Formulario Para Once

Formulario de Ondas Ecuación de Onda Una onda (Onda armónica o Sinusoidal) es una función que satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales llamada Ecuación de Onda 𝟏 𝝏𝟐 𝒖 𝛁 𝒖(𝒙, 𝒕) = (𝒙, 𝒕) 𝒗 𝝏𝒕𝟐 𝟐

A esta función se le llama función de onda 𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙 ± 𝝎𝒕 + 𝝋) (El signo + es para cuando la onda se propaga de derecha a izquierda, el signo – es cuando la onda se propaga de izquierda a derecha). El valor del ángulo 𝒌𝒙 ± 𝝎𝒕 se denomina ángulo de fase. Donde 𝒖 → Es la elongación en función de la posición (𝒙) y del tiempo (𝒕). 𝑨 → Es la amplitud o elongación máxima. 𝝎 → Es la velocidad angular. 𝒌 → Es el número de onda (angular). 𝝋 → Es la constante de fase. 𝝀 → Es la longitud de onda. 𝒗 → Es la velocidad de propagación. 𝝎=

𝟐𝝅 = 𝟐𝝅𝒇; 𝑻

𝒌=

𝟐𝝅 ; 𝝀

𝒗=

𝝀 𝝎 = 𝝀𝒇 = 𝑻 𝒌

PROPAGACIÓN DE UNA ONDA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA 𝒗=√

𝑻 𝝁

Donde 𝑻 es la tensión de la cuerda, 𝝁 es la densidad lineal de la cuerda cuya ecuación es 𝝁 = 𝒎 la masa de la cuerda y 𝒍 la longitud de la cuerda.

𝒎 𝒍

con

REFLEXION Y REFRACCION DE ONDAS

La REFLEXIÓN consiste en el cambio de dirección que experimenta una onda cuando choca contra un obstáculo. La onda que se dirige hacia el obstáculo se denomina onda incidente, mientras que la onda que se aleja del obstáculo después de haber chocado contra él se denomina onda reflejada. Como se observa en la figura, el ángulo que la onda incidente forma con la superficie reflectora es igual al ángulo formado por la onda reflejada, es decir, el ángulo de reflexión (𝜽𝒓 ) es igual al ángulo de incidencia (𝜽𝒊 ). Por tanto, podemos decir que: 𝜽𝒊 = 𝜽𝒓 La REFRACCIÓN de las ondas consiste en el cambio de dirección que experimenta un movimiento ondulatorio cuando pasa de un medio material a otro.

La relación matemática que describe este cambio de dirección se llama Ley de Snell 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒊 𝒗𝟏 = 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒓 𝒗𝟐 Donde 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 son las velocidades de propagación en el medio 1 y 2 respectivamente. ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS Cuando dos ondas, de igual frecuencia y amplitud, se propagan en el mismo medio, en la misma dirección pero en sentidos opuestos, se superponen, originando una oscilación particular, que no tiene las características de una onda viajera y por eso se define como onda estacionaria. Estas ondas se pueden transmitir en una cuerda con los extremos fijos. Cuando una onda armónica alcanza un extremo fijo, se refleja, originando una onda que viaja en sentido opuesto. Al superponerse la onda original con la reflejada, se genera la onda estacionaria, como se muestra a continuación. Los puntos de interferencia destructiva, llamados nodos, y de interferencia constructiva, llamados antinodos, permanecen en lugares fijos. A medida que aumenta la cantidad de nodos de la onda estacionaria, disminuye la longitud de onda. En cada caso: 𝝀𝒏 =

𝟐∙𝒍 𝒏

Donde 𝒍 es la longitud de la cuerda y 𝒏, el número de armónicos, cada longitud de onda estacionaria implica una distribución de nodos a lo largo de la cuerda. Esta distribución caracteriza la onda estacionaria que representa lo que se llama modo normal de vibración. Como 𝝀 ∙ 𝒇 = 𝒗 donde 𝒗 es la velocidad de propagación en la cuerda. La frecuencia (de cada armónico) en cada caso es: 𝒇𝒏 =

𝒏∙𝒗 𝒗 = 𝟐 ∙ 𝒍 𝝀𝒏

La frecuencia mínima (𝑛 = 1) se denomina frecuencia fundamental o primera armónica y corresponde a un antinodo. Se satisface entonces: 𝒍=

𝒏 ∙ 𝝀𝒏 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … 𝟐

SONIDO VELOCIDAD DEL SONIDO 𝑚

La velocidad del sonido ( ) en el aire seco (0% de humedad), 𝑠

para temperaturas cercanas a 0℃ está dada por: 𝑣 = 331 + 0,6 ∙ 𝑇

CARACTERISTICAS DEL SONIDO TONO El tono o altura de un sonido es la característica que se refiere a los sonidos altos o agudos y a los bajos o graves. Esta cualidad se debe a la frecuencia del sonido, ya que, cuanto mayor sea la frecuencia, más agudo es el sonido y cuanto menor sea la frecuencia, más grave es el sonido. La sensibilidad del oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias oscilan entre los 20 𝐻𝑧 y 20.000 𝐻𝑧. Los sonidos mayores de 20.000 Hz se denominan ultrasonidos y los menores de 20 Hz se denominan infrasonidos. INTENSIDAD La intensidad del sonido se relaciona con lo que comúnmente se conoce como el volumen del sonido. Lo cual permite diferenciar los sonidos fuertes de los débiles. Se define como:

La intensidad del sonido es la energía que transporta una onda por unidad de tiempo y de área, y es proporcional al cuadrado de su amplitud. La potencia sonora es la energía emitida por el foco sonoro en un segundo y la intensidad es la potencia transmitida por unidad de superficie. La intensidad del sonido se mide en vatios sobre 𝑊 metro cuadrado ( 2 ). 𝑚

El oído humano puede detectar sonidos de una intensidad tan baja como 10−12 𝑊

𝑊 𝑚2

, y tan alta como

1 2 ; arriba de este límite todo sonido causa dolor. Esta sensación del oído se describe por medio 𝑚 de una característica subjetiva llamada sonoridad, que hace referencia a los niveles de intensidad de un sonido. El nivel de intensidad de una onda sonora está dado por una escala logarítmica que compara la intensidad, 𝐼, del sonido con la intensidad más baja perceptible al oído humano y se expresa como

𝐼 𝐼0 𝑊 Donde 𝐼0 es la intensidad correspondiente a 10−12 2 , e 𝐼 𝑚 es la intensidad del sonido a la que nos referimos. El nivel de intensidad se expresa en decibeles o decibelios y se denota con dB. 𝛽 = 10 log

Variación de la intensidad Existen dos factores que influyen en el aumento o en la disminución de la intensidad: el medio de propagación y la distancia a un foco emisor. Se dice que el medio en el cual se propaga el sonido disminuye su intensidad puesto que él absorbe energía. Por otro lado, la intensidad de un sonido disminuye si se aumenta la distancia con respecto al foco emisor o fuente. Cuando el foco emite un sonido, este se propaga en todas las direcciones, produciendo un frente de onda esférico. El área de esa superficie es 4𝜋𝑟 2 , por tanto, la intensidad del sonido a una distancia, 𝑟, de la fuente es: 𝑃 𝑃 𝐼= = 𝐴 4𝜋𝑟 2 Donde 𝑃 es la potencia del sonido y 𝑟 la distancia al foco emisor.

TUBOS SONOROS En los instrumentos de viento tales como la flauta, la quena y el clarinete, o de metal como el trombón, se pueden provocar ondas estacionarias al hacer vibrar las moléculas de aire que están dentro de su cavidad o tubo sonoro.

Un tubo sonoro es un tubo largo y delgado cuya columna de aire contenida resuena según una vibración particular que recibe desde la parte abierta del tubo.

Existen dos clases de tubos sonoros, los tubos abiertos y los tubos cerrados. Tubos Abiertos Los tubos abiertos son tubos sonoros cuyos extremos son abiertos. Aunque en un tubo abierto las ondas son longitudinales, se representan como se observa en la siguiente figura, para describir con mayor claridad dónde se encuentran los nodos y dónde los vientres.

Siendo 𝒍 la longitud de la cuerda y 𝒏, el número de armónicos, la distancia de un nodo a otro es la mitad de la longitud de onda 𝜆𝑛 de la onda estacionaria, la longitud del tubo se expresa como: 𝒏 ∙ 𝝀𝒏 𝒍= , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … 𝟐 Y por tanto 𝟐∙𝒍 𝝀𝒏 = 𝒏 La frecuencia (de cada armónico) en cada caso es: 𝒏∙𝒗 𝒇𝒏 = 𝟐∙𝒍 Las diferentes frecuencias de las ondas estacionarias se denominan armónicos, al igual que en las cuerdas. La frecuencia de cada armónico depende de la velocidad del sonido y de la longitud del tubo. Tubos Cerrados Los tubos cerrados son aquellos tubos sonoros con un extremo abierto y el otro cerrado. En la siguiente figura se representan los diferentes armónicos formados por los tubos cerrados, en los cuales se produce un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el extremo abierto.

En este caso: 𝒍=

𝒏 ∙ 𝝀𝒏 , 𝒏 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, … 𝟒

Donde 𝒍 es la longitud de la cuerda y 𝒏, un número impar, obtenemos 𝝀𝒏 =

𝟐∙𝒍 𝒏

𝒇𝒏 =

𝒏∙𝒗 𝟒∙𝒍

Y