Elipse-analisis Plaza San Pedro

Integrantes:

¿Qué es la elipse? 

La elipse es una línea curva, cerrada y plana, que resulta al cortar un cono.



Una elipse es el lugar geométrico de todos los Puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) en el plano es constante.

Elementos 

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.



Focos: son los punto fijos F1 y F2.  Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: V1, V2, B1 y B2.  Eje mayor: Es el segmento de V1 a V2 de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. 



Eje menor: Es el segmento de B1 a B2 de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.



Distancia focal: Es el segmento de F1 a F2 de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.



Excentricidad: número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Se simboliza con la letra e y 2 su ecuación es: 2b /a



Lado Recto: es un segmento o cuerda que pasa por el foco. Su ecuación es: c/a

Ecuación y Grafica de la elipse centrada en el origen

x y   1 2 2 b a 2

2

Ejemplo: 

Determine los elementos de la elipse con centro en el origen dada la siguiente ecuación:

2

2

x y  1 9 25

Elementos: Centro  (0,0)

DistanciaFocal  2c  8 Focos

F1  (0,c)  (0,4) F2  (0, c)  (0, 4)

c 4 e  a 5

EjeMayor  2a  10 EjeMenor  2b  6

Vértices V1  (0,a)  (0,5) V2  (0, a)  (0, 5)

B1  (b,0)  (3,0) B2  (b,0)  (3,0)

2b2 2  9 18 L.R    a 5 5

Ecuación y Grafica de la elipse centrada en (h,k)

(x  h) (y  k)  1 2 2 b a 2

2

Ejemplo: 

Determina los elementos de la elipse centrada en el punto (h,k) o centrada fuera del origen dada la siguiente ecuación:

(x  1) (y  3)  1 36 100 2

2

EjeMayor  2a  20

Elementos: Centro  (h,k)  (1,3)

EjeMenor  2b  12

DistanciaFocal  2c  16

Focos F1  (h,k  c)  (1,11)

F2  (h,k  c)  (1, 5) c 8 4 e   a 10 5

Vértices V1  (h,k  a)  (1,13) V2  (h,k  a)  (1, 7)

B1  (h  b,k)  (7,3) B2  (h  b,k)  (5,3) 2b2 2  36 72 36 L.R     a 10 10 5

Ecuación General de la elipse con eje focal al eje Y

Ax  Cy  Dx  Ey  F  0 2



2

Transformando esta ecuación por completación de binomio es posible expresarla en forma principal, que permite conocer los valores de a b c y todos sus elementos.

Ejemplos: 

Transforma las siguientes ecuaciones generales de la elipse en la principal y determina los elementos de cada una de ellas:

a)25x  9y  50x  36y  164  0 2

2

25x2  9y 2  50x  36y  164

25(x  1)2  9(y  2)2  164  25  36

25(x  1)  9(y  2)  225 2

2

(x  1) (y  2)  1 9 25 2

EjeMayor  2a  10

Elementos:

EjeMenor  2b  6

Centro : (1,2) DistanciaFocal  2c  8

Focos F1  (1,6) F2  (1, 2)

2

4 e 5

Vértices

V1  (1,7) V2  (1, 3) B1  (4,2) B2  (2,2)

2  9 18 L.R   5 5

b)36x  11y  144x  44y  208  0 2

2

36x2  11y 2  144x  44y  208 36(x  2)2  11(y  2)2  208  144  44

36(x  2)  11(y  2)  396 2

2

(x  2) (y  2)  1 11 36 2

2

EjeMayor  2a  12

Elementos: Centro  (2, 2)

EjeMenor  2b  2 11

DistanciaFocal  2c  16 Focos

F1 (2,3)

F2  (2, 7)

5 e 6

Vértices V1  (2,4) V2  (2, 8) B1  ( 2  11, 2)

B2  ( 2  11, 2)

2  11 22 11 L.R    6 6 3

Aplicaciones en la vida cotidiana 

Las aplicaciones y los usos que posee esta cónica son muy diversas, como por ejemplo:



Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar algún deporte.



Los cuerpos que giran de otros, trayectorias elípticas, por ejemplo los giran

alrededor también describen como cometas que alrededor del Sol.



En muchas ciudades es fácil encontrar plazas de planta elíptica, normalmente conocidas por el nombre de "plaza elíptica". Por ejemplo la Plaza de San Pedro en el Vaticano.

PLAZA DE SAN PEDRO

y V1

a = 145 m

F1 a

b = 120 m

c

b2

b1

b O

c = 81.4 m

x a

F2 V2

La Plaza de San Pedro obedece a la ecuación:

ELEMENTOS: CENTRO: VÉRTICES:

O(0,0) V1(0,145) V2(0,-145) FOCOS: F1(0,81.4) EXENTRICIDAD: e=c/a e=81.4/145 e=0.55

b1(0,-145) b2(0,145) F2(0,-81.4)

El obelisco, a su vez, es el centro del eje transversal de la plaza oval. Labrado en granito, su altura original era de 25'5 metros, pero con la peana sobre la que descansa y el remate de una cruz, alcanza los 40.

El eje, que presenta también dos fuentes, una a cada lado del obelisco, termina en sendos puntos triunfales situados en los respectivos centros de cada brazo de la elipse, alcanzando una longitud de 200 metros.



Pero también podemos encontrar elipses en algunos objetos como por ejemplo:



•

Una Mesa

Un Plato

Bibliografía     

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Elipse. html 23.Elipse (pdf) Video Elementos de una elipse dada su ecuación (youtube). Video Concepto y elementos de la elipse (youtube) Video ecuación de la elipse con centro en el origen - Vertical - P#1 (youtube).

Gracias por su atención.