Flessione Composta Sv

DIDATTICA DI DISEGNO E PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA ING. LAURA SGARBOSSA

MODULO QUATTRO IL PROBLEMA DELLA TRAVE DI DE SAINT VENANT (PARTE D)

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MODULI PER LO SPECIALIZZANDO

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Modulo 04

IN QUESTO MODULO: IL PROBLEMA DELLA TRAVE DI DE SAINT VENANT; I QUATTRO CASI FONDAMENTALI (continua)

4 Flessione composta

4 Flessione composta La flessione composta, secondo il riferimento di figura 17, è caratterizzata da uno sforzo di taglio T y , costante lungo tutta la trave, applicato alle teste della trave stessa. In caso di simmetria della sezione rispetto agli assi, all’interno si crea un momento M x , incostante, (e questa incostanza lo rende diverso dal caso della flessione semplice), che equilibra il momento Tl , solo ad una delle basi; il momento M x quindi, garantisce l’equilibrio alla rotazione, attorno all’asse x.

figura 17 In caso di non simmetria rispetto ad un asse, come per esempio nel caso di un profilo a “C”, e quindi nel caso che lo sforzo T y non è applicato al baricentro della sezione, si introduce una coppia torcente M t = M z , applicata ad entrambe le teste e dipendente da

T y ; è interessante precisare che tale coppia se lo sforzo T y è applicato nel centro di taglio [6], relativo alla sezione trasversale, da un punto di vista della deformazione non genera effetti torsionali, cioè rotazioni relative delle sezioni trasversali, intorno all’asse z longitudinale. In conclusione i parametri di sollecitazione diversi da zero sono: T y , M x , M z = M t .

In termini di componenti indipendenti dello stato di tensione, nei punti generici della sezione trasversale, l’ipotesi di soluzione analitica di De Saint Venant è:

σ z = C1 yz = Eb1 yz

τ zx = B1 (−

56a)

∂ϑ ( x, y ) 2 xy + 1 ) m ∂x

τ zy = B1 (− y 2 +

∂ϑ1 ( x, y ) ). ∂y

56b)

56c)

Si devono trovare ora, le costanti C1 e B1 : ricordando che E è il modulo elastico (o di Young), del materiale, ϑ1 è la funzione armonica legata agli effetti tangenziali, cioè assicura che gli sforzi τ del contorno non abbiano componenti ortogonali alla superficie, e sapendo che le costanti C1 e B1 sono tra loro così collegate: C1 2(m + 1) E = = , B1 m G

cioè proporzionali ad uno stesso coefficiente chiamato b1 , allora si ha: C1 = Eb1 B1 = Gb1 .

Si consideri ora il parametro di sollecitazione M x , nella sezione trasversale di ascissa z, che risulta: M x = ∫ σ z ydA = ∫ C1 y 2 zdA = C1 z ∫ y 2 dA = C1 J x z = Eb1 J x z A

⇒ Eb1 =

A

Mx Mx = Jxz J Mz x

A

= Ty

Ty Jx

⇒ b1 =

Ty EJ x

;

⇒ C1 = Eb1 =

⇒ B1 = Gb1 =

57a)

Ty Jx GT y EJ x

;

=

57b)

Ty m 2(m + 1) J x

.

57c)

Si possono ora riscrivere le soluzioni del problema di flessione composta, in funzione dei parametri di sollecitazione ottenendo:

σz =

τ zx =

τ zy =

Ty Jx

yz

mT y 2(m + 1) J x mT y 2(m + 1) J x

58a)

(−

∂ϑ ( x, y ) 2 xy + 1 ) m ∂x

(− y 2 +

∂ϑ1 ( x, y ) ) ∂y

58b)

58c)

Si hanno parametri caratteristici del materiale (m = costante elastica), che compaiono nelle tensioni e poiché si ha: T y = Eb1 J x

una volta assegnati i parametri delle teste della trave e le condizioni al contorno, cioè la sollecitazione T y , si ottiene subito la costante b1 ; essendo poi il momento M x legato a T y da M x = T y z , esiste il momento torcente M z . La soluzione esatta della flessione composta di De Saint Venant risulta piuttosto laboriosa e scomoda per la dipendenza del materiale. Di solito è preferibile risolvere il problema con una trattazione approssimata che fornisce uno strumento operativo più pratico e utilizzabile.

Nella trattazione approssimata, che impone le sole condizioni di equilibrio, si considera un piccolo cilindretto interno ad una generica trave e si nota che alle teste del cilindretto estratto, agisce una forza σ z variabile, poiché lo è il momento M x ed è σ z e σ z +

∂σ z dz ; ∂z

all’interno del cilindretto si avranno una serie di τ xz e le reciproche τ zx .

figura 18a

figura 18b Sia c la lunghezza del contorno, facendo l’equilibrio alla traslazione lungo la direzione z, la differenza tra la risultante degli sforzi σ z alle basi, dovrà equilibrare la risultante degli sforzi τ nz integrati sulla superficie laterale del cilindretto:

∫τ c

xz

∂σ z dzdA ⇒ integrando e sostituendo la 58a) a destra dell’uguale, si ha: A ∂z

dzds = ∫

Ty Ty Ty ∂ T y zy ydA = ydA = ( )dA = ∫ Sx ∫ A ∂z A J Jx Jx A Jx x

τ xz c = ∫

in conclusione poiché vale il principio di reciprocità:

τ xz =

Ty S x cJ x

= τ zx

59)

ed è detta formula di Jurawski. Si nota subito che il valore

Ty cJ x

è costante quindi, i termini τ nz variano secondo la

distribuzione dei momenti statici che possono avere andamento di tipo lineare o parabolico: S x = f ( y) Sx = f (y2 ) .