l^l p

En introduisant l'impédance symbolique Zi(p) d'une bobine : Zl(p) = Lp les équations précédentes s'écrivent : Ul{p) = ZL{p)IL{p) - Lil{0)

et

IL{p) = Zlip)

p

On en déduit deux représentations de la bobine : sur la figure 5.24a, on prend en compte le courant initial en introduisant un générateur de tension impulsionnel, de f.e.m —Lii{0) ô{t) ; en b, on représente ce courant par un générateur de courant indiciel de c.e.m ïl(0) Y (?).

172

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

h{p)

Lzl(O) h(p)

Lp ■mm-

<Xh^(0)

Vdp)

Vdp) b)

a)

FlG. 5.24.

IV. 4. — Application au filtre passe-bas RC On sait que l'équation différentielle linéaire et du premier ordre, à laquelle satisfont de nombreux systèmes électroniques, dont le filtre passe-bas type RC de la figure 5.25 (cf. chapitre 4), se met sous la forme : ds{t) , , , , tc ^ + s(t) = e(t) avec rr = RC En prenant la transformation de Laplace des deux membres de cette équation différentielle, on obtient, avec les notations habituelles : Te [pS{p) - .v(0)] + 5(p) = E{p)

E{p) Uo S{p) = — + 1 + pTc PTr p-\-\/Tc

soit

où

Uq = s(0)

représente l'influence de la charge initiale du condensateur. R

R

e(f)

C

s(/)

Cp

R(p)

s(p)

Uc,0 p

FIG. 5.25.

Fig. 5.26.

Remarque : On retrouve ce dernier résultat en remplaçant la résistance et le condensateur par leurs impédances symboliques. Le circuit de la figure 5.25 se transforme selon la figure 5.26, où la tension {/qY(r) traduit la charge initiale du condensateur. En effet, avec des diviseurs des tensions E{p) et t/o(p), on obtient :

s{p)

i/(cw m R+l/[Cp)

Uo

R

p R+l/{Cp)

soit

S{p)

E{p)

|

Uo

puisque tc = RC. a) Réponse transitoire à un échelon de tension À un signal d'entrée, de type échelon de tension e(t) = eniY{t), le circuit donne la réponse suivante : p/ \ , Uo . em r/ s S( ? = J) "7 / c puisque E{p) = — p{pTc +Tn 1) + p +. i1/t p

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

173

Il vient en décomposant S(p) en éléments simples : B S( ) = (dl (-+ \ Te \P p + l/Tc)

rA(p+ 1/tc) + Bp tc [ p{p + 1/tc)

p -y \/rc

ç( ) — Tc [

P(A + ^) + A/rr p0+ 1/tc) \

P+Ï/Tc

p -y l/rc

On obtient, par identification, A = —B = tc , et donc : S(p) = em

fl \p

1 u \ , o ——— + — p-yl/TcJ p + l,

on en déduit le signal s{t) pour / > 0 , en prenant la TL inverse (cf. annexe 3) : s{t) - em

l - exp

+ f/o exp ^ ^r

h) Réponse transitoire à un signal sinusoïdal Appliquons à l'entrée du système défini par la fonction de transfert H(jco), à un instant pris comme origine, un signal sinusoïdal e{t) = em cos(2) p + l/rc

jr,/ \ P E(/7 = em——y p- + co2

puisque

ce qui s'écrit aussi : ç/ \

e =

jy(

A

BpjyC\ 2

Tc\P+i/Tc

Up

2

p + (x) )

P+1/Tf

On détermine les trois coefficients A , S et C en réduisant au même dénominateur et en identifiant : Bp + C _ A (p2 + to2) + {Bp -y C)(p + 1/tc)

A p -h 1 /rc

p2 + m2

(p + 1 /rc) (p2 + co2)

soit : ,

=

(A + g)p2 + Aco1 + CItc -y p(C + B/tç)

Uq

(p+l/Tc)(p2 + ^

P+1/tc

KP)

On en déduit : A+5—0

Aù)~ H

—0 Tr

et

C -f- — — 0 rr

d'où : A = —B = —

^+

C

=

C

f7i2+lN)=1

61

C

= 1 + (û2T]

Finalement, en exprimant A et S en fonction du seul facteur C qui ne dépend que de {tor^)2, on obtient : û>2T2 V

p+l/rc

p2 + (02J

p + l/Tc

ce qui se simplifie selon :

1 + ùj2t2 \ p + 1/tc

p+ p2 + co2 J

p + 1/r

174

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

Il vient alors, en revenant au signal s{t) (cf. annexe 3) :

1 + (O

^ cos(^r) + (yrcsin(wf) — exp

+ f^oexp

~

En faisant tendre t vers l'infini, on restitue évidemment le régime établi, (cf. chapitre 4) : s{t} =

1 + co2T^

cos(£a/) + ù)tc sin

On voit que le calcul opérationnel permet d'obtenir globalement la réponse complète du circuit, en régime transitoire et en régime établi.

CONCLUSION Rappelons les résultats essentiels que sont les théorèmes de superposition, de Thévenin et de Norton, ainsi que les méthodes d'analyse des réseaux linéaires. 1) Le courant produit dans une branche par un ensemble de générateurs est la somme des courants produits par chacun d'eux, les autres étant remplacés par des courts-circuits pour les sources de tension et par des coupe-circuit pour les sources de courant. 2) Selon le théorème de Thévenin, le courant dans une branche a pour expression, en régime stationnaire ou quasi stationnaire : . _ (ijUgX' Zn + Z dans lequel Zj/, est l'impédance du système initial, mesurée entre les points A Qi B, une fois les générateurs passivés. 3) Selon le théorème de Norton, on a en régime stationnaire ou quasi stationnaire : avec YTH + Y

LN = icc = {uAB)0 Yth

et

Yn =

dans laquelle Y est l'admittance du dipôle de connexion et Yn 1 admittance du système initial passivé, entre les nœuds A et B . 4) La fermeture d'un interrupteur dans un circuit linéaire est équivalente à l'adjonction, dans la branche comportant l'interrupteur ouvert K aux bornes duquel la tension est Upq , d'une source de tension idéale en opposition avec Upq . 5) Avec des sources commandées, les théorèmes de Thévenin et Norton sont toujours valables pourvu que les systèmes soient linéaires. Cependant la méthode de détermination de l'impédance de Thévenin par passivation des sources ne convient plus ; on doit lui substituer soit la méthode du courant de courtcircuit, soit celle du générateur auxiliaire : 7 — -— -Th 7.77,

nu OU

7 — - — ~g 7.r/i

6) Concernant la détennination de l'état électrique d'un réseau, l'analyse est conduite à l'aide de trois méthodes qui s'appuient largement sur l'efficacité du calcul matriciel.

175

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

EXERCICES ET PROBLEMES

P5-1. Théorème de superposition Le circuit de la figure 5.27 comporte deux sources de tension, de f.e.m respectives E\ = 12 V , £2 = 24 V, et une source de courant de c.e.m X = 10 m A . 1. a) Calculer l'intensité du courant qui parcourt la branche AB, de résistance R, lorsque seule la source de f.e.m £1 est activée. b) Même question pour l'intensité /(^, du courant qui parcourt la branche AB, lorsque seule la source de f.e.m £2 est activée. c) Même question pour l'intensité /X) du courant qui parcourt la branche AB, lorsque seule la source de c.e.m X est activée. 2. En déduire l'intensité du courant qui parcourt la branche lorsque les trois sources sont activées. Trouver sa valeur sachant que R = l kll. 3. Retrouver l'intensité du courant qui circule dans la branche AB en déterminant la f.e.m £77, et la résistance Rth du générateur équivalent de Thévenin. 4. Toutes les sources étant activées, calculer la puissance reçue par chacun des dipôles. Commenter. x -CDQ A

R

R

R

B Fig. 5.27.

P5- 2. Réseau en régime statîonnaîre On considère le réseau en régime stationnaire représenté sur la figure 5.28. 1. Calculer, à l'aide des lois de Kirchhoff, les intensités des courants dans les différentes branches, sachant que la f.e.m de la source de tension est £ = 6,4 V . 2. Quels sont les générateurs de Thévenin et de Norton correspondants, entre les nœuds A et B du réseau ? 3. Entre A et B, on connecte une charge résistive. Quelle doit être la valeur de sa résistance R pour que la puissance dissipée dans la charge soit maximale ? Calculer la puissance correspondante.

176

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires B C /j

40 fl

y,

"1 6,4 V

160 O

160 fi ™

A

El 1

R2

1

320 n

D

A

R

R B FÏG. 5.28.

FIG. 5.29.

P5- 3. Courant stationnaire dans un ampèremètre Le réseau de la figure 5.29 associe un montage potentiométrique, de f.e.m Zsi , et un montage diviseur de tension, de f.e.m £2 • On connecte le curseur C et le point D aux bornes d'un ampèremètre de résistance interne r. 1. Trouver, en appliquant le théorème de Thévenin, l'intensité J du courant qui parcourt l'ampèremètre, en fonction de E\ , E2, R\ , £2 > R et x, rapport de la résistance du conducteur AC sur 2. Pour quelle valeur de x, / s'annule-t-il ? Effectuer l'application pour £1 = 3 V, £2 = 6 V , R = 100 fi et £2 = 400 fi. Retrouver ce résultat directement, sans prendre en compte la première question.

P5- 4. Bolomètre à pont de Wheatstone Un bolomètre à pont de Wheatstone est un instrument qui permet de mesurer la température T d'un corps, à partir de la variation de la résistance du conducteur ohmique que l'on met en contact avec ce corps. Initialement, les quatre résistances sont égales à £ et le pont, alimenté par une source de tension de f.e.m £, est équilibré. 1. En utilisant le théorème de Thévenin, trouver l'intensité du courant qui circule dans le milliampèremètre, de résistance r, placé dans la branche AB de recherche d'équilibre, lorsque la valeur de l'une des quatre résistances varie faiblement : ( A£
avec

To = 273,15 K

Dans le montage, £ = 12 V, £ = 100 fi et r = 2 fi, à la température ambiante Ta = 293,15 K. Expérimentalement, en plaçant l'une des résistances en contact avec le corps considéré, à la température T, le milliampèremètre détecte un courant de 0,1 m A . Sachant que A = 4 x 10-3 K-1 , quelle est la température recherchée ?

P5- 5. Rôle d'un interrupteur dans un pont de Wheatstone On se propose d'analyser l'ouverture et la fermeture d'un interrupteur K dans la branche diagonale AB d'un pont de Wheatstone, comportant trois résistors, de résistances £1 , £2 et £3 connues avec précision, et un quatrième composant, de résistance inconnue £4 (Fig. 5.30); £1 et £2 sont fixées,

177

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

alors que l'on peut faire varier /?3. Le pont est alimenté, entre les points P oi Q, par une source de tension stationnaire, de f.e.m E et de résistance interne négligeable. A

B

Fig. 5.30. 1. a) Établir, en fonction de £, /?i , 7^2 , ^3 et R4 , l'expression de la tension entre les points A et B, mesurée avec un voltmètre de très grande résistance interne. K étant ouvert. b) Dans ce montage R\ = R2 = 2 kO. On fait varier i?3 jusqu'à réaliser l'équilibre du pont ; on obtient cet équilibre pour la valeur {Rije = 804 fi . En déduire la valeur de R4 . 2. a) Dans le montage précédent, avec K ouvert et E = 1,23 V, on donne à la résistance du troisième composant, une valeur R^, différente de la valeur d'équilibre (Rp^e, sans modifier les autres éléments. On constate alors expérimentalement que la tension Uab vaut 0.5 V . Calculer les courants qui circulent dans les différentes branches du pont, ainsi que la valeur de R3. b) En appliquant le théorème de Thévenin, calculer l'intensité /q du courant qui parcourrait le conducteur reliant les points 4 et i?, si on fermait K . c) En présence du générateur, on insère, dans la branche AB, en série avec K fermé, une source de tension supplémentaire idéale, de f.e.m E' = 0,5 V , le pôle positif en A et le pôle négatif en B . Les intensités calculées à la question 2.a sont-elles modifiées. Si non pourquoi, si oui comment? d) On maintient le générateur, de f.e.m E = 1, 23 V , ainsi que la source de tension idéale, de f.e.m E' = 0,5V, mais on ajoute en série, entre A et B , une troisième source de tension, de même f.e.m 0,5 V et en opposition avec la précédente. Quelle est alors l'intensité / du courant dans la branche AB lorsqu'on ferme K ? Comparer / à /q ? Commenter. En déduire la représentation d'un interrupteur ouvert ou fermé à l'aide de sources de tension idéale. P5- 6, Rôle d'un interrupteur en terme de source de courant

w b l

®

Dans le circuit représenté sur la figure 5.31a, avec les trois sources de tension, de f.e.m respectives E\ , £2 et £3, on mesure, à l'aide d'un ampèremètre, de résistance interne négligeable, l'intensité du courant qui traverse l'interrupteur K fermé. On obtient, de D vers B, une valeur de 1,0 A . 1. On supprime les trois sources de tension dans le réseau précédent, mais on connecte, entre les points B et D, une source de courant d'intensité 1 A , orientée de B vers D (Fig. 5.31b). Calculer l'intensité du courant dans la branche BC. 2. Quelle est la variation de tension entre les bornes B et C du réseau initial, avec les trois sources de tension, lorsqu'on ouvre K ?

178

5. Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

20 a

K

D

20 a 60 a

40 a

A

D

40 a

60 a

50 a 50 a

&

c

Fig. 5,31.

P5- 7. Puissance dissipée dans une impédance de charge adaptée Déterminer le générateur de Thévenin équivalent au circuit représenté sur la figure 5.32, entre les points A et 5 , en régime sinusoïdal. L'amplitude de la f.e.m est 12 V . Un tel circuit générateur débite dans une impédance de charge adaptée, c'est-à-dire que la puissance dissipée dans la charge est maximale. 1. Calculer l'impédance de charge adaptée. 2. Quelle est la puissance dissipée dans la charge ?

K

j

30 a

w5mv- A 40/ a

' 20 a '

^ i -20; a

30 a 20; a

-50; a

A -50; a r = 10 al B

s FIG. 5.32.

fig. 5.33.

P5- 8. Puissance dissipée dans un conducteur ohmique, en régime quasi stationnaire

vveb

-

Entre les bornes A et 5 du circuit représenté sur la figure 5.33, on connecte un conducteur ohmique de résistance R = 10 O. La valeur maximale de la f.e.m de la source de tension sinusoïdale est 90 V. 1. À l'aide du théorème de Thévenin, déterminer le courant qui circule dans ce conducteur, la valeur maximale de son intensité, ainsi que son déphasage par rapport à la source. 2. Quelle est la puissance dissipée dans le conducteur ? P5- 9. Mesure d'une tension par la méthode d'opposition À partir d'une source de tension connue (£"1 ), il est possible de déterminer la tension d'une autre source inconnue (£2) par la méthode d'opposition (Fig. 5.34). Cette dernière consiste à régler la valeur du facteur a du potentiomètre, de résistance R, constitué des résistances en série aR et ( 1 — a)R dans le but d'annuler le courant h .

179

Théorèmes de base dans l'analyse des réseaux linéaires

1. Déterminer les intensités des courants /| et h . 2. À partir de la condition Ï2 = 0, donner l'expression du rapport des f.e.m. E2/E1 . 3. Retrouver les courants I\ et f2 en utilisant la méthode des mailles adjacentes et en orientant les deux mailles dans le sens horaire. h >

(1 - a)R -y h

£1 A

1 ""-1=

aR

E.

Fig. 5.34.

P5-10. Triple réseau RC La figure 5.35 représente un réseau électrique itératif dans lequel /? = 10 kfl et C = 39 nF. On désigne par r la constante de temps de l'une des cellules. 1. À l'aide de la méthode des mailles adjacentes, établir l'expression du facteur d'amplification en tension usjue. 2. Pour quelles valeurs de la pulsation m , le rapport uslue est-il réel ?

R Uc 7777

R C

R c:

7777

c: 7777"

Fig. 5.35.

7777" ////

Fonctions de transfert. Quadripôles

Le concept de fonction de transfert joue un rôle essentiel en physique, surtout en électronique, mais aussi en mécanique et en optique. En effet, chaque fois qu'un instrument fait correspondre une réponse en sortie à une excitation en entrée, se pose le problème de son influence dans la relation entre l'entrée et la sortie. Le cas de l'électronique présente un intérêt particulier, en raison de la facilité technique avec laquelle on peut illustrer concrètement ce concept à l'aide de circuits simples. En effet, si l'on applique à l'entrée d'un circuit RC (Fig. 6.1), une tension ue{r), on constate qu'en général la tension à la sortie iis{t) est différente de ue(t). L'étude de la relation entre us{t) et ue(t) relève précisément de la théorie du transfert. Plus généralement, on peut caractériser tous les systèmes linéaires en électronique par une fonction de transfert. Aussi convient-il d'abord de rappeler la définition des systèmes linéaires en électronique. •-C ue{t)

R

LC

ei

S\

e2

S2

X FIG. 6.1.

Fig. 6.2.

I. — SYSTEMES ELECTRONIQUES LINEAIRES Considérons un système électronique faisant correspondre les tensions de sortie .çj (/) et .^(V) aux tensions d'entrée e\(t) et ^(V) (Fig. 6.2), 1.1. — Définition d'un système linéaire Un système électronique est linéaire si toute combinaison linéaire des tensions à l'entrée admet comme réponse la même combinaison linéaire des tensions de sortie correspondantes : A| e\ + A2 ^2 —> Ai si + A2 ^2 Ai et A2 étant deux constantes réelles ou complexes (Fig. 6.2). Cette propriété justifie l'importance de la décomposition du signal d'entrée en une superposition de signaux sinusoïdaux selon l'analyse de Fourier (cf. annexe 2). En effet, on peut considérer tout signal d'entrée, fonction du temps, comme une superposition discrète ou continue de signaux sinusoïdaux dont l'amplitude complexe est une fonction de la fréquence.

Fonctions de transfert. Qiiadripôles

181

Remarque : Les signaux sinusoïdaux sont simples car, relativement aux opérateurs qui apparaissent dans l'expression des lois physiques, ils gardent leurs formes, lorsqu'on les dérive ou les intègre par rapport au temps. Par exemple : ^ cos{(ot) = —o) sin(W) = wcos (mî + ^ La forme complexe de ces signaux donne un résultat techniquement plus intéressant, puisque l'opération de dérivation d / dt se traduit par une simple multiplication : ^ exp(/û>r) = jco exp(jojt) En langage plus élaboré, on dit, dans ce dernier cas, que le signal sinusoïdal, sous sa forme complexe, est une fonction propre de l'opérateur dérivation. 1.2. — Fonction de transfert Appliquons à l'entrée d'un circuit RC, tel que le précédent (Fig. 6.1), une tension sinusoïdale ue , de pulsation co = Irrf : l

Ie{t) -Me,,„expOr)

On sait que la tension de sortie aux bornes du condensateur s'écrit ; M.W = MVMexp(>r) La relation entre les tensions d'entrée et de sortie est simple à établir puisque le système est un diviseur de tension (cf. chapitre 2) : , ,

Zc

(r) =

^

,

R+-ZC R+Zc^

1 /{jC(o)

x

lIÀ,) evJ

. ,

= R+l/ijCù))^''' RTmc^) ^ = T 1 + jRCco ^

On en déduit le rapport u^{t)/ue(T) : u^t) ue(t)

=

1

:— \+jio/ù)o

en posant

1 con = —RC

Il est souvent commode d'introduire le nombre sans dimension suivant : x=~ =

f

-

/o qui est une pulsation réduite ou \me fréquence réduite. Ordre de grandeur : dans le cas concret ou /? = 5 kfl, C = 20 nF , on trouve : ojo =

RC

= 104 rad s

1

et

/o = — — ^ = 1. 59 kHz 2-77 IttRC

J

Pour tout système linéaire, tel que le précédent, le rapport de la tension de sortie sur la tension d'entrée, qui dépend de la pulsation oj , est Xz. fonction de transfert du système ; on la note très souvent H (Jco) en électronique (cf. chapitre 13) :

1 Cjù)/ù)o Le cas singulier où

= 0 correspond évidemment aux signaux stationnaires.

L'équation précédente est facile à interpréter : le système affecte chaque composante sinusoïdale, en la multipliant par la fonction de transfert H {jco) .

182

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

1.3. — Diagrammes de Bode Pour des raisons pratiques, on utilise généralement comme variable, non la pulsation co exprimée en rad ■ s-1 , mais la fréquence f = coj (2-7r) en Hz. On pose alors : H(jto)=T{f) = \T(f)\exp[j4>(f)] En outre, le domaine de variation de la fréquence, dit spectral, étant très étendu, puisque compris entre quelques hertz et quelques centaines de mégahertz, on utilise en abscisse, non la variable /, mais son logarithmique décimal 1g/, ce qui permet de resserrer l'extension du domaine significatif. a) Gain en tension On appelle gain en tension d'un système, exprimé en décibel, la quantité suivante : G,(dB) = 201g|I(f)| Cette définition fut introduite par l'ingénieur américain A.G. Bell pour deux raisons : i) le module de Tff) pouvant lui aussi varier fortement, une échelle logarithmique permet, ici aussi, de resserrer le domaine significatif de variation, ii) la loi expérimentale du physiologiste G. Fechner montre que la sensation sonore d'un signal acoustique est proportionnelle au logarithme de la puissance mécanique reçue par le tympan de l'oreille et donc au logarithme de la puissance électrique fournie au haut-parleur (cf. Mécanique). Comme l'unité logarithmique qui en résulte s'avère en pratique trop grande, on introduit le décibel en multipliant le logarithme par 10. Le facteur 20 qui apparaît dans l'expression du gain en tension G;, se justifie aisément, car la puissance est proportionnelle au carré d'une tension, ce qui se traduit par un facteur 2 supplémentaire lorsqu'on prend le logarithme. On appelle diagrammes de Bode, du nom de l'électronicien américain H. Bode, les représentations du gain en tension G„(dB) et de la phase de la fonction de transfert en fonction de 1g/. Remarque : Pour des raisons pratiques, on utilise parfois du papier semi logarithmique dont l'échelle des abscisses, qui est celle des fréquences, est logarithmique et l'échelle des ordonnées, qui est celle du gain, linéaire. b) Détermination expérimentale Expérimentalement, on détermine le diagramme de Bode relatif au gain comme suit : pour chaque fréquence, on mesure les amplitudes des tensions d'entrée et de sortie à l'aide d'un oscilloscope. On en déduit leur rapport et donc le gain que l'on porte sur le diagramme relatif au gain. Notons que le module de Tff ) est évidemment non négatif, mais que le gain en décibel est lui négatif dès que |r(/)| < 1 ; en outre, pour |r(/j| = 0, G,, = — oo . On trace le diagramme de Bode relatif à la phase en comparant la phase de la tension de sortie à celle de la tension d'entrée, ce que permet un oscilloscope utilisé en mode de Lissajous (cf. Introduction expérimentale) : 0(/) = M)-(f>e{f)

avec

ue = ue,m ex p [/"(/»,(/")] exp(/27r/r)

et

m, = us,m exp[/"^(/")] txpijlTrf t)

On utilise de plus en plus des décibelmètres qui sont des voltmètres numériques gradués en dB ; dans ces appareils, la tension efficace de référence est 0,775 V, ce qui correspond à une puissance de 1 mW dissipée dans un conducteur ohmique, conventionnellement de résistance R = 600 fl. Pour la phase, on préfère utiliser aujourd'hui un phasemètre, lequel donne une valeur plus précise que celle obtenue avec un oscilloscope.

Fonctions de transfert. Quadripôles

183

Remarques : 1) Les filtres passifs sont caractérisés par un facteur d'amplification en puissance toujours inférieur ou égal à l'unité, et donc un gain en puissance non positif, puisque par définition ils n'utilisent pas pour leur fonctionnent de sources auxiliaires (cf. chapitre 1 ). Cependant leur gain en tension peut, lui, être positif; c'est ce que l'on observe par exemple dans l'étude de d'un circuit RLC lorsque la tension de sortie est la tension aux bornes du condensateur (cf. chapitre 3) : si le facteur de qualité Q est supérieur à 1 , alors le gain en tension sera positif pour une fréquence égale à la fréquence propre du circuit. 2) Une autre façon de détenniner expérimentalement la fonction de transfert consiste à utiliser un générateur d'impulsions qui fournit en sortie la réponse impulsionnelle dont la transformée de Fourier est précisément la fonction de transfert (cf. chapitre 15). 1.4. — Exemple du filtre RC a) Diagramme de Bode De la fonction de transfert Hijco) du circuit RC (Fig. 6.1), on déduit : 1 !(/) =

d'où

1

\T(f)\ =

[l + Cf/Zo)2]1/2

1 +Jf/fo

Par conséquent : O» = 201g

[i + 07/o)2]1/2

= — 101g

et

é = —arctan /o

foj

Sur la figure 6.3, on a représenté le gain en tension G,, et la phase cô en fonction de X = Igx (^ = 10* ), x = ///o étant la fréquence réduite ; on porte directement x en abscisse, sur une échelle logarithmique. Il vient : Gh = —101g (l + x2) = —101g (l + 102*)

et

f = —arctan(10A)

On voit que la valeur maximale du gain en décibel est 0, lorsque x = 0, soit X = —oo, ce qui n'est pas surprenant puisque la valeur maximale de |Z(/) | est 1 . Les valeurs de Gu et 0 pour la valeur singulière x = 1 ou X = 0 sont respectivement : — 101g2 « —3 dB

0„(1) =201g

et

TT 0(1) =--rad

i ^(rad) 0 0 ^ --H -3^

. X = Igx

, X = Igx

" - - \ \

Vv

\ — tt/A- -

V

\ \ \

-20\

— TT jl b)

a) Fig. 6.3.

"-s

184

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

b) Représentation asymptotique Le tracé point par point des diagrammes de Bode étant laborieux, on lui substitue généralement une représentation asymptotique. Dans l'exemple du filtre RC, on décompose l'espace des fréquences en deux zones délimitées par la fréquence /o ( x = 1 ), et on introduit la fonction de transfert normalisée H :

T(f) = n{x) =

= -L

d'où

G„ = 20lg 1 - 20lg{2l/'2) = 0 - 10Ig2 = -3 dB

é = —arctanx = —arctan 1 = —- rad 4 Les deux zones sont donc les suivantes : i) Pour x =///o
d'où

G,, = 201g |2i| ~ 0

L'asymptote du gain est une droite horizontale et la phase est nulle. ii) Pour x =flfn

— jx

1, on trouve :

-jx

d'où

G„

201g \H\ « 201g ( - j = -201gx = -20X \ -^ /

L'asymptote du gain est une droite qui passe par G = 0 pour x = 1 et dont la pente vaut —20 dB par décade, puisque qu'une décade correspond à XX = 1 , soit une multiplication par 10 du rapport ///q . La phase est constante et égale à —-77-/2 rad . Notons que ce même gain diminue de 6 dB , lorsque la fréquence / est multipliée par 2 : Gu = -201g2 ^ -20 x 0,3 = -6 dB On dit aussi que la chute de gain est de 6 dB par octave, car l'octave musicale est définie par un rapport de fréquence égal à 2 . On peut constater, sur la figure 6.3, que le tracé asymptotique donne l'allure des vrais diagrammes avec une très bonne approximation. Retenons que le gain en tension de ce circuit électronique s'effondre pour les hautes fréquences. Aussi est-il utilisé pour privilégier le transfert des faibles fréquences au détriment des hautes fréquences présentes dans le signal d'entrée. c) Bande passante « — 3 dB La fréquence caractéristique /o , correspondant à x = 1 , symbolise une rupture dans la courbe de gain et de phase. Aussi l'appelle-t-on fréquence de coupure à —3 dB , car 20 Ig iZC/o)! = —3 dB et la note-t-on souvent fc. Comme fc —fo — 1/{27tRC) délimite la limite supérieure de la bande passante à —3 dB du filtre et que la limite inférieure est la valeur nulle, la fréquence de coupure fc détermine la bande passante du système. Dans cette bande, le déphasage entre les signaux d'entrée et de sortie est pratiquement constant ; il est nul pour / /o ; pour / =/o sa valeur est —-77/4 rad .

185

Fonctions de transfert. Quadripôles

1.5. — Diagramme de Nyquist Dans le diagramme de Nyquist, du nom du physicien américain H. Nyquist, on représente la fonction de transfert H(Jo}) dans un plan complexe : on porte sur l'axe réel Re{/^} et sur l'axe imaginaire en fonction, par exemple, de la pulsation réduite x. Le point figuratif M décrit, dans ce plan, une courbe lorsque x varie. Dans l'exemple précédent, l'élimination de x entre : =|ilï2

=

et

l-{"l

donne ; Hj = H^x1 = H2r(jj- -lSj=Hr- H;

ce qui s'écrit

(Hr - 0, 5)2 +

= 0,25

Ainsi, le diagramme de Nyquist est, dans ce cas, le cercle de centre C de coordonnées (0.5 :0) et de rayon /? = 0,5 (Fig, 6.4). Lorsque / augmente, le point représentatif M décrit le demi-cercle inférieur AIO, A étant le point de coordonnées ( 1 ; 0 ) et O l'origine du diagramme. Dans la pratique, ce diagramme est moins utilisé que le diagramme de Bode, car la lecture des fréquences est moins commode. En revanche, il présente un intérêt pour analyser la stabilité des circuits (cf. chapitres 12, 13 et 14). ijj —

0,5

1

X = Rel//} Quadripôle

us

M FIG. 6.4.

FIG. 6.5.

II. — QUADRIPÔLES ET FILTRES PASSIFS Le circuit simple de la figure 6.1 peut être considéré comme un quadripôle, c'est-à-dire un système à quatre bornes, deux à l'entrée, entre lesquelles on applique une tension ue, et deux à la sortie entre lesquelles on mesure la tension de sortie us, même si une borne de sortie est reliée à une borne d'entrée (Fig. 6.5). Si le gain en tension varie, lorsqu'on fait varier la fréquence, on dit qu'on a réalisé un filtre en fréquence. Comme, en outre, la puissance à la sortie est nécessairement inférieure à la puissance à l'entrée, puisque le système ne reçoit pas d'énergie d'une source auxiliaire, le filtre est passif II. 1. — Classification des filtres passifs a) Selon leur fonction Dans cette classification, on distingue les filtres passe-bas, les filtres passe-haut, les filtres passebande et les filtres coupe-bande (ou réjectecteur de bande). On les désigne parfois, de façon plus précise, par le nom de la fonction qui les caractérise ou par celui d'un auteur historiquement lié à leur étude.

186

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

Ainsi, en électronique, le filtre passe-bas exponentiel et le filtre passe-bas de Butterworth ont pour fonctions de transfert respectives, en fonction de la fréquence réduite x : n{x) = exp( -x)

et

H{x) =

(1

Remarque : En optique incohérente, le filtre spatial de Butterworth est souvent défini par la fonction de transfert en puissance, laquelle est donnée par le carré du module de F expression précédente (cf. Optique). b) Selon leur ordre De façon technique et spécifique à l'électronique, on classe les filtres selon leur ordre, c'est-à-dire selon le degré le plus élevé des polynômes qui apparaissent dans la fonction de transfert H(jco). Ainsi, les fonctions de transfert : H(j.co.

Aco-\-B Coj + D

ou

Hijio) —

B Cco -f D

A , B y C, D étant quatre coefficients constants, sont des filtres d'ordre î. En revanche : A i (o~ -(- 5

-f- C|

-|- B2O) -f- C2

H{j(o) =

B\ o) F C\ A2àfi -|- B2à)

C2

et

H{jo)) —

C, A2&^ "h B2O) -f- C2

caractérisent des filtres d'ordre 2. II. 2. — Gabarit d'un filtre passif On appelle gabarit d'un filtre passif la zone géométrique qui le caractérise dans le diagramme de Bode. Pour un filtre passe-bas, cette zone peut être définie par la fréquence de coupure /1 , à G\ dB , en dessous de laquelle tous les signaux sont transmis, et par la fréquence /2(> /î) à G2(< G]) dB, qui donne l'atténuation minimale dans la bande de fréquence à rejeter (Fig. 6.6a). On montre que les gabarits des autres filtres peuvent se déduire du gabarit d'un filtre passe-bas ; par exemple pour un filtre passe-haut, la zone est symétrique par rapport à la fréquence moyenne, comprise entre f\ et /2 (Fig. 6.6b). Les gabarits des filtres passe-bande ou réjecteurs de bande sont des juxtaposition de gabarits passe-bas et passe-haut. G,,

Gu

«1

«1

@2—

«2—

Fig. 6.6.

187

Fonctions de transfert. Quadripôles

II. 3. — Filtres passe-bas d'ordre 1 a) Filtre RC L'exemple le plus simple de filtre passif passe-bas est celui du dipôle RC précédent (Fig. 6.1). Son étude expérimentale est simple à conduire. On a vu que, pour R — 5 kfl et C = 20 nF, on avait /o = l,59 kHz. Le choix pratique d'une valeur de R de l'ordre de quelques kO n'est évidemment pas hasardeux, car l'impédance interne du GBF (générateur basse fréquence), de l'ordre de 50 lî , a ainsi une influence négligeable ; on peut donc se fier à la tension affichée par le GBF. Sinon, il faudrait ajuster l'amplitude de cette dernière, afin que la tension réelle à l'entrée du filtre ne change pas lorsque la fréquence varie. De façon qualitative, c'est-à-dire sans calcul, il est facile de montrer qu'un tel système se comporte comme un filtre passe-bas. En effet, l'impédance offerte par le condensateur, qui est \/{jC(o), s'effondre pour les hautes fréquences ; la tension à ses bornes devient donc très faible. C'est évidemment l'inverse à très basse fréquence. Un filtre passe-bas, tel que le circuit simple précédent, est utilisé lorsqu'on veut privilégier les basses fréquences dans un signal électrique; c'est ce que l'on réalise à la sortie d'un amplificateur audio, en connectant, aux bornes du haut-parleur (HP), un condensateur (Fig. 6.7).

R C

P

Fig. 6.7. b) Filtre LR La fonction de transfert Hifco) du diviseur de tension LR , représenté sur la figure 6.8a, est facile a exprimer ; = ^ = R M s?

R

1 :— = — jLco 1 -f jx

avec

(o f x= — — — ù)o f)

R coq = — L

et

On en déduit : H(x) =

1 1 +jx

ou

H{x) =

O)

avec

i + O)-'

1

R

/0 = —27r L

Il vient, comme précédemment : 1 m = {\+x2yn

Gu = —201g|21| = — 101g(1 +a-2)|

et

f = —arctan.*

Le résultat est donc le même que celui obtenu avec le circuit RC. Dans la pratique, l'utilisation des bobines est moins commode, car ces composants sont plus encombrants et souvent mal représentés par une seule inductance ; on doit prendre en compte une résistance supplémentaire. On tend de plus en plus à les remplacer par des montages équivalents avec amplificateurs opérationnels (cf. chapitre 8).

L

L R H

a)

b) FIG. 6.8.

188

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

Application : filtrage des basses fréquences à la sortie d'un baladeur On sélectionne les basses fréquences à la sortie d'un baladeur à l'aide d'un filtre LR, L étant l'inductance d'une bobine et R la résistance du haut-parleur (Fig. 6.8b). Les ordres de grandeur sont £ = 0,5 mH et /? = 8 D. Par conséquent : 1

/o

=

8

=

= 2 540 Hz

277 0,5 xlO-3

2-77 L

soit

/o = 2,54 kHz

Remarques ; 1) Avec un condensateur au lieu d'une bobine, il aurait fallu une forte capacité, puisque : 277/??

20 jjlF

2) Soulignons que tous les filtres passe-bas d'ordre 1 sont décrits par la même fonction de transfert, laquelle est complètement définie par la valeur d'une seule caractéristique, la fréquence de coupure fa . II. 4. — Filtres passe-haut d'ordre 1 a) Filtre CR L'exemple le plus simple et le plus répandu de filtre passif passe-haut est le dipôle CR (Fig. 6.9a). Une analyse qualitative préalable permet d'obtenir rapidement le comportement d'un tel filtre. Pour une fréquence / faible, la tension aux bornes du condensateur est bien plus grande que la tension de sortie aux bornes du résistor; cette dernière est donc négligeable devant la tension d'entrée. La fonction de transfert s'obtient facilement puisqu'on a toujours un diviseur de tension : , .s

i±s ^

iV =

L

R+l/(JC(o)

=

soit

H(j(o) =

1 + \/ijRCù))

—— 1 —JÙJQ/Ù)

avec

wq = ^ RC

On en déduit, en fonction de x =///o : O) 1 -j/x

1 4- (jx)-

1+ (/■*)

d'où : Gu = —101g ( 1 + -^

et

f = arctan

Vx

et

é — arctan 10"

En fonction de X = 1g x:, il vient ; G„ = -ioig(i + i(r2X;

Remarque : Notons que l'on passe d'un filtre passe-bas du premier ordre à un filtre passe-haut du premier ordre en procédant au changement de variable : {jx) en (jx)~[ . Sur les figures 6.9b et 6.9c, on a représenté les diagrammes de Bode en gain et en phase d'un tel circuit avec /? = 10 kO et C = 10 nF. On voit que le gain croît lorsque la fréquence augmente ; le filtre est passe-haut avec une fréquence de coupure fa = fa = 1,59 kHz. On déduit aisément Gu et f , relatifs au filtre passe-haut CR, des mêmes grandeurs relatives au filtre passe-bas RC, en procédant au changement X en —X. En effet, le gain et la phase sont des fonctions respectivement paire et impaire de X : = — 101g (1 + 10

2X

)

et

(f) = arctan 10

x

Fonctions de transfert. Quadripôles

189 G„(dB) 0 ^=

. ^>(rad) tt/2

C - -7r/4 R 7777

\ \

-20

4.

0

b)

a)

X = \gx

c) Fig. 6.9.

b) Applications 1) Filtrage des hautes fréquences à la sortie d'un baladeur Pour sélectionner les hautes fréquences de la tension à la sortie d'un baladeur, on utilise un filtre passe-haut en ajoutant un condensateur en série avec le haut-parleur. Par exemple, si /? = 8 fi et C = 5 |jlF , la fréquence de coupure est : 1 fc =

4 kHz

2ttRC

2) Utilisation de la voie AC d'un oscilloscope Dans un oscilloscope, la voie AC se distingue de la voie DC par un condensateur en série à l'entrée (cf. Introduction expérimentale) ; ce dernier, associé à la grande résistance d'entrée de l'instrument de mesure, forme un filtre passe-haut (Fig. 6.9a) qui étouffe les fréquences faibles, notamment la fréquence nulle. Calculons la capacité C nécessaire pour que la fréquence de coupure d'un oscilloscope, de résistance d'entrée R = 1 MO, soit de 1 Hz : C

1

1

27rfcR

27r x 106

0,16 |jlF

Remarque : On peut réaliser des filtres passe-bas ou passe-haut plus sélectifs en plaçant en cascade plusieurs filtres d'ordre 1 identiques, comme on le verra plus loin. On obtient ainsi des filtres d'ordre 2 ou plus élevé, suivant le nombre de cellules. Cependant il existe aussi des systèmes électriques globalement caractérisés par des fonctions de transfert d'ordre 2 ou plus élevé (cf. Exercices). II. 5. — Filtres passe-bande d'ordre 2 a) Circuit RLC série Le circuit oscillant RLC série peut être considéré comme un système qui fait correspondre, à la tension d'entrée aux bornes du circuit, la tension de sortie, aux bornes du résistor, proportionnelle à l'intensité du courant (cf. chapitre 3). Il se comporte comme un filtre, puisque, lorsqu'on fait varier la fréquence de la tension sinusoïdale à l'entrée, l'amplitude de la tension de sortie varie (Fig. 6.10). On sait que cette dernière passe par un maximum pour une pulsation to du GBF égale à la pulsation propre ojq du circuit : a)

(Oo

/j_V/2 KLCJ

190

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

c o o o

R

Oscilloscope 7777 Fig. 6.10.

Le calcul de la fonction de transfert H(j(o) ne présente pas de difficulté : RCù) HCco) = ^ = = ^ ue R F jLoj +1/ (jCoj) RCù) + j(LCù)2 — 1 )

Le filtre est donc du deuxième ordre. Il est commode d'exprimer H{jco) en fonction de wq et du facteur de qualité Q — Loyo/R : . . 1 Hijco) = ; ; 7—1 +jQ{(o/(O0 - COQ/M] On en déduit, en introduisant la fréquence réduite x = co/coq =f/fo :

n{x) =

i

i

i +jQ{x - i A)

1

x

+ Ql(J ) + (/^)_,]

d'où: 1/2 Gu = 201g \H\ = 201g

[1 + Q2(X — i/x)2]1/2

-101g

1+0

[x~x

et ; d> = — arctan eu-En fonction de la variable X = Igjc, on obtient : Gu = —101g

1 + Q2{\0x - 10-x)l/2]

et

f = -arctan [Q (10x - lO^

Sur la figure 6.11, on a représenté les diagrammes de Bode relatifs au gain et à la phase, en fonction de X = \gx = lg(/7/o) • H s'agit ici d'une autre représentation que celle donnée habituellement (cf. chapitre 3) du pic de résonance qui apparaît pour X = 0 , soit x = 1 ou / = ^ . Lorsqu'on réalise un tel montage, on doit prendre en compte la résistance r de la bobine, dans le calcul de Q, ainsi que la résistance interne du GBF, de l'ordre de 50 fl. Ordres de grandeur : si L = 0,1 H , /? = 90 fl, C = 0,2 pE, on trouve : 1/2 /o = è(è

= 1,13 kHz

et

Q=

L(OQ ~R~

= 7.9

On peut utiliser un tel filtre pour sélectionner une fréquence déterminée dans la tension d'entrée ; il suffit de modifier la valeur de la capacité jusqu'à obtenir un gain maximal aux bornes du résistor. On rend le circuit sélectif en augmentant Q , concrètement en diminuant R.

191

Fonctions de transfert. Quadripôles

G,,

<9(racl) X=\gx

tt 2 X=\gx 0=5 0 = 20

— TT 2

0= 5 (9 = 20

b)

a) FlG. 6.11.

Remarques .■ 1) On s'affranchit de la résistance interne du générateur en utilisant un amplificateur opérationnel monté en suiveur (cf. chapitre 8). 2) Entre la tension de sortie prise aux bornes d'un condensateur et la tension d'entrée, la fonction de transfert est évidemment différente : le gain en tension passe par une valeur maximale non nulle, alors que le filtre est passif (cf. Exercices). b) Filtre de Wien Le filtre de Wien, du nom du physicien allemand C. Wien, à ne pas confondre avec son cousin W. Wien à qui l'on doit des travaux sur le corps noir (cf. Thermodynamique), est un filtre passe-bande d'ordre deux constitué de deux résistors et de deux condensateurs identiques, disposés comme le montre la figure 6.12.

R

X C R 7777"

7777 Fig. 6.12.

Établissons l'expression de sa fonction de transfert, en nous appuyant sur le diviseur de tension ainsi constitué : 1 Z2 H(JÛ)) ue Z, +Z2 1 + Z1/Z2 avec : Z|=*+

1 jCù)

R

et

jCù)

Z2=

"

/^o) _ R-F 1/ {jCù))

« 1 + jRCco

Il vient, en effectuant : Zj

1 + jRCo)

Z2

jCco

x

1 + jRCù)

1 — R2C2ù)2

R

j2RCû) 2+9 "' \^o

jRCù)

6,0

ù)

On en déduit : H(Jco) =

———^ 3+7(a)/&)o —

——

soit

lLix) =

77 ~—n-T 3+j{x—l/x)

OU

0){)

RC

192

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

en introduisant la fréquence réduite x = oj/coo —f/fo . Ainsi : n{x)

i

Q l F Q[(jx) + (jx)-1]

aVeC

^

3

d'où: 1 \U{x)\ =

2 1 2

[9 + (x — 1/x) ] /

' x — X/x f = — arctan " V 3

et "

Sur les figures 6.13a et 6.13b, on a représenté les diagrammes de Bode du gain G,, et de la phase f en fonction de X = Ig^:. Gu = 20\g\n\ = —101g |9 + (10 - 10

-X\2\

et

é = —arctan

iox-io-x\

On voit que Gu passe par sa valeur maximale — 9,54 dB , correspondant à |r| = 1/3 , lorsque X = 0 , soit x = 1 ou f = fo . Pour R = 5 kfi et C = 10 nF, fa vaut ; 1 /o

G„(dB) 0

x

3,18 kHz

ITTRC

firaâ)

= ]ëx

- tï (2 0

X = \gx

— 7r/2 b)

a) Fig. 6.13.

II. 6. — Filtres coupe-bande d'ordre 2 en double T Le filtre, en double T, représenté sur la figure 6.14, est constitué de deux filtres en T, l'un formé de deux condensateurs identiques, de capacité C, séparés par un résistor, de résistance R/2 , l'autre formé de deux résistors, de résistance R, séparés par un condensateur de capacité 2C. C

N

C

K R

R

2C

Us

R/2

Fig. 6.14. Notons, avant tout calcul, que us ^ Me à haute fréquence (o) « oo), ainsi qu'à basse fréquence (û> « 0). Dans le cas concret où R = 10 kfi et C = 15 nF, coq et /q valent respectivement : cûq =

RC

=6,61 x 10 ' rad ■ s-1

et /o = —= 1,062 kHz Itt

193

Fonctions de transfert. Quadripôles

On obtient rapidement le facteur d'amplification en tension, en appliquant le théorème de Millman aux nœuds ^et 5, le filtre ne débitant sur aucune charge. Il vient, respectivement : _ Ile/R + Hs/R MK v — _ ,_ _ 2/R + j2Coj

.. _iCcoue+jCo)us ll\r — __ -N jlCoj + l/R

_UK/R+jCo}UN — 1 !R JCco

^ et

ce qui s'écrit, en introduisant la fréquence réduite x = RCco = oj/cûq =f/fo : _ + UN = Jx ^ ^2(1+jx)

Uy — -K 2(1 F jx)

ei

-

rr _ Hk+MN Us — \+jx

Ainsi, remplaçant dans cette dernière équation uK et uN par leurs expressions respectives , on trouve : _ fe + - x2) 2(1 +jx)2

ue + ul; _ 2(1+jx)2 1-x2

. soit

On en déduit : ue _ 2{] u —o

jx)2

1 =

\ — x2

2(1 + jx)2 - l+.v2 1 - x2

1 -

1 — x + /4x : 4— 1 -x2

h. — =

et

1 -x2 1 — x2 + j4x

Finalement : 1—X2 n(x) — — 0 —w 1 - x2 + ;4x ce qui s'écrit aussi, en divisant les deux membres par jAx : n(x) =

(1-x2)/{47x)

Q[ijx) + (ix)-

2

i + (i - .v )/4/.v

Q=

avec

i+eio'A-) + (/.t)-1:

Ainsi : Gu = 201g

1 — x2 2

1 - x + ;4x

et

f = —arctan

4x 1 -x2

Sur la figure 6.15, on a représenté les diagrammes de Bode relatifs au gain et à la phase, en fonction de X = lgx : ^

11 ~

g

11-102X| [(1 - lO2^)2 + 16 lO2^]'/2

et

, ^"

arctan

4 x 10A i _

Les fréquences voisines de /o sont étouffées. Le système se comporte bien comme un filtre coupe-bande. . 1 G„(dB)

0

TT j2 -

% = ]ëx

> 0(rad)

0

f — 7r/2 a)

b) FlG. 6.15.

— 1g x

194

6. Fonctions de transfert. Quadripôîes

III. — ASSOCIATION EN CASCADE DE FILTRES PASSIFS Très souvent, les filtres passifs réels se présentent comme des associations en cascade de quadripôîes, tels que ceux qui ont été étudiés précédemment. Il est alors commode de décrire le comportement linéaire de ces systèmes par une matrice de transfert, laquelle permet de passer des caractéristiques tension-courant, à l'entrée, à celles tension-courant, à la sortie (Fig. 6.16). Notons que le courant de sortie is, qui traverse l'impédance de charge Zc , sort de la borne 3 du quadripôle. Désignons par Xe la matrice colonne formée par les données tension et courant à l'entrée et par Xs la matrice colonne correspondante à la sortie. Il vient :

X, = [T]

avec

[T] =

a c

b d

car

1

hf

et

cu^-i-df

3 •a c

b d

Zc

Us

2 FIG. 6.16.

III. 1. — Matrices de transfert élémentaires Les matrices de transfert des systèmes électroniques peuvent être obtenues à partir de deux matrices de transfert élémentaires de quadripôîes simples Qi et Q{ représentés sur la figure 6.17 : le premier Qi est constitué d'une impédance ^ longitudinale entre les bornes 1 et 3 du quadripôle et le second Qt d'une impédance 2 transversale entre les bornes 1 et 2. —>■ . 'e ue

-[

z

> i l.s Us

* b) Q,

a) Q, Fig. 6.17.

a) Matrice de transfert de Qi Les relations entre l'entrée et la sortie sont très simples à établir (Fig. 6.17a) Ht = Ue - ZÎe

et

f —f

ce qui se met sous la forme matricielle suivante :

X^lTjiXe

avec

Notons que le déterminant de la matrice [T]i vaut 1.

[7^ =

1 0

—z 1

195

Fonctions de transfert. Quadripôles

b) Matrice de transfert de Q, De même, pour le quadripôle Çf (Fig 6.17b) : et

M* = He

'v —

H le

Z

d'où, matriciellement : Xx = [T]tXe

avec

[7],

1

0

-l/z

1

Le déterminant de [7], est, lui aussi, égal à 1. III. 2. — Matrice de transfert d'une association de quadripôles en cascade Les matrices de transfert élémentaires permettent d'en déduire simplement la matrice de transfert du quadripôle Q formé par l'association en cascade de quadripôles élémentaires. En effet, en procédant de proche en proche, on voit que la relation entre Xe et Xs s'obtient en multipliant entre elles les matrices élémentaires. Notons que l'ordre dans l'écriture des matrices élémentaires est l'inverse de celui dans lequel les quadripôles se suivent (Fig. 6.18). Ainsi, on écrira, pour n quadripôles, qui se suivent en cascade dans le sens Q\ , Qi > •■•Qk • • • > de matrices de transfert respectives [T)], [To],[T^] .,. [7,,] : [T] = [r]„x...[r]tx...[r]2x[T]1 Le déterminant de [7] vaut 1 puisqu'il est le produit de déterminants tous égaux à 1 .

02

« ... «

Qn

Fig. 6.18. Pour trouver la fonction de transfert de Qf\\ suffit de rappeler les relations linéaires suivantes : My = a ue

b ie

et

is = cu^-^-d i_e

et de noter que l'on doit avoir iy = 0. Il en résulte que : hc us = aue-—ue d

d ou

u hc ad — hc 1 — = a- — = — = ue d d d

puisque le déterminant ad — bc de la matrice vaut 1 . Ainsi, la fonction de transfert FKjto) = Tif) s'identifie finalement à l'inverse de l'élément de matrice d :

Remarques : 1) On aura probablement noté l'analogie de traitement avec l'analyse matricielle en optique géométrique (cf. Optique). 2) Les électroniciens définissent souvent la matrice de transfert par l'inverse de la matrice précédente, c'est-à-dire la matrice qui détermine l'entrée à partir de la sortie, probablement pour éviter l'ordre inverse dans l'écriture des matrices successives. Notre choix est conforme à celui que l'on a déjà adopté en optique, précisément « la sortie en fonction de l'entrée ».

196

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

III. 3. — Exemples a) Matrice de transfert du quadripôle passif en T Pour le quadripôle passif en T (Fig. 6.19a), on a : soit

Xs = [T]Xe

avec

[F] = [rj/fe) [r]?fe) [F]/(z,)

Il vient, en explicitant :

H r

1 .

zi

0

1

Z3

^

1

-1/Z2

0

1

-23 1

1 1

1

1 0

[71

1 + Zl/zo -1/Z2

A

-(z\Z2 + Z\Z3 + zizfjlzi 1+Zl/Z2

Zl

12

Zi

Z3

b) Fig. 6.19. b) Matrice de transfert du quadripôle passif en H De façon analogue, avec le quadripôle en II (Fig. 6.19b), on obtient : soi:

x, = [r]zf

avec

[r] = [r],^) [r],(4) [r],(ai)

On trouve, en explicitant : 1

i + 4 Al -{z\ + 4 + 4)/(44 )

-4 + 4 As

T—1

-4 ' 1

(Tl

" 1 0

0 T-H

0

1

1

1

m

1

"

1

1

1

III. 4. — Théorème de Kennely ; conversion triangle-étoile Ce théorème, qui porte le nom de Félectrotechnicien américain du début du XXe siècle A. Kennely, donne les relations auxquelles doivent satisfaire les impédances pour que les quadripôles en T et en II soient équivalents. De façon plus imagée, le quadripôle T est dit en étoile et II en triangle. En identifiant les éléments des matrices précédentes, on obtient respectivement ; Z\Z2 + Z1Z3 + Z2Z3 22

Z\

, — Z2

22

J_ _ 2l + 4 + 4 22

44

1+^ = 1+4 22 23

On retient généralement cette équivalence sous les deux formes suivantes :

et

Zk = Eiï

4 = Zk

selon que l'on passe du montage en triangle (Il d'impédances 4) vers celui en étoile (T d'impédances Zk ), ou l'inverse. La conversion triangle-étoile est largement utilisée en électrotechnique, précisément pour économiser un fil conducteur dans le transport de la puissance électrique, en triphasé (cf. chapitre 2).

197

Fonctions de transfert. Quadripôles

III. 5. — Association de deux cellules identiques RC

1 o

1

On détermine la matrice de transfert de l'association de deux cellules identiques en portant à la puissance deux la matrice de transfert Trc d'une seule cellule (Fig. 6.20) : [7V = [r],(c) [r];(«) =

-jCo)

1 0

1

-R 1

1 —jCco

-R 1 + jRCco

La fonction de transfert d'une cellule, H(Jco) = , s'en déduit à l'aide de l'inverse du quatrième élément de la matrice : . . i 1 H(jio)7 = — = ^ d 1 + jRCco

R C —'—

Ue

C——

FIG. 6.20. Pour obtenir la fonction de transfert de l'ensemble, effectuons la multiplication matricielle Trc Trc en introduisant la fréquence réduite x = RCco : [T]

1 -jx/R

-R 1 +jx

x

1 -jx/R

-R 1 -Fjx

1 + jx —jlx/R -(- x2/R

5

—R — /?(1 + jx) jx + (1 + jx)2

Ainsi : m =

1-fjr'x —jlx/R + x2/R

—R{2 -\-jx) 1 — x2 + j3x

d'où l'on déduit : 1 U{x) =

1— x2 + j3x

On trouve alors aisément le gain en tension Gu et la phase cf? : Gu = 201g \H{x)\ = — 101g[(l — x2)2 + 9x2]

et

é = arctan

3x 2

x - 1

Ce filtre est donc du deuxième ordre. Pour / /c , Gu s'effondre ; lorsque f = fc , Gu = —101g 9 « —9,54 dB . Sur la figure 6.21, on a représenté les diagrammes de Bode correspondants. > » ^>(rad)

' G,, (dB) X - Igx >-

0

0

-934^ — 7r/2-

— TT a)

b) Fig. 6.21.

X - Ig.i

198

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

IV. _ CARACTERISTIQUES DES QUADRIPOLES Nous venons de voir que les quadripôles se comportaient comme des filtres dont la caractéristique essentielle était leur fonction de transfert en tension Tff) = u^li±e, d'où leur nature passe-bas, passehaut ou autre, selon la variation du gain Gu = 201g |T| en fonction de 1g/. Comme le gain en tension de ces filtres est souvent positif, c'est-à-dire que le module du rapport des tensions est supérieur à l'unité, on les qualifie d'amplificateurs en tension. Un quadripôle se comporte généralement comme un filtre passe-bande. Le diagramme de Bode donnant le gain en fonction de la fréquence permet de déterminer la bande passante à 3 dB , à l'aide des fréquences f\ et fi pour lesquelles le gain Gu satisfait à l'inégalité : Gu ^ Gu>max - 3 dB On obtient expérimentalement ce diagramme en appliquant à l'entrée une tension sinusoïdale et en déterminant le facteur d'amplification en tension Au et donc du gain Gu correspondant pour chaque fréquence / (Fig. 6.22). La bande passante à —3 dB est l'intervalle spectral : A/=/2-/l f\ et /2 étant respectivement la fréquence de coupure basse et la fréquence de coupure haute. Gu (dB) 1 3

(Cjômax vr:

TN

r 4 f

\ /2

Fig. 6.22. En dehors du gain en tension et de la bande passante des quadripôles, il existe d'autres grandeurs caractéristiques.

IV. 1. — Impédance d'entrée d'un quadripôle Schématiquement, un quadripôle reçoit un signal d'entrée d'un GBF, lequel peut être assimilé à une f.e.m eg et une impédance interne Z? . Ce générateur débite un courant d'intensité ie dans {'impédance d'entrée Ze de l'amplificateur (Fig. 6.23). À la sortie, l'amplificateur se comporte comme un générateur de Thévenin, de f.e.m Auue et d'impédance interne Zs, appelée impédance de sortie du quadripôle ; il débite un courant d'intensité is dans une c/iarge d'impédance Zc . L'impédance d'entrée Ze est définie par le rapport (Fig.6.23) :

En général, Ze dépend de l'impédance de charge Zc .

199

Fonctions de transfert. Quadripôles

_L

n Auuc u*

FlG. 6.23.

Exemple : mesure de l'impédance d'entrée d'un oscilloscope Le schéma représenté sur la figure 6.24a permet de mesurer la résistance d'entrée Re de l'oscilloscope ; on applique, à l'entrée verticale 7 de l'appareil, une tension stationnaire délivrée par un dipôle, lequel est formé d'un générateur de tension, de f.e.m £, et d'un résistor de résistance réglable Rv . Pour Rv = 0, la déviation verticale du spot est yo î on fait alors varier Rv jusqu'à la valeur R^/j telle que la déviation devienne )'o/2 - On a alors Re = Rv = R\/2 \ on trouve généralement une valeur de l'ordre de 1 MO. Remarque : En toute rigueur, on devrait tenir compte de la résistance interne du générateur, mais cette dernière est négligeable devant Re.

■Y oscilloscope

R,

Y oscilloscope

R.

R. Rr

a)

Ce uc

R.

-TL

b)

FIG. 6.24.

L'impédance d'entrée ne se réduit pas à Re ; elle présente aussi un caractère capacitif que Ton traduit par un condensateur, de capacité Ce en parallèle avec Re . Pour le vérifier et mesurer Ce , il suffit de remplacer, dans le montage de la figure 6.24a avec Rv = R\/2 > la tension stationnaire précédente par une tension carrée, de hauteur E égale à quelques volts et de fréquence quelques kHz (Fig. 6.24b). Lors de la charge du condensateur, la tension aux bornes du condensateur satisfait à l'équation différentielle suivante (cf. chapitre 4) : E = Rvi + iic

avec

i=

d qç

uc_

df

Rfi

C

àuç

Uc

~àT

Comme Rv — Re , il vient : ^ ^ âiic E = RPCp— h 2uc dt

. soit

duc E r— h uc = dt 2

en posant

ReCe r = —-— 2

Ce type d'équation différentielle est bien connu (cf. chapitre 4). Sa résolution donne : , ,

—

, t\ Cte x exp ( —J

E —

. soit

, , E uc{t) = —

1 — exp ( — — T

200

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

Ainsi, pour t = r : Uc(f)

= |(l-«■■') «0 316E

On accède à Ce en mesurant r. Ordre de grandeur : avec i? = 6 V , on a obtenu une tension égale à 1, 9 V pour / = r « 8,5 [jls . On en déduit la capacité suivante : Ce = — ^ 17 F pF R Une autre façon de déterminer Ce consiste à ajouter, en parallèle avec Rv = Re , un condensateur de capacité variable Cv . Le circuit admet alors comme fonction de transfert : H(Jù)) = — = ue Ze

Ze Z

avec

_ Ze =

Re ;——— 1 -)- JReCeù)

et

Z=

R,-

Re

1 -f- jRvCvù)

1 4"}ReCvo)

On trouve, en effectuant : H{JOJ) =

1

1 4" jRgCyiO

1 4- Z/Ze

2 F jRe{Cv 4- Cfjo)

On voit que la fonction de transfert est indépendante de co si Cv = Ce et vaut alors 1/2 . En envoyant un signal carré à l'entrée, on fait varier Cv jusqu'à la valeur Ce pour laquelle la tension de sortie est aussi un signal carré sans distorsion. IV, 2. — Impédance de sortie Entre les deux bornes de sortie d'un quadripôle (Fig. 6.23), ce dernier se comporte, relativement à la charge, comme un générateur de Thévenin de f.e.m Auue et d'impédance Zs. L'impédance de sortie du quadripôle est précisément Zv, On calcule Zs en passivant la tension d'entrée «g = 0 et en remplaçant l'impédance de charge par un générateur auxiliaire idéal de tension de f.e.m eg ; ce dernier permet d'exciter les sources liées et donc de déterminer correctement l'impédance de sortie selon : zS — — ■ 1 in étant l'intensité du courant débité par ce générateur. Exemple : mesure de l'impédance de sortie d'un filtre RC passe-bas (Fig. 6.25a) En passivant la tension d'entrée et en connectant un générateur idéal de f.e.m eg, on obtient (Fig. 6.25b) : R d'où Zs — — Zc//R — ZJ/R 1 4" JRCùj h R

C

b)

a) Fig. 6.25.

Fonctions de transfert. Qiiadripôles

201

IV. 3. — Facteurs d'amplification en courant et en puissance Lorsque le quadripôle débite dans une charge, on introduit, comme pour la tension, les facteurs d'amplification en courant et en puissance respectivement, selon : et

P

VP

Le plus souvent, on exprime les facteurs d'amplification en courant et en puissance, en décibel, selon : G, = 201g A,-

et

Gp = 101g A,,

Dans le langage courant de l'électronique, on désigne par amplificateur, ou plus brièvement ampli, sans autre précision, un quadripôle dans lequel la puissance électrique à la sortie Vs, associée à la tension de sortie us, est supérieure à la puissance électrique à l'entrée Ve, associée à la tension d'entrée ue (Fig. 6.26). Évidemment, l'énergie étant une grandeur conservative (cf. Thermodynamique), le facteur d'amplification en puissance Vs/Ve n'est supérieur à l'unité que grâce à des sources auxiliaires d'énergie, lesquelles sont regroupées dans l'alimentation. Un tel quadripôle est donc nécessairement actif-, son gain en puissance 10 ^(7^/7^) peut être positif, contrairement au quadripôle passif. L'intérêt d'un gain positif vient de l'objectif généralement visé pour un amplificateur qui est d'augmenter la puissance électrique d'un signal. Par exemple la puissance électrique à la sortie d'un microphone est faible, de l'ordre de 1 nW, alors que celle qui est nécessaire pour faire vibrer une membrane de haut-parleur est bien plus grande, de l'ordre de 1 W.

«^=1 Microphone

Ampli HP Fig. 6.26.

IV. 4. — Classification des amplificateurs On classe les amplificateurs selon leur fonction amplificatrice ou selon leur domaine spectral. a) Fonction amplificatrice L'amplification en puissance est généralement l'objectif d'une chaîne amplificatrice constituée de plusieurs étages connectés en cascade (Fig. 6.27). Cependant, les fonctions amplificatrices de chacun des étages ne concernent pas nécessairement la puissance. Parfois, on souhaite transmettre une tension maximale, ce qui exige que l'impédance de sortie d'un étage soit négligeable devant l'impédance d'entrée de l'étage suivant. Si c'est l'intensité maximale que l'on souhaite transmettre, c'est Finverse; l'impédance de sortie de l'étage doit être grande devant l'impédance d'entrée de l'étage suivant. En fin de chaîne, c'est la puissance maximale que l'on désire généralement transmettre; dans ce cas, on sait que la résistance de sortie du dernier étage doit être égale à la résistance de la charge. Signalons que, dans la pratique, on n'hésite pas à s'écarter de cette condition lorsque la dissipation d'énergie dans la résistance de sortie est jugée trop grande et donc dangereuse pour l'ampli.

202

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

Pour que le facteur d'amplification en tension de l'ensemble soit le produit des facteurs d'amplification en tension des étages considérés séparément, il faut que la mise en série des amplificateurs ne modifie pas chacun de ces facteurs. On dit dans ce cas qu'il y a adaptation d'impédance en tension. On réalise pratiquement cette condition en imposant à l'impédance de sortie d'un étage d'être très faible devant l'impédance d'entrée du suivant. Pour un ensemble de n amplificateurs en tension placés en série, on a alors : Au^Alun x ••• x Aup xA^i

V

+

Remarque : Cette adaptation d'impédance est facilement réalisée dans le montage suiveur et plus généralement dans les filtres actifs, munis d'amplificateurs opérationnels (cf. chapitres 8 et 10).

£

—


A

Ue{t)

» ■L<.2

>

.\

m- — -•

•m

U+

#■

Us{î)

Fig. 6.27.

' .

U-

FlG. 6.28.

On distingue en général trois types d'amplificateur. i) Les amplificateurs en tension L'objectif recherché par les utilisateurs de préamplificateurs est la récupération dans les meilleures conditions de fidélité du signal à transmettre. Les caractéristiques essentielles des préamplificateurs sont donc leur fonctionnement linéaire avec des gains en tension élevés. Ils sont placés juste après le microphone qui transforme le signal acoustique initial en signal électrique. ii) Les amplificateurs en puissance Ce sont les amplificateurs placés en fin de chaîne, avant le haut-parleur qui transforme le signal électrique en signal acoustique. Souvent l'amplificateur n'est linéaire que dans le voisinage d'un point de fonctionnement ; on travaille alors sur des réseaux de courbes de fonctionnement. iii) Les amplificateurs différentiels Ces amplificateurs fournissent à leur sortie une tension proportionnelle à la différence de deux tensions d'entrée (Fig. 6.28) : us = A^e avec e = «+ — L'amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8) est avant tout un amplificateur différentiel. b) Classification selon leur fréquence On classe souvent les amplificateurs selon la fréquence, en trois catégories : i) les amplificateurs audio qui ont une bande passante comprise entre 20 et 20 kHz ; en téléphonie, la fréquence maximale ne dépasse pas 3,4 kHz, ii) les amplificateurs des récepteurs radio dont la bande passante, comprise entre 20 et 20 kHz, est centrée sur l'onde porteuse dont la fréquence varie typiquement entre 100 kHZ et 100 MHz ; c'est le cas des ondes radio modulées en amplitude ou en fréquence (cf. chapitre 16), m) les amplificateurs vidéo dont la bande passante est comprise entre 1 MHz et 10 MHz.

203

Fonctions de transfert. Quadripôles

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Le concept de fonction de transfert suppose que le système électrique considéré soit linéaire, c'est-à-dire qu'un signal d'entrée, combinaison linéaire de deux signaux, admette comme sortie la même combinaison linéaire des sorties correspondantes. 2) La fonction de transfert, entre la tension à la sortie et la tension à l'entrée, se met sous la forme ; H{jo)) = — = T(f) = \T(f)\expj4> —e 3) On représente le comportement spectral du système à l'aide des diagrammes de Bode, donnant, en fonction de 1g/, le gain Gu = 201g \T(f ) \ en dB et la phase f . Il est souvent préférable d'introduire la fonction de transfert normalisée H{x) dans laquelle x désigne la pulsation ou la fréquence réduites x = (jo/oyc —f/fc , fc = (oc/(27t) étant une fréquence caractéristique. 4) Les filtres passifs ont un facteur d'amplification en puissance inférieur à l'unité et donc un gain en puissance négatif; ils sont passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande. 5) Les quadripôles sont caractérisés par une bande spectrale, une impédance d'entrée et une impédance de sortie. Dans une chaîne de quadripôles en cascade, l'influence des éléments placés en aval sur ceux situés en amont n'est négligeable que si les impédances d'entrées sont très grandes devant les impédances de sortie, typiquement 1 Mfî pour les premières, quelques ohms pour les secondes. Cette adaptation d'impédance est aisément réalisée grâce aux amplificateurs opérationnels (chapitre 8).

EXERCICES ET PROBLÈMES

P6-1. Filtre passif passe-bas Le filtre, représenté sur la figure 6.29, est constitué par un résistor (résistance Ri ) en série avec un ensemble résistor-condensateur (résistance R2 et capacité C2 ). 1. Que devient la fonction de transfert uju^ = H(Joj) = T(f), dans les cas extrêmes des très faibles et des très grandes fréquences ? 2. Établir l'expression de T{f ) ; on introduira la fréquence particulière /o que l'on exprimera en fonction des caractéristiques du circuit. Retrouver les valeurs extrêmes précédentes. 3. Dans l'exemple concret où R\ = 15 kfl, R2 = 20 kil et C2 = 15 nF, calculer T{0) et /o . Quelle est la fréquence de coupure à —3 dB . Tracer les diagrammes de Bode.

R\

R^ C2 Ri 7777

us

C,

7777 Fie. 6.29.

Fig. 6.30.

Ri

204

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

P6- 2. Filtre passif passe-haut Dans le schéma de la figure 6.30, représentant un filtre passif passe-haut, les valeurs des composants sont R] = 19 kO, #2 = I kfi et C\ = 20 nF. 1. Quelles sont les valeurs de la fonction de transfert H{jco) = T(f) aux fréquences extrêmes? Justifier la fonction d'un tel filtre. s i 2. Etablir l'expression de la fonction de transfert en calculant les deux fréquences caractéristiques. Représenter les diagrammes de Bode correspondants. 3. La tension à l'entrée du filtre a pour expression iie{t) = ue_mcos{27rfr) avec ue>m = 0.1 V. Calculer la tension de sortie, successivement pour / =f\ , / — fz et f = (f\ .

P6- 3. Circuit RLC Un circuit série RLC, constitué d'une bobine, d'un résistor et d'un condensateur (Fig. 6.31), est alimenté par un générateur de f.e.m e{t) = em cos(27r//) . 1. Trouver la fonction de transfert Hijcd) entre la tension aux bornes du condensateur et la tension d'excitation ; on introduira la pulsation propre &»o et le facteur de qualité Q. 2. Calculer le gain et la phase pour 0) = cûq , sachant que O = 15 .

C Us{î) 7777 Fig. 6.31.

P6- 4. Filtre passe-bande RLC Le filtre RLC, représenté sur la figure 6.32, est constitué d'un condensateur et d'une bobine en parallèle alimentés, à travers un résistor, par un générateur de f.e.m e{t) = em cospTr/r). Le condensateur, la bobine et le résistor sont caractérisés par la capacité C = 20 nF, l'inductance L = 0,2 H et la résistance /? = 100 li, respectivement. 1. Montrer qualitativement qu'un tel filtre est passe-bande. 2. La fonction de transfert de ce filtre est définie par le rapport Tff) de la tension complexe ^{t), aux bornes du condensateur et de la f.e.m complexe e(t). a) Trouver l'expression de Tff). b) Déterminer la pulsation propre coq de ce filtre, ainsi que le facteur de qualité. c) Exprimer le gain G et la phase 4> en fonction de la fréquence. 3. Pour quelle valeur de / le gain est-il maximal ? Calculer ce gain maximal. En déduire les fréquences de coupure à —3 dB et la bande passante du filtre ainsi constitué.

205

Fonctions de transfert. Quadripôles

Ri R Ci ft)

T ^ ^ o

Ci

KO

£.

R

uft)

c

-X

7777

FlG. 6.32.

7777 FlG. 6.33.

P6- 5. Système à gain uniforme Un générateur de signaux sinusoïdaux, dont Fimpédance interne Z, est celle Ri d'un résister en parallèle avec un condensateur de capacité C,, débite dans une charge formée d'un résistor (résistance /? ) en parallèle avec un condensateur, de capacité variable C (Fig. 6.33). 1. Trouver la fonction de transfert, rapport de la tension aux bornes de la charge sur la f.e.m du générateur, en fonction de la fréquence. On introduira deux fréquences caractéristiques f et fe que l'on exprimera à l'aide de Ri, R, Ci et C . 2. Quelle doit être la valeur de C pour que le facteur d'amplification en tension soit indépendant de la fréquence ? Trouver le déphasage entre la tension à la sortie et la f.e.m. Calculer C et le facteur d'amplification pour /?, = 50 fi, R = 0,5 kfi et C/ = 0.5 pT.

P6- 6. Filtre de Colpitts

C

S)

Le filtre représenté sur la figure 6.34 est le filtre de E. Colpitts. À l'entrée, un générateur fournit une tension sinusoïdale, de fréquence /, et, à la sortie, la tension est celle aux bornes du condensateur de capacité C2 . 1. Montrer, à l'aide de considérations qualitatives, qu'un tel filtre est de type passe-bande. 2. Trouver sa fonction de transfert. On souhaite sélectionner la fréquence /o = 150 kHz avec une inductance L = 50 mH, une capacité C\ = 40 pF et un facteur de qualité O = 20. Calculer les valeurs de C2 ei R. Quel est le gain pour f =fo 7 C, t

R

R

L KO

C2 7777"

7777

c:

«.(0 7777"

R

7777"

R c:

7777"

FIG. 6.34.

c: 7777"

7777

7777

Fig. 6.35.

P6- 7. Filtre passif constitué de trois cellules identiques en cascade Un filtre est constitué par la succession de trois cellules élémentaires identiques RC, comportant chacune un résistor ( /? = 0,8 kfi ) et un condensateur ( C = 50 nF ) (Fig. 6.35). 1. Déterminer, à l'aide de i? et C, la fréquence caractéristique f\ d'une cellule. Etablir, en fonction de la fréquence réduite x = ///1 , l'expression de la matrice de transfert T d'une seule cellule,

206

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

définie comme suit : X* = [T]Xe où X est une matrice colonne dont les deux lignes sont respectivement la tension u et l'intensité i du courant. 2. Quelle est la fonction de transfert H(a:) du filtre constitué des trois cellules identiques ? En déduire le gain et le déphasage (f) de la sortie par rapport à l'entrée. 3. Déterminer la fréquence / pour laquelle la tension de sortie est en opposition par rapport à l'entrée. Trouver le gain correspondant.

P6- 8. Filtre passe-bas de Butterworth Un filtre de Butterworth est un filtre dont le carré du module de la fonction de transfert a pour expression : \T(f)\2 =

ï i + c/y/c)2"

n étant un entier. Le quadripôle, représenté sur la figure 6.36, est un filtre de Butterworth ; il est constitué de deux bobines inductives, d'inductances respectives L\ et Lj, d'un condensateur de capacité C et d'une résistance de charge Rc. 1. Montrer que la fonction de transfert de ce filtre peut se mettre sous la forme :

H{X) =

\ + c[(jx) + c2{jx)- + (jxY

x étant la fréquence réduite par une fréquence caractéristique /o que l'on déterminera. 2. Comment faut-il choisir les facteurs cj et C2 pour un filtre de Butterworth d'ordre 3 ? En déduire les expressions de L\ /R et L2/R en fonction de /o . Calculer Lj, C et Rc pour /o = 10 kHz et L\ =0,5 mH. 3. Tracer les diagrammes de Bode associés à fifx) . Calculer le déphasage introduit par le filtre, successivement pour x = 1 / \/2, x = \/2 et x = 1 .

Z3 = z, C 7777

7777 Ffg. 6.36.

R

Z2 X Ffg. 6.37.

P6- 9. Impédance itérative Un générateur de tension sinusoïdale alimente un filtre passif symétrique constitué de trois impédances Z\ , Z2 et Z3 = Zj (Fig. 6.37).

{

1. Détenniner, en fonction de Z\ et Z2 , la matrice « ahcd » de transfert du filtre, donnant la sortie , f } en fonction de l'entrée {ue, ie}.

207

Fonctions de transfert. Qiiadripôles

2. On appelle impédance itérative (qui se répète) Zf celle qu'il faut brancher en sortie pour que l'impédance d'entrée soit égale à cette impédance de charge. a) Exprimer Z/ en fonction de Z\ et Z2 . Application au cas où Z\ est l'impédance d'un condensateur de capacité C = 0,5 pJF, Z2 celle d'une bobine non résistive d'inductance L = 20 m H, et où f =f0 , f0 étant la fréquence de résonance du circuit LC. b) Exprimer Z,- en fonction de Ze o, impédance d'entrée en sortie ouverte et Zej-, impédance d'entrée en sortie fermée ou en court-circuit. Quelles sont les valeurs de ces impédances d'entrée pour f=fo ? 3. On ferme le filtre, à la sortie, à l'aide d'un dipôle d'impédance égale à l'impédance itérative Z,. On désigne par F le rapport de la tension de sortie sur la tension d'entrée. a) Montrer que us/Ue = L/L l'élément a de la matrice « abcd ».

=

^ et en déduire l'équation vérifiée par F faisant intervenir

b) Établir l'équation à laquelle satisfait F. c) L'analyse du transfert de l'énergie depuis l'entrée jusqu'à la sortie implique une condition, sous forme d'inégalité, à laquelle doit satisfaire F . Quelle est cette condition ? d) On souhaite que la transmission du signal s'effectue sans atténuation énergétique. Trouver la condition sur la fréquence / pour qu'il en soit ainsi.

P6-10. Approche de la fonction de transfert d'un filtre à l'aide de son gabarit On cherche à approcher la fonction de transfert d'un filtre passe-bas à l'aide de son gabarit, lequel est caractérisé par les coordonnées suivantes, dans le diagramme de Bode, des points Ai et A2 : /, = 300Hz

G] = —3 dB

et

^ = 600 Hz

G2 = -l2,3dB

On suppose que la fonction de transfert H(jù)) est caractéristique d'un filtre de Butterworth :

mM)l

'

=

TTW^ÔF

coq étant une pulsation caractéristique et n un entier. 1. Quelle est la valeur de n pour laquelle la fonction de transfert est conforme au gabarit? Même question pour la fréquence fo = o)Q/{27r). 2. Montrer que, si n = 2,1a fonction de transfert Hfx) peut s'écrire : UM = j

+ JCiX — C2X2

x étant la fréquence réduite x: —f/fo , C] et C2 deux facteurs positifs que l'on calculera.

P6-11. Filtrage par une suite infinie de cellules identiques Un système électrique se présente comme une suite infinie de cellules identiques, constituées de deux composants, d'impédances respectives Zi et Z2 , comme le montre la figure 6.38. La tension à l'entrée est celle fournie par un générateur de tension sinusoïdale, de fréquence /. 1. Trouver, en fonction de Z\ et Z2 , l'impédance Zq de cette suite entre les deux bornes d'entrée ; pour cela on remarquera que l'on ne change pas le résultat en ajoutant une cellule à la suite considérée.

208

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

2. On désigne par un la tension aux bornes de la cellule de rang n, par m,i+i celle aux bornes de la cellule ^ + 1 et par in l'intensité du courant dans la branche . a) Trouver l'équation reliant

, i_n , i,(+1 et les deux impédances Z\ et Z2.

b) Chercher une solution de la forme : i_n = îman exp(/&>r), a étant un facteur que l'on déterminera. 3. Les impédances Z\ et Z2 de la cellule sont celles respectivement d'une bobine et d'un condensateur : L = 10 mH et C = 5 [xF. a) Établir la relation entre m,!+| et un en fonction de Z, et Zq . En déduire un en fonction de Z\ et Zq .

,

b) Montrer que cette ligne infinie de cellules se comporte comme un filtre dont on précisera la nature et dont on calculera la fréquence de coupure fc. c) Calculer le gain pour / = 1,5 kHz et n = 5 . E

K

'

Z2

77^/7

5

r

z

i

7777

L

Z2

C +\/ R

Z2

77^77

1

C

: 7777"

7777

Fie. 6.38.

7777

FlG. 6.39.

P6-12. Relations de Kennely, filtre coupe-bande Sur la figure 6.39, on a représenté un filtre constitué d'une bobine résistive ( L = 0,1 H, r = 20 fi ), de deux condensateurs de capacités identiques C = 1 jxF et d'une résistance variable R . 1. A l'aide de considérations qualitatives, montrer qu'un tel filtre est du type coupe-bande. 2. Remplacer le triangle d'impédances ESK par l'étoile correspondante. 3. Établir l'expression de la fonction de transfert. À quelles conditions sur R et sur la fréquence /, cette fonction est-elle nulle ? Calculer / et R. P6-13. Filtre passif de Wagner et Campbell Le schéma de la figure 6.40 représente la structure d'un filtre passif proposé dès 1915 par K. Wagner et G. Campbell. On donne les valeurs suivantes des composants : = 10 kfi, R^ = 30 kfi, L = 1 mH, C = 1 |xF. L Pour un signal d'entrée Ue stationnaire, établir l'expression de la tension de sortie Us. 2. Montrer, à l'aide du théorème de Thévenin, que la fonction de transfert de ce filtre peut se mettre sous la forme suivante : H(JÙ)) =

H{0) 2

1 + (jù)) a + (Jco) b + (/Vu)3 c + (/Vu)4 d + (/Vu)5 e

H{0) étant un facteur que l'on déterminera, a, b, c, d, e, cinq coefficients que l'on exprimera en fonction des quantités suivantes : ÙJQ =

■j_y/2 LC)

Tr = C

^1^3 Ri ^ R2

et

T[ =

L Ri + R3

Fonctions de transfert. Quadripôles

209

3. Retrouver le résultat précédent par la méthode des mailles adjacentes, en orientant les mailles dans le sens horaire. 4. Tracer les diagrammes de Bode correspondants à H{x) en fonction de la fréquence réduite X = ùi/cOQ .

Rx

L

L

L i?3

C FlG. 6.40.

Us

Composants électroniques

On classe généralement les composants électroniques, c'est-à-dire les constituants des circuits électriques, en deux grands groupes : i) les composants passifs, tels que les résistors, les bobines, les condensateurs et les diodes, déjà introduits (cf. chapitres 1 et 2), mais aussi les transfonnateurs qui jouent un rôle essentiel dans la distribution de la puissance électrique, ii) les composants actifs, tels que les générateurs, les amplificateurs opérationnels et les transistors. Nous nous proposons d'analyser le comportement des composants passifs déjà rencontrés, en précisant les caractéristiques qui les décrivent le mieux, diode et transformateur inclus. Pour les composants actifs, nous rappelons d'abord les caractéristiques connues des piles et des accumulateurs (cf. Électromagnétisme), puis nous analysons celles des transistors bipolaires et à effet de champ. Concernant les amplificateurs opérationnels, nous leur réservons une étude spécifique suffisamment exaustive (cf. chapitres 8 et 9).

I. — RÉSISTORS, CONDENSATEURS ET QUARTZ 1.1. — Résistors Comme nous l'avons déjà vu (cf. chapitres 1 et 2), un résistor, appelé aussi conducteur ohmique, est un composant qui satisfait à la loi d'Ohm, laquelle exprime la proportionnalité entre la tension aux bornes d'un dipôle et le courant qui le traverse (cf. Électromagnétisme). Cette relation s'écrit, lorsque le régime est stationnaire, sous la forme dépouillée U = RI, dans laquelle U représente la tension entre les bornes A et B , précisément — Vg , I l'intensité du courant qui le traverse dans le sens A vers B (Fig. 7.1) ; le coefficient de proportionnalité R est la résistance. En régime quasi stationnaire, c'est-à-dire dans l'ARQS, cette relation est valable, à chaque instant ; u(t) = Ri(t). 1

R

A^

^B U

Fig. 7.1.

211

Composants électroniques

Rappelons que pour un conducteur ohmique cylindrique, la résistance est reliée à la conductivité y du matériau, sa longueur / et sa section S par l'équation (cf. Électromagnétismé) :

R= — yS

a) Différents types de résistors On distingue principalement deux types de résistors : ceux qui sont bobinés et ceux dits à couche. i) Résistors bobinés Ils sont constitués d'un conducteur, à base de nickel, enroulé autour d'une tige isolante qui est recouverte d'un émail cuit à haute température. On les utilise comme résistors de précision ou comme résistors de puissance, car ils peuvent dissiper des puissances électriques importantes, jusqu'à quelques milliers de watts ; dans ce dernier cas, un diffuseur thermique est indispensable. Comme le bobinage présente des propriétés inductives, on élimine cet effet parasite en utilisant deux fils bobinés en sens inverse que l'on connecte en parallèle. ii) Résistors à couche Ces résistors sont constitués d'un cylindre isolant en céramique sur lequel on a déposé une couche de carbone ou de chromure de nickel. On trace alors un sillon en spirale afin d'enlever une partie du dépôt conducteur. L'ensemble est entouré d'une protection isolante. Leur gamme de valeur est très étendue : de 1 Û à 10 MO, avec une précision de 2 à 5% . Ils ne sont pas très coûteux (inférieur au centime d'euro) ; cependant, ils ne peuvent dissiper qu'une puissance inférieure au watt. b) Valeur nominale et tolérance Les résistances s'expriment en ohm ( û ) ; leurs valeurs sont comprises entre quelques dixièmes et plusieurs millions d'ohms. Elles sont généralement données avec une certaine tolérance s définie par : \R-R„\

R étant la valeur réelle et Rn celle affichée, dite nominale. Les tolérances s'échelonnent de 10% à moins de 0,1% ; dans la gamme courante, s est compris entre 2 et 5 %. Généralement, sur la surface cylindrique des résistors sont peints quatre anneaux ; le quatrième indique la tolérance, le troisième une puissance de dix et les deux premiers le nombre à multiplier par cette puissance. Les résistances très précises portent, elles, cinq anneaux : le dernier pour la tolérance, F avantdernier pour la puissance de dix et les trois premiers pour le nombre à multiplier par cette puissance. Sur le tableau 7.1, on a explicité le code des couleurs universellement adopté. Exemples : 1) Un résister avec quatre anneaux, orange-orange-brun-or, a une résistance électrique de 33 x 10 = 33011 avec 5% de tolérance. 1

2) Avec cinq anneaux, brun-bleu-vert-rouge-brun, la résistance de 165 x 102 = 16,5 kfl est donnée avec 1% de tolérance. La tolérance sur la valeur d'une résistance est une indication impoitante fournie par le constructeur. En effet, une tolérance de 5% sur une résistance de 1,0 kll signifie que cette valeur est comprise entre 950 fi et 1 050 fi ; aussi de tels écarts doivent-ils parfois être pris en compte dans l'étude d'un circuit.

212

7. Composants électroniques

Chiffre associé

Tolérance associée

Argent Or

Brun ou Marron Rouge Orange Jaune 0,5% 0,25 % Violet

0,1 %

Blanc Tab. 7.1. Toutes les valeurs des résistances ne sont pas accessibles sur le marché des composants : celles qui sont disponibles sont d'autant plus nombreuses que la gamme considérée est précise, puisque avec une précision de 10% , elles doivent être séparées de 20%, alors que pour une précision de l % , elles ne le sont que de 2% . Dans la pratique, à chaque précision est associée une série dont le numéro indique le nombre de résistances par décade : par exemple, la série E12 pour la tolérance 10% et la série E96 pour la précision 1%. Les valeurs exactes de la série n sont données par l'expression : Rk = 10k/" La série E 24, qui est la plus utilisée en électronique, a un dernier anneau doré, ce qui correspond à une précision de 5 % ; elle comporte 24 valeurs normalisées, comprises entre 10 et 91, soit : 10

11

12

13

15

16

18

20

22

24

27

30

Ainsi la résistance 50 fi n'est pas disponible dans une série standard, mais on trouve des résistances de 47 fi ou de 51 fi qui encadrent cette valeur, compte tenu de la précision relative de 5 % et donc de l'incertitude absolue de 2,5 fi. c) Dissipation nominale d'un résistor La dissipation nominale d'un résistor est la puissance maximale Vm admissible en régime stationnaire, dans le voisinage de la température ambiante ( 293 K ). Elle est de l'ordre de 0,1 W, ce qui implique une tension maximale d'utilisation : f/2 V = —- < Vm

entraîne

U < Um

avec

Um ~

1/2

Le dépassement de Um peut conduire, sinon à la destruction totale du composant, à une forte modification de sa résistance. Il est donc essentiel de respecter la puissance nominale admise par un résistor.

Composants électroniques

213

d) Coefficient de température La résistance d'un composant ohmique varie avec la température. Pour exprimer ces variations, on introduit le coefficient de température suivant, homogène à l'inverse d'une température : _ I R{T)-Ra T

Ro

T-T0

R{T) désignant la résistance à la température T et Rq la résistance à Tq prise en général égale à 293 K. Pour les métaux ou alliages, il est positif et la résistance augmente lorsque la température augmente (cf. Électromagnéfisme). Ainsi, il vaut 0,004 K 1 pour la plupart des métaux purs et atteint de très faibles valeurs pour certains alliages tels que le constantan (cuivre-nickel), ou le manganin (cuivre-manganèse-nickel) dont les coefficients de température sont respectivement : 2 x 10"5 K et 10-5 K"1 . Exemples : 1) Entre les froides journées d'hiver à 253 K et les chaudes journées d'été à 303 K, la variation relative de résistance d'une ligne haute tension en aluminium, matériau pour lequel C7- = 4,4 x 10-3 K_l , vaut : AD =cvx (r-T-o) =22% A Comme les pertes de puissance électrique en ligne sont proportionnelles à la résistance des câbles (cf. chapitre 2), ces dernières varient aussi de 22% entre l'hiver et l'été. 2) La résistance d'une lampe électrique à incandescence, marquée 100 W, peut être aisément mesurée avec un ohmmètre. A froid, on a trouvé 40 fl, alors qu'en fonctionnement normal, sous une tension efficace de 230 V , lorsque la température du filament est 2500 K, cette résistance devient : R = U2/P = 2302/100 = 529 fi. Le coefficient de température du filament vaut donc : _ 1 Cr

529 - 40

" 40 2500- 293

-3 tr-l 5,5 x W K

Remarque : Les résistons sont sensibles à l'humidité, ainsi qu'aux déformations mécaniques ; en outre, ils sont caractérisés par un bruit thermique ou bruit Johnson (cf. chapitre 17).

1.2. — Condensateurs On sait qu'un condensateur est constitué de deux armatures métalliques (surface S) séparées par un isolant, d'épaisseur e et de permittivité relative e,- (cf. Électromagnétisme). Sa capacité a pour expression : _

£06 rS

Comme la constante eo est très faible ( 8,85 10 12 SI ), les capacités usuelles sont très faibles, précisément comprises entre quelques mF et une fraction de pF. Il existe principalement trois familles de condensateurs classées selon la nature des isolants utilisés et donc selon la technique de fabrication. Ces isolants sont soit des céramiques, soit des films plastiques, soit des couches d'oxyde métallique obtenues par électrolyse.

214

7. Composants électroniques

a) Différents types de condensateurs Les condensateurs à céramique sont formés d'empilements successifs de couches métalliques et isolantes comprimées d'épaisseur 20 pm environ. La constante diélectrique relative sr de l'isolant étant comprise entre 10 et 10000, la capacité de ces condensateurs varie entre 1 pF et 1 /xF. Les condensateurs à films plastiques sont constitués de quatre couches (métal-diélectrique-métaldiélectrique) enroulées ; le diélectrique est un film plastique, d'épaisseur 20 pm environ, dont la permittivité électrique relative est comprise entre 2 et 4 . l'ensemble est entouré d'un isolant. Leurs capacités sont comprises entre 100 pF et 10 [jlF . Ils se présentent sous forme de cylindre, dont la longueur varie de quelques millimètres à quelques centimètres. Dans les condensateurs électrolytiques, le diélectrique utilisé est une couche d'alumine {£r = 9 ) ou d'oxyde de tantale ( er = 21) déposée par électrolyse sur une feuille d'aluminium ou de tantale pur. L'électrolyte qui imbibe un papier forme la seconde armature. L'épaisseur étant inférieure au micromètre et les surfaces en regard de l'ordre du mètre carré, les condensateurs obtenus sont de forte capacité, comprise entre 1 pF1 et 1 mF. Ces condensateurs électrolytiques sont polarisés et caractérisés par une tension inverse maximale d'environ 1,5 V et un courant inverse maximal, au-delà desquels leurs propriétés sont altérées. On les utilise le plus souvent pour polariser les composants actifs tels que les transistors et pour maintenir sous tension les mémoires pendant de courtes durées. Ils présentent un inconvénient : l'intensité des courants de fuite peut atteindre 1 jxA par jxF. b) Caractéristiques des condensateurs La valeur de la capacité d'un condensateur est parfois exprimée avec un code de couleur analogue à celui employé pour les résistors, mais le plus souvent, elle est directement inscrite sur le composant. La tolérance sur la valeur de la capacité varie entre 50% pour les condensateurs électrolytiques et 1% pour ceux constitués de multicouches à céramique. La tension nominale d'un condensateur est la tension efficace maximale que l'on peut appliquer entre ses bornes sans le détériorer ; elle est en général de quelques centaines de volts. Au-delà, le diélectrique peut devenir conducteur, c'est le claquage. c) Représentation électrique d'un condensateur réel Chargeons un condensateur à céramique, de capacité C = 0,1 pF, avec une pile de 9,0 V, et étudions l'évolution de la tension à ses bornes, une fois la pile déconnectée. La mesure effectuée à l'aide d'un voltmètre à haute impédance d'entrée ( 1012 fl ) donne, immédiatement après le débranchement, uc{0) = 9,0 V ; cependant on constate que le condensateur se décharge, même en circuit ouvert. En effet, trois minutes après, la tension obtenue n'est plus que de iic{t\) = 5,74 V ; après six minutes, elle tombe à iiciti) = 3,66 V et, après neuf minutes, elle ne vaut plus que udh) = 2,33 V . Ainsi : »c(0) _ «cfe) _ uçjh) uc{0) Mc(ri) uciti)

mc(L) _ »c(o) «c(0) Uc(0)J

et

ln[Mc(/3)/nc(0)] _ ^ ln[McOi)/wc(0)]

ce qui représente précisément le rapport des durées t^/ti . La chute de tension n'est donc pas proportionnelle à la durée de décharge, mais au logarithme de cette durée ; on en déduit que la décharge suit une loi d'évolution, selon une exponentielle décroissante du temps. Comme cette loi est celle de la décharge d'un condensateur dans un conducteur ohmique (cf. chapitre 4), on représente le composant par l'association d'une capacité C en parallèle avec une résistance de fuite Rf (Fig. 7.2a). Cette résistance est en général de plusieurs milliers de MO ; la durée de décharge r = RfC est donc très longue. Dans l'exemple précédent, on trouve : = exp (

'O )

d'où

t= —

_ ln[n(/|)/M(0)]

180 = 400 s ln{5,74/9)

R. = 4x10'11

Composants électroniques

215

C JCù)

s' R, mr b)

a) FIG. 7.2.

On traduit souvent cette imperfection du condensateur en introduisant l'angle de perte 8 suivant, défini à partir de l'admittance Y du composant (Fig. 7.2b) : tan 8 =

Re{F}

l/Rf

1

lm{F}

Cto

RfCto

Cet angle tend vers zéro lorsque Rf est très grand devant 1 /(Cù)) . Dans l'exemple précédent, tan5 = 1/(80077/) ; on peut le négliger dès que la fréquence dépasse quelques Hz, en pratique dès que le régime d'utilisation est variable. 1.3. — Quartz La piézo-électricité, découverte en 1881 par les physiciens français Pierre et Paul Curie, tous deux frères, est l'apparition d'une polarisation de certains corps, tels que le quartz, lorsqu'on les soumet à une contrainte mécanique. Les oscillations mécaniques d'un cristal de quartz sont donc accompagnées d'oscillations électriques. En raison de la grande stabilité de sa période d'oscillation, le quartz s'est imposé comme résonateur dans toutes les horloges et dans de nombreux filtres à bande passante très étroite. Leur fréquence propre varie, selon la nature de la déformation (flexion, élongation ou cisaillement), de quelques kHz à 200 MHz. Sur la figure 7.3, on a représenté le symbole et le schéma électrique équivalent à un quartz ; aussi son impédance s'écrit-elle : Z=

i/ijCoù)) \jLsùj + 1 /(jCsù))] jLso) + 1/{jCs(o) + 1/{JCqco)

1 - LsCsù)2 2

jo){Cs -F Co)(l — LsCeo) )

avec

C.

Cs-Cq Ce -F Cn

En introduisant les pulsations caractéristiques m] — l/(LsCs) et o)2e = \/{LsCe), Z se met sous la forme : 1 - ù)2lùrs Z = j(t){Cs -F Co)(l - ù>2/û)1) Pour un quartz d'horlogerie, de fréquence 32768 Hz = 215 Hz, on peut relever, sur la notice du fabricant, les valeurs suivantes : Cq = 1,5 pF

Cs = 3 f F(= 3 x 10~15 F)

et

Ls = 1879 H

D'où les fréquences fs = 32736 Hz et fe = 32768 Hz La figure 7.4 représente la courbe donnant le module de Z en fonction de la fréquence. L'impédance est purement imaginaire et son signe indique que le quartz a un comportement capacitif pour / < fs et / > /è, et inductif entre fs et fe. Pour f = fs, l'impédance est nulle, tandis que si f =fe, l'impédance tend vers l'infini. Notons que, fs et fe étant très proches, le comportement inductif n'est observable que sur une gamme de fréquence très étroite (fe — fs = 32 Hz). Dans ce domaine spectral, l'impédance varie très rapidement avec la fréquence, ce qui est mis à profit pour réaliser des oscillateurs très stables en fréquence (cf. chapitre 14).

7. Composants électroniques

216

a)

J

b) FlG. 7.3.

k

/

Fig. 7.4.

II. — BOBINES ET TRANSFORMATEURS Les bobines sont des composants généralement encombrants, coûteux et lourds. Dans la plupart des circuits électroniques actuels, on les remplace par d'autres composants, notamment par des systèmes à amplificateurs opérationnels qui permettent de les simuler (cf. chapitre 8). En revanche, les transformateurs, qui sont constitués de deux bobines en interaction, restent des composants essentiels, principalement dans le transport de la puissance électrique, après sa production et avant son utilisation.

II. 1, — Bobines a) Les différents types de bobines Les bobines sont constituées d'un fil de cuivre gainé enroulé sur un support cylindrique. En raison de la longueur importante du fil, on utilise souvent un vernis isolant. La valeur de l'inductance est proportionnelle à la section de l'enroulement et au carré du nombre de spires (cf. Electromagnétisme). Pour une bobine en forme de solénoïde long et rectiligne, de longueur /, de rayon R , avec n spires par unité de longueur, l'inductance a pour expression :

L = p()7rR2n2l = 47r2 x 10

1

R2n2l

Notons que l'inductance d'une bobine à air est très faible, puisque, pour les valeurs typiques n = KF m-1 , R = 2 cm et / = 6 cm, la valeur calculée n'est que de 0,1 mH environ. Aussi est-il souvent nécessaire d'introduire un matériau ferromagnétique dans l'enroulement. Avec un noyau de fer doux, on obtient des inductances bien plus élevées. En effet, l'inductance initiale de la bobine est alors multipliée par la perméabilité relative p,, laquelle est de l'ordre de 1 000 (cf. Electromagnétisme). Cependant, la masse du composant augmente fortement ; en outre le composant perd sa propriété de linéarité. Dans les bobines à noyaux de ferrite, le fer doux est remplacé par un isolant de grande pennéabilité relative, typiquement 5 000, par exemple l'oxyde mangano-ferreux. L'intérêt principal est une grande valeur de l'inductance pour des dimensions comparables à celles des résistances ou des condensateurs. Cependant, ces composants étant fortement non linéaires, on ne doit les utiliser que pour de faibles variations de courant.

217

Composants électroniques

b) Représentation d'une bobine La résistance d'une bobine n'est jamais nulle, car le fil conducteur de l'enroulement est généralement fin et long. C'est ce que confirme une mesure effectuée avec un ohmmètre : on trouve plusieurs ohms. Par exemple, pour une bobine de 500 spires, d'inductance 10 mH, l'ohminètre indique une résistance r « lOO. Une bobine réelle est, par conséquent, bien représentée par l'association en série d'une bobine idéale d'inductance L et d'un résister de résistance r (Fig. 7.5a).

z '^

L

8

jLco

L C

b)

a) FIG. 7.5.

Fig. 7.6.

À basse fréquence, l'impédance de la bobine est due principalement à la résistance du fil, Lco ayant alors une contribution beaucoup plus faible. Cette imperfection est caractérisée par un angle de perte, défini à l'aide de l'impédance Z du composant (Fig. 7.5b) :

tan ô =

Re{Z}

r

Im{Z}

Lco

Notons que cette définition est différente de celle relative aux condensateurs, afin que l'angle de perte croisse avec les imperfections. Dans les bobines supraconductrices (cf. Electromagnétisme), pour lesquelles la résistance a disparu, l'angle de perte est nul. A haute fréquence, des effets capacitifs apparaissent entre les spires ; aussi ajoute-t-on au modèle précédent une capacité en parallèle avec L et r (Fig. 7.6). Exemple : à haute fréquence, on constate qu'une bobine comportant une dizaine de spires non jointives, d'inductance 0, 1 mH, se comporte comme un circuit résonnant de fréquence propre /o = 1,5 MHz ; on en déduit aisément sa capacité parasite par (cf. chapitre 3) : 1 /o =

,

277-(LC) /2

d'où

C=

1 2

47r L/02

= 0. llnF

II. 2. — Transformateurs Comme son mode de fonctionnement s'appuie sur le phénomène d'induction électromagnétique, un transformateur ne concerne que les régimes variables, le plus souvent sinusoïdal ; une tension variable aux bornes du primaire crée un courant, lequel produit, dans le circuit magnétique, un champ magnétique dont la variation induit une tension aux bornes du secondaire (cf. Electromagnétisme). Ils doivent leur nom à leur capacité à modifier l'amplitude de la tension sinusoïdale délivrée par un générateur, ce qui est à l'origine du rôle essentiel qu'ils jouent dans le transport de la puissance électrique ; en effet, cette dernière est produite par les alternateurs, couplés aux centrales électriques, sous une tension sinusoïdale efficace d'environ 25 kV , laquelle est transformée en une très haute tension de 400 kV avant le transport, car la puissance dissipée par effet Joule dans les fils conducteurs est alors bien plus faible (cf. chapitre 2). En fin de transport, des transformateurs abaisseurs de tension réalisent la distribution domestique de la puissance électrique sous 230 V .

7. Composants électroniques

218

a) Description Sur le circuit électrique d'un appareil photographique jetable, on reconnaît aisément un transformateur placé à coté d'un condensateur destiné à alimenter le flash. Une pile de f.e.m E = 1.5V alimente un circuit oscillant RLC siège d'oscillations de tension dont l'amplitude est fortement amplifiée grâce à ce transformateur. Après redressement et filtrage de cette tension, le condensateur, de capacité C , est chargé jusqu'à une tension stationnaire de l'ordre de 200 V . Aussi est-il déconseillé d'ouvrir ce type d'appareil, sans précaution, car le condensateur chargé peut provoquer, en se déchargeant dans le corps, un choc électrique dangereux. Si, une fois le condensateur déchargé, on démonte ce transformateur, on distingue sur une carcasse métallique deux enroulements : l'un, très fin, d'environ 1 000 spires, l'autre, de diamètre plus grand, formé d'une dizaine de spires. De façon générale, un transformateur est constitué de deux bobinages couplés, appelés respectivement enroulement primaire, ou plus simplement primaire, et enroulement secondaire ou secondaire. Le couplage s'effectue par l'intermédiaire d'un circuit magnétique (Fig. 7.7). En général, les fils des enroulements, sont en cuivre ou, au besoin, en aluminium plus léger. Ils sont comprimés lors du montage et parfois imprégnés de résine afin de résister aux effets des forces de Laplace (cf. Électromagnétisme). Les carcasses sur lesquelles sont enroulés le primaire et le secondaire sont souvent des tôles en alliage fer-nickel, fer-cobalt ou fer-silicium, d'épaisseur de Tordre de 0,1 mm, isolées les unes des autres par un vernis afin de limiter les courants de Foucault.

e~

No

c1

Fie. 7.7.

b) Propriétés du transformateur idéal Le transformateur peut être considéré comme un quadripôle (cf. chapitre 6) : deux homes au primaire et deux autres au secondaire. Pour un transformateur idéal, c'est-à-dire sans pertes, le facteur de proportionnalité entre les tensions sinusoïdales aux bornes du secondaire et du primaire est égal au rapport n du nombre de spires du secondaire et du primaire (cf. Électromagnétisme). uijf)

Ni

m (t)

Âfl

Comme le transfonnateur est un composant passif, la puissance électrique maximale que peut fournir le secondaire est celle reçue au primaire. Il en résulte qu'en régime établi, pour un transformateur idéal, le facteur de proportionnalité des courants est égal à T opposé de l'inverse du rapport du nombre de spires :

"FV, i = Mi(/)ri(ï) = Vf,2 = —donne

l(0

Ng

*i (0

N2

1

Composants électroniques

219

Notons que les courants doivent être convenablement orientés pour que la relation soit algébriquement satisfaite. Sur la figure 7.8a, on a précisé cette convention : si les courants pénètrent par les points, les flux s'ajoutent ; en 7.8b, on a représenté le symbole du transformateur. Retenons que, si > iVi , le transformateur élève la tension et abaisse l'intensité du courant, et notons que le transformateur est un composant réversible, c'est-à-dire qu'il est possible d'inverser primaire et secondaire.

'■ a)

b) FIG. 7.8.

c) Utilisation du transformateur en adaptateur d'impédance En utilisation normale, la tension d'alimentation est connectée aux bornes du primaire et le secondaire est fermé sur une charge (Fig. 7.9). Au primaire, le transformateur et sa charge sont équivalents à une seule charge dont les caractéristiques dépendent du rapport de transformation et de la charge réelle. En régime sinusoïdal et en notation complexe, nous avons les relations suivantes : —2 —

^ —2

n kL\ u

U.2

et

12 = —

d'où

n

LL\

et ii

.z rÏ2

Ainsi l'ensemble équivaut au primaire à une charge d'impédance :

De même, au secondaire, le transformateur et son alimentation sont équivalents à un dipôle dont les caractéristiques dépendent du rapport de transformation et de l'alimentation. Ainsi, pour un générateur de tension, de f.e.m e et d'impédance interne Z,, le générateur équivalent, vu du secondaire, est caractérisé par un générateur de tension, de f.e.m ne et une impédance interne «2Z/. 12 •X «1

112 y

\ Fig. 7.9.

Exemple : on souhaite alimenter, à l'aide d'un GBF, une lampe qui fonctionne habituellement sous une tension 4,5 V et consomme une puissance de 1,35 W. Sa résistance est donc R — U1 jV = 4,52/l,35 = 15 H. Le branchement direct de la lampe sur le GBF, de f.e.m 15 V et de résistance interne 50 D, ne donne qu'un très faible flux ; on constate, en outre, que le générateur s'échauffe rapidement. Calculons la puissance dissipée dans la lampe et dans la résistance interne du générateur ; il vient, puisque / = 15/(50 + 15) = 0.23 A, respectivement : -Pt^RÎ2 = 0,19^

et

Vg = Rf2 = 2,64 W

220

7. Composants électroniques

Dans ces conditions ou R < Ri, on dit que la charge n'est pas adaptée à l'alimentation. Cette adaptation peut être réalisée à l'aide d'un transformateur, placé entre le GBF et la lampe, de rapport de transformation n — 1/2. En effet, dans ces conditions, le générateur débite dans une charge, qui n'est pas R, mais R/n2 = 60 H ; la lampe semble alimentée par un générateur de f.e.m 15 x n = 7,5 V et de résistance interne 50 x n2 = 12,5 D. Les puissances dissipées dans la lampe et dans la résistance interne du GBF sont alors, respectivement :

Vi

Rîl = 15x

7,5 12,5 + 15

1,1 W

et

Vg = Rj]

r. 7*7 RiUly

=

7,5

50

12.5 + 15

= 0, 9 W

Ainsi, l'introduction du transfonnateur réalise l'adaptation d'impédance en récupérant un maximum de puissance du générateur (cf. chapitre 1). d) Transformateur d'isolement Lorsque le rapport de transformation n est égal à l'unité, le transformateur ne modifie pas l'amplitude de la tension aux bornes du secondaire, mais présente l'avantage d'isoler le circuit de la source d'alimentation. Montrons l'intérêt du transformateur d'isolement sur un exemple. Exemple : dans le circuit RLC de la figure 7.10, visualiser simultanément sur un oscilloscope, la tension ur aux bornes du résistor et la tension tic aux bornes du condensateur pose problème, car le GBF et l'oscilloscope sont alimentés par le secteur et possèdent, par construction, une liaison entre leur masse et la prise de terre. Grâce au transformateur d'isolement, la tension qui alimente le circuit RLC n'a plus de potentiel imposé et le montage est réalisé sans court-circuit. Voie 1 de l'oscilloscope

GBF Transformateur d'isolement Fie. 7,10.

Voie 2 de l'oscilloscope

e) Alternostat Dans un alternostat, il n'y a qu'un seul enroulement qui sert à la fois d'enroulements primaire et secondaire. L'enroulement secondaire est parfois à prise variable : en modifiant son nombre de spires, on fait varier la tension de sortie (Fig. 7.11). En outre, le nombre de spires dans le secondaire peut être plus élevé que dans le primaire. Notons que, les circuits primaire et secondaire étant confondus, les alternostats n'assurent pas d'isolement électrique, ce qui présente un danger en cas de branchement sur la tension du secteur. En effet, on peut voir sur la figure 7.11 qu'une permutation du neutre et de la phase, à l'entrée connectée au secteur (230 V ), donne une faible tension en sortie entre les conducteurs (par exemple U2 = 50 V), mais le fil de connexion commun est alors porté au potentiel de la phase. En revanche, avec un transformateur d'isolement, tout danger est écarté, puisqu'entre la terre et l'un des deux fils du secondaire les circuits ne sont jamais fermés. On peut permuter sans danger neutre et phase dans le primaire.

221

Composants électroniques

Phase

fi o__ g-

Ml Neutre

\U2

it FlG. 7,11.

f) Transformateur réel Sur un transformateur réel, on lit les indications suivantes fournies par le constructeur pour un fonctionnement optimal : 50 Hz ; 230 V ; 12 V ; 60 VA , ce qui signifie que : i) le transformateur doit être alimenté par une tension sinusoïdale, de fréquence 50 Hz et de valeur efficace U\ = 230 V, ii) la tension de sortie, elle aussi sinusoïdale et de fréquence 50 Hz, a pour valeur efficace [72 = 12 V , iii) enfin que la puissance apparente 6" — Uih vaut 60 VA . On en déduit l'impédance de la charge selon :

^ = ^ = 25H <S 60 Notons que la puissance dissipée dans le circuit secondaire ne sera égale à 60 W, que si le facteur de puissance ( cos (p) de l'installation vaut 1 (cf. chapitre 2). Le modèle du transformateur idéal n'est qu'une première approximation du transformateur réel car, il faut prendre en compte les différentes pertes de puissance : i) pertes Vt dans les bobinages, par effet Joule, ii) pertes de fer Vf, dues à la fuite des lignes de champ magnétique, aux courants de Foucault crées par induction dans le circuit magnétique, à l'hystérésis magnétique attribuée au processus microscopique de magnétisation (cf. Électromagnétisme). Le rendement d'un transformateur est naturellement défini par le rapport des puissances, secondaire sur primaire : r= ^ Vi

avec

V\ — V2 V Vt, d- Vf ± » j

soit

r— V2

+

Vf

+ Vb

Les transformateurs actuels ont des rendements très élevés, supérieurs à 95 % . Exemple : sur la fiche technique d'un transformateur 400 V/24 V, on peut lire les valeurs nominales suivantes : 10 kVA, rendement 95 %, cos (pj = 0.80 et pertes fer 120 W . On en déduit les pertes de bobinage : Vh=

V2 r

V2 — Vf J

avec

TV = S cos ^9 = 10x0,8 = 8,0 kW

d'où

Vt, = 300 W

Remarque : Pour limiter les pertes par courants de Foucault, les carcasses métalliques sont formées de tôles très fines isolées les une des autres. Ce sont les vibrations de ces tôles qui sont responsables du ronronnement bien connu des transformateurs. A haute fréquence, on préfère utiliser des carcasses en ferrites, car ces dernières ne sont pas conductrices.

222

7. Composants électroniques

III. — DIODES SEMICONDUCTRICES ET THYRISTORS III. 1. — Diodes à jonction Comme nous l'avons déjà vu, la diode semiconductrice est un composant passif non linéaire qui se comporte comme un interrupteur ouvert ou fermé selon le sens du courant ou de la tension (cf. chapitre 1). Nous nous proposons d'analyser le comportement de ce composant de façon plus détaillée. Nous n'étudierons que les diodes semiconductrices car les diodes à vide, constituées d'une cathode chauffée et d'une anode métalliques placées dans une ampoule vidée d'air, ne sont pratiquement plus utilisées. La diode à jonction est constituée de deux zones adjacentes d'un semiconducteur dopées différemment, p pour l'une et n pour l'autre (cf. Electromagnétisme), d'où son nom. Le côté dopé n est la cathode repérée sur le composant par un anneau rouge ou blanc; le côté p est Vanode. Sur la figure 7.12, on a représenté la structure du composant et son symbole. P

n Symbole FlG. 7.12.

a) Approche expérimentale Traçons la caractéristique I{U) d'une diode au silicium typique, de référence 1N4001,en utilisant un ordinateur muni d'une interface. La courbe obtenue, représentée sur la figure 7.13 pour des tensions comprises entre 0 et 0,8 V, a l'allure d'une exponentielle, ce que l'on pourrait confirmer en traçant le graphe In /, en fonction de U . On constate que, pour {/ > 0, 60 V , l'intensité qui est de quelques dizaines de milliampères croît très rapidement. /(mA) 4020-

0.1

0,3

U(W) —**■

0,5

FlG. 7.13.

b) Fonctionnement en sens direct Si la tension appliquée entre l'anode et la cathode de la diode est positive, la diode est connectée en direct. Une analyse expérimentale soignée montre que l'équation de la caractéristique peut se mettre sous la forme approchée suivante :

h exp

( U — \Ut

- 1

Is étant l'intensité du courant de saturation qui est de l'ordre de quelques dizaines de nanoampère, ce qui est très faible. L'intensité / n'est donc significative que si la tension est supérieure à une certaine tension de seuil Ud ■ Au-delà de U(i, la diode fonctionne en régime passant.

Composants électroniques

223

Conventionnellement, on définit Uj par la tension pour laquelle l'intensité du courant est égale à 1 mA . Avec la fonction « test diode », les multimètres, qui se comportent alors comme des générateurs, de courant de c.e.m X = 1 mA , affichent la valeur b'd de la tension qui apparaît aux bornes de la diode. Ordres de grandeur : £/
— ATexp Ç-J^P ke V kBT

•y

ce qui donne, pour le silicium, à X = 300 K , A/j/A = 0,15 AX . Ainsi, l'intensité Is est multipliée par deux tous les 7 K environ pour une diode au silicium. Un risque d'emballement thermique existe, puisqu'une augmentation de ls entraîne celle de I, laquelle peut provoquer une élévation de température et donc une nouvelle augmentation de îs. Afin d'éviter cet enchaînement thermique qui peut conduire à la destruction de la diode, les constructeurs donnent généralement la puissance maximale qui peut être dissipée à température ambiante ou le courant maximal correspondant. c) Fonctionnement en inverse Lorsque la diode fonctionne en inverse, la tension U est négative dans l'expression de la caractéristique î{U). Dès que \U\ devient inférieure à quelques dixièmes de volt, le terme exponentiel est négligeable. Il en résulte que I ~ —Js avec A ~ 10 nA . On ne doit pas donner à |f/| une valeur trop importante, car, au-delà d'une certaine tension de claquage le courant augmente exponentiellement et détruit le composant. En effet, les porteurs de charge assurant la conduction acquièrent suffisamment d'énergie pour ioniser les atomes lors des chocs ; les électrons arrachés, à leur tour, ionisent d'autres atomes : c'est Vavalanche qui conduit à la destruction de la diode. La zone de la caractéristique pour laquelle I = —Is est donc assez limitée puisque les prémisses de l'effet d'avalanche viennent se superposer à A dès que \U\ dépasse quelques volts. Les tensions de claquage des diodes varient de quelques volts à 1 000 V pour les diodes de redressement.

224

7. Composants électroniques

d) Schéma électrique équivalent à une diode Comme nous l'avons déjà vu (cf. chapitre 1), il existe différentes représentations d'une diode, suivant la zone de la caractéristique considérée et du niveau d'approximation souhaité. On retrouve la caractéristique de la diode idéale en négligeant le courant inverse, ainsi que la tension de seuil, et en assimilant l'exponentielle à une droite parallèle à Taxe des intensités, dès que le courant n'est plus négligeable. Le composant est alors équivalent à un interrupteur : coupe-circuit pour f/ < 0 et court-circuit pour U > 0 (Fig. 7.14a). Si l'on tient compte de la tension de seuil, et que l'on assimile l'exponentielle à une droite faiblement inclinée par rapport à l'axe des intensités, la diode est un coupe-circuit tant que U < Ud ■ Pour U > Ud , elle se comporte comme un générateur en opposition, de f.e.m Ud , en série avec sa résistance interne (Fig. 7.14b). On affine la représentation de ce composant, en introduisant une capacité parasite, de l'ordre d'une dizaine de picofarads, placée en parallèle avec le générateur de f.e.m Ud ■ La valeur de cette capacité est généralement donnée par le constructeur. n

Ia

Régime passant

Régime passant

0

0 U

Régime bloqué

U

Régime bloqué

a)

b) Fig. 7.14.

e) Hyperbole de puissance Les diodes ne peuvent dissiper qu'une puissance limitée, spécifiée par le constructeur, comprise entre quelques dixièmes de watt et plusieurs dizaines de watts. Il en résulte que, dans le plan de la caractéristique, les points de fonctionnement, pour lesquels la puissance dissipée est inférieure à la valeur maximale Vm , sont situés sous l'hyperbole d'équation I = Vm/U.

III. 2. — Autres types de diode a) Diode Zener Lorsque l'une des deux zones de la jonction est fortement dopée, apparaît, pour une tension inverse supérieure à une valeur seuil Uz, une forte augmentation de l'intensité du courant, pratiquement indépendante de U (Fig.7.15a). C'est l'effet Zener, découvert par le physicien allemand C. Zener, en 1934 ; on l'interprète par le passage des électrons de la bande de valence à la bande de conduction, par effet tunnel, sous l'action du champ électrique intense qui règne dans le matériau (cf. Quantique). Le symbole de la diode Zener est représenté dans un coin de la figure 7.15a. Il existe des diodes avec des tensions Zener comprises entre 1 V et quelques dizaines de volts. On représente souvent la diode Zener, en inverse, par un générateur de tension en opposition, de f.e.m Uz (Fig. 7.15b).

Composants électroniques

225 /' t,

Uz

'u 2

1<0

1

— Uz u(l

U

3

u

4 b)

a) Fie. 7,15. b) Diode Schottky

Les diodes Schottky (Fig, 7.16a), qui portent le nom du physicien américain W. Schottky qui les a réalisées et étudiées, sont constituées d'un métal et d'un semiconducteur, silicium ou arséniure de gallium, faiblement dopé. L'allure de la caractéristique est identique à celle des diodes classiques, mais la tension de seuil est plus faible : 0,3 V ou 0.4 V ; en revanche, le courant inverse de saturation est bien plus élevé, de l'ordre de quelques microampères. Le grand intérêt de ces composants vient de leur capacité parasite Cp très faible (inférieure à 1 pF ), ce qui permet d'obtenir une durée de commutation très courte entre l'état bloqué et l'état conducteur : 0,1ns pour la diode Schottky AAS70-04 au lieu de 30 p.s pour la diode classique 1N4001. C'est la raison pour laquelle on les utilise dans la réalisation des portes logiques (cf. chapitre 18). c) Diode varicap Lorsque les diodes sont polarisées en inverse, leur capacité parasite Cp dépend de la tension inverse U appliquée. Dans les diodes varicap, la géométrie et le dopage sont choisis de telle sorte que cette dépendance soit de la forme : K C,, IC/I'/2 K étant un coefficient homogène au produit d'une capacité par la racine carrée d'une tension. Ces diodes sont alors utilisées comme condensateurs, dont la capacité est commandée par la tension appliquée en inverse, d'où leur nom. Elles permettent d'accorder de façon précise la fréquence de résonance de filtres utilisés en radio et en télévision. Les valeurs usuelles de ces capacités vont de 1 pF à quelques centaines de picofarads. Sur la figure 7.16, on a représenté les symboles de la diode Schottky et de la diode varicap. n

Diode Schottky

11b)

a) Fig. 7.16.

III. 3. — Applications des diodes Il existe de nombreuses applications des diodes qui seront illustrées ultérieurement sur différents montages. Nous proposons ici uniquement trois applications essentielles : le redressement d'une tension alternative, la stabilisation d'une tension redressée et l'écrétage d'une tension.

7. Composants électroniques

226

a) Redressement Une diode, soumise à une tension sinusoïdale, est bloquée pendant l'alternance négative et passante durant l'alternance positive. Avec le montage représenté sur la figure 7.17, pour lequel R = 100 -Q , on peut réaliser le redressement à simple alternance de la tension e{t) = em cos(wr) délivrée par un générateur sinusoïdal GBF d'amplitude 10 V . eiî)

Us{tj i i

L\J\

FIG. 7.17. Contrairement au signal d'entrée, le signal de sortie ^(f) a une valeur moyenne non nulle. Calculons cette valeur, en négligeant la tension seuil de la diode. A la sortie, la tension redressée a pour expression, T = Itt joj étant la période ; us{t) = emcos{ù)t)

pour

?

T ^ ^

et

3T

us{t) = 0

pour

T 3T — < r^ —

On en déduit : u

s{t) = -

/■r/4 fT / em cos(ù)t) d r + / em cos(cot) d t 'o J3T/4

mT

[sin(wf)]o/4 + [sin(^)]3r/4}

TT

Expérimentalement, on doit s'assurer que le courant direct reste inférieur à la valeur maximale prévue par le constructeur. Si la tension de seuil de la diode n'est pas négligeable devant l'amplitude de la tension du GBF, le signal de sortie est nul sur une durée supérieure à la demi-période du signal d'entrée ; la valeur moyenne du signal de sortie est alors inférieure à la valeur calculée précédemment. Il est possible de redresser chaque alternance grâce à un pont de quatre diodes ou pont de Graetz (Fig. 7.18). Lors des alternances positives, les diodes Xh et Vt, sont passantes et is est positif. Aux alternances négatives, ce sont les diodes Xb et X)4 qui sont passantes et is est encore positif. Usit)

m v. <

fVW\ X3

x2 FIG. 7.18.

La valeur moyenne de la tension de sortie est le double de la précédente, 2emj7r, ce que l'on établit sans calcul supplémentaire, en considérant que la tension redressée en double alternance est la superposition de deux tensions redressées en simple alternance et de même valeur moyenne. En pratique, cette valeur moyenne est directement accessible en branchant, en parallèle sur la résistance R, un voltmètre en position « mesure de tension stationnaire ». La valeur lue est inférieure à la valeur théorique précédente ; en effet les maxima de us sont inférieurs de 2U(i à ceux de e{t). Cette chute de tension correspond aux tensions de seuil des deux diodes passantes à chaque alternance. Il en résulte que le redressement des très faibles tensions est impossible.

227

Composants électroniques

On peut observer simultanément les tensions e(t) et iis(t) sur un oscilloscope à condition d'utiliser un transformateur d'isolement entre la résistance de charge et l'entrée de l'oscilloscope afin d'éviter un problème de masse entre le GBF et l'oscilloscope (Fig. 7.19). Pour une tension d'entrée efficace Zs = 12 V et une résistance de charge R = 100 O , on a mesuré une puissance d'entrée Ve = 1,75 W , alors que la puissance de sortie est 7^ = 1,15 W . Le rendement du redressement est donc r = Vs/Ve = 0,66, une partie de la puissance étant dissipée dans les diodes du pont de Graetz. Ce montage est utilisé à la sortie des alternateurs qui équipent les véhicules ; après filtrage à basse fréquence par une cellule RC et stabilisation par une diode Zener, comme nous verrons plus loin, la tension stationnaire obtenue permet de recharger la batterie pendant la rotation du moteur. Les diodes utilisées pour le redressement supportent couramment des intensités en direct de quelques ampères et des tensions inverses de plusieurs centaines de volts. Voie 1 de l'oscilloscope

Voie 2 de

-Tensions

Transformateur d'isolement Fie. 7.19.

b) Stabilisation d'une tension Comme la portion intéressante de la caractéristique d'une diode Zener est située dans le troisième quadrant avec t/ < 0 et / < 0, et qu'elle est parallèle à l'axe des intensités, on utilise ce composant pour stabiliser une tension. Les diodes employées ont des valeurs de Uz qui s'étendent sur une gamme très large : 3 V < f/z ^ 200 V En outre, il est toujours possible de placer plusieurs diodes Zener en série pour obtenir une tension plus élevée. Dans le montage représenté sur la figure 7.20, on souhaite obtenir une tension stationnaire aux bornes de la résistance de charge R, bien que celle-ci soit variable et que la f.e.m E de l'alimentation fluctue autour de sa valeur nominale E. Une diode Zener fonctionnant dans la zone de conduction inverse, en parallèle sur la charge, répond à cette exigence. La résistance de protection Rp , placée en série avec le générateur, limite l'intensité du courant qui traverse la diode, afin de ne pas dépasser la valeur IM recommandée par le constructeur.

FIG. 7.20.

228

7. Composants électroniques

Tant que E reste supérieure à Uz

diode Zener impose U = Uz , d'où le courant Iz :

h — h—h —

E-Uz

Uz

Rr

R

Le choix de Rp exige que l'on connaisse les valeurs maximales Em et Im de la f.e.m du générateur et du courant que peut supporter la diode. En effet : h ^ /m

s'explicite selon

E -Uz —— Rr

Uz — ^ Im R

. ce qui donne

Rp ^

Em - Uz lM

dans le cas le plus défavorable où la charge R est débranchée. En outre, la stabilisation n'est possible que si le point de fonctionnement de la diode est dans la zone Zener, afin que Uz = RIr , ce qui suppose une charge suffisante. Le courant délivré par le générateur doit toujours avoir une intensité Ig supérieure à l'intensité Ir nécessaire dans la branche de la charge. L'intensité L du courant débité par le générateur est minimale lorsque E atteint la valeur minimale h ^ Ir

avec

h

Em - Uz Rr,

et

IR

Uz — R

. donne

Uz R^ — h

Exemple : supposons que le générateur utilisé possède une f.e.m qui varie entre 8 V et 12 V, alors que l'on souhaite, aux bornes de la charge, une tension de 6 V , stabilisée par une diode Zener qui ne peut supporter un courant inverse supérieur à 100 mA. En réalisant le montage étudié précédemment, on doit avoir : Em — Uz = bon RP > lM La résistance normalisée de la série £24 de valeur 68 fi convient. Quant à la résistance de charge elle doit satisfaire à : Uz = 204 fi R ^ Io c) Écrêtage d'un signal Les diodes peuvent facilement protéger les circuits d'éventuelles surtensions. Sur la figure 7.21, deux diodes Zener identiques, de tensions caractéristiques Uz et Ud , sont branchées tête-bêche, en parallèle avec le composant à protéger. Ce montage limite la tension de sortie us entre les deux valeurs extrêmes —Ud — Uz et Ud + Uz ■ En effet, si \us\ est inférieur à Ud + Uz, alors les deux diodes sont bloquées et leur présence n'a aucune influence. Dès que 1^ | atteint la valeur Uj+Uz , les deux diodes deviennent passantes, Tune en direct et l'autre en inverse ; la valeur de us{t) est alors constante. .(/)-r-C

Uz + Ud

R„ e

R •

1 i

-Uz-Ud T FlG. 7.21.

Cette limitation est importante pour tous les systèmes comportant des bobines, car ces dernières peuvent provoquer de fortes surtensions lors de l'ouverture du circuit. Pour éviter ces surtensions, il

Composants électroniques

229

suffit de placer une diode en parallèle avec la bobine (Fig. 7.22). En effet, lorsque l'interrupteur K est fermé, la diode est bloquée ; lorsqu'on ouvre K, elle devient passante, mais la tension aux bornes de la bobine reste fixée à une valeur proche de Uj . La diode se comporte donc comme un écrêteur de tension aux bornes de la bobine ; évidemment il faut qu'elle soit capable de supporter de fortes intensités.

A

FIG. 7.22. III. 4. — Thyristors a) Description et fonctionnement des thyristors Le thyristor est un composant semiconducteur similaire à une diode à jonction, mais il possède une électrode supplémentaire appelée gâchette. Il ne laisse passer le courant que dans le sens direct, de l'anode vers la cathode, et cela, à condition d'avoir été amorcé par un courant arrivant sur la gâchette. Une fois l'amorçage réalisé, le thyristor devient passant et le demeure tant que la tension entre l'anode et la cathode reste positive ; la gâchette est alors sans effet. Si cette tension s'annule, il se bloque. Ainsi, grâce à un faible courant sur la gâchette, on peut commander, un courant très intense. il 1 r/ 11 1

\\ // \ 11 / v y

1

/ ' \\ \ / v -/

\ V

1 1

/ /t

1

R,

l

c

Rr. 3 G

i i i i i i i n n iii 1 1 i"\

1

K

i

t

A

7777" Fig. 7.23.

FIG. 7.24.

Sur le montage de la figure 7.23, le circuit principal, alimenté par un générateur sinusoïdal de forte amplitude comporte une thyristor et une résistance de charge. On peut y voir le symbole du thyristor. La gâchette G du thyristor est reliée à un générateur stationnaire, de f.e.m E = 5 V ; cette branche comporte une résistance de protection Rp = 10017 et un interrupteur de commande. Tant que l'interrupteur est ouvert, aucun courant ne traverse la résistance de charge puisque le thyristor est bloqué. Une brève impulsion sur l'interrupteur, lors d'une alternance positive du signal d'entrée sinusoïdal e{t) , amorce le thyristor, lequel reste passant jusqu'à ce que la tension du générateur e{t) s'annule. La charge est alors traversée par un courant intense. Une impulsion sur l'interrupteur, lors d'une alternance négative, est, elle, sans effet, puisque le thyristor est alors en inverse. Une fermeture prolongée de l'interrupteur rend le thyristor passant sur les alternances positives. La réouverture de l'interrupteur bloque le thyristor dés l'annulation suivante de e{r) (Fig. 7.24). Comme les diodes, les thyristors sont caractérisés par la tension inverse maximale qu'ils sont capables de supporter et par le courant direct maximal admissible sans détérioration du composant ; le

7. Composants électroniques

230

fabricant donne ces deux caractéristiques ainsi que le courant de gâchette nécessaire pour amorcer le thyristor. Exemple : le thyristor TIC 116D peut supporter un courant direct d'intensité efficace 7 = 6 A , une tension inverse maximale 77/ = 400 V, et le courant de gâchette a pour intensité 7^ — 2 mA . b) Application à la protection contre les surtensions Il est possible d'utiliser un thyristor pour protéger un circuit d'éventuelles surtensions de l'alimentation. Dans le montage de la figure 7.25, un thyristor est placé en parallèle avec le circuit à protéger et en série avec un fusible. La gâchette du thyristor est reliée à l'alimentation par une diode Zener, connectée en inverse, dont la tension Zener est égale à la surtension maximale admissible ; elle reçoit donc un courant dès que la tension d'alimentation dépasse la tension Zener. Le thyristor est alors passant et un fort courant provoque la fusion du fusible ; l'alimentation est alors coupée et le circuit ainsi protégé. Fusible ^—

Diode . Zener r7\~ 1 R

Thyristor ; —/

l

Circuit à protéger 7777"

7777"

FlG. 7.25. c) Triacs Le triac est un composant semiconducteur équivalent à deux thyristors tête-bêche commandés par la même gâchette, d'où le symbole représenté dans le montage de la figure 7.26a. Un triac est donc bloqué tant qu'aucun courant ne traverse la gâchette ; une fois amorcé, il devient passant dans les deux sens, tant que la tension ne s'annule pas. Il en résulte que le courant traversant la gâchette, à l'origine de l'amorçage, peut être positif ou négatif. La plupart des triacs sont conçus pour fonctionner sous la tension du secteur, avec un courant de commande de la gâchette d'environ 50 mA . d) Application au contrôle de puissance Les triacs sont très souvent utilisés pour contrôler la puissance fournie à une charge, en régime sinusoïdal, en bloquant une partie de chaque alternance. Sur le montage de la figure 7.26a, un triac est placé en série avec la charge, sa gâchette est reliée à la tension d'entrée ue{t) sinusoïdale par l'intermédiaire d'un résister, de résistance variable R. Lors de l'alternance positive, la diode D\ conduit et l'intensité du courant sur la gâchette du triac atteint la valeur de déclenchement 7^ lorsque : {iie — U^/R = 7^ ; le réglage de R permet donc d'ajuster la portion de l'alternance qui alimente la charge. Lorsque l'alternance positive se termine, le triac se bloque. Dans l'alternance négative, c'est la diode Do qui conduit ; le triac ne redevient conducteur que pour une valeur de ue suffisamment négative ; il faut que {ue + Ud)/R = —fj. La condition est donc symétrique de la précédente. Notons que seule une portion des alternances de la tension d'alimentation fournit de la puissance à la charge (Fig. 7.26b). Ce montage simple ne permet pas de réduire la puissance en dessous de la moitié de la puissance maximale, car le déclenchement du triac a toujours lieu dans la première moitié de chaque alternance.

Composants électroniques

231

Tensions 'Pi Ug

V A

v2

R(

Ue T

S )/~\

TY_2f\

« Triac

V X a)

V

'

b) Fig. 7.26.

IV. — PILES ET ACCUMULATEURS Les sources électriques autonomes, piles et accumulateurs, qui sont caractérisées par leur capacité à fournir de la puissance électrique au circuit extérieur, sont indispensables pour tout équipement nomade : véhicule, téléphone, ordinateur, satellite, etc. La différence de nature des réactions électrochimiques, mises enjeu dans les piles et les accumulateurs, permet d'expliquer, qu'une fois déchargées, les piles doivent être remplacées, contrairement aux accumulateurs qui, eux, peuvent être rechargés.

IV, 1. —Piles Une pile électrique est un générateur électrochimique comportant une électrode positive, siège d'une réduction chimique, et une électrode négative, où se produit une oxydation. Si les deux électrodes sont connectées entre elles par un conducteur extérieur, on constate le passage d'un courant électrique dans ce conducteur. Les paramètres d'une pile sont sa tension à vide, ou f.e.m, de quelques volts en général, sa résistance interne, environ quelques ohms, et la charge totale qu'elle peut débiter, de Tordre de 1 A • h, ce qui correspond à une charge totale <2 = 3 600 C . Ordres de grandeur : Le tableau 7.2 donne la charge totale de quelques piles. Pile

LR03 (AAA)

LR06 (AA)

LR14 (C)

LR20 (D)

Charge (A ■ h)

1,17

2,25

7

15

Tab. 7.2. Remarque : Dans la dénomination des piles, la première lettre est relative à Télectrochimie (L pour alcaline manganèse, M pour oxyde de mercure, S pour oxyde d'argent, C pour lithium et P pour zinc/air), la seconde concerne sa géométrie (R pour cylindre, F pour plate, S pour parallélépipède), et les chiffres qui suivent codent les dimensions ( 6 pour 14,5/50,5 mm, 12 pour 21.5/60mm, 20 pour 34,2/61,5 mm) Au cours de la décharge, la polarisation progressive de Télectrolyte provoque une diminution de sa f.e.m et une augmentation de sa résistance interne ; une fois la charge totale débitée, la f.e.m s'annule. Les piles alcalines sont recommandées pour les appareils électriques qui nécessitent une puissance suffisante : appareil photographique, appareil audio-portatif, jouet, etc. En revanche, les piles salines, dont la durée de vie est moins longue, sont utilisées pour les appareils dont le fonctionnement est occasionnel : sirène, lampe-torche, télécommande infrarouge, etc.

232

7. Composants électroniques

IV. 2. — Accumulateurs Les accumulateurs, appelés improprement « piles rechargeables » et plus justement batteries, sont le siège de réactions chimiques qui peuvent se produire dans les deux sens. Les plus courants sont les accumulateurs au plomb, utilisés en batterie de six, dans les véhicules ; leur f.e.m est 2,2 W et leur résistance interne ne dépasse pas quelques milliohms. Leur capacité est élevée, mais ils sont lourds et contiennent un électrolyte acide. Actuellement, la f.e.m des batteries qui équipent la plupart des automobiles est de 12 V, mais, en raison de la multiplication de petits moteurs électriques qui assurent freinage, assistance à la direction, confort de l'habitacle, pilotage du moteur, etc., les constructeurs prévoient dans les prochaines années, l'utilisation de batteries de f.e.m 48 V qui permettent d'augmenter la puissance électrique sans modifier l'intensité débitée. Les accumulateurs au nickel (Ni) ou au lithium (Li) sont les plus répandus dans les applications domestiques, car ils n'exigent aucun entretien, sont d'un emploi facile, durent suffisamment longtemps et sont plus légers que ceux au plomb. Les énergies massiques des accumulateurs sont sensiblement plus faibles que celles des piles comme l'indique le tableau 7.3. Cependant, la possibilité de les recharger un grand nombre de fois, environ un millier, représente un avantage certain pour nombre d'applications.

7 Energie massique (W-h-kg"1)

Pile

Accumulateur Li

Accumulateur Ni/MVHV

Accumulateur Ni/Cd

Accumulateur Pb

500

150

70

50

35

Tab. 7.3. Les accumulateurs se déchargent assez rapidement par auto-décharge ; c'est pour cette raison qu'ils sont toujours vendus déchargés et qu'on déconseille de les utiliser sur de longues durées avec une demande de puissance faible, comme dans les télécommandes ou les horloges. En revanche, malgré leur prix dix à vingt fois plus élevé que celui des piles, on les recommande pour les appareils nécessitant une forte puissance électrique, comme les appareils de photographie numérique, les voilures électriques, les camescopes et les téléphones portables. Au cours de la décharge d'un accumulateur, le métal de l'une des électrodes se dissout dans la solution, alors que, au cours de sa charge, ce même métal se redépose sur l'électrode, mais pas exactement à l'endroit où il s'est initialement dissous. Après un certain nombre de charges et décharges successives, une modification de la fonne de l'électrode se produit, provoquant à tenue un court-circuit entre les deux électrodes et rendant alors l'accumulateur inutilisable.

Y. — TRANSISTORS BIPOLAIRES Le transistor bipolaire est un composant semi-conducteur actif qui, pendant longtemps, a constitué l'élément essentiel des montages amplificateurs. Actuellement, dans beaucoup d'applications, on lui préfère l'amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8), dont il est l'un des constituants avec les résistors, les condensateurs et les diodes. Un transistor bipolaire est un système capable d'amplifier la puissance d'un signai d'entrée, en puisant la puissance nécessaire dans une alimentation stationnaire. laquelle fixe son point de fonctionnement. Il a été inventé en 1948 par les trois physiciens américains W. Shockley, J. Bardeen et W. Brattain, alors qu'ils travaillaient aux laboratoires Bell ; le mot transistor vient de la compression des mots

Composants électroniques

233

transii (du courant) et résistor. On qualifie ces transistors de bipolaires car leur fonctionnement repose sur deux types de porteurs, les électrons et les trous (cf. Elecîromagnéîisme). Dans la suite nous commençons par décrire le composant, puis nous présentons ses caractéristiques et quelques montages de base.

V. 1. — Description a) Constitution Un transistor est un composant actif à trois bornes, Vémetteur, la base et le collecteur. Les caractéristiques des deux jonctions émetteur-base et base-collecteur peuvent être obtenues à l'aide de la fonction « test diode » d'un multimètre ; rappelons que ce dernier affiche la valeur de la tension de seuil d'une diode connectée dans le sens direct. En testant les bornes deux à deux, nous obtenons une valeur de 0,68 V entre l'une des bornes et les deux autres. Le testeur indique une résistance infinie entre ces deux dernières, quel que soit le sens de branchement. Ainsi, un transistor est constitué de deux jonctions pn ou np tête-bêche, d'où deux types de transistors bipolaires : les premiers npn, les seconds pnp. Plus précisément un transistor bipolaire npn est un cristal de silicium dopé alternativement n (le collecteur), p (la base) et fortement n (l'émetteur) (cf. Electromagnétisme). Il est donc effectivement constitué de deux jonctions pn, en inverse l'une de l'autre, ce qui lui donne le même comportement que celui de deux diodes tête-bêche. La zone centrale est faiblement dopée et de largeur très faible par rapport aux deux autres zones. Les noms émetteur et collecteur dans un transistor npn viennent de la circulation des électrons depuis l'émetteur jusqu'au collecteur. Le fonctionnement des transistors npn est identique à celui des transistors npn, si l'on inverse les polarités. Dans ces transistors, ce sont les trous (cf. Électromagnétisme) qui circulent depuis l'émetteur jusqu'au collecteur. Sur la figure 7.27, on a représenté les schémas de transistors npn et pnp de façon standard. Dans les deux cas, la flèche qui repère l'émetteur est orientée dans le sens passant de la jonction émetteur-base. Dans la pratique, un ergot permet de situer l'émetteur ; le collecteur est à l'opposé et la base évidemment entre les deux autres zones. Collecteur Base

Collecteur Base

Emetteur Transistor npn

Émetteur

tî> c

Transistor pnp FIG. 7.27.

b) Effet transistor Bien que le transistor soit constitué de deux diodes tête-bêche, son fonctionnement est singulier, en raison de Veffet transistor, lequel consiste en une forte amplification en courant, entre la base et le collecteur, lorsqu'on polarise en direct la jonction np émetteur-base et en inverse la jonction pn collecteur-base.

234

7. Composants électroniques

Le rapport entre l'intensité ij, du courant de base et celle ic du courant collecteur est désigné le plus souvent par (3 :

Ordre de grandeur : ce facteur /3 étant généralement compris entre 50 et 800, on voit qu'un faible courant de base provoque un fort courant de collecteur. Malgré l'information donnée par le constructeur, on constate pour différents transistors, de même référence, une grande dispersion des valeurs de (3 ; aussi est-il préférable de mesurer son facteur (3 avant d'utiliser un transistor et de choisir ce dernier à partir d'autres paramètres qui présentent peu de dispersion. Le tableau 7.4 présente les caractéristiques fournies par les fabricants pour quelques transistors.

Références

Uce,max (^0

4 (mA)

VM (mW)

(3

Petits signaux 2N1711

50

1000

800

100 à 300

Petits signaux BC 107

45

1000

300

125 à 500

Petits signaux PN 2222

30

600

625

100 à 300

Puissance (Darlington) BSS 51

60

1000

5000

> 2000

Puissance BC 141

60

1000

3700

40 à 250

Haute fréquence (400 MHz ) BF 198

30

25

500

>10

Tab. 7.4.

V. 2. — Caractéristiques du transistor bipolaire A l'aide du montage de la figure 7.28, on peut tracer les caractéristiques d'un transistor, puisqu'il est possible d'agir séparément sur les courants stationnaires //, et Ic , ainsi que sur la tension Uce. Pour le transistor npn de référence 2N 1711, nous avons obtenu les courbes de la figure 7.29 donnant 1C en fonction de Uce , à //, constant. On distingue quatre zones de fonctionnement.

'L(mA) 4 = 60 (xA 5A Rb Eb

Ur. E

4 = 40 (xA 4 = 20 (i-A

j

Ul 4 =0 50 FIG. 7.28.

Fig. 7.29.

«v(V)

Composants électroniques

235

a) Zone linéaire Dans la zone linéaire, qui correspond au fonctionnement le plus courant du transistor, Injonction émetteur-base est passante, alors que la jonction collecteur-base est bloquée. Les valeurs correspondantes de Uce sont comprises entre 0,2 V et 50 V . On constate que l'intensité îc est pratiquement indépendante de Uce et qu'elle est proportionnelle à U : Ic — (Slt avec /3 = 100 ici. Pour le collecteur, le transistor se comporte comme une source de courant commandée par le courant de base d'intensité 4 • La mesure de Ut,e dans cette zone donne une valeur à peu près constante Ube = 0,6 V , correspondant à la tension Ud de la jonction émetteur-base en mode passant. On en déduit que, dans la zone linéaire, le transistor est équivalent au schéma de la figure 7.30.

B

W-

h Ud y 'h i FIG. 7.30.

FIG. 7.31.

Application : la figure 7.31 représente un montage dans lequel on utilise le fonctionnement linéaire du transistor 2N1711, dans le but d'amplifier le courant 4 délivré par la photopile OAP12. Cette dernière, qui travaille dans le visible, se comporte comme un générateur dont le courant électromoteur est quasiment proportionnel à son éclairement. L'amplification, avec un transistor dont le gain mesuré est p = 200, permet de lire sur un milliampèremètre un courant d'intensité Ic = pi/, proportionnel à l'éclairement ambiant. Sans le transistor, ces intensités n'auraient pas pu être mesurées avec précision sans utiliser un montage plus complexe comportant un AO (cf. chapitre 8). La figure 7.32 donne le schéma équivalent du transistor npn dans la zone linéaire, en tenant compte de la résistance interne r/, de Injonction base-émetteur de l'ordre du kfl et de la résistance interne rC(,, de quelques dizaines de kfi, du générateur de courant commandé. B

C

H— >1 lb rb Ud

E FIG. 7.32.

Remarque : Le facteur d'amplification en courant p augmente avec la température. Aussi les transistors bipolaires peuvent-ils subir un emballement thermique car une élévation de température conduit à une augmentation de p, donc de Ic, ce qui entraîne à nouveau une élévation de température.

236

7. Composants électroniques

b) Zone saturée La zone de saturation de Ic correspond aux faibles valeurs de Uce, c'est-à-dire inférieures à Uce,s = 0,2 V. Dans cette zone Ic ^ /34 et une augmentation de C n'a pratiquement aucune influence sur Ic ; le transistor est quasiment équivalent à un court-circuit entre l'émetteur et le collecteur, avec une tension résiduelle Uce^ = 0,2 V (Fig 7.33).

*b

rt

Ic

C

Rt

Ud

h

Uhe eT Fig. 7.33.

FIG. 7.34.

Exemple : dans le montage de la figure 7.34, où E = 10 V et Rco = 2 kfi , déterminons la valeur de Rb telle que le transistor fonctionne en zone saturée. Les caractéristiques du transistor 2N1711 fournies par le constructeur sont : /S = 200

£/c^ = 0,15 V

Ube = 0,6 V

et

= 500 Û

On en déduit : 1 =

E-Ur

10-0,15

R.

2 x 103

= 4,925 mA

et

Ib ^

= 24,6 |xA

et

Rb < 381,2 kO

D'où, en tenant compte de U^e = 0, 6 V : Rb + rb ^

E — Ube

10,0-0,6

h

24,6 x 10^6

= 381,7 kO

On constate que rb est négligeable devant Rb . c) Zone bloquée La zone de blocage du transistor correspond à une valeur nulle de Ic . La façon la plus simple de réaliser ce blocage est d'appliquer une tension Ube inférieure à la tension de seuil = 0, 6 V . Cette tension Ube peut être négative, à condition de ne pas dépasser les valeurs extrêmes données par le constructeur. Dans cette zone, le transistor est équivalent à un interrupteur ouvert entre l'émetteur et le collecteur. En réalité, Ic n'est pas nul et vaut (3Ib avec Ib égal au courant de saturation de Injonction émetteur-base, de l'ordre de 1 nA . Exemple : dans le circuit de la figure 7.35, déterminons la valeur de la résistance R pour laquelle le transistor est bloqué. Les paramètres du montage sont identiques à ceux de l'exemple précédent, avec Rb = 5 kfi. Le transistor étant bloqué, on a : fc = Ib = 0

et

Ube < 0,6 V

On trouve en utilisant le pont diviseur de tension entre l'émetteur et la masse : uhP =

R R + Rb

E

d'où

R <

Ube E-Uht

Rb = 3\9El

Les fonctionnements en zones bloquée et saturée sont généralement associés dans les montages où on veut réaliser un interrupteur commandé par la tension Ute ■

237

Composants électroniques

Rr Ri, B

Ur n a

R

k -s ube

T Fig. 7.35. d) Zone d'avalanche Lorsque la tension Uce s'élève, apparaît une zone d'avalanche dans la jonction collecteur-base appelée perçage de la base. Les tensions limites, qui sont fournies par le constructeur, varient de 20 V à plus de 200 V . Évidemment, le point de fonctionnement normal du transistor doit être éloigné de cette zone. e) Puissance maximale Comme pour les diodes, les transistors ne peuvent dissiper qu'une puissance limitée Vm , indiquée par le fabricant, de quelques dixièmes de watt à plusieurs centaines de watts. Dans ce dernier cas, ils sont équipés de radiateurs afin de faciliter l'échange thermique avec le milieu ambiant. Exprimons la puissance reçue par le transistor : V = Uheh + UcJc

avec

lc > h

et Uce de l'ordre de Uhe. Il vient donc: V « Ucdc

d'où

lc <

Vm Vr

On détermine ainsi sur la caractéristique du transistor l'hyperbole limitant la zone de puissance acceptable. f) Paramètres stationnaires et paramètres dynamiques L'étude précédente était relative au fonctionnement du transistor en régime stationnaire. Cependant, le transistor fonctionne, le plus souvent, avec des signaux variables, de faible amplitude, autour d'un point de fonctionnement stationnaire déterminé par les alimentations. On fixe ce point avec le montage de polarisation du transistor. Le signal variable d'entrée provoque de faibles variations des tensions et des courants autour du point de fonctionnement stationnaire. Les intensités ifh et i'c des courants de base et de collecteur ont alors pour expressions respectives : i'b = h + 4

avec

\ib\
et

i'c = 4 + 4

avec

|4| < h

De la même façon, la tension collecteur-émetteur u'ce se met sous la forme : u'ce = Uce + uce

avec

\uce\
On peut alors déterminer les paramètres dynamiques du transistor qui lient les grandeurs variables entre elles, à partir des caractéristiques graphiques de ce composant : ce sont généralement les pentes des tangentes au point de fonctionnement stationnaire. Comme ces pentes dépendent de ce point, les constructeurs donnent généralement des valeurs moyennes de ces paramètres.

7. Composants électroniques

238

En raison de l'influence du point de fonctionnement, de la grande dispersion des valeurs des paramètres au sein d'une même gamme de transistors et de leur faible écart par rapport aux valeurs stationnaires, dans ce qui suit, nous ne distinguerons pas valeurs stationnaires et valeurs dynamiques. Il en résulte que, dans la zone linéaire et en régime variable, le transistor est équivalent au montage de la figure 7.36. B-M 'b n

T

c

Fig. 7.36.

V. 3. — Montages simples avec transistors bipolaires a) Polarisation La première étape, commune à tous les montages, est la polarisation du transistor, laquelle fixe le point de fonctionnement, autour duquel les grandeurs évoluent. Cette polarisation, assurée par l'alimentation, fournit la puissance électrique nécessaire afin que l'on puisse avoir une amplification de la puissance entre l'entrée et la sortie. La polarisation peut être réalisée par une seule alimentation et des résistors ; la figure 7.37 représente les deux polarisations les plus couramment utilisées : la polarisation économique (Fig. 7.37a) et la polarisation par pont de base (Fig. 7.37b) ; le qualificatif d'économique provient du nombre réduit de résistors nécessaires à la réalisation du montage.

I Rro /?/, LT E s Ri

Rr T

b)

a) FIG. 7.37.

Établissons l'expression des courants et des tensions, dans le montage de polarisation économique (Fig. 7.37a), pour un point de fonctionnement dans la zone linéaire. Dans la maille extérieure, les lois de Kirchhoff donnent : E = Rb1h + Ube + Reh

avec

îe

{fi + 1)L

d'où

Ib

E-UbÉ Rh + {fi+V)Rt

Pour que Injonction base-émetteur soit passante, il est nécessaire que E soit supérieure à la tension Ube de cette jonction qui vaut 0,6 V . Le courant dans la base, d'intensité //,, est ainsi fixé par Rb et Re .

Composants électroniques

239

Dans la maille passant par Rco , on a de même, en zone linéaire : E = RcoIc + Uce + ReIe

avec

/c =/?//,

d'où

Uce = E- Ih [Rcofi + Re{p + 1)]

Comme 4 est déjà fixé, la valeur de la résistance Rco détermine Uce. Le fonctionnement est effectivement linéaire si Uce est supérieure à la tension de saturation, laquelle vaut environ 0.2 V. Il faut également vérifier que le produit /c x Uce soit nettement inférieur à la puissance maximale que peut dissiper le transistor. Avec une polarisation par pont de base (Fig. 7.37b), il n'est pas nécessaire de reprendre toutes les étapes précédentes ; en effet, le générateur de Thévenin équivalent au diviseur de tension, formé par E, Ri et /?2 , permet de se ramener au montage de la polarisation économique en remplaçant E et R/,, respectivement, par : w

^2 R] +

^ E

. et

„/ K

^1^2 R\ -\- Ri

b) Classes d'amplification La polarisation étant fixée, on envoie, en entrée, un signal variable, et on observe, en sortie, le signal amplifié. Pour définir une entrée et une sortie, il faut choisir une borne qui sera commune à l'entrée et à la sortie ; la nature spécifique du montage, émetteur, base ou collecteur commun, n'apparaît que lors de l'application des signaux variables, la polarisation étant la même quel que soit le montage. L'amplitude du signal d'entrée ne doit pas être trop grande, afin d'éviter d'une part la saturation dans l'alternance positive, d'autre part le blocage du transistor dans l'alternance négative. On distingue les amplificateurs selon la position de leur point de fonctionnement : i) Les amplificateurs de classe A ne fonctionnent que dans leur zone linéaire. ii) La classe B correspond à un point de fonctionnement placé à la limite de la zone de blocage. Ainsi seule l'alternance positive du signal variable est amplifiée pour un transistor npn . Afin d'éviter la très forte distorsion qui en résulte, un second transistor est utilisé pour amplifier la seconde alternance. Une distorsion résiduelle est observée pour les petits signaux, car le transistor n'atteint la zone linéaire que si l'entrée dépasse la tension de seuil de la jonction base - émetteur. Le principal avantage de cette classe d'amplification est la très faible consommation au repos, puisque /c est nul. iii) La classe AB est relative à un point de fonctionnement placé dans la zone linéaire, mais très proche de la zone de blocage. La consommation au repos n'est plus nulle mais la distorsion résiduelle observée pour les faibles signaux en classe B disparaît. iv) La classe C correspond, elle, à un point de fonctionnement qui ne permet le déblocage du transistor que sur une très faible portion du signal d'entrée. La sortie est alors formée d'une succession d'impulsions ; l'ensemble a évidemment un comportement fortement non linéaire. v) La classe D utilise des transistors de puissance en commutation et n'est utilisée que pour la commande de moteurs. c) Montage amplificateur en émetteur commun Intéressons-nous ici à un amplificateur dans lequel le transistor 2N1711 fonctionne en zone linéaire (Fig. 7.38). Le signal à amplifier est sinusoïdal, de fréquence fo . Afin de le superposer aux courants de polarisation du transistor sans modifier ces derniers, on utilise un condensateur de capacité Cg en série avec le générateur sinusoïdal. En effet, ce condensateur se comporte comme un court-circuit en régime sinusoïdal et comme un coupe-circuit en régime stationnaire.

240

7. Composants électroniques

c.

H Me

Us e

Ri

u

Ri

FIG. 7.38.

FTG. 7.39.

De même, la résistance de charge /?c = 1 kfi qui ne doit pas influer sur la polarisation, est connectée en série avec un condensateur de capacité Cc . Enfin, l'émetteur étant la borne commune à l'entrée et à la sortie pour le signal sinusoïdal, on court-circuite la résistance Rc à l'aide d'un troisième condensateur de capacité Ce. La figure 7.39 représente l'équivalent du circuit en régime stationnaire, dans lequel les condensateurs sont des coupe-circuit. Le schéma est identique à celui qui a servi à la polarisation du transistor ; l'application du signal variable n'a donc pas d'influence sur la polarisation. Les capacités des condensateurs sont choisies afin que leurs impédances soient négligeables à la fréquence /o. En régime sinusoïdal, le circuit est alors équivalent à celui de la figure 7.40 puisque le générateur stationnaire de f.e.m E se réduit à un court-circuit et que l'on utilise le transistor en zone linéaire (Fig. 7.36) : hT

Ri u.

Ri

n Ri

T R.

rb

R, T

T

FIG. 7.40. Déterminons le facteur d'amplification en tension Au, sachant que la tension aux bornes de la résistance de la base est la grandeur d'entrée. Il vient, en utilisant un diviseur de courant pour déterminer is et en introduisant Rt, = R\l/Ri = 300 kfi et R'co = Rco/jrco « Rco = 1.46 kfi : ue = rbib

et

us = ~Rcis = -

RL + R,

pib

d'où

=

RcoRc

R'rn + Rc

^ b

r

Avec les valeurs usuelles pour un transistor 2N1711, = 150 et rb = 1,0 kfi, on trouve Au = — 89 . Ainsi, les tensions d'entrée et de sortie sont en opposition de phase : c'est un amplificateur inverseur. Établissons l'expression du facteur d'amplification en courant A, :

e

Rhfb = ~ Rh i? -r _i_ } h

et

us = —Rcis

d"où

PR'coRb A/ = É = h {R'co + Rc} {Rh + rh)

La résistance d'entrée du montage s'obtient selon : Re = ue/ie = {rbRb)l{rb -F Rb) ^ rb — \ kfi . Quant à la résistance de sortie, on la trouve en remplaçant la charge par un générateur idéal de tension

241

Composants électroniques

de f.e.m. us et en passivant le générateur d'entrée ; Rs — — — — r'co — 1,46 kfi h

car

4 =0

Remarque : Le fil reliant rh et le générateur de courant commandé (/S4) n'est parcouru par aucun courant. L'hypothèse inverse conduirait à une accumulation de charge dans la partie droite ou gauche du circuit puisqu'il n'y a pas de fil de retour pour ce courant. d) Montage Darlington Le facteur d'amplification en courant et la puissance que peut supporter un transistor varient en sens inverse ; les transistors de puissance présentent en général de faibles valeurs de (3 . L'association de deux transistors, l'un de facteur d'amplification en courant élevé, l'autre de puissance, permet de contourner ce problème ; c'est ce qui est réalisé dans le montage Darlington du nom de l'électronicien américain S. Darlington (Fig. 7.41). Les deux collecteurs sont réunis et l'émetteur du premier transistor est relié à la base du second. Le courant de base du premier transistor est amplifié par un facteur , puis par un facteur p2 • Le facteur d'amplification en courant du montage est alors :

4,1

= PlPl

Ce montage est généralement disponible sous la forme d'un composant discret à trois connexions : la base du transistor 1, l'émetteur du transistor 2 et le collecteur de ce dernier. Il se comporte comme un transistor de facteur d'amplification en courant très élevé, qui atteint plusieurs milliers, avec une tension émetteur-base de l'ordre de 1,4V, C , • l

b \lbA

TX

h,2

B

A le,2 L

ieE ->—3

Fig. 7.41. e) Étage de sortie push-pull Les montages de classe A présentent l'inconvénient de consommer une puissance électrique, même en l'absence de signal d'entrée ue, en raison du circuit de polarisation. Cet inconvénient devient rédhibitoire lorsque le montage doit alimenter un composant nécessitant lui-même beaucoup de puissance, comme un haut-parleur dans un étage de sortie d'un amplificateur audio. En revanche, le montage de la figure 7.42, qui fonctionne en classe B, permet de fournir une grande puissance au haut-parleur, avec une consommation nulle lorsque ue = 0. Le transistor npn conduit aux alternances positives du signal d'entrée, alors que le transistor pnp conduit, lui, aux alternances négatives. Cette configuration, dans laquelle les deux transistors ont des rôles complémentaires, est dite en push-pull (de l'anglais pousser-tirer). Cependant, dans ce montage, la tension de sortie suit celle de l'entrée à la tension base-émetteur près. C'est la distorsion de croisement, que l'on corrige simplement en augmentant de 0, 6 V le signal

242

7. Composants électroniques

d'entrée sur la base de chaque transistor, à l'aide de deux diodes (Fig. 7.43). Ainsi corrigé, le montage travaille en classe AB. Pour les très fortes puissances, on remplace chaque transistor par un montage Darlington. 15 V

X

FIG. 7.42.

Fig. 7.43.

f) Commutation Un transistor commute lorsqu'il passe de l'état bloqué à l'état saturé ou inversement. Dans l'état bloqué, le transistor est équivalent à un coupe-circuit entre le collecteur et l'émetteur ; dans l'état saturé, il se comporte quasiment comme un court-circuit entre les mêmes points, puisque la tension Uce reste inférieure à 0,2 V. Tout l'intérêt de la commutation réside dans la faible consommation de puissance du transistor, lorsqu'il est dans l'un des deux états : s'il est bloqué les courants sont nuls, s'il est saturé c'est Uce qui est très faible. En revanche, pendant la commutation, la consommation électrique n'est pas négligeable, surtout si la fréquence de basculement est élevée. Exemple : le circuit de la figure 7.44 permet d'allumer une lampe électrique à partir d'un transistor 2N1711 utilisé en commutation et d'une photorésistance sensible à l'éclairement ambiant. La lampe fonctionne normalement sous une tension de 4,8 V et une intensité de 0,10 A, ce qui correspond à une résistance en fonctionnement /?/ = 48 fi. La photorésistance, elle, présente une résistance R\ = 100 fi sous un éclairement ambiant, et une résistance supérieure à = 5 kfî pour un éclairement inférieur au seuil d'allumage souhaité de la lampe. Le facteur (3 du transistor vaut 300 .

FIG. 7.44. Cherchons à déterminer la résistance R afin de provoquer le blocage du transistor sous éclairement ambiant et sa saturation dans l'obscurité. La première condition exige que la jonction émetteur - base

Composants électroniques

243

soit bloquée. Par conséquent, il vient, en utilisant un diviseur de tension :

/C| + K

Ud

0,6

La seconde condition, transistor saturé dans l'obscurité, se traduit par : /;,>! p

avec

Ic =

8

a;

" Q; 4O

2

= 0,096 A

d'où

JUU

= 0,32 mA

D'après la loi des mailles, on a :

U^E-U.

avec

%=

d'où

R=

<

0

= 9.5 kiî

Il suffit donc de choisir R = 2 kli pour obtenir le fonctionnement en commutation désiré.

VI. — TRANSISTORS A EFFET DE CHAMP Contrairement aux transistors bipolaires, qui font intervenir deux types de porteurs de charge, les transistors à effet de champ n'impliquent qu'un seul type de porteurs de charge ; aussi sont-ils qualifiés dé unipolaires. Leur conception fut proposée par W. Shockley, dès 1952. Par rapport aux transistors bipolaires, leur intérêt est double : d'une paît ils sont plus faciles à fabriquer, d'autre part ils sont commandés, non par un courant, mais par une tension. Il existe deux types de Transistors à Effet de Champ, brièvement TEC (FET en anglais pour Field Emission Transistor) : i) les JTEC pour lesquels la commande s'effectue par l'intermédiaire d'une Jonction polarisée en inverse, d'où la première lettre J, ii) les MOSTEC pour lesquels la commande est réalisée à l'aide d'une électrode métallique isolée ; les trois premières lettres MOS viennent de Métal Oxyde Semiconducteur. VI. 1. — Transistors de type JTEC ■d o c

a) Constitution Un transistor JTEC est constitué d'un barreau de silicium, dont la partie centrale, le canal, est dopée p ou n, et dont les extrémités sont reliées à deux électrodes, la WMrce S et le drain D. Le canal repose sur un substrat, d'épaisseur de l'ordre de 0,1 mm , dopé différemment et relié à une troisième électrode, la grille G ou porte (Eig. 7.45a). La jonction entre cette dernière et le canal est le siège d'un champ électrique interne, mais elle se comporte comme un isolant car elle est dépeuplée de porteurs de charge. Sur la figure 7.45a, le canal est dopé n, contrairement à la grille qui est dopée p, comme le substrat. La figure 7.45b représente un modèle équivalent au JFET de la figure 7.45a.

u

Les symboles des JTEC à canal n ou p sont représentés sur la figure 7.45c ; la flèche sur la grille est orientée dans le sens passant de la jonction. h) Effet de champ Si la grille n'est pas connectée, le barreau de silicium dopé se comporte comme un conducteur ohmique dont la résistance dépend du dopage et de la longueur du canal.

244

7. Composants électroniques Zones dépeuplées \ Dt \

Source

Drain

A

Grille G

G P

Uî

n

p Ugs
G

P

"X ;

1 a) JFET à canal n

JTEC à canal n

>

JTEC à canal p

Canal

b) JFET à canal n

c)

FlG. 7.45.

On commande la résistance entre le drain et la source, en polarisant la jonction grille-source en inverse : Ugs < 0 (Fig. 7.45b) pour un JTEC à canal n . Une telle tension augmente le champ interne ainsi que la largeur de la zone dépeuplée ; il en résulte une diminution de la largeur du canal et par conséquent une augmentation de la résistance R^s entre le drain et la source. C'est Veffet de champ produit par la tension Ugs. Deux évolutions sont alors possibles : i) une augmentation de la tension inverse sur la grille \Ugs\, qui provoque un resserrement du canal jusqu'à sa disparition et donc une résistance infinie entre le drain et la source ; le transistor est bloqué (Fig. 7.46a), il) une augmentation de la tension Uds, entre le drain et la source, sans modifier la tension inverse sur la grille. Le courant augmente d'abord proportionnellement à , la résistance RdX restant pratiquement constante. Au-delà d'une tension s, le canal se pince et sa résistance Rcis augmente avec la tension U^s, de telle sorte que le courant n'augmente plus : c'est la zone de pincement (Fig. 7.46b). Zone dépeuplée ^ ^ \

Pincement.

G p

i

G p

D

p

p

vds > 0

. Ugs<0

Ug5 < 0

telD

/

b)

a) FIG. 7.46.

Remarque : Au-delà d'une tension de claquage Uds,c » Ie canal subit une avalanche comparable à celle des diodes polarisées en inverses ; le transistor est alors hors d'usage. c) Réseau de caractéristiques d'un JTEC à canal n On approfondit l'étude précédente, à partir du tracé des caractéristiques du JTEC à canal n , ce que pennet de réaliser le montage de la figure 7.47. Les relevés les plus instructifs sont, d'une parten fonction de f/^ , à f/?J constant (Fig. 7.48a),

Composants électroniques

245

D h

G

I ^

J

Vds

•

É

vjs T

S Fie. 7.47.

et d'autre part en fonction de (/çs, la tension Uds étant maintenue égal à Uds.s (Fig. 7.48b). On distingue aisément les grandeurs suivantes caractéristiques du JTEC 2N 3819 : i) la tension de blocage qui vaut ici UgSû = —4 V, pour laquelle

= 0,

ii) la tension de saturation Uds,s > égale à —UgS,o , pour laquelle le pincement se produit sans polarisation de la jonction grille-source ( Ugx = 0), iii) le courant d'intensité qui vaut ici 12 m A,

, correspondant à Ugs = 0 et à Uds,s » que l'on note souvent Jp et

iv) la tension de claquage Uds,c , de l'ordre de 25 V . Le courant entrant par la grille est le courant de saturation inverse de la jonction ; il est très faible, de l'ordre de 1 pA . On constate, expérimentalement, que lors d'une élévation de température, la tension Ugsfi diminue de 2,2 mV • K-1 et que Ids,s devient lui aussi plus faible, ce qui exclut tout emballement thermique du JTEC, contrairement au transistor bipolaire. On peut distinguer sur ce réseau de caractéristiques trois zones : le comportement ohmique, le pincement et le blocage. Us (rnA)

Us (rnA) Zone de pincement = 0V

Us, s

-12 -10

10

_ QO

ugs = -1 V -Zone ohmique

\ Zone d'avalanche

j, _ ^V = -2 Ugs — L

- 6 - 4

2--,

- 2 Ugs ^ -4 V

0

l

Uàs.S

10

15

20

^(V) 25

r 1 Ugs fi —2

^•(V)

b)

a) FIG. 7.48. d) Zone ohmique

La zone ohmique est la zone d'augmentation de Us avec Uds (Fig. 7.48). Pour les faibles valeurs de Uds > de l'ordre de 1 V, les courbes représentant Us en fonction de Uds sont des droites passant par l'origine, d'où le comportement linéaire autour d'un point de fonctionnement : le canal est équivalent à un résistor dont la résistance Rds dépend de Ugs. Dans cette zone, on peut faire varier la résistance Rds, en commandant uniquement Ugs, précisément entre une centaine d'ohms, lorsque U8S = 0, et l'infini : c'est une résistance commandée par une tension (Fig. 7.49a).

246

7. Composants électroniques

Remarque : La commande d'une résistance par une tension, sur une large gamme de valeurs, peut s'avérer très intéressante dans la réalisation d'un circuit intégré, car elle évite l'inclusion dans le circuit de plusieurs résistors et surtout le basculement d'une résistance à l'autre.

.D

G

G

iï-D i

gs

R(ls ( Cgs

f'ds

' M a) Zone ohmique

b) Zone de pincement Fie. 7.49.

e) Zone de pincement La zone de pincement correspond aux valeurs pratiquement constantes de Ux observées pour une tension comprise entre Uds^ et Ucjsx . L'intensité îds suit approximativement la relation empirique suivante (Fig. 7.48b) : U

*C2 u.8S,0.

/ — tds,s (\ tds I t

dans laquelle et Ugs$ dépendent essentiellement de la géométrie du transistor et du dopage ; on voit que est, dans ce modèle, indépendant de Uds. Cette zone est l'équivalent de la zone de comportement linéaire des transistors bipolaires. La contribution d'un signal variable ugs, qui se superpose à la tension de polarisation Ugs, donne un courant variable drain-source ids qui s'ajoute au courant stationnaire Ids. Comme la relation empirique précédente est toujours satisfaite, il vient : T I ; — f f1 tds + lds — tds,s 1 A \ d'où, en retranchant l-

_ _9/ f1 ds — ^'ds,s \ J\

rj U gs,0

1 J

_ r ( 1 — tds,s I 1 \

, ugs jj2 ^ tj2 Ugsp Ugs0

9

Ugs T! * tJgs,0

n

Ugs îln Ugs fi

„ Ugs2ugs TJ ug50

dans les deux membres : ^85 \ UgS | r f UgS \ I ,, "i" *ds,s 1 rT I Tr UgS fi J Ugs fi V UgS fi )

_ —

,2 U j Ugs) gS I u ^-{Ugsfi 1j ds,s gs ' dsvs T .-y 7T2 f/?S)0 c-S)û

Cette relation n'est pas linéaire en raison du terme en u^s. On retrouve la linéarité si : \ugs\ < 2\UgSfi - U. Il est alors intéressant d'introduire la transductance g du transistor, c'est-à-dire le rapport courant/tension entre la sortie et l'entrée : r ^-{Ugsfi ~ Ugs) lds = -lds,sUgs 772 Ugs fi

d 0U

lds 8= — = U g*

f. Ugs \ 1 - 77— \ Ugs fi J

avec

lds,s A go = -2—— > 0 Ugs fi

go étant de l'ordre de 1 mS , Ugsfi étant négative. Le schéma équivalent du transistor JTEC dans cette zone est une source de courant commandée par une tension ; la grille est parcourue par un courant dont l'intensité est négligeable de l'ordre de 1 pA (Fig. 7.49b).

247

Composants électroniques

f) Zone bloquée La zone bloquée correspond à — 0. La tension de grille est alors inférieure à la valeur de blocage : Ugs ^ — C/^o • C'est l'équivalent de la zone bloquée dans les transistors bipolaires. Remarque : Les caractéristiques des JTEC à canal p sont analogues à celles des JTEC à canal n . On déduit les secondes des premières en inversant toutes les polarités, ce qui revient, dans l'analyse, à remplacer toutes les tensions par leurs opposées. Les JTEC à canal p sont beaucoup moins utilisés que ceux à canal n, car les trous sont moins mobiles que les électrons, ce qui confère à ces JTEC une valeur plus grande de la résistance du canal. VI. 2. — Transistors de type MOSTEC La différence entre un JTEC et un MOSTEC provient de la grille qui, pour ce dernier, est isolée du canal, par une très mince couche d'oxyde de silicium (SiOi), d'une épaisseur d'environ 10 nm. Sa conception date de 1930, mais sa réalisation est plus récente, dans les années 1960, en raison des difficultés de réalisation d'un excellent isolant. a) Fonctionnement du MOSTEC Il existe deux types de transistors MOS : dans les premiers, dits à appauvrissement, un canal entre le drain et la source existe initialement, mais sa section diminue au cours du fonctionnement, d'où leur nom (Fig. 7.50a) ; dans les seconds, au contraire à enrichissement, ce canal, initialement absent, se crée au cours du fonctionnement, d'où leur nom (Fig. 7.50b). La grille agit sur la conductivité du canal par effet capacitif, en la réduisant en régime d'appauvrissement, ou en l'augmentant en régime d'enrichissement. Pour chaque type de transistor, le canal peut être dopé n ou p. Dans la suite, nous nous limitons aux seuls transistors à canal n, à appauvrissement ou enrichissement ; Ugs$ est négatif pour les premiers et positif pour les seconds. Les transistors MOS à appauvrissement peuvent fonctionner sous deux régimes : celui d'appauvrissement et celui d'enrichissement. En revanche, les MOS à enrichissement ne fonctionnent que sous le régime d'enrichissement, seul capable de créer un canal entre le drain et la source. Drain

Drain

SiCb

SiO? Grille

Grille

Canal J Source

Source

D , G

G

a) n—MOS à appauvrissement Fig. 7.50.

b) n—MOS à enrichissement

248

7. Composants électroniques

Remarque : Les transistors MOS sont très sensibles aux charges électrostatiques qui peuvent s'accumuler sur la grille et ainsi créer des tensions pouvant entraîner la destruction de l'isolant. Afin d'éviter les décharges électrostatiques, il est conseillé d'utiliser un bracelet anti statique qui relie le corps du manipulateur à la terre afin d'éviter toute accumulation de charges lors des manipulations de circuits comportant des MOSTEC. C'est notamment le cas pour les circuits numériques utilisés en informatique tels que les cartes mères d'ordinateurs. b) Caractéristiques du MOSTEC Les caractéristiques du MOSTEC sont semblables à celles des JTEC puisque les fonctionnements sont analogues ; en particulier, le canal pouvant également se pincer, le courant est alors quasiment indépendant de Uds • Seules les valeurs de Ugs changent, puisqu'elles peuvent prendre des valeurs positives. Sur la figure 7.51, correspondant à un transistor 2N 3819 à appauvrissement, on distingue aisément les zones de pincement, ohmique et de blocage. hs (mA)

Ids (mA)

L^=L5V U8s=lV

24 -Enrichissement

/

U,s= 0,5 V / / / 12 A tds.s

t/tfï = 0 V

12 -ri,

Ues= - 0,5 V i Appauvrissement

=— 1 V

/

< -3 V Uds i^)

10

-2

-1

0

i

Mv)

Fie. 7.51. c) Schéma équivalent En zone de pincement, le MOSTEC est représenté par les schémas équivalents de la figure 7.52, à basse et à haute fréquence respectivement ; les capacités parasites, qui apparaissent à haute fréquence, sont beaucoup plus élevées que celles des JTEC, puisqu'elles sont de l'ordre du nE au lieu du pF. Évidemment, les schémas équivalents n'ont de signification que pour les petits signaux variables autour du point de fonctionnement, lequel, on l'a vu, est déterminé par la polarisation du transistor, en régime stationnaire. Notons que la présence de capacités parasites non négligeables augmente les durées de réponse des circuits.

Ids

G tgs

f'ds

D

G

Ji Ugs

Le

u

8 ss S»a) A basse fréquence

b) A haute fréquence FIG. 7.52.

Cds

Composants électroniques

249

VI. 3. — Montages de base avec des transistors MOSTEC et JTEC Comme les montages sont similaires à ceux déjà étudiés avec des transistors bipolaires, nous nous contentons de souligner les avantages des transistors à effet de champ, JTEC ou MOSTEC.

a) Polarisation Avant tout, il est nécessaire de polariser le transistor JTEC, ce qui fixe les paramètres qui interviennent dans les schémas équivalents, notamment la transductance g . Comme pour les transistors bipolaires, la polarisation peut être économique (Fig. 7.53a) ou à pont de grille (Fig. 7.53b). Cette dernière est, ici aussi, souhaitable car elle stabilise davantage le circuit, compte tenu de la disparité des caractéristiques des JTEC. Analogue à la polarisation par pont de base des transistors bipolaires, elle permet, en outre, de polariser les MOSTEC à enrichissement, pour lesquels il est indispensable que la tension UgX soit positive.

Rd

Ri

Rd

id

u

U

R.. I

1

a)

b) Fig. 7,53.

Sur les schémas, les résistances Rg et R2 sont de Tordre de 1 Mfi ; quant à l'intensité I8 du courant de grille, elle est comprise entre 10 et 100 pA, ce qui est très faible; comme la chute de tension RgIg « 10 [xV est négligeable devant les autres tensions, on considère généralement que la tension de la grille par rapport à la masse est nulle. Les équations permettant de déterminer /<& , Ugs et Uds, à partir de R,/, Rs et des caractéristiques du transistor, sont les suivantes (Fig. 7.53 et 7.47) :

U Ugs — —RJds

E—

+ (Rs + Rd)lds

et

fds — Us,s

résolution graphique sur le réseau de caractéristiques est souvent très commode (Fig. 7.54) ; i) la droite d'équation Ugs = —RJds coupe la courbe /^(t/^), précisément au point de fonctionient ; on obtient par simple lecture Us et Ugs, u) sur la droite d'équation E = Uds + {Rs + Rd)Us, on obtient Uds, grâce à Us déterminé :édemment.

250

7. Composants électroniques A

Ids (m A)

Ids (mA)

12

12

Droite de charge — [E — Uds) j {Rs + Rd)

Droite d'entrée* Us = -VvlR\

i■ / 1\

0

H 5

1

1 10

^ E

1 20

^(V) UdsW)

FlG. 7.54.

-2

Ugs 0

b)

h) Montages amplificateur et suiveur Comme les transistors bipolaires, les JTEC permettent de réaliser, soit un amplificateur inverseur lorsque la source est commune, soit un suiveur si le drain est commun. L'intérêt des transistors à effet de champ est la valeur très élevée de leur impédance entrée de l'ordre de 1 GO. En revanche, le facteur d'amplification en tension est plus faible que celui des transistors bipolaires, ce qui constitue un inconvénient sérieux. Les montages sont très proches de ceux comportant des transistors bipolaires (cf. Exercices). Retenons la méthode : 0 la polarisation, c'est-à-dire le choix de Ids, Uds et f/?,v, permet de déterminer la transductan ce g — ids/ugs ; les capacités des condensateurs de découplage dépendent évidemment de la fréquence des signaux variables considérés, ii) relativement aux signaux variables, on utilise le schéma équivalent habituel du transistor, dans lequel le circuit de polarisation ne figure plus. c) Générateur de courant Le montage à grille commune est souvent utilisé comme source de courant dans les circuits intégrés, notamment pour réaliser les amplificateurs opérationnels (cf. chapitre 8). Il consiste simplement à relier la grille à la source ( Ugs = 0 ) et à maintenir une tension Uds supérieure à Uds,s (Fig. 7.55a). Le JTEC se comporte alors comme un générateur de courant, précisément entre Uds,s = 2,0 V et Uds.c = 100 V dans le montage considéré. Notons que, dans une même série, les valeurs de Ids,s et de Uds,s peuvent varier d'un facteur 5 . Si l'on veut que le générateur débite un courant d'une intensité déterminée, il vaut mieux prévoir un système d'ajustement de ce courant, comme dans le circuit de la figure 7.55b. La résistance R assure une bonne stabilité du courant délivré, car une légère augmentation de Ids conduit à une diminution de Ugs et ainsi à un affaiblissement de Ids . On se déplace alors parallèlement à l'axe des intensités sur le réseau de caractéristiques Ids en fonction de Uds > lorsque Ugs varie. Le choix de R fixe puisque :

Il suffit donc de résoudre l'équation du deuxième degré suivante, pour en déduire l'intensité Ids du

Composants électroniques

251

courant drain-source, en fonction de la résistance R :

J

— I

f] \

^ds ^

f1

-nit

I I

| r

i ^g5'0 — 0

ce qui donne, pour U8Sfi = —4,0 V , /<& 5 = 12 mA ci R = 670 fi : /^ = 3,0 mA . i f/,rfs

X

*^5 R,

fds

f/

f/ E

tWgs y

u,s*

G

j

r

rq R

G a)

b)

c)

FlG. 7.55. En réalité, les courbes du réseau en fonction de U^s, à Ugs constant, ne sont pas parfaitement parallèles à l'axe des abscisses : le générateur de courant n'est pas idéal; il possède une résistance interne que l'on détermine en utilisant le schéma équivalent en signaux variables (Fig. 7.55c). En effet, écrivons les relations entre la tension d'entrée u et le courant d'entrée i. Il vient : u = r^O" — gUgs) — UgS

avec

Ugs = —Ri

d'où

u = i [r^v(l + Rg) + R]

On en déduit la résistance interne : Ri

=

~7

=

q&O + Rg) + R

Avec R = 670 fi, = 500 kfi et g = 3 mS , on trouve i?, = 1, 5 Mil, ce qui rend le générateur de courant quasiment parfait.

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Les composants de base d'un circuit électrique sont les conducteurs ohmiques et les condensateurs. Les premiers sont caractérisés par leur résistance, ainsi que par la puissance qu'ils sont capables de dissiper. Conventionnellement, la valeur de la résistance est donnée par un code de couleurs peintes sur le composant lui-même; l'une de ces couleurs indique l'incertitude relative. La capacité caractérise les seconds ; elle est le plus souvent inscrite sur le composant avec la tension de claquage. 2) Les bobines présentent des imperfections rédhibitoires (encombrement et coût) ; aussi sont-elles de plus plus souvent remplacées par des montages à amplificateur opérationnel, capables de les simuler. En revanche le transformateur, ensemble de deux bobines en forte interaction magnétique, est précieux, car il permet de modifier la valeur de la tension ou du courant avec un rendement en puissance excellent. 3) Les diodes sont les composants non linéaires les plus répandus ; on les utilise surtout pour redresser les courants alternatifs, pour stabiliser les tensions (diode Zener), pour la protection contre les surtensions (thyristors) et pour le contrôle de puissance (triac).

252

7. Composants électroniques

4) Les piles et les accumulateurs sont évidemment des éléments essentiels, puisqu'ils fournissent l'énergie nécessaire aux systèmes pour qu'ils puissent amplifier la puissance transportée par le signal d'entrée. Ils sont caractérisés par leur f.e.m et la charge totale qu'ils peuvent débiter. 5) Les transistors sont les composants actifs élémentaires des circuits intégrés actuels. Les transistors bipolaires sont équivalents, en régime linéaire, à des générateurs de courant commandés par un courant ; aussi les caractérise-t-on par le facteur d'amplification en courant /3 = ic/ib entre la base et le collecteur. En régime non linéaire, ils se comportent comme des commutateurs. 6) Les transistors à effet de champ, JTEC et MOSTEC, sont, eux, des générateurs de courant commandés par une tension. Ils sont plus faciles à fabriquer, d'où leur intérêt.

v EXERCICES ET PROBLEMES P7-1. Lampe à filament de carbone On mesure la résistance d'une lampe électrique à filament de carbone, sur laquelle on lit 140 W ; l'ohmmètre indique R = 588 fi, lorsque la température est 293 K. En fonctionnement normal, sous une tension efficace de 230 V , la température du filament atteint 2000 K . Calculer le coefficient de température du carbone supposé indépendant de la température; en déduire la valeur de la résistance du filament pour une température de 673 K. P7- 2. Charge totale d'un accumulateur de caméra numérique Sur la figure 7.56, on a représenté les courbes, fournies par un fabricant d'accumulateurs pour caméra numérique, donnant l'évolution de la f.e.m d'une source lors d'une décharge à courant constant ; la référence de l'accumulateur est HR14 et sa f.e.m nominale E = 1,2V. L'intensité du courant de décharge correspondant est indiquée sur chacune des courbes ; elle varie entre 220 mA et 6 600 mA . Calculer la charge totale que cet accumulateur peut débiter. À quel nombre d'électrons, cette charge correspond-elle ?

£(V) "D f-\

1,4

£(V) 1,4

2 200 mA en "s_ CL O U

50

t (min)

b)

P7- 3. Détermination de l'inductance d'une bobine Pour déterminer l'inductance L d'une bobine, on réalise un circuit RL série, que l'on soumet à un échelon de tension Eq . On mesure, à l'oscilloscope, la durée caractéristique t = LjR : on trouve

Composants électroniques

253

r = 1,2 ± 0,2 jxs . Avec un ohmmètre, on relève que la résistance totale du circuit est R = 1,03 kfi à 1 % près. Une seconde méthode consiste à former un circuit série RLC très peu amorti, avec C = 22 nF à 1 % près, que l'on soumet à l'échelon de tension Eq . On relève à l'oscilloscope la durée de dix pseudo-périodes ; on trouve 300 ± 10 jxs . 1. Trouver la valeur de L en précisant l'incertitude dans chacune des méthodes. 2. Les résultats sont-ils compatibles ? Comparer la précision des deux méthodes.

P7- 4. Représentation d'une bobine réelle V A basse fréquence, une bobine réelle peut être représentée par l'association, en série, d'une inductance L et d'une résistance R. 1. Calculer l'impédance et l'angle de perte ô, pour les deux fréquences / = 50 Hz et / = 500 Hz, sachant que L = 1,2 mH et R= 1,5 ff. 2. Détenniner l'intensité i{î) du courant dans la bobine, lorsque cette dernière est soumise à la tension u{t) = um cos(W). 3. Pour des fréquences supérieures à 10 kHz, on ne peut plus négliger la capacité parasite qui apparaît entre les spires et que l'on représente par un condensateur, de capacité C, en parallèle avec la bobine précédente. a) Établir l'expression de la nouvelle impédance Z' de la bobine. b) Sachant que C = 10 pF, trouver la fréquence d'anti-résonance, c'est-à-dire la fréquence pour laquelle le module de Z' est maximal.

P7- 5. Mesure de la résistance de fuite d'un condensateur Dans le circuit de la figure 7.57, on ferme l'interrupteur Ki , l'interrupteur Ki restant ouvert. Lorsque la charge du condensateur est tenninée, K\ est ouvert et K2 fermé. Après une minute, la tension mesurée aux bornes du condensateur est U\ . 1. Sachant que la résistance de fuite du condensateur est négligeable devant la résistance interne Ri du voltmètre numérique utilisé, calculer Ri pour £" = 10,0 V , C = 2,2 (xF et Ui = 0,54 V. 2. En réalité, le condensateur n'est pas parfait et on souhaite calculer sa résistance de fuite Rf . Pour cela, on le charge jusqu'à la tension E : K\ est fermé et K2 ouvert; on ouvre alors sans fermer K2 . Une minute après, on bascule K2 et on lit la tension U2 = 8,29 V aux bornes du condensateur. En déduire Rf et corriger la valeur précédemment obtenue de la résistance interne du voltmètre.

X

K2

R C

FlO. 7.57.

254

7. Composants électroniques

P7- 6. Condensateur réel Un condensateur, de capacité Q dans l'air, est rempli d'un diélectrique, dont la permittivité relative complexe £r admet l'expression suivante, en fonction de la pulsation de la tension sinusoïdale appliquée : (j)2r —T I "7 ' / (x)^ — ù) + }(0/T Dans cette écriture, la convention adoptée est celle des électroniciens, selon laquelle les retards de phase sont comptés négativement : Déterminer l'association de dipôles simples, résistor, condensateur et bobine, équivalente à ce condensateur réel. Calculer la valeur de ces composants pour : /r == 859.4 kHz ZTT

fQ = ^- = 843,5 kHz LIT

r = 7,14 ns

et

Cq = 5 pF

P7- 7. Quartz Un quartz piézo-électrique peut être représenté par le schéma électrique de la figure 7.58. A 1. a) Etablir l'expression de son impédance Z . b) Exprimer la pulsation de résonance (j)r, pour laquelle Z = 0, et d'anti-résonance par Z infini.

définie

c) Calculer (x)r et ii>ar, ainsi que les fréquences fr et far correspondantes, dans le cas suivant : Cp = 9,55 pF

Cs = 7,5 x lO-15 F

et

Ls = 4,54 H

2. Dans quel domaine de fréquence, le quartz peut-il être assimilé : a) à une bobine parfaite, b) à un condensateur parfait ? 3. Quelle est la pente de la courbe représentant |Z| en fonction de la fréquence. Calculer sa valeur à la fréquence de résonance.

4 Fig. 7.58.

P7- 8. Champ magnétique maximal dans un transformateur Le primaire d'un transformateur, de N\ spires, est alimenté par une tension sinusoïdale, de fréquence / ; le secondaire possède, lui, spires. 1. En négligeant la résistance des bobinages, montrer que le champ magnétique maximal est donné par les expressions suivantes, dans lesquelles S désigne la section du circuit magnétique :

Composants électroniques

255

2. Un transformateur 230 V/6 V, dont la section du noyau est 5 = 7 cm2, doit fonctionner avec une tension sinusoïdale, de fréquence 50 Hz , de telle sorte que le champ magnétique, dans le noyau, ne dépasse pas 1,1 T. Quel est le nombre nécessaire de spires, au primaire et au secondaire ? P7- 9, Réponse spectrale d'un transistor bipolaire en émetteur commun •web / Sur la figure 7.59a, on a représenté un transistor monté en émetteur commun. Pour l'étude suivante on adoptera le schéma équivalent au transistor de la figure 7.32 en admettant que les résistances R\ , Ri et rco sont très supérieures à et Rco .

R.; ■< ; Co rr)

Cbe r'b

Us

T

b) Fig. 7.59. 1. a) Établir la fonction de transfert en tension H = u^/u^, aux fréquences moyennes pour lesquelles les impédances des capacités de polarisation Ce et Cq sont négligeables. b) Aux basses fréquences, l'impédance de la capacité Q n'est plus négligeable. Déterminer la fonction de transfert et tracer le diagramme de Bode. Reprendre ensuite la question lorsque c'est l'impédance correspondant à la capacité Ce qui n'est plus négligeable. 2. Aux hautes fréquences, les capacités de polarisation Cq et Ce sont bien équivalentes à des courts-circuits, mais la capacité parasite Cbe entre la base et l'émetteur n'est plus négligeable. En outre, la résistance r/, est remplacée par r'b , en série avec rb . Le schéma équivalent pour les petits signaux est alors celui de la figure 7.59b. a) Établir la nouvelle fonction de transfert et tracer son diagramme de Bode. b) Calculer les différentes fréquences de coupure pour fi = 150, rb = 1,0 kfî, r'b = 100 O, Re = 2,0 kD, Rco = 1,5 kD, Cbe = 100 pF, Cq = 2,2 pJF et Ce = 220 pE.

P7-10. Transistor JTEC en haute fréquence Lorsque la fréquence des signaux dépasse 1 MHz, il est nécessaire de tenir compte des capacités parasites qui apparaissent entre les différentes jonctions du transistor JTEC. Le schéma du circuit et son équivalent en signal variable sont représentés sur la figure 7.60. Entre le drain et la source du transistor, la résistance de charge est Rc. 1. Déterminer les facteurs d'amplification en tension et en courant, respectivement :

7. Composants électroniques

256

Application : / = 1,2 MHz, Rc — 800 H, et Cds = 0,6 pF.

= 1 jgds = 500 kfî, gm = 30 mS, Cgs = Cgd = 7 pF

2. Donner l'expression de l'impédance d'entrée Ze. Application numérique.

D G

H7

ugs

Rr

D 'cl i

Cgd

G*—> Cgs

i'ds

Cds

Rc

"ds

t gm UgS b)

a) FIG. 7.60. P7-11. Transistor JTEC monté en source commune

Sur la fiche technique d'un transistor JTEC à canal n, monté en source commune (Fig. 7.61), on peut lire les valeurs suivantes : Ugs,o = —4,0 V et = 12 mA. On souhaite polariser ce transistor autour de Ug5 — —2,0 V et de — 10 V . En ce point de fonctionnement, gm = 3 mS et fds = 500 kfi . L'alimentation est une source stationnaire, de f.e.m E = 15,0 V et la résistance de charge vaut Rc = 1,0 kO . En outre, l'intensité du courant de base étant de 100 pA , on fixe la valeur de Rg à 1,0 MD . 1. Déterminer les valeurs de

, Rs et Rd .

2. Pour les petits signaux, trouver les valeurs des capacités afin que le montage fonctionne correctement à la fréquence / = 1,5 kHz , avec eo = 0.5 V et une résistance interne du générateur de 100 D. 3. Etablir les expressions des facteurs d'amplification en tension et en courant. 4. Calculer l'impédance d'entrée et de sortie du montage.

Rd

C'n

D Co

Ids

G

L s Rr

Ri lie

Kg

Rs Cs

e

g Fig. 7.61.

us

8

Amplificateur opérationnel :

montages de base

C'est en 1947 que le terme amplificateur opérationnel, en abrégé AO. est mentionné pour la première fois, et c'est en 1963 qu'il est conçu sous la forme d'un circuit intégré par B. Widlar. Il s'agit d'un amplificateur différentiel destiné à effectuer des opérations fonctionnelles, d'où son nom. En raison de son faible coût et de ses performances, c'est aujourd'hui un composant actif de base considéré comme une brique élémentaire dans tous les montages actuels d'électronique. Son champ d'application est considérable : il s'étend depuis le traitement de grandeurs électriques issues de capteurs (microphones, thermocouples, photopiles, ...), jusqu'à la réalisation de signaux capables de commander des dispositifs aussi divers que des moteurs, des haut-parleurs, des résistors chauffants, des relais,...). Dans ce chapitre, nous proposons une introduction à l'étude des amplificateurs opérationnels en nous limitant à sa description et à son fonctionnement dans le cas idéal. Les imperfections de l'AO ne seront abordées que pour interpréter les limitations qu'elles imposent aux montages réels.

^ o c o (N t-H

I. _ DESCRIPTION ET REPRÉSENTATION DE L'AO 1.1. — Description L'amplificateur opérationnel est essentiellement un amplificateur différentiel, c'est-à-dire un amplificateur capable de fournir à sa sortie, une tension us directement reliée à la différence e — u+ — udes deux tensions d'entrée «4. et .

CL

Sur la figure 8.1, on a représenté le symbole électrique normalisé de ce composant actif. On y dis, , • , • * tingue au moins cinq broches, ou plots de connexion : deux entrées respectivement notées 11+ et il- , une sortie us, une tension d'alimentation positive Ua et une tension d'alimentation négative —Ua. Remarques : 1) Par convention, dans les schémas électriques des montages, on ne représente ni les tensions d'alimentation, ni la connexion à la masse, ni les générateurs de tension à l'entrée. 2) Dans certains documents, on trouve encore l'ancienne représentation de l'AO par un triangle.

258

8. Amplificateur opérationnel : montages de hase

U— \\\\

\-Ua 7777

\\\\ FIG. 8.1.

La plupart de ces composants électroniques, fabriqués à partir de semiconducteurs, principalement du silicium et du germanium, sont encapsulés dans différents types de boîtiers (Fig. 8.2a), ce qui assure une connexion avec le circuit environnant, une bonne tenue mécanique et une isolation suffisante. La fiche technique de l'AO penuet de situer les différentes entrées et sorties ; la broche numéro 1 est repérée conventionnellement par un point ou une encoche, la numérotation s'effectuant dans le sens trigonométrique (Fig. 8.2b). La plupart des AO sont présentés dans un boîtier de huit broches ; l'AO est seul ou apparié avec un autre AO (Fig. 8.2c).

Balance

1

U-

h

i

1—

s

1 -

NC

"M

Ua

«-,1

Sortie

"+4

1

8

-

«5,2

+

^

«-f

«-,2 +

+

-Ua

a)

Ua

4

— 5 "+,2

Balance —Ua 4 c)

b) Fig. 8.2.

■a o c ^5 Q (M O fM

's>CL O U

Remarques ; 1) Certains constructeurs fournissent des AO non encapsulés. 2) Les broches Non Connectées de l'AO sont notées NC. 3) Les deux connexions « balance » permettent d'équilibrer l'étage différentiel à transistors qui forme l'amplificateur différentiel. Dans certains boîtiers, les fabricants insèrent un potentiomètre entre ces broches, afin que l'utilisateur puisse lui-même compenser une éventuelle tension de décalage. Ce point sera développé dans l'étude des imperfections de l'AO. a 1.2. — Equations de fonctionnement d'un AO Comme nous le verrons, un amplificateur opérationnel est généralement utilisé en ramenant, à l'une de ses entrées, une partie au moins du signal de sortie. On réalise ainsi une rétroaction (cf. chapitre 13), qui est négative ou positive ou selon que l'entrée est inverseuse ou non inverseuse. On dit que l'AO travaille en boucle fermée.

Amplificateur opérationnel : montages de base

259

Auparavant, il est indispensable d'étudier l'AO en boucle ouverte, c'est-à-dire comme un système sans rétroaction qui fournit une tension de sortie iis, lorsqu'on lui applique une tension différentielle e entre les deux entrées. Il n'est pas nécessaire de connaître la structure interne d'un amplificateur opérationnel pour en déduire l'équation reliant us à e, en boucle ouverte. L'étude expérimentale montre que l'équation différentielle suivante, linéaire d'ordre un, permet de décrire correctement le comportement de l'AO : dwj Tc-r- + «,. = Aoe df Notons que cette équation est aussi celle qui caractérise un filtre linéaire passe-bas de type RC (cf. chapitre 6). La durée rc, constante de temps de l'AO, est de l'ordre de 10 ms. Quant au facteur sans dimension Aq , sa valeur typique est comprise entre 104 et 107 . Il représente l'amplification différentielle stationnaire. En effet, l'équation précédente devient, dans ce cas :

us = Ao(i/+ — «-) = Aoe

d'où

Aq = —

On voit que si «+ est reliée à la masse, us et m_ ont des signes opposés, d'où le qualificatif mvcr.ç^.çg donnée à l'entrée correspondante. De même, si il- est reliée à la masse, us et w+ sont de même signe, d'où le qualificatif non inverseuse donnée à cette dernière entrée.

Remarques : 1) L'AO étant un composant actif, la fonction linéaire entre la sortie et l'entrée différentielle ne peut être obtenue que sous réserve de le polariser grâce à deux sources de tension stationnaires symétriques Ua et —U(l. Ainsi, la tension de sortie est limitée en amplitude selon la relation : — Ua < us < Ua

soit encore

— Usal < us -fi UMi

avec Usa, tension de saturation, légèrement inférieure aux tensions de polarisation de l'AO. 2) Afin d'éviter la saturation en courant, l'intensité is du courant de sortie doit vérifier la condition : tv ^ ts.max avec is.max > intensité maximale du courant de sortie donnée par le fabricant. 3) On évitera une déformation du signal de sortie par saturation en vitesse en garantissant une variation maximale de us au cours du temps, d'où la condition :

max

d Lis df

^ v,

avec vm , vitesse maximale de balayage de l'AO, ou slew rate, (cf. paragraphe V).

260

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

1.3, — Réponse d'un AO en régime sinusoïdal En régime sinusoïdal, à la tension d'entrée e(t) = em expijojt) en notation complexe, correspond la solution us de la forme : Usit) = Us,m exp(/^0

avec

u^m = ii5ym expijfis)

En injectant cette forme de solution dans l'équation différentielle, et en simplifiant par exp(jojt), il vient : (1 +jù}Tc)usm = Ao€m

d'où

A =

= -

+ jcOTc

On en déduit le module et l'argument de A : |d| = {l + ^2r2)i/2

et

4)s = — arctan(it>rc

ce qu'il est commode d'écrire en fonction de la pulsation ou la fréquence réduite x = co/ù)c avec : 1 1 r 0}c= — et fc = Tr ITTTr

f/fc ,

On a alors : 4o 141 = (I+.t2)1^

et --

(})s = — arctanx

car

4W =

4o l+jx

Les diagrammes de Bode correspondants sont représentés sur la figure 8.3. Ils ont même allure que les diagrammes de Bode des filtres passifs passe-bas déjà étudiés (cf. chapitre 6). Rappelons que l'on utilise non pas la variable x mais X = Igx et que Ton introduit le gain en tension Gi( = 201g \A \. Cependant, dans le cas présent, TAO étant un système actif, le gain passe par une valeur maximale qui n'est pas nulle mais qui vaut : (Gu),mix = 201g/\o

soit

201g 106 = 120dB

pour

Aq = 106 fi (rad)

Gu (dB)

100-

X= Igx

—tt -7r/2-

V

Igx

Fie. 8.3. Sur la figure 8.3, on identifie aisément la fréquence de coupure à —3 dB , égale à fc, pour laquelle le gain vaut {Gu)max - 3 en dB. Dans le cas d'un AO, une autre fréquence caractéristique, dite de transition, présente de l'intérêt, celle pour laquelle le gain GH est nul. Le facteur d'amplification étant alors égal à l'unité, on a, en désignant par fr cette fréquence : 4o :i +j?/fsy

/2

= 1

d'où

f =/(?(Aq — l)1^2 ~fcAo

Amplificateur opérationnel : montages de base

261

Comme G,t est une fonction décroissante de la fréquence, f, représente la fréquence de transition entre le mode d'amplification, pour lequel G,, > 0, et le mode d'atténuation de l'AO, défini par G(< < 0. Remarques : 1) Les constructeurs donnent généralement à fi le nom de produit facteur d'amplificationbande passante PAB (gain-bandwidîh product en anglais). 2) L'identification de la fréquence de coupure fc est immédiate lorsque la fonction de transfert A{f) est exprimée sous la forme canonique :

Aif) =

A-jf/fc

Aussi, est-il judicieux de s'y ramener systématiquement. Par exemple :

A(f) =

10s 2000 + j200/

5 x 104 _

I +;7/10

implique /c = 10 Hz et Aq = 50 000.

1.4. — Schéma électrique de PAO Aux propriétés précédentes de PAO, il convient d'ajouter l'impédance d'entrée, l'impédance de sortie et l'intensité maximale du courant de saturation. a) Impédance d'entrée de l'AO C'est l'impédance entre les entrées -|- et — de PAO. Dans la bande passante de l'amplificateur, c'est souvent une résistance Re dont la valeur s'échelonne de 100 kfi à 10 MO . b) Impédance de sortie C'est l'impédance interne du générateur, de f.e.m commandée Aqc , placé en sortie de PAO. Dans la bande passante de l'amplificateur, c'est une résistance Rs. Sa valeur varie entre 10 et 100 fl ; pour PAO LM741, par exemple, elle est de 75 fi. c) Saturation en courant La structure interne d'un AO limite la valeur maximale du courant en sortie, ce qui protège des courts-circuits. Cette valeur iS;mciK est de l'ordre de 20 à 80 raA pour un AO typique. En pratique, on peut déterminer ce courant de saturation en connectant une charge résistive variable en sortie de PAO ; en diminuant cette charge, à partir d'une certaine valeur, apparaît un écrêtage (symétrique ou non) du signal, correspondant à une saturation en courant. Sur la figure 8.4a, on a représenté le schéma équivalent de PAO avec l'ensemble de ses caractéristiques. Un tel schéma présente deux avantages : il facilite l'analyse du système; en outre, il permet de prendre en compte l'impédance de charge. En effet, la connexion d'une impédance de charge Zc modifie la tension de sortie mS)CO , qui existerait en l'absence de cette impédance, selon l'expression donnée par le diviseur de tension :

Zr + Rs

262

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

t>

+

Rs R. u+ U— 7777"

////

h-

e=0

m

Z

Ae

u+

Uk

7777"

7777"

a)

U—

(D 7777

//// b)

Fig. 8.4.

1.5. — Régime linéaire et régime saturé Le graphe donnant, en régime stationnaire, la tension de sortie us que donne l'AO lorsque la tension différentielle d'entrée e varie, est représenté sur la figure 8.5. On distingue trois zones de fonctionnement, suivant les valeurs de la tension d'entrée : 0 une zone de saturation négative ; us — — Usat pour e < — Usat/Ao , n) une zone de saturation positive : iis = Usat pour e ^ Usnt/Ao , iii) une zone intermédiaire, pour —Umt/Ao < e < Usat/Ao , qualifiée de linéaire, car us = Aoe. Cette relation us = Aqe implique, en raison de la très grande valeur de Aq et de us limité par Ua de l'ordre de 10 V , une tension différentielle quasiment nulle : 6~0 La figure 8.4b représente le schéma équivalent de l'AO idéal, dans lequel le générateur de f.e.m Ae est remplacé par un générateur parfait de f.e.m u5. On voit que cette approximation ne peut être satisfaite que si la tension de sortie est toujours inférieure ou égale aux limites de tension Usât e,: — Usat imposées par les tensions d'alimentation Ua et —Ua avec une différence en partie liée à la tension base-émetteur des transistors constituant le composant : avec | Usa{ | < | | |%| ^ |Usai us. UaT1 Usât

0

O

£

1

Modèle idéal

Usat/Ao

e

Usai -u; FIG. 8.5. Les propriétés des montages en boucle fermée découlent du type de rétroaction, positive ou négative, laquelle conditionne la stabilité du montage (cf. chapitre 13). En effet, dans l'équation différentielle en boucle ouverte de l'AO réel : dus , . tc— 1- us — A^e at

Amplificateur opérationnel : montages de base

263

la rétroaction intervient selon : e = M_j. — w_ = ue± a iis a étant un facteur positif compris entre 0 et 1, ue la tension d'entrée et us la tension de sortie. Avec le signe +, la rétroaction est positive ; avec le signe — , elle est négative. On en déduit l'équation différentielle suivante de l'AO en boucle fermée : y + M5^l - =b40Q^ = MUe Puisque Aq»

1, cette équation admet une solution générale de la forme :

= K exp V

iAocv — Tr

où K est une constante détenninée par les conditions initiales. Comme la fonction exponentielle diverge si le signe est +, on en conclut que les montages à rétroaction positive fonctionnent en régime de saturation de l'AO, contrairement aux montages à rétroaction négative.

1.6. — Amplificateur opérationnel idéal Les hypothèses associées à l'AO idéal sont : i) un facteur d'amplification Aq infini, ii) une impédance d'entrée infinie (par rapport aux impédances utilisées dans le montage), ce qui suppose que les intensités des courants d'entrée soient nulles, iii) une impédance de sortie nulle (par rapport aux impédances utilisées dans le montage), iv) une fréquence de coupure infinie, c'est-à-dire rc = 0 et donc A = Aq . Compte tenu des valeurs typiques de fc, quelques dizaines de Hz, cette hypothèse semble difficilement justifiable ; nous reviendrons sur ce point un peu plus loin dans l'analyse des imperfections de l'AO. On résume ces hypothèses par le symbole oo à côté du petit triangle, lequel donne le sens d'utilisation de l'AO. Avec les progrès récents dans la réalisation technologique des AO, le modèle idéal s'avère très efficace, au moins dans une première approche à la fois théorique et expérimentale qui est celle que nous adoptons ici.

II. — ELECTRONIQUE NON LINEAIRE AVEC AO II. 1. — Comparateur simple

Le système représenté sur la figure 8.6 fournit une tension de sortie iis égale à ±(/w,. En effet, si la tension différentielle e — ue^ —Ue,2 est positive, soit uei\ > ue 2 , alors le point de fonctionnement se situe dans la zone de saturation positive et ux = Uxa! ; dans le cas contraire, ue_ \ < ue_2 et us = —Usat (Fig. 8.7), d'où le nom du montage : us = Usat

si

Ue,] > ue,2

et

us = -UsaT

si

ue,] < uei

264

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

On voit que si, l'on impose à l'une des deux tensions d'entrée, par exemple uep , d'être nulle, alors ce montage devient un détecteur de signe pour l'autre tension ue_\ : Usa,

pour

et

M,,,] > 0

-Usa,

pour

< 0

Il arrive souvent que les tensions extrêmes atteintes par us ne soient pas symétriques, bien que les tensions d'alimentation le soient. Dans ce cas, on remplace la notation ±Usa! par USa,,+ et Usa[irespectivement. Us l Usât

Us. Ue,2

Ue, 1

-Us. 7777 Fin. 8.6.

—

7777

Usai -

FIG. 8.7.

Exemple : connectons sur les entrées + et — du montage comparateur de la figure 8.6, respectivement les f.e.m E\ = \, 607 V et £2 = 1,605 V de deux piles A A, pour lesquelles le constructeur indique 1,5 V, L'AO choisi est un LM741, avec f/(, = 15 V et — f/ff = —15 V . En visualisant la sortie du montage avec un multimètre, on mesure ms = 14 V = Usât avec £1 > £2, alors que, si on permute les deux piles on trouve = —13,5 V . Dans ce cas concret, = 14 V et Usa^_ = —13,5 V. Remarques : 1) En associant les variables logiques binaires 1 et 0 aux tensions de saturation Usa,,+ et Usât - . on exploite le régime saturé de PAO dans les montages de l'électronique numérique (chapitre 19). 2) Le montage comparateur est largement utilisé dans les Convertisseurs Analogiques Numériques dits instantanés (cf. chapitre 19). b) Application à la surveillance d'alimentation Dans les systèmes embarqués (téléphone portable, ordinateur portable, véhicule, satellite, etc.) une chute du niveau d'alimentation de la source d'énergie (piles ou accumulateurs), peut s'avérer désastreuse : pertes d'information dans les mémoires, dysfonctionnement du système, etc. Un exemple de surveillance d'un niveau de tension stationnaire est présenté sur la figure 8.8. Supposons que l'on souhaite détecter une chute de 20 % de la tension Ucc , en utilisant une diode Zener de type BZX55-5,1 avec f/z = 5,1 V pouvant dissiper une puissance maximale de 500 mW. X " Ri 7777

4 u

ra Rd

777T 7777 A Uz 7777 FIG. 8.8.

tL 7777

Amplificateur opérationnel : montages de base

265

La tension différentielle à rentrée du comparateur est reliée à Uz et à Ucc par : 6 — W-j-

U— — Uz

Me — Uz

„ „ Ucc K] + iv2

en utilisant la division de tension. La tension de sortie us du montage comparateur basculera de —Usa, à USÛ/, lorsque la tension iie de l'entrée inverseuse deviendra inférieure à Uz. ha diode électroluminescente, connectée en sortie, s'éclairera donc si : Ue < Uz

Ucc < [1

soit

+

^J

Uz

Avec les résistances R\ = 21 kO et R2 = 20 kfi, dans la série £24, le seuil de détection Ue = Uz est obtenu pour une tension d'alimentation minimale Ucc,m qui vaut :

V1

+

2ôJ5'I~12V

Quant à la résistance de polarisation Rp de la diode Zener, déterminons ses valeurs minimale et maximale : i) sa valeur minimale Rppn est obtenue pour le courant maximal Îm correspondant à la puissance maximale que peut dissiper la diode, soit : Vm

0,5

100mA

d'où

R,

Ucc - Uz

100 n

1m ii) sa valeur maximale RP)m est donnée par le courant minimal nécessaire pour polariser la diode Zener dans le cas le plus défavorable de la chute maximale de tension de 20%, soit Ucc,m — 0. Sf/cc ; en supposant Im = 5 mA, on trouve : Rn m —

-Uz

1380 n

Ainsi, avec Rp = 470 fi, on réalise la polarisation de la diode. Pourvu que la chute de la tension d'alimentation de 20 % n'affecte pas le fonctionnement de PAO en comparateur, le système peut être utilisé pour déclencher une procédure d'alarme. Un tel type de montage est utilisé pour surveiller le niveau de la batterie d'un téléphone portable, ou encore pour déclencher une procédure de sauvegarde dans un ordinateur portable. Dans ce cas, le circuit est qualifié de superviseur de microprocesseur. Remarque : Il existe des composants qui réalisent directement la fonction de surveillance de tension d'alimentation ; citons par exemple la référence TCM809R du fabricant Microchip, dont le seuil de détection est 2,63 V. II. 2. — Comparateur à hystérésis ou bistable ou trigger de Schmitt Le comparateur simple présente l'inconvénient d'être sensible aux fluctuations dues au bruit qui accompagne nécessairement toute tension de référence (cf. chapitre 17). Aussi lui préfère-t-on le comparateur à hystérésis. C'est un système bistable car il présente deux états stables Usa! et — Usal, qui passent de l'un à l'autre lorsque la tension différentielle d'entrée e varie faiblement autour de la valeur nulle ; € joue le rôle de déclencheur, d'où leur nom anglais trigger qui signifie gâchette. On l'appelle aussi trigger de Schmitt, du nom de son inventeur américain Otto Schmitt, en 1934, alors qu'il était encore étudiant !

266

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

a) Comparateur non inverseur Le comparateur non inverseur, représenté sur la figure 8.9a, est constituée par un AO, dont la tension de sortie us est appliquée sur l'entrée non inverseuse à travers la résistance R2, ce qui permet d'effectuer une rétroaction positive, d'où son fonctionnement en régime de saturation. Afin d'analyser son fonctionnement, exprimons la tension différentielle d'entrée, en fonction de ue et Us, à l'aide du théorème de Millman appliqué à l'entrée non inverseuse : e = M+ —

= M+ =

UejRx + Us/Ri

Ri

i/R\ + 1/^2

^1 +^2

tic +

^1 +-^2

avec iis = USa[ ou us = —Usa,, selon que e est positif ou négatif. i) Si initialement iis = Usar, alors la tension différentielle d'entrée vaut : Ri

e=

R]

:

R\ A- R2

R\ A- R2

Pour que us bascule en —Usat, il faut que : p e < 0 soit ue < — — USai ce qui s'écrit ii) Inversement, si initialement us

U.sat

ue < un

avec

Il 11 —

avec

Hp —

^irr r. tJ sat *<2

-Usai, alors : uf, —

6 =

U.sat

^1+^2 Pour que us bascule en Usat, il faut que : e>0

soit

Ri ue > — Usat Ri

ce qui s'écrit

u» > u■p

n

Ai

tJ sat

Sur la figure 8.9b, on a représenté le graphe donnant us en fonction de ue , dans le cas où Usnr = 14 V , R\ = l kO et i?2 = 2 kfl. Lorsqu'on part de la valeur us = Usat = 14 V obtenue pour ue suffisamment grand, et que l'on diminue progressivement ue , on voit que iis garde la valeur Usa, tant que ue > u,, = —7 V ; le basculement vers us = —Usat = —14 V se produit alors. Si on change alors de sens de variation de ue en l'augmentant, iis garde sa valeur —Usat tant que ue < up — 7 Y. li y à alors basculement de us vers la valeur L!sat. Le graphe décrit par le point figuratif est donc un cycle dont le sens de parcours est le sens trigonométrique entre deux points extrêmes situés dans les quadrants / et ///. On dit que l'on a réalisé un comparateur à d'hystérésis, ce mot étant issu d'un mot grec signifiant retard de la variation de us par rapport à celle de ue. Usai • ' Us

'1

y

(

R] Up = —ri Usât Kl

t=-^-Usa, ' K2 -Usât Bistable «non inverseur» b)

a) FlG. 8.9.

Ue

Amplificateur opérationnel : montages de base

267

Remarques : 1 ) Notons que, pour un < ue < iip , il existe deux états possibles, mais la tension de sortie us conserve sa valeur, laquelle valable, pour m,, = 0 , se maintient tant que les tensions d'alimentation de PAO sont maintenues, comme c'est le cas pour la mémoire vive (Read Access Memory) d'un ordinateur. 2) Dans les matériaux magnétiques, l'hystérésis traduit le retard de son aimantation volumique M par rapport à l'excitation magnétique H (cf. Électromagnétisme). b) Comparateur inverseur Le comparateur inverseur diffère du précédent car la tension d'entrée ue est appliquée sur l'entrée inverseuse (Fig. 8.10a). Comme précédemment, exprimons la tension différentielle d'entrée e = m+ U- . Il vient, par division de tension : R\ e = u+ — u_ = — us — ue + R^+Ri avec ils = Usai si 6 > 0 et us = — Uxal si e < 0. i) Supposons que us soit égal à Usat. Il vient : Ri -

«l+iî2£/s<"

"f

Le basculement de us vers — Usat se produira lorsque e deviendra négatif, soit : e <0

d'où

R ue > — — Usat Ri + /?2

ce qui s'écrit aussi

+

avec

iip = —

R

— Usa, + R2

n U.

Ri Ri

ue > up

U,

*-

[>00 Ue

-

Un =

Ri Ri

R2

U,

Up

Bistable inverseur

7777

Ri Us. R\+R2Usa'

—Usât b)

a) Fig. 8.10. u) Inversement, si us = —Usat, il vient : Ri R\ -\- R2

Usât

Ue

Le basculement de us vers Usat interviendra pour : e > 0

soit

u. <

Ri Ri + Rj

Usat

ce qui s'écrit aussi

ue < un

avec

u,, =

Ri R] + R2

U.sar

Sur la figure 8.10b, on a représenté le graphe donnant us en fonction de ue, dans le cas où Usar = 14 V, /?( = 1 kO et R2 = 2 kFl. On obtient un cycle d'hystérésis décrit dans le sens horaire entre deux points extrêmes situés dans les quadrants II et IV.

268

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Remarque : Si l'on supprime la rétroaction positive en choisissant pour R2 une valeur très grande, les deux seuils u}ln et u Upp se confondent e en une valeur nulle. On retrouve alors la caractéristique du montage comparateur simple. c) Commande de basculement On réalise le basculement du système d'un état à l'autre, à l'aide d'une impulsion de tension avec les propriétés suivantes : i) l'amplitude est supérieure au niveau du seuil, ii) la durée prend en compte l'inertie de basculement liée aux constantes de temps du montage, iii) enfin, le sens de la tension d'impulsion est déterminé par l'état précédent du système. II. 3. — Comparateurs monostables ou univibrateurs En insérant dans les montages précédents, par exemple le comparateur inverseur, une source de tension stationnaire, de f.e.m E (Fig.8.1 la), il est possible de provoquer une translation du cycle d'hystérésis, dans le plan ( ue, us ), de telle sorte qu'il n'y ait plus qu'un seul point d'intersection entre le cycle et l'axe ue = 0, et donc un seul point de repos stable (Fig.8.11b) ; le comparateur devient alors monostable. ' Us

Ri Ri +

-

Usa,

[>OÛ Un

-

lie

Up

Ue X

Usa,

a)

b) Fig. 8.11.

Afin d'analyser le fonctionnement de ce comparateur monostable, exprimons, à l'aide du théorème de Millman, la tension différentielle e = u+ — ii- . Il vient, avec £ > 0 : u

+

=

wç//?2 — E/R\ -, /T> 1/R2 + l/i?l

et

U— = lle

d'où : R\ Ri E, 6= — — us — — —E — ue R\ -\- R2 R\ -\- R2 i) Si us = Usat, alors : R\

e=

Ri — usa, - -——^ E - Ut R[ + R2 Ri + R2

Le basculement de la tension us de t/ra/ vers — Usa, se produit lorsque e devient négatif. Par conséquent : rr — — r — u
d ou

ue ^ > up

avec

tt , — — rr up = —— U —E sa R\ + R2 R\ A- R i

Amplificateur opérationnel : montages de base

269

ii) En revanche, si us = —Usa,, alors : T1sae U

€ — Rl+R2

zr — lie t Ri+Ri

Le basculement de la tension us de — Usat vers Um! se produit lorsque e devient positif, c'est-à-dire pour :

R\+R2

Usât

Ri E — ue > Q R\+RI

soit

ue < u,,

avec

u,, =

K\ Usa, RXERI

/?2 E RX+RI

Dans notre hypothèse où E est positif, u,, est négatif. Un tel comparateur est monostable si up est négatif, car il n'y a pas alors de point d'intersection entre le cycle et l'axe ue — 0 . On en déduit la condition suivante sur la f.e.m E :

£> ^-£/sa, El Lorsqu'une tension d'entrée ue négative est appliquée, le système peut basculer en us = Usat, mais revient en — Usat, dès que ue devient supérieure à up , condition vérifiée si = 0 et <0. À la différence du comparateur bistable qui nécessite deux tensions de basculement, le montage monostable n'exige qu'une seule tension de basculement, celle à la sortie d'un capteur par exemple. Remarque : En associant un condensateur et un montage bistable, on réalise un montage astable qui est un oscillateur de relaxation (cf. chapitre 14).

II. 4. — Comparateur monostable avec constante de temps On réalise de tels comparateurs avec constante de temps en insérant un condensateur, de capacité C, dans la branche de rétroaction (Fig. 8.12). On augmente ainsi la durée du retour vers zéro de la tension d'entrée ue, ce qui présente d'intéressantes applications. Par exemple, dans l'ouverture d'une barrière de parking, de tels systèmes permettent de laisser suffisamment de temps à un conducteur pour manœuvrer après l'introduction de son titre de paiement ; on trouve aussi ce mode de fonctionnement dans un minuteur d'extinction de lumière, dans la gestion de l'éclairage d'un habitacle de véhicule ou encore dans la fermeture des portes d'ascenseurs. uc

x

7777 Fig. 8,12. Supposons que la tension d'entrée soit nulle, sauf lors du déclenchement par une impulsion négative. A l'état de repos (ue = 0), la tension de sortie est us = —Usât \ Ie condensateur est

270

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

chargé et, comme aucun courant ne traverse les résistances R] et Rj, uc = uc,o =

tension à ses bornes est

s = Usât ~ E ■ L'état de repos est bien stable puisque :

— u

e = u+ — w_ = —E — ue{t = 0) = —E <0

et

us{t = 0) = —Usa1

Le système bascule instantanément dans l'état us = Umt si : 6 = m_i_ —

= —E — ue > 0

soit

ue < —E

et reste dans cet état, tant que U+ = —E-\-R\z > 0. Il appaïaît ainsi nécessaire d'analyser l'évolution de i(t). Pour cela établissons l'équation différentielle à laquelle satisfait l'intensité i. La loi des tensions appliquée à la maille extérieure donne : —E E R\i E Rii — uc ~ iis = 0

avec

iis = —Usat

et

i = —C

d tic dt

En dérivant par rapport au temps l'équation de maille précédente, on obtient : t+ z — 0

avec

t = (R\ E RjjC

dont la solution s'écrit (cf. chapitre 4) /(/) = A exp {—t/r), A étant une constante que l'on détermine en exprimant la continuité de la tension aux bornes du condensateur : ucit = 0) = -E+ (R, + R.Jiit = 0) - U„, = -£ + (R, + R,)A - Ua, = Ust„ - E

R[ E R2 Le re-basculement intervient à l'instant (2 pour lequel e devient négatif, c'est-à-dire : E u+(t2) = 0 = -E E RiHh)

soit

z(r2) -

E\

Le condensateur se décharge à travers les résistances R\ et /?? •

R\

R\ E R2

exp

d'où

tj = {R\ -f ^jLln

2^1 Usai (RiER2)E

Avec Ri = R2= 10 kLt, C = 10 p,F, Usar = 13,5 V et E = 4,5 V , on trouve /2 = 0,22 s .

III. — ELECTRONIQUE LINEAIRE A BASE D'AO En régime linéaire, les amplificateurs opérationnels sont utilisés dans la zone de la variation linéaire de la tension de sortie en fonction de la tension différentielle e . On réalise un tel régime en effectuant une rétroaction négative de la tension de sortie, ou d'une partie de celle-ci. En boucle fermée, avec une rétroaction négative, PAO présente une nouvelle fonction de transfert H{jcû) = T_{f) qui dépend de sa fonction de transfert en boucle ouverte. C'est ce que nous préciserons dans une étude générale ultérieure sur les systèmes bouclés (cf. chapitre 13). La rétroaction provoque une réduction importante du facteur d'amplification Aq , ce qui est souhaitable, puisque une valeur de Aq de l'ordre de 105 implique une tension d'entrée inférieure à 100 p.V, c'est-à-dire de l'ordre de grandeur d'une tension de bruit (cf. chapitre 17). Dans ce qui suit, nous présentons des montages bâtis autour d'AO idéaux en régime linéaire.

Amplificateur opérationnel : montages de base

271

III. 1. — Amplificateur non inverseur a) Facteur d'amplification en tension Le montage amplificateur non inverseur est celui représenté sur la figure 8.13a dans lequel l'AO étant idéal, on a e = 0. En utilisant la division de tension, il vient : M_ = ^1+^2

us

avec

ue

soit

u+ - ue

et

m+ =

On en déduit : Us

1 +

^

+

Ry

V

«.(V +

^2

0^

-1,83

Ue 7777

Ri Ri

a)

b) Fig. 8.13.

Supposons que l'on souhaite fixer le facteur d'amplification en tension A,, du montage à 11, soit = 201g 11 = 20,8 dB . On dispose d'une seule équation Rj = 10/?i pour déterminer les valeurs de R\ et R2 . Néanmoins l'hypothèse de l'AO idéal qui a conduit à cette relation, suppose l'utilisation de résistances, d'une part inférieures à l'impédance d'entrée Re considérée comme infinie, d'autre paît supérieures à l'impédance de sortie Rx considérée comme nulle. Aussi les résistances sont-elles choisies dans la gamme du kfL, par exemple R\ = 1 kfi et /G = 10 kfl. Remarques : 1) Un couple de résistances R\ = 10 H, R2 = 100 fi, avec des tensions de l'ordre de quelques volts ( Ua de 10 à 20 V ), donnerait en outre des courants de sortie de l'AO d'intensité supérieure à l'intensité maximale is^max tolérée par le composant (cf. Exercices). 2) On sait que les résistances sont données dans certaines gammes de valeurs, séries El2 , E24, E48 , E96, avec une tolérance variant de 5 % à 0,1 % et aussi des fluctuations qui dépendent de la température. Aussi, à faible coût, il serait vain de tenter de construire un amplificateur non inverseur avec un gain strictement égal à 11 ! b) Vérification expérimentale On réalise un montage de facteur d'amplification théorique égal à 11 , en utilisant un AO type LM741C, polarisé par les sources externes Ua = 15 V et — £/rt = —15 V.

272

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Avec un signal d'entrée sinusoïdal, de fréquence 2 kHz, on constate que le signal de sortie est en phase avec le signal d'entrée et présente une amplitude environ 11 fois plus grande, la mesure donnant Au = us,mlue,m ^ Ij 83/0,17 « 10, 8 dans le cas de résistances données avec une précision de 10 % (Fig. 8.13b). Avec un signal d'entrée de forme carrée, on mesure sur la figure 8.14a, un facteur d'amplification Ai( sa 1,9/0,17 sa 11,2, même si, en analysant soigneusement la transition, on observe une déformation du signal de sortie. Cette distorsion dépend de F AO utilisé. La raison de cette déformation du signal sera analysée plus loin (cf. paragraphe V). uAV)

V)

u,{V)

«Ç(V) 13,70

M.,

-13.40 a)

h) Fig. 8.14.

En augmentant l'amplitude du signal d'entrée, on constate sur la figure 8.14b une saturation en amplitude. Soulignons que les niveaux de saturation ne sont pas symétriques, Usa{<+ = 13,7V et USat,- = —13,4 V, avec des valeurs absolues inférieures à = 15 V . L'amplitude maximale ue^nax du signal d'entrée, qui permet d'éviter la saturation du montage, est alors donnée par : Hp m/7 y

min(f/ra?,+ , |Usât,— |)

| Usa!,— An

13,4 10,8

L 24 V

ce qui est inférieur à sa valeur théorique égale à Ua/Au = 15/11 = 1,36 V . Ces relevés expérimentaux ont été obtenus dans une configuration où aucun courant n'est débité par F AO, puisque la charge connectée en sortie est infinie. On peut alors prédire l'évolution de la tension de sortie, en fonction de la charge Rc connectée, par simple prise en compte de la division de tension : lie =

R,

A,m.

Rc + Rs La limite de validité de cette relation demeure la capacité de FAO à fournir l'intensité du courant demandé is = Us/Rc > pour Rc faible (Fig. 8.15a). En pratique pour un AO type 741 , is,max est de l'ordre de 25 mA. Dans notre exemple, la valeur minimale théorique de l'impédance de charge Rc est donnée par l'expression : min(t/sfl?)+, It/jA^-l) \USat,-\ | 13,4| = 536 O Rcjniu — is,max i.ï,max 0,025 Pour vérifier l'effet de la saturation en courant, dérogeons à la condition précédente en connectant une charge Rc < Rc,mm avec Rc = 235 fi, et en choisissant ue^m < ucmax afin d'éviter la saturation en amplitude, soit ue,m = 0,72 V .

Amplificateur opérationnel : montages de base

273

uP V)

XOO

oo ue

-- 6,60 0,72—/r.

777/ 7777 7777

5,80

7777 a)

b) FIG. 8.15.

Sur la figure 8.15b, on voit que, dans le cas d'une saturation en courant, la tension de sortie us est comprise entre —5,8 V et 6,6 V, ce qui est nettement inférieur à la valeur théorique «.v — AnUçjn — 7,8 V . Remarque : À la saturation en courant, la tension us peut légèrement différer de Rc is,max de par la mise en conduction de protections internes de l'AO contre les courts-circuits. III. 2. — Suiveur de tension ou adaptateur d'impédance en tension a) Facteur d'amplification et impédances

V 8

+

L'amplificateur suiveur de tension, représenté sur la figure 8.16, est le plus simple des dispositifs à rétroaction négative, puisque cette dernière se réduit à un simple fil de connexion reliant la sortie de l'amplificateur à son entrée inverseuse.

1

i 7777

7777 Fig. 8.16.

Dans l'hypothèse d'un AO idéal, la tension différentielle d'entrée e est nulle : e = U+ — il- = 0

avec

= ue

et

m_ = us

On en déduit le facteur d'amplification en tension du montage :

Au = — = \

soit

Gu = 201g 1 = 0 dB

Bien que l'amplification par le composant se réduise à l'unité, à condition évidemment qu'il soit polarisé convenablement, ce montage simple est probablement l'un des montages les plus utilisés en électronique, en raison de impédance d'entrée pratiquement infinie et de son impédance de sortie pratiquement

274

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

nulle : Z,, = —

avec

L

0

d'où

Z,

oo

et : Zs = -fi

avec

ue — 0 —

— «_

et

iis = «_

d'où

=0

Ces deux dernières propriétés permettent de connecter des systèmes entre eux, sans chute de tension, et donc d'assurer une association des systèmes en cascade. La fonction de transfert globale est alors le simple produit des fonctions de transfert de chaque système. On dit que le montage suiveur est un adapteur d'impédances en tension. Remarque : Avec un AO réel, on obtient le même résultat (cf. Exercices). b) Applications du suiveur i) Augmentation de la résistance interne d'un voltmètre Sur le montage simple de la figure 8.17a, mesurons la tension aux bornes du générateur stationnaire, de f.e.m E = 12 V et de résistance interne /?? = 10 kfi, à l'aide d'un voltmètre de résistance Rv = 20 kfi, On trouve, d'après la division de tension : R, U = E= 8V Ro + Rx

U Rv R„

E

h-'+

oc

7777

7T7T a)

b) FlG. 8.17.

En insérant un AO monté en suiveur, comme sur la figure 8.17b, on mesurerait, puisque la tension aux bornes du voltmètre est égale à la tension d'entrée et que l'intensité du courant à l'entrée de l'AO est nulle : Us = Ue = E- RgI = E = 12 V ii) Suppression de la résistance interne d'un GBF Un générateur basse fréquence (GBF), de f.e.m maximale em et de résistance interne Rj, débite un courant dans une charge Rc (Fig 8.18a). La résistance interne du générateur n'étant pas négligeable, la valeur maximale de la tension aux bornes de Rc ne vaut pas em mais, par division de tension : Rr tirc w m — ' Rc + Ri

m

s Evidemment le générateur de tension doit être conçu pour débiter un courant d'intensité maximale ic,m ~ em/Rc sans subir de dommage.

Amplificateur opérationnel : montages de base

275

Ri H. 4^1PN

i Rc Uc

1

7777

7777 a)

b) FIG. 8.18.

En intercalant un montage suiveur de tension comme sur la figure 8.18b, la tension uc^m vaut : Uc,m = ue = em - Rii

avec

i=0

d'où

us>m = e,„

On dit qu'il y a adaptation d'impédance en tension. Notons que l'AO doit alors délivrer un courant iSjm qui doit être inférieur à l'intensité maximale is,max du courant que peut délivrer un AO standard, de l'ordre de 20 m A. Ordres de grandeur : si em = 2Y, /?, = 50 fi et /?c = 200 fl, alors : ^in — I; 6 V

Me,!» — En revanche, si

M s, m —

—2V

et

is,m —

0

— 10 mA

= 12 V , /?, = 1 kfl et Rc = 5 fl, on trouve 5 5 -f 1000

12 se 60 mV

l

x,m

12 V

mais

12 i^m = — = 2,4 A

ce qui est bien supérieur à l'intensité maximale que peut délivrer un AO. Pour diminuer ce courant, on insère, dans la boucle de rétroaction négative, avant la charge Rc , un montage push-pull à transistors (cf. chapitre 7) de facteur d'amplification en tension unité (Fig. 8.19).

8 + ^

■-

_L Mv = U,.

-Ua Fig. 8.19.

III. 3. — Amplificateur inverseur Dans le montage inverseur représenté sur la figure 8.20, l'entrée non inverseuse est connectée à la masse, ce qui impose = 0 et donc w_ = 0. Il vient, puisqu'un même courant parcourt les résistances R\ et /?2 :

276

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Le facteur d'amplification en tension étant négatif, le signal de sortie est en opposition de phase par rapport au signal d'entrée, c'est-à-dire que le déphasage est tt , d'où le nom du montage. Notons que R\ représente l'impédance d'entrée du montage amplificateur inverseur : -=Ri h Cette résistance doit être très supérieure à l'impédance de sortie du générateur pour satisfaire à l'adaptation d'impédance en tension, explicitement pour que le signal d'entrée ne subisse aucune atténuation de tension. Typiquement, on choisit le couple de résistances R\ = 10 kfi et Rj = 100 kfi, ce qui donne un gain Gu = 201g 110| = 20 dB .

X ue

u*

7777

7777

7777

Fig. 8.20. Remarque : Pour que le courant sur l'entrée non inverseuse au nœud E soit quasi nul, PAO doit compenser le courant d'entrée ie, lequel est limité à la valeur maximale /vnax du courant de sortie. On en déduit la valeur minimale de la résistance R\ : R I .min

. u

III. 4. — Convertisseurs courant-tension et tension-courant a) Convertisseur courant-tension La conversion courant-tension s'avère indispensable lorsqu'on utilise des capteurs dont la sortie électrique est un courant (capteurs photoélectriques, capteurs chimiques, etc.). Le traitement du courant issu de ces capteurs, par des chaînes à base d'AO, nécessite une conversion courant-tension (Fig. 8.21). Un convertisseur courant-tension idéal réalise l'opération : us — —RtI i.le dans laquelle R] est la îrans-résisîance.

-H 0X

7777

7777 FIG. 8.21.

7777

7777

7777 FIG. 8.22.

Amplificateur opérationnel : montages de base

277

b) Convertisseur tension-courant La figure 8.22 représente un convertisseur idéal tension-courant. La rétroaction négative permet de réaliser un fonctionnement en régime linéaire, soit 6 = 0, d'où la relation entre la tension de sortie et le courant is dans l'impédance de charge : iis — Rfis L'AO étant idéal, le courant entrant dans l'entrée inverseuse est nul, la totalité du courant is parcourt la résistance R[ : . ^ . iie ue — R i is "h € — R ] is d ou is — —— et z's-
"

~

l/i?, + l/i?2

_ 6

"

u fi/?3

~ l/R-i + l/Ri

Il en résulte, puisque e = 0 : /, ^3^ Ri lie = ( I -f- —— 1 —- Ue 2 ~\— ^~Ue 1 V R4j[R\+R2 ' R{-YR2 Notons que les résistances R\ et Rj permettent de pondérer la somme des deux tensions, amplifiée par et R4 . Pour R] = R2 -, l'expression se simplifie, on voit que la tension de sortie est proportionnelle à la somme des tensions d'entrée :

^1 +

(uej -f Ugg)

si

Ri — R2

Remarque : Les résistances R^ et R4 fixent le gain du montage, alors que R\ ci Ri déterminent l'impédance d'entrée sur la borne non inverseuse. Il en résulte que les résistances R\ et R2 doivent être à la fois inférieures à l'impédance d'entrée Re de l'AO, et suffisamment grandes devant l'impédance interne des sources de tension à l'entrée, afin d'assurer l'adaptation d'impédance : R\

ZjhA

et

Ri^Zjbp

Zrh,i et Zjih2 étant les impédances internes des deux générateurs de Thévenin à l'entrée non inverseuse. Lorsque l'adaptation d'impédance n'est pas réalisée, on intercale, entre les générateurs de Thévenin et ces résistances, un suiveur de tension.

278

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

"C'A 7777

U

e,2

UeA

Ri

7777

7777

7777 Ri

lie,2

Ri

7777

R4 TÀtt FIG. 8.23.

Ra

FIG. 8.24.

III. 6. — Soustracteur Sur la figure 8.24 on a représenté un AO dans un montage soustracteur, fonctionnant en régime linéaire. Appliquons le théorème de Millman aux entrées inverseuse et non inverseuse. Il vient respectivement ; _ He, 1 /R1 + Us/Ri l/Rt + I/R2 Il en résulte, puisque e = u+ —

U+

Ueg/Rs

' I/R3 + I/R4

=0 : R2

R\

_ 6

R\ R2

He I A*

R\

R4 z" Us — — —— Lie 2 R2 i?3 + /?4

soit ; f. , RA ( *4 l, +/?,j U W*'2

Ri ^ Rx+RiUe'x)

On fait apparaître la différence des tensions ue,2 — ^e,\ en imposant la condition suivante : R4 /?3 + i?4

Ri R\

R2

SOit

/?4(/?| + /?2) — RliRl 4" ^4)

OU

R]R4 — R2R2

On a alors :

d"où la propriété de soustraction du montage : Ro . us = — [iig -> — ue \ ) R]

avec

^|i?4 — R2R3

Remarque : Pour des signaux de faible amplitude, ce montage exige un compromis car la résistance R\ , qui représente l'impédance d'entrée sur la borne inverseuse, doit être, d'une part, assez grande pour assurer l'adaptation d'impédance avec le générateur ue^ , d'autre part assez faible pour que le facteur d'amplification soit suffisant. Aussi, dans ce cas utilise-t-on un autre montage, appelé amplificateur d'instrumentation (cf. chapitre 9).

Amplificateur opérationnel : montages de base

279

III. 7. — Intégrateur Bien avant l'avènement des calculateurs numériques, un moyen pour résoudre les équations différentielles consistait à câbler les termes de l'équation avec des montages à base d'AO, puis à identifier la solution. Le montage intégrateur que nous allons présenter réalise la fonction d'intégration d'un signal. a) Montage intégrateur Ce montage est semblable au montage amplificateur inverseur, mais on a remplacé la résistance de contre-réaction par un condensateur de capacité C (Fig. 8.25). Rappelons que les éléments R Ql C sont ceux qui définissent un filtre passif passe-bas (cf. chapitre 6). Comme l'AO est idéal, le courant qui parcourt la résistance R est aussi celui qui charge le condensateur. On peut écrire, si q désigne la charge de l'armature proche de l'entrée inverseuse : iie

dq

R

àî

= —-1 C

avec

On en déduit : d us d/

=

u T

soit

1 f us = — ue{t) dt

K

en posant

r = RC

K étant une une constante qui prend en compte la charge initiale du condensateur. On obtient bien us à partir d'une intégration de ue à un facteur multiplicatif près ; ce dernier étant négatif, le montage intégrateur est inverseur, d'où un déphasage de tt entre le signal d'entrée et le signal de sortie. Remarque : La modification qui consisterait à remplacer le résistor par une bobine et le condensateur par un résistor, conduirait aussi à l'intégration de la tension d'entrée. On obtient cependant des résultats médiocres, car il n'existe pas de bobine purement inductive, en raison des effets parasites résistif et même capacitif. R' C oc

R

ue

uc

7777

7777 Fig. 8.25.

[> + 7777

ji Us 7777

FIG. 8.26.

h) Réalisation du montage intégrateur Le montage précédent présente un inconvénient majeur : il amplifie considérablement les signaux stationnaires ou de basse fréquence ; en effet l'impédance offerte par la capacité est alors très grande, d'où un facteur d'amplification Alt = —Zc/R capable de provoquer la saturation de l'AO à partir d'un simple signal de bruit à l'entrée. Pour y remédier, on ajoute, en parallèle avec le condensateur, un second résistor (Fig. 8.26). La nouvelle résistance R' permet en outre au condensateur de se décharger et donc d'annuler la constante d'intégration K précédente. L'équation, vérifiée par us, devient alors, en notant qu'ici le courant d'entrée se partage entre deux branches, celle de C et celle de R' :

280

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Il en résulte : dus Us — 1—- = A f t' dr r'

ue avec nt

r = RC

et

f • r =RC

Pour un signal d'entrée ue, de période 7, on a : i) Si T
Usjr' et l'équation initiale se réduit à à.us/ d/ = —uejr, de

la constante d'intégration étant nulle puisque le condensateur s'est déchargé grâce à R'. Ordre de grandeur : avec /? = 10 kO, C = 10 nF, R' = 1 MO, on trouve r = 0,1 ms, t' = 10 ms ; la fréquence des signaux à intégrer doit donc être suffisamment grande devant I/r' = 100 Hz. ii) Si 7» r', alors d«v/df
Us (V)

Ue (V)

11

Ue (V)

US (V)

1-- r7 =|43 ! jxs

--2,6

1

t

4-7,6 b) FIG. 8.27.

Amplificateur opérationnel : montages de base

281

Remarque : Nous analyserons ultérieurement plus en détail le fonctionnement de ce montage intégrateur, en prenant en compte les imperfections de l'AO (cf. chapitre 9).

III. 8. — Dérivateur a) Montage dérivateur Alors que le montage intégrateur est réalisé à partir d'un filtre RC passe-bas, le montage dérivateur l'est avec un filtre CR passe-haut (Fig. 8.28a). Comme le courant qui traverse le condensateur est le même que celui qui parcourt la résistance, puisque l'AO est idéal, on a : àq le = — = Qt

Us K

avec

„ q = Cue

Il en résulte d ue us — 1 =0 d/ r

avec

_ r = RC

d ou

lie = —T

due ~â7

Ainsi, la tension de sortie est proportionnelle à la dérivée de la tension d'entrée par rapport au temps, d'où le nom du montage. J

M.V)

X-(V)

-- 0,36 0,2 30 0,2

T = 2 ms -0,38

7777

7777 *■ t a)

Fig. 8.28.

h)

b) Illustration expérimentale Sur la figure 8.28b, on a représente la réponse du montage dérivateur à un signal d'entrée, de forme triangulaire, pour /? = 10 kO et C = 100 nF, soit r = RC = 1 ms. On obtient bien la fonction dérivée, de forme carrée et de valeur moyenne nulle. On peut réduire les oscillations observées, en adoptant le montage de la figure 8.29a, où l'on ajoute une résistance R' en série avec la capacité. Le résultat affiché sur la figure 8.29b, pour R' = 250 fl, illustre bien l'influence de cette résistance. Remarque : En pratique, les applications du montage dérivateur restent limitées, car tout bruit superposé au signal d'entrée provoque une forte variation du signal de sortie. Un exemple est fourni par le capteur équipant les airbags ; on ne dérive pas la vitesse du véhicule pour obtenir l'accélération, mais on mesure directement cette dernière, à partir de la variation d'une capacité entre une masse et des structures mobiles usinées dans le silicium. Ces capteurs équipent la plupart de nos véhicules depuis le début des années 1990.

282

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

uAV)

(V M.,

-- 0,36

0,2

R

UT 0,2—

Ug

T = 2 ms -0,36

a)

b)

Fig. 8.29.

III. 9. — Amplificateur logarithmique a) Description du montage Dans le montage de la figure 8.30 on a placé une diode dans la boucle de rétroaction négative d'un AO. On sait que la caractéristique courant-tension de la diode id{ud), s'écrit, lorsque la diode est passante (cf. chapitre 7) : irf — h expiai-1 où Is est l'intensité du courant de saturation de la diode et Ut = ^bT/c ,T étant la température absolue, kft la constante de Boltzmann et e la charge électrique élémentaire. Dès que 3Ut , la diode est passante et on peut faire l'approximation : soit

id ~ h exp

u

d =

est supérieur à environ

u

t In (^j-

Sur ce montage où l'AO fonctionne en régime linéaire, on a : Ud = -Us

et

ue id = — K

Par conséquent, pourvu que la diode soit conductrice, on trouve la relation suivante entre la tension de sortie et la tension d'entrée : us = —Ut In

ue

ce qui justifie le nom du montage. Remarque : Les grandeurs îx et Ut dépendent toutes deux de la température T mais pas de la même façon ; alors que Ut est proportionnel h T, Is est proportionnel à T3. La fonction logarithmique obtenue avec ce montage n'est donc pas utilisable dans une large gamme de températures. Rappelons qu'on impose aux systèmes électroniques de supporter des plages en température allant de 230 K à 400 K ou plus parfois, comme c'est le cas dans les systèmes chargés de contrôler l'injection dans un moteur thermique. On contourne ce problème, en remplaçant la diode par deux transistors câblés en diode. Ces transistors doivent absolument être appariés, c'est-à-dire fabriqués dans le même substrat semi-conducteur, afin de présenter le même courant de saturation Is (cf. chapitre 9).

Amplificateur opérationnel : montages de base

283

l-W

7777

7777

7777

Fig. 8.30.

7777

FIG. 8.31.

III. 10. — Amplificateur exponentiel L'amplificateur exponentiel ressemble à l'amplificateur logarithmique mais le résistor et la diode ont été pennutés (Fig. 8.31). La diode est passante pourvu que la tension ue soit positive et supérieure à sa tension de seuil ; l'égalité des courants, qui parcourent alors la diode et le résistor, donne : ■ «L 1 exp j( — \1 = ^

. soit

yyj Sexp (I — Ue us = —RI

en inversant la fonction. Ainsi la tension de sortie est proportionnelle à l'exponentielle de la tension d'entrée, d'où le nom de l'amplificateur. Remarque : La présence de la diode à jonction rend ce montage sensible à la température, ce qui devra être compensé (cf. chapitre 9). III. 11. — Multiplieur Le multiplieur est un système qui fournit à sa sortie une tension us proportionnelle au produit des deux tensions ue^ et ue2 que l'on applique à ses deux entrées : Us = Km Ue^ i Uep où Km est un coefficient homogène à l'inverse d'une tension ; son symbole est représenté sur la figure 8.32. Bien que souvent réalisé à l'aide d'étages à transistors, le multiplieur peut aussi être construit avec des AO, en associant en cascade un amplificateur logarithmique, un amplificateur sommateur et un amplificateur exponentiel. On s'appuie alors sur la relation : a x h = exp(ln<2 + ln/p), dans laquelle a et b sont deux réels positifs. Ainsi, en l'absence de saturation de l'étage exponentiel, on obtient le produit de deux tensions. Très utilisé dans la transmission des signaux, le multiplieur permet de réaliser notamment la modulation de signaux (cf. chapitre 16). K X Ue.2

Km «c,! "«,2 7777

7777 Fig. 8.32.

284

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Sur la figure 8.33, on distingue aisément les trois étages qui assurent successivement les fonctions logarithme, somme et exponentielle. Les tensions d'entrée uet\ et uet2 étant positives, les tensions en A et Zî, en sortie du montage logarithmique, avec l'interrupteur K ouvert, ont pour expressions respectives : Ue, I Me,2 et iig = — f/?- In m,4 = — Uj In \RIs,\ J \RIs,2 Tandis qu'en sortie du sommateur inverseur, la tension en P est positive : up = —{uA + Mg) = f/r In f ^rr-} + UT\n^ 116,2 RI.s,\ RI.s,2 Si les intensités des courants de saturation sont identiques, /5j = Is>2 = fi, ce que l'on réalise en utilisant des diodes appariées, c'est-à-dire fabriquées sur le même substrat, on obtient : n i fue,\Me2\ up=uTln{ -Wir)

avec

iieA >0

et

ue^ > 0

Par conséquent, la tension de sortie du troisième étage, s'écrit, avec K ouvert : us — —Rfi exp ( jÇ- ) = —Rfi exp In \UtJ

fit y/ ^ | fit g m 0

soit

iis —

Me, 1 Me2 Rfi

Cependant, cette fonction multiplication n'est pas réalisable en pratique, car on atteint très facilement la tension de saturation du montage. En effet, la faible intensité du courant, de l'ordre de 1 nA, rend le terme quadratique Rrïl très faible et donc la fonction exponentielle rapidement croissante.

X «4',1

A " UA 7777

7777

K/ y.. Ue.l

B "

7777

UB UP

7777

li

7777

7777 FIG. 8.33. En revanche ce problème disparaît si l'on ferme l'interrupteur, puisque, le facteur d'amplification en tension du montage sommateur valant alors —1/2, on a : 1 / . x Ut \ f UeA ue,2\ Up = - -{uA +UB) = — ln ^ R2l2 J d'où, l'interrupteur K étant fenné :

Ms = -Rfi exp f ^ j = -Rfi exp

( lle | lle 2 A ^

et

^ = -(>^,1^,2)

1/2

Amplificateur opérationnel : montages de base

285

Ainsi, en connectant simplement en parallèle une seconde résistance identique à la résistance R de rétroaction négative, on évite la saturation. On obtient alors la fonction racine carrée du produit des deux signaux d'entrée. Une façon de réaliser la fonction multiplication consiste à remplacer le coefficient Km = 1/{RIs) trop grand et donc responsable de la saturation par un coefficient Km plus faible. Pour cela, ajoutons le terme Uj ln(7?fv/E) en entrée du sommateur inverseur, dans lequel E est la f.e.m d'un générateur stationnaire. La nouvelle expression à la sortie P du sommateur ne fait plus apparaître {Ris)2 mais RIS (Fig. 8.34) :

up = UT [ln(uej «e,2) - 21n{R/s)] + UT\n(R!s) - UTln{E) = C/rln

Il en résulte la tension suivante à la sortie du multiplieur, dans laquelle figure F à la place de RIS :

Ms —

Me, 1 Me^2 ^ —

„ &-mue,\ Me>2

avec Km = E 1 . Cette fonction multiplieur étant indépendante de Ut et îs, elle est en outre peu sensible aux variations de température.


1 1 7777

7777

7777 R CO X

8 i

7777

UB 7777

P " ri 7777

HP 7777

+ 7777

Us 7777

Fig. 8.34.

Remarques : 1) Le choix de la résistance R s'effectue en définissant le courant nécessaire à la polarisation des diodes ; la valeur /? = 10 kfî , très inférieure à l'impédance différentielle d'entrée de PAO, permet la circulation d'un courant dont l'intensité est de quelques mA . 2) On prendra soin de placer des capacités de découplage sur les tensions d'alimentation des AO afin de limiter l'influence des perturbations inductives entre les composants.

286

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

IV. — REALISATION D'IMPEDANCES A L'AIDE D'AO On utilise souvent les AO pour réaliser des impédances, ou des fonctions d'impédances très utiles dans la conception des filtres actifs ou des oscillateurs.

IV. 1. — Réalisation d'une résistance négative Sur la figure 8.35, on a représenté un système se comportant comme une résistance négative (NIC, en anglais pour Négative Impédance Converter en anglais). On suppose l'AO idéal et R R2 . En régime linéaire, la tension différentielle e est nulle, d'où, en utilisant l'additivité des tensions et la division de tension : R ue = R]ie + us et ue = Ri + R Il en résulte, en éliminant us : ue = R]ie

Ro

R R

ue

. soit

R') ue— = —Riie R

On en déduit l'impédance équivalente du montage : iie _

Ri

Z

'-Te---RR;

qui est réelle et négative. En choisissant R\ = Ri ex R variable on obtient une résistance négative —R ajustable.

X

A?

'2 777/

7777 7777 Fig. 8.35.

Remarques : 1) Physiquement, on aura compris ici le rôle essentiel de PAO qui, comme élément actif, puise, dans les sources d'alimentation stationnaire, l'énergie nécessaire pour compenser et dépasser les pertes de puissance électrique par effet Joule. 2) En outre, on aura noté que, pour R\ = Rifies intensités ie et *2 des courants qui pénètrent dans PAO par sa sortie S sont égales (Fig. 8.35). Aussi le résister, de résistance R, est-il parcouru par un courant qui, grâce à PAO, est orienté dans le sens opposé au sens habituel en l'absence d'AO, d'où l'effet de résistance négative. 3) Un des domaines d'application des résistances négatives est la réalisation d'oscillateurs, dans lesquels on doit compenser les pertes par effet Joule (cf. chapitre 14).

Amplificateur opérationnel : montages de base

287

IV. 2. — Système se comportant comme une impédance Le montage représenté sur la figure 8.36 est un système qui se comporte comme une impédance. Il est construit autour d'un seul AO, en rétroaction avec les trois dipôles passifs d'admittances Yy , Y2 , F3. L'impédance qui en résulte est le quotient Ze = ue/ie.

Y3

1

Fig. 8.36. LAO étant idéal et travaillant en régime linéaire (6 = 0), l'application du théorème de Millman au point E donne : ueYi + usY3 ue = —— —— Y] + F3

avec

v

ue = u~ = 0

d ou

Fi us = ——ue F3

Écrivons au point A la loi des nœuds. Il vient, les courants d'entrée dans l'AO idéal étant nuls : ie = is + Ô

d'où

ie = {ue - Us)Y2 + UeYi

En reportant dans cette équation l'expression de us, on trouve :

1- Fj j

ie — Ue 1 F2 H—— F3

d'où

Fe — ( F2 H—+ F| F.

Suivant la nature des admittances F/, le montage est un simulateur d'inductance ou de capacité. i) Simulateur d'inductance Si l'on choisit Fj = 1 /Ry , Fo = 1 /R2 , F3 = jCco , il vient : K = 3i?i avec :

+

3R2

1 jR 1R2CÙ)

R1R2 R,- = — 3R\ R2

et

. soit

11 Fg = — + Ee .iEeo)

Lg = R1R2C

Ainsi, l'impédance d'entrée du montage est un résistor de résistance Re placé en parallèle avec une bobine de grande valeur d'inductance Le. Exemple : pour R\ = R2 = \ kFi et C = 1 (xF, on trouve Rt = 500 H et Le = 1 H, ce qui est énorme pour une inductance. H) Simulateur de capacité En choisissant Y\ = jCco, F2 = 1/^2, F3 = l//?3, on trouve l'expression suivante de Fadmittance d'entrée ; Y

' = i

1

11)

288

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

ce qui se met sous la forme ; Y

e=

-éjCeù)

avec

R( = R2

et

Ce = C

L'impédance d'entrée du montage se présente donc sous la forme d'un résistor, de résistance Re = R2 , placé en parallèle avec un condensateur de capacité C,, = C(1 + R3/R2) ■ Exemple : pour R2 = 1 kfi, R3 = ]0 kfi et C = 1 p^F, on trouve Re = 1 kfl et Ce = 11 jxF, ce qui est une grande capacité. IV. 3. — Réalisation d'une inductance positive de grande valeur On peut aussi réaliser de grandes impédances à l'aide de la structure connue sous le nom de Convertisseur d'Impédance Généralisée (GIC en anglais pour Generalised Impédance Converter) (Fig. 8.37). Dans les conditions habituelles de fonctionnement de FAO idéal, on a : Ue = Us

Z, le = Z2/2

^-t

Z3?2 —

^4/5

Il en résulte le facteur d'amplification en courant suivant : ^ _ fi _ ie

Z, Z3 Zj Z4

Comme iis = —Zcis et ue = iis, on en déduit l'impédance du montage : ry

tle ~T~ le

^ Z\Z3 C y ry ^2^4

Exemple : si l'on choisit Z\ = Z2 = Z3 = R, Z4 = l/(JCco) et Zc = r, l'impédance d'entrée est une bobine pure, d'inductance L = RCr. Pour R = 5 kfi, r = 0.5 kfi, C = 0,5 p,F, l'inductance vaut 1,25 H, ce qui est énorme, surtout si l'on songe à l'encombrement d'une bobine réelle, de même inductance.

Z\

Z\ >4

Z2 Z3 +

+?2

rn

^1.

Fie. 8.37.

V. — IMPERFECTIONS DE L'AO EN REGIME VARIABLE La figure 8.38 représente le schéma constitutif le plus simple d'un AO à transistors bipolaires. On reconnaît successivement : i) en entrée, un étage différentiel de très forte impédance d'entrée, ii) un étage amplificateur,

Amplificateur opérationnel : montages de base

289

iii) un étage de sortie en push-pull (cf. chapitre 7), lequel permet d'augmenter le courant de sortie de l'AO et donne une impédance de sortie très faible. Les différents étages sont réalisés avec des transistors en technologie bipolaire ou CMOS, selon les caractéristiques et les perfonnances souhaitées. Ce montage met en évidence les limites du modèle de l'AO, précisément la saturation en tension l%| ^ |Usa!| avec \Usat\ ^ Ua , la saturation en courant is ^ i.s,max et la valeur de la fréquence de coupure /C)t, due à la présence de capacités.

Étage amplificateur

Etage k. différentiel .A > «+ 777/

'

7777 -U.

Etage push-pull

7777

Fig. 8.38.

V. 1. — Limitation en fréquence et bande passante Dans tous les exemples précédents, l'amplificateur opérationnel était considéré comme un composant idéal caractérisé par la relation simple us = Aqe avec Aç, de l'ordre de 105. En réalité, on a vu que l'AO en boucle ouverte se comportait comme un filtre passe-bas du premier ordre, avec une excellente approximation : A(f) =

1 +jf/fc.o

où fc,o est de l'ordre de 10 Hz. Comme Aq est très grand, il est quasiment impossible de déterminer expérimentalement le diagramme de Bode de l'AO, c'est-à-dire son gain en tension et sa phase en fonction de 1g/. En revanche, on peut illustrer la limitation spectrale d'un AO en boucle fermée avec rétroaction négative. Dans le cas d'un montage non inverseur avec le couple de résistances, 1 kH et 100 kfl, le facteur d'amplification en tension vaut Au = 100 , c'est-à-dire que Gf( = 40 dB . En faisant varier la fréquence du signal d'entrée sinusoïdal, on remarque que ce montage ne remplit sa fonction que dans un intervalle de fréquences du signal d'entrée. Pour l'AO type LM741C, le facteur d'amplification est encore de 100 à / = 1 kHz , mais il ne vaut plus que 59 à / = 15 kHz (Fig. 8.39a) et 11 à / = 150 kHz (Fig. 8.39b) ; cette décroissance se poursuit aux fréquences plus élevées. En outre, dès que le gain n'est plus égal à 100, apparaît un déphasage entre le signal de sortie et le signal d'entrée qui se stabilise vers —tt/I rad. En utilisant l'OPA 2604, on observerait le même phénomène, mais déplacé vers les hautes fréquences. Ce résultat montre l'influence de la fréquence de coupure fc>0 de l'AO, en boucle ouverte, sur le montage de PAO en boucle fermée par rétroaction négative.

290

8. Amplificateur opérationnel : montages de base Ue(y)

us m

0,07--

Ue (V)

W(v)

0,07--

4,15 \

\

\U

u 0,79

W—A— 66 ILS

/ \

\

/

r = 66 [XS

/ \

4 \ \

/

v. ^

^

b)

a) FIG. 8.39.

Une expression réaliste de la fonction de transfert de l'AO en boucle fennée, encore de type filtre passe-bas, est la suivante : Z(f) =

m 1 +jf/fc,,

où fCjr et r(0) représentent respectivement, la fréquence de coupure et le facteur d'amplification stationnaire du montage en boucle fermée ; ces quantités dépendent des paramètres de F AO et des éléments de rétroaction. Par exemple, les mesures ont donné : pour AO LM741

T{0) = 100

pour AO type OPA 2604

et

r(0) =100

/Cjr = 15 kHz et fc
Remarque : Dans le tracé expérimental des diagrammes de Bode, la courbe de phase est essentielle pour s'assurer que le système étudié n'est pas un déphaseur pur, lequel est de la forme : Pour le(luel

Idif) = | ■a o c û CM 1—1 O ("Ni ©

l

a) Limitation en fréquence du montage suiveur Sur la figure 8.40a, on a représenté un montage suiveur dans lequel PAO a pour fonction de transfert, en boucle ouverte :

Di CL O u

\Li(f)\ =

^ ^ rrfe: À l'aide du schéma équivalent de la figure 8.40b, l'application des lois sur les tensions permet d'écrire : i =

ue — Lis Rr-

— Ae Re + Rc

=

avec

e = u+ — «_ = ue — iis

d'où: Ue ~ A {lie ~~ Us) Re + Rs

l{e ~ us R.

et

ARe + Rs Us = ——— —Ur. ( 1 + 4) + Rs

Amplificateur opérationnel : montages de base

291

* "I

I i ç W l Ae i Us I

j

Rs R, m\

u,. 7777 7777

Re

c

Rs h-

Us

lle

Ae

7777

7777

7777

7777"

a)

b) Fig. 8.40.

Comme Re

Rs par conception de l'AO, la relation précédente se simplifie selon : —

Us=—"e

.1 s dou

T(s\ — Tif) = - = —

Ainsi, en remplaçant A par son expression fonction de la fréquence, on trouve ; mtr\ T\j) =

ce qui s écrit aussi.

1 -Mo -\-jf/fc,o

rrrr\ = T{f)

^(0) 1 +jflfc,r

avec : HO) =

A(i . ~ 1 1 + Aq

1

et fCjr =fc,o (1 + Ao)

soit

fC;r œfc^Ao

si

Ao > 1

Notons que le produit du facteur d'amplification stationnaire par la bande passante à —3 dB se conserve entre l'AO en boucle ouverte et l'AO en boucle fermée : m xfc,r = Ao x fCj0

avec

7(0) « 1

On en déduit la nouvelle fréquence de coupure à —3 dB , selon : fc,r ^ Aq fc^ b) Limitation en fréquence du montage amplificateur inverseur Considérons le montage amplificateur inverseur avec l'AO réel (Fig. 8.41). En supposant l'AO idéal, on avait établi l'expression suivante du facteur d'amplification : . _ Us _ Rl Ai — — —— Up R Appliquons le théorème de Millman successivement aux points 5* et E de ce montage, dans lequel l'AO est réel : i) au point S Ae/Rs-e/Ri lh=

f AR^ - Rs\ £

i/^ + i/M (ATAj"-6

pmsque

ii) au point E, en négligeant le courant de polarisation sur l'entrée inverseuse de l'AO : _ ue/R\ + us/i?2 1/E, + I/E2

292

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

x: R H

1— Ae

1+ 777/

7777 7777 FIG. 8.41.

7777

On en déduit le facteur d'amplification : AR2 (1 A- A)

Ro

soit ; 7-(0) !(/■) =

i +if/fc.

avec

r(0) = -

AoRi R\(1 + AQ) + i?2

-TT

et

Aofc^O fc,r

i+Ri/Rx ~ i + ino)!

Remarque : Pour R] = R2 = R, avec R de l'ordre de quelques kfi compatible avec la non-saturation en courant, on obtient un facteur d'amplification stationnaire r{0) = — 1 et une fréquence de coupure fc^ = {Ao/c,(,)/2. Ce montage se comporterait donc comme un montage suiveur inverseur, avec une bande passante à — 3 dB deux fois plus faible que celle relative au montage suiveur. V. 2. — Vitesse maximale de balayage a) Mise en évidence Appliquons à l'entrée d'un montage amplificateur non inverseur, pour lequel Au = 10, un signal de forme carrée, d'amplitude fixée. Si on augmente la fréquence du signal d'entrée, on constate, à partir d'une certaine valeur, que le signal de sortie se déforme pour prendre une forme trapézoïdale avec des pentes finies, environ 20 V • |jls_1 pour un AO TL081 et 0,5 V - (xs-1 pour un AO LM741 (Fig. 8.42). Ainsi, en valeur absolue, la pente d ufi d t du signal de sortie, qui représente la vitesse de variation du signal us{t), est limitée par une valeur vm finie :

max

d ir. dr

A Vr.

Cette vitesse vm est appelée la vitesse maximale de balayage. Comme les droites de montée ou de descente du signal ne sont plus verticales, on dit de façon imagée qu'elles ont subi un pivotement autour du point de variation de la tension, d'où le nom anglais slew rate qui signifie vitesse de pivotement. Pour un signal sinusoïdal de fréquence fi (Fig. 8.43), ue = ue,m cos(27r/r), la réponse d'un montage de fonction de transfert Tif) a pour expression : «sW = \T{fi)\Ue,m COS {ItTfiî + fif)

Amplificateur opérationnel : montages de base

Aus(V)

Ue (V)

293

Us (Y)

f^(V)

r- 10 1-

-1 10 l

FlG. 8.42.

FlG. 8.43.

dans laquelle |ZK) | est le module de la fonction de transfert de F AO en boucle fermée, à la fréquence fi, et (f)s l'argument de T(fj). La non-saturation en vitesse implique : 2^1 Ue,m \Z(fi)\ < Vm d'où la contrainte à respecter sur l'amplitude du signal d'entrée : Vm m <

"'•

2^. m)

Cette condition s'ajoute évidemment à celle de non-saturation en amplitude ue^m < Usaî/\Tifi)\. Remarques : 1) En régime sinusoïdal, la saturation en vitesse se traduit par une déformation du signal qui prend une forme triangulaire, d'où le qualificatif de îriangularisation donné au phénomène. 2) La vitesse de montée d'un AO est un paramètre très important. En effet, dans le montage suiveur, la bande passante à —3 dB , définie par fCjr = Ao/cv,, peut s'avérer difficilement exploitable sur sa totalité : la non-saturation en vitesse impose une amplitude uejm inférieure à 53 mV pour un LM 741, 200 mV pour un OPA 2604 et 1,3V pour le THS 4062. Ainsi, comme dans le cas du 741, une faible amplitude, et par conséquent un faible rapport signal sur bruit (cf. chapitre 17), impliquent souvent une difficulté dans la détermination de la fréquence de coupure . b) Durée de montée d'un AO Sur la base de l'étude précédente, les constructeurs introduisent une autre caractéristique dynamique de l'AO en boucle ouverte, la durée de montée tm d'un signal. On appelle ainsi la durée mise par le signal de sortie pour passer de 10% à 90% de sa valeur maximale, lorsque le signal à l'entrée de PAO est un échelon de tension ue = EY{t) (Fig. 8.44). Rappelons l'équation différentielle à laquelle satisfait la tension de sortie de PAO en boucle ouverte, lorsque la tension différentielle entre ses deux entrées est E : d ii% Te— h Us = AqE dt

294

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Us(t) AqE0,9 AQE

ue(t)

II

E

0,1 AoE

tl

Te

é

t2

a) FlG. 8.44.

Sa résolution est bien connue (cf. chapitre 4) : / \

t \ = AQE Tc)

r

1 - exp

( V

tw r

c/.

puisque m, = 0 à l'instant initial. En inversant l'expression, on obtient ; t = -tc In

1 -

us(t) A^E

On vérifie évidemment que, pour t suffisamment grand devant tc , on a : iis ze. Aç)E < Usat Désignons par t\ et tj les instants en lesquels le signal atteint respectivement 10% et 90% de sa valeur maximale. On déduit de ce qui précède :

tm = h-t[ = Tc <(-In - In [ l

.

Ain AQE

(r i )

} AoE . J

[

avec %(ri) = 0,10 AqE et ufitfi) = 0,90AqE. Il en résulte la relation suivante entre la durée de montée et la fréquence de coupure du montage :

îm — ^2

t\ — Tc In

(MA 0,lj

In 9 27r/c

soit

ty,

0,35 fc

Remarque : 11 existe aussi des imperfections de FAO en régime stationnaire. Citons les intensités des courants aux entrées + et — , notées respectivement */+ et b?,- » qui assurent la polarisation des transistors de l'étage différentiel d'entrée. Notons également la présence d'une tension de décalage u0f (offset) des jonctions des transistors. Négligées dans le modèle idéal de FAO, ces imperfections peuvent s'avérer néfastes sur la fonction réalisée en boucle fermée (cf. chapitres 9 et 17).

Amplificateur opérationnel : montages de base

295

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) L'AO est un amplificateur différentiel qui fournit une tension de sortie iis lorsqu'on applique entre ces deux entrées la tension e. C'est un composant actif, que l'on polarise par des sources de tension stationnaires en général symétriques Ua et —Ua . Par une rétroaction de tout ou partie de la tension de sortie sur l'une des deux entrées différentielles, non inverseuse (+), et inverseuse (—), il fonctionne soit en régime saturé soit en régime linéaire. 2) En régime saturé, la tension de sortie us ne peut prendre que deux valeurs discrètes us{t) = Usat ou us{t) = —USat • Un tel système est largement utilisé comme comparateur, notamment en électronique numérique. 3) En régime linéaire et en boucle ouverte, PAO se comporte comme un filtre passe-bas de fonction de transfert : A0 A(f) = ^= , K>l e 1 +iflfc

dans laquelle Aq est le gain stationnaire de l'ordre de 105 et fc la fréquence de coupure de l'ordre de 10 Hz. 4) En première approximation, on décrit bien PAO en admettant qu'il est idéal, c'est-à-dire que son gain Aq est infini, sa résistance infinie, sa résistance de sortie nulle. Il en résulte que e ainsi que les courants d'entrée sont nuls en régime linéaire. 5) Avec une rétroaction négative, on réalise des montages dont le facteur d'amplification Au est plus faible mais totalement maîtrisé par l'environnement de PAO. En outre, la nouvelle fréquence de coupure fCj est beaucoup plus grande. Les montages amplificateur non inverseur et amplificateur inverseur permettent de réaliser un gain stationnaire respectivement positif ou négatif, déterminé par le quotient de deux résistances. 6) Le montage suiveur est utilisé comme adaptateur d'impédance, notamment dans le but de connecté entre eux divers systèmes sans que la connection ne modifie les caractéristiques de chacun d'entre eux. 7) Avec un ou plusieurs AO, on peut réaliser des systèmes fonctionnels très divers, permettant par exemple de dériver un signal, de l'intégrer, et même de réaliser des composants présentant une inductance en l'absence de bobinage ou une résistance négative.

EXERCICES ET PROBLEMES

P8-1. Fonction de transfert d'un AO en boucle ouverte Un fabricant d'AO annonce un gain stationnaire en tension égal à 120 dB et une constante de temps, rc = 5,3 ras. La fonction de transfert en boucle ouverte de PAO est de la forme :

1. Calculer Aq . Exprimer le facteur d'amplification en V • mV"^1. 2. Déterminer la fréquence de coupure fc de cet AO. Pourquoi la qualifie-t-on de fréquence de coupure à — 3 dB ?

296

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

3. À partir de quelle fréquence, dit-on que cet AO se comporte en atténuateur, et pourquoi ? 4. Calculer la valeur du module et de l'argument de A(f) pour les fréquences /] = 3 Hz et /2 = 300 Hz . P8- 2. Pertes par adaptation d'impédance On estime à 6 dB les pertes dans une prise reliant un ampli-audio à un haut-parleur d'impédance 8 O. On souhaite envoyer une tension us d'amplitude 2 V à l'entrée du haut-parleur. 1. Trouver l'amplitude du signal i{e nécessaire en amont de la prise. 2. Déterminer l'impédance de sortie réelle de l'ampli-audio. 3. Comment peut-on diminuer ces pertes ? P8- 3. Stabilité d'un montage à rétroaction à base d'AO La figure 8.45 représente un amplificateur non inverseur dans lequel l'AO utilisé est polarisé par deux sources de tension symétriques de f.e.m ±15 V . Le fabricant indique la valeur de la vitesse maximale de balayage vm = 0,5 V ■ jxs-1 , ainsi que l'intensité du courant de saturation iS;max = ±20 m A . 1. Donner les conditions auxquelles doivent satisfaire les résistances R\ et Rj , pour que, d'une part l'amplification en tension soit de 40 dB, d'autre part il y ait saturation en tension avant toute saturation en courant. 2. L'équation différentielle caractéristique de l'AO réel s'écrit, avec les notations habituelles : diiç dt

A- us — Aoe

où rc = 1,6 ms est la constante de temps de l'AO et Aq = 104 le facteur d'amplification stationnaire. a) Montrer que le montage est stable seulement si le nœud intermédiaire du pont de résistances est relié à l'entrée inverseuse. b) Estimer la durée de basculement entre les deux états de fonctionnement non linéaire.

Ri A 777/

R2 7777" 7777 Fro. 8.45

>

/?i

V

BX FIG. 8.46.

P8- 4. Impédances d'entrée et de sortie dans le montage suiveur de tension 1. Pourquoi le montage suiveur de tension est-il si apprécié en électronique ? 2. Établir l'expression des impédances d'entrée et de sortie du montage suiveur de tension sachant que l'AO est réel, avec son impédance d'entrée Re et son impédance de sortie Rs. 3. Ce résultat reste-t-il conforme au résultat obtenu avec l'AO idéal ? Justifier.

Amplificateur opérationnel : montages de base

PS- 5. Utilisation d'un mauvais voltmètre

297

web

Dans le montage de la figure 8.46, dans lequel R2 = 80 kfl, /?, = 20 kfl et E = 9 V , on souhaite mesurer la tension UAb entre les points A et B. 1. Établir l'expression de Uab ■ 2. On effectue la mesure en utilisant un voltmètre, que l'on positionne entre les points A et B, en fermant l'interrupteur K. Le constructeur spécifie que la résistance interne du voltmètre vaut 10 kD V-1. Indiquer la mesure affichée par le voltmètre sur le calibre 2 V. Expliquer le résultat obtenu. 3. Proposer un montage à base d'AO permettant d'utiliser ce mauvais voltmètre.

P8- 6. Voltmètre multicalibre On ne dispose que d'un voltmètre dans le seul calibre 2 V, car le bouton de changement de calibre est inutilisable. On souhaite mesurer avec précision des tensions plus faibles. Montrer que le montage de la figure 8.47 permet d'obtenir un voltmètre multicalibre. Préciser la valeur du calibre selon la connexion de l'entrée inverseuse aux nœuds S, A et B.

77 FIG. 8.47.

FIG. 8.48.

P8- 7. Montage amplificateur non inverseur 1. Donner l'expression du facteur d'amplification stationnaire AH du montage de la figure 8.48. 2. On donne la valeur des résistances R\ = 100 kfl, R2 = Ri = Ri = i kfl, ainsi que les tensions de saturation de l'AO, Usat = ±10 V . Trouver la valeur de A;( et déterminer la valeur maximale de E qui évite la saturation en tension du montage. P8- 8. Gyrateur à amplificateur opérationnel Un gyrateur est un quadripôle actif caractérisé par les relations suivantes entre les tensions et les intensités des courants à l'entrée et à la sortie :

A et 7 étant deux nombres positifs (Fig. 8.49a). 1. a) Sachant que A est un facteur numérique, trouver la dimension physique de Y. b) Écrire la matrice de transfert du système.

298

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

c) Établir la relation entre l'impédance d'entrée du gyrateur et son impédance de sortie. 2. On connecte en sortie un condensateur de capacité C et, en entrée, on branche un générateur qui maintient une tension sinusoïdale de pulsation co entre les bornes d'entrée. a) Trouver l'expression de l'impédance d'entrée. Justifier alors le nom de gyrateur et conclure sur l'utilité d'un gyrateur. b) Application numérique pour C = 0,1 fxF et 7 = 1 /2000 S . 3. Dans le montage de la figure 8.49b, l'AO est idéal et la sortie débite dans une charge de résistance Rc . Calculer l'impédance d'entrée du gyrateur en fonction de Rc, Z| et Z2. Conclure pour Z| = Z2 et Rr = 0,2 kfï.

le

ls

1

Z,

k Ue

'

U,

777/ 7777 7777

a)

b)

Fig. 8.49.

P8- 9. Réalisation d'une inductance en parallèle avec une résistance On se propose de réaliser avec un AO un composant se comportant comme une bobine purement inductive (Fig. 8.50). 1. Montrer que l'impédance d'entrée du circuit est équivalente à une inductance en parallèle avec une résistance. Calculer les valeurs de l'inductance et de la résistance pour R\ = 10 kfî, Rj = 10 kfi et C = 1 nF. 2. Comment modifier le circuit pour que le composant soit équivalent à un dipôle RLC parallèle.

Ri

«H

7777 Fig. 8.50.

7777

P8-10. Convertisseur tension-courant Dans le montage représenté sur la figure 8.51a, l'amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire. 1. Établir l'expression du courant ic circulant dans la charge en fonction de la tension d'entrée ue et de R] . Comment améliorer l'architecture du système afin qu'il assure la fonction de conversion tension-courant ?

Amplificateur opérationnel : montages de base

299

2. On réalise le montage de Howland représenté sur la figure 8.51b. Établir l'expression de ic. 3. La structure de la figure 8.51c peut-elle rendre ic insensible à un bruit sur la masse, c'est-à-dire à une fluctuation de faible amplitude de la tension de référence ?

Ri oo ue 7777

Ur 7777

Ri

7777 7777 a)

_

_

D>

^ GO

UeA Us

Us

7777 R\

7777

i

Ue,2 Zc

7777

-

7777

*7

,

Uc

Ur

A

7777

7777

7777 c) Fig. 8.51.

P8-11. Convertisseur d'impédance de Riordan Le montage de la figure 8.52 représente le convertisseur d'impédance de Riordan. 1. Établir l'expression de la tension de sortie iis en fonction du courant d'entrée ie. 2. On choisit Z] = Z2 = Z3 = i? , Zc = r et Z4 est l'impédance d'un condensateur de capacité C. Montrer que l'impédance d'entrée de ce montage, entre le point E et la masse, est équivalente à une bobine dont on précisera l'inductance. Z,

Z3 GO

Ug

Z2

Z4 FIG. 8.52.

300

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

P8-12. Filtre passif suivi d'un AO Un filtre passif est constitué d'une bobine (inductance L = 10 mH), d'un résistor (résistance /? = 5 fi) et d'un condensateur (capacité C = 1 |jlF) en série (Fig. 8.53). La tension d'entrée est une tension sinusoïdale, d'amplitude efficace Ue = l V et de pulsation co . La tension de sortie est celle aux bornes de l'ensemble RC . Ri /?. ue

-L _

R

t>^

+ r

7777 c:

Rr

ï 7777" Fig. 8.53.

7777

1. a) À l'aide d'un raisonnement qualitatif, trouver la valeur de la fonction de transfert Hijco), entre la tension d'entrée et la tension de sortie, d'un tel système utilisé comme filtre, aux fréquences extrêmes (très faibles ou très grandes). Commenter. b) On introduit û>o = (LC)_1//2 , Te = L/R Qi Q = &>o Te . Calculer ces grandeurs en précisant leurs unités SI. c) Établir l'expression de la fonction de transfert Hijco). En déduire Hix) — H{jto), en introduisant Q, sachant que x est la fréquence réduite x =///o ■ d) Tracer l'allure du diagramme de Bode relatif au gain, en fonction de X = 1g a:. Calculer la valeur du gain en tension Gu , successivement pour X = —oo, X = 0 etX = oc. Commenter. 2. En sortie, on connecte une charge Rc = 80, par l'intermédiaire d'un amplificateur opérationnel idéal dont la rétroaction est constituée par les résistances /?i = 1 kO et #2 = 10 kO. On suppose que l'AO n'est pas saturé en courant. a) Justifier sommairement l'intérêt de l'AO en précisant ses fonctions. b) Calculer la puissance dissipée dans la charge, pour x = 2.

P8- 13. Réponse d'un comparateur inverseur à hystérésis à un signal triangulaire La figure 8.54 représente un comparateur inverseur à hystérésis, les résistances R[ et R2 valent respectivement 1 kO et 2,5 kO ; en outre Usat = 14 V. X

7777 Ri

7777" Fig. 8.54.

Amplificateur opérationnel : montages de base

301

1. À quelle condition doit satisfaire la tension d'entrée ue pour que la tension de sortie us soit égale à Usat ? Même question pour que us vaille — Usnt. En déduire le diagramme donnant us en fonction de ue. On trace le graphe iis en fonction de ue en adoptant l'échelle suivante : 1 cm représente 10 V. 2. On applique à l'entrée du comparateur une tension triangulaire symétrique qui varie entre les valeurs —8 V et 8 V pendant une durée totale de 4 ms . Représenter graphiquement les tensions ue(t) et us{t) sachant que sur l'axe des abscisses 1 cm représente 0,5 ms.

P8-14. Utilisation de l'AO OP - 470 On a extrait de la documentation constructeur de l'AO OP — 470 les données suivantes : i) la courbe de gain en fonction de la fréquence en boucle ouverte (Fig. 8.55a), ii) la courbe de gain en fonction de la fréquence en boucle fermée (Fig. 8.55b), iii) la courbe du facteur d'amplification stationnaire en boucle ouverte en fonction de la tension d'alimentation (Fig. 8.55c). (dB) 40

Ua — 15 V

120

Boucle ouverte

Facteur d'amplification

Gu (dB) 5 x 10°Boucle ouverte

Boucle ouverte

IOO-80--

40

60--

20 -

40--

/ (kHz)

20-Hz

lO'-1Ua ( V)

1 kHz a)

MHz

20^-

I 10

I 100

I 1000

b)

I 10000

15

20

c)

FIG. 8.55. 1. Commenter en le justifiant le tracé de la figure 8.55a. 2. Calculer le gain stationnaire Gu en dB pour Ua = 10 V . Même question pour Ua = 15 V . 3. Quelle est la fréquence de coupure /Cj0 de l'AO en boucle ouverte lorsque Un = ISW 7 4. Comment réaliser avec cet AO un filtre passe-bas de fréquence de coupure fc = 20 kHz ? Donner l'expression de la fonction de transfert T(f) du filtre obtenu. 5. Sachant que la vitesse maximale de balayage est vm = 2 W • jxs-1 et que les tensions de saturation sont Usa{ = 12 V et — = —12 V , déterminer l'amplitude maximale d'un signal sinusoïdal à l'entrée du filtre, de fréquence 20 kHz , qui évite la saturation en amplitude et en vitesse.

Amplificateur opérationnel :

compléments

Nombreux sont les systèmes électroniques où l'amplificateur opérationnel est utilisé comme un composant élémentaire : filtres actifs, oscillateurs, convertisseurs analogique-numérique, etc. Nous proposons dans ces compléments d'apporter des précisions sur des systèmes spécifiques, tels que 1"amplificateur à fort gain, l'amplificateur d'instrumentation, l'amplificateur logarithmique compensé en température. On analyse évidemment l'influence des imperfections de l'AO sur les différents montages, notamment l'intégrateur.

I. — AMPLIFICATEUR À TRÈS FORT GAIN Les amplificateurs opérationnels étant des systèmes actifs qui sont alimentés par deux sources de tension symétriques, il convient avant tout de montrer comment l'on réalise une telle alimentation à partir d'une seule source de tension stationnaire. Le caractère différentiel de 1" AO nous impose d'utiliser un système de polarisation avec deux tensions stationnaires symétriques Ua et —Ua avec un point milieu à la masse. 1,1. — Alimentation stationnaire symétrique On peut réaliser une telle source de tension stationnaire bipolaire, à l'aide d'une source de tension stationnaire de f.e.m E comme le montre la figure 9.1. T R +

[>oo

R

Ejl

1 Fig. 9.1. Le premier étage réalise une division par deux de la tension d'entrée = 30 V ; cependant, si on se limitait uniquement à cela, la connexion des deux résistances /? = 10 kfi respectivement en parallèle avec les deux résistances de charge différentes /?cj et Rcp_, romprait cette symétrie.

Amplificateur opérationnel : compléments

303

En ajoutant un amplificateur suiveur de tension (cf. chapitre 8), on sépare les fonctions du premier étage de celles des étages qui suivent. On augmente le courant débité par le système, en connectant, à la sortie de l'AO, un montage push-pull constitué de deux transistors (cf. chapitre 7). En choisissant le point milieu M comme nouveau potentiel de référence, on obtient l'alimentation symétrique EjT. et —E(1 recherchée, capable de s'accomoder de résistances de charges R( \ et R(p différentes. 1.2. — Connexion en cascade de montages à rétroaction négative Les montages avec AO étudiés jusqu'à maintenant n'avaient pas de très grand gain, puisque le facteur d'amplification restait inférieur à 1000, cela en raison des valeurs des résistances compatibles avec les hypothèses AO idéal et courants faibles. Une première solution, immédiate bien qu'onéreuse, consiste évidemment à connecter en cascade deux montages amplificateurs. Considérons donc deux montages amplificateurs non inverseurs connectés en cascade (Fig. 9.2), de facteurs d'amplification en tension respectifs AUi\ et AUj2 ; Ze,\ et Ze,2 sont leurs impédances d'entrée, Zs, i et ZS)2 leurs impédances de sortie. Lorsque l'interrupteur K est ouvert, c'est-à-dire, lorsque les deux montages sont déconnectés, on a les relations suivantes (cf. chapitre 8) : Rç,l — Au^\Ue — ( 1 -|-

^

\^

K

GO

+ Wf,2 7777"

a)

M.

7777

7777 Ri

Ra Ri .77 z.1

Zv,2

K

A AuAUe

eA

b)

Ue,2

Ze2

Aii 2 II e.l T

Fig. 9.2. Lorsqu'on ferme K, ce qui connecte les deux systèmes entre eux, la tension d'entrée ue2 du second diffère alors de la tension de sortie iis^ du premier, en raison de l'impédance d'entrée Ze^ ■ Apparaît en effet une division de tension : _ 2^2 lif? 7 — ry | ry lie 11 2^,2 + ZS! i Il en résulte que : Ur =

A?,2 Ze.2 + Zc 1

AUtxAU:2Ue

d'où

^,2 Al. = — = A,h]AUj2 ue Ze.2+ZsA

304

9. Amplificateur opérationnel : compléments

On voit que le facteur d'amplification de l'ensemble se réduit au produit des facteurs d'amplification des deux systèmes en cascade pourvu que Zep Zs y . Lorsque cette dernière condition est réalisée, il y a adaptation d'impédance pour la tension. Retenons : Au ^ Au^Aup

si

Zep ^ Z5)]

1.3. — Montage avec plusieurs cellules en rétroaction négative La figure 9.3 représente un montage amplificateur avec un seul AO et des résistances dans la gamme du kO . La rétroaction est ici constituée de deux cellules passives en cascade.

7777

A A

7777"

IU

Ri 7777

7777 Fie. 9.3.

Montrons qu'un tel arrangement des résistances autour de l'AO permet d'obtenir un fort gain, au prix évidemment d'une fréquence de coupure plus basse. Pour cela, appliquons le théorème de Millman aux nœuds A et 5 du montage. Il vient, en introduisant les conductances G| , Gi, Gt, et G4 , l'AO étant idéal ; UgG^ + usG] G3 Ua = ub — U- — ue et ub = G3 + G? + G] G a + G3 Il vient, en éliminant ub entre ces deux expressions : «5 _ G4(G3 + G2 + G| Ue

^3(^2 + Gi)

O3G,

ce qui s'écrit aussi : us G4 G2 G4 G2 G4 — = 1+ — + — + — + —x — iie Gi G\ G3 G, G3 Finalement, le facteur d'amplification en tension Au a pour expression, en fonction des résistances : R\ Ri R3 R\ R3 A;( = l + — + — + — H x —R4 /?2 R4 Ri R4 Notons que l'ensemble des deux premiers termes représente le facteur d'amplification du montage non inverseur classique dans lequel on aurait supprimé les résistances Rj et R3 en faisant Ri ~ oc- et R3 =0 (cf. chapitre 8). Ordre de grandeur : pour deux cellules identiques en cascade, telles que R| = R3 = 10 kfl et = ^4 = 1 kfi, on obtient :

, +

ê

= 11

et

= 1 + 10+10+10+(10 x 10) = 131

Expérimentalement, avec de tels systèmes, on a trouvé Ai( « 6,532/0,046 ~ 142 (Fig. 9.4). En choisissant R\ — R3 = 100 kil et ^2 = ^4 = 1 , le facteur d'amplification serait d'environ 10000, ce que l'on ne saurait réaliser avec un amplificateur non inverseur classique, en raison des contraintes qu'imposerait une résistance R\ = 10 MO. L'efficacité de la multiplication des cellules réside dans l'affaiblissement de la rétroaction sur l'entrée inverseuse de l'AO.

Amplificateur opérationnel : compléments

305

MV)

" «.(V) 4,5 ms

6,532 0,046

FlG. 9.4.

II. _ AMPLIFICATEUR D'INSTRUMENTATION Certaines techniques, telles que la suppression du bruit d'un détecteur ou du courant d'obscurité pour un CCD, conduisent à effectuer la différence entre deux signaux très faibles ; il est alors nécessaire de disposer d'une impédance de charge très grande, afin de recueillir une tension suffisante en sortie. Comme ceci n'est pas réalisable avec un montage soustracteur classique (cf. chapitre 8), on utilise un système particulier appelé amplificateur d'instrumentation. Ce dernier est constitué d'un premier étage, bâti selon une structure symétrique, avec deux AO non inverseurs, qui garantissent une impédance d'entrée infinie sur chaque entrée, et un second étage soustracteur (Fig. 9.5). Ces deux étages sont intégrés dans un boîtier et les bornes de connexion de la résistance R variable sont accessibles à l'utilisateur.

r3 UcA 7777

UsA H

n

GO

1 R4

7777

*5

Rl

7777

7777 Soustracteur Us,2 Ue.2 7777

7777 Fig. 9.5.

Supposons que deux capteurs fournissent les tensions ue^ et ue^2 et que l'on cherche à amplifier leur différence : iiCj\ et uc^2 sont les tensions associées aux signaux utiles des capteurs, tandis que la tension umc représente le signal de mode commun associé à une tension additive que l'on souhaite supprimer : UpA — Mme "F tlca

et

Ue 2 — tlmc + Uc 2

306

9. Amplificateur opérationnel : compléments

Le premier étage d'un amplificateur d'instrumentation se distingue d'un montage amplificateur ou d'un montage soustracteur par les deux propriétés suivantes : i) un signal est appliqué sur chacune des deux entrées d'un AO d'instrumentation, ii) le signal utile est amplifié sans que le mode commun le soit, ce qui permet d'éviter une saturation en tension à la sortie du premier étage. On a, dans ces conditions, en appliquant le théorème de Millman aux entrées inverseuses des deux premiers AO, de tensions respectives ue_i et «^2 : Ils, | //?1 ~f" Ue 2/R Ue 1

' ~

1/7?, + 1//?

^

Us,2 /^2 + lie, 1 /R

e

"e'2

et

u

_

1 /7?2 + 1 /R

d'où l'on tire, respectivement :

«.,1 = (^1 + ^ «.,1 -

j «.,2

s,2=

Il vient, en fonction de la différence des signaux utiles iiCi2 ~ mc,i

Us,] = Un,c + UC)2 - ^1 +

(Uc.2 " "c,l )

et

+ :

USj2 = Umc +

+ ^1 +

(llcp " «c.l)

Si les résistances satisfont à la relation R^R^ = R4R6, le second étage fournit en sortie la tension suivante (cf. chapitre 8) :

Re 1 \ Us = — («s,2 " «5,l)

SOlt

^ iis = — n-\

N

I {uCi2 - lie, 1 )

qui est une tension proportionnelle à la différence des tensions des deux signaux utiles, sans le signal parasite de mode commun et donc sans le risque de saturation. Exemple : dans un bolomètre infra-rouge, constitué d'un pont de Wheatstone (cf. chapitre 2), on cherche à amplifier la différence entre la tension du signal électrique associé à un pixel exposé à un flux thermique et celle donnée par un pixel recevant le flux thermique de l'environnement. Or, l'ordre de grandeur des tensions mesurées est de 1 V et leur différence de 1 mV. L'amplificateur d'instrumentation permet de connecter la sortie de chaque pixel à une même charge infinie, ce qu'un montage soustracteur ne pourrait réaliser. En outre, en choisissant dans le montage précédent R[ = R2 = R5 = /?6 — 100 kO , R = 50 kfî et i?3 = 7?4 = 100 kilt, on supprime le signal associé à l'environnement, ce qui permet d'amplifier, sans risque de saturation, la différence de signal utile d'un facteur de l'ordre de plusieurs centaines.

III. — MONTAGES A RETROACTION NEGATIVE AVEC DIODES III. 1. — Modification des niveaux de sortie d'un comparateur Certains AO sont polarisés par des tensions stationnaires non symétriques, unipolaires, 0 et Ua > 0 ,cq qui implique un point milieu, de tension f/fl/2 ; cette tension est équivalente à une composante stationnaire qui risquerait d'être supprimée par tout filtre passe-haut dans le montage.

Amplificateur opérationnel : compléments

307

Pour conserver une polarisation bipolaire symétrique et transformer le signal de sortie bipolaire en signal unipolaire compatible avec les niveaux de tension des circuits logiques, on ajoute au montage comparateur classique (cf. chapitre 8) une diode Zener, dont la tension caractéristique Uz est compatible avec le niveau 1 des circuits logiques (Fig. 9.6). Dans l'exemple considéré, on choisit f/z = 3,3 V . En l'absence de diode Zener, on sait que : i) si £ > 0 soit ue < 0. alors iis = Umt avec | Usat \ < |f/«|, ii) si e < 0 soit iie > 0 alors us = —Usa,. Uz = 5V

oc

777Z

7777 Fig. 9.6.

Lorsque l'intensité ie = ue/R du courant est positive, c'est-à-dire que we > 0, la diode Zener, placée entre l'entrée inverseuse E de PAO et sa sortie S, est passante. La chute de tension Uj aux bornes de la diode passante implique : Ues = Vd

avec

f/,/ = 0,6 V

L'AO est donc en rétroaction négative et fonctionne en régime linéaire. On en déduit : ii- = M_i_ = 0

d'où

Ues = Ud = —us

soit

us = —Ud = —0,6 V

si

ue> 0

En revanche, lorsque l'intensité ie est négative, c'est-à-dire ue < 0, la diode est bloquée : il en résulte, par effet Zener (cf. chapitre 7), que : Ues = —Uz = —us

soit

us = Uz = 3,3 Y

si

ue < 0

On en conclut que ce montage comparateur, auquel on a associé une diode Zener en rétroaction négative, voit ses niveaux de tension de saturation Usat et — f/jaf, modifiés en Uz et —f/j, niveaux de tension compatibles avec ceux des familles de circuits logiques TTL ou CMOS. III. 2. — Montage logarithmique compensé en température On sait que l'amplificateur logarithmique déjà présenté (cf. chapitre 8) était difficilement utilisable en raison de la dépendance de ses caractéristiques avec la température T :

u

*=-

UTla

{ws

avec

Ut =

ksT

En effet Ut est proportionnel à T, alors que I,~ varie comme T3. Dans ce nouveau montage, représenté sur la figure 9.7, les deux transistors bipolaires 7) et 7^ sont appariés : fabriqués dans un même substrat semiconducteur, les intensités de courant de saturation sont identiques. La rétroaction négative sur PAO, effectuée par le transistor Tj , impose une tension différentielle e nulle, d'où il- = 0 . L'analyse du montage s'effectue en considérant successivement deux blocs.

308

9. Amplificateur opérationnel : compléments _L_ Ri

7777 7777

^ y: Uhe

fi. Ube,2

u

+ 7777 Rx R3

7777

7777

II.

7777

7777

FlG. 9.7.

i) La base et le collecteur du transistor T\ sont connectés à la masse : la jonction np collecteurbase est en court-circuit car l'AO impose une tension nulle sur le collecteur. Le transistor % est utilisé comme une diode et l'intensité uelR\ du courant injecté dans le collecteur traverse la jonction pn, base-émetteur. On a donc, en désignant par Uhe,\ la tension base-émetteur du transistor 7j et par îSi\ l'intensité de son courant de saturation : M-ë — Ri

ttbe,[

ic,\ = L,i exp

UT

Jî v d ou

rr i | L,1 ubeA = f/7-ln — \ L, i

en inversant l'expression. ii) Le transistor %_ fonctionne également comme une diode ; l'intensité du courant dans In jonction base-émetteur est donc, avec des notations analogues aux précédentes : Mbe,2

4,2 = 4,2 exp

E

~U+ R~,

Uf

d ou

4,2 iibe>2 = TT r/7- 1In ( — v 4,2

en inversant l'expression. Les tensions ube>\ , ubep et ii+ sont reliées simplement par l'additivité des tensions : 4,24, i \ ll-\- — llhe,2 ~ Uhe I — f/j In ( 7 . V 4,i 4,2/ Les transistors étant appariés, 4,1 = 4,2 , la relation précédente se simplifie donc selon : u+ = f/jln ( ^ ) \ 4.1 /

soit

u+

car

E

\ RlUg

Comme l'amplificateur non inverseur de l'étage de sortie fonctionne en régime linéaire, on obtient finalement : u+ = II- =

R3 /?3 + ^4

Uc

d'où

u.

r3'

\erJ

Ainsi, on réalise la fonction logarithme en compensant la dérive en température du courant de saturation 4 - H persiste néanmoins une variation linéaire avec la température liée à Ut . Remarque : L'utilisation de transistors à la place de diodes ne se justifie que sur le plan pratique, car les transistors appariés disponibles sont bien souvent plus performants que les diodes.

Amplificateur opérationnel : compléments

309

III. 3. — Amplificateur redresseur de tension à simple alternance a) Redresseur à simple alternance Un redresseur simple alternance est un quadripôle qui impose, entre la tension d'entrée ue et la tension de sortie us, la relation simple suivante : uK = u.

si

u* >0

et

Ur =0

si

up < 0

Ces relations peuvent être condensées selon :

us[î) = - ue{t) + \ue{t) |

ce qui implique

us{t) ^ 0

Mise à part sa tension de seuil, la diode T) apparaît comme le composant le plus adapté à cette fonction ; cependant ce défaut sur le seuil peut être corrigé par le montage avec AO de la figure 9.8.

~

V W 1/

«y,0

Us

777/

7777 7777

FlG. 9.8. Analysons ce redresseur simple alternance en distinguant deux cas : i) La diode conduit Comme l'AO est en régime linéaire, us = ue ; en outre, la diode étant passante, l'intensité is du courant qui la traverse est positive. On a donc :

Ue = Us — Rfis >0

d'où

Us = Ue

pOUr

lle > 0

La tension seuil Uj de la diode, qui constituait un défaut de décalage pour un redressement sans AO, se retrouve dans la tension amont us_o , puisque uSjo = us + Ud . H} La diode est bloquée L'AO est alors en boucle ouverte et fonctionne en comparateur à saturation. Le courant à l'entrée inverseuse étant négligeable, la tension en sortie de la diode est nulle : % = 0 . La diode étant bloquée, la tension de sortie usfi de l'AO est inférieure à us ; ce dernier est alors en régime de saturation, d'où: usp = —Usât

ce qui implique

6 < 0

et

ue <0

Testons expérimentalement cette analyse, en utilisant un AO LM 741 avec une charge Rc, laquelle détermine l'intensité du courant qui traverse la diode. Le résultat obtenu est meilleur pour Rc = 1,5 kfi (Fig. 9.9a) que pour Rc infini lorsque l'intensité U du courant est nettement plus faible (Fig. 9.9b).

310

9. Amplificateur opérationnel : compléments

Rc=h5 kQ.

K (V)

u

AO 741 5,5

5,5

/?f. infini

K (V)

s (V)

VV)

AO 741 5,5

5.5

u.. W

,

7' /T = 0,2 ms't

^ 7' /T - 0,2 ms\

u

e\

-5,5

-5,5

-\r*:

-5,5

1

-5,5 -*■ t

a)

b) FIG. 9.9.

b) Amélioration du montage On constate qu'une légère distorsion du signal sur l'alternance positive persiste; cette distortion n'apparaît pas si on utilise l'AO OPA 2604, connecté sur la même charge Rc = 1,5 kO (Fig. 9.10). C'est ce que nous nous proposons d'analyser. Rc= 1,5 kQ AO 2604

" MV) 5,5

V) 5,5

u.. •*

7 /T = 0,2 ms\ -5,5

-5,5

t Fig. 9.10. Lorsque la tension d'entrée ue augmente depuis une valeur négative, pour laquelle us$ = —Usat, elle prend une valeur nulle, puis légèrement supérieure à zéro ; la tension de sortie us_q bascule alors de — USat vers la valeur positive de la tension d'entrée ue. Il en résulte une forte variation d'amplitude du signal de sortie, en une durée très brève, alors que PAO présente une vitesse maximale de balayage vm (cf. chapitre 8). En comparant les vitesses maximales de balayage des deux amplificateurs utilisés, on constate que celle de l'OPA 2604 est cinquante fois plus rapide que celle du LM741. Cette remarque permet de justifier la différence des comportements observés .sur les figures précédentes. On peut réduire l'influence de vm sur le signal de sortie, en modifiant le montage à l'aide d'une seconde diode V connectée en inverse, comme sur la figure 9.11a, où uS)q = —Ud lorsque ue est négatif. La transition en tension est alors plus faible lorsque ue change de signe. Cette distorsion que l'on avait observée sur la figure 9.10, est supprimée, y compris en utilisant un AO 741 pour lequel vm est assez faible, avec un signal d'entrée non sinusoïdal (Fig 9.11b).

Amplificateur opérationnel : compléments

311 Rc= 1,5 kl2 AO 741

(V) 5,5

,x

-, >

V' A

V >

5.5

o-r = o. 2 qis

Ws,0

7777 777/

«.(V)

-5,5 7777 7777

r b)

a) FIG. 9.11.

III. 4. — Détecteur crête Transformer le montage précédent en détecteur crête, dont le rôle est de prélever la valeur maximale de la tension de sortie, n'est pas envisageable en pratique. En effet, si on avait stocké la valeur crête de la tension us à l'aide d'un condensateur placé comme une charge du circuit, on observerait une décroissance de us lorsque la diode est bloquée. Ce phénomène, qui a tendance à s'accentuer pour les valeurs de capacité de quelques nF, est lié à l'existence de courants aux entrées de F AO. Aussi, pour des applications nécessitant un fort courant à la tension crête, privilégie-t-on le montage de la figure 9.12.

E

-

\>

7777 H/'

C2 7777 7777

7777 FIG. 9.12.

La présence de la diode Vi impose un seul sens de circulation du courant dans le condensateur de capacité C. Après un régime transitoire, la tension aux bornes du condensateur, de capacité C, s'établit comme suit, si iie{t) = ue,mcos(cot) : lt+ — Me,m ~ Ud,\ La diode V2 doit être toujours passante, de façon à maintenir une rétroaction négative sur l'AO ainsi qu'un régime linéaire, ce que permet la source stationnaire de f.e.m E. Il en résulte : e=0

d'où

u+ = m_

avec

u+ = ue^m —

et

«_ = us — £7^,2

On en déduit : Us = lie,m + Ud,l — UdA

SOit

Us = Ue,m

si les tensions aux bornes des diodes sont égales. Dans le cas contraire, un léger décalage persiste.

312

9. Amplificateur opérationnel : compléments

III. 5. — Redresseur à double alternance a) Montage déduit du redresseur à simple alternance Rappelons qu'un redresseur à double alternance est un quadripôle dont la tension de sortie iis^ est reliée à celle d'entrée ue par l'équation : ~ \^e{t) | Par rapport au redressement simple alternance, celui à double alternance d'une tension périodique provoque un doublement de sa fréquence et de la valeur de sa composante stationnaire. On a vu qu'avec un pont de Graetz, on pouvait réaliser le redressement à double alternance d'un signal sinusoïdal de 50 Hz (cf. chapitre 7). Pour des fréquences plus élevées, on utilise plutôt le montage de la figure 9.13 réalisé à partir d'un redresseur à simple alternance et d'un amplificateur soustracteur.

X

V r.s

î>2 7777

7777

2R 2R

Redresseur à simple alternance

À.

Soustracteur 7777FlO. 9.13.

En effet, les deux signaux redressés, le simple alternance Mr,.r(r) et le double alternance Us,d{t), s'écrivent respectivement, en fonction du signal ue{r) à redresser : *v(/) = 2 WO + KWIl

d,0Ù

"mW = KWI =

2u

r,s{t) - Ue{t)

En multipliant urrS{t) par deux et en soustrayant le signal initial, on obtient bien avec un tel montage le signal redressé double alternance. b) Autre montage Sur la figure 9.14, on a représenté un autre montage redresseur à double alternance. L'analyse s'effectue qualitativement en considérant successivement les quatre états de fonctionnement que définissent les deux diodes V\ et V2 . /j Hypothèse de conduction de Xô et XL L'AOl est en régime linéaire en raison de sa rétroaction négative à travers V\ : 6 = 0. Comme les deux diodes conduisent, on a ; «4 > 11% et ug > ue puisque le courant X traversant Xb est orienté de B vers E et que l'intensité du courant à l'entrée de 1'A02 est nulle. On en déduit, le fonctionnement idéal de 1'A02 impliquant ug = uf : 11 a > ue

et

ua > up

De ces inégalités, il en résulte, d'après la loi des nœuds, que la diode T)\ ne peut être passante. L'hypothèse de conduction des deux diodes doit donc être exclue.

Amplificateur opérationnel : compléments

R

E

313

V

oo

UA

AGI

A02

7777 7f77

7777

7777

UR 7777 FIG. 9-14. ii) Hypothèse de blocage de V[ et V2 Si V\ et V2 ne conduisent pas, il n'y a pas de rétroaction sur F AOl. Ce dernier fonctionne donc en régime de saturation avec uS)\ = ±Usa!. Or : si

11 s 1 = U.ml

V-y

conduit

et

si

m,s-1 = —Usa,

"Ci

conduit

L'hypothèse du blocage des deux diodes doit donc être écartée. iii) Hypothèse de la diode T>i passante et de la diode T>2 bloquée On a, ici, *2 = 0 puisque XA ne conduit pas et qu'il n'y a pas de courant à l'entrée de rA02. En outre : Ua i\ = 4 avec ie = — et i\ = —— ~R puisque ue = 0 . Comme up = us =

= 0, on en déduit :

4 >0

ue > 0

d'où

uA = —ue < 0

L'A02> monté en amplificateur inverseur, donne alors, si iie > 0 : ht g

hlg

À l'alternance positive, le signal de sortie recopie le signal d'entrée. iv) Hypothèse de la diode Î>| bloquée et de la diode X4 passante Dans ce cas, on a :

u b 12 = — >0 R

et

iip = ub > 0

puisque «£: = 0 et qu'aucun courant ne pénètre dans l'AOX. L'application du théorème de Millman aux nœuds E et F, entrées des AO, donne : 0

uelR

Ub/R "F Upf {2R)

l/i?+ l/i?+ 1/(2/?)

ue/R

3ug j {2R)

1//?+ 1//?+ 1/(2/?)

et

iip —

usl R l/R + 1/(2/?)

On en déduit, si ue <0 : 3 ue — --Ug < 0

avec

3 us = - iip

s

d'où

3 us = ~ub = ~ue

la sortie recopie le signal sur l'alternance négative. Ainsi, les relations établies dans les hypothèses iii) et iv) confèrent au montage la fonction de redresseur à double alternance, sans influence des tensions de seuil des diodes.

314

9. Amplificateur opérationnel : compléments

IV. — INFLUENCE DES IMPERFECTIONS DE L'AO On sait que, dans un amplificateur opérationnel, l'étage différentiel d'entrée est réalisé avec deux transistors (cf. chapitre 8). Désignons par ^,+ et 4,- 'es intensités des courants de polarisation, qui pénètrent respectivement par les entrées + et — de l'AO, et par u0f la tension de décalage (offset) ; avec deux transistors bipolaires, u0f est la tension base-émetteur de la paire différentielle d'entrée. Les courants de polarisation varient, selon le type d'amplificateur, de 100 pA à quelques pA, alors que la tension de décalage peut atteindre quelques mV. Aussi, négligées en première approximation, dans le modèle idéal de l'AO, ces grandeurs doivent-elles être prises en compte dès que l'on souhaite affiner l'analyse. IV. 1. — Influence des courants de polarisation dans un montage inverseur Dans un montage inverseur, on évalue cette influence en introduisant une tension de bruit en sortie, notée Ui,tS (cf. chapitre 17), donnée pour une tension d'entrée ue nulle (Fig. 9.15). Z2

r*H JT

Ub.s 7777

Z3 7777

7777

FIG. 915. Exprimons les tensions u+ et «_ : 11+ — —Z^ib^

et

U— —

jZi

ib,—

1/Z, + 1/Z2

en appliquant le théorème de Millman au nœud E. Le régime étant linéaire, il vient : ,, S d ou

u+ = m_

ry . Z\ {llb s ~ Zllb,— ) - z3ib}+ = Zi + Z2

Ainsi, la tension Ub^ , qui représente l'erreur sur le signal de sortie, a pour expression : ry • Mb,s — ^2^b,—

Z3 (Z, + Z2) . ^ tb,+ Zi

Dans les documents fournis par les constructeurs, on donne le courant de polarisation moyen ip et le courant de décalage i0f , définis comme suit : l

p—

lb,+ + 4,2

.

. 1. L/ — \lb,+

. | h,— \

l

Si l'étage différentiel d'entrée présentait une symétrie parfaite, on aurait évidemment i0f = 0. Ces courants de polarisation se déduisent des paramètres précédents, selon, pour 4,+ > 4,- : 4,+ — lp

^

— lp

^

avec

4

4/

Amplificateur opérationnel : compléments

315

L'influence des courants de polarisation sur le signal de sortie se traduit donc par le signal d'erreur uh^ : Mb, s —

z?-

Z3 (Z, + Z2)

Z2 +

l

p

z,

Z3(Zi +Z2) z,

lof y

avec

. . ip > iof

L'erreur est sensiblement réduite si : Z2 - Z3 ,

Z,

^ Z,

Z2

=0

. soit

Z3 =

ZjZ? Z| + z2

La connexion de l'impédance Z3, d'une valeur égale à Z\ et Z2 en parallèle, équivaut à restituer la symétrie externe de l'étage de polarisation, puisque sur l'entrée inverseuse, Z\ et Z2 sont en parallèle. Lorsque la condition précédente est réalisée, un écart persiste cependant : Mb,s —

Z,2lof

L'influence de cette tension d'erreur résiduelle dépend du système considéré. i) Dans un montage amplificateur inverseur, de fort gain, c'est la résistance R2 qui conditionne le gain stationnaire —/?2//?i où R\ représente l'impédance d'entrée du montage qui doit être assez grande, de l'ordre du kO . Comme l'intensité i0f du courant de décalage varie entre quelques pA et une dizaine de nA, l'erreur lit,s sur la tension stationnaire liée au courant de polarisation est de l'ordre du mV. ii) Appliquons à l'entrée du montage intégrateur inverseur pour lequel Zj = /? et Z2 = 1 /{jCco), avec par exemple /? = 15 kfi et C = 150 pF, un signal d'entrée de forme carrée, d'amplitude t/o = 1 V, de valeur moyenne nulle et de fréquence / = 23 kHz. Les résultats de l'analyse faite en supposant l'AO idéal sont expérimentalement confirmés : le signal de sortie est intégré et sa pente est de signe opposé au signal d'entrée ; alors que la valeur théorique de cette dernière était C/q/(RC) = 0,44 V ■ jjls-1 , celle mesurée est 0,438 V ■ jjls-1 (Fig. 9.16a). En revanche, le signal de sortie présente une composante stationnaire importante qui peut être filtrée en aval du montage, avec par exemple un filtre passe-haut, de fréquence de coupure 10 Hz , réalisé par une cellule CR, dans laquelle C = 150 nF ti R = 100 kli. Une fois cette composante supprimée, on note cependant par endroit une saturation du signal de sortie, laquelle produit une dissymétrie (Fig. 9.16b). (V)

Us (V)

Us (V)

fie (V)

1--,

■

43 as

T = 43 jjls

2,6

-4 -1 -13,4 -7,6 t

t

a)

b) Fig. 9.16.

La compensation des courants de polarisation, par la connexion d'un réseau, constitué par la résistance R en parallèle avec C sur l'entrée non inverseuse, ne suffit pas, puisque l'erreur de tension

316

9. Amplificateur opérationnel : compléments

ubs = —i0f/(jC(o) est intégrée, et par conséquent évolue au cours du temps, d'où la saturation du signal de sortie, en dépit d'un courant i0f très faible. Rappelons que la solution adoptée dans l'étude introductive du montage intégrateur (cf. chapitre 8) consistait à placer une résistance R' en parallèle avec le condensateur de contre-réaction ; elle pallie ce défaut car le courant i0f n'est pas intégré, même si une tension de décalage —R'i0f/R persiste. Le montage se comporte comme un intégrateur inverseur pour des signaux d'entrée de période T
%e(V)

^ (V)

T = 44 (JIS rn

rn

r~i

ri

Ue (V)

(V) T = 178 jjls

r

—l

13,7

I -1

I

-- 13,7

4,5 w a)

b) Fig. 9.17.

IV, 2. — Influence de la tension de décalage La tension de décalage u0f a des effets sur les montages à comparateurs, mais aussi sur les montages à rétroaction, où elle peut entraîner une valeur moyenne non nulle du signal de sortie. Dans l'exemple précédent du montage amplificateur inverseur (Fig. 9.15), la tension de décalage provoque une tension d'erreur : Ub,s - - (l +

U0f

Dans le montage intégrateur, la solution consistant à placer une résistance R' en parallèle avec le condensateur permet de ne pas intégrer la tension de décalage qui est stationnaire (Fig. 9.18). Persistera néanmoins l'erreur : R' Ub,s - - I 1 + ) %

Amplificateur opérationnel : compléments

Ue (V)

317

«s (V)

(V)

«e (V) r I

Lt 7" = 140 ixs

■ 7~=| 40 as 1

4,25

2,5 -6 L

I

J

'

-4.25

t

t

b)

a) Fig. 9.18.

Dans certains AO on peut annuler cette tension de décalage u0f en intercalant une résistance variable entre les deux bornes extérieures de réglage « balance » ou « offset null » (Fig. 9.19a). On obtient alors un signal intégré idéal (Fig. 9.19b). Avec compensation _

«C- V)

>

7 = 43 pis

MV 4,25

2 — 7777 t ioo ka

10 kO

-6,5 Us{V)

H/' W/ // é_-V

n// W/ w V

*\// W/ w V

L— -4,25

Sans compensation b)

a) FIG. 9,19.

Remarque : Tous les AO n'offrent pas la possibilité d'un réglage externe de la tension de décalage. On privilégiera donc, dans le choix de F AO, une faible tension de décalage ou, sous réserve de ne pas altérer la fonction réalisée, on placera un filtre passe-haut à la sortie. Par exemple, l'intégrateur décrit plus haut, réalisé par un AO type 2 604 avec compensation de courant, aura sa tension de décalage compensée par un filtre passe-haut de fréquence de coupure 10 Hz (Fig. 9.19b). Résumons les étapes dans la réalisation d'un montage intégrateur à l'entrée duquel la tension appliquée est un signal d'entrée carré, de période T, d'amplitude Uo et de valeur moyenne nulle (Fig. 9.20) : i) on fixe la résistance R connectée sur l'entrée inverseuse qui joue le rôle d'impédance d'entrée du montage et doit être au minimum de 1 kfl, ii) on choisit la capacité C qui détennine avec R la pente de l'intégrateur qui vaut UqI{RC) en valeur absolue,

318

9. Amplificateur opérationnel : compléments

iii) on compense l'intégration des courants de polarisation en plaçant une résistance R' en parallèle avec le condensateur. Il s'en suit une condition sur la période T des signaux d'entrée : T ue 7777

+ 7777

Us 7777

Fig. 9.20.

IV. 3. — Tableau comparatif des amplificateurs opérationnels Selon les modèles d'AO, les paramètres caractéristiques diffèrent. Dans le tableau 9.1, on a rassemblé les grandeurs caractéristiques typiques de l'AO idéal et de quelques composants réels. Remarque : Les fabricants ne précisent que très rarement la valeur de la fréquence de coupure fCj0 en boucle ouverte. Les valeurs que nous donnons ici sont déduites de l'équation Aq = ft qui suppose que l'AO ne comporte qu'une seule fréquence de coupure, caractéristique d'un système d'ordre un. Ainsi, la constante de temps rc = 1 /(27rfc/)) vaut 21 ms pour l'AO 741.

Valeurs typiques

AO idéal

Nombre d'AO

LM 741C

TL 081

TL 071C

OPA2604

THS4062

1

1

2

2

2

i2à ±18 V ± 3,5 à ±18 V ± 3,5 à ±18 V ± 5 à ±24 V ± 9 à ±16 V

±Ua

±ua

Ao

oo

200 V ■ mV_1

100 V • mV-1

200 V-mV"1

100 V • mV-1

15 V-mV"1

GM(dB)

oo

106 dB

100 dB

106 dB

100 dB

83,5 dB

ft

oo

1,5 MHz

4 MHz

2 MHz

20 MHz

50 MHz

fc,o

oo

7,5 Hz

40 Hz

20 Hz

200 Hz

3 333 Hz

Rc

00

2 x io6n

1012D

iol2a

10l2a//8 pF

106n//2 pF

h,inax

oo

25 mA

20 mA

40 mA

35 mA

115 mA

Ip

0

80 nA

50 pA

65 pA

100 pA

3 jxA

lof

0

20 nA

25 pA

5 pA

4 pA

75 nA

U0j

0

2 mV

Vm

oo

15 mV

0,5 V-ixs"

1

13 V ■ |xs

-1

Tab. 9.1.

3 mV

1 mV

16 V-ijls"

1

2,5 mV —

25 V • jxs '

400 V • JJLS-1

Amplificateur opérationnel : compléments

319

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) On peut étudier séparément des montages à rétroaction négative et en déduire le facteur d'amplification en tension de l'ensemble connecté en cascade, en multipliant entre eux les facteurs de chaque montage, pourvu que l'adaptation d'impédance en tension soit réalisée. 2) Il est possible de réaliser des montages à un seul AO possédant un fort gain, grâce à une rétroaction négative constituée de plusieurs cellules passives connectées en cascade. 3) Un amplificateur d'instrumentation amplifie la différence de tension entre deux signaux, en respectant la symétrie des deux étages d'entrée. On l'utilise pour des applications de traitement de signaux, lorsque le rapport signal sur bruit est faible. 4) Associés à des diodes, les montages à rétroaction négative réalisent des fonctions non linéaires : amplificateur logarithmique compensé en température, redresseur, détecteur de crête. 5) L'analyse des imperfections des AO dépend des applications. Par exemple, avec une structure à fort gain, on privilégiera le choix d'un AO ayant une faible tension de décalage. Quant aux courants de polarisation des transistors de l'étage différentiel d'entrée d'un AO, on peut neutraliser leurs effets en veillant au respect de la symétrie électrique du montage.

EXERCICES ET PROBLÈMES

P9- 1. Détermination des caractéristiques d'un AO On utilise un AO dont la courbe de réponse en fréquence, dans le diagramme de Bode, est celle représentée sur la figure 9.21. Ses impédances d'entrée et de sortie sont des résistances : Re = e/L = 100 kO et Rs = ujix = 100 O. 1. Déduire du diagramme de Bode, relatif au gain en boucle ouverte de PAO, le facteur d'amplification stationnaire Aq et la fréquence de coupure fC:0 à —3 dB . 2. Donner l'expression du facteur d'amplification en boucle ouverte A{f) . En déduire la valeur en dB du gain en boucle ouverte de PAO, à la fréquence /Ci0 . f G„(dB)

10

102

103

104

105

10^ /(Hz)

Fie. 9.21. 3. On souhaite réaliser un montage amplificateur non inverseur de gain stationnaire Gu = 40 dB . Proposer un schéma de câblage électrique ; on respectera le code des couleurs : masse en noir avec câblage en étoile, alimentation positive en rouge, alimentation négative en bleu ; on supposera en outre que le brochage est le même que celui de PAO LM741 (cf. chapitre 8).

320

9. Amplificateur opérationnel : compléments

P9- 2. Montage suiveur de tension Un AO, monté en suiveur, est alimenté par deux sources de tension symétriques ±10 V. Les courants de polarisation sont nuls, la vitesse maximale de balayage vaut vm = 0, 5 V • jxs_l , l'intensité du courant de saturation est = ±20 mA, le facteur d'amplification stationnaire Aq = 104 et la constante de temps tc = 1,6 ms . 1. a) En supposant l'AO idéal, trouver le facteur d'amplification stationnaire en tension r(0) du montage en boucle fermée. Citer trois limites d'application de l'expression établie précédemment. b) Établir l'expression de la fonction de transfert T(f ) du montage, en précisant la valeur de la fréquence de coupure /cv à —3 dB du montage. 2. Quelle est la tension de sortie us{t) de ce montage, en régime établi, lorsque la tension d'entrée a pour expression : ue{t) = ue^mcos{27Tfit)

avec

iie>m = 12 V

Étudier successivement les trois cas suivants : /i = 1 kHz, f2 = \ MHz et /s = 10 MHz, on négligera la limitation due à la vitesse maximale de balayage de l'AO. 3. Dans la bande passante de l'AO, en régime sinusoïdal, établir la valeur maximale de l'amplitude compatible avec une non-saturation en vitesse. Quelle influence ce résultat a-t-il sur les résultats précédents ? En déduire un critère de choix de l'AO. 4. En négligeant l'influence de la vitesse maximale de balayage, détenniner la tension de sortie us{t) de ce montage lorsque la tension d'entrée est un échelon de tension : ue{t) = EY{t) avec E = 8 V.

P9- 3. Amplificateur inverseur et amplificateur suiveur Sur la figure 9.22, dites laquelle des quatre affirmations suivantes est correcte ; i) les deux montages ont la même fréquence de coupure et un facteur d'amplification stationnaire respectivement égal à — 1 et 1, ii) les deux montages ont un facteur d'amplification respectivement égal à —1 et 1 et une fréquence de coupure respectivement égale à /c et 0,5/c , iii) les deux montages ont un facteur d'amplification respectivement égal à —1 et 1 et une fréquence de coupure respectivement égale à 0,5fc et fc , ïv) les deux montages ont des facteurs d'amplification stationnaires égaux. 10 kO 10 m

[>00

—[

+

ii +

7777

7777

7777 FIG. 9.22.

7777

7777

Amplificateur opérationnel : compléments

321

P9- 4. Extracteur de racine carrée Le multiplieur de la figure 9.23a, qui fonctionne avec des tensions d'entrée bipolaires, réalise la fonction multiplication du composant AD835 : Ws = Km{X[-X2){Yx-Y2) + Ue 1. Quelle est la dimension physique du coefficient Kin , sachant que X\ , X2, Y\ et Yj sont des tensions ? Exprimer 11$ en fonction de Ua ■ s m 2. Etablir la condition pour que le montage de la figure 9.23b soit équivalent à celui de la figure 9.23a, dans lequel on souhaite obtenir, pour Us, la même relation que celle déterminée précédemment pour Uç). X, 77/7 K I AD835

X

Ri

X Ua 7777

7777

u Uo 7777

2R

?

X2 Y\ Yi 7777

a) Fig. 9.23.

P9- 5. Réalisation d'un oscillateur contrôlé en tension -web. Dans le montage de la figure 9.24, on suppose que les AO sont alimentés par deux tensions symétriques (non représentées) égales à ±15 V . Les imperfections de l'AO provoquent des tensions de saturation non symétriques avec Usa,t+ = 12 V et Usa!^ = —9 V . Les valeurs des composants sont les suivantes ; /?i = 1 kO, R2 = 3 kfî, /? = 10 kO , C = 0, 1 jjlF . 1. Quels sont les deux types de montage à base d'AO ? 2. a) Tous les interrupteurs étant ouverts, on ferme les deux interrupteurs Ko et Kj à l'instant t = 0, alors que u2 = Usat- et us = 9. Trouver la forme du signal us et calculer sa période en estimant le rapport cyclique à l'état haut. 2. b) Montrer que la période des oscillations a pour expression T = ARCR\IR2 si les seuils de saturation sont symétriques ( \ USat,-\ = Usat,+ )• En déduire le nouveau rapport cyclique et proposer une solution technique pour réaliser la symétrie des seuils de saturation. 3. Dans un multiplieur, la tension de sortie us est reliée aux tensions d'entrée uet\ et uet2 selon iis = Km ue,\uep . Les seuils de saturation sont symétriques et Km = 1 SI. On ouvre K2 et on ferme les deux interrupteurs K\ et K\ en conservant Kq fermé. Exprimer la période du signal us en fonction de ue . Conclure sur la fonction obtenue, en donnant votre avis sur l'endroit où se trouve placé le multiplieur.

322

9. Amplificateur opérationnel : compléments

K X a:.

A,

Ao A2 x

co "2 7777

7777 7777

7777

Fig. 9.24.

P9- 6. Amplificateurs connectés en cascade L'amplificateur opérationnel, utilisé dans les deux cellules identiques de la figure 9.25, est caractérisé, en boucle ouverte, par les données techniques suivantes : i) le facteur d'amplification stationnaire vaut Aq = 104 et la constante de temps tc>0 = 1,6 ms, ii) les impédances d'entrée et de sortie se réduisent à des résistances, de valeurs respectives Re = 100 kfi et Rs = 100 0. Il est en outre précisé que les seuils de saturation en tension sont symétriques, avec AzUsat = ±10 V , et que les résistances R\ et Rj valent respectivement R\ = 100 O et R2 = 10 kO. 1. L'interrupteur K est ouvert. a) Calculer le facteur d'amplification Au = u^\/uej de l'AO supposé idéal, en boucle ouverte. b) En utilisant la conservation du produit facteur d'amplification par la bande passante, trouver la fréquence de coupure /C)r à —3 dB et la constante de temps TCjr du montage. c) Tracer le diagramme de Bode relatif à la représentation asymptotique du gain Git de l'AO en boucle ouverte et en boucle fermée. 2. On connecte en cascade les deux cellules en fermant l'interrupteur K. a) Établir le facteur d'amplification global T(f ) = uxp/uej du système. b) Calculer le facteur d'amplification stationnaire et la constante de temps r du système. c) Tracer sur un même graphe le diagramme de Bode relatif à la représentation asymptotique du gain du système et d'une seule cellule. Pour quelle fréquence a-t-on une chute de 3 dB du gain ? 3. En supposant H(jù)) de la forme :

H(Jw)

H{0) (1 ±j
trouver, par la transformée de Laplace, la réponse indicielle usp {t) que fournit le système, lorsque la tension d'entrée ueji{t) est un échelon, d'amplitude E.

Amplificateur opérationnel : compléments

323

oo

K +

UeA

7777

U

e,2 7777

7777

R

-

U

S,]

OoD V

r2 u

s.l

Ri

7777 X Fig. 9.25.

P9- 7. Montage comparateur avec rétroaction positive Dans le montage représenté sur la figure 9.26, où les AO sont idéaux et alimentés en tensions bipolaires, on a introduit un montage amplificateur inverseur dans la chaîne retour du montage comparateur. y* Etablir la relation entre ue et us. Le choix du type d'AO conditionne-t-il la relation obtenue ? Justifier.

ue

'

7777

io m 10 kfl

Us 10 kO

10 kO

7777

^ -

Fig. 9.26.

P9- 8. Analyse d'une fiche technique d'AO et montage non inverseur 1. A partir de la fiche technique de l'amplificateur opérationnel OPA 2604 (Fig. 9.27), estimer les valeurs du facteur d'amplification stationnaire et de sa constante de temps. 2. On se propose de réaliser un montage amplificateur non inverseur, de gain stationnaire 40 dB en utilisant PAO OPA 2604. a) Trouver la fréquence de coupure de ce montage. b) Calculer la valeur minimale de la résistance de charge Rc compatible avec le courant de saturation. c) Quelle est la tension maximale autorisée en entrée pour laquelle le phénomène de saturation en amplitude est évité ? 3. A l'entrée, le signal est sinusoïdal, de fréquence fc . Déterminer la valeur maximale de son amplitude afin que la vitesse maximale de balayage ne soit pas atteinte. Peut-on visualiser expérimentalement cette limitation ?

324

9. Amplificateur opérationnel : compléments

SPECIFICATIONS ELECTRICAL At TA = +250C, Vs = 15V, unless otherwise noted. OPA2604AP, AU PARAMETER OFFSET VOLTAGE Input Offset Voltage Average Drift Power Supply Rejection INPUT BIAS CURRENTd) Input Bias Current Input Offset Current

CONDITION

Vs = 5 to 24V

MIN

TYP

MAX

UNITS

5

70

1 8 80

mV pV/0C dB

VCM = 0V Vcm = 0V

NOISE Input Voltage Noise Noise Oensity: f = 10Hz f = 100Hz f = 1kHz f = 10kHz Voltage Noise, BW = 20Hz to 20kH2 Input Bias Current Noise Current Noise Densily, f = 0.1 Hz to 20kHz INPUT VOLTAGE RANGE Common-Mode Input Range Common-Mode Rejection

Vcm= 12V

12 80

INPUT IMPEDANCE Differential Common-Mode OPEN-LOOP GAIN Open-Loop Voltage Gain FREQUENCY RESPONSE Gaini Bandw dlh Product Slew Rate Settling Time: 0.01% 0.1% Total Harmonie Distortion + Noise (THD+N) Channel Séparation OUTPUT Voltage Output Current Output Short Circuit Current Output Résistance, Open-Loop POWER SUPPLY Specified Operating Voltage Operating Voltage Range Current, Total Boîh Amplifiera

Vq = 10V, R L = IkQ

80

G = 100 20Vp p, RL= 1kQ G = —1, 10V Step

15

0 = 1,1 = 1kHz V0 = 3-5Vrms, RL = 1ka f = 1kHz, Rl = IkQ RL = 600Q V0 = 12V

11

100 4

pA pA

25 15 11 10 1,5

nV/^Hz nV/VHz nVAlHz nV/VRz pVp-p

6

fA/vHz

m

V dB

lO12 II 8 lO12 II 10

Q II pF Q II pF

100

dB

20 25 1.5 1 0.0003

MHz V/ps us us %

142

dB

12 35 40 25

V mA mA Q

15 4.5 lo = 0

TEMPERATURE RANGE Spécification Storage Thermal Résistance!2!, gJA

10.5 —25 —40

+85 +125 90

NOTES: (1) Typical performance, measured fully warmed-up. (2) Soldered to circuit boardNsee text.

FlG. 9.27.

24 12

V V mA 0

C C a c/w 0

Amplificateur opérationnel : compléments

325

P9- 9. Résistances parasites et choix du nœud connecté à la masse La mesure de la température d'un corps peut s'effectuer sans contact grâce à un capteur type thermopile, qui transforme, par effet Seebeck, une différence de température en une force électromotrice (cf. Thermodynamique). Une thermopile, de sensibilité 5 = 710 (jlV.K-1 , est connectée à un montage amplificateur non inverseur de facteur d'amplification 100. L'AO est alimenté par une tension unipolaire entre 0 et = 10 V ; l'intensité ic du courant débité est de l'ordre de 7 m A (Fig. 9.28). On assimile la connexion filaire à une résistance parasite Rp de 1,4 fi. 1. Quelles sont l'amplitude du signal parasite et Terreur équivalente sur la température en kelvin, lorsqu'on connecte la masse au nœud M\ . 2. Justifier qualitativement le choix de la connexion des nœuds Mo ou M3 à la masse.

+

1 [>00 i1

Capteur

7777

U -i Mi

H 1M3 Fig. 9.28.

J

10

Filtres actifs

Comme leur nom l'indique, les filtres actifs diffèrent des filtres passifs par la présence d'éléments actifs, généralement des amplificateurs opérationnels, lesquels apportent l'énergie auxiliaire qui est nécessaire pour que la puissance des signaux en sortie soit supérieure, voire très supérieure, à celle des signaux d'entrée. Il en résulte que le gain en puissance des filtres actifs, exprimé en dB, est généralement positif. Les filtres actifs sont caractérisés, comme les filtres passifs, par leurs fonctions de transfert, rapport de la tension complexe de sortie sur celle d'entrée (cf. chapitre 6) : H{jco) =!(/■) = ^ Z-e a) et f = ù)/{27r) étant respectivement la pulsation et la fréquence. Rappelons que ce concept de fonction de transfert n'a de sens que pour les systèmes linéaires. Le filtre amplifie, atténue ou déphase différemment les composantes spectrales d'un signal suivant la fréquence. Dans ce chapitre, on analyse d'abord les différents types de filtres actifs comportant des AO, à partir des expressions canoniques des fonctions de transfert. On présente ensuite différents types de filtres actifs : cellule de Rauch, cellule de Sallen-Key, cellule universelle, ainsi que les filtres à capacités commutées dont la fréquence de coupure dépend de la fréquence d'ouverture et de fermeture des interrupteurs. Enfin, on tennine sur la synthèse de filtre, c'est-à-dire la réalisation du schéma électronique d'un filtre à partir de spécifications précises.

I, _ PROPRIÉTÉS des filtres actifs 1.1. — Classification Rappelons que l'on classe les filtres par leur ordre ou par leur fonction. L'ordre d'un filtre est le degré le plus élevé des polynômes qui pennettent d'exprimer sa fonction de transfert H{jco). Une fois cette dernière connue, les techniques d'analyse de Fourier ou de Laplace permettent de passer du domaine spectral au domaine temporel (cf. annexes 2 et 3). Comme pour les filtres passifs, on distingue quatre catégories principales de filtre : i) le filtre passe-bas qui privilégie les signaux de basse fréquence, ii) le filtre passe-haut qui, au contraire, transmet préférentiellement les signaux de grande fréquence,

Filtres actifs

327

iii) le filtre passe-bande qui ne laisse passer qu'une bande de fréquence, iv) le filtre coupe-bande ou réjecteur de bande qui atténue les signaux dont la fréquence est située dans un intervalle spectral déterminé.

1.2. — Gabarits des différents types de filtres actifs Le gabarit d'un filtre est la zone du diagramme de Bode, avec le gain Gu = 201g tracé en fonction de 1g/, dans laquelle on soumet le graphe donnant le module de la fonction de transfert à des contraintes ; on hachure généralement les régions exclues du diagramme. a) Filtre actif passe-bas Pour un filtre passe-bas, le gabarit a l'allure de la courbe représentée sur la figure 10.1 : pour les faibles fréquences, le gain est important, alors qu'il est faible pour les grandes fréquences. Les caractéristiques d'un tel filtre sont : i) la fréquence de coupure fc avec le gain correspondant Gu(fc), ii) la fréquence d'atténuation fa et le gain associé Gu(fa). On définit la sélectivité d'un filtre par sa capacité à réaliser la fonction assignée sur un intervalle spectral déterminé. Le filtre passe-bas est sélectif si fc et fa sont très proches avec Gu(fa) très inférieur à Gu(fc) ; aussi introduit-on le facteur positif kf, suivant, inférieur ou égal à 1 :

^< i la avec k/y = l pour un filtre passe-bas parfait. 'u i lg/c lg/« 1| l|

ig/

te

ig/

ig/

r

G.— ■ \

m

ig/«

"3

G,,—

ji Fig. 10.1.

Fig. 10.2.

b) Filtre actif passe-haut De façon analogue, on a représenté, sur la figure 10.2, le gabarit d'un filtre passe-haut. La sélectivité est mesurée par le facteur positif k/j, inférieur à 1 :

= 7 < 1 Je avec kh = 1 pour un filtre passe-haut parfait.

10. Filtres actifs

328

c) Filtre actif passe-bande Sur la figure 10.3, on peut voir que le gabarit du filtre passe-bande peut se déduire de la juxtaposition des gabarits d'un filtre passe-haut, de fréquence de coupure /c-i , et d'un filtre passe-bas, de fréquence de coupure fc^ ■ La différence fC2 —fc,\ est la largeur de bande du filtre, c'est-à-dire l'intervalle de fréquence dans lequel les signaux ne sont pas affectés. Aussi, un filtre passe-bande est-il caractérisé par son comportement aux fréquences extrêmes, / = 0 et / = oo . Aussi introduit-on la sélectivité du filtre passe-bande kpb et la largeur de bande relative B, respectivement définies par : fc 2

- ~fcA la,2 Ja, I

kpb =

et

fca

B=

~fc-' JO

/o étant la fréquence centrale du filtre telle que : ir lg/c,2 + lg/c,l 'g/o = 2

SO t

fo

=

r \\/2 (fc,lfc,2) '

Gu

Gu lg/«.l. lg/C,l

lg/c2 }gfa.2

lg/c2

lgfa.2

IgL.I

Ig/cl

G" fa G" fa FIG. 10.3.

Fig. 10.4.

d) Filtre actif coupe-bande Le gabarit de ce filtre, qualifié de réjecteur de bande, est représenté sur la figure 10.4. On le déduit du gabarit de deux filtres associés, l'un passe-bas, de fréquence de coupure /C)2 , l'autre passe-haut, de fréquence de coupure /C)| . La sélectivité du filtre coupe-bande et la largeur de bande relative sont respectivement : j fa,\ fa,2 kch = 7 Jc,\ - Je,2

et

jr, B

faA - fa,2

avec

fo

fo

Remarque : Certains filtres n'introduisent qu'un déphasage du signal de sortie par rapport au signal d'entrée : \H(jùj)\ = 1 ; ce sont des déphaseurs purs. On les utilise comme correcteurs de phase pour résoudre des problèmes d'instabilité dans les systèmes bouclés (cf. chapitre 13). 1.3. — Comportement d'un AO en filtre actif Un exemple simple de filtre actif est fourni par l'amplificateur opérationnel en boucle ouverte ; on sait que l'AO se comporte comme un filtre passe-bas (cf. chapitre 8). Rappelons que sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme caractéristique d'un filtre passe-bas : „(j(0)

=

^ e

=

- "df1 +J{o/ù)c

soit

2f{x) —

^(0) 1

ou

^ / X= — = fc

Filtres actifs

329

représente la pulsation ou la fréquence réduite, fc = 6>c/(27r) la fréquence de coupure de l'AO, H le facteur d'amplification stationnaire, que l'on note souvent Aq dans le cas de l'AO. Ordre de grandeur : pour l'AO OPA 2 604 , ces paramètres fournis par le constructeur valent : ù).~ Ao = 2 x 105 soit Gu - 20 1g Aq = 106 dB et fc= — = 10 Hz Itt 1.4. — Influence de l'impédance de charge Reprenons l'exemple du filtre passif RC déjà étudié (cf. chapitre 6) et rappelé sur la figure 10.5a. On a vu que ce filtre était un filtre passe-bas du premier ordre et que sa fonction de transfert s'écrivait : TI(■ \

1 ur T+isCo)

Hlj<0) =

soit encore

R Ue

H{x) =

1 1+jx

R

7777

C

Ue

c: 7777

Rr T 7777

7777

Us

T 7777"

b)

a)

FIG. 10.5.

En connectant une charge Rc en sortie du filtre, on modifie les caractéristiques du montage de telle sorte que (Fig. 10.5b) : Rcj{\ -f jRcC(o) Rc ~'s

R -\- R,:/(1 + jRcCù)) ~e

R -F Rc + jRRrCoj

puisque, dans le diviseur de tension, ce n'est plus 1 /(JCco) qui intervient mais cette même impédance en parallèle avec Rc . On en déduit la nouvelle fonction de transfert : H{j(o) -

R.

1

//

R + R. [1 +j{R//Rc)Cw\

avec

=

RRc m

On constate qu'apparaissent une nouvelle pulsation de coupure ojc = (R//Rc)C et un nouveau facteur d'amplification stationnaire H(0) = RC/{R + R, ) • Ainsi la charge Rc modifie la fonction de transfert d'un filtre passif. On évite cet inconvénient en connectant la sortie du filtre passif à l'entrée d'un montage suiveur (cf. chapitre 8) ; un tel système, que l'on réalise aisément à l'aide d'un AO (Fig. 10.6), se comporte en adaptateur d'impédance. L'ensemble forme alors un filtre actif dont les caractéristiques sont indépendantes de la charge.

OC'

7777

7777 FIG. 10.6.

T 7777 7777

10. Filtres actifs

330

1.5. — Cascade de filtres passifs séparés par des suiveurs a) Filtres passe-bas identiques en cascade Plaçons en cascade deux filtres actifs passe-bas identiques, tels que le précédent (Fig. 10.7). On supprime ainsi l'influence de la charge sur le facteur d'amplification. oo

7777 7777 Fig. 10.7. Avec des suiveurs de fonction de transfert unitaire (cf. chapitre 8), la fonction de transfert de l'ensemble est le produit des deux fonctions de transfert des filtres passe bas : H(jo>) =

1

1

1 -f 2jù)fo)c — tu2/ co:

(I +j(of(Oc

L'expression de la fonction de transfert réduite est donc la suivante : H{x) =

1 —— 1 — x + 2jx z

avec

0) f x= — = — coc jc

d'où : Gu = 201g |77| = —101g [(1 — x2)2 -(- 4x2]

et

2x

4> = arctan

2

x -l

Sur la figure 10.8, on a représenté les deux diagrammes de Bode donnant le gain et la phase en fonction de X = Igx, avec les courbes asymptotiques. On voit que le gain stationnaire est nul, pour X = 1 , il vaut Gu = —6 dB, et enfin pour X 1 il varie selon la droite asymptote d'équation Gu = —401gx = —40X. ■ (f) (rad)

'G./dB) 0

X = 1g x

0

X= Igx

""-6^

TT/I-

\\ \ \ -40 -

— TT J

\ b)

a) Fig. 10,8. Dans ce dernier cas, le taux de décroissance du gain est de 40 dB • dec AG„ " = —40 AX

soit

AGm = —40

pour

AX = 1

1

, puisque :

et donc pour

Ax = 10

Filtres actifs

331

Le diagramme de Bode relatif à la phase montre que f = —tt/I rad pour X = 0 Qt f ze —tt rad pour X> 1. h) Filtre passe-bas et filtre passe-haut en cascade Sur la figure 10.9, on a représenté deux filtres, l'un passe-bas constitué d'une cellule R\C] avec un AO suiveur, l'autre passe-haut formé d'une cellule C2R2 avec un second AO suiveur. Rappelons que la fonction de transfert du filtre passe-haut C2R2 a pour expression (cf. chapitre 6) : R

rr f . 2{JÙ))

2

_

Ri + l/ijCico)

1

_

l + l/(jR2C2
1 \-jcoc,2/co

x.

_ aVeC

1 R2C2

OO

Ri

7777 7777 FIG. 10.9.

Le critère d'adaptation d'impédance en tension étant respecté grâce aux propriétés du montage suiveur, la fonction de transfert de l'ensemble est le produit des deux fonctions de transfert : 1

= Hiijco) H\ {joi) =

(1 -JÛ>c,2/Û>){1 +j(*>lo>c,\ où tOcj = l/(/?|Ci) et (oC:2 = ]/iR2C2) sont les pulsations de coupure de chaque bloc. Il en résulte, en introduisant les fréquences caractéristiques /Ci 1 et fC)2 : I

d'où

T(f) = (i-jfc.i/m +jf/fc,i)

/ /2 G„ = 201g |I(/)| =-101g I 1 + ^- | - 101g ( 1+^ f f,c,\

Sur la figure 10.10, on a représenté le diagramme de Bode donnant la courbe asymptotique du gain. Cette cascade d'un filtre passe-bas et d'un filtre passe-haut donne un filtre passe-bande. On voit que le gain est maximal et vaut 0 entre les fréquences fCt2 et /Cji , avec /C)2 < fc.\ ■ Les pentes de part et d'autre du plateau à OdB valent respectivement 20dB -dec_I et —20dB dec_l . Gu (dB)

lg/c-,2

-20--

Fig. 10.10.

Ig/cJ

332

10. Filtres actifs

II. — FILTRES ACTIFS D'ORDRE DEUX II. 1. — Sensibilité d'un filtre Même s'il n'y a pas de limite au degré des polynômes qui apparaissent dans la fonction de transfert, il est souvent nécessaire de concilier une très forte pente de filtrage, laquelle exige un ordre élevé, un faible coût de réalisation et une faible sensibilité du filtre. Ce dernier paramètre est essentiel dans le choix de la structure qui réalise la fonction de transfert H(J(o) du filtre. Afin d'illustrer l'importance de la sensibilité d'un filtre, supposons que dans un montage, dont le facteur de qualité a pour expression Q = 0, 5(/?i//?2)1^2 , les résistances choisies dans la série E12 soient connues avec une erreur de 10% . La sensibilité du facteur de qualité du filtre à la résistance R\ est donnée par le rapport des variations relatives de g et i?i ; 7= s

dQ/Q

=dQ_Ri=

dR,/R,

dR, Q

1

R1=\l

MR^yr- Q

2

Ainsi, le facteur de qualité de ce montage varie de 5% lorsque la résistance R\ varie de 10% : ce filtre réduit de moitié l'influence de la variation de l'un de ces composants sur le facteur de qualité. Il existe diverses structures qui conduisent à différents types de filtres d'ordre deux, appelées hiquadraîiques ; seules celles qui ont une faible sensibilité sont présentées dans la suite. Dans les structures étudiées, les AO sont supposés idéaux. Cette hypothèse implique nécessairement que les fréquences de coupure des filtres, construits autour de l'AO, soient inférieures à la fréquence de transition ft de ce dernier (cf. chapitre 8).

II.2. —Cellule de Rauch La structure de la cellule de Rauch présentée sur la figure (10.1 la) est constituée par cinq dipôles passifs d'admittances F/ associées en double rétroaction sur un AO. On dit que l'on a réalisé ainsi une Boucle à Rétroaction Multiple, connue sous l'acronyme MLF (de l'anglais Multiple Loop Feedback).

F4

-

Fs

H/-

c.

X

!

: 7777

R

F5

Fi

ue

Fo

R

R +

C,

777T 7777

[>co

7777

a)

7777"

Us 7777

b) FlO. 10.11.

L'AO étant idéal, la rétroaction négative impose une tension différentielle d'entrée nulle, soit u+ —ii- avec W-}- = 0 (cf. chapitre 8). La fonction de transfert en tension du montage se déduit aisément, en appliquant le théorème de Millman aux nœuds A et F, ce qui donne respectivement : Uji + «çF4 F, + F2 + Fs + F4

et

uE = 0 = -c

UaY2 +«^5 F3 + F5

puisque uE = u+ = 0. On en déduit l'expression .suivante de la fonction de transfert de la cellule de

Filtres actifs

333

Rauch : M (in) = ^ RU 1 Ue

Y5(Yl + Y2-FY3 + Y4)FY3Y4

Selon la nature des admittances F,, résistances ou condensateurs, on réalise un filtre passe-bas, passe-haut ou passe-bande. Exemple : avec Y\ = l/R, Y2 = jC]o), Y3 = X/R, Y4 = 1/R, Y5 = JCjoj (Fig. 10.11b), la fonction de transfert du filtre devient : H(jCÔ}

1 - R^-C^o)2 + jo) 3RC2

En introduisant la pulsation caractéristique û)c = {R2C\C2)~^2 et le facteur Q = [C|/(9C2)]i//2 , on en déduit la fonction de transfert canonique suivante, en fonction de la pulsation ou de la fréquence réduite x : -W

=

~l-x*+jx/Q

Cette expression, au signe près, peut être considérée coinine la forme canonique d'un filtre passe-bas d'ordre deux. Cependant, c'est comme filtre passe-bande que la cellule de Rauch est le plus souvent utilisée, car elle présente l'avantage d'offrir un gain réglable à l'aide d'une résistance, mais sans influence sur la fréquence de coupure (cf. Exercices). Remarque : De nombreux logiciels permettent de représenter le module et l'argument d'une fonction de transfert, à partir de son expression dans l'espace de Fourier ou dans celui de Laplace (cf. annexe 3). En fonction de p, la fonction de transfert H(p) devient, en remplaçant jco par p :

I + 3RC2P + R-CtC^j)2

1 + p{T/Q) + T~p'

avec

r=

II. 3. — Cellule de Sallen-Key L'architecture d'une cellule de Sallen-Key, du nom des électroniciens américains R. Sallen et E. Key qui la proposèrent en 1955, est construite sur la base d'un montage amplificateur non-inverseur, de facteur d'amplification en tension Au (Fig. 10.12a), et d'une rétroaction positive par un ensemble d'admittances F, (Fig. 10.12b). En appliquant le théorème de Millman aux nœuds A et E, il vient, respectivement, l'AO étant idéal : ueY\ + UsY2 + m^FS F, + F2 -F F3

et

uF =

Y3 + Y4

A,,

A» = 1 F R2/R\ étant le facteur d'amplification en tension de l'AO monté en non-inverseur. On en déduit, en égalant les deux expressions de ua : lie F i F lis Y2 F ME ^3 _ F3 F F4 Fi F F2 F F3

~

AnY3

:

ce qui donne, en simplifiant ; jj/ [}Û))

Mj

AUY\ F3

~ Me ~ {Yi + F2)(F3 F F4) F F3(F4

avec AnF2)

/!„ = 1 F -7 A,

334

10. Filtres actifs

. XI > T

13

777/ 777/

R!

R'

7777

R' R'

7777

b)

a) FIG. 10.12. Considérons la cellule de Sallen-Key pour laquelle (Fig. 10.13) : F2 — jC2C0

Ct

Y4 — jC[(0

2

2

soit

La fonction de transfert Hifoj) devient alors : H{jù)) =

1 + jR[2Cy + C2{1 - Au)\o> - R CyC2(0

mo) Hix) = W " 1 - X2 +

en introduisant le facteur d'amplification stationnaire 7Y(0), la pulsation de coupure ojc et le facteur de qualité Q, respectivement : R'. H(0)=Au = l + ^

= (R^Cj)-'/2

et

(2 =

1 , 2

2(C1/C2) / [1 — {Au — 1)C2/{2C|

On retrouve ainsi l'expression d'un filtre passe-bas d'ordre deux. Le montage est stable si Q est positif, ce qui entraîne la condition suivante sur Ai( : A;( < 1 + 2^C2

soit

1 + ^7 < 1 + 2^c2

<-

C,

Fig. 10.13. Remarques : 1) On introduit souvent, à la place de (2, le facteur d'amortissement m = 1/i2Q) . 2) C'est le plus souvent sous la forme d'une cellule passe-bas ou passe-haut que l'on utilise la cellule de Sallen-Key, puisqu'elle est assez peu sensible à la variation des éléments passifs qui la constituent (cf. Exercices).

Filtres actifs

335

II. 4, — Cellule de Kerwin-Huelsman-Newcomb Cette structure, proposée en 1967 par les électroniciens américains W. Kervin, L. Huelsman et R. Newcomb, est réalisée en connectant en cascade un montage amplificateur non inverseur, et deux montages intégrateurs, avec deux rétroactions, l'une négative et l'autre positive (Fig. 10.14). Entre u{ , «2 et u3 , on a, en régime sinusoïdal, les relations suivantes, que l'on obtient en appliquant le théorème de Millman aux entrées inverseuses de A02 et A03 (cf. chapitre 8) : Il | Hi —

JRCOJ

d'où

_1 R2C2OJ2

—2 jRCco

M3 =

'X, Ml 777/ {2a - 1 )/?i AO

U->

AO2

AO3

7777

"3 7777

FIG. 10.14. Appliquons le théorème de Millman aux deux entrées de l'AOl, de même tension puisque l'AO est idéal. T1 vient : uelR\U2/\{2a — V)R\\ Uj_ , = — r-rrA , -+4 11/J?, /o. _u 1 /[/Oxv _ np.i + l/[(2a — l)R\

. soit

(2a — l)ue + U2 2a

M_j_ j = —-1-0

et : u 11 = -~'

m/R + lls/R M) + M3 ; :— = l/R+i/R 2

{2a — l)ue + 112

a d'où uu

2a

=

U\ + M3 2

Cette cellule est qualifiée d'universelle en raison des propriétés de chacune des sorties. i) si la tension de sortie est «3, la cellule se comporte comme un filtre passe-bas : M3

2a — 1

1

Uç

a

\ + jùyRCj a — R2C2co2

ii) si la tension de sortie est m, , c'est un filtre passe-haut : «i

2a — 1

—R2C2Û)2

m^

a

1 + jojRC / a — R2C2ù)2

iii) si la tension de sortie est 112 , c'est un filtre passe-bande : 1*2

2a- 1

—JRCoj

Ug

a

1 + joiRC/a — R2C2ù}1

avec, dans les trois cas, un facteur de qualité Q égal à a. On obtient toutes les formes canoniques de filtre d'ordre deux, en associant ces trois cellules à un quatrième AO monté en sommateur (Fig. 10.15). En effet, le théorème de Millman appliqué à l'entrée inverseuse de cet AO donne : 0

Hs/RA + "h {£2/^2 l/R4 -F l/R'3 + l/R'2 + \/R\

Ra , £*3 R

Ra / —2 R

Ra / Ml R

Le circuit UAF42 (Universal Active Filter en anglais) est un exemple de cellule universelle.

336

10. Filtres actifs

Ri

«3 7777

x

U2 «1

|+ A04

7777

7777 FlG. 10.15.

II. 5. — Cellule de Tow-Thomas La cellule de J. Tow et L. Thomas présente la particularité d'avoir les entrées non inverseuses de trois AO directement reliées à la masse (Fig. 10.16). On minimise ainsi l'influence des capacités parasites. En revanche, il faut s'assurer que les courants de polarisation des AO sont bien symétriques afin de limiter leur influence (cf. chapitre 9). aR

ex +

Ui

AO

X

OC

AO2

AO3

FIG. 10.16. Comme les trois AO fonctionnent en régime linéaire, on a, pour chacun d'eux, «+ = il- = 0. Le théorème de Millman, appliqué aux nœuds E, F et G, donne, respectivement : 0=

u^/R

u^/R + U\ [!/{«/?) + jC(o\

0=

1//?+ 1//?+ \l(aR)+iCù}

m, /R + u-fCco 1 j R T jCù)

0=

U2/R + «3/F 1/F+l/F

On obtient alors, en effectuant : 1 + jaRCco —3

a

vi j

rt2 ll-y =

M-j jRCco

et

«3 = —«2 —

Il j jRCco

Analysons les propriétés de chacune des sorties : i) si la tension de sortie est u3 : 1 + jaRCco u3 = —— jRCcoth —3 a

1, v d ou

i±3 — =

1 + jcoRC/a - R2C2co2

La cellule se comporte comme un filtre passe-bas avec Q = a . ii) si la tension de sortie est m, : «i = —jRCco «2 = jRCco u3 = jRCco

/

—ue

La cellule est passe-bande avec Q = a.

1 + jaRCco a

«j

\

d'où

— =

—jRCco 1 + jcoRC/a — R2C2co1

337

Filtres actifs

II. 6. — Cellule de Akerberg-Mossberg Alors que les deux cellules précédentes sont bien adaptées à des filtres dont la fréquence de travail est très inférieure à la fréquence de transition f, des AO (cf. chapitre 8), on constate expérimentalement, au voisinage de f, une dégradation du facteur de qualité. Dans ces conditions, la cellule proposée en 1972 par les ingénieurs suédois D. Akerberg et K. Mossberg, que l'on a représentée sur la figure 10.17 , s'avère plus performante, en partie grâce à l'AOB placé dans la rétroaction du second montage intégrateur.

aR x

«3

O.

AO

ACh

7777

AO. FIG. 10.17.

Notons que, même si rA02 semble câblé en rétroaction positive, il est en rétroaction négative et fonctionne en régime linéaire, puisque le signal «3 est rendu négatif par l'AOS inverseur. Comme les relations entre les tensions sont identiques à celles écrites pour la cellule de Tow et Thomas, on a : Mj Uç

—1 2

2

2

1 + jù)RC/a — R C û)

«2

—jRCù)

Uç

1 + jcoRCja — R2C2(o2

II. 7. — Filtres à capacités commutées Les filtres à capacités commutées sont constitués par des condensateurs, des interrupteurs analogiques, périodiquement fermés et ouverts, et des AO montés en intégrateurs. Ces filtres, proposés pour la première fois en 1972, présentent l'intérêt d'avoir une fréquence de coupure paramétrable. a) Résistance apparente Dans le montage simple de la figure 10.18a, on ferme alternativement l'interrupteur K\ puis l'interrupteur K2 , de façon alternée, grâce à un signal d'horloge, de période Tk, produit par un oscillateur piloté par un quartz (Fig. 10.18b). Chaque interrupteur est fermé puis ouvert pendant la durée Tk/2, ce que Ton réalise grâce aux deux tensions de commande pouvant prendre les valeurs 1 ou 0 ; lorsque le premier vaut 1, le second est 0 et vice-versa. Pour simplifier, admettons les hypothèses suivantes : i) le condensateur est placé entre deux sources idéales de tension, ii) la fréquence d'horloge f: est grande devant la fréquence d'évolution des signaux ue et us, iii) les interrupteurs K\ et K2 , qui ne sont jamais dans le même état, sont réalisés avec des transistors MOS (cf. chapitre 7), iv) le régime établi est atteint entre deux signaux d'horloge, y) la capacité C du condensateur, qui peut être faible si elle est intégrée dans le circuit, doit être supérieure aux capacités parasites des connexions.

10. Filtres actifs

338 ^U\ Ki •

1

r

IL

*

K, P

_

0

us

Tk

*

t i «2

0

^2

nb)

a) FTG. 10.18.

À chaque période 7^ , la charge

transférée de l'entrée vers la sortie a pour expression : ù^q = C{us — ue)

Il en résulte que, pendant une durée t courant s'écrivent respectivement :

q —

ik

T/., la charge transférée q et l'intensité moyenne Im du

é-/: (u.v

uf)

et

Jm —

—

— ~~ (wy 1 k

'

tif)

ce qui s'écrit aussi, en introduisant la fréquence de commutation fk = 1 /Tk :

a, — u* = fkCk

soit

lis — iie = Ra Im

avec

Ra =

fkCk

par analogie formelle avec la loi d'Ohm. La commutation du condensateur peut donc être assimilée à une résistance apparente Ra , qui s'exprime en ohm, en fonction de Ck et de fk . b) Intégrateur à capacités commutées Transformons le montage intégrateur classique représenté sur la figure 10.19a en remplaçant la résistance d'attaque R par une capacité commutée Ck (Fig. 10.19 b), grâce à un interrupteur K dont la fréquence de commutation est fk = 1 /7)-. C

C

1

2 K

777/

7777

7777

7777

Ck 7777

7777

7777

b)

0 FTG. 10.19.

À l'instant t, alors que K est en position 1, le condensateur de commutation, de capacité Ck , se charge sous la tension ue : Aqk{t) = Ckue{t)

Filtres actifs

339

À l'instant / + 7^/2, on bascule l'interrupteur K en position 2. Le condensateur de commutation se décharge dans le condensateur d'intégration ; tic varie alors de : Aqk(t) Ck Amc = —= ue{t) — On en déduit la relation suivante, à l'instant t + T^, juste avant le retour de K en position 1 : uc(t -f Tf) = uc{t) + Aiic d'où, puisque, l'AO étant idéal, us{t) = —uc{t) ■ F Us{t + Tk) = -Uc{t) -

F = Us(t) - Ue(t)-^

Cette dernière relation s'écrit dans l'espace de Fourier (cf. annexe 2) : us{f ) exp(/27r/rA-) = «,(/') " %if )^

soit

%{f) [l - txpQlTrjTk)\ =

On en déduit la fonction de transfert en régime harmonique : T(f\ =

_ %{f)

c

k 1 _ C exp(/27T/T/;) - 1

Ck c\p{~j7TjTk) C z\\){jTTjTk) — exp{—777/^-)

Pour un signal, de fréquence / très inférieure à fk, soit

=

Ck exp(—/tt/T/,) 2C sin(7r/7t)

]


1 Tif) ~J ~ ■Ck 2^/^ -\J) c

On voit ainsi que le montage intégrateur inverseur, dans lequel on a remplacé la résistance par une capacité commutée, conserve sa fonction initiale d'intégration : Z(f) « -7 j2nfTkC

jf/fc

avec

fc =

ITTTICC

puisque

27TR,,C

Ra = —

En fonction de la variable jco, les relations précédentes s'écriraient : ZI/- \ ^ ^ Hijùj)

1

jco ifC

avec

jco/coc

Ck ==-— l wc = — TkC RaC

. puisque

Tk D = — R a Ck

Ce montage intégrateur à capacités commutées présente ainsi deux avantages : d'une part, sa fréquence de coupure fc = coc/{27r) est contrôlée par la fréquence de fermeture des interrupteurs fk = \/Tk ; d'autre part, comme fc fait apparaître le rapport de la capacité de commutation Ck sur celle d'intégration C, elle est insensible à leurs variations : d (oc

d Tk

dCk

dC

ùjc

Tk

Ck

C

dCk

dC

Ck ~ C

III. — SYNTHESE DE FILTRES Effectuer la synthèse d'un filtre consiste à établir l'expression de la fonction de transfert qui respecte un ensemble de contraintes, rassemblées selon un gabarit, puis à réaliser le circuit correspondant. Montrons d'abord comment l'on peut ramener l'étude de tous les types de filtre à celle du seul filtre passe-bas, par des changements de variables convenables.

10. Filtres actifs

340

III. 1. — Transformations a) Transformation d'un filtre passe-haut en filtre passe-bas Rappelons les expressions canoniques des fonctions de transfert de deux filtres d'ordre un, le premier passe-bas et le second passe-haut (cf. chapitre 6), respectivement : Hh(jco)=Hh(0)-

1

et

1 -f j(o/cOc

Hh(j(o)=Hh{0)-

jù)/(Oc 1 +j(x)fù)c

En fonction de la fréquence normalisée x = co/coc =f/fc , ces fonctions de transfert s'écrivent : 24 O) = Hb (0)

1

1 . + JX

24 (Jx) = Kh (0) T~7: = 1 + jx

et

(0)

l + (Jx] -1

On voit ainsi que l'on passe aisément d'un filtre passe-bas à un filtre passe-haut et vice-versa, en changeant seulement la variable (Jx) en (Jx) ~1 . Sur la figure 10.20, on a représenté le gabarit, en fonction de ^ = f/fc, d'un filtre passe-haut, fc étant la fréquence de coupure. Le changement jx en (jx)~[ implique, dans le diagramme de Bode relatif au gain, le changement de variable x en Ijx. Notons que cela change X = Igx en son opposé —X = — Igx. Ainsi, tout point de l'axe des abscisses se transforme alors en son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées passant par X = 0. Il en résulte que, par retournement, le gabarit du filtre passe-haut est identique à celui du filtre passe-bas. 1 'Gu X= Igx

0 s s / / / / Filtre / passe-haut / /

\

Filtre \ passe-bas

Fig. 10.20. Ce changement de variable est le même pour des filtres passe-bas et passe-haut d'ordre deux. En effet : i O)' et 240) = 0,(0) 24 O) = nb((fy 2 i + (/•*)/Q + O) i + 0)/ô + O)2 soit, en divisant cette dernière expression par (jx)2 : i 240) = nh(Q)

l

i + 0)" /ô + 0)"2

b) Transformation d'un filtre passe-bande ou coupe-bande en filtre passe-bas La juxtaposition des gabarits de deux filtres, l'un passe-haut et l'autre passe-bas, donne un gabarit de filtre passe-bande ou coupe-bande (Fig. 10.3 et 10.4). Rappelons les expressions réduites des

341

Filtres actifs

fonctions de transfert de filtres passe-bande et coupe-bande, respectivement ;

nph{ii) = npb{0) j

+

^2 ^

e,

^(j*) = Hcbio)

i +

J^aï)2

où ô sst le facteur de qualité de ces filtres, avec respectivement, pour le filtre passe-bande, puis pour le filtre coupe-bande : Q = —— Ul-fc.l

et

Q= —— fa,2-fa,l

/o étant la fréquence centrale. Ces deux fonctions de transfert s'écrivent aussi :

^ = npii,0)l

u

^x)

+ Q/(jl) + (Jx)Q

= n

^0) i + om + o-)-']

et

et

ncbQx) = nA0)TTm^TW]

^(/■v) = wrf.(o)1

+ 2_l[(/x) + w_1]_I

On passe ainsi du filtre passe-bas au filtre passe-bande et réciproquement en effectuant les remplacements suivants, respectivement :

(Jx)

par

Q (Jx) + (jx)'

et

(jx)

par

O

1

(Jx) + (Jx)

III. 2. — Détermination de la fonction de transfert à partir du gabarit L'analyse précédente permet de ramener l'étude de tout type de filtre à celle de la fonction de transfert du filtre passe-bas, compatible avec les contraintes de son gabarit, lesquelles sont données par les valeurs Gu c et Gt^a du gain aux fréquences caractéristiques fc et fa du filtre. Analytiquement, le problème à résoudre revient à détenuiner le module \'H{x)\ de la fonction de transfert du filtre, à partir des contraintes suivantes : i) pour x = l , G,, = GU}c, ii) pour .t < 1, on doit avoir Gu = 201g |2i(x)| > G,ljC avec une atténuation réduite, iii) pour x > 1 , c'est-à-dire dans la bande atténuée du filtre passe-bas, on doit avoir Gu < avec fa=fc/k, k étant le facteur de sélectivité du filtre. On ne sait calculer analytiquement qu'un petit nombre de fonctions caractéristiques répondant à ces critères. On classe ces fonctions en deux catégories selon que ces fonctions se présentent sous la forme d'un polynôme (Butterworth, Chebyshew, Legendre, etc.) ou sous la forme d'une fraction rationnelle (fonctions de Cauer, Chebyshew inversé, etc.). Pour un gabarit donné, cette seconde forme en fractions rationnelles donnera un filtre d'ordre inférieur, au prix d'une plus grande difficulté de réalisation et de réglage. Dans la suite, on se limitera aux fonctions de transfert de Butterworth et de Chebyshew. Remarque : Il existe plusieurs orthographes de Chebyshew ; on trouve aussi Chebychev, Chebycheff, ou encore Tchebycheff, ce qui est évidemment lié à la difficulté de transcription de la langue russe dans notre alphabet.

342

10. Filtres actifs

a) Fonction de transfert de Butterworth La fonction de transfert de Butterworth , qui satisfait aux trois contraintes énoncées plus haut, est telle que : B{x) = \H{jx)\ (14-/32*2")1/2 où n est l'ordre du filtre et f> un paramètre traduisant l'atténuation à la fréquence de coupure. Les conditions imposées par le gabarit du filtre passe-bas permettent de déterminer les valeurs de /3 et n qui définissent la fonction de Butterworth. En se plaçant à / = /c et / =/« , on trouve : — I01g(l + fi2) = G,iC

et

-101g(H-/32.v2")
Supposons que la fonction de Butterworth admette une atténuation de 3 dB à la fréquence de coupure fc du filtre, quel que soit l'ordre. Le facteur /3 est alors égal à 1 . On en déduit l'ordre minimal du filtre selon, sachant que xu =fa/fc • _ x] lg(l 4 xl") > —^

d'où

xl" > lO^/10) - 1

et

n >

2\gxn

Pour obtenir la transmittance du filtre qui satisfait aux critères du gabarit, on cherche la fonction £3(v) qui admet IfLix) \ comme module, les racines du dénominateur, appelées les pôles devant impérativement être à partie réelle négative sous peine d'instabilité du filtre (cf. chapitre 13). Ainsi, dans l'hypothèse où = 1, la fonction B{x) associée à la fonction de transfert de Butterworth se réduit à la détermination des racines n-ièmes de 1 avec partie réelle négative. Le tableau 10.1 donne les fonctions d'atténuation I3{x) jusqu'à l'ordre n = 6 inclus. Ordre du filtre

Inverse H

1

(jx) des fonctions d'atténuation normalisées de Butterworth pour (3 = 1

i + (ix) l 4 V2{jx) 4 (Jx)2 (1 -\-jx)[[ F jx 4 (Jx)2] = 1 4 2jx 4 2(/.\-)2 4 (jx)3 [1 4 1, 848/v 4 (jx)2] [1 4 0.7653/* 4 (jx)2] = 1 4 2,613/* 4 3,414(/*)2 4 2,613(/*)3 4 (jx) (1 +jx)[l 4 0, 618j*: 4 (j^)2][l 4 1, 6lSjx 4 (jx)2] = 1 4 3,236/* 4 5,236(jx)2 4 5,236(Jx)3 4 3,236(/*)4 4 (jx)5 [1 4 V2jx 4 (/x)2][l 4 l1932jx 4 (jx)2]ll 4 0,5176# 4 (jx)2] = 1 4 3, 864/* 4 7,464(jx)2 4 9, ]42(jx)3 4 7,464(/x)4 4 3, 864(/*)5 4 (jx)6 Tab. 10.1. b) Fonction de transfert de Chebyshew La fonction de transfert de Chebyshew est de la forme : cosh(x) = \H(jx)\ =

[i + r2c2(.v)]'/2

Filtres actifs

343

n étant Tordre du filtre, y un facteur et suivante : Co(x) = 1

un polynôme défini selon la formule de récurrence

C| (x) = A'

et

Cll+\ (a) = 2aC„(a) - C„_i (a)

La contrainte du gabarit sur la fréquence de coupure est facile à prendre en compte, car, pour cette fréquence ( a = 1 ), tous les polynômes sont égaux à 1 . Il vient donc ; Gu(fc) = 20\g\H{l)\ = -101g(l + y2)

d'où

y2 =

- 1

Ainsi : pour

Gu>c = -3 dB

y2 = 100'3 - 1 = 10Ig2 -1=2-1 = 1

i) Pour a ^ 1 , on simplifie les polynômes en effectuant le changement de variable a = cos f . Il vient : Cq = 1

Ci = cos f

€2 = 2 cos f C\ — Cq = 2 cos2 é — \ — cos(2<^)

En supposant la récurrence vraie à Tordre n, on a C,, = cos(n^), ce qui donne à Tordre n + 1 : C„+i{a) = 2cos(f) cosfif) — cos[(rt — 1)^»] cos[(n + l)4>\ + cos[(« — 1)(^] — cos[(/î — 1)0] soit cos[(n + 1)0]. Ainsi, pour a ^ 1 , C„(a) = cos(n0) étant toujours inférieur ou égal à 1, la courbe de réponse du gain en dB varie entre 0 et — 101g(l + y2) . ii) Pour a > 1 , on ne peut évidemment plus utiliser le changement de variable précédent. Cependant, si a 1 , on peut se ramener à une progression géométrique, de raison 2a . En effet : Cyj (a) « 2AC„_i(A) entraîne : C„{x) = [Ixy-'C, = {2.v)2C„_2{,ï) = ■ ■ • = (Ivy-'C, = {2xy-'x = l-{2xf pour /r ^ 1. La fonction module cosh(A) devient alors :

cosh(A) = |KW -

[1 + y2 (2a)2"/4l C2 ^ y (2a)"

d'où :

avec

/c

" = u)

2

et

G„ = 201g|r(/')| = 20 ;i (Ig/c, - 1g/)

On en déduit que Tasymptote de la courbe donnant le gain en fonction de 1g/ est une droite de pente —20n dB • dec_l , qui passe par le point d'abscisse correspondant à la fréquence feu ■ Une fois les paramètres y et n fixés, le premier par l'ondulation maximale acceptée dans la bande passante, le second par la pente de Tasymptote du gain, on détermine la fonction de transfert en cherchant les racines, à partie réelle négative, de |2fWI • Le tableau 10.2 présente les polynômes C„(a) jusqu'à Tordre n = 6 inclus.

344

10. Filtres actifs

Polynôme de Chebyshew

Ordre du filtre

C„(x)

1

X

2

2x2 — 1

3

4x3 - 3x

4

8x4 - 8x2 -f 1

5

16x5 — 20x3 + 5x

6

36x6 — 48x4 -F 18x2 — 1 Tab. 10.2.

III. 3. — Exemple de synthèse de filtre Proposons-nous de réaliser la synthèse d'un filtre passe-bas pour lequel F affaiblissement maximal est de 1 dB , de 0 à 1 kHz, alors que l'affaiblissement minimal est de 40 dB , au-delà de 2 kHz. On trace d'abord le gabarit du filtre spécifié, en normalisant les unités comme sur la figure 10.21. Gu (dB) / (kHz) 1--

-40-FlG. 10.21. On détermine ensuite le facteur y2 à partir de l'ondulation résiduelle dans la bande passante ; si cette dernière vaut 1 dB , alors : Gu{fc) = -1 dB

d'où

y1 = lO^"^/101 - 1 = 10l/l0 - 1 « 0,259

On en déduit la fonction de transfert du filtre en cherchant les racines à partie réelle négative de l'équation : 1 + y2Cl(x) = 0

soit

1 -f (101/10 - 1) C25(x) = 0

pour un filtre d'ordre 5, puisque, pour Gu = —40 àB , xa = 2 et y « 0,51 , on a : 20 In

2 y{2xyi

ce qui donne

n « 4, 8

La résolution numérique, à l'aide de Matlab par exemple, fournit les racines suivantes, à partie réelle négative : X! = -0,0895 i; 0,9901

x2 = -0, 2342 i^/ 0,6119

X3 = -0,2895

345

Filtres actifs

La recomposition du polynôme à partir de ces racines conduit à l'expression de la fonction de transfert. On obtient : Hijx) =

1 5

4

8, U{Jx) + 7,63(jx) + 13,750)3 + 7,93(jx)2 + 4,73(jx) + 1

ce qui se met sous la forme d'un produit de trois fonctions, deux d'ordre deux et une d'ordre un :

~ [l,0118(;x)2+0,181(/x) +1] [2,3294(Jx)2 + 1,0911 (Jx) + l] [3,45530x) + l] On réalise le circuit correspondant en connectant en cascade, deux cellules d'ordre 2, type Sallen-Key, et une cellule d'ordre 1 type RC. Comme la fonction de transfert de la cellule Sallen-Key, représentée sur la figure 10.13, a pour expression : Hsk(JM) =

A, 2

avec

2

/? CIC2(/U>) + {J(o)R[2Ci + (1 - AU)C2] + 1

A.j =

r

R R

on trouve, en identifiant, les relations suivantes entre les valeurs des composants : i) pour la première cellule type Sallen-Key : /?2C,C2û)2 = 1,0118

et

2RCiù)c = 0,181

avec

Au = 1

ii) pour la seconde cellule type Sallen-Key : C2(o2c = 2,3294

et

2RC2ù)c = 1,0911

avec

/C = 1

iii) pour la cellule RC : RCCO, = 3,4553 En choisissant fc = 1 kHz et R = 10 kO, on en déduit les valeurs des autres composants. Sur la figure 10.22, on a explicité l'architecture du filtre avec les valeurs des composants. 178 nF 10 kii

10 m

y

1.44 nF 7777

68 nF 10 ktl H

■C

10 W. 1-41

10 kfi

8,58 nF 77

77

i

54,92 nF ttVT

Fig. 10.22. Remarques : 1) Comme les valeurs obtenues pour les composants ne seront pas toutes disponibles, il conviendra, avec des filtres nécessitant une forte précision, de contrôler les conséquences d'un choix de valeurs normalisées. 2) Les impédances d'entrée des cellules de Sallen-Key, doivent être assez grandes, afin de satisfaire aux contraintes de non-saturation en courant et d'adaptation d'impédance ; la multiplication des fonctions de transfert des cellules biquadratiques s'effectue alors sans perte (cf. chapitre 9).

10. Filtres actifs

346

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Les filtres actifs, que l'on réalise avec des éléments actifs tels que des AO, présentent l'intérêt de pouvoir être connectés entre eux sans modification de leurs caractéristiques, ce qui permet une étude préalable de chacun d'eux. 2) Plusieurs exemples de filtres actifs sont largement utilisés : cellule de Rauch, cellule de SallenKey et la cellule universelle. 3) Un filtre actif à capacités commutées présente deux avantages : sa fonction de transfert dépend d'une part du quotient de deux capacités, ce qui garantit une valeur pratiquement constante, d'autre part de la fréquence de fermeture et d'ouverture des interrupteurs, ce qui permet de choisir la fréquence de coupure. 4) L'étude d'un filtre à partir des spécifications de son gabarit peut se ramener à celle d'un filtre passe-bas équivalent, grâce à un changement de variable. Quant à sa résolution, elle exige de travailler avec des grandeurs normalisées, et d'approcher la fonction de transfert souhaitée à l'aide de fonctions de transfert polynomiales, par exemple les polynômes de Chebyshew.

EXERCICES ET PROBLÈMES

P10- 1. Diagrammes de Bode d'un filtre avec ou sans AO On souhaite comparer les performances d'un filtre passif et d'un filtre actif. 1. Un filtre passif est constitué d'un résister, de résistance R\ = 10 kfl, et d'un condensateur, de capacité Cj = 1 nF (Fig. 10.23a). a) Établir la fonction de transfert H\ (jef) = T, (f) — iix/ue. Calculer la constante de temps ti du c zs

r\l

montage. b) Tracer les diagrammes asymptotiques de T_{ (f) dans le plan de Bode. Préciser la valeur de /C)| fréquence de coupure du montage. Quel type de filtre obtient-on ? c) Calculer la réponse du montage au signal d'entrée iie{î) = EY{t) avec E — 10 V, Y(r) étant la fonction échelon de tension. On suppose le condensateur déchargé à t = 0.

'C >• û. 2. Dans le montage de la figure 10.23b, les tensions d'alimentation de PAO sont de ±15 V . La fonction de transfert du système actif est la suivante :

u f \

Us

lle

u /m

1

+ÎÙ>T\ 1 -\-JÙ)T2

347

Filtres actifs

a) Établir les expressions de H2{0), t\ et t? . b) Sachant que R2 = 100 kli et C2 = 10 nF, trouver la valeur de R\ pour laquelle le gain correspondant à /^(O) vaut 40 dB . En déduire les deux fréquences de coupure. c) Tracer le diagramme asymptotique de Bode relatif au gain. Proposer un nom fonctionnel au montage. C2 C,

Ri Rx

I><

R\ Us +

T 7777 ////

7777

7777

ue 7777

7777

a)

b) Fig. 10.23.

P10- 2. Filtre actif passe-bande Dans le montage de la figure 10.24 où F AO est idéal, les valeurs des composants sont les suivantes : C, = 10 nF , C2 = 1 nF et R] = R2 = 10 kO . 1. Établir l'expression de la fonction de transfert H(jco). 2. Pour quelle(s) fréquence(s) le module \H(Jco)\ est-il maximal ? Calculer cette valeur maximale et conclure sur le type de filtre.

C2 S

Ri

A 1

Ri

7777

C

ue

C

R/2

7777"

7777 Fig. 10.24.

P10- 3. Filtre actif réjecteur de bande

FIG. 10.25.

: wet>

Montrer que le filtre actif de la figure 10.25 est réjecteur de bande.

P10- 4. Calcul d'un filtre passif passe-bande Dans le montage en tt de la figure 10.26a, les valeurs des composants passifs sont les suivantes Ra — Rb — 50 Q,, La — Lb — 10 |xH, Ca — Ch — 330 pF, Lc — 18 jxH et Cc — 220 pF.

10. Filtres actifs

348

1. Montrer que le réseau peut être représenté par le schéma de la figure 10.26b. Donner alors les expressions de ie , Za , et Zc . 2. Déterminer la pulsation ù)\ qui annule Zc et calculer la valeur de la fréquence f correspondante. 3. Pour quelle pulsation ruo l'impédance Za est-elle purement résistive ? Calculer la fréquence /o associée. 4. Établir l'expression suivante de la fonction de transfert H(j(o) = H (jeu) =

pour Zt, = Zn = l/Ya :

1 RaYa {ZcYa + 2)

5. On étudie à présent la fonction de transfert obtenue en remplaçant Ya et Zc par leurs expressions. a) Montrer que, pour les basses fréquences, H(joj) peut être mis sous la forme : (0 H (Jv) = [J— \ ^3 dans laquelle to^, est une pulsation que l'on calculera. En déduire la valeur correspondante de fo . b) Quelle est l'expression de la fonction de transfert H (Joj) pour des fréquences voisines de f\ et fo ? c) Analyser H (joj) pour les hautes fréquences ; on calculera la fréquence /4 qui caractérise ce domaine spectral. 6. En déduire les propriétés du montage. Cr. Ue

Ra Ca

1 \Lb

Cb\

La

iek

r

Rh Us

Zc z.

z,, '

X ■à)

U

b) Fie. 10.26.

P10- 5. Simulateur d'inductance et filtre actif Dans les montages des figures 10.27a et 10.27b, les AO impliqués sont idéaux et les composants valent : Rn = lOkfl, R3 = 22kfi, C| = InF et C2 = 10 nF. 1. Montrer que le dipôle, situé entre les points A et M de la figure 10.27a, est équivalent à un dipôle Z constitué par la mise en série d'éléments R':L', C' dont on déterminera les expressions et les valeurs. 2. On insère le dipôle Z dans le circuit de la figure 10.27b. Calculer la fonction de transfert H{jco) en fonction de R',L', C et des éléments du montage. 3. Quelle est la valeur de R{ pour laquelle \H(jû)c)\ = 0, &»c étant la pulsation de résonance du dipôle /?', Z/, C ? Calculer la valeur de la fréquence associée fc .

Filtres actifs

349

4. Sachant que |//(/wc)| — 0, déterminer les pulsations ojc^ et coc^ pour lesquelles le gain vaut —3 dB . Donner les fréquences associées /c.i et /C)2 . Etablir l'expression de la Largeur de Bande Relative {LBR) du filtre et calculer sa valeur : Me,2 — MCj i LBR = (0,

_

\> X

Ro Ro

«y,0 '<2

C2

t>130

7777

A

jf Ue\ 0

:

7777

Ri

A

L

+

H. 7777

«o IM 7777

M

b) FlO. 10.27.

P10- 6. Filtre actif en structure de Rauch Dans le filtre actif, en structure de Rauch, représenté sur la figure 10.28, l'amplificateur opérationnel, supposé idéal, fonctionne en régime linéaire. La tension d'entrée ue sinusoïdale, s'écrit, en notation complexe = ue^m exp(/W) = iie^m QxpijlTrft), ue>m étant l'amplitude, co la pulsation et / la fréquence. 1. Etablir l'expression de la fonction de transfert du système, entre la tension d'entrée et la tension de sortie us, en fonction des admittances des composants Fi , ¥2 , L3 , et Es (Fig. 10.28) : H{j(û) = T{f) = ^ ' -K"

Y\Y-x 7 Y2Ya + Y5(Y{ + Y2 + Y?> + Ya)

2. On analyse le cas où les composants 1, 3 et 4 sont des résistors, de même résistance R, et où les composants 2 et 5 sont des condensateurs, de même capacité C. a) Dessiner un schéma du filtre. En analysant les cas extrêmes des très basses puis des très hautes fréquences, trouver la nature du filtre, passe-bas, passe-haut ou passe-bande. b) Expliciter la fonction de transfert Tff) et tracer le diagramme de Bode donnant le gain en fonction de 1g/. Calculer la ou les fréquences de coupure à —3 dB, sachant que R = \2 kfi et C= 15 nF. 3. Les composants 2, 3 et 4 sont à présent des résistors, de même résistance R, et les composants 1 et 5 sont des condensateurs, de capacités respectives C\ et C2. a) Dessiner le schéma du filtre. En analysant les cas extrêmes des très basses puis des très hautes fréquences, établir que le filtre est de type passe-bande. b) Expliciter la fonction de transfert T_{f), en introduisant f =1/(2ttRC\ ) et /2 — 1/(27rRC2). Montrer que son module passe par un maximum pour une valeur f) de la fréquence que l'on exprimera en fonction de R, Ci et C2 - Application numérique ; calculer /o, sachant que R = 5 kfi, Ci = 300 nF et C2 = 300 pF.

10. Filtres actifs

350

_ '3

Ur 7777

> >c II.

Y2

7777

7777 Fig. 10.28.

P10- 7. Filtres actifs passe-bas et passe-haut en structure de Rauch Cwëb) La figure 10.29a représente le schéma d'un filtre d'ordre deux. 1. Établir l'expression de sa fonction de transfert H(Jco). Quelles sont les caractéristiques de ce filtre, fréquence de coupure et facteur de qualité ? 2. On souhaite réaliser un filtre passe-haut, de fréquence de coupure 100 kHz ayant les caractéristiques précédentes, en utilisant des condensateurs de capacité de 1 nF. Montrer que le schéma de la figure 10.29b conduit à la réalisation d'un tel filtre. Donner les valeurs des résistances R\ et qui confèrent au filtre les caractéristiques souhaitées.

10 kii 380 pF X 10 kii

10 kii 2 nF

Ri 7777

7777

7777

7777

7777

b)

a) FIG. 10.29.

P10- 8. Filtre passe-bande en structure de Rauch Le montage de la figure 10.30 représente un filtre passe-bande. 1. Etablir l'expression de sa fonction de transfert. 2. Les deux condensateurs ayant la même capacité C, montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme canonique suivante : = -7^(0)T-777 y l+Wô-a-2

avec

x= —

En déduire l'expression du facteur d'amplification stationnaire r(0), de la pulsation de coupure wc et du facteur de qualité Q . Quelle est la nature de ce filtre ? 3. On souhaite filtrer un signal dont les fréquences sont comprises entre 190 kHz et 210 kHz. a) Sachant que la bande passante à —3 dB est égale à ù)cjQ, détenniner les composants du filtre en fonction de C, T(0), Aw et û>c .

351

Filtres actifs

b. Le filtre étant très sélectif, on suppose satisfaite la condition : 1/2 CO, im\ Énumérer les étapes de réglage du filtre et calculer la valeur des composants sachant que C = 0,1 nF et que le gain du filtre est 20 dB .

Cl

Ri

Ci

rfr

7777

TtTT FIG. 10.30.

P10- 9. Filtre passe-bande en structure de Sallen-Key Le montage de la figure 10.31 représente un filtre passe-bande en structure de Sallen-Key. 1. Établir l'expression suivante de la fonction de transfert : a(.v) = K(0)1

-ec

.v = |

dans laquelle 7i{0), Q et fc sont à déterminer. 2. Établir l'expression de la bande passante à —3 dB . 3. Énumérer les étapes de réglage du filtre passe-bande. Quelles sont les limites du modèle ?

X

Ri

7777

*4 7777

7777

7777

Rj

FIG. 10.31.

P10- 10. Filtre actif du deuxième ordre Dans le filtre actif représenté sur la figure 10.32, les résistances R\ et Rj sont égales à 2,2 kfi et les capacités Ci et C2 à 470 pF et 1 nF respectivement. 1. En appliquant le théorème de Millman au point A , situé entre les deux résistances, et au point S de sortie de l'AO, établir l'expression de la fonction de transfert H(jo)) du montage.

352

10. Filtres actifs

*1 —[

+

H—I A

>0°

7777 7777 FIG. 10.32.

2. Montrer que cette fonction de transfert est bien décrite par la fonction suivante :

U{x)

1 - v +jxlQ

dans laquelle x est une fréquence réduite, rapport de la pulsation oj du signal d'entrée sur une pulsation caractéristique (Oq que l'on exprimera en fonction de R] , Rj , Ci et C2 , et Q un facteur que l'on reliera à û>o , C) , /?i et • Calculer coq , la fréquence /o correspondante, ainsi que Q . 3. Étudier le sens de variation de |KWI ■ Tracer les diagrammes de Bode (gain et phase) du filtre ainsi constitué, en fonction de X = 1g x. Quelle est la nature du filtre ? 4. Retrouver la nature de ce filtre à l'aide de considérations uniquement qualitatives.

P10- 11. Sensibilité d'un filtre actif Dans la structure du filtre actif de la figure 10.33, les deux condensateurs ont des capacités de même gamme, égales respectivement à /3C et yC. 1. Établir la fonction de transfert H(jù)) du montage. 2. Quelle est l'expression de la fonction de transfert ftijx), dans laquelle x est la fréquence réduite de référence celle définie par RCcoq = 1 ? En déduire le facteur de qualité Q du montage. 3. Estimer l'erreur sur le paramètre Q due à l'erreur de précision de la capacité yC, y variant de 1 % avec la température. 4. Même question lorsque

varie de la même quantité. Conclure sur la structure du filtre. pc

[>00 A 7777 7777"

FIG. 10.33.

11

Oscillations couplées en électricité

L'étude des régimes transitoires (cf. chapitre 4) a permis de montrer qu'un système linéaire, d'ordre supérieur ou égal à deux, pouvait présenter, en régime libre, des oscillations qui, sauf entretien, s'amortissaient au cours du temps. Il arrive que deux ou plus de ces systèmes, susceptibles d'être le siège d'oscillations indépendantes, entrent en interaction ; ces systèmes oscillent encore, mais différemment, avec des propriétés qui dépendent de leurs caractéristiques, ainsi que de la nature de cette interaction. Les oscillations sont alors dites couplées. On rencontre souvent le couplage d'oscillateurs en physique, par exemple en mécanique (cf. Mécanique) et en physique quantique (cf. Quantique). Nous nous proposons d'étudier le comportement des circuits linéaires couplés, en commençant par l'analyse de deux circuits couplés, puis en l'étendant aux systèmes constitués de N circuits identiques.

I. — CIRCUITS COUPLES EN REGIME LIBRE Dans le système représenté sur la figure 11.1, deux circuits électroniques oscillants interagissent par l'intermédiaire de la capacité C\2 d'un condensateur de couplage ; C\ et Cj sont les capacités, L\ et Lj les inductances, /*] et r2 les résistances des bobinages des deux circuits respectivement. Les pulsations propres de ces circuits en l'absence d'interaction sont bien connues : et

0)2

Le générateur parfait, présent dans le circuit 1, sert à exciter les oscillateurs. La période T du signal qu'il fournit est très grande devant les périodes propres Ty = Itt/coi et T2 = 27r/û>2 des circuits : 7 > 7,

et

7 > 72

Si l'impédance Z12 de la capacité C12 est très inférieure à la plus faible des impédances dans le circuit, le condensateur de couplage est équivalent à un simple fil de connexion, les deux circuits sont indépendants. Les équations qui régissent ces circuits sont alors les suivantes, avec des notations explicitées sur la figure ; 1 d «| 2 9 u\ + ri q + L\ H h &)| U\ = ojj ue T 1 dr

354

11. Oscillations couplées

puisque ui = q\/C\ , i\ = dq\/ôt, T\ = L\/R\ , et : ^ T d ii Ml + f2l2 d" Ll-.— — 0 dt

. SOIt

d2 u2 0 z

dt

\

] dui 2 ; \- OJ, Ui — 0 ti dt

puisque, de façon analogue, ui = qi/Ci, ii = dqi/ df, ti = L2/R2 ■ Précisons que les intensités i\ et ii sont orientées vers les armatures des condensateurs de charges respectives q\ et qi. Dans la suite, nous supposons que chacun des deux systèmes présente une réponse libre pseudopériodique. UL, n

q\

UL2 ®5SS®M C2

L C12!

c.

i\

n

«12

02

U2

Ci q2 12

Ue ru FlG. I I.I.

1.1. — Oscillations libres du circuit 1 en Pabsence de couplage Établissons, en l'absence de couplage entre les deux circuits, le lien entre la réponse du circuit 1 à des signaux carrés et la réponse que ce même circuit fournit en régime libre (cf. chapitre 4). a) Réponse en régime libre Remplaçons la source de tension par un interrupteur que l'on ferme à un instant pris comme origine. Si le condensateur 1 est initialement chargé, le circuit est le siège d'oscillations libres de la charge q\ du condensateur et donc de la tension à ses bornes. On sait que la réponse de ce circuit, en régime libre, se met sous la forme (cf. chapitre 3) : u\,t(t) = Ai exp(rit) +B/exp(r2r) où ri et ri sont les racines complexes de l'équation caractéristique : r2 + - + ^ = 0 D Les constantes Ai et Bi sont déterminées par les conditions initiales sur la tension et sur l'intensité sont les suivantes : ii\ (0) = «o et q (0) = 0, précisément par le système linéaire d'équations algébriques suivant : Ai -f 5/ = mq et T\ Ai -F ro 5/ = 0 issu des expressions générales précédentes de u\j(i) et i\,i(t) = Cd uij(t) / dt ,h r = O.Onen déduit aisément : 1 . n -n/f'l Ai — 7— Mo et Bi — 7— MQ 1 — f\/f2 1 — D / f'2 Ainsi, une première méthode d'obtention des oscillations libres d'un circuit consiste à charger d'abord le condensateur, le circuit étant ouvert, puis à fenner ce dernier à un instant pris comme origine des oscillations.

Oscillations couplées

355

b) Réponse indicielle Réintroduisons la source de tension dans le circuit. Elle délivre une tension échelon iie = EY{t). Si le condensateur 1 est initialement déchargé, la réponse indicielle du circuit a pour expression : u\ti(t) = A/exp(ri/-) + S/expfo/1) + E Comme précédemment, les constantes Aj et 5, sont déterminées par les conditions initiales sur la tension sur et l'intensité du courant ; Ai + Bj = —E

et

r\ A/ + ^ B; = 0

d'où : Ai = — et i-ri/r2

81=

r r2 ^ i g i-r\/r2

En comparant la réponse indicielle à la réponse en régime libre pour laquelle le condensateur 1 est initialement chargé sous la tension U] (0) = E, on voit aisément que A/ = —A/ et 5, = —fî/. Les deux réponses sont donc liées par l'équation : wuO) — E — c) Réponse à une tension carrée La source de tension délivre maintenant des signaux carrés, symétriques, d'amplitude E et de basse fréquence, de sorte que le régime établi soit atteint à chaque alternance. Le passage d'une alternance négative à une alternance positive modifie les conditions initiales selon : Ac -f- Bc Y E — —E

et

r\ Ac -j- ro Bc — 0

et

Bc= - r'///"2/ 1E \-r]/r2

d'où: Ac =

— 2E 1 — C\j rj

On voit que : Ac = —2Ai

et

Bc = —2Bi

Par conséquent, la réponse du système à la transition de l'alternance négative vers l'alternance positive est reliée à la réponse en régime libre par l'équation : c S o (M £

M^c(r) = E-2uij/(r) Par un raisonnement similaire, on obtient, pour la transition de l'alternance positive vers l'alternance négative : uyc{t) = 2u\j{t) — E

CL Il en résulte qu'une méthode d'obtention des oscillations libres d'un circuit (cf. chapitre 3) consiste à utiliser comme source de tension, des signaux carrés, de fréquence assez basse, afin que ces derniers se comportent comme une succession de signaux échelons. L'évolution de la tension ii\ aux bornes du condensateur, observée sur un oscilloscope, s'identifie alors, à un facteur multiplicatif et à une constante additive près, à la réponse libre de la charge q\ du condensateur, avec pour conditions initiales :
11. Oscillations couplées

356

1.2. — Équations des circuits couplés en l'absence de résistance Intéressons-nous aux oscillations libres du système des deux circuits oscillants, couplés par la capacité C12 ■ La source de tension est remplacée par un interrupteur que l'on ferme à l'instant pris comme origine. Le condensateur 1 porte initialement la charge q\ (0), le condensateur 2 la charge <22 {0} ; quant au condensateur de couplage, il est initialement déchargé. Supposons que les résistances du circuit soient négligeables considérablement l'analyse sans la modifier qualitativement.

^ 0 et /?2 ~ 0), ce qui simplifie

La loi des mailles appliquée aux deux circuits donne respectivement (Fig. 11.1) : dfi H| + L\ — dr

. h U\2 = 0

. SOlt

S) _ d zq L\C[ ^ dr

U | + U\2 — 0

7" dï2 Ih +, Lo— " dr

U [9 — A 0 '

V SOlt

r ^ d2M2 L-yO-)—— " " d r2

lll — U[2 — 0

r

r

car i\{î) = C[ô.u\/àt, Z2(t) = C2&U2I dt et «12 = qvi/Cn . Comme Z]2 = i\ — 12 = dqi/ dt — dqj/ dr, il vient, en intégrant, compte tenu des conditions initiales :
i2

^,(0) -
C12 <22(0) -^(0)

d2

^ , H , 1 dT^ + l^ + c;

C|2

Il présente un second membre constant qui ne dépend que de la charge initiale des condensateurs. Notons que ce second membre, au coefficient C12 près, s'identifie à la charge de la portion du circuit isolé des générateurs. Il est judicieux d'introduire les charges d'équilibre q\ie et <22,c correspondantes à la solution particulière du système. Ces charges sont celles des condensateurs 1 et 2 que l'on obtiendrait à l'équilibre en présence de résistances. En effet, dans ce cas, la dissipation d'énergie par effet Joule conduirait à la disparition de la solution des équations sans second membre. Ces charges à l'équilibre satisfont aux équations suivantes :

C,

C,

1 _ 9,(0)-
61

( 1 VCl

1 +

C12

qi.e - T^q\,e = <-12


La résolution de ce système donne, après simplification :

9i.e = „ Xr Vr ^ ® ~ C] -(- C2 + C12

et

qi c =

rlTr Vr " C-I + C2 + <-12

Notons que, si le système n'est pas dissipatif, les charges d'équilibre correspondent à des solutions jamais atteintes. Dans la pratique, il est naturel d'introduire les écarts Q\{t) et (22(0 des charges des condensateurs, par rapport aux charges d'équilibre : Qi(0 = q\(0 - q\.e

et

<22(0 = 92(0 -
357

Oscillations couplées

Le système d'équations devient alors homogène et s'écrit : d2Ôi ( 1 1 \ ^ 1 ^ . ,.22 + ( 77^ + j r ) Q\ - j r Qi — 0 d/ \L|C| L\C]2/ L\ Ci2 et +

{piQ,

+

L^Cn)

02

= 0

"

Cette démarche est comparable à celle adoptée en mécanique pour l'élude de deux masselottes reliées par des ressorts (cf. Mécanique). Dans ce cas, les variables adaptées sont les écarts des masselottes par rapport à leurs positions finales. Si l'on modifie les charges initiales des condensateurs, seules varient les charges d'équilibre. L'introduction des écarts de charge conduit donc aux mêmes équations, quelles que soient les conditions initiales. 1.3. — Nature des oscillations On résout le système précédent d'équations différentielles en cherchant des solutions oscillantes de formes complexes : Q = Ai cxpijùt)

et

Q2 = A2 exp(Jflt)

il étant un nombre réel. En injectant ce type de solution dans les équations différentielles, on obtient le système suivant de deux équations algébriques : +

"cl;'4l

+

+

(_a■i2+à+^)y,2

=

0

=

0

Les solutions en fl2 ne présentent de l'intérêt que si les amplitudes A] et A2 sont différentes de zéro ; aussi le déterminant de leur coefficient doit-il être nul, ce qui fournit l'équation caractéristique suivante : (_tf £i + i- +

+ i- + A) _ (1_)

=

0

En divisant par L1L2 et en développant, on obtient l'équation du deuxième degré en O2 suivante :

a4 - a2

9 coï

^ L\Ci2

L2C12/

LjCn

9 9 cosco^ — 0

L\C\

laquelle admet toujours deux racines réelles et positives fi2 et fi2 ; nous envisagerons plus loin le cas singulier où l'une des racines est nulle. Remarque: Avec un couplage négligeable (Z12 = 0 soit C12 infini), on devrait retrouver pour fi les deux pulsations propres des circuits. C'est bien ce que l'on obtient à partir de l'équation réduite : fi4 — a2 + oX) + ùy\(i)2 — 0 qui admet effectivement comme racines a2 = ùj] et a2 = ws.

11. Oscillations couplées

358

La solution générale du système différentiel est une combinaison linéaire de solutions complexes de la forme exip(j£ï\t), , exp^/TLO et exp(—. Par conséquent, elle s'écrit : Q\ = A]] cos(fi]/4- ^i) H-A^cos^t + <^2)

et

£2 = Aji cosfOit + 0|) + A22Cos(n2t + <^2)

le premier indice des ternies d'amplitude étant relatif au circuit 1 ou 2 et le second à la pulsation fi| ou fÏ2.11 vient donc, en condensant l'écriture :

Q\it) = ^2A]pcosiÇïpt + 4>p)

Q2{t) = ^2A2pCOs{ùpt + (f)p)

et

Les amplitudes A[p et A2P ne sont pas indépendantes, puisque suivant la valeur de vaut, d'après le système algébrique précédent : 1

^ = 5, = -nîLlC,2 + ^

et

leur rapport

^ = 82 = -Ù\LxCn + ^ + 1 A12 C\

Finalement, Q\ et Q2 ont pour expressions respectives :

Q\ij) =

cos(%r + (l>p)

et

Qjit) =

BpAip cos{flpt + 0/,)

Les conditions initiales, au nombre de quatre :

<2i(0)

=

q\ (0) — q],e = ^i(O) -

QliO)

=

22(0) - q2,e = qiiO) -

^(0)

=

^(0) = 0

et

Cl Ci + C2 H- C12 C2 Cl + C2 -f- C|2

tei(O) -r/2(0)] 1^2(0) -r/i(0)]

^(0) = ^(0) = 0

permettent de déterminer complètement les constantes An , A12 , 0i et 02 , selon : Al ) cos0i COS 01 A Ai2cos02 Ai2 cos 02 An cos 0i A 52Ai2COS02 i^A 12 cos 02 SiAn cos0i

= —

Q\{0) 62(0)

An sin0i AA12sin02 fijAn sin 0i A ^2^12 sin 02

= =

0 0

En substituant, dans les deux premières équations, les expressions de sin 0] , sin 02, cos 0| et obtenues à l'aide des deux dernières, on trouve : A12 sin 02(^1 —82)

=

0

A|2 COS 02 (jB| —82)

=

01(0)^1 ~ Q-lity

A,, sin0l (S2 — S,)

=

0

Ancos0i (S2-B,)

=

<2i(0)52 - ^(O)

On obtient alors les constantes : 2,(0)6,-22(0) '

4l1

^

62

6,

Ap —

ai(o)B, -^2(0) 82 — B[

01 ~ 0

Oscillations couplées

359

1.4. — Étude complète d'un système symétrique Le cas symétrique, pour lequel L\ = Li = L et C\ = C2 = C, est très important car le couplage des deux oscillateurs est alors maximal. Comme to] — o)\ — oy^ , l'équation caractéristique devient : 1

fi4 - 2fi2 ( a)l

2

co.

OJn — 0 0

LCn de racines : t il — (On

et

fii — (On

LCn

fii et fi2 étant les pulsations propres du système. Comme, dans ce cas : B\ = -a\LCn + ^ + 1 = 1

et

£2 =

+ ^ + 1 = -1

il vient : Q\ (t) — An cos(fii? -p ^1 ) L A12 cos(fi2f + ^2) Avec les conditions initiales, £2i(0) obtient : B2 Al1

=

- 1

02(0 — A| 1 cos(fiit -P ^1 ) — A12 cos(fi2t "P ^2)

Qo , 02(0) = 0, [àQ\/ d t] (0) = 0 et [d Qij d/-](0) = 0, on

A12 — —Qo

Bo — Bi

= 1

(^>1=0

02 = 0

La solution précise est donc :

Qi =

[cos(fiir) + cos^r)]

et

Qi =

[cos(fiir) — cos(fi2f)]

Ainsi, l'évolution des charges Q\ et Qi n'&st pas harmonique, mais une combinaison simple de deux oscillations harmoniques (Fig. 11.2). <220

Qi(t) I

W

w

y 'W

M

FIG. 11.2. Notons cependant que leur somme Q\ -P Q2 et leur différence Q\ — Q2 évoluent, elles, harmoniquement avec les pulsations respectives fl| et O2 : ôi + Ô2 = ôocos(fiir)

et

Q] - Q2 = Qo cos{fl2t)

Exemple : avec L = 100 mH, C = C12 = 1 piF et un condensateur initialement chargé sous 5 V, on obtient : qo = 5 (xC

/, = ^- « 500 Hz 277"

et

/2 = ^ « 870 Hz 277

11. Oscillations couplées

360

1.5. — Écriture matricielle On pourrait écrire les équations différentielles du système sous une forme matricielle plus condensée. En effet, si l'on note d'une part [Q] et [A] les matrices colonnes des charges et des amplitudes, d'autre part [L] et [C-1] les matrices carrées des inductances et des inverses des capacités : [2] =

L\ o

W =

0 u

[c ']= [1/Cl + !./Cl2

-1/C,2 I/C2 + I/C12

le système d'équations différentielles s'écrit :

[^[0 + Ie"1!®

=

M

Le vecteur colonne solution, d'expression : [Q] = aI

ex

P(/^0

donne, une fois injecté dans l'équation précédente, (— [LjO2 + [C-1]) [A] = [0], ce qui entraîne, puisque [A] 7^ 0 : det {—[L]fi2 + [C-1]) = 0 On obtient ainsi, sous une forme concise, l'équation caractéristique donnant les deux pulsations propres. On en déduit alors la relation entre A) et A2, pour les deux pulsations propres, à l'aide de l'équation : Liil" -f- 1/Cj + I/C12 1/0(2

i/cl2 1 p, —L2O- + I/C2 + I/C12 A2

II. — MODES PROPRES OU NORMAUX DE VIBRATION II. 1, — Définition On appelle modes propres ou normaux de vibration d'un système les modes de vibration harmonique. Us sont réalisés pour des conditions initiales particulières qui annulent, dans la superposition des solutions harmoniques, toutes les contributions sauf l'une d'entre elles. Montrons qu'il en est bien ainsi sur l'exemple symétrique précédent.

Si les condensateurs 1 et 2 portent initialement la même charge, q\{0) =
et

£2(0) = ^2(0) - q2,e = qo

Par conséquent : qo 0

= =

Au cos^]+Ai2cos02 —fî|Ai] sin <£]--LLA^ sin <^2

Qo 0

= =

An COS <£1 — A12 cos <^2 —fiiAn sin (£1 + fUA^ sin (£2

On en déduit que 0] = 0 , 02 = 0, Ai 1 = qo et A12 = 0, précisément : Q[(t) = qocos(flit)

et

Qif) =
Ainsi, l'ensemble oscille, de façon hannonique, à la pulsation fl] . On dit que ces conditions initiales choisies ont excité la première pulsation propre Hi .

Oscillations couplées

361

Pour réaliser ces conditions initiales, on utilise deux sources de tension carrée, synchronisées, basse fréquence, que l'on insère dans les circuits, comme le montre la figure 11.3a. Les deux sources ayant un point commun, on peut les obtenir à partir du même générateur.

C 12

C

J

mmii L

mrn^ L

C

Ug nu

J

WW^ L

c

iig nu

WW^ L

C\2'.

C

iig ru b)

a) Mode symétrique

Ue ru

Mode antisymétrique

Fie. 11.3.

b) Mode 2 Si les condensateurs 1 et 2 portent initialement des charges opposées, q\ (0) = —qj(0) = qo , et si aucun courant ne parcourt les circuits, on a, comme précédemment :

<2i(0)

=

qi (0) — q\je = qo

Qi (0)

=

^2(0) — q2,e = —qo

1

2C

C\2

2C + C12

2C + C\2

qo = Qo

2C 2C + C12

= -Qo

Par conséquent : Qo 0

= =

An cos^i + Ai2Cos^>2 —HiAii sin
-Qo 0

= —

Al 1 COS (f>\ — A|2 cos 2 —a,A,, sin^i -h •n2Ai2 sin^>2

On en déduit (f)\ = 0, (j>2 = 0 , Au =0 et A\2 = qo , soit :

Q\{t) = Qo cos (112 r)

et

Q2Q) = -^ocosf^O

Ces nouvelles conditions initiales ont excité la seconde pulsation propre 112 • Comme précédemment, on peut réaliser ce jeu de conditions initiales, en utilisant deux sources de tension carrée, synchrones, basse fréquence, incorporées dans les circuits, comme sur la figure 11.3b. Les deux sources n'ont pas, dans ce cas, de potentiel commun, ce qui nécessite une tension symétrique. On peut, par exemple, utiliser un générateur basse fréquence capable de fournir deux signaux carrés, de même amplitude, mais en opposition de phase. Il est également possible d'utiliser un inverseur de tension pour produire la tension symétrique à partir d'une même source.

II. 2. — Détermination des modes normaux de vibration Pour connaître les modes normaux de vibration d'un système, il suffit d'injecter successivement dans les équations différentielles les solutions de la forme Ai exp(Jflt) et At exp(/flf) ; on obtient alors un système d'équations algébriques en A] et A2 dont on annule le déterminant de la matrice formée par les coefficients de A1 et A2 .

362

11. Oscillations couplées

a) Bobines et condensateur en dérivation Si le circuit est composé de deux bobines et d'un condensateur montés en parallèle comme le montre la figure 11.4a, les équations différentielles s'obtiennent aisément, à partir des équations précédentes, en faisant 1/Ci = I/C2 = 0 et C12 = C :

d" Q\

, Q\ - Qi UC

=0

Qi , Qi — Q\ =0 dt7 L2C

et

Notons que le circuit de la figure 11.4b étant identique, sa mise en équation doit conduire au même système ; en effet, en appliquant la loi des mailles, on trouve : , r d2Q2 r d'ûi n Il ——r- + Li , 0 =0 dt' d t2

^ et

r I2

d2Q2 dP

Q,-Q2 =a 0 C

équivalent au précédent. Il suffit alors de soustraire la seconde équation à la première, pour retrouver le même système.

Ii

«C L2

C

II

Uj

U2

I2S "2

c:

uc

A 02 12 b)

a) Fie. 11.4.

Injectons les solutions harmoniques dans le système d'équations différentielles. On obtient les équations algébriques suivantes : -IVI, + C

A, - -A2 C 1 —fi"l2 + — | A2

1 A! C 1

=0 — 0

L'équation caractéristique du deuxième degré en fï2 s'en déduit aisément : iV

c KL,

=0

I2

d'où les deux pulsations propres : 1/2 fii = 0

et

02

La pulsation flj = 0 correspond à un courant stationnaire d'intensité Iq , dans les inductances. En effet : <2i - 62 = 0

d'où

dîl

=0

et

dt

- il = lo

Le condensateur est déchargé et sa branche parcourue par aucun courant.

Oscillations couplées

363

Avec la pulsation fb , les courants dans les inductances sont en opposition de phase. Comme : 8,=^ = ! An

et

82 = ^ = -^ A12 Z/z

et

Cîf?) = Zo ^

la solution générale du système s'écrit : <2i (t) = /o ? + A|2 COSlïV + 02)

—

Ai2—C0s{fl2t + 02) L'I

Exemple : avec C = 0,1 jjlF , Li = L2 = 50 mH , on trouve : f2 =£12/(Itt) «3,2 kHz . b) Circuits couplés par inductance mutuelle Considérons deux circuits oscillants identiques, couplés par induction (Fig. 11.5). On désigne par M le coefficient algébrique d'inductance mutuelle (cf. Electromagnéîisme). La loi des mailles donne, en désignant par L et C les valeurs communes des inductances et des capacités des circuits oscillants : d(Zi| + M2)

Qi

df

d(L/2 + MQ)

62 _

dt

C ~

—

C

n

Comme fi = dQxj dt et fi = d^fi/dt, il en résulte, en divisant par L et en introduisant «5= l/(LC) : d2ôi , Md2e2 , +

^

2^ _n 0

h

L

i^

+ Uoei

'

-

C

d2e2 , M^Qi

. et

+

^

L

u

<0 <0

U

,

2_A

+Woe2

L^

-0

*2 U

L,2 C

42

Fig. 11.5. TJ O C û (M 1—1 O (M © >CL O U

Les modes normaux de vibration se déduisent des deux équations algébriques obtenues en cherchant des solutions de la forme Ci = Ai expfin?) et C2 = A2 expfifir). Il vient : M [o)q - fl2) A] - yÙ2 Aj

=0

--a2Al + {ù,l-a2)A2 L

=0

L'équation caractéristique, du deuxième degré en fl2, est donc la suivante : ^1 —

M2

—

+ 6>o — 0

Il en résulte les deux pulsations propres : col±col [l — (1 — M2/L2)]1/2 1 — M2/L2

364

11. Oscillations couplées

d'où: Qi —

et

fi 2 =

'1 +M/L

1 — MjL

Lorsque les circuits sont découplés, il ne reste alors plus qu'un seul mode correspondant aux pulsations propres fii = fi2 =
II. 3. — Coordonnées normales a) Définition Rappelons l'équation différentielle du deuxième ordre caractéristique d'un oscillateur harmonique (cf. chapitre 3 et Mécanique) : + fig^ = 0 où q désigne la charge du condensateur dans l'oscillateur électrique. Lorsqu'un système est constitué de deux oscillateurs harmoniques couplés, et plus généralement de N oscillateurs harmoniques couplés, on peut se demander si, pour faciliter l'étude, il ne serait pas possible de trouver un ensemble particulier de coordonnées pour lequel le système se comporte comme deux ou N oscillateurs harmoniques indépendants. Les coordonnées normales d'un système de N oscillateurs électriques couplés sont les N coordonnées indépendantes {X/} telles que l'énergie du système puisse être mise sous une forme canonique caractéristique de l'énergie d'un ensemble de N oscillateurs hannoniques indépendants :

Pour un système à deux degrés de liberté, cette énergie s'explicite selon : c _ 1 """ " 2 l d7

l

+

n2xi+ 1 fdxA2+laV 2n'Xl + 2 dJ + 2

Remarque : Notons que X; n'est pas homogène à une tension, une charge ou une intensité, mais au produit de la racine carrée d'une énergie par une durée. b) Système symétrique à deux degrés de liberté Pour le système symétrique étudié précédemment, la recherche des coordonnées normales est particulièrement simple, car les charges Qi et Q2 n'évoluent pas de façon harmonique :

Qi (t) = ^ [cosÇfV) + cos(fi201

eI

fMO = Y' [cos(^|r)

_

cos(fV)]

On voit que leur somme et leur différence, elles, oscillent harmoniquement : Q+(t) = Qi +Q2 = Qocos(nit)

et

Q-(t) = Qi - & = Qo cosffLr)

365

Oscillations couplées

Pour trouver de façon précise les coordonnées normales, exprimons la forme canonique caractéristique de l'énergie électromagnétique en fonction de Q+ et • Puisque 0\ = (<2+ -|- Q-)/2 et Qi = {Q+ -Q-)/2,tt vient: .

.

, <■

..cc a avec

2

2 o ~ ^ 1ÔI +, ^ 125 + 21(0,-22) £e C,2 " ot 4C

Qi 4C

+ .2-1 2

2C^

V dr

En introduisant les carrés des pulsations propres fij = ojI et f — W'JH

+

4 V

= a^(l + 2C/C12), on obtient :

d(

en fonction des coordonnées normales Xi et X2 : /L\

1/2

Xl = (2)

// \ e^U)

1/2

/r\ (21+22)

et

X2=(-j

1/2

/r\ e_=

-

1/2

(Gl-e2)

Évidemment, X| et Z2 n'ont pas la dimension d'une charge électrique. c) Système asymétrique à deux degrés de liberté Lorsque le système est asymétrique, la recherche des coordonnées normales est considérablement facilitée par l'utilisation du calcul matriciel (cf. annexe 1). Nous avons précédemment montré que l'équation différentielle d'évolution du système se mettait sous la forme :

[L]^Q] + [c- 'ne] = [0] En introduisant les matrices ; m-' =

L1

r 0

^ 1 .o Lï\

et et

flVl - [LT'ir-'l [C J - .

-f (L1 C]2) -{LiCnr1

-ICCnC1 (L2C2) ' + (7.2012)

1

le système différentiel donne : [2] + [rc][e] = [0] Recherchons les modes propres en y injectant une solution harmonique : [Q]=

= [A] exp (jat)

On est conduit à : rc]-n2[/])W = [0]

avec

[7]=^

°

ce qui s'écrit aussi : [rdW = n2 [A] Sous cette dernière forme, les carrés des pulsations propres flj apparaissent comme les valeurs propres A/ de la matrice [Te] ; les vecteurs colonnes [A] correspondants sont les vecteurs propres [V/] associés (cf. annexe 1 ).

11. Oscillations couplées

366

On trouve ces derniers en remplaçant fi par fi, dans le système d'équations algébriques. La solution générale du système s'exprime alors sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs propres. On a donc en notation réelle, puisque [L,] exp (±/fir) est solution (cf. chapitre 3) : [Q\ (r) = [V, ] cos (Lti r + (W + [^2] cos (fLr -h ^2)

[Vi] = A,, ^

et

[V2] = A12 ^

Effectuons le changement de base qui permet de rendre la matrice [Fc] diagonale. Pour cela, on construit la matrice de passage [P] en disposant en colonnes des vecteurs proportionnels aux vecteurs propres [V,-]. On obtient :

i]

et

[D]

=[1

ni

puisque les éléments diagonaux de [D] sont les valeurs propres de [Fc]. La matrice diagonale [D] et la matrice de couplage [Fc] sont reliées par l'équation [Dl = [P]~1 [Fc] [P] • Écrivons le système d'équations dans cette nouvelle base. En notant [X] le vecteur colonne des nouvelles coordonnées, on a :

[Te] = M [O] [py1

[Q] = IP] [*]

et

[P] [X]

+

[/>] [D] [P] ■ I [/>] [XJ

=

0

La multiplication matricielle à gauche par [P]"1 conduit à :

[X] + [D][X] = [0] ce qui donne, en explicitant :

+ £1% = 0

et

+ a?X2 = 0

Dans la nouvelle base, les équations sont découplées, c'est-à-dire indépendantes l'une de l'autre. On retrouve l'énergie électromagnétique en multipliant respectivement ces équations par dX, / d r et 6X2/ ét et en les ajoutant : XiX] + OjXiX, + X2X2 + £11X2X2 = 0

d £eiu „ — =0

avec

^ c Sem = ^(=i

+

On vérifie ainsi que les nouvelles variables X; sont bien les coordonnées normales du système. Cette méthode s'applique aussi à des systèmes comportant N oscillateurs harmoniques. La dimension de la matrice [rc] est alors N x N. L'analyse du problème se résume au calcul des valeurs et des vecteurs propres d'une matrice. Cet aspect technique est important, car commun à tous les domaines de la physique linéaire. Le recours à la simulation, et plus exactement à des méthodes informatiques de diagonalisation de matrices, est souvent incontournable si les oscillateurs couplés ne sont pas identiques et en nombre supérieur à deux.

367

Oscillations couplées

Exemple : la figure ll.l représente des circuits couplés, dont les valeurs sont les suivantes : C] = 2 jxF, C? = 3 jjlF, C12 = 2 jxF, L] = 250 mH, L2 = 500 mH. En utilisant comme unité de capacité le jiF et d'inductance le henry, on trouve : [rc] =

2+2 -1

-2 2/3 + 1

4 -1

-2 5/3

ce qui donne après calcul des valeurs propres et vecteurs propres : A| = flj = 1

A2 = Vl\ = —

[/>]-' =

[9/11

[Fi] =

-6/11

-1/3

[P] =

-3/2

— yjQï ~ Jï®2

et

1 -1/3

1 3/2

~ ÏT+ TT^2

III. — MODES DE COUPLAGE III. 1. — Différents types de couplage a) Couplage capacitif Dans l'exemple des circuits couplés du montage introductif (Fig. 11.1) ou du montage simplifié de la figure 11.4, le couplage était assuré par un condensateur. On dit que le couplage est de type capacitif. Rappelons que dans ce cas, les équations associées étaient les suivantes : d2Ôi ^

, Qx-Qi +

n = Q

. et

d2 Qi , Ô2-Ô1 ^

+

A =0

-^

soit, matriciellement : ^[ô] + [Telle] = 0

avec

[Te] =

"/J-/"

b) Couplage inductif Dans un couplage inductif ou magnétique, les deux oscillateurs interagissent par l'intermédiaire d'un transformateur sans noyau de fer; c'est le circuit de la figure 11.5. Les équations relatives à ces circuits s'écrivent : d2 Q\ d2 Qo LC—^-MC—^ + Ôi =0 d/2 d/2

et

d2 Q-y d2 Oi LC—^ - MC-^-+ 02 = 0 dt2 dr2

soit, matriciellement : 2 r

r

[ d^2 lô] + [Ô] = 0

avec

[FJ =

LC -MC

-MC LC

Notons que cette dernière équation peut être mise sous une forme similaire à celle relative au couplage capacitif, en la multipliant matriciellement à gauche par la matrice inverse pT^]-1 : [ci + inr 1[q] = o

11. Oscillations couplées

368

c) Couplage résistif Sur la figure 11.6, on a représenté un système de deux oscillateurs liés par un couplage résistif. Les équations différentielles se mettent sous la forme suivante (cf. Exercices) : 2 ^[e] + [rR]^[e] + «5[Q] = o La dérivée d'ordre un, supplémentaire, est à l'origine d'un facteur d'amortissement dans la solution. UL,\

ML,2

wsm KXJuO—T4i C

UR

R

UC,2

C 42

i\ ->

■

h

Fig. 11.6. III. 2. — Facteur de couplage L'influence du couplage entre deux oscillateurs est maximale lorsque les deux oscillateurs en interaction sont identiques. Ainsi, pour deux circuits couplés par inductance mutuelle, le couplage est maximal pour un système symétrique. On a vu que les pulsations propres s'écrivaient : fli =

620 (1 +M/L)1/2

et

Ho =

620 , , , rr 1 — M/L)1/2

avec

Ù)f)0 =

f 1 ' — \LC

1/2

Le couplage sépare les pulsations Cl\ et 112 , de part et d'autre de 62o . On appelle/«cfôwr de couplage de deux oscillateurs harmoniques, de même pulsation propre, le nombre sans dimension x A0' permet d'exprimer les pulsations fii et fL sous la forme symétrique suivante : O] =n0{l —/y)1/2 Si x

est

et

02 = no{l + A/)l/2

avec

Oo = 6^0 (^1 -

j

et

M X=T

voisin de 0 ( M -C L ), le couplage est lâche ; si x est voisin de 1 ( M ss L ), il est serré.

III. 3. — Analogie mécanique Il existe de fortes ressemblances entre les circuits électriques et les systèmes mécaniques (cf. Mécanique). Ainsi, les systèmes mécaniques à couplage élastique, par inertie et par frottement, sont respectivement analogues à des circuits à couplage capacitif, indue f if et résistif.

IV. — SYSTEME DE DEUX CIRCUITS COUPLES EN REGIME FORCE Insérons dans un circuit composé de deux oscillateurs électriques couplés, tel que celui de la figure 11.7, une source de tension sinusoïdale u(t) = umcos{cot), et intéressons-nous au régime établi, lorsque l'influence des conditions initiales a disparu (cf. chapitre 4). Il est alors naturel de choisir un état initial de repos où les condensateurs sont déchargés et les courants nuls : les charges d'équilibre sont alors nulles, et les écarts de charge introduits en régime libre s'identifient aux charges portées par les condensateurs en régime forcé.

Oscillations couplées

369 Ur,\

Ul,

UL2

UrO.

L2

n

^-y®S5555v ri u «C.l

c.

Uc

C12!

ne,2

C2 ^2 12

Uer^j Fig. 11.7.

IV. 1. — Équations différentielles Les équations différentielles s'établissent aisément; il suffit d'ajouter aux équations de base initiales un second membre à la première équation. Il vient, après simplification : 62qi

1 dq]

i

2

dt

T] df

Cl2y

d ^2 , 1 dqz + ^2 d t2 T2 dt

2 Cl ) ^2 - Mi—qi C12

1

Um

2 - *>l 7^^2 C12

U =

0

où coi = (LjCi) 'Z2 et 0)2 = (C2C2) l//2 sont les pulsations propres des deux circuits avant couplage. y* Evidemment, les termes d'amortissement dus aux résistances sont proportionnels aux dérivées premières de q\ el q2 • IV. 2. — Amplitudes complexes Comme pour les systèmes forcés à un seul degré de liberté, cherchons des solutions complexes de la forme : qft) =A\ expO>f)

et

q2{t) = A2 exp(jù)t)

Al et A2 désignant des amplitudes complexes de charges électriques. ■a o c u û fM 1—1 O CN! (5) 4—J sz 1 .5 >û. o u

a) Système non amorti Négligeons les amortissements en faisant r| = T2 = oc dans les équations différentielles. Leur suppression ne change rien à l'analyse; elle s'exprime simplement par une amplitude des oscillations qui peut atteindre une valeur infinie. Les équations se transforment en équations algébriques : 222 — CO + W| + —— C12

A, — OJ 1

C, A-, = —£12 — — 7— C 12 L\

et

Ci .2 ^2 — CO-, — A, = 0 <JJ2 ~—A, + j —O)" + £t»2 + —— 1 0.2 C 12 C\2

On en tire : (—û)2 + û>2 + W2C2/C12) UmjL\ à[

-co1 +

+ oj\C[/Cn) [—or- + co\ + cû\C2/C{2) - o)\co\C\C2lC\2

et ; A2 —

{ooiCi/Cn) um/L\ 2

2

2

[—OJÎ + w + Û> C|/C]2) [—co2 + «y2 + ^2^2/^-12)

—

o)^tt)2C1C2/C212.

11. Oscillations couplées

370

Les amplitudes complexes Ax et A2 sont réelles et deviennent infinies lorsque la pulsation d'excitation o) est égale à l'une des deux pulsations propres Li| et fL solutions de :
=

0

C'est le phénomène de résonance pour un système à deux degrés de liberté (cf. chapitre 3). Le rapport des amplitudes complexes des oscillations est évidemment réel et du signe de : —2 _ \ — D\ù)\ — t Ai —ûj- -p (Dj +

llm/L] r C\2

Comme le rapport des amplitudes complexes des oscillations est du signe du dénominateur X(tu), introduisons ce dernier dans l'équation aux valeurs propres du système. Il vient : X (x — toi - à>27r~ A- o)] A\ ~ C12

C12

2 2C\C2_ - ^>1^2 r2 — 12

0

Étudions le signe des solutions réelles X{ = X{ùi) et X2 = X{Ù2) de cette équation. Puisque le produit des racines est négatif (X1Z2 — — Ci/C^ ), l'un des modes correspond à des oscillations en phase des deux circuits et l'autre à des oscillations en opposition de phase. Le premier est le mode symétrique, le second le mode anti-symétrique. h) Système amorti La prise en compte de l'amortissement, c'est à dire des phénomènes dissipatifs, modifie le système d'équations algébriques selon : .Ù)C]Ù)\ 2 -CO^+J -|- £t). + Ojl 0)\C2

Ai +

,0)020-, +
A - ûq2 —-A2 A Al L12 -, 2 £-2 + 0)2—- A2 ^12

=

0

d'où: (—«y2 + ioCioy^j^2 + o)\ -(- o)\C2lC\2) umjL\ Ai =

{—eu2 4"jo)C\eu2/t 1 + tu2 + £u]Ci/C]2){—ru2 -\-jù)C20)\l72 + eu2 + oy^CijC12) — 1/(LiL2C22)

coq OJj C1C2 W/m j 0\2 A2 —

2

2

2

2

eu + jeuC)w /r 1 -f eu + £u Ci/C]2) (—eu2 A- jejC^oj^jT) + eu^ + £«^2/012) — l/LiZ^C^)

Les amplitudes ne divergent plus en Hi et 0-2 : elles restent finies. La dissipation d'énergie, toujours présente même faiblement dans le système, a donc pour effet d'adoucir les pics de résonance. La représentation graphique de l'amplitude |Afj des oscillations conduit à deux situations : i) Si le couplage n'est pas trop lâche, la courbe présente deux raaxima et un minimum (Fig. 11.8a). Les maxima se situent au voisinage des pulsations propres fi] et 02 . Le minimum, appelé antirésonance, se produit pour
371

Oscillations couplées

IA.

\à.2

fi 1

(0

Ho fi2

il

a)

On b)

C)

FIG. 11.8.

Exemple : en utilisant des bobines identiques d'inductances L\ = L2 = 50 mH, de résistances ri = r2 = 8 O, des condensateurs de capacités C\ = C2 = 1 p.F et C12 = 0,5 jxF, on trouve expérimentalement :

f —

27r

~ 770 Hz

fi —

2it

«1,7 kHz

et /0 = ^ « 1, 3 kHz 2TT

V. — COUPLAGE ENTRE PLUSIEURS OSCILLATEURS V. 1. — Équations différentielles du système Le système représenté sur la figure 11.9 est formé d'une chaîne de N oscillateurs linéaires identiques, couplés par capacité ; les valeurs communes des inductances et des capacités sont respectivement L et C. ln+]

hl-l J

IN

\ L Qn— I

.qN+\ C

Hn

Fig. 11.9. Appliquons les lois de Kirchhoff aux circuits n et n + 1 , en introduisant les intensités in des courants dans les bobines. Si l'on désigne par qn la charge de l'armature supérieure du condensateur n, on trouve :

=

. d "d7

r d iu — 1 ^r,

L

qn— i qn ^ ^+c=0

et

r d i

i qn ^r-c

+

qn— i ^ =

0

d'où, par différence de ces deux dernières équations :

r E

d(L

L—i) ^

^Qn C

^«+i C

Qn— i _ a C~

.

d q2u dr

|

2/ o(^"

\ 0

2/

\

n ^

372

11. Oscillations couplées

en divisant par L et en introduisant la pulsation propre = {LC) teurs. Cette équation n'est valable évidemment que pour n tel que : /? — 1 ^ I

et

n-\- \ ^ N

soit

]/f2

, commune à tous les oscilla-

2^n ^N— ]

Une manière de détenniner les modes propres de vibration consisterait à chercher, comme pour deux oscillateurs couplés, des solutions de la forme exç(jilt) et à résoudre le système des N équations algébriques qui en résulte. Cependant la résolution de ce système d'équations différentielles n'est pas aisée, car la méthode s'avère vite difficile à mettre en œuvre, dès que le nombre d'oscillateurs dépasse quelques unités. Aussi est-il judicieux de traiter d'abord le cas d'un nombre infini d'oscillateurs, ce qui permet de retrouver une équation différentielle caractéristique dont la solution est bien connue. V. 2. — Extension au cas continu : N infini Le circuit précédent, dit à constantes de capacité et d'inductance localisées, correspond à une valeur finie de N. Lorsque N est infini, le système se comporte comme un milieu continu avec ces constantes réparties. Les lignes coaxiales sont un exemple de système électrique à constantes réparties. Introduisons alors la fonction q{x, r) qui remplace qH , et la très faible distance cl qui sépare deux condensateurs successifs ; il vient : Cjn

g»+i - g,, _ 1" dc/Çx, t) ci dx

dq(x, t)

Q>\ — \

ce qui donne, en remplaçant d2^„/dr2 par d2q(x,r)/dt2 : d2q(xj)

— coqcI

dq{x: t)

9q{x, r)

dx

dx

Comme : 1 | ïdqjxo) cl |

dx

d2gC, t)

dqjx, t) dx

dx2

on obtient d2q{x,t)

d2q(x: t) -"o ; -Q 2

^it

d2q{Xi t) dx2

1 d2q[xj) v2

dt2

où v = o)cl a la dimension d'une vitesse. Cette équation différentielle est caractéristique de la propagation d'une, onde électromagnétique le long d'une ligne. On montre que la solution a pour expression (cf. Optique ou Electromagnéîisme) :

q+ et

étant deux fonctions quelconques des variables t — x/v et r-\-x/v.

Lorsque les fonctions q+ et q- sont sinusoïdales, on peut les mettre sous la fonne complexe suivante : q± = A± exp jfl ± —^ = A± exp(/T)r) exp{±jkx) où k = fl/v, homogène à l'inverse d'une longueur, est le nombre d'onde.

Oscillations couplées

373

La vitesse v s'exprime simplement en fonction de la capacité et de Tinductance linéiques de la ligne d'oscillateurs. En effet, si Q et L/ désignent ces grandeurs, on a : 1/2

1/2

1

WQ =

d'où

UQd2

v = wod =

1

1/2

LiQd2

d=

1

1/2

UQ

V. 3. — Modes propres de vibration d'un ensemble d'oscillateurs identiques Le résultat précédent suggère de chercher des solutions harmoniques complexes de l'équation différentielle ; d2 g,, + —
=0

Par analogie avec un milieu à constantes réparties, on peut introduire le nombre d'onde k et la distance d qui sépare deux oscillateurs successifs, en posant 6 = kd .On en déduit la relation suivante entre fi et k : fi = 2co.

sin

kd'

La relation fi(Â:), donnant la pulsation propre fi en fonction du nombre d'onde k , est la relation de dispersion (Fig, 11.10); notons que deux valeurs k et —k correspondent à une seule valeur de fi.

2(oq

kd — TT

0

77

Fig. 11.10. La solution générale q se met donc sous la forme : ^ —» qn{t) = A+ exp(/fi/) exp(—jknd) + A_ exp(/fir) exp(Jknd) Ce résultat est analogue au cas d'un milieu infini ; il suffit de remplacer le produit nd par une variable continue x. Comme = 0 et qN+l = 0, quel que soit t, il vient : ^0(0) = (^-i-+^-) =

0

et

^+l(0) =

A

+exp|-j£(Af-M)d]+4_exp[/£(;V+!)<-;] =0

ce qui implique : /4+ + A- =0

et

A4. exp[jk{N + 1)
374

11. Oscillations couplées

Les valeurs de k et par conséquent celles de fi qui conviennent sont donc respectivement 7T kp =P

{N+\)d

et

p étant un nombre entier. Finalement, q

fi,; — Imq sin P

■7T 2{N + 1)_

a pour expression, en posant

N

/

\ )

sin

qn{t) = E^ p=i

= 2/A+

ex

PO'apO

Exemple : le couplage de quatre oscillateurs identiques, harmoniques, de fréquence propre 1 kHz, fait apparaître quatre modes normaux d'oscillation : /, =

fii 277

620 Hz

fio /2 = ^~L2kHz 277

/s = ^ ~ 1,6 kHz 277

et /4 = ^ ~ 1,9 kHz 277

Les modes normaux obtenus peuvent ainsi être représentés en fonction du nombre N d'oscillateurs (Fig. 11.11). Lorsque N devient grand, l'ensemble des modes normaux tend vers un continuum, limite d'un milieu continu. Des ondes peuvent alors se propager dans le milieu, jusqu'à une pulsation limite, appelée pulsation de coupure, cûc = Iojq . i, m/o)o 2 ■■

Vv

Fig. 11.11.

V. 4. — Application à deux oscillateurs identiques En imposant N = 2 dans les expressions précédentes, on trouve : =

fil = 2(Uo sin

<^0

e

t

kïi = 2^0 sin

=

ce qui correspond bien aux valeurs trouvées lorsque Cj = C2 = Cji = C. Les solutions sont alors 2 =

Xl^osin

)

ex

PO'npO

Oscillations couplées

375

On voit que, dans le mode 1 : y/j £,(/) = Ao—expO'Oif)

et

y/j q^t) = Aq—expO'^iO

alors que, dans le mode 2 : W

=

^ expOXV)

et

q2(t) = -A0-y- expO^t)

En passant aux notations réelles et en introduisant go — Aov'/3/2 , on retrouve bien des solutions harmoniques, de pulsations propres O] et : q\{t) = qi (0 — flcos(fiir)

et

q\{t) — ~go(r) = ûC0s{fl2t)

CONCLUSION Rappelons les points importants. 1) Les grandeurs électriques de deux oscillateurs harmoniques couplés n'évoluent pas de façon harmonique, mais comme la supeiposition de deux oscillations harmoniques. Les charges à considérer doivent être les écarts de charge par rapport à la situation d'équilibre, si initialement les condensateurs ne sont pas déchargés. 2) On détermine les deux pulsations propres du système couplé en annulant le déterminant des coefficients qui apparaissent dans le système d'équations algébriques, issu de la recherche de solutions harmoniques de la forme expQr'fir). 3) La nature des oscillations suggère de rechercher de nouvelles coordonnées qui évoluent au cours du temps, selon des lois hannoniques indépendantes qui sont les modes propres de vibration. L'analyse est facilitée par la recherche des valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. 4) Le nombre de modes propres est égal au nombre de variables d'état du système ; c'est ce que confirme l'analyse de l'ensemble de N oscillateurs identiques couplés. 5) Lorsque les oscillateurs couplés sont soumis à un régime forcé sinusoïdal, on observe, comme pour les oscillateurs à un degré de liberté, un phénomène de résonance pour des valeurs de la pulsation excitatrice voisines des pulsations propres du système. 6) Pour un système de N oscillateurs identiques couplés, les solutions sont de la forme : ■d q_n{t) = AexpO&O exp(/n/) o dans laquelle n est le rang de l'oscillateur, d la distance qui sépare deux oscillateurs successifs et k le S (5)

nombre d'onde. La relation de dispersion entre fi et k est alors la suivante :

§

Ù{k) - 2û)o sin

a. u

(oq étant la pulsation propre de l'un de ces oscillateurs.

11. Oscillations couplées

376

EXERCICES ET PROBLÈMES

Pli- 1. Couplage capacitif Dans les oscillateurs couplés représentés sur la figure 11.12, les condensateurs de capacités Ci = C2 = C = 1 jjlF ont été chargés sous les tensions respectives U\ = wc,i(0) = 5 V et U2 = «c,2(0) = —3 V . Le condensateur, de capacité C12 = 0. 1 pE, est initialement déchargé. L'interrupteur K, à deux positions, ferme le circuit à un instant pris comme origine des temps. Les bobines, identiques, ont pour inductances L] = L2 — L = 10 mH . 1. Établir les équations du système reliant les charges q] , qz et ^12 des condensateurs du circuit. 2. On prend en compte les résistances des fils des bobinages. a) Calculer les charges des condensateurs au bout d'une durée infinie. b) Trouver les tensions finales aux bornes des condensateurs, respectivement wi(oo), «2(00) et «12(00). 3. Dans la suite, on néglige les résistances du circuit. À quelles équations satisfont les écarts de charge Q] et Q2 aux charges d'équilibre des condensateurs 1 et 2 ? En déduire les pulsations propres du circuit, ainsi que les modes normaux d'oscillation. 4. Comment évoluent les charges des condensateurs qi et q2 en fonction de fi| , D2 , C, C\2 , Ui et U2 ? On visualise l'évolution de la tension u\(t) sur un oscilloscope. Qu'observe-t-on ? Calculer la fréquence et l'amplitude des modes. u

U

Lt\

cj

Ci

M

-nmw £2 klQ-12

L\

Yi u

L,2

U

U

C,1

CX2 C2

C12"

11


r

Cl i ^ L

C2 L UL <0 o

l

2

K Fie. 11.12.

FlG. 11.13.

Pli- 2. Couplage inductif Les deux oscillateurs de la figure 11.13 interagissent par couplage inductif. La source électrique délivre une tension échelon ue = EY{t). Les condensateurs sont initialement déchargés. Les valeurs des composants sont C] = 3C2 = 22 nF, L = 150 mH , M = 50 mH et E = 6 V . 1. Écrire les équations du circuit donnant l'évolution des charges q\ et ^2 des condensateurs, de capacités respectives C{ et Ci. 2. Calculer les pulsations propres du système couplé, ainsi que les modes normaux d'oscillation. 3. Comment évoluent les courants i\ et i2 ? 4. Étudier l'évolution de la tension

et calculer l'amplitude des deux modes correspondants.

377

Oscillations couplées

Pli- 3. Couplage résistif Dans le circuit représenté sur la figure 11.14, l'interrupteur K est fermé, à l'instant initial. Les condensateurs, de capacité C] et C2, portent à cet instant les charges respectives q\ (0) = qo et 42(0) =0. s w 1. Ecrire les équations du circuit donnant révolution des charges q\ et qi des condensateurs. 2. Rechercher, à l'aide des coordonnées normales, les modes propres du circuit. On donne C\ = C2 = C = 10 jjlF , L = 0,8 H, i? = 30 fi. 3. Déterminer l'amplitude des modes propres de vibration pour les tensions aux bornes des condensateurs, sachant qu'initialement, le condensateur de capacité Ci a été chargé sous la tension E = 20 W . Qu'observe-t-on ? 4. Que deviennent les modes propres quand on augmente la valeur de la résistance de couplage ?

r-nmmL

C2 C2

Cl

L\

<3 7-2

12 FiG. 11.14.

FIG. 11.15.

Pli- 4. Résonance de deux circuits couplés On étudie la résonance dans le circuit de la figure 11.13 dont la source électrique délivre une tension sinusoïdale ue = um cos((y?). 'm 1. Ecrire, en régime établi, les équations du circuit donnant l'évolution des charges q\ et ^2 des condensateurs. 2. Calculer les pulsations de résonance et d'anti-résonance des tensions et 112 {t) aux bornes des condensateurs du circuit, pour L = 0,3 H , M = 90 mH et Ci = IOC2 = 220 nF. 3. Tracer l'allure du graphe représentant les rapports u\fum et 112 j11 m en fonction de (ù . Pli- 5. Recherche de pulsations propres Calculer les modes normaux de vibration du circuit de la figure 11.15, sachant que C2 = 40 nF, Ci = 10 nF et L, = 5L2 = 150 mH.

Pli- 6. Recherche de pulsations propres par la méthode matricielle On souhaite déterminer les modes propres des oscillateurs couplés de la figure 11.16. 1. Écrire les équations du circuit sous forme matricielle, en introduisant la matrice de couplage [rc] des courants de maille. On introduira les pulsations coh = 1 /(QL/). 2. Déterminer les valeurs propres de la matrice de couplage pour ù)\\ = co\2 = ^23 = o)q , CO22 = 2ûJq et W32 = 3&)q . En déduire les fréquences propres du circuit, sachant que fo = 3,2 kHz.

11. Oscillations couplées

378

rcmmu

Li

Ci!

Li C2

C3

FIG. 11.16. Pli- 7. Mesure du facteur de couplage 1. Afin de déterminer l'inductance propre L d'une bobine, on associe en série cette dernière avec un résistor, de résistance r = 10 O. L'ensemble est alimenté par un générateur d'impédance interne purement résistive, de valeur r, = 50 fi, qui délivre une tension stationnaire de 5 V. Une mesure préalable à l'ohmmètre a permis de déterminer la résistance r/, — 5 fi des fils du bobinage. a) Déterminer, en fonction de L et de résistances que l'on précisera, la constante de temps du circuit. b) Aux bornes du résistor, une durée de montée de la tension est Tm = 8,5 ms . Trouver l'inductance L de la bobine. 2. On souhaite mesurer le facteur de couplage x — de deux bobines identiques à la précédente, M étant l'inductance mutuelle des deux bobines. On réalise pour cela le circuit de la figure 11.17. Le générateur délivre la tension d'entrée ue = um cos(W). a) Établir l'expression de la fonction de transfert H(jco) = ip/ip et calculer le facteur d'amplification en tension du montage. b) A quelle condition peut-on négliger la résistance des fils du bobinage dans l'expression de la fonction de transfert ? c) À la fréquence / = 5 kHz le gain en tension est 0,17 . Calculer ^ et M. M f / \\ Y T

i\ H

i

T

\

C2 n. FIG. 11.17.

Fig. 11.18.

Pli- 8. Circuits couplés dissipatifs en régime forcé Le circuit de la figure 11.18, pour lequel L = 10 mH , M = 6 mH et R = 20 fi , est alimenté par une tension sinusoïdale ue = iimcos{cot). 1. Les condensateurs sont différents : C| = 2,2 jxF et C2 = 1 pJF. a) Établir les équations auxquelles satisfont les charges qi et qi des condensateurs. b) Déterminer les amplitudes complexes A, et A2 des oscillations. Calculer les pulsations propres de résonance flj et fi2 en l'absence de dissipation d'énergie. c) Tracer l'allure des courbes donnant l'amplitude des tensions aux bornes des condensateurs, lorsque les résistances des circuits restent faibles mais que la dissipation n'est pas négligeable.

379

Oscillations couplées

2. Les condensateurs sont identiques ; Ci = C2 = C = 1 jxF. a) Établir l'expression de la fonction de transfert mètres sans dimension : coM et Q" = Q' = R

H{j(o) = uJlLe '

en

faisant apparaître les para-

1 / 1 - [ Lco - —R \ COJ

b) Exprimer le facteur d'amplification en tension An . c) Calculer la pulsation propre ùjq et le facteur de qualité Q = Lcoq/R de. chaque circuit. d) Effectuer un développement limité au premier ordre du gain autour de coq . On introduira l'écart spectral relatif : rj = {co — coq)Iù)q
Pli- 9. Analogie mécanique Cwëg) 1. Etablir les équations différentielles auxquelles satisfont les positions des masselottes de la figure 11.19a, assimilées à des points matériels repérées à partir de leur position de repos. 2. Etablir l'analogie entre les grandeurs électriques et mécaniques. 3. Trouver un système mécanique analogue au circuit de la figure 11.19b.

§

I

72

A\{m\) KT

L\

Aiinn)

C, C2

K[2 1 >1 ' V2 •

1— ■ v, '

Kl

• Li

R b)

a) Fig. 11.19. Pli- 10. Chaîne de N oscillateurs identiques

On considère une chaîne de N oscillateurs électriques identiques couplés (Fig. 11.9). 1. Établir le système d'équations différentielles auquel satisfont les charges qn des condensateurs. 2. Pour toute maille non située aux extrémités du circuit, rechercher des solutions de la forme q^{t) = A+ exp(J6n) exp(/fi?) + /!_ exp(—j0n) exp(j0.t), Expliciter la solution générale obtenue. 3. Calculer les fréquences propres de cinq oscillateurs identiques, de capacité C = 50 nF et d'inductance L = 200 mFf.

12

Effets non linéaires en électronique

Jusqu'à présent, nous n'avons étudié que des systèmes linéaires, lesquels jouent un rôle essentiel, car très souvent, dans le voisinage d'un point de fonctionnement d'un système complexe, on peut choisir de nouvelles variables d'entrée et de sortie, de telle sorte que ce dernier ait un comportement linéaire. Sur le plan technique, les méthodes d'analyse de ces systèmes appartiennent au vaste domaine d'une physique qualifiée de « linéaire ». Les résultats sont en général assez simples. Les effets non linéaires traduisent un écart au comportement linéaire d'un système. Parfois non souhaités, quelque fois recherchés, ils jouent, en électronique, un rôle important, notamment dans la réalisation de systèmes oscillants. L'étude des systèmes non linéaires étant techniquement plus difficile que celle des systèmes linéaires, on a souvent recours à l'informatique pour résoudre les équations qui se posent. On constate alors que certains de ces systèmes, bien que déterministes, ne sont pas prédictibles, d'où leur intérêt scientifique. Ils font actuellement l'objet de recherches très actives dans les différents domaines de la physique, de la chimie, de la biologie, car ils ouvrent la voie à l'analyse de phénomènes complexes, auparavant incompréhensibles.

I. _ SYSTEMES NON LINEAIRES 1.1. — Rappels sur la linéarité et non linéarité a) Relations linéaires La relation s{î) = c)|e(V)] entre deux grandeurs physiques e{t) et s{t) où S désigne un opérateur, est linéaire, si on a, Ai et A2 étant deux constantes indépendantes des grandeurs e et ^ considérées (cf. chapitre 6) : «S[Aicj -f A2C2] = Ai^i -f A2.S2

où

51 = «Sfci]

et

52 = »S[c2]

Cette relation s'exprime aussi à l'aide de l'équation différentielle linéaire suivante ; dl']e

d*-' 5 ak

d7

+ ak ]

~ dr^"

+

+ a(>

~ ^ d7

+ bl l

~

cTF1"

+

"■

+ boe

^

dans laquelle les coefficients tels que et bi sont indépendants de s{[) et e{t). Si l'un au moins de ces coefficients dépend du temps, la relation est dite paramétrique. Le plus grand des nombres k ou / est/'onire /« re/cùfon. La connaissance des k conditions initiales sur s{t) permet de résoudre complètement l'équation s(t) = <S'|e(r)].

Effets non linéaires

381

Montrons que la propriété générale de linéarité est satisfaite par la forme précédente, précisément que toute combinaison linéaire A|ei(/) + , des signaux d'entrée e\{T) et ^(t), admet comme solution la même combinaison linéaire A].vi(/) + > des signaux de sortie s\{t) et S2(t) correspondants : dk

d^i at

+ at

1

, dl e\

5]

1

dl

1

e\

a

-

+ -+ osl{t)-bl — +bl.1- —

+ ... -bèo eiff)

et : dk S2 ak

'dff

d^"1 52 + ak

{

~

1 +

dT^

d/

d 62 ■"

+ ao S2

hl

^ ~

r+ hl

~dt

l

1

62

171- +

+ ho e2

~ "d?

^

donnent, en multipliant la première équation par A] , la seconde par A2 et en ajoutant :

ak

dk s dtk

dk-ls dl e dl-le ^-i dt . ^_i «0 s{t) — bj bi- d{l_ï —* k-\ + ••■ +—vv - —j dfi + —. a

-

bo e{r)

avec : e(t) = Xiei{t) + A2€2(/)

et

s{t) = Aj.v, {t) + A252O)

Exemples : i) Caractéristique d'un dipôle ohmique (Fig. 12.1a et chapitre 1) : i = u/R . ii) Montage suiveur à amplificateur opérationnel (Fig. 12.1b et chapitre 8) : dus tq— h us = Aqg dr

avec

e — ue — iis

iii) Couplage inductif de deux oscillateurs LC identiques (Fig. 12.1c et chapitre 11) : d

2fô]

+ [r][ô] = o

_

D>

dr

M I \ y r "k S

1/R C 7777 a)

b)

L

o o
12 L

C Qi

C) FIG. 12.1.

b) Relations affines La relation entre e{t) et s{î) est affine si elle se met sous la forme suivante s(t) = K e{t) + 50 K et 5o étant des constantes indépendantes du temps. Évidemment 5o est nécessairement non nul, sinon la relation serait linéaire. En revanche, K peut être éventuellement nulle.

382

12. Effets non linéaires en électronique

Notons qu'une relation affine n'est pas linéaire puisqu'elle ne vérifie pas les propriétés de linéarité. L'importance de ce type de relation est néanmoins considérable. En effet : i) un système constitué de dipôles de caractéristiques affines et de sources idéales est décrit par un ensemble d'équations linéaires reliant les courants dans les branches du circuit aux sources, conformément aux lois de Kirchhoff (cf. chapitres 1 et 5) ; le système ainsi constitué est alors linéaire. ii) on peut décomposer une caractéristique de dipôle non linéaire en un ensemble de segments s'exprimant chacun par une relation affine. Cette méthode, mise à profit dans l'idéalisation des caractéristiques de dipôles, par exemple des diodes (cf. chapitres 1 et 7), est aussi utilisée dans les logiciels de simulation des circuits. L'informatique permet en effet la gestion de nombreux segments et ainsi d'approcher les caractéristiques réelles. Exemples : i) Source de tension stabilisée usuelle (Fig 12.2a) : ,9 = f/s = 30 V

d'où

K=0

et

xq = 30 V

ii) Cellule photoélectrique de marque SOLEM au voisinage de sa tension à vide (Fig 12.2b) ; en fonction de l'intensité I du courant, la tension de sortie a pour expression : s — Us — —l 200/ + 3,2

avec

I=e

d'où

K = —l 200 O

et

.vq = 3,2 V

iii) Source de courant (Fig 12,2c) ; l'intensité du courant débité par la source s'écrit, si / est en ampère et U en volt : 5 = 7 = 5 — 0,02 C

avec

U=e

>7

d'où

K = —20 mS

et

5o = 5 A

7\

/ i

0

50

Us

o

\ ■î0\

Us

U7P U ^ 1

1

FIG. 12.2. c) Relations non linéaires Lorsque la relation entre e{t) et 5(/) ne satisfait pas à la propriété de linéarité précédente, elle est qualifiée de non linéaire, ainsi que les systèmes caractérisés par cette relation. Une conséquence importante est que le théorème de superposition ainsi que les théorèmes de Thévenin et de Norton, qui lui sont directement liés, ne sont plus valables pour les systèmes non linéaires. Il s'agit là d'une différence fondamentale qui, comme nous allons le voir, est à l'origine de phénomènes physiques spécifiques, inaccessibles aux systèmes linéaires. L'analyse des systèmes non linéaires est généralement plus complexe que celle des systèmes linéaires en raison des difficultés techniques dans la résolution des équations qui les régissent. Exemples : i) La diode, dont la caractéristique 7(77) est représentée sur la figure 12.3a, est un composant passif non linéaire (cf. chapitres 1, 2 et 7). il) Le multiplieur à deux entrées (Fig. 12.3b) est un composant actif qui fournit une tension de sortie proportionnelle au produit de deux tensions d'entrée : us = Km U\U2 , Km étant le coefficient du multiplieur, évidemment homogène à l'inverse d'une tension.

Effets non linéaires

383

/(mA) X u,,o "e.l U

u

7777

777/ 7777

a)

b) Fig. 12.3.

1.2, — Dipôles non linéaires Un dipôle est non linéaire lorsqu'il n'existe pas de relation linéaire entre la tension u à ses bornes et l'intensité i du courant qui le traverse. Les exemples de dipôles non linéaires sont nombreux (cf. chapitres 1 et 7). Sur la figure 12.4, on a représenté les caractéristiques de plusieurs dipôles non linéaires. a) Diode à vide La diode à vide fut inventée par l'électricien anglais J. Fleming, à la fin du XIX ^ siècle. C'est un tube en verre, où règne un vide poussé, dans lequel une cathode métallique chauffée émet des électrons ; ces derniers, en raison de l'agitation thermique, s'extraient du métal par effet thermoélectronique. Le courant électronique est recueilli par une anode portée à une tension positive par rapport à la cathode. Les diodes à vide sont encore utilisées de nos jours, notamment pour redresser les hautes tensions alternatives (cf. chapitre 2). Notons que l'intensité de saturation îsat dépend de la température Tc de la cathode (Fig. 12.4a). b) Triode Schématiquement, une triode est une diode à vide à laquelle on a ajouté, entre l'anode et la cathode, une grille. Lorsque la grille est polarisée par une tension positive ( > 0 ), la caractéristique de la triode présente une région à résistance négative (Fig. 12.4b). Les triodes précédèrent les transistors actuels. Historiquement, elles équipèrent les premiers amplificateurs électroniques et les premiers oscillateurs auto-entretenus. De nos jours, elles sont encore utilisées par les radio-amateurs pour l'amplification HF, en raison de leur faible coût, et occasionnellement dans certains dispositifs de traitement du son, par exemple ceux destinés à produire certains effets musicaux de distorsion dans les guitares électriques. c) Diode à jonction Ces diodes formées par une jonction de semi-conducteurs ont des usages très variés (Fig. 12.4c) : i) traitement des signaux : suppression d'alternances négatives ou charge de condensateurs sous tensions alternatives (cf. chapitre 7), etc. ; ii) détection : détecteur de crêtes (cf. chapitre 4), démodulation d'amplitude (cf. chapitre 16), etc. ; iii) redressement à basse et haute tension (chapitres 2 et 9). d) Diode Zener Comme on l'a déjà vu (cf. chapitre 1), la régulation de tension est la principale utilisation de la diode Zener dont la caractéristique est rappelée sur la figure 12.4d. e) Diode Esaki et diode Gnnn La diode Esaki, du nom de son inventeur le physicien Japonais L. Esaki. fonctionne par effet tunnel, d'où son autre nom plus répandu de diode à effet tunnel (cf. Ouantique). Sa caractéristique est représentée sur la figure 12.4e ; elle a été tracée en régime variable à très haute fréquence ( 1 GHz ).

384

12. Effets non linéaires en électronique

La portion de caractéristique à pente négative a été utilisée dans le passé pour réaliser des oscillateurs à résistance négative. De nos jours, elle est remplacée par les résistances négatives que l'on réalise aisément avec les amplificateurs opérationnels (cf. chapitre 8). Dans le domaine des hyperfréquences, on utilise une diode de technologie comparable mais plus rapide, la diode Gunn, du nom de l'ingénieur américain J. Gunn. On trouve ce type de dipôle dans les détecteurs de mouvement par effet Doppler travaillant à 9,9 GHz . f) Varistance Les varistances, qui sont constituées de grains de carbure de silicium ou d'oxydes métalliques, ont une caractéristique assez bien représentée par la relation suivante (Fig. 12.4f) : I — kUn

avec

2 < n < 10

Elles sont généralement utilisées pour protéger les circuits contre les surtensions, par exemple celles provoquées par la foudre. g) Lampe à incandescence à filament métallique La résistance électrique d'un conducteur métallique augmente avec la température. Lorsque le courant croît dans une lampe à incandescence, la dissipation d'énergie échauffe le filament, généralement en tungstène, ce qui entraîne un accroissement de la résistance de la lampe (Fig. 12.4g). h) Tube à gaz Ces tubes contiennent des gaz rares ou des mélanges de gaz rares avec parfois du dihydrogène. Le tube s'illumine, dès que la tension à ses bornes atteint une tension de seuil Us (Fig. 12.4h). La diode à gaz, qui est un tube à vide que l'on a rempli de mercure gazeux, était utilisée pour redresser des tensions triphasées (cf. annexe 2). Son avantage réside dans sa capacité à tolérer de fortes intensités de courant, de l'ordre de 1 kA . Les tubes néons, communément appelés « néons », produisent une lumière de couleur rouge caractéristique du néon ; ils ne sont plus guère utilisés de nos jours que dans des enseignes publicitaires. Les tubes fluorescents actuels, que l'on appelle parfois « néons » à tort, contiennent des vapeurs de mercure et non de néon. Ils émettent dans le domaine ultraviolet, mais une fine poudre de terres rares, qui recouvre l'intérieur du tube, absorbe ce rayonnement et provoque une émission lumineuse dans le domaine visible. Ces terres rares du bloc / de la classification des éléments chimiques se désexcitent par fluorescence dans le domaine visible en produisant un spectre riche en raies, ce qui confère au tube § o o

o. > u

une couleur blanchâtre ; le spectre obtenu est intense et proche de celui de la lumière solaire naturelle, ce qui évite la fatigue oculaire. i) Cellule électrolytique Dipôle essentiel en électrochimie, la cellule électrolytique joue un rôle déterminant dans l'industrie : fabrication de soude et du dichlore, obtention de métaux purs, plaquage électrolytique, etc. (Fig. 12.4i). j) Photodiode Une photodiode est une jonction pn éclairée (cf. chapitre 1). Ce photodétecteur couramment utilisé, présente deux modes de fonctionnement distincts : le mode photoconducteur du troisième quadrant caractérisé par une bonne linéarité courant-éclairement et le mode photovoltaïque du quatrième quadrant où la photodiode se comporte en générateur (Fig. 12.4j). Les photodiodes sont utilisées comme détecteurs dans le domaine visible, ultraviolet et infrarouge, ou comme générateurs, par exemple dans les panneaux solaires.

385

Effets non linéaires

1* i Tc,\ > Te,2 J 'sal, 1 " isai,2- —/

I■

TC 2

'

/~Vo U

0

\

a) Diode à vide

I.

1 ' Effet d'avalanche

1

/

U

Uj

b) Triode

c) Diode à jonction

/

S\ 1 Eà

;/ Diode / / à jonction

* V

U

d) Diode Zener

e) Diode Esaki

J

f) Varistance

l'

J"

! Diode à vide

0 U

\

j 0

-J g) Lampe à filament

q

/'

/ 'Amorçage

1 Us

" V

V

E

~ É2 > É\ j) Photodiode

>. ^

(.)n

—

i) Cellule électrolytique /■

I'

0 ^-/h

1 y f |

h) Tube à gaz

/.

Eo

j

j Diode / à jonction

Ar

r

Up

/j _ÉJ J É2 > É, k) Photopile FlG. 12.4.

u

0 y \

É, £2 > £1

1) Phototransistor

12. Effets non linéaires en électronique

386

k) Photopile ou cellule photovoltaïque Une photopile est une photodiode qui fonctionne en mode photovoltaïque, c'est-à-dire qu'elle est polarisée en inverse (Fig. 12.4k). Elle se comporte alors comme un générateur électrique qui convertit l'énergie lumineuse en puissance électrique. Ce composant est utilisé notamment dans les panneaux solaires et dans certaines calculatrices de poche. /) Phototransistor Un phototransistor est un transistor dont la base est éclairée (cf. chapitre 7). Son comportement étant moins proche de la linéarité dans la relation courant-éclairement que la photodiode, le phototransistor est souvent utilisé en commutateur (Fig. 12.41). 1.3. — Résistance négative à base d'AO Un dipôle à résistance négative est un dipôle actif qui fournit de la puissance électrique au circuit au lieu d'en recevoir comme dans un résistor habituel. On le réalise aisément avec un amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8). ?J rz X

-înl,-

1

! ; sb Unl,7777"

Ri

'«/,+" l

o,+,r

a)

| 1 | \ 1

U

> S/

b) Fig. 12.5.

Étudions le fonctionnement du dipôle représenté sur la figure 12.5a. i) En régime linéaire de l'AO, on a : U — U— — Il-Y- =

R R -\- R2

us

et

u — us = R\i

ce qui donne ; R u = ———iu — R\i) R -f R2

soit finalement

R u = —R — i Ri

La caractéristique du dipôle en régime linéaire est celle d'une résistance négative. Remarquons qu'avec R] = i?2 , on obtient simplement u = —Ri. ii) Lorsque l'AO est en régime saturé, la tension de sortie us a pour valeur Usat^+ ou US(lt- . Faisons l'hypothèse d'une saturation haute, us = Usa!.+ > 0 :

u

+

=

R p D usar,+ K , /v2

et

u = u_ = Usa{!+ + Rii

d'où

1 i = -—{u - Usa[,+, K|

Effets non linéaires

387

La saturation haute impose une condition supplémentaire u+ — ii- > 0 : ~

= /? + i?2

Esai,+

^sa!,+

E[i > 0

d où

i <

Le point de transition du passage de l'AO du régime linéaire au régime saturé s'obtient pour ;

L/,+ —

rTTrî i t> N A|(A+K2/)

^

^fj/,+ — ^7.ra/,+ "L

La tension aux bornes du dipôle, u = f/raf)+ I _

ï0)+

L/,4- — 7î i n ^sai,-\- ^ d A + A2

R]i, s'annule alors si : Usat,+ —
_

Dans l'hypothèse d'une saturation basse, u5 = Usat- < 0, on obtient des résultats similaires :

U

+

=

R d , /\2 d Usa!,K -f-

et

U = u- = Usar- + R\i

La saturation basse impose la condition m+ — R w+ ~ U— = ^

—

d'où

1 i = —{u - Usât-) A]

<0 : Ri

Usât,- ~ Rlî <0

d OÙ

i rel="nofollow">

Usat,-

Le point de transition du passage de l'AO du régime linéaire au régime saturé s'obtient pour :

hil,—

=

Ri n (r> i n \ Usât,— >0 A ] ^A "T A2 J

et

tl/il,—

=

R UsaJ^— + R\ijti — = — - —Usnr<— < 0 A "h A?

La tension aux bomes du dipôle, u = Usât,- + Rii, s'annule donc si : U
i = *o,~ -

La caractéristique totale du dipôle est tracée sur la figure 12.5b. Le point de discontinuité de la dérivée première dz/ du introduit une non-linéarité franche. Exemple : pour le dipôle à résistance négative de la figure 12.5a, les valeurs sont les suivantes : Usa{>+ = -Usnr- = \5W

i?i=i?2 = 5kn

La transition linéaire non-linéaire s'effectue aux points Lia. = —ini _ = ———- = —1 m A ,+ ' 10 + 5

et

et

, /„/,+} et

R=l0kn avec:

u,,! ,+ + = —uni - = — 15 = 10 V ' 10 + 5

La tension s'annule dans le domaine non linéaire pour :

zo,+ = -k - = - y = -3 mA

12. Effets non linéaires en électronique

388

iii) Stabilité du régime linéaire L'AO étant doublement rétroactionné, la stabilité du régime de fonctionnement linéaire n'est pas assurée. Considérons un circuit passif en régime stationnaire comportant un dipôle AB à résistance négative et une résistance Rc (Pig. 12.6). Les équations de ce circuit s'écrivent : dwç r— h Qt

. i , = Au{u+ - W_)

Circuit de charge 1

R M+ = r——-—Us K -\- K j

. A

et

u- =

Rc , ^ Us Kc + K i

x

7777"

Ri

Fig. 12.6. Puisque Ai(

1, l'équation donnant la tension de sortie iis de PAO devient :

d My r— + {pn - pp)us « 0

avec

p

P

= R

R + Rl

et

pn =

R, Rc +

où pp et pn sont respectivement le taux de réaction positive et le taux de réaction négative. Le système n'est stable que si l'argument de l'exponentielle solution de l'équation différentielle précédente est négatif, c'est-à-dire si p,, > pp . Lorsque la résistance de charge en régime stationnaire est très faible, pn 0 et pp > p,, œ 0, l'AO sature systématiquement, le système est instable. C'est le cas par exemple, si la charge est une cellule LC parallèle. Notons qu'il suffit d'inverser les entrées + et — de l'AO pour stabiliser le système (Fig. 12.7a). En 12.7b, on a représenté la caractéristique correspondante. En revanche, pour une résistance de charge très élevée, pn ^ I et pn > pp ; l'AO est donc stable. C'est le cas lorsque la charge est un circuit LC série. i i

A""~

- Ei. -

A 0 / "k"2

u

'f+ J 'Uo,+ U

U V

b)

a) FIG. 12.7.

Effets non linéaires

389

Remarque : Le système représenté sur la figure 12.7a est analogue au système précédent dans lequel on a inversé les entrées de l'AO. On voit que la caractéristique de ce système, qui est donnée sur la figure 12.7b (cf. Exercices), a une allure « en N » et non plus en « S », comme précédemment. Ces deux configurations sont associées respectivement aux oscillateurs RLC parallèle et série (cf. chapitre 14).

II. — TRANSFERT NON LINEAIRE On sait que l'on peut caractériser un système par sa caractéristique de transfert, c'est-à-dire par la représentation graphique de la relation entre l'entrée et la sortie qu'il en donne. Pour un système non linéaire d'ordre zéro, c'est-à-dire insensible aux variations temporelles des signaux d'entrée ou de sortie, la caractéristique de transfert est une courbe dont l'équation est donnée par la relation s(t) = é>|e(/)], où <S est une fonction de e, donc indépendante de t et de la forme de e{t).

II. 1, — Amplificateurs fonctionnels Un amplificateur/(Mcfi(Mne/ est un système électronique capable de transfonner un signal d'entrée e(t) en un signal de sortie .9(/) selon une fonction 6" souhaitée : s(t) = S [e(t)] L'intérêt majeur de ce type d'amplificateur est de réaliser un transfert non linéaire. a) Systèmes avec AO Un moyen de réaliser un amplificateur fonctionnel est, par exemple, d'associer à un dipôle V, un AO travaillant en régime linéaire. La fonction réalisée est donnée par la caractéristique : i = S{u)

soit

u=S

1

(/

si la fonction réciproque S 1 est définie. Par exemple, dans le système de la figure 12.8a, la relation entre l'intensité i du courant dans le dipôle et la tension ue d'entrée, est non linéaire et s'écrit : i = S{ue) = —R

d'où

iis = —RS{ue)

R -i V

i-

Ud

[>oo

id

Ud 47

n 7777

+

a) Fie. 12.8.

12. Effets non linéaires en électronique

390

De même, pour le système de la figure 12.8b :

*

=

~R

=

S{~us)

et cIonc

li

s

=

S ' (^■)

Ainsi, la réalisation d'un système à transfert non linéaire donné se ramène à la construction d'un dipôle non linéaire dont la caractéristique détermine la fonction non linéaire désirée. Les limitations de ce type de montage sont dues, d'une part à l'AO, qui présente une bande passante de largeur finie, une vitesse maximale de balayage et à la saturation en tension (cf. chapitres 8 et 9), d'autre part au dipôle qui impose aussi sa bande passante et dont les caractéristiques peuvent varier avec la température. b) Amplificateur exponentiel Un amplificateur exponentiel (cf. chapitre 8) est un système dont le transfert non linéaire est une fonction exponentielle : fur\ us — us,o exp «s o et uefi étant des tensions constantes. c) Amplificateur logarithmique Un amplificateur logarithmique (cf. chapitre 8) est un système qui réalise le transfert non linéaire suivant : us = sq In («Ê./
qui donne en soitie un

Afin d'analyser soigneusement le rôle d'un multiplieur, appliquons à l'entrée du multiplieur deux tensions sinusoïdales, de fréquences f\ et /2 , auxquelles on a supetposé des composantes stationnaires U[ et U2 : U] = U] + Um I COS {ù)\t -\- fi\) et U2 = U2 + llnh2 ^OS {ù)2t + fil) avec (ù\ = Irrfx et 0)2 — 217/2 ■ La tension de sortie us = Km u \ «2 du système est alors : us = KmU\U2 + K-mlli nmj cos {o)\t + ^1) + kmU1 um^2cos [(x>2t + fii) + «12

«12 = ~KmumAumacos [(^1 + ù)2)t + fix+ fil] + -KmUnifiUm!2 cos [{wj - ù)2)t A fi] - fil] On constate que le signal de sortie comporte une composante stationnaire (fréquence nulle) ainsi que quatre pics de fréquences f\ , fi, f\ + fi et |/i — fi] (Fig. 12.9a). Le signal de soitie contient les harmoniques du signal d'entrée et deux harmoniques supplémentaires f\ Afi et \f\ —/2I. Le transfert non linéaire effectué a donc eu pour effet d'enrichir le contenu harmonique du signal.

Effets non linéaires

391

Remarquons que l'annulation en entrée du système de la composante stationnaire U\ (respectivement U2 ) 'à pour effet de supprimer l'harmonique de pulsation ojj (respectivement oq ). En outre, si les signaux d'entrée n'ont pas de composante stationnaire U\ = Ui = 0 , le signal de sortie se limite aux deux harmoniques de fréquences l/i—/2I et/i-|-/2 (Fig. 12.9b). Notons que si les tensions d'entrée sont identiques et les composantes stationnaires nulles, le signal de sortie possède une composante stationnaire, et un signal de fréquence double Iff de celle des entrées.

K

K

Uni. I nm,2

Um. I Uni,2

K.,

\m\' Um, 1 Um,2

U2

K U2 um. 1 k U[ um.2 /1 f2

f]

h f] +/2

/

/2-/1

/1 +/2 /

b)

a) FIG. 12.9.

Les systèmes multiplieurs permettent de moduler l'amplitude d'un signal par un autre. Cette opération joue un rôle important en télétransmission de l'information, détection synchrone etc. (cf. chapitre 16). Notons enfin que les systèmes multiplieurs entrent dans la conception de nombreux appareils de mesure, tels que phasemètres, wattmètres, voltmètres RMS, etc. Exemple : multiplieur AD633 à quatre quadrants Le circuit analogique AD633 (Fig. 12.10) est un circuit intégré multiplieur de tension, à haute impédance d'entrée ( 10 Mfi ), à bande passante étendue ( 1 MHz ), capable de travailler dans les quatre quadrants et qu'on alimente en ±15 V. Ce multiplieur à transistors possède quatre entrées différentielles Xi , X2, Y\ , Y2 et une entrée supplémentaire Z , ce qui permet de réaliser l'opération suivante : u^K^-X^iY.-¥,)+!

avec

Les entrées acceptent des tensions entre — 10 V et 10 V .

AD633 t>oo

X] 1

X2 2

é) î

Ua

+ r X

Y\

6 Z

¥2 4

5 -Un Fig. 12.10.

392

12. Effets non linéaires en électronique

e) Racineur Un racineur est un circuit qui réalise un transfert non linéaire proportionnel à la racine carrée d'un signal d'entrée ue positif (cf. chapitre 9) : us = Kr uj2 où Kr est un coefficient constant homogène à la racine carrée d'une tension. Sur la figure 12.11, on a représenté un montage réalisant un racineur à partir d'un AO et du multiplieur AD633. En mettant à la masse du montage les voies X\ et 13 et en reliant les voies Xi et Y\ , ce dernier fournit : = Km (X2 — 0)(0 — F] ) + Z = —Km u2 + ue

puisque

X2 = Y] = us

et

Z = ue

-K X2 +Z u+

Ua

7777

2R 7777

FIG. 12.11. Pour nous assurer de la stabilité du montage, nous devons analyser la limitation en bande passante de l'AO dont la tension de sortie un satisfait à l'équation différentielle (cf. chapitre 8) : d ua

. , -YUa= ^o(«+ - U-)

La tension de saturation de l'AO peut atteindre ±15 V, valeurs des tensions d'alimentation ; le pont diviseur de tension [R, 2i? ) a pour but de limiter à ±10 V l'entrée du multiplieur, ainsi que l'exigent les caractéristiques techniques du composant. Par conséquent : 2R D K -Y, OD IK Puisque

=

Q 3

Ua = adUa

^

=

Q J

= 0, ua satisfait à l'équation différentielle non linéaire suivante :

+ 11(1 = A

^~Kml^

Finalement, puisque A(<

+

= A

v(~Kmad u2a ± Ue)

soit encore

± ua ± AQKmad u2a = Aç)Ue

1 : d ua 2 , r— \-AQKinadua ^ AQUe dr

En régime stationnaire établi, sous la tension ue = U, cette équation admet comme solution l'état d'équilibre suivant : 1/2 U Un = Km(xd J ce qui est bien homogène puisque Km s'exprime en V-l et ad est un facteur sans dimension. Vérifions sa stabilité par la méthode des perturbations. Plaçons-nous au voisinage de cet état d'équilibre en introduisant l'écart relatif de tension (i{î) -C 1 défini par ua{t) = mq [1 + MO] ' l'équation du système devient alors : uqT

± A^Kmad ul [1 ± (i{t)]2 = A^tie

393

Effets non linéaires

En développant le carré et en ne conservant que les termes du premier ordre, il vient, puisque mq est solution du régime établi : d /x t — -t- 2AQKmadUQ fi{t) = 0 aï On sait que la solution de cette équation différentielle linéaire a pour expression : MW = M(0)

t

ex

P

avec

-

t. =

2Ao Km (Xd wq

< 1

Initialement écarté de l'état d'équilibre, le système y retourne avec la durée de relaxation rr. L'équilibre est donc stable. En régime variable, dans la bande passante du multiplieur et de PAO, le système réalise le transfert recherché : 1/2 1 ue = Klnadu2a d'où us = adua = ( j = KrulJ2 avec Kr = 1/2 K, Exemple : mesure d'une tension efficace On sait que la valeur efficace d'une tension périodique ue{t), de période T, est donnée par l'expression (cf. chapitre 2) : ' ] fT -i 1/2 1 / - J ufftfdt Uef Un exemple de montage permettant d'extraire la tension efficace d'un signal périodique est donné sur la figure 12.12. Le carré de la tension d'entrée est obtenu à l'aide d'un multiplieur usj = Kin u2 . La valeur moyenne d'une grandeur périodique se réduisant à sa composante stationnaire U, le filtre passe-bas RC permet de l'extraire (cf. chapitre 6) : -T rx rT S) 1 K„ u,a=-Jo "s^'=TJo uz dt Le racineur en bout de chaîne achève le calcul analogique de la tension efficace : „ _ ^ 1/2 _ lff2 u s — Krus2 — I ^

1/2

1 T

1/2 2

U e(t) dt

= U.ef

KX2 K X"2 X Uu

C

US.2

Quadrateur

Racmeur

FIG. 12.12. II. 2. — Écrêteur Un écrêteur est un système qui limite le domaine de variation d'un signal. En désignant par e(t) l'entrée, s(t) le signal de sortie écrêté, et deux constantes respectivement positive et négative, on a : s{t) = e(t) si < e[t) < s+ s{t) = s+ L'écrêtage est dit symétrique si

si

e(t) > .v+

et

s{t) = s~

= — .v_ , dissymétrique sinon.

si

e{t) < s~

394

12. Effets non linéaires en électronique

Les systèmes écrêteurs jouent un rôle important dans les dispositifs de protection contre les surtensions ; c'est le cas lorsqu'il s'agit de protéger une installation électrique contre la foudre. Les limitations en tension et en courant des amplificateurs provoquent un écrêtage à rapproche des tensions ou courants de saturation ; l'écrêtage n'est pas en général désiré car il provoque la déformation du signal de sortie. a) Écrêtage par saturation en tension Prenons l'exemple de l'amplificateur de tension à AO représenté sur la figure 12.13 dont la caractéristique de transfert est donnée sur la figure 12.14a. /?i = 4,7 kO

«2=10ka

X

FIG. 12.13. Le système est supposé travailler dans sa bande passante et dans des conditions de non-limitation de la vitesse de balayage. Tant que la tension d'entrée iie évolue entre ue^ et ue!+ , le comportement du système est linéaire. En désignant par us la tension de sortie et en tenant compte du diviseur de tension, il vient, PAO étant idéal : R\ -(- i?2 . ils - — ue = AuUt Ri

avec

. R\ Rj Alt = — ^3,1 Ri

Les limites iiet+ et ue- du domaine linéaire en sortie sont atteintes autour des tensions de saturation haute Usatj+ et basse Usatt- , proches des tensions d'alimentation de PAO : II* 4. = '

Usat,+ — A

. et

U*e _ = '

Usa/,: — — A

Pour un AO alimenté en ±15 V, on obtient : uei+ = —ue,4. 8 V . En dehors du domaine linéaire, l'amplificateur sature en tension. En régime sinusoïdal établi, on observe un écrêtage de la tension de sortie (Fig. 12.14b). Ue{î),Us{î)

«s Zone de destruction

Saturation haute

Usat,+

/ \

/ '

\ V

/ /

N \

C',+ Ue

asat.

Usât,—

\ \ Saturation Usatbasse

Zone de destruction a) FIG. 12.14.

/ l

\ Usât—

f

\ /

395

Effets non linéaires

b) Obtention de signaux TTL Le montage de la figure 12.15a est constitué d'une résistance R et d'une diode Zener connectée dans le circuit secondaire d'un transformateur dont le primaire est alimenté par le secteur; la tension ue(i) délivrée par le secondaire est une sinusoïde d'amplitude uejn = 12 V et de fréquence / = 50 Hz . Le rôle de la diode Zener est d'écrêter à f/z = 4,7 V. Pour ue < 0, la diode Zener est passante, la tension de sortie est environ us = —Ud ~ —0,6 V . Pour ue > 0, la diode Zener est bloquée ; à ses bornes la tension suit celle du secondaire du transformateur jusqu'à la tension d'avalanche us = —Uz = 4,1 V. Les signaux obtenus sont proches de signaux carrés 0 — 5 V, assimilables à des signaux TTL (pour Transistor Transistor Logic) (cf. chapitre 18). Ce montage est simple à réaliser, mais il présente l'inconvénient de posséder une durée de montée rm assez importante. En mettant ue sous la forme u

e =

u

e,m sin(2irj7) et en désignant par Tm l'instant de saturation à f/z , il vient (Fig. 12.15b) : ne(rm) — ue m sin{27r/rw) = Uz

soit

rm = ——-arcsin (—— ] « 1,3 ms 27r/ y ue,w J

R = 4,7 kfi

/ \Ue ' \

Secteur

7^

Us

>
% * b)

Fig. 12.15.

II. 3. — Comparateurs Un comparateur de signaux est un système à deux entrées e\ (/) et
si

— e\{t) >0

et

s{t) = s~

si

^(t) — e\{t) < 0

La comparaison est une opération essentielle de mise en forme du signal. Par exemple, le système de déclenchement d'un oscilloscope, ou trigger, nécessite un système de comparaison du signal à une tension de référence. On distingue deux grandes catégories de comparateurs : les comparateurs simples, dont la vocation est de fournir le signe de la différence des deux signaux d'entrée, et les comparateurs à hystérésis qui comparent un signal entrant à un signal de référence prélevé à la sortie du système (cf. chapitre 8). a) Comparateur simple Dans un comparateur simple la tension de basculement est indépendante de la tension de sortie ; il permet donc de comparer deux tensions, par exemple une tension donnée à une tension de référence. On a vu que l'on pouvait réaliser un tel comparateur à l'aide d'un amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8). Il existe des comparateurs intégrés plus performants qu'un AO seul, par exemple le LM339 (Fig. 12.16). Leur durée de basculement est d'environ 0,5 fis, ce qui permet une utilisation à des fréquences plus élevées.

12. Effets non linéaires en électronique

396

«s,3 ^5,4 -Ua «4,+ «4,- «3,+ "314

13

12

II

10

LM339

1 2 3 4 5 6 7 «5.1 «5,2 f/n «2- «2,+ «1- «I.+ FIG. 12.16.

b) Comparateur à hystérésis ou bistable Un comparateur simple n'est pas adapté à un signal d'entrée bruité, car plusieurs basculements successifs non souhaités peuvent se produire, comme le montre la figure 12.17a, aux instants f\ , tj , . Le comparateur à hystérésis permet d'éviter cette difficulté (cf. chapitre 8). Lorsqu'un signal bruité, globalement croissant, dépasse le seuil de déclenchement, il est judicieux d'abaisser ce seuil juste après le basculement, afin d'éviter que le bruit ne fasse basculer à nouveau le comparateur (Fig. 12.17b). Pour cela, le signal de comparaison ec doit dépendre de l'état de la sortie s(t) : ${{) = $+

si

^,(r) < ^^(r)]

et

s(t) — S-

si

ea{t) > ec[s{t)]

Le comparateur à hystérésis est aussi appelé bistable en raison de la stabilité des deux états possibles de la sortie.

U\(t)

uAî)

Comparateur à hystérésis

Comparateur simple

«2-—a

y

A/zj «2 *

/_

t

t

\ h

h h)

a) Fig. 12.17.

Exemple : Trigger de Schmitt Le trigger de Schmitt est un comparateur à hystérésis que l'on peut réaliser avec un AO (12.18 et chapitre 8). La rétroaction réalisée avec les résistances R\ = 500 kfi et /?? = 10 kfl est positive ; F AO fonctionne donc en commutation, c'est-à-dire en régime saturé.

397

Effets non linéaires

ce

R1=500 kÛ i?i= 10 kfi 7777 7777

7777

FIG. 12.18.

II. 4, — Conformateurs à diodes Un conformateur est un système dont la caractéristique de transfert, affine par morceaux, est utilisée pour produire des signaux de forme déterminée, d'où son nom. Sa tension d'entrée triangulaire (Fig. 12.19a) est issue par exemple d'un oscillateur de relaxation commandé en tension (cf. chapitre 14). «/ri us A

ult) '

El T/2

A

a. «0 T

a)

b) FIG. 12.19.

La figure 12.19b représente la caractéristique de transfert d'un conformateur sinusoïdal destiné à produire des signaux harmoniques. Si les différents segments de la caractéristique sont convenablement ajustés, les signaux de sortie sont d'autant plus proches de la forme recherchée que le nombre de segments de la caractéristique de transfert est important. Les générateurs basse fréquence utilisent des conformateurs sinusoïdaux que l'on préfère aux oscillateurs sinusoïdaux, car ces derniers présentent l'inconvénient de fournir des signaux beaucoup plus difficiles à moduler en fréquence (cf. chapitre 16). Les signaux ainsi créés s'écartent de moins 1 % d'une sinusoïde dès que la caractéristique comporte au moins sept segments, convenablement ajustés. Pour obtenir la caractéristique de transfert d'un conformateur, on utilise un ensemble de diodes convenablement polarisées associées à des générateurs que l'on a représentés sur la figure 12.20 par leur modèle de Thévenin (cf. chapitre 5) ; les tensions délivrées par les sources sont telles que Zij.+i > . Le suiveur à la sortie du système permet de réaliser une adaptation en tension sur le circuit de charge. Exemple : conformateur sinusoïdal Le système de la figure 12.20 comporte 2{n -F 1) diodes. Pour des raisons de clarté, sa caractéristique a été tracée sur la figure précédente 12.19 pour n = 1, c'est-à-dire pour un conformateur constitué de quatre diodes.

12. Effets non linéaires en électronique

398

X

Ro

X

Ri ^);?+1 S

R: V ■P

^5

Y^+i Ei

£(1+1

Fig. 12.20. La parité de la tension à produire réduit l'étude à une demi-période, par exemple dans l'intervalle 0 < t < T/2 . Pendant cette durée, l'alternance de la tension d'entrée ue étant positive, seules les diodes du groupe situé à droite du plan de symétrie V peuvent conduire. Pour 0 < us < E\ , aucune diode ne conduit : us = ue

de pente

d us

«o

1

d llr.

Le système fonctionne en régime linéaire. Pour E\ < us < £2 5 seule la diode V\ est passante. Alors : de

us = (Rq/IR\) (^ +

Pente

ûf| =

d us

(£o//£i)

£1

d llr.

Ro

Ro + R\

Pour E2 < us < Et, , les diodes P| et P2 sont passantes : Us = iRo//R\//R2) Pour £/. < ux <

\Kq

+

K]

+

; les diodes P| ,

de

KJ /

Pente

2

{Ro//Rl//R2)

R\//R2

Rc

£0 + ^1//Ri

, Vk sont passantes :

Ei = {Rof/Ri // ■ ■ • //Rk) ( / + TT + * * * + Ri Rk J Pour {n + 1 )£„-)-1 <

a

de pente

, la diode Pn+i impose us = Elljr\ de pente

R\llRill---llRk R0 + R,/lR2l/---llRk =0.

Ainsi, la caractéristique de transfert se présente sous forme d'une succession de segments, dont les pentes ak sont détenninées par les résistances R^ et les tensions Ek . On reproduit une tension us sinusoïdale en choisissant soigneusement Rk et . Un raisonnement fondé sur l'analyse harmonique de la dérivée du signal de sortie permet de calculer les valeurs des composants d'un conformateur rudimentaire à quatre diodes (cf. Exercices).

III. — GENERATION D'HARMONIQUES III. 1. — Signaux isomorphes Un signal est isomorphe lorsque, appliqué à l'entrée d'un système, il donne en sortie un signal de même forme, d'où son nom. Les seules transformations qui réalisent cette conservation de forme sont l'amplification (multiplication par un réel supérieur ou inférieur à l'unité) et le déphasage : .?(/) = Ae{t — t)

Effets non linéaires

399

où A et t sont respectivement le facteur d'amplification et le retard. Un signal sinusoïdal est isomorphe pour tout système linéaire ; en effet, en notation complexe, le signal d'entrée s'écrit : e(0 =

exp (jcot)

La relation entre l'entrée et la sortie étant linéaire, il vient (cf. chapitre 6) : s{t) = HiJùj) e(t) = H{jù)) em exp (Jcot) = ^ exp [jcot)

avec

sm = H(jco) em

Notons que la multiplication par un nombre complexe équivaut à une amplification (augmentation ou atténuation) par le module de ce nombre, et à un déphasage correspondant à son argument. On voit que l'isomorphie des signaux sinusoïdaux est directement reliée à la linéarité. Réciproquement, si l'isomorphie des signaux est réalisée à toutes les fréquences, il est possible de construire une fonction de transfert linéaire EHjca) ; le système est alors linéaire. La nonrisomorphie du signal de sortie correspondant à une entrée sinusoïdale est a contrario caractéristique de la non-linéarité du système. Exemple : dans un quadrateur, l'entrée harmonique ue et la sortie correspondante iis ont pour expressions respectives : K iP' ue = um cos.(tôt) et ifç = Km iç = Km iifn cos2{cot) = In [l + cos(2w/)] La tension de sortie, dont la partie sinusoïdale a une fréquence double de celle de l'entrée, n'est pas isomorphe à la tension d'entrée : le système est non linéaire. III. 2. — Création d'harmoniques par les systèmes non linéaires a) Signal d'entrée sinusoïdal Appliquons à l'entrée d'un système non linéaire, un signal sinusoïdal e{î), de fréquence / = a)/(27r). En régime établi, la sortie s(t) est périodique, mais non isomorphe à l'entrée, puisque le système est non linéaire. La symétrie des causes se retrouvant dans celle des effets, selon le principe de Curie (cf. Electromagnétisme), la période du signal de sortie est aussi égale ù T = l/f. On peut alors écrire : s{t + T) = s{t) D'après l'analyse de Fourier (cf. annexe 2), s(t) peut se mettre sous la forme d'une série de signaux sinusoïdaux comprenant, en plus d'une composante stationnaire, des composantes sinusoïdales de fréquence fondamentale / et de fréquences multiples nf :

cos(277/2/?) + bn sin(27rnft)

Un système non linéaire engendre donc un signal de sortie de contenu spectral plus riche que celui du signal d'entrée. Cet enrichissement harmonique est une propriété essentielle caractéristique des systèmes non linéaires (Fig. 12.21). Exemple : dans le système redresseur de la figure 12.22, la tension appliquée à l'entrée est iie = um cos (ojî) . On observe en sortie : us = ue

si

ue >0

et

us = 0

si

^ 0

12. Effets non linéaires en électronique

400

Système non linéaire

Signal périodique

Distortion harmonique

Signal sinusoïdal /a / Signal sinusoïdal i /o

/ Système Imeaire

Isomorphie

/o Système non linéaire

Déformation >

/

Signal périodique

Signal périodique /o / Signal périodique /o

/ Système linéaire

Déformation *• éventuelle /o

/

FlG. 12.21.

Calculons le spectre de Fourier de la tension de sortie. La fonction us{t) étant paire, seuls les coefficients an ne sont pas nuls : 2 fT/2 2u fT/4 us{t) cos^Trnf t) d t =—— / cos{27rf t) cos(27rnf f) dt j. / J-T/2 ^ J-T/4 4uni T

fT/4

cos{ù)t) cos{nù)t) dt

soit, en introduisant d = 277/1 : 2u E1*/2 an = —— / cos(^) cos(/2^) d^ 77 ./a

W

ttL Fig. 12.22.

Effets non linéaires

401

Pour n = 1 , on a :

a\ =

çirj2 çirll 2 / COS 0 66 = — [1+ cos(2^)] d 0 = 77 7T Jo Jo

2ut.

Pour nff\,on trouve : ••7r/2 um f sin [(;i + an = — [ (cos [{n + 1)^] + cos [(n — l)6]}d6 = — [ 77 77 ;t + 1 Jo ' [

sin [{n — 1)^/2] n— 1

Si n est impair (n = 2/7 + 1), les coefficients de Fourier s'annulent : aip+x = 0. Si n est pair {n = 2/7), les coefficients valent : 2^ (-iy —t. tt 4/7 — 1

a2p =

puisque

77 sin (2p+I)-J =(-!)"

Comme les coefficients bn sont nuls, en raison de la parité du signal, le développement final est le suivant : i i ? 00 (—] y - + - cos{«r) - - £ cos (2pcot)

Us{t) = Ur

P=\

^

Le spectre de us, c'est-à-dire la représentation \an\ en fonction de n , fait apparaître un ensemble de fréquences harmoniques du fondamental (Fig. 12.23). La décroissance des amplitudes des modes est rapide puisque proportionnelle à l/p2 pour p grand. On voit que le transfert non linéaire, opéré par le système redresseur, a produit en sortie un signal dont le spectre est enrichi en harmoniques. Avec une tension d'entrée de 10 V, on observe en sortie une composante stationnaire d'environ 3,2 V, un fondamental à 5 V et les harmoniques 2, 4 et 6 respectivement à 2,1 V, 0,4 V et 0,2 V.

Pn\ 5— i

FIG. 12.23.

b) Signal d'entrée périodique non sinusoïdal Appliquons, à l'entrée d'un système non linéaire, un signal e{t) périodique mais non sinusoïdal, de période Tq , en régime établi. Chaque harmonique du signal d'entrée fournit, à la sortie du système, son propre ensemble d'harmoniques. Ces différents ensembles d'harmoniques se combinent entre eux de façon non linéaire pour former le signal de sortie ^(r).

402

12. Effets non linéaires en électronique

En régime établi, s(t) possède la symétrie temporelle de l'entrée, c'est-à-dire la même période 7b que le signal d'entrée. Cependant, le spectre du signal de sortie diffère de celui de l'entrée, car les deux signaux sont de formes différentes. On observe ainsi en sortie un signal périodique déformé par rapport à l'entrée. Avec un système linéaire, attaqué par le même signal e[t), l'ensemble des harmoniques de l'entrée est transféré en sortie avec une amplification et un déphasage différent pour chaque fréquence. En régime établi, on observerait, en sortie, les mêmes harmoniques qu'en entrée, mais d'amplitudes modifiées par le système, selon leur fréquence. Lorsque la plupart des harmoniques significatifs du signal d'entrée sont contenus dans la bande passante du système, la sortie est proportionnelle à l'entrée ; la sortie et l'entrée ont même forme. En revanche, si les harmoniques significatifs du signal d'entrée sont partiellement ou totalement hors de la bande passante, le spectre du signal de sortie diffère sensiblement de celui de l'entrée ; il en résulte alors des signaux de sortie déformés par rapport à l'entrée. La déformation d'un signal d'entrée, périodique mais non sinusoïdal, n'est donc pas caractéristique d'un effet non linéaire.

III. 3. — Distorsion harmonique La distorsion harmonique est la déformation d'un signal sinusoïdal par un système non linéaire, un système linéaire ne produisant aucune distorsion harmonique. Si la tension d'entrée iie est sinusoïdale, ue = um coff tot + <£), la tension de sortie, périodique en régime établi, peut se mettre sous la forme d'un développement en série de Fourier : oo „ cos(27r/î/r) -b b,, sinpTni t) 2

,,=1

L'écart à la forme sinusoïdale est d'autant plus grand que les amplitudes des harmoniques sont importantes. Aussi introduit-on le taux de distorsion harmonique :

Ce nombre sans dimension est en général très inférieur à l'unité ; on l'exprime souvent en pourcentage. Le signal de sortie est d'autant plus affecté par la distorsion harmonique que D/( est proche de l'unité. Si £>/, = 0, la tension de sortie est une sinusoïde de même fréquence que la tension d'entrée, laquelle est éventuellement affectée d'une composante stationnaire ; le système ne présente alors aucune distorsion harmonique. Le taux de distorsion harmonique peut s'exprimer aussi en fonction des tensions efficaces du fondamental et des harmoniques, U\ et Uh;ef , somme des contributions de l'ensemble des harmoniques :

U^ Pf =

[a] + b]

et

Uh w =

Di, -

On mesure la tension efficace des harmoniques £//,.
403

Effets non linéaires

Exemple : distorsion par saturation Appliquons une tension sinusoïdale ue = ueimcos{(ot) à l'entrée d'un amplificateur linéaire, qui entre en saturation au cours d'une fraction de période (Fig. 12.14a). Pour calculer l'enrichissement harmonique de la sortie, consécutif à la saturation et donc à l'écrêtage, ainsi que le taux de distorsion harmonique, introduisons l'angle ^ . Explicitons l'expression de us{t) sur l'intervalle [0; r/2], sachant que la durée de saturation au cours d'une période est rT (Fig. 12.24). Il vient, en posant ds = (ots/4 : us = iis,m cos 9s us = us>m cos 9

si

us = —us,m cos 6s

si

0 ^ f < tç/4

ts/4 < r < 7'/2 - ts/4 si

sr m

T/2 — ts/4 ^ t ^ T/2 uAT)

Ms.tn COs(ù)t)

Ms,m COs((XiTJ)y-

Ts 2

TJI

T 1

-ts!4

T 1

.v/4

-li.mCOS.{ù)îé)

l

V

>>

s

/

/

/

!

Fig. 12.24. Déterminons les coefficients de Fourier de la tension de sortie us(t). La parité de s([) a pour effet d'annuler les coefficients b,,. Quant aux a,,, on les obtient par la méthode habituelle : 1 fT/2 2 fT/2 a,, = — f us{t)cos{no)t) dt — — / iis{t) cos{mot) d t T -r/2 T '0 Comme coT = 27r , il vient : i r an — — / us cos{n9) dd 77 Jo L'intégrale s'explicite en trois termes : p0s / JO

fTT — 6 s Us,m cos ds coffnd) d ^ + / J ûs

(■TT us,mcosdcos{nd) dd — / Jtt—Os

cos 6S coffnd) d 6

On peut regrouper les termes extrêmes, en effectuant le changement a = tt — 9 dans la dernière intégrale. On obtient :

Ux,incos9$ /

cos{n6) dd — u^mcosds /

coffmr — na) d{—a)

= us in cos ds / Jo

[cos(/î^) — cos(n7r — nd)\ d 9

404

12. Effets non linéaires en électronique

la variable a étant muette. On en déduit : a,, =

Mo

•77--0,0

COS 0o 77

cos(«0) — cos(/i-7r —n0)] d0-

Itt ^ " Jes

-h

{cos [(m +1)0] + cos [(« — 1)0]} d0

Comme ces deux intégrales s'annulent pour n pair, a2p = 0. Finalement, on trouve pour « = 1 : ai =

tls,m COS us 77

2 cos 0 d 0

Itt

J0

[l + cos(20)] d0 r

0.v

soit, en effectuant l'intégration : <21 =

u^m sin(20.v) 0

27r

LIT

(tt - 20,) =

ZTT

[tt + sin(20,) - 20,]

Pour m ^ 3 impair, on obtient, en effectuant : a,, —

luspn cos 0, sin(n0,) HTT

us>m f sin[(;2 +1)0, TT

|

sin[(n - 1)05]

n+ 1

n— 1

Le taux de distorsion harmonique se réduit donc à : 1/2 ». -

( E»;

Sur la figure 12.25 on a représenté l'évolution du taux de distorsion harmonique en fonction de l'angle 0,, qui caractérise la saturation. Pour 0, petit, ce taux reste faible, car la saturation agit tangentiellement aux sommets des crêtes. La valeur atteinte pour 0, = ojT/4 correspond au taux de distorsion de signaux carrés d'amplitude uc_m . En effet, lorsque l'écrêtage est maximal, la fonction n'admet plus que deux valeurs symétriques, une tension haute et une tension basse. Dh 0,483-

T/A Os FIG. 12.25. En désignant par Uef = uc,m , U\:ef et Uihef les tensions efficaces du signal carré, de son fondamental et des harmoniques, le taux de distorsion DihC a pour expression : 1/2 Uhrf Dh,c — u +/

Kef

Uef

1/2 1

U

lef

Comme la tension créneau est paire, alors b\ =0 et : a\ U[,ef — 7= v2

avec

/-TV4 6e 1'' . 4 f77/2 4 a\ — —; / Uc,in COs{ù)t) df — / MC!,fjCOS0 d 0 — Mc,m TJ0 77 J0 77

On en déduit finalement D/,ïC = (2r2/8 — l)

« 0,483 .

405

Effets non linéaires

IV. _ EFFETS NON LINEAIRES SUR UN OSCILLATEUR On sait qu'un oscillateur est un système dont l'évolution au cours du temps présente des oscillations, c'est-à-dire des variations alternativement croissantes et décroissantes de ses grandeurs caractéristiques. Cette définition recouvre une multitude de systèmes depuis les plus simples comme le circuit LC en électricité jusqu'aux plus complexes, sièges de phénomènes chaotiques. Aussi l'oscillateur apparaît-il comme un élément essentiel d'étude des phénomènes variables. En électronique, les oscillateurs sont utilisés pour produire des signaux périodiques, de fréquences ou de formes déterminées. Alors que dans les signaux d'horloge, seule compte la fréquence de l'oscillateur, dans les opérations de production ou de traitement du signal, la nature de ce dernier est essentielle. Dans les deux cas, les non linéarités jouent un rôle déterminant que nous nous proposons d'analyser ici. Le fonctionnement et la réalisation d'oscillateurs feront l'objet d'une étude spécifique ultérieure (cf. chapitre 14). IV. 1. — Oscillateurs auto-entretemis Un oscillateur auto-entretenu est un système capable de réaliser et d'entretenir des signaux alternativement croissants et décroissants, à partir de sources stationnaires d'énergie nécessaires pour alimenter les dipôles actifs. En effet, tout système réel étant dissipatif, un apport d'énergie est nécessaire pour entretenir des oscillations. Le plus souvent, cet apport est fourni par les sources de polarisation des transistors et des AO. On classe généralement les oscillateurs en deux catégories principales ; /) les oscillateurs quasi-sinusoïdaux qui délivrent des signaux très proches de signaux harmoniques, ii) les oscillateurs de relaxation, qui oscillent par transitions successives entre deux états. Ils sont caractérisés à la fois par les durées de ces transitions, appelées durées de basculement, et par les durées, plus longues, pendant lesquelles ils occupent ces états en se relaxant. A ces deux catégories, on peut ajouter celle des oscillateurs paramétriques pour lesquels les équations linéaires comportent des paramètres qui peuvent varier. Par exemple, un oscillateur LC dont la capacité du condensateur ne garde pas sa valeur est un oscillateur paramétrique. Examinons les effets de la non-linéarité sur des exemples d'oscillateurs choisis dans chacune des catégories précédentes. IV, 2. — Effets de non-linéarité sur un oscillateur quasi sinusoïdal Un exemple d'influence d'une non-linéarité sur un oscillateur quasi sinusoïdal est l'oscillateur à résistance négative. a) Oscillateur à résistance négative Un oscillateur à résistance négative est un oscillateur auto-entretenu quasi-sinusoïdal. Le circuit RLC série de la figure 12.26 en est un exemple. La résistance négative que l'on réalise avec un AO est un élément non linéaire, dont la caractéristique déjà étudiée est représentée sur la figure 12.5b. Choisissons, dans ce montage, la relation suivante entre les résistances, R2 = 100, ce qui permet d'ajuster finement la valeur de la résistance négative dans le régime linéaire : R,, = -R — = Ri

— <0 100

La bobine est caractérisée par son inductance L et par sa résistance r en série ; quant au condensateur, il est supposé parfait, de capacité C. Le second AO est monté en convertisseur courant-tension, afin de pouvoir visualiser aisément le courant dans le circuit sur un oscilloscope.

12. Effets non linéaires en électronique

406

ul

:x.

msw L r

Ri

MR n r2

X 7777 -Ra

Fig. 12.26.

b) Amorçage des oscillations Supposons le circuit initialement au repos, c'est-à-dire sans courant qui le parcourt : ?(0) = 0. Le dipôle à résistance négative, qui est aussi au repos, fonctionne en régime linéaire. La loi des tensions donne : q di tic + ul + ur + ur = 0 avec ur,, = Rni soit — + L-—h ri + Rni = 0 C at avec les notations habituelles, i = àqj At pour l'intensité du courant et q pour la charge de l'armature du condensateur vers laquelle est orienté le courant. En dérivant et en introduisant la pulsation propre «0 = l/^C)'/2 , on obtient : Os \ A i ( r + Rn\ Ai

2

L'état initial i{0) = 0 est un état d'équilibre, solution de l'équation d'évolution. Pour étudier sa stabilité, supposons qu'à t = 0 une petite perturbation bio , d'origine électromagnétique ou thermique, écarte le système de son état d'équilibre. Admettons en outre que le système ait un comportement pseudopériodique, ce qui est réalisé avec les valeurs des composants qui satisfont à l'inégalité : r A Rn N 1 E J

a 7 r\ — 4û>o <0

■ a ■ ce qui s écrit

^ Q=

Lûjq

1 > ^ "F Rn 2

La solution de l'équation d'évolution peut alors se mettre sous la fonne suivante (cf. chapitre 4) :

i(t) =

. 0( exp | sin (f) \

-— j sin(û>n/ -f é) 2r„ J

avec

r,, =

L r + Rn

et

con = û>o

/ V

1 —

1

1/2

4^ rj

(j) étant une constante déterminée par la charge initiale du condensateur. Comme il est impossible de réaliser parfaitement r = —Rn , deux cas se présentent : i) si Tn >0, soit r > —R,,, l'amplitude des oscillations décroît exponentiellement au cours du temps. L'état initial est stable et le système reste dans son état de repos ; ii) si Tn <0, soit r < —Rn , l'amplitude des oscillations croît exponentiellement au cours du temps ; l'état initial est instable et le système oscille.

407

Effets non linéaires

La réalisation du circuit permet d'observer la croissance exponentielle de l'amplitude des oscillations de la tension u\ = —Rff aux bornes du convertisseur (Fig. 12.27). Concrètement, les composants choisis ont pour valeurs : L = 200 mH

C = 10 jxF

/?, = 1 kO

/?2 = 100ka

R3 = \ kEt

r se 20 Et

et

R^3 kil

La mesure de la pseudo-période donne la valeur attendue :

Tn =

27T

277

(O,

0)Q

2tt{LC)x/2 ^ 8,9 ms

On constate que l'amplitude des oscillations cesse de croître au bout de quelques périodes, ce que nous nous proposons d'interpréter. uc{t)

URn ij )

-

A A fî A aaA v vyvvy

FIG. 12.27.

Fig. 12.28.

c) Entretien des oscillations Le système fonctionne en régime linéaire tant que l'intensité du courant dans le dipôle à résistance négative reste contenue dans les limites < i{t) < i,,^- (Fig. 12.5b). Supposons que l'intensité du courant atteigne le seuil limite i{tni) = à l'instant t = r„/. À l'instant ultérieur i > , la tension URn aux bornes du dipôle à résistance négative a pour expression : MRii

=

Usât,—

Rl i

En dérivant l'équation sur les tensions fournie par la loi des mailles, on obtient : d{uc + ut + ur + UR,, ) dî

=0

soit

d^

r-\-Ri\di

2

ht

2 . +ù, l=0

dr

°

.

duRn

puisque

di = Ri

dt

Écrivons les solutions de cette équation semblable à la précédente. Il vient, en changeant l'origine des temps t' = t — fnj, avec i{0) = îq : 1/2 ,(

' '')

=

i^exp(-^)sinW/

+

^)

avec

r

''

=

7T^

et

a

'"

= b0

' {'-^)

où (/>' est une constante déterminée par la charge du condensateur à / = 0. Comme la nouvelle constante de temps est positive, l'amplitude des oscillations décroît dans le domaine non linéaire.

408

12. Effets non linéaires en électronique

i<

Un résultai analogue est obtenu lorsque le domaine non linéaire est situé en deçà du seuil limite , puisque la tension % est alors donnée par : UR,n = Usar,+ + ^i *

avec

duRii di —— = R\ — dr at

L'équation différentielle est identique : d2 i dt2

( r±R\\ di 2. H- 1 : — h COnu l — 0 \ L ) dt

En régime établi, le système évolue donc en suivant une succession de phases. i) Domaine linéaire L'amplitude des oscillations croît jusqu'à atteindre les limites du domaine de fonctionnement linéaire du dipôle à résistance négative. ii) Transition du domaine linéaire vers le domaine non linéaire Lors du changement de domaine, la charge du condensateur et l'intensité du courant dans le circuit ne subissent pas de discontinuité, la continuité de ces deux grandeurs étant assurée respectivement par le condensateur et la bobine. iii) Domaine non linéaire L'amplitude des oscillations décroît jusqu'à atteindre la frontière du domaine de fonctionnement linéaire du dipôle à résistance négative. L'amplificateur opérationnel fonctionne donc périodiquement en régime linéaire et non linéaire. Le point de fonctionnement du dipôle à résistance négative évolue alternativement entre les deux coudes de la caractéristique (Fig. 12.5b). L'amplitude des oscillations est donc limitée au domaine : hii,+ < i < hii,— Aux bornes du dipôle à résistance négative, la tension présente, au voisinage des extrema, des pics marquant les excursions du point de fonctionnement dans le domaine non linéaire (Fig. 12.28). Ainsi, sur une période, un oscillateur quasi-sinusoïdal fonctionne le plus souvent en régime linéaire. Notons que la non-linéarité du dipôle à résistance négative a pour effet de limiter l'amplitude des oscillations du système. Cet oscillateur est simulé par le logiciel SPICE (cf. annexe 6). IV. 3. — Effets de non-linéarité sur un oscillateur de relaxation Un oscillateur de relaxation est caractérisé par deux durées très différentes : la durée de basculement Tf, du détecteur de niveau et la durée de relaxation Tr T(7 (cf. chapitre 14). Analysons le fonctionnement de l'oscillateur de relaxation électrique représenté sur la figure 12.29. Supposons qu'à un instant pris comme origine la sortie du comparateur bascule à la valeur . Celle en sortie de l'inverseur, et donc à l'entrée de l'intégrateur, est donc us = — UsaJ+ . L'intégrateur délivre alors la tension uq telle que :

Uc =

~C

aVeC

i=<

dt

= l

R

et

=

+

/ ^d

ce qui donne :

"c(f) =

^ /W)

d

'' = MO) + A £ Usah+ dr' = «c(0) +

t

409

Effets non linéaires

Integrateur Inverseur

R:.

X, cc ur XI

7777 Uv Ri 7777

Comparateur à hystérésis

7777

Fig. 12.29.

Le comparateur change d'état à l'instant t\ , lorsque le seuil de basculement

M-h,+ — Wc(^l ) —

est atteint :

avec

Usar,+ —

=

Ri R\ + Rj

La sortie du comparateur devient Usât,- < 0, et après inversion, l'entrée de l'intégrateur passe à — , d'où la tension uc{t) : uc{t) = uffti) + ^ ^ Us{t')àt' = mcOi) +

^

La période s'achève à l'instant ti, lorsque le comparateur bascule à nouveau, c'est-à-dire lorsque la tension seuil ut,,- est atteinte :

Mb,— — Mc{î2) — aj Usât,— — (Xd

"c(ri) +

^ (c - ri)

La tension de sortie de l'intégrateur retrouve alors sa valeur de début de cycle, uc{ti) — mc(0) - La période T = t2 & la tension crête-à-crête ucc = Mc(ri) — wc(0) en sortie de l'intégrateur s'obtiennent selon : Mc{0) = ad Usât,- = Uc(t\

Usât, — {t2 - ri) RC

et

«c(ri) = adUSat,+ = uc(0)

U.^■+ (ri - ri) RC

On obtient, en combinant ces équations : T = adRC[ 2-

Usat,+

Ux„, _

Usât,—

Usât,-

et

Lt-cc — (*d(Usat,+

Usat,-

Si les tensions de saturation sont symétriques, Usat^ = —Usai,- = Usât, alors ucc = 2adUsat et : T = Aad RC Exemple : réalisé avec C = 1 piF, R = R\ = R2 = R?. = 2,2 kfi et des tensions de saturation symétriques ( Usa, = 15 V ), on trouve pour les caractéristiques du circuit : a,/ « 0,5

r « 4,4 ms

et

ucc « 7,5 V

12. Effets non linéaires en électronique

410

Les tensions us et uc sont respectivement des tensions créneau et triangulaire (Fig. 12.30). Les deux échelles de temps du système sont effectivement très différentes : la durée de basculement du comparateur est de l'ordre de la microseconde, tandis que la période des oscillations est de l'ordre de la milliseconde. Le comparateur à hystérésis est l'élément non-linéaire du circuit; ses seuils de basculement sont commandés par le facteur ad , lequel détermine l'amplitude des signaux triangulaires et la période des oscillations. Retenons que, sur une période, un oscillateur de relaxation fonctionne le plus souvent en régime non linéaire.

u,sat.+ a U

d

Sot,

a

d UsatU.sa!,Fig. 12.30.

IV. 4. — Modèle de van der Pol Il est toujours possible de mettre, par un changement de variable, l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique sous la forme canonique (cf. chapitre 3) : x + (OqX = 0. La grandeur x est alors proportionnelle à une charge en électricité, une élongation en mécanique, une pression en acoustique, une concentration en chimie, etc. Pour introduire l'énergie £ de Foscillateur, on multiplie l'équation précédente par x : xi -1-

-,

=0

ce qui s'écrit

d <5 — = 0 dt

avec

x2 -> x2 £= —h col— 2 2

Exemple : pour une cellule LC parallèle, la charge q de l'une des armatures du condensateur satisfait à l'équation différentielle (cf. chapitre 3) : ^ Q 1 r\ — + ojQq = 0

avec

9 1 095 = —

La grandeur q satisfait donc à l'équation canonique précédente. Comme toute réalisation physique est dissipative, il est nécessaire de prendre en compte la puissance dissipée, par effet Joule dans l'exemple considéré. L'équation du circuit devient, en notant Vj cette puissance : dé: = Vj avec Vj <0 dt L'entretien des oscillations n'est donc possible que si l'on fournit au circuit une puissance supplémentaire V5 : dé* -J- = 'Pj + VS avec > 0 df

411

Effets non linéaires

Pour un oscillateur linéaire, pour lequel les forces associées à Vj et Vx sont proportionnelles à la vitesse, les puissances dissipée et reçue, s'écrivent respectivement : Vj=-

x

V,

x

avec

Td > 0

et

Td

rr > 0

Si \Vj\ < Vs, les oscillations s'amortissent exponentiellement. En revanche, si \Vj\> 'Ps, les oscillations croissent indéfiniment, ce qui n'est pas ce que l'on souhaite réaliser. L'entretien des oscillations exige donc que |iP/| = Vs. Cependant, il est expérimentalement impossible de réaliser rigoureusement cette condition à chaque instant. Un oscillateur auto-entretenu ayant un fonctionnement linéaire est donc impossible à réaliser. Il en résulte que tout oscillateur auto-entretenu doit être non-linéaire. En régime établi, l'énergie de l'oscillateur est en moyenne constante au cours du temps, ce qui implique une compensation des pertes par apport d'énergie sur la durée d'une période : ff = ps + rJ = o at

d'où

vs = -Vj

a) Oscillateur de van der Pol Les premières études expérimentales de la dynamique des systèmes oscillants ont été réalisées, à partir de 1920, par l'ingénieur hollandais B. van der Pol: aussi, le premier de ces oscillateurs autoentretenus, que l'on a représenté sur la figure 12.31, porte-t-il son nom. Un

ICI

IR

lia

V FIG. 12.31. Le dipôle non linéaire T) est constitué par une triode polarisée au voisinage de la tension uq , dont la caractéristique i = i{u) est bien représentée par l'équation suivante du troisième degré (cf. Exercices) :

-ii'-'Q Dans cette expression, R,, < 0 désigne la résistance dynamique négative de V au voisinage de la tension nulle. La loi des nœuds donne : + b? +

^ +? =0

avec

r

u=L

d iz. q = Rir = — dr C

et

. d <7 ic = — at

En dérivant l'équation précédente et en substituant afin de faire apparaître la seule tension u , on obtient l'équation suivante du circuit :

412

12. Effets non linéaires en électronique l//2

En introduisant la pulsation propre wq = (LC) ..

. / 1

et la variable x = u \fC, cette équation devient 3x2

1

\

,

Évidemment, la croissance des oscillations n'est possible que si (cf. chapitre 3) : 1

1

\RC

RnC

RnChil)

On voit que, pour un système initialement au repos (x = 0 ), il est nécessaire d'avoir :

+

^

i<0

soit

i R

Rn

et donc

R > —Ri,

Dans le cas contraire, la dissipation provoque un amortissement. Il est commode de mettre l'équation de van der Pol sous la forme réduite suivante :

xH

X 2^-1 ✓ r + ru0 x = 0 ou —— Te(x) Te[x)

1

R+R — >0 RR

tq

e,

x

ro V

xi = u0C '

f

j

b) Analyse de la non-linéarité Pour effectuer le bilan d'énergie, multiplions l'équation précédente par x. Il vient : d /X2 dt \ 2 ^

2x2\ 0)0

2)

x2

1 f.

Te (x)

^2\ -2 x

j)X

tq V

ce qui s'écrit : dS

= V{-"c)

avec

„ x2 0X2 £ = -+(Â-

V{nc) =-

et

x2 Te{x)

1 T(l v

x

l

On reconnaît l'équation-bilan d'un oscillateur harmonique, d'énergie 8 , qui reçoit la puissance supplémentaire . Deux cas se présentent : i) v(nc) > 0, soit x < X/, l'oscillateur reçoit du dipôle non linéaire plus d'énergie qu'il n'en dissipe et l'amplitude des oscillations croît. H) ■p("c) ^ q ^ sojt x > x;, l'oscillateur dissipe plus d'énergie qu'il n'en reçoit et l'amplitude des oscillations décroît. Ainsi, en régime établi, l'amplitude des oscillations est tour à tour croissante puis décroissante, au cours d'une période. Comme la puissance moyenne reçue doit être nulle, on a :

0

d'où

x2 xf = x2 x2

Effets non linéaires

413

c) Naissance des oscillations L'étal initial x = x = 0 n'est pas stable, puisqu'au voisinage de * = 0, on a \/re{x) et par conséquent l'équation linéarisée suivante de l'oscillateur :

x

|-6;5x = 0

Comme les racines de l'équation caractéristique correspondante r2 — r/ro + 1

2to

-iAo

±J0)(]

= 0 sont :

i v/2 ^oTo)

A V

on trouve, pour Qq = (oqTq > 1/2 , la solution générale suivante : x(f) = C/^exp

cos{(ûpt -f-

avec

(op — (oq

1 4w t

o O

Cp et (f)p étant deux constantes. Ainsi, l'amplitude des oscillations croît exponentiellement ; le bruit électromagnétique ou thermique est alors suffisant pour amorcer les oscillations. d) Intérêt du modèle de van der Pol L'entretien des oscillations n'est rendu possible qu'à condition de réaliser < 0 pour de faibles valeurs de x, et > 0 pour des valeurs de x plus grandes. Le passage par zéro et la singularité qu'il entraîne incitent à analyser des fonctions l/r^(x) assez régulières pour être développées en série entière : "777 = E ^ La parité Te(—x) = Te(x) étant souhaitable pour obtenir des oscillations symétriques, les coefficients Ai, avec i impair, doivent être nuls. La méthode la plus simple consiste à tronquer ce développement à l'ordre 2 : 1 . 9 -r-- — AQ + A2X rffx) En choisissant Ao < 0 et A2 > 0, on a bien Te{x) < 0 pour les faibles valeurs de x, et re(x) > 0 aux grandes valeurs. On retrouve donc, pour le terme dissipatif, la même forme que celle du modèle de van der Pol, ce qui confère à ce dernier un caractère remarquablement simple. L'équation de l'oscillateur de van der Pol comporte trois paramètres cuq , tq et x/. Cependant la discussion de son comportement ne nécessite que l'un des trois, qu'il est naturel de prendre égal à go =

lorsqu'on introduit les variables réduites de position et de temps : X

=

—

d

=

(Oot

On a en effet : Te (x) d d

COqXI X — 0

ce qui donne, en divisant par ùj^ x/ : d2 X

l-X2dX Qo

dd

+x= o

414

12. Effets non linéaires en électronique

Notons que Qo est directement relié au rapport de deux durées caractéristiques : Qo = O)0Tq = 277 ~ Jq En effet, la durée Tq est précisément la période des oscillations sinusoïdales associées à l'oscillateur harmonique que l'on obtiendrait en annulant tout apport ou dissipation d'énergie dans le système. Quant à la durée ro , elle caractérise l'échelle de temps sur laquelle l'amplitude des oscillations varie de façon significative depuis l'état de repos. En régime linéaire, pour lequel : x

x + co^x = 0

to représente la durée de relaxation en énergie de l'oscillateur de van der Pol, linéarisé au voisinage de l'état de repos. Il reste à examiner l'influence du paramètre critique Qq sur la nature des oscillations du système en envisageant deux cas limites, Qq l pour les oscillations quasi sinusoïdales et (2o ^ 1 pour les oscillations de relaxation. Remarque : Il existe de nombreux oscillateurs réels qui, de manière approchée, sont décrits par cette même équation, par exemple l'oscillateur à diode Esaki. e) Oscillations quasi sinusoïdales Supposons le paramètre Qq très grand : Qq > 1

soit

Tq > Tq

Dans ce cas où l'équation canonique se réduit à à~X/ à9- -EX = 0, recherchons une solution de l'oscillateur réel de la forme : X = Xm{e) sin(6> + ^) où Xm{d) est lentement variable, c'est-à-dire qu'il ne varie pratiquement pas pendant une période. Comme : éX dX. —- = —— sm(0+(l>)+Xm cosO-t» d8 dv

et

d2 X —^ dv*-

d2X„ ^ sjn{6>+^)+2—— cos{dE4>)~Xni dudd

l'équation de l'oscillateur devient :

sin

(^ +

+ 2^ cos(^ +

~ [1 - X,; sin2(0 H- ff)]

sm{ô +

+ Xm cos(d +
=0

En tenant compte de la faible variation de Xlll{6), on obtient, en multipliant les deux membres de l'équation précédente par Xm cos(# -f (p) et en moyennant sur une période :

-d8X-

_n(l_KL\_0 QA1 4 ff0

sin(^ + (f)) cos(6 + cj>) = 0 cos2($ -j- 0) = ^ 2

sinJ(^ + cp) cos{6 E
sin2(^ E fp) cos2{6 E (p) = ^ 8

Effets non linéaires

415

L'équation différentielle précédente s'écrit aussi : dg-ffl-ÇUo Ôo V

en posant

soit

4/

d#<2o\

.=^

4/

En vue d'intégrer cette équation non linéaire, séparons les variables (cf. annexe 1) : 4dF/F2

dF F(1 - F/4)

=

477^1

d6 =

. _

^

.

ce qui s écrit

du;

d6

—

Qo

pour F < 4, en posant w = 4/F — 1, ce qui implique du; = —4/F2 d F. Cette dernière équation s'intègre aisément selon : ln

ôo+C

7

C étant une constante, d'où :

^

1 2

[1 + exp(—0/go + C)] /

et

2xi

jc(?) =

^ sin(u;o/ + ff)

[1 + exp (—t/re + C)]

Ainsi, après un régime transitoire, dont la durée peut être estimée à ?>Te , les oscillations tendent vers une sinusoïde, de période Tq = 2-77/coq . Vérifions qu'en régime établi, le mécanisme d'entretien des oscillations est une succession d'apports et de dissipations d'énergie : x{t) = 2xi sinf^ot + 4>)

et

x(t) = 2xi (ûq cos((Uot + (f>)

d'où: x2 x2 = 4x/(yoCOS2(û;o/


et : K 4
r + 0)] AI 2

^ 4w 2 = x,x 2-2z = 2x, / (On0 — •

On a donc bien x2x2 = x2x2 . Sur la la figure 12.32a, on a représenté la courbe X{d) pour Qo = 10. En régime établi, les oscillations sont quasi-sinusoïdales. Ôo=10

m 2-

e„=o,i 2-

ôo=l 2--

- « A A aAl » v y vy

f ¥ Jllll

-2a)

-2-b) FIG. 12.32.

c)

12. Effets non linéaires en électronique

416

f) Oscillations de relaxation Lorsque le paramètre Qq est faible ( (2o 'C 1 ), par exemple Qo = 0. I (Fig. 12.32b), on observe que le régime transitoire est très court et que l'écart à la forme sinusoïdale est significatif : à une variation rapide du signal, succède une durée beaucoup plus longue de faible variation, et les signaux sont plus proches de créneaux que de sinusoïdes. Il est possible d'estimer deux échelles de durées caractéristiques des oscillations de relaxation. Pour cela, utilisons l'équation de van der Pol linéarisée autour de l'amplitude Xq = Xffo) : â2X d^

1 — Xq dX +X=0 dtf

La résolution de l'équation caractéristique, r2 — r(l — Xq)/Qq + 1=0, conduit à introduire les deux durées suivantes de 6 : 0 = ^ {0 - + ± [(I - +2 - 405],/2} Pour simplifier la discussion choisissons le cas technique simple pour lequel Xq = 0 . Il vient : 0 = + [l ±(l-4e5)l/2l ~ J J-Qo

d'Où

e,

et

0^QO

Qo

On en déduit les deux échelles de durée en divisant $[ et 62 par coq : et mqQO

~ — & = To T] ~ (OQ

Autour de $q , une solution approchée de l'équation de l'oscillateur s'écrit : X{0) = affo) sinh

^

^ Qo

+ hffo) cosh [Qo{d - é'o)]

où affo) et i'(^o) varient peu sur le palier. Au point A sur la figure 12.32b, «(#0) « 0 puisque le signal varie peu et que la tangente est horizontale. L'angle caractéristique du palier est d'environ 1 /(2o • En B, (2(^0) 7^ 0 » l'angle caractéristique du basculement est d'environ Qo , d'où la période angulaire des oscillations et la période temporelle correspondante :

M ~Qo +

■ soit Qo

Qo

^ Aé» 1 T « — = —— ^0 Qo^o

Retenons que la présence des deux échelles de temps très différentes caractérise les oscillations de relaxation. L'oscillateur de van der Pol produit des oscillations quasi-sinusoïdales pour des fortes valeurs du paramètre critique <2o 1, et des oscillations de relaxation pour les faibles valeurs de <2o -C 1 • La transition entre les deux régimes est continue comme le montre la figure 12.32c obtenue lorsque <2o~i. IV. 5. — Espace des phase et portrait de phase d'un circuit a) Espace des phases d'un circuit En mécanique, Vespace des phases d'un système est l'espace des états, dont on sait que la dimension est le double de celle de l'espace de configuration ou des degrés de liberté (cf. Mécanique) : n coordonnées généralisées {qî] , auxquelles on ajoute un même nombre n de moments conjugués {/?,}

417

Effets non linéaires

définis selon : Pi -

dcn

C = £k — £p désignant le lagrangien du système, différence des énergies cinétique et potentielle. À chaque instant, l'état mécanique du système est déterminé par la connaissance des 2n variables {qi.Pi} , issues des 2n équations différentielles du premier ordre que sont les équations canoniques (cf. Mécanique), ce que l'on représente par un point figuratif dans l'espace des phases. Notons qu'en mécanique, la dimension de l'espace des états est ainsi paire. En électronique, on recherche d'abord le nombre de variables indépendantes qu'il faut se donner pour connaître l'état électrique du système ; un circuit comportant h branches et n nœuds est analysé à partir d'un ensemble de Ne — b — n-\- \ équations différentielles indépendantes (cf. chapitre 5). On en déduit le nombre Np d'équations différentielles du premier ordre qui décrivent totalement le système, et donc le nombre de variables indépendantes qui définissent l'état électrique du circuit. Il en résulte que l'espace des états, ou espace des phases en électronique, est un espace à Np dimensions. Comme l'état d'un système électronique est entièrement déterminé par la connaissance des courants dans ses branches, ce qui n'implique pas nécessairement un ordre pair, la dimension de l'espace des phases peut être impaire. Exemples : 1) Un oscillateur harmonique en électronique est décrit par une seule équation différentielle du second ordre, d'où l'ordre = 2 et la dimension 2 de l'espace des phases. 2) Un ensemble de N oscillateurs harmoniques électriques couplés est caractérisé par N équations différentielles du second ordre; l'ordre du système est donc Np = 2N et l'espace des phases de dimension 2N. 3) Le circuit, proposé par l'électronicien américain L. Chua, est connu pour son comportement chaotique. Comme le montre la figure 12.33, il possède 5 branches et 3 nœuds ; le nombre de variables indépendantes est donc iVe = 5 — 3+1=3 reliées par 3 équations différentielles du premier ordre qui s'écrivent (cf. annexe 6) : C, Cl

dnç,] ât d uçp ât dit L ât

^ («C,2 — Wc, 1 ) - £ "C, I + - ^ (Mc,2 - «C, I ) -"+2

g désignant la conductance du dipôle résistif V. Le circuit de Chua est donc d'ordre Np = 3 et l'espace des états de dimension 3 .

c,i

FlG. 12.33.

FIG. 12.34.

12. Effets non linéaires en électronique

418

b) Portrait de phase d'un circuit électrique Dans l'espace des phases, l'évolution à partir d'un point figuratif Mq initial est une courbe paramétrée par le temps. Un même état initial définissant de manière univoque l'évolution, les trajectoires de l'espace des phases ne peuvent se croiser. L'ensemble des trajectoires de l'espace des états forme le portrait d'état ou portrait de phase du système. Exemple : on sait que l'équation d'évolution du second ordre q + oi^q = 0 d'un oscillateur harmonique électrique peut se mettre sous la forme de deux équations différentielles du premier ordre : q= i dont la solution s'écrit, si qm et

et

i — —(n^q

sont deux constantes définies par l'état initial :

q = qm cos{(ûqî + (p)

et

i = ~ù)Qqm sin(wo? +
L'espace des phases est à deux dimensions (Fig. 12.34). Les trajectoires sont des ellipses de même rapport d'axe wq , puisque q et i sont reliées par l'équation caractéristique d'une ellipse :

Qui )

o)Qqm

Les petit et grand axes des ellipses, obtenus pour différentes conditions initiales, coïncident évidemment avec les axes du repère {q. i) . Remarque : L'étude dans l'espace des phases de l'évolution au cours du temps des systèmes quelconques, mécaniques électriques ou autres, s'est avérée très efficace dans l'analyse du rôle des termes non linéaires dans les équations qui régissent ces systèmes. Une branche nouvelle s'est ainsi développée sous le nom de systèmes dynamiques ; elle fait actuellement l'objet d'activés recherches en physique classique ou quantique. c) Attracteurs On appelle attracteur un point, une courbe, une surface ou une hypersurface de l'espace des phases, vers lesquels tend un ensemble de trajectoires. Il existe de nombreux types d'attracteurs. Citons-en quelques exemples. i) Positions d'équilibre Dans l'espace des phases, un point d'équilibre est un attracteur. Si l'équilibre est stable, les trajectoires convergent vers le point attracteur (Fig. 12.35a). Ainsi, un système linéaire du second ordre décrit par l'équation bien connue (cf. chapitre 3) : x -\

X

o f- û)0 x = 0

avec

r,, > 0

Te admet l'origine comme point attracteur. Si l'équilibre est instable, les trajectoires divergent du point attracteur (Fig. 12.35b). Il en est ainsi pour un système linéaire du second ordre décrit par l'équation : y

1-û>oJic = 0

avec

re > 0

Effets non linéaires

419

x

b)

c)

FlG. 12.35.

ii) Cycle limite Un cycle limite est une courbe fermée de F espace des phases vers laquelle convergent les trajectoires. Une trajectoire qui, dans cet espace s'appuie sur un cycle limite, caractérise une évolution périodique. Ainsi, un oscillateur périodique d'ordre deux converge vers un cycle limite (Fig. 12.35c). iii) Évolution quasi-périodique Considérons un système bipériodique d'ordre 3 tel que le système linéaire admettant les solutions suivantes : x,(t) = an cos(2-7r/i r + <£ii)+ai2Cos(27r/2t + <£i2) X2(0

=

a1{ COs(277/| t + 021 ) + ^22 COSpTT^ t + 022)

Xfft)

=

(33, COS(277-/| t + 03| ) + Û32 COS(27702 t + 032)

Dans l'espace des phases de dimension 3 , l'attracteur est un tore (Fig. 12.36a). Deux cas se présentent : - si les fréquences f et fy sont commensurables, c'est-à-dire si le rapport /1//2 est un nombre rationnel, les trajectoires se referment sur elles-mêmes ; l'évolution est périodique, - à l'inverse, si le rapport /1//2 est irrationnel, les trajectoires s'enroulent autour du tore sans jamais se refenner; la surface du tore est alors remplie de façon dense. Ce type d'évolution, rigoureusement apériodique, est qualifié de quasi-périodique. iv) Évolution chaotique La caractéristique essentielle du chaos déterministe (cf. Mécanique) est la sensibilité aux conditions initiales, ce qui se traduit dans l'espace des phases par la divergence exponentielle des trajectoires issues de deux points initialement proches. L'évolution d'un système chaotique est apériodique et les trajectoires convergent vers un attracteur étrange ; sur la figure 12.36b, on a représenté, en projection dans le plan («c,! 5 uc,i) > l'attracteur étrange du circuit de Chua, à comportement chaotique (cf. annexe 6).

b) FIG. 12.36.

12. Effets non linéaires en électronique

420

d) Portrait de phase d'un oscillateur quasi-sinusoïdal Le circuit RLC à résistance négative de la figure 12.26, est décrit par une équation différentielle du deuxième ordre. Ce système est donc d'ordre 2. On peut choisir de l'analyser à l'aide des variables q eX q = i. Expérimentalement, on préfère prélever sur le circuit la tension lie = qfC aux bornes du condensateur et celle —R^i à la sortie de l'AO, respectivement proportionnelles à ^ et ^ Le portrait de phase que l'on obtient révèle l'existence d'un attracteur, qui prend la forme d'un cycle limite presque elliptique (Fig. 12.37a). Les écarts à l'ellipse sont dus aux effets non linéaires qui entretiennent les oscillations. Le point central O est un état d'équilibre instable, duquel la trajectoire s'écarte exponentiellement. lis

R'i i

l-lsat,+

0

u

c

Usât, — b)

a) FIG. 12.37. e) Portrait de phase d'un oscillateur de relaxation

Pour l'oscillateur de relaxation représenté sur la figure 12.29, l'état du système est univoquement défini par la connaissance des variables tic et us. La trajectoire dans le plan de phase exhibe des points anguleux (Fig. 12.37b). f) Portrait de phase de l'oscillateur de van der Pol Le portrait de phase de l'oscillateur de van der Pol peut être tracé en utilisant les variables réduites XAX/àe. Pour une forte valeur du paramètre critique Co = 1CL portrait de phase ressemble à celui d'un oscillateur quasi-sinusoïdal, c'est-à-dire à une ellipse (Fig. 12.38a). Pour une faible valeur ( Co = 0^ 1 )» Ie portrait de phase présente des points anguleux, comme pour l'oscillateur de relaxation (Fig. 12.38b). Enfin, pour Qq — \, le portrait de phase présente un aspect intermédiaire entre les deux formes (Fig. 12.38c). Ainsi, l'observation du portrait de phase d'un oscillateur renseigne sur sa nature : quasi-sinusoïdale ou relaxation. Le modèle de van der Pol montre qu'il est possible de passer continûment de l'une à l'autre. dX/dO* 1

Qo = 10

dXj d 6 ' s

Ôo = o, i S

A \

s/ X

\

\

\

\

S \

N\

X^

^ Cycle limite b)

FIG. 12.38.

il

dX/dÔ

lr i\ \\ \

f \1\ \\

0

) y

vV \« VV i\ V \ V1' 11 ^ * x

s' x '' Cycle limite c)

Effets non linéaires

421

CONCLUSION Rappelons les points essentiels. 1) Le caractère non linéaire d'une relation de correspondance entre les grandeurs d'entrée et de sortie du système s'exprime par la non-proportionnalité de ces deux grandeurs. On sort alors du cadre d'application du théorème de superposition. 2) De nombreux dipôles en électronique ne sont pas linéaires, par exemple les diodes. Les opérations de comparaison, de redressement, de mise en forme des signaux, de multiplication, sont des opérations typiquement non linéaires. 3) Le transfert non linéaire d'une entrée sinusoïdale provoque la distorsion du signal d'entrée. Le taux de distorsion harmonique D/? permet de mesurer l'écart du signal à la sinusoïde de son fondamental E>k = Uihef/U\)ef 4) L'entretien des oscillations d'un oscillateur auto-entretenu doit être attribué à un effet nonlinéaire. En régime établi, au cours d'un cycle, l'oscillateur reçoit une quantité d'énergie d'une source et en restitue autant. 5) Un oscillateur quasi-sinusoïdal fonctionne le plus souvent en régime linéaire, contrairement à un oscillateur de relaxation. 6) Dans l'espace des phases, le cycle limite d'un oscillateur quasi-sinusoïdal est proche d'une ellipse, alors que celui d'un oscillateur de relaxation s'en écarte notablement. 7) L'équation de l'oscillateur de van der Pol fait apparaître un terme non linéaire d'expression caractéristique dans l'équation canonique en variables réduites :

d^ i-x^d* de2 Qo de

o

Pour les fortes valeurs du paramètre critique Qq , l'oscillateur délivre des oscillations quasi-sinusoïdales, alors que pour de faibles valeurs, il produit des oscillations de relaxation. Retenons qu'entre ces deux grandes familles d'oscillateurs, la transition est progressive.

xi o c Û r-i

EXERCICES ET PROBLEMES

P12- 1. Dipôie non linéaire (M

D. 0

Le dipôie représenté sur la figure 12.39 comporte deux diodes de même résistance dynamique — 10 û dans le sens passant ; en inverse cette résistance devient pratiquement infinie. La tension de seuil Ua des diodes vaut 0,7 V . Quant à la f.e.m de la source stationnaire, elle est de £" = 15 V . 1. Déterminer la caractéristique du dipôie AB. Quel dipôie réel simule-t-il ? 2. Le dipôie AB débite un courant d'intensité 7=15 m A . Calculer la tension U . Même question pour un courant d'intensité —15 mA . 3. Quels sont les générateurs de Thévenin correspondants aux cas / > 0 et 7 < 0 ?

422

12. Effets non linéaires en électronique

U :x ©

« V V u 7777 7777

Vn FIG. 12.39.

7777

7777

FIG. 12.40.

P12- 2. Inverseur commandé Le circuit de la figure 12.40 est commandé par la tension Uc. Les diodes sont supposées idéales et sans tension de seuil, la tension d'entrée l]e est une tension stationnaire positive telle que lJe < \UC\. 1. Déterminer la caractéristique de transfert du système en fonction de la tension de commande. 2. Quelle est la résistance de sortie du montage ?

P12- 3. Division d'une tension Dans le circuit de la figure 12.41, le coefficient du multiplieur vaut Km = 0,1 V-1 . Déterminer la caractéristique de transfert us = us{u\, U2) du système. K X

—

^

Rr.

7777

ic

i Uk

A1

1.1, 7777"

'p . Iz*

_r

7777 7777 FIG. 12.41.

FIG. 12.42.

P12- 4. Stabilisation Zener Sur le circuit de la figure 12.42, la diode est représentée par sa tension Zener = 15 V et sa résistance dynamique en régime d'avalanche rz = 10 H . La résistance de charge et la résistance de protection valent respectivement Rc = 1 kfl et Rp = \00 El. 1. Déterminer la valeur minimale alors us ?

de la tension ue, afin que us soit régulée. Que vaut

2. La diode Zener ne supportant pas une puissance électrique supérieure à 1 W, calculer la valeur maximale Ue,max de la tension ue admissible. 3. Calculer la variation relative des tensions us et ue dans le domaine de stabilisation. Conclure. P12- 5. Base de fonctionnement du wattmètre analogique

vWet)

Sur la figure 12.43, on a représenté un circuit comportant un multiplieur analogique qui réalise l'opération s = Km(X2 — ^i)(y2 — yi) » avec = 0,1 V-1 . Le dipôle V est parcouru par un courant

Effets non linéaires

423

d'intensité i. Le circuit est alimenté par une tension variable ue d'amplitude 8 V. On donne r — 10 O, /? = 100 kn et C = I jjlF . 1. Déteraiiner la tension u\ en fonction de u-p , i, Km et r. Que représente u\ ? 2. Quelle fonction réalise la cellule RC sachant que ue est une tension sinusoïdale de fréquence 1 kHz ? Que représente us ? 3. Calculer successivement les valeurs prises par us dans les trois cas suivants : T> est un condensateur parfait, une bobine pure, un résister de 1 kfi.

r Up

li i V

V2 X| >'2

x K

R

n

S ni

);l

C

7777

X

FIG. 12.43.

u*

U\

Us

V 77777777

7777

7777"

FIG. 12.44.

P12- 6. Analyseur de spectre Dans le montage représenté sur la figure 12.44, le quadripôle T> est un filtre passe-bande, centré sur la fréquence ff = 2,5 kHz, de facteur de qualité Q = 15 . Le signal d'entrée ue{t) est périodique, de fréquence /, alors que la tension uv est sinusoïdale de fréquence fv . 1. Trouver les harmoniques présents dans la tension de sortie u \ du multiplieur. 2. La tension uv est maintenant produite par un vobulateur qui balaie le domaine de fréquences de /0 à fmax = 100/o . a) Qu'observe-t-on à la sortie de D ? b) Calculer la bande passante du dispositif. P12- 7. Contenu harmonique de signaux symétriques et de signaux non symétriques 1. On rappelle qu'un signal périodique eff), de période T, est symétrique si e{t + T/2) = —e(t). a) Montrer qu'un signal symétrique ne contient pas d'harmonique pair. b) La limitation de la vitesse de montée d'un montage suiveur, à base d'AO, a pour effet de « triangulariser » les signaux de sortie. On suppose l'entrée sinusoïdale, d'amplitude 8 V , et la sortie triangulaire de même amplitude. Quel est le spectre de Fourier de la sortie et l'amplitude des deux premiers harmoniques ? 2. Calculer le spectre de Fourier ainsi que l'amplitude des deux premiers harmoniques d'un signal dissymétrique produit par un redresseur parfait, simple alternance, qui est alimenté par une tension sinusoïdale d'amplitude 10 V .

424

12. Effets non linéaires en électronique

P12- 8. Distorsion d'intermodulation La caractéristique de transfert d'un amplificateur réel est approximativement représentée par la relation suivante entre la tension d'entrée ue et la tension de sortie us : "f- Kntue

11$ — dans laquelle /12( = 10 et Km = 0,08 V-1 .

1. Calculer le taux de distorsion harmonique de cet amplificateur pour une tension d'entrée sinusoïdale de valeur efficace 8 V . 2. L'amplificateur est soumis à une tension d'entrée ue qui est la somme de deux tensions sinusoïdales, de même amplitude et de fréquences respectives 5 kHz et 5,5 kHz. a) Quel est le contenu spectral en sortie de l'amplificateur. b) On appelle intermodulation, l'apparition de fréquences non contenues dans le spectre de la tension d'entrée. Déterminer la fréquence la plus basse d'intermodulation pour l'entrée précédente. P12- 9. Conformateur sinusoïdal La caractéristique de transfert du conformateur sinusoïdal à quatre diodes de la figure 12.45a est représentée sur la figure 12.45b. H

_L

Ro

5A

3C

EiE, llp m

ue

IL A

V

V

Me^2

M.

\/D2

' O /

El

,r «1

i

Ei

ai

| Mef2 Uç

*-uf.

K —E2 b)

FlG. 12.45. 1. On cherche à établir les relations entre ue^\ , circuit.

et les paramètres Rq , R\

y

E\ , E2 du

a) Quel est le rôle de F AO ? b) Montrer que iis = ue tant que | Ue\ < E{ . En déduire la relation simple entre ue^ et E\ . c) Établir la relation entre us et ue pour ueq < \ue\ < «^ 2 • Trouver alors, en fonction de Rç) et R\ , la pente a\ = {E2 — £'i)/(Me,2 — ue,[) ■ Exprimer uej2 en fonction de E\ , ZL et a\ . 2. Pourquoi la tension de sortie us devient-elle indépendante de ue pour | Ue | ^ Uej2 ? 3. La tension d'entrée du système, nulle et croissante à l'instant origine, est triangulaire, d'amplitude ue^n = 10 V et de période T. Calculer les coefficients de Fourier de la dérivée ùs(t) de la tension de sortie en fonction de uej , ue^2, £2 et ai , 4. On cherche à optimiser le conformateur étouffant le plus possible d'harmoniques. a) Trouver les valeurs de ue_\ et

pour lesquelles l'harmonique de rang 5 s'annule.

Effets non linéaires

425

b) Quelle valeur de ai faut-il choisir pour que l'harmonique de rang 3 s'effondre complètement ? En remarquant que sin^-jr/S) = — sin(37r/5) et sm(147r/5) = — sm(67r/5), montrer que l'harmonique de rang 7 s'annule également. Calculer la valeur des paramètres Ei , E2 et R\ du circuit, lorsque Rq = 5 kfi. c) Représenter l'allure de la tension de sortie. Quel est le rang du premier harmonique non nul ? Calculer le pourcentage de la puissance du fondamental qu'il représente.

P12- 10. Oscillateur parallèle à résistance négative Dans le montage de la figure 12.46a, les valeurs des composants sont les suivantes : C = 22 jjlF , L = 75 mH , r = 500 fî et R\ = R2 = 2,2 kfl. Le dipôle T> est celui représenté sur la figure 12.46b. 1. Trouver la caractéristique de D , étudier sa stabilité et conclure sur son comportement dans le circuit. 2. En régime de fonctionnement linéaire de tension uc aux bornes du condensateur.

, établir l'équation différentielle satisfaite par la

3. Dans quelle condition obtient-on des oscillations ? Quel phénomène limite leur amplitude ? Donner une valeur approchée de l'amplitude de la tension uc ■ Ri l> " 'c Uc

t

IR

C

IL L

i^ n: —c

V

Ri R 7777 a)

b) Fig. 12.46.

P12-11. Oscillateur de van der Pol à AO Un exemple de réalisation de l'oscillateur de van der Pol, à base de circuits multiplieurs et d'AO, est donné sur la figure 12.47. Les valeurs des composants sont les suivantes : R\ «2,2 kO, R? ~ 100 kfl, i?3 « 1 MO, « 5 kfi, « 1 kn, r « 100 El, -Rn « 100 D, Km « 0. 1 V-1 , C « 0,2 pE et L « 150 mH. 1. Quelle est la nature du dipôle Dn ? Préciser les rôles joués par les quadripôles Q\ et Q2 ? 2. À quelle condition peut-on négliger les courants i\ et *2 devant i ? 3. On suppose la condition précédente réalisée. Établir l'équation du circuit en fonction de la tension uc aux bornes du condensateur et de la tension uni à la sortie de Q2 • 4. Calculer u\ , 112 et «3 en fonction de uc ■ En déduire de la question précédente m,,/ en fonction de uc et trouver l'équation différentielle du circuit.

12. Effets non linéaires en électronique

426

5. Montrer que l'équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme : d uc 2

dr

1 dr^c ^ r dr

+ (OqUc = 0

avec

1

— =

( 1

j

*0

On explicitera les quantités wo, to et iq en fonction des valeurs des composants du circuit, et on précisera leurs unités SI. 6. Trouver le paramètre critique Qq de l'oscillateur en fonction des composants du circuit. Calculer les valeurs de la résistance variable Rv de Vn telle que (2o = 100 et go = 0^ 1 • 7. Comment réaliser expérimentalement le portrait de phase de cet oscillateur ? Décrire la nature des oscillations obtenues pour chacune des valeurs de go ■ Quadnpole Qi Ri

U\ oc

KW X " *>

Ri

X ZiA

/o*

Ri , K.

/?, oc

L, r —

X

■* Uc

m

UL

+

Un! Ur

R4 Rs 7777

IX

7777

/

Quadnpole Q2

^ / Rn

7777

R\ Dipôle

FIG. 12.47. P12- 12. Oscillateur historique de van der Pol Sur la figure 12.31, on a représenté l'oscillateur à triode construit par van der Pol. On désigne par M le coefficient d'induction mutuelle reliant la tension grille ug à l'intensité it du courant dans la bobine du circuit oscillant. 1. En négligeant l'intensité ig du courant de grille, établir l'équation différentielle reliant l'intensité ia du courant dans le circuit anode à la tension ua de l'anode, la triode étant polarisée par une source de tension stationnaire f/o . 2. L'intensité ia dépend seulement de la différence ua — yug entre la tension de l'anode et celle ug de la grille affectée du facteur fixé y . En introduisant l'écart de tension uv = ua — I/q , établir l'équation différentielle du circuit à laquelle satisfait ia . En explicitant ug , montrer que ia n'est fonction que de la différence Uq — auv , a étant un facteur que l'on détenninera. 3. Le graphe de la fonction ia{Uq — auv) est donné sur la figure 12.4b. Développer ia jusqu'au troisième ordre, au voisinage de uv = 0. Que devient l'équation du circuit dans ce voisinage ?

13

Rétroaction.

Application aux asservissements

Nous savons qu'un système est un dispositif physique qui fait correspondre une grandeur de sortie à une grandeur d'entrée. Ce concept est très général puisqu'on le trouve dans tous les domaines de la physique, et même en biologie. i) En électronique, les amplificateurs sont des systèmes qui font correspondre une tension de sortie à une tension d'entrée ; on définit alors les facteurs amplification en tension, en puissance et en intensité, rapports des grandeurs de sortie sur celles d'entrée (Fig. 13.1). Puissance mécanique Amplificateur

FIG. 13.1.

u.

Puissance électrique

to

Fig. 13.2.

ii) En électromécanique, les moteurs électriques sont des systèmes qui réalisent une conversion de puissance électrique en puissance mécanique ; précisément, la grandeur d'entrée peut être la puissance électrique d'alimentation du moteur et la grandeur de sortie la puissance mécanique disponible sur l'arbre du moteur, ou la vitesse de rotation de ce dernier (Fig. 13.2). iii) En optique, les lentilles font correspondre une répartition de l'amplitude complexe, ou de l'intensité, de l'onde lumineuse dans un plan image, à une répartition de cette même grandeur dans un plan objet; le grandissement transversal est alors le rapport des extensions spatiales dans les deux plans objet et image (Fig. 13.3). iv) En thermodynamique, un four peut être considéré comme un système qui fait conespondre une grandeur de sortie, la température du four, à la grandeur d'entrée, la puissance électrique fournie au résistor chauffant (Fig. 13.4). v) En biologie, les organismes vivants sont aussi des systèmes qui fournissent, par l'intermédiaire du métabolisme interne, une grandeur de sortie, l'énergie nécessaire à la vie de l'organisme (travail pour ses déplacements, compensation des pertes d'énergie par conduction thermique ou par évaporation, etc.), à partir d'une grandeur d'entrée, l'énergie apportée par la nutrition des aliments absorbés.

13. Rétroaction. Application aux asservissements

428 ou /,

^0 OU /o

Résister

M

Secteur

Plan objet

Lentille

Plan image

Fig. 13.3.

Puissance électrique

Four

Fig. 13.4.

Cependant, lorsqu'ils se réduisent à cette seule correspondance, entrée vers sortie, les systèmes présentent un inconvénient majeur : ils ne prennent pas en compte la valeur effective de la grandeur de sortie, alors que cette dernière peut ne pas satisfaire aux attentes, soit que le système n'ait pas pu être totalement maîtrisé lors de sa conception, soit que des actions extérieures indésirables le perturbent de façon significative. Il apparaît alors indispensable d'introduire le concept général de rétroaction ou de système bouclé, notion que nous avons concrètement approchée avec l'amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8).

I. —RÉTROACTION 1.1. — Intérêt et nécessité de la rétroaction Les systèmes physiques envisagés précédemment fournissent en réalité une grandeur de sortie soumise à des contraintes; par exemple, la grandeur de sortie doit être reliée d'une certaine façon à la grandeur d'entrée, ou bien elle doit avoir une valeur déterminée. On dit que le système est asservi. Pour réaliser de telles contraintes, on doit d'abord déterminer, grâce à un capteur, ce que fournit le système, dit actiomeur, lorsqu'il est soumis à une grandeur d'entrée. Compte tenu de l'information acquise en sortie, il doit ensuite réagir à l'entrée ; cette rétroaction est réalisée à l'aide d'un soustracteur, lequel effectue la différence entre le signal d'entrée et un signal proportionnel au signal de sortie. On est ainsi conduit à transformer le système initiai en un système bouclé. Par exemple, la tension de sortie d'un amplificateur doit être proportionnelle à la tension d'entrée avec un facteur d'amplification en tension déterminé, ou bien elle doit avoir une certaine valeur, choisie en fonction de la charge à la sortie, même si, accidentellement, la tension d'entrée devient trop grande. De même, la répartition de l'intensité lumineuse, dans le plan image, doit être proportionnelle à celle dans le plan objet ; en outre, elle ne doit pas dépasser un certain seuil défini par la sensibilité du photodétecteur utilisé (cf. Optique). Dans un four, la température ne doit pas excéder une certaine valeur. 1.2. — Systèmes régulés Lorsque la contrainte d'asservissement consiste à imposer une valeur déterminée à la grandeur de sortie, quelles que soient les perturbations autres que la grandeur d'entrée, on dit que le système est régulé. L'organisme humain est un bel exemple de système régulé : quel que soit l'environnement, désert chaud ou banquise, la nutrition doit conduire à une température interne du corps voisine de 310 K (37° C).

Rétroaction. Application aux asservissements

429

Un autre exemple est fourni par le maintien d'une température constante dans un four électrique. C'est un problème courant et important dans la vie quotidienne, pour des raisons évidentes de sécurité, mais aussi gastronomiques. Or, une variation accidentelle de la puissance électrique fournie au résister peut provoquer une forte augmentation de la température, et donc des dégâts. On pallie cet inconvénient en introduisant une chaîne retour dont le rôle est précisément d'injecter, à l'entrée du système, un signal directement relié à la différence entre la température T, mesurée par un capteur dans le four, et la température Tr régulée que l'on souhaite maintenir dans le four. Si 7j — T > 0 , l'intensité du courant dans le résister est maintenue, voire augmentée, c'est la rétroaction positive ou réaction. En revanche, si TV — T <0, l'intensité du courant dans le résister est abaissée, voire annulée, c'est la rétroaction négative ou contre-réaction. Le remplissage d'un réservoir d'eau, jusqu'à une hauteur donnée fournit un troisième exemple ; la figure 13.5 montre comment, une fois la hauteur d'eau atteinte dans le réservoir, on interrompt l'alimentation en eau grâce à un flotteur. En soulevant le clapet, on évacue l'eau. Ce système est celui couramment utilisé dans les chasses d'eau. Régulateur Flotte

Fig. 13.5.

Fig. 13.6.

Enfin, exemple historique, le régulateur de Watt est un système articulé, constitué principalement de deux masselottes, qui tourne autour de son axe de révolution, sous l'action d'un moteur thennique ou d'un moteur électrique (Fig. 13.6). Lorsque la puissance délivrée par le moteur est trop élevée, la vitesse de rotation du régulateur augmente et les masselottes s'écartent de l'axe de rotation, en soulevant un collet qui coulisse le long de l'axe de rotation. En se déplaçant, ce dernier provoque une diminution de la puissance fournie, ce qui entraîne un ralentissement de la rotation et donc une retombée du collet. Ce dernier entraîne une tige dont l'extrémité fait varier la tension d'alimentation d'un moteur à courant continu, grâce à un montage potentiométrique. Nous étudierons plus en détail ce dispositif comme exemple mécanique d'asservissement.

1.3. — Schéma synoptique d'un système linéaire avec rétroaction positive Les fonctions des dispositifs précédents peuvent être résumées par une même représentation symbolique, appelée schéma synoptique ou schéma-bloc (Fig. 13.7) : Kd est le rapport entre la grandeur de sortie s et celle d'entrée e dans la chaîne directe, Kr est le rapport analogue dans la chaîne retour entre le signal retour r et 5. À l'entrée, s'ajoute donc, au signal d'entrée initial e, le signal r issue de la chaîne retour, d'où le signal de rétroaction positive ur_p : iir p = e

r

avec

r = Kr s

et

s = K(j ii^p

Lorsque le système est linéaire, K(i est indépendant de ur^p et K, est indépendant de s .

430

13. Rétroaction. Application aux asservissements

Remarque : Toutes les grandeurs considérées peuvent être complexes. Cependant, dans la suite, nous n'alourdirons pas l'écriture en soulignant les lettres qui les représentent.

e+r —>-—

Kd

Entrée A L

Sortie

Kr FIG. 13.7.

a) Facteur d'amplification en boucle fermée On déduit de ce qui précède : s = K(i{e A- Kr s)

soit

^=

Kd l-KdKr

d'où le rapport Kf = s/e, appelé facteur d'amplification en boucle fermée : Kd

Kf =

1 - KdKr b) Facteur d'amplification en boucle ouverte Notons que le produit KdKr est le rapport entre l'entrée et le signal retour, lorsque la boucle est ouverte. En effet, on a alors : r = K, s

s = Kde

d'où

r = Kr Kd e

soit

r — Koe

K0 = KrKd

étant le facteur d'amplification en boucle ouverte. c) Cas particuliers Deux cas particuliers importants, car fréquents, méritent d'être soulignés. i) \K0\ = \KdKr\ » 1 On a, alors : Kd

. e

KdKr

'

01

s ^

1 Kr

Ce dernier résultat est très intéressant, car il montre que l'on peut s'affranchir aisément des imperfections de la chaîne directe en imposant la condition facile à réaliser \Kr\ \Kd\~] . En outre, on voit que cette condition suggère un moyen de réaliser un filtre inverse, caractérisé par la fonction de transfert K~x ; un tel filtre permet en effet de compenser le rôle d'un filtre de fonction de transfert Kr. ii) \KdKr\ = 1 : Kf est alors infini Physiquement, cela suppose que le système est capable de fournir un signal fini à sa sortie, en l'absence de signal à l'entrée, c'est-à-dire sous l'effet d'une simple fluctuation ; le système se comporte alors en oscillateur. De tels systèmes seront étudiés en détail ultérieurement (cf. chapitre 14).

431

Rétroaction. Application aux asservissements

Remarques : 1) Le produit K^K,- n'a aucune dimension physique. Cela implique, soit que Kd et K, n'aient pas séparément de dimension physique, ce qui est le cas lorsque les grandeurs d'entrée et de sortie sont de même nature, soit que Kj et K, aient des dimensions physiques inverses. Dans la première hypothèse, Kd est le facteur d'amplification en chaîne directe et K, le facteur d'amplification en chaîne retour. Dans la seconde, ces quantités sont des coefficients dimensionnés. 2) Lorsque Kr = \, on dit que le système est à retour unitaire (cf. chapitre 8). 1.4. — Exemple de rétroaction en optique : cavité optique Un exemple de rétroaction en optique est fourni par les cavités optiques, qui équipent les lasers, lesquels sont, comme on le sait, des sources lumineuses très intenses et très cohérentes (cf. Optique et Quant ique). Une cavité optique est constituée de deux lames de verre, identiques, planes, parallèles, distantes de e et d'épaisseur négligeable devant e (Fig. 13.8). l /

! ., in' 'A'

>r\i

r-rra-

h +

Ji

I 1I I

i 1i1

mt

Fig. 13.8. On montre que, en raison des multiples réflexions sur les faces en regard des lames, à la sortie de la cavité, dans la direction incidente normale, c'est-à-dire perpendiculaire aux lames, l'amplitude complexe de l'onde lumineuse a pour expression (cf. Optique) : T és = é — I - R exp ixj) —e

avec

T= \—R

R étant le facteur de réflexion en intensité de chaque lame, (f) — (27r/A) x le la différence de phase entre deux rayons émergents consécutifs et A la longueur d'onde du rayonnement. Dans l'expression précédente, on voit apparaître, en dehors du facteur T, la formule générale de la rétroaction, dans laquelle : Kd = l et Kr = R exp icj) La relation entre l'amplitude complexe ip' de l'onde, après la première lame, et son amplitude complexe tp', avant la seconde lame, est en effet la suivante :

£ =

où

Kf = ~

— KdKr

1 — i? exp icp

Or p/ = Ttp et tp = r ip', r étant le facteur de transmission en amplitude complexe de chacune des lames. II vient donc : T2 é = T X Kfj X T Ip = lp -e \ — R exp i(p Comme l'épaisseur des lames est faible, r est réel et positif ; r2 s'identifie alors au facteur de transmission T du flux de chaque lame.

432

13. Rétroaction. Application aux asservissements

II. — RETROACTION NEGATIVE Très souvent, notamment en électronique, la rétroaction est négative, c'est-à-dire que le signal retour r est soustrait au signal d'entrée. Les résultats sont analogues aux précédents, mais il faut changer la fonction de transfert retour Kr par son opposé —K, car, avec une rétroaction négative, on a : tir,a = e — r

avec

r = Kr s

et

s = Kd urjU

Sur la figure 13.9, on a représenté le schéma synoptique de la rétroaction négative. e—r —>—

s

Kd

Entrée •1 L

Sortie

K,Fig. 13.9.

II. 1. — Facteur d'amplification en boucle fermée On déduit de ce qui précède : s = Kd{e — K, s)

soit

s=

Kd \A-KdKr

d'où le facteur d'amplification en boucle fermée K? = sje :

Kf =

Kd 1 + KdKr

Comme pour la rétroaction positive, K0 = KdKr est le facteur d'amplification en boucle ouverte. De même, il existe deux cas particuliers importants. i) \K0\ = \KdKr\

1. On a, alors : ^

1 Kr

ii) Pour KdKr = —] , Kf est infini.

II. 2. — Exemple de l'amplificateur opérationnel non inverseur Analysons, dans ce contexte général des systèmes à rétroaction négative, l'exemple de l'amplificateur opérationnel non inverseur, en rappelant quelques ordres de grandeur (Fig. 13.10) : Kd = Aq ^ 106

et

Kr = — =

i?. R] T R2

avec

R] = 1 kfi

et

Il vient : K0 - KdKr > 1

d'où

ustt — = Kr

Ri

^R2 - 11

Rj = 10 kO

Rétroaction. Application aux asservissements

433

oo

Us

7777

7777 Ri

Fig. 13.10.

II. 3. — Sensibilité aux perturbations de la chaîne directe et de la chaîne retour a) Influence des facteurs d'amplification À partir de la relation générale donnant la tension de sortie lis en fonction de la tension d'entrée ue , étudions d'abord l'influence sur la sortie d'une variation du facteur d'amplification de la chaîne directe. Pour cela, prenons le logarithme népérien de l'expression de us, en fonction de ue, et différentions In Us par rapport à Kj . Il vient : In «c = In

Kd

Ka

m* ) = In

+ In M,

d'où

dus

1 + KdKr

1 + KdKr

dKd

d{l+KdKr]

Kd

1 + KdKr

Il en résulte : dMc

àKd /

1 -

KdKr

dK,

1 + KdKr

Kd

1 \\+KdKr

On voit, qu'en choisissant \KdKr\ 1 , on diminue très sensiblement l'influence d'une perturbation du facteur d'amplification de la chaîne directe. Par exemple, pour KdKr = 999 les variations relatives de Kd sont divisées par 1000. De même, avec un montage non inverseur, pour lequel KdKr ~ 10' , une perturbation relative de 10% de Kd ne se traduit que par une variation relative de 10 6 du signal de sortie. En revanche, il n'en est pas de même pour une perturbation de la chaîne retour. En effet, il vient, en différendant le logarithme de iis par rapport à K, : TJ O c û (M O ("Ni © .S1 CL o u

dus

d{\+KdKr]

Us

1 + KdKr

KdKr

\ d Kr

\+KdKrl

dK,

Kr

Kr

si

KdKr > 1

Les perturbations relatives du facteur d'amplification de la chaîne retour se répercutent directement sur le signal de sortie. b) Influence d'une perturbation extérieure Si un signal extérieur perturbe, de façon additive, la chaîne directe, les équations de base s'écrivent : e = iie — ur

avec

ur = Krus

et

us = Kd€ + iip

iip désignant la perturbation additive de la chaîne directe. On en déduit : Us = Kd(Ue — Krus) + llp

d'où

us =

Kd 1 + KdKr

,

1 1 + KdKr

434

13. Rétroaction. Application aux asservissements

Pour \K(,Kr\

1 , on obtient :

Kr

KdKr "

Kr

Ainsi, la perturbation additive, en chaîne directe, est fortement atténuée par la rétroaction. En revanche, comme précédemment, une telle perturbation en chaîne retour jouerait un rôle non négligeable. En effet, les équations donneraient alors : € = ue — ur

avec

ur = Kr us + Upir

et

us = Kj e

uPp. désignant la perturbation additive de la chaîne retour. Il en résulte : us = Kd{ue — K, iis — uPj )

d'où

iis = —

+ KdKr

e

X+KjEr

ce qui donne, pour \KdK,.\ >■ 1 : Us ~ p, {Ue

Upj/

Il. 4. — Fonctions de transfert des systèmes bouclés L'étude précédente concernait des signaux stationnaires, c'est-à-dire indépendants du temps, ou des signaux non stationnaires pour lesquels les facteurs Kd et Kr étaient des constantes. Or, avec les systèmes linéaires, qui sont les plus utilisés, les résultats obtenus peuvent être étendus aux signaux quelconques, grâce à l'analyse harmonique (cf. annexe 2). a) Fonctions de transfert harmonique Remplaçons, dans la relation générale entre l'entrée et la sortie, les grandeurs physiques qui dépendent du temps, par leurs expressions sinusoïdales. Il vient, en désignant par 'ue{f) et respectivement les amplitudes complexes des signaux sinusoïdaux, de fréquence / ( « se lit u chapeau) : 21.(f)exp(/2^,) =

TT^L_2,(nexp(/2T/,)

d'où

^

en simplifiant. Les coefficients précédents Kd et Kr sont remplacés par des fonctions de la fréquence, Kdif) et Kr{f), qui sont les fonctions de transfert harmonique de la chaîne directe et de la chaîne retour. La fonction de transfert harmonique globale du système en boucle fermée, Kfif) = m5 {/)/»<,(/), a donc pour expression : /r m f[J)

=

K ^) i+Kd(f)Kr(f)

Comme précédemment, le produit Kd(f)Kr(f) des fonctions de transfert directe et retour est la fonction de transfert en boucle ouverte K0(f) : Ko(f) = Kr(f)Kd(f) Pour >• 1, la fonction de transfert du système bouclé se réduit à : Kf(f) « Kf](f). On voit ainsi comment on peut réaliser en électronique la fonction de transfert inverse d'une fonction de transfert donnée, d'où l'importance de la condition \Ku(f)\ 1 .

Rétroaction. Application aux asservissements

435

b) Systèmes bouclés constitués d'un filtre passif du premier ordre Analysons l'influence d'une chaîne retour de fonction de transfert Kr(f ) = K, = Cte indépendante de la fréquence, sur un filtre passif passe-bas de fonction transfert Kd(f) — T(f) : 1(0) T(f) =

avec

7(0) = 1

1 +jf/f

La fonction de transfert du système en boucle fermée est alors : 1

1

KM

Kr+\IKd(f)

Kr+{\+jflfc)IKM

KMKr + \+jflfc

Kd(f) Kfif) = Y

Kd(f)Kr

ce qui s'écrit aussi : et

fc.r=fc[l+KMKr]

On voit ainsi que la fonction de transfert du système bouclé se présente sous la forme du produit de sa fonction de transfert stationnaire (pour / = 0 ) par une fonction de transfert analogue à celle du filtre, mais dont la fréquence de coupure est augmentée. Notons que le produit du facteur d'amplification stationnaire par la fréquence de coupure est indépendant de la fonction de transfert retour K, : KMfcr = YTÉmk/^

+

d où

K

f^f" =

'

Ainsi, une rétroaction négative permet d'augmenter la bande passante des systèmes du premier ordre. Exemple : la figure 13.11 illustre l'influence du bouclage d'un filtre passif passe-bas, type RC de fréquence de coupure fc = \ j{IttRC) (Fig. 13.11a), par un simple pont diviseur constitué de deux résistors (Fig. 13.11b); Kr s'exprime alors sans difficulté en fonction des résistances R\ et Ri associées, selon : Kr = R2l{R\ + Ro) ■ Les AO montés en suiveurs adaptent les impédances entre les deux chaînes passives. S\ R\ = 5 kfi et /?2 = 10 kLl, alors Kr = 2/3 ; comme KfiO) = 1 , la fréquence de coupure est multipliée par 5/3 , alors que le facteur Kf{0) est, lui, divisé par 5/3 . E ■a o c û CM O (M © 4—J sz 1 .5 > D. O U

R

R

ut

S

T.

P

Ue

c

7777

7777 x

O00

c

x

a)

1

b)

7777

Fig. 13.11. c) Systèmes bouclés constitués d'un filtre actif du premier ordre Avec un filtre actif du premier ordre (cf. chapitre 10), les résultats sont analogues, mais le gain en puissance peut être supérieur à l'unité. On trouve, pour une valeur constante K, de la fonction de transfert de la chaîne retour : Kf(f) =

1

^(0)

Kr + l/Kd(f)

1 + KrKd(0) +jf/fc

puisque

Kd(f) =

Kdi0) 1 +jf/fc

13. Rétroaction. Application aux asservissements

436

Il vient donc : ^(0) m

Kf{0)

^

avec

T^mr

On a bien, ici aussi, conservation du produit de la fonction de transfert par la fréquence de coupure : K

Am,r =

ï +

K^O)KMfcl}

+

d 0Ù

Kf{0)fc r = Kd{0)fc

'

-

Comme |/^ ^(0)| peut être très grand devant I , la rétroaction sur les systèmes actifs du premier ordre permet d'augmenter considérablement la bande passante. Exemple : Si Kj-K^Q) = 999, la fréquence de coupure est multipliée par 1 000 !

III. _ ANALYSE EN ELECTRONIQUE ET EN AUTOMATIQUE III. 1, — Fonctions de transfert d'un système en électronique En électronique et en automatique, on s'intéresse, non seulement aux régimes harmoniques établis dans les circuits, mais aussi aux régimes transitoires, lesquels peuvent être mis sous la forme caractéristique suivante : A exp(û'/) exp(Jojt) — A exp{pt)

avec

p = a A- jco

On voit que l'amplitude A exp(a'r) d'un tel signal augmente pour a > 0 et diminue pour a < 0 ; elle est constante et vaut A , pour a; = 0, c'est-à-dire lorsque le signal est harmonique. En outre, dans ces domaines, la linéarité des systèmes s'explicite par une équation différentielle linéaire, reliant le signal de sortie s{t) au signal d'entrée e{t), dont la forme générale est la suivante : dks at

dt*

dk'~ls +

71

dr^ "

. , +

ao

'"

d!~le

d'e =

'd?

+

. .

t e

d^i" + ' ' '

(')

les coefficients ai et étant des constantes. En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation précédente (cf. annexe 3), on trouve, si E{p) de S{p} désignent les transformées de Laplace de e{t) et s{t) respectivement : {ao +pa\+ p2a2 A

f pkak) S{p) = (bo + ph[ A-p2b2 A

h plbi) E{p)

d'où \a fonction de transfert électronique H{p) :

H{

) P

_ E(jj)

ho +

+ • • • + p1^ ao A-pai A p a2 H + pkak 2

Exemple : on sait, que dans un amplificateur opérationnel fonctionnant en boucle ouverte, la tension de sortie us satisfait à l'équation différentielle .suivante (cf. chapitre 8) : d us t0— h us = AqC dt dans laquelle t0 est une durée caractéristique de l'établissement de la valeur Aoe en boucle ouverte. En cherchant des solutions de la forme exp(p/), avec p = a + jto, on obtient : (1 + pT0) S{p) = Au E{p)

d'où

Hp =

E{p)

1 A-pTc

437

Rétroaction. Application aux asservissements

La solution de l'équation différentielle précédente est bien connue (cf. chapitres 4 et 8) : us[t) = Aq€ + Cte x exp ( — — ) \ ToJ

soit

us(t) = Aq€ 1 — exp ( — — ) L \ ToJ.

si l'on tient compte de sa valeur nulle à l'instant initial. Dans un tel système, en boucle ouverte, la tension de sortie prend deux valeurs symétriques Usa, ou —Usai, selon la valeur de e autour de 0 ; en effet, comme le facteur d'amplification en boucle ouverte Aq est de l'ordre de 106 , on a : soit

-15jjlV<€< 15|xV

si

Usa! = 15 jjlV

ce qui rend le système très sensible à une perturbation infime en entrée.

III. 2. — Fonction de transfert harmonique d'un système en électronique On retrouve l'analyse harmonique en remplaçant p par j(o , dans l'expression de H{p) . On obtient alors la fonction de transfert harmonique : HQOJ) -

hp + (j
que l'on explicite généralement selon : H(Jù)) = \H(jco)\exp\j(l?((o)] La quantité 20\g\H(jco)\ représente le gain en dB et ^ la phase en radian.

in. 3. — Fonction de transfert d'un système bouclé en électronique On obtient la fonction de transfert Hf(p) d'un système bouclé, telle qu'elle est utilisée en électronique et en automatique, en remplaçant, dans les expressions générales, K^(f) et Kr[f) par H^Qy) et Hr{p) respectivement, ce qui donne ;

Hf

^

=

1 +Hd{p)H,lj>)

=

HAp) TThjJ>)

où

est la fonction de transfert en boucle ouverte. Reprenons l'exemple déjà étudié de l'AO non inverseur dans lequel iie = E (Fig. 13.10). Comme le montre la figure, une partie de la tension de sortie us est réinjectée à l'entrée du système. L'équation différentielle à laquelle satisfait us devient : Tc-r1 + Us = AQ { E -

Ri + /?2

us 1

puisque

e=E— Ri + Ri

l'intensité du courant entrant dans l'AO, par la borne non inverseuse, étant pratiquement nulle. Il en résulte : dus iis _ AqE _ Tc dt

+

rC!r ~

tc

aVeC

Tc r

' " 1 + AoR] /{R\ + Rz)

13. Rétroaction. Application aux asservissements

438

ce qui donne, en intégrant, comme précédemment ; is(t) =

_

I -exp(- — ^\ V TcJ

Au bout d'une durée de quelques valeurs de tc , la tension de sortie est donc : ^

^ r.R^A-Rl

Us{t¥A0E-~*E—

. .ont

Us /?] + i?2 -É = ^r

Comme : Hr=

R ' R1+R2

et

Hd=^1 + pro

on a Hr -C Ha, d'où : JJ / s TI-\/ \ ^1+^2 Hfip) ~ Hr (p) = —

-,

+

Rl

IV. — STABILITÉ DES SYSTÈMES À RÉTROACTION NÉGATIVE La stabilité des systèmes électriques quelconques est définie comme celle de tout système physique : un système est stable s'il ne s'écarte pas de sa position d'équilibre ou reste confirmé dans son voisinage, lorsqu'il en est occasionnellement écarté. Cette définition est illustrée simplement, en mécanique, par un pendule pesant que l'on écarte de sa position d'équilibre stable, pour laquelle l'énergie potentielle de pesanteur est minimale, et qui revient à cette position après quelques oscillations amorties, en raison des forces de frottement (cf. Mécanique). Un exemple analogue en électrocinétique est le circuit RLC, dont le condensateur possède initialement une charge électrique ; au cours du temps, cette charge s'écoule dans le circuit, en oscillant avec amortissement, en raison des effets dissipatifs dans le résistor, jusqu'à la décharge complète du condensateur (cf. chapitre 3). IV. 1. — Condition de stabilité des systèmes à rétroaction négative Rappelons l'expression de la fonction de transfert des systèmes bouclés, à rétroaction négative :

=

soit

H {P) =

'

I,

W)

W =

1

+ ^WH'-W

Si l'on désigne par {/?/} l'ensemble des n valeurs de p pour lesquelles V{p) = 0, appelées pôles de Hf{p), et si l'on factorise le dénominateur T){p), alors on peut mettre Hf{p) sous la forme suivante :

«M =

(p-p\){p-pi) ■■■{?-?„)

Appliquons à l'entrée du système une excitation e{t), ayant la forme d'une impulsion, de faible durée r et de hauteur Ao/r, Aq étant une constante dimensionnelle. Cette excitation s'exprime aisément en fonction de l'échelon Y{t) : <') = y [YW -

- r)]

La transformée de Laplace S{p) du signal de sortie s{t) a donc pour expression (cf. annexe 3) : S(p) =

=

Hd{p)

- E(p) {P-P\){p-P2)---{P-Pn)

avec

E(j,) =

T

J?

ex

P^T) p _

Rétroaction. Application aux asservissements

439

Comme r est supposé suffisamment faible, E{p) devient:

E<

KP) = —I1 ~

ex

P(-PT)] ~ ^I1 - (! +P'r)]

Par conséquent :

S(p) =^o

{p - Pi)(p - Pl) • • ■ (p - Pn)

ce qui s'écrit, après décomposition en éléments simples, en supposant qu'il n'y ait pas de pôles multiples : 0/r S{p) — Aq

a P-P\

i 1

^2

e>

, , h•••H

P — Pl

"

P-Pn.

On en déduit le signal s{t) en prenant la transfonnation inverse de Laplace : s{t) = Aq [D] exp(/?ir) 4- D2 exp(/?2t)

Dn exp(p,(r)]

Comme les pôles sont a priori complexes, le signal de sortie s{[), après excitation, ne tend vers 0 que si toutes les valeurs pi sont à partie réelle négative. En effet :

si

pi = a, A- j(t)i

avec

ai < 0

alors les facteurs exp(cqr) = exp(—feront décroître, au cours du temps, chacun des tenues formant le signal. Notons que les solutions complexes sont conjuguées deux à deux, car les termes complexes doivent se combiner pour donner des termes réels d'oscillation ou de non-oscillation (cf. chapitre 3). Sur la figure 13.12, on a représenté, dans le plan complexe de p, différents cas. a) Le pôle est réel négatif: le système est stable. b) 11 y a deux pôles complexes conjugués dont la partie réelle est négative : le système est oscillatoire stable. c) Les deux pôles complexes conjugués sont situés sur l'axe des imaginaires : le système zsi purement oscillatoire. d) Avec un seul pôle réel positif: le système est instable. e) Avec deux pôles conjugués, de partie réelle positive : le système est oscillatoire instable. Très souvent, on cherche à réaliser la stabilité de tels systèmes. Aussi éioigne-t-on les pôles de la zone interdite, qui est le demi-plan complexe défini par Re(p) > 0, en introduisant une marge de stabilité : a; < «0

avec

ao < 0

La marge de stabilité est évidemment d'autant plus grande que cro négatif s'éloigne de 0

440

13. Rétroaction. Application aux asservissements

iS{t) y ——

s(ty

i ' si t)
t

v

iv) ■»

i)

?1 / / \é

^f î

\) l v)

■ Re{p}

5(0

«') FIG. 13.12.

IV. 2. — Critère algébrique de stabilité Un critère algébrique de stabilité a été établi au XIXe siècle par le mathématicien britannique E. Routh; il s'appuie sur le signe des coefficients aj du développement polynomial du dénominateur T>(p) de la fonction de transfert en fonction de p : V{p) = ao

a\ p A- a^ p2 H

h an pn

L'analyse est complexe, sauf dans le cas des systèmes du premier et du deuxième ordre. a) Systèmes du premier ordre Lorsque la décomposition du dénominateur Vip) en éléments simples est du premier ordre, il n'existe qu'un seul pôle {n = 1 ) ; 'T){p) se met sous la forme : T>{p) = oq A- a\p

d'où

p\ = —

OQ a\

On voit que si a® et ai sont de même signe, le pôle p\ est réel et négatif, et le système stable. On choisit généralement ces coefficients positifs, en changeant éventuellement le signe du numérateur de la fonction de transfert. Ainsi, les systèmes du premier ordre sont-ils stables si : ai > 0

quel que soit

i

b) Systèmes du deuxième ordre Pour un système du deuxième ordre, T>{p) a pour expression : V{p) = ao + a\p A- «2p2 Pour que le système soit stable, il faut que toutes les racines de ce trinôme du deuxième degré aient des parties réelles négatives. Comme ces racines ont pour expression : -a\ ± {a] - 4aoa2)1/2 P = trois cas se présentent :

2^2

441

Rétroaction. Application aux asservissements

i) ai < 4^0 «2 : rj r 1

Û1

r, J

2 \ '/^ 0«2 -«1

4â

a- • /

si aç,, ai et <22 sont de meme signe. ii) a] = AoqOj : Rel;?} = Re ^ ici aussi, pour vu que ao , a\ et <32 soient de meme signe. iii) a\ >

2 : a\ — 4ao ai 2ai

si la somme et le produit des racines satisfont aux inégalités : ^<0

et

^>0

Cela implique que, la encore, «o , a\ et 02 soient de meme signe. En résumé, un système du deuxième ordre est stable si : ai > 0

quel que soit

i

c) Systèmes du troisième ordre Pour les systèmes d'ordre égal ou supérieur à trois, l'analyse est techniquement plus compliquée et son développement présente peu d'intérêt. Retenons seulement le résultat sur les coefficients du développement de î^(p), relatif au système du troisième ordre (n = 3). Pour qu'un tel système soit stable, les coefficients {c/, } du développement polynomial du dénominateur 22(p) de la fonction de transfert : 22(j?) = ao -\~ ci] p 3- aip~ 3- a?, p^ doivent satisfaire aux conditions suivantes : ai > 0 T3 O C o OJ

quel que soit

i

et

a 1 <22 — <20^3 > 0

IV. 3. — Critère géométrique de stabilité de Nyquist On peut aussi analyser la stabilité d'un système en étudiant la fonction de transfert en boucle ouverte Hoijco) = Hd{J(n)Hr{jù}), obtenue en imposant à la variable p la valeur imaginaire jco. Le critère de Nyquist s'appuie précisément sur le tracé de la courbe C0(ù)) dans le plan complexe : pour chaque valeur de (o, on porte en abscisse la partie réelle de H0(jù)) et en ordonnée sa partie imaginaire ; on obtient alors le diagramme de Nyquist, soit théoriquement à l'aide de la mise en équation du système, soit expérimentalement en envoyant à l'entrée du système, en boucle ouverte, un signal sinusoïdal, de pulsation oj , et en mesurant la réponse correspondante, à la fois en module et en phase. Rappelons que les pôles sont définis par l'équation : 1 + H0{jo)) = 1 + Hd{jo))Hr{j(o) = 0

soit

Hn{jù)) = Hd{jù))Hr{jo)) = -1

On est ainsi conduit à tracer, en coordonnées polaires, le module et l'argument de H0{j(o), et à comparer les valeurs prises par H0(joj) à la valeur critique —1 .

442

13. Rétroaction. Application aux asservissements

s a) Enoncé du critère de stabilité de Nyquist À l'aide du théorème de Cauchy, selon lequel le nombre de zéros et de pôles d'une fonction complexe F{j(o) est égal au nombre de fois que l'on décrit la courbe fermée jr, tracée dans le plan complexe, à partir de la partie réelle de Fijoy) et de sa partie imaginaire, lorsque (o varie, Nyquist a établi le critère géométrique suivant de stabilité d'un système bouclé : Un système bouclé est stable, si la courbe C0 représentant, dans le plan complexe, la fonction de transfert en boucle ouverte, H0{jo}), parcourue de co = — oo à w = oo, entoure le point critique C, de coordonnées —1,0, dans le sens directe, autant de fois que H0{jco) présente de pôles instables, c'est-à-dire de pôles à partie réelle positive. b) Critère simplifié de Nyquist ou critère du revers Lorsque H0(jco) ne présente pas de pôles instables, ce qui est très fréquent, la condition nécessaire et suffisante de stabilité est que la courbe C0 n 'entoure pas le point critique C. Plus précisément, C doit être situé à gauche de cette courbe, quand on la parcourt en faisant varier w de — oo à oo (Fig. 13.13). Im {Hoijoj)}

C "1,0

1

oj = oo

M

a> = 0 AB Re {Ho{j(o)}

Co

FIG. 13.13.

Remarque : En raison des fluctuations ou du nécessaire régime transitoire, on adopte une marge suffisante, en maintenant le point figuratif M, sur la courbe C0 , suffisamment éloigné de C ; la marge prise est souvent égale à 15 dB pour le module de H0{jo)) et 77/4 pour sa phase. c fM o (N

Exemple : un amplificateur passe-bas se comporte comme un système bouclé qui admet pour fonctions de transfert directe et retour les expressions suivantes : Hd(p)=

SI U} "io u

1

f + P/ Me

et

Hr{p)=B

A eX B étant deux constantes. Sa fonction de transfert en boucle ouverte est donc : AB

H

<M = Hd{p)Hr{jf) =

1 + p/wc

Analysons le système en régime établi, en faisant p — jto . On trouve : Ho(Jm} =

AB

, - \H0{Jù)}\exp[i(f)[ù))\ 1 + JCO/û)c

avec

\H0{(o}\ =

AB —, , 2M/2 (1 + CO-fû)*)1'1

et

tan 0 =

co (Oc

Rétroaction. Application aux asservissements

443

Comme le pôle de H0{p) a une valeur réelle négative {p — —o)c ), le système ne présente pas de pôle instable. Établissons l'équation polaire du diagramme de Nyquist. Si M désigne un point du diagramme, on a : AB = (1+^2^)1/2 =AB\cos\ = |//„(0)| Icos^l

OM

Comme OM = \H0\ = AB pour w = 0 , et OM = 0 pour co infini, le diagramme de Nyquist correspondant est un demi-cercle, de rayon AB/2, dont le centre a pour coordonnées AB/2 et 0 (Fig. 13.13). Le point critique C, de coordonnées — 1 et 0, étant situé à gauche de la courbe, le système est stable.

IV. 4. — La rétroaction comme moyen de réaliser la stabilité Montrons, sur l'exemple simple d'un amplificateur opérationnel, que la rétroaction constitue un moyen de réaliser la stabilité d'un système instable. On a vu que la fonction de transfert directe d'un AO, en boucle ouverte, avait pour expression (cf. chapitre 8) : 1

HAp)=Ao

1 + Pri

Aq étant le facteur d'amplification en tension à /? = 0 et tc une durée caractéristique. Ce système est stable puisque le pôle p = —\jrc est réel et négatif. À l'aide d'une chaîne retour sur la borne non inverseuse, constituée d'un point diviseur (Fig. 13.14a), on obtient un système bouclé, à rétroaction positive, dont la fonction de transfert a pour expression : Hd{p) Hf{p)=

avec

"r{p) = HrtP = -

r2

La fonction de transfert retour, qui est sans dimension, traduit un taux de rétroaction positive. Il vient donc : 1

H

f(p) =

puisque Aq

1

l/^C/(p)

l/Aq

1

pTc/Aq

Hr.p

P"?c,r

A

^r,p

1. Comme le pôle de la fonction de transfert est réel positif, le système est instable. Ra F.

Ri

Ri

777/

Ri

7777

7777 a)

b) FIG. 13.14.

7777

444

13. Rétroaction. Application aux asservissements

Modifions la chaîne retour en introduisant une rétroaction négative, à l'aide d'un second pont diviseur fonué de deux résistors (Fig. 13.14b). L'expression de la nouvelle fonction de transfert, en boucle fermée, s'obtient à partir de l'équation différentielle à laquelle satisfait l'AO : ttej R3 + us/^4 ^ \/R3 + \/R4

-p lls — A()£ — AQ ^r,p tls

—Aq{Hi^p

Aq

R3 +

avec HrM = ^3/(^3 + ^4), équation que l'on établit en appliquant le théorème de Millman à l'entrée inverseuse F. Il vient, puisque Aq » 1 : T

càus , A<1it+{r'"

R

o

\ _ Hr ^Us-

* Ri + rP'

On en déduit, en introduisant tC),- = tc/Ao : {ptc.r + Hrj, - Hr,P)lls =

. D ^ D K3 + K4

& OÙ

Hf{p)

R3 + /?4 \prCp. + Hrp — Hr4

Ainsi, la fonction de transfert précédente est modifiée, d'abord par l'introduction d'un facteur d'amplification en tension égal à —R^/[R3 4- ^4), ensuite par le remplacement de par : Hr.p

fir,n —

R\ -\- Rl

R3 F RA

Le système peut devenir stable, puisque p est réel négatif si Hr