Elemento Finito

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS “FRANCISCO GARCÍA SALINAS” UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA I

MAESTRÍA EN INGENIERÍA APLICADA CON ORIENTACIÓN EN RECURSOS HIDRÁULICOS

MODELACIÓN DE FLUJO SUBTERRÁNEO Y TRANSPORTE

INVESTIGACIÓN:

ELEMENTO FINITO

Zacatecas, Zac.,a viernes 24 de Abril del 2015

ELEMENTO FINITO

INTRODUCCIÓN La aplicación del

método del elemento finito para problemas de agua

subterránea comparado con el método de las diferencias finitas. Dos de los objetivos más importantes que se busca obtener mediante el análisis ingenieril es la capacidad de identificar

los principios físicos básicos que rigen el

comportamiento de un sistema y además transformar esos principios en modelos matemáticos compuestos de una o varias ecuaciones que puedan ser resueltas, con el fin de predecir el comportamiento cuantitativo y cualitativo del sistema, teniendo en cuenta que esta predicción debe ser precisa. El modelo matemático resultante está compuesto de una ecuación o de un sistema de ecuaciones, cuya solución debe ser consistente y debe ser representativa de las bases y principios básicos del sistema. Las situaciones donde el sistema es relativamente simple, es posible analizar el problema mediante el uso de sistemas tradicionales. Como son los métodos aprendidos en cursos elementales de ecuaciones diferenciales. Sin embargo los sistemas actuales tienden cada vez a ser más complejos, por lo que la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales principales o la región donde se puede localizar la solución demandan el uso de un método de aproximación o un método numérico, para así extraer la información relacionada con el comportamiento del sistema. El método del elemento finito es una técnica que soluciona o se aproxima a una solución a un sistema de ecuaciones diferenciales relacionadas con un problema de carácter físico o ingenieril. OBJETIVO El objetivo de este trabajo es resolver la modelación del flujo y la comprensión del método del elemento finito utilizando el Excel.

ANTECEDENTES Diversos autores han considerado que Arquímedes,

utilizó un método

semejante al del elemento finito para determinar el volumen de algunos sólidos. Aunque él calculó áreas, longitudes y volúmenes de objetos geométricos, dividiéndolos en otros más sencillos y luego sumando sus contribuciones, el concepto de aproximación variacional no se observa por ningún lado. La relación con la definición de MEF es muy pobre. Se puede argumentar que la medida del volumen (área, longitud) de un objeto es una función escalar de su geometría. Cambiando “medida” por energía y “objetos” por elementos en las líneas anteriores, la descripción se aproxima a lo establecido por el MEF “la energía del sistema es igual a la suma de la energía de cada elemento”. Sin embargo, Arquímedes necesitaba las definiciones de derivada para realizar sus cálculos de energía y el Cálculo no fue inventado sino hasta 20 siglos después. En 1941, Hrenikoff presentó una solución para problemas elásticos usando el “método de trabajo del marco”. En un artículo publicado en 1943, Courant usó interpolación polinomial por partes sobre subregiones triangulares para modelar problemas de torsión. Las ideas básicas del método del elemento finito se originaron en el análisis estructural de las aeronaves. En el periodo de 1950-1962, Turner trabajando para Boeing formula y perfecciona el Método por Rigidez Directo. Turner y otros investigadores obtuvieron matrices de rigidez para armaduras, vigas y otros elementos y presentaron sus resultados en 1956. Clough fue el primero en acuñar y emplear el término elemento finito en 1960. En los primeros años de la década de 1960, los ingenieros usaron el método para obtener soluciones aproximadas en problemas de análisis de esfuerzos, flujo de fluidos, transferencia de calor y otras áreas. Un libro de Argyris, publicado en 1955, sobre teoremas de energía y métodos matriciales, cimentó métodos adicionales en los estudios de elemento finito.

El primer libro sobre elementos finitos por Zienkiewicz y Cheng fue publicado en 1967. A finales de la década de 1960 y principios de la siguiente, el análisis por elemento finito se aplicó a problemas no lineales y de grandes deformaciones. El libro de Oden sobre continuos no lineales apareció en 1972 .

METODOLOGÍA ¿Qué es un elemento finito? El concepto básico puede ser parcialmente ilustrado a través de un antiguo problema: encontrar el perímetro L de un círculo cuyo diámetro es d. Como L=d  , esto equivale a obtener un valor numérico para  . Se dibuja un círculo de radio r y diámetro d=2r

como se muestra en la figura 8.10a. Se inscribe un polígono

regular de n lados, donde n8 en la figura 8.10b. Se renombran los lados del polígono como elementos y los vértices como nodos. Las etiquetas de los nodos son enteros que van de 1 a 8. Considérese un elemento típico, el que une los nodos 4-5, como se muestra en la figura 8.10c. Este es un caso del elemento genérico i - j mostrado

en la figura 8.10d. La longitud del elemento es

Lij =2rsen

. ( πn )=2 rsen ( 180° n )

Como todos los elementos tienen la misma longitud, el perímetro del polígono es Lij =nLij

Ln 180 ° π = =nsen . n , de donde la aproximación para  resulta d n

(

)

Algunas ideas del MEF, pueden identificarse gracias al ejemplo anterior. El círculo, visto como un objeto matemático, es reemplazado por polígonos. Estos constituyen la aproximación discreta del círculo. Los lados, renombrados como elementos, están completamente identificados por los nodos en sus extremos. Los elementos pueden separarse desconectando sus nodos, un proceso llamado desensamble en el MEF. Gracias a este proceso, un elemento genérico puede ser definido, independientemente del círculo original, por el segmento que conecta dos nodos i y j. La propiedad relevante del elemento, en este ejemplo, es la longitud de su lado Lij, misma que puede ser calculada en el elemento genérico independientemente de los otros, una propiedad conocida como soporte local en el MEF. La propiedad objetivo: el perímetro del polígono, es obtenido al reconectar n elementos y sumando su longitud; los pasos correspondientes en el MEF son el ensamble y la solución, respectivamente. Por supuesto que no existe nada particular en el problema del círculo, pues la misma técnica se puede utilizar para obtener la longitud de curvas suaves. Cálculos realizados durante el método En este trabajo se realizó primero a partir de unos datos de la matriz de elementos como aparece en la figura 1.

Figura 1. Separación del sistema por elementos. Después de separar la matriz por elementos triangulares que es como trabaja el método del elemento finito. Una vez definidos el número de elementos se determinaron las coordenadas de cada uno de los nodos los cuales forman el elemento. Cabe mencionar que el sentido en el que se tomaron las coordenadas es un sentido anti-horario ya que así es como se maneja en este método. Como a continuación se muestra en el siguiente cuadro SUBÍND ICE

NODO

i j m

1 6 5

COORDENA DAS X 100 200 200

Y 300 200 300

Cuadro 1. Coordenadas del elemento 1. Posteriormente se determinaron las funciones base con las siguientes ecuaciones: e

N i ( x , y )=

1 [ ( X j Y m− X m Y j ) +( Y i−Y m ) x+ ( X m −X j ) y ] 2 Ae

e

N j ( x , y )=

1 [ ( X m Y i−X i Y m ) +( Y m−Y i ) x+ ( X i− X m ) y ] 2 Ae

N em ( x , y )=

1 X Y j −X j Y i ) + ( Y i −Y j ) x + ( X j−X i) y ] e [( i 2A

Con las siguientes ecuaciones se completó el siguiente cuadro.

Cuadro 2. Funciones base del elemento 1. Una vez determinadas las funciones base para cada uno de los elementos se procedió a sacar las derivadas de las funciones base con respecto a cada una de las variables (x, y) en los subíndices i, j y m. e

N i ( x , y )=

1 [ ( X j Y m− X m Y j ) +( Y i−Y m ) x+ ( X m −X j ) y ] 2 Ae ∂ Ni 1 = [ Y −Y m ] ∂ x 2 Ae j ∂ Ni 1 = [X −Xj] ∂ y 2 Ae m

N ej ( x , y )=

1 X Y −X i Y m ) + ( Y m−Y i ) x+ ( X i− X m ) y ] e [( m i 2A ∂ Ni 1 = [ Y −Y i ] ∂ x 2 Ae m

∂ Ni 1 = [ X − Xm] ∂ y 2 Ae i

e

N m ( x , y )=

1 [ ( X i Y j −X j Y i ) +( Y i −Y j ) x +( X j−X i) y ] 2 Ae ∂ Ni 1 = [ Y −Y j ] ∂ x 2 Ae i ∂ Ni 1 = [ X −X i ] ∂ y 2 Ae j

A continuación se muestran las derivadas

Cuadro 3 Resultados de las derivadas del elemento 1.

Con las derivadas parciales anteriores se determinaron los valores de las conductancias de cada nodo, como a continuación se muestran en el siguiente cuadro. NOD OS 1 6 5

SUBÍNDI CE i j m

GL=i 0.5 0 -0.5

GL=j 0 0.5 -0.5

GL=m -0.5 -0.5 1

Cuadro 3. Conductancias de cada nodo del elemento 1. RESULTADOS

Con el método antes mencionado así como los cálculos que se fueron describiendo para cada uno de los elementos y nodos, de obtuvo finalmente la matriz de conductancia, para posteriormente con ella determinar las alturas faltantes en el sistema. En este caso son las alturas de los nodos 6, 7, 10 y 11. Las cuales se calcularán más adelante en otro apartado, pero las cuales también forman parte del método del elemento finito. Antes se realizó una asociación de valores en la matriz de conductancia por cada uno de los 18 elementos como se muestra a continuación los cuales nos dan como resultado la matriz de conductancia al hacer las sumas de cada una de sus celdas.

A continuación se muestra el resultado al cual se pretendía llegar durante el desarrollo del presente trabajo.

Cuadro 4. Matriz de conductancia.

Calculo de la cargas Una vez resuelta la matriz de conductancia se asignan las cargas que ya se tenían para determinar las faltantes. A continuación se muestra un cuadro con las cargas asignadas multiplicadas por los valores de la matriz de conductancia.

Fig. 4 Alturas o cargas.

Posteriormente a partir de estos se obtiene el sistema de ecuaciones, como aparecen en seguida: 4h6-(-1h7)-(1h10)+0h11=15.86 (-2h6)+6h47+0h101h11=14.75 (-h6)+0h7+4h10h11=16.77 0h6-h7h10+4h11=16.32

Con estas se formó la matriz de cargas Matriz de cargas

4

-1

-1

0

-1

4

0

-1

-1

0

4

-1

0

-1

-1

4

E. Finito 15.8 h6 6 14.7 h7 5 h1 16.7 0 7 h1 16.3 1 2

Finalmente para resolver las cargas faltantes se desarrolló la matriz, primeramente sacando la inversa y está multiplicándola por la matriz columna de los valores. Por lo tanto las cargas faltantes quedan:

INGÓGNITA H6 H7 H10 H11

CARGA 7.933 7.683 8.188 8.048

CONCLUSIÓN Con la utilización del método del elemento finito, se puede comprobar los valores obtenidos para las alturas las cuales se calcularan en otro apartado, para hacer un comparativo con las alturas calculadas mediante el método de las diferencias finitas. Cabe mencionar que durante el proceso para la determinación de la matriz de conductancia se tuvieron algunas trabas pues se tenía duda en las derivadas de las funciones base de cada elemento, pero finalmente se logró el objetivo planteado al principio del presente trabajo. También se debe recalcar que durante la descripción del método así como los cálculos realizados sólo se explican los de un sólo elemento pues los de más elemento se hace de la misma manera por lo que no es necesario poner todos los elementos que forman a dicha matriz de conductancia. Comprobando los valores obtenidos de las tablas del método de diferencias finitas con este método llegamos a los mismos valores.

BIBLIOGRAFÍA Libros Anderson Mary P. y Woessner William W. Simulation of flow and advective transport PPLIED GROUNWATER MODELING, New York, San Diego, Boston, London, Sydney, Tokio y Toronto. Pag. 159.

Páginas de internet. http://www.salome-platform.org/ www.ptolomeo.unam.mx