Factorizacion De Polinomios

Factorización de polinomios Anneliesse Sánchez y Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico

Definición • La factorización es el proceso inverso a la multiplicación. Cuando factorizamos, deshacemos lo que hicimos al multiplicar. • Si multiplicamos (4)(2) obtenemos 8. • Podemos factorizar 8 como (4)(2). • Factorizar entonces es escribir una expresión como un producto de dos o más términos.

Note que al multiplicar, siempre obtenemos un único resultado. Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar un número. Ejemplo: 24 = (8)(3)

24 = (6)(4)

24 = (4)(2)(3)

24 = (2)(2)(2)(3)

24 = (6)(2)(2)

24 = (4)(2)(3) 24 = (12)(2)

Esta última es la factorización prima, lo que significa que la expresión ya no se puede seguir factorizando.

Teorema fundamental de la aritmética Todo número entero positivo tiene una única factorización de números primos, excepto por el orden. Nosotros factorizaremos polinomios. Llamamos polinomio primo a un polinomio que NO se puede factorizar como el producto de dos polinomios distintos de 1.

Factorización de polinomios

FACTORIZACION POR FACTOR COMUN

Factorización de factor común La factorización más simple se basa en la propiedad distributiva. ab + ac = a(b + c) Este tipo de factorización, remueve el factor común de los términos. Ejemplo:

3b2 – 5bc + 6b Al factorizar tenemos: b(3b – 5c +6)

En este caso vemos que b es factor común de los tres términos.

Máximo común divisor • Por el máximo común divisor de dos o más monomios", nos referimos al monomio con el mayor coeficiente numérico y con la potencia más alta de las variables que es un factor de los monomios dados.

Ejemplo • Encontrar el máximo común divisor de 8x2 y 12x3. • Solución: Expandir cada expresión • 8x2 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ x ∙ x • 12x3 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x ∙ x • El máximo común factor es • 2 ∙ 2 ∙ x ∙ x = 4x2

Halle el factor común en cada polinomio y luego factorice. • 22pq – 33qr (11)(2)pq – (11)(3)qr 11q(2p – 3r) • 7xy – 14xy2 + 21x2y • 7xy – (7)(2)xyy+ (7)(3)xxy • 7xy(1 – 2y + 3x) • 20w3z4 – 25w4z7 – 15w5z3 • (5)(4)w3z3z– (5)(5)w3wz3z4– (5)(3)w3 w2z3 • 5w3 z3 (4z – 5wz4 - 3w2 )

Factorización de polinomios

FACTORIZACION POR AGRUPACION

Factorización por agrupación Técnica que consiste en agrupar dos o más términos del polinomio usando algún criterio; por ejemplo, un criterio puede ser: agrupar dos o más términos que tengan algún factor común. Ejemplo:

2a  6b  ac  3bc

Note que entre los primeros dos términos hay un factor de 2 en común, mientras que en los últimos dos hay un factor de c en común.

Factorización por agrupación Factorice : 2a  6b  ac  3bc Primero agrupamos : (2a  6b)  (ac  3bc ) Luego, factorizamos : 2(a  3b)  c(a  3b) Al examinar, se observa que hay un binomio común a ambos términos: (a – 3b)

Volvemos a factorizar removiendo el factor común binomial (a – 3b) 2(a – 3b) + c(a – 3b) =

(a  3b)(2  c)

Factorización por agrupación Ejemplo 2: Factorizar el polinomio 3a2 + 12a – 2ab – 8b Agrupar: OJO: Al agrupar los últimos dos términos, si dejamos el signo de resta fuera del paréntesis, tenemos que cambiar el signo de los términos. Si lo incluimos dentro de los paréntesis, debemos colocar un símbolo de suma entre los términos.

Factorización por agrupación Ejemplo 2:Factorizar el polinomio 3a2 + 12a – 2ab – 8b

Entonces la agrupación puede quedar: :(3a2 + 12a )– (2ab + 8b) ó :(3a2 + 12a ) + (-2ab – 8b)

Factorización por agrupación Ejemplo 2: Factorizar el polinomio 3a2 + 12a – 2ab – 8b

Agrupar: :(3a2 + 12a )– (2ab + 8b) Factorizar cada grupo: 3a(a + 4) – 2b (a + 4) Factorizar el binomio común: (a + 4) (3a – 2b)

Factorización por agrupación Ejemplo 3: 4x – 3y – 12ax + 9ay

Agrupar: (4x – 3y )– (12ax – 9ay) Factorizar cada grupo: 1(4x – 3y )– 3a(4x – 3y)

Note que en el primer grupo no hay factor común diferente a 1.

Factorizar el binomio común: (4x – 3y ) (1 – 3a)

Factorización por agrupación Ejercicios: 1) y2 – 4y + 3yz – 12z = (y2 – 4y) + (3yz – 12z) = y (y – 4) + 3z (y – 4) = (y – 4)(y + 3z) 2) ab – c – ac + b = (ab – ac) + (b – c) = a(b – c) + 1(b – c) = (b – c)(a + 1)

3) 9ab + 9ac – b – c =(9ab + 9ac) – (b + c) =9a(b + c) – 1(b + c) =(b + c) (9a – 1)