Flujo Potencial

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MECANICA DE FLUIDOS I TEORÍA DE FLUJO POTENCIAL

INTRODUCCIÓN: En mecánica de fluidos, flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad. Como resultado, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidades irrotacional, que esuna aproximación válida para varias aplicaciones. La irrotacionalidad de un flujopotencial es debido a la curvatura de un gradiente de estar siempre igual acero.

En el caso de un flujo incompresible el potencial de velocidad satisface laecuación de Laplace, y la teoría del potencial es aplicable. Sin embargo, los flujos de potenciales también se han utilizado para describir los flujoscompresibles. El enfoque de flujo de potencial se produce en el modelado detanto estacionaria, así como los flujos no estacionarios.Las aplicaciones de flujo potencial son, por ejemplo: el campo de flujo exteriorde perfiles aerodinámicos, ondas de agua, flujo electroosmótica, y el flujo de lasaguas subterráneas. Para flujos con efectos vorticidad fuertes, el potencial deflujo de aproximación no es aplicable

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MECANICA DE FLUIDOS I 1.- TEORIA DEL FLUJO POTENCIAL

La teoría de flujo potencial pretende describir el comportamiento cinemático de los fluidos basándose en el concepto matemático de función potencial, asegurando que el campo de velocidades (que es un campo vectorial) del flujo de un fluido es igual al gradiente de una función potencial que determina el movimiento de dicho fluido: ⃗ = −∇∅ 𝑉 Donde el campo de velocidades queda definido como. ⃗ = 𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂ + 𝑤𝑘̂ 𝑉 El signo menos en la ecuación de arriba es sólo una convención de signos sobre la definición de ∅ . ∅puede definirse sin el signo menos y la formulación que se obtendría sería la misma. A un fluido que se comporta según esta teoría se le denomina fluido potencial, que da lugar a un flujo flujo potencial. Una de las primeras personas en aplicar esta formulación para el flujo de un fluido fue D'Alembert. Él estudió la fuerza de resistencia producida por un flujo de fluido sobre un cuerpo que se oponía a éste en dos dimensiones cuando este problema era completamente enigmático y Newton, a pesar de haberlo estudiado, no había llegado a conclusiones satisfactorias. D'Alembert definió la función de corriente, Ѱ , para describir la trayectoria que tuviera cada partícula de un fluido a través del tiempo. Esta función corriente está determinada, en el plano, por dos variables espaciales y para cada valor de Ѱ la igualdad Ѱ = Ѱ(x, y), determina un lugar geométrico llamado línea de corriente.

1.1-

La Naturaleza de Ѱy su relación con ∅

Primeramente definiremos la función corriente en el plano, para luego explicar sus características. La función se define como aquella que cumple con las siguientes condiciones: 𝜕Ѱ 𝜕Ѱ = uy = −𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑥

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Las líneas de corriente determinan la trayectoria de una partícula de fluido que se encuentra sobre éstas. Así, por ejemplo, si una partícula de fluido se halla sobre la línea equipotencial de Ѱ = 3, tendrá una trayectoria que se situará exactamente sobre el lugar geométrico que determinará la igualdad Ѱ(x, y) = 3(línea de corriente=trayectoria es debido a que contemplamos un movimiento plano independiente de t "ψ(x,y)"). Esta propiedad de las líneas de corriente exige que las funciones Ѱy ∅estén "sincronizadas", ya que la velocidad en cualquier punto del flujo de fluido será siempre tangente a la trayectoria de la línea de corriente. Fácilmente se puede demostrar que la familia de curvas determinadas por la función corriente y la función potencial de velocidades forman una red ortogonal, como se verá a continuación: Partimos del diferencial total de la función ∅:

𝐝∅ =

𝝏∅ 𝝏∅ 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚

Así en cualquier curva equipotencial ∅ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆se cumplirá que 𝝏∅ 𝝏∅ 𝒅𝒙 + 𝝏𝒚 𝒅𝒚 𝝏𝒙

=𝟎

Esto implica que: 𝐝𝐲

(𝒅𝒙)

∅=𝒄𝒕𝒆

=

−𝒖 𝒗

La misma propiedad se aplica a cada línea de corriente: 𝝏Ѱ 𝝏Ѱ 𝒅𝒙 + 𝝏𝒚 𝒅𝒚 𝝏𝒙

=𝟎

y 𝐝𝐲

(𝒅𝒙)

Ѱ=𝒄𝒕𝒆

𝒖

=𝒗

por lo cual de determina que: 𝐝𝐲 𝐝𝐲 ( ) = −( ) 𝒅𝒙 Ѱ=𝒄𝒕𝒆 𝒅𝒙 ∅=𝒄𝒕𝒆

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Esta propiedad de ambas funciones permite intercambiarlas para generar otros patrones de flujo y, como las líneas de corriente no pueden cortarse entre sí, no existe ningún caudal que las atraviesa perpendicular a éstas. Esto permite suponer a las líneas de corriente límites materiales, es decir, paredes u obstáculos que restringen o determinan el flujo que se desea estudiar. Esto ya lo supuso D'Alembert al estudiar el efecto de empuje de un flujo corriendo sobre un objeto que lo obstaculiza. Estudiando las propiedades de la función corriente y la función potencial determinó que podían superponerse para generar así un patrón de fluido que combinara diversos movimientos. Superponiendo una fuente y un sumidero de igual caudal obtuvo una circunferencia, que combinó con un flujo uniforme para modelar el flujo de fluido sobre un cilindro de longitud infinita. Una vez obtenido esto, demostró que la suma de las presiones sobre el cilindro se anulaban, lo que hacía que la fuerza resultante sobre el cilindro fuera cero. Esta es la llamada paradoja de D'Alembert.

1.2-

MEDIDAS DE LA VISCOSIDAD

La viscosidad de un fluido puede medirse por un parámetro dependiente de la temperatura llamado coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad: Coeficiente de viscosidad dinámico, designado como η o μ. En unidades en el SI: [µ] = [𝐏𝐚 · 𝐬] = [𝐤𝐠. 𝒎−𝟏 . 𝒔−𝟏 ]; otras unidades: 𝟏 𝒑𝒐𝒊𝒔𝒆 = 𝟏 [𝑷] = 𝟏𝟎−𝟏 [𝐏𝐚 · 𝐬] = [𝟏𝟎−𝟏 𝐤𝐠. 𝒔−𝟏 . 𝒎−𝟏 ] Coeficiente de viscosidad cinemático, designado como ν, y que resulta ser igual al cociente entre el coeficiente de viscosidad dinámica y la densidad del fluido. ν = μ/ρ. (En unidades en el SI: [ν] = [𝑚2 . 𝑠 −1]. En el sistema cegesimal es el stokes (St).

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En dinámica de fluidos, flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad. Como resultado, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidades irrotacional, que es una aproximación válida para varias aplicaciones. El irrotationality de un flujo potencial es debido a la curvatura de un gradiente de estar siempre igual a cero. En el caso de un flujo incompresible el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace, y la teoría del potencial es aplicable. Sin embargo, los flujos de potenciales también se han utilizado para describir los flujos compresibles. El enfoque de flujo de potencial se produce en el modelado de tanto estacionaria, así como los flujos no estacionarios. Las aplicaciones de flujo potencial son, por ejemplo: el campo de flujo exterior de perfiles aerodinámicos, ondas de agua, flujo electroosmótica, y el flujo de las aguas subterráneas. Para flujos con efectos vorticidad fuertes, el potencial de flujo de aproximación no es aplicable. Características y aplicaciones

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MECANICA DE FLUIDOS I 1.3-

DESCRIPCIÓN Y CARACTERÍSTICAS

En dinámica de fluidos, un flujo potencial se describe por medio de un potencial de velocidad f, que es una función del espacio y el tiempo. La velocidad de flujo v es un campo vectorial igual al gradiente, del potencial de velocidad f: A veces, también la definición v = - f, con signo negativo, se utiliza. Pero aquí vamos a utilizar la definición anterior, sin el signo menos. De cálculo vectorial se sabe, que el enrollamiento de un gradiente es igual a cero: y en consecuencia, la vorticidad, el rizo del campo de velocidad v, es igual a cero:

Esto implica que un potencial de flujo es un flujo irrotacional. Esto tiene consecuencias directas sobre la aplicabilidad de flujo potencial. En las regiones de flujo de vorticidad, donde se sabe que son importantes, tales como estelas y capas límite, la teoría del flujo potencial

no

es

capaz

de

proporcionar

predicciones

razonables

del

flujo.

Afortunadamente, hay a menudo grandes regiones de un flujo donde el supuesto de irrotationality es válida, por lo que el flujo de potencial se utiliza para diversas aplicaciones. Por ejemplo, en: flujo alrededor de los aviones, el flujo de las aguas subterráneas, la acústica, las ondas de agua y el flujo electroosmótica.

1.4.- APLICABILIDAD Y LIMITACIONES Flujo potencial no incluye todas las características de las corrientes que se encuentran en el mundo real. Por ejemplo, el flujo de potencial excluye la turbulencia, que se encuentra comúnmente en la naturaleza. Además, la teoría de flujo potencial no se puede aplicar para los flujos internos viscosos. Richard Feynman considera el flujo potencial de ser no físico que el único líquido que obedecer las premisas era "agua seca". Flujo potencial incompresible también hace una serie de predicciones válidas, como d'Alembert paradoja, que establece que la fricción en cualquier objeto que se mueve a través de un fluido infinito de otro modo en reposo es cero. Más precisamente, el flujo de potencial no puede explicar el comportamiento de los flujos que incluyen una capa límite. Sin embargo, la comprensión de flujo potencial es importante en muchas ramas de la mecánica de fluidos. En particular, simples flujos potenciales, tales como el vórtice libre y el punto de origen poseen soluciones analíticas preparadas. Estas soluciones pueden

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superponerse para crear flujos más complejos que satisfacen una variedad de condiciones de contorno. Estos flujos se corresponden estrechamente con las corrientes de la vida real sobre el conjunto de la mecánica de fluidos y, además, surgen muchas ideas valiosas al considerar la desviación entre el caudal observado y el flujo potencial correspondiente.

Flujo potencial encuentra muchas aplicaciones en campos como el diseño de aeronaves. Por ejemplo, en la dinámica de fluidos computacional, es una técnica para acoplar una solución de flujo potencial fuera de la capa límite a una solución de las ecuaciones de capa límite dentro de la capa límite. La ausencia de efectos de capa límite significa que cualquier línea de corriente puede ser sustituido por un límite sólido con ningún cambio en el campo de flujo, una técnica que se utiliza en muchos enfoques de diseño aerodinámico. Otra técnica sería el uso de sólidos Riabouchinsky. Análisis para el flujo de dos dimensiones Potencial de flujo en dos dimensiones es simple para analizar el uso de mapeo conforme, por el uso de transformaciones del plano complejo. Sin embargo, el uso de números complejos no es necesario, como por ejemplo en el análisis clásico de flujo de fluido más allá de un cilindro. No es posible resolver un flujo potencial utilizando números complejos en tres dimensiones.

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MECANICA DE FLUIDOS I 1.5.- FLUJO POTENCIAL INCOMPRESIBLE.

En el caso de un flujo incompresible - por ejemplo de un líquido, o un gas a bajos números de Mach; pero no para las ondas sonoras - la velocidad v tiene cero divergencia: con el punto que denota el producto interior. Como resultado, el potencial de velocidad f tiene que satisfacer la ecuación de Laplace donde es el operador de Laplace. En este caso, el flujo se puede determinar por completo de su cinemática: los supuestos de irrotationality y cero divergencia del flujo. Dinámica sólo tienen que ser aplicados después, si se está interesado en presiones de computación: por ejemplo, para el flujo alrededor de superficies de sustentación a través del uso del principio de Bernoulli. En dos dimensiones, flujo potencial se reduce a un sistema muy simple que se analiza usando el análisis complejo. 1.5.1. Condiciones de borde para Flujo Potencial.

Las condiciones necesarias que vamos a tomar en este caso son que el flujo considerado sea: a.- Incompresible,  = Cte, o bien si es un gas por ejemplo aire, el número de Mach M< 0.3, es decir la suposición de flujo incompresible , cosa que es válida para aerodinámica subsónica. 

V b.- Permanente,  0 para todo el campo de flujo en estudio. De esto se t

desprende que, como la ecuación diferencial de la continuidad era : 



  V V  grad   V  0    grad  V  0  t t

a partir de las condiciones a y b, deducimos entonces que: 



grad V  0  div V  0 

c.- Irrotacional, rot V  0

d.- Análisis 2D o sea bidimensional.

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Llamamos movimiento bidimensional a aquel en que cada partícula se mueve paralelamente a un plano fijo, (x,y)

y las velocidades de todas las partículas

correspondientes en profundidad, tienen la misma velocidad y dirección. Es decir el campo es de vectores paralelos homólogos en z desde -∞ a + ∞ .

A veces a este espacio donde la ocurrencia del los campos de velocidades y presiones se repite sin cambios para todos los planos homólogos paralelos a (x,y) desde -∞ a + ∞ se lo llama 2.D.

La restricción a dos dimensiones, asegura un análisis matemático fácil de manejar, aunque el potencial de velocidad se puede definir para cualquier flujo irrotacional, incluso en 3D, el término se asocia en general a flujo incompresible irrotacional en dos dimensiones. Ejemplo: el flujo en torno a un cilindro infinito por una corriente que lo embiste puede ser estudiado con análisis 2D, para el análisis del flujo en torno a una esfera se requiere análisis 3D. 1.5.2- Definición de Potencial de Velocidades.

Aplicando las condiciones c y d junto con la definición de rotacional, y llamando u y v a las componentes de la velocidad de la partícula en movimiento 2D:

i  rot V  x u 

j  y v

j  v u    v u    0     k  0      0 z  x y   x y  0

Si para este campo de velocidades, podemos encontrar una función escalar Φ que haga cumplir la condición anterior, debería ser:  x  v y

u

 u 2 2     x    0 o también   xy yx v y

2 2       0 xy yx

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

Es decir el campo de velocidades se puede tomar: V  grad o bien V   grad

Esta condición se cumple si Φ es una función continua y derivable con continuidad. A tal campo escalar se lo llama Potencial del campo vectorial de velocidades inicial si es que existe, o Función Potencial,.

La aplicación de la ecuación diferencial de la continuidad dará:





grad  V  0  div V  0 

 2  2  0 x2 y 2

lo que indica también que el campo escalar o Función Potencial es una función armónica, (recordamos que una función armónica es aquella que satisface para un campo escalar la ecuación de Laplace  2  0 ).

1.5.3- La Función Corriente.

En flujo incompresible permanente, no pude fluir materia a través de las líneas de corriente ya que por definición las velocidades de las partículas son tangentes a ellas, o sea que se cumple con: 



V  ds  0

para toda trayectoria diferencial ds sobre la línea de corriente, de la cual se deducen las ecuaciones de las líneas de corriente en este caso bi-dimensional según vimos en el Módulo 1, que para el caso 2D es:

dy v  dx u Además por lo indicado por la Ecuación de Continuidad, entre dos líneas de corriente dadas circulará un caudal único. En la Fig 2.3.1 hemos representado dos líneas de corriente en flujo bi-dimensional, y dos curvas arbitrarias entre los puntos 1 y 2, es fácil

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ver que el caudal que atraviesa estas zonas entre las posiciones 1 y 2 es igual para ambas curvas, y su valor lo llamamos q12 =Ψ2 - Ψ1, los valores de Ψ2 y Ψ1 son arbitrarios siempre que Ψ2 - Ψ1 = q12es decir Ψ2 y Ψ1son valores funcionales arbitrarios siempre que la diferencia sea el valor del caudal entre ambas líneas de corriente. En general a Ψ se la llama función corriente.

Fig.2.3.1

Cabe acotar que cada una de las curvas dibujadas, puede imaginarse como la directriz de una superficie cilíndrica de generatrices paralelas al eje z, por lo cual la región limitada entre las dos superficies Ψ, da lugar a un volumen cilíndrico paralelo al eje z, como el flujo es incompresible, y por la ecuación de continuidad, el caudal que pasa por la superficie 1-2 izquierda es igual al que pasa por la superficie 1-2 derecha o sea q12i = q12d, en lo cual hemos llamado q al caudal másico por unidad de profundidad z. Con la anterior definición no hay duda de que a las líneas de corriente las podemos caracterizar por funciones Ψ (x , y)= C y por tanto:    dy  x dx  dy  0    x y dx y

como por la definición de línea de corriente bi-dimensional era a su vez:

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dy v  dx u comparando ambos resultados,

 x  u y v

haciendo referencia a la figura, para el caudal a través de cada porción diferencial de la curva 1- 2, el pasaje a velocidad

u

por dy, aumenta el caudal, mientras que la

componente v que pasa por dx lo disminuye, estos se puede observar en la viñeta de la figura tendremos entonces:

2



q  udy  vdx  12 1

2

 1

  dy  dx  d   2   1 y x 1 2



Siendo Ψ2 - Ψ1 = q12 un valor constante, resulta evidente que Ψ2 y Ψ1también lo son individualmente, y como estamos trabajando con flujo bi-dimensional y ambas funciones representan líneas de corriente, podemos deducir que siempre las funciones de corriente tendrán la forma Ψ(x,y) = C.

Otra forma más matemática de demostrar esto es a partir de la definición de línea de corriente bi – dimensional viñeta de la figura

dy v podemos escribir: udy  vdx  0 pero como se ve en la  dx u

2.2.1 u es una función solamente de y , análogamente v lo es

únicamente de x por lo que podemos escribir a partir de:

udy  vdx  0 como u  f(y) v  f ( x) 





f ( y )dy  f ( x)dx  0  d f ( y )dy  d f ( x)dx  d (Cte)  0 

 f ( y)dy   f ( x)dx  (Cte)   ( x, y)  Cte

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ya que la diferencia de las integrales anteriores será una función de las variables combinadas x e y.

Ejemplo: Supongamos el caso particular de la distribución para el campo de velocidades siguiente: u  y   ydy  xdx  0  v  x

 ydy   xdx  0 

y2 x2  Cte  2 2

A su vez, por la condición de irrotacionalidad, aplicada a este caso,



rot V  (

 2  2  2  2 dv du  )0  0  0 dx dy x 2 y 2 x 2 y 2

de donde deducimos por esta última condición que Ψ es también una función armónica, ya que cumple con la ecuación de Lapalace:  2  0 .

1.5.4- Relación entre el Potencial de Velocidad y la Función de Corriente.

Como de acuerdo a las definiciones anteriores resulta:     u  x  y         v v y  x 

u

   x y    y x

Estas dos últimas expresiones se conocen como identidades de Cauchy – Riemann . Como para ambas funciones según vimos se cumple que

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MECANICA DE FLUIDOS I    dx  dy  0  x y     dx  dy  0  x y  dy x    dx   k y    dy y  x     dx   c  y x

1        x      y 



1 dy dx   k

Con lo cual vemos que las tangentes son ortogonales ya que en el punto común A las coordenadas de los puntos Ψ = c , y Φ = k son idénticas y los segundos miembros de las ecuaciones anteriores son uno recíproco del otro y con signo opuesto. O sea las líneas equipotencial

y de corriente para un punto se cortan ortogonalmente, como A es

arbitrario, concluimos que la totalidad de las líneas de ambas familias conforma una red ortogonal.

Fig.2.3.2

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1.5.5.- Propiedades de los flujos potenciales. Podemos definir las siguientes: a.- Las familias Ψ = c , y Φ = k son curvas ortogonales. b.- las ecuaciones: 

div V  0 

rot V  0

dan lugar a:

2  0 2  0

O sea que las funciones potencial y corriente deben satisfacer las condiciones de armonicidad, por tanto deben ser continuas, y derivables con continuidad.

c.- Como vimos, la ecuación diferencial de la cantidad de movimiento, da lugar a la ecuación de Bernuolli para línea de corriente, es decir los lugares, Ψ = c la cumplen, y por ello es posible conociendo la malla o familia de Ψ = c determinar el campo de presiones.

d.- Como vimos la aplicación del primer principio a un volumen de control que contenga un tubo de corriente, conduce a la ecuación de Bernuolli, o sea que si se satisface para flujo potencial la ecuación de cantidad de movimiento, también se satisface la de energía

e.- El segundo principio en ausencia de fricción y por tanto procesos irreversibles de trasmisión del calor, no agrega restricciones.

f.- Además de ser armónicas las funciones de corriente y potencial de velocidades de un flujo potencial no deben violar las condiciones de pared si hay un obstáculo. La condición de obstáculo es que sobre la superficie límite, las velocidades normales deben ser nulas ya que el obstáculo en si debe ser tomado como una línea de corriente límite al ser bañado por una corriente, y no puede pasar flujo a través de ella, no obstante no hay restricción a la velocidad tangencial aún sobre la pared ya que el flujo ideal no se adhiere

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a la pared, y aquí no se presenta el fenómeno de capa límite.

Tome en cuenta que los flujos potenciales son una idealización matemática cuyo rango de aplicación con poco error, es la obtención de los campos de velocidades y presiones en las proximidades de los objetos pero no en regiones tan próximas como el entorno de las capas límites reales donde el error sería apreciable. Llamando con el subíndice b a los puntos sobre un obstáculo sólido será entonces (en referencia a la Fig 2.4.1.).:     n   0  b     s   0  b

y a gran distancia del obstáculo:       u  Vo        x  x   y    y  x   y  

En las proximidades del obstáculo, el campo de velocidades viene dado por:

  ux  vy   uy  vx

Fig:2.4.1.

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MECANICA DE FLUIDOS I 1.5.6.- Patrones de Flujo Simples.

1.5.6.1. Flujo Uniforme. 

Supongamos que el flujo venga definido por el campo



V  Vo i , en este caso las

componentes de velocidad del campo son:

u  Vo v0 de donde:

   Vo x      Vodx  Vox  C1  v 0   y   u  Vo  y      Vody  Voy  C 2  v  0  x

u





Los dos resultados anteriores dan lugar a una malla ortogonal, dibujada en la Figura 2.5.1. Probemos primero al efecto de verificar que los campos Ψ = c , y Φ =k   2  Vo  0 x xy   2 0 0 y xy

por tanto se satisface la condición de armonicidad, y análogamente se demuestra para Ψ =c En este caso el caudal entre dos líneas de corriente será: 2

 1,2   d   2   1  Voy 2  Voy1  Vo( y 2  y1) 1

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Fig.2.5.1

1.5.6.2.- Fuente y Sumidero. Estos casos son singularidades en los cuales las líneas Ψ son radiales con sentido desde y hacia el origen respectivamente y Φ son circunferenciales concéntricas y ortogonales a las primeras. Las ecuaciones a las que responden los campos respectivos son: Q  ln r   2   Fuente Q     2 Q    ln r   2   Sumidero Q     2 



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en la cual las coordenadas polares se han tomado:

r

x2  y 2

  arc tg yQ

y x

es el caudal másico o intensidad de la Fuente o

Sumidero.

En la figura, para Fuente Vr es saliente del origen, en el Sumidero, Vr es entrante hacia el origen.

Fig.2.5.2

Puede demostrarse fácilmente que ambos grupos de funciones cumplen la condición de armonicidad, que en coordenadas polares es:  2  2 1   2  1   2  0  0    x 2 y 2 r  r 2  r 2   2 

Las rectas de las líneas de corriente vienen dadas por la ecuación:

Q   Cte 2 que en coordenadas polares son rectas que parten del origen, mientras que las líneas de equipotencial vienen dadas por:

Q ln r  Cte 2

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que son circunferencias concéntricas. Las componentes radial y tangencial de la velocidad, vienen dadas por:

 Q  r 2 r  V  0 r

Vr 

Aplicando los resultados anteriores, podemos calcular el caudal total que como es lógico es: 2

2



q  Vr rd  0

Q

 2 0

r

rd  Q

siendo el resultado para el sumidero, -Q,; también el caudal es constante para cada gajo. Si calculamos la circulación respecto del origen, de acuerdo a la definición que habíamos dado de la misma:







2



  V  d l  V rd  0 0

O sea, el flujo de la fuente o el sumidero tienen circulación nula sobre todos los circuitos cerrados posibles, incluso si estos rodean al origen. 1.5.6.3.- Hilo de Vórtice según la dirección “ z”. Si en las ecuaciones anteriores invertimos los roles de las funciones Φ y Ψ utilizadas para los modelos de fuente y sumidero, obtendremos las ecuaciones del hilo de vórtice , esto es: Q     2  Q  ln r   2



Ahora, las líneas de corriente son circunferencias concéntricas y el valor de la velocidad

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MECANICA DE FLUIDOS I será:

V 

Q

2 r Vr  0

y la circulación:







2



  V  d l  V rd  0

2

Q

 2 r

rd  Q

0

En la figura, línea de vórtice entrante hacia el papel, circulación dextrógira, o a derecha, línea de vórtice saliendo del papel, circulación levógira o a izquierda.

Fig. 2.5.3

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MECANICA DE FLUIDOS I 1.5.6.4 Superposición.

El principio de superposición es válido por la condición de Laplace y el corolario del mismo que nos indica que si dos o más funciones Φ1, Φ2, Φ3…son armónicas, entonces la suma

 i

también lo será. A modo de ejemplo, examinamos el óvalo o elipse de

Rankine, en el cual una fuente y un sumidero, se colocan a distancia +a y –a del origen (según se indica en la figura 2.6.1) y se superpone además un flujo uniforme.

Todo el flujo de la fuente F es absorbida por el sumidero S , pero entre los tres flujos, se establece una elipse como línea divisoria cuya forma dependerá de las intensidades relativas . Los valores de la combinación se establecen por suma directa:

Q

Q

  Vox  ln r1  ln r 2 2 2 Q

Q

  Voy   1   2 2 2 Puede reemplazarse r1 = x + a, r2= x – a, quedando:

Q

 ( x  a)2  y 2 

  Vox  ln   4  ( x  a)2  y 2  Q 

 y 

 y 

  Voy    arc tg   arc tg  2   xa  x  a  la elipse divisoria cerrada puede asumirse también como un límite sólido , así la superposición de flujos permite el estudio de flujos abiertos embistiendo sólidos, obteniéndose distribuciones aproximadas de velocidades y presiones fuera de la capa límite.

Si bien el flujo estudiado es 2.D la elipse puede ser análogamente interpretada como la sección de un prisma elíptico que va desde z = -∞ a z = ∞, ya que cada corte será homólogo en su flujo

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Fig.2.6.1

1.5.6.5.- Potencial complejo. y Transformaciones Conformes. Para estos casos simples precedentes, Φ y Ψ se encontraron resolviendo la ecuación armónica, o por integración simple de los valores conocidos de la velocidad. En general, la mejor forma de determinar Φ y Ψ, es utilizando la teoría de variable compleja y las transformaciones conformes. Para ello el plano físico (x, y) en el cual habíamos representamos Φ y Ψ, como familias ortogonales, lo transformamos en un plano base complejo :z = x + i y , z es ahora, un punto de este plano, si ahora definimos una función genérica del plano complejo, que llamamos potencial complejo como: F(z) = Φ(z) + i Ψ(z) F puede describirse como una función de z , donde la parte real de F es Φ(x,y) y la parte imaginaria, Ψ(x,y).

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En el espacio complejo así definido de F, las funciones Φ y Ψ forman como vimos una red ortogonal. Es posible ahora pasar del plano z = x + iy de referencia a otro ζ = η + i ξ a través de una transformación, pero tal que conserve la naturaleza ortogonal de Φ y Ψ. la transformación entre estos planos referenciales puede quedar definida por una función: ζ = f ( z ).

Por ejemplo cuando transformamos un globo terráqueo en un mapa plano a través de una transformación Mercator, los paralelos y meridianos son ortogonales entre sí tanto en la representación esférica como plana, lo mismo que se conserva para cada punto homónimo los valores de latitud y longitud, sin embargo las superficies de ambas representaciones del planeta Tierra se deforman y en particular más hacia los polos y menos hacia el ecuador.

Estas apropiadas transformaciones que mantienen la naturaleza del potencial complejo original, se denominan Transformaciones Conformes. Escogiendo funciones apropiadas del tipo ζ = f (z ) podemos obtener modelos de flujo en torno a formas complicadas si se conoce el patrón de flujo F(z) para una forma simple a través de la descripción del plano ζ una vez obtenido F( ζ ).

Por ejemplo un cilindro circular en rotación embestido por una corriente presenta un fenómeno de sustentación positiva conocido como Efecto Magnus, la transformación conforme de Joukowsky, nos permite obtener formas complicadas con aspecto de perfiles de gota arqueados y de cola afilada que presentan sustentación, estas formas reciben el nombre de su descubridor “Perfiles Joukowsky”.

A diferencia de la transformación Mercator, la transformación Joukowskydeforma más en las posiciones próximas al origen y menos hacia los extremos de los ejes , por tanto una circunferencia se deformará en un perfil, pero lejos del centro, las líneas de corriente casi no se deformarán es decir se mantienen las condiciones de la corriente lejos de la forma o en infinito.

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En estos perfiles aerodinámicos las curvas superior e inferior que convergen en la cola afilada presentan la particularidad de tener tangentes coincidentes (o ángulo de salida de perfil de 0°), a veces esta descripción geométrica se llama “punto cuspidal”. En general estos puntos llevan implícita una discontinuidad del flujo de escurrimiento que proviene de la región superior e inferior del perfil, pero Joukowsky demostró que siempre existe una configuración de escurrimiento para la cual el aire abandona la cola sin discontinuidad, y es la adaptación del valor de la circulación transformada.

Si el valor de la circulación de base en el cilindro con efecto Magnus se ajusta a un valor específico, la discontinuidad no se manifiesta después de la transformación. Este valor de circulación óptima solamente será función de la velocidad del flujo horizontal en infinito, y en los perfiles reales la velocidad de infinito ajusta automáticamente la circulación.

Para visualizar físicamente el efecto Magnus, al cilindro circular se lo hace rotar sobre su eje y luego se hace embestir la corriente horizontal (o mover horizontalmente el cilindro), así generamos la circulación física apoyados en la viscosidad, para los perfiles aerodinámicos reales la discontinuidad inicial de los escurrimientos sobre la parte superior e inferior del perfil antes de lograr la igualación de los flujos, produce la estela parásita y en acuerdo con el teorema Kelvin – Helzmoltz , la circulación inversa compensadora en torno al perfil, (ya que si la circulación era nula, ahora la sumatoria de la vorticidad de estela más la circulación también deberá ser nula) así a diferencia de la sustentación por efecto Magnus en un cilindro, el perfil no necesita rotar para generar sustentación.

La profundización de estos aspectos nos llevaría de pleno al terreno de las bases de la aerodinámica teórica subsónica, cosa que nos apartaría del propósito de estas notas, pero el alumno interesado puede profundizar estos interesantes temas con la bibliografía de referencia

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CONCLUSIONES:  el flujo potencial resulta incapaz de predecir correctamente las fuerzas de arrastre en un cuerposumergido que avanza a velocidad constante.  La teoría del flujo potencial, permite predecir fuerzas en otros casos particulares de interés.

LINKOGRAFIA https://es.vbook.pub.com/document/217668458/Teoria-Del-Flujo-Potencial

https://www.youtube.com/watch?v=lzSYSH4HCp8 http://www.wikiwand.com/es/Teor%C3%ADa_de_flujo_potencial https://es.vbook.pub.com/doc/20862314/mecanica-de-fluidos https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_flujo_potencial

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