Final

ÜÚ

Educación Media

T6AS Talleres de Evaluación de Aprendizajes para el Simce

Matemática

SA N TI LLAN A

%itihenne fled o Paredes 16.435.358-3 Profesora Matemáticas

d i

Educación Media

T6AS Talleres de Evaluación de Aprendizajes para el Sim ce

El material didáctico Santillana TEAS Matemática 2 para Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación de proyecto Jefe de área Edición Asistente de edición Autores

Solucionario Corrección de estilo

Ana María Anwandter Rodríguez Gerardo Muñoz Díaz

»

María Antonieta Santls Ávalos Susan Schwerter Felmer Carmen Verónica Muñoz Correa Juan Antonio Abollado Vlvanco Loma Jiménez Martínez Patricio Varetto Cabré - Isabel Spoerer Varela Ana María Campillo Bastidas - Cristina Varas Largo Eduardo Arancibla Muñoz

Documentación

Paulina Novoa Venturino Cristian Bustos Chavarria

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA Con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación Gráfica Diseño y diagramación Fotografía Cubierta Producción

Carlota Godoy Bustos Ximena Moneada Lomeña Archivo Santillana La Práctica S.P.A. Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del 'Copyright', bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

€>2012, by Santillana del Pacifico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Arlztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHINA. Impreso en China y producido por Asia Pacific Offset Ltd. ISBN: 978-956-15-1860-5 - Inscripción N ° 206.551 www.santillana.cl [email protected] R020713

SANTILLANA8 es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S .L Todos los derechos reservados.

MIXTO

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*

SANTILLANA

PRESENTACION El Taller de Evalu ación d e A p rendizajes para el Sim ce, T E A S M atem ática 2, Santillana, es un texto que te permitirá reforzar y profundizar los aprendizajes que adquieres día a día, a través de una serie de talleres orientados a evaluar el logro de las habilidades y conocim ientos contem plados en este sector de aprendizaje para tu nivel escolar. Por esta razón, en las páginas siguientes encontrarás recursos y actividades de evaluación que podrás realizar tanto dentro com o fuera de la sala de clase.

T EA S está organizado en una serie de unidades temáticas asociadas a los distintos contenidos y objetivos fu n d am en tales definidos por el M arco Curricular. Al térm ino d e cada unidad, encontrarás una evaluació n tip o Sim ce con el fin de con ocer el logro de los aprendizajes trabajados a lo largo de cada unidad y q ue podrás resolver utilizando las hojas de respuestas al final de este texto.

Esperamos que a partir del material didáctico que ponem os a tu disposición, puedas encontrar los desafíos que te m otiven y perm itan mejorar las habilidades y los conocim ientos adquiridos en M atem ática.

El texto T EA S M atem ática 2 está organizado en cuatro unidades. A continuación se detallan los tipos de páginas y las secciones que encontrarás en cada unidad.

Páginas de inicio de la unidad Se presentan los aprendizajes y contenidos que serán ejercitados en cada taller.

Páginas de talleres En estas páginas encontrarás las actividades para ejercitar las habilidades y conocimientos evaluados por el currículum vigente.

H a b ilid ad es a ejercitar

Recu rsos ---------------Conformados por distintos

A c tiv id a d e s

tipos de estímulos (situaciones

Compuestas por una gran

cotidianas, gráficos, tablas,

variedad de reactivos

imágenes y textos auténticos,

(preguntas de alternativa,

entre otros) que permiten

desarrollo, completación,

contextualizar la tarea

verdadero o falso y términos

pedagógica y su objetivo de

pareados, entre otros)

evaluación.

organizados bajo una secuencia didáctica que favorece la progresión de lo: aprendizajes evaluados.

vT SANTILLANA

4

Páginas de evaluación Evaluación tipo Simce que se presenta al final de cada unidad. Está compuesta por preguntas de alternativas y desarrollo.

Hojas de respuestas

n—

Páginas en las que respondes las evaluaciones tipo Simce de cada unidad.

U n id a d 1: N ú m e ro s y sus o p e r a c io n e s

U n id a d 1

i

lu í

/

É

i

Taller 1:

Números Irracionales

10

Taller 2:

Aproximación de números Irracionales

12

Taller 3:

Exploración de situaciones geométricas que Involucran raíces

16

Taller 4:

Demostración de la Irracionalidad de algunas raíces

18

Taller 5:

Raíces

20

Taller 6:

Operaciones con raíces

22

Taller 7:

Ecuaciones radicales

28

Taller 8:

Logaritmos

30

Taller 9:

Logaritmos y sus propiedades

32

Taller 10:

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

36

Taller 11:

Resolución de problemas

38

Evaluación

44

Unidad 2: Datos y azar

48

Taller 1:

Medidas de dispersión

52

Taller 2:

Interpretación y análisis de indicadores estadísticos

56

Taller 3:

Comparación de conjuntos de datos

60

Taller 4:

Muestras

64

Taller 5:

Frecuencia relativa y probabilidad

66

Taller 6:

Diagrama de Venn

68

Taller 7:

Permutaciones y combinaciones

70

Taller 8:

Cálculo de probabilidades

72

Taller 9:

Variable aleatoria

78

82

Evaluación

v SANTI LLANA

8

6

Unidad 3: Geometría

84

Taller 1:

Figuras semejantes

88

Taller 2:

Cálculo de longitudes en polígonos semejantes

90

Taller 3:

Teorema de Thales

92

Taller 4:

División Interior y exterior de un trazo

96

Taller 5:

Aplicación de los teoremas de Euclldes y Pitágoras

Taller 6:

Ángulos y circunferencias

102

Taller 7:

Cuerdas, secantes y tangentes

104

Taller 8:

Homotecia de figuras

110

Taller 9:

Resolución de problemas geométricos

112

Taller 10:

Aplicación de las propiedades de los ángulos de una circunferencia

118

*

98

Evaluación

122

Unidad 4: Álgebra y funciones

126

Taller 1:

Función exponencial

130

Taller 2:

Función logarítmica

132

Taller 3:

Función raíz cuadrada

134

Taller 4:

Gráficos de funciones

136

Taller 5:

Expresiones algebraicas fraccionarlas

140

Taller 6:

Operatoria con expresiones algebraicas fraccionarlas

142

Taller 7:

Ecuaciones fraccionarias

146

Taller 8:

Sistemas de ecuaciones

150

Taller 9:

Resolución de sistemas de ecuaciones

152

Taller 10:

Resolución de problemas que Involucran dos variables

156

Taller 11:

Modelación con funciones

158

Evaluación

164

Hojas de respuestas

168

Números y sus operaciones '

~ 'W

mmm.

a r q

f

—

w ñ —

fc " * ‘-

Lfos aprendizajes asociados a esta unidad son: •

Reconocer los números irracionales com o un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números racionales.

•

Aproximar el valor de un número irracional por defecto, por exceso y por redondeo.

•

Establecer relaciones de orden en los números irracionales y ubicar raíces en la recta numérica.

•

Explorar situaciones geométricas que involucran raíces cuadradas y cúbicas.

•

Analizar la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

•

Reconocer la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales.

•

Establecer la relación entre las raíces con las potencias de exponente racional.

•

Relacionar los logaritmos con las potencias.

•

Realizar operatoria con raíces.

•

Calcular el valor de logaritmos y utilizar sus propiedades.

•

Resolver ecuaciones que involucran raíces o logaritmos.

•

Resolver problemas que involucran el uso de números reales.

•

Resolver problemas que involucran el uso de logaritmos.

N ú m ero irracional. Es aquel número que no puede escribirse com o un cociente entre dos números enteros. 1 Raíz enésim a d e un real. %a = b <=>b n = a; a n = 'Va

Ex p o n en te racional. Si a > 0, entonces

=( %

f =V

.

Existencia en R d e la raíz enésim a. • Si a > 0, entonces 'Va siempre es un número real. • Si a < 0, entonces 'Va es un número real si y solo si n es impar. O p eratoria con raíces. • Simplificación de raíces: Va

= a Va

• Solo se pueden sumar raíces que tienen igual índice e igual cantidad subradical. • Al multiplicar raíces de igual índice, se conserva el índice y se multiplican las cantidades subradlcales. • Al dividir raíces de igual índice, se conserva el índice y se dividen las cantidades subradícales. •

Logaritm os. • logba = c <=>bc = a • logba es un número real si y solo si a > 0, b > 0, b ^ 1. Pro p ied ad es d e los logaritm os. • logbb = 1 • loga 1 = 0 • Iogaa n = n • log 1Qa - loga • loga (x y )= logax + logay; x ,y e R +

• loga |^| = loggx - lo g ay; x ,y e R +, y / 0 . • log xn = n log x; x e R +

3

3

• log 'Vx = - lo g x; x e R + a n ya log b • Cambio de base: log b = -— — a logc a

Números irracionales Clasifica r Determina en cada caso si el núm ero es racional o irracional.

1 . -12

► _______________________________

2 . V3

► ________________________________________________________

3.

► ________________________________________________________

Vi

4 . ti

► ________________________________________________________

6.

0 , 1101001000 . . .

7.

-0,45

►

* -------

An alizar Determina si cada caso corresponde a un núm ero racional o irracional.

9.

El cuadrado de 4

►_____________________________ ________________________

1 0 . El cubo de <Jl ► _______________________________________________________

11.

La raíz cuadrada de 4 ► ________________________________________________

12 .

La raíz cuadrada de 5 ► __________________________________________

13.

El área de un cuadrado de lado 6 cm ► _______________________________

14.

El lado de un cuadrado de área 6 cm2 ► ___________________________

15.

El perímetro de una circunferencia de radio 12 cm ► __________________

16.

El radio de una circunferencia de área 47T cm 2 ► ______________________

I

santi llana

10

Evaluar Verifica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsas escribe un contraejem plo.

17.

La suma de dos números racionales es siempre un número racional.

18.

La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional.

19.

La mitad de un número irracional es siempre un número irracional.

20.

El triple de un número irracional es siempre un número irracional.

21 .

El cuadrado de un número irracional es siempre un número racional.

22.

La raíz de un número racional es siempre un número irracional.

23.

El perímetro de una circunferencia de radio racional es siempre irracional.

24.

El área de una circunferencia de radio racional es siempre irracional.

*

Crear Determina un número que cumpla con las condiciones indicadas. Si no existe tal número, escribe NO EXISTE.

25.

Un número racional cuya raíz sea irracional ► _____________________________________________________________________

26.

Un número racional cuyo cuadrado sea irracional ► ______________________________________________________________

27.

Un número irracional cuyo cuadrado sea irracional ► _____________________________________________________________

28.

Un número irracional que sumado con n sea racional ► __________________________________________________________

29.

Un número racional que sumado con n sea irracional ► __________________________________________________________

30.

Un número racional que sumado con 2 sea irracional ► __________________________________________________________

31.

Un número irracional cuyo doble sea racional ► __________________________________________________________________

I Aproximación de números irracionales Aplicar Realiza la siguiente actividad. 1.

Completa la siguiente tabla aproximando cada uno de los números Irracionales a dos cifras decimales, según el método que se especifica en cada columna.

•

J

V

■\

Aproximado por defecto

Número

Aproximado por exceso

Redondeado

\ r

y S

y v > r

> V\ /"

y V S r

y \

> v /

> V \ r

y v \ r

>

V r

v "N f

> V 'v

V 4

y N

V \ r

J

V

y v

y v

>

/

v

1,658324... v

2,236068... v

6,6143783... V

J

\

14,696938... 25,980762...

2.

En una hoja de cálculo escribe en la columna A los números de la tabla anterior. En la columna B, introduce la fórmula REDONDEAR.MENOS(A1;2) y copíala hasta B5. En la columna C, Introduce la fórmula REDONDEAR.MAS(A1;2) y copíala hasta C5. En la columna D, Introduce la fórmula REDONDEAR(A1;2) y copíala hasta D5.

Comparar Responde a partir de la tabla anterior.

3.

¿Cómo son los valores obtenidos en la planilla de cálculo comparados con los resultados de la tabla de la pregunta 1?

I n fer ir

En la siguiente tabla se calcularon, por diferencia, los errores com etidos en cada caso. Responde a partir de los datos de la tabla. \

v

Número

r

V.

1,658324...

r

y v \ r

V \ f

2,236068...

S

Por defecto 0,00832395... 0,00606798...

y 'v

V

6,6143783... 14,696938...

y

J V

25,980762... v

y V

v

Por redondeo

r

y v__ Nr

V

...

0,00167605... 0,00393202...

r

V

>

r

Por exceso

0,00437827... v

0,00693846... J v

0,00076211...

0,00562173...

>v “s f

y v /

0,00306154... >v

0,00923789... >V

y v \

0,00167605...

y \

y >L

0,00393202... ---

y ---------N

0,00437827... y \

0,00306154... y

0,00076211...

Aplicar Aproxima por defecto y por exceso, con dos cifras decimales, los siguientes núm eros irracionales.

0

5.

U
6.

Z)
f

------------------------------------------------------------------------

\

78. 9. 10.

□<^
11. 12.

n <

v 3 8 <

n

>

Realiza la siguiente actividad.

13.

14.

Redondea el valor de V3 con dos cifras decimales.

r ------------------------

\

s.________________

J

Eleva al cuadrado el valor obtenido en el ejercicio anterior.

f

-J

15.

Calcula el error si se usa el valor obtenido anteriormente respecto del valor exacto de (V3 )2.

( ----------------------------------------------------------------------------------

\ ____________________________________________________________________________________________ En una calculadora, el valor de v5 es 2,236067977..., de 47 es 2,645751311... y de esta información realiza lo siguiente.

16.

+ V7 es 4,881819289... A partir de

Redondea los valores de las raíces a tres cifras decimales y súmalos; luego calcula el error de tu resultado respecto del que entrega la calculadora. / -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V

17.

Repite el proceso anterior, pero ahora redondeando los números a dos cifras decimales. —

I n fer ir Responde a partir de las preguntas 16 y 17.

18.

¿Qué puedes concluir respecto de los resultados obtenidos anteriormente?

Aplicar Realiza lo pedido.

19.

Aproxima por defecto y con dos cifras decimales los valores de a/ Í2 y de V l 9 .

2 0 . Con los resultados anteriores encuentra los valores de p = Vl~2 +
2 1 . Los valores de p y q utilizando una calculadora son p = 7,82 y q = 15,10; redondeados a dos cifras decimales. Calcula el error de los valores anteriores con respecto a los de p y q obtenidos con la calculadora.

I n ferir Responde a partir de tu respuesta a la pregunta 21.

22 .

¿Se obtiene el mismo error al sumar que al multiplicar?, ¿por qué?

Exploración de situaciones geométricas que involucran raíces I d en tificar Utilizando regla y compás, realiza lo siguiente. 1.

¿Qué número irracional se está construyendo en el siguiente esquema? Termina la construcción.

Aplicar Usando regla y compás:

2.

Ubica en la recta numérica V5, VlO y sus opuestos.

I n fer ir Responde.

3.

Usando el m étodo de los ejercicios anteriores, ¿qué triángulo rectángulo podría construirse para ubicar VT3 en la recta numéri

Analizar Responde.

4.

¿Se puede utilizar el mismo método para ubicar en la recta numérica una raíz cúbica? Explica.

I d en tificar A continuación se presentan algunos problem as geom étricos. Para cada uno de ellos, determ ina si hay números irracionales involucrados en su solución y, en caso afirmativo, justifica tu respuesta.

5.

Calcular el área de un triángulo rectángulo de catetos 2,8 cm y 3,4 cm.

6.

Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 7 y 3 centímetros.

8.

Calcular la arista de un cubo cuyo volumen es de 34 cm3.

9.

El lado del cuadrado ABCD de la figura mide 2 cm y se debe determinar el área del cuadrado AEBF.

D

F

E 10.

Calcular la superficie de un cubo cuyo volumen es de 27 cm3.

Crear Inventa tres problemas geom étricos que involucren números irracionales.

11 . 12 .

■

Demostración de la irracionalidad de algunas raíces Re s u m ir Realiza lo pedido. 1.

Para demostrar la irracionalidad de V2 se puede utilizar el m étodo de reducción al absurdo. En tres ideas, resume en qué cor este método.

Comprender Responde. 2 . En la demostración por reducción al absurdo de la irracionalidad de V2 se plantea que •¡2 = —. ¿Qué condición debe cump para poder plantear esta igualdad? ► ________ __ _____________________________________________________________________________ 3 . Si fuera cierto que V2 =

¿a qué conjunto numérico pertenecería V2 ? ► -------------------------------------------

q

4.

En el planteamiento de la demostración se dice que

-

es una fracción irreductible. Explica qué significa esto y da un ejempl

q

numérico. ► _________________________________________________________________________________________________________________

Explicar A continuación se presenta la dem ostración de la irracionalidad de V2; al lado de cada paso explica lo que se realizó. 5 . Sea: V2 = - y — fracción irreductible.

q

2=^

q

► p2 = 2q2

q p = 2n (*)

6 . Por otra parte: >¡2

2n q '

2 ;

► q2 = 2n2

q q : 2m (**)

7.

Luego, de

(*) y (**), se tiene: —= q

2m

_____________________________________________________________________________

Inferir Responde.

8.

¿Cuál es la contradicción que se presenta en el último paso?

Aplicar A continuación se muestran algunos de los pasos de la dem ostración de la irracionalidad de V3 utilizando el mismo método. Completa los pasos faltantes. Sea V3 = — y — fracción irreductible.

q

9.

q

Elevando al cuadrado a ambos lados, se o b tien e____________________________________________________________________________

10.

Luego, se puede deducir que

p2es un múltiplo d e _______________________________________________________________________

1 1 . Por lo tanto, también p es un múltiplo d e _________________________________________________________________________________ Por lo que se puede escribir p = 3n (*)

12.

Se remplaza en la primera ecuación y se tiene ___ ________________________________________________________________________

13.

Se eleva al cuadrado y se ob tien e_________________________________________________________________________________________ 2

2

2

Despejamos q de la igualdad y se obtiene q = 3n .

14.

Luego, se puede deducir que q2 es u n _________________________ ________________________________________ ___________________

15.

Por lo tanto, también q es u n ______________________________________________________________________________________________ Por lo que se puede escribir q = 3m (**)

16.

Se remplaza (*) y (**) en — y se tie n e _____________________________________________________________________________________

17.

Esto significa que — __________________ una fracción irreductible.

18.

Por lo tanto, se llega a u n a ________________________________________________________________________________________________

q q

Analizar Responde.

19.

¿Crees tú que es posible demostrar la irracionalidad de n usando este método? ¿Por qué?

I nterpretar Escribe las siguientes potencias utilizando notación radical

1 . 22

►---------------------------------------------------------

2.

34

►

3.

(-5)3

►

............

_

-----------------

1

62

►______________________________________

5- Bf

►---------------------------------------------------------

4.

1

6.

►______________________________________

0,438 1

/ 9\ ^

Mi) i «•(I)'5

► ►

Escribe las siguientes raíces utilizando notación exponencial

9.

<¡5

1 0 . VT7

► ►

11. 3V-2 12. 13

1/36

V27

14- fl

► ►

►

Comparar Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. En el caso de las falsas, escribe la igualdad correcta. ]_

15. 3 ^ 3V4

►______________________________________

16. (-7)5 = 5f 7

►______________________________________

1

17. VbW

►______________________________________

18. V?=23

►______________________________________

3

Clasificar Determina en cada caso si la raíz es racional, irracional o no pertenece a los números reales.

21. V9

22. fg 23. 3Vs 24. 3V=s 25.

vT2

26. 3V2Í

29. 7Vo79 30.

sV-0,85

Operaciones con raíces I den tificar Escribe un térm ino que pueda ser sumado o restado a la expresión dada.

1.

►

3V2

2. -5V3

►

3.

8(V7 + Vs)

►

4.

x>fy

►

5. ffio

►

Aplicar Escribe las siguientes raíces de la forma aVb.

6. Vs

►

7. V50 8. V45

►

9. V32

►

10. V250

►

11. f ]47

►

12. V l 2x3

►

Simplifica las siguientes expresiones.

13. 2V3 + 5V3

►

14.

►

83V7

- 53V7

15. 2xV3+5V3?

►

16. V48 + 5\Í3

►

17. 4V6-3V24

►

vF SANTILLANA

22

4

19 20.

8 V10

+ 5 V4Ó - 3 V90

21.

3V s í + VTó + 3Vz 50

►

►

►

Completa las siguientes igualdades.

22 . ( 2 - V3)2 —4- _______+ 3 = ______ 23.

(V2 + V3)(V2 - V3 ) = 2 -

24.

(2 + V 5 )(2 + V 5 )= 4 + _________ + 5 =

____ _ = _

Reduce las siguientes expresiones.

25. V2 + 3 + Vs

29.

/■

"""

26.

__________________________ _______________ >

-J

L

V5x(V5x+ 2 - 5 x V x )

ñ - 4

(V2+V5 )2 '-----------------------------------------------------

I k__________________________ _______________ >

_______________________

27.

(V2 + 3XV2 + 5) '-----------------------------------------------------

(3 V 5 )(- 2 V 7 )(V T s ) r

28.

V35 V7 r

+ ^3 + V3 V3

32. r-

\

J

L

33

35. (Ve +2Vd)(Vc —2Vd)

V48 + Vl~2 - V72

r

A

l

J

L

36. (2 + Vio )2

V5(V2 + V8) V2

(V6 + V8 )2 >

V_________________________________ _______________________ J

v

Completa las igualdades de manera que el producto final no tenga raíces.

37.

V5-_________ = __________

38.

3V2-________ = ___________

39. (V2 +1 )•______=___ _ 40. 3V2Í _____ =______ Racionaliza las siguientes expresiones

41. ”3

42.

43.

V9 V2

•

46‘ k 47. W b

48.

/"■

49. Vp + q

/ ---------------------------------------------------

50. Vx +1

51.

52.

ab Va^ - Vb

V2 + V3 V2-V3

Simplifica las siguientes expresiones.

53. 3VT8 + 5V50 - /Í28 + 7V14

>

r V.

55.

(V3 + 5)2 | ( V 3 - 5 ) 2

Í 56. (x + ^y)2 +(x + ^y)(x - Vy)

^_____

57

VpV 3/ 2

Vp q

10

/------

V.

58.

V2

V3

V3

V2

/ -----

V.

v>

61.

7W5

3 + V3/

\3-V3

+ y + Vx^ *

63. 2V2V2V2 r

>

L

J

1

Vi +Vx r-

v

Ecuaciones radicales Aplicar Resuelve las siguientes ecuaciones. 1.

V5x = 2 / Í0 / ------------------------------------------

s_________________________________________________

2.

V2x +

1 =3

/ ------------------------------------------

v________________________________________________

3

3

=5

V2x T T

2

/ ------------------------------------------

s____________________________ 4.

V2x -3 = Vx+T / ------------------

V.

5.

Vx + 3

=

/ -----------------

v ____________________

6. Vx + 2 = Vx + 8 ✓ --------------------

V

/ -----------------------------------------------------------------------------------------------

...

>

V

*

/Vx^ T + 3 = 5

>

Analizar Analiza y justifica por qué las siguientes ecuaciones radicales no tienen solución.

9.

x - 2 = Vx2 + 6x + 2

10. Vx-Vx + 2 =

1

11. Vx + 5 +Vx + 4 = Vx + 1

Sin resolver las ecuaciones, responde las siguientes preguntas.

12 .

¿La ecuación radical

13.

¿Qué condición debe cumplir x en la ecuación V3 - x = 5 para que tenga solución en los números reales?

14.

¿Es x =

Vx + 1 = -3

6 solución de la ecuación

tiene solución en los números reales? Justifica tu respuesta.

V4x +

12 + 7 = 1?, ¿por qué?

En los siguientes ejercicios se presenta un paso INCORRECTO para resolver las ecuaciones. Justifica por qué es erróneo.

15. Vx = 25 x= 5

------------------------------------------------------

16. V3x + 2 = 8 3x + 4 = 64

___________________________

Logaritmos I n terpretar Determina si las siguientes igualdades pueden expresarse usando logaritmos. 32

=9

►

2.

4 + 5 -9

►

ii i 00

ÜJ

“* N JOJ

1.

► ►

4.

42

=2

5.

2-3 = 6

6.

3-2

7.

21

8.

(f)”

►

=l

►

=2

►

=,

►

42 = 16

►

10.

33 = 27

►

11.

53 = 125

12.

io4 = lo.ooo

►

13.

6° = 1

► ►

=l

►

ii

9.

\i

Escribe las siguientes igualdades utilizando notación logarítmica.

15.

3-2

16- (!)"'=1

►

17.

92

=3

►

18-

( tÍ s H

►

I

santi llana

...

30

Interpretar Escribe las siguientes igualdades logarítmicas utilizando notación exponencial.

19. log28 =3 20. log 1.000 =3

21. log121=0 22. log1919= 1 23. log42

=

~

24. logs ( ¿ ) = -2 25. l o g j ( f ) = -2 26. lo g ¡(|) =- I 27. ,o9g ( | ) = - i

Aplicar Despeja la incógnita x de las siguientes expresiones.

28.

3X = 7

►

29.

42x = 5

►

30.

53x +2 = 12

►

31.

U ) 2x- ] = *

►

32.

log2 x = 4

►

33.

logx = 7

►

34.

log1x = 0

►

\3 /

3

2

35.

log3 ( x + 1) = 3

►

36.

log (2x - 4) = 4

►

37.

log3 (3x + 5) = 6

►

38.

log2( H

►

5

) =!

Logaritmos y sus propiedades Aplicar Calcula el valor de los siguientes logaritmos. 1 . log2 8

►

2.

log3 27

►

3.

log 100

►

4.

log 10.000

►

5.

log121

►

6.

log21 21

►

►

►

11.

O IQ 4^ 00

Usando ecuaciones exponenciales u otro método, determ ina el valor de los siguientes logaritmos.

►

12.

log9 27

►

13.

|og1632

►

14.

'o g Á m )

►

15.

log 0,01

►

16.

log 0,0001

►

17. 'ogi(f)

►

Aplicar Calcula el valor de cada logaritmo usando sus propiedades.

18.

log131

►

19.

log7 1

► .

20.

log15 15

►

21.

log3737

►

22.

log3(3 6)

►

23.

log2( s 4)

►

Determina el valor de x en las siguientes expresiones.

24.

log2 x = 3

►

25.

log4 x = 2

►

26.

logx 64 = 3

►

27.

logx 27 = 3

► ..

28.

log2x = -1

► .

3

29.

logg x = ^

► .

4

30.

logx ^

31.

100,1 = 4

=2

►

►

Descompon los siguientes logaritmos.

32.

log (3 •2)

►

33.

lo g (Z )

►

34.

log 23

►

35.

log(/T 7 )

►

37.,o gg 38.

------------------------------------------------------------

log V53 •75

39. lo g ^

► ------------------------------------------------------

►----------------------------------------------------------

Escribe las siguientes expresiones utilizando un solo logaritm o y sim plificándolas al máximo.

40.

log 4 + log 5

► ------------------------------------------------------

41.

log 12- lo g 3

► _ -------------------------------------------------- -

42.

2 log 3

+ 3 log 2

►----------------------------------------------------------

43.

3 log 4 - 4 log 2

►------------------------------------------------------

44.

^ lo g 1 6 - - ^ lo g 8

45.

^(log 9 + 2 log 2)

►------------------------------------------------------

46.

- 2 lo g Q j

►----------------------------------------------------------

47.

4 log Q ) - 3 log

► -----------------------------------------------------

► _

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos.

48.

log12 2 + log12 6

►

49.

log3 18 —log3 2

►

50.

log6 9 + log6 4

►

51.

log5 75 - log5 3

►

52.

tog2( | ) + k xj2( ¡ )

►

53.

log3(¡)+ lo g 3( | ) + log3( | )

54.

log4( 2 ) - l o g 4( ¿ )

55.

log5( ^ ) - l o g 5( | ) + lo g 5( ^ )

►

Aplicar Determina el valor numérico de las siguientes expresiones usando la propiedad de cam bio de base.

56.

log2 3 ■log3 2

►

57.

log2 9 ■log3 8

►

58. 59.

iog38 log 32

►

iog79 log73

►

Analizar Determina si los valores de los siguientes logaritmos son positivos o negativos.

60.

log2 7

►

61.

log 345

►

62.

log3 2

►

63.

log 0,34

►

64.

log 15

►

3

65.

log74

►

66. log5( i )

►

67. log4^j

►

Determina entre qué números enteros consecutivos se encuentran los siguientes logaritmos.

68. 69. 70. 71.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Aplicar

Resuelve las ecuaciones utilizando, si es necesario, las siguientes aproximaciones: log 2 ~ 0,3; log 3 ~ 0,5; log 5 ~ 0,7; log 1.

5X = 3

2.

7(2x+1)

=

2

p2x + 1 ■px _ 1 = px + 3

x+ 4

4.

= a 2x+5 a

5.

6.

33x + 1 -5X = 16

3X + 2 + 3X + 1= 48

^

■ ■ ■■ ■

■i ■

■

ü^—

-

—

—

i

■

—

J

l •

log3 5 = x

r

—">

<____________________________________________________________

_________j

logx16 = 2 f ----------------------------------------------------

------ \

> .---

10.

log3x = 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- .

V __________________________________________________________________________________________________________________________________/

11.

log(x - 2 )+ log(x + 6 ) = lo g (x 2 + 2x -

3)

/--------------------------------------------------------

a

v

12 .

log x + 1 = log (2x - 1)

13.

logVx + 5 - ^ lo g (2 x + 3 ) = 0 A

l ---------

..

..

Resolución de problemas Aplicar y analizar Resuelve los problemas 1 a 4 utilizando el valor de \Í2 como 1,4 y el valor de V3 como 1,7. Se tiene un rectángulo cuyos lados miden V2 cm y -Í3 cm. 1 . Determina el área y el perímetro de este rectángulo.

r----------------------------------------------------------------------------------------

Un triángulo equilátero tiene un lado que mide 4 cm. Con esta información, determina:

2.

Su altura.

3.

Su área.

/ ----------

\__________

4.

Su perímetro.

f-------------V____________

Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de cateto 4 cm. Con esta información, calcula:

5.

La hipotenusa del triángulo.

r

\_____________________________________________________________________

6.

Su perímetro. \

' ---------------------------------------------

* Una estimación de n que se usa com únm ente es n = 3,14. Utilizándola, determina el área y el perímetro de i3na circunferencia de radio r- 10 cm. A

k____________________________________________________ ____________________________________________________________________________ j

Una estimación de n frecuente en la antigüedad fue n = y

. Usando esta estimación, calcula el área y el perímetro de una

circunferencia de radio r - 7 cm.

L-

.......... —

------------------------------- -

Resuelve los problemas 9 a 11, considerando que para un cubo de arista a, la fórm ula del volum en es V = a3 y la fórmula del área total es A = 6a2.

9.

Si la arista de un cubo mide

a.

el área total del cubo.

b.

el volumen del cubo.

3V7 cm, determina

el valor exacto de:

r --------------------------------------------------------

A

l______________________ 10.

SI el volumen de un cubo es V = 6 cm 3, calcula:

a.

cuánto mide la arista del cubo.

b.

el área total del cubo.

r ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \

s__________________________________________ ______________________________________ J

11.

Si el área total de un cubo es A = 18 cm 2, determina el valor exacto de:

a.

la medida de la arista del cubo.

b.

el volumen del cubo.

12.

El lado de un cuadrado mide ( V3 + 1)

13.

Los catetos de un triángulo rectángulo miden (V2 -

14.

a.

la hipotenusa.

b.

el perímetro.

c.

el área.

cm. Determina el valor exacto del área y el perímetro del cuadrado.

1) cmy (<¡2 + 1) cm. Determina el valor exacto de:

La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden, respectivamente, Determina el valor exacto de:

a.

el otro cateto.

b.

el perímetro.

C.

el área.

(2 V2 + 1) cmy (V2 + 2 ) crr

Aplicar y analizar Resuelve los siguientes problemas utilizando la definición y las propiedades de los logaritmos. Un modelo simplificado que relaciona la magnitud de un terremoto y la energía liberada es:

M = lo g | - J

donde

M: magnitud en la escala de Richter.

^

E : energía liberada. C : constante.

A continuación se señalan la magnitud de algunos de los mayores terremotos de los que se tienen registros. ■\

V

M agnitud Richter

V

>

\

9,5

f

V

Ubicación

9,1

^ v \

y v

Valdivia, C hile (1960) Su m atra, In d o n esia (2004)

> S

f

v

9,0

M iyagi, Ja p ó n (2011)

8 ,8 v

15.

y \

J v

C o b q u e c u ra , C hile (2010)

>

¿Qué magnitud en la escala de Richter deberá tener un movimiento sísmico en el que se liberó la décima parte de la energía que en el terremoto de Cobquecura?

16.

¿Cuántas veces más energía se liberó en el terremoto de Valdivia que en el de Cobquecura? —

17.

Una de las réplicas del terremoto de Cobquecura ocurrió frente a Concepción el 11 de febrero de 2011 y tuvo una magnitud de 6,8 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces más energía liberó el terremoto de Cobquecura que la réplica? '--------------------------------------------------------

_________________________________________________________________-

La acidez de un compuesto químico se mide con una unidad conocida com o pH. Mientras menor sea el pH, más ácido será el compuesto. La relación que existe entre el pH del com puesto y su concentración de hidrógeno está dada por la siguiente fó

pH = -log(H)

donde

pH: nivel de pH del compuesto. H:

concentración de iones de hidrógeno del compuesto.

18.

El pH de la leche es 6,5. ¿Qué concentración de iones de hidrógeno tiene?

19.

El pH del jugo de limón es 2. ¿Cuál es su concentración de iones de hidrógeno?

20.

¿Qué pH tendrá un líquido cuya concentración de iones de hidrógeno es de

21.

10 4?

Respecto de la concentración de iones de hidrógeno, ¿cuántas veces más ácido es un líquido cuyo pH es de 5,8 que pH es de 7,8?

Un modelo considerablemente simplificado que permite relacionar la edad de un niño de entre 2 y 16 años con el porcentaje alcanzado de la estatura que tendrá cuando adulto, está dado por la siguiente fórmula:

P = 42,8 log A + 37,1

donde

P: porcentaje alcanzado de la estatura de adulto. A: edad del niño en años.

22.

¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño de 5 años?

____________________________________________________________________________

________________________ J

¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un joven de 15 años?

f------------------------------------------------------------------

--------------------- \

V --------

24.

¿A qué edad un niño alcanzará el 6 0 % de su estatura de adulto?

25.

¿A qué edad un niño alcanzará el 8 0 % de su estatura de adulto? A

1 26.

SI un niño mide 1,5

r

________________________________________________________________ *

m a los

12 años, ¿qué estatura podría alcanzar cuando adulto?

valuación I.

Preguntas de altern ativas.

L e e a t en t a m en t e cada uno de los en u n c ia d o s y r espo n d e m arcand o la a lt ern a tiva cor EN LA HOJA DE RESPUESTAS DE LA PÁGINA 169. 1 . ¿Cuál de los siguientes números es irracional?

B. 0,45 C . V? D . V5 2.

¿En cuál de las siguientes opciones se muestra el número

A.

4,58

B.

4,59

4,58257... redondeado a tres cifras decimales?

C . 4,582

D.

4,583

3 . ¿Cuál de las siguientes alternativas es equivalente a s-¡7 ?

A.

57

bJ C.

75

D . 75 4.

Si log7 p = 3, ¿cuál de las siguientes expresiones es correcta?

A.

73 = p

B.

37 = p

C.

p3 = 7

D.

p7 = 3

5. ¿Cuál es el factor que permite racionalizar la expresión ~ ? vs

A. V3 V3 B.

VI

r

Vs

V5

V3

D.

V25

V25

6. Al simplificar la expresión 3^20 + 2 Vi 25 - 7^45 se obtiene:

A . -20 B. - 5V5 C . -2V5 D. 3V5

7. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2Vx- 1 = 5?

A ¿I ' 4

B-f c . f

D. |

8 . ¿Cuál es el valor de lo g 4 8?

A. 2 B. 32 C 2 D. §

valuación 9 . ¿Cuál de las siguientes alternativas es equivalente a 2 log 3 + log 2?

A . log 10 B . log 11 C . log 18 D . log 36

1 0 . Si log(x + 6) = log 20 - log 5, entonces x corresponde a:

A . -2 B. 2 C . 2,5 D. 9

1 1 . El valor de n con 5 decimales es n = 3,14159. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la mejor estimación del ár un círculo de radio 4 cm?

A . 48 cm 2 B . 49,6 cm 2 C . 51,2 cm 2 D . 56 cm 2

1 2 . Si el volumen de un cubo es 8 cm3, ¿cuál de las siguientes opciones corresponde a la superficie total del cubo?

A . 2 cm 2 B . 12 cm 2 C . 24 cm 2 D . 6 - ^ 2 cm 2

1 3 . A continuación se muestra una lista de expresiones logarítmicas y su valor numérico. ¿Con cuál de estas opciones posible deducir el valor numérico de log ( 503)?

A . log 2 = 0,301 B . log 5 = 0,699 C . log 3 = 0,477

D . lo g (5 3) = 2,097

Una fórmula que permite relacionar la magnitud de un sonido en decibeles con la intensidad del mismo en vatios/cm es la siguiente:

D-TOIogíA

donde:

D: es la magnitud del sonido en decibeles. I: es la intensidad del sonido en vatios/cm2.

I : es la intensidad del sonido más bajo que puede ser oído por un humano, lr = 10~12vatios/m2.

14.

¿Cuál de las siguientes opciones permite determinar la intensidad x de un sonido cuya magnitud es de >20 decibeles?

A . 120 = 10 log (x -10-12) B.

120=101og| - A _ j

D . x = 10|° g ( ^ )

II. Preguntas de desarrollo. R e s p o n d e e n t u h o ja DE RESPUESTAS DE LA PÁGINA 170.

15.

Basándote en el enunciado de la pregunta 14, ¿cuál será la magnitud de un sonido cuya intensidad fue de 10~10 vatios/m2?

16.

Resuelve la ecuación Vx + 3 = Vx + 27, mostrando todos los pasos.

Unidad^

2

Datos y azar os aprendizajes asociados a esta unidad son: •

fountains

Determinar medidas de dispersión. Analizar las características de uno o más conjuntos de datos utilizando medidas deter central, de posición y de dispersión. Emplear elementos básicos de muestreo aleatorio simple, para calcular la media de m compararla con la media de la población. Explorar la ley de los grandes números y su aplicación a la asignación de probabilidad

0 ,1 f i n i t e t e s t m

•

Obtener la cardinalidad de un espacio muestral, utilizando técnicas combinatorias. Resolver problemas que involucran el cálculo de probabilidades, usando lenguaje de propiedades de la suma y producto de probabilidades, y técnicas combinatorias.

111 ,1

S"Hk"

L u \ u r\ UI U Ií I í

Í ,d ‘I

[rt*h

llllfi,

Comprender el concepto de variable aleatoria.

Medidas de tendencia central. Indican el com portam iento general de los valores de la muestra.

La moda

El valor con mayor frecuencia.

El valor que se encuentra en la mitad de la muestra. Divide la muestra en dos grupos

La mediana

de igual tamaño. n

Z V x¡ El promedio de los valores de la muestra. Su fórmula es: x = J—----- .

La media

n

n

La media para datos agrupados

£

í

-1 ' x=1 n

x. '

, donde f. es la frecuencia correspondiente a la marca de clase x.. 1 1

Medidas de posición. Indican una posición específica dentro de una muestra. • Los cuartiles: dividen una muestra en 4 partes o grupos, de igual tamaño. • Los percentiles: dividen una muestra en 100 grupos, de igual tamaño.

Diagrama de caja con bigotes. Este gráfico se construye en un solo eje y con cinco indicadores de una muestra: el mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el máximo. Ejemplo: Se tiene una distribución de puntajes PSU, con los siguientes indicadores: Mínimo

=500

Primer cuartil (Q^ = 550 Mediana (Q2)

= 600

Tercer cuartil (Q3) = 700 Máximo

= 850

T ea s M a te m á tic a

Medidas de dispersión. Indican la dispersión o variabilidad de los valores de la muestra.

El rango

r= máx - mín

La varianza n

La desviación estándar

La varianza para datos agrupados

s = !— ---------n

La desviación estándar para datos agrupados (f.: frecuencia correspondiente a la marca de clase x¡.)

Mientras mayor es el valor de una medida de dispersión, más dispersos están los datos de la muestra.

•

Población. Totalidad de las observaciones que interesa analizar.

•

Muestra. Cualquier subconjunto de la población.

•

Perm utaciones y combinaciones.

Número de casos que se obtienen al combinar n elementos con m elementos.

n •m

Número de permutaciones de n elementos.

n!

Número de permutaciones circulares de n elementos.

(n -1)!

Número de combinaciones distintas que se pueden hacer con m elementos seleccionados de entre n elementos.

(n U c " = \m/

m

n!

(n-m)l-

Frecuencia relativa. Corresponde al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de casos f = frecuencia relativa de un evento es igual a la probabilidad de ocurrencia del mismo.

En un experimento, la n

Complemento de un conjunto A. Se representa por Ac y corresponde al conjunto formado por los elementos que están fuera de A. •

Intersección de los conjuntos A y B. Se representa por A n B y corresponde al conjunto formado por los elementos que A y B tienen en común.

Unión de los conjuntos A y B. Se representa por A u B y corresponde al conjunto formado por todos los elementos de A y de B.

Cardinalidad de un conjunto A. Se representa por #A y corresponde al número de elementos del conjunto A. Propiedades de las probabilidades.

P(AC) = 1 - P(A)

Probabilidad del com plem ento de un evento.

Probabilidad de la intersección de dos eventos independientes.

P(A n B) = P(A y B) = P(A) •P(B)

Probabilidad de la unión de dos eventos mutuam ente excluyentes.

P(A U B) = P(A o B) = P(A) + P(B)

Probabilidad de la unión de dos eventos cualesquiera.

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Variable aleatoria. Representa los posibles sucesos que pueden ocurrir en un experimento aleatorio. Por ejemplo: al lanzar un dado, los valores de la variable aleatoria X serían 1,2,3,4, 5 y 6. Función de probabilidad. Asigna la probabilidad de que la variable aleatoria X tom e el valor x.( P(X = x¡). Por ejemplo, en

1

el lanzamiento del dado se tiene P(X = 1) = -. 6 Cada función de probabilidad tiene una distribución que se puede representar en una tabla o un gráfico. Por ejemplo, en el lanzamiento del dado:

X

II _><

JX j

X “ x¡

i

2

3

4

5

6

i 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Medidas de dispersión A p l ic a r Con la información de la tabla, responde las preguntas. En la siguiente tabla se muestran las medias de las temperaturas máximas y mínimas mensuales durante un año en la dudad de Santiago. (Los datos fueron redondeados al entero más cercano).

•

T°C

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Media máx.

29

29

27

22

19

18 ,,..... .... .

15

18

19

15

26

2;

13 ______ 2

12

12

9

7

7

4

5

7

9

11

1(

Media mín.

f

1.

¿Cuál es el rango de las temperaturas medias máximas durante ese año?

2.

¿Cuál es el rango de las temperaturas medias mínimas durante ese año?

3.

¿Cuál es la varianza de las temperaturas medias máximas?

4.

t

1

¿Cuál es la desviación estándar de las temperaturas medias mínimas?

T ' santillana

52

Dicier

A p l ic a r

Con la siguiente información, com pleta la tabla. En un supermercado se efectuó una encuesta durante cinco días de una semana. Cada día se les preguntó a 20 clientes acerca de la conformidad con la atención recibida en el supermercado. Después de un mes, en que se realizaron diversos cambios en el supermercado, se repitió la misma encuesta. Los resultados se resumen en la siguiente tabla. r

5

yv Ar

19

y v r

Os y

00

> A

Ay

15

y V a y

5

y v Ay

13

14 V

10

JV

/

y a

7

y v A

10 J

>

_____ y

A

10

JV v V Ay

1

Jv

J A

12 V %/

>V

a

No conforme

12

>v Ay

a

8

JV \r

Viernes

5,

15 y v 5y

\

Jueves

13

y c y

a

J V *\

------

Ay

Conforme

y

y

Miércoles

'

----------- _ y

v

Martes r

7

Vv Ay

a

No conforme

O

Lunes

J V_.. \ /

_____ y

V /

J

\ y

Conforme

y*

V f

a

Segunda encuesta

-------- \

Primera encuesta

Calcula los estadísticos de dispersión y completa la tabla.

Primera encuesta

v y

\ y

Conforme a

y a

y

No conforme

Segunda encuesta

_

a

y

Conforme

a

No conforme

v r

y v A

y V /

y v Ay

> A

v

y v r

> c. Ay

V A/

y A

y V A

y v y

y v A y

y A

Rango K - ■■

El-

Varianza

Desviación estándar

a

A/

V______________________________________

I n f e r ir

De acuerdo con la tabla anterior:

6.

¿Qué puedes concluir al comparar las medidas de dispersión obtenidas en ambas encuestas?

A p l ic a r

y com parar

A partir de la tabla, responde. La tabla muestra los valores de la Unidad Tributaria Mensual (UTM) durante el año 2010. r

2010

c y

7 v A

Enero

A

y

a

7 V a (

$ 36.679

a

Abril

v r

7 7 V f

Mayo f

L

.... ... ' 2010 Julio

> A

\.

y

$ 36.752 $ 36.862

■

7 v ? /-

7 A

7 V \

j

y

................................

$ 37.083

. "

a

\ y

V.

a

y a

->

f

7v y

y

v

v y

v

•' UTM

7 a

> Af a

Octubre .......... Noviembre

v y

$ 37.231

7

y a

$ 37.417

y

c......

y v

7 V

a

$ 37.567 ... .. $ 37.605

__ ,

\r Ay

$ 37.454

\y a

Diciembre

f---------------UTM - 36.000 ------------ _ l2 '

$ 37.231 y V ____________________ V__

Septiembre

r

■

a

0 -

Agosto

$ 36.899 ........................."\ y

Junio

..7 A

/*

y - ...........

A f

f

y

7

a

v

A

$ 36.569 V V

Marzo

UTM - 36.000

7V

/

Febrero v

y

7.

UTM

y

7

....... ■

V y

----

-------------------------------> V y

!

V

j

Completa la tercera columna de cada tabla, restando 36.000 a cada valor de la UTM. Luego, calcula los rangos de la segunda y tercera columna de cada tabla, considerando todos los meses del año, y compáralos; ¿hay alguna diferencia?

8 . Calcula la varianza para la segunda y tercera columna de cada tabla y compáralas: ¿cómo son los resultados obtenidos?

In f e r i r A partir de los resultados obtenidos en las preguntas 7 y 8, responde.

9.

¿Qué puedes concluir a partir de los resultados anteriores?

A p l ic a r A partir del gráfico, calcula lo pedido. En un curso se registró el número de hermanos de cada alumno; los resultados se muestran en el siguiente gráfico.

10.

¿Cuál es el rango del número de hermanos?

i

a

A partir de la tabla, calcula lo pedido. En una piscicultura se recolectan 200 salmones, se miden y se devuelven al estanque. Las medidas se resumieron en la siguiente tabla.

L o n g it u d (cm ) 0 - 4

V __ y

V y v v_........ . y v y V-

5 - 9 10-14 15-19 2 0 -2 4 2 5 -2 9 3 0 -3 4 35-39

Completa la tabla con la marca de clase de cada intervalo.

13.

Calcula el rango de la longitud de los salmones___________

14.

Estima la varianza de la longitud de los salmones.

J A A r a

a_...................... .

y

J V af

y v. Ay

y Ar

v Ay

y a................

y Ay

yv y

y v A

yV Ay

>v Ay

y v _ ................. Ay y

• F re c u e n c ia 5

y

a

12.

15.

y

a

V. y A_......... y

v y

M a r c a d e c la s e

.....

yV ay

20 15

> A y

a

y A y a

30 a

40 50

y A y

a

18

y

a

22 ..

Estima la desviación estándar de la longitud de los salmones.

----------------------------------------------------------------------------------------- -

v_:__________________________________ J Introduce el código 2MMT055 y realiza la actividad. En la tabla aparece parte de los datos que recolectó el INE en el último censo poblacional (2002) sobre los pueblos originarios.

16.

Completa la tabla con la varianza y desviación estándar, utilizando las funciones predefinidas en la planilla de cálculo.

Interpretación y análisis de indicadores estadísticos Cl a s if ic a r Clasifica los siguientes estadígrafos según si son de tendencia central, de dispersión o de posición.

1.

Varianza

_____________________________________

4.

Cuartil

--------------------------------

2.

Moda

_____________________________________

5.

Media

---------------------------------

3.

Mediana

_____________________________________

6.

Rango

---------------------------------

Se l e c c i o n a r En cada una de las siguientes situaciones, elige los indicadores estadísticos que te parezcan más adecuados para obter la información requerida. Explica tu elección.

7.

Describir si el rendimiento de una máquina es constante o no.

8.

Comparar la duración de dos productos.

9.

Ordenar los candidatos que rindieron una serie de pruebas.

10.

Eleg ir entre dos candidatos que deben realizar un trabajo específico.

In t e r p r e t a r De acuerdo con cada situación, responde.

11.

La mediana de las notas de un curso fue de 5,0. ¿Cómo se interpreta esto?

12.

El rango de las notas de Matemática de Andrés es de 0 y su media es de 5,0. ¿Cómo se interpreta esto?

T ’ santillana

56

13.

La media de las edades de los Integrantes de un taller musical es de 18 años. ¿Es posible determinar el porcentaje de Integrantes del taller que tienen 18 años o más?

14.

Danlela midió su estatura en clase de Educación Física y el profesor le dijo que ella estaba en el percentll 85 según su edad. ¿Cómo se interpreta esto?

15.

Se ha calculado que el tercer cuartil de los pesos de una producción de manzanas es 280 g. ¿Qué porcentaje de esta producción pesa 280 g o más?

16.

En una fábrica de pastas se venden paquetes de ravioles que pesan, en promedio, 500 g, con una desviación estándar Igual a 15 g. ¿Qué Información entregan los dos datos?

17.

Una empresa declara que el sueldo promedio de sus empleados es $ 850.000, con una desviación estándar de $ 150.000 y que un empleado con un sueldo de $ 900.000 está en el percentll 90. ¿Cómo se Interpreta esta Información?

Ej e m p l i f i c a r Da un ejemplo para el cual sea útil calcular los indicadores nom brados en cada caso.

18.

Rango.

19.

Media y desviación estándar.

20.

Percentiles.

21.

Media y mediana.

A p l ic a r Responde las preguntas a partir del gráfico. El siguiente diagrama de caja con bigotes muestra la dispersión de las estaturas de los alumnos de un curso.

Distribución de las estaturas de los alumnos de un curso

1 ,5 0

1 ,6 0

1 ,7 0

1 ,8 0

1 ,9 0

Estatura (m) \______________ ,-------------------------------------------- d

22.

¿Cuál es la mediana de esta distribución?

23.

¿Cuál es el rango de esta distribución?

24.

¿Se puede saber la moda de esta distribución?

Si el curso tiene 40 integrantes, determina el número de estudiantes que:

25.

miden entre 1,65 m y 1,90 m.

26.

miden más de 1,80 m.

27.

miden menos de 1,65 m.

28.

miden entre 1,70 m y 1,90 m.

V e r if ic a r Verifica si las siguientes frases son verdaderas o falsas. Justifica.

29.

La varianza de un conjunto de datos es 2,34 y la desviación estándar es 3.

30.

El rango de un conjunto de datos es 0.

31.

La varianza de un conjunto de datos es -0,28.

Analizar Responde a partir del enunciado. El profesor de Alicia le dijo que su nota en la prueba de Inglés era 5,8, que la media del

curso habíasido 5,3, con una desviación

estándar de 0,4. Por otra parte, el profesor de Historia le dijo que su nota era 5,6 y que estaba en el percentil 48.

33.

¿Qué puedes decir sobre la información que recibió sobre su prueba de Inglés?

34.

¿Qué puedes decir sobre la Información que recibió sobre su prueba de Historia?

35.

Si tú quisieras saber cómo te fue en la prueba, ¿qué estadísticos le pedirías a tu profesor?

Crear Responde en la tabla. Se pesaron 50 cajas de galletas de la marca A y 50 cajas de la marca B. Los resultados obtenidos se registraron en una tabla.

36.

Completa la columna de frecuencia de la marca B, de manera que esta muestra resulte más dipersa que la muestra de la marca A.

\f

r

Peso en gramos

Frecuencia marca A v

5 V r

[480-490]

'v

_> v r

y

\

[490 - 500]

j

/

23

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- / V ........... " ' ' .................. r

[500-510] _

..........

J

v

4

\ r

[510-520]

\

17 > V r

V.

>

r

r

[470 -480]

A

Frecuencia marca B

1

n

> V \ /■

V

^ V \ r

> S

Comparación de conjuntos de datos Co m p a r a r Responde a partir de los gráficos. Los gráficos presentan las notas de una prueba rendida por alumnos de dos cursos de Segundo Medio. ■\

r

H--- 1 --- 1 --- 1 --- 1 ---f

d— \— h 3

4

5

Segundo B J

V

1 . ¿En cual de los cursos hubo mayor dispersión de las notas?

Eje m

p lif ic a r

Completa el gráfico.

2.

En el siguiente gráfico, coloca las notas de los 16 alumnos del Segundo C, cuya dispersión estuvo entre la del Segundo A del Segundo B.

— |----- 1--------1------ 1------ 1------ 1------1— i— I— i— I— i— I— ►

■*

1

2

3

4

5

6

7

Segundo C

V___________________________________________________________________________

J

Comparar Responde a partir de los gráficos. Los siguientes gráficos muestran la distribución de las alturas de 700 árboles en dos viveros distintos.

Vivero "Los Girasoles"

Altura (cm)

Vivero "Río Cruces"

Altura (cm)

V______________________________________________________ 7

K . ¿Cómo son las medias entre s í?__________________________

4. ¿Cuál de las dos distribuciones tiene una mayor varianza? Interpretar y c o m pa r a r Responde según cada enunciado. Sédesea estudiar las estaturas de los alumnos de Segundo Medio.

15.

¿En cuál de los siguientes conjuntos se espera que haya más dispersión de estaturas: en un colegio cualquiera o en todos los

[ colegios de Chile?, ¿por qué?

Se tienen dos conjuntos de estudiantes: el conjunto A, que corresponde a los integrantes de la selección escolar de básquetbol de la comuna, y el conjunto B, que corresponde a todos los alumnos de Educación Media de la comuna. Si se estudia la estatura de estos dos grupos:

6.

¿en cuál de los dos la media sería mayor?

. ¿en cuál de los dos habría mayor varianza? Justifica tu respuesta.

La fábrica de pilas A pone en su propaganda que la vida m edia de su producto es 100 horas; la fábrica de pilas B dice que vida media de su producto es 102 horas.

8.

¿Qué otro indicador estadístico pedirías para decidir qué marca comprar? Justifica tu respuesta.

Las notas de los alumnos del Segundo Medio A tienen una media de 5,0 y una desviación estándar de 1. Las notas de los del Segundo Medio B también tienen una media de 5,0, pero su desviación estándar es de 0,5.

9.

¿Cuál de los dos cursos tiene notas más homogéneas?, ¿por qué?

A n a l iz a r Responde a partir de cada enunciado. El liceo Central tiene dos selecciones de fútbol. El año pasado, la selección A tuvo una media de 2 goles por partido, con una desvi; estándar de 0,3 goles. En cambio, la selección B tuvo una media de 3 goles por partido y una desviación estándar de 0,6 goles.

10 .

¿Cuál tuvo un mejor rendimiento el año pasado?

11.

¿Cuál tuvo una mayor dispersión respecto de los goles?

Una empresa farmacéutica está realizando un estudio sobre un remedio para reducir el colesterol. Para ello, tom ó 100 volunt; con colesterol promedio de 200 y desviación estándar de 50. Después del tratamiento, el colesterol promedio fue de 160 cor desviación estándar de 100.

12.

¿Qué podrías decir acerca de los resultados del estudio?

Analizar A partir de los gráficos, responde las preguntas. Los gráficos muestran las notas de cuatro cursos.

Segundo Medio A

Segundo Medio B

r

\

Segundo Medio C

Segundo Medio D

Frecuencia

Frecuencia

10-

10-

8-

8-

6-

6-

4 n

4-

2 -

2-

0

---- h—

0

1—

2 3 4 5 6 7

Nota

'

l

1 5 6 7

Nota

V

J

13.

¿Qué cursos tienen menor m edia?______________________________________________________________________________________________

14.

¿Qué cursos tienen mayor desviación estándar?________________________________________________________________________________

15.

La profesora de Nicolás le dijo que su curso había tenido un promedio muy alto y una muy baja desviación estándar. ¿De qué curso es Nicolás?

Responde. Se analizan los minutos de duración de un viaje en dos líneas de locomoción colectiva. La línea N ° 1 tiene una media de duración de 26 minutos y una desviación de 1 minuto. La línea N ° 2 tiene una media de duración de 26 minutos y una desviación de 3 minutos.

16.

¿En cuál de las dos líneas es más probable que un viaje dure más de 29 minutos? Justifica tu respuesta.

Muestras Eje m p lif ic a r Menciona tres ejem plos de selección de la muestra, para la siguiente situación. 1.

En un colegio hay cinco Segundos Medios y cada uno de ellos tiene 30 alumnos. Para realizar un estudio, se requiere s una muestra aleatoria de 20 alumnos.

,

In f e r i r Responde.

2.

Teresa está realizando un estudio sobre la estatura de los alumnos de Segundo Medio de un colegio. Para ello mide a alumnos seleccionados de básquetbol del nivel. ¿Qué problema puede presentar la muestra de Teresa?

A p l ic a r

y e x p l ic a r

Ingresa el código w eb 2MMT064 y realiza la actividad. Se entrevistó a todos los alumnos de Educación Media de un colegio. La pregunta que se les hizo fue: ¿Cuántas personase casa? En la página w eb encontrarás una lista con las 150 respuestas obtenidas.

3.

Selecciona cuatro muestras al azar, de 10 respuestas y explica cóm o lo hiciste en cada caso.

Muestra 4

Con la función PROMEDIO obtén este dato para la población y para cada una de las muestras y la media de las cuatro medias

4.

obtenidas. A

1f

Media población

Media muestra 1

Media muestra 2

V Ar

Media muestra 3

J

y

a r

a f

Media muestra 4

Media de las medias ____ ___ _________ __________;________y ............................... A \ r

\ {

A.

5. Repite los pasos 3 y 4 y llena la siguiente tabla con los nuevos datos.

y v

-

r

a

Media de las medias c

V_________________________________________ y

r

a

y

A

>

Media muestra 8

Media muestra 7

>

A

J

V

-

\

Media muestra 6 ( ---------A

f

-i V A r

V

A r

Media muestra 5

V

A f

Media población

a

y

6. Calcula la media de las ocho medias obtenidas.

A Media 1

v

"a

y

y

_________ v

v

a(

r

A ---- — -------- ----- --------- s.r Media 3 Media 4 Media 5 V ya A r ar r

y

Media 2

yV

a(

ar

yv Ay Vv

Media 6

Media 7 y v._...... .... . . \ r

Nr ar

y v__________ yv

A Media de las medias j A y A ar

a

Media 8

>V

>

Analizar Responde a partir de lo anterior. 7. ¿Qué puedes decir si comparas las medias obtenidas en los ejercicios 4,5 y 6 con la media de la población?

8. ¿Es necesario tener la media de la población si se puede calcular la media de las medias de varias muestras, elegidas aleatoriamente de esa población? Justifica tu respuesta.

9. Se eligieron aleatoriamente 6 muestras de una población y la media de las medias de todas ellas fue 3,8. ¿Qué puedes decir de la media de esa población?

Frecuencia relativa y probabilidad Rec o r d a r Completa las proposiciones.

1 . La frecuencia relativa de un evento corresponde a la _______________________________ dividida por el número total de elemente la distribución.

2.

La frecuencia relativa de un evento siempre es menor o igual a ---------------------y mayor o igual a -----------------

3.

Al sumar la frecuencia relativa de todos los eventos distintos, se o b tie n e ------------------------------------------ .— j

Co m p r e n d e r Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son falsas, escribe la proposición correcta. Julia tiene una bolsa con 10 pelotitas. Algunas son rojas, algunas son verdes y el resto son azules. Ella realiza el siguiente experim extrae una pelotita, anota el color y luego la vuelve a depositaren la bolsa. Julia repite el experimento 100 veces, y confecciona f siguiente gráfico circular que se muestra aquí.

4.

La probabilidad de extraer una pelotita azul de esta bolsa es 0,28.

5.

La pelotita que más probabilidades tiene de salir es la roja.

6.

Lo más probable es que la bolsa tenga 2 pelotitas azules.

7.

Lo más probable es que la bolsa tenga

6 pelotitas rojas.

La tabla muestra las frecuencias relativas de los colores de las pelotltas que hay dentro de una bolsa.

Color

Frecuencia relativa

Azul

0,1

Negro

0,25

Rojo

0,3

Verde

0,35

Si se extrae una pelotita de la bolsa al azar, determina: 8.

¿cuál es la probabilidad de que sea azul?

9.

¿cuál es la probabilidad de que sea negra?

10.

¿cuál es la probabilidad de que sea roja?

11.

¿cuál es la probabilidad de que sea verde?

Inferir Responde. 12.

¿Es posible saber el número de pelotitas que hay en la bolsa? Justifica tu respuesta.

Aplicar Responde.

13.

,14.

Si se sabe que hay 4 pelotitas azules en la bolsa de la tabla anterior, ¿cuántas pelotitas habrá en la bolsa?

La probabilidad de elegir una mujer de un curso es 0,3. Si el curso tiene 30 alumnos, ¿cuántos de ellos son hombres?

ALIZAR Responde.

5.

En una familia, la probabilidad de elegir un adulto es podría tener?

Si esta familia tiene menos de 15 integrantes, ¿cuántos niños y adultos

Diagrama de Venn Re c o n o c e r Describe en cada caso el conjunto indicado.

1. A n B

2. A U B 3. Ac 4. Bc 5. (A n B)c 6. (AU B)c

Id e n t i f i c a r Los siguientes diagram as de Venn muestran los elem entos que hay en cada zona. Escribe el número de elemen tiene cada conjunto.

7.

#A U B=

8.

#A n B=

9.

#AC=

10. #BC= 11. #(AU B)c =

12. #A n B n O 13. #Au B u C = 14. #AC= 15. #BC= 16. #A n B= 17. #A n c

=

18. #B u c

=

Interpretar Describe el listado de los elementos de cada conjunto, a partir del diagram a de Venn.

I-----------------------------------------------19. AU B = 20. An B = 21. Ac = 22.

Bc =

23. (An B)c = k___________________

24. AU B = 25.

An B =

26. Ac = 27.

Bc =

28. (AU

r 29. An 30. Au

B)c =

B

nc =

Bu

C=

31. Ac = 32.

Bc =

33. An B = 34. AnC =

A p l ic a r

Escribe el conjunto que corresponde a la zona som breada de cada diagram a.

Permutaciones y combinaciones A p l ic a r Resuelve los siguientes problemas, utilizando el principio m ultiplicativo. 1.

En un restaurante, para escoger una em panada se debe elegir el tamaño: pequeña, mediana o grande, y el relleno: queso, champiñones, jamón o carne. ¿Cuántos tipos distintos de empanadas hay en el restaurante?

*

2.

Benjamín tiene 4 poleras, 2 pantalones y 3 pares de zapatillas. ¿De cuántas maneras distintas los puede combinar?

3.

En un curso de 20 estudiantes se desea elegir al azar una directiva com puesta por presidente, tesorero y secretario. ¿Cuánta directivas distintas se pueden obtener?

Resuelve los siguientes problem as utilizando perm utaciones. 4 . ¿De cuántas maneras distintas pueden pararse 3 personas en una fila?

5 . ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CASO?

6 . En una carrera, ¿de cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta 5 niños, considerando que todos llegan en distinto

7. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CAMINO?

8 . ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en una mesa redonda?

9 . Camila y sus 4 amigas deben formarse en una fila. ¿De cuántas maneras distintas lo pueden hacer si Camila debe quedai

Ap l i c a r

Resuelve los siguientes problemas, utilizando combinaciones. 10.

En una familia de 6 integrantes se debe elegir una pareja para lavar los platos de la cena. ¿Cuántas parejas distintas se pueden elegir?

11 .

En una heladería hay 15 sabores distintos de helados. Si cada helado debe tener 2 sabores diferentes, ¿cuántos helados distintos se pueden formar?

12. En un curso de 20 estudiantes se debe elegir una comisión de 3 integrantes. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden obtener?

13.

¿De cuántas maneras distintas se puede elegir un comité de 4 integrantes en un curso de 30 alumnos?

14.

En un colegio de 200 alumnos se debe elegir una pareja de representantes. ¿Cuántas parejas distintas pueden elegirse?

Analizar Resuelve los siguientes problemas.

15.

En una pizzeria hay 5 ingredientes para agregar a una pizza. Si cada pizza puede tener desde 1 a 5 ingredientes distintos, ¿cuántas pizzas distintas se pueden formar?

16.

En un curso hay 18 hombres y 12 mujeres. Se desea elegir una comisión formada por 3 hombres y 2 mujeres. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden elegir?

Cálculo de probabilidades A p l ic a r Resuelve los siguientes problem as utilizando operatoria básica de conjuntos aplicada al cálculo de probabilidades

1 . ¿Cuál es la probabilidad de elegir una mujer?

En el colegio "Los Robles", la probabilidad de elegir un hombre del Segundo M edio A es ^ y de elegirlo en el Segundo Me es

2.

Si se elige un estudiante del Segundo M edio A y otro estudiante del Segundo Medio B, determina la probabilidad d<

ambos estudiantes sean hombres.

►

3 . ambos estudiantes sean mujeres.

►

4 . una sea mujer y el otro hombre.

►

La siguiente tabla muestra la distribución de los alumnos de un colegio.

Nivel

Cantidad de alumnos

Educación Parvularia

100

Educación Básica

400

Educación Media

200

Si se elige al azar un estudiante de este colegio:

5 . ¿cuál es la probabilidad de que sea de Educación Básica o Media?

6.

¿cuál es la probabilidad de que sea de Educación Parvularia o de Básica?

Se tienen dos bolsas con pelotitas rojas y negras. La bolsa A contiene 4 pelotltas rojas y 2 pelotitas negras, y la bolsa B contiene 1 pelotlta roja y 5 pelotitas negras. Si se extrae una pelotita de cada bolsa:

¿cuál es la probabilidad de que ambas pelotltas sean rojas?

-------------------------------------------

m , ¿cuál es la probabilidad de que ambas pelotitas sean negras? -------------------------------------------

, ¿cuál es la probabilidad de que ambas pelotltas sean ¡guales? -------------------------------------------

En un curso, el 65 % de los estudiantes practica deportes, el 4 0 % estudia idiomas y el 10% está inscrito en deportes e idiomas. Si se elige al azar un estudiante de este curso, determina la probabilidad de que:

0. no practique deportes.

► -------------------------------------------

1. no practique idiomas.

► -------------------------------------------

2.

practique deportes o idiomas.

► -------------------------------------------

3.

no practique ni deportes ni idiomas.

►-------------------------------------------

Juan está practicando tiro al blanco. Él sabe que la probabilidad que tiene de acertar un tiro al blanco es de al blanco, determina la probabilidad de que:

.4.

acierte las tres veces.

► _________________________________________________

,5.

no acierte ninguna de las tres veces.

► _________________________________________________

6

. . acierte al menos una de las tres veces.

► _________________________________________________

Si él tira 3 veces

En una bolsa hay pelotltas rojas y negras. Algunas pelotltas tienen número y otras no. SI se sabe que la probabilidad de ele una pelotita roja es

2

7 la probabilidad de elegir una pelotlta con número es — y la probabilidad de elegir una pelotlta roja

Q número es — , determina la probabilidad de elegir una pelotita:

17. negra.

►

1 8 . sin número.

►

1 9 . roja y con número.

►

20 .

►

negra y sin número.

Se hace una encuesta en un curso y se determina que la probabilidad de que a un estudiante le guste la música pop es | probabilidad de que le guste la música rock es

SI estas dos preferencias son independientes entre sí, determina la prob

de que a un estudiante de este curso:

21.

no le guste la música pop.

►

22.

no le guste la música rock.

►

2 3 . le guste la música pop y rock.

►

2 4 . le guste la música pop o rock.

►

2 5 . no le guste ni la música pop ni la música rock.

►

Se realiza una encuesta en un curso para conocer qué tipo de películas prefieren los estudiantes. Se determina que la probabilidad de que a un estudiante le gusten las películas de acción es gusten las películas de acción o de terror es

26.

Además, la probabilidad de que a un estudian

Si las preferencias de los tipos de películas son Independientes:

¿cuál es la probabilidad de que a un estudiante de este curso le gusten las películas de terror?

La siguiente tabla muestra la distribución de los estudiantes de un curso y sus prácticas de fútbol y básquetbol:

Practican básquetbol

27.

No practican básquetbol

Practican fútbol

3

12

No practican fútbol

15

6

¿Cuántos estudiantes tiene este curso?

Si se elige al azar un estudiante de este curso, determina la probabilidad de que:

■

practique fútbol.

►

■

practique básquetbol.

►

B .

no practique fútbol.

►

■ . no practique básquetbol.

►

R . practique fútbol y básquetbol.

►

83.

►

practique fútbol o básquetbol.

m . no practique ni fútbol ni básquetbol.

►

|5.

practique fútbol y no practique básquetbol.

►

. practique básquetbol y no practique fútbol.

►

A p l ic a r Resuelve los siguientes problem as utilizando técnicas com binatorias aplicadas al cálculo de probabilidades.

Daniela tiene 4 poleras: una roja, una verde, una azul y una negra. También tiene 3 pantalones: uno rojo, uno azul y uno vei con los ojos cerrados ella elige una polera y un pantalón:

3 7 . ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean rojos?

—-----------------------

3 8 . ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo color?

-------------------------

En un curso de 30 estudiantes se elige la directiva aleatoriamente, com puesta por presidente, vicepresidente, secretario y Si Francisca y Ernesto son dos estudiantes de este curso:

3 9 . ¿cuál es la probabilidad de que Francisca salga presidenta?

------------------------

4 0 . ¿cuál es la probabilidad de que Francisca salga presidenta y Ernesto tesorero?

___________________________

Gabriel, Ignacia y Jorge hacen una carrera.

4 1 . ¿Cuál es la probabilidad de que Gabriel llegue primero?

-----------------------

4 2 . ¿Cuál es la probabilidad de que Gabriel llegue primero y Jorge tercero?

-----------------------

Se realizan todas las permutaciones de la palabra MESA y se elige una al azar.

4 3 . ¿Cuál es la probabilidad de que com ience con M?

_______________________

4 4 . ¿Cuál es la probabilidad de que com ience con M y termine con A?

--------------------

En una pizzeria se preparan pizzas con tres ingredientes que se pueden elegir de entre los siguientes cinco: jamón, tomate, champiñones, cebolla y queso. Carlos pide que le traigan una pizza cuyos tres ingredientes sean seleccionados al azar.

45.

¿Cuál es la probabilidad de que tenga tomate?

_________________________________

46.

¿Cuál es la probabilidad de que tenga tomate y queso?

___________________ ?_____________

47.

¿Cuál es la probabilidad de que tenga tomate, queso y jam ón?

_________________________________

Analizar Resuelve el siguiente problema.

Una familia está compuesta por 3 hombres y 5 mujeres. Para hacer el aseo el fin de semana, se seleccionará al azar un equipo formado por 1 hombre y 2 mujeres. Karen y Leonardo son integrantes de esta familia. Determina la probabilidad de que:

48.

Karen quede dentro del equipo.

►

49.

Leonardo quede dentro del equipo.

►

50.

tanto Karen com o Leonardo queden dentro del equipo.

►

51.

ni Karen ni Leonardo queden dentro del equipo.

►

Crear Inventa un problema que sea resuelto a través de técnicas com binatorias aplicadas al cálculo de probabilidades, según lo pedido.

52.

Principio multiplicativo:

53.

Permutaciones:

54.

Combinaciones:

Variable aleatoria In t e r p r e t a r Completa la tabla.

En una oficina hay tres salas con termómetros, de tal manera que a veces uno, dos o los tres marcan las temperaturas correcta; 1.

Completa la siguiente tabla anotando todas las posibilidades del número de termómetros funcionando correctamente. G por la primera fila.

C

aC

Vv

^

....

ar

/■

>V-----------------

V. L

V >r

*-

.... ..

....

...

a

V

V.

In f e r i r

.

... -------- ay c /■

> ----------------------------------1

— ............ .......... —\

_______________ / --------------------------------- '

J

a

—

______________________ JA --------------------------------- 1 ..... .J c----- -------------— --- --

J V. ^

---

J

^-

. f — —.........

c-----------

■■■■

O

No

No

—

r

Número de termómetros funcionando correctament C #1 ^ V

— No

Termómetro 3

Termómetro 2

Termómetro 1 (

Ar

Af

\f

r

-/V Af ...

--------------------------- ^ — A

JV

J ----------------------| 1 A(

JV

JV

(

y a p lic a r

Responde.

2.

Con los resultados de la cuarta columna de la tabla anterior, ¿qué pregunta se puede contestar?

3.

¿Qué variable aleatoria se puede definir con el ejemplo anterior?

H

¿Qué valores puede tomar esa variable aleatoria? Escríbelos en la siguiente tabla.

iMPLIFICAR ontinuación describe tres situaciones y la variable aleatoria que pueda relacionarse con cada una de ellas.

5RPRETAR Y APLICAR >onde. rupo de cuatro amigos fueron a pescar durante varios fines de semana. La ley indica que se puede capturar como máximo 12 peces. Define la variable aleatoria de la situación anterior.

Qué valores puede tomar esa variable? Escríbelos en la tabla.

X = x¡ ■ L

A

J

V

-2 t

y

V

J

c

>r

\

yV

v

V

^

—

v

y

v

y

A p l ic a r Responde a partir del gráfico. En el siguiente gráfico se muestra el registro que la dueña de un almacén hizo con la cantidad de litros de leche que han sus clientes la última semana.

1 0 . ¿Qué variable aleatoria se puede definir?

1 1 . ¿Qué valores puede tomar esa variable aleatoria? Escríbelos en la siguiente tabla.

Encada caso, define la variable aleatoria y com pleta la tabla con la función de probabilidad correspondiente a cada experimento.

12 .

Se lanzan 3 dados y se anota la cantidad de números pares que aparecen en las caras.

( X : _________________________________________________________________________________________________________ 1---------------------------------------- \

f

'A r

\ /"

\

V r

y V. >/

./ v \ r

y V 'v r

V " " ...... \

= B__ ;_______________________ / v

y V

yv

y v

y

X

._

P(X

...

x¡)

D.3. En una bolsa hay 3 fichas negras y 5 fichas blancas, se sacan 2 y se cuenta el número de fichas blancas. I

X:______________________________________________________________________________________________________ /

\r

\

y \. N

\r

y V

y

f--------------X __________________________________

-

v

f

P(X = x.) ___________ !______ . v

y

En las tablas se muestran funciones de probabilidad. En cada caso, ¿cuál es el valor de k?

-- -

y

V

0

r

f

X

j

\

P(X = x.) t___________!______ V

15.

r*-------------- r X v ^ r""" P(X = x.) v L 1

0,5 k

____i

>

14.

r

a

0,5 k

J

\r

>r 0

1 y V r

k

^

\ 2

v v *\ r

k

.2 \

k

16. t

~----------------------------— -------“ "\

li¿~

X ........ P(X = xi)

... J

r

r

0

\

r

1 y V

J v

r

r

k

0,5 k v

\

2 y >

0,2k y

Ovaluación Preguntas de alternativas.

Le e a t en t a m en t e cada uno de los en u n c ia d o s y r e s p o n d e , m a rcand o l a a lt er n a t iv a correcta EN LA HOJA DE RESPUESTAS DE LA PÁGINA 171. 1.

Si un conjunto de datos es: 8,13,17,29,5,12,25,7 y 14, ¿cuál es su rango?

A. 6

2.

B . 13

D . 29

C . 24

¿En cuál de los siguientes gráficos se muestra el conjunto de datos con menor varianza?

A.

B.

C.

Y) ,

A

D. Y¡

Y1 •

•

•

•

• •

3.

•

•

•

•

-•

-------------------- ►

-------------------- ►

ÁX

-------------------- ►

•

Si se sabe que en la distribución de las notas de la primera prueba de matemática el primer cuartil es 4,0 y el tercer cuartil es 5,5, ¿qué porcentaje de los alumnos sacó entre un 4,0 y un 5,5?

B . 50%

A . 25%

Se aplicó una prueba a cursos con igual cantidad de estudiantes y se obtuvieron los siguientes resultados: r

Desviación estándar

Media J

.

^

5,0 .

0,8

5,0 -2 ______________________________________ __ _________ ^

J

J

\

- J V

0

Segundo Medio B

(—

v

Segundo Medio A r

.

.

r

r

C

4.

D . 100%

C . 75%

¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

A . El Segundo Medio A tuvo mejor rendimiento en la prueba. B . El Segundo Medio B tuvo mejor rendimiento en la prueba. C. Ambos cursos tuvieron igual rendimiento, pero el Segundo M edio A es más hom ogéneo que el Segundo Medio B. D . Ambos cursos tuvieron igual rendimiento, pero el Segundo Medio B es más hom ogéneo que el Segundo Medio A.

5.

El equipo encargado de las publicaciones de un colegio tiene 7 miembros. Si se desea elegir un coordinador y un tesorero al azar, ¿cuántas directivas distintas se pueden elegir?

A.

6.

B.

13

C. 21

14

D.

42

Si en un curso de 30 alumnos la probabilidad de elegir un hombre al azar es 0,4, ¿cuál es la frecuencia relativa de las mujeres?

A.

7.

B.

0,4

C. 12

0,6

D.

18

En un colegio, la probabilidad de elegir un hombre en el Segundo Medio A es de 0,6 y en el Segundo Medio B es de 0,3. Si se elige un alumno de cada curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?

A.

8.

B.

0,18

0,45

C.

D.

0,72

0,90

Marcela tiene 3 bufandas: una verde, una negra y una blanca, y 2 sombreros: uno negro y uno rojo. Si elige al azar una bufanda y un sombrero para usar, ¿cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?

B.

D.

4

6

II. Preguntas de desarrollo. Responde 9.

e n t u h o ja d e r e s p u e s t a s d e l a p á g in a

17 2 .

En una familia la probabilidad de ser adulto es ^ y la probabilidad de ser mujer es independientes y se elige un miembro de esta familia al azar, a. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto y mujer?

b. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto o mujer?

10.

De una población se eligieron aleatoriamente 8 muestras, cuyos promedios fueron: 4,8 - 4,2 - 4,6 - 4,0 - 3,9 - 4,1 - 3,8 - 4,2

¿Qué se puede inferir sobre la media de la población?

Si ambos eventos son

Geometría r

■ -


\j:*átaüm

y ,* u

¿

•• i

u * .'-

"

-

os aprendizajes asociados a esta unidad son: • ■ií§ T :

\

* ~~

K

Comprender el concepto de semejanza de figuras planas a través de situaciones presentes en el entorno.

•

Aplicar el concepto de semejanza para calcular medidas desconocidas en figuras planas.

K •

Aplicar el teorema de Thales para determinar la longitud de trazos proporcionales.

I

Dividir interior y exteriormente un segm ento en una razón dada.

•

Aplicar el teorema de Euclides, el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras para determinar longitudes desconocidas. Aplicar el concepto de semejanza en la homotecia de figuras planas. Utilizar los criterios de semejanza en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades. Utilizar el teorema de Thales y la división de un trazo en la resolución de problemas. Utilizar los teoremas de Euclides, Pitágoras y recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas Determinar las medidas de elementos lineales de una circunferencia. Determinar la medida de ángulos en una circunferencia. •

Utilizar las relaciones entre los elementos lineales de una circunferencia en la resolución de problemas. Utilizar las relaciones entre los ángulos de una circunferencia en la resolución de problemas.

*

SANTILLANA

84

T :„ .

*

¿ S a l* " ¿ J

w

Semejanza de polígonos. Dos polígonos son sem ejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados orrespondlentes son proporcionales. Si los lados de dos polígonos semejantes están en la razón k, entonces sus áreas "stán en la razón k .

eorema particular de Thales. Si L // L,, entonces f ~ 1 b

Teorema general de Thales. Si 1^ //1_2 // L3 entonces ^

d

^

Teorema de Pitágoras. En el triángulo rectángulo se cum ple que a2 + b2 = c 2.

Recíproco del teorem a de Pitágoras. Si en un triángulo se cum ple que a2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo es rectángulo de hipotenusa c.

Teorema de Euclides. En el siguiente triángulo se cum ple que:

h2 = p •q a2 = p ■c b = q ■c

Contenidos clave «

Ángulos en la circunferencia. En la circunferencia,

Sector circular. AOB es un sector circular.

La medida del arco AB es arco(AB) =

360

•2 ■n ■r.

Ot

2

El área del sector circular es área (AOB) = —— ■n ■r .

360

Relación entre dos cuerdas que se cruzan dentro de una circunferencia. Si dos cuerdas se cruzan dentro de una circunferencia, el producto entre los segmentos de cada una de ellas es constante.

Distancia de una cuerda al centro de la circunferencia. La distancia desde una cuerda hasta el centro de una circunferencia siempre se mide desde el punto medio de la cuerda. Dicho segmento es perpendicular a la cuerda.

AB 1 OC y C es el punto medio de AB.

Cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia, entonces se tiene que:

Relaciones métricas entre tangentes y secantes en la circunferencia

P es un punto externo a la circunferencia, AP y BP son tangentes a la circunferencia. Entonces, se cum ple que:

P es un punto externo a la circunferencia, AP es tangente y BP es secante a la circunferencia. Entonces, se cum ple que:

AP2 = BP •CP

P es un punto externo a la circunferencia, AP y BP son secantes a la circunferencia. Entonces, se cum ple que:

Figuras semejantes Co m p r e n d e r Responde a partir de la fotografía.

1.

Si se dice que las caras de las pirámides son semejantes, ¿qué significa eso? Explica.

Id e n t i f i c a r Marca con una cruz dos polígonos que te parezcan semejantes y explica por qué los elegiste.

2.

Cl a s i f i c a r Responde las preguntas 3 y 4 a partir de los cuadriláteros sem ejantes ABCD y PQRS.

3.

Escribe todas las parejas de lados proporcionales.

4.

Escribe tres parejas de ángulos congruentes.

Ap l i c a r En cada ejercicio, determina si los triángulos son semejantes y escribe el criterio de semejanza que utilizaste. Si no lo son, justifica tu respuesta.

Cálculo de longitudes en polígonos semejantes A p l ic a r

1 . ¿Cuál es la razón de semejanza?

2 . Encuentra la medida de x.

Resuelve el problema. 3.

Dos triángulos rectángulos son semejantes. Un cateto, del más pequeño de ellos mide 3 cm y el cateto no correspondiente, del más grande, mide 12 cm. Las hipotenusas están en la razón 1 :3. ¿Cuál es la suma de sus perímetros?

In f e r i r Responde según las medidas de los triángulos anteriores. 4.

Supongamos que de los dos triángulos anteriores, se sabe el área del más pequeño y se quiere saber el área del más grande. Patricia dice que para calcular el área del más grande es necesario obtener los catetos, ¿existe otra forma? Si la hay, explícala y aplícala.

Ej e m p l i f i c a r Inventa un problema en la siguiente situación.

5.

Vas a estudiar con un compañero y se supone que tú le explicarás dibujos a escala. Crea un ejemplo de un problema y resuélvelo indicando cada paso.

Ap l i c a r

y a n a l iz a r

Responde a partir de cada enunciado. Dos polígonos son semejantes en la razón 2 :3 .

6.

Si el perímetro del más pequeño es 12 cm, ¿cuál es el perímetro del más grande?

7.

Pedro dice que si el área del más grande es 24 cm2 entonces el área del más pequeño es 16 cm2. ¿Está en lo correcto? Justifica tu respuesta.

En los planos para construir las piezas de un juguete se señala que por cada centímetro en el plano hay 6 cm en la pieza real.

8.

Si en el plano una pieza mide 3 cm, ¿cuánto mide la pieza real?

9.

Si la pieza real mide 1

10.

cm, ¿cuánto mide esa pieza en el plano?

El área, en el plano, de una de las piezas es de 4 cm2. ¿Cuánta superficie se cubre con 6 de esas piezas?*1

An a l i z a r Responde.

11 . Tu compañera te pide que nombres dos pares de figuras que siempre son semejantes. ¿Cuáles mencionarías? Justifica tu respuesta.

Teorema de Thales Recordar Completa la proporción correcta para cada uno de los siguientes casos, sabiendo que L, //1_2 y corresponda.

CB CA

//1_2 //1_3, según

Escribe la proporción que permite determ inar el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes casos, sabiendo que L, // L2 y L, // L2 // L3.

4.

A p l ic a r Calcula la incógnita en cada caso.

7.

En la figura L, // L2 //1_3. ¿Cuál es el valor de x?

---------\

r

<______________________________________________

4 cm y CB = AB

+ 2. ¿Cuál es la medida de

AC?

\______________________________________________

4 cm y RP

= M N. ¿Cuál es la medida de

RP?

—

V______________________________________

rel="nofollow">

-j

En la figura L, // L2 // 1_3 // L4. Además, AB : BC : CD = 2 : 3 : 5, EF = x + 1 y GH = 3x + 1.

Analizar Indica en cada caso si las rectas son paralelas.

Li

15.

10.

¿Cuál es el valor de x?

11.

¿Cuál es la medida de FG?

12.

¿Cuál es la medida de EH?

División interior y exterior de un trazo Co m p r e n d e r Completa cada dibujo con la división del trazo. Escribe si es interior o exterior y la razón correspondiente.

1.

El segmento AB se d ivide__________________________________________ en la razón____________________

D

___

2.

El segmento AB se divide

V e r if ic a r Marca con una cruz la proposición correcta, a partir de la figura. 3.

El punto P dividirá exteriormente al segmento AB en la razón 2 :3.

en la razón

□ □ □

El punto P se encuentra a la izquierda de A. El punto P se encuentra a la derecha de A. El punto P se encuentra entre A y B.

Aplicar Resuelve los siguientes problemas.

4.

El punto P divide interiormente el segmento AB que mide 18 cm, en la razón 3 :2. ¿Cuánto mide Á P y P B , si A P es el segmento mayor?

5.

El segmento AB mide 68

6.

El segmento AB se dividió interiormente en el punto P. Si A P : AB = 3 :7, ¿en qué razón están A P y PB?, ¿y en qué razón están PB yAB?

7.

Cuando un segmento se divide interior y exteriormente en la misma razón se dice que la división es armónica. El segmento AB

cm y se divide

interiormente en tres partes, en la razón 2 : 3 : 5 . ¿Cuánto mide cada parte?

que mide 21 cm se divide armónicamente en la razón 3 :4. Si P es el punto de división interna y Q el punto de división externa, encuentra la medida de los siguientes segmentos.

AP = .

PQ = .

PB = .

AQ = .

QB = .

Aplicación de los teoremas de Eudides y Pitágoras Rec o r d a r Usando de referencia la figura, escribe los teorem as de Euclides y de Pitágoras.

Teoremas de Euclides

V e r if ic a r Usando de referencia la figura, indica si las expresiones son o no igualdades. En caso de que no lo sean, escribe la igualdad correspondiente.

5.

t2 = u •w

6.

m2 + t2 = w 2

7.

n2 = u •(u

+ w)

8 . m • n = t •(u + w)

9. ~2 m = w •u 1 0 .

2 m +n =u +w

~ 2 , „ 2 2_ . .^ 2 , .^ . ¿

V e r if ic a r

y a p lic a r

Determina si los siguientes triángulos son rectángulos.

Co m p r e n d e r Escribe la ecuación que perm ite determ inar el valor de x en los siguientes triángulos.

14.

15

16.

Ap l ic a r Determina el valor de x en los siguientes triángulos.

Ap l ic a r Determina el área y el perím etro de los siguientes triángulos.

A=

An a l i z a r Determina el valor de x y de y en la siguiente figura.

27. x= y=

P=

Ángulos y circunferencias Co m p r e n d e r

Clasifica las siguientes frases como verdaderas o falsas. En caso de ser falsas, justifica. 1.

El diámetro es la mayor de las cuerdas en una circunferencia.

2.

Cada lado de un polígono Inscrito en una circunferencia es una cuerda.

3.

Todas las cuerdas de una circunferencia son congruentes.

4.

Un ángulo Inscrito y un ángulo del centro que subtienden el mismo arco son congruentes.

5.

El ángulo Inscrito en un semicírculo mide 180°.

6.

Si un cuadrilátero se inscribe en una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son complementarios.

A p l ic a r En cada figura, encuentra las medidas pedidas.

7.

8.

ot=---------

(3 =---------

x=

a =-----

(3=-----

X=

Analizar Resuelve los siguientes problemas.

11.

Encuentra la medida del ángulo agudo formado por una tangente y una cuerda si la razón entre las medidas de los arcos determinados por la cuerda es 1 :5.

—>

r

v 12.

-j

Dos tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto fuera de ella son perpendiculares. Encuentra las medidas de los dos arcos.

13.

La diferencia entre un ángulo inscrito y un ángulo del centro que subtienden el mismo arco es 25°. Encuentra la medida de ambos ángulos.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -

k_________________________________________________________________________________________________________________________________ ,

i

Cuerdas, secantes y tangentes Reco rdar Responde las preguntas 1 a 2 a partir de la figura 1, considerando AC y BD cuerdas.

1.

¿Es el AAED semejante a ACEB? Justifica tu respuesta utilizando el criterio de semejanza correspondiente.

In f e r i r Responde a partir de lo anterior. 2.

Si los triángulos de la figura 1 son semejantes, ¿qué relación se puede establecer entre los segmentos AE, BE, CE y DE?

Co m p r e n d e r En la circunferencia se trazaron las secantes EC y AC.

3.

Esteban dice que para encontrar el valor de x se puede establecer que 4 ■x = 1 ■7, ¿es correcto? Justifica tu respuesta y encuentra el valor de x.

Ap l i c a r Resuelve.

4.

SI en la figura 1, AE = 3 cm, EB = 5 cm y DE = 6 cm, ¿cuánto mide CE ?

En la figura 1 de la página 104, DB mide 16 cm, EB mide 4 cm y se tiene que A E : EC = 3 :1.

5.

Encuentra las medidas de AE y EC.

AE = _________________

EC = _________________

6. En el problema anterior, ¿en qué razón están los segmentos DE y EB?

A p l ic a r Utilizando la figura 2, responde las preguntas 7,8 y 9.

7 . Si AC = 25 cm, ED = 15 cm y DC = 5 cm, ¿cu án to m id e BC?

8 . Si CD = 4 cm, DE = 7 cm y BC = 6 cm, ¿cu án to m id e AB ?

9 . Si DC = 6 cm, BC = 4 cm y AB = 6 cm, ¿cu ánto m id e EC ?

Ap l ic a r

En la circunferencia de centro O de la figura se dibujaron dos secantes. Con esta inform ación responde.

10. ¿Cuál es

la medida de

AC?

Encuentra el valor de x en las siguientes figuras.

A p l ic a r La figura muestra un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia.

13.

Encuentra el perímetro y el área del triángulo.

El triángulo de la figura está circunscrito a la circunferencia y se sabe que AB = 6 cm, BC = 7 cm y AC = 10 cm.

14.

Encuentra la medida de los segmentos AP, CQ y BR.

c

AP =

CQ =

BR =

Analizar Resuelve los siguientes problemas.

15.

Una secante y una tangente se dibujan desde un punto fuera de una circunferencia. La razón entre la parte externa y la interna de la secante es 1 :4. La tangente mide 12 cm. Encuentra la longitud de la secante.

16.

Completa la información del dibujo con las medidas de los otros lados del cuadrilátero, de manera que en él se pueda inscribir un círculo.

Crear La figura muestra un círculo en el que se dibujó una secante y una tangente.

17.

Inventa y resuelve un ejercicio utilizando la figura.

Homotecia de figuras Co m pr en d er Realiza la transformación.

Responde.

2.

Explica qué sucedería con la Imagen del triángulo de la pregunta anterior si

0 < k< 1. ¿Y si k< 0?

_________ _________________________________________________________________________________

A p l ic a r Resuelve los siguientes problemas.

3.

SI el centro de homotecia es O y se tiene que OA = 2 cm y OA' = 5 cm, ¿cuál es la razón de la homotecia?

5. Aun cuadrado de área 16 m2 se le aplica una hom oteda de razón

¿cuál es el perímetro del nuevo cuadrado?

t. Los vértices de un triángulo son A(3,2), B(5,2) y C(5,3), los vértices de su imagen son A'(4,3), B'(8,3) y C(8,5). Gráfica los triángulos y encuentra las coordenadas del centro de hom oteda y la razón.

LIZAR

ermina si las siguientes frases son SIEMPRE verdaderas. Si no lo son, indica en qué casos son verdaderas. ea k la razón de homoteda de una figura. Si k es negativo, entonces la imagen de la figura después de realizada la homotecia es ás pequeña.

área de una figura a la que se le aplicó una homotecia es igual al área de la figura original multiplicada por la razón de motecia.

sángulos de un polígono son iguales a los ángulos del polígono resultante luego de aplicarle una homotecia.

Resolución de problemas geométricos Co m p r e n d e r En cada caso, haz el dibujo y escribe la ecuación que perm ite encontrar la incógnita. 1.

Se desea cortar un trozo de madera que mide 10 cm en la razón 2 : 3. ¿Cuál es la medida del trozo menor?

r v .

2.

En un triángulo ABC se traza un segmento DE paralelo a la base AB. SI se sabe que AD = 4 cm, CD = 6 cm y CB = 20 cm, ¿( la medida de CE?

r K 3.

A cierta hora del día un hombre que mide 1,8 m proyecta una sombra de 30 cm. ¿Cuánto medirá un árbol que proyecta a misma hora una sombra de 75 cm?

4.

En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa mide 4 cm y la proyección de uno de los catetos sot hipotenusa mide 2 cm. ¿Cuánto mide la otra proyección?

5.

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 8 cm y la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto es de 4 cm.¿( mide la hipotenusa?

i. Dos cuerdas se intersecan dentro de una circunferencia y los segmentos de la cuerda menor miden 4 cm y 7 cm. Si uno de los segmentos de la cuerda mayor mide 2 cm, ¿cuánto mide el otro segmento?

tPLICAR

iesponde a partir de cada enunciado. II plano de un pueblo muestra las calles y las distancias entre algunas de ellas. Con esta información, determina las distancias de los ecorridos que se indican a continuación.

1. Desde Calle Norte hasta Los Sauces por Las Camelias.

'

s._______________________________________________________

________ j

Desde Los Alerces hasta Los Sauces por Los Girasoles.

V ________________________________________________________

-j

9.

Desde Los Alerces hasta Los Abedules por Las Camellas.

La figura muestra dos postes rectos y de igual tam año afirmados al piso en un mismo punto por cables formando un ángulo re

10 .

¿Cuánto mide cada poste?

l ¿Cuánto cable se utilizó para sujetar ambos postes al piso?

f

l _________________________________________________________________________________________ En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa están en la razón 1 :3 y la altura correspondent hipotenusa mide 2 V3 cm.

12.

Haz un dibujo del triángulo.

13.

¿Cuánto mide cada proyección?

n Andrés tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo com o muestra la figura. Desde el ángulo recto nace un camino teriorque mide 1,6 km y llega perpendicularmente al otro lado. Este camino divide el terreno en dos partes más pequeñas cuyas leas están en la razón 1 :4.

5.

¿Cuánto mide la hipotenusa de este terreno?

6. ¿Cuál es el perímetro de este terreno?

tiene un poste atado al piso por dos cables que forman un ángulo recto, a 2 m y 8 m de distancia del poste, com o muestra la figura.

V. ¿Cuál es la altura del poste?

r

18.

¿Cuánto cable se está usando para afirmar al piso este poste? —

v -------------------------------------------------------------------------------------Se realiza un plano de una habitación utilizando la escala 1 m : 5 cm.

19.

m

¿Cuál es el factor de homotecia que convierte el plano en la habitación real?---------------

2 0 . Si una de las paredes de la habitación mide 15 cm de ancho en el plano, ¿cuál es la medida real? f

2 1 . Si el área de la habitación es de 250 cm2 en el plano, ¿cuál es el área real?

Juan sacó la fotografía de un paisaje en la que un árbol de 4 m se redujo a 10 cm.

22.

¿Cuál es el factor de homotecia que convierte el paisaje en la fotografía? —

23.

Si otro árbol en la foto mide 5 cm, ¿cuánto mide en el paisaje real?

La distancia desde una cuerda de 8 cm al centro de una circunferencia es de 3 cm.

24.

¿Cuál es el radio de esta circunferencia?

En el centro de un parque hay una fuente circular. Desde un punto del parque, la distancia hasta el punto de tangencia con la fuente es de 6 m y la distancia hasta el centro de la fuente es de 6,5 m.

25.

¿Cuál es el radio de esta fuente?

Analizar Responde a partir de cada enunciado. A partir del triángulo rectángulo ABC y utilizando los criterios de semejanza, determina si las expresiones son verdaderas o falsas. En caso de las falsas, escribe la Igualdad correcta.

nc AD

DC

26‘ DC = DB

27.

CB AB

■ =CD ■AC

no

DB _ CB

P 8 ' CB ~ AB

____________________________________________________________________________________________________________

----------------------------------------------------------------------------------------------

OQ

AB _ AD 9. ACAC

---------------------------------------------------------------------------------------------

Alberto, Beatriz y Carlos quieren calcular el área de un jardín triangular que construyeron con tres lados que miden 12 m, 16 m y 20 m. Alberto dice que no es posible, pues solo tienen la medida de sus lados y no de sus alturas. Beatriz piensa que sí se puede y que es A = 1

30.

2

= 96 m2. Carlos asegura que sí, pero que es A = ^ ^

¿Cuál de los tres amigos tiene razón? Justifica tu respuesta.

= 120 m 2.

Aplicación de las propiedades de los ángulos de una circunferencia Co m p r e n d e r En cada caso, haz el dibujo y escribe la ecuación que perm ite encontrar la incógnita. 1 . El ángulo del centro que subtiende un arco mide 4 0 ° más que el ángulo inscrito correspondiente. ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito?

2.

Dos ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tienen una diferencia de 20°. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

Ap l i c a r Responde a partir de cada enunciado. Don Luis tiene un terreno circular de 12 m de diámetro. Él quiere utilizar un sector circular que corresponda a ^

del total de su

terreno para plantar gladiolos.

3.

4.

¿Qué ángulo central tendrá este terreno?

¿Cuál es el área de este sector?

6. Si quiere cercar este sector del terreno, ¿cuál será la longitud de la cerca?

f ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \

V_______________________________________________________________________________________ J

Una milla náutica corresp o n d e a la lo ng itud d e un arco d e un m erid iano terrestre e q u iva len te a — d e g rado (1 minuto), c o m o m uestra la figura.

7.

SI un meridiano terrestre mide aproximadamente 40.000 kilómetros, ¿a cuántos metros equivale una milla náutica? Entrega tu respuesta aproximada al metro.

r

Se sabe que un barco recorrió 333 kilómetros sobre un meridiano en el mar.

8.

¿Cuántas millas náuticas recorrió? Entrega tu respuesta aproximada a la milla. —

L 9.

¿Cuántos grados se desplazó sobre el meridiano?

Analizar Completa los datos faltantes en la siguiente demostración. Se tiene una circunferencia cualquiera de centro O.

10.

Se inscribe el triángulo_________________ en la semicircunferencia de manera que uno de sus lados contenga al centro.

11. Por lo tanto, AB es e l_________________ _ de la circunferencia.

12.

Luego, el ángulo BOA m id e__________________

ÍL3.

El ángulo BOA es un án gu lo__________________

14.

El ángulo BOA subtiende el arco _________________

[15. El ángulo inscrito que subtiende este mismo arco es el á n g u lo __________________

16.

Si un ángulo inscrito subtiende el mismo arco que un ángulo del centro, entonces el ángulo inscrito m id e _________________ del ángulo del centro.

17.

Por lo tanto, el ángulo ACB m id e__________________

18.

Finalmente, el triángulo ABC es un triángulo_________________________________en C.

19.

La conclusión es que siempre que se inscribe un triángulo en una semicircunferencia, de manera que uno de sus lados coincida con el diámetro, este triángulo será_________________________________ 2 0

20. Además, la hipotenusa de este triángulo coincidirá con e l _______________________________de la circunferencia.

O valuación I. Preguntas de alternativas. L e e a t e n t a m e n t e c a d a u n o d e lo s e n u n c ia d o s E N L A H O J A DE R E S P U E S T A S D E L A P Á G IN A 173.

y r e s p o n d e m a r c a n d o l a a lt e r n a t iv a co rrecta

1 . Si los polígonos ABCD y PQ RS de la figura son semejantes, entonces un par de lados proporcionales son:

A . AByAD B. ABySR C. R Q y C B D. RQ yAD

2.

El punto P divide interiormente el segmento AB, que mide 27 cm, en la razón 4 : 5 . ¿Cuánto mide el trazo menor?

A. 3 B. 9 C. 12 D . 15

3.

En un mapa, la escala es 1 :200.000 entre las ciudades?

A . 0,46 km B . 1,15 km C . 2,3 km

D . 4,6 km

cm. Si en el mapa dos ciudades están separadas por 2,3 cm, ¿cuál es la distancia real

A partir del enunciado, responde las preguntas 5 y 6. Se tiene el siguiente triángulo rectángulo, con BC = 4 cm y BD = 3 cm.

5. ¿Cuál es la medida de CD?

A.

1 cm

B.

5 cm

C.

V7 cm

D.

Vl~2 cm

6. ¿Cuál es la medida de AD ?

A.

^ cm

B.

| cm

C. ?cm D. y cm

7.

Desde un punto externo a una circunferencia se trazan dos secantes. En la primera secante, el segmento externo mide

8 cm y el segmento interno mide 1 cm. En la segunda secante tanto el segmento externo com o el interno son congruentes. ¿Cuánto mide la segunda secante? A,

V 8 cm

g

2y¡8 cm

C.

6 cm

D.

12 cm

Avaluación 8.

La figura muestra cóm o se forma la imagen de una fotografía dentro de una cámara fotográfica antigua.

Usando esta información, ¿cuál de las siguientes proporciones permite determinar la altura del árbol?

6_ 10 8_

10 10

8 10

6 9.

Una figura de 30 cm

2

de área es transformada por una homotecia a una de 120 cm

2

de área. ¿Cuál será el factor de la

homotecia que permita transformar posteriormente la figura más grande en la más pequeña?

C. 2 D. 4

1 0 . Sea P(1,2) y Q (3 ,4). Usando P com o centro, se aplica una homotecia de razón k = 3 sobre Q. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de Q?

A . (3,6) B . (6,7) C . (7,8) D . (9,12)

A . 40° B . 45° C. 50° D . 90°

12.

En un queque de

12 cmde diámetro se corta un trozo cuya área es de 6 Jt cm2. ¿Cuál es el ángulo del centro de este

trozo?

A . 2o B . 15°

C . 24° D . 60°

Preguntas de desarrollo. Responde

13.

e n t u h o ja d e r e s p u e s t a s d e l a p á g in a

17 4 .

Se necesita hacer un entramado de madera para el techo de una casa, com o muestra la figura:

¿Cuántos metros lineales de madera se necesitan para cada uno de estos entramados?

14.

6 cmse traza un diámetro AB y una cuerda PQ, la cual Interseca a cmy CQ = 5 cm. ¿Cuánto mide AC ?

En una circunferencia de radio sabe que PC = 4

AB en el punto C. Se

Unidad

Álgebra y funciones L o s aprendizajes asociados a esta unidad*•son: • •

Analizar modelos que utilizan funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada. Identificar las variaciones que se producen por la modificación de los parámetros de las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.

•

Interpretar expresiones algebraicas fraccionarias.

•

Determinar los valores de la variable que indefine una expresión algebraica fraccionaria.

i

Realizar operaciones que involucran expresiones algebraicas fraccionarias.

•

Resolver ecuaciones fraccionarias.

•

Resolver problemas que involucran el uso de ecuaciones fraccionarias. Representar situaciones utilizando sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

•

Graficar un sistema de ecuaciones lineales en el plano cartesiano. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, gráficamente o algebraicamente. Resolver problemas que involucran el modelamiento de situaciones a partir de las funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada.

Contenidos clave Función raíz cuadrada. Esta función es del tipo f(x) = Vx. Su gráfico siempre es creciente y pasa por el punto (0,0).

Dom(f(x)) = [0,+oc[ Rec(f(x)) = [0,+oo[

Función exponencial. Esta función es del tipo f(x) = ax. Solo está definida para a positivo y distinto de 1. Es una función creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. Su gráfico siempre pasa por el punto (0,1) y el eje X es una asíntota de la curva.

Dom(f(x)) - R Rec(f(x)) = ]0,+oo[

f(x) = ax, con a > 1

f(x) = ax, con 0 < a < 1

Función logarítmica. Esta función es del tipo f(x) = log_x. Solo está definida para a positivo y distinto de 1. Es una función creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. Su gráfico siempre pasa por el punto (1,0) y el eje Y es una asíntota de la curva.

Dom(f(x)) =]0,+oo[ Rec(f(x)) = R

f(x) = logax, con a > 1

f(x) = loggx, con 0 < a < 1

Expresiones algebraicas fraccionarias. Una expresión algebraica fraccionaria se indefine en aquel o aquellos valores que al remplazados en el denominador da cero. Ejemplo La expresión algebraica fraccionaria

3+1 a (a - 7)

se indefine en los valores de a = 0 y a = 7.

Valorización de una expresión algebraica fraccionaria. Se remplaza el valor indicado en la fracción. Ejemplo: evaluar 3x + 1 en x = 4. Se obtiene 3 4 + 1-= 3 16 + 1 - — . x -2 4-2 2 2

. j| •-•¿í'-*'’ . f ' ■

Contenidos clave Término general de una sucesión de fracciones. Se identifica el patrón y se expresa en una fórmula. Ejemplo: Para obtener el término general de la sucesión

|,

..., es necesario observar que los numeradorgs son números

naturales consecutivos, partiendo de 2, por lo que su generador es n + 1 y los denominadores son números impares n+ 1 consecutivos partiendo de 3, por lo que su generador es 2n + 1. Luego, el término general de esta sucesión es 2n + 1

Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias. Se factoriza tanto el numerador com o el denominador, si es posible, y luego se simplifican los factores iguales. x2 -1

Ejemplo:

x -2x +

1

j f r ^ T ÍC x + l ) (x - 1 )ix — T f

(x+1) (x —1)

Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias. Sefactorizan numerador y denom inador de las fracciones, se simplifican al máximo los factores y luego se multiplican com o fracciones numéricas. Ejemplo:

x2 + 2x x2 - 9

x ( x + 2) jX-^5f(x + 3) _ (x + 2) (x + 3) _ x2 + 5x + 6

J2s

División de expresiones algebraicas fraccionarias. Se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. Nuevamente, si es posible, se factorizan numeradores y denominadores, se simplifican al máximo los factores y luego se multiplican. ¿ ___ a 2 + 6a + 8 _

Ejemplo:

2

'

2

2

a + 4a a + 6a + 8

y

(a + 2 )(¿- + 4 fí_ a + 2

ala-t^T)

a + 4a

Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias. Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores, se amplifican las fracciones de manera que el denom inador se transforme en el mínimo común denominador, y luego se suman o restan com o fracciones numéricas. E je m p 'o ^ + ^

+^

^

b

Ecuación algebraica fraccionaria. Se multiplica toda la expresión por el mínimo com ún denom inador de todas las fracciones de la ecuación, convirtiéndola en una ecuación sin denominadores, y luego se resuelve. Ejemplos: -2- +^ - = X-1

X+1

/

x2

(x —1)(x + 1)

x+2

x-3

3(x + 1) + 2(x -1) = 6

2(x - 3) - 4(x + 2) = 6

3x + 3 + 2 x - 2 = 6

2x-6-4x-8 = 6

5x + 1 = 6

-2x - 14 = 6

5x = 5 = x = 1

- x- 6

-2x = 20 x = -10

Verificación de la solución. Se remplaza la solución en los denominadores de las fracciones originales para verificar que no se ¡ndefinan. En el primer ejemplo, se indefine la primera y la tercera fracción. Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución. En cambio, en el segundo ejemplo, no se indefine ninguna fracción, por lo tanto la ecuación tiene solución.

«

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Son de la forma:

ax + by = c dx + ey = f

, donde x e y son incógnitas y a,

b, c, d, e, y f son parámetros reales. Los sistemas de ecuaciones pueden tener: • una solución. Geométricam ente se interpreta com o dos rectas que se intersecan en un punto. • infinitas soluciones, las rectas son coincidentes. • ninguna solución, las rectas son paralelas.

Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones son:

Gráfico. Se grafican ambas rectas y se determina el punto de intersección, si lo hay, de las rectas. x+y = 4 Ejemplo:

Solución

3x - 2y = 2

(2, 2)

Sustitución. Se despeja una de las incógnitas sustituyendo la expresión obtenida en la otra ecuación, Ejemplo:

y = 2x -1

=> 3x - (2x - 1) = 5 => x + 1 = 5=>x = 4;y = 7

Solución ► (4, 7)

3x - y = 5

Igualación. Se despeja una de las incógnitas en cada ecuación, se igualan las ecuaciones y se resuelven las expresiones obtenidas. Ejemplo:

y = 2x -1

y = 2x -1

3x - y = 5

y = 3x - 5

=» 2x - 1 = 3x - 5 => x = 4; y = 7

Solución ► (4,7)

e Reducción. Se realizan las operaciones aritméticas adecuadas de manera de igualar los coeficientes de una de las

Ejemplo:

II

LO

NJ X 1

incógnitas, para luego sumar (o restar) miembro a miembro las ecuaciones eliminando esa incógnita. 2x - y

=

9

x - 3y = 2 ^ 2 ( x - 3 y ) = 2-2

2x - y = 9 2x - 6y = 4

5y = 5 => y = 1; x = 5

Solución ► (5,1)

Id e n t i f i c a r Marca con una % las funciones exponenciales.

Co m p r e n d e r Observa los valores de la tabla y responde. 1 z' V.

\ /*

1 /”■

y

\

4

f

-/

1,5 8

>V \y y

\

f'

_/

16

________________________

\

2,3

2 v

24,251...

( V /’

yv

>y

A✓*

3 64

J v. 'v y __ y

" \ X

3,1 "

73,516...

y L >

/

>v

y

y c

yv

y

2 . ¿Qué expresión pondrías en el recuadro ubicado bajo la x?

3 . Si x puede ser cualquier número real, escribe la expresión encontrada en la pregunta anterior com o una función.

4.

¿Cuál sería el dominio de esa función?, ¿y su recorrido?

Completa las siguientes igualdades. 5 . Si f(x) = 3X, entonces f(3) = ------

6 . Si f(x) = 2 ■4X, entonces f(1) =

7. Si f(x) =

8 . Si f(x) =

Qj

, entonces f(4) = ----

, entonces f(3) = ----

Ap l i c a r A partir de cada enunciado responde las preguntas. En un pueblo se ha detectado una plaga de cucarachas que sigue un patrón de crecimiento según la función P(n) = 500 •2 °'3n, donde P es la población de cucarachas y n es la cantidad de semanas que han pasado desde que se comenzó a estudiar el fenómeno.

9.

10.

¿Cuántas cucarachas se detectaron cuando comenzó el estudio?

¿Cuántas cucarachas eclosionan a las 10 semanas, si no se interviene?

Para eliminar a las cucarachas se toman medidas, las que afectan el m odelo original, transformándolo en P(n) = 500 •20,3n - 3n.

11 .

¿Cuántas semanas se demorarán en eliminar a las cucarachas?

El peso del moho que se va depositando sobre una pieza metálica obedece al m odelo P(t) = 100 •20,lt, donde P es el peso del moho en gramos y t es la cantidad de años.

12 .

¿Cuál fue originalmente el peso del moho en la pieza metálica?

13.

¿Cuál será el peso del m oho en la pieza metálica a los

14.

¿Cuál será el peso del moho en la pieza metálica a los 10 años?

15.

¿Cuál será el peso del moho en la pieza metálica a los 100 años?

6 meses?

Analizar Resuelve el siguiente problema.

16.

Se tiene una función exponencial de la forma f(x) =

a •bxy se sabe que f(1) = 1 y f(2) = 2. Encuentra los valores de a y b.

7%

Función logarítmica Co m p r e n d e r Encuentra una expresión para x en cada una de las siguientes ecuaciones. 1 . 2 = 3X

► x = ________________

2.

4 = 3X

►x= ___________ _____

3.

3

= 3X

►x =________________

4.

5

= 3X

►x = ________________

Con la calculadora, aproxima los valores obtenidos para x en el problem a anterior y com pleta la tabla.

5.

\s

f

\r 1

X

\r

( log, x

V

\C

./V \/■

As

\/■

as

2

3

k.

>v \f

4

>V

Dada la función f(x) = log3 x, determ ina lo siguiente:

6.

Dominio de

f(x) ►__________ __________

7.

Recorrido de

f(x) ►____________________

Id e n t i f i c a r Marca con una

las funciones logarítmicas.

\ 5

r 6

A.r

V \r

J k. a(

vv

VV_________

k.

ar

7

_>V \( >

\ 8

Jv Ar

9

> \C k.

10

> \ >

Aplicar Determina lo pedido a partir del enunciado. Una población de bacterias obedece al siguiente m odelo de crecimiento: P = 500 •1,03*, donde P es el número de bacterias y t es el tiempo (en horas) de cultivo de las bacterias.

9.

Calcula la cantidad de bacterias nuevas a las 3 horas.

10.

Calcula cuánto tiem po ha pasado si hay 580 bacterias nuevas.

11.

Calcula cuánto tiem po ha pasado si hay 672 bacterias nuevas.

12.

Escribe un modelo que Informe el tiem po que ha pasado para una cantidad dada de bacterias nuevas.

A n a l iz a r Resuelve el siguiente problema.

13.

Se tiene la función f(x) = alogb x; se sabe que f(10) = a y f(1.000) = 6. Encuentra los valores de a y b.

•

Función raíz cuadrada Id e n t i f i c a r Marca con una

las fundones raíz cuadrada.

A p l ic a r Realiza lo pedido a partir del siguiente enunciado. Un triángulo rectángulo tiene un cateto 2 unidades mayor que el otro. 2 . SI el cateto menor mide 5 cm, ¿cuánto miden el otro cateto y la hipotenusa?

.......

r

................... ..

J

SI el cateto menor mide x cm, ¿cuánto miden el otro cateto y la hipotenusa? r

\

v

j

iscrlbe una fundón que modele el valor de la hipotenusa para un valor cualquiera del cateto menor.

6. Con la información obtenida en la pregunta 4 completa la siguiente tabla.

2 VN r

1 V \ r

y

\

n

V

>

r

5 v

>V

6

7

> V_________________ V C

'v r

8 V ... 'n r

"v

9 J v

\r

> "\

.J

f(x)

N

3

r

>/

C

\ /*

r

1

______ y

X

/ -----

V

r

Analizar En cada uno de los siguientes casos indica el dom inio de las funciones.

7.

f(x )

= Vx

______________________________________________________________________

8. f(x) =Vx-2

►_______________________________________________

9. f(x ) = V2x-3

► _______________________________________________________________________

10. f(x ) = V3- 5x

► ______________________________________________________________________

Resuelve el siguiente problema.

11. Se tiene la función f(x) = Vax + b ; encuentra los valores de a y b si se sabe que f(0) = 2 y el dominio de la función es x > -2.

M7 m ±

El

Gráficos de funciones

Id e n t i f i c a r Une con una línea cada gráfico con su respectiva función.

Función raíz cuadrada

Función logarítmica

A p l ic a r En los ejes coordenados bosqueja las siguientes funciones.

2.

f(x) = 2X

3 - g(x) = ( l ) x

4.

h(x) = -(2x)

Función exponencial

Inferir Responde a partir de los gráficos de las funciones anteriores.

5. ¿En qué punto se intersecan las gráficas de las funciones f(x) y g(x)? ► 6. ¿Cómo describirías la función g(x) comparada con la función f(x)?

7. ¿Cómo describirías la función h(x) comparada con la función f(x)?

8. Sin necesidad de graficar y utilizando alguno de los gráficos anteriores, ¿cómo describirías el gráfico de j(x ) = - Q j ?

Aplicar El siguiente gráfico muestra f(x ) = Vx. En el mismo plano bosqueja los gráficos de:

9. g (x ) = -Vx

10.

Y

h (x ) = V-x

D

2 -4 - 5 - 4 -3 -2 - 1 o 1. 2. 3. 4 c

In f e r i r Responde a partir de los gráficos 9 y 10.

11. Compara los gráficos de f(x), g(x) y h(x). ¿A qué conclusión llegas?

5

X

En los ejes coordenados bosqueja las siguientes funciones.

12.

Y

g(x) = Vx + 2

n

13.

h(x) = Vx - 2

14. j(x ) = Vx-2

. z'

15. k(x) = Vx + 2 -1 0

8

6

4

0

2

-2 -_ A

10-

In f e r i r Responde a partir del gráfico de f(x) = Vx y de los gráficos 12 a 15.

16.

Compara los gráficos de f(x), g(x) y h(x). ¿A qué conclusión llegas?

17. Compara los gráficos de f(x), j(x) y k(x). ¿A qué conclusión llegas?

A n a l iz a r Responde a partir de cada gráfico.

18.

¿Qué puedes afirmar respecto de los valores de a y b?

.

f

i0

X

En un procesador geom étrico puedes graficar la función logaritm o en base 10 y en base e. Para graficar, por ejemplo, y= log_,x, debes realizar el cam bio de base y = |°^ X . ¿ log 2 A partir de esto, gráfica sim ultáneam ente: y = log2x; h = log x; j = log$x, y luego responde.

2 0 . ¿En qué punto del eje X se intersecan todos los gráficos? ¿Por qué crees que sucede esto?2 1

21.

¿Qué sucede con la rama de cada una de las fundones cuando se cambia la base? Escribe una conjetura.

22.

¿Qué sucede con el gráfico de k = log (x) + 2, com parado con el de I = log x? Propon una conjetura y luego compruébala graficando.

Expresiones algebraicas fraccionarias Co m p r e n d e r Escribe la expresión algebraica fraccionaria correspondiente en cada caso.

r i.

Determina qué fracción de un curso son mujeres, si en el curso hay

mhombres y nmujeres.

►

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------ -----------—

2.

Determina la fracción si se sabe que el numerador es x y el denom inador es 3 unidades menor que el numerador. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.

Determina qué fracción de un curso son hombres si el curso tiene

palumnos, de los cuales qson mujeres.

>

► ___>

/ ------------------------------------------------------------------------------------------

4.

Determina qué fracción de las pelotltas de una bolsa no son negras si se sabe que en la bolsa hay

mpelotitas rojas, n pelotitas verdes y p pelotltas negras.

1 ►

J

________________________________ ___ ______________________________________

5.

Determina qué fracción de un colegio son alumnos de Educación Básica si los alumnos de Educación Parvularia son x y los alumnos de Educación Media son 20 menos que los de Básica y 30 más que los de Educación Parvularia.

Id e n t i f i c a r Marca con una

la o las expresiones algebraicas fraccionarias que se indefinen en x = -2.

Marca con una

la o las expresiones algebraicas fraccionarias que se ¡ndefinen en a = -3.

►

Determina el mínimo común denom inador entre las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. Entrega tu respuesta factorizada al máximo.

8.

►

a + 3 y a2 + 5a + 6 m +2

m

m2 -4m + 3

3m “ 9

9. 10.

5q

7p

►

4p

►

2p2' 6P q y 4q3

11. 12 .

7 4 6b 3b - 6' 2b - 4 V 5b -10 4c

2c

c +4

►

c 2 _ ] '3 c + 3 y 2 c - 2

13.

►

y 2 - 9y + 20 y 2 - 7y + 12

14.

y 2 - 8y + 15

3

y-

z^z “ 2 t 2z(z + 3) z3(z - 3 )

z

►

4 4 (z

+ 2)

Determina el o los valores que indefinen las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. Si no se anula en ningún valor, escribe NO SE INDEFINE.

16.

m

17.

3b + 12 2b+ 9

m 2 +1 r

V - --.........................

A n a l iz a r 3

.
En la sucesión ----- , n es natural. Determina: n

19.

20.

los 6 primeros términos de la sucesión.2 0

el rango de valores en que se encuentra la sucesión.

A

-- ------J

Operatoria con expresiones algebraicas fraccionarias Co m p r e n d e r Completa cada oración con: sumar, restar, m ultiplicar o dividir, según corresponda. 1 . Para__________________________________ expresiones algebraicas fraccionarias se factoriza y luego se simplifica al máximo posible.

2.

Para__________________________________ expresiones algebraicas fraccionarias se obtiene el mínimo común denominador.

3.

Para__________________________________ expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica por el recíproco de la segunda fracción algebraica.

4.

Para_________________________________ expresiones algebraicas fraccionarias se amplifica por el mínimo común denominador de cada una de las fracciones.

A p l ic a r Simplifica al máximo las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias.

“'N

3 ; 3m n

2x2 - 32

8.

6n3

x3 - 8x2 + 16x

-J r

/ x2 - 64

9.

3x + 24

_____________ 2

x2-5x

________________________ /

f

,

l

+6

A

1— X

)

f ---------------------------x -x-6

2 _ . x -3x + 2

10.

x3 - 5x2 + 6x 9x - x3

<________

Aplicar Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.

11.

12

.

13.

14.

^ + ^- = 2 4a 2a

3 X —1

X2 _1

x+2 X —1

X+1

2

3

x2 - x

x

18.

1 -+ ^ + - 2 x2 - 25 5 ~ x x + 5

Resuelve los siguientes ejercicios de multiplicaciones y divisiones.

19.

3ab2 4bc2 c3

£ 6a 3

2x + 4

3x3

x2

12x + 24

22

2 x - 9 .X + 3 x2 - 4 x + 2

r 23.

x 2 - 4x + 3 x2

-5

x

+ 4

24.

x2 - 9 x2

2x + 6 9x - 2 7 3x

9

-16

4x + 8

6x + 18 x 2 + 2x

J

L .

Resuelve los siguientes ejercicios entregando tu respuesta simplificada al máximo.

29.

1

3

30.

31.

i

\ . / i

3 + 2/

1

3

a___b . 1 1 b

r

v_

x

x

x+ 2

x + 3/

\ x +5x + 6

4 -+ - 1

8x + 2 0

32.

J

i

3 + 2

m2_ g ' m- 3 / ' \m + 3

a

28.

\3

X~ 1

x2 -1

x2 - 1

X+1

3 x-1

2 x+ 1

33.

¿Qué expresión hay que sumarle a ---- para o b te n e r----- ?

34.

¿Qué expresión hay que restarle a ~ ~ z P ara obtener 4?

m

35.

¿Qué fracción se debe multiplicar por 2m + 4 para obtener — 1— ?

36.

¿Por qué fracción hay que dividir 3a + 2 para obtener —— ?

37.

Determina el área y el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide — .

m- 3

a

m-2

a- 4

4x

/ -------------------------------------------------------------------------------------

_______________________________

2 El área de un cuadrado es — -— —------ . Determina:

m -8m + 16

38.

una expresión algebraica correspondiente a su lado.

39.

una expresión algebraica correspondiente a su perímetro.

i

raccionarias V e r if ic a r Verifica la solución de las siguientes ecuaciones.

_ L +^ 4 „ x + 1 x -1 4

4.

X

x + 1

X+ 1

X

x

=3

x=2

Co m pren d er Encuentra la expresión por la que hay que m ultiplicar cada una de las siguientes ecuaciones para convertirla en una ecuación lineal.

5.

3 x

3

5

9.

2

x- 3 ►

_L_

1

* x-1

4

a

7.

5

2

3

x-1

x+1

10.

11.

►

1

x +1

2

3 x-5

x+3

5 x- 7

►

►

8. -L-+-2_ =l x- 1 x+1 4

2

_____ -_____ + ____________= ______2_____

12 *

►

2

x+5x +6

+

2

x+3x +2

2

x+4x +3

In t e r p r e t a r Plantea la ecuación correspondiente para cada uno de los siguientes problemas.

13.

Determina un número x tal que su recíproco sumado con 2 es Ecuación

► ______________________________________________________________________

m

14.

Determina un número Ecuación

15.

x tal que su recíproco

multiplicado por ^ es

► ______________________________________________________________________

Determina cuántas horas

(x) se demora

Beatriz en pintar una pared si Andrés se demora 3 horas y juntos se demoran 2 horas en

hacerlo. Ecuación

16.

► ______________________________________________________________________

Determina el número de personas

(x) que com ponen

un grupo que debe pagar una cuenta de $ 20.000, si se sabe que dos de

las personas del grupo no pagarán y el resto deberá pagar cada uno $ 2.000. Ecuación

► _____________________________________________________________ _________

Ap l ic a r Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias.

1

18.

x

V

J

23.

24.

A n a l iz a r Justifica por qué las siguientes ecuaciones no tienen solución real.

25. 2x±8 = 5

„ _____________________________

26. ><±2 = ?<±5

^

x+4

x+3

x+ 6

Justifica por qué las siguientes ecuaciones tienen infinitas soluciones.

27. 5x+ ^ = 5

^ ________________________________

x+2

28. 1+1 = 3+-* x

3

3x

►________________________________

x _ x+2 x + 2 x+ 4

3 x +4

4 x- 4

29.

1 O La suma del recíproco de un número con ^ es ¿Cuál es el número?

30.

Claudio y Daniela desean limpiar un terreno. Si lo limpian por separado, Claudio tarda 4 horas y Daniela 5 horas. ¿Cuánto se demorarán juntos?

31.

32.

r

A

V _____________________

)

La llave A llena una tina en 4 horas y ia llave A junto con la llave B la llenan en 3 horas. ¿Cuánto se demora en llenar la misma tina solo la llave B?

El numerador de una fracción es 2 unidades menor que el denominador, y si se le suma 1 al numerador y al denominador, se obtiene una fracción equivalente a

33.

km

¿Cuál es la fracción?3

Ernesto recorrió 240 a velocidad constante. Si hubiera ido a 10 ¿A qué velocidad viajó Ernesto?

km/h más rápido habría recorrido en el mismo tiem po 270 km.

Sistemas de ecuaciones In t e r p r e t a r Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente a cada uno de los siguientes problemas.

1.

2.

3.

Un número es 15 unidades mayor que otro. Si se resta 7 veces el menor del mayor resulta 1. Encuentra los números.

J

Re p r e s e n t a r En cada uno de los planos cartesianos gráfica los siguientes sistemas de ecuaciones.

4.

5.

3x - y = 7 x-y = 1

V

An a l i z a r Escribe el sistema de ecuaciones que aparece graficado en cada caso.

Cr e a r A partir de la pregunta, escribe un problem a que pueda resolverse con el sistema de ecuaciones propuesto. 8.

Pregunta: ¿Cuáles son las edades de María y de Patricia?

Sistema: m + p ~ 76 m - p = 28

9.

Pregunta: ¿Cuántos profesores y alumnos hay en el colegio?

Sistema:

8p = a p + a - 468

10.

Pregunta: ¿Cuáles son los dos números?

2x - y = 17 Sistema:

x - 3y = -5

Resolución de sistemas de ecuaciones A p l ic a r Resuelve gráficam ente los siguientes sistemas de ecuaciones en el plano cartesiano. 4x + y = 5 1.

► x=

3x - y = 9

2.

y=-

y = -2x + 1 3x - 2y = 6

► x =.

Y

o

0

6

i

Y

]0 Y

0

o

8

6

4

2

0

Resuelve cada sistema utilizando el m étodo indicado.

3.

4.

Por sustitución.

5.

Por igualación.

Por reducción.

y = 2x - 3

4x - y = 5

5x - 2y = 6

4x - y = 7

3x - y = 9

x + 2y = 2

► x=

r

y=

► x-

y—

► x-

^ r

J

v.

J

V

]o

Y

x+y = 6 ► x = _______

x -y = 4

,

2x + y = 6 5x - 2y = 3

8.

,

4x - y 5x + 3y

y =_

x =.

y=

x =.

y=

► x=

y=

7

11

5x - 2y = 1 2x + y = 4

10.

ax = 3ay ay = x - b

► x = ________

y =

► X = ___

y=

ax + y = 0

X-L.

x+y = b

f

A

V

J

A n a l iz a r Determina el núm ero de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas sin resolverlos. Justifica tus respuestas. 4x - 3y = 7

14

3x - y = 6

8x - 5 = 6y

2x - 4y = 3 4x - 8y = 6

3y = -2x + 2

15.

y = x+ 1 6x - 2y = 3

Analizar Marca con una

16.

Solución

el sistema correspondiente a la solución dada. ► x = 2 ,y= 1

Resuelve los siguientes sistemas.

17

x

y

► x =.

- - - = 11 x y

r

j =7

18.

y

5

VxTT

-

1-6

y

X= .

y-

Resolución de problemas que involucran dos variables A p l ic a r Resuelve los siguientes problem as utilizando sistemas de ecuaciones. 1.

En un restaurante sirven dos tipos de menú para el almuerzo. Si tres menús tipo A y dos del tipo B cuestan $ 16.500 y cuatro del tipo A y tres del tipo B cuestan $ 23.000, ¿cuánto cuesta cada uno de los menús?

2.

En un estacionamiento hay 123 vehículos entre automóviles y motos. SI en total se pueden observar 446 ruedas, ¿cuántos automóviles y cuántas motos hay?

3.

La suma de dos números es 20 y su diferencia es 16. Encuentra ambos números.

4.

El ancho de un rectángulo mide la cuarta parte de su largo y su perímetro mide 20 centímetros. ¿Cuál es el área del rectángulo?

5.

Un paquete con chocolates y trufas de un cuarto de kilo cuesta $ 3.300. SI el kilo de trufas cuesta $ 12.000 y el kilo de chocolates, $ 14.000, ¿cuántos gramos de cada tipo vienen en el paquete?

6.

Se tiene un número formado por dos dígitos, y la suma de ellos es 9. Si se invierten los dígitos, el nuevo número es 63 unidades mayor que el antiguo. ¿Cuál es el número?

(

N

V ___________________________ ________________________________________________________________________________________________________ )

7.

La suma de las edades de un padre y su hijo es igual a 74 años. Hace 5 años atrás, la edad del padre era cuatro veces la edad del hijo menos un año. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

r

V. 8.

Don Julio tiene invertidos $ 3.500.000 en fondos mutuos y en depósitos a plazo. El fondo mutuo paga un interés anual del 3 % y el depósito a plazo, del 2 % . Si don Julio recibió un total de $ 90.000 de intereses, ¿qué cantidad tiene invertida en cada instrumento financiero?

Modelación con funciones In t e r p r e t a r Responde las preguntas a partir del gráfico que muestra la relación entre el área y el perím etro de una circunferencia.

1.

¿A qué tipo de función corresponde este modelo?

2.

¿Cuál es la variable independiente en este caso?

3.

¿Cuál es la variable dependiente en este caso?

4.

¿Cuál será la medida aproximada del perímetro de una circunferencia si su área es de 4 cm 2?

5.

¿Cuál será el área aproximada de una circunferencia si su perímetro es de 10 cm?

6.

¿Cómo se interpreta el punto P?

7.

¿Es posible determinar, utilizando este gráfico, el perímetro de una circunferencia de área 15 cm 2?

In t e r p r e t a r Responde las preguntas a partir del gráfico que muestra la evolución de la población de una ciudad a lo largo de los años.

8.

¿A qué tipo de función corresponde este modelo?

9.

¿Cuál es la variable independiente en este caso?

10.

¿Cuál es la variable dependiente en este caso?

11.

¿Cuál fue la población de la ciudad el año 1950?

12.

¿En qué año la ciudad tuvo una población de 30.000 habitantes?

13.

¿Cómo se interpreta el punto Q?

14.

¿Qué población tendrá esta ciudad el año 2020?

15.

¿Es posible determinar, utilizando este gráfico, qué población tendrá esta ciudad el año 2030?

A p l ic a r Usando la información de cada enunciado responde las preguntas. La siguiente función relaciona el área y el perímetro de un triángulo equilátero.

P( A) = 3

donde A corresponde al área del triángulo equilátero y P(A) al perímetro del triángulo equilátero.

16.

¿A qué tipo de función corresponde este modelo?

17.

¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero cuya área es A = 4V3 cm 2?

19.

¿Qué ventajas ofrece tener la fórmula en vez del gráfico de un modelo?

La siguiente función relaciona el dinero depositado en una cuenta de ahorros con los años transcurridos.

A(c) = 24(log c - 4), donde c corresponde a la cantidad de dinero en la cuenta y A(c) a los años transcurridos.

20.

¿A qué tipo de función corresponde este modelo?

22 . ¿Cuántos años deberán pasar para que haya $ 100.000 en la cuenta?

La siguiente función relaciona el número de amebas y el tiem po transcurrido en un experimento. (1 )

N( t ) = 100 •2 3 , donde t corresponde al tiem po transcurrido (en horas) y N(t) al número de amebas que habrá. 2 3 . ¿A qué tipo de función corresponde este modelo?

2 4 . ¿Cuál será la población Inicial de este experimento?

25.

¿Cuántas amebas nuevas habrá luego de transcurridas 12 horas?

________ )

26.

¿Cuántas horas tendrán que transcurrir para que haya 3.200 amebas nuevas?

27 .

¿Cada cuánto tiem po se duplicará la población de amebas?

A n a l iz a r El siguiente gráfico relaciona el área con el perím etro de una fam ilia de polígonos semejantes. Con esta información responde las preguntas 28 a 31.

28.

¿A qué tipo de función corresponde este gráfico?

29.

Determina el valor de a si se sabe que el m odelo correspondiente a este gráfico es de la forma f(x ) = a Vx.

31.

SI se sabe que este polígono tiene 4 lados, ¿es posible deducir con la Información dada qué tipo de cuadrilátero es?

El siguiente gráfico relaciona la población de una ciudad con los años trascurridos a contar de 1950. Con esta información responde las preguntas 32 a 34.

Años transcurridos desde 1950

32.

Determina el valor de —

a y bsi se sabe que el m odelo correspondiente a este gráfico es de la forma f(x) = a •2bx.

________ ¿Cuál será el modelo final?

34.

¿Cada cuántos años se duplica la población de esta ciudad?

V

¡Avaluación I. Preguntas de alternativas Le e a t en t a m en t e cada uno de los en u n c ia d o s y EN LA HOJA DE RESPUESTAS DE LA PÁGINA 175.

r e s p o n d e m a rcand o l a a lt ern a t iv a correcta

1 . La población de mariposas, objeto de un estudio, se puede modelar con la fundón P(x) = 125 •5 °'5T, donde P es el número de mariposas y T es el tiem po en semanas que dura el estudio. ¿Cuál era la población de mariposas al comienzo del estudio? •

A. o B . 25

C.

125

D . 625

2.

¿Cuál es el recorrido de la función y = log2x?

A . Todos los reales.

B.

Todos los reales positivos.

C.

Todos los reales positivos y el 0 .

D . Todos los reales mayores o iguales a 2.

3.

¿Cuál es el dominio de

f(x) = 2 V3 - x?

A. x<3 B. x<¿

2

C. x > 3 D. x > 0

4.

Y

¿A qué función corresponde el gráfico?

A. B. C. S.

D. 2

0

X

5.

¿Cuál de las siguientes fracciones algebraicas se ¡ndefine en x = -4?

A.

6.

x- 4

B.

c.

x- 4 x

B. C. D.

1 3

2

2

D.

-16

5

X

2

x2 + 16

.?

2 ' 4 ' 8'

10 i_

16 _9_

12 _9_ 32

¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a

A.

X X

Si se mantiene el patrón, ¿cuál es el quinto término de la sucesión

A.

7.

X

2 a -1

B.

2 a-1

- i ?

c.

2 a(2a - 1 )

a-1 a(2a-1)

D. ■a + 1 a(2 a - 1 )

8 . ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a - + — •-?

m mp

A.

9.

_6_ m

¿Cuál de las siguientes proposiciones es correcta con respecto a las soluciones de la ecuación

A . No tiene soluciones. B . Tiene una única solución real. C. Tiene dos soluciones reales. D. Tiene infinitas soluciones reales.

D.

mp

= 4?

Avaluación 1 0 . Pedro tarda x minutos en cortar el pasto de su jardín y Juan se demora el doble. Si juntos tardan 20 minutos, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar lo que se demora Pedro trabajando solo? _ 1 A. JL _ 1 2x

x

B. - U l 2x

C. 2x

x

20 1 20

x -= 20

D . 2x + x = 20

11. El perímetro de un rectángulo mide 24 cm y el largo es el doble más 3 cm que el ancho. ¿Cuál es el largo del rectángulo? A. 3 B. 7 C. 9 D . io

12.

¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones

4x - y = 7 ? 4x + y = 11 '

A. o B. 1 C. 2 D . Infinitas.

13.

¿Cuál es el sistema de ecuaciones que resuelve el siguiente problema? Fernando y Patricia son hermanos. Fernando es cuatro años mayor que Patricia. Hace tres años, el doble de la edad de Patricia menos un año era igual a la edad de Fernando. ¿Cuál es la edad de Patricia?

A.

f +4 = p 2p —1 = f

f- p = f - 2p = -4

C

P~f=4 2p - 2 = f

D.

f-4 = p 2p + 1 = f

14.

La siguiente función permite determinar la población de una ciudad en un año determinado desde 1980 en adelante. _t_

P(t) = 10.000 •220, donde t corresponde a los años transcurridos desde 1980 y P(t) es la población de la ciudad. ¿Cuál de las siguientes opciones permite calcular la población que tendrá esta ciudad el año 2020?

A . 10.000-22 B . 10.000-22020 C. (10.000-2)2 D . (10.000-2)2020

Preguntas de desarrollo. Respo

15.

n d e e n t u h o ja d e r e s p u e s t a s d e l a p á g in a

17 6 .

Tomás y Nicolás convirtieron 14 penales durante la última temporada. Nicolás anotó el doble de los penales que Tomás menos cuatro. ¿Cuántos penales convirtió cada uno?

16.

El siguiente gráfico relaciona la capacidad de un grupo de estanques cilindricos de altura constante con el radio de los estanques:

¿Cuál es la altura constante de estos cilindros? (Recuerda que el volum en de un cilindro se calcula con la fórmula

V = 71 •r2 •h).

oja de respuestas A

n t e s d e c o n t e s t a r la s e v a l u a c io n e s d e c a d a u n id a d

,

l e e a t e n t a m e n t e l a s in s t r u c c io n e s

.

In stru ccio n es

• Las evaluaciones tienen entre 10 y 16 preguntas. • En las evaluaciones hay preguntas de alternativas y de desarrollo. • Ambos tipos de preguntas se co n testa n en la h oja de resp u estas correspondiente a la unidad. • La hoja de respuestas se completa de la siguiente forma:

.

• Usa solo lá piz grafito para contestar y si te equivocas usa goma de b o r r a r . • Ten pr esen t e que para la evaluación se co nsiderarán exc lu siv a m en te las respuestas marcadas EN LA HOJA DE RESPUESTAS. • Cuida la h o ja de respu est a s . No la dobles n i la m a n ip u les in n e c e sa r ia m e n t e . Si bo rra s , l ím pia la DE LOS RESIDUOS DE GOMA.

Nombre:___________________________________________ Curso:

Preguntas de alternativas (Páginas 4 4 - 47)

1.

AO

BO

CO

DO

2.

AO

BO

CO

DO

3.

AO

BO

co

DO

4.

AO

BO

co

DO

5.

AO

BO

co

DO

6.

AO

BO

co

DO

7.

AO

BO

co

DO

8.

AO

BO

co

DO

9.

AO

BO

co

DO

10.

AO

BO

co

DO

11.

AO

BO

co

DO

12.

AO

BO

co

DO

13.

AO

BO

co

DO

14.

AO

BO

co

DO

Fecha:

P regu n tas de desarrollo (P ágin a 4 7 ) 15.

Basán do te en el en u n c ia d o d e la p reg un ta 14, ¿cuál será la magnitud de un sonido cuya intensidad fue de

1(T10 vatios/m 2?

i

16.

V

----

Resuelve la ecuación <¡x + 3 - Vx + 27, mostrando todos los pasos.

Nombre:___________________________________________ Curso:

Preguntas de alternativas (Páginas 8 2 y 83)

1.

AO

BO

CO

DO

2.

AO

BO

CO

DO

3.

AO

BO

CO

DO

4.

AO

BO

CO

DO

5.

AO

BO

co

DO

6.

AO

BO

co

DO

7.

AO

BO

co

DO

8.

AO

BO

co

DO

Fecha:_____

P regu n tas de d esarrollo (P ág in a 8 3 )

9.

En una familia la probabilidad de ser adulto es ^ y la probabilidad de ser mujer es

Si ambos eventos son

independientes y se elige un miembro de esta familia al azar,

a. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto y mujer? b. ¿cuál es la probabilidad de que sea adulto o mujer?

m

..........................................................“ ................"..... '..................... "... “ ........................

10 .

De una población se eligieron aleatoriamente

8 muestras, cuyos promedios fueron:

4,8 - 4,2 - 4,6 - 4,0 - 3,9 - 4,1 - 3,8 - 4,2

¿Qué se puede inferir sobre la media de la población?

V

.................\

Nombre:___________________________________________ _ Curso:______Fecha:

Preguntas de alternativas (Páginas 1 2 2 - 1 2 5 )

1.

AO

BO

CO

DO

2.

AO

BO

CO

DO

3.

AO

BO

CO

DO

4.

AO

BO

CO

DO

5.

AO

BO

co

DO

6.

AO

BO

CO

DO

7.

AO

BO

co

DO

8.

AO

BO

co

DO

9.

AO

BO

co

DO

10.

AO

BO

co

DO

11.

AO

BO

co

DO

12.

AO

BO

co

DO

N o m b re :__ ______________________________________________ _ Curso:

Fecha:

Preguntas de alternativas (Páginas 1 6 4 -1 6 7 )

1.

AO

BO

CO

DO

2.

AO

BO

CO

DO

3.

AO

BO

CO

DO

4.

AO

BO

CO

DO

5.

AO

BO

co

DO

6.

AO

BO

CO

DO

7.

AO

BO

co

DO

8.

AO

BO

co

DO

9.

AO

BO

co

DO

10.

AO

BO

co

DO

11.

AO

BO

co

DO

12.

AO

BO

co

DO

13.

AO

BO

co

DO

14.

AO

BO

CO

DO

é

P regu n tas de d esarrollo (P ág in a 1 6 7 )

15.

Tomás y Nicolás convirtieron 14 penales durante la última temporada. Nicolás anotó el doble de los penales de Tomás menos cuatro. ¿Cuántos penales convirtió cada uno?

16.

El siguiente gráfico relaciona la capacidad de un grupo de estanques cilindricos de altura constante con el radio de los estanques:

Volumen (cm3) ¿Cuál es la altura constante de estos cilindros? (recuerda que el volum en de un cilindro se calcula con la fórmula

V = n ■r2 •h).

La evaluación es parte de la vida estudiantil. También lo es de quienes trabajan, practican un deporte o, simplemente, planifican una actividad familiar. En todos los casos, ponemos en juego nuestras capacidades intelectuales, emocionales, técnicas y sociales. El desarrollo de estas contribuye al progreso de las personas. TEA S Matemática evalúa las capacidades relacionadas con los ejes: Números, _

r

Datos y Azar, Algebra y G eom etría. P o r ejemplo, de representar y operar con cantidades, medir objetos geométricos básicos en dos y tres dimensiones, organizar y analizar datos obtenidos en diversas fuentes de información. En el S IM C E los estudiantes deben dem ostrar que han adquirido estas capacidades.

La familia, el

colegio y Santillana

acompañan tu formación

La salud y la seguridad también son parte de tu educación

SANTILLANA