Estruturas - Porticos

PÓRTICOS SÃO ESTRUTURAS LINEARES PLANAS, NÃO SENDO CONSTITUÍDAS DE BARRA ÚNICA, TEORICAMENTE, DE EIXO RETILÍNEO, COM SEUS ELEMENTOS ESTRUTURAIS, GERALMENTE, UNIDOS POR NÓS RÍGIDOS, PODENDO EXISTIR ARTICULAÇÕES. NO SEU CASO SIMPLES NECESSITA DE TRÊS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA SER DETERMINADO

TIPOS DE PÓRTICOS * PÓRTICOS SIMPLES: PÓRTICO EM BALANÇO PÓRTICO TRI-ARTICULADO PÓRTICO ATIRANTADO * PÓRTICOS COMPOSTO

* PÓRTICOS MULTIPLOS

PÓRTICOS PLANOS SIMPLES

PÓRTICOS EM BALANÇO

PÓRTICO TRI-ARTICULADO

PÓRTICOS ATIRANTADO Tirante

PÓRTICO - Com Carga Concentrada Diagrama de corpo livre 10kN B

10kN C 6m

6m 4m

HD

A 4m

D

VA

VD

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO ∑MA = 0 (-10 . 2)+(VD . 4) = 0

10kN

VD = 5kN ∑FV = 0 6m

VA + VD – 10 = 0 VA = 5kN

4m HD

∑FH = 0 HD = 0

VA = 5kN

VD = 5kN

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO – Com carga distribuída ∑MA = 0 14kN

(-14 . 3,5)+(2,8 . 2,5)+(VD . 7) = 0

2kN/m

VD = 6kN ∑MD = 0 (2,8 . 2,5)+(14 . 3,5)+(-VA . 7) = 0

2,8kN 4m

VA = 8kN 2,5m ∑FV = 0

∑FH = 0

VA + VD – 14 = 0

HA - 2,8 = 0

8 + 6 – 14 = 0

HA = 2,8kN

HA = 2,8kN

7m VA = 8kN

VD = 6kN

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 90kN

15kN/m

q1 = 3 . 7 = 21kN

3kN/m

30kN

3m q2 = 15 . 6 = 90kN

5kN/m

D

21kN

20kN

4m q3 = 5 . 4 = 20kN

HA

HB

A VA

C

B 6m

VB

9m

VC

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO ∑FH = 0 => -20 + HD = 0

30kN

D

5kN/m

HD = 20kN

HD = 20kN

∑MC = 0 20kN

VD = 10,56kN

(20.2)+(30.4,5)+(-20.4)+(-VD .9) = 0 VD = 10,56kN ∑FV = 0

C 9m

VC = 19,44kN

=> 10,56 – 30 + VC = 0

VC = 19,44kN

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 90kN 15kN/m

3kN/m

3m D

FH

21kN

FV

4m HA

HB

B

A 6m VA

VB

FH = HD

= 20kN

FV = VD

= 10,56kN

HD e VD estão comprimindo portanto: FH

FV

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 90kN 15kN/m

3kN/m FV = 10,56kN

3m

∑MD = 0 HB . 4 = 0 => HB = 0 ∑FH = 0

D FH = 20kN 21kN

4m HA

HB = 0

B

A 6m VA

VB

=> 21+ HA - 20 = 0

HA = -1kN => portanto:

HA

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 90kN 15kN/m

3kN/m FV = 10,56kN

3m

∑MD = 0 HB . 4 = 0 => HB = 0 ∑FH = 0

D FH = 20kN

=> 21+ HA - 20 = 0

HA = -1kN ∑MB = 0

21kN

4m

(20.4)+(-21.3,5)+(90.3)+(-VA.6) = 0 VA = 46,08kN

HA= 1kN

HB = 0

∑FV = 0 B

A 6m VA = 46,08kN

VB = 54,48kN

-90 -10,56 +46,08 + VB = 0

VB = 54,48kN

CÁLCULO DAS REAÇÕES

5kN

∑FH = 0 HA + 3 = 0 HA = 3kN 3kN ∑MA = 0 (-3 . 3)+(-5 . 2)+(VD . 4) = 0 VD = 4,75kN

HA= 3kN

∑FV = 0 VA – 5 + 4,75 = 0 VA = 0,25kN

0,25kN = VA

VD = 4,75kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL, CORTANTE E MOMENTO FLETOR

5kN

3kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL CONVENCIONAR

COMPRESSÃO NEGATIVO FORA TRAÇÃO POSITIVO

DENTRO

DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL 0,25kN

DEN

A Reação de 0,25kN é resultado de uma compressão de igual intensidade.

VA = 0,25kN

DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL A Tração é representada por (+) positivo, e a Compressão por (-) negativo.

DEN

4,75kN

O exterior é representado por (+) positivo, e o interior por (-) negativo.

0,25kN VD = 4,75kN

DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL DEN 3–3=0 =

0,25kN

4,75kN

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE

DEN

DEC

3kN 3m 0,25kN

4,75kN

HA = 3kN

Força Cortante POSITIVA

Força Cortante NEGATIVA

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE DEC 0,25kN

DEN

5kN

2m

3m

0,25kN

4,75kN

3kN VA = 0,25kN

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE DEN

DEC 0,25kN 5kN

4,75 5 + 0,25 = -4,75kN

0,25kN

4,75kN

3kN

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE DEC

DEN 0,25kN

0

4,75kN -4,75 + 4,75 = 0

0,25kN

4,75kN

3kN VB = 4,75kN

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE DEN

DEC 0,25kN

0

4,75kN

0,25kN

4,75kN

3kN

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR

Compressão Tração

O Momento é sempre lançado do lado da Tração

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DEN

DMF

DEC 0,25kN 0

9kNm

3kN 4,75kN

0,25kN

4,75kN

3kN

6m

3m

∑MA = 0 (-3 . 3) + M = 0 => M = 9kNm

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DEN

DMF

DEC 0,25kN

9kNm

0 3m

3kN 9kNm

4,75kN

3m

3kN

0,25kN

3kN

∑MBA = 0 (-3 . 6)+(3 . 3)+M = 0 => M = 9kNm

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DEN

DMF

DEC

5kN

0,25kN

2m

9kNm

0 9kNm

9kNm

4,75kN

0,25kN

3kN No Momento o interior é representado por (+) positivo, e o exterior por (-) negativo.

4,75kN ∑MBC = 0 (-5 . 2)+(4,75 . 4) + M = 0 => M = 9kNm

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DEN

DEC

DMF

0,25kN

S1

9kNm

0 9kNm

9,5kNm 9kNm 4,75kN

0,25kN

4,75kN

3kN

∑MS1 = 0 (4,75 . 2)+M = 0 => M = 9,5kNm

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DEN

DEC

DMF

0,25kN

S1

9kNm

0 9kNm

9,5kNm 9kNm

4,75kN

0,25kN

4,75kN

3kN

MC = 0

0

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DMF

DEC

DEN 0,25kN

9kNm

0

0

9kNm 9,5kNm 9kNm 4,75kN

0 0,25kN

4,75kN

3kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL 14kN

DEN 2kN/m C

B

B

C

A

D

2,8kN

4m

2,5m D

A HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL 14kN

DEN 2kN/m

2,8kN

4m

2,5m 8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL 14kN

DEN 2kN/m

2,8kN

4m

2,5m 8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL 14kN

DEN 2kN/m 2,8kN

2,8kN

4m

2,5m 8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL 14kN

DEN 2kN/m 2,8kN

2,8kN

4m

2,5m 8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE 14kN

2kN/m Força Cortante POSITIVA 2,8kN

4m

2,5m HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

Força Cortante NEGATIVA

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE 14kN

DEC 2kN/m 2,8kN

2,8kN

4m

2,5m HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

2,8kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE DEC

14kN

2kN/m

2,8kN

4m

2,5m 2,8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE DEC

14kN

2kN/m 2,8kN

2,8kN

4m

2,8kN

2,5m 2,8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE DEC

14kN

2kN/m 2,8kN

2,8kN

2,8kN

4m

2,5m 2,8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE DEC 2kN/m

8kN

14kN d = 4m

6

d = 8kN / 2kN/m d = 4m

2,8kN

4m

2,8kN 14 - 8 = 6

2,5m 2,8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE 14kN

2kN/m

8kN

DEC

V(x) = -

q(x) dx

d = 4m

V(x) = -

2 dx

V(x) = - 2x + C V(0) = 8 => C = 8 2,8kN

4m

2,8kN

V(x) = -2x + 8

2,5m 2,8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

V(x) = 0 => -2x + 8 = 0 -2x = 8 => x = 4m

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE 14kN

DEC 2kN/m

8kN

V(7) = ?

d = 4m

V(x) = 0 => -2x + 8 = 0 6kN

V(7) = -2 (7) + 8 2,8kN

4m

2,8kN

V(7) = -6 2,5m

V(7) = 6kN 2,8kN

HA = 2,8kN

VA = 8kN

V(7) = -14 + 8

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE 14kN

2kN/m

8kN

DEC 4m

6kN

2,8kN

4m

2,8kN 2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

2,8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 14kN

2kN/m

2,8kN

4m

2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

Compressão Tração

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 14kN

DMF 2kN/m -11,2

M(x)= -2,8 . X M(0)= 0 2,8kN

4m

M(4)= -2,8 . 4 M(4)= -11,2 kNm

2,5m 2,8kN HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR DMF

14kN

2kN/m 11,2kNm

4,2kN

2,8kN

2,8kN

4m

2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

M(x) = 2,8 . x

M(1,5) = 2,8 . 1,5

M(0) = 0

M(1,5)= 4,2 kNm

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 14kN

DMF 2kN/m 11,2kNm

2,8kN

4m

2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

4,2kNm

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 14kN

11,2kNm

4,2kNm

2kN/m M(x) = - V(x) dx M(x) = - 2x + 8 dx 2,8kN

4m

2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m

M(x) = -1/2 . 2x2 + 8x + C M(x) = -x2 + 8x + C M(0) = -11,2 => C = -11,2

VD = 6kN

M(x) = -x2 + 8x - 11,2

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR DMF

14kN -11,2

2kN/m 11,2kNm

4,2kNm

2,8kN

4m

M(x) = -x2 + 8x - 11,2 2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

M(0) = -(0)2 + (0)x - 11,2

M(7) = -72 + 8(7) - 11,2

M(0) = -11,2

M(7) = -4,2

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR DMF

14kN

-11,2

2kN/m

-4,2 11,2kNm

4,8

2,8kN

4m

4m

4,2kNm

M(x) = -x2 + 8x - 11,2 dM(x) = 0 dx

2,5m

HA = 2,8kN

M(x) = -x2 + 8x - 11,2

7m

d = (-x2 + 8 - 11,2)=0 dx

M(4) = -1 . 42 +8 -11,2 VA = 8kN

VD = 6kN

M(4) = 4,8 kNm

-2x + 8 = 0 =>

x = 4m

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 14kN

11,2kNm

DMF 4,2kNm

2kN/m 11,2kNm

2,8kN

4m

2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

4m

4,8kNm

4,2kNm

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 14kN

11,2kNm

DMF 4,2kNm

2kN/m 11,2kNm

2,8kN

4m

2,5m

HA = 2,8kN

VA = 8kN

7m VD = 6kN

4m

4,8kNm

4,2kNm

DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL, CORTANTE E MOMENTO FLETOR

DMF

DEC

DEN 14kN

11,2kNm

8kN

4,2kNm

2kN/m

4,2kNm

2,8kN 11,2kNm

2,8kN

6kN

2,8kN

4m

2,5m HA=2,8kN

8kN

7m VA = 8kN

VD = 6kN

6kN

2,8kN

4,8kNm

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS ∑FH = 4 - HB = 0 HB = 4kN (-)

1 kN/m

10kN

2 kN/m ∑MB = 0

D

C

(VA . 5) + (4 . 2) + (-10 . 2,5) = 0 VA = 3,4kN

4kN

4m

2m B

A 5m VA = 3,8kN

HB = 4 kN

∑FV = 0 3,4 - 10 + VB = 0 VB = 6,6kN

VB = 6,6kN

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEN

1 kN/m

10kN

2 kN/m C

D

A

B

3,4

6,6

4

4

4kN

4m

5m VA = 3,4kN

HB = 4 kN 3,4 VD = 6,6kN

6,6

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEN

1 kN/m

10kN

2 kN/m -3,4

C

D

A

B

-6,6 -4

-4

4kN

4m

5m VA = 3,4kN

HB = 4 kN

VD = 6,6kN

-3,4

-6,6

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEC

1 kN/m

10kN

2 kN/m

10

D

C

4kN

4

4m

5m VA = 3,4kN

4

B

A

HB = 4 kN 3,4 VD = 6,6kN

6,6

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEC

1 kN/m

10kN

2 kN/m 0

C

D

A

B

4kN

4m

5m VA = 3,4kN

HB = 4 kN

VD = 6,6kN

4

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEC

1 kN/m

10kN

2 kN/m

0

D

C

3,4 - 10 = -6,6

3,4 0,34m

d = 3,4 / 10

4kN

-6,6

4m B

A 5m VA = 3,4kN

HB = 4 kN

VD = 6,6kN

4

d = 0,34m

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEC

1 kN/m

10kN

2 kN/m

3,4

D

C

0

0

-6,6 + 6,6 = 0

0,34m

4kN

-6,6

4m B

A 5m VA = 3,4kN

HB = 4 kN

VD = 6,6kN

4

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEC

1 kN/m

10kN

2 kN/m

3,4

D

C

0

0 0,34m

4kN

-6,6

4m B

A 5m VA = 3,4kN

HB = 4 kN

VD = 6,6kN

4

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DMF

1 kN/m

10kN

2 kN/m

M(x)= -2,8 . X M(0)= 0

D

C

M(4)= -2,8 . 4 4

4kN

M(4)= -11,2 kNm

4m A 5m VA = 3,4kN

4

B HB = 4 kN

VD = 6,6kN

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DMF

1 kN/m

10kN

2 kN/m

M(x)= -2,8 . X

6,6

4

D

C

3,4

4

M(0)= 0 M(4)= -2,8 . 4

4kN

M(4)= -11,2 kNm

4m B

A 5m VA = 3,4kN

HB = 4 kN 3,4 VD = 6,6kN

6,6

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEC

1 kN/m

10kN

2 kN/m

4

D

C

1

1kN

4kN

4m

2m B

A 5m VA = 3,8kN

HB = 3 kN

VD = 6,2kN

3

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

10

DEC

1 kN/m

10kN

2 kN/m

3

3,8

D

C

-1

1kN

4kN

4m

4

2m B

A 5m VA = 3,8kN

HB = 3 kN

VD = 6,2kN

-3

6,2

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

10kN

2m

D

C

1kN

4kN

2m B

A 5m

EXERCÍCIO DE PÓRTICOS

DEC 10kN

10

D

C 4kN

1kN

4m

1

4

2m

5m VA = 3,8kN

3

B

A

HB = 3 kN 3,8 VD = 6,2kN

6,2